TRANSFORMASI LAPLACE - .Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga

  • View
    270

  • Download
    5

Embed Size (px)

Text of TRANSFORMASI LAPLACE - .Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga

  • TRANSFORMASI LAPLACE

    Lanjutan

  • Pemetaan Konformal

    Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga

    ukuran maupun pengertian sudut.

    Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas diagram

    tempat kedudukan akar (root locus) dan kriteria kestabilan

    Nyquist.

    Hubungan fungsional: z=F(s) dapat diinterpretasikan sebagai

    pemetaan titik-titik pada bidang s ke titik-titik pada bidang z /

    bidang F(s).

    Untuk setiap titik P pada bidang s terdapat suatu titik P

    pasangannya pada bidang F(s). P adalah bayangan dari P.

    Untuk membuktikan bahwa pemetaan yang dinyatakan dengan

    suatu fungsi analitik z=F(s) adalah konformal, tinjau suatu kurva

    halus s=s( ), yang melalui suatu titik ordiner.

  • Jika kita tulis zo=F(so), maka:

    )ss(ss

    )s(F)s(Fzz o

    o

    oo

    Dengan demikian,

    oo

    oo ss

    ss

    )s(F)s(Fzz

    s - so adalah sudut antara sumbu nyata positif dan vektor dari so ke s.

    Jika s mendekati so sepanjang kurva halus s( ), maka s - so adalah sudut 1 antara sumbu nyata positif dan garis singgung kurva tersebut pada so.

    Dengan cara sama, jika z mendekati zo, maka z - zo mendekati sudut 1 yang merupakan sudut antara sumbu nyata positif dan garis singgung dari F(s) pada z0. Dengan demikian diperoleh

    1 - 1 = F(so)

  • Dengan kurva halus yang lain s=s2( ), yang melalui titik so, kita dapat melakukan analisis serupa sehingga diperoleh

    2 - 2 = F(so)

    Oleh karena itu

    1 - 1 = 2 - 2

    atau

    2 - 1 = 2 - 1

    Jadi ukuran dan pengertian sudut pada pemetaan tetap dijaga.

    Pemetaan yang dinyatakan dengan suatu fungsi analitik z=F(s) adalah konformal di setiap titik yang menyebabkan F(s) reguler dan F(s) 0.

  • Definisi Transformasi Laplace

    Transformasi Laplace dari f(t) didefinisikan sebagai

    0

    dte )t(f)s(F)]t(f[L st

    dengan:

    f(t) = fungsi waktu t, dengan f(t)=0 untuk t

  • 6

    0

    stdte)t(f)s(F)]t(f[L

    1dte)t()]t([L0

    st

    0st

    0

    st0 edte)tt()]t(f[L

    f(t)

    t )t(

    t

    f(t)

    )tt( 0

    0t

    Contoh fungsi Dirac

  • Contoh

    Transformasi Laplace dari fungsi tangga berikut: f(t) = 0 untuk t < 0 = A untuk t > 0

    s

    A

    s

    eAdtAe)}t(f{

    stst

    00

    L

    f(t)

    t

    A

    Jawab:

  • 8

    2

    0

    st

    0

    st

    0

    st

    s

    adte

    s

    a

    s

    atedtate)]t(r[L

    0t untuk at)t(ff(t)

    t

    Transformasi Laplace dari fungsi Ramp

  • Transformasi Laplace dari fungsi eksponensial berikut: f(t) = 0 untuk t < 0 = Ae-at untuk t > 0

    Jawab:

    00dteAdteAe}Ae{ t)as(statatL

    )as(

    A

    )as(

    eA

    t)as(

    0

    e-at

    t

    A

  • Transformasi Laplace dari fungsi sinusoida berikut: f(t) = 0 untuk t < 0 = A sin t untuk t > 0

    Jawab:

    0dte tsinA}tsinA{ stL

    02

    dte)ee(j

    A)}t(f{ sttjtjL

    ej t = cos t + j sin t e-jwt = cos t - j sin t

    )ee(j

    tsin tjtj

    2

    1

    22

    1

    2

    1

    2 s

    A

    jsj

    A

    jsj

    A

  • f(t) F(s)

    Step function, u(t)

    e-at

    te-at

    sin( t )

    cos( t )

    t n

    1/s

    1/(s+a)

    1/(s+a)2

    / ( s2 + 2)

    / ( s2 + 2)

    n!/sn+1

    )ee(ab

    btat1

    )bs)(as(

    1

  • f(t) F(s)=L[f(t)]

    ntate

    )t( 1

    )t(u

    t

    )atsin(

    )atcos(

    )at(sh

    )at(ch

    )1n(s/!n

    2s/1

    )as/(1

    )as/(a 22

    )as/(s 22

    )as/(a 22

    )as/(s 22

    s/1

    )atsin(ebt ]a)bs/[(a 22

    )bs)(as/(1

    ]a)bs/[()bs( 22)atcos(ebt

    ba)ab/()ee(atbt

    ba)bs)(as/(s)ab/()aebe(atbt

  • SIFAT LINIERITAS )]t(f[L)s(F 11

    )]t(f[L)s(F 22

    tstanConsc,c 21

    )s(F.c)s(F.c

    )]t(f[L.c)]t(f[L.c

    )]t(f.c)t(f.c[L

    2211

    2211

    2211

  • SIFAT TRANSLASI

    )as(F)]t(fe[L ata) Jika F(s)=L[f(t)]

    )as(Fdte)t(fdte])t(fe[)]t(fe[L t)as(

    0

    st

    0

    atat

    Contoh 4s

    s)]t2(Cos[L

    2

    5s2s

    1s

    4)1s(

    1s)]t2(Cose[L

    22

    t

  • 15

    Translasi [time]

    b) Jika g(t) = f(t-a) for t>a

    = 0 for t

  • 16

    Perubahan skala waktu )a

    s(F

    a

    1)]t.a(f[L

    )a

    s(F

    a

    1

    a

    due)u(fdte])t.a(f)]t.a(f[L a

    su

    0

    st

    0

    Contoh

    1s

    1)]t(Sin[L

    2 9s

    3

    13

    s

    1

    3

    1)]t3(Sin[L

    2

    2