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titolo
Precorso di Matematica
UGUALI ?
Rettangoli uguali ?
Sig. ROSSI
Sig. NERI
A
B
A B=
Axè elemento di appartiene a
implica
sono un’unico insieme !
Bx
Bx Ax
A B=
Ax
Sig. ROSSI
Sig. NERI
A
BBA
COME INSIEMI DI PUNTI
UGUALI UGUALI COME FIGURECOME FIGURE
GEOMETRICHE GEOMETRICHE
unica figura geometricaunica figura geometrica
B C
A
AB = ACisoscele
PP QQ PP QQ
AB AC
come figure geometriche
come insiemi
Triangolo isoscele
A = B
Concetto di uguaglianza
A = B
A = B
B A
A B
B A
B A unico
oggetto
A = B C C
x + a = b a) a)
x = b a
Somma ai due membri
A = B
bxa
C C
a1
a1
ab
x
Prodotto ai due membri
a + x = b x = b a
a x = b x = b/a
equazioni algebriche di primo grado
Equazioni di primo grado
a + x > b x > b a
a x > b
disequazioni algebriche di primo grado
a/bx0a
a/bx0a
Disequazioni di primo grado
NNNUMERI NATURALI
0 1 2 3 4 5 ...{ } , , , , , ,
Numeri naturali
ZZ NUMERI INTERI
0 1 -1 2 -2 3 -3 4 - 4 5 -5 ...{ }
Numeri interi relativi
NN ZZE’ CONTENUTO INE’ SOTTOINSIEME DI
inclusione
ZZmn )m(n
l’operazione di SOTTRAZIONE si riconduce a
quella diADDIZIONE
Sottrazione come addizione
QQ NUMERI RAZIONALI
ab
: a , b Z , b 0 { }
Numeri razionali
ZZ QQNN
Inclusioni numeriche
121
ab b = 12
a = 1
Calcoli con le frazioni
125
ab b = 12
a = 5
ab b = 24
a = 10
2410
nbna
ba
ba
dc?
41
43
43
65
?66
44
43
65
33
22
12
minimo comune
denominatore
Minimo comun denominatore
dbbcda
43
65
644563
+
242018
24381219
Somma di due frazioni
43
65
+12
12
minimo comune denominatore
33 2519
ba
dc
dbca
0ba
x x1
ab
baab
ab
0a
ba 1
Prodotto di due frazioni
y1
xyx
0yQy,x l’operazione di
DIVISIONE si riconduce a quella di
MOLTIPLICAZIONE
Divisione come moltiplicazione
QQ ++caba)cb(a
proprietà distributiva
)dc()ba( d)ba(c)ba(
dbdacbca
Proprietà distributiva
abaa
QQ ++caba)cb(a
proprietà distributiva
bbba )ba()ba(
22 ba )ba)(ba(
Prodotti notevoli
QQ ++caba)cb(a
proprietà distributiva
)ba()ba( bbbaabaa22 bab2a 2)ba(
Quadrato del binomio
OO UU
0 1 2 3-1-2
RR NUMERI NUMERI REALIREALIQQ
2
Numeri reali
2 QQnon appartiene a
2ba 2
ba 2
2
2
b
a
22 b2a
il fattore 2 compare un numero pari
di volte
ASSURDO !
il fattore 2 compare un
numero pari di volte
il fattore 2 compare un
numero dispari di volte.
Irrazionalità della radice di 2
2 QQRRQQ
x QQRRx
IRRAZIONALE
infiniteinfinite cifre dopo la virgolacifre dopo la virgola
non periodichenon periodiche
3,031
Numeri irrazionali
APPROSSIMAZIONE PER TRONCAMENTOAPPROSSIMAZIONE PER TRONCAMENTO
2 1.414213562
1.41 10= 31.05926159
2 10
= 25= 32PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI
!!Propagazione degli errori
a x2 + b x + c = 0
equazioni algebriche di secondo grado
0a
0ac
xab
xa 2
xa2
b2x2
2
2
a4
b 0ac
a4
b2
2
Equazioni di secondo grado
xa2
b2x2
2
2
a4
b 0ac
a4
b2
2
ac
a4
ba2
bx 2
22
ac
a4
ba2
bx 2
2
2
2
a4
ac4ba2b
x
a2
ac4bbx
2
discriminante
discriminante
FORMULA RIDOTTA
a x2 + 2k x + c = 0
a2
ac4k4k2x
2
a2
ack2k2 2 a
ackk 2
se b è un intero pari: b = 2 k
a x2 + b x + c = 0
Formula ridotta
a2
bx
a2a2b
a2a2b
x1
a2a2b
x2
Radici dell’equazione
a2a2b
x1
a2a2b
x2
a2b
2xx 21
ab
2
2
2
2
21 a4
ac4b
a4
bxx
2a4
ac4ac
ab
xx 21 ac
xx 21
Somma e prodotto delle radici
ab
xx 21 ac
xx 21
)xx)(xx(a 21
)xxxxxxx(a 21212
)xxx)xx(x(a 21212
ac
xab
xa 2
cxbxa 2
)xx)(xx(a
cxbxa
21
2
Fattorizzazione
)xx)(xx( 21
0cxbxa 2 )xx)(xx(a 21
disequazioni algebriche di secondo grado
0
21 xxxx oppure per positivo
1x 2xa > 0
segno di
21 xxx per negativo
stesso segno di a per valori esterni
segno opposto ad a per valori interni
Disequazioni di secondo grado
)xx)(xx( 21 a < 0 1x 2x
0cxbxa 2 )xx)(xx(a 21 0
segno di
21 xxxx oppure per negativo
21 xxx per positivo
stesso segno di a per valori esterni
segno opposto ad a per valori interni
opposto di
Radici reali e distinte
2o )xx(a
disequazioni algebriche di secondo grado
21 xx oxoxa > 0a < 0
0cxbxa 2 0
segno di
stesso segno di a per ogni oxx
disequazioni algebriche di secondo grado
a > 0a < 0
0cxbxa 2 0
segno di
stesso segno di a per ogni Rx
Nessuna radice reale
01x3x2 2 Esercizio
a2
ac4bbx
2
4
893x
413
1x
2/1x
2
1
1
a > 0
1x2/1x oppure2
1
02x3x2 2 Esercizio
a2
ac4bbx
2
4
1693x
0
a > 0
x di valore qualunque
Altro esercizio
Introduzione all’intersezione
A B
BA
BxeAx|x:BA
A BINTERSEZIONE
Definizione di intersezione
Esempio di intersezione
Concorso per Ricercatore Universitario
Art. 1Possono partecipare coloro che sono in possesso della Laurea in Scienze Ambientali e che, alla scadenza delle domande, non hanno ancora compiuto i trenta anni di età.
BA
ABlaureati
in Scienze
Ambientali
non ancora
trentenni
potenziali concorrenti
Esercizio
3|5x2|
35x2 A3)5x2( 35x2 B
2x2 1x [1,]
8x2 4x [,4]
BAS [1,4]
Esercizio con l’intersezione
x y = 0 x = 0oppure
y = 0
x
y
S ={ asse x , asse y }
Introduzione all’unione
A B
BxoppureAx|x:BA
BABA
UNIONE
Definizione di unione
Esempio di unione
Concorso per Ricercatore Universitario
Art. 1 Possono partecipare coloro che sono in possesso della Laurea in Scienze Ambientali o di quella in Scienze Biologiche.
laureati in
Scienze Ambientali
A BlaureatiIn
Scienze Biologiche
BA
potenziali concorrenti
)BA(#)B(#)A(#)BA(#
Esercizio
03x2x
03x
02xA
B
[,3]
[2,]
BAS [,3][2,]
03x
02x
3x
2x
3x
2x
Tutto R tranne l’intervallo ]3,2[]3,2[R
Esercizio con l’unione
A B
BA
BxeAx|x:BA
DIFFERENZA
Differenza di due insiemi
A
U
complementare
AU:A C
C A
COMPLEMENTARE
E S I T I DISPARI
PARI
LANCIO DI UN DADOLANCIO DI UN DADO
DISPARI = C ( PARI ) DISPARI = C ( PARI )
Introduzione alla probabilità
spazio campionario
A
P() = 1 P() = 1
probabilità
B
)BA(P)B(P)A(P)BA(P )BA(P)B(P)A(P)BA(P
LANCIO DI UN DADOLANCIO DI UN DADO
A
B62
63
)BA(P 62
63
)BA(P 64
61
64
61
spazio campionario
A
P(C A) = 1 P(A ) P(C A) = 1 P(A )
C A
)AA(P)A(P)A(P CC )AA(P)A(P)A(P CC 1)(P 1)(P
BA
A B
AC
A B
)BA( C
BA
AC BC
)B()A()BA( CCC
AC
BC
)B()A( CC
)BA( C
BA)B()A()BA( CCC
)B()A()BA( CCC leggi di DE MORGAN
Leggi di De Moargan
Regole di calcolo
uu
2tt 2vv
RR
4a3a
funzione
x)x(g
2x)x(h 2x)x(h
stessa funzione
4x3)x(f
)x(fx
dubbi nei calcolidubbi nei calcoli
vuvu
vuvu 222
vsinusin)vusin(
)v(f)u(f)vu(f
??????
Dubbi nei calcoli
)v(f)u(f)vu(f
)1(f:a
)11(f)2(f )1(f)1(f 2aaa
xa)x(f forma lineare
)111(f)3(f )1(f)1(f)1(f 3a
Conservazione delle somme
)v(f)u(f)vu(f
)1(f:a
)11(f)2(f )1(f)1(f 2aaa
xa)x(f
)111(f)3(f )1(f)1(f)1(f 3a
trasformazione di somme in prodotti
vuvu aaa
xa)x(f
)v(f)u(f)vu(f
)v(f
)u(f)vu(f
v
uvu
a
aa
xx
a
1a
1a0
)x(f
1)x(f
xx aa )x(f
1)0(f
)x(f
n
n
1
a
n
m
a
nn
1
aa
n mn
m
aa
deve essere : a > 0
xx aa
n
n
aa
n mn
1m aa
nn
1
a
Esercizio sulle radici
53 44
53 44 5
1
3
1
44
Esprimere mediante un’unica radice il numero:
Esercizio
5
1
3
1
4
15
8
415 84
0a,a R 1a xa a:)x(exp
funzione esponenziale di base a
Funzioni esponenziali
RR:f
RR :f 1
xexp)x(f a
xlog)x(f a1
logaritmo di x
in base a
x)x(ff 1
xa xloga
xxlogf a
2100log10
31000log10
15.0log2
2
12log4
xa xloga
vuvu aaa
v
uvu
a
aa
xx aa
vlogulog)vu(log aaa
vlogulogv
ulog aaa
xlog)x(log aa
xa)x(f xlog)x(f a1
Regole dei logaritmi
( R , + ) ( R+ , ) exp
log
R
x
xa)x(f
R
x
xa)x(f)v(f)u(f)vu(f )v(f)u(f)vu(f
Rx
x)x(f a
Rx
x)x(f a)v(f)u(f)vu(f )v(f)u(f)vu(f
Conservazione dei prodotti
Tabella 4.1
Pagina 308
Scrivere un’equazione di secondo grado con soluzioni: 3 e 5
0)5x)(3x(
015x5x3x2 015x8x2
1
15164x
514
314
1
14x
Scrivere una disequazione di secondo grado con insieme soluzione: ] 3 , 5 [
015x8x2
015x8x2
Scrivere una disequazione di secondo grado con insieme soluzione vuoto
015x2
01x2
0001.0x2
63 24
6
1
3
2
22
6
1
3
2
2
6
5
2
6 52 6 32
Fine del precorso
Fine del precorso
