Topics in hyperplane arrangements, polytopes 2009-01-04¢  Topics in hyperplane arrangements, polytopes

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  • ii

  • Topics in hyperplane arrangements, polytopes and

    box–splines

    C. De Concini, C. Procesi

    January 4, 2009

    1The authors are partially supported by the Cofin 40 %, MIUR

  • ii

  • Contents

    Introduction xi

    I Preliminaries. 1

    1 Polytopes 3 1.1 Convex sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.1.1 Convex sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.9 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.13 Lines in convex sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.17 Faces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    1.2 Polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Convex polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.13 Simplicial complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.17 Polyhedral cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.26 A dual picture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.3 Variable polytopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.1 Two families of polytopes . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.4 Faces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.8 Cells and strongly–regular points . . . . . . . . . . . 20 1.3.16 Vertices of ΠX(b). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.21 Piecewise polynomial functions . . . . . . . . . . . . . 26

    2 Hyperplane arrangements 29 2.1 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    2.1.1 Hyperplane arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.5 Real arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.12 Graph arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.1.18 Graphs are unimodular . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    iii

  • iv CONTENTS

    2.2 Matroids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.2 Cocircuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.8 Unbroken bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.13 Tutte polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.17 Characteristic polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.20 Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    2.3 Zonotopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.1 Zonotopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.14 B(X) in the case of lattices . . . . . . . . . . . . . . . 58

    2.4 Root systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.4.1 The shifted box . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.4.5 The volume of B(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.4.9 The external activity and the Tutte polynomials . . . 69 2.4.10 Exceptional types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    3 Fourier and Laplace transforms 79 3.1 First definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    3.1.1 Algebraic Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.1.2 Laplace transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.1.3 Tempered distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.1.7 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.1.9 Laplace versus Fourier transform . . . . . . . . . . . . 83

    4 Modules over the Weyl algebra 87 4.1 Basic modules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    4.1.1 The polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1.4 Automorphisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 4.1.8 The characteristic variety . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    5 Differential and difference equations 95 5.1 Solutions of differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . 95

    5.1.1 Differential equations with constant coefficients. . . . 95 5.1.9 Families . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    5.2 Tori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.2.1 Characters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.2.7 Elementary divisors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    5.3 Difference equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.3.1 Difference operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    5.4 Recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.4.1 Generalized Euler recursion . . . . . . . . . . . . . . . 113

  • CONTENTS v

    6 Approximation theory I 115 6.1 Approximation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    6.1.1 A local approximation scheme . . . . . . . . . . . . . . 115 6.1.3 A global approximation scheme . . . . . . . . . . . . . 118 6.1.5 The Strang–Fix condition . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    II The differentiable case. 123

    7 Splines 125 7.1 Two splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    7.1.1 The box spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.1.6 E−splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.1.12 Shifted box–spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 7.1.15 Decompositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 7.1.18 Recursive expressions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.1.26 Smoothness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.1.30 A second recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    8 RX as a D−module 141 8.1 The algebra RX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

    8.1.1 The complement of hyperplanes as affine variety . . . 141 8.1.3 A prototype D−module . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 8.1.7 Partial fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 8.1.12 The generic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 8.1.14 The filtration by polar order . . . . . . . . . . . . . . 147 8.1.23 The polar part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 8.1.27 Two modules in correspondence . . . . . . . . . . . . . 153

    9 The function TX 157 9.1 The case of numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

    9.1.1 Volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 9.2 An expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

    9.2.1 Local expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 9.2.3 The generic case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 9.2.6 The general case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

    9.3 A formula for TX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 9.3.1 Jeffrey–Kirwan residue formula . . . . . . . . . . . . . 162

    9.4 Geometry of the cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 9.4.1 Big cells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

  • vi CONTENTS

    10 Cohomology 173 10.1 De Rham complex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

    10.1.1 Cohomology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 10.1.6 Poincaré and characteristic polynomial . . . . . . . . . 175 10.1.8 Formality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

    10.2 Residues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 10.2.1 Local residue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

    11 Differential equations 183 11.1 The first theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

    11.1.1 The space D(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 11.1.9 The dimension of D(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 11.1.11 A remarkable family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 11.1.13 The first main theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 11.1.15 A polygraph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 11.1.19 Theorem 11.1.10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

    11.2 A realization of AX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 11.2.1 The graded dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 11.2.10 A dual approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 11.2.14 Parametric case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 11.2.16 A filtration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 11.2.19 Hilbert series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

    11.3 More differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 11.3.1 A characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 11.3.6 A functional interpretation . . . . . . . . . . . . . . . 203

    11.4 General vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 11.4.1 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 11.4.2 Expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 11.4.7 An identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 11.4.8 The splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 11.4.10 A hyper Vandermonde identity . . . . . . . . . . . . . 208

    III The discrete case 211

    12 Integral points in polytopes 213 12.1 Decomposition of an integer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

    12.1.1 Euler recursion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 12.1.4 Two strategies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 12.1.6 First method: development in partial fractions. . . . . 216

  • CONTENTS vii

    12.1.8 Second method: computation of residues . . . . . . . . 218 12.2 The general discrete case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

    12.2.1 Pick’s theorem and Ehrhart polynomial . . . . . . . . 219 12.2.2 The space C[Λ] of bi–infinite series . . . . . . . . . . . 220 12.2.7 Euler Maclaurin sums . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 12.2.11 Brion’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 12.2.21 Ehrhart’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228