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  • TRANSFORMAES LINEARES

    lgebra Linear e Geometria Analtica Prof. Aline Paliga

  • INTRODUO

    Estudaremos um tipo especial de funo, onde o domnio e o contradomnio so espaos vetoriais reais. Assim, tanto a varivel independente como a varivel dependentes so vetores, razo pela qual essas funes so chamadas funes vetoriais ou transformaes vetoriais.

    Para dizer que T uma transformao do espao vetorial V no espao vetorial W, escreve-se T:VW. Sendo T uma funo, cada vetor v V tem um s vetor imagem w W, que ser indicado por w=T(v).

    Vamos exemplificar, considerando V=2 e W=3

    Uma transformao T:23 associa vetores v=(x,y) 2

    com vetores w=(a,b,c) 3. Se a lei que define a transformao T for:

  • Por exemplo, para calcular T(2,1), tem-se x=2 e y=1, e da:

    ( , ) (3 , 2 , )T x y x y x y

    ( , ) (3 2, 2 1,2 1) (6, 2,1)T x y

  • 10.1 DEFINIO

    Sejam V e W espaos vetoriais. Uma aplicao T:VW chamada transformada linear de V em W se:

    Uma transformao linear de V em V ( o caso de V=W) chamada de operador linear sobre V.

    Exemplos:

    1) linear, pois sejam

    vetores genricos de 2, ento:

    ) ( ) ( ) ( )

    ) ( ) ( )

    I T u v T u T v

    II T u T u

    2 3: , ( , ) (3 , 2 , )T T x y x y x y

    1 1 2 2( , ) ( , )u x y e v x y

    1 2 1 2) ( ) ( , )I T u v T x x y y

    1 2 1 2 1 2 1 2

    1 2 1 2 1 2 1 2

    (3( ), 2( ), ( ) ( ))

    (3 3 , 2 2 , )

    x x y y x x y y

    x x y y x x y y

    , para u v V e

  • 1 1

    1 1 1 1

    1 1 1 1

    ) ( ) ( , )

    =(3 , 2 , )

    = (3 , 2 , )

    ( ) ( )

    II T u T x y

    x y x y

    x y x y

    T u T u

    1 1 1 1 2 2 2 2 (3 , 2 , ) (3 , 2 , )

    ( ) ( ) ( )

    x y x y x y x y

    T u v T u T v

    1 2 1 2 1 2 1 2(3 3 , 2 2 , )x x y y x x y y

    ( , ) (3 , 2 , )T x y x y x y

  • 10.2 NCLEO DE UMA TRANSFORMAO LINEAR

    Chama-se ncleo de uma transformao linear T:V W ao conjunto de todos os vetores v V que so transformados em 0 W. Indica-se esse conjunto por N(T) ou ker(T):

    Observemos que N(T)V e

    N(T), pois 0 N(T).

    Exemplos:

    1) O ncleo da transformao linear

    o conjunto:

    o que implica

    ou

    2 2: , T(x,y)=(x+y, 2x-y)T

    ( ) { / ( ) 0}N T v V T v

    2( ) {( , ) / ( , ) (0,0)}N T x y T x y

    (x+y, 2x-y)=(0,0) x+y=0

    2x-y=0

  • sistema cuja soluo :

    x=0 e y=0 logo:

    N(T)={(0,0)}

    2) Seja a transformao linear dada por:

    neste caso, temos:

    isto , um vetor (x,y,z) 3 se, e somente se:

    ou

    sistema homogneo de soluo x=-3z e y=z.

    Logo:

    3 2:T

    3( ) {( , , ) / ( , , ) (0,0)}N T x y z T x y z

    x-y+4z=0

    3x+y+8z=0

    T(x,y,z)=(x-y+4z, 3x+y+8z)

    (x-y+4z, 3x+y+8z)=(0,0)

    ( ) {( 3 , , ) / }N T z z z z

  • ( ) {( 3 , , ) / }N T z z z z

    Observemos que esse conjunto representa uma reta no 3

    que passa pela origem e que todos os seus pontos tm por imagem a origem do 2.

    Todo ncleo de uma TL um subespao vetorial de V.

    Uma TL injetora se, e se somente se, N(T)={0}.

  • 10.3 IMAGEM

    Chama-se imagem de uma transformao linear T:V W ao conjunto de w W que so imagens dos vetores v V. Indica-se esse conjunto por Im(T) ou T(V):

    Se Im(T)=W, diz-se sobrejetora.

    Im( ) { / ( ) para algum v V}T w W T v w

  • 10.4PROPRIEDADES DAS TRANSFORMAES LINEARES

    I) Se T(0)0, a transformao no linear.

    Exemplo:

    no linear pois T(0,0,0) =(3,0)0

    II)Se uma transformao linear, tem-se:

    para , isto , a imagem de uma combinao linear de vetores v1 e v2 uma combinao linear das imagens com os mesmos coeficientes

    . De modo geral:

    3 2: , ( , , ) (2 3,3 4 )T T x y z x x z

    :T V W

    1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( )T a v a v aT v a T v

    1 2 1 2, ,v v V e a a

    1 2( ) ( )T v e T v

    1 2 a e a

    1 1 1 1( ... ) ( ) ... ( )n n n nT a v a v aT v a T v

  • Se uma base de V, para todo v V, existe

    , tal que:

    e portanto:

    isto , dado v V, o vetor T(v) estar determinado se forem conhecidas as imagens dos vetores de B. Em outras palavras, sempre que forem dados T(v1),...,T(vn) onde

    a base do domnio V, a transformao linear T est perfeitamente definida.

    1 1 ... n nv a v a v

    1 1( ) ( ) ... ( )n nT v aT v a T v

    1{ ,..., }nB v v

    1,..., na a

    1{ ,..., }nv v

  • 10.5 MATRIZ CANNICA DE UMA TRANSFORMAO LINEAR

    matriz cannica de T

    Exemplo:

    1)

    2)

    [ ( )] [ ][ ]T v T v

    2 3: , T(x,y)=(3x-2y,4x+y,x)T

    3 2

    4 1

    1 0

    T

    2 2: , T(x,y)=(x,-y)T

    1 0

    0 1T

  • 3)

    3 2: , T(x,y,z)=(2x+3y+4z,x-2y)T

    2 3 4

    1 2 0T

  • 10.6 AUTOVALORES E AUTOVETORES Seja T:V V um operador linear. Um vetor v V , v0, um

    autovetor (ou vetor caracterstico, ou vetor prprio) do operador T se existe tal que:

    O nmero real tal que denominado autovalor (ou valor caracterstico, ou valor prprio) de T associado ao autovetor v. Como se v pela definio, um vetor v0 um autovetor se a imagem T(v) for um mltiplo de v.

    ( )T v v

    ( )T v v

    Exemplos:

    1) O vetor v=(5,2) um autovetor do operador linear

    associado ao autovalor , pois:

    2 2: , T(x,y)=(4x+5y,2x+y)T

    6

    T(5,2)=(4 5+5 2,2 5+2)=(30,12)=6(5,2)=6v

  • J o vetor v=(2,1) no um autovetor deste operador T, pois:

    para todo .

    1)Determinao dos autovalores

    Seja o operador linear , cuja matriz cannica :

    T(x,y)=(4x+5y,2x+y)

    T(2,1)=(4 2+5 1,2 2+1)=(13,5) (2,1)

    10.6.1 DETERMINAO DOS AUTOVALORES E AUTOVETORES

    3 3:T

    11 12 13

    21 22 23

    31 32 33

    a a a

    A a a a

    a a a

  • A T isto :

    Se v e so respectivamente, autovetor e autovalor do operador T, tem-se:

    (v matriz-coluna 3x1)

    ou:

    Tendo em vista que v=Iv (I a matriz-identidade), pode-se escrever:

    ou:

    Para que esse sistema homogneo admita solues no-nulas, isto :

    .Av v

    0Av v

    0Av Iv

    0A I v

  • deve-se ter:

    ou:

    0

    0

    0

    x

    v y

    z

    det( ) 0A I

    11 12 13

    21 22 23

    31 32 33

    1 0 0

    det 0 1 0 0

    0 0 1

    a a a

    a a a

    a a a

    11 12 13

    21 22 23

    31 32 33

    0 0

    det 0 0 0

    0 0

    a a a

    a a a

    a a a

  • A equao denominada equao caracterstica do operado T ou da matriz A, e suas razes so os autovalores do operador T ou da matriz A. O determinante um polinmio em denominado polinmio caracterstico.

    2)Determinao dos autovetores

    A substituio de pelos seus valores no sistema homogneo de equaes lineares permite determinar os autovetores.

    11 12 13

    21 22 23

    31 32 33

    det 0

    a a a

    a a a

    a a a

    det( ) 0A I

    ( ) 0A I v

  • I)Se um autovalor de um operador linear T, o conjunto S de todos os vetores v V um subespao vetorial, chamado subespao vetorial associado ao autovalor .

    Por exemplo, no exerccio 1 de aula,

    vimos que =6 correspondia ao

    autovetor v=x(5,2), assim o

    subespao representa uma reta

    que passa pela origem.

    II) Autovetores associados a autovalores distintos de um operador linear so LI.

    III)Se um operador linear, dim V=n e T possui n autovalores distintos, o conjunto , formado pelos correspondentes autovetores, uma base de V.

    1 2{ , ,..., }nv v v

    10.6.2PROPRIEDADES

    :T V V

  • 10.7 DIAGONALIZAO

    Muitos problemas que envolvem o clculo de autovalores, se tornam bem simples quando temos matrizes diagonais. Nesses casos os autovalores aparecem de forma evidente. Seria interessante, portanto, obter uma transformao para uma matriz qualquer, de forma a obter outra que seja diagonal e que preserve os autovalores. Uma matriz A n x n diagonalizvel se existe uma matriz diagonal D, tal que A semelhante a D, ou seja, se existe uma matriz P n x n inversvel tal que P-1AP = D. Se A e D so semelhantes escrevemos A~D. P a matriz cujas colunas so os autovetores do operador linear T. Diz-se que P diagonaliza A ou que P a matriz diagonalizadora. A matriz D a mais simples representante do operador linear T na base P dos autovetores.

  • Exemplo: Considere a matriz A, a seguir. Esta matriz diagonalizvel, pois:

    10

    04

    21

    31

    22

    31

    51

    51

    53

    52

    21

    31;

    22

    31PA