Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) Continuité ... · Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) et corollaire du TVI – Continuité – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) et corollaire du TVI – Continuité – Exercices corrigés

© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

1

Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct)

Exercice 1 : appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur un intervalle fermé de

Exercice 2 : appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur un intervalle semi-ouvert de

Exercice 3 : appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur un intervalle ouvert de

Exercice 4 : montrer qu’une équation admet au moins une solution grâce au TVI

Exercice 5 : montrer que toute fonction polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle

Exercice 6 : utiliser le TVI pour montrer l’existence de solutions d’une équation dans un intervalle

Exercice 7 : montrer qu’une équation admet une unique solution dans un intervalle grâce au corollaire

du théorème des valeurs intermédiaires (corollaire du TVI)

Exercice 8 : lire un tableau de variations et appliquer le corollaire du TVI pour déterminer le nombre

exact de solutions d’une équation

Exercice 9 : utiliser la monotonie d’une fonction pour approximer un nombre de solutions

Exercice 10 : utiliser une variante du corollaire du TVI pour écrire un algorithme d’encadrement par

dichotomie

Accès direct au site www.sos-devoirs-corriges.com

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) – Continuité

Exercices corrigés

http://www.sos-devoirs-corriges.com/

http://www.sos-devoirs-corriges.com/

http://www.sos-devoirs-corriges.com



2

Soit la fonction définie sur par ( ) .

1) Montrer que la fonction est continue sur [ ].

2) Calculer ( ) et ( ).

3) En déduire que l’équation ( ) admet au moins une solution dans [ ].

1) Montrons que la fonction est continue sur [ ].

Rappel : Continuité d’une fonction en un point

Soit une fonction définie sur et soit .

est continue en si et seulement si a une limite en égale à ( ), c’est-à-dire si et seulement si

( ) ( ).

Rappel : Continuité d’une fonction sur un intervalle

Soit une fonction définie sur et soit .

est continue sur si et seulement si est continue en tout point de .

La fonction est une fonction polynôme, donc elle est continue sur et en particulier sur [ ] .

2) Calculons ( ) et ( ).

D’une part, ( ) ( ) ( ) ( ) . D’autre part, ( ) .

3) Montrons que l’équation ( ) admet au moins une solution dans l’intervalle [ ].

Rappel : Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) sur un intervalle fermé borné

Soit une fonction continue sur un intervalle fermé borné [ ] ( et réels tels que ). Alors, pour tout

réel compris entre ( ) et ( ), il existe au moins un réel compris entre et tel que ( ) .

Autrement dit, l’équation ( ) admet au moins une solution dans [ ].

D’une part, est continue sur [ ] (d’après la première question). D’autre part, comme

[ ( ) ( )] [ ] (d’après la deuxième question), le théorème des valeurs intermédiaires permet

d’affirmer que l’équation ( ) admet au moins une solution dans [ ].

Exercice 1 (3 questions) Niveau : facile

Correction de l’exercice 1 Retour au menu

Remarque : Les fonctions

polynômes, homograhiques,

rationnelles, sinus, cosinus,

exponentielle, racine carrée sont

des fonctions continues sur leur

ensemble de définition respectif.



3

Soit la fonction définie sur ] ] par ( )

.

1) Montrer que la fonction est continue sur ] ].

2) Calculer ( ) et déterminer

( ).

3) En déduire que l’équation ( ) admet au moins une solution dans ] ].

1) Montrons que la fonction est continue sur ] ].

La fonction est une fonction homographique, donc elle est continue sur son ensemble de définition, à

savoir sur ] ].

2) Calculons ( ) et déterminons

( ).

D’une part, ( )

.

Rappel : Limite d’une fonction composée de deux fonctions

Soit une fonction définie sur un intervalle et soit une fonction définie sur un intervalle , telle que

( ) . La fonction définie sur par ( ) ( ( )) (ou ( ) ( )( )) est la fonction composée de

la fonction suivie de la fonction .

, et désignent chacun soit un réel, soit , soit .

Si

( ) et si

( ) alors

( )

D’autre part,

( ) et

donc, par composition des limites,

( ) .

3) Montrons que l’équation ( ) admet au moins une solution dans ] ].

Rappel : Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) sur un intervalle semi-ouvert

Soit une fonction continue sur un intervalle semi-ouvert [ [ (respectivement ] ] avec et bornes

finies ou infinies telles que ). Alors, pour tout réel compris entre ( ) et

( ) (respectivement

entre

( ) et ( )), il existe au moins un réel [ [ (respectivement ] ]) tel que ( ) .

Autrement dit, l’équation ( ) admet au moins une solution dans [ [(respectivement dans ] ]).

Exercice 2 (3 questions) Niveau : facile




4

D’une part, est continue sur ] ] (d’après la première question).

D’autre part, [ ( )

( )[ [ [ (d’après la deuxième question).

Par conséquent, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation ( ) admet au moins

une solution dans ] ].



5

Montrer que l’équation

admet au moins une solution dans .

Rappel : Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) sur un intervalle ouvert

Soit une fonction continue sur un intervalle ouvert ] [ (avec et bornes finies ou infinies telles que

). Alors, pour tout réel compris entre

( ) et

( ), il existe au moins un réel ] [ tel que

( ) . Autrement dit, l’équation ( ) admet au moins une solution dans ] [.

Soit la fonction définie par ( )

. Cette fonction rationnelle est définie sur puisque, pour tout

, . De plus, étant rationnelle, cette fonction est continue sur son ensemble de définition.

Autrement dit, est continue sur .

Déterminons désormais les limites de cette fonction aux bornes de son ensemble de définition.

Rappel : Limite en et limite en d’une fonction rationnelle

Soient , , et .

et

.

Autrement dit, la limite d’une fonction rationnelle en est égale à la limite en du quotient de ses

monômes de plus haut degré.

D’une part,

( )

.

D’autre part,

( )

Ainsi, (] [) ] [. Autrement dit, ( ) .

Or, ( ) donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation ( ) admet au moins

une solution réelle. Autrement dit, l’équation

admet au moins une solution dans .

Exercice 3 (1 question) Niveau : moyen




6

1) Démontrer que l’équation ( ) ( ) admet au moins une solution dans l’intervalle

[

].

2) Donner une solution exacte de l’équation ( ) ( ) dans [

].

1) Montrons que l’équation ( ) ( ) admet au moins une solution dans [

].

L’équation ( ) ( ) équivaut à ( ) ( ) , c’est-à-dire à ( ) où est la

fonction définie sur par ( ) ( )⏟ ( )

( )⏟ ( )

.

est la différence de la fonction ( ) et de la fonction ( ). Or, est la composée de la

fonction linéaire , continue sur , par la fonction cosinus, continue sur . Par composition de deux

fonctions continues sur , est continue sur . De plus, est le produit du réel 2 par la fonction sinus,

continue sur . Par produit, est continue sur . Finalement, étant la différence de deux fonctions continues

sur , est continue sur et en particulier sur [

].

De plus, d’une part, ( ) ( (

)) (

)

( )

et, d’autre part,

( ) ( (

)) (

) .

Or, [ ( ) (

)] [

] donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation

( ) admet au moins une solution dans [

].

Autrement dit, l’équation ( ) ( ) admet au moins une solution dans l’intervalle

[

].

2) Donnons une solution de l’équation ( ) ( ) dans [

].

Pour tout [

], ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

En posant ( ) et en notant que (puisque, pour tout , ( ) ), alors

l’équation ( ) ( ) équivaut à .

Posons le discriminant du trinôme . Alors ( ) . Comme , le

trinôme admet potentiellement deux racines réelles :

Exercice 4 (2 questions) Niveau : moyen




7

√

√

√

√

√

√

Or, comme , et , pour tout [

], ( ) ( )

( ) √

(

√

) ( ).

Représentation de la fonction et de la droite d’équation dans un repère orthonormé ( ) du plan :



8

Montrer que toute fonction polynôme de degré impair admet au moins une racine réelle.

Rappel : Fonction polynôme

On appelle fonction polynôme (à coefficients réels) toute application de dans pour laquelle il existe des

réels tels que :

( )

( )

désignent les coefficients du polynôme et désigne son degré.

Soit une fonction polynôme de degré impair, définie sur .

Toute fonction polynôme étant continue sur son ensemble de définition, il vient que est continue sur .

En outre,

( )

{

et

( )

{

.

Autrement dit,

si ,

( ) et

( )

si ,

( ) et

( )

Ainsi, par disjonction des cas, (] [) ] [.

Or, ] [ donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation ( ) admet au moins

une solution réelle dans . En d’autres termes, toute fonction polynôme de degré impair admet au moins

une racine réelle.





9

Soit une fonction définie et continue sur [ ] telle que, pour tout réel [ ], ( ) [ ]. Démontrer

qu’il existe au moins un réel [ ] tel que ( ) .

Notons la fonction définie sur [ ] par ( ) ( ) .

Tout d’abord, est la différence de la fonction , continue sur [ ], et de la fonction linéaire , continue

sur [ ] ; par conséquent, est continue sur [ ].

Ensuite, ( ) ( ) ( ). Or, d’après l’énoncé, pour tout [ ], ( ) [ ]. Ainsi, il vient que

( ) , c’est-à-dire ( ).

Enfin, ( ) ( ) . Or, d’après l’énoncé, pour tout [ ], ( ) [ ]. Ainsi, il résulte que

( ) , c’est-à-dire ( ) .

Or, [ ( ) ( )] donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation ( ) admet au

moins une solution dans [ ]. Autrement dit, l’équation ( ) admet au moins une solution dans

[ ], c’est-à-dire il existe au moins un réel [ ] tel que ( ) .





10

Soit la fonction définie sur par ( ) . Montrer que l’équation ( )

admet

exactement 3 solutions réelles.

Rappel : Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (aussi appelé théorème de bijection)

Soit est une fonction continue et

strictement monotone (c’est-à-dire soit

strictement croissante soit strictement

décroissante) sur un intervalle de bornes

et (finies ou infinies).

Alors, pour tout réel strictement compris

entre les limites de en et en , il existe

un unique réel de tel que ( ) .

Monotonie

de

Intervalle

croissante décroissante

[ ] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]

[ [ [ ( )

( )[ ]

( ) ( )]

] ] ]

( ) ( )] [ ( )

( )[

] [ ]

( )

( )[ ]

( )

( )[

La fonction est une fonction polynôme (de degré 3) donc elle dérivable sur . Comme toute fonction

dérivable sur un intervalle est continue sur ce même intervalle, est continue sur . D’autre part, il vient que,

pour tout , ( ) ( )( ).

Or, pour tout , ( )

Par conséquent, pour tout ] ] [

[, ( ) . Il en découle que est strictement

décroissante sur ] ] et sur [

[. D’autre part, pour tout [

], ( ) . Il en résulte que

est strictement croissante sur [

].

Etudions les éventuelles solutions de l’équation ( )

dans ] ].

D’une part, sur ] ], est continue et strictement décroissante.

D’autre part,

( )

( )

et ( ) (

)

( )

.

Comme

(]

]) [ (

)

( )[ [

[, d’après le corollaire du théorème

des valeurs intermédiaires, l’équation ( ) admet une unique solution dans ] ].





11


dans ]

[.

D’une part, sur ]

[, est continue et strictement croissante.

D’autre part, ( )

et ( ) (

)

( )

Comme

(]

[) ] (

) (

)[ ]

[, d’après le corollaire du théorème des

valeurs intermédiaires, l’équation ( ) admet une unique solution dans ]

[.


dans [ [.

D’une part, sur [ [, est continue et strictement décroissante.

D’autre part, ( )

et

( )

( )

Comme

([

[) ]

( ) (

)] ]

], d’après le corollaire du théorème des

valeurs intermédiaires, l’équation ( ) admet une unique solution dans [ [.

Concluons.

Finalement, l’équation ( )

admet exactement 3 solutions réelles.

Remarque importante : Alors que le théorème des valeurs intermédiaires permet de prouver l’existence d’au

moins une solution sur un intervalle, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet de prouver

l’unicité d’une solution sur un intervalle.



12

Ci-après figure le tableau de variations d’une fonction définie sur { }.

1) Déterminer le nombre de solutions de l’équation ( ) .



Rappelons tout d’abord que, par convention, les flèches obliques d’un tableau de variations traduisent la

continuité et la stricte monotonie d’une fonction sur un intervalle. Déterminons désormais le nombre de

solutions de chaque équation proposée.

1) Déterminons tout d’abord le nombre de solutions de l’équation ( ) .

Sur ] ], la fonction est continue et strictement croissante et (] ]) ] ]. Or, ] ]

donc, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation ( ) admet une unique

solution dans ] ].

Sur ] [, la fonction est continue et strictement décroissante et (] [) ] [. Or, ] [


solution dans ] [.

Sur ] [, la fonction est continue et strictement décroissante et (] [) ] [. Comme

] [, l’équation ( ) admet une unique solution dans ] [, en vertu du corollaire du théorème

des valeurs intermédiaires.

Finalement, l’équation ( ) admet exactement trois solutions réelles.

2) Déterminons ensuite le nombre de solutions de l’équation ( ) .


donc le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet d’affirmer que l’équation ( ) admet pas

une unique solution dans ] ].



solution dans ] [.

Exercice 8 (3 questions) Niveau : moyen




13


] [, l’équation ( ) n’admet pas de solution dans ] [.

Finalement, l’équation ( ) admet deux solutions réelles et deux seules, l’une dans ] ] et l’autre

dans ] [.

3) Enfin, déterminons le nombre de solutions de l’équation ( ) .


donc l’équation ( ) n’admet pas de solution dans ] ].



solution dans ] [.


] [, l’équation ( ) n’admet pas de solution dans ] [.

Finalement, l’équation ( ) admet une unique solution réelle, en l’occurrence dans ] [.



14

Soit une fonction strictement décroissante sur [ ] telle que ( ) et ( ) . L’équation ( )

admet-elle :

a) une solution ?

b) aucune solution ?

c) au moins une solution ?

d) au plus une solution ?

est une fonction strictement décroissante sur [ ] donc 0 admet au plus un antécédent par . La réponse c)

est donc exclue.

Comme, d’après l’énoncé, n’est pas supposée continue, l’équation ( ) peut n’admettre aucune solution.

Il vient donc que la réponse juste est la réponse d).





15

1) Montrer que l’équation admet deux solutions réelles.

2) Ecrire un algorithme avec AlgoBox permettant d’obtenir un encadrement de chaque solution avec une

amplitude de .

1) Montrons que l’équation admet deux solutions réelles.

Soit la fonction définie sur par ( ) .

est continue et dérivable comme somme de fonctions continues et dérivables sur . Pour tout réel, on a :

( ) ( ) ( ) ( )

Or, pour tout réel, , d’où (par décroissance de la fonction ).

Par conséquent, comme pour tout réel , ( ) est du signe de . Autrement dit, ( ) si et

seulement si et ( ) si et seulement si . On en déduit que est strictement décroissante sur

] ] et strictement croissante sur [ [.

Montrons que l’équation ( ) admet une et une seule solution dans ] ].

D’une part, par continuité de la fonction en 0, ( ) .

D’autre part, pour tout réel non nul, ( ) (

). Or, | | et | | , d’où les

résultats suivants, en multipliant respectivement par | | et |

| : |

| |

| et |

| |

|.

Comme

| |

| |

(par composition des limites), il vient d’après le théorème des

limites par encadrement que

|

| , c’est-à-dire

.

De même, comme

|

|

, il vient d’après le théorème des limites par

encadrement que

|

| , c’est-à-dire

.

Finalement, par somme des limites,

(

) . Comme enfin

, par produit

des limites, il résulte que

( ) .

On vient de montrer que, sur ] ], est non seulement continue et strictement décroissante mais aussi que

(] ]) [ ( )

( )[ [ [. Par conséquent, comme [ [, d’après le

corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation ( ) admet une unique solution telle

que ] ].

Exercice 10 (2 questions) Niveau : difficile




16

Montrons que l’équation ( ) admet une et une seule solution dans [ [ en utilisant la même

méthode que précédemment.

On a montré d’une part que ( ) et d’autre part que ( ) (

) , pour tout réel non

nul. Comme |

| |

| et |

| |

| et comme

| | et

|

| , il vient, en utilisant le

théorème des limites par encadrement, que

et

. Finalement, par somme puis par

produit des limites,

( ) .

On vient de montrer que, sur [ [, est non seulement continue et strictement croissante mais aussi que

([ [) [ ( )

( )[ [ [. Par conséquent, comme [ [, d’après le

corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation ( ) admet une unique solution telle

que [ [.

En définitive, l’équation ( ) admet deux solutions et deux seules (l’une négative et l’autre positive),

notées et . Autrement dit, l’équation admet deux solutions et .

2) Ecrivons un algorithme avec AlgoBox permettant d’obtenir une valeur approchée de et à près.

Rappel : Variante du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (variante du théorème de

bijection)

Si est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle de bornes et (finies ou infinies)

et si ( ) ( ) , alors l’équation ( ) admet une unique solution dans .

Explications : Appuyons-nous sur la variante du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires ci-dessus.

Pour commencer, on détermine un intervalle [ ] contenant l’une des

solutions de l’équation ( ) avec ( ) .

On calcule alors le de l’intervalle [ ] puis, parmi les intervalles

[ ] ou [ ], on détermine celui auquel appartient la

solution de l’équation ( ) . En effet, si ( ) et ( ) sont de même signe, c'est

que la solution se trouve dans l’intervalle [ ] et, dans ce cas, on affecte à

la valeur de .

On réitère la démarche en faisant jouer à la variante le rôle de ou de

selon l’intervalle retenu, jusqu’à obtenir la précision demandée.

Remarque : L’intervalle initial [ ]

peut être choisi après avoir représenté la fonction dans un repère.

Ci-contre est représentée la fonction f dans un repère orthonormé

( ) du plan.



17

Algorithme écrit avec le logiciel AlgoBox

1 VARIABLES

2 precision EST_DU_TYPE NOMBRE

3 borne_inferieure EST_DU_TYPE NOMBRE

4 borne_superieure EST_DU_TYPE NOMBRE

5 milieu EST_DU_TYPE NOMBRE

6 DEBUT_ALGORITHME

7 AFFICHER "Indiquer la précision désirée : "

8 LIRE precision

9 AFFICHER precision

10 AFFICHER "Indiquer la borne inférieure : "

11 LIRE borne_inferieure

12 AFFICHER borne_inferieure

13 AFFICHER "Indiquer la borne supérieure : "

14 LIRE borne_superieure

15 AFFICHER borne_superieure

16 TANT_QUE (borne_superieure-borne_inferieure>precision) FAIRE

17 DEBUT_TANT_QUE

18 milieu PREND_LA_VALEUR (borne_inferieure+borne_superieure)/2

19 SI (F1(milieu)*F1(borne_superieure)>0) ALORS

20 DEBUT_SI

21 borne_superieure PREND_LA_VALEUR milieu

22 FIN_SI

23 SINON

24 DEBUT_SINON

25 borne_inferieure PREND_LA_VALEUR milieu

26 FIN_SINON

27 FIN_TANT_QUE

28 AFFICHER borne_inferieure

29 AFFICHER " < solution < "

30 AFFICHER borne_superieure

31 FIN_ALGORITHME

Affichages obtenus après lancement du logiciel AlgoBox

Recherche d’un encadrement de ( )

***Algorithme lancé***

Indiquer la précision désirée : 0.001

Indiquer la borne inférieure : -2

Indiquer la borne supérieure : -1

-1.2207031 < solution < -1.2197266

***Algorithme terminé***

Recherche d’un encadrement de ( )

***Algorithme lancé***

Indiquer la précision désirée : 0.001

Indiquer la borne inférieure : 1

Indiquer la borne supérieure : 2

1.2197266 < solution < 1.2207031

***Algorithme terminé***

Remarque : La fonction est une fonction paire puisque son ensemble de définition est symétrique par rapport

à 0 et puisque, pour tout réel , ( ) ( ). Aussi, du fait de la parité de la fonction , les solutions et

sont opposées. Il suffisait donc de rechercher un encadrement de la solution de pour en déduire un

encadrement de la solution de (ou vice versa).

Fonction numérique utilisée :

F1(x)=pow(x,2)-x*sin(x)-cos(x)

Documents

Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) Continuité ... · Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) et corollaire du TVI – Continuité – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS