Pedro Henrique da Silva
TRANSFORMAES GEOMTRICAS NO CONTEXTO ESCOLAR:
UMA EXPERINCIA DE APRENDIZAGEM NO 8 ANO DO ENSINO
FUNDAMENTAL
OURO PRETO
2017
Pedro Henrique da Silva
TRANSFORMAES GEOMTRICAS NO CONTEXTO ESCOLAR:
UMA EXPERINCIA DE APRENDIZAGEM NO 8 ANO DO ENSINO
FUNDAMENTAL
Dissertao apresentada Banca
Examinadora, como exigncia parcial
obteno do Ttulo de Mestre em Educao
Matemtica pelo Mestrado Profissional em
Educao Matemtica da Universidade
Federal de Ouro Preto, sob orientao do
Profa. Dra. Marger da Conceio Ventura
Viana.
OURO PRETO
2017
ii
Catalogao: www.sisbin.ufop.br
S381t Silva, Pedro Henrique .
Transformaes geomtricas no contexto escolar [manuscrito]:
uma
experincia de aprendizagem no 8 ano do ensino fundamental /
Pedro
Henrique Silva. - 2017.
158f.: il.: color; grafs; tabs.
Orientador: Profa. Dra. Marger da Conceio Ventura Viana.
Dissertao (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto.
Instituto de
Cincias Exatas e Biolgicas. Departamento de Matemtica. Programa
de Ps-
Graduao em Educao Matemtica.
rea de Concentrao: Educao Matemtica.
1. Geometria - Conhecimentos e aprendizagem. 2. Ensino
fundamental. I.
Viana, Marger da Conceio Ventura . II. Universidade Federal de
Ouro Preto.
III. Titulo.
CDU: 514
iii
iv
Dedicatria
Aos meus pais, que me apoiaram por mais esta fase de minha
vida.
v
Agradecimentos
Aos meus pais, Marila e Vandel que desde cedo me ensinaram os
valor dos estudos, do
trabalho e da honestidade.
minha irm Rafaela e minha namorada Marina que me apoiaram nos
momentos mais
difceis, fazendo com que chegasse ao final deste ciclo.
Professora Marger da Conceio Ventura Viana, minha orientadora,
que esteve sempre a
disposio para me ajudar e apoiar e tambm de ser rgida quando
necessrio (vrias
vezes). Lembrando tambm, de sua grande contribuio para meu
crescimento acadmico,
incentivando e dando oportunidade de estudarmos juntos, desde a
graduao, com
iniciaes cientficas e apresentao em diversos eventos.
Aos professores do Programa de Mestrado Profissional em Educao
Matemtica da
UFOP, em especial aos professores Maria do Carmo Vila, Ana
Cristina Ferreira e Dale
Willian Bean (in memorian), pelos ensinamentos, pelas discusses
e pelos conselhos dados
durante a realizao do mestrado.
Banca Examinadora, professores Frederico da Silva Reis e Eliane
Gazire, por aceitarem
o desafio de contribuir para esta importante etapa de minha vida
acadmica.
Aos colegas e amigos que fizeram parte do meu percurso acadmico
me ajudando,
incentivando e apoiando nos momentos de maior desnimo.
Aos meus alunos, participantes da pesquisa que contriburam para
a realizao deste
trabalho.
Aos meus familiares, que de forma direta ou indiretamente
fizeram parte da minha
formao.
vi
RESUMO
A pesquisa foi desenvolvida na Linha 2: Formao de Professores de
Matemtica, Cultura
e Ensino-aprendizagem de Matemtica, do Mestrado Profissional em
Educao
Matemtica da UFOP. Trata-se de um estudo de cunho qualitativo,
que foi desenvolvido
com alunos do 8 ano do Ensino Fundamental de uma escola privada
do interior de Minas
Gerais. O tema foi: o ensino-aprendizagem de transformaes
geomtricas por alunos do 8
ano do Ensino Fundamental. A partir de levantamento
bibliogrfico, de um questionrio e
seguindo os passos da teoria Histrico Cultural de Vigotski, foi
elaborada uma proposta de
atividades. Esta proposta utilizou-se de matrias manipulativas,
tarefas e do software
GeoGebra. Os instrumentos para a coleta de dados foram
questionrios, registro
documental, dirio de campo e filmagens. Finalizando a pesquisa,
foi realizado um
questionrio final a fim de verificar alguns resultados. Para a
interpretao e anlise dos
dados, foi utilizada a fundamentao terica elaborada para este
fim.
Palavras-chave: transformaes geomtricas, ensino-aprendizagem,
Ensino Fundamental.
vii
ABSTRACT
The research was developed in Line 2: Training of Teachers of
Mathematics, Culture and
Teaching-learning of Mathematics, of the Professional Master in
Mathematics Education
of UFOP. This is a qualitative study, which was developed with
8th grade students from a
private school in the interior of Minas Gerais. The theme was:
the teaching-learning of
geometric transformations by students of the 8th year of
Elementary School. From a
bibliographical survey, a questionnaire and following the steps
of the Cultural Historical
theory of Vygotsky, a proposal of activities was elaborated.
This proposal was made using
manipulatives, tasks and GeoGebra software. The instruments for
data collection were
questionnaires, documentary record, field diary and filming. At
the end of the research, a
final questionnaire was carried out to verify some results. For
the interpretation and
analysis of the data, the theoretical basis elaborated for this
purpose was used.
Keywords: geometric transformations, teaching-learning,
Elementary School.
viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 1- Pesquisas sobre a Histria da Educao Matemtica ou
Geometria das
Transformaes por ano
Figura 2- Pesquisas sobre a Histria da Educao Matemtica ou
Geometria das
Transformaes por instituio.
Figura 3- Nmero de produes por tema e a interseco.
Figura 4 - Exemplo de translao
Figura 5 - Reflexo de uma figura
Figura 6 Moinho de vento
Figura 7 - Rotao de centro O e ngulo alfa, no plano OXY.
Figura 8 - (a) Rotao de centro C e ngulo de um ponto C.(b) Rotao
de centro C de
uma figura.
Figura 9 - Modelos de Geoplano.
Figura 10 - Igreja do Carmo
Figura 11 - Igreja de So Pedro
Figura 12 - Catedral Nossa Senhora da Assuno
Figura 13 - Ilustraes de P3
Figura 14 - Setor de um estdio de futebol um estdio de
futebol
Figura 15 - LETRA A P3.
Figura 16 - Mensagem da P2 descoberta por P1.
Figura 17 - Plano cartesiano da atividade 2
Figura 18 - Pontos no plano cartesiano realizado por P9
Figura 19 - Troca de coordenadas pelo participante P3
Figura 20 - Plano cartesiano da Atividade 3
Figura 21 Soluo da letra a, P8.
Figura 22 Soluo da letra a, P4.
Figura 23 - Segmentos de reta no Plano cartesiano
Figura 24 - Retangulo ABCD no plano cartesiano
Figura 25 - Plano cartesiano da atividade 6 do 2 Encontro
Figura26 - Plano cartesiano da atividade 7 do 2 Encontro
Figura 27 - Representao grfica da equao 1
Figura 28 - Representao grfica das equaes 1 e 2
Figura 29 Bloco de Atividades
ix
Figura 30 - Translao na horizontal
Figura 31 - Translao na vertical
Figura 32 - Translao horizontal e vertical 1
Figura 33 - Translao horizontal e vertical 2
Figura 34 - Translao sobreposta.
Figura 35 - Figuras geomtricas criadas por P5
Figura 36 - Figuras geomtricas criadas por P3
Figura 37 - Figuras geomtricas criadas por P4
Figura 38 - Exemplo de uma translao
Figura 39 - Translao de um tringulo
Figura 40 - Translao de um octgono
Figura 41 - Translao de uma figura para a tarefa 3 do 1 bloco de
atividades
Figura 42 - Resposta do participante P1
Figura 43- Translao de um tringulo na Tarefa 4 do 1 bloco de
atividades
Figura 44 - Resposta do participante P7 s letras a e d da tarefa
4
Figura 45 - Translao de um quadrado na Tarefa 5 do 1 bloco de
atividades
Figura 46 - Translao da letra a Tarefa 6
Figura 47 - Translao da letra b Tarefa 6
Figura 48 - Translao da letra b Tarefa 6
Figura 49 - Translao da letra c Tarefa 6
Figura 50 - Translao da letra d Tarefa 6
Figura 51 - Translao da letra b Tarefa 6
Figura 52 - Tarefa 6, letra a, P5.
Figura 53 - Tarefa 6, letra b, P1.
Figura 54 - Tarefa 6, letra e, P11.
Figura 55 - Pssaros de Escher
Figura 56 - Figura construda pelos P4 e P11
Figura 57 - Figura construda pelos P6 e P8
Figura 58 - Figura construda pelos P5 e P8
Figura 59 - Figura construda pelos P6 e P11
Figura 60 - Reflexo de um quadrado realizado pelos participantes
P6 e P11
Figura 61 - Reflexo de um quadrado realizado pelos participantes
P1 e P9
Figura 62 - Telefone feito pelo participante P1 (Atividade
3)
Figura 63 - Casa feita pelo participante P1 (Atividade 3)
x
Figura 64 - Computador feito pelo participante P1, (Atividade
3).
Figura 65 - Casa feita pelo participante P4 (Atividade 3)
Figura 66 - Reflexo do triangulo para realizao da atividade
4
Figura 67- Reflexo de um polgono para realizao da atividade 4,
item 2.
Figura 68 - Reflexo de uma figura em relao aos eixos
coordenados
Figura 69 - Resposta do P11 Atividade 5
Figura 70 - Resposta do P4 Atividade 5
Figura 71 Logomarca da Volkswagen
Figura 72 Logomarca da Honda
Figura 73 logomarca da BMW
Figura 74 logomarca da Pepsicola
Figura 75 Logomarca da Audi
Figura 76 De Escher
Figura 77 Igreja do Carmo Mariana - MG
Figura 78 Segmento de reta da tarefa 2 do terceiro bloco
Figura 79 Rotao de uma bandeira
Figura 80 Segmento de reta da tarefa 2 do terceiro bloco
Figura 81 Quadrado e seu centro de rotao
Figura 82 - Timo de um barco
Figura 83 - Janela de visualizao da tarefa 2
Figura 84 - Janela de visualizao da tarefa 3
Figura 85 Malha isomtrica da tarefa 3
Figura 86 - vetor
Figura 87 - Tringulo da tarefa 3
Figura 88 Controle deslizante
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Feixes de retas Paralelas e Feixes de retas
Concorrentes.
Quadro 2 - A resposta dos participantes stima pergunta.
Quadro 3 - Encontros Realizados, datas, contedos e
objetivos.
Quadro 4 - Quadro de decodificao
Quadro 5 - Figuras geomtricas para serem usadas na Atividade 2
do 2 Bloco de
atividades
xi
Quadro 6 - Figuras geomtricas para reflexo da atividade 3.
Quadro 7 - Quadro da atividade 6 segundo bloco
Quadro 8 - Quadro de rotaes
Quadro 9 - Figuras para reflexo no Geogebra
Quadro 10 - Resumo da frequncia s atividades da pesquisa
LISTA DE GRFICOS
Grfico 1 - Idade dos participantes
Grfico 2 - Relao dos participantes da pesquisa com a
aprendizagem de matemtica
xii
SUMRIO
LISTA DE ILUSTRAES
............................................................................................
viii
LISTA DE GRFICOS
......................................................................................................
xi
INTRODUO
..................................................................................................................
13
CAPTULO 1
UM CAMINHO AO ENSINO E APRENDIZAGEM DAS TRANSFORMAES
GEOMTRICAS NO ENSINO BSICO
.......................................................................
18
1.1 Levantamento das produes brasileiras atuais: Histria da
Educao Matemtica e
Geometria das Transformaes
.......................................................................................
19
1.1.1 Trabalhos relacionados Geometria das transformaes
................................... 21
1.1.2 Histria da Educao Matemtica e Geometria das Transformaes
................. 26
1.2. As Transformaes Geomtricas
..............................................................................
27
1.2.1.Um Breve Histrico das Transformaes Geomtricas
...................................... 27
1.2.2 Transformaes Geomtricas
.............................................................................
29
1.2.3. A Geometria das Transformaes nos documentos oficiais
.............................. 35
1.2.4 O ensino da Geometria das Transformaes
...................................................... 36
1.3. O processo de ensino-aprendizagem na direo do paradigma
histrico-cultural 37
CAPTULO 2
O CAMINHO PERCORRIDO: METODOLOGIA DA PESQUISA
........................... 47
2.1. Opes metodolgicas
..............................................................................................
47
2.2. Os instrumentos de coleta de dados
..........................................................................
51
2.3. O Contexto: A escola e os sujeitos participantes da
pesquisa .................................. 51
2.4. Informaes obtidas do Questionrio 1
....................................................................
53
2.5. A proposta de atividades
...........................................................................................
60
2.6. A anlise dos dados
...................................................................................................
61
2.7 Os resultados esperados
.............................................................................................
62
CAPTULO 3
DESCRIO E ANLISE DAS ATIVIDADES DA PESQUISA
................................ 63
3.1. Atividades Preliminares: localizao no plano e plano
cartesiano ........................... 63
3.2 Blocos de Atividades
.................................................................................................
79
3.2.1 Primeiro bloco de atividades - Translao
.......................................................... 80
3.2.3 Terceiro bloco de atividades
.............................................................................
107
3.2.4 Quarto bloco de atividades
...............................................................................
114
CONCLUSES E CONSIDERAES FINAIS
.......................................................... 129
REFERNCIAS
...............................................................................................................
134
13
INTRODUO
O pesquisador deste estudo nasceu na cidade de Nazareno, no
interior do estado de
Minas Gerais, na primeira metade da dcada de 1990. Cursou o
Ensino Fundamental I na
Escola Municipal Dr. Walfrido dos Mares Guia e o Fundamental II
na Escola Estadual
Prof. Baslio de Magalhes, sendo que, nesse ltimo segmento, se
interessou pela
Matemtica, que se tornou a matria de que mais gostava.
No 9 ano do Ensino Fundamental, participou das Olimpadas
Brasileiras das
Escolas Pblicas (OBMEP), conseguindo chegando sua segunda fase.
Embora no tenha
sido premiado, esse fato foi muito significativo, pois foi a
primeira vez que participou de
uma competio do gnero.
No primeiro ano do Ensino Mdio, seus pais se mudaram para a
cidade de Itabirito,
tambm em Minas Gerais. Nesse ano surgiram algumas complicaes,
visto que foi
necessria a adaptao a cidade e tambm a nova escola. J no segundo
ano do Ensino
Mdio, j mais adaptado aos estudos, comeou a realizar atividades
paralelas, como:
trabalhar, no perodo vespertino, em um escritrio de
Contabilidade e ingressar em um
Curso Tcnico em Minerao.
O curso tcnico era oferecido pelo Centro Federal de Educao
Tecnolgica de
Minas Gerais (CEFET-MG), Campus Itabirito. Com isso, passou a
estudar em dois
perodos e a trabalhar num terceiro.
Embora se ocupar em trs expedientes fosse cansativo, a
experincia com a
contabilidade o ajudou a compreender a importncia da Matemtica
no dia a dia, e o curso
tcnico o auxiliou no desenvolvimento da autonomia para os
estudos, pois a cobrana dos
contedos era maior.
No ano seguinte, concluindo o Ensino Mdio, prestou o exame
vestibular para o
curso de Matemtica na Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP),
e, para seu
contentamento, foi aprovado. E assim, como realmente desejava
estudar Matemtica,
ingressou no Curso de Licenciatura em Matemtica da UFOP.
Embora estivesse prestes a concluir o Curso Tcnico em Minerao,
teve que optar
por abandon-lo, pois o curso de Matemtica tambm era oferecido no
perodo noturno, de
forma que no havia a possibilidade de cursar os dois ao mesmo
tempo.
Com o ingresso no Curso de Licenciatura em Matemtica, comeou a
perceber, a
importncia e implicaes das disciplinas referentes a prticas de
ensino, na rea de
educao, discutidas em sala de aula. Por isso, eram interessantes
para a sua formao
14
profissional.
Quanto s disciplinas de contedos exclusivos de Matemtica, eram
ensinadas quase
totalmente, sob a forma de aulas expositivas e sem nenhuma
discusso sobre a sala de aula
e o ensino. Como estava se preparando para ser professor de
Matemtica, desejava
ministrar aulas mais interessantes para os alunos, aulas
diferentes daquelas expositivas que
tive em grande parte do seu ensino bsico.
Com o decorrer do curso, no 4 perodo, ao cursar a disciplina
Histria da
Matemtica, percebeu quanto era fascinante entender como surgiram
determinados
conceitos matemticos, e como eles poderiam ser interessantes
para meus futuros alunos.
Com isso, ficou bastante interessado pelo estudo dessa
disciplina, pois observou que a
Histria da Matemtica poderia ser usada como uma metodologia de
ensino para a
aprendizagem de Matemtica.
No incio do ano de 2011, foi convidado pela professora da
disciplina Histria da
Matemtica, atual orientadora desse estudo, a fazer uma pesquisa
de Iniciao Cientfica
sobre o Movimento da Matemtica Moderna (MMM). Considerando que o
projeto
envolvia Histria da Matemtica e ensino, julgou que seria
interessante para sua formao.
Com isso, aceitou o convite e estudei o MMM nos livros didticos
de autores
mineiros, uma vez que os livros didticos so considerados
importantes elementos da
cultura escolar presentes na relao professor aluno, j que grande
parte dos professores os
utiliza como guia para aulas, importante estud-los. (SILVA,
2012).
Ao pesquisar os livros, encontrou uma coleo que abordava a
geometria com um
ponto de vista diferente, isto , por meio de transformaes
geomtricas, um enfoque
sugerido pelo MMM (SILVA, 2012).
No ano seguinte, participou de outro projeto de Iniciao
Cientfica, tambm
relacionado ao MMM e aos livros didticos, porm, dirigido ao
estudo da geometria
abordada nos livros didticos de autores mineiros daquela poca.
Nessa pesquisa,
constatou que, de fato, alguns autores mineiros enfocaram a
geometria de um modo
diferente, isto , fazendo uso das transformaes geomtricas
(SILVA, 2013).
Desejando conhecer como havia sido o tratamento desse tema por
autores de outros
estados, decidiu por Osvaldo Sangiorgi, um dos mais importantes
divulgadores do MMM
no Brasil, um dos fundadores do Grupo de Estudos do Ensino da
Matemtica (GEEM),
grande divulgador da Matemtica Moderna no Brasil por meio de
cursos e publicaes,
pois seus livros foram editados e vendidos aos milhares
(VALENTE, 2006).
Analisando alguns volumes da coleo de Sangiorgi, foi possvel
constatar que a
15
Geometria das Transformaes constava em apenas um dos livros de
sua coleo, em um
apndice. Quanto ao ensino da Geometria das Transformaes, segundo
Viana (2004),
muitos professores no a ensinaram, deixando tambm de ensinar a
Geometria Euclidiana.
Alm das pesquisas de Iniciao Cientfica, o pesquisador lecionou
para turmas de 8
e 9 anos do Ensino Fundamental. Com a experincia pedaggica
adquirida na prtica,
percebeu o quanto difcil conduzir o processo de
ensino-aprendizagem de Matemtica de
forma produtiva, isto , fazer com que os alunos aprendam
efetivamente.
Foi ento que percebeu que no estava conseguindo auxiliar os
alunos no
entendimento da Geometria, pois apenas a apresentava de forma
terica como haviam lhe
ensinado na escola. Diante disso, constatou que, de fato,
necessitava enfocar a Matemtica
de forma diferente.
Com isso, ao refletir sobre sua prtica, o pesquisador concluiu
que precisava estudar,
buscar algo diferente, isto , pesquisar. Necessitava buscar
novas metodologias e estudos
sobre as inovaes que ocorrem na Educao.
De fato, baseando-me em Vigotski (1896-1934), concluiu que o
docente precisa ser
um mediador, um animador das atividades que o aluno ir realizar.
Com isso, o professor
necessita experimentar em sua aula, ou seja, fazer dela um
laboratrio, considerando
diferentes facetas dos processos de ensino-aprendizagem.
Portanto, procurando algo para levar para a sala de aula,
iniciou por utilizar materiais
concretos, criando atividades para os alunos realizarem.
Buscava, assim, diferentes
caminhos para lecionar de modo produtivo, fazendo com que os
alunos aprendessem,
recorria proposta do MMM, que estudara no projeto de iniciao
cientfica.
Assim, se interessou por abordar a Geometria por meio das
transformaes
geomtricas, lanando mos delas na sala de aula, embora em sua
trajetria acadmica, isto
, no curso de licenciatura, no houvesse cursado nenhuma
disciplina relacionada a esse
tema.
De fato, segundo Bilac (2007), embora sugerido nos Parmetros
Curriculares
Nacionais (PCN), esse assunto poucas vezes tratado nas
Licenciaturas em Matemtica e,
assim, os professores, em geral, no abordam esse contedo nas
escolas.
Ao finalizar o curso de graduao, sentindo grande necessidade de
aperfeioamento,
decidiu continuar os estudos, realizando o processo seletivo do
Programa de Ps-graduao
do Mestrado Profissional em Educao Matemtica da UFOP.
Para a seleo, alm das provas escritas, exigido um pr-projeto que
deve ser
exposto a uma Comisso. Para isso, elaborou um pr-projeto voltado
para o ensino de
16
Transformaes Geomtricas com o auxlio da Histria da
Matemtica.
Conseguiu ser aprovado com o pr-projeto apresentado e, ento,
iniciou-se um
levantamento de pesquisas brasileiras relacionadas s
Transformaes Geomtricas, tendo
percebido que o tema teria algo de inovador, pois haviam poucas
produes relacionadas
ao assunto. Assim no havia risco de elaborar um estudo repetido
com pouca relevncia.
Alm disso, era necessrio que o projeto tivesse potencial para
ser utilizado na sala
de aula, pois uma das exigncias do Programa a produo de um
produto educacional que
pudesse ser til aos professores para o desenvolvimento de suas
aulas.
Sendo assim, foi realizada uma delimitao do tema de estudo, que
antes, pr-
projeto, constava Histria da Matemtica e Transformaes
Geomtricas, passou a ser
constitudo por Transformaes Geomtricas e, mais especificamente,
pelas isometrias no
plano.
Com o decorrer do tempo, aps algumas discusses nas disciplinas
do mestrado e em
conjunto com a orientadora, decidiu-se por elaborar propostas de
atividades que
contribussem para a aprendizagem de Transformaes Geomtricas.
Para desenvolver atividades educativas relacionadas comas
Transformaes
Geomtricas, foram utilizados os conceitos de mediao e de zona de
desenvolvimento
prximo, isto , este estudo se baseiateoricamente na teoria
Histrico Cultural de Vigotski.
Tais atividades se referem a translaes, reflexes e rotaes,
utilizando recursos
manipulveis, como: folhas de papel, dobraduras, desenhos, o
geoplano, alm de projees
com uso do datashow e, por ltimo, o software GeoGebra.
Julga-se que tais atividades poderiam ser teis para minha sala
de aula, gerando um
produto educacional adequado para ser utilizado por outros
professores de Matemtica.
Pelo exposto, a questo de investigao desta dissertao a seguinte:
Que
contribuies uma proposta de atividades pode oferecer ao processo
de ensino e
aprendizagem de transformaes geomtricas de alunos do 8 ano do
Ensino
Fundamental?
Logo, objetivo desvendar quais contribuies tal proposta de
atividades podem
trazer para o processo ensino-aprendizagem de Transformaes
Geomtricas em uma
turma de 8 ano do Ensino Fundamental.
Com isso, alm do levantamento inicial de dissertaes e teses
sobre o tema da
pesquisa, foi feito um levantamento da literatura pertinente
para elaborar a fundamentao.
A partir de reflexes sobre o que foi encontrado na reviso da
literatura sobre o
tema, da fundamentao terica elaborada e de minha experincia
profissional, foi
17
preparada uma proposta de atividades que favorecesse o processo
de ensino-aprendizagem
de Transformaes Geomtricas aos alunos do 8 ano do Ensino
Fundamental.
A proposta de atividades a serem realizadas pelos alunos
participantes da pesquisa,
visando o processo de ensino e aprendizagem de Transformaes
Geomtricas, foram
concretizadas com o auxilio de materiais diversificados como
papel, lpis, rgua, cartolina,
do geoplano, de apresentaes em PowerPoint e do software
GeoGebra.
Os participantes da pesquisa foram alunos de uma escola da rede
particular de
ensino, localizada em uma cidade do interior do estado de Minas
Gerais.
Os alunos participantes da pesquisa faziam parte de uma turma da
qual o
pesquisador regente, selecionada pela maior facilidade de se
conseguir a autorizao de
sua realizao na escola por parte da direo e dos pais.
Como o pesquisador tambm o professor dos participantes,
pesquisou a sua
prtica, isto , realizou a pesquisa para o melhoramento de suas
prticas dirias em sala de
aula. E o professor ao assumir a sua realidade escolar como um
objeto de pesquisa, de
reflexo e de anlise considerado um professor pesquisador (NVOA,
1992), dai, no
decorrer do texto desta dissertao, serei intitulado professor
pesquisador.
Espera-se que a abordagem das Transformaes Geomtricas possa
contribuir para
a aprendizagem de conceitos geomtricos importantes e necessrios
compreenso da
realidade e de outros temas transversais, gerando um Produto
Educacional.
Esta dissertao composta por uma Introduo, Captulo1, Captulo2,
Captulo 3,
Captulo 4 e pelas Consideraes Finais, alm das Referncias,
Apndices e Anexos.
Na Introduo apresentada a trajetria acadmica do professor
pesquisador e sua
inquietao que originou a questo de investigao.
O Captulo 1 contm o levantamento das teses e dissertaes
relacionadas ao tema
da pesquisa, assim como a fundamentao terica da pesquisa.
O Captulo 2 se refere ao caminho percorrido pelo professor
pesquisador em sua
busca por respostas para a questo de investigao a qual se
props.
No Captulo 3 est a descrio da proposta de atividades,
direcionando para as
contribuies que as mesmas podem oferecer.
Ao final, encontram-se as Consideraes Finais a respeito da
pesquisa, os
possveis caminhos, ou seja, as contribuies e alguns equvocos que
podem ser
verificados.
18
CAPTULO 1
UM CAMINHO AO ENSINO E APRENDIZAGEM DAS TRANSFORMAES
GEOMTRICAS NO ENSINO BSICO
O tema escolhido para este estudo a aplicao da Geometria das
Transformaes
nos anos finais do Ensino Fundamental. Sendo assim, foi
realizado um levantamento
bibliogrfico de obras cuja temtica que abarcasse a Geometria das
Transformaes, de
modo a reunir, identificar, avaliar e sintetizar resultados e
obter uma ideia precisa sobre o
estado da arte atual, suas lacunas e contribuies que a
investigao pode oferecer ao
desenvolvimento do conhecimento sobre esse tema. Com isso,
evita-se, tambm, a
duplicao de esforos na busca de respostas para uma questo j
respondida em pesquisa
anterior.
Alm disso, conforme Cardoso et al. (2010, p.7) cada investigador
analisa
minuciosamente os trabalhos dos investigadores que o precederam
e, s ento,
compreendido o testemunho que lhe foi confiado, parte equipado
para a sua prpria
aventura.
Na busca de respostas para a questo de investigao: Que
contribuies uma
proposta de atividades pode oferecer ao processo de ensino e
aprendizagem de
transformaes geomtricas de alunos do 8 ano do Ensino
Fundamental?, foi necessrio
o desenvolvimento, ou seja, a construo e implementao, de uma
proposta de atividades
sobre transformaes geomtricas dirigida aos alunos de uma turma
do 8 Ano do Ensino
Fundamental.
Assim, para constru-la, alm de um estudo sobre Transformaes
Geomtricas, foi
necessrio realizar uma pesquisa sobre o processo de
ensinoaprendizagem. Para
fundament-la, optou-se por utilizar a Teoria Histrico-cultural
de Vigotski como
embasamento terico.
Com isso, apresenta-se na sequncia:
1.1. Levantamento das produes brasileiras atuais: histria da
educao
Matemtica e Geometria das Transformaes;
1.2.As Transformaes Geomtricas;
1.2.1. Um Breve Histrico das Transformaes Geomtricas;
1.2.2.A Geometria das Transformaes nos documentos oficiais;
1.2.3.O ensino das Transformaes Geomtricas;
19
1.3.O processo de ensino-aprendizagem na direo do paradigma
histrico-cultural.
1.1 Levantamento das produes brasileiras atuais: Histria da
Educao
Matemtica e Geometria das Transformaes
Para esse tpico, foi realizado um levantamento no banco de teses
da Coordenao
de Aperfeioamento de Pessoal de Nvel Superior (CAPES), no perodo
de 01 a 08 de maio
de 2015, em busca de pesquisas relacionadas ao referido tema.
Naquele momento, estavam
disponveis dissertaes e teses apenas dos anos de 2011 e 2012,
ento se estendeu o
levantamento para o Diretrio dos Grupos de Pesquisa do CNPQ,
buscando pesquisas
realizadas de 2005 a 2015.
A pesquisa foi feita por meio de consulta parametrizada com os
seguintes termos de
busca disponveis no diretrio: Geometria das transformaes e
Histria da Educao
Matemtica. Foram encontrados 60 grupos de pesquisa relacionados
Histria da
Educao Matemtica, porm nenhum grupo sobre Geometria das
Transformaes.
Em seguida, a partir dos grupos encontrados no resultado dessa
primeira pesquisa,
foram procuradas as instituies de ensino relacionadas a cada um
deles, assim como os
programas de ps-graduao nas reas de Educao Matemtica, Educao e
Ensino de
Cincias. Dentro desses programas, encontraram-se tanto produes
(dissertaes e teses),
quanto a direcionamentos para a busca na biblioteca digital das
instituies.
Aps esse levantamento, a buscou-se, nesses bancos, pelas
seguintes palavras-
chave: Histria da Educao Matemtica, Geometria das Transformaes
e
Transformaes Geomtricas. Foram localizadas 16 produes.
No banco de teses da Capes, por sua vez, a pesquisa foi
realizada pela busca da
palavra-chave Geometria das Transformaes. Nessa pesquisa, o
professor pesquisador
descartou as dissertaes j encontradas focalizando, ento, nas
instituies ainda no
pesquisadas: a PUC-SP e o Centro Universitrio
Franciscano-UNIFRA. A partir de ento,
foi realizada uma busca por produes nos programas de Ps-Graduao
em Educao
Matemtica dessas duas instituies, tendo sido encontradas 11
dissertaes relacionadas
aos temas de Histria da Educao Matemtica e Geometria das
Transformaes.
Somando os 16 trabalhos encontrados nos grupos de pesquisa do
CNPQ com os 11
das outras duas instituies pesquisadas, totalizaram 27 produes
analisadas. A Figura 1
apresenta a distribuio dessas dissertaes e teses sobre a Histria
da Educao
20
Matemtica ou Geometria das Transformaes pelo ano em que foram
defendidas.
Figura 1- Pesquisas sobre a Histria da Educao Matemtica ou
Geometria das Transformaes
por ano
Fonte- Arquivo do pesquisador
Observa-se que entre 2010 e 2012 houve um crescimento no nmero
de pesquisas
nessa rea, pois foram defendidas 14 produes no total, ou seja,
mais de 50% do total
levantado nos ltimos 10 anos.
A Figura 2, a seguir, apresenta a distribuio das produes por
instituio.
Figura 2- Pesquisas sobre a Histria da Educao Matemtica ou
Geometria das Transformaes
por instituio.
Fonte-Arquivo do pesquisador
A partir deste levantamento foi elaborada uma tabela contendo os
seguintes dados:
21
Autor; Ttulo; Modalidade/nvel; Instituio; ano de defesa;
Orientador (a);
Propsito/pergunta/tema; Referencial terico; Metodologia; e
Resultados. A seguir, os
resultados dos referidos levantamentos sero apresentados.
Percebe-se que h uma grande concentrao de produes na regio
sudeste,
destacando-se a PUC-SP, com nove produes referentes s
Transformaes Geomtricas.
Na sequncia, as produes foram divididas em dois temas: Histria
da Educao
Matemtica e Geometria das Transformaes. A Figura 3 apresenta o
nmero de
produes em cada um dos referidos temas. E tambm a interseo
destes apenas uma
produo.
Figura 3- Nmero de produes por tema e a interseco.
Fonte-Arquivo do pesquisador
Sero apresentadas algumas referncias, uma breve descrio de cada
um dos
trabalhos encontrados relativos Geometria das Transformaes,
finalizando com o nico
trabalho que ficou na interseco dos dois temas.
1.1.1 Trabalhos relacionados Geometria das transformaes
No levantamento relacionado Geometria das Transformaes, foram
encontrados
16 trabalhos que esto categorizados de acordo com o pblico alvo
a que se dirigiram:
Ensino Fundamental II, Ensino Mdio, Ensino Superior, Formao
continuada de
professores e duas pesquisas que esto relacionadas Anlise
Bibliogrfica.
1.1.1.1 Para o Ensino Fundamental II
22
A primeira publicao se intitula Potencialidades e possibilidades
no ensino das
transformaes geomtricas no ensino fundamental, na qual Rodrigues
(2012) procurou
examinar as possibilidades e potencialidades do ensino das
Transformaes Geomtricas,
com o desenvolvimento de atividades com professoras e alunos do
Ensino Fundamental.
Antes, porm, para que as propostas fossem realizadas, Rodrigues
fez um resgate histrico
do ensino da Geometria, constatando que a introduo do tema
Geometria das
Transformaes ocorreu na poca do MMM.
As professoras participantes da pesquisa perceberam relaes entre
as
Transformaes Geomtricas e outros temas tratados usualmente em
sala de aula, alm de
destacarem o carter esttico, tendo em vista o uso de cores,
figuras e formas, como sendo
uma nova abordagem da matemtica (RODRIGUES, 2012, p. 147).
Tambm foi realizada outra proposta de atividades com uma turma
do 6 ano.
Segundo Rodrigues (2012), os alunos do 6 ano inicialmente no
reconheceram as
atividades como dotadas de contedo matemtico, pois tinham a
ideia de que a Matemtica
era um conjunto de procedimentos algortmicos. Sendo assim, a
proposta os levou a
perceber outro modo de pensar a Matemtica, o que os auxiliou em
seu desenvolvimento
no decorrer do ano letivo.
O segundo trabalho recebe o ttulo de O ensino e aprendizagem de
polgonos e de
transformaes geomtricas no plano: relacionando arte e matemtica
por meio de frisos
e dos ladrilhos. Nele, Rossi (2009) procurou analisar as
contribuies (no 7 ano) que a
utilizao dos frisos e dos ladrilhos das igrejas da Quarta Colnia
de Imigrao Italiana do
Rio Grande do Sul, juntamente com a utilizao de um programa
computacional como o
Cabri-Gomtre II, pode trazer para a construo de conceitos e
explorao das
propriedades geomtricas dos polgonos, bem como das transformaes
geomtricas no
plano.
Bilac (2008), por sua vez, realizou o terceiro estudo aqui
apresentado sob o ttulo
Possibilidades da aprendizagem de transformaes geomtricas com o
uso do Cabri-
Gomtre. (BILAC, 2008), no qual buscou apresentar uma sequncia
didtica (no 8 ano)
em que as atividades envolvendo a simetria axial e a simetria de
rotao favorecesse ao
aluno uma evoluo no desenvolvimento das noes geomtricas durante
o processo de
ensino-aprendizagem das transformaes geomtricas. Para isso,
formulou a seguinte
questo de pesquisa: em que medida os recursos e ferramentas do
softwareCabri-Gomtre
favorecem a aprendizagem das transformaes geomtricas, em
especial a simetria axial e
http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.jsp?id=K4214982P3
23
a simetria de rotao.
Por fim, Accioli (2005) trabalhou inicialmente com os 2 e 3 anos
e depois com o
6 e o 8 ano, com a finalidade de investigar as funcionalidades e
as potencialidades do
ambiente robotizado ROBOLAB ao funcionar como um micro mundo no
sentido de
possibilitar a construo de novos significados para a Simetria.
As metodologias e
referenciais tericos utilizados foram: Pesquisa-ao, Transformaes
geomtricas
(RODRIGUES, 2012); Engenharia Didtica, Ensino e aprendizagem de
geometria
(LEDERGERBER-RUOFF, 1982; ROSSI, 2009); Design Experiment,
desenvolvimento
das noes geomtricas (GRAVINA, 1996; BILAC, 2008); e Design
Experiment Piaget e
(GARCIA 1983; ACCIOLI 2005).
1.1.1.2Ensino Mdio
A primeira obra referente ao Ensino Mdio foi escrita por
Stormowski (2008) e tem
como objetivo a elaborao, implementao e reflexo sobre uma
sequncia didtica para o
estudo de matrizes a partir de transformaes geomtricas. Essa se
utilizou do referencial
de Luz (2007) e Mabushi (2000) que discutem sobre a Geometria
das Transformaes e de
Eves sobre a Histria da Matemtica. A metodologia utilizada foi a
da Engenharia
Didtica. Conclui-se que o objetivo da pesquisa foi alcanado, uma
vez que a abordagem
referente s propriedades das operaes com matrizes foi elaborada
e implementada,
propiciando a obteno das definies como ocorrido na histria da
matemtica.
O segundo estudo foi realizado por Freitas (2010), que busca
discutir e avaliar a
construo de uma THA (Trajetrias Hipotticas de Aprendizagem) a
respeito do tema
Isometrias. O referencial que discute sobre a THA Simon (1995).
Trata-se de uma
pesquisa qualitativa que envolve dois professores de Matemtica,
de duas escolas pblicas
do Estado de So Paulo, e sua atuao junto a 58 alunos da 2 srie
do Ensino Mdio.
Pode-se concluir que: (a) a elaborao de uma THA uma tarefa mais
condizente aos
pesquisadores que aos professores; (b) a utilizao de pesquisas
em Educao Matemtica
permite aos professores elaborar atividades que possibilitem aos
alunos enfrentar suas
dificuldades, porm preciso pensar em maneiras para que os
professores tenham acesso a
elas; (c) a elaborao de atividades que tenham perspectivas
construtivistas no suficiente
para que a aprendizagem ocorra segundo esse aspecto, pois a
atuao do professor tem
papel decisivo neste processo; (d) o uso de novas tecnologias
potencializa a compreenso
de conceitos, mas , ainda, uma estratgia pouco utilizada pelos
professores.
http://www.lume.ufrgs.br/browse?type=author&value=Stormowski,%20Vandoir
24
Miranda (2009) desenvolve, nessa terceira pesquisa uma
ferramenta computacional,
utilizando tcnicas de PLN (Processamento de Lnguas Naturais) e
inserindo nela
sequncias didticas no campo da Geometria das Transformaes. Na
pesquisa utilizado
como referencial a Teoria das Situaes Didticas de Guy Brousseau
e Registros de
Representao Semitica de Raymond Duval, alm da utilizao dos
princpios da
Engenharia Didtica.
Na quarta pesquisa, Salazar (2009) possui por propsito observar
como estudantes
do segundo ano do Ensino Mdio apropriam-se das transformaes
geomtricas no espao,
quando interagem com o ambiente de Geometria Dinmica Cabri 3D. A
pesquisa tem
como referencial e metodologia a Engenharia Didtica - Artigue
(1988), Abordagem
Instrumental - Rabardel (1995a), Teoria dos Registros de
Representao Semitica-Duval
(1995).
Evangelista (2011), autor do quinto estudo, procura atravs de
sua pesquisa
possibilitar que alunos de Ensino Mdio de uma escola pblica
estadual da Regio
Metropolitana de So Paulo, aplicassem e desenvolvessem o
conhecimento do objeto
matemtico Transformaes Isomtricas por meio da Rotao, Translao e
Reflexo.
Possui por referencial e metodologia respectivamente, Piaget e
Garcia (1983) e Design
Experiment. O desenvolvimento deste trabalho permitiu concluir,
aps as anlises feitas
dos protocolos das atividades propostas, que a Etnomatemtica,
com apoio do GeoGebra,
favoreceu a aprendizagem das Transformaes Isomtricas.
1.1.1.3Ensino superior
Entre as pesquisas relacionadas com o Ensino Superior, a
primeira pertence
aRamos (2012) e descreve um experimento que envolveu um grupo de
sessenta alunos do
curso de Bacharelado em Design, no qual procurou compreender o
impacto causado sobre
a capacidade cognitiva de rotao mental dos estudantes, a partir
da administrao de uma
srie de conceitos e exerccios relacionados ao tpico das
Transformaes Isomtricas. A
pesquisa tem carter quantitativo, utilizando-se de dois testes
para a anlise a posteriori: O
MRT (mental rotationtest) e TS (teste de simetria) possuem como
referencial Bastos (2007,
2009) que estuda a Geometria das Transformaes.
A segunda pesquisa pertence aRefatti (2012), que fez sua
pesquisa em uma turma
de Licenciatura em Matemtica, na qual questionou se os ambientes
de Geometria
Dinmica promovem o desenvolvimento das competncias geomtricas
dos alunos; se a
25
interao propiciada pelos softwares, auxiliaram no processo de
construo do
conhecimento relativo s transformaes geomtricas; e a maneira
como os alunos se
apropriam das ferramentas e/ou recursos do GeoGebra e do Cabri
3D na aprendizagem do
contedo de transformaes geomtricas. O referencial e a
metodologia respectivamente
que auxiliaram esta pesquisa foram a Engenharia Didtica -
Artigue (1996) e as
contribuies desta metodologia juntamente com os
softwaresGeoGebra e Cabri 3D na
compreenso do conceito de transformao geomtrica.
Os softwares, alm de auxiliarem na visualizao, ofereceram aos
alunos a
oportunidade de manipulao virtual de formas geomtricas e entes
geomtricos
(REFATTI, 2012, p.164), podendo tambm explorar propriedades
contidas nos
movimentos de translao, reflexo e rotao.
1.1.1.4Pblico alvo os professores
Nesse ponto se encontram trs pesquisas, que so Neves (2011),
Medeiros (2012) e
Medeiros (2011).Apesar de se enquadrarem nesta categoria, as
aplicaes so bastante
distintas, pois, Neves (2011) utiliza-se Caleidoscpio para
professores formados e em
formao, Medeiros (2012) do software GeoGebra enquanto Medeiros
(2011) faz sua
pesquisa em curso de formao continuada a distncia.
Sendo assim, Neves (2011) realiza um estudo qualitativo segundo
Bogdan&Biklen
(1994) (Caleidoscpio com professores formados e em formao).
Elaborou uma proposta
de ensino baseada na metodologia de Resoluo de Problemas,
promovendo atividade a
fim de fazer com que os alunos usassem o caleidoscpio para
reproduzir ornamentos
planos e, a partir de ento, discutissem, com base em argumentos
geomtricos e algbricos,
quais as possibilidades (e impossibilidades) que esse
instrumento oferece para obteno
desses ornamentos e suas respectivas justificativas.
Medeiros (2012), por sua vez, teve por alvo a formao continuada
a distncia e
teve por referencial terica Construo do conhecimento (Vygotsky);
pensamento
matemtico (Duval), tecnologia e aprendizagem da matemtica
(Balachef;Gravina),
possuindo como concepo, implementao e validao uma proposta para
o ensino de
transformaes geomtricas.
26
1.1.1.5Anlise Bibliogrfica
No grupo de pesquisas relacionadas anlise bibliogrfica,Sousa
(2008) busca
respostas na Histria da Matemtica com referncias em Boyer
(1993); Eves (2004), j
Lino (2014) utiliza-se do referencial na noo de quadro
evidenciado de Douady
Rogalski eRegistros de Representao Semitica - Duval, baseando-se
em documentos de
domnio cientfico tais como livros, artigos, dissertaes e teses
que tratavam do objeto de
estudo. Concluiu que foi possvel descobrir um lado da Histria da
Matemtica, inserida
por Felix Klein, que sempre muito atual, afinal, a humanidade
tem uma ligao muito
grande com o assunto simetria, podemos ver isso claramente nas
gravuras antigas como
tambm nas atuais e nas grandes construes.
O segundo estudo pertence a Lino (2014), que realizou sua
pesquisa a fim de
propiciar um caminho para o ensino-aprendizagem da Geometria das
Transformaes.
Concluiu que o estudo contribuiu para o alcance do objetivo uma
vez que nos permitiu
olhar as transformaes geomtricas e apresent-las em um estudo
desde as sries
iniciais com dobraduras at o ensino superior abordando-as no
quadro da lgebra, no
quadro da Geometria Analtica e no quadro da Geometria.
1.1.2Histria da Educao Matemtica e Geometria das
Transformaes
A interseo dos temas foi encontrada apenas no Trabalho de Luz
(2007), no qual
abordado um estudo focado no ensino das Transformaes Geomtricas
com base na
anlise de exerccios propostos em livros didticos publicados no
estado de So Paulo, a
partir dos anos 60, poca na qual se iniciava o Movimento da
Matemtica Moderna o
estudo caminhou da seguinte maneira:
Inicialmente, procedemos a um estudo da organizao matemtica
relativa a transformaes geomtricas, estudo no qual so examinadas
as
simetrias presentes em elementos da natureza e das artes, as
definies
das principais transformaes que fazem parte do programa do
Ensino
Fundamental, alm da identificao de elementos histricos
relacionados
ao desenvolvimento da geometria. Em seguida, passamos ao estudo
da
organizao didtica, no qual se averiguaram pesquisas sobre ensino
e
aprendizagem de isometrias, textos oficiais como Guias, Proposta
e
Parmetros Curriculares, alm de alguns aspectos do movimento
de
reforma da Matemtica Moderna no Brasil, e sua relao com o
mesmo
movimento nos Estados Unidos e na Frana. A anlise dos livros foi
feita
a partir do agrupamento dos exerccios em tipos de tarefas,
qualificao
27
essa utilizada tanto para a identificao da tcnica de resoluo,
como
para a distino da tecnologia apropriada justificao da primeira.
Em
seguida, efetuamos um estudo do conjunto dos exerccios
propostos, no
qual se encaminhou o cumprimento do acima exposto, como
objetivos da
anlise desenvolvida (LUZ, 2007, p.10).
Para o desenvolvimento do referido estudo a autora apoiou-se na
teoria
Antropolgica do didtico, de Yves Chervallard, alm da Histria das
Disciplinas
Escolares de Andre Chervel.
A autora concluiu que os problemas relacionados ao ensino das
Transformaes
Geomtricas no perodo estudado no foram resolvidos. Luz (2010)
acredita que estes
problemas, no foram solucionados devido a dois fatores
relevantes: o primeiro
corresponde reforma da Matemtica Moderna, no qual enfatizou
essas estruturas
matemticas, porm verificou que nas obras referidas a Geometria
das Transformaes no
teve visibilidade. O segundo fator se refere aos Parmetros
Curriculares Nacionais que
determinaram a relao de isometrias e homotetias com nveis
superiores de determinao
matemtica, que no vigoraram devido ausncia de aparatos
tecnolgicos.
1.2. As Transformaes Geomtricas
1.2.1. Um Breve Histrico das Transformaes Geomtricas
A Geometria das Transformaes teve seus primeiros passos no
perodo do
renascimento. Segundo Mabushi (2000), os arquitetos se
interessaram pela representao
plana de figuras espaciais a partir do ponto de vista constitudo
pelo prprio olho.
Desenvolveram o estudo da projeo central, ainda chamada de
projeo cnica, e, em
particular, a noo de ponto de fuga.
No sculo XV, surgiram alguns elementos de perspectivas. A relao
entre a arte e
a Matemtica tambm era forte na obra de Leonardo da Vinci
(1452-1519), e a mesma
combinao de interesses artsticos e matemticos se encontra em
Albrecht Durer (1471-
1528), na Alemanha. As noes renascentistas sobre perspectiva
matemtica seriam
expandidas mais tarde para um ramo da geometria. A preocupao dos
pintores e artistas
em representar objetos do espao fez surgir a ideia de projees
centrais e paralelas e,
consequentemente, aparecerem as noes de geometria projetiva e de
descritiva,
importante na gnese do conceito de transformaes.
28
Um personagem importante na histria da Geometria das
Transformaes e, de
certa forma, tambm do MMM foi o Matemtico Alemo Felix Christian
Klein (1849-
1925), que impressionado com as possibilidades unificadoras do
conceito de grupo,
dedicou-se a desenvolver, aplicar e popularizar tal
conhecimento.
Numa aula inaugural em 1872, quando se tornou professor na
Universidade de
Erlangen, mostrou como o conceito de grupo podia ser aplicado
para caracterizar as
diferentes geometrias elaboradas at o sculo XIX, na conferncia
que ficou conhecida
como Programa de Erlanger. Com relao ao MMM, pode-se verificar
que nas dcadas de
30 e 40 do sculo XX, em Nancy (Frana), o grupo Bourbaki buscou a
unificao da
Matemtica em estruturas gigantescas, a algbrica e a topolgica,
unidas pela estrutura de
espao vetorial. Nesse contexto, pensou-se em reformular o ensino
de Matemtica na
escola pr-universitria, tendo como objetivo a modernizao, pela
reformulao dos
contedos a serem abordados, aliando-se ao tipo de Matemtica
ensinada na universidade
(VIANA, 2004).
Segundo o estudo de Viana (2004) a atualizao do currculo da
Matemtica
decorreu das ideias do matemtico Felix Klein no incio do sculo
XX, que sentia
necessidades de reforma do ensino de Matemtica, o que de fato
ocorreu aps as duas
guerras, na dcada 50 do mesmo sculo. Da ideia de atualizao
passou-se de
modernizao. Este esforo gerou um movimento que ficou conhecido
como o Movimento
de Matemtica Moderna (MMM). Segundo Matos (2006),
Designa-se por Matemtica Moderna uma reforma curricular que
ocorre
um pouco por todo o mundo entre a segunda metade dos anos 50 e
a
primeira metade dos anos 70 do sculo passado. Trata-se de um
movimento procurando renovar fundamentalmente o ensino da
Matemtica. Um seu trao marcante a preocupao com uma renovao
dos contedos, adotando grandes eixos organizadores do currculo,
que
vai ser centrado em grandes estruturas que na poca se pensava
estarem
na base de toda a matemtica conhecida (MATOS, 2006, s/p grifos
do
autor).
Nos EUA,de onde vieram importantes contribuies para a difuso do
MMM na
Amrica Latina, principalmente com financiamento dos projetos
relacionados
implementao da Matemtica Moderna, a reforma do currculo de
Matemtica comeou a
ser feita em 1952, pela Comisso de Matemtica Escolar da
Universidade de Illinois,
presidida pelo professor Max Beberman (VIANA, 2004).
Mas Viana (2004) afirma que os EUA contriburam financeiramente
com esse
movimento e os europeus com a ideologia. Nesse direcionamento,
Matos (2006)
29
argumenta que:
A origem das ideias essencialmente europeia (francfona,
espanhola ou
italiana) e apenas Gonalves refere materiais anglo-saxnicos como
uma
via alternativa. Contrariamente ao que por vezes referido,
nenhum
destes autores menciona a rivalidade com os pases de Leste ou
o
lanamento do Sputnik como motivao para os seus trabalhos.
Todos
procuram melhorar o ensino da matemtica como condio essencial
de
progresso do pas, quer de aproximao a outros pases europeus,
quer
como fator de desenvolvimento econmico, social e cultural
(MATOS,
2006, s/p).
No entanto, segundo Viana (2004) as propostas no eram uniformes,
pois:
O grupo francs, por exemplo, preconizou lgebra Linear desde o
antigo
curso ginasial. J o belga insistiu nas transformaes geomtricas.
Nos
EUA destacou-se o School Mathematics Study Group (SMSG),
cuja
proposta eram contedos tradicionais acrescidos de outros,
como
conjunto, mudana de base, estudo de congruncias,
desigualdades,
matrizes, lgica simblica, lgebra de Boole, grupo, anel corpo.
J
Zoltan P. Dienes (ingls, professor da Universidade de
Sherbrook,
Canad, no perodo) enfatizou o uso de material concreto e
transformaes em planos finitos e estruturas algbricas (VIANA,
2004,
p.31).
Ainda segundo Viana (2004), ocorreu influncias nos contedos, com
valorizao
de sentenas matemticas na resoluo de problemas e da lgebra em
detrimento da
Geometria. Muitos professores, no dominando os novos contedos,
repetiam o que
continham os livros-textos. No abordaram a Geometria de
Transformaes e na
Euclidiana, ocasionando o chamado abandono da geometria.
1.2.2 Transformaes Geomtricas
Nesta seo dada uma breve introduo s transformaes geomtricas e
em
especial s isometrias no plano, isto , translaes, reflexes e
rotaes. Consistir na
apresentao das definies com ilustraes e no demonstraes de
teoremas relativos ao
tema, pois no objetivo deste trabalho realizar um estudo
completo sobre as
transformaes geomtricas.
As transformaes geomtricas foram estudadas por um matemtico
alemo, que
com apenas 23 anos de idade, foi aprovado para ser professor
titular da Universidade de
Erlangen. Este foi Felix Christian Klein com um trabalho que
interligava a teoria dos
grupos com a geometria, unificando a definio da mesma. Tal
trabalho resultou de uma
30
pesquisa em teoria dos grupos desenvolvida por ele e Sophus Lie.
Apresentou uma
classificao das geometrias de acordo com seus grupos de
transformaes (isometrias,
similitudes, inverses etc.). Assim, estabeleceu a chamada Diviso
Kleiniana das
Geometrias, unificando o conceito de geometria. Este trabalho
ficou conhecido como
Programa de Erlangen.
Assim, como esse trabalho envolve o estudo das transformaes
geomtricas de
figuras planas, ser apresentada uma ideia inicial sobre como
Klein as utilizou para
construir a chamada Diviso Kleiniana das Geometrias. Para isso,
so apresentadas as
definies de grupo e de grupos transformaes para adentrar nas
transformaes que so
abordadas nesta dissertao.
Um grupo G um conjunto G, dotado de uma operao tal que
i) e G, tal que eg = g e = gg G;
ii) Para cada g G, existe um g-1
G, tal que g g-1
= g-1g = e
iii) associativo, a, b. c G a (b c) = (a b) c
Quanto s transformaes geomtricas, de um modo prtico, uma
Transformao
Geomtrica uma aplicao bijetora entre duas figuras geomtricas, no
mesmo plano ou
em planos diferentes, de modo que, a partir de uma figura
geomtrica original, se forma
outra geometricamente igual ou semelhante primeira.
Formalmente, seja S um conjunto no vazio. Uma transformao de S
uma funo
bijetora t: S > S.
Uma isometria uma transformao T: R> R2
tal que d(t(x), T (y)) = d(x, y).
d= distncia
Translaes, reflexes e rotaes so exemplos de isometrias, isto ,
so
transformaes que preservam as distncias entre pontos e as
amplitudes dos ngulos,
convertendo as figuras originais noutras figuras geometricamente
iguais. Por isso, figuras
obtidas a partir de isometrias so ditas congruentes.
Mas nem todas as transformaes geomtricas do plano preservam
distncias.
Neste caso, as figuras tm a mesma forma, porm com dimenses
diferentes, sendo assim,
as figuras so semelhantes. Em termos matemticos, duas figuras no
plano so semelhantes
quando uma a imagem da outra por meio de uma transformao de
semelhana do plano.
31
Uma transformao de semelhana uma transformao T: R2>R
2 tal que d(t(x),
T(y)) = k d(x, y), para algum k > 0. Se k > 1 chamamos de
dilatao, se 0 < k < 1, a
chamamos de contrao. Se k = 1 tem-se uma isometria. Assim,
enquanto as isometrias
preservam distncia, nas semelhanas as distncias so
proporcionais.
Se P e Q so dois pontos da figura original cuja distncia dada
por PQ e se os
pontos, P' e Q' so, respectivamente, os pontos obtidos a partir
de P e Q, por uma
transformao de semelhana, temos que a distncia P'Q' igual a k
(PQ), para algum
nmero positivo k, isto , a distncia de P' a Q' igual a k vezes a
distncia de P a Q. Se a
constante k igual a 1, esta transformao preserva as distncias e
uma isometria.
Retornando ao conjunto S, o conjunto de todas as transformaes de
S, dotado da
operao de composio, constitui um grupo. Tal grupo, assim como os
seus subgrupos,
so genericamente chamados de grupos de transformaes de S.
Exemplos
1) S = R2 , G = Grupo das isometrias. Seu elemento neutro a
identidade.
2) S = R2, G = Grupo das semelhanas.
A cada grupo de transformao correspondia uma das geometrias
existentes poca
de Klein: a Geometria Hiperblica, a Geometria Euclidiana e as
demais.
Retornando ao tema deste trabalho e ao seu objetivo dirigido
aprendizagem de
alunos do 8 ano do Ensino Fundamental, de modo prtico,
considerando que uma
Transformao Geomtrica uma aplicao bijetora entre duas figuras
geomtricas, no
mesmo plano ou em planos diferentes, de modo que, a partir de
uma figura geomtrica
original se forma outra geometricamente igual ou semelhante
primeira (BILAC, 2007).
Como o estudo da congruncia de figuras planas o que compe o
currculo do 8
ano do ensino fundamental, aqui sero tratadas somente as
isometrias.
Numa linguagem coloquial, Medeiros (2012) considera isometrias
as
transformaes geomtricas que mudam a figura de lugar, mas mantm
distncias,
ngulos e reas.
Luz (2007) define isometrias da seguinte maneira:
Uma isometria F uma aplicao do plano nele mesmo tal que,
dados
dois pontos quaisquer, P e Q, do plano, a distncia entre P e Q
igual
distncia entre suas imagens. Um ponto P no plano invariante por
uma
isometria F se F(P) = P. Da mesma forma, um subconjunto A do
plano
invariante por uma simetria F se F(A) = A (LUZ, 2007, p.29)
Com isso, pertencem categoria isometria todos os movimentos que
conservam a
32
distncia e a posio relativa entre pontos, isto , translaes,
reflexes e rotaes.
Translao
A translao o tipo mais simples de isometria. como se uma figura
deslizasse
sobre o plano em uma linha reta, em qualquer direo, tomando o
cuidando para que no
gire. Com isso, os pontos se movem ao longo de linhas paralelas
formando a imagem da
figura original. Todos os pontos da figura obtida por translao
so equidistantes da figura
original, ou seja, possui a mesma magnitude (RAMOS, 2012).
A Figura 4 seguir ilustra a translao de uma figura
poligonal.
Figura 4 - Exemplo de translao
Fonte: Ramos, 2012, p.78.
Formalmente, se, num dado sistema de eixos ortogonais, as
coordenadas de um
vetor v so (, ), ento, para cada ponto P = (x, y) tem-se T (P) =
( X+ , y + ).
A translao Tv transforma toda figura F de pontos P = (x, y) numa
figura Tv (F) =
F, cujos pontos P + v so obtidos transladando-se os pontos P de
F pelo mesmo vetor v.
Em particular, uma reta r transformada na reta Tv(r) = r + v =
{P + v; Pr } que paralela
a v. Um sistema de eixos ortogonais OX e OY transformado por
Tvno sistema OXY,
cujos eixos so paralelos aos eixos coordenados, e tm o mesmo
sentido deles.
Reflexo
Numa reflexo, cada ponto da figura original e o correspondente
da figura refletida
esto sobre uma reta perpendicular ao eixo de reflexo e a igual
distncia desse eixo.
Na prtica, faz-se a reflexo de uma figura em relao a uma reta
dobrando ao
longo dessa reta a folha de papel onde est gravada a figura.
Cada ponto da figura obtida
o simtrico de cada ponto da figura original, conforme ilustrado
na Figura 5 a seguir.
33
Figura 5 - Reflexo de uma figura
Fonte: adaptado de LIMA, 2002.
Segundo Lima (2002),
O ponto P chama-se o simtrico do ponto P em relao reta r quando
r
a mediatriz do segmento P P. Se P pertence a r, diremos que
seu
simtrico em relao a r ele prprio. Evidentemente, se P o
simtrico
de P relativamente a r ento, reciprocamente, P o simtrico de
P
relativamente mesma reta r. (LIMA, 2002,p.150).
Formalmente, podemos entender uma reflexo em torno de uma reta
r, como uma
transformao T que faz corresponder a cada ponto P do plano o
ponto P = T (P),
simtrico de P em relao ar. (LIMA, 2002).
Rotao
Numa rotao a figura resultante (imagem) obtida de uma figura que
foi girada
em torno de um ponto fixo (o centro da rotao) e todos os outros
pontos sofreram
deslocaes ao longo de ngulos de certa amplitude. A rotao ser
positiva se o giro forno
sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio, e negativa, se for
ao mesmo sentido dos
ponteiros dos relgios. Exemplos de rotaes so dados por uma roda
gigante que gira em
torno de um eixo a uma distncia constante; o movimento dos
ponteiros de um relgio, de
um moinho de vento, de bssolas ou de um volante de carro. Um
exemplo dado na
Figura 6a seguir.
34
Figura 6 Moinho de vento
Fonte: Reproduo.
A rotao abordada por Lima (2002)da seguinte maneira: uma rotao
de centro
O e ngulo alfa, em um sistema de eixos ortogonais no plano OXY,
transforma o ponto P =
(x, y) no ponto P = (x , y ) segundo a frmula:
P = x cos y sen, y1 = x sen + y cos , conforme ilustrao na
Figura 7 a
seguir.
Figura 7 - Rotao de centro O e ngulo alfa, no plano OXY
Fonte: Lima, 2002, p. 145.
Lima (2002) ainda destaca o caso de rotao de uma partcula, de
180 em torno do
centro O (origem). Nesse caso, um ponto P = (x, y) tem como
imagem o ponto P = (x , y).
Independentemente do ponto P, o ponto O ponto mdio do segmento
PP. Ainda mais,
pode-se dizer que essa rotao coincide com a reflexo central de
centro O.
Ramos (2012)descreve uma rotao no plano R2como uma operao de
simetria em
35
torno de um ponto predeterminado (centro ou piv) da maneira
seguinte:
Todos os pontos da figura giram em torno de um ponto fixo em
idntico
valor em graus. O intervalo entre a figura original e sua
imagem
rotacionada, valorada em graus (ngulo da rotao), determina o
valor da
rotao. Caso se d no sentido anti-horrio, o valor da rotao
descrita
por ngulos positivos, enquanto deslocamentos rotacionais que
se
desenvolvam no sentido horrio, assumem valores negativos
(RAMOS,
2012, p.80).
Na Figura 8 possvel visualizar no desenho (a) a rotao de um
ponto de centro C
e ngulo e no (b) a rotao da figura F de centro C.
Figura 8 - (a) Rotao de centro C e ngulo de um ponto C.(b) Rotao
de centro C de uma figura
Fonte: Ramos, 2012, p.80.
1.2.3. A Geometria das Transformaes nos documentos oficiais
O ensino de Geometria no Brasil, segundo Bilac (2008), pode-se
dividir em trs
perodos: entre os anos de 1955-1965, em que se destaca a
aprendizagem da nomenclatura
de linhas e figuras, o clculo de permetros, reas e volumes
(BILAC,2008 p.14). Entre
os anos de 1966-1975, quando o ensino foi influenciado pelo
Movimento da Matemtica
Moderna, ocasionando uma diminuio no estudo da geometria que
enfocava pontos, retas
e planos com foco na teoria dos conjuntos. Entre os anos de
1976-1998, onde surge
interesse pelo resgate da geometria, dando origem ao
desenvolvimento dos Parmetros
Curriculares Nacionais (PCN).
Como citado anteriormente, no terceiro perodo (1976-1998), os
PCN foram se
desenvolvendo e a geometria foi resgatada. Este resgate,
focando-se na Geometria das
36
Transformaes, pode ser verificado em alguns recortes dos PCN,
que tem um dos
objetivos:
[...] produzir e analisar transformaes e ampliaes/redues de
figuras
geomtricas planas, identificando seus elementos variantes e
invariantes,
desenvolvendo o conceito de congruncia e semelhana; ampliar
e
aprofundar noes geomtricas como incidncia, paralelismo,
perpendicularismo e ngulo para estabelecer relaes, inclusive
as
mtricas, em figuras bidimensionais e tridimensionais (BRASIL,
1998, p.
82).
Em relao seleo de contedo, os PCN destacam a importncia das
transformaes geomtricas, a fim de desenvolver habilidades de
percepo espacial e
induo de forma experimental descoberta, alm disso, fundamental
que os estudos
sejam realizados a partir de objetos do mundo fsico, de obras de
arte, pinturas, desenhos,
esculturas e artesanato, de modo que permita ao aluno
estabelecer conexes entre a
Matemtica e outras reas do conhecimento (BRASIL, 1998,
p.48).
As orientaes dos PCN esto de acordo com o trabalho que ser
desenvolvido,
pois o estudo das Transformaes isomtricas (transformaes do plano
euclidiano que
conservam comprimentos, ngulos e ordem de pontos alinhados) um
excelente ponto de
partida para a construo das noes de congruncia (BRASIL, 1998
p.124).
1.2.4 O ensino da Geometria das Transformaes
No Ensino Fundamental as transformaes geomtricas estudadas se
resumem a
isometrias (com destaque para as simetrias) e homotetias.
Segundo Bastos (2007) na Educao Bsica existe uma discusso sobre
o ensino-
aprendizagem das transformaes geomtricas. De uma maneira geral,
essa discusso
envolve as isometrias, as translaes as rotaes, as reflexes e
todas as suas composies.
No entanto, quando se aborda o conceito de semelhana no ensino
bsico, raramente se
trabalha o tema encaixado no das transformaes geomtricas do
plano ou do espao.
Normalmente, limita-se a ensinar figuras semelhantes, em
especial tringulos (lados
proporcionais e ngulos congruentes) e utilizar isto em exerccios
e problemas (BASTOS,
2007).
Com relao ao enfoque desses contedos, Alves (2005) explica ser
possvel lanar
mo de ferramentas que do suporte pedaggico ao
ensino-aprendizagem de alguns
37
conceitos matemticos ligados Geometria, sugerindo associar seu
estudo arte, pois com
isso desenvolvem-se habilidades de percepo e de visualizao dos
conceitos
geomtricos. Alm disso, afirma ser necessrio utilizar diferentes
contextualizaes, pois
no processo de ensino-aprendizagem um conceito no pode
simplesmente
ser reduzido sua definio, e atravs da contextualizao por meio
de
diferentes atividades e situaes-problemas que ele adquire um
significado para o aprendiz (ALVES, 2005, p. 57).
Num levantamento bibliogrfico foram encontradas dissertaes e
teses envolvendo
as transformaes geomtricas, o que confere importncia a este
tema. A seguir,
apresentam-se como resultado de tal levantamento algumas produes
brasileiras.
1.3. O processo de ensino-aprendizagem na direo da Teoria
Histrico-Cultural
Aps anlise do levantamento bibliogrfico das pesquisas
brasileiras, citadas
anteriormente concluiu-se que os materiais manipulveis e
softwares matemticos
poderiam auxiliar no processo de ensino aprendizagem das
Transformaes Geomtricas.
Sendo assim, aps leituras sobre esses tipos de recursos de
didticos e aliando ao tema da
pesquisa, as Transformaes Geomtricas, optou-se por utilizar
nesta pesquisa os materiais
manipulveis: dobraduras, Geoplano, rgua e compasso e o software
GeoGebra.
Tais recursos didticos sero descritos a seguir, e logo aps
apresenta-se um breve
resumo da Teoria Histrico-Cultural de Vigostski, escolhida para
dar fundamentao
terica ao processo de ensino-aprendizagem, no qual os referidos
recursos didticos
auxiliaro na mediao.
Os materiais manipulveis
Os materiais didticos manipulveis podem ser ferramentas teis ao
processo de
ensino-aprendizagem de matemtica e nesta pesquisa foram
utilizados os materiais
didticos manipulveis: Geoplano, dobraduras, rgua e
transferidor.
De fato, os materiais podem tornar as aulas de Matemtica mais
dinmicas e
compreensveis, uma vez que permitem a aproximao entre a teoria
matemtica e a
constatao na prtica, por meio da ao manipulativa. Porm, no basta
que o professor
disponha de um bom material didtico para que garantir uma
aprendizagem significativa.
38
Mais importante do que isso saber utiliz-los corretamente em
sala de aula
(RODRIGUES;GAZIRE, 2012; LORENZATO, 2006).
De acordo com Leandro (2016), os materiais manipulveis e
concretos possuem
relevncia especialmente no ensino de geometria, pois deve
basear-se na experimentao
e na manipulao, privilegiando o desenvolvimento da capacidade de
visualizao
espacial (LEANDRO, 2016, p.1). Fiorentini e Miorim (1990)
destacam que embora os
professores possuam grande interesse por materiais didticos e
jogos, necessrio destacar
contextos nos quais esses materiais esto inseridos.
Por vezes, os professores no conseguindo alcanar resultados
satisfatrios na
aprendizagem de seus alunos e ainda no repensando suas prticas
pedaggicas, procuram
por novas informaes que possam auxili-los na melhora deste
quadro. Essas novas
informaes, por muitas vezes, so entendidas como meras receitas
de como ensinar, o que
um equvoco. Quanto a isso, Rodrigues e Gazire (2012) explicam
sobre a atuao do
professor perante os materiais:
[o material] dever atuar como um mediador na construo do
conhecimento matemtico, orientando o aluno a realizar uma ao
reflexiva sobre o seu objeto de estudo durante a atividade
experimental.
Nesse caso, a eficincia do material didtico manipulvel no
processo de
ensino aprendizagem, depende mais da forma como o professor
ir
utiliz-lo no momento em que est a mediar uma atividade com
este
material, do que simplesmente considerar o uso pelo uso
(RODRIGUES;
GAZIRE, 2012, p.195).
Quanto ao geoplano, esse pode ser explorado por diversos
contedos matemticos
ligados Aritmtica, lgebra, Trigonometria e Geometria (plana e
analtica). Sendo assim,
ele entra como recurso nas aulas de matemtica, onde o professor
pode fazer conjecturas, a
fim de gerar um conhecimento, fazendo com que o aluno possa
trabalhar, em diversos
contextos, o mesmo contedo (BARROS, 2015, p.2).
Existem diversos tipos de Geoplano, diferenciados pela malha
utilizada, que podem
ser triangular, oval, circular, quadrada entre outros. Nesta
pesquisa, optou-se por utilizar o
mais simples, isto , o deforma quadrada.
De acordo com Gelsa Knijnik (2004), o [geoplano] foi criado pelo
professor Dr.
Caleb Gattegno, do Institute of Education, London University, em
1961. A partir desse,
muitos outros pesquisadores em Educao Matemtica passaram a
utilizar o Geoplano no
ensino de Geometria e no ensino de fraes, dentre outros.
De acordo com Machado (1993), o
39
Geoplano um recurso didtico-pedaggico, dinmico e
manipulativo
(construir, movimentar e desfazer). Contribui para explorar
problemas
geomtricos e algbricos, possibilitando a aferio de conjecturas
e
podendo-se registrar o trabalho em papel quadriculado. Alm
disso, o
Geoplano facilita desenvolvimento das habilidades de explorao
plana,
comparao, relao, discriminao, sequncia envolvendo conceitos
de
fraes e suas operaes, simetria, reflexo, rotao e translao,
permetro, rea. O Geoplano um meio, uma ajuda didtica, que
oferece
apoio representao mental e uma etapa para o caminho da
abstrao,
proporcionando uma experincia geomtrica aos participantes
(MACHADO, 1993, p.1).
O Geoplano pode ser encontrado em diversos modelos. A malha mais
comum a
quadriculada. Existem, porm, outros tipos de malhas: a
trelissada, a circular e a oval,
dentre outras, conforme Figura 9 a seguir:
Figura 9: Modelos de Geoplano.
Fonte: Machado (1993, p.2)
O software GeoGebra
O computador uma ferramenta que pode auxiliar na aprendizagem
dos alunos,
pois carrega consigo vrias possibilidades de explorao e
experimentao, muitas vezes
40
difceis ou at mesmo impossveis de serem realizadas somente com o
uso de rgua e
compasso. Com o grande avano tecnolgico, os aplicativos e
softwares esto cada vez
mais inseridos no cotidiano dos estudantes, assim como no
interior das escolas, e so
importantes ferramentas para o ensino-aprendizagem.
Porm, muitas escolas o utilizam inadequadamente ou ainda no
dispem dessa
tecnologia, principalmente as de ensino pblico. Como esta
pesquisa foi realizada em uma
escola da rede privada de ensino, que possui sala de informtica
com vrios computadores,
alm de datashow e lousa digital, foi vivel a utilizao de um
software de geometria
dinmica.
Segundo Silva (2008), os softwares de Geometria Dinmica so
aqueles com os
quais se pode construir e manipular objetos geomtricos na tela
do computador. O que
diferencia um software de Geometria Dinmica dos demais a
possibilidade de arrastar
a figura construda utilizando o mouse. Esse procedimento permite
a transformao da
figura em tempo real(SILVA, 2008, p.5).
Devido natureza indutiva do SGD [software de geometria
dinmica],
novas possibilidades experimentais e tericas podem ser
exploradas, uma
vez que com esta tecnologia a elaborao de conjecturas e suas
respectivas justificativas podem ser favorecidas. Desse modo,
possvel
estabelecer uma importante discusso acerca das possibilidades
da
incluso de SGD no contexto educacional em seus diferentes
nveis
(SANTOS, 2006, p.33).
Com isso, e em concordncia ao referencial terico, o
professor-pesquisador
empregou em parte da proposta de atividades o software GeoGebra,
pois esse software, de
geometria dinmica, pode ser acessado gratuitamente no link
https://www.geogebra.org/, e
o download pode ser realizado neste mesmo site.
O GeoGebra teve sua origem em 2001, como tese de doutorado de
Markus
Hohenwarter, na Universidade de Salzburg ustria, e tem
prosseguido seu
desenvolvimento na Florida Athantic University.
Atualmente existem Organizaes para o desenvolvimento do software
GeoGebra
em vrios pases. Esses realizam Congressos anuais do GeoGebra,
inclusive no Brasil.
A Teoria Histrico-Cultural
O processo de ensino-aprendizagem concebido de acordo com as
correntes
filosficas, psicolgicas e pedaggicas assumidas. Nessa dissertao,
considera-se este
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Markus_Hohenwarter&action=edit&redlink=1https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Markus_Hohenwarter&action=edit&redlink=1
41
processo fundamentado na Teoria Histrico cultural segundo seu
fundador L. Seminovich
Vigotski. Os meios de ensino so considerados como tecnologias
educacionais.
Considerou-se o papel, o lpis, instrumentos de desenho,
dobraduras, o Geoplano e o
software GeoGebra. Estes ltimos sero contemplados com uma
seo.
Segundo Viana (2002), fundamentada em Shuare (1990), o paradigma
Histrico
Cultural da psicologia devido em primeiro lugar a Vigotski, j
que ele conseguiu
formular uma nova cincia do desenvolvimento psquico denominado
enfoque histrico -
cultural do psiquismo humano a partir de sua concepo
materialista dialtica e histrica.
Pois, de acordo com Shuare (1990), Vigotski foi o primeiro a
aplicar criativamente o
materialismo dialtico e histrico cincia psicolgica, provocando
uma verdadeira
revoluo copernicana na psicologia.
Shuare (1990) explica que as investigaes de Vigotski partiam das
hipteses: as
funes psquicas do homem so de carter mediatizado e os processos
interiores
intelectuais provm de uma atividade inicialmente exterior,
interpsicolgica que ocorre no
plano social entre pessoas e depois, no plano psicolgico como
funo individual, como
funo intrapsicolgica. Shuare (1990, p.66) explica que para
Vigotski a
interiorizaono uma simples passagem da funo do exterior para o
interior, mas
implica na transformao da estrutura da funo, a constituio da
prpria funo
psicolgica superior.
Duarte (1996), afirma que
Podemos dizer que o processo de desenvolvimento psquico dos
indivduos, sendo tambm histrico-social, no um pressuposto
natural
do processo de ensino-aprendizagem escolar, mas sim um produto
social,
um produto das atividades do indivduo (DUARTE, 1996, p.46).
Segundo Viana (2013), para Vigotski a aprendizagem uma atividade
social, e no
s um processo de realizao individual como se pensava. Alm disso,
de acordo com
Leontiev (1978),
Devemos sublinhar que esse processo [de apropriao do
conhecimento]
sempre ativo do ponto de vista do homem. Para se apropriar dos
objetos
ou dos fenmenos que so o produto do desenvolvimento
histrico,
necessrio desenvolver em relao a eles uma atividade que
reproduza,
pela sua forma, os traos essenciais da atividade acumulada no
objeto
(LEONTIEV, 1978, p.268).
Para La Taille (1992, p.24),as concepes de Vigotski sobre o
funcionamento do
crebro humano fundamentam-se em sua ideia de que as funes
psicolgicas superiores
42
so construdas ao longo da histria social do homem. Assim, as
funes psicolgicas
especificamente humanas se originam nas relaes do indivduo e seu
contexto cultural e
social (REGO 1999, p.41).
Com isso, de acordo com Rego (1999, p.61), para Vigotski, o
desenvolvimento do
sujeito humano se d a partir das constantes interaes com o meio
social em que vive, j
que as formas psicolgicas mais sofisticadas emergem da vida
social. Assim, o
desenvolvimento do psiquismo sempre mediado por outro (escola,
colegas, pessoas do
seu grupo cultural),que indica, delimita e atribui significados
realidade. Com isso, a
modificao da estrutura do conhecimento do indivduo se d atravs
de atividades de
interao em ambientes familiares, escola, dentre outros (VIANA,
2013).
Viana (2013, p.17) elaborou um breve resumo das ideias de
Vigotski:
As funes psicolgicas tm um suporte biolgico, pois so frutos
da
atividade cerebral. - O funcionamento psicolgico fundamenta-se
nas
relaes sociais entre o indivduo e o mundo exterior, que se
desenvolvem num processo histrico. - A relao homem-mundo uma
relao mediada por sistemas simblicos1.
De acordo com Oliveira (1992, p.24) o entendimento de Vigotski
sobre o
funcionamento do crebro, est ligado ideia de que as funes
psicolgicas superiores
so construdas ao longo da vida social do homem. Sendo assim, a
relao do homem
com o mundo, mediada de instrumentos e smbolos, oriundos de sua
cultura, que formam
aes distintas de outros animais. A mediao uma ideia central para
compreender as
concepes de Vigotski, sobre o desenvolvimento humano como
processo scio-histrico-
cultural.
Para Moyss (2012, p 23) assim como Marx concebeu o instrumento
mediatizando
a atividade laboral do homem, Vigotski concebeu a noo de que o
signo instrumento
psicolgico por excelncia estaria mediatizando no s o seu
pensamento, como o
prprio processo social humano.
Para Hila (2010, p.562) os instrumentos podem ser
materiais/fsicos ou simblicos
(os signos e os sistemas de signos) como a linguagem, a escrita,
as obras de artes, os
esquemas, os vrios sistemas de clculo, os mapas.
Neste sentido, sobre os instrumentos, entende-se que a atividade
do indivduo sobre
o objeto no direta, e sim mediada e tripolar. Pensando na relao
ensino-aprendizagem,
devemos olhar sobre: (a) o trabalho do professor; (b) sobre o
trabalho do aluno; e (c) sobre
1Por exemplo, a linguagem. Sistema de signos (representaes
mentais dos objetos do mundo real).
43
os elementos mediadores desse trabalho que promovem tanto a
aprendizagem como o
desenvolvimento.
Segundo Hila (2010),
Enquanto os instrumentos fsicos potencializam as aes do aluno
(e
tambm do professor) para o seu objetivo externo; os signos, por
sua vez,
como instrumentos simblicos, agem como reguladores da
atividade
psicolgica, analogamente ao papel de um instrumento material
de
trabalho, e auxiliam o desenvolvimento do contedo da atividade
mental
do homem sobre o mundo (controlam e regulam as aes internas
e
psicolgicas) (HILA, 2010, p.563).
Moyss (2012) exemplificando um processo de mediao utilizado por
Vigotski,
afirmou que com o passar do tempo, a criana deixa de necessitar
de um elemento externo,
e passa a utilizar signos internos. Esses nada mais so do que
representaes mentais que
substituem os objetos do mundo real.
De acordo Rego, (1999, p.62) ao internalizar as experincias
fornecidas pela
cultura, a criana reconstri individualmente os modos de ao
realizados externamente e
aprende a organizar os prprios processos mentais.
Rego (1999) explica ainda que, segundo Vigotski, no processo de
aprendizagem, o
indivduo passa por dois nveis de desenvolvimento. Em primeiro
lugar o nvel de
desenvolvimento real
[que] pode ser entendido como referente quelas conquistas que j
esto
consolidadas na criana, aquelas funes ou capacidades que ela
j
aprendeu e domina, pois j consegue utilizar sozinha, sem
assistncia de
algum mais experiente da cultura (pai, me, professor, criana
mais
velha etc.). Este nvel indica, assim, os processos mentais da
criana que
j se estabeleceram, ciclos de desenvolvimento que j se
completaram.
(REGO, 1999, p. 72)
Em seguida, Rego (1999) considera como nvel de desenvolvimento
potencial
aquilo que a criana capaz de fazer com a ajuda de outrem (o
professor, colegas, etc.)
Nesse caso, a criana realiza tarefas e soluciona problemas
atravs do dilogo, da
colaborao, da imitao, da experincia compartilhada e das pistas
que lhe so
fornecidas (REGO, 1999, p. 73).
E a distncia entre os dois nveis de desenvolvimento conhecida
como zona de
desenvolvimento prximo (ZDP), isto , aquilo que ela [o
estudante] capaz de fazer de
forma autnoma (nvel de desenvolvimento real) e aquilo que [o
estudante] realiza em
colaborao com os outros elementos de seu grupo social (nvel de
desenvolvimento
44
potencial)(REGO, 1999, p. 73).
E baseando-se em Vigotski (1995), considerando esses nveis de
desenvolvimento
Viana (2013), caracteriza a aprendizagem:
A aprendizagem uma atividade social, uma atividade de produo
e
reproduo do conhecimento mediante o qual a criana assimila
os
modos sociais de atividade e de interao, e, mais tarde, na
escola, os
fundamentos do conhecimento cientfico, sob condies de orientao
e
interao social. Este conceito de aprendizagem coloca no centro
de
ateno, o sujeito ativo, consciente, orientado para um objetivo:
sua
interao com outros sujeitos (o professor e outros estudantes),
suas aes
com o objeto, com a utilizao de diversos meios em condies
scio-
histricas determinadas. (VIANA, 2013, p. 18).
Completando, La Taille (1992, p.76-77), afirma que para Vigotski
o pensamento
tem sua origem na esfera da motivao, a qual inclui inclinaes,
necessidades, interesses,
impulso, afeto e emoo. E [...] uma compreenso completa do
pensamento humano s
possvel quando se compreende sua base afetivo-volitiva.
Assim, Viana (2013) baseando-se em Vigotski explica que:
necessrio que o processo de ensino/aprendizagem tenha um
carter
comunicativo, isto , pressuponha uma relao dialogal franca,
amistosa,
afetiva, motivante e participativa. O processo de
ensino/aprendizagem
tem que ser motivante para que promova a realizao dos interesses
do
aluno, propiciando o surgimento de outros motivos cognoscitivos
e
sociais que o impulsionem a agir, isto , o aluno tem que desejar
atuar.
Com isso, necessrio que seja consciente, isto que o aluno
tenha
conscincia da finalidade da ao, da atividade, que est
realizando
(VIANA, 2013, p. 19-20).
A escola pode possibilitar que o aluno se aproprie do
conhecimento
hierarquicamente sistematizado, mas para isso o professor,
percebido como mediador entre
o aluno e o objeto do conhecimento, opera buscando reconstruir o
saber por meio de
estratgias intencionalmente planejadas. Durante as aulas, h uma
interao do professor
com o aluno e entre os prprios alunos.
Para Davidov (1983),
[...] a escola deve ser capaz de desenvolver nos alunos
capacidades
intelectuais que lhes permitam assimilar plenamente os
conceitos
acumulados. Isto quer dizer que ela no deve se restringir
transmisso
de contedos, mas, principalmente, ensinar o aluno a pensar,
ensinar
formas de acesso e apropriao do conhecimento elaborado, de modo
que
ele possa pratic-las autonomamente ao longo de sua vida, alm de
sua
permanncia na escola. (DAVIDOV, 1988, p. 3 apud REGO, 1999,
p.
108).
45
Assim, retornando ao conceito de zona de desenvolvimento prximo,
para
desenvolver nos alunos capacidades intelectuais, a escola
precisa nela interferir para
permitir que o aluno adquira e acumule novos conhecimentos
(REGO, 1999).
Para isso, Viana (2013, p.19) afirma que agora, a tarefa do
professor orientar e
guiar o estudante com a finalidade de potencializar suas
possibilidades, e converter em
realidade as potencialidades de sua zona de desenvolvimento
prximo.
Fundamentando-se nas ideias de Vigotski, Viana (2013, p.19),
reafirma a
importncia da atividade conjunta, da relao de cooperao dos
alunos entre si e com o
professor: no se podem conceber mais um professor que ensina e
um aluno que aprende.
O processo de ensino/aprendizagem algo que realmente no d para
separar; E
prossegue: esta concepo muda a relao tradicional de autoridade e
distncia existente
entre os participantes do processo (VIANA, 2013, p.13). Cita
Labarrere Sarduy (1997, p.
36), afirmando que somos propensos a considerar os processos de
ensino e aprendizagem
como complexas redes de interaes entre o professor e o aluno, a
partir de uma assimetria
natural, no obstante exagerada.
Viana (2013, p.20) sintetiza: as caractersticas principais do
processo de ensino-
aprendizagem so: seu carter social, ativo, individual,
consciente, comunicativo,
motivante, significativo e cooperativo. E esclarece que estas
caractersticas devem estar
presentes em todas as etap
