Transformaciones lineales

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Transformaciones lineales

Álgebra lineal

20 de mayo de 2015

Jonathan Irad Olivas Terán

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Jonathan Irad Olivas Terán 20 de mayo de 2015

ÍNDICE

Portada

Índice

Introducción

5.1 Introducción a las transformaciones lineales

5.1.1 ¿Qué es una transformación lineal?

5.1.2 Definición

5.1.3 Observaciones sobre notación

5.1.4 Propiedades de las transformaciones lineales

5.1.5 Clasificación de las transformaciones lineales

5.1.6 Cómo formar nuevas transformaciones lineales a partir de otras dadas

5.1.7 Teoremas de las transformaciones lineales

5.1.8 Ejemplos de transformaciones lineales.

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal

5.2.1 Teorema 1 y su demostración

5.2.2 Teorema 2 y su demostración

5.2.3 Núcleo e imagen de una transformación lineal

5.2.4 Nulidad y rango de una transformación lineal

5.3 La matriz de una transformación lineal

5.3.1 Teoremas

5.3.2 Representaciones

2


5.4 Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, dilatación,

contracción y rotación.

5.4.1 Reflexión

5.4.2 Rotación

5.4.3 Dilatación

5.4.4 Corte

5.4.5 Contracción

Conclusiones

Bibliografía

3


Introducción

Una de las mayores aplicaciones del álgebra lineal en la ingeniería, la física y la

geometría, así como en la vida cotidiana, son las transformaciones lineales. Una

transformación lineal, en pocas palabras son las operaciones que se realizan

sobre un vector para convertirlo en otro vector; en el siguiente trabajo de

investigación, presentaré sus propiedades, su núcleo e imagen, aplicación y

algunos ejemplos de éstos.

4


INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES

5.1.1 ¿Qué es una transformación lineal?

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean

espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las

transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en

otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones

importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la

ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

5.1.2 Definición

Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es

una función que asigna a cada vector v є V en una vector único Tv є W y que

satisface, para cada u y v en V y cada escalar α.

Que se puede resumir en T (α a + β b) = αT (a) + βT (b), llamada propiedad de

linealidad. Si T: V W es una transformación lineal, el espacio V se llama

dominio de T y el espacio W se llama codominio de T.

Superposición.- La imagen de la suma de dos vectores es igual a la suma

de las imágenes de dichos vectores: T(u + v) = T(u) + T(v)

Homogeneidad.- La imagen del producto de un escalar por un vector es

igual al producto del escalar por la imagen de dicho vector: T( cu) = cT (u)

5.1.3 Observaciones sobre notación

1. Se escribe T: V W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo

lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su

dominio y un subconjunto W como su imagen.

2. Se escriben indistintamente Tv y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T

de v”. Esto es análogo a la notación funcional f(x), que se lee “f de x”.

5


3. Gran parte de las definiciones y teoremas de las transformaciones lineales,

también se cumplen para los espacios vectoriales complejos (espacios

vectoriales en donde los escalares son números complejos).

5.1.4 Propiedades de las transformaciones lineales

Para toda transformación lineal T: V W, T(-x) = -t(x).

Para toda transformación lineal T: V --Z W, T(0) = 0, (El que aparece a la

izquierda es el vector nulo de V, mientras que el que aparece en el lado

derecho es el vector nulo de W. Se puede escribir también T(0v) = (0w)

Se V un espacio vectorial de dimensión finita, W un espacio vectorial, {v1,

…, vn} una base de V, y {z1,…, zn} un conjunto cualquiera de vectores W.

Entonces existe una única transformación lineal T: V W tal que T(vi) = zi

(1≤ i ≤n).

5.1.5 Clasificación de las transformaciones lineales

Función Lineal: A las transformaciones lineales T: V K (donde K es

el cuerpo base de V) las llamamos funciones lineales.

Monomorfismo: Si T: V W es inyectiva, si el único elemento del

núcleo es el vector nulo Ker(T) = 0v.

Epimorfismo: Si T: V W es sobreyectiva (suryectiva).

Isomorfismo: Si T: V W es biyectiva (inyectiva y sobreyectiva).

Endorfismo: Se le llama a una transformación lineal en el que dominio

y codominio coinciden.

Automorfismo: Se le llama a un endomorfismo biyectivo.

5.1.6 Cómo formar nuevas transformaciones lineales a partir de otras dadas

Si f1: V → W y f2: V → W son lineales, entonces también lo es su suma f1 +

f2 (definida como (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x)).

Si f: V → W es lineal y a es un elemento del cuerpo K, entonces la función

af, definida como (af)(x) = a (f(x)), también es lineal.

6


Gracias a estas dos propiedades, y a que la función que envía todo al elemento

nulo es una aplicación lineal, es que el conjunto de transformaciones lineales f: V

→ W forma un subespacio de las funciones de V en W. A este subespacio se lo

nota L(V, W) o Hom(V, W). La dimensión de L(V, W) es igual al producto de las

dimensiones de V y W.

Si f: V → W y g: W → Z son lineales entonces su composición g∘f: V → Z

también lo es.

Dado un espacio vectorial V, el espacio vectorial L(V,V), que se nota usualmente

como End(V), forma un álgebra asociativa sobre el cuerpo base, donde la

multiplicación es la composición y la unidad es la transformación identidad.

Si f: V W es una transformación lineal biyectiva, entonces su inversa

también es transformación lineal.

5.1.7 Teoremas de las transformaciones lineales

Sea B = {vi: i ∈ J} base de V y C = {wi: i ∈ J} una colección de vectores de

W no necesariamente distintos, entonces existe una única transformación

lineal T: V → W que satisface:

Sea T: V W una transformación lineal.

Entones: dim(V) = dim(N(T)) + dim(Im(T))

Corolario: Obtenemos que una transformación lineal de un espacio vectorial de

dimensión finita en sí mismo es un isomorfismo si y sólo si es un epimorfismo si y

solo si es un monomorfismo.

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5.1.8 Ejemplos de transformaciones lineales.

Transformación cero

Sean V y W espacios vectoriales y defina T:V W por TV = 0 para todo v en V.

Entonces T(v1 + v2) = 0 = 0 + 0= Tv1 + Tv2 y T(αv) = 0 = α0 = αTv. En este caso, T

se denomina la transformación cero.

Transformación identidad

Sea V un espacio vectorial y defina I: V V por Iv = v para todo v en V. I es una

transformación lineal, la cual se denomina transformación identidad u operador

identidad.

Transformación de reflexión

Sea T: R2 R2 definida por T( xy ) =(−xy ). Es fácil verificar que T es lineal. En

términos de geométricos, T toma un vector R2 y lo refleja respecto al eje Y.

Transformación de Rn Rm dada por la multiplicación por una matriz de mxn

Sea A una matriz m x n y defina T: Rn Rm por Tx = Ax. Como A(x + y) = Ax +

Ay y A(αx) = αAx si x y y están en Rn, se observa que T es una transformación

lineal. Entonces toda matriz A de m x n se puede utilizar para definir una

transformación lineal de Rn en Rm.

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Figura 1.0El vector (-x,y) es la reflexión respecto al eje y del vector (x,y)


Operador de transposición

Defina T: Mmn Mnm por T(A) = AT. Como (A+ B)T = AT + BT y (αA)T = αAT, se ve

que T, denominado operador de transposición, es una transformación lineal.

Transformación que no es lineal

Suponga que T: C[0,1] R está definida por Tf= f(0) + 1. Entonces T no es lienal.

Para ver esto se calcula: T(f + g) - (f + g) + 1 -f(0) + g(0) + 1

NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

5.2.1 Teoremas 1

1. T(0) = 0

2. T(u - v) = Tu - Tv

3. T(α1v1 + α2v2 +…+ αnvn) = α1Tv1 + α2Tv2 +…+ αnTvn

Nota: En el inciso 1, el cero de la izquierda es el vector cero en V, mientras que el

cero de la derecha es el vector cero en W.

Demostración

1. T(0) = 0 T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0). Así, 0= T(0) - T(0)= T(0) + T(0) -

T(0) = T(0)

2. T(U - V) = T[u + (-1)v] = Tu + T[(-1)v]= Tu + (-1)Tv= Tu - Tv

3. Esta parte se prueba por inducción. Para n=2 se tiene T(α1v1 + α2v2) =

T(α1v1) + T(α2v2)= α1Tv1 + α2Tv2. Así, la ecuación, se cumple para n=2. Se

supone que se cumple para n=k y se prueba para n=k+1: T(α1v1 + α2v2 +…

+ αkvk + αk+1vk+1) = T(α1v1 + α2v2 +…+ αkvk) + T(αk+1vk+1), y usando la

ecuación en la parte 3, para n=k, esto es igual a (α1Tv1 + α2Tv2 +…+ αkTvk)

+ αk+1Tvk+1, que es lo que se quería demostrar.

5.2.2 Teorema 2

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, …, vn}. Sean

w1, w2,…, wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones

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lineales de V en W tales que T1vi = T2vi = wi para i=1,2,…, n. Entonces para

cualquier vector є V, T1v = T2v; es decir T1=T2.

Demostración

Como B es una base para V, existe un conjunto único de escalares α1, α2,…., αn.

Tales que v = α1v1 + α2v2 +…+ αn vn.

Entonces, del inciso 3, del teorema 1, T1v = T1(α1 v1 + α2v2 + …+ αnvn) = α1T2v1 +

α2T2v2 +… + αnTnvn= α1w1 + α2w2 +…+ αnTnvn. De manera similar T2v = T2(α1v1 +

α2v2 + …+ αnvn) = α1T2v1 + α2T2v2 +…+ αnTnvn = α1w1 +

α2w2 +…+ αnvn. Por lo tanto, T1v =T2v.

5.2.3 Núcleo e imagen de una transformación lineal

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T: V W una transformación lineal.

Entonces:

1. El núcleo de T, denotado por un T, está dado por.

2. La imagen de T, denotado por im T, está dado por.

Observaciones:

1. Observe que un T, es no vacío porque, de acuerdo con el teorema 5.2.1,

T(0)=0, de manera que 0 є un T para cualquier transformación lineal T. Se

tiene interés en encontrar otros vectores en V que “se transformen en 0”.

De nuevo, observe que cuando escribimos T(0)= 0, el 0 de la izquierda está

en V y el de la derecha en W.

2. La imagen de T es simplemente el conjunto de “imágenes” de los vectores

en V bajo la transformación T. De hecho, si w= Tv, se dice que w es la

imagen de v bajo T.

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nu T = {v є V: Tv = 0}

im T = {w є W: w = Tv para alguna v є V }


Teoremas

Si T: VW es una transformación lineal, entonces:

I. nu T es un subespacio de V.

II. im T es un subespacio de W.

Núcleo e imagen de la transformación cero.

Sea Tv = 0 para todo v ϵ V (T es la transformación cero). Entonces un T = v e Im T = {0}.

Núcleo e imagen de la transformación identidad.

Sea Tv = v para v ϵ V(T es la transformación identidad). Entonces un T= {0} e Im T = V.

Núcleo e imagen de un operador transpuesto

Sea V= Mmn y defina T : Mmn Mmn por T(A)= AT. Si TA= AT = 0, entonces AT es la matriz

cero de nxm, por lo que A es la matriz cero de mxn. Así, nu T= {0} y es claro que im T =

Mmn. Esto significa v(T) = 0 y p(T) = nm.

Núcleo e imagen de una transformación de P3 en P2

Defina T : P3 P2 por T(p) = T(a0+a1x+a2x2+a3x3) = a0+a1x+a2x2. Entonces si T(p) =0,

a0+a1x+a2x2= 0 para toda x, lo que implica que a0 = a1 = ca2 =0. Así nu T={p є P3 :p(x)

=a3x3} e im T= P2, v(T)= 1 y p(T) = 3.

5.2.4 Nulidad y rango de una transformación lineal.

Si T es una transformación lineal de V en W, entonces se define :

Observación

Toda matriz A de mxn da lugar a una transformación lineal T:R´´R´´´ definida por

Tx = Ax. Es evidente que un T = NA, Im T = Im A = CA, v(T) = v(A) y p(T) = p(A).

Entonces se ve que las definiciones de núcleo, imagen, nulidad y rango de una

transformación lineal son extensiones del espacio nulo, la imagen, la nulidad y el

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Nulidad de T = v(T) dim nu T

Rango de T = p(T)= dim im T


rango de una matriz. Sea T: V W una transformación lineal. El rango o imagen

de T es el conjunto de todas las imágenes de T en W.

Núcleo y nulidad de un operador de proyección

Sea H un subespacio de Rh y sea Tv = proyHv. La im T = H. Si se tiene que toda v

є V si v= h + p= proyHv. Si Tv=0, entonces h=0, lo que significa que v=p є H1. Así

un T=H1, p(T)= dim H, y v(T)= dim H1= n - p(T).

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LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia

alguna a las bases de los espacios dominio y codominio, un cálculo efectivo de las

mismas exige el conocimiento de dichas bases.

Cualquier transformación lineal T: V W puede representarse mediante una

matriz: T(x) = Ax. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La

matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una

base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de

V, en la base de W.

Supongamos que el espacio V tiene una base {v1, ..., vn} y el espacio W tiene una

base{w1,..., wm}. Entonces cualquier transformación lineal de V en W se

representa por una matriz A m x n.

Si T(vi) = ai1w1 + .... + aimwm, entonces la columna i de A es (ai1 .... aim )T

Ejemplo

Encontrar A3x5 asociada a la transformación lineal P5 P3 / T (P(t)) = d2 P(t) /dt2, transformando P5 en P3 (polinomios de grado ≤ 4 en polinomios de grado ≤ 2).

Base en P5: {1, t, t2, t3, t4}. Base en P3: {1, t, t2}

Transformado de (1, 0, 0, 0, 0) = (0, 0, 0) Transformado de (0, 1, 0, 0, 0) = (0, 0, 0) Transformado de (0, 0, 1, 0, 0) = (2, 0, 0) Transformado de (0, 0, 0, 1, 0) = (0, 6, 0) Transformado de (0, 0, 0, 0, 1) = (0, 0, 12)

Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

c=| 0020000060000012|

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5.3.1 Teoremas

Sea T: Rn Rm una transformación lineal. Existe entonces una matriz

única de mxn tal que: Tx= ATx para toda x є Rn

Sea AT la matriz de transformación correspondiente a la transformación

lineal T. entonces:

I. im T = im A = CAT

II. p(T) = p(AT)

III. un T = NAT

IV. v(T) = v(AT)

Sean V un espacio vectorial de dimensión n, W un espacio vectorial de

dimensión m y T: V W una transformación lineal. Sea B1 = {v1, v2, …, vn}

una base para V y sea B2 = {w1,w1, …, wn} una base para W. Entonces

existe una matriz única AT de mxn tal que: (Tx)B2 = AT(x)B1.

Sean V y W espacios vectoriales de dimensión finita con dim V = n. Sea T:

V W una transformación lineal y sea AT una representación matricial de T

respecto a las bases B1 en V y B2 en W. Entonces:

I. p(T) = p(AT)

II. v(A) = v(AT)

III. v(A) + p(T) = n

Sea T: Rn Rm una transformación lineal. Suponga que C es la matriz de

transformación de T respecto a las bases estándar Sn y Sm en Rn y Rm,

respectivamente. Sea A1 la matriz de transición de B1 a la base Sn en Rn y

sea A2 la matriz de transición de B2 a la base Sm en Rm. Si AT denota la

matriz de transformación de T respecto a las bases B1 y B2, entonces:

AT=A2-1CA1

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Toda matriz elemental E de 2x2 es uno de los siguientes:

I. La representación matricial de una expansión a lo largos del eje

x o y.

II. La representación matricial de una compresión a lo largos del eje

x o y.

III. La representación matricial de una reflexión respecto a la recta

y = x.

IV. La representación matricial de un corte a lo largo del eje x o y.

V. La representación matricial de una reflexión respecto del eje

x o y.

VI. El producto de la representación matricial de una reflexión

respecto al eje x o y representación matricial de una expansión o

compresión.

Sea T: R2 R2 una transformación lineal tal que su representación

matricial es invertible. Entonces T se puede obtener como una sucesión de

expansiones, compresiones, cortes y reflexiones.

5.3.2 Representaciones

15

Figura 2: Transformaciones lineales en R2 R2


Representación matricial de una transformación de proyección

Encuentre la matriz de transformación AT correspondiente a la proyección de un vector R3 sobre el plano xy:

T|xyz|=|xy0|. En particular, T|100|=|100|, T|010|=|010| y T|001|=|001|. Así, AT=|100010001|

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Figura 3: Transformaciones lineales en R2 R2

Figura 4: Transformaciones elementales en R2


Representación matricial de una transformación 0

Es fácil verificar que si T es la transformación cero de Rn Rm, entonces AT es la matriz cero de mxn. De igual manera, si T es la transformación identidad de RnRm, entonces AT=In.

Matriz transformación

Sea T: Rm Rn una transformación lineal. Entonces existe una matriz de mxn, AT,

tal que: Tx = ATx para toda x є Rn

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APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES: REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONTRACCIÓN Y ROTACIÓN.

Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformación

lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas propiedades básicas de las

transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al

momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La

notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn Rm.

5.4.1 Reflexión

Algunas orientaciones deseables para los objetos tridimensionales no pueden ser

obtenidas usando solamente giros. Con la reflexión se consigue un efecto

“espejo”, de modo que los objetos se ven reflejados en un plano.

Cuando la reflexión se hace sobre uno de los planos ortogonales (x=0, ó y=0, o

bien z=0) la matriz de transformación es sencilla, pues es similar a la matriz

identidad, aunque siendo -1 el elemento que representa la coordenada que es

nula en el plano de reflexión. Así, las matrices de reflexión para los planos XY, YZ

y XZ, son:

Rz=| 1000010000−100001

| Ry=| 10000−10000100001

| Rz=|−1000010000100001

|

18

Figura 5: Reflexión especular en el plano XY


Cuando se quiera una reflexión sobre un plano cualquiera, el proceso se complica

notablemente. La técnica utilizada es similar a la del giro sobre eje arbitrario. En

este caso, inicialmente se requiere definir un punto en el plano, y la normal al

plano en ese punto.

El proceso de reflexión se resume en los siguientes puntos:

Trasladar el punto establecido del plano al origen de coordenadas.

Realizar los giros oportunos para hacer coincidir el vector normal al plano

de reflexión con uno de los ejes de coordenadas; así, el problema se

reduce a una simple reflexión sobre alguno de los planos del sistema de

referencia. Por ejemplo, si el eje escogido es el Z, el plano de reflexión

sería XY.

Realiza la reflexión sobre el plano seleccionado.

Aplicar las transformaciones inversas para devolver el plano de reflexión a

su posición original.

5.4.2 Rotación

Otro tipo común de transformación en el plano es la rotación o giro en torno a

cualquier punto en el plano. Nos interesan principalmente las rotaciones en torno

al origen. Rotación en el plano se define por:

Rѳ|xy|=|cos ѳ−sen ѳsenѳcos ѳ ||xy|Y hace girar cada vector, ѳ rad en sentido contrario al de las manecillas del reloj

en torno al origen. Por ejemplo, calcularemos la imagen de (1,1) para Rѳ= π/2.

19Figura 6: Rotación en torno al origen


5.4.3 Dilatación

Dilatación o escalamiento 2D

El escalamiento 2D implica el cambio de tamaño de un polígono, donde cada

punto p=(x1, x2) es transformado por la multiplicación de dos factores de

escalamiento: S1 y S2 a lo largo de los ejes X1 y X2 respectivamente, de esta forma,

las coordenadas del nuevo punto p´= (x1’, x2’) se obtienen como:

X’1 = X1.S1

X’2 = X2.S2

Sea s= (S1, S2) el vector de los factores de escalamiento, y S(s) la matriz de

escalamiento, en coordenadas homogéneas el escalamiento punto p en 2D, se

puede expresar como el producto matricial p’= p. S(s), es decir:

|x 1' x2' 1| = |x 1x 21|.|S1000 S20001 |

Dilatación o escalamiento 3D

Extendiendo la idea anterior a 3D, el escalamiento implica el cambio de tamaño de

un poliedro, donde cada punto p= (x1, x2, x3) es transformado por la multiplicación

de tres factores de escalamiento: s1, s2 y s3 a lo largo de los ejes X1, X2 Y X3

respectivamente, de esta forma, las coordenadas del nuevo punto p= (x’1, x’2, x’3)

se obtienen como:

20

Figura 7: La figura muestra el efecto de escalamiento de una figura S1=1.5 y S2=2.


X’1 = X1. S1

X’2 = X2. S2

X’3 = X3. S3

Sea s= (s1, s2, s3) el vector de factores de escalamiento, y S(s) la matriz de

escalamiento, en coordenadas homogéneas el escalamiento de un punto p en 3D,

se puede expresar como el producto matricial p’ = p. S(s), es decir:

|x 1' x2' x ' 31| = |x 1x 2x 31|.|S10000 S20000 S300001

|

5.4.3 Corte

Un corte o deslizamiento a lo largo del eje x es una transformación de la forma

Sx X, Y = (x+ cy, y).

En otras palabras, cada punto se mueve a lo lago de la dirección x una cantidad

proporcional a la distancia al eje X. También hay corte a los largo del eje Y: Sy x, y

= (x, cx+ y).

Sx y Sy son transformaciones matriciales cuyas matrices son:

[1 C0 1 ][ 1 0

C 1 ]21

Figura 8: La figura muestra el efecto de escalamiento de una figura S1=2, S2=205 y S3= 1.5.


5.4.5 Contracción

22

Figura 9: Deslizamiento a lo largo del eje x.


CONCLUSIONES

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BIBLIOGRAFÍAS

Grossman, Stanley. (2012). Álgebra lineal. London: Grupo editorial Iberoamérica.

Ing. Jazmín Morales Ramón. (2012). Álgebra lineal. mayo 17, 2015, de Sitio web:

http://itsavbasicas.blogspot.mx/2012/05/52-nucleo-e-imagen-de-una.html

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Transformaciones lineales