1Zlatni rezZlatni rezZlatni rez

dr. sc. Mirna Rodi Lipanovi TTF Nacrtna geometrija A 2009./2010.

I. dio

2Zlatni rez

AB:AS=AS:SB

Duina je podijeljena u zlatnom rezu ako je omjer duljine cijele duine prema veem dijelu jednak omjeru duljine veeg dijela prema manjem dijelu.

A BS

M m

m

MM

mM=

+

xx

=+11

012 = xx

251

1+

=x2

512

=x

SBAS

ASAB

=

x

< 0

251+

= ...618.1

ZLATNI BROJ

3A

B

SAB:AS=AS:SB

Partenon, Atena, 5.st.pr.Kr.

4Konstrukcija zlatnog reza

A BS A BSP

C

D

C

( tzv. unutarnji zlatni rez )

A BS A BS

1.)

?

2.) ( tzv. vanjski zlatni rez )

?

a

2a

2a

a

2a

a

5Zlatni pravokutnik

kvad

rat

zl.pr

avok

utnik

- pravokutnik kojemu je omjer duljina stranica jednak .

Svojstvo zlatnog pravokutnika: Kad od zlatnog pravokutnika odsijeemo kvadrat nad manjom stranicom, preostali pravokutnik opet je zlatni.

=a

ba

b

zlatna spirala

6Pravilni peterokut (i zlatni trokut)

2) Omjer duljine dijagonale i duljine osnovice pravilnog peterokuta je zlatni omjer.

1) Svake dvije dijagonale u pravilnom peterokutu (koje se sijeku unutar peterokuta) sijeku se u omjeru zlatnog reza.

Vrijedi:

Zlatni trokutje jednakokraan trokutkojemu je omjer duljina kraka i osnovice jednak

A B

D

=a

b

a

bb

7Konstrukcija pravilnog peterokuta i pravilnog deseterokuta:

1.) zadan je radijus opisane krunice

2.) zadana je duljina stranice

Zadatak:

8FIBONACCIJEVI BROJEVI

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,

Niz brojeva 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, sa svojstvom da je svaki lan niza (poevi od treeg) jednak zbroju dva lana koji mu neposredno prethode, zove se FIBONACCIJEV NIZ.

Kvocijenti (omjeri) uzastopnih Fibonaccijevih brojeva zovu se Fibonaccijevi razlomci.

Niz Fibonaccijevih razlomaka konvergira (tei; pribliava se) broju .

9Prikaimo slikovno niz Fibonaccijevih brojeva:

Fibonacci pravokutnicipravokutnici kojima su duljine stranicasusjedni Fibonaccijevi brojevi.

Fibonacci spirala

10