Transien 1 Solusi umum persamaan gelombang Contoh · PDF fileDi teknik telekomunikasi : selalu digunakan sinyal yang tak periodis. Pada ... dan gelombang transmisiyang merambat di

Transien 1

Solusi umum persamaan gelombang

Contoh contohContoh‐contohSwitch onkondisi unmatchedpercabanganpercabangan

Mudrik Alaydrus, Univ. Mercu Buana, 2008 Presentasi 9 1

Pada pembahasan sebelumnya :

pengandaikan sinyal yang harmonis, ataupengandaikan sinyal yang harmonis, atau kondisi sinyal pada saat kondisi stabil (steady statesteady state)

Maka fungsi waktu bisa digambarkan dengan fungsi sinus (konsep phasor)

Tetapi ada suatu kondisi lain, yang disebut kondisi transientransien.

Keadaan yang diamati seketika setelah adanya suatu aksi, tanpa menunggu kondisinya stabil.


Pada teknik tenaga listrik :Pada teknik tenaga listrik :proses penyalahan, proses hubungan singkat, proses induksi tegangan pengganggu akibat kejadian di atmosfir,dll

Di teknik telekomunikasi : selalu digunakan sinyal yang tak periodis. Pada komunikasi data dipergunakan impuls‐impulsPada komunikasi data dipergunakan impuls‐impuls.

Bagaimana semua ini akan berjalan di saluran transmisi ?

hanya bisa dijelaskan dengan persamaan diferensial parsial yang pertama kali kita temui di bab pertama, dan kita solusikan tanpa mengubahnya ke bentuk phasor.kita solusikan tanpa mengubahnya ke bentuk phasor.


Solusi Persamaan Gelombang Secara Umum

kasus tak mengandung kerugian (R’ = 0 dan G’ = 0)kasus tak mengandung kerugian (R = 0, dan G = 0)

tiL

zv

∂∂

−=∂∂ ' (a)

tz ∂∂

tvC

zi

∂∂

−=∂∂ ' (b)tz ∂∂

iv ∂∂ 22( ’)Turunan (a) terhadap z :

tziL

zv

∂∂∂

−=∂∂

2 ' (a’)

22(b’)

2

22

'tvC

zti

∂∂

−=∂∂∂Turunan (b) terhadap t :


dengantzi

zti

∂∂∂

=∂∂∂ 22

tzzt ∂∂∂∂

Memasukkan b’ ke a’

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−⋅−=∂∂

2

2

2

2

''tvCL

zv

⎠⎝

2

2

2

2

'' vCLv∂∂

=∂∂

22 tz ∂∂

Persamaan gelombang secara umum yang berlaku untuksaluran transmisi tak mengandung kerugian.


Solusi persamaan itu pertama kali didapatkan oleh D’Alembert (1717‐1783).

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛++⎟

⎟⎞

⎜⎜⎛−= rh

ztfztfv ⎟⎠

⎜⎝

⎟⎠

⎜⎝ ph

rph

h vf

vf

ztzt +fh dan fr fungsi bebas tetapi memiliki argumen dan

phvt −

phvt +

Bagaimana bentuk kedua fungsi yang sebenarnya, ditentukan olehnilai awal dan nilai batas, seperti akan ditunjukkan di contoh.

Bukti persamaan di atas adalah solusi dari persamaan gelombang bisaDidapat dengan memasukkannya ke persamaan gelombang


22

22

2 11ztfztf rh ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∂

⎞⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∂

⎞⎛∂222

2 11z

vvz

vvz

v ph

ph

ph

ph ∂

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∂

⎟⎠

⎜⎝

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂

⎟⎟⎟⎞

⎜⎜⎜⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∂⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−∂

∂22

2 1 vztf

vztf

v phr

phh

⎟⎟⎟

⎠⎜⎜⎜

⎝

∂⎠⎝+

∂⎠⎝=

∂ 2222 zzvzphph

ph

⎠⎝

22 ztfztf ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛+∂⎟

⎟⎞

⎜⎜⎛

∂

222

2

tv

tf

tv

tf

tv ph

rph

h

∂

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝+∂

+∂

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝−∂

=∂∂


1

Supaya persamaan‐persamaan di atas menjadi solusi ada syarat berikut:

''1CL

vph =

Persamaan untuk arus pada saluran transmisi diturunkan denganpersamaan (b)

vCi ∂−=

∂ 't

Cz ∂=

∂

didapatkan ⎞⎛⎞⎛ 11didapatkan

oph

rph

h Ivztf

Zvztf

Zi +⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

11

''

CLZ = Impedansi karakteristik dan

Io adalah arus konstant


vh = fh(-z/v)

t = 0

zih = fh(-z/v)/Z

vh = fh(t1-z/v)

t = t1

zih = fh(t1-z/v)/Z

vt1


vr = fr(+z/v)

t = 0z

ir =- fr(+z/v)/Zvr = fr(t1+z/v)

t = t1

z

ir =- fr(t1+z/v)/Z vt1


Batas Awal dan Syarat Batasan Pada Transien (Contoh‐contoh)

Distribusi tegangan dan arus pada proses transien ditentukan oleh syarat awal dan syarat batas dari problem yang diberikan.

Syarat awal : misal pada saat t = 0 diberikan suatu distribusi tegangan dan arus awal di sepanjang saluran transmisi, dan arus awal di sepanjang saluran transmisi,kemudian akan diperhatikan apa yang terjadi pada lanjutannya ini.

S t b t k di i b t d dib ik il i tSyarat batas: kondisi batas yang padanya diberikan nilai tegangan atau arus sebagai fungsi waktu. Misalnya sebuah open pada ujung saluran transmisi adalah sebuah syarat batas, yang di sana berlaku i = 0 untuk semua waktu.y y g


Contoh 1:Syarat Awal : Distibusi Muatan pada Saluran Transmisi

A d ik d i i ki 0 d b h l i iAndaikan pada suatu posisi sekitar z = 0 pada sebuah saluran transmisiyang tak terhingga panjangnya, mendadak muncul suatu distribusimuatan tertentu. Hal ini bisa disebabkan oleh proses ionisasi di atmosfir atau sambaran petir.p p


Muatan listrik terinduksi itu akan menghasilkan medan listrik, sehinggaakan terjadi beda potensial atau suatu distribusi tegangan di lokasimuatan tersebut misalnya bisa di tuliskan sebagai fungsi f(z)muatan tersebut, misalnya bisa di tuliskan sebagai fungsi f(z).

v (z, t=0) = f(z) adalah syarat awal dari masalah transien ini.

Pada momen pertama t = 0, tak ada arus yang mengalir, atau i (t=0) = 0.

Sehingga dengan solusi persamaan diferensial (persamaan (9 4) dan (9 6)):Sehingga dengan solusi persamaan diferensial (persamaan (9.4) dan (9.6)):

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=zfzfzf )( ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+⎟⎟⎠

⎜⎜⎝−=

phr

phh v

fv

fzf )(

⎞⎛⎞⎛ 11⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

phr

phh v

zfZv

zfZ

110

(I0 juga nol, karena memang tak ada arus di awal)


Dari dua persamaan di atas kita dapatkan

1z ⎟⎞

⎜⎛

)(21 zf

vzfph

h =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

1⎞⎛)(

21 zf

vzfph

r =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Terbentuk dua gelombang bagian, yang akan merambat ke kanan(ke arah z positif), dan dengan besar dan bentuk yang sama akanmerambat ke kiri (z negatif). Sehingga total didapatkan tegangan dan arus( g ) gg p g g

( ) ( )tvzftvzfv phph ++−=21

21

( ) ( )tvzfZ

tvzfZ

i phph +−−=21

21



Contoh 2: Syarat Batas : Switch-On pada Sebuah Saluran Transmisi panjang tak hingga

Yang diketahui adalah, karena saluran transmisi panjangnya tak hingga, maka hanya akan terdapat gelombang datang vh.

G l b d t i i k b t k h itif dGelombang datang ini akan merambat ke arah z positif dengan kecepatan vph, sehingga berlaku


⎪⎪⎨

⎧ <phvzt

Vuntuk 0

dan⎪⎪⎨

⎧ <phvzt

iuntuk 0

⎪⎪⎩

⎪⎨

>=

phh

ph

vztv

Vuntuk

dan

⎪⎪⎩

⎨>

=

ph

h

p

vztvi

untuk Z

Pada saat t = 0 berlaku hukum Kirchhoff dan hukum Ohm :

hh vRiV +⋅=0 hh vRiV +0

dan dengan impedansi karakteristik saluran transmisi di atas:

ohhh V

RZZvvR

Zv

V+

=⇒+⋅=0vh

z

ih


Refleksi dan Pembelokan (Reflection and Refraction)

Bentuk gelombang tergantung dari kondisi awal. Gelombang ini akan merambat tanpa gangguan (tanpa perubahan bentuk) di j l t i i hdi sepanjang saluran transmisi yang homogen.

Bahkan, jika saluran transmisinya tak mengandung kerugian, gelombang, j y g g g , g gini juga memiliki besar yang tak berubah.

Tetapi jika ada gangguan, misalnya pada beban, yang tak matching, atausambungan saluran transmisi lain, yang memiliki impedansi gelombangyang berbeda, maka akan terbentuk kejadian tambahan.


Z1 , v1 Z2 , v2

zz = L

Sebuah gelombang, dengan tegangan ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛−=

ztfV hhg g g g g ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝ 1vtfV hh

dan arus ⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=1 ztfIdan arus ⎟⎟

⎠⎜⎜⎝−=

11 vtf

ZI hh

merambat di saluran transmisi 1 menuju sambungan yang terletakdi posisi z = L.


Pada sambungan akan terjadi refleksi gelombang datang ini, sehingga akan terbentuk gelombang refleksi yang merambat di salurantransmisi 1 menuju arah negatif z,transmisi 1 menuju arah negatif z, dan gelombang transmisi yang merambat di saluran transmisi 2 menujupositif z.

S hi k l h di d b ( ≤ L) t d tSehingga secara keseluruhan, di depan sambungan (z ≤ L) terdapatgelombang datang dan pantul, dengan

⎞⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞⎛ 11⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

111 v

ztfvztfV rh

dan ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

1111

11vztf

Zvztf

ZI hhh

Dan sesudah sambungan (z ≥ L) hanya ada gelombang transmisi

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

22 v

ztfV t ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

22

1vztf

ZI th

dan


Pada sambungan z = L, harus berlaku V1(z=L) = V2(z=L) danI1(z=L) = I2(z=L), sehinggaDua variabel dan dua persamaan dengan eliminasi akan didapatkanDua variabel dan dua persamaan, dengan eliminasi akan didapatkan

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 12 Ltf

ZZZZLtf hr ⎟

⎠⎜⎝+⎟

⎠⎜⎝ 1121 vZZv hr

⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛ 22 LZL

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

112

2

2

2vLtf

ZZZ

vLtf ht

Gelombang pantul didapatkan melalui mengalikan gelombang datangGelombang pantul didapatkan melalui mengalikan gelombang datangdengan konstanta refleksi

12

ZZZZ

r+−

=12 ZZ +

dan gelombang transmisi didapat dari hasil kali gelombang datangdengan faktor transmisi

22Zt

12

2

ZZt

+=


v1

v1

v2

v2

v2


Contoh Perhitungan

Sumber tegangan DC Vo= 2 V, dengan impedansi dalam Zi=20 Ω, dihubungkan ke beban ZL = 200 Ω dengan melalui saluran transmisiLdengan panjang L dan memiliki impedansi gelombang Zo= 100 Ω.

Lukiskanlah proses transien di sepanjang saluran transmisi tersebutjika pada t = 0 rangkaian ‘switch on’ dengan menentukan teganganjika pada t = 0 rangkaian switch on dengan menentukan teganganpada z = 0 dan z = L sebagai fungsi waktu.


Pada saat t = 0, generator akan melihat Z = Zo sebagai bebannya, sehinggapada saat t = 0, didapatkan rangkaian pengganti

Maka pada saat t = 0 s tegangan pada gerbang masukan sesuai denganMaka pada saat t = 0 s, tegangan pada gerbang masukan, sesuai dengan aturan pembagian tegangan, menjadi

Z 100 VVVZZ

ZtV o

oi

oin 67,12

120100)0( =⋅=

+==


Dan untuk kondisi ‘steady-state’ t → ∞, pengaruh saluran transmisi terhadap kondisi sinyal sudah tak ada lagi, impedansi beban langsung terlihat oleh generator, sehingga didapatkan rangkaian

Dengan aturan pembagi tegangan:

Z 200 VVVZZ

ZtVtV oLi

Loutin 82,12

220200)()( =⋅=

+=∞→=∞→


Sekarang, bagaimana untuk 0 < t < ∞ ?

Andaikan gelombang membutuhkan waktu ts untuk menempuh jarak dari awal ke akhirg g s p jsaluran.

Sehingga gerbang keluaran baru kedatangan gelombang setelah waktu di atas tertempuhtertempuh.

Tegangannya merupakan superposisi dari tegangan datang dan tegangan pantul.

Tegangan pantul diakibatkan adanya kondisi ‚unmatched’ di gerbang keluaran dengan faktor refleksi

31

=−

= oLout

ZZr

3+ oLout ZZ

Jadi pada gerbang keluaran, pada saat t = ts, terdapat dua gelombang tegangan, tegangan datang (Vo) dan tegangan pantul (routVo)

dan tegangan totalnya menjadi: (1 + rout) V0


Sinyal pantul ini akan merambat kembali ke arah gerbang masukan, dan tiba di sana setelah waktu 2ts tertempuh. Gelombang ini akan kembali terpantulkan karena kondisi input dilihatGelombang ini akan kembali terpantulkan, karena kondisi input dilihat dari saluran transmisi juga ‚unmatched’, dengan faktor refleksi

280ZZ32

12080

−=−

=+−

=oin

oinin ZZ

ZZr

Jadi pada saat t = 2 ts di gerbang masukan (z = 0) terdapat tiga buah gelombang tegangan:

Tegangan eksitasi (Vo)T d d i b b ( V ) dTegangan datang dari beban (routVo) dan Tegangan datang dari beban yang dipantulkan pada input

(rin rout Vo)

Dan tegangan totalnya menjadi : (1+rout + rin rout) Vo


Proses di atas bisa divisualisasikan dengan diagram berikut ini:


V(z=0)V(z=L)V asimtot

2.2

1 8

2

1.6

1.8

1.4

1.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


Contoh 2:Pada rangkaian di bawah ini sebuah gelombang tegangan konstan yang merambat pada saluran transmisi dan mengenai sambungan berupamerambat pada saluran transmisi dan mengenai sambungan berupa percabangan dua buah saluran transmisi, bagaimana daya listrik terbagi pada masing‐masing saluran transmisi tersebut ?

Vo

Z2 = 3Zo

Z1 = Zo

Z3 = 5Zo3 o


Gelombang datang mempunyai dayao

oh Z

VP

2

=

Pada sambungan di akhir saluran transmisi 1, dipasangkan salurantransmisi 2 dan 3 secara seri, sehingga di sana terlihat impedansi bebansebesar 3Zo+5Zo = 8Zo, sehingga faktor refleksinya menjadi

oroo VV

ZZZZr

97

97

88

=⇒=+−

=oo ZZ 998 +

dan faktor transmisinyay

o VVZt 161682 ⋅ot

oo

o VVZZ

t998

=⇒=+

=


Karena beban merupakan rangkaian seri dari dua impedansi, makaberlaku hukum pembagian tegangan:

oto

ot VV

ZZ

V32

83

1 ==

Z5ot

o

ot VV

ZZ

V9

1085

2 ==

Maka kita dapatkan, daya datang akan terdistribusi ke gelombang berikut

orr Z

VZVP

22

8149

==oo

r ZZ 81

oott Z

VZV

ZV

P222

1,1, 81

12274

3===

ooo ZZZ, 81273

ott

VVP

222,

220

==oo

t ZZ2, 815


Documents

Transien 1 Solusi umum persamaan gelombang Contoh · PDF fileDi teknik telekomunikasi : selalu digunakan sinyal yang tak periodis. Pada ... dan gelombang transmisiyang merambat di