Zadaci iz mehanike neprekidnih sredina - TEORIJSKA MEHANIKA 2015.

Kinematika i jednacina kontinuiteta

1. Polje brzine u fluidu ima oblik v1 = x1, v2 = x2 i v3 = 0, gde je zadata konstanta. U pocetnomtrenutku t = 0 deo fluida na kruznici x21 + x

22 = a

2 u ravni x3 = 0 je obojen. Naci jednacinu obojenog delafluida u proizvoljnom trenutku.2. Tecnost protice kroz kanal 0 x2 a brzinom v1 = Ax2(a x2), v2 = v3 = 0. Kako se vrti travkakoja se postavi na povrsinu tecnosti duz pravca odredenog ortom ~e1 na sredini kanala (x2 = a/2), a kakou blizini krajeva x2 = 0, a?3. Polje brzine ima oblik ~v = a~e1 + bt~e2, gde su a i b konstante. (a) Naci jednacinu strujne linije koja utrenutku t = t0 prolazi kroz tacku (A,B,C). (b) Naci trajektoriju delica koji se u trenutku t = t0 nalaziou tacki (A,B,C). (c) Ako je A = B = C = 0, t0 = 0 i a = b = 1 u odgovarajucim jedinicama, nacrtatistrujnu liniju i trajektoriju, cije su jednacine nadene pod (a) i (b).4. Polje brzine u neprekidnoj sredini ima oblik

~v = Ax1( + t)~e1 Bx2~e2 Ax3t~e3 ,gde su A, B i zadate konstante. (a) Naci trajektoriju delica koji se u pocetnom trenutku t = 0 nalaziou tacki (X1, X2, X3). (b) Izraziti brzinu delica u Lagranzevim (supstancijalnim) promenljivim. (c) Naciubrzanje u Lagranzevim promenljivim.5. Fluid struji tako da je proizvod njegove gustine i brzine ~v zadat poljem

~v = K(4x21x2~e1 + x1x2x3~e2 + x2x23~e3) .

Izracunati za koliko se u jedinici vremena promeni masa fluida sadrzana u zapremini kocke ograniceneravnima: x1 = 0, x1 = 1, x2 = 0, x2 = 1, x3 = 0, x3 = 1. Zadatak uraditi na dva nacina: (a) direktnopomocu izraza za protok i (b) primenom teoreme Gausa-Ostrogradskog na izraz za protok.6. Fluid gustine = 0(2 cost) (0 i su zadate pozitivne konstante) struji tako da polje brzine imaoblik ~v = u(x1, t)~e1. Naci: (a) funkciju u(x1, t), ako je poznato da je u(x1 = 0, t) = U (U =konst), pa naosnovu toga i (b) polje ubrzanja.7. Ako je polje brzine zadato sa:

~v = A(x1t~e1 + x2t~e2),

odrediti kako se gustina menja sa vremenom, pod uslovom da u Ojlerovim promenljivim ona zavisi samood vremena (A je zadata konstanta).8. Cev precnika D, kroz koju stacionarno protice tecnost konstantne gustine, grana se na dve cevi precnika3D/4 i D/2. Poznato je da je protok kroz cev precnika 3D/4 duplo veci od protoka kroz cev precnika D/2.Koliki je odnos srednjih brzina proticanja tecnosti kroz cevi?9. Pod linijskim izvorom podrazumeva se stacionarno strujanje fluida konstantne gustine, pri kome poljebrzine u cilindricnim koordinatama ima oblik

~v =C

r~er ,

gde je C konstanta. (a) Uveriti se da je pri ovakvom strujanju zadovoljen uslov nestisljivosti. (b) Izracunatijacinu linijskog izvora m, koja se definise kao zapremina fluida koja u jedinici vremena istice sa jedinicneduzine izvora (tj. zose). (c) Naci strujne linije i trajektorije delica. (d) Pokazati da je ovakvo strujanjebezvrtlozno i naci potencijal brzine. (e) Izraziti ~v u Dekartovim koordinatama i naci matricu koja odgovaratenzoru brzine deformacije. Naci brzinu promene relativne promene duzine supstancijalnih duzi koje imajuradijalni pravac.

1

10. Pod linijskim vrtlogom podrazumeva se stacionarno strujanje fluida konstantne gustine, pri kome poljebrzine u cilindricnim koordinatama ima oblik:

~v =

2pir~e ,

gde je konstanta. (a) Uveriti se da je pri ovakvom strujanju zadovoljen uslov nestisljivosti. (b) Izracunativektor vrtloznosti ~. (c) Naci strujne linije i trajektorije delica. (d) Izraziti ~v u Dekartovim koordinatamai naci matricu koja odgovara tenzoru brzine deformacije.

(e) Pokazati da konstanta ima fizicki smisao cirkulacije vektora brzine po proizvoljnoj zatvornoj konturiC koja jednom obilazi oko z-ose, tj. pokazati da je =

C ~v d~l.

11. Polje brzine u fluidu ima oblik

~v =Q

2pir~er +

2pir~e ,

gde su r, i z cilindricne koordinate, a Q i zadate konstante. (a) Naci komponente brzine u Dekartovimkoordinatama. (b) Naci polje ubrzanja. (c) Naci tenzor brzine deformacije u Dekartovim koordinatama.(d) Pokazati da je fluid nestisljiv. (e) Izracunati zapreminski protok kroz omotac cilindra, cija se osapoklapa sa osom z, poluprecnik osnove mu je jednak R, a visina H. (f) Ispitati da li je ovakvo proticanjebezvrtlozno i, ako jeste, naci potencijal brzine.12. Pokazati da u fiksiranom vremenskom trenutku za bilo kakvo vrtlozno strujanje vazi da fluks vektoravrtloznosti po svakom poprecnom preseku jedne vrtlozne cevi ima istu vrednost.

2

Vektor i tenzor napona

13. Matrica koja u koordinatnom sistemu Oxyz reprezentuje tenzor napona u nekoj tacki ima oblik

P = 2 4 34 0 0

3 0 1

MPa .Naci (a) vektor napona i intenzitet normalnog napona na ravan koja prolazi kroz tu tacku i paralelna jeravni x + 2y + 2z 6 = 0; (b) komponentu P 12 tenzora napona u istoj tacki u koordinatnom sistemu ukome xosa ima pravac orta ~e1 = 13(2~e1 + 2~e2 + ~e3), a yosa ima pravac orta ~e2 = 12(~e1 ~e2).14. Tenzor napona reprezentovan je matricom

P = 0 100x1 100x2100x1 0 0100x2 0 0

u odgovarajucim jedinicama. Naci vektor napona koji deluje na ravan koja prolazi kroz tacku (1/2,

3/2, 3),

a tangentna je na cilindricnu povrsinu x21 + x22 = 1 u toj tacki.

15. Tenzor napona reprezentovan je matricom

P = 0 x3 x2x3 0 0

x2 0 0

.Naci (a) Naci vektore napona koji deluju na povrsine x22 + x

23 = 4, x1 = 0 i x1 = l; (b) ukupnu silu i

moment sile koji deluju na x1 = l.

Statika fluida

16. Oluk, u obliku polucilindra, ciji je poprecni presek prikazan na slici, poluprecnika R i duzine H,ispunjen je do vrha vodom. Eksplicitnim racunom pokazati da je ukupna povrsinska sila koja deluje naoluk jednaka tezini vode u njemu. Smatrati da atmosferski pritisak u okolini oluka ima konstantnu vrednost.

3

17. Tecnost gustine nalazi se u rezervoaru, ciji je poprecni presek prikazan na slici. Naci ukupnu silupritiska na zakrivljeni deo zida rezervoara, sirine L (duz z-ose).

18. Sud cilindricnog oblika poluprecnika osnove R, koji rotira oko svoje vertikalne ose u homogenom poljuZemljine teze konstantnom ugaonom brzinom , sadrzi tecnost gustine =konst. Smatrajuci da se tecnostne pomera u odnosu na sud, tj. da rotira kao kruto telo ugaonom brzinom oko ose suda, tako da mozeda se smatra da u njoj postoje samo normalni naponi. Naci raspodelu pritiska u tecnosti, kao i jednacinunjene slobodne povrsine. Odrediti za koliko se najvise podigne nivo tecnosti u sudu koji rotira u odnosuna nivo u sudu koji miruje.

19. Materijal od kojeg se sastoji neka zvezda moze da se tretira kao fluid u ravnotezi, pri cemu je jedinazapreminska sila gravitaciona, koja potice od same supstance zvezde. Zvezda je sferno-simetricna, ali nijehomogena, pri cemu je poznata veza izmedu pritiska p(r) i njene gustine (r):

p =1

2k2,

gde je k pozitivna konstanta. Pokazati da gustina zvezde zadovoljava jednacinu

d2(r(r))

dr2= 4pi

kr(r),

gde je gravitaciona konstanta. Resiti prethodnu jednacinu i pokazati da poluprecnik ove zvezde ne zavisiod njene ukupne mase, uzimajuci u obzir granicne uslove da je gustina zvezde konacna za r = 0, a jednakanuli na njenoj povrsini.

Osnovna jednacina dinamike

20. Pokazati da divergencija tenzora zadovoljava sledece osobine:

div(F (x1, x2, x3)I) = gradF , div(A+ B) = divA+ divB ,gde je F (x1, x2, x3) skalarno polje, I jedinicni tenzor, i skalarne konstante, a A i B tenzorska polja.21. Ispitati da li matrica ciji su elementi N11 = x

22 + (x

21 x22), N12 = 2x1x2, N22 = x21 + (x22 x21),

N23 = N13 = 0, N33 = (x21 + x

22) moze da reprezentuje tenzor napona u sredini ciji se delici nalaze u

ravnotezi, a zapreminskih sila nema.

22. Tenzor napona unutar cilindra x22 + x23 = R

2, 0 x1 L predstavljen je matricom

P = Ax2 +Bx3 Cx3 Cx2Cx3 0 0

Cx2 0 0

,gde su A, B i C zadate konstante. Ako je poznato da su svi delici cilindra u ravnotezi, kao i da je gustinasredine , naci masenu gustinu zapreminske sile ~f . Izracunati vektor napona koji deluje na delice napovrsini omotaca cilindra.

4

Dinamika viskoznog fluida

23. Tanka ravna ploca kvadratnog oblika, ivice a, klizi na tankom sloju ulja, debljine d, po horizontalnojravni. Ako je brzina ploce u, a viskoznost ulja , izracunati silu kojom treba delovati na plocu da bi seovakvo kretanje odrzalo, pretpostavljajuci da se kretanje fluida moze aproksimirati ravnim Kuetovim tokom(paralelno laminarno stacionarno strujanje izmedu dve beskonacno velike paralelne ploce usled kretanjajedne od ploca). Ulje smatrati Stoksovim fluidom. Kolika je ta sila ako je a = 1m, d = 2mm, u = 1m/s i = 1Pa s?

uu

xx22

xx11

dd

24. Sloj Stoksove tecnosti konstantne gustine , koeficijenta viskoznosti i debljine d stacionarno i lami-narno tece niz nepokretnu strmu ravan ugla . Strma ravan je jako velika i postavljena je na horizontalnuravan u homogenom gravitacionom polju. Pretpostavljajuci da vazduh iznad tecnosti miruje, pri cemu jeatmosferski pritisak jednak p0, naci profil brzine unutar tecnosti uzimajuci da je ~v = v(x2)~e1.

25. Dva sloja razlicitih Stoksovih fluida proticu izmedu dve beskonacne paralelne ploce, od kojih jednamiruje, a druga se krece konstantnom brzinom v0 u svojoj ravni. Pretpostavljajuci da se slojevi tecnostine mesaju, da je granicna ravan izmedu njih paralelna plocama, da nema gradijenta pritiska, kao i da sezapreminske sile mogu zanemariti, naci profil brzine izmedu ploca. Pretpostaviti da su gustine i koeficijentiviskoznosti fluida poznati, a da su debljine slojeva b1 i b2. Smatrati da je strujanje stacionarno i laminarno,pri cemu brzina delica ima pravac kretanja pokretne ploce i zavisi samo od rastojanja od ploce.

26. Pod HagenPoazejevim tokom podrazumeva se stacionarno proticanje viskoznog nestisljivog fluida,gustine = const i koeficijenta viskoznosti u homogenom polju gravitacije kroz cilindricnu cev precnikad, cija osa sa horizontalom zaklapa ugao . Smatrajuci da se radi o paralelnom toku u pravcu ose cevi, kaoi da brzina fluida zavisi samo od rastojanja od ose cilindra (a) pokazati da je projekcija gradijenta pritiskana pravac ose cilindra konstanta i (b) naci profil brzine u cevi, ako je ta projekcija poznata.

5

27. Stoksov fluid, gustine , protice kroz kanal koji cine dve jako velike nepokretne horizontalne paralelneravne porozne ploce, pri cemu postoji i strujanje fluida ortogonalno kroz ploce, tako da je polje brzineizmedu ploca oblika ~v = U(y)~ex+u0~ey (videti sliku), gde je u0 zadata konstanta. Rastojanje izmedu plocaje a, a kinematicki koeficijent viskoznosti je . Naci funkciju U(y), ako je poznato da je projekcija gradijentapritiska na x-osu konstantna i iznosi K, smatrajuci da neposredno uz ploce brzina ima samo y komponentu.Skicirati grafik U(y)u0/(Ka) u funkciji y/a, ako je Stoksov fluid voda, za koju je = 1.1 10

6m2/s, au0 = 10

4m/s i a = 1m.

28. Stoksov fluid stacionarno protice izmedu dva jako dugacka koaksijalna cilindra, poluprecnika r1 i r2(r1 < r2), usled njihove rotacije oko zajednicke ose ugaonim brzinama 1 i 2, respektivno. Zanemarujucizapreminske sile, naci (a) profil brzine unutar fluida i (b) moment sile kojim fluid deluje na jedinicnuduzinu unutrasnjeg cilindra. Pretpostaviti da je polje brzine oblika ~v = v(r)~e, gde su (r, , z) cilindricnekoordinate u sistemu u kome se z-osa poklapa sa zajednickom osom cilindara.

zz

rr22

rr11

29. Beskonacno dugacak cvrsti cilindar poluprecnika a rotira konstantnom ugaonom brzinom okosopstvene ose u Stoksovom fluidu koji ispunjava ceo prostor. Naci profil brzine koji odgovara stacionarnomlaminarnom osnosimetricnom kretanju (~v = v(r)~e) uspostavljenom u fluidu usled rotacije cilindra, akozapreminske sile mogu da se zanemare. Pokazati da se u slucaju jako tankog cilindra, koji jako brzo rotira,pri cemu a2 C 6= 0 kada a 0 i , dobija linijski vrtlog (definisan u 10. zadatku).

6

Idealan fluid

30. Linijski izvor (definisan u zadatku 9) postavljen je u pravcu vertikalne ose u homogenom gravitacionompolju ~g = g~ez. Pretpostavljajuci da se radi o idealnom fluidu, gustine =const, naci raspodelu pritiska,ako je poznato da je na velikim rastojanjima od ose i na visini z = 0 pritisak jednak p0.

31. Tornado moze grubo da se opise kao vrtlog sa rotacionim jezgrom koje se aproksimativno ponasakao cvrsto telo, dok je van tog jezgra brzina kao kod linijskog vrtloga (definisan u zadatku 10, sa z-osom u pravcu gravitacionog ubrzanja). Tipicna procenjena vrednost poluprecnika jezgra je 30m. Kakose menja pritisak na povrsini Zemlje van jezgra tornada? Za tornado sa maksimalnom brzinom vetra100km/h, izracunati razliku izmedu pritiska na granici jezgra i pritiska na jako velikim rastojanjima odjezgra tornada. Ovaj potpritisak je delimicno odgovoran za podizanje krovova i stetu koju tornado pravi.Pretpostaviti da gustina vazduha moze da se smatra konstantnom i uzeti da je = 1.21kg/m3.

32. Izracunati silu kojom treba delovati na loptu radijusa R da bi ona mirovala u homogenom idealnomfluidu, konstantne gustine, koji se na jako velikim rastojanjima od lopte krece konstantnom brzinom~v = u~ez? Zapreminske sile zanemariti, a za polje brzine fluida pretpostaviti da je stacionarno i bezvrtlozno,pri cemu je potencijal brzine oblika = F (r) cos , gde je r rastojanje od centra lopte, a ugao izmeduradijus vektora ~r i orta ~ez.

33. (a) Na veliku nepokretnu ravnu plocu, koja lezi u ravni Oxz postavljen je jako dugacak cvrstipolucilindar, poluprecnika osnove a, tako da mu se osa poklapa sa z-osom. U oblasti iznad ploce (u kojoj senalazi polucilindar) stacionarno struji idealan nestisljiv fluid. Na jako velikim rastojanjima od polucilindrabrzina fluida jednaka je ~v = U0~ex, U0 =const. Smatrajuci da je ovakvo strujanje potencijalno, pri cemupotencijal brzine u cilindricnim koordinatama ima oblik (r, ) = F (r) cos, gde je F (r) funkcija kojutreba odrediti, naci brzinu fluida u proizvoljnoj tacki. (b) Ako model opisan u prethodnom delu zadatkaodgovara strujanju vetra stalne jacine oko dugacke hale polucilindricnog oblika, izracunati silu kojom vetardeluje na jedinicnu duzinu hale. Gustina vazduha je =const, a na jako velikim rastojanjima od hale, uravni y = 0 pritisak je jednak p0. Uzeti u obzir silu gravitacije, ~g = g~ey.

34. Za termodinamicki idealan gas vazi termicka jednacina stanja p = KT, gde je K konstanta. U slucajukada je kretanje ovakvog gasa stacionarno i potencijalno, a odvija se u homogenom gravitacionom polju~g = g~ez, pokazati da Bernulijev, odnosno Kosi-Lagranzev integral, imaju oblik: (a) gz+(p/) ln p+v2/2 =const za izotermsko proticanje, tj. kada je temperatura T konstantna, i (b) gz + [/( 1)]p/+ v2/2 =const za adijabatsko, tj. kada je zadovoljena relacija p = C , gde su C i konstante.

35. U otvorenom rezervoaru cilindricnog oblika, povrsine poprecnog preseka A, nalazi se voda. U trenutkut = 0, kroz slavinu na dnu rezervoara voda pocinje da istice. Povrsina poprecnog preseka slavine jednakaje a, pri cemu je a A. Pokazati da je vreme potrebno da se rezervoar potpuno isprazni priblizno jednako(A/a)(2h0/g)

1/2, gde je h0 visina nivoa vode u pocetnom trenutku. Smatrati da je strujanje vode pribliznostacionarno i da moze da se primeni Bernulijeva jednacina.

7

Resenja nekih zadataka

3. (a) Jednacina strujne linije dobija se resavanjem sistema

dx1v1(x1, x2, x3, t0)

=dx2

v2(x1, x2, x3, t0)=

dx3v3(x1, x2, x3, t0)

,

u koji treba zameniti v1 = a, v2 = bt i v3 = 0. Posto je v3 = 0 sledi da trazena strujna linija mora da lezi uravni x3 = const = C, a iz jednacine

dx1a =

dx2bt0

se neposrednim integraljenjem, uz uslov da strujna llinijatreba da prolazi kroz tacku (A,B,C), dobija

x2 =bt0a

(x1 A) +B .

(b) Posto je

v1 =dx1dt x1 = at+ const ,

iz pocetnog uslova x1(t0) = A se dobija da je integraciona konstanta jednaka A at0, pa je

x1(t) = at+A at0 .

8

Slicno:

v2 =dx2dt

= bt x2 = 12b(t2 t20) +B ,

pa se eliminacijom vremena dobija

x2 =b

2a2(x1 A+ at0)2 +B 1

2bt20 ,

sto uz x3 = C (sto trivijalno sledi iz v3 = 0), predstavlja jednacinu trazene trajektorije.(c) Za A = B = C = 0, t0 = 0 i a = b = 1 jednacina strujne linije dobija oblik x2 = 0, x3 = 0, tj. to je x1osa, a jednacina trajektorija postaje x2 = x

21/2, sto je za t > 0 deo parabole u oblasti x1 0. Obe linije

prikazane su na sledecoj slici:

9

6. (a) Posto brzina ima samo x1 komponentu, jednacina kontinuiteta se svodi na jednacinu

t+(u)

x1= 0 ,

odakle slediu

x1=

sint

cost 2 u(x1, t) = x1sint

cost 2 + F (t) .

Funkciju F (t) odredujemo iz zadatog uslova u(x1 = 0, t) = U , odakle je F (t) = U , tj. zakljucujemo da seova funkcija svodi na konstantu, pa se za bolje brzine dobija oblik

~v =

(x1

sint

cost 2 + U)~e1 .

(b) Polje ubrzanja dobija se direktnom zamenom brzine u izraz za njen supstancijalni izvod:

~a =d~v

dt= (~v )~v + ~v

t= u

~v

x1+~v

t= ~e1

(uu

x1+u

t

).

Posto jeu

t= x1

2 1 2 cost(cost 2)2 ,

a ux1 je izracunat pod (a), nakon ubacivanja u izraz za ~a i sredivanja konacno se dobija

~a =

2 cost(

x12 cost

(1 2 cost+ sin2 t) U sint)~e1 .

10

11. Ovo je zadatak 10.5.6 iz udzbenika PredavanjaTM(2012).pdf. Resenje se nalazi na strani 174,nedostaje jedino potencijal brzine, za koji treba da se dobije izraz

=

2pi+

Q

2piln r + const .

12. Zadatak uraden na casu13. Zadatak uraden na casu (to je zadatak 11.2.1 iz udzbenika, resenje je na strani 175)14. Ovo je zadatak 11.2.2 iz udzbenika, resenje je na strani 17515. Ovo je zadatak 2.10 u zbirci Fizika kontinuuma kroz primere, na strani 3816. Zadatak uraden na casu

11

12

17. Ovo je zadatak 11.2.3. iz udzbenika, resenje je na strani 17518. Zadatak uraden na casu (takode uraden i kao primer u udzbeniku, strana 154)19. Ovo je zadatak 3.3 u zbirci Fizika kontinuuma kroz primere, na strani 4720. Zadatak uraden na casu21. Ovo je zadatak 2.11 u zbirci Fizika kontinuuma kroz primere, na strani 4022.

13

23. Ovo je zadatak 5.4 u zbirci Fizika kontinuuma kroz primere, strana 7624. Uraden na casu (u zbirci Fizika kontinuuma kroz primere je ovo zadatak 5.7, strana 79)25. Uraden na casu26. Ovo je zadatak 5.8 u zbirci Fizika kontinuuma kroz primere, strana 8127.

U(y) =Ka

u0

(eu0y 1

eu0a 1

ya

)28. Uraden na casu (deo pod (a) je zadatak 5.9 u zbirci, strana 82)29. Videti zadatak 5.11 u zbirci, strana 8430. Iskoristiti Bernulijevu jednacinu.31. Ovo je zadatak 4.4 u zbirci Fizika kontinuuma kroz primere, strana 55, jedino sto je u zbirci datapogresna numericka vrednost za , pa to treba ispraviti u resenju!32. Uraden na casu i u zbirci Fizika kontinuuma kroz primere, na strani 62, zadatak 4.12

14

33. (a)

15

16

34. Ovo je zadatak 4.5 u zbirci, strana 5635.

17