topografia, angoli, conversione

Indice

IV

1.1 Premessa 21.2 Unità di misura 2

1.2.1 Unità di misura angolari 2■ Sistema sessagesimale 3■ Sistema sessadecimale 3■ Sistema centesimale 3■ Sistema radiante o ciclometrico 3

1.3 Conversioni angolari 41.3.1 Passaggio dal sistema sessagesimale al sistema sessadecimale e viceversa 41.3.2 Passaggio dal sistema sessagesimale al sistema centesimale e viceversa 41.3.3 Passaggio dal sistema sessadecimale al sistema radiante e viceversa 51.3.4 Passaggio dal sistema centesimale al sistema radiante e viceversa 6

1.4 Richiami di geometria 71.4.1 Nomenclatura degli angoli 71.4.2 Definizioni e formule utili 81.4.3 Raggi dei cerchi notevoli dei triangoli qualsiasi 91.4.4 Raggi dei cerchi notevoli dei triangoli rettangoli 10

Esercizi svolti 11Domande a risposta multipla 20Domande a risposta aperta 21Esercizi proposti 22

2.1 Premessa 242.2 Funzioni trigonometriche 25

2.2.1 Grafici funzioni trigonometriche 272.2.2 Calcolo delle funzioni trigonometriche e loro campo di esistenza 292.2.3 Calcolo delle funzioni trigonometriche inverse e loro campo di esistenza 30

2.3 Richiami di matematica 312.3.1 Relazioni tra funzioni trigonometriche 312.3.2 Formule di addizione e di sottrazione 312.3.3 Formule di duplicazione e formule di triplicazione 312.3.4 Formule di prostaferesi 312.3.5 Formule parametriche 322.3.6 Formule di bisezione 322.3.7 Periodicità delle funzioni trigonometriche 322.3.8 Archi associati 33


3.1 Premessa 463.1.1 L’ascissa e l’ordinata di un punto 463.1.2 Il sistema di assi coordinati 46

3.2 Coordinate cartesiane e coordinate polari 473.2.1 Coordinate cartesiane o rettangolari 473.2.2 Coordinate di alcuni punti particolari del piano 473.2.3 Coordinate del punto medio di un segmento 493.2.4 Angolo di direzione e suo reciproco 49

Le misure lineari e angolari pag. 1Modulo

1

Le funzioni matematiche pag. 23Modulo

2

I sistemi di riferimento pag. 45Modulo

3

0040.indice.qxd 17-11-2008 17:03 Pagina IV

V

3.2.5 Angoli al vertice 493.2.6 Coordinate polari 503.2.7 Passaggio dalle coordinate cartesiane a quelle polari 503.2.8 Passaggio dalle coordinate polari a quelle cartesiane 52

3.3 Coordinate cartesiane totali e parziali 533.4 Calcolo dell’area dei poligoni con le coordinate cartesiane 533.5 Rototraslazione piana degli assi cartesiani 54

3.5.1 Traslazione degli assi cartesiani 543.5.2 Rotazione degli assi cartesiani 54

3.6 Equazioni della retta 553.6.1 Equazione della retta passante per l’origine 563.6.2 Equazione generale della retta in forma esplicita 563.6.3 Equazione generale della retta in forma implicita 563.6.4 Equazione della retta passante per due punti 57Esercizi svolti 58Domande a risposta multipla 68Domande a risposta aperta 69Esercizi proposti 70

4.1 Premessa 724.2 Triangoli rettangoli 73

4.2.1 Risoluzione analitica dei triangoli rettangoli 744.2.2 Risoluzione grafica dei triangoli rettangoli 754.2.3 Verifiche 77

4.3 Triangoli qualunque 774.3.1 Teorema dei seni o di Euclide 774.3.2 Teorema delle tangenti o di Nepero 784.3.3 Teorema del coseno o di Carnot 794.3.4 Formula inversa di Carnot 794.3.5 Formule di Briggs 80

4.4 Risoluzione grafica dei triangoli 804.4.1 Dato un lato e i suoi due angoli adiacenti 804.4.2 Dati due lati e l’angolo opposto a uno di essi 804.4.3 Dati due lati e l’angolo compreso 814.4.4 Dati tre lati 81

4.5 Calcolo dell’area dei triangoli 824.5.1 Area dei triangoli rettangoli 824.5.2 Area dei triangoli qualunque 82Esercizi svolti 83Domande a risposta multipla 96Domande a risposta aperta 97Esercizi proposti 98

5.1 Premessa 1005.2 Risoluzione analitica dei quadrilateri 101

5.2.1 Divisione in triangoli qualunque mediante una diagonale 1015.2.2 Tracciamento delle perpendicolari e della parallela al lato incognito 1025.2.3 Costruzione di un triangolo fittizio 103

5.3 Calcolo dell'area dei quadrilateri 1045.4 Risoluzione grafica dei quadrilateri 105

5.4.1 Dati due lati consecutivi e i tre angoli adiacenti 1055.4.2 Dati tre lati e i due angoli tra essi compresi 1055.4.3 Dati quattro lati e un angolo 1065.4.4 Dati tre lati e due angoli, di cui uno compreso tra i lati noti

e uno adiacente al lato incognito 1065.4.5 Dati due lati opposti e tre angoli 1065.4.6 Dati tre lati e i due angoli adiacenti al lato incognito 1075.4.7 Dati tre lati e i due angoli opposti tra di loro 108


I triangoli pag. 71Modulo

4

I quadrilateri pag. 99Modulo

5

0040.indice.qxd 17-11-2008 15:07 Pagina V

© R

CS L

ibri

S.p.

A. -

Div

isio

ne E

duca

tion,

Mila

no

VI

6.1 Esercizi di sintesi 122

7.1 Premessa 1467.2 La superficie fisica e la superficie matematica della terra 146

7.2.1 Coordinate curvilinee 1487.3 I moti della terra e il campo gravitazionale terrestre 1487.4 Il geoide e l’ellissoide 150

7.4.1 Le coordinate geografiche astronomiche ed ellissoidiche 1527.5 Le proiezioni cartografiche 1557.6 La sfera locale e il campo topografico 157

Domande a risposta multipla 159Domande a risposta aperta 160

8.1 Premessa 1628.2 Classificazione degli errori 1638.3 Teoria probabilistica e legge di Gauss

di distribuzione degli errori accidentali 1638.4 Errore quadratico medio per misure di stessa precisione 1668.5 La media ponderata 1688.6 Precisione delle misure 168


9.1 Premessa 1829.2 Il filo a piombo e i piombini speciali 183

9.2.1 Il piombino a bastone 1849.2.2 Il piombino ottico 184

9.3 I longimetri 1849.4 La diottra a traguardi 1859.5 Lo squadro agrimensorio 186

9.5.1 Le condizioni di esattezza dello squadro agrimensorio 1879.5.2 Usi dello squadro agrimensorio 188

9.6 Lo squadro graduato 1899.6.1 Le condizioni di esattezza dello squadro graduato 1909.6.2 Usi dello squadro graduato 191

9.7 Gli squadri a prisma 1919.8 Le livelle 192

9.8.1 La livella torica 1929.8.2 Determinazione della sensibilità della livella torica 194

■ Metodo del confronto 194■ Metodo del comparatore 195■ Metodo del cannocchiale 195

9.8.3 La livella torica a serbatoio 1969.8.4 La livella torica a coincidenza di immagini 1969.8.5 Usi della livella torica 197

■ Rendere orizzontale un asse 197■ Rendere orizzontale un piano 197■ Rendere verticale un asse 198■ Misurare piccoli angoli di inclinazione 199

9.9.6 La livella sferica 1999.9.7 Usi della livella sferica 200Domande a risposta multipla 201Domande a risposta aperta 202

Esercizi di sintesi pag. 121Modulo

6

Il campo operitivo pag. 145Modulo

7

La teoria degli errori pag. 161Modulo

8

Gli strumenti semplici pag. 181Modulo

9

0040.indice.qxd 17-11-2008 15:07 Pagina VI

10.1 Premesse 20410.2 La riflessione semplice 20510.3 La doppia riflessione 20610.4 La rifrazione 20710.5 La diffrazione 20910.6 La lastra pian parallela 20910.7 Il prisma ottico generico 210

10.7.1 Il teorema generale sui prismi o teorema di Jadanza 21010.7.2 I prismi ottici e loro applicazioni 211

10.8 I diottri e le lenti 21110.9 La costruzione delle immagini nelle lenti sottili 214

10.9.1 La costruzione delle immagini per lenti convergenti 21410.9.2. La costruzione delle immagini per lenti divergenti 216

10.10 Gli strumenti ottici 21710.10.1 Il microscopio semplice 21810.10.2 Il microscopio composto 21810.10.3 Il cannocchiale astronomico e il cannocchiale terrestre 219

10.11 I sistemi formati da due lenti sottili 220Esercizi svolti 221Domande a risposta multipla 230Domande a risposta aperta 231Esercizi proposti 232

11.1 Premessa 23411.2 Le mire artificiali 235

11.2.1 Le mire semplici 23511.2.2 Le mire di precisione 237

11.3 I segnali artificiali provvisori e permanenti 23711.3.1 I segnali artificiali provvisori 23711.3.2 I segnali artificiali permanenti 237

11.4 Dimensionamento dei segnali 23911.5 Monografia di un punto 24011.6 Gli allineamenti 24111.7 Misura diretta delle distanze 24111.8 Errori nella misura diretta delle distanze 24311.9 Tolleranze 243


12.1 Premessa 24812.2 Precisione del rilievo di dettaglio 24912.3 L’eidotipo 24912.4 I metodi di rilievo 249

12.4.1 Metodo per allineamenti 250■ Determinare la distanza tra due punti separati da un ostacolo 251■ Tracciare un allineamento congiungendo due punti A e B

non visibili tra loro 252■ Prolungare un allineamento oltre a un ostacolo 252■ Determinare la distanza tra due punti di cui uno inaccessibile

ma visibile dall’altro punto 253■ Determinare la distanza tra due punti inaccessibili ma visibili 253■ Rilevare un tratto curvilineo 254■ Perpendicolarità tra due allineamenti: metodo speditivo 254

Gli strumenti ottici pag. 203Modulo

10

Segnalazione dei punti e misura direttadelle distanze pag. 233

Modulo

11

Rilevamenti planimetricidi piccola estensione pag. 248

Modulo

12

VII

0040.indice.qxd 17-11-2008 15:07 Pagina VII

VIII

12.4.2 Metodo per trilaterazioni 25512.4.3 Metodo per coordinate cartesiane 25612.4.4 Metodo delle coordinate polari 25612.4.5 Metodo delle coordinate bipolari 25812.4.6 Metodo per camminamento 259

12.5 Rilevamento degli edifici e tracciamento delle fondazioni 26012.5.1 Rilevamento architettonico degli edifici 26012.5.2 Rilevamento dei fabbricati 26012.5.3 Tracciamento delle fondazioni 261Domande a risposta multipla 262Domande a risposta aperta 264

13.1 Premessa 26613.2 I fogli da disegno 26613.3 Le scale di rappresentazione 268

13.3.1 Le scale delle carte topografiche 26913.3.2 L’errore medio di graficismo 269

■ L’errore nel disegno delle coordinate cartesiane 269■ L’errore nel disegno delle coordinate polari 269

13.4 Gli attrezzi del disegno topografico 27013.4.1 Le matite e la china 27013.4.2 Righelli, squadre e riga a T 27113.4.3 Gli scalimetri 27213.4.4 I compassi 27213.4.5 I curvilinee 27313.4.6 I goniometri 27313.4.7 I pantografi 27313.4.8 I tecnigrafi 274

13.5 Esecuzione dei disegni 27413.6 Piani quotati e piani a curve di livello 27513.7 Delineamento dei fabbricati e dei corsi d’acqua 27513.8 Ombreggiamento del terreno 27913.9 Caratteri e scritture 28213.10 Disegno ad acquarello 28213.11 La copia dei disegni 28313.12 La riduzione dei disegni 28513.13 Le carte d’Italia dell’Istituto Geografico Militare 28713.14 Simboli e segni convenzionali dell’I.G.M. 29013.15 La mappa catastale 29113.16 Simboli e segni convenzionali del Catasto 293


Gli strumenti ottici pag. 203Modulo

13

Simboli e segni convenzionali I.G.M. pag. 299Appendice

A

Simboli catastali pag. 319Appendice

B

Delineamento e ombreggiamento pag. 329Appendice

C

0040.indice.qxd 17-11-2008 15:07 Pagina VIII

Le misurelineari eangolari

Modulo

111.2 Unità di misura

1.1 Premessa

1.3 Conversioni angolari

1.4 Richiami di geometria

Prerequisiti

Obiettivi

■ Conoscere i sistemi di misura angolare.■ Sapere usare la calcolatrice scientifica per il calcolo

degli angoli.

■ Conoscenze matematiche di base.■ Conoscenze di geometria di base.■ Concetto di angolo e proprietà degli angoli.

0050.M01-apertura.qxd 14-11-2008 16:28 Pagina 1

La topografia è quella scienza che studia le tecniche, i metodi e gli strumenti neces-sari per la rappresentazione grafica e numerica di una porzione limitata della super-ficie terrestre (ovvero, come si vedrà nei prossimi capitoli, che possa prescinderedalla curvatura terrestre.

I calcoli che si effettuano in campo topografico presuppongono la conoscenza delle unità dimisura lineari, superficiali ma soprattutto angolari, vediamo quindi di esaminarle in dettaglio.

Fra queste unità di misura quelle di maggior interesse in campo topografico sono:

■ Unità di misura delle lunghezzemetro (m) con i suoi multipli e sottomultipli.

■ Unità di misura delle superficimetro quadrato (m2); centiara (ca) � 1 (m2); ara (a) � 100 (m2); ettaro (ha) � 10000 (m2);pertica: varia in funzione della zona, per esempio la pertica milanese (p.m.) � 654,5179 (m2)

■ Unità di misura degli angoligrado sessagesimale (�°); grado sessadecimale (�°); grado centesimale (�g) radiante (�r)

Le unità di misura angolari usate in campo topografico sono:

■ Sistema sessagesimale.■ Sistema sessadecimale.■ Sistema centesimale.■ Sistema radiante.

Prima di esporre i sistemi di misura angolari è necessario ricordare che:

– si definisce angolo al centro di una circonferenza ogni angolo avente il vertice nelsuo centro O;

– si definisce angolo alla circonferenza un angolo con il vertice sulla circonferenza e ilati secanti alla circonferenza oppure uno secante e l’altro tangente alla circonferenza,inoltre tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali;

– si definisce arco la parte di circonferenza inclusa in un angolo al centro;– un angolo alla circonferenza e un angolo al centro che insistono sullo stesso arco si

dicono corrispondenti;

Le misurelineari e angolari

1m

od

ulo2

Premessa1.1

Unità di misura1.2

Unità di misura angolari1.2.1

0060.M01.qxd 14-11-2008 16:29 Pagina 2

– un angolo al centro è il doppio di ogni angolo alla circonferenzache insiste sullo stesso arco ( ): .

■ Sistema sessagesimale

L’unità di misura è il grado sessagesimale che rappresenta l’angolo alcentro di un cerchio, il cui arco corrispondente è la 360-esima parte del-la circonferenza intera (ovvero è la 360-esima parte dell’angolo giro).Si scrive nella forma:I sottomultipli del grado sono:

■ primo sessagesimale

■ secondo sessagesimale

Dopo il secondo si possono avere anche delle cifre decimali.Nota: a volte risulta comodo esprimere un angolo di soli gradi anche con primi e secondi,per esempio quando si calcola la differenza di due angoli (senza l’uso della calcolatrice):180° si scrive come: 179°59�60�

■ Sistema sessadecimale

L’unità di misura è ancora il grado sessagesimale, ma non ci sono i suoi sottomultipli per-chè i primi e i secondi sono stati trasformati in gradi e quindi si ha il grado con la sua par-te decimale (in genere si tengono 5 cifre dopo la virgola); il grado sessadecimale si indicacon: �° � 55°,50333.

■ Sistema centesimale

L’unità di misura è il grado centesimale che rappresenta l’angolo al centro di un cerchio ilcui arco corrispondente è la 400–esima parte della circonferenza intera (ovvero è la 400–esi-ma parte dell’angolo giro).

Si scrive nella forma: oppure I sottomultipli del grado sono:

■ primo centesimale

■ secondo centesimale

Nota: in alcuni testi, i gradi primi e secondi sono indicati con (g → c), (c → �), (cc → ��).

■ Sistema radiante o ciclometrico

L’unità di misura è il radiante, che rappresenta l’angolo al centro del-la circonferenza corrispondente a un arco uguale al raggio ( ).

Quindi se l � r allora

Esempio: Se si considera una circonferenza di raggio unitario e un angolo di180°:

otteniamo il valore in radianti corrispondente all’an-

golo di 180°.

l � r � ar � 1 �180°

57°,2958� 3,14159

ar � 0r,57193

a �lr

� 1r

fig. 1.1

1cc �1c

100�

1g

10000

1c �1g

100

63g,6619ag � 63g 66c 19cc

1– �1¿60

�1°

3600

1¿ �1°

60

a° � 35°40¿20–

� � 2 �fig. 1.0

3Le misure lineari e angolari1Modulo

figura 1.0

figura 1.1

0060.M01.qxd 17-11-2008 11:01 Pagina 3

© R

CS L

ibri

S.p.

A. -

Div

isio

ne E

duca

tion,

Mila

no

esempio 1.2

esempio 1.1

In questo paragrafo si analizzeranno i passaggi tra i sistemi di misura angolari. Le moder-ne calcolatrici scientifiche effettuano le conversioni angolari in modo semplice e rapido,ma è importante capire come si perviene a tali risultati.

Con questa operazione l’angolo in forma sessagesimale scritto in gradi, primi e secondi vie-ne espresso in forma sessadecimale (solo in gradi) trasformando i primi e secondi nellarelativa parte decimale di grado.

Il passaggio inverso, cioè dal sistema sessadecimale al sistema sessagesimale, permette ditornare alle condizioni iniziali, ovvero all’angolo espresso in gradi primi e secondi, cioènella sua forma classica.

Non si può passare dalla forma sessadecimale alla forma centesimale direttamente, ma pri-ma bisogna effettuare un passaggio intermedio; bisogna, infatti, trasformare la forma ses-sagesimale in sessadecimale e poi procedere con la conversione.Per effettuare la conversione richiesta è sufficiente scrivere una proporzione che metta inrelazione i due sistemi di misura angolari rispetto alla stessa porzione di circonferenzagoniometrica; per esempio:

Si è scelto di usare l’angolo di 360° e, quindi, il corrispondente angolo di 400g, ma scri-vendo la proporzione si poteva scegliere un qualunque altro angolo, per esempio 180° e200g oppure 90° e 100g.

�°

360�

� g

400 1 1 1 μ

�° �360 � � g

400�

9

10� � g

� g �400 � �°

360�

10

9� �°

1 55°30¿12–0¿,19980 � 60 � 11–,988 � 12–

30¿,19980 � 30¿ � 0¿,199800°,50333 � 60 � 30¿,19980

55°,50333 � 55° � 0°,5033355°,50333 1

55°30¿12– 1 55° � a 30¿60b � a 12–

3600b � 55° � 0°,50 � 0°,00333 � 55°,50333

4 Le misure lineari e angolari1Modulo

Conversioni angolari1.3

Passaggio dal sistema sessagesimale al sistema sessadecimalee viceversa

1.3.1

Passaggio dal sistema sessagesimale al sistema centesimalee viceversa

1.3.2

0060.M01.qxd 14-11-2008 16:29 Pagina 4

esempio 1.3

Trasformare in forma centesimale l’angolo sessagesimale: 55°30�12�

Dopo essere passati alla forma sessadecimale 55°30�12� ⇒ 55°,50333 si imposta la proporzione esi ricava il valore centesimale cercato:

Per tornare al valore iniziale si procede nel seguente modo:

Nota: il passaggio si può effettuare anche calcolando l’angolo centesimalecome semplice differenza tra il suo valore e un decimo del suo valore:

Anche in questo caso non si può passare dalla forma sessadecimale alla forma radiantedirettamente, ma prima bisogna trasformare la forma sessagesimale in sessadecimale e poiprocedere con la conversione.Per effettuare la conversione richiesta è sufficiente scrivere una proporzione analoga al casoprecedente, che metta in relazione i due sistemi di misura angolari sempre rispetto alla stes-sa porzione di circonferenza goniometrica; per esempio:

�°

360�

�r

2 � 1 1 1 μ

�° �360 � �r

2 �� r � 57,2658

�r �2 � � �°

360�

�°

57,2958

61g,67037 1 61g,67037 � 6g,167037 � 55°,50333 1 55°30¿12–

9

10�

10

10�

1

10

a g 1 a°

55°,50333 1 55°30¿12–

�360 � 61g,67037

400�

910

� 61g,67037 � 55°,50333

a°

360�ag

400 1 1 1 ag �

360 � ag

400�

910

� ag �

�400 � 55°,50333

360�

109

� 55°,50333 � 61g,67037

a°

360�ag

400 1 1 1 ag �

400 � a°

360�

109

� a° �


esempio 1.4

Passaggio dal sistema sessadecimale al sistema radiantee viceversa

1.3.3

0060.M01.qxd 14-11-2008 16:29 Pagina 5

esempio 1.6

esempio 1.5

Trasformare in forma radiante l’angolo sessagesimale: 55°30�12�

Dopo il passaggio alla forma sessadecimale 55°30�12� ⇒ 55°,50333 si imposta la proporzione e siricava il valore radiante cercato:


Altre formule utili quando abbiamo primi e secondi:

In questo tipo di conversione non sono necessari passaggi intermedi.Per effettuare la conversione si scrive una proporzione che metta in relazione i due siste-mi di misura angolari sempre rispetto alla stessa porzione di circonferenza goniometrica; peresempio:

Trasformare in forma centesimale l’angolo in radianti: 0r,8715


Usando le formule viste in precedenza si arriva alla stesso risultato eseguendo due passaggi:

Si propone ora una tabella con alcune conversione angolari.

ar 1 a° 1 a gag 1 a° 1 ar

ag

400�a r

2p 1 1 1 ar �

2p � ag

400�p � ag

200�p � 55g,7679

200� 0r,8760

ag

400�ar

2p 1 1 1 ag �

400 � ar

2p�

200 � ar

p�

200 � 0r,8760p

� 55g,7679

�°

400�

�r

2 � 1 1 1 μ

�° �400 � �r

2 ��

200 � �r

�

�r �2 � � � g

400�

� � � g

200

ar �a°

57,296�

3600

3600�

a–206265

ar �a°

57,296�

60

60�a¿

3438

55°,50333 1 55°30¿12–

a°

360�a r

2p 1 1 1 a° �

360 � a r

2p� a r � 57,2958 � 0r,9687155 � 57,2958 � 55°,50333

a°

360�ar

2p 1 1 1 ar �

2p � a°

360�

a°

57,2958�

55°,5033357,2958

� 0r,9687155


Passaggio dal sistema centesimale al sistema radiantee viceversa

1.3.4

0060.M01.qxd 14-11-2008 16:29 Pagina 6

Angolo retto è l’angolo di 90°Angolo acuto è l’angolo < 90°Angolo ottuso è l’angolo > 90°

Angoli complementari se la loro somma è 90°

Angolo piatto è l’angolo di 180°

Angolo convesso è l’angolo < 180°

Angolo concavo è l’angolo > 180°

Vengono richiamati alcune definizioni e concetti utili di geometria.

Gradi Centes. Radianti Gradi Centes. Radianti Gradi Centes. Radianti Gradi Centes. Radianti

0° 0 0 95° 105,55556 19/36 190° 211,11111 19/18 285° 316,66667 19/12

5° 5,55556 /36 100° 111,11111 5/9 195° 216,66667 13/12 290° 322,22222 29/18

10° 11,11111 /18 105° 116,66667 7/12 200° 222,22222 10/9 295° 327,77778 59/36

15° 16,66667 /12 110° 122,22222 11/18 205° 227,77778 41/36 300° 333,33333 5/3

20° 22,22222 /9 115° 127,77778 23/36 210° 233,33333 7/6 305° 338,88889 61/36

25° 27,77778 5/36 120° 133,33333 2/3 215° 238,88889 43/36 310° 344,44444 31/18

30° 33,33333 /6 125° 138,88889 25/36 220° 244,44444 11/9 315° 350 7/4

35° 38,88889 7/36 130° 144,44444 13/18 225° 250 5/4 320° 355,55556 16/9

40° 44,44444 2/9 135° 150 3/4 230° 255,55556 23/18 325° 361,11111 65/36

45° 50 /4 140° 155,55556 7/9 235° 261,11111 47/36 330° 266,66667 11/6

50° 55,55556 5/18 145° 161,11111 29/36 240° 266,66667 4/3 335° 372,22222 67/36

55° 61,11111 11/36 150° 166,66667 5/6 245° 272,22222 49/36 340° 377,77778 17/9

60° 66,66667 /3 155° 172,22222 31/36 250° 277,77778 25/18 345° 383,33333 23/12

65° 72,22222 13/36 160° 177,77778 8/9 255° 283,33333 17/12 350° 388,88888 35/18

70° 77,77778 7/18 165° 183,33333 11/12 260° 288,88888 13/9 355° 394,44444 71/36

75° 83,33333 5/12 170° 188,88889 17/18 265° 294,44444 53/36 360° 400 2

80° 88,88889 4/9 175° 194,44444 35/36 270° 300 3/2

85° 94,44444 17/36 180° 200 275° 305,55556 55/36

90° 100 /2 185° 205,55556 37/36 280° 311,11111 14/9


Richiami di geometria1.4

Nomenclatura degli angoli (fig. 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.10)1.4.1

figura 1.2

figura 1.3

figura 1.4

▲

0060.M01.qxd 14-11-2008 16:29 Pagina 7

Si definisce asse di un segmento la retta ortogonale al segmento, che passa per ilsuo punto medio.

Asse di un segmento AC ( ):dal punto medio M del segmento AC si traccia un rettaperpendicolare al segmento stesso; per qualsiasi lun-ghezza dell’asse BM il triangolo ABC è isoscele; quindi,� � , AC � BC e � risulta diviso in due parti uguali.

Nota: il punto di incontro degli assi di due corde di unacirconferenza ne determina il centro.Nota: il punto di incontro degli assi dei lati di un triango-lo dà il circocentro che è il centro della circonferenza cir-coscritta.

Si definisce bisettrice di un angolo il luogo deipunti equidistanti dai lati dell’angolo.

Bisettrice di un angolo ( ):presi due segmenti VM e VN di lunghezza a piacere etali che VM � VN dai punti M ed N, si tracciano due per-pendicolari, che si intersecano nel punto P identificandocosì la bisettrice VP.

Nota: il punto di incontro delle bisettrici degli angoli diun triangolo dà l’incentro che è il centro della circon-ferenza inscritta.

fig. 1.12

fig. 1.11


Angoli supplementari se la loro somma è 180°

Angoli esplementari se la loro somma è 360°

Angoli congruentiquelli i cui lati che li generano sesovrapposti coincidono

Angoli opposti al verticese i lati dell’uno sono i prolunga-menti dei lati dell’altro(sono congruenti)

Angoli consecutivi

se hanno lo stesso vertice, un latoin comune e gli altri due lati situatida parte opposta rispetto al latocomune

Angoli adiacentise sono consecutivi e hanno i latinon comuni uno sul prolungamentodell’altro

Angoli sovrappostise hanno in comune il vertice, unlato e altri punti

figura 1.5

figura 1.6

figura 1.7

figura 1.8

figura 1.9

figura 1.10

Definizioni e formule utili1.4.2

figura 1.11

figura 1.12

0060.M01.qxd 14-11-2008 16:29 Pagina 8

Si definisce mediana di un lato di un triangolo,la retta che congiunge il punto medio del latocon il vertice opposto.

Nota: il punto di incontro delle mediane di untriangolo dà il baricentro; ogni mediana è divisadal baricentro in due parti, delle quali quella checontiene il vertice è doppia dell’altra ( ).Si ricorda inoltre che:

■ un triangolo si dice:a. isoscele, se ha due angoli uguali oppure due lati uguali;b. equilatero, se tutti i lati hanno la stessa lunghezza e tutti gli angoli sono di 60°;c. scaleno, se tutti i lati sono diversi oppure se tutti gli angoli sono diversi.

1. Cerchio circoscrittoÈ il cerchio che racchiude il triangolo il cui raggio si determina con le seguenti formule:

2. Cerchio inscrittoÈ il cerchio che si trova all’interno del triangolo ed è tangente a tutti i lati, il suo raggiosi determina con:

con

3. Cerchio exinscrittoÈ il cerchio tangente a un lato e aiprolungamenti degli altri due; ilcentro si trova con intersezionedelle bisettrici degli angoli com-prendenti il cerchio stesso e il rag-gio si trova con:

con

r � p � tang a a2b

p � 1a � b � c 2r �SABC

1p � a 2

r � B1p � a 2 � 1p � b 2 � 1p � c 2

pp �

1a � b � c 22

r �SABC

p

r �a

2 � senar �1a � b � c 214 � SABC 2

fig. 1.13


figura 1.13

Raggi dei cerchi notevoli dei triangoli qualsiasi (fig. 1.14)1.4.3

figura 1.14

0060.M01.qxd 14-11-2008 16:29 Pagina 9

1. Cerchio circoscritto

Un triangolo rettangolo può sempre essereinscritto in una circonferenza; la medianarelativa all’ipotenusa ha una lunghezza parialla metà dell’ipotenusa stessa e corrispon-de al raggio del cerchio circoscritto.

2. Cerchio inscrittoIl raggio del cerchio inscritto in un trian-golo rettangolo è dato dalla seguente for-mula:

■ Area del cerchio e sua circonferenza:

■ Somma degli angoli di un poligono qua-lunque (intrecciato o no):

■ Numero di elementi noti necessari per risolvere un poligono:

Numero minimo di elementi noti � (2n � 3) n � numero lati del poligono da risolvere

Numero minimo di lati noti � (n � 2)

an

i�1i � 180° � 1n � 2 2

C � 2p � rA � p � r 2

r �1b � c � a 2

2


Raggi dei cerchi notevoli dei triangoli rettangoli (fig. 1.15, 1.16)1.4.4

figura 1.15

figura 1.16

0060.M01.qxd 17-11-2008 11:33 Pagina 10

eser

cizi

o sv

olto

3


eser

cizi

o sv

olto

1 Determinare il valore in ettari, are e centiare delle seguenti superfici:

Soluzione

Determinare il valore in metri quadri e in ettari delle seguenti superfici:

Soluzione

Passare dalla forma sessagesimale alla forma sessadecimale i seguenti angoli :

Soluzione

85°20¿25– 1 85° � a 20¿60b � a 25–

3600b � 85° � 0°,33333 � 0°,00694 � 85°,340272

56°40¿32– 1 56° � a 40¿60b � a 32–

3600b � 56° � 0°,66667 � 0°,00889 � 56°,675561

400,876 � 100 � 40 087,6 m2 400,876

100� 4,00876 ha5

1001,2 � 100 � 10 0120 m2 1001,2

100� 10,012 ha4

183,56 � 100 � 18 356 m2 183,56

100� 1,8356 ha3

17,34 � 100 � 1734 m2 17,34100

� 0,1734 ha2

12 350 � 100 � 1 235 000 m2 12350

100� 123,50 ha1

1 2 3 4 5 6 7 8

56°40�32� 85°20�25� 120°44�30� 154°24�29� 205°56�15� 80°12�85� 255°37�49� 22°57�41�

1 2 3 4 5

12 350 a 17,34 a 183,56 a 1001,2 a 400,876 a

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

ha 3 4 10 12 1548 1 158 0 2 0

a 83 85 5 65 96 23 94 23 35 2

ca 80 0 63 84 20 56 0 56 68 35

mm22

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

38 380 48 500 100 563 126 584 15 489 620 12 356 1 589 400 2356 23 568 235

eser

cizi

o sv

olto

2

9 10 11 12 13 14 15

47°33�12� 280°19�36� 342°17�22� 136°41�49� 8°25�15� 19°28�43� 176°51�53�

▲

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eser

cizi

o sv

olto

4

eser

cizi

o sv

olto

Passare dalla forma sessadecimale alla forma sessagesimale i seguenti angoli:

Soluzione

0¿,41220 � 60 � 24–,732 � 25– 1 23°27¿25–

0°,45678 � 60 � 27¿,41220 1 27¿,41220 � 27¿ � 0¿,41220

23°,45678 1 23°,45678 � 23° � 0°,456781

176°51¿53– 1 176° � a 51¿60b � a 53–

3600b � 176° � 0°,85000 � 0°,01472 � 176°,8647215

19°28¿43– 1 19° � a 28¿60b � a 43–

3600b � 19° � 0°,46667 � 0°,01194 � 19°,4786114

8°25¿15– 1 8° � a 25¿60b � a 15–

3600b � 8° � 0°,41667 � 0°,00417 � 8°,4208413

136°41¿49– 1 136° � a 41¿60b � a 49–

3600b � 136° � 0°,68333 � 0°,01361 � 136°,6969412

342°17¿22– 1 342° � a 17¿60b � a 22–

3600b � 342° � 0°,28333 � 0°,00611 � 342°,2894411

280°19¿36– 1 280° � a 19¿60b � a 36–

3600b � 280° � 0°,31667 � 0°,00100 � 280°,3266710

47°33¿12– 1 47° � a 33¿60b � a 12–

3600b � 47° � 0°,55000 � 0°,00333 � 47°,553339

22°57¿41– 1 22° � a 57¿60b � a 41–

3600b � 22° � 0°,95000 � 0°,01139 � 22°,961398

255°37¿49– 1 255° � a 37¿60b � a 49–

3600b � 255° � 0°,61667 � 0°,01361 � 255°,630287

80°12¿58– 1 80° � a 12¿60b � a 58–

3600b � 80° � 0°,20000 � 0°,01611 � 80°,216116

205°56¿15– 1 205° � a 56¿60b � a 15–

3600b � 205° � 0°,93333 � 0°,00417 � 205°,937505

154°24¿29– 1 154° � a 24¿60b � a 29–

3600b � 154° � 0°,40000 � 0°,00806 � 154°,408064

120°44¿30– 1 120° � a 44¿60b � a 30–

3600b � 120° � 0°,73333 � 0°,00803 � 120°,741663

1 2 3 4 5 6 7 8

23°,45678 56°,12487 88°,58741 123°,54827 284°86514 312°,23581 247°,53147 164°,26700


9 10 11 12 13 14 15

145°,67129 67°,46215 33°,36874 65°,24983 72°,16845 187°,34980 117°,00560

▲

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eser

cizi

o sv

olto

0¿,98980 � 60 � 59–,388 � 59– 1 65°14¿59–

0°,24983 � 60 � 14¿,98980 1 14¿,98980 � 14¿ � 0¿,98980

65°,24983 1 65°,24983 � 65° � 0°,2498312

0¿,12440 � 60 � 7–,464 � 7– 1 33°22¿07–

0°,36874 � 60 � 22¿,12440 1 22¿,12440 � 22¿ � 0¿,12440

33°,36874 1 33°,36874 � 33° � 0°,3687411

0¿,72900 � 60 � 43–,740 � 44– 1 67°27¿44–

0°,46215 � 60 � 27¿,72900 1 27¿,72900 � 27¿ � 0¿,72900

67°,46215 1 67°,46215 � 67° � 0°,4621510

0¿,27740 � 60 � 16–,644 � 17– 1 145°40¿17–

0°,67129 � 60 � 40¿,27740 1 40¿,27740 � 40¿ � 0¿,27740

145°,67129 1 145°,67129 � 145° � 0°,671299

0¿,02000 � 60 � 1–,200 � 1– 1 164°16¿01–

0°,26700 � 60 � 16¿,02000 1 16¿,02000 � 16¿ � 0¿,02000

164°,26700 1 164°,26700 � 164° � 0°,267008

0¿,88820 � 60 � 53–,292 � 53– 1 247°31¿53–

0°,53147 � 60 � 31¿,88820 1 31¿,88820 � 31¿ � 0¿,88820

247°,53147 1 247°,53147 � 247° � 0°,531477

0¿,94860 � 60 � 56–,916 � 57– 1 312°15¿57–

0°,26581 � 60 � 15¿,94860 1 15¿,94860 � 15¿ � 0¿,94860

312°,26581 1 312°,26581 � 312° � 0°,265816

0¿,90840 � 60 � 54–,504 � 55– 1 284°51¿55–

0°,86514 � 60 � 51¿,90840 1 51¿,90840 � 51¿ � 0¿,90840

284°,86514 1 284°,86514 � 284° � 0°,865145

0¿,89620 � 60 � 53–,772 � 54– 1 123°32¿54–

0°,54827 � 60 � 32¿,89620 1 32¿,89620 � 32¿ � 0¿,89620

123°,54827 1 123°,54827 � 123° � 0°,548274

0¿,24460 � 60 � 14–,676 � 15– 1 88°35¿15–

0°,58741 � 60 � 35¿,24460 1 35¿,24460 � 35¿ � 0¿,24460

88°,58741 1 88°,58741 � 88° � 0°,587413

0¿,49220 � 60 � 29–,532 � 30– 1 56°07¿30–

0°,12487 � 60 � 7¿,49220 1 7¿,49220 � 7¿ � 0¿,49220

56°,12487 1 56°,12487 � 56° � 0°,124872


▲

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cizi

o sv

olto

eser

cizi

o sv

olto

5 Trasformare i seguenti gradi dalla forma sessadecimale alla forma centesimale e il risultato ottenu-to trasformarlo nella forma sessagesimale:

Soluzione

a° �9

10� ag �

910

� 206g,43549 � 185°,79194 1 185°47¿31–

ag �109

� a° �109

� 185°,79194 � 206g,435495

a° �9

10� ag �

910

� 138g,08902 � 124°,28028 1 124°16¿49–

ag �109

� a° �109

� 124°,28028 � 138g,089024

a° �9

10� ag �

910

� 76g,17438 � 68°,55694 1 68°33¿25–

ag �109

� a° �109

� 68°,55694 � 76g,174383

a° �9

10� ag �

910

� 61g,34475 � 55°,21028 1 55°12¿37–

ag �109

� a° �109

� 55°,21028 � 61g,344752

a° �360 � ag

400�

910

� ag �9

10� 39g,02000 � 35°,28000 1 35°16¿48–

ag �400 � a°

360�

109

� a° �109

� 35°,28000 � 39g,020001

0¿,33600 � 60 � 20–,160 � 20– 1 117°00¿20–0°,00560 � 60 � 0¿,33600 1 0¿,33600 � 0¿ � 0¿,33600

117°,00560 1 117°,00560 � 117° � 0°,0056015

0¿,98800 � 60 � 59–,288 � 59– 1 187°20¿59–

0°,34980 � 60 � 20¿,98800 1 20¿,98800 � 20¿ � 0¿,98800

187°,34980 1 187°,34980 � 187° � 0°,3498014

0¿,10700 � 60 � 6–,420 � 6– 1 72°10¿06–

0°,16845 � 60 � 10¿,10700 1 10¿,10700 � 10¿ � 0¿,10700

72°,16845 1 72°,16845 � 72° � 0°,1684513

1 2 3 4 5

35°,28000 55°,21028 68°,55694 124°,28028 185°,79194


6 7 8 9 10

223°,18889 305°,43139 345°,67278 215°,59944 190°,21028

▲

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eser

cizi

o sv

olto

6

eser

cizi

o sv

olto

Trasformare i seguenti gradi dalla forma sessagesimale alla forma radiante:

Soluzione

106°32¿10– 1 106°,53611 ar �a°

57,2958�

106°,5361157,2958

� 1r,859414

27°54¿33– 1 27°,90917 ar �a°

57,2958�

27°,9091757,2958

� 0r,487113

16°08¿24– 1 16°,14000 ar �a°

57,2958�

16°,1400057,2958

� 0r,281702

3°21¿44– 1 3°,36222 ar �2p � a°

360�

a°

57,2958�

3°,3622257,2958

� 0r,058681

a° �9

10� ag �

910

� 211g,34475 � 190°,21028 1 190°12¿37–

ag �109

� a° �109

� 190°,21028 � 211g,3447510

a° �9

10� ag �

910

� 239g,55494 � 215°,59944 1 215°35¿58–

ag �109

� a° �109

� 215°,59944 � 239g,554949

a° �9

10� ag �

910

� 384g,08086 � 345°,67278 1 345°40¿22–

ag �109

� a° �109

� 345°,67278 � 384g,080868

a° �9

10� ag �

910

� 339g,36821 � 305°,43139 1 305°25¿53–

ag �109

� a° �109

� 305°,43139 � 339g,368217

a° �9

10� ag �

910

� 247g,98765 � 223°,56789 1 223°11¿20–

ag �109

� a° �109

� 223°,18889 � 247g,987656

1 2 3 4 5 6

3°21�44� 16°08�24� 27°54�33� 106°32�10� 225°38�49� 330°50�26�


7 8 9 10 11

130°53�46� 256°20�43� 190°35�31� 85°12�44� 172°17�21�

▲

0060.M01.qxd 14-11-2008 16:30 Pagina 15

eser

cizi

o sv

olto

7 Trasformare i seguenti gradi dalla forma radiante alla forma centesimale e sessagesimale:

Soluzione

ag �200 � 2r,20078

p� 140g,10601 1 126°,09541 1 126°05¿43–6

ag �200 � 1r,76548

p� 112g,39395 1 101°,15455 1 101°09¿16–5

ag �200 � 1r,36475

p� 86g,88268 1 78°,19442 1 78°11¿40–4

ag �200 � 1r,23467

p� 78g,60153 1 70°,74138 1 70°44¿29–3

ag �200 � 0r,98354

p� 62g,61410 1 56°,35269 1 56°21¿10–2

ag �400 � ar

2p�

200 � ar

p�

200 � 0r,58281p

� 37g,10278 1 33°,39250 1 33°23¿33–1

172°17¿21– 1 172°,28917 ar �a°

57,2958�

172°,2891757,2958

� 3r,0070111

85°12¿44– 1 85°,21222 ar �a°

57,2958�

85°,2122257,2958

� 1r,4872310

190°35¿31– 1 190°,59194 ar �a°

57,2958�

190°,5919457,2958

� 3r,326469

256°20¿43– 1 256°,34528 ar �a°

57,2958�

256°,3452857,2958

� 4r,474078

130°53¿46– 1 130°,89611 ar �a°

57,2958�

130°,8961157,2958

� 2r,284577

330°50¿26– 1 330°,84056 ar �a°

57,2958�

330°,8405657,2958

� 5r,774266

225°38¿49– 1 225°,64694 ar �a°

57,2958�

225°,6469457,2958

� 3r,938285

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0r,58281 0r,98354 1r,23467 1r,36475 1r,76548 2r,20078 2r,54690 2r,91560 3r,56100 4r,46700


eser

cizi

o sv

olto

▲

0060.M01.qxd 14-11-2008 16:31 Pagina 16

eser

cizi

o sv

olto

8


eser

cizi

o sv

olto

Trasformare i seguenti gradi dalla forma sessagesimale alla forma centesimale e alla forma radiante:

Soluzione

280°27¿05– 1 311g,61265 1 4r,8948010

270°37¿33– 1 300g,69537 1 4r,723319

245°51¿12– 1 273g,17037 1 4r,290958

201°22¿26– 1 223g,74877 1 3r,514647

143°37¿42– 1 159g,58704 1 2r,506796

165°11¿10– 1 183g,54012 1 2r,883045

133°22¿56– 1 148g,20247 1 2r,327964

12°37¿55– 1 14g,03549 1 0r,220473

54°23¿17– 1 60g,43117 1 0r,949252

78°41¿50– 1 87g,44136 1 1r,373531

ag �200 � 4r,46700

p� 284g,37805 1 255°,94025 1 255°56¿25–10

ag �200 � 3r,56100

p� 226g,70030 1 204°,03027 1 204°01¿49–9

ag �200 � 2r,91560

p� 185g,61286 1 167°,05157 1 167°03¿06–8

ag �200 � 2r,54690

p� 162g,14069 1 145°,92662 1 145°55¿36–7

1 2 3 4 5

78°41�50� 54°23�17� 12°37�55� 133°22�56� 165°11�10�

6 7 8 9 10

143°37�42� 201°22�26� 245°51�12� 270°37�33� 280°27�05�

0060.M01.qxd 14-11-2008 16:31 Pagina 17

eser

cizi

o sv

olto

10

eser

cizi

o sv

olto

9 Trasformare i seguenti gradi dalla forma sessagesimale alla forma centesimale e alla forma radiante:

Soluzione

Eseguire le seguenti operazioni:

Soluzione

180° � 1125°56¿33– � 28°52¿48– 2 � 25°10¿39–2

45°12¿08– � 65°22¿08– � 110°34¿16–1

360° � 1105°40¿03– � 28°00¿18– � 35°07¿19– 29

180° � 1162°06¿33– � 8°52¿30– 28

64°42¿34– � 35°28¿12– � 15°20¿01–7

360° � 1145°10¿33– � 18°22¿38– � 48°02¿56– 26

180° � 1155°56¿33– � 8°50¿20– 25

54°12¿08– � 35°22¿02–4

360° � 1115°50¿33– � 78°52¿38– � 28°02¿08– 23

180° � 1125°56¿33– � 28°52¿48– 22

45°12¿08– � 65°22¿08–1

388g,3300 1 349°29¿49– 1 6r,0998710

350g,6088 1 315°32¿53– 1 5r,507359

266g,3344 1 239°42¿031– 1 4r,183578

242g,0909 1 217°52¿55– 1 3r,802757

203g,1113 1 182°48¿01– 1 3r,190466

167g,3677 1 150°37¿51– 1 2r,629015

135g,0976 1 121°35¿16– 1 2r,122114

105g,1879 1 94°40¿09– 1 1r,652293

54g,0022 1 48°36¿07– 1 0r,848262

65g,1234 1 58°36¿40– 1 1r,022961


1 2 3 4 5

65g,1234 54g,0022 105g,1879 135g,0976 167g,3677

6 7 8 9 10

203g,1113 242g,0909 266g,3344 350g,6088 388g,3300

▲

0060.M01.qxd 14-11-2008 16:31 Pagina 18

eser

cizi

o sv

olto


eser

cizi

o sv

olto

11 Sapendo che i lati di un triangolo qualunque hanno le seguenti misure:

a � 130 m b � 168 m c � 180 m

Determinare i raggi del cerchio inscritto e del cerchio circoscritto.

Scala 1:2500

r1 �1a � b � c 214 � SABC 2 �

1130 � 168 � 180 214 � 10 446,4271 2 � 94,0800 m

r2 �SABC

p 1 SABC � r2 � p � 43,7089 � 239 � 10 446,4271 m2

� B1239 � 130 2 � 1239 � 168 2 � 1239 � 180 2

239� 43,7089

r2 � B1p � a 2 � 1p � b 2 � 1p � c 2

p�

p �1a � b � c 2

2�1130 � 168 � 180 2

2� 239 m

360° � 1105°40¿03– � 28°00¿18– � 35°07¿19– 2 � 191°12¿20–9

180° � 1162°06¿33– � 8°52¿30– 2 � 9°00¿57–8

64°42¿34– � 35°28¿12– � 15°20¿01– � 44°34¿23–7

360° � 1145°10¿33– � 18°22¿38– � 48°02¿56– 2 � 148°23¿53–6

180° � 1155°56¿33– � 8°50¿20– 2 � 15°13¿07–5

54°12¿08– � 35°22¿02– � 18°50¿06–4

360° � 1115°50¿33– � 78°52¿38– � 28°02¿08– 2 � 137°14¿41–3

figura 1.17

0060.M01.qxd 14-11-2008 16:32 Pagina 19


Domande a risposta multipla

Pre

para

zio

ne a

ll’e

sam

e d

i S

tato

1. Qual è la differenza tra il sistema sessagesimale e quello sessadecimale?

Non ci sono sostanziali differenzeDifferiscono solo per la rappresentazione dei sottomultipliDifferiscono nella rappresentazione degli angoli retto, piatto e giroDifferiscono nella suddivisione della circonferenza

2. Due angoli si dicono complementari se la loro somma vale:

180° 360° 90° 270°

3. Gli angoli al centro sono:

la metà degli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arcoil doppio degli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arcouguali agli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arcoil doppio degli angoli alla circonferenza che sottendono la stessa corda e si trovano dalla stessa parterispetto alla corda stessa

4. Per risolvere un poligono di 6 lati occorre conoscere :

10 elementi 9 elementi8 elementi 12 elementi

5. L’area del cerchio inscritto vale:

6. L’angolo sessagesimale è:

la 400-esima parte della circonferenzala 360-esima parte della circonferenzal’angolo alla circonferenzal’angolo al centro

7. L’area di una circonferenza vale:

� r

� r2

2 � r

8. Il valore dell’angolo � r � 2,5748 espresso nel sistema sessagesimale è:

145°,9782

145°58�41�

0°,025748145°d

c

b

a

d

c

�

2� r2b

a

d

c

b

a

SABC

1p � a 2d

SSBC

pc

2 �SABC

pb

SABC

2 pa

dc

ba

d

c

b

a

dcba

d

c

b

a

0060.M01.qxd 14-11-2008 16:32 Pagina 20

9. La conversione di un angolo sessagesimale in sessadecimale può essere effettuata con la relazione:

10. Il passaggio dal sistema sessagesimale al sistema radiante si effettua mediante la formula:

1. Enuncia le principali differenze tra i diversi sistemi di misura angolare.

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

2. Definisci cosa si intende per mediana di un lato.

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

3. Definisci cosa si intende per asse di un segmento.

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

4. Enuncia il teorema degli angoli al centro e alla circonferenza.

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

5. Spiega in modo dettagliato la conversione da un angolo nel sistema sessagesimale a un angolo nel sistemasessadecimale.

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................................

� r �2� � �°

360d� r �

� � �°2

c

� r �2� � �°

180b� r �

� � �°360

a

gradi �primi

60�

secondi3600

dgradi �primi

3600�

secondi3600

c

gradi

60�

primi

60�

secondi3600

bgradi �primi

60�

secondi60

a


Pre

para

zio

ne a

ll’e

sam

e d

i S

tato

Domande a risposta aperta

0060.M01.qxd 14-11-2008 16:32 Pagina 21

esercizi proposti


1. Convertire i seguenti angoli in forma sessagesima-le alla forma sessadecimale:

13°23�46�

25°34�09�

35°49�27�

92°18�23�

104°22�19�

157°33�10�

188°14�21�

193°02�44�

R. 13°,39611; 25°,56917; 35°,82417; 92°,30639;104°,37194; 157°,55278; 188°,23917; 193°,0456

2. Convertire i seguenti angoli in forma sessadecima-le alla forma sessagesimale:

204°,2440221°,3711264°,2915278°,2330298°,1622306°,2644324°,1611354°,1920

R. 204°14�38�; 221°22�16�; 264°17�29�; 278°13�59�;298°09�44�; 306°15�52�; 324°09�40�; 354°11�31�

3. Convertire i seguenti angoli in forma centesimalealla forma sessadecimale:

12g, 243223g, 311730g, 271990g, 1822102g, 2109156g, 1433187g, 2631192g, 4116

R. 11°,0189; 20°,9805; 27°,2447; 81°,1640; 91°,9898;140°,5290; 168°,5368; 173°,1704

4. Convertire i seguenti angoli in forma sessagesima-le alla forma centesimale:

14°17�37�

56°24�07�

93°13�18�

123°19�56�

169°08�37�

211°16�17�

293°05�33�

331°15�41�

R. 15g,8818; 62g,6688; 103g,5796; 137g,0358;187g,9373; 234g,7460; 325g,6583; 368g,0682

5. Convertire i seguenti angoli in forma sessadecima-le alla forma radiante:

4°,511431°,3711104°,2915178°,2530218°,1229284°,2041305°,1619334°,1523

R. 0r,0788; 0r,5475; 1r,8202; 3r,1111; 3r,8070; 4r,9603;5r,3261; 5r,8321

6. Convertire i seguenti angoli in forma radiante allaforma centesimale:

0r,20321r,30112r,22143r,18204r,23094r,64235r,12465r,3411

R. 12g,9361; 82g,8306; 141g,4187; 202g,5724;269g,3475; 295g,5380; 326g,2422; 340g,0250

0060.M01.qxd 14-11-2008 16:32 Pagina 22

AASimbolie segniconvenzionaliI.G.M.

Appendice

0310.App-apertura.qxd 17-11-2008 13:11 Pagina 299

■ Scritture I.G.M.

Simboli e segniconvenzionali I.G.M.

AA

pp

end

ice

300

0320.AppI.qxd 17-11-2008 13:12 Pagina 300

■ Impiego delle scritture I.G.M.

301Simboli e segni convenzionali I.G.M.AApp.

0320.AppI.qxd 17-11-2008 13:12 Pagina 301

© R

CS L

ibri

S.p.

A. -

Div

isio

ne E

duca

tion,

Mila

no

302 Simboli e segni convenzionali I.G.M.AApp.

■ Impiego delle scritture I.G.M.

0320.AppI.qxd 17-11-2008 13:12 Pagina 302

Documents

topografia, angoli, conversione