88USEN V

Trabalho - definição

Trabalho é uma das formas de promovermos conversão ou variação de energia por meio da ação de uma força que produz deslocamento. Dessa forma, o trabalho realizado por uma força mede a variação de energia sofrida por um corpo.

Cálculo do trabalho

Força constante

Quando a força que realiza trabalho é constante, como nos casos representados a seguir, o trabalho ou variação de energia será calculado pela expressão:

T = F.d.cos.θo

θ

• Quando a força é paralela ao deslocamento, o ângulo q vale 0°, portanto, sendo o cos 0 = 1, temos que:

T = F. d• Quando a força é perpendicular ao deslocamento,

o angulo q vale 90º, portanto, sendo o cos 90º = 0, temos que:

T = nulo• Quando a força é contrária ao deslocamento, o

“angulo q vale 180º, portanto, sendo o cos q = -1, temos que:

T = -F.d

Obs.: O sinal algébrico (+ ou -) é usado para diferenciar os trabalhos, positivo se motor (para forças a favor do deslocamento) e negativo se resistente (para forças con-trárias ao deslocamento)

Força variável

• Trabalhodeumaforçavariável–arelaçãoentrea intensidade da força e o deslocamento será ex-pressa por meio de um gráfico, portanto o trabalho da força nesse deslocamento será numericamente igual à área do gráfico, compreendida entre a curva e o eixo das abscissas.

Trabalho da força peso

O peso é uma força conservativa. Ou seja, o tra-balho realizado por ela não depende da trajetória. Assim, o deslocamento será determinado pela variação de altu-ra sofrida pelo corpo, independentemente da trajetória descrita. Na subida do corpo, o peso estará contrário ao deslocamento trabalho resistente; na descida, o peso estará a favor do deslocamento trabalho motor.

Veja os casos abaixo:

P dα

T = P.d.cosαmas, cosα =

daí,T = P.d.

T = m.g.h

hd

hd

h

Trabalho de uma força e energia Aula 9

89 Física

Trabalho da força elástica

A força elástica realiza trabalho quando uma for-ça solicitadora provoca a deformação de um meio mate-rial elástico, como uma mola.

Sendo a força elástica sempre paralela ao des-locamento (deformação da mola), porém, variável, temos que o trabalho por ela realizado será numericamente igual à área do gráfico que descreve a relação entre variação de sua intensidade e a deformação provocada na mola.

T k. 2x2

= !

Obs.: Sendo a força elástica uma força restauradora, quando a mola estiver sendo deformada (comprimida ou alongada), o trabalho realizado pela força elástica será resistente; quando a mola estiver retornando à posição de equilíbrio, o trabalho será motor.

Potência

Podemos analisar a realização de trabalho e en-tender que a sua realização será mais eficiente quanto menor for o tempo gasto para realizá-lo. A partir daí, sur-ge o conceito de potência:

Pot = —T∆t

Assim, quando falamos de realização de traba-lho e da potência desenvolvida, é muito comum relacio-narmos isso a uma máquina, cuja função é realizar tra-balho desenvolvendo a maior potência possível. Dessa relação, surge o conceito de rendimento. Terá maior ren-dimento uma máquina que conseguir desenvolver uma maior potência (potência útil) em relação à potência total que ela poderia desenvolver:

ƞ = — Pu

Pt

Podemos definir trabalho como sendo a medida da transformação, variação ou transferência de energia.

Teorema da energia cinética

Considere um corpo que, por meio da ação de uma força resultante, sofre no deslocamento AB uma variação de velocidade. Sendo vA = v0, vB = v e d = ∆S e considerando a força resultante constante nesse des-locamento, o movimento descrito pelo corpo será unifor-memente variado, portanto:

v2 = v02 + 2a ∆S a = ————

v2 - v02

2∆S De acordo com a 2ª Lei de Newton:

FR = m . a FR = m . (v2 - v02)/2∆S, logo,

FR .∆S = m . v2/2 - m . v02 / 2 TFR = ∆Ec

Logo, podemos determinar a energia cinética de um corpo, energia associada ao movimento como sendo:

Ec m. 2v2

=

Energia potencial

A energia potencial está associada à variação de posição de um móvel. Teremos, portanto, energia po-tencial associada ao trabalho da força peso e ao trabalho da força elástica.

• Energia potencial gravitacional

Epg = m.g.h

• Energia potencial elástica

E k. 2x

pel

2

=

Faça com o professor

1) (UnB) Caminhando pelo DivertPAS, encontra-se o barco viking. Esse brinquedo, ilustrado a seguir, quando em funcionamento, tem um movimento análogo ao de um pêndulo simples. Quando o ponto A coincide com A´ ou B coincide com B´, o barco atinge sua altura máxima.

O barco atingirá altura mínima quando os pontos P, P´ e O estiverem alinhados. Considerando que a aceleração

90USEN V

da gravidade seja igual a 10 m/s2, que o sistema seja simétrico com relação ao eixo OP e desprezando todas as forças dissipativas, julgue os itens a seguir.

(1) Em relação ao ponto O, a energia potencial gravita-cional do barco viking é máxima quando A coincide com A´ ou B coincide com B´.

(2) Supondo que o centro de massa do barco coincida com seu centro geométrico, quando o barco estiver em movimento, a sua energia cinética será máxima quando os pontos P, P´e O estiverem alinhados.

(3) Quando o barco estiver em movimento e os pontos P, P´ e O estiverem alinhados, o módulo do vetor re-sultante da soma vetorial da tração em cada uma das barras de sustentação será igual ao módulo do peso total do barco.

2) (UnB) A figura acima apresenta um esquema simpli-ficado de uma das maiores atrações do DivertPAS: o escorregador selvagem. Nesse brinquedo, o visitante parte do ponto A com velocidade inicial nula e escorre-gaseguindoumadasduaspossíveis trajetórias– IouII–indicadasnafigura.AtrajetóriaIcorrespondeaumescorregador que liga os pontos A e B por meio de um segmentodereta.AtrajetóriaII,porsuavez,correspon-de a um escorregador que liga os mesmos pontos A e B por meio de um arco de circunferência, com centro nopontoP.Nafiguraacima,atrajetóriaindicadaporIII,linha tracejada, representa uma aproximação por dois segmentosde retada trajetória II.As trajetórias IIe IIItêm em comum o ponto C, interseção entre o segmento de reta OP e o arco de circunferência correspondente à trajetóriaII.Noambienteapresentado,considerequeaaceleração da gravidade seja igual a 10 m/s2. Com base no texto, julgue os itens a seguir.

(1) Supondo a ausência de forças dissipativas, se duas pessoas partirem do ponto A simultaneamente, uma pelatrajetóriaIeaoutrapelatrajetóriaII,entãoelaschegarão ao ponto B no mesmo instante.

(2) Supondo a ausência de atrito, quando duas pessoas de massas distintas m1 e m2 percorrerem as trajetó-rias I e II, respectivamente, os trabalhos realizadospela força da gravidade em cada uma dessas pesso-as serão iguais.

(3) Supondo a presença de força de atrito e que o módu-lo dessa força seja proporcional à força normal que atua em uma pessoa que está escorregando, então, paraatrajetóriaII,omódulodaforçadeatritoéumafunção crescente de x.

(4) Suponha que uma pessoa de peso igual a 600 N es-corregue,apartirdopontoA,pelatrajetóriaIIequeomódulo da força de atrito que atua sobre essa pessoa seja constante e igual a 240 N. Nessas condições, a energia cinética dessa pessoa no ponto B é menor que 1.200 J.

3) (CPS) Uma das dúvidas mais frequentes das pessoas sobre atividade física é o gasto calórico dos exercícios. Quem deseja emagrecer quer saber exatamente quanto gasta em determinada atividade e quanto consome em determinada refeição. Esse cálculo depende de muitos fatores. O gasto calórico dos exercícios varia de pessoa para pessoa, dependendo do metabolismo de cada uma delas (da genética e do biotipo), do tempo e da intensidade do exercício. Assim, o gasto calórico, numa atividade específica, difere entre uma pessoa de 90 kg e uma de 50 kg.A tabela a seguir mostra o gasto calórico aproximado de algumas atividades:

AtividadeGasto calórico*

(em quilocalorias/minuto)

Andar de bicicleta 4

Dançar 7

Esteira (andar acelerado) 9

Correr (no plano) 10

Spinning 13

*para uma pessoa de 60 kg

(SOUZA, Valéria Alvin Igayara. Disponível em: <http://cyberdiet.terra.com.br/gasto-calorico-dos-exercicios-3-1-2-326.html>. Acesso em:

27 ago. 2010. Adaptado)

Se uma pessoa de 60 kg comer uma fatia de pizza de mozzarella (muçarela) que tem 304 quilocalorias, se arrepender e desejar queimá-las, deverá de acordo com essa tabela, em princípio:

a) Dançar por cerca de 45 minutos. b) Fazer spinning por cerca de 15 minutos. c) Andar de bicicleta por cerca de 60 minutos.

91 Física

d) Correr em terreno plano por cerca de 18 minutos.e) Andar acelerado na esteira por cerca de 20 minutos.

4) (UNICAMP) A produção de fogo tem sido umanecessidade humana há milhares de anos. O homem primitivo provavelmente obtinha fogo através da produçãodecalorporatrito.Maisrecentemente,faíscaselétricas geradoras de combustão são produzidas através do chamado efeito piezelétrico.

3,0x104

2,5x104

2,0x104

1,5x104

1,0x104

5,0x103

5,0x1071,0x108 1,5x1082,0x108 2,5x108 3,0x108

0,00,0

Pressão (N/m2)

Tens

ão (V

)

a) A obtenção de fogo por atrito depende do calor libera-do pela ação da força de atrito entre duas superfícies, calor que aumenta a temperatura de um material até o ponto em que ocorre a combustão. Considere que uma superfície se desloca 2,0 cm em relação à outra, exercendo uma força normal de 3,0 N. Se o coeficiente de atrito cinético entre as superfícies vale mc = 0,60, qual é o trabalho da força de atrito?

b) Num acendedor moderno, um cristal de quartzo é pressionado por uma ponta acionada por molas. En-tre as duas faces do cristal, surge então uma tensão elétrica, cuja dependência em função da pressão é dada pelo gráfico abaixo. Se a tensão necessária para a ignição é de 20 kV e a ponta atua numa área de 0,25 mm2, qual a força exercida pela ponta sobre o cristal?

5) (UnB)

A figura acima ilustra, de forma diagramatica, a situação em que uma jovem, de massa m, desce, de uma altura h, escorregando em um tobogã de agua, sob a ação ape-nas da forca gravitacional g.

Com base nessas informações, julgue os próximos itens, desconsiderando as forcas de atrito que possam atuar no sistema.

(1) Considere que T(h) = mgh, com m constante, seja a função que descreve o trabalho realizado pelo sis-tema no ato da descida da jovem no tobogã. Nesse caso, o gráfico da função T(h), no plano cartesiano hOT, e uma reta que forma um angulo θ com o eixo h, tal que θ satisfaz a relação tgθ = mg.

(2) Dado que a forca gravitacional é conservativa, o tra-balho realizado para que a jovem desça de uma altu-ra h independe do comprimento do tobogã.

6) (UERJ) Uma pessoa empurrou um carro por uma dis-tância de 26 m, aplicando uma força F de mesma dire-ção e sentido do deslocamento desse carro. O gráfico abaixo representa a variação da intensidade de F, em newtons, em função do deslocamento d, em metros.

Desprezando o atrito, o trabalho total, em joules, realiza-do por F , equivale a:

a) 117b) 130c) 143d) 156

7) (ESCS/DF) Uma pessoa resolve dar um salto vertical e, para isso, flexiona suas pernas como mostra a figura (1). Nesse instante, t1, ela está em repouso. O ponto C representa seu centro de massa.A figura (2) mostra a pessoa no instante t2, em que ela abandona o solo. Suponha que, a partir desse instante, todas as partes do corpo da pessoa tenham a mesma velocidade, a do centro de massa.A figura (3) mostra a pessoa no instante t3 em que seu centro de massa atinge a altura máxima. Entre t1 e t2 o centro de massa subiu uma altura d = 30 cm, e entre t2 e t3, uma altura h.

A massa da pessoa vale 50 kg e o trabalho total de seus músculos, no intervalo de t1 a t2 , foi W = 450 J. O valor da altura h é igual a:

a) 30 cmb) 60 cmc) 90 cm

92USEN V

d) 1,5 me) 1,2 m

Faça em casa

1)(UNICAMP)“Eraumavezumpovoquemoravanumamontanha onde havia muitas quedas d’água. O traba-lho era árduo e o grão era moído em pilões (figura da direita). (...) Um dia, quando um jovem suava ao pilão, seus olhos bateram na queda d’água onde se banhava diariamente. (...) Conhecia a força da água, mais pode-rosa que o braço de muitos homens. (...) Uma faísca lhe iluminou a mente: não seria possível domesticá-la, ligan-do-a ao pilão?”

ALVES, Rubem, Filosofia da Ciência: introdução ao jogo e suas regras. São Paulo: Brasiliense, 1987. Essa história

ilustra a invenção do pilão d’água.

Podemos comparar o trabalho realizado por esse mon-jolo de massa igual a 30 kg com o trabalho realizado por um pilão manual de massa igual a 5 kg. Nessa compa-ração, desconsidere as perdas e considere g = 10 m/s2.

a) Um trabalhador ergue o pilão manual e deixa-o cair de uma altura de 60 cm. Qual o trabalho realizado em cada batida?

b) O monjolo cai sobre grãos de uma altura de 2 m. O pilão manual é batido a cada 2 s, e o monjolo, a cada 4 s. Quantas pessoas seriam necessárias para realizar com o pilão manual o mesmo trabalho que o monjolo, no mesmo intervalo de tempo?

2) (UFMS)A figuramostra trêspossíveismaneirasdeerguerumcorpodemassaMaumaalturah.

Em (I), ela é erguida diretamente; em (II), é arrastadasobre um plano inclinado de 30º, com atrito desprezível e,em(III),atravésdeumarranjodeduasroldanas,umafixa e outra móvel.

Admitindo que o corpo suba com velocidade constante, julgue os itens seguintes.

(1) O módulo da força exercida pela pessoa, na situação (III),éametadedomódulodaforçaexercidanasi-tuação(I).

(2) O módulo da força exercida pela pessoa, na situação (II),éigualaodaforçaexercidanasituação(III).

(3) Os trabalhos realizados pela pessoa, nas três situa-ções, são iguais.

(4)Nasituação(III),otrabalhorealizadopelapessoaémetade do trabalho realizado pela pessoa na situa-ção(I).

3) (FGV) Contando que ao término da prova os vesti-bulandos da GV estivessem loucos por um docinho, o vendedor de churros levou seu carrinho até o local de saída dos candidatos. Para chegar lá, percorreu 800 m, metade sobre solo horizontal e a outra metade em uma ladeira de inclinação constante, sempre aplicando sobre o carrinho uma força de intensidade 30 N, paralela ao plano da superfície sobre a qual se deslocava e na dire-ção do movimento. Levando em conta o esforço aplica-do pelo vendedor sobre o carrinho, considerando todo o traslado, pode-se dizer que:

a) Na primeira metade do trajeto, o trabalho exercido foi de 12 kJ, enquanto que, na segunda metade, o tra-balho foi maior.

b) Na primeira metade do trajeto, o trabalho exercido foi de 52 kJ, enquanto que, na segunda metade, o tra-balho foi menor.

c) Na primeira metade do trajeto, o trabalho exercido foi nulo, assumindo, na segunda metade, o valor de 12 kJ.

d) Tanto na primeira metade do trajeto, como na segunda metade, o trabalho foi de mesma intensidade, totalizando 24 kJ.

e) O trabalho total foi nulo, porque o carrinho parte de um estado de repouso e termina o movimento na mesma condição.

4) (UNICAMP) As eclusas permitem que as embarca-ções façam a transposição dos desníveis causados pe-las barragens. Além de ser uma monumental obra de engenharia hidráulica, a eclusa tem um funcionamento simples e econômico. Ela nada mais é do que um eleva-

93 Física

dor de águas que serve para subir e descer as embar-cações. A eclusa de Barra Bonita, no rio Tietê, tem um desnível de aproximadamente 25 m. Qual é o aumento da energia potencial gravitacional quando uma embarca-ção de massa m = 1,2.104 kg é elevada na eclusa?

a) 4,8.102 J.b) 1,2.105 J.c) 3,0.105 J.d) 3,0.106 J.

5) (ESCS/DF) Uma pessoa deseja saber quantas calo-rias perde cada vez que usa a bicicleta na academia. Su-ponha que, ao pedalar, cada um de seus pés, apropria-damente preso a um dos dois pedais da bicicleta, exerça sobre o pedal uma força sempre tangencial à trajetória circular de seus pés e de módulo constante igual a 20 N. Além disso, a força exercida por um pé tem sempre sen-tido oposto à exercida pelo outro, como indica a figura. O comprimento de cada pedal é 0,25m e a pessoa mantém os pedais com uma velocidade angular constante de mó-dulo igual a 4,2rad/s.

Considere, nesta questão, que W/Q=20%, onde W é o tra-balho realizado pelos pés da pessoa e Q é a quantidade de energia gasta por ela para realizar o exercício. Supo-nha que 1cal = 4,2J e lembre que 1,0 kcal = 1,0 x 103 cal. Se a pessoa pedala por uma hora, nessas condições, o valor de Q é igual a:

a) 360 kcal;b) 180 kcal;c) 90 kcal;d) 36 kcal;e) 18 kcal.

6) (ESCS/DF) Um pacote estava no alto de um plano in-clinado de 1,0m de altura, em relação ao solo. O pacote escorregou pelo plano inclinado e chegou ao chão com velocidade de 4m/s. Seja T o trabalho realizado pelo operário para colocar o pacote no alto do plano inclina-do, e g = 10m/s2 a aceleração da gravidade. A energia dissipada por atrito é:

a) 0,1T;b) 0,2T;c) 0,3T;d) 0,4T;e) 0,5T.

GABARITO

Faça com o professor1) C, C, E2) E, E, C, C3) a4) a) - 3,6.10-2 Jb) 50 N5) C, C6) d7) b

Faça em casa1) a) 30 Jb) 10 pessoas2) (1), (2), (3)3) d4) d5) b6) b