BAB VII

PAGE Danang Yugo PratomoPKJ 2013/ 130551818136

TRANSFORMASI LAPLACE1. Transformasi Laplace Definisi Transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat digunakan secara mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier. Dengan menggunakan transformasi Laplace, dapat diubah beberapa fungsi umum seperti fungsi sinusoida, fungsi sinusoida teredam, dan fungsi eksponensial menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks. Bila persamaan aljabar dalam s dipecahkan, maka penyelesaian dari persamaan diferensial (transformasi Laplace balik dari variabel tidak bebas) dapat diperoleh dengan menggunakan tabel transformasi Laplace. Suatu kelebihan metode transformasi Lapalace adalah bahwa metode ini memungkinkan penggunaan teknik grafis untuk meramalkinerja sistem tanpa menyelesaikan persamaan diferensial sistem. Kelebihan lain metode transformasi Laplace adalah diperolehnya secara serentak baik komponen transien maupun komponen keadaan tunak. Secara sederhana prosedur dasar pemecahan menggunakan metode transformasi Laplace adalah:

Persamaan diferensial yang berada dalam kawasan waktu (t), ditransformasikan ke kawasan frekuensi (s) dengan transformasi Laplace. Untuk mempermudah proses transformasi dapat digunakan tabel transformasi laplace.

Persamaan yang diperoleh dalam kawasan stersebut adalah persamaan aljabar dari variabel s yang merupakan operator Laplace.

Penyelesaian yang diperoleh kemudian ditransformasi-balikkan ke dalam kawasan waktu.

Hasil transformasi balik ini menghasilkan penyelesaian persamaan dalam kawasan waktu.

2. Notasi Transformasi Laplace Misalkan suatu fungsi t dan t > 0, maka transformasi Laplace dari F(t) dinotasikan dengan L{F(t)} yang didefinisikan oleh:

Karena adalah integral tidak wajar dengan batas atas di tak hingga () maka

Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada. Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya W(t), G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang bersangkutan sehingga L {W(t)} = w(s), L {G(t)} = g(s), L {Y(t)} = y(s) dan seterusnya. Teorema

Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0N dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplace f(s) ada untuk setiap s >

Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana.

No.

1.1

2.t

3.t

4.t

n = 0,1,2,3,.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

Sebagai pemahaman bagi pembaca, berikut ini diberikan beberapa contoh transformasi Laplace suatu fungsi.

Tentukan transformasi Laplace fungsi berikut:1.

2.

3.

4.

5.

Syarat Cukup Transformasi Laplace Ada

Jika F(t) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap selang berhingga 0dan eksponensial berorde untuk t > N, maka transformasi Laplacenya f(s) ada untuk semua s > .Perlu ditekankan bahwa persyaratan-persyaratan yang dinyatakan adalah cukup untuk menjamin bahwa transformasi Laplace-nya ada. Akan tetapi transformasi Laplace dapat ada atau tidak walaupun persyaratan ini tidak dipenuhi.

3. Metode Transformasi LaplaceUntuk memudahkan bagi pengguna matematika, terdapat beberapa cara yang digunakan untuk menentukan transformasi Laplace. Cara tersebut adalah:

a. Metode langsung, berkaitan dengan definisi.Metode ini berkaitan langsung dengan definisi

Contoh

b. Metode Deret

Misal F(t) mempunyai uraian deret pangkat yang diberikan oleh

Maka transformasi Laplacenya dapat diperoleh dengan menjumlahkan transformasi setiap sukunya dalam deret, sehingga:

, syarat ini berlaku jika deretnya konvergen untuk s >

c. Metode Persamaan differensial

Metode ini menyangkut menemukan persaman differensial yang dipenuhi oleh F(t) dan kemudian menggunakan teorema-teorema di atas.

d. Menurunkan terhadap parameter

e. Aneka ragam metode, misalnya dengan menggunakan teorema-teorema yang ada.f. Menggunakan tabel-tabel, melalui penelusuran rumus yang sudah ditetapkan. 4. Sifat-sifat Transformasi Laplace

Transformasi Laplace suatu fungsi mempunyai beberapa sifat, sifat-sifat tersebut antara lain:a) Sifat linear

Jika c dan cadalah sebarang konstanta, sedangkan dan adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing-masing dan , maka:

Bukti:

1.

2.

3.

4.

Dengan menggunakan sifat linear, tentukan transformasi Laplace fungs berikut.

1. t2.

3.

4.

5.

6.

b) Sifat translasi atau pergeseran pertama

Jika

Bukti

Karena , maka

Contoh:

1. Tentukan

Menurut sifat 2 di atas,

Maka

2. Tentukan

Menurut sifat 2 di atas,

Karena

3. Tentukan

Karena maka menurut sifat translasi pertama

4. Tentukan

Me6nurut sifat linear,

}

Karena

maka menurut sifat translasi

, dan

sehingga

L{e

SoalTentukan transformasi Laplace fungsi 1)

2)

3)

4)

5)

6)

c. Sifat translasi atau pergeseran kedua

Jika dan

maka

Bukti

Misal u = t-a maka t = u+a dan du = dt, sehingga

Contoh

Carilah jika

Menurut definisi transformasi Laplace

d. Sifat pengubahan skala

Jika maka

Bukti

Karena

maka

Misal

Menurut definisi

Contoh:

1. Jika

maka

Soal:

1. Hitunglah jika

2. Jika , carilah

3. Jika carilah

Jawab Karena maka menurut sifat 4 diperoleh

Sehingga

Berdasarkan sifat Jika

maka (sifat 2)

Maka

e. Transformasi Laplace dari turunan-turunan

Jika maka

Karena Karena , maka

Jika maka

Bukti

Dengan cara yang sama diperoleh

Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa, jika

maka

Contoh soalDengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turuan, tunjukkan bahwa

Misal diperoleh

sehingga

Dengan menggunakan sifat transformasi Laplace dari turunan-turunan diperoleh

f. Tansformasi Laplace dari integral-integral

Jika maka

Bukti:

Misal maka

Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:

Jadi diperoleh

Contoh1. Carilah

Misal

Maka

Sehingga menurut sifat transformasi di atas

2. Buktikan Bukti:

Misal

dan

Dengan mengambil transformasi Laplace kedua bagian

Menurut teorema harga awal,

Sehingga diperoleh .

Jadi

3. Buktikan

Bukti:

Misal maka atau

Menurut teorema harga akhir, sehingga c = 0.

Jadi atau

g. Perkalian dengan t

Jika maka

Bukti.

Karena maka menurut aturan Leibnitz untuk menurunkan dibawah tanda integral, diperoleh:

Jadi

Contoh1. Tentukan

Jawab

, maka menurut sifat perkalian dari pangkat tdiperoleh

, sehingga

2. Tentukan

Menurut sifat di atas,

h. Sifat pembagian oleh t

Jika maka

Bukti:

Misal maka

Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace untuk kedua bagian, maka diperoleh bentuk atau

Selanjutnya dengan mengintegralkan diperoleh

.

Jadi

Soal-soal

1) Tentukan transformasi Laplace untuk fungsi yang diberikan

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

2) Jika

Carilah

3) Diketahui a. carilah

b. carilah

c. apakah berlaku untuk kasus ini

4) Tunjukkan bahwa

5) Tunjukkan bahwa

6) Perlihatkan bahwa

a.

b.

7) Tunjukkan bahwa:

a.

b. Jika maka

5. Transformasi Laplace Invers

Definisi

Jika transformasi Laplace suatu fungsi F(t) adalah f(s), yaitu jika maka F(t) disebut suatu transformasi Laplace Invers dari f(s). Secara simbolis ditulis . disebut operator transformasi Laplace invers.

Contoh.

1. Karena maka

2. Karena maka

3. Karena maka

Ketunggalan Transformasi Laplace Invers

Misal N(t) adalah suatu fungsi dan L{N(t)} = 0 maka L{F(t)+N(t)} = L{F(t)} Dengan demikian dapat diperoleh dua fungsi yang berbeda dengan transformasi Laplace yang sama.

Contoh

dan Mengakibatkan

Jika kita menghitung fungsi-fungsi nol, maka terlihat bahwa transformasi Laplace invers tidak tunggal. Akan tetapi apabila kita tidak dapat memperhitungkan fungsi-fungsi nol (yang tidak muncul dalam kasus-kasus fisika) maka ia adalah tunggal. Hasilnya dinyatakan oleh teorema berikut.

Teorema Lerch

Jika membatasi diri pada fungi-fungsi F(t) yang kontinu secara sebagian-sebagaian dalam setiap selang berhingga 0 dan eksponensial berorde untuk t > N, maka inversi transformasi laplace dari f(s) yaitu , adalah tunggal. Jika tidak ada pernyataan lainnya, maka kita selalu menganggap ketunggalan di atas.Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace invers beberapa fungsi sederhana dibawah ini.Nomorf(s)

1.

1

2.

t

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

6. Sifat-sifat transformasi Laplace Invers

Beberapa sifat penting dari transformasi Laplace invers adalah:1) Sifat LinearMisal dan adalah sebarang bilangan konstanta, sedangkan dan berturut-turut adalah transformasi Laplace dari dan , maka:

Contoh

2) Sifat translasi atau pergeseran pertama

Jika maka

Contoh

maka

3) Sifat translasi atau pergeseran keduaJika maka

Contoh

maka

4) Sifat pengubahan skala

Jika maka

Contoh

Karena maka diperoleh

5) Transformasi Laplace invers dari turunan-turunan

Jika maka

Contoh

Karena dan maka diperoleh

6) Transformasi Laplace invers dari antiturunan-antiturunanJika maka

Contoh

Karena maka

diperoleh

7) Sifat perkalian dengan

Jika maka

Dengan demikian perkalian dengan s berakibat menurunkan F(t) Jika

f(t) , sehingga

dengan adalah fungsi delta Dirac atau fungsi impuls satuan.

Contoh

arena dan maka

8) Sifat pembagian dengan s

Jika maka

Jadi pembagian dengan s mengakibatkan integral F(t) dari 0 sampai dengan t.

Contoh

Karena maka diperoleh

9) Sifat konvolusi

Jika dan maka

F*G disebut konvolusi atau faltung dari F dan G, dan teoremanya dinamakan teorema konvolusi atau sifat konvolusi.

Contoh

Karena dan

maka diperoleh

7. Metode Transformasi Laplace Invers

Menentukan transfomasi Laplace dapat dilakukan dengan beberapa cara, sehingga dalam transformasi Laplace invers terdapat beberapa metode yang dapat digunakan, antara lain:

1) Metode pecahan parsialSetiap fungsi rasional , dengan P(s) dan Q(s) fungsi pangkat banyak (polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Selanjutnya dapat ditulis jumlah dari fungsi rasional yang mempunyai bentuk Dengan memperoleh transformasi Laplace invers tiap pecahan parcial maka dapat ditentukan

Konstanta A, B, C, dapat diperoleh dengan menyelesaikan pecahan-pecahan dan menyamakan pangkat yang sama dari kedua ruas persamaan yang diperoleh atau dengan menggunakan metode khusus.

Contoh

1. Tentukan

Jawab

atau A+B = 3 dan 2B-3A = 16 atau 2(3-A)3A=16 sehingga didapat

A = -2 dan B = 5

2. Tentukan

Jawab

Sehingga

Diperoleh A+B = 0, 2A+3B+C=1, 2A+3C=-1 Atau A = , B = , dan C =

Akhirnya diperoleh

2) Metode Deret

Jika f(s) mempunyai statu uraian dari kebalikan pangkat dari s yang diberikan oleh

Maka dibawah persyaratan-persyaratan yang sesuai kita dapat menginversi suku demi suku untuk memperoleh

Contoh

Tentukan

Jawab

=

Sehingga

+ ...3) Metode persamaan diferensial

4) Turunan terhadap statu parameter

5) Aneka ragam metode yang menggunakan teorema-teorema

6) Penggunaan tabel

7) Rumus inversi kompleks

8) Rumus Penguraian Heaviside

Andaikan P(s) dan Q(s) adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan derajat P(s) lebih kecil dari Q(s). Misal Q(s) mempunyai n akar-akar yang berbeda yaitu , k= 1, 2, 3, 4, ..., n. Maka

Bukti rumus di atas diuraikan sebagai berikut:

Karena Q(s) adalah polinomial dengan n akar berbeda ,,, ... ,maka menurut metode pecahan-pecahan parsial diperoleh

.....(1)Dengan mengalikan kedua ruas dengan (s-dan mengambil s dengan menggunakan aturan LHospital diperoleh

...Sehingga (1) dapat ditulis sebagai

dengan demikian

9) Fungsi Beta

Jika m>0 dan n>0 didefinisikan fungsi beta sebagai

B(m,n) = a dan kita dapat memperlihatkan sifat-sifat:

1.

2.

Soal-soal

1. Tentukan,a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

j.

k.

l.

m.

2. Buktikan bahwa:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

3. Dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside, tunjukkan bahwa

a.

b.

c.

d.

8. Penggunaan pada Persamaan Diferensial a) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Konstan

Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menentukan selesaian suatu persamaan diferensial dengan koefisien konstan.

Misal ditentukan persamaan diferensial

atau dengan p,q adalah konstanta dan persamaan tersebut mempunyai syarat awal atau batas Y(0)=A dan Y(0)=B, A dan B adalah konstanta yang diberikan.

Selesaian persamaan diferensial yang diketahui dapat ditentukan dengan cara melakukan transformasi Laplace pada masing-masing persamaan dan selanjutnya gunakan syarat awal yang diberikan. Akibatnya diperoleh persamaan Aljabar .Selesaian yang diperlukan diperoleh dengan menggunakan transformasi Laplace invers dari y(s). Cara ini dapat diperluas pada persamaan-pers amaan diferensial tingkat tinggi.

Contoh

Tentukan selesaian persamaan diferencial berikut.

1) dengan Y(0) = 0 dan Y(0)=-2

Jawab

Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferensial diperoleh

Menurut sifat (5) transformasi Laplace

, sehingga

=

=

Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers

Untuk pemeriksaan jawab di atas

dan Y(0) = 1, Y(0)=-22) dengan Y(0) = -3 dan Y(0)=5

Jawab

Dengan transformasi Laplace masing-masing bagian dari persamaan diferencial diperoleh

Menurut sifat (5) transformasi Laplace

, sehingga

Untuk menentukan selesaian, gunakan transformasi Laplace invers

b) Persamaan Diferensial dengan Koefisien Variabel Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk menentukan selesaian persamaan diferensial dengan koefien variable. Khususnya persamaan diferensial yang berbentuk sehingga transformasi Laplace diperoleh

Hal ini sesuai dengan sifat transformasi Laplace

Jika maka

Untuk jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut

Tentukan selesaian persamaan diferensial 1) dengan Y(0) = 1 dan Y()= 0

Jawab

Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh:

Diperoleh

Karena bila kita dapatkan , sehingga

Akhirnya didapat , hal ini memenuhi Y(=02) , dengan Y(0) = 1 dan Y(0) = 2

Jawab

Dengan transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diperoleh:

Persamaan di atas merupakan persamaan difererensial liner tingkat satu derajat satu dan dapat diubah menjadi:

Faktor integral persamaan di atas adal

Maka

Sehingga

Akhirnya diperoleh

Soal-soalTentukan selesaian persamaan diferensial berikut:

1) dengan Y(0) = 0 dan Y(0) = 1

2) dengan Y(0) = 1 dan Y(0) = 2

3) dengan Y(0) = 5 dan Y() = 0

4) dengan Y(0) = 3 dan Y(0) = 0

5) dengan Y(0)=0 dan Y(0)=7

6) dengan Y(0) = 0 dan Y(0)=-1

9. Persamaan Diferensial Simultan Pada bab sebelumnya telah dibahas tentang menentukas selesaian persamaan diferensial dengan rmenggunakan transformasi Laplace dan transformasi Laplace invrers. Selanjutnya transformasi Laplace dan transformasi Laplace invers dapat dipergunakan untuk menentukan dua atau lebih persamaan diferensial biasa simultan. Metode yang digunakan tidak berbeda dengan penjelasan sebelumnya.Persamaan diferensial simultan adalah persamaan diferensial yang secara bersama-sama sebagai unsur yang tidak dapat dipisahkan dan didalamnya terdapat turunan-turunan atau diferensial dari suatu fungsi yang belum diketahui. Di dalam persamaan difersial simultan diberikan syarat awal yang tertentu dan diketahui nilainya pada variabel yang saling bergantung.

Berikut ini diberikan beberapa contoh persamaan diferensial simultan.1.

2.

3.

Cara menentukan selesaiannya adalah dengan mengambil transformasi Laplace pada masing-masing bagian persamaan diferensial , selanjutnya gunakan metode substitusi atau eliminasi variabel persamaan dan dari proses eliminasi atau substitusi akhirnya gunakan transformasi Laplace invers pada persamaan yang diperoleh. Contoh

Tentukan selesaian persamaan diferensial simultan berikut ini

1)

Jawab

Gunakan transformasi Laplace pada masing masing persamaan, dengan menggu gunakan sifat transformasi Laplace sehingga diperoleh:

atau

Dengan metode eliminasi terhadap variabel x diperoleh:

Analog, untuk variabel y

Sehingga

Atau

dan merupakan selesaian persamaan diferensial simultan

2)

Jawab

Gunakan transformasi Laplace pada masing masing persamaan, dengan menggu gunakan sifat transformasi Laplace sehingga diperoleh:

atau

atau

Atau

Dengan metode eliminasi terhadap variabel x diperoleh:

Analog, untuk variabel y

Sehingga

merupakan selesaian persamaan diferensial simultan

Soal-soal

Tentukan selesaian persamaan diferensial simultan berikut ini:

1)

2)

3)

4)

5)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

PAGE 1Kompetensi Dasar

a. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace fungsi dengan menggunakan metode langsung (integral tak wajar)

b. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace fungsi dengan menggunakan metode deret.

c. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan menggunakan metode pecahan parsial.

d. Mahasiswa dapat menentukan transformasi Laplace invers fungsi dengan menggunakan rumus penguraian Heaviside.

e. Menentukan selesian persamaan diferensial tingkat tinggi dengan menggunakan aplikasi transformasi Laplace dan transformasi Laplace invres.

_1392873173.unknown

_1392873304.unknown

_1392873369.unknown

_1392873434.unknown

_1392873467.unknown

_1392873483.unknown

_1392873501.unknown

_1392873510.unknown

_1392873518.unknown

_1392873668.unknown

_1392873801.unknown

_1392873951.unknown

_1392874005.unknown

_1392873853.unknown

_1392873716.unknown

_1392873522.unknown

_1392873524.unknown

_1392873526.unknown

_1392873527.unknown

_1392873528.unknown

_1392873525.unknown

_1392873523.unknown

_1392873520.unknown

_1392873521.unknown

_1392873519.unknown

_1392873514.unknown

_1392873516.unknown

_1392873517.unknown

_1392873515.unknown

_1392873512.unknown

_1392873513.unknown

_1392873511.unknown

_1392873506.unknown

_1392873508.unknown

_1392873509.unknown

_1392873507.unknown

_1392873503.unknown

_1392873505.unknown

_1392873502.unknown

_1392873491.unknown

_1392873497.unknown

_1392873499.unknown

_1392873500.unknown

_1392873498.unknown

_1392873494.unknown

_1392873495.unknown

_1392873496.unknown

_1392873493.unknown

_1392873492.unknown

_1392873487.unknown

_1392873489.unknown

_1392873490.unknown

_1392873488.unknown

_1392873485.unknown

_1392873486.unknown

_1392873484.unknown

_1392873475.unknown

_1392873479.unknown

_1392873481.unknown

_1392873482.unknown

_1392873480.unknown

_1392873477.unknown

_1392873478.unknown

_1392873476.unknown

_1392873471.unknown

_1392873473.unknown

_1392873474.unknown

_1392873472.unknown

_1392873469.unknown

_1392873470.unknown

_1392873468.unknown

_1392873451.unknown

_1392873459.unknown

_1392873463.unknown

_1392873465.unknown

_1392873466.unknown

_1392873464.unknown

_1392873461.unknown

_1392873462.unknown

_1392873460.unknown

_1392873455.unknown

_1392873457.unknown

_1392873458.unknown

_1392873456.unknown

_1392873453.unknown

_1392873454.unknown

_1392873452.unknown

_1392873442.unknown

_1392873447.unknown

_1392873449.unknown

_1392873450.unknown

_1392873448.unknown

_1392873445.unknown

_1392873446.unknown

_1392873443.unknown

_1392873438.unknown

_1392873440.unknown

_1392873441.unknown

_1392873439.unknown

_1392873436.unknown

_1392873437.unknown

_1392873435.unknown

_1392873402.unknown

_1392873418.unknown

_1392873426.unknown

_1392873430.unknown

_1392873432.unknown

_1392873433.unknown

_1392873431.unknown

_1392873428.unknown

_1392873429.unknown

_1392873427.unknown

_1392873422.unknown

_1392873424.unknown

_1392873425.unknown

_1392873423.unknown

_1392873420.unknown

_1392873421.unknown

_1392873419.unknown

_1392873410.unknown

_1392873414.unknown

_1392873416.unknown

_1392873417.unknown

_1392873415.unknown

_1392873412.unknown

_1392873413.unknown

_1392873411.unknown

_1392873406.unknown

_1392873408.unknown

_1392873409.unknown

_1392873407.unknown

_1392873404.unknown

_1392873405.unknown

_1392873403.unknown

_1392873385.unknown

_1392873393.unknown

_1392873397.unknown

_1392873399.unknown

_1392873400.unknown

_1392873398.unknown

_1392873395.unknown

_1392873396.unknown

_1392873394.unknown

_1392873389.unknown

_1392873391.unknown

_1392873392.unknown

_1392873390.unknown

_1392873387.unknown

_1392873388.unknown

_1392873386.unknown

_1392873377.unknown

_1392873381.unknown

_1392873383.unknown

_1392873384.unknown

_1392873382.unknown

_1392873379.unknown

_1392873380.unknown

_1392873378.unknown

_1392873373.unknown

_1392873375.unknown

_1392873376.unknown

_1392873374.unknown

_1392873371.unknown

_1392873372.unknown

_1392873370.unknown

_1392873337.unknown

_1392873353.unknown

_1392873361.unknown

_1392873365.unknown

_1392873367.unknown

_1392873368.unknown

_1392873366.unknown

_1392873363.unknown

_1392873364.unknown

_1392873362.unknown

_1392873357.unknown

_1392873359.unknown

_1392873360.unknown

_1392873358.unknown

_1392873355.unknown

_1392873356.unknown

_1392873354.unknown

_1392873345.unknown

_1392873349.unknown

_1392873351.unknown

_1392873352.unknown

_1392873350.unknown

_1392873347.unknown

_1392873348.unknown

_1392873346.unknown

_1392873341.unknown

_1392873343.unknown

_1392873344.unknown

_1392873342.unknown

_1392873339.unknown

_1392873340.unknown

_1392873338.unknown

_1392873320.unknown

_1392873329.unknown

_1392873333.unknown

_1392873335.unknown

_1392873336.unknown

_1392873334.unknown

_1392873331.unknown

_1392873332.unknown

_1392873330.unknown

_1392873325.unknown

_1392873327.unknown

_1392873328.unknown

_1392873326.unknown

_1392873323.unknown

_1392873324.unknown

_1392873322.unknown

_1392873312.unknown

_1392873316.unknown

_1392873318.unknown

_1392873319.unknown

_1392873317.unknown

_1392873314.unknown

_1392873315.unknown

_1392873313.unknown

_1392873308.unknown

_1392873310.unknown

_1392873311.unknown

_1392873309.unknown

_1392873306.unknown

_1392873307.unknown

_1392873305.unknown

_1392873239.unknown

_1392873272.unknown

_1392873288.unknown

_1392873296.unknown

_1392873300.unknown

_1392873302.unknown

_1392873303.unknown

_1392873301.unknown

_1392873298.unknown

_1392873299.unknown

_1392873297.unknown

_1392873292.unknown

_1392873294.unknown

_1392873295.unknown

_1392873293.unknown

_1392873290.unknown

_1392873291.unknown

_1392873289.unknown

_1392873280.unknown

_1392873284.unknown

_1392873286.unknown

_1392873287.unknown

_1392873285.unknown

_1392873282.unknown

_1392873283.unknown

_1392873281.unknown

_1392873276.unknown

_1392873278.unknown

_1392873279.unknown

_1392873277.unknown

_1392873274.unknown

_1392873275.unknown

_1392873273.unknown

_1392873256.unknown

_1392873264.unknown

_1392873268.unknown

_1392873270.unknown

_1392873271.unknown

_1392873269.unknown

_1392873266.unknown

_1392873267.unknown

_1392873265.unknown

_1392873260.unknown

_1392873262.unknown

_1392873263.unknown

_1392873261.unknown

_1392873258.unknown

_1392873259.unknown

_1392873257.unknown

_1392873247.unknown

_1392873251.unknown

_1392873254.unknown

_1392873255.unknown

_1392873252.unknown

_1392873249.unknown

_1392873250.unknown

_1392873248.unknown

_1392873243.unknown

_1392873245.unknown

_1392873246.unknown

_1392873244.unknown

_1392873241.unknown

_1392873242.unknown

_1392873240.unknown

_1392873206.unknown

_1392873223.unknown

_1392873231.unknown

_1392873235.unknown

_1392873237.unknown

_1392873238.unknown

_1392873236.unknown

_1392873233.unknown

_1392873234.unknown

_1392873232.unknown

_1392873227.unknown

_1392873229.unknown

_1392873230.unknown

_1392873228.unknown

_1392873225.unknown

_1392873226.unknown

_1392873224.unknown

_1392873215.unknown

_1392873219.unknown

_1392873221.unknown

_1392873222.unknown

_1392873220.unknown

_1392873217.unknown

_1392873218.unknown

_1392873216.unknown

_1392873211.unknown

_1392873213.unknown

_1392873214.unknown

_1392873212.unknown

_1392873209.unknown

_1392873210.unknown

_1392873208.unknown

_1392873189.unknown

_1392873198.unknown

_1392873202.unknown

_1392873204.unknown

_1392873205.unknown

_1392873203.unknown

_1392873200.unknown

_1392873201.unknown

_1392873199.unknown

_1392873194.unknown

_1392873196.unknown

_1392873197.unknown

_1392873195.unknown

_1392873192.unknown

_1392873193.unknown

_1392873191.unknown

_1392873181.unknown

_1392873185.unknown

_1392873187.unknown

_1392873188.unknown

_1392873186.unknown

_1392873183.unknown

_1392873184.unknown

_1392873182.unknown

_1392873177.unknown

_1392873179.unknown

_1392873180.unknown

_1392873178.unknown

_1392873175.unknown

_1392873176.unknown

_1392873174.unknown

_1392873043.unknown

_1392873108.unknown

_1392873140.unknown

_1392873157.unknown

_1392873165.unknown

_1392873169.unknown

_1392873171.unknown

_1392873172.unknown

_1392873170.unknown

_1392873167.unknown

_1392873168.unknown

_1392873166.unknown

_1392873161.unknown

_1392873163.unknown

_1392873164.unknown

_1392873162.unknown

_1392873159.unknown

_1392873160.unknown

_1392873158.unknown

_1392873149.unknown

_1392873153.unknown

_1392873155.unknown

_1392873156.unknown

_1392873154.unknown

_1392873151.unknown

_1392873152.unknown

_1392873150.unknown

_1392873144.unknown

_1392873147.unknown

_1392873148.unknown

_1392873145.unknown

_1392873142.unknown

_1392873143.unknown

_1392873141.unknown

_1392873124.unknown

_1392873132.unknown

_1392873136.unknown

_1392873138.unknown

_1392873139.unknown

_1392873137.unknown

_1392873134.unknown

_1392873135.unknown

_1392873133.unknown

_1392873128.unknown

_1392873130.unknown

_1392873131.unknown

_1392873129.unknown

_1392873126.unknown

_1392873127.unknown

_1392873125.unknown

_1392873116.unknown

_1392873120.unknown

_1392873122.unknown

_1392873123.unknown

_1392873121.unknown

_1392873118.unknown

_1392873119.unknown

_1392873117.unknown

_1392873112.unknown

_1392873114.unknown

_1392873115.unknown

_1392873113.unknown

_1392873110.unknown

_1392873111.unknown

_1392873109.unknown

_1392873075.unknown

_1392873092.unknown

_1392873100.unknown

_1392873104.unknown

_1392873106.unknown

_1392873107.unknown

_1392873105.unknown

_1392873102.unknown

_1392873103.unknown

_1392873101.unknown

_1392873096.unknown

_1392873098.unknown

_1392873099.unknown

_1392873097.unknown

_1392873094.unknown

_1392873095.unknown

_1392873093.unknown

_1392873083.unknown

_1392873087.unknown

_1392873090.unknown

_1392873091.unknown

_1392873089.unknown

_1392873085.unknown

_1392873086.unknown

_1392873084.unknown

_1392873079.unknown

_1392873081.unknown

_1392873082.unknown

_1392873080.unknown

_1392873077.unknown

_1392873078.unknown

_1392873076.unknown

_1392873059.unknown

_1392873067.unknown

_1392873071.unknown

_1392873073.unknown

_1392873074.unknown

_1392873072.unknown

_1392873069.unknown

_1392873070.unknown

_1392873068.unknown

_1392873063.unknown

_1392873065.unknown

_1392873066.unknown

_1392873064.unknown

_1392873061.unknown

_1392873062.unknown

_1392873060.unknown

_1392873051.unknown

_1392873055.unknown

_1392873057.unknown

_1392873058.unknown

_1392873056.unknown

_1392873053.unknown

_1392873054.unknown

_1392873052.unknown

_1392873047.unknown

_1392873049.unknown

_1392873050.unknown

_1392873048.unknown

_1392873045.unknown

_1392873046.unknown

_1392873044.unknown

_1392872978.unknown

_1392873010.unknown

_1392873026.unknown

_1392873035.unknown

_1392873039.unknown

_1392873041.unknown

_1392873042.unknown

_1392873040.unknown

_1392873037.unknown

_1392873038.unknown

_1392873036.unknown

_1392873031.unknown

_1392873033.unknown

_1392873034.unknown

_1392873032.unknown

_1392873029.unknown

_1392873030.unknown

_1392873027.unknown

_1392873018.unknown

_1392873022.unknown

_1392873024.unknown

_1392873025.unknown

_1392873023.unknown

_1392873020.unknown

_1392873021.unknown

_1392873019.unknown

_1392873014.unknown

_1392873016.unknown

_1392873017.unknown

_1392873015.unknown

_1392873012.unknown

_1392873013.unknown

_1392873011.unknown

_1392872994.unknown

_1392873002.unknown

_1392873006.unknown

_1392873008.unknown

_1392873009.unknown

_1392873007.unknown

_1392873004.unknown

_1392873005.unknown

_1392873003.unknown

_1392872998.unknown

_1392873000.unknown

_1392873001.unknown

_1392872999.unknown

_1392872996.unknown

_1392872997.unknown

_1392872995.unknown

_1392872986.unknown

_1392872990.unknown

_1392872992.unknown

_1392872993.unknown

_1392872991.unknown

_1392872988.unknown

_1392872989.unknown

_1392872987.unknown

_1392872982.unknown

_1392872984.unknown

_1392872985.unknown

_1392872983.unknown

_1392872980.unknown

_1392872981.unknown

_1392872979.unknown

_1392872939.unknown

_1392872961.unknown

_1392872970.unknown

_1392872974.unknown

_1392872976.unknown

_1392872977.unknown

_1392872975.unknown

_1392872972.unknown

_1392872973.unknown

_1392872971.unknown

_1392872965.unknown

_1392872967.unknown

_1392872968.unknown

_1392872966.unknown

_1392872963.unknown

_1392872964.unknown

_1392872962.unknown

_1392872949.unknown

_1392872956.unknown

_1392872958.unknown

_1392872959.unknown

_1392872957.unknown

_1392872954.unknown

_1392872955.unknown

_1392872950.unknown

_1392872945.unknown

_1392872947.unknown

_1392872948.unknown

_1392872946.unknown

_1392872941.unknown

_1392872944.unknown

_1392872940.unknown

_1392872923.unknown

_1392872931.unknown

_1392872935.unknown

_1392872937.unknown

_1392872938.unknown

_1392872936.unknown

_1392872933.unknown

_1392872934.unknown

_1392872932.unknown

_1392872927.unknown

_1392872929.unknown

_1392872930.unknown

_1392872928.unknown

_1392872925.unknown

_1392872926.unknown

_1392872924.unknown

_1392872915.unknown

_1392872919.unknown

_1392872921.unknown

_1392872922.unknown

_1392872920.unknown

_1392872917.unknown

_1392872918.unknown

_1392872916.unknown

_1392872911.unknown

_1392872913.unknown

_1392872914.unknown

_1392872912.unknown

_1392872908.unknown

_1392872909.unknown

_1392872907.unknown