Trabajo de Los Vectores (Algebra Lineal)

7/26/2019 Trabajo de Los Vectores (Algebra Lineal)

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Instituto Universitario Politcnico

Santiago Mario

Extensin Caracas

Escuela de Ingeniera Civil

TRABAJO DE LOS ESPACIOS VECTORIALES

Profesor: utor:

Ing! "a#ire$ Pre$ "ud% C!I!: &'!()(!)*(

Caracas+ &* de ,ulio del )(&-


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Introduccin

En el presente trabajo se detalla un resumen general de la materia lgebra Lineal ,en el cual se tratara de enlazar las relaciones de todos los temas vistos en

el transcurso del ciclo.Por ejemplo, dimensin y espacio vectorial, combinacin lineal y matrices n x m, yotros temas estn ampliamente relacionados igual ue otros temas ue veremos enel transcurso de este trabajo.

!ratar de enlazar los temas de la presente asignatura "ue satis"actorio ya ue as# nosdamos cuenta de ue tanto necesitamos aprender los temas anteriores para poderresolver los nuevos problemas, sin tener una buena base de los temas estudiados enel transcurso del trabajo no podr#amos realizar los problemas de otros temas nopresentes en este trabajo ejemplo los valores y vectores propios$ en este se necesitaue se domine casi todo este trabajo para poder entender y poder analizar este temaya ue estn grandemente relacionados .

En estos capitulo generalizamos los conceptos bsicos de los vectores. Laspropiedades comunes de la aritm%tica matricial y vectorial se trans"orman enpropiedades de"initorias para un conjunto de vectores abstractos o generalizados,llamado espacio vectorial. Los conjuntos de matrices y de vectores ordinarios sonejemplos de espacios vectoriales.

&e igual manera se abordara el tema de sub espacio los conceptos de "undamentales

de sub espacios y base en 'n. La eleccin y uso de una base de un sub espacio separece a la eleccin y uso de un marco de coordenadas en el plano o en el espacio porlo tanto esta es una preparacin para los conceptos abstractos correspondientes de launidad


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Estructuras Algebraicas

(na estructura algebraica es un conjunto de operaciones binarias, esta se representan)*, operacin+, ) a, b, c-, operacin+, as# se representan las estructuras algebraicas

sencillas, las dobles se representan )conjunto, o. operacin, /o. operacin+.(na operacin binaria es cuando dos conjuntos se operan entre si y el resultado deesta operacin da un tercer conjunto.

!abla de 0ayley es una tabla ue contiene "ilas y columnas, para poder trabajar conestas tablas se necesitan dos conjuntos "initos ejemplo1

* , /,2- y 3 4, 5,6-

0 7 * x 38 0 donde x es una multiplicacin ordinaria.

x 4 5 6

4 5 6

/ 9 : /

2 / 5 9

&onde c 7 4, 5, 6, 9, :, /, 5,9-

Estructura Algebraica

Estos se pueden clasi"icar seg;n la cantidad de operaciones ue tengan.


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Para ue una estructura algebraica de dos operaciones sea anillo esta debe

analizarse separadamente y as# se clasi"ica1 para ue sea anillo la primera operacin debe de ser grupo abeliano como lo

vimos anteriormente. Luego debemos de ver si las dos operaciones son compatibles y esto se >ace

>aciendo ue la segunda operacin de distribuya en la primera operacin.


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Propiedades de las operaciones

Ley de cierre:esta dice ue al operar dos elementos el resultado debe pertenecer alconjunto asignado en la operacin.

Elemento inverso o Identidad:este dice ue un elemento operado con el neutro dela operacin esta debe de dar de resultado el elemento ejemplo1 el elemento neutro dela suma es el : entonces a A : 7 a y : A a 7 :.

Elemento inverso:este es auel ue al ser operado con cualuier elemento este debede dar de resultado el elemento neutro de la operacin ejemplo1 el elemento inversode la suma es la resta entonces a A CDa 7 : y CDa A a 7 :.

Ley asociativa:este dice ue los elementos se pueden asociar sin alterar el resultadoejemplo1 Ca A b A c 7 a A Cb A c7d.

Ley conmutativa:este dice ue el orden de los elementos no altera el productoejemplo1

a A b 7 b A a 7 c.

Espacios Vectoriales

Espacio euclidiano o Espacio vectorial:

(n espacio euclidiano es el conjunto de nDadas ordenadas, tambi%n conocido porespacio nDdimensional y de denota por 'n este es una sucesin de n n;meros realesejemplo Ca, a/,..., an donde los vectores 'n se clasi"ican as#1

' 7 espacio unidimensional, l#nea recta real.

'/ 7 espacio bidimensional, pares ordenados.

'2 7 espacio tridimensional, terna ordenadas.

'n 7 espacio nDdimensional, nDadas ordenadas.

Operaciones Bsicas con Vectores en R2:

Suma de vectores y multiplicacin por un escalar:


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Las propiedades ue cumple la suma de vectores son la misma ue cumpl#an lasestructuras algebraicas de una operacin ue son1 la de cierre, la conmutativa, laasociativa, elemento neutro e identidad y la distributiva.

Las leyes ue cumple la multiplicacin por un escalar son1La de cierre bajo la multiplicacin Fx,

La distributiva CFAG x 7 Fx A GxH FCx A y 7 Fx A Fy,

La asociativa CFG x 7 F CGx,

y el elemento neutro de la multiplicacin x 7 x.

Operaciones Bsicas con Vectores en Rn:

Las operaciones bsicas con vectores en 'n son las mismas ue las operacionesbsicas ue vimos anteriormente, o sea, la suma de vectores y la multiplicacin porun escalar la di"erencia ser#a ue en estos serian nDesimos elementos y nDesimosvectores ejemplo1

Para suma de vectores

? A @ 7 Cx, x/,..., xn A Cy, y/,..., yn.

Para multiplicacin de un vector por un escalar

FCx, x/,..., xn 7 CFx, Fx/,..., Fxn.

Las propiedades ue cumplen son las mismas ue vimos en operaciones bsicas convectores en '/.

El vector cero :$ es el vector neutro o identidad de la suma de vectores en 'n1

: 7 C:, :, :,..., :n, este vector tiene como propiedad de ue es ;nico, es decir, ( A :7 :,

:( 7 :, a: 7 :, a( 7 : si a 7 : o ( 7 :, donde ($ es un vector y a$ un escalar.

Espacios Vectoriales:

(n espacio vectorial es auel conjunto de vectores ue cumple las propiedades oaxiomas de la suma de vectores y la multiplicacin por un escalardic>as propiedades vistas en espacios nDdimensinales 'n o '/. (n espacio vectoriales un espacio no vac#o.


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Podr#amos decir ue un espacio vectorial es la abstraccin de las propiedades de unespacio nDdimensional, debe tomarse en cuenta ue en el espacio vectorial no seespeci"ica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualuier vector y cualuieroperacin se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicacin por un escalar,

pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.

(n espacio vectorial cumple con cuatro partes ue son1 un conjunto de vectores, unconjunto de escalares, y dos operaciones. Estos "orman un cuerpo ue es igual a lasestructuras algebraicas de dos operaciones )conjunto, operacin, operacin+ Cuncuerpo. Para comprobar ue determinado conjunto es un espacio vectorial es precisode"inir o especi"icar las propiedades de suma multiplicacin por un escalar comovimos anteriormente tenemos ue de"inir el elemento ue act;a como cero C: y elnegado de cada elemento.

Cuerpo:

Es el conjunto de n;meros y operaciones cualesuiera ue deben obedecer las diezpropiedades algebraicas ue mencionamos en operaciones bsicas de espaciosvectoriales.

Sub cuerpo:


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.

Envolvente Lineal:

Este es el conjunto de todas las combinaciones lineales semejantes denotado por LinCv, v/,..., vn y se denomina envolvente lineal de u, u/,..., un.

aciendo la matriz transpuesta esto uiere decir ue si las columnas las >acemosvectores de Km estos generan un sub espacio de Km llamado espacio columna de *denotado cDLin *.

acemos operaciones elementales entre "ila a * y obtenemos una matriz 3podemos decir ue 3 es ue cada "ila de 3 es una combinacin lineal de cada "ila de* por lo ue el espacio "ila de 3 esta contenido al espacio "ila de * y as# viceversa, osea, si e"ectuamos operaciones entre "ila a 3 obtenemos * y esto ser#a convencinlineal de cada "ila de 3, esto cumple ciertos teoremas y propiedades1

Las matrices euivalentes por "ilas tienen el mismo espacio "ila.

&os matrices en "orma cannica por "ila tienen el mismo espacio "ila si estostienen las mismas "ilas no nulas.

!oda matriz es euivalente por "ila a una matriz ;nica en "orma cannica por "ilas.


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Conjuntos Generadores e #ndependencia Lineal:

ace MaussDNordn a lamatriz aumentada para diagonal izarla si la solucin de la diagonalizacion tienesolamente solucin trivial c, c/, c2 entonces < es linealmente independiente.


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!ericamente la dimensin se determina al >allar el conjunto de vectores linealmenteindependientes ue genera el sub espacio, este conjunto es una base del subDespacio yla dimensin del mismo es el n;mero de vectores ue >ay en la base.

Para ver ue una base en un espacio nDdimensional1


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utiliza la notacin matricial *x 7 : es un espacio 'n esta solucin se denominaespacio solucin del sistema tambi%n se llama espacio nulo de a. La dimensin deeste sistema se denomina nulidad de *.

Para la dimensin de un sistema >omog%neo C*x 7 : en una matriz * m x n y surango r entonces la dimensin seria nDr Cnulidad D rango 7 n.

(n sistema >omog%neo *x 7 : es un subDespacio y un sistema no >omog%neo *x 7 :es un subDespacio y un sistema no >omog%neo *x 7 3 donde 3 B : este no es subDespacio ya ue el vector cero no es solucin.

omog%neo entonces todo el sistema seexpresa como ? 7 ?p A ?n donde ?> ser#a la solucin del sistema >omog%neo *x 7:.

Para ver el n;mero de soluciones de las ecuaciones lineales se tomara en cuenta tresreglas1


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Coordenadas cambio de base:

orario en esta "orma la base standard ya vista entemas anteriores ex>ortada "ormando un nueva base ue es 3S7 C0os ,


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Para probar el ue una ecuacin di"erencial es linealmente independiente se puede>acer por Urosiano. Este se >ace si el Urosiano es di"erente de cero CU B :.

Vector fijo

Elementos de un vector

&ireccin de un vector

La direccin del vector es la direccin de la recta ue contiene al vector o decualuier recta paralela a ella.


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dulo a partir de las coordenadas de los puntos

0oordenadas de un vector


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0lases de vectores

Jectores euipolentes

&os vectores son euipolentes cuando tienen igual mdulo, direccin y sentido !

Jectores libres

El conjunto de todos los vectores euipolentes entre s# se llama vector libre. Es decirlos vectores libres tienen el mismo mdulo"direccin ysentido!

Jectores "ijos


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(n vector "ijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores "ijos tienenel mismo mdulo"direccin"sentido y origen!

Jectores ligados

Los vectores ligados son vectores euipolentes ue act;an en la misma recta. Esdecir, los vectores "ijos tienen el mismo mdulo "direccin"sentido y se encuentran enla misma recta!

Jectores opuestos

Los vectores opuestos tienen el mismo mdulo"direccin, y distinto sentido!


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Jectores unitarios

Los vectores unitario tienen de mdulo, la unidad!

Para obtener un vector unitario, de la misma direccin y sentido ue el vector dado sedivide %ste por su mdulo.

Jectores concurrentes

Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

Jector de posicin


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Jectores linealmente dependientes

Jarios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe unacombinacin lineal de ellos ue sea igual al vector cero, sin ue sean cero todos loscoe"icientes de la combinacin lineal.

Jectores linealmente independientes


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Jarios vectoreslibres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puedeexpresar como combinacin lineal de los otros.

Jectores ortogonales

&os vectores son ortogonales o perpendiculares si suproductoescalar es cero!

Jectores ortonormales

&os vectoresson ortonormalessi1

.


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#uma de

vectores

'egla del paralelogramo


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Las componentes del vector resta se obtienen restando las componentes de losvectores.

Producto de un n%mero por un vector


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Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K lascomponentes del vector.

Combinacin lineal

(na combinacin lineal de dos o ms vectores es el vector ue se obtiene al sumar

esos vectores multiplicados por sendos escalares.


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0ualuier vector se puede poner como combinacin lineal de otros dos ue tengandistinta direccin.

Esta combinacin lineal es ;nica.

Jectores linealmente dependientes e independientes

Jectores linealmente dependientes
http://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/direccion/direccion.shtml


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Jarios vectores libres del plano se dice ue son linealmente dependientes si >ay unacombinacin lineal de ellos ue es igual al vector cero"sin ue sean cero todos loscoe"icientes de la combinacin lineal!

Propiedades

.


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Ejemplo

&eterrminar si son linealmente dependientes o independientes los vectores.1

3ase

Las coordenadas del vector respecto a la base son1

Ejemplos

Los dos vectores ue "orman una base no pueden ser paralelos.


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Ejemplo

Vu% pares de los siguientes vectores "orman una base:

3ase ortogonal

LLos dos vectores de la base son perpendiculares entre s#.

3ase ortonormal


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Los dos vectores de la base son perpendiculares entre s#, y adems tienen mdulo .

Es la base ue se utiliza >abitualmente, de modo ue si no se advierte nada se suponeue se est trabajando en esa base.

&ases ortogonales y 'rtonormales


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Los vectores base son perpendiculares y tienen distinto mdulo !

Wrtonormal

Los vectores de la base son perpendiculares, iguales y unitarios, es decir, de mdulo

.


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Las rectas W?, W@ se llaman ejes de coordenadas o ejes coordenados cartesianos.

Espacio Con Producto Interno:

La longitud Cnorma de un vector de 'n es J 7 Cv, v/,..., vn est dada por1

XXXXXXXXXXXXXXXX

QQJQQ 7B v/ A v// A ... A vn/ esta no puede ser negativa si el vector v 7 este sellama vector unitario dos vectores ( y J en 'n son paralelos si al vector J esm;ltiplo del vector (, es decir, si ( 7 cJ si c + : los vectores van a la mismadireccin y si c ) : van en direccin opuesta, la longitud de un m;ltiplo escalar se vepor la "ormula QQ cJ QQ 7 Q c Q QQ J QQ donde Q c Q es el valor absoluto de c y c es un escalar.

El vector unitario de J es si J B : entonces ( 7 J T QQJQQ es de longitud uno y tiene lamisma direccin de (AJ se llama vector unitario en direccin de J este proceso se

llama normalizacin del vector J.

La distancia entre dos puntos se llama normalizacin del vector J.

XXXXXXXXXXXXXXXXXXX

d 7B Cu D v/A Cu/ D v// y la distancia entre dos vectores en '/ se encuentra.

XXXXXXXXXXXXXXXXXXX

& C(, J 7 QQ ( D J QQ 7B Cu D v/A Cu/ D v// donde ( 7 Cu D u/ y J 7 Cv D v/.

Las propiedades ue cumple la distancia son1

& C(, J B :.

& C(, J 7 : si solo si ( 7 J.

dC ( , J 7 dC J , ( .


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Para encontrar el ngulo entre dos vectores distintos de cero usamos la "ormula1

0os 7 Cuv A u/v/ T QQ(QQ QQJQQ donde ( 7 Cu, u/ y J 7 Cv, v/ y donde uv Au/v/ se denota como producto punto de dos vectores. El producto punto para 'n se

denota ( Y J 7 uv A u/v/ A... A unvn las propiedades ue cumple son1 ( Y J 7 J Y (

( Y CJ A I 7 ( Y J A ( Y I

0 C( Y J 7 c( Y J 7 ( Y cJ

J Y J B QQJQQ /

J Y J B : y J Y J 7 : si solo si J 7 :

&onde c es un escalar y ue (, J, I son vectores cualesuiera en 'n.

Desiualdad de auc!y " sc!a#ar$:

La desigualdad de Mauc>y D Uarz dice ue Q ( Y J Q B QQ ( QQ QQ J QQ donde Q ( Y J Qes valor absoluto de ( Y J donde ( y J son vectores viendo esta desigualdadpodemos de"inir el ngulo entre dos vectores en 'n as#1 0os 7 C( Y J T CQQ(QQ QQJQQesta "rmula no de"ine ngulos entre dos vectores, si ( Y J 7 : se dice ue losngulos son ortogonales.

La desiualdad del trianulo:

&ice si ( y J son vectores entonces QQ ( A J QQ B QQ ( QQ A QQ J QQ.

El teorema de %itoras:

Este dice si ( y J son vectores entonces QQ ( A J QQ/ 7 QQ ( QQ / A QQ J QQ / solo paravectores ortogonales.

(n producto punto es un producto interno Euclidiano esto es un producto interno uese puede de"inir en '/. Para poder di"erenciar el producto interior de otros posiblesproductos internos lo escribiremos esto ser el producto general para el espacio

vectorial J.

Para solucionar un producto interno se procede igual ue al de"inir un espaciovectorial en el ac>o de ue debe cumplir con varios axiomas para poder cali"icarcomo producto interno estos axiomas son1


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7

7 A o 7 A

c 7

B : y 7 : si solo si v 7 :

7 7 :

Para de"inir la norma, distancia, ngulo de dos vectores ue tenga producto interno1


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Proy( J 7 C(YJ T C(Y(R ( donde (YJ y JYJ son el producto punto oproducto interno Euclidiano.

Para en el espacio la proyeccin se denota como proyv ( 7 TR J, proyv ( 7 TR (.

La proyeccin ortoonal y distancia:


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J 7 Cv, v/,..., vn

( x J 7

Por el m%todo de co"actores 7 i A j A .

Las propiedades del producto cruz1

( x J 7 J x (

0 C( x J 7 c ( x J 7 ( x c J

( x ( 7 :

( x CJ A I 7 C( x J A C( x I

( x : 7 : x (

( CJ x I 7 C( x J I

( x J son paralelos si ( x J 7 :.

*proximacin por m#nimos cuadrados1


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la suma C! C( A J 7 ! C( A ! Cv y la multiplicacin por un escalar C! Cc(7 c!Cu. 0umpliendo con lo anterior la trans"ormada lineal tiene sus propiedades ue son1

! C: 7 :

! CDv 7 D ! Cv

! CvDu 7 ! CvD! Cu

ay ue tomar en cuenta ue er C! 7 :. !ambi%n las trans"ormadaslineales puede ser sobre si y solo si el rango de ! es igual a la dimensin de I. @ untrans"ormacin lineal es biyectiba si es uno a uno y sobre.

E'istencia de una transformacin inversa:


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(n caso especial seria cuando J : I y 3 7 3S, don de la matriz * ue se denominamatriz de ! con respecto a la base 3. En este caso la matriz de la trans"ormacinidentidad es simplemente Gn.

La matriz de transicin de una trans"ormada lineal depende del espacio J.Las matriz de transicin ! con respecto a la base 3 es di"erente a la matriz ! conrespecto a otra base 3S.

*SCJR 3\8 ! CJR3S es la "orma directa a trav%s de la matriz *S.

PD*P JR 3\ 7 ! CJR 3\ "orma indirecta.

*S 7 PD*P

&onde a es la matriz de ! con respecto a 3, *S es la matriz ! con respecto a 3S, P es la

matriz de transicin de 3S a 3, PD es la matriz de transicin 3 a 3S

Ejercicios

.D &eterminar el valor de x para ue el vector C, x,5 '

Pertenezca al sub espacio ) C,/,2,C,, +.


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*>ora, C,,/,< !, luego como dim C< ` ! es , se tiene ue ) C,,/, +7 a >ec>o con el "in de comprender ue no >ay ue dejar lo ue >emosaprendido antes ya ue eso nos va a ayudar a solucionar problemas en nuestro "uturo.

an visto ms detallado y con ms exactitud los teoremas y propiedades ue >ilantodos los temas propuestos por este trabajo y se >a se >a llegado a la conclusin detodos los temas estn relacionados en cierta "orma ya ue en varios de estos senecesita recurrir a las propiedades ue se >an visto en temas anteriores.


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0on esto podr#amos decir ue nos >a enseado a tener un amplio criterio de lautilidad de temas ya vistos en nuestra carrera, ya ue no podemos omitir lasenseanzas pasadas ya ue estas nos "orman las bases para comprender y analizar ypoder poner en prctica los temas "uturos.

El espacio vectorial J involucra un cuerpo arbitrario K. ora de aplicarlos tanto en nuestro campo de trabajo como en otrassituaciones ue reuieran de estos m%todos. 0on esto podr#amos decir ue nos >aenseado a tener un amplio criterio de la utilidad de temas ya vistos en nuestracarrera.

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