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TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS Y ECUACIONES LINEALES

1 OBJETIVO

El presente trabajo tiene como finalidad de conocer y reconozcerlos principios y teorías del álgebra

2 INTRODUCCION

El Álgebra dentro del a ciencia delas matemáticas busca desarrollar los principios fundamentales

necesarios para resolver problemas en todoslos campos del saber.

Este trabajo trata sobre los principios, propiedades,definiciones y aplicaciones del álgebra. Cada

temática se desrrollará en forma metódica, ilustrativa y didáctica, con el propóstio de que el

lector active sus conocimientos previos, que exploren y desarrollen nuevos conocimientos, de tal

forma que los puedan comprender e interiorirzar para utilizarlos cuando sea necesario.

La parte correspondiente de álgebra contempla las ecuaciones algebraicas, suscaracterísticas, su

definición según el tipo de relación y según el tipo de expresión que la representa. Se hace énfasis

en las características de cada una, sus parámetros y sus aplicaciones.

Por otra parte se habla tambien de uno de los conceptos más importantes en matemáticas como

es el de FUNCION y se cree que el gran matemático alemán Leibinz la introdujo a finales del siglo

XVII. El concepto proviene de la palabra latina functio, que quiere decir Acto de Realizar. Todas

las áreas de las matemáticas tienen que ver con funciones, diferentes fenómenos. En Biología,

en crecimiento de organismos, en Economía, para describir el costo o utilidad de un artículo, en

Física para describir la distancia como función del tiempo y muchos otros más.

.

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3 DESARROLLO

TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS

Factorización de trinomios

Trinomio del tipo x2+bx+c

Los trinomios que se factorizarán son los de la forma ax2 + bx + c

Este trinomio proviene del producto de dos binomios.

A este trinomio se le conoce como expresión cuadrática, donde:

ax2 es el término de segundo grado o cuadrático

bx es el término lineal

c es el término independiente

Primero se abordará el caso en donde a = 1

Trinomios de la forma x 2 + bx + c

Analizando los siguientes ejemplos se desarrollará la técnica para factorizar este tipo de

trinomios.

Ejemplo

Siguiendo la regla en el producto de (x + 3)(x + 4), se obtiene:

Para encontrar el proceso inverso (Factorización), se requiere encontrar dos números que

multiplicados den el término independiente y sumados o restados proporcionen el coeficiente

del término lineal.

Para factorizar x2 + 7x +12 se debe hallar dos números que multiplicados den 12 y sumados den 7.

Para expresar la Factorización, se acomodan en los factores el término igual, que en este caso

es x, y los números encontrados, como se muestra a continuación:

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Ejemplo

Ahora se factorizará la expresión x2 −10x + 24

Se tiene que encontrar dos números que multiplicados den 24 y que sumados den –10

Por lo que la Factorización resulta:

También se podría expresar como,

Esto debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación, que en otras palabras se le conoce

como “el orden de los factores no altera el producto”.

A medida que practiques las factorizaciones de este tipo, visualizarás con mayor rapidez los

números que cumplen con las dos condiciones, posiblemente los encuentres antes de buscar los

números probables.

Trinomios de la forma ax2 + bx + c, con a ≠ 0,1

Este tipo de polinomios son generados al multiplicar binomios de diferentes términos, como:

Analizando los coeficientes obtenidos,

12 se obtuvo de multiplicar (3)(4)

7 se obtuvo de sumar los productos (3)(5) + (− 2)(4)

−10 se obtuvo de multiplicar (2)(− 5)

Todo con base en los coeficientes de los binomios.

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A continuación se generaliza el trinomio para obtener la técnica que se utilizará en este tipo de

factorizaciones.

ax2 + bx + c = (d x + e)(f x + g)

a = (d)(f )

b = (d)(g) + (e)(f )

c = (e)(g)

Ejemplo

Para factorizar 5x2 −13x − 6 se requiere encontrar los coeficientes d, e, f y g , los cuales se obtienen

con los posibles factores de los coeficientes conocidos del trinomio, como se muestra a

continuación.

Dos números que multiplicados den 5 da como opciones:

Ambas opciones con el mismo signo.

Dos números que multiplicados den −6 da como opciones:

El término de en medio sirve para comprobar las posibles asignaciones que se le den a d, e, f y g .

Ahora se asignarán 4 opciones para realizar la Factorización.

Si d = 5, f = 1, e = 3 y g = −2 los factores se expresan,

Como se ve en la operación anterior, resultó −4 y debía de ser −13 , por lo que la asignación

propuesta para los coeficientes de los binomios es incorrecta, debe de probarse con otra

asignación.

Ahora se probará con la siguiente asignación.

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Si d = 5, f = 1, e = 2 y g = −3 los factores se expresan

Como cumple con que la suma de los productos de los extremos y medios es −13 ,

entonces se encontró la asignación correcta. Por lo que se puede expresar la

Factorización.

5x 2 − 13 x − 6 = (5 x + 2)(x − 3)

Simplificación de fracciones algebraicas

Fracción algebraica. Es un cociente que posee expresiones algebraicas, tanto en el numerador

como en el denominador.

Debido a que en planteamientos posteriores de problemas cotidianos se encontrarán múltiples

expresiones tan complejas como lo son las fracciones algebraicas, es muy importante

simplificarlas.

Para poder simplificar las expresiones algebraicas, en la mayoría de los casos, se requiere de la

Factorización.

El principio fundamental de una fracción es:

Si cada miembro de una fracción se multiplica o se divide por una cantidad diferente de cero, el

valor de la fracción no se altera.

También en las fracciones se tienen que considerar los signos, tanto de la fracción, del numerador

y denominador. A continuación se visualizan las diferentes formas de presentar a los signos.

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Multiplicación de fracciones.

Recordando, las fracciones se multiplican multiplicando numerador con numerador y

denominador con denominador.

Ejemplo

Para simplificar la fracción: , es necesario expresarla como producto, y esto se

logrará mediante la Factorización.

Una de las condiciones para poder eliminar el término igual, tanto en el numerador como en el

denominador, es que sea una cantidad diferente de cero, debido a eso:

Si x ≠ 5 entonces se puede llevar a cabo la eliminación.

Ejemplo

Ahora al simplificar las fracciones es necesario convertirlas a sus factores.

, para poder eliminar los términos iguales en el

numerador y denominador, tiene que considerarse que x ≠ 5, 3, − 3, puesto que estos valores

hacen el denominador cero. El valor de x = −2 también convierte el denominador en cero, lo

cual provoca que la fracción no exista, pero no sería un condicionante para la eliminación.

Así que tomando en cuenta estos valores, se puede hacer la eliminación.

Ejemplo

En este caso, el denominador es un monomio por lo que habrá que factorizar sólo el

numerador

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La condición es x ≠ 0 , por lo que eliminando el término queda:

División de fracciones.

Para dividir las fracciones, se multiplica como se muestra a continuación.

Para poder eliminar términos iguales es necesario efectuar la división y las factorizaciones, o si

se desea primero factorizar y posteriormente hacer la división. El punto es que sólo cuando todos

los términos están expresados como multiplicación se puede llevar a cabo la eliminación.

Ejemplo

Para simplificar la expresión , se llevará a cabo la división.

Ahora se realizan las factorizaciones correspondientes.

La condición para hacer la eliminación:

ECUACIONES

Elementos de una ecuación

Ecuación. Es una igualdad que se cumple para algunos valores o letras. Como por ejemplo:

x + 5 = 8

8

Para que sea verdadera esta ecuación el único valor que puede tomar x es 3, entonces decimos

que la solución a esta ecuación es x = 3.

Se dice que la solución «satisface» a la ecuación, cuando se sustituye su valor y se verifica la

igualdad.

3 + 5 = 8

8 = 8

Los elementos de una ecuación son:

Los elementos de una ecuación son:

1. Miembros.

2. Términos.

3. Incógnitas.

4. Grado.

5. Solución

1. Miembros. Son cada una de las expresiones que aparecen en ambos lados del símbolo igual.

2. Términos. Son los sumandos que forman a cada uno de los miembros de la ecuación.

3. Incógnita(s). Es el valor desconocido que se pretende encontrar, y puede haber una o más de

ellas, también conocidas como variables o literales.

Dependiendo del número de letras distintas se dice que es de una, dos, tres, o más incógnitas.

4. Grado. Es el mayor grado de los monomios que forman a sus miembros.

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En este caso es de primer grado, porque ambos miembros poseen al 1 como exponente, sólo que

por convencionalismo no se escribe.

5. Solución. Es el valor que puede tomar la incógnita para que la igualdad se establezca,

dependiendo del grado y del número de las incógnitas, pueden ser varias soluciones.

5x + 2 = 3x + 16

La solución para esta ecuación es:

x = 7

Puesto que al sustituir el valor encontrado en la incógnita de la ecuación se cumple la igualdad.

5(7) + 2 = 3(7) + 16 35 + 2 = 21+ 16

37 = 37

Ecuaciones lineales

A las ecuaciones de primer grado se les conoce como ecuaciones lineales. Las siguientes

ecuaciones son ejemplos de ecuaciones lineales.

Las tres primeras son ejemplos de ecuaciones lineales con una incógnita y los últimos tres son

ejemplos de ecuaciones lineales con dos incógnitas.

La representación general de una ecuación lineal es: Ax + B = 0 con la condición de que A ≠ 0.

Por supuesto que ésta es la representación más simplificada que se puede tener en una ecuación;

como observaste en los ejemplos anteriores, la(s) incógnita(s) pueden estar en ambos miembros

de la ecuación y además, poseer paréntesis y denominadores.

Resolución de ecuaciones lineales

Para resolver las ecuaciones lineales con una incógnita, es recomendable seguir los siguientes

pasos.

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1. Quitar paréntesis.

2. Quitar denominadores.

3. Agrupar los términos que posean la incógnita en un miembro y los términos independientes

en el otro.

4. Reducir los términos semejantes.

Para llevar a cabo estos pasos, se requiere de las propiedades de los números reales que

manejaste en el segundo bloque, a continuación se justificará paso a paso el despeje de una

ecuación utilizando las propiedades de los números reales y posteriormente se explicará la

técnica que se utiliza en el despeje sin necesidad de utilizar las propiedades.

Utilizaremos la ecuación que nos sirvió de modelo para explicar los elementos de una ecuación.

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El proceso anterior es extenso, pero es necesario que lo conozcas para que comprendas por qué

se despeja en forma reducida sólo utilizando algunos de los pasos del cuadro anterior, de hecho,

los pasos que se requieren para un despeje corto son los que están sombreados, y aún así se

pueden reducir más.

A continuación se muestra la forma de simplificación corta.

Ejemplo

Entre Said y Raymundo van a comprar una bolsa de canicas que cuesta $56, pero Said tiene $12

menos que Raymundo. ¿Cuánto tiene cada uno?

Para resolver este problema es necesario asignar la variable.

x : Es el dinero que tiene Raymundo

x −12: Es el dinero que tiene Said

Entre los dos comprarán una bolsa de canicas que cuesta $56, entonces el planteamiento del

problema con la variable asignada se expresa de la siguiente forma:

x + x −12 = 56

Esta es una de las ecuaciones más sencillas, no posee paréntesis ni denominadores, por lo que

procederemos a despejarla.

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Al sustituir el valor encontrado en la asignación de la variable, se obtiene que: Raymundo tiene

$34 y Said tiene $22.

Ejemplo

La edad de Carolina es la mitad de la de Emily; la de Valeria es el triple que la de Carolina y la

edad de Angélica es el doble de la de Valeria. Si las cuatro edades suman 60, ¿qué edad tiene

cada una?

y: Edad de Carolina

2y: Edad de Emily

3y: Edad de Valeria

2(3y): Edad de Angélica

Dado que la suma de las edades es de 60, entonces, el planteamiento del problema se expresa

así:

y + 2 y + 3 y + 6 y = 60

Resolviendo la ecuación lineal

Del resultado tenemos que:

Carolina tiene 5 años de edad, Emily tiene 10 años, Valeria tiene 15 años y Angélica tiene 30

años.

Funciones lineales

El concepto de función implica la relación que existe entre los elementos de dos conjuntos; esta

relación se establece mediante una regla de asociación que puede ser verbal o matemática.

Ejemplo

Si se tiene la ecuación 2 x − 3 y + 6 = 0 , al despejarla se puede encontrar mejor la relación que

existe entre las variables.

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Se puede decir que la variable “y” está en función de “x” porque existe una relación o asociación

entre ellas, si a cada valor de “x” que asignes, lo multiplicas por 2/3 y le sumas 2, vas a obtener

un único valor de “y”.

De aquí se puede visualizar la definición de función, la cual es: Función. Es la regla de asociación

o correspondencia entre los conjuntos X y Y, de tal forma que cada elemento de un conjunto X

se asocia con exactamente un elemento del conjunto Y.

Con esto decimos que los elementos “y” del conjunto Y, están en función de los elementos “x”

del conjunto X, esto queda más claro en esta notación.

y = f( x )

Así que la función y=2

3x +2 se puede reescribir como:

Este tipo de formas de expresar una función lineal, además su nombre es dado por las gráficas

que presenta, la cual es una línea recta no vertical, además su ecuación es de primer grado.

Sea F(x)= ax+b ; donde a y b son constantes y a ≠ 0 , se define como una función lineal. Si

observamos la ecuación que distingue la función lineal, vemos que corresponde a una ecuación

lineal. A el valor a se le conoce como pendiente y a b como el intercepto o corte en el eje y.

Por la teoría Euclidiana, para obtener una recta, sólo se requieren dos puntos P1 (x1,y1) y P2

(x2,y2). la pendiente se puede obtener así:

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El intercepto se pueden obtener conociendo la ecuación, reemplazar un punto que esté sobre la

recta y despejar b.

Ejemplo:

Sea la función f (x) =ax + b ; por la cual pasan los puntos P1 (2,4) y P2 (- 2,- 3) . Hallar la

pendiente y el intercepto.

Solución: primero calculamos a; o sea, la pendiente.

Ahora reemplazando el valor de a en la ecuación, obtenemos:

para hallar b, reemplazamos cualquiera de los dos puntos en la ecuación, tomemos P1, luego:

La función quedará definida por la ecuación:

Representación gráfica de una función lineal

Ejemplo

Graficar la función y = −3 x + 6

m= −3

b = 6

Primero se ubica b en el eje vertical.

Para graficar una recta sólo se necesitan dos puntos para trazar la línea, por lo que el otro punto

se grafica a partir del punto encontrado utilizando la pendiente, o sea “m”.

b

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esto significa que por cada 3 unidades que va hacia abajo en el eje vertical avanza 1

unidad hacia la derecha en el eje horizontal.

Por lo tanto se ubica a m en el punto x=1, y=3, por ultimo se une a m con b con una recta.

b

m

b

m

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3 BIBLIOGRAFIA

Jorge Eliécer Rondón Durán. (2006). Algebra, trigonometría y geometría analítica. Bogotá.

Editorial UNAD

Colegio de bachilleres del estado de sonora. (2009). Matemáticas 1. Sonora,Mexico. Dirección

Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora