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TRABAJOS DE MATEMATICA - famaf.unc.edu.ar · TRABAJOS DE MATEMATICA Nº 37/08 Medida, geometría y el proceso de medir Esther Galina Editores: Jorge R. Lauret–Elvio A. Pilotta _____

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  • UNIVERSIDAD NACIONAL DE CRDOBA

    FACULTAD DE MATEMTICA, ASTRONOMA Y FSICA ______________________________________________________________________

    SERIE C

    TRABAJOS DE MATEMATICA

    N 37/08

    Medida, geometra y el proceso de medir

    Esther Galina

    Editores: Jorge R. LauretElvio A. Pilotta ________________________________________________________

    CIUDAD UNIVERSITARIA 5000 CRDOBA

    REPBLICA ARGENTINA

  • Medida, geometra y el proceso demedir

    Esther Galina

    Facultad de Matemtica, Astronoma y FsicaUniversidad Nacional de Crdoba

    LVIII Reunin Anual de la Unin Matemtica ArgentinaXXXI Reunin de Educacin Matemtica

    XX Encuentro Nacional de Estudiantes de MatemticaMendoza, 22 y 23 de Septiembre 2008

  • 2

  • Captulo 1

    Introduccin

    Estas son las notas del Curso para Profesores Medida, geometra y el procesode medir dictado en la XXXI Reunin de Educacin Matemtica y de la LVIII Re-unin Anual de la Unin Matemtica Argentina, que tuvo lugar en la UniversidadNacional de Cuyo en la semana del 22 al 27 de septiembre de 2008.

    Quiero agradecer a los organizadores de la misma por haberme invitado a dic-tar este curso y tambin a quienes lo tomaron por haber contribudo en la discusinde los problemas tratados y haberse involucrado en la resolucin y el anlisis decada uno de los problemas presentados.

    Una de las preocupaciones actuales en la enseanza de la matemtica es achicarla brecha que hay entre las construcciones matemticas escolares de los alumnosy las construcciones matemticas que utilizan para resolver los problemas que lesbrinda la realidad.

    En el intento de aportar en este sentido, analizaremos en qu puede contribuirel proceso de medir desde lo concreto de hacer una medicin directa hasta laselaboraciones geomtricas abstractas que se pueden producir. En el tratamientode esta temtica abordaremos conceptos matemticos bsicos de medida y de ge-ometra, el aporte fundamental de la geometra de caracterizar objetos a travs delas relaciones entre sus partes y cmo el hecho de medir, en forma directa o indi-recta, permite ponerlos en juego y exponer a los alumnos a tener experiencias deresolver interrogantes similares a los provenientes de situaciones extraescolares,haciendo uso de los conocimientos ms profundos aprendidos en el colegio.

    En este sentido podemos plantear los siguientes objetivos generales vinculadosa la problemtica social del uso de la matemtica y especficos de este curso.

    Objetivos generales:

    1. Romper la divisin entre las construcciones matemticas escolares de los

    3

  • 4 CAPTULO 1. INTRODUCCIN

    estudiantes y las construcciones matemticas que utilizan en la resolucinde problemas no escolares de la vida cotidiana.

    2. Incrementar el nivel de la matemtica que utilizan las personas escolari-zadas en problemas de la vida cotidiana.

    Objetivos especficos del curso:

    1. Reflexionar sobre el proceso de medir.

    2. Visualizar el papel de la geometra en este contexto.

    3. Analizar el tipo de contribucin que produce el exponer a los alumnos asituaciones de medir.

    Los contenidos del curso estn distribudos de la siguiente manera. En laprimer parte se abordaran algunos aspectos generales sobre los conceptos de me-dida y medicin. Tambin se incluye el resultado de una actividad donde los do-centes elaboraron, de acuerdo a su propia experiencia y conocimiento, una justifi-cacin sobre la incorporacin de Medida dentro de los contenidos de Matemticay el planteo de las dificultades ms frecuentes que tienen cuando abordan en claseeste tema.

    En una segunda parte se analizan los aspectos que involucra el proceso demedir. A travs de ejemplos se discute la importancia de cada uno de ellos y lavinculacin que tienen con la matemtica.

    Luego se describen algunos elementos importantes de la geometra que puedencontribuir en el armado de estrategias para resolver problemas y se analizan losditintos aspectos que se ponen en juego en el proceso de medir en diferentes ejem-plos. Como cierre, se discutirn algunas conclusiones sobre el tema.

  • Captulo 2

    Medir, medida y medicin

    2.1. Cul es la necesidad de medir?

    Desde sus orgenes el hombre necesit comparar objetos o eventos (cantidadde animales para comerciar, las estaciones del ao, la temperatura, etc.). Su primerresultado fue la creacin del concepto de nmero en el cual no me voy a detenerporque ya habrn escuchado muchas veces hablar de ello.

    Como instancia posterior a esa conceptualizacin, en el acto de la compara-cin, el hombre pudo distinguir diferencias entre las propiedades de los objetosen cuestin. Por ejemplo: si lo que se quiere comparar es la longitud de dos hilos,se puede decir este es ms largo o menos largo que este otro. Pero estas expre-siones no permiten precisar demasiado. Una expresin ms precisa es el primerocorresponde a dos veces el segundo. Eso tambin tiene una dificultad, si que-remos compararlo con un hilo que no tenemos en ese momento, no lo podemoshacer.

    2.2. Por qu se necesita una unidad de medida paramedir?

    Un acto importante en la historia fue cuando el hombre se dio cuenta que paracomparar dos objetos poda hacerlo indirectamente a travs de un tercer objetousado una medida estandar o unidad de medida. Esto solucionara el hecho depoder comparar cosas que no se encuentran en el mismo lugar, por ejemplo, siem-pre que podamos llevar la unidad de medida con uno. Como sabemos, al hablarde longitud, las primeras unidades de medida fueron el pie, el pulgar, el brazo,etc., de las cuales todava consevamos la denominacin en el sistema de medidaingls. Estas unidades de medida se denominan antropomtricas. No resultaban lo

    5

  • 6 CAPTULO 2. MEDIR, MEDIDA Y MEDICIN

    suficientemente precisas porque dependan de quien las tomara. Por otro lado, lafijacin de las unidades de medida pas a ser una herramienta de poder. Duranteel feudalismo, sobre los mismos objetos (tierras, casas, personas, produccin) elmunicipio posea ciertos derechos, otros el seor feudal, otros la iglesia, y otrosel rey. Cada uno de ellos estableca las propias unidades y a veces agrandaban lospatrones para obtener mayores tributos de sus vasallos. El Sistema Mtrico De-cimal surge en Francia con la Revolucin Francesa como producto de un reclamopopular de una unidad justa, comn a todos los habitantes. As se le encarg a laAcademia de Ciencias en 1790, y en ese mismo ao la Academia comunic quese haba elegido la escala decimal para pesos, longitudes y monedas. La determi-nacin del metro patrn demor casi diez aos ms.

    Este hecho permiti que se introdujera la objetividad en el acto de comparar.Su significado literal es acuerdo interpersonal". Si las observaciones se puedencuantificar de alguna manera, expresarlas en trminos de valores, es posible que lacomunicacin evite interferencias de la particularidad de cada individuo. De estamanera, tanto en la vida cotidiana como en cualquier trabajo que requiera obje-tividad y precisin, se plantea de qu manera se puede cuantificar o dar valoresnumricos a lo que se est observando, es decir cmo medir lo que se est obser-vando. Ya teniendo las mediciones se pueden comparar los valores resultantes yobtener conclusiones.

    Definicin 2.1. Una unidad de medida es una cantidad preestablecida, conven-cional o no, de una determinada propiedad o magnitud de objetos o eventos. Unaunidad de medida convencional toma su valor a partir de un patrn inmodifica-ble bajo ciertas condiciones o surgido como una composicin de otras unidadesdefinidas previamente.

    Cada propiedad o magnitud tiene sus unidades de medida especficas.Si medimos longitud, por ejemplo, sabemos que las unidades de medida con-

    vencionales son muchas dependiendo del orden de longitud que querramos medir,para caminos usamos km, para el ancho de una casa usamos metros, para el largodel lpiz usamos cm, para distancia entre microbios usamos ....

    2.3. Qu es una medicin?Las mediciones permiten que las descripciones puedan ser comunicadas a

    otros de manera concreta y objetiva.Una definicin de medicin es la siguiente:

    Definicin 2.2. Medicin es una asignacin de nmeros a objetos o eventos deacuerdo a reglas establecidas.

  • 2.3. QU ES UNA MEDICIN? 7

    Esta es una definicin muy general, ya volveremos a analizar mejor todas losaspectos que hay que tener en cuenta para realizar una medicin.

    En primer lugar, como hemos esbozado, se analiza una propiedad o atributode objetos o eventos que llamamos magnitud. El concepto de magnitud involucra:

    1. una propiedad compartida por muchos objetos;

    2. un sentido de conservacin, por lo menos bajo ciertos parmetros, en cadaobjeto que la posea;

    3. que pueda ordenarse;

    4. que pueda cuantificarse.

    El hecho que la magnitud pueda cuantificarse, permite definir una funcin avalores en R, el conjunto de nmeros reales, no necesariamente suryectiva y muyposiblemente no inyectiva,

    M :

    {objetos o eventos con cierta

    propiedad o atributo

    } R

    Observemos que esta funcin es compatible con el orden propio de la magnitud,es decir, podemos afirmar que la funcin es creciente. En efecto, dados dos objetosx e y tales que la magnitud en x es menor que la magnitud en y, la asignacin dadapor la funcin M debe safisfacer M(x) < M(Y ) para que tenga sentido haber hechoesta asignacin. Ms an, la unidad de medida tiene como imagen el nmero real1, y puede no ser nica.

    La posibilidad de medir permiti a otras ciencias o aplicaciones tecnolgi-cas a utilizar la matemtica como lenguaje universal. Este lenguaje brinda pre-cisin, sistematizacin, objetividad y una manera de comunicacin de los resulta-dos obtenidos en forma concreta para ser analizados.

    Transcribo a continuacin la frase con la cual comienza el libro PsychometricMethods del Profesor en Psicologa de la Universidad de Southern California, J.P. Guilford [Gui].

    El progreso y la maduracin de una ciencia es juzgada a menudo por la am-plitud en la cual ha tenido xito en el uso de la matemtica.

  • 8 CAPTULO 2. MEDIR, MEDIDA Y MEDICIN

    2.4. Por qu medida est dentro de los contenidosde Matemtica?

    Ahora es momento de refleccionar y para ello contestaremos algunas pregun-tas en grupos sobre las que luego volveremos.

    1. Por qu medida est dentro de los contenidos de matemtica?

    2. Qu actividades concretas de medir les dan a sus alumnos?

    3. Cules son las dificultades ms comunes se les plantean cuando abordanel tema medida?

    Del Proyecto Edumat-Maestros Didctica de las matemticas para maestrosque dirige Juan D. Godino [Go], extraje la siguiente fundamentacin.

    El estudio de las magnitudes y su medida es importante en el currculo dematemticas desde los niveles de educacin infantil hasta secundaria debido a suaplicabilidad y uso extendido en una gran cantidad de actividades de la vida dia-ria. El estudio de la medicin tambin ofrece oportunidad de aprender y aplicarotros contenidos matemticos, como operaciones aritmticas, ideas geomtricas,conceptos estadsticos y la nocin de funcin. Permite establecer conexiones entrediversas partes de las matemticas y entre las matemticas y otras reas dife-rentes, como el rea de sociedad, ciencias, arte y educacin fsica.

    La puesta en comn de las respuestas brindadas por los participantes del curso,sin haberlas ordenado, son las siguientes:

    Pregunta 1: Porque puede brindar los siguientes aportes a los estudiantes:

    Sentido material al clculo analtico.

    Nocin de orden de magnitud.

    Dependencia de la unidad de medida.

    Contacto con lo cotidiano.

    Comunicacin en el medio no escolar.

    Permite iniciar otros conceptos de mayor nivel de abstraccin.

    Desarrollo de competencias como lo es concretamente la comparacin paratomar decisiones.

  • 2.4. MEDIDA EN CONTENIDOS DE MATEMTICA 9

    Vnculo bidireccional entre objetos reales y la matemtica.

    Permite poner al alumno como protagonista activo.

    Vinculacin con otras ciencias y entre distintas reas de la matemtica,puede ser un eje transversal.

    Si observamos estas respuestas podemos deducir que prcticamente todas abor-dan algn aspecto entre la vinculacin de la matemtica con el mundo real. Msan, todas encierran una contribucin en la formacin del joven para desembol-verse en la sociedad (fuera del colegio) con ms habilidades y competencias.

    Pregunta 2: La mayora de las respuestas consisti en experiencias de medi-cin directa usando unidades no convencionales. Hubo slo dos, desarrolladas enclase de fsica o en el contexto de una feria de ciencias por parte del profesor defsica, donde la medicin fue indirecta e involucr otros conceptos matemticos eincluso construccin de un aparato de medicin. Todas las experiencias plantea-ban en la consigna la estrategia a usar para medir, incluso especificando la unidadde medida a utilizar.

    Pregunta 3: Las dificultades encontradas son:

    Confusin entre la relacin entre dos magnitudes distintas (si dos objetostienen una de ellas igual, la otra no necesariamente es igual).

    No acompaan al nmero con la unidad de medida.

    Equivalencias entre distintas unidades de medida de la misma magnitud.

    Problemas con el uso de las herramientas de medicin.

    Confusin entre unidad de medida y la magnitud misma.

    Desprecio a la exactitud.

    Concepto de aproximacin con determinada precisin.

    Desinters.

    Posiblemente, trabajar ms el tema en relacin a situaciones insertas en uncontexto familiar para los alumnos que destaquen que el mal uso de esos conceptospuede producir consecuencias importantes, pueda ayudar a enfrentar este tipo dedificultades.

  • 10 CAPTULO 2. MEDIR, MEDIDA Y MEDICIN

  • Captulo 3

    El proceso de medir

    3.1. Aspectos del proceso de medirUna pregunta que surge es cmo podemos medir cosas cuyos atributos medi-

    bles no son claros, que no traen explcitamente un nmero para asociarle? cmopodemos asignar nmeros a objetos o eventos? La naturaleza, como la conocemos,tiene propiedades que pueden ser representadas por estructuras lgicas de ciertossistemas de la matemtica.

    Incluso cuando es claro el atributo a medir, cada individuo que pretenda medirla magnitud de un objeto o evento deber estar atento a qu estrategia utilizar encada situacin particular.

    De acuerdo a lo que hemos dicho el proceso de medicin involucra (ver [MG]):

    1. Abstraccin que capte la esencia de la propiedad o atributo a medir per-mitiendo asignar un valor numrico a cada objeto o evento que posea esapropiedad.

    2. Estrategia para poder obtener esos nmeros efectivamente.

    3. Unidad de medida para expresar el resultado en forma objetiva y compara-ble.

    4. Aparato necesario para realizar la medicin adecuado a la precisin desea-da a obtener.

    Evidentemente la matemtica aparece en el primer punto. Por qu? Pues antesde poder medir hay que poder asignar, en forma terica, a cada objeto el nmeroque refleje el atributo especfico de ese objeto. Es decir, la manera en que se podrobtener una funcin a valores numricos, que cuantifique ese atributo.

    Esa funcin es, en principio, terica.

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  • 12 CAPTULO 3. EL PROCESO DE MEDIR

    Ejemplo 3.1. La funcin medida de la altura de las personas de esta sala. Noquiere decir que hayamos medido efectivamente a cada persona, pero sabemos qunmero asignar que refleje esa propiedad en cada persona de esta sala. Por ejemploel nmero que se obtenga al determinar la longitud del segmento perpendicular alpiso que une el piso con el punto ms alto de la cabeza de la persona.

    En ese proceso hemos dado sentido en abstracto a la altura como la longitudde un segmento especfico.

    El segundo punto, la estrategia para obtenerlo en concreto, tambin involu-cra el ingenio y la matemtica. Para medir lo mismo podemos plantear distintasestrategias. Piensen en dos diferentes.

    Ejemplo 3.2. cmo haran ustedes para medir el mstil de la escuela que est enel patio disponiendo slo de un metro?

    En este caso, ya sabemos qu significa el nmero que representa la altura, perono es sencillo obtenerlo directamente porque no nos podemos subir al mstil paratirar desde la punta de arriba el metro, incluso es posible que este no nos alcance.Aqu tambin tendremos que hacer uso de la matemtica!!!

    Qu estrategia se les ocurre?Plantimos una de las formas de resolver el problema. Consideremos el trin-

    gulo rectngulo cuyos vrtices son la punta y la base del mstil y la punta de lasombra del mstil. Ese tringulo es semejante al tringulo formado por el puntoms alto de la cabeza de uno de nosotros, el punto del piso justo debajo del an-terior y la punta de la sombra. Como la relacin entre los catetos de tringulosrectngulos semejantes son iguales, si denotamos con h el cateto horizontal y v elcateto vertical del tringulo dado por nosotros, esa relacin es vh . Por otro lado,si H es el cateto horizontal y V el cateto vertical del tringulo dado por el mstil,tenemos que esa relacin tambin es VH . Es decir,

    VH =

    vh , entonces V =

    vHh . Co-

    mo V es exactamente la altura del mstil, midiendo H, h y v tenemos el resultadoesperado.

    Ejemplo 3.3. Una vez una persona que colaboraba en un comedor de nios margi-nados me plate el siguiente problema. Las mujeres que preparaban la comidareciban bolsas de harina y de arroz, ellas las utilizaban hasta que se les acababay no hacan ninguna previsin respecto a saber hasta cundo les duraran. Cuandose quedaban sin arroz no tenan qu hacer de comer hasta que les llegaran msbolsas.

    Si uno de nuestros chicos quisiera ayudar en el comedor, con la formacin delcolegio tendran que ser capaces de hacer esa previsin. Cmo hacer para saberhasta cuando dura el arroz?

    Necesitan saber cuanto arroz se usa por comida y cuanto arroz tienen y com-parar esas cantidades. Para ello hay que averiguar algunos datos:

  • 3.2. ALGUNOS CONCEPTOS MATEMTICOS SURGIDOS POR MEDIR 13

    1. la cantidad de raciones se hacen por comida: 150,

    2. cantidad de arroz que se usa por racin: 1/2 taza,

    3. cantidad de bolsas de arroz que hay: 8,

    4. cantidad de arroz por bolsa: 50 kg.

    Luego hay que dar alguna estrategia para medir la cantidad de arroz usadapor comida y la cantidad de arroz que hay en la misma unidad de medida.

    Ejemplo 3.4. Este lo le del libro Matemtica ests ah? de Adrin Paenza, grandivuldador de la matemtica y de las ciencias en general. El problema consisteen medir la cantidad de peces que hay en un lago. Como va a ser imposible darun valor que refleje la realidad con exactitud, slo se pretende dar un valor apro-ximado como respuesta.

    Cmo podemos hacerlo? La dificultad est en elegir la estrategia a usar quenos lleve a alguna respuesta con sentido. Una estrategia es la siguiente, podrahaber otras. En una lancha y con una red de pescadores sacamos una cantidadde peces, digamos 1000, cuidando que no se mueran. De alguna manera los mar-camos y los devolvemos al agua. Dejamos un tiempo razonable para que esospeces se mezclen con el resto de los peces del lago y volvemos a sacar la mismacantidad de peces. Contamos los que estn marcados, supongamos 10 de los 1000,un 1 %.

    Si la probabilidad de encontrar un pez marcado en la red (cantidad de marca-dos sobre total de peces) es 10/1000, esto nos dice que la cantidad de peces quemarcamos (1000) es un 1 % del total de los peces del lago, suponiendo que semezclaron en forma homognea.

    Conclusin: una estimacin del total de peces del lago es 100000!!!Podramos hacer lo mismo con porotos dentro de un barril, pero tal vez en ese

    caso los chicos encuentren otras estrategias.

    3.2. Algunos conceptos matemticos surgidos por medirEn este intento de reflexionar sobre el proceso de medir hay que destacar que

    muchos conceptos matemticos surgieron en el intento de medir alguna propiedadespecfica.

    Por ejemplo, los griegos en el intento de medir la longitud de una circunsferen-cia, definieron el nmero como la razn entre la longitud de una circunferencia ysu dimetro que resulta un valor constante independientemente de la circunferen-cia de que se trate. En funcin de dar un valor explcito a , la estrategia utilizadaprodujo el concepto de lmite de sucesiones y de aproximacin, pues pudieron

  • 14 CAPTULO 3. EL PROCESO DE MEDIR

    expresar a , cn < < dn, como lmite de una sucesin cn montona creciente yotra dn montona decreciente.

    Otro ejemplo que modific la matemtica del siglo XVII fue el concepto dederivada. A pesar que no siempre se dice claramente, la derivada surgi en el in-tento de Newton de medir el movimiento. En realidad, la derivada de una funcinen un punto no es ms que la medida del crecimiento de esa funcin en ese punto.Un ejemplo grfico de ello es ver la velocidad de un auto en un instante dado (elnmero que aparece en el velocmetro del auto) como la medida del crecimientoo variacin de la funcin posicin en ese instante dado, es decir la derivada de esafuncin en ese instante.

    La integral tambin surge como la medida del rea encerrada por una curva.La probabilidad es otro ejemplo sorprendente que aparece para poder medir

    algo que en principio parecera imposible de asignarle un nmero y que es, porejemplo, la posibilidad de ganar un juego de azar. Observemos que no siempre estangible el objeto mismo que se quiere medir, el caso de la probabilidad reflejaclaramente que se asigna un nmero a un atributo no tangible.

    En este sentido, podra dar muchsimos ejemplos ms de conceptos matemti-cos surgidos en el intento de medir algn atributo de un objeto o evento. Inclusode la matemtica del siglo XX y XXI.

    Ms adelante, volveremos a los ejemplos dados para seguir reflexionando so-bre el proceso de medir y el poder de la matemtica.

  • Captulo 4

    Contribuciones de la geometra y delproceso de medir

    4.1. Cules son las caractersticas importantes dela geometra y su vinculacin con el proceso demedir?

    Segn Santal (cita del prlogo de [MS]):Los griegos, que crearon la Geometra, dibujaban las figuras en la arena, que

    tena la ventaja de poder borrar, pero faltaba precisin. Por esto se dijo que laGeometra era el arte de sacar consecuencias de figuras mal hechas.

    Realmente, si bien no es una definicin de la geometra, nos da una idea muyclara de su esencia y su poder. La geometra da muestras explcitas de cmo lamatemtica, entre otras cosas:

    1. abstrae aspectos de la realidad (por ejemplo la forma de un objeto, olvidn-dose del objeto mismo),

    2. describe sus partes (lados, ngulos, vrtices, caras, etc.),

    3. los relaciona (si los lados son paralelos; si son iguales; si los ngulos soniguales; si son complementarios, etc.),

    4. clasifica tipos de objetos a travs de las relaciones de sus partes (clasifi-cacin de los cuadrilteros y propiedades que caracterizan a cada uno deellos),

    5. deduce consecuencias haciendo slo uso de las propiedades de los objetos(demostracin geomtrica del Teorema de Pitgoras).

    15

  • 16 CAPTULO 4. GEOMETRA Y PROCESO DE MEDIR

    Un problema frecuente es que los chicos no entienden la geometra que seofrece en el colegio. Termina siendo un conjunto de planteos abstractos y rela-ciones sin producir un significado claro para ellos. No falta la oportunidad en queescuchemos: y para qu aprendemos todas estas relaciones entre los lados o en-tre los ngulos de un tringulo o un cuadriltero? Como docentes tenemos quebrindarles oportunidades a los alumnos para que puedan darle ese significado.

    Como hemos visto en los distintos ejemplos del captulo anterior, tanto la ge-ometra como otras reas de la matemtica intervienen como herramientas en elproceso de medir. La intervencin de la geometra no slo se debe a que la ma-yora de magnitudes que se estudian en el colegio (longitud, rea, volmen) estnvinculadas a objetos geomtricos. Hay ms poder en la geometra a ser usado.

    Volvamos a los ejemplos. En el de medir el mstil de la escuela usamos unapropiedad geomtrica de tringulos semejantes que sin ella no podramos haber re-suelto el problema. En el problema de la huerta usamos los conceptos de permetroy de superficie de un rectngulo y su frmula en trmino del valor de sus lados.

    Este tipo de contribuciones de la geometra generalmente aparecer en las es-trategias para obtener medidas en forma indirecta porque justamente, como carac-teriz Santal, la geometra obtiene muchas consecuencias a partir figuras malhechas o de relaciones entre sus partes.

    Daremos otro ejemplo del uso de la geometra vinculado con medidas perodonde el problema no consiste exactamente en tener que dar una medida, sinodecidir cual es la ms conveniente.

    Ejemplo 4.1. Han donado a una escuela rural 100m de alambre tejido para rodearla huerta rectangular que se haba planificado hacer. Hay que marcar el terrenopara poner los postes que sostendrn el alambre. Por dnde marcamos el terreno?

    4.2. Qu podemos rescatar del proceso de medir?Quiero destacar que no soy especialista en Educacin Matemtica, slo soy

    una matemtica que se interesa en la Educacin y slo puedo hablar desde miexperiencia de dictar cursos para docentes, de trabajar en talleres con chicos, deanalizar propuestas de cursos para docentes.

    Coincidiendo con Paenza, creo que es una obligacin, de los que sabemos unpoco ms de matemtica, mostrarles a los jvenes y a la poblacin en general quela matemtica est ah .

    Qu queremos que les quede a los chicos cuando les enseamos matemtica?

  • 4.2. QU PODEMOS RESCATAR DEL PROCESO DE MEDIR? 17

    Adems de todos los conceptos que sabemos que es necesario que sepan, quer-emos:

    que puedan reconocer un problema matemtico en un entorno real ex-traescolar,

    que adquieran ms habilidades para resolverlos,

    que valoren justificar sus decisiones y sus respuestas,

    que disfruten de resolver un problema.

    Todo eso se aprende!

    Una vez, dando un curso para docentes de matemtica, le ped a los profesoresque me cuenten ejemplos de la realidad que hayan trabajado con los alumnosdesde un punto de vista matemtico, es decir que me cuenten un problema noulico de la realidad que lo hayan analizado con los chicos con los lentes de lamatemtica.

    Todas se trabaron para responder, pero finalmente tuve una respuesta que fuela siguiente:

    Cuando ibamos de viaje en el mnibus a Puerto Madryn con todo el curso,como los chicos estaban aburridos y como tambin les doy fsica, empezamos amedir la velocidad media del mnibus viendo los mojones en el camino. Estabancontentsimos al ver que podan hacerlo!.

    Las otras agregaron: Ah! ese tipo de cosas las hacemos en clase de fsica, noen clase de matemtica.

    Son los profes de fsica los responsables de mostrar la matemtica que hay enla realidad y de desarrollar el pensamiento matemtico en los chicos? Bienvenidossi ellos lo hacen, pero... si nosotros no lo hacemos no les damos una idea erradaa los chicos de lo que es la matemtica? Como dice Paenza: a la matemtica lefaltan defensores!

    Los profesores de matemtica de nivel medio y los maestros tienen una granfuncin en la sociedad:

    son los responsables de alfabetizar matemticamente a la sociedad Qutarea!

    son los referentes de la matemtica en el colegio y de la comunidad vincu-lada a l,

  • 18 CAPTULO 4. GEOMETRA Y PROCESO DE MEDIR

    son los que tienen la mirada desde la matemtica de las cosas cotidianas,

    son los encargados de mostrarles a los jvenes que la matemtica est ah.

    La sociedad no ha tomado conciencia de la importancia de su funcin!

    Volvamos al ejemplo de medir el mstil de la escuela. Este ejemplo tienevarios aspectos interesantes a ser analizados como ejemplo de problema que seles puede formular a los estudiantes.

    1. Es un problema planteado en un lenguaje no escolar que podra estar pre-sente en cualquier otro contexto. Es una manera de exponer a los chicos asituaciones similares a las de la realidad ya que muchos de los problemasno escolares tienen como desafo dar la medida de alguna cosa.

    2. La magnitud a medir es clara, sin embargo no es claro que los alumnos sesientan capaces de resolverlo con los conocimientos que tienen.

    3. El enunciado no asocia el problema a un mecanismo de clculo ni sugierecmo resolverlo.

    4. No hay forma de realizar una medicin directa. Hay que plantear una es-trategia para resolver el problema en forma indirecta.

    5. La estrategia tiene que involucrar un uso creativo de los conceptos matemti-cos.

    6. La base de la estrategia dada es una propiedad geomtrica de tringulos se-mejantes o de proporciones. Sin ese conocimiento escolar no podra haberseplanteado esta estrategia.

    7. El planteo del problema no tiene datos especficos. Es parte de la resolucindel problema saber qu datos necesitan y conseguirlos.

    8. La obtencin de los datos los har salir del aula y los expondr a otro tipo dedesafos y problemticas concretas de medicin directa como por ejemploel uso de instrumentos de medicin.

    9. Todo el proceso favorecer el intercambio de ideas entre ellos, tanto de ideasmatemticas como de emprender en grupo la resolucin de un problema.

    10. Puede motivar a los alumnos por salir de lo rutinario.

    Analicemos ahora el ejemplo del comedor de nios.

  • 4.2. QU PODEMOS RESCATAR DEL PROCESO DE MEDIR? 19

    1. Es un problema planteado en un lenguaje no escolar.

    2. El problema se reduce a estimar la cantidad de tazas de arroz que se puedenllenar con 50 kg de arroz. Se mide un mismo objeto respecto de dos magni-tudes diferentes.

    3. El problema se puede resolver en forma directa o indirecta. Una estrategiaptima es necesariamente indirecta.

    4. La base de la estrategia indirecta es una propiedad de proporciones direc-tas. Sin ese sencillo conocimiento escolar no podra haberse planteado estaestrategia.

    5. El planteo del problema tiene datos especficos no suficientes. Es parte de laresolucin del problema saber qu datos ms hay que obtener.

    6. La obtencin de los datos los har salir del aula y los expondr a otro tipo dedesafos y problemticas concretas de medicin directa, como as tambinde incorporar rdenes de magnitudes.

    7. La respuesta que se obtenga es importante, pues de ello depende dejar al-gunos das a los nios sin comer.

    8. La eleccin de la estrategia tiene que tener en cuenta la optimizacin y lafactibilidad de obtener una respuesta.

    9. Todo el proceso favorecer el intercambio de ideas entre ellos, tanto de ideasmatemticas como de emprender en grupo la resolucin de un problema.

    Analicemos el problema de la estimacin de la cantidad de peces de unlago.

    1. Es un problema planteado en un lenguaje no escolar.

    2. La magnitud a medir es clara, sin embargo no es claro que los alumnos sesientan capaces de resolverlo con los conocimientos que tienen.

    3. No hay forma de realizar una medicin directa. Hay que plantear una es-trategia para resolver el problema en forma indirecta.

    4. La estrategia tiene que involucrar un uso creativo de los conceptos matemti-cos.

    5. La base de la estrategia es usar el concepto de probabilidad. Sin ese conocimien-to escolar no podra haberse planteado esta estrategia.

  • 20 CAPTULO 4. GEOMETRA Y PROCESO DE MEDIR

    6. El planteo del problema no tiene datos especficos. Es parte de la resolucindel problema saber qu datos necesitan.

    7. La estrategia es terica, no es factible llevarla a cabo. El mismo problemasera factible si cambiamos el lago por un gran barril lleno de porotos dondeproblema consiste en estimar la cantidad de porotos que hay en el frasco.

    8. Es muy probable que la estrategia sugerida por Paenza no se les ocurra a loschicos, pero las estrategias tambin pueden imitar y adaptar otras conocidas.Tambin es posible que surjan otras nuevas.

    9. Todo el proceso favorecer el intercambio de ideas entre ellos, tanto de ideasmatemticas como de emprender en grupo la resolucin de un problema.

    Por ltimo, analicemos el problema de la huerta.

    1. Es un problema planteado en un lenguaje no escolar.

    2. El problema pide indirectamente dar las dimensiones del terreno rectn-gular, por tener distintas respuestas permite discutir si hay una ptima enalgn sentido.

    3. Est vinculada a una toma de decisin y favorece el planteo de una justifi-cacin de la misma.

    4. Puede incentivar el anlisis sobre la relacin entre permetro y superficie.

    5. El problema se reduce a obtener el valor mximo de la superficie de unterreno de permetro fijo.

    6. La base de la estrategia es obtener el punto donde una funcin cuadrticadel tipo ax2 + bx con a < 0 alcanza su mayor valor. Sin los conocimien-tos escolares sobre permetro, superficie y funciones cuadrticas no podrahaberse planteado esta estrategia.

    7. La respuesta relaciona rdenes de distintas magnitudes.

    8. Todo el proceso favorecer el intercambio de ideas entre ellos, tanto de ideasmatemticas como de emprender en grupo la resolucin de un problema.

  • 4.3. CONCLUSIONES 21

    4.3. ConclusionesQu aspectos sern necesarios a abordar en la clase de matemtica para fa-

    vorecer que nuestros alumnos puedan enfrentar problemas no escolares? Se meocurren las siguientes:

    Brindar problemas no plateados como prototipos de problemas escolares,en "lenguaje no escolar", sin incluir todos los datos necesarios para la re-solucin, sin sugerir mtodos explcitos de resolucin. Esto no planteado enperjuicio de ofrecer una diversa prctica de problemas tpicos de cada tema.

    Desarrollar confianza en los alumnos de abordar problemas variados.

    Elaborar y aceptar distintos tipos de estrategias apropiadas a cada problem-tica planteada. Incluso aprovecharlas para discutir sobre la conveniencia deuna u otra.

    Resaltar las estrategias para resolver un problema que involucren el usocreativo de conocimientos matemticos ya estudiados. Valorar su uso porposibilitar la resolucin, en caso que no haya otra forma de hacerlo, o poroptimizarla, cuando las dems estrategias no resultan convenientes.

    Darles a los chicos la posibilidad de obtener una solucin completa delproblema, incluso si tienen que conseguir los datos que necesitan fuera delaula.

    Presentarles situaciones donde la respuesta es importante y donde la resolu-cin podra depender de ellos.

    Favorecer la vinculacin de distintos temas ya estudiados.

    El hecho de que muchos problemas que se plantean en la vida cotidiana encie-rran finalmente alguna medicin, el proceso de medir y la geometra pueden fa-vorecer en muchos aspectos el acercamiento entre la matemtica escolar y la noescolar.

    Para enfatizar esto, hay que reconocer el hecho que, en la vida, todo el tiempotenemos que tomar decisiones y optar por la opcin ms conveniente, es decir quetenemos que comparar las distintas opciones que se tienen. Hemos dicho que lamedicin surge de ese hecho. Si se puede cuantizar la conveniencia, es decir sipodemos medirla de alguna manera, es fcil decir cual es la mejor. Esto dice queen la vida estamos expuestos permanentemente a problemas de medida.

    En tal sentido, y de acuerdo a las respuestas de las preguntas de la ltimaseccin del Captulo 2, qu aspectos sern necesarios a abordar en la clase de

  • 22 CAPTULO 4. GEOMETRA Y PROCESO DE MEDIR

    matemtica vinculados a la medida y al proceso de medir? Por lo menos podemosnombrar estos:

    Trabajar el concepto de cada magnitud con sus propias dificultades. Com-prender la diferencia entre diversas magnitudes.

    Favorecer la creacin de diversos tipos de estrategias de medicin que pon-gan en juego distintos conceptos, propiedades y resultados matemticos dedistintos niveles de dificultad, en particular vinculados a la geometra.

    Analizar la eleccin de la estrategia en funcin de:

    Factibilidad de la medicin: Que efectivamente se pueda obtener unresultado.

    Presicin adecuada: Obtener datos lo suficientemente precisos paraque la respuesta sea adecuada al problema a resolver.

    Optimizacin del proceso: Obtener el resultado en el menor tiempo ycon el menor esfuerzo posible.

    Experimentar la obtencin de los datos necesarios de acuerdo a la estrategiade resolucin planteada.

    Experimentar la medicin directa y el uso de las herramientas de medicin.

    Trabajar la eleccin de la unidad de medida asociada a cada magnitud, con-vencional o no convencional, de orden adecuado en relacin a lo que sequiere medir.

    Trabajar la estimacin de medidas.

    Involucrar a los chicos en procesos de medicin nos ayudar a mostrarlesque podemos descubrir la matemtica en todos lados?

    La respuesta la tienen ustedes!

  • Bibliografa

    [Go] J. D. Godino, Didctica de las Matemticas para Maestros, ProyectoEdumat-Maestros, http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/, 2004.

    [Gui] J. P. Guilford, Psychometric Methods, Ed. McGraw-Hill Book CompanyInc., 1954.

    [MG] A. Maiztegui y R. Gleiser, Introduccin a las Mediciones de Laboratorio,Ed. Kapeluz, 1980.

    [MS] P. Marbach y L. Saidn, Haciendo Geometra, Centro Babbage, BuenosAires, 2000.

    [P] A. Paenza, Matemtica ests ah?, http://www.dm.uba.ar.

    [Pi] A History of Pi, http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Pi_through_the_ages.html

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