TRABAJO PRÁCTICO Nº 5: FUNCIONES

Ipet N°249 Nicolás Copérnico

Curso: 4° Año- Año 2020

Depto. de Matemática

1

TRABAJO PRÁCTICO Nº 5: FUNCIONES

Dados dos conjuntos numéricos A y B, donde observamos una relación entre ambos:

El conjunto A se lo denomina conjunto de partida o dominio y el conjunto B de llegada o

imagen.

Decimos que una relación f de A en B es una función de A en B si para cada elemento x

perteneciente a A, existe un único elemento y perteneciente a B tal que x f y.

Si tuviéramos que escribir una ecuación que represente todas las relaciones del ejemplo (B es

el doble de A o A es la mitad de B), sería la siguiente: y = 2.x

Dicha ecuación, la que representa la relación entre dos conjuntos numéricos, es a la que

llamamos función.

ACTIVIDAD:

1) Identifica la relación y la ecuación que representan los siguientes conjuntos.

a) b)

c) d)

2) A partir de la función, completa los conjuntos.

a) y = 4.x + 1 b) 𝑦 = 1

4 . 𝑥 − 2

2

3

-1

0

-2

4

6

-2

0

-4

Observamos en el ejemplo, que la

relación entre los conjuntos es la

siguiente:

B es el doble de A o

A es la mitad de B

A B

2

3

-1

0

5

5

7

-1

1

11

A B

6

4

2

0

-8

3

2

1

0

-4

A B

2

3

-1

0

5

4

9

1

0

25

A B

2

4

0

-2

3

5

11

-1

-7

8

A B

1

-1

2

13

1

A B

4

8

16

-2

-3

A B




2

𝑐) 𝑦 = 2.𝑥2

REPRESENTACION GRÁFICA

Cada relación puede ser representada en una gráfica en los ejes de coordenadas cartesianas x

e y. Si tomamos el primer ejemplo, cada relación representa un punto y puede representarse

también en una tabla donde las variables del conjunto A son x y las variables del conjunto B

son y.

Si le ponemos nombre a cada punto y lo ubicamos en el eje de coordenadas cartesianas nos

quedaría así:

Notemos que los puntos de la gráfica de f están alineados y que a medida que grafiquemos

más y más puntos se irá formando una recta, por lo que la función se denomina función lineal.

1

-2

5

8

2

A B

2

3

-1

0

-2

4

6

-2

0

-4

A B

x y

2 4 3 6 -1 -2 0 0 -2 -4

A B C D E F

Las funciones de la forma y = f(x) se pueden representar mediante una gráfica sobre unos ejes llamados ejes coordenados. Al eje horizontal se lo suele llamar eje x o eje de abscisas; sobre él se sitúa la variable independiente. Al eje vertical se lo suele llamar eje y o eje de ordenadas; sobre él se sitúa la variable dependiente. Para situar las variables sobre los ejes, hay que dar una escala en cada uno de ellos. Si P es un punto del plano, trazando por P la recta paralela al eje y, obtenemos un punto Xo sobre el eje x al que llamamos abscisa de P. Trazando por P la recta paralela al eje x, obtenemos un punto Yo sobre el eje y al que llamamos ordenada de P. Diremos que Xo e Yo

son las coordenadas de P y escribiremos P = ( 0x , 0y ).

x

y

),( 00 yxP

0x

0y




3

ANÁLISIS DE LA FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es una función f de la forma: 𝑦 = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 donde a y b son números reales.

𝒂 determina la pendiente de la recta si es positivo: gráfica ascendente

Si es negativo: gráfica descendente

Además mientras más grande sea su valor, más

pronunciado será su ángulo.

𝒃 es el término independiente, llamado ordenada al origen de una recta. Si consideramos la ecuación genérica de una recta y = ax + b, y calculamos el valor de y para x = 0, obtenemos y = a.0 + b = b. Por lo tanto, el punto (0, b) pertenece a la recta y.

Gráficamente, (0, b) es la intersección de la recta con el eje y . Por esta razón, a b se lo denomina ordenada al origen.

GRÁFICO POR TABLA DE UNA FUNCIÓN LINEAL

Ejemplo: Analizar y graficar la siguiente función: 𝑦 = −2. 𝑥 + 2

Al analizar la función, observamos que 𝒂 = -2. Al ser negativo nuestra gráfica deberá ser descendente y 𝒃 = 2, por lo tanto la recta deberá cortar el eje de ordenadas al origen en +2.

Para graficar por tabla, debemos darle valores a 𝑥. Se puede darle infinitos valores, ya que una recta está formada por infinitos puntos. Si repasamos las propiedades de la recta, con solo dos puntos, determinan una recta. Haremos al menos 5 puntos (dos positivos, el cero y dos negativos).

El procedimiento consiste en reemplazar los valores de 𝑥 en la función:

𝑦 = −2.2 + 2 𝑦 = −4 + 2 𝑦 = −2 𝑦 = −2.1 + 2 𝑦 = −2 + 2 𝑦 = 0 𝑦 = −2.0 + 2 𝑦 = 0 + 2 𝑦 = 2 𝑦 = −2. (−1) + 2 𝑦 = 2 + 2 𝑦 = 4 𝑦 = −2. −2 + 2 𝑦 = 4 + 2 𝑦 = 6

x y

2 -2 1 0 0 2 -1 4 -2 6

A B C D E F




4

FUNCION CON PENDIENTE FRACCIONARIA Si bien x puede tomar cualquier valor, a continuación se dará una estrategia para evitar que en la tabla nos queden números fraccionarios.

Ejemplo: 𝑦 = 3

2.𝑥 − 2 Analizando la función obsérvanos que 𝒂 =

3

2 al ser positivo la recta será

ascendente y 𝒃 = −2 por lo tanto la recta deberá cortar el eje de ordenadas al origen en -2. En la tabla, utilizarnos el valor del denominador y sus múltiplos, a fin de lograr que se simplifiquen:

𝑦 = 3

2. 4 − 2 𝑦 = 3.2 − 2 𝑦 = 6 − 2 𝑦 = 4

Actividad:

1) Completa la tabla de ejemplo anterior y grafica. 2) Analizar y graficar por tabla las siguientes funciones:

a) 𝑦 = 2.𝑥 − 1 b) 𝑦 = 𝑥 − 2 c) 𝑦 = −1

3. 𝑥 + 1 d) 𝑦 = 2.𝑥 e) 𝑦 = −𝑥

f) 𝑦 = −4. 𝑥 + 5 g) 𝑦 = 1

4. 𝑥 − 3

GRÁFICO SIN TABLA DE UNA FUNCIÓN LINEAL

Teniendo en cuenta la propiedad de que por dos puntos pasa una sola recta o que una recta, queda determinada por al menos 2 puntos, graficaremos la función lineal con la información que nos da la función. El primer punto lo determina el término independiente 𝒃 y el segundo punto lo determinamos con el valor de la pendiente a partir del punto anterior.

Ejemplo 1: 𝑦 = 2

3.𝑥 + 2 el primer punto, será el de 𝑏 = 2 que nos da el punto A (0;2) luego

con la pendiente formaremos un triangulo a partir del punto anterior tomando el valor de la

pendiente 𝑦 = 2

3 donde 3 es el cateto adyacente (horizontal) y 2 es el cateto opuesto

(vertical)

Ejemplo 2: 𝑦 = −2

3. 𝑥 + 1 en este caso la pendiente es negativa. Para que el signo de la

fracción sea negativo, se supone que en la división del numerador y el denominador, solo uno

x y

4 4 2 0 -2 -4




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era negativo y el otro indefectiblemente debería ser positivo. Por lo que deberemos tomar uno solo como negativo. Representamos los dos casos tomando uno como negativo y luego el otro, demostrando que da la misma recta.

Ángulo de la pendiente: es posible, utilizando lo aprendido en el TP anterior de trigonometría calcular el ángulo con que la recta corta al eje x. Si observamos la grafica, vemos que se forma un triángulo rectángulo.

Si tomemos el ejemplo 2, la pendiente es 𝒂 = −2

3 donde -2 es el cateto opuesto y 3 el cateto

adyacente, podemos entonces utilizar la función trigonométrica tangente para hallar el ángulo:

tan 𝛼 = 𝐶𝑂

𝐶𝐴 tan𝛼 = −

2

3 𝛼 = tan−1 −0, 6 𝛼 = −33,69° 𝛼 = −33°41´24´´

En este ejemplo, al ser la

pendiente negativa, el ángulo

nos da negativo (sentido

horario). Para expresar el

ángulo correctamente

debemos escribir el ángulo

positivo (sentido anti horario).

Como la suma de ambos es

180° se puede hallar calculando

su suplemento.




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ACTIVIDAD:

1) Dadas las siguientes funciones:

a) 𝑦 = −2

5.𝑥 + 2 b) 𝑦 = 3.𝑥 − 1 c) 𝑦 = 𝑥 + 1 d) 𝑦 =

1

3.𝑥 + 1

Analiza la función

Grafica sin tabla

Calcula el ángulo de la pendiente

2) Obtener las funciones asociadas a los siguientes gráficos:

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

Fig. 5

Fig. 6

3) Juan sale de su casa en bicicleta, para llevarles un paquete a sus abuelos. Viaja por un

tramo recto de la autopista, almuerza con ellos y regresa a su casa nuevamente. Cuál de estos gráficos representa, en función del tiempo: A - la distancia de Juan a su casa B – la distancia de Juan a la casa de sus abuelos. Expliquen, en cada caso, cómo se dan cuenta.




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4) Un colectivo y un auto hacen un viaje de ida y vuelta por una ruta recta en la provincia de Chubut. El colectivo sale de Rio Mayo y el auto desde Dr. Ricardo rojas

A - ¿A qué hora salió el colectivo? B - ¿El auto salió a la misma hora que el colectivo? ¿Cómo se da cuenta? C - ¿A qué distancia de Rio mayo y Dr. Ricardo rojas? ¿Cómo se dan cuenta? D - ¿Se detuvo el auto durante el trayecto? Si responde afirmativamente, indique a qué hora y en qué lugar. Si la respuesta es negativa, anoten como se dan cuenta. E - ¿Se detuvo el micro durante el trayecto? Si la respuesta es afirmativa, indique a qué hora y en qué lugar. Si la respuesta es negativa, escriban por qué. F - ¿Dónde terminó el auto su viaje? ¿A qué hora? ¿Cómo se dan cuanta? G - ¿Cuánto tiempo estuvo el colectivo en Dr. Ricardo rojas? H - ¿A qué velocidad viajo el colectivo a la vuelta? Escriban cómo hacen para calcularla. I - ¿A qué velocidad viajó el auto a la ida?




8

-2 -1 1 2

x

1

2

3

4

y

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Ahora analizaremos las funciones cuya ecuación es un polinomio de segundo grado, es decir,

cbxaxxf 2 , donde a 0.

¿Qué sucede si a = 0?

¿Cuál es el dominio de dicha función?

Intentemos hallar la gráfica de la función cuadrática más sencilla: 2xy . Para esto,

ayudémonos con la siguiente tabla

El gráfico obtenido para y = 2x se denomina parábola, al igual que el gráfico de cualquier función cuadrática.

Observemos que el menor valor que toma y es 0, cuando x = 0 , y que y no puede tomar

valores negativos puesto que es de la forma y = 2x . El punto (0, 0) se denomina vértice de la parábola, es el punto en el que la parábola alcanza un valor máximo o uno mínimo.

ANALISIS DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

1) Raíces: cuando y = 0 es posible hallar las raíces de la función (corte en el eje x). vale destacar que tenemos tres posibilidades:

x f(x) = 2x

–3 9

–2 4

–1 1

0 0

1 1

2 4

3 9




9

Las raíces se obtienen a partir de la siguiente fórmula:

2) Orientación de la parábola: El valor de a determina dos cosas, si el valor de 𝒂 < 0 las ramas serán descendentes y si 𝒂 > 0 las ramas serán ascendentes como lo muestra la siguiente figura:

3) Vértice: es un punto, máximo o mínimo de la función. Al ser un punto, lo que se tiene que obtener son las coordenadas del mismo (Xv;Yv)

4) Eje de simetría: El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide la

parábola en dos mitades congruentes. El eje de simetría siempre pasa a través del vértice de la parábola. La coordenada en x del vértice es la ecuación del eje de simetría de la parábola.

5) Ordenada al origen: Es el punto de intersección de la grafica con el eje de ordenadas, eje y. Vale decir que f(x) = c. Reemplazo en la función original a la variable x por cero.

𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4.𝑎. 𝑐

2. 𝑎

La componente horizontal Xv de

la coordenada del vértice se

obtiene a partir de la siguiente

formula:

𝑥𝑣 = −𝑏

2.𝑎 mientras que la

componente vertical 𝑦𝑣 se

obtiene reemplazando el valor 𝑥𝑣

en la función.




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Ejemplo 1: Analizaremos y graficaremos la siguiente función: 𝑦 = −𝑥2 + 4𝑥 − 3 De la función sabemos que: 𝑎 = −1 ; 𝑏 = 4 𝑦 𝑐 = −3

1) Raíces:

𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐

2.𝑎 𝑥 =

−4 ± 42 − 4. −1 . −3

2. −1

𝑥 = −4 ± 16−12

−2 𝑥 =

−4± 4

−2 𝑥1 =

−4+2

−2

𝑥2 = −4−2

−2

En este caso encontramos 2 raíces posibles. ¿Cuando ocurre que hay una sola raíz o ninguna? Para que haya una sola raíz, dentro del radicando nos queda el número cero (por lo que sumar o restar cero nos da lo mismo) y ninguna, cuando dentro del radicando nos queda un número negativo (el cual no se puede resolver dentro del campo de los números reales)

2) Orientación de la parábola: al ser el valor de 𝑎 = −1 menor a 0, las ramas serán hacia abajo o descendentes.

3) Vértice: 𝑥𝑣 = −𝑏

2.𝑎 𝑥𝑣 =

−4

2. −1 𝑥𝑣 =

−4

−2 𝑥𝑣 = 2

Ahora para obtener la componente vertical 𝑦𝑣 reemplazaremos el valor de 𝑥𝑣 en la función dada:

𝑦 = −1.22 + 4.2 − 3 𝑦 = −4 + 8 − 3 𝑦 = 1 La coordenada del vértice a la que llamaremos 𝑃𝑣 = (𝑥𝑣 ;𝑦𝑣) resulta 𝑃𝑣 = (2; 1)

4) Eje de simetría: eje vertical, paralelo al eje y que pasa por x = 2 (valor del vértice)

5) Ordenada al origen: es igual al valor de c = -3

𝑥1 = 1

𝑥2 = 3

Tener en cuenta que el signo negativo no se

eleva cuadrado por pertenecer a 𝒂 y no a x.

Agregamos el -1 de 𝒂




11

Ejemplo 1: Analizaremos y graficaremos la siguiente función: 𝑦 = 9.𝑥2 + 6. 𝑥 + 1 De la función sabemos que: 𝑎 = 9 ; 𝑏 = 6 𝑦 𝑐 = 1

1) Raíces:

𝑥 = −𝑏 ± 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐

2.𝑎 𝑥 =

−6 ± 62 − 4.9.1

2.9

𝑥 = −6 ± 36−36

18 𝑥 =

−6± 0

18 𝑥1 =

−6±0

18

En este caso encontramos 1 raíz posible.

2) Orientación de la parábola: al ser el valor de 𝑎 = 9 mayor a 0, las ramas serán hacia arriba o ascendentes.

3) Vértice: 𝑥𝑣 = −𝑏

2.𝑎 𝑥𝑣 =

−6

2.9 𝑥𝑣 =

−6

18 𝑥𝑣 = −

1

3

El vértice coincide con la raíz Ahora para obtener la componente vertical 𝑦𝑣 reemplazaremos el valor de 𝑥𝑣 en la función dada:

𝑦 = 9. (1

3)2 + 6.

1

3+ 1

𝑦 = 9.1

9+ 2 + 1

𝑦 = 1 + 2 + 1 𝑦 = 4

La coordenada del vértice a la que llamaremos 𝑃𝑣 = (𝑥𝑣 ;𝑦𝑣) resulta 𝑃𝑣 = (−1

3 ; 4)

4) Eje de simetría: eje vertical, paralelo al eje y que pasa por x = −1

3

5) Ordenada al origen: es igual al valor de c = 1

En este ejemplo, el vértice (mínimo por ser ascendente) coincide con el valor del eje de simetría y además con la raíz. Contamos con ese punto y el de la ordenada al origen para graficar. Para que la gráfica sea más exacta, obtendremos más puntos por tabla. 𝑦 = 9. −1 2 + 6. −1 + 1 𝑦 = 9. 12 + 6.1 + 1 𝑦 = 9.1 − 6 + 1 𝑦 = 9.1 + 6 + 1 𝑦 = 4 𝑦 = 16 El segundo punto no será representado en este caso, por salir fuera de la escala utilizada en este gráfico.

𝑥1 = −1

3

x y

-1 4 1 16




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ACTIVIDAD: Analiza y gráfica las siguientes funciones:

A) 𝑦 = 4.𝑥2 + 3.𝑥 − 1

B) 𝑦 = −4.𝑥2 + 3.𝑥 + 1

C) 𝑦 = 3.𝑥2 + 3.𝑥 + 1

D) 𝑦 = 𝑥2 − 5. 𝑥 + 4

E) 𝑦 = 𝑥2 − 2. 𝑥 + 5

F) 𝑦 = 𝑥2 + 2. 𝑥 + 1

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4° A Prof. Boari Blanca [email protected]

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