Transportne Pojave u Metalima

Embed Size (px)

Citation preview

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    1/38

    TRANSPORTNE POJAVE U METALIMA

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    2/38

    Danas emo pokazati da model slobodnih elektrona moe objasnitielektrinu vodljivost tj. Ohmov zakon (Drude-ov i Sommerfeldovmodel), toplotnu vodljivost (Drude-ov i Sommerfeldov model) i Hall-ov efekat. Sve ove pojave jednim imenom zovemo transportnepojave.

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    3/38

    Do transportnih pojava dolazi u prostorno nehomogenim sistemima:tamo gdje postoji temperaturni gradijent, i/ili nehomogena gustoaestica u prostoru i/ili vanjsko polje.

    Mi emo razmotriti slijedee transportne pojave u metalima:

    Elektrina vodljivost

    Toplotna vodljivost

    Hall efekat

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    4/38

    Uvod

    Elektrina vodljivost- jedna od najvanijih osobina metala- dobrivodii struje

    Drude 1900. godine modelom slobodnih elektrona izveo Ohmovzakon

    j E=

    Gustoa el. strujestruje Elektrino poljeElektrina provodnost

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    5/38

    Gdje je faktor proporcionalnosti (elektrina provodnost):

    2n e

    m

    =

    n-koncentracija elektrona (broj elektrona u jedinici volumena)- vrijeme relaksacije (prosjeno vrijeme izmeu dva meusobna sudara)

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    6/38

    Analogna ovoj relaciji je i relecija koja opisuje proticanje toplotne

    struje. Ukoliko u metalu postoji temperaturni gradijent T, gustoa

    struje bie:

    gdje je koeficijent proporcionalnosti toplotna provodnost metala

    qj T=

    Smjer struje je suprotan smjeru temperaturnog gradijenta

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    7/38

    Wiedeman i Franz su 1853. godine zakljuili da je u metalimaelektrina vodljivost proporcionalna toplinskoj vodljivosti. Dobri

    vodii elektrine struje su ujedno i dobri vodii toplotne struje.

    Lorentz je 1881. godine zakljuio da je omjer priblino konstantan zaniz metala i zove se Lorentzov broj

    Sommerfeld je 1928. godine na elektrinu i toplotnu vodljivostprimijenio F-D statistiku.

    Dalji korak u razvoju elektrine vodljivosti zahvaljujemo Blochu.Prouavajui meudjelovanje elektrona sa fononima 1928. godine jeizveo formulu koja opisuje zavisnost el. otpora metala odtemeprature

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    8/38

    Metali imaju veliku elektrinu i toplinsku vodljivost

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    9/38

    Wiedeman-Franz-ov zakon /TLorentzov broj L= /T= const.Ne zavisi od vrste metala

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    10/38

    Elektrina vodljivost

    Razmotriemo Drudeov i Sommerfeldovmodel slobodnog elektronskog gasa. Oba

    daju Ohmov zakon

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    11/38

    Pretpostavke Drude-ove teorije

    Elektroni se tretiraju kao klasine estice- kreu se po pravim linijama i zanemarujuse elektron-elektron i elektron-jon interakcije

    Elektroni se kreu slobodno izmeu sudara sa centrima rasprenja (jezgrama) isudari elektrona sa jezgrama su kao u molekularno-kinetikoj teoriji- momentalni

    pri emu se mijenja brzina elektrona

    Prosjeno vrijeme izmeu dva uzastopna sudara se zove vrijeme relaksacije.

    Elektroni nakon sudara brzina elektrona je proizvoljna i nije povezana sa brzinom prije

    sudara

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    12/38

    Ohmov zakon

    Otpor ice R zavisi od dimenzija iceZgodnije je izraziti Ohmov zakon preko veliina koje ne zavise od dimenzijauzorka.

    Zato emo definisati provodnost

    j E=

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    13/38

    Gustoa struje je vektor paralelan kretanju naboja, a njen intenzitetje jednak naboju koji u jedinici vremena prolazi kroz jedininu

    povrinu okomitu na kretanje naboja.

    Sa slike vidimo da je

    Pad potencijala du ice je:

    Pa imamo

    Prema tome je

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    14/38

    Veliina zove se specifini otpor ili otpornost. Za razliku odotpora R, je svojstvo materijala jer ne zavisi od oblika i veliine

    materijala (uzorka).

    Sad emo koristei Drude-ov model izraziti preko mikroskopskihsvojstava. U tom klasinom modelu za opisivanje voljdivosti bitni susudari elektrona sa jonima.

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    15/38

    Drudeova teorija vodljivosti

    Razmotrimo primjenu Drude-ovog modela na elektrinu vodljivost(dobiemo izraz za Ohmov zakon)

    Elektrina vodljivost Kretanje elektrona dok na njih ne djeluje polje

    Pretpostavljamo da su im kinetike energije (brzine) iste. Brzine sunasumino orjentisane u svim smjerovima.

    Dok ne djeluju vanjske sile svi smjerovi kretanja su ravnopravni pa jevektorski zbir brzina elektronskog mnotva jednak nuli.

    Kad metal stavimo u konstantno vanjsko elektrino polje mijenjaju se

    brzine elektrona i dolazi do usmjeravanja elektrona. Promjena brzineelektrona odreena je jednainom kretanja:

    dvm eE

    dt

    =

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    16/38

    Integriranjem od t1 do t2 dobivamo:

    gdje smo uveli oznake:

    ( ) ( ) ( )2 1 2 1m v t v t eE t t

    eu E t

    m

    =

    =

    ( ) ( )2 1

    2 1

    u v t v t

    t t t

    =

    =

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    17/38

    Ukupna brzina elektrona jednaka je zbiru brzine kojom se elektronkree izvan vanjskog polja i dodatne brzine proizvedene poljem:

    'v v u= +

    Brzina je nasumina, a brzina proizvedena poljem je usmjerena. Nazivamoje brzina zanoenja (brzina drifta). Smjer joj je odreen smjerom elektrinog polja.v

    u

    Kad bi na elektrone djelovala samo elektrina sila, oni bi sve vie ubrzavali pa bielektrina vodljivost neogranieno rasla.Ovo se ne deava jer po Drudeovoj klasinoj teoriji dolazi do sudara elektrona sa

    jonima. Joni tj. kristalna reetka zaustavljaju elektrone (javlja se el. otpor). Ukvantnoj teoriji objanjenje otpora je malo drugaije- otpor nastaje usljedrasprenja elektrona na fononima i defektima kristalne reetke pri emu oni gubedodatak brzine koji je nastao uticajem vanjskog polja.

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    18/38

    Nakon sudara, elektrino polje ubrzava elektron sve dok se on ne sudariponovo. Pretpostaviemo da je vrijeme proteklo od posljednejg sudara t.

    Kad se sudari, elektron odlazi u proizvoljnom smjeru i prosjena brzinadrifta elektrona e biti

    eu Em

    =

    eEt

    m

    Poto je prosjeno vrijeme izmeu dva sudara prosjena brzina drifta e biti

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    19/38

    Definisaemo pokretljivost (mobilnost) elektrona kao iznos prosjenevrijednosti brzine drifta u jedininom polju:

    Uvrtavanjem izraza za prosjenu brzinu dobivamo:

    u

    E =

    e

    m

    =

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    20/38

    Poto izvan elektrinog polja nema usmjerenog kretanja elektrona,gustou struje odreuje srednja vrijednost brzine drifta. Gustoa

    elektrine struje je jednaka proizvodu prosjene brzine drifta sagustoom elektronskog naboja (-en):

    Uvrtavajui srednju brzinu drifta dobivamo Ohmov zakon:

    j enu=

    2e ne

    j en E E E

    m m

    = = =

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    21/38

    2ne

    m

    =

    ne =

    Izraz za elektrinu provodnost moemo izraziti i preko pokretljivosti elektrona:

    Pogledajmo sad koje vrijednosti za nasumine brzine elektrona (dakle kad nemamoelektrinog polja). se dobiju po klasinoj teoriji slobodnog elektronskog gasa.

    Tada bi nasumina brzina elektrona bila jednaka prosjenoj termikoj brzini.

    3B

    k Tv

    m=

    Za T=300 K dobiva se v=105 m/s

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    22/38

    Ova procjena daje premalu vrijednost. Prouavajui Sommerfeldov

    model dobili smo v reda veliine 106

    m/s jer za elektrone vrijedi F-Dstatistika, a ne M-B kao u Drude-ovoj teoriji. Iako se temelji naklasinoj statistici Drude-ov model uspio je objasniti Ohmov zakon

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    23/38

    Sad emo procijeniti brzinu drifta elektrona. Neka se metal nalazi u polju E=1V/m. Uzeemo n=5*1028 m-3 i =107 -1m-1 kao tipine vrijednosti zametale. Odatle dobivamo:

    Brzina zanoenja elektrona u metalu je puno manja od nasumine brzineizvan djelovanja polja.

    U svim procesima gdje ne razmatramo transport elektrinog nabojapriblino moemo napisati da je iznos elektronske brzine jednak iznosu

    nasumine brzine:

    vv

    310 /u E m s

    en

    =

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    24/38

    Srednji slobodni put definiemo kao udaljenost koju elektron pree izmeudva uzastopna rasprenja:

    l=v

    On je prema Drude-ovom modelu jednak za sve elektrone

    Izraunajmo vrijeme relaksacije i srednji slobodni put metala uzimajui kaoi ranije tipine vrijednosti n=5*1028 m-3 i =107 -1m-1

    v105 m/s po Drudeovoj teoriji => l=10 A- reda veliinemeuatomskih udaljenosti, ali to je netano (l je puno vee)

    v106 m/s po Sommerfeldovoj teoriji pa dobivamo

    l

    10-8

    m- to je OK, a sa snienjem temperature se jo moepoveati

    14

    2 10

    ms

    ne

    =

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    25/38

    Srednji slobodni put na sobnim temperaturama je za red (ili dvareda) veliine vei od meuatomskog rastojanja u kristalu. Na

    niskim temperaturama moe postati jo znatno vei jer se otpormetala smanjuje sa temperaturom.

    Klasina fizika ne moe objasniti zato je srednji slobodni putpuno vei od meuatomskih rastojanja. To je objasnila kvantna

    teorija

    Pogledajmo kako bi prema Drude-ovoj teoriji elektrina otpornostmetala zavisila od temperature. Izrazimo elektrinu provodnost

    preko srednjeg slobodnog puta:

    2 2ne ne l

    m mv

    = =

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    26/38

    Poto, prema klasinoj fizici srednji slobodni put zavisi samo odgeometrijskih osobina kristalne reetke, temperaturna zavisnost

    elektrine provodnosti bila bi odreena elektronskom brzinom:

    1

    v T

    T

    Dakle prema Drude-ovoj teoriji:

    1 T

    = exp T Nije u skladu sa eksperimentom, dakle Drude-ova teorija ne moe da objasni

    zavisnost el. otpornosti od T u metalu

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    27/38

    Sommerfeld-ova teorija elektrine vodljivosti

    Pogledajmo sad da emo dobiti isti rezultat uvaavajui kvantnustatistiku (Sommerfeldov model)

    Fermi sfera u ravnotei ( odsustvu polaj) Pomjeranje Fermi sfere u prisustvu polja

    eu E

    m=

    Pod djelovanjem polja elektroni dobivaju

    brzinu drifta i Fermi sfera

    se pomjera ulijevo. Ponitava se veina

    elektronskih parova, osim onih uosjenenom podruju

    Nema struje jer za svaki elektronSa brzinom v postoji elektron sa brzinom

    -v tako da se svi parovi ponitavaju

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    28/38

    Elektroni u osjenenom podruju uzrokuju brzinu drifta. Malopomjeranje Fermi sfere nastaje zbog malih brzina drifta koja je kako

    smo ranije pokazali puno manja od nasumine brzine elektrona.

    Moemo procijeniti gustou struje:

    Impuls slobodnog elektrona je:

    Kad djelujemo el. poljem sila koja djeluje na elektron je:

    p k=

    dp dk F eE

    dt dt

    = = =

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    29/38

    U trenutku t=0, primjenimo polje na elektronski gas unutar Fermi sfere. U kasnijem

    trenutku t sfera i njen centar e biti pomjereni za:

    Zbog sudara elektrona sa fononima, primjesama i nesavrenostima reetke sferamoe da se odrava u stacionarnom stanju u el. polju. Ako je prosjeno vrijeme

    izmeu sudara , pomjeranje Fermijeve sfere u stacionarnom stanju je:

    tk F

    =

    k F =

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    30/38

    To pomjeranje daje svakom elektronu dodatni impuls i dodatnu brzinu (brzinudrifta):

    Ukoliko imamo n elektrona po jedinici zapremine, svaki sa naelektrisanjem q=-e,

    tada je gustoa elektrine struje jednaka:

    p k m v F

    F e

    v Em m

    = = =

    = =

    2ne

    j nq v E E

    m

    = = =

    Ohmov zakon

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    31/38

    Dobili smo isti rezultat i u Drude-ovom i u Sommerfeldovom modelu

    Iako je formula ista, ovdje je slika vodljivosti potpuno drugaija

    U klasinoj teoriji, pretpostavili smo da da struji doprinose jednako svielektroni, od kojih se svaki kree malom brzinom drifta. U kvantno-mehanikoj slici, struji doprinosi samo mali broj elektrona koji se

    kre

    u priblino fermijevom brzinom. Samo elektroni u blizini Fermijevepovrine doprinose transportnim osobinama.

    Poto samo elektroni sa Fermi povrine doprinose vodljivosti,moemodefinisati srednji slobodni put elektrona kao

    l=vF Na sobnoj temperaturi ovaj broj je jednak 10-8 m.

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    32/38

    Procesi rasprenja elektrona

    Ukoliko bismo imali idealnu kristalnu reetku, dobili bismobeskonano veliku vodljivost, ali znamo da to nije sluaj

    Konana vodljivost mora dolaziti zbog odstupanja reetke odidealne periodinosti. To se javlja usljed postojanja

    a) termikih vibracija reetke

    b) prisustva defekata ili primjesa

    Da bismo ispitali njihov uticaj pogledaemo temperaturnu zavisnostelektrine otpornosti =1/

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    33/38

    Normalizirana otpornost Na na niskim (a) i visokim b) temperaturama

    Na 0 K otpornost ima malu konstantnu vrijednost zatim poinje da sepoveava, u poetku lagano, a zatim linearno raste sa T.Linearan rast otpornosti sa temperaturom nastavlja se do take topljenja.Ovo ponaanje slijedi veina metala i podruje sobne temperature je u tom

    linearnom dijeli T

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    34/38

    Pretpostaviemo da su vjerovatnosti rasprenja na fononima i narezidualnim primjesama kristalne reetke nezavisne. Ukupna vjerovatnost

    rasprenja je:

    f rw w w= +

    Vjerovatnost rasprenja na fononima

    Vjerovatnost rasprenja na rezidualnim nepravilnostima

    Vrijeme relaksacije obrnuto je proporcionalno sa ovom vjerovatnou pa slijedi:

    1 1 1

    f r

    = +

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    35/38

    Ranije smo dobili da je:

    Pa slijedi:

    2ne

    m

    =

    2 2

    1 1 1

    f r

    f r

    f r

    m mne ne

    = +

    = + = + Matthiessen-ovo pravilo

    Postoje dva razliita uzroka rasprenja

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    36/38

    r koje predstavlja otpornost usljed rasprenja na primjesama ne zavisi od

    temperature, a f usljed rasprenja na fononima zavisi od temperature

    Dakle, otpornost metala jednaka je sumi temperaturno zavisnog lana f i

    lana r koji ne zavisi od T.

    Na jako niskim temperaturama rasprenje na fononima je zanemarivo jer suamplitude oscilovanja jako male (to smo ranije pokazali). Tada lan rpostaje dominantan i on je jednak otpornosti na apsolutnoj nuli. Zovemo ga

    rezidualni otpor.

    Na sobnim temperaturama otpornost uglavnom nastaje zbog termikihpobuenja kristalne reetke tj. rasprenja elektrona na fononima. Nekad seova otpornost zove otpornost reetke.

    Smanjenjem temperature smanjuje se broj elektronskih rasprenja pa sesrednji slobodni put poveava. U nekim metalim moe postati priblino 106

    puta vei od srednjeg meuatomskog rastojanja.

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    37/38

    Toplotna vodljivost metala Izvedeno na tabli!

    Pri izvoenju nismo razlikovali vremena relaksacije za elektrinu i toplotnu

    vodljivost. Ta pretpostavka je opravdana na visokim i ekstremno niskimtemperaturama.

    28

    2

    31,11 10

    2

    Bk WLT e K

    = = =

    Drude

    Sommerfeld

  • 7/23/2019 Transportne Pojave u Metalima

    38/38

    Drude je dobio izuzetno slaganje sa eksperimentom. Meutim, biloje nejasno zato je to tako jer doprinos elektrona Cv=3/2nkB na

    sobnoj temperaturi nije nikad zapaen. Drude-ov uspjeh jeposljedica greaka koje se ponitavaju