TomografıaTeorema del corte central

Transformada de Radon

Tomografıa y la transformada de RadonLeccion 07.3

Dr. Pablo Alvarado Moya

CE5201 Procesamiento y Analisis de Imagenes DigitalesArea de Ingenierıa en Computadores

Tecnologico de Costa Rica

I Semestre, 2017

P. Alvarado — TEC — 2017 Tomografıa 1 / 22

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Transformada de Radon

Contenido

1 Tomografıa

2 Teorema del corte central

3 Transformada de Radon

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Transformada de Radon

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Transformada de Radon

Tomografıa axial cerebral de nino con hidrocefalia

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Generaciones de tecnologıa tomografica

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Tomografıa: Primera generacion

Una sola fuente puntual de rayos X con un solo receptor

Traslacion de fuente y receptor requeridos para cada angulo

1973: EMI Mark I scanner (4,5min/scan)

[Vıdeo1: Historia] [Vıdeo2: Principio] [Vıdeo3: Principio]

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Tomografıa: Segunda generacion

Se agregaron mas receptores, que capturan entonces variosangulos simultaneamente

3 detectores a 1, luego 53 detectores

Decenas de segundos para un scan

Traslacion de fuente y receptor requeridos para cada angulo

[Vıdeo1] [Vıdeo2]

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Tomografıa: Tercera generacion

Abanico de rayos mas amplio y arreglo de hasta 300-1000receptores para cubrir todo el campo visual simultaneamente

Traslacion de par fuente/receptor innecesaria, solo rotacion deambos

Escaneo en 2 s

[Vıdeo1] [Vıdeo2]

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Tomografıa: Cuarta generacion

Anillo circular de receptores

Solo rotacion de fuente

[Vıdeo1]

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Tomografıa: Quinta generacion

Electron beam computed tomography (EBCT)

Sin movimiento mecanico

Rayos de electrones se controlan de forma electromagneticapara emitir luego en anodos apropiados los abanicos de rayosX

[Vıdeo]

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Tomografıa: Sexta generacion

Escaneo helicoidal

[Vıdeo]

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Tomografıa: Setima generacion

Escaneo helicoidal multiple

Escaneo completo en 40 s

Movimiento de organos visible!

[Vıdeo]

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¿Que es tomografıa?

Reconstruccion 3D a partir de multiples proyecciones

Radiacion debe atravezar los objetos a reconstruir

Se reducira problema a sensor 1D y un corte transversal

Se asume fuente de radiacion paralela

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Multiples proyecciones

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Multiples proyecciones

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Multiples proyecciones

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Multiples proyecciones

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Multiples proyecciones

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Multiples proyecciones

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Multiples proyecciones

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Multiples proyecciones

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Multiples proyecciones

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Multiples proyecciones

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Multiples proyecciones

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Interpretacion de proyeccion

Canal del rayo P∆r∆z

Sensor ∆r∆z

Elemento ∆p∆r∆z en p

Incide flujo φi (p)

Transfiere flujo φo(p)

Coefic. de absorcion µ

φo(p) = φi (p)e−µ∆p

Flujo total recibido

φ(r , ψ) = φ0

P−1∏p=0

e−µ(p)∆p

∆r ∆r

∆z

∆p

ψ

Pr

r

p

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Flujo total recibido

φ(r , ψ) = φ0

P−1∏p=0

e−µ(p)∆p

Sustitucion de producto por sumas

−gp(r , ψ) = lnφ(r , ψ)

φ0= ln

P−1∏p=0

e−µ(p)∆p

= −P−1∑p=0

µ(p)∆p

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Teorema del corte central y la rotacion

Recuerdese el teorema del corte central:

I (ωx , 0) = F

R−1∑y=0

i(x , y)

o en el espacio continuo

I (Ωx , 0) = F

∫ R

0i(x , y) dy

Recuerdese la propiedad de rotacion:

i(Rx) I (RΩ)

Combinacion:

Proyeccion en angulo ψ Linea espectral en ψ

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Ilustracion de proyeccion con angulo ψ

ψ

ψ

F·

Ωx

Ωy

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Proyeccion sobre r , con angulo ψ:

P(r , ψ) =

∫∫i(x)δ(xTnψ − r) dx dy

ψ

nψ

rSi x sobre rayo de proyeccion

y nψ vector normal a rayo

entonces x · nψ = xTnψ = r

r : mınima distancia de rayo aorigen

δ(xTnψ − r)

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Reconstruccion espectral

Reconstruccion espectral en coordenadas polares:

I (Ωr , ψ) = F P(r , ψ)

donde para cada ψ se realiza una TF-1D

El resultado de cada ψ se suma al espectro (una lınea quepasa por la frecuencia cero).

Muestreo angular elevado para poder cubrir espectro

Traslape de lıneas espectrales alrededor del origen conduce a adistorsion de forma D(Ω) = 1/ρ(Ω) (ρ(·): distancia a origen)

Correccion de espectro resultante con H(Ω) = ρ(Ω)

Transformada inversa reconstruye imagen en el espacio

Todos los pasos anteriores se realizan en el espacio.

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Resumen

1 Tomografıa

2 Teorema del corte central

3 Transformada de Radon

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© 2005-2017 Pablo Alvarado-Moya Area de Ingenierıa en Computadores Instituto Tecnologico de Costa Rica

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