Theorie Kinematik

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Kinematik

(griech.: κíνεω (kineo) = „bewegen“; [Kino = „bewegte“ Bilder]) Lehre von den Bewegungen. Die Kinematik beschränkt sich auf die geometrische Beschreibung der Bewegungsabläufe durch die Angabe von Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Körpers (genauer: seines Schwerpunkts).

1.1 Die Geschwindigkeit

Frage: Welche Geschwindigkeit ist grösser? h

km 1001 =v oder mph 602 =v

In den USA werden Geschwindigkeiten in miles per hour (mph) angegeben, 1 Meile = 1'609.34 m.

s

m 727.

s

m

3.6

100

s 3'600

m 100'000

h 1

km 1001 =⋅===v

s

m26.8

s 3600

m1609.34602 ≈

⋅=v

Umrechnung: s

m

3.6

1

s 3600

m 1000

h

km1 == Gleichung mal 3.6 gibt die

Umrechnung: h

km 3.6

s

m 1 =

Definition der Durchschnittsgeschwindigkeit

Durchschnittsgeschwindigkeit t

s

Zeit

Streckev

∆

∆== Einheit: [ ]

s

m=v

Symbol v wie velocity oder vitesse Das Zeichen ∆ „Delta“ bedeutet immer eine Differenz. Hier ist: 12 sss −=∆ und ∆t = t2 − t1

Es liegt nur eine Angabe über die mittlere oder durchschnittliche Geschwindigkeit vor. Ein Beispiel Eine Strecke wird mit dem Auto wie folgt zurückgelegt: innerorts 5 km 50 km/h Autobahn 20 km 120 km/h Wie gross ist die Durchschnittsgeschwindigkeit? Was schätzen Sie?

Dazu müssen wir die Zeiten berechnen und addieren. v

st

t

sv

∆=∆→

∆

∆=

min 6s 360 50/3.6

m5000

sm1 ≈==t min10s 600

120/3.6

m 00002

sm2 ==

′=t

Die durchschnittliche Geschwindigkeit ist einfach h

km 94

s

m 26.0

s 960

m 00052≈=

′=

∆

∆=

t

sv

Achtung! Das gewichtete Mittel mit den Strecken liefert ein falsches Resultat:

h

km 100

205

12020505=

+

⋅+⋅≠v

Die tiefe Geschwindigkeit hat zur Folge, dass das Auto im Verhältnis länger unterwegs ist als auf der Strecke mit hoher Geschwindigkeit. Darum wird die tiefe Geschwindigkeit höher gewichtet. Eine Gewichtung mit der Zeit ist korrekt, wir empfehlen aber die oben gezeigte Berechnung mit den Abschnittszeiten.

Die Geschwindigkeiten sind also fast gleich gross, v1 ist um 3.6% grösser.

Kinematik Theorie

28

1.2 Die gleichförmige geradlinige Bewegung Bei einer gleichförmigen geradlinigen Bewegung ändert sich weder der Betrag der Geschwindigkeit noch die Richtung. In gleichen Zeitabschnitten kommen also immer gleiche Wegstrecken hinzu.

Gleichförmige geradlinige Bewegungen können im Weg-Zeit-Diagramm dargestellt werden.

Beispiel grafischer Fahrplan.

Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit erscheinen als Geraden im s-t-Diagramm. Die Zeit wird immer auf der x-Achse dargestellt.

Im s-t-Diagramm erscheint die Geschwindigkeit v als Steigung der Geraden; je steiler die Gerade, desto grösser ist die Geschwindigkeit.

Geradengleichung: tvsts ⋅+= 0)(

Damit wird die Position zur Zeit t berechnet. Aufgabe: Notieren Sie die beiden Geradengleichungen.

Fahrrad und Läuferin 1 Auf dem 10 km langen Aareweg zwischen Münsingen und Kiesen startet die Läuferin in Münsingen mit v1 = 2.5 m/s. Gleichzeitig startet ein Radfahrer in Kiesen mit 5.6 m/s.

Wann und wo treffen sie sich?

Wir notieren die beiden Geradengleichungen.

Läuferin: tts ⋅=s

m5.2)(1

Fahrrad: tts ⋅−′=s

m 5.6m 00001)(2

Die negative Geschwindigkeit bedeutet, dass sich das Fahrrad in der entgegengesetzten Richtung bewegt. Das Vorzeichen bezieht sich auf das frei wählbare Bezugssystem: Münsingen 0 m, Kiesen +10'000 m.

Gleichsetzen der beiden: 1 ′0 000 m = 2.5+ 5.6( )m

s⋅ t (Addition der Geschwindigkeiten)

Sie kreuzen sich bei t ≈ ′1 235 s ≈ 20 min 35 sec Sie treffen sich am selben Ort: s1 = s2 ≈ ′3 086 m

Hinweis: Für das Fahrrad wird nicht die zurückgelegte Strecke berechnet, sondern die Position als Abstand zu Münsingen. Schnittpunkt im Diagramm (1235 s; 3086 m)

Fahrrad und Läuferin 2 Das Fahrrad startet 10 Minuten später. Wir berechnen zuerst die Strecke der Läuferin, hier 1‘500 m. Wir wählen eine neue Zeitrechnung und bezeichnen diese Zeit mit t’.

Die neue Gleichung: tts ′⋅+′=′s

m2.5m 5001)(1

gleich setzen

tt ′⋅−′=′⋅+′s

m5.6m 00001

s

m2.5m 5001

Lösung: t’ = 1’049 s, Position s = 4’123 m ausserhalb Münsingen.

0

2000

4000

6000

8000

10000

0 300 600 900 1200 1500

s [m]

t [s]

Fahrrad und Läuferin

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

s [m]

t [s]

∆s

∆t

Theorie Kinematik

29

1.3 Die Momentangeschwindigkeit Der Graph im Weg-Zeit-Diagramm (s-t-Diagramm) zeigt nicht immer eine Gerade. Trotzdem können Geschwindig-keiten bestimmt werden. Eine Durchschnittsgeschwindigkeit braucht immer die Angabe von zwei Zeiten, z.B. t1 und t2.

Die Verbindungsgerade ist eine Sekante, die Sekantensteigung ist ein Mass für die

Durchschnittsgeschwindigkeit t

sv

∆

∆=

Darstellung mit dem Steigungsdreieck. Im Zeitpunkt t bestimmen wir die Momentangeschwindigkeit. Dazu zeichnen wir eine Tangente. Die Steigung dieser Tangenten wird nun mit einem beliebigen Steigungsdreieck berechnet.

Die Momentangeschwindigkeit im s-t-Diagramm:

Wir zeichnen eine Tangente an die Kurve und berechnen die Steigung dieser Tangente.

Aufgabe: Lesen Sie die folgenden Ge-schwindigkeiten heraus: Durchschnittswerte a) 0 – 2 s, b) 0 – 5 s c) 2 – 6 s Momentangeschwindigkeiten bei d) t1 = 0 s e) t2 = 4 s f) t3 = 6 s Solange die Funktionsgleichung s(t) nicht bekannt ist, ist die grafische Lösung eine verlässliche Näherung. Lösungen: a – c) Steigungsdreiecke einzeichnen und Steigung berechnen. a) -12 m / 2 s = -6 m/s b) 0 m/s! c) ca. 6 m/s d – f) Tangenten zeichnen und Steigung berechnen. d) -10 m/s e) 6 m/s f) 14 m/s Weil die Kurve bis ca. 2.5 s fällt, sind die Geschwindigkeiten zu Beginn negativ! Eine Durchschnittsgeschwindigkeit kann auch null sein! Siehe Teilaufgabe b)

Gleichung der Parabel: 22 tm/s 2.0tm/s 10m 40)( ⋅+⋅−=ts

Minimum bei 2.5s und 27.5 m.

68

52

40

32 28 2832

40

52

68

88

112

140

0

20

40

60

80

100

120

140

-2 0 2 4 6 8 10

s [m]

t [s]

s-t-Diagramm

Kinematik Theorie

30

2. Bezugssysteme und Richtungen

2.1 Bezugssysteme Ein Skateboarder springt senkrecht hoch, überquert ein Hindernis und landet wieder auf seinem Brett. Eine mitbewegte Kamera wird einfach eine vertikale Bewegung feststellen. Relativ zum Rollbrett springt der Boarder senkrecht nach oben und fällt wieder auf das Brett zurück.

Eine ruhende Kamera wird hingegen eine Wurfparabel festhalten, die ausgezogene Linie im Bild oben. Die Frage entweder senkrecht oder parabelförmig ist also falsch gestellt und hängt vom Standpunkt bzw. von der Bewegung des Beobachters ab.

Erkenntnis Aussagen über Ruhe und Bewegung eines Körpers beziehen sich immer auf ein (im Prinzip frei wählbares) Bezugssystem. Es hat sich gezeigt, dass die Naturgesetze immer dann ihre einfachste Form annehmen, wenn man sie in unbeschleunigten Bezugssystemen beschreibt. Solche Systeme heissen Inertialsysteme. Aufgabe Überholen Ein Personenwagen setzt auf der Autobahn zum überholen eines LKW an. Die Geschwindigkeit beträgt konstant 120 km/h, der Lastwagen ist 18 m lang und fährt mit 90 km/h. Wie lange dauert der Überholvorgang, wenn der PW insgesamt 40 m mehr zurücklegen will? Welche Strecke legen beide Fahrzeuge zurück? Wir beginnen mit einer Skizze:

Es gibt zwei Varianten, für die Berechnung der Aufgabe:

Variante 1: Der Beobachter fährt mit dem LKW mit. Der LKW ist das Bezugsystem! Der PW fährt um (120 – 90) km/h = 8.33 m/s schneller und legt dabei eine Strecke von 40 m zurück.

( ) m 4012 =∆⋅−=∆⋅∆=∆ tvvtvs

Auflösung nach der Zeit: s 4.8m40

12

=−

=∆vv

t

Mit der Zeit s 8.4=∆t können die Wegstrecken von PW 160 m und Lastwagens 120 m berechnet werden. Diese Variante mit der relativen Bewegung ist sehr einfach und anschaulich! Variante 1: Beobachter am Strassenrand. Der LKW legt die Strecke s mit 90 km/h = 25 m/s, der PW die Strecke s + 40 m mit 120 km/h zurück. Die Wegstrecken unterscheiden sich also um 40 m, die Zeit t ist identisch.

m401221 +⋅=⋅== tvtvss

Nun kann nach der Zeit t aufgelöst werden. 12

m40

vvt

−= , natürlich dieselbe Formel wie oben!

PW 1 PW 2

Lastwagen

Theorie Kinematik

31

2.2 Verschiedene Richtungen Die Geschwindigkeit ist eine vektorielle Grösse, das heisst, sie hat einen Betrag (= Länge des „Pfeils“) und eine Richtung. Vektorielle (also gerichtete) Grössen, wie z.B. die Geschwindigkeit können mit Vektorpfeilen dargestellt werden.

Vektorsumme Vektoren werden grafisch addiert, indem sie aneinander gehängt werden. Die Summe ersetzt die einzelnen Summanden, beginnt beim Anfang des ersten Vektors und endet bei der Spitze des letzten Vektors.

Schreibweise Vektorsumme: 321 vvvvrrrr

++=

Länge (= Betrag) und Richtung der Summe können aus der Skizze abgelesen werden.

Wenn sich zwei oder mehr Bewegungen überlagern, so beeinflussen sie sich gegenseitig nicht! Ein Flug nach Osten (800 km/h) wird durch einen Nordwind (100 km/h) so verändert, dass der Kurs über Grund die Diagonale beschreibt. Resultat: 806 km/h, 7.1° Südabweichung von der Ostrichtung.

Aufgabe Schwimmer Ein schneller Schwimmer legt 100 m in 1 Minute zurück. Er überquert einen 60 m breiten Fluss und schwimmt im rechten Winkel zum Ufer. Der Fluss fliesst mit 1.0 m/s = 3.6 km/h. a) Wie lange braucht der Schwimmer für die Überquerung? b) Welche Strecke legt der Fluss in dieser Zeit zurück? c) Wo landet der Schwimmer am gegenüberliegenden Ufer? d) Wie kann der Schwimmer genau gegenüber ankommen?

Grafische Lösung Wir addieren die Geschwindigkeiten in einer separaten Skizze, weil Strecke und Geschwindigkeit nicht mit einem gemeinsamen Massstab gezeichnet werden können. Die grafische Addition erfolgt mit Pythagoras und ergibt:

hkm

sm

sm22 7.094.10.16.1 ≈≈+=Summev

Damit ist nur der Betrag der Geschwindigkeit gemeint, die Richtung müssen wir aus dem Diagramm

ablesen. Der Winkel α ist: °≈

= 31

6.1

0.1tanaα

Rechnerische Lösung

a) sm

Schwimmerv 6.1= , sm0.1=Flussv , weil sich die Bewegungen nicht beeinflussen, kann die Zeit mit der

Geschwindigkeit rechtwinklig zum Ufer berechnet werden s 366.1

601 ==

sm

mt

b) In 36 Sekunden legt der Fluss m631 =⋅= tvs Fluss

c) Obschon die Nase des Schwimmers rechtwinklig zum Ufer zeigt, landet er 36 m weiter unten.

Das ergibt einen Winkel von ( ) °≈= 3160/36tanaα

Es ist dasselbe Dreieck wie oben, nur mit der Zeit t gestreckt.

Diagonal hat der Schwimmer also m 703660 22 ≈+= mstot zurückgelegt und die resultierende

Geschwindigkeit ist sm94.1

s 36

m07==diagonalv , genau gleich wie die Vektoraddition.

Summe

Summe

vFluss

vSchwimmer

αααα

Kinematik Theorie

32

d) Der Schwimmer muss schräg aufwärts schwimmen, nun ist die Summe rechtwinklig zum Ufer. Die zwei Vektordreiecke sind komplett verschieden, obschon beide rechtwinklig und zwei Seiten gleich lang sind! Die grafische Lösung:

Pythagoras: hkm

sm22 4.833.10.16.1 =≈−= s

mSummev

Die Zeit muss mit dieser Geschwindigkeit (rechtwinklig zum Ufer) berechnet werden:

s 45m/s m/1.33 06 ==t

Obschon die Strecke kürzer ist, braucht er deutlich länger!

Der Winkel β ist grösser: °≈

= 9.36

6.1

0.1sinaβ

Bezugssysteme: Es gibt es zwei wichtige Bezugssysteme A Der Beobachter am Ufer sieht die Bewegung diagonal über den Fluss und beobachtet eine

Geschwindigkeit von 1.94 m/s. Im zweiten Fall die Bewegung rechtwinklig zum Ufer (die rot markierte Summe)

B Der Beobachter auf einem Schlauchboot lässt sich mit dem Fluss treiben und wird gleich viel abgetrieben

wie der Schwimmer. Er sieht eine Geschwindigkeit von sm6.1 und zwar rechtwinklig zum Fluss. Im

zweiten Fall sieht er die Schwimmerbewegung schräg aufwärts. D.h. der Beobachter im Fluss sieht beide Male die Schwimmergeschwindigkeit in der Vektorskizze.

Aufgabe Flugzeug Ein Jet fliegt mit 900 km/h (Geschwindigkeit bei Windstille) und die Nase zeigt 30° Südwest. Es weht ein Ostwind von 150 km/h. In welcher Richtung fliegt der Jet und wie gross ist die Geschwindigkeit über dem Erdboden? Wir skizzieren die Aufgabe mit den üblichen Himmelsrichtungen und lesen ab; die Vektorsumme ist die effektive Fluggeschwindigkeit.

km/h980≈v bei einem Winkel von ca. 38° Abweichung von Süden.

Das Vektordreieck ist leider nicht rechtwinklig und daher nicht ganz einfach zu berechnen. Es gibt allerdings den eleganten Ausweg über die Zerlegung in Koordinaten. Wir verwenden das mathematische x-y System mit x im Osten und y im Norden.

Es gilt: )cos(α⋅= vvx und )sin(α⋅= vv y oder ( ))sin();cos( αα⋅= vvr

Der Winkel α wird immer von der x-Achse aus gemessen, d.h. α = -120° oder 240°.

Flugzeug: )120cos(/900 °−⋅= hkmvx , ,

vx vy

Flugzeug h

km450−

h

km779−

Wind h

km150−

h

km0

Summe h

km600−

h

km779−

Für die Berechnung der Summe können einfach die entsprechenden Koordinaten (vertikal) addiert werden. Natürlich müssen die Vorzeichen berücksichtigt werden.

Beachten Sie die Vorzeichen! Nord = positiv, Süd = negativ Ost = positiv, West = negativ

Lösung:

Summe

vFluss

vSchwimmer β

Nord

Ost

30°

Wind

Summe

Flugzeug ohne Wind

Theorie Kinematik

33

Die Reisegeschwindigkeit kann mit Pythagoras zu 984 km/h berechnet werden.

Der Winkel wird mit der Winkelfunktion °=

6.37

779

600tana als Abweichung von Süden berechnet.

Oder -127.6° Abweichung von Westen. Zusammenstellung Kartesische Koordinaten Polardarstellung (-600 / -779) km/h ( ) 6.271km/h; 849 −∠

2.3 Zusammenfassung

• Alle unbeschleunigten Bezugssysteme sind gleichwertig. Oft ist es einfacher, wenn ein bewegtes (relatives) Bezugsystem gewählt wird, Beispiel Schlauchboot.

• Überlagerte Bewegungen können durch einfache Addition der Geschwindigkeiten ermittelt werden. Die Geschwindigkeiten überlagern sich ungestört.

• Es braucht zwei Skizzen: die Situation mit Strecken und das Geschwindigkeitsdiagramm. Die Zeichnungen weisen dieselben Winkel auf.

• Geschwindigkeiten müssen als Vektoren addiert werden. Die grafische Lösung (Pfeile

anhängen) ist denkbar einfach. MediumEigen vvvrrr

+=

• Vektoren sind bestimmt, wenn Betrag und Richtung bekannt sind. Alternativ können auch zwei Koordinaten notiert werden. Mathematisch sind das Polarkoordinaten ( )WinkelBetrag ∠, oder

kartesische Koordinaten ( )yx vv ; .

Rechner: [ ] [ ]α∠→→ ,, vpolarvv yx

• Die rechnerische Vektoraddition geschieht über die Koordinaten.

• Die Koordinaten können mit den Winkelfunktionen berechnet werden.

)cos(α⋅= vvx )sin(α⋅= vvy

Der Winkel α wird immer von der x-Achse aus gemessen.

• Die Koordinatenzerlegung ist die Umkehrung zur Vektoraddition: yx vvvrrr

+=

Fliegerei Norden = 0° Osten = 90° Süden = 180° etc. Dieses System hat leider eine andere Winkelorientierung, nämlich im Uhrzeigersinn.

vx

vy

αααα

Kinematik Theorie

34

3. Die gleichmässig beschleunigte Bewegung

3.1 Einleitung Die Beschleunigung ist ein Mass für das „Schnellerwerden“ (oder „Langsamerwerden“) einer Bewegung. Diese physikalische Grösse beschreibt die Zunahme (bzw. Abnahme) der Geschwindigkeit (wir schreiben dafür v

r∆ ) während eines bestimmten Zeitintervalls

Bei der gleichmässigen Beschleunigung kommen in selben Zeitabschnitten immer identische Geschwindigkeitszunahmen v

r∆ hinzu. Anders formuliert ist die Beschleunigung konstant.

Definition Beschleunigung: t

va

∆

∆==

rr

Zeitbenötigte

runggkeitsändeGeschwindi, Einheit: [ ]

2s

m=a

Die Beschleunigung ist, genau wie die Geschwindigkeit, eine vektorielle Grösse und hat somit einen Betrag und eine Richtung. Frage: Welcher PW beschleunigt stärker? a) von 0 auf 100 km/h in 9 Sekunden b) von 0 auf 50 mph in 7 Sekunden

Beschleunigung a) 21

s

m3.09

s 9s 3600

m 100'000≈

⋅=a

Beschleunigung b) 22

s

m3.19

7s3600s

m1609.3450≈

⋅

⋅=a

Der zweite PW beschleunigt um 3.5% mehr als der erste. Die Umrechnung in m/s2 ist zwingend! Hinweis Kreisbewegung: Hier ist der Betrag der Geschwindigkeit unverändert, weil sich aber die Richtung ändert, ist das eine beschleunigte Bewegung. Das merken Sie spätestens im Winter, wenn sie auf Glatteis die Kurve nicht mehr kriegen.

3.2 Berechnungen im v-t-Diagramm

Alle Aufgaben mit konstanter Beschleunigung können im v-t-Diagramm gelöst werden.

In diesem Diagramm ist das Verhältnis t

va

∆

∆= nichts anderes als die Steigung der Kurve.

Die Steigung der Kurve im v-t-Diagramm ist ein Mass für die Beschleunigung! Falls die Beschleunigung konstant ist, ist auch die Steigung konstant und wir müssen im v-t-Diagramm nur Geraden berechnen. Aufgabe Ein PW beschleunigt von 60 auf 120 km/h und benötigt dazu 8 Sekunden. a) Wie gross ist die Beschleunigung? b) Welche Strecke wird dabei zurückgelegt?

v

0

5

10

15

20

25

30

35

0 2 4 6 8 10

v [m/s]

t [s]

v-t-Diagramm

Theorie Kinematik

35

Lösung Die Geschwindigkeit muss unbedingt in m/s umgerechnet werden.

Die Beschleunigung ist 2

12

s

m2.1

s8

m/s 616.≈=

−=

t

vva

Über die mittlere Geschwindigkeit s

m25

221 =

+=

vvv kann sofort die Strecke berechnet werden:

m200=∆⋅= tvs .

Die mittlere Geschwindigkeit zeigt sich im v-t-Diagramm als waagrechte Gerade. Es ist klar, dass

das Rechteck tv ∆⋅ und das Trapez tvv

∆⋅+

221 dieselbe Fläche aufweisen.

Diese Fläche ist gleich der zurückgelegten Strecke von 200 m. Allgemein gilt:

Die Fläche unter der Kurve im v-t-Diagramm ist ein Mass für die Strecke.

tvs ∆⋅= ist nur mit der mittleren Geschwindigkeit korrekt!

3.3 Strecke und Geschwindigkeit als Funktion der Zeit

Aus der Definition t

vva 0−

= folgt sofort:

tavv ⋅+= 0

Was nichts anderes als die Geradengleichung (lineare Funktion) mit dem Anfangswert v0 ist.

v0 ist die Geschwindigkeit zur Zeit t = 0. Die Beschleunigung a ist die Steigung der Geraden.

Damit kann die Momentangeschwindigkeit für jeden beliebigen Zeitpunkt t berechnet werden.

Wir brauchen die Fläche unter der Kurve um die Funktion s(t) zu berechnen.

Die Trapezfläche kann mit der mittleren Geschwindigkeit berechnet werden: tvv

tvs ⋅+

=⋅=2

0

Nun ersetzen wir die Momentangeschwindigkeit v durch tavv ⋅+= 0

( ) 20

000

2

1

2

2

2tatvt

tavt

tavvs ⋅+⋅=⋅

⋅+=⋅

⋅++=

Das Trapez setzt sich aus zwei Teilen zusammen:

Das Rechteck entspricht tvs ⋅= 0 Bewegung ohne Beschleunigung

Das Dreieck entspricht 2

2

1tas ⋅⋅= beschleunigte Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit,

quadratische Zunahme mit der Zeit!

Zusammenfassung gleichmässig beschleunigte Bewegung:

Momentangeschwindigkeit tavv ⋅+= 0

Position s als Funktion der Zeit: 2

002

1tatvss ⋅⋅+⋅+=

Wo, zu welcher Zeit? Anfangswert s0 (Position zur Zeit 0)

v

v0

t

v

Kinematik Theorie

36

3.4 Grafische Darstellung der gleichmässig beschleunigten Bewegung Im nebenstehenden Beispiel sind das s-t-, das v-t- und das a-t-Diagramm für eine gleichförmig beschleunigte Bewegung dargestellt. • s-t-Diagramm: Parabel, Start bei s0 = 10 m

allgemein: 221

00 tatvss ⋅+⋅+=

• v-t-Diagramm: Gerade, tavv ⋅+= 0 Anfangsgeschwindigkeit v0 = 12 m/s Steigung der Geraden: Beschleunigung herauslesen. Die Nullstelle der Geraden bei 1.5 s entspricht dem Hochpunkt der Parabel bei 1.5 s.

• a-t-Diagramm: konstante Beschleunigung a = -8 m/s2

Die Bedeutung der Diagramme

Die Steigung im s-t-Diagramm ist das Mass für die (momentane) Geschwindigkeit.

Die Steigung im v-t-Diagramm ist das Mass für die Beschleunigung. Die Fläche unter der Kurve im v-t-Diagramm ist das Mass für die zurückgelegte Strecke.

Beispiel Vollbremsung Ein PW bremst mit 6 m/s2 von 60 km/h bis zum Stillstand. Welche Bremsstrecke wird benötigt? Welche Strecke wird in der ersten Sekunde zurückgelegt? Lösung Wir beginnen mit dem v-t-Diagramm:

Geradengleichung ( ) ttavtvsm

sm ⋅−=⋅+= 20.66.160

Der negative Wert von a (Steigung der fallenden Geraden) ergibt automatisch abnehmende Geschwindigkeiten.

Bis zum Stillstand vergehen s7.2

(Nullstelle der linearen Funktion).

Der Bremsweg als Dreiecksfläche: m1.232

0 =⋅

=tv

s

Geschwindigkeit nach einer Sekunde: ( ) hkm

sm

sm

sm

0 38610.6.066.1s1s1 ≈=−=⋅+= avv

Die Bremsstrecke in der ersten Sekunde errechnet sich als Fläche (Trapez) unter dem Geradenstück:

m13.7s1.06.132 s

m10 ≈⋅=⋅+

=⋅= tvv

tvs

Nach einer Sekunde ist mehr als die halbe Strecke zurückgelegt!

Variante: Mit der Funktion s(t) kann das Weg-Zeit-Diagramm gezeichnet werden:

220 20.36.16

2

1tttatvs

s

msm ⋅−⋅=⋅⋅+⋅=

-5

0

5

10

15

20

25

-1 0 1 2 3 4 5

s [m]

t [s]

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-1 0 1 2 3 4 5

v [m/s]

t [s]

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

-1 0 1 2 3 4 5

a

[m/s2] t [s]

-5

0

5

10

15

20

25

-1 0 1 2 3 4

s [m]

t [s]

-5

0

5

10

15

20

-1 0 1 2 3 4

v [m/s]

t [s]

Theorie Kinematik

37

Die Geschwindigkeit kann in diesem Diagramm als Steigung der Kurve abgelesen werden. Die Steigung am Anfang der Kurve ist gleich der Anfangsgeschwindigkeit v0 = 16.66 m/s. Am Ende der Bewegung ist die Geschwindigkeit null: die Kurve verläuft parallel zur Zeitachse. Das Maximum entspricht genau der Nullstelle im v-t-Diagramm

Tipp: Zeichnen Sie beide Diagramme mit dem grafikfähigen Taschenrechner nach.

3.5 Die Gleichung ohne Zeit Ein Auto bremst mit 9.0 m/s2 von 120 auf 60 km/h ab. Welche Strecke wird dabei zurückgelegt? Es ist einfacher, wenn wir ohne den Umweg über die Zeit rechnen können. Dazu brauchen wir aber eine neue Formel. Von Seite 25 nehmen wir die zwei Gleichungen:

1) tavv ⋅+= 0

2) 200

2

1tatvss ⋅⋅+⋅+=

Die Gleichung 1) lösen wir nach der Zeit t auf und setzen in Gleichung 2) ein. Nach ein paar Umformungen folgt eine

Gleichung ohne Zeit ( )020

2 ,2 ssssavv −=∆∆⋅⋅+=

Hinweis: In m/s umrechnen und die Quadrate nicht vergessen. Für Bremsvorgänge muss die Beschleunigung a negativ eingesetzt werden.

Zahlenbeispiel: ( ) ( ) s∆⋅⋅−= 222m/s .092m/s 333.m/s 616. nach ∆s auflösen: ∆s ≈ 46.3 m

Der Bremsweg steigt mit der Geschwindigkeit v im Quadrat an! Von 120 km/h auf null werden 61.7 m benötigt. Von 60 km/h auf null wird nur ein Viertel oder 15.4 m zurückgelegt.

3.6 Der freie Fall Als Musterbeispiel für eine gleichmässig beschleunigte Bewegung gilt der freie Fall ohne Luftwiderstand. Hier ist die Beschleunigung gegeben und immer zum Erdzentrum hin gerichtet. Zahlenwert der Fallbeschleunigung auf der Erde g = 9.81 m/s2 In der Alltagssprache wird von Erdanziehung gesprochen. Diese ist die Ursache für die beschleunigte Bewegung. In der Kinematik sprechen wir von der Erd- oder Fallbeschleunigung, die Ursachen lassen wir vorläufig weg. Die Erdbeschleunigung g wird als Betrag immer positiv gesetzt. Folglich treten negative Vorzeichen auf, wenn die Momentangeschwindigkeit und die Höhe h berechnet werden. Ersetzen wir die Beschleunigung a durch –g, ga −= , folgen die Gleichungen für

Momentangeschwindigkeit: tgvtv ⋅−= 0)(

und Höhe: 2

002

1)( tgtvhth ⋅⋅−⋅+=

Wir können die Bewegung als ungestörte Überlagerung einer Abwurfbewegung nach oben tvh ⋅+ 00 mit

einer Fallbewegung nach unten 2

2

1tg ⋅⋅− verstehen (freier Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit).

Aufgabe: Zeichnen Sie das v-t-Diagramm und das s-t-Diagramm für v0 = +15 m/s (Wurf nach oben).

Kinematik Theorie

38

3.7 Der vertikale oder senkrechte Wurf Man wirft einen Stein senkrecht nach oben, die Anfangs-geschwindigkeit wird mit v0 bezeichnet. Der Stein wird eine bestimmte Strecke nach oben fliegen. Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit momentan null, dann ändert sich das Vorzeichen der Geschwindigkeit.

Berechnung der Steighöhe Wir betrachten v und berechnen zuerst die Steigzeit. Im höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit null, also gilt:

tgv ⋅−= 00 , d.h. die Steigzeit beträgt g

vtSteig

0=

Zur Berechnung der Steighöhe setzen wir die Steigzeit ein:

g

v

g

v

g

vtgtvh StSt

20

20

202

0max 5.05.05.0 =−=⋅⋅−⋅=

Die beiden Diagramme – mit a = -10 m/s2 gezeichnet – zeigen noch einmal, dass die Nullstelle des v-t-Diagramms gerade die Steigzeit ist und mit dem höchsten Punkt der Flugbahn übereinstimmt.

In der Alltagssprache wird die Bewegung in zwei Teile zerlegt. Zuerst wird der Stein abgebremst (= verzögert) und nach dem höchsten Bahnpunkt dann beschleunigt. Das ist nicht notwendig, wenn wir die Vorzeichen korrekt einbeziehen.

3.8 Konsequenter Einsatz von Vorzeichen. Das Vorzeichen in der Kinematik steht ausschliesslich für die Richtung der Bewegung in Bezug auf ein definiertes Bezugssystem. Das Bezugssystem ist im Prinzip frei wählbar. Wir wählen bewusst nur ein Bezugssystem (oben = positiv für Höhe, Geschwindigkeit und Beschleunigung) und behandeln die Grössen (h, v, und a) konsequent inklusive Vorzeichen. Das bietet den Vorteil, dass eine einzige Formel ausreicht, um alle Bewegungen mit konstanter Beschleunigung zu beschreiben, auch den senkrechten Wurf.

Wir untersuchen den senkrechten Wurf und unterscheiden zwei „Sprachen“.

Alltagsprache naturwissenschaftliche Formulierung der Physik Die Anfangsgeschwindigkeit zeigt nach oben.

v0 ist positiv

Die Geschwindigkeit nimmt bis zum höchsten Punkt ab.

Die Geschwindigkeit ist positiv und nimmt ab.

Der Wurfkörper wird abgebremst (verzögert).

Die Fallbeschleunigung zeigt nach unten, 2m/s 10−≈a . Beschleunigung und Geschwindigkeit haben entgegengesetzte Richtungen.

Im höchsten Punkt kehrt die Geschwindigkeit um.

Im höchsten Punkt gilt 0=v Das Vorzeichen von v wechselt.

Der Wurfkörper fällt nach unten und die Geschwindigkeit (Betrag) nimmt zu.

Die Momentangeschwindigkeit v ist negativ 0<v und nimmt weiterhin ab, wird stärker negativ.

Der Wurfkörper wird beschleunigt. Die Fallbeschleunigung zeigt nach unten, 2m/s 10−≈a . Beschleunigung und Geschwindigkeit haben dieselbe Richtung.

Man könnte meinen, die Fallbeschleu-nigung müsste ihr Vorzeichen wechseln.

Die Beschleunigung ist konstant und wirkt immer nach unten 2m/s 10−≈a

Theorie Kinematik

39

3.9 Der waagrechte Wurf Der horizontale Wurf stellt die gleichzeitige Überlagerung von einem freien Fall mit einem horizontalen Wurf dar. Die Bahn eines horizontalen Wurfes ist eine Parabel, auch Wurfparabel genannt. Wir können die Bewegung als Überlagerung einer unbeschleunigten Bewegung in der horizontalen Richtung von v0 mit einem freien Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit anschauen. Hier beträgt die Fallstrecke

25.0 tgh ⋅⋅−= .

Die Darstellung veranschaulicht diese Überlagerung.

Fragen zum Diagramm: Wie gross ist die Startgeschwindigkeit v0? Wie kann der Ort (x/ y) berechnet werden? Beispiel t = 3s.

Darstellung der Momentangeschwindigkeit zu verschiedenen Zeitpunkten {0; 1; 2; 3}s mit Vektoren. Die Vektoren sind Tangenten an die Flugbahn. Im nebenstehenden Diagramm sind vier Geschwindigkeitsvektoren dargestellt.

Frage: Wie gross ist die Differenz )()s 1.0( tvtvv

rrr−+=∆ ?

In beiden Diagrammen ist die Zeit nur indirekt durch die Punkte auf der Kurve bzw. die verschiedenen Vektoren )(tv

rdargestellt.

Hinweis: Der Vektor der Momentangeschwindigkeit ist eine Tangente an die Bahnkurve.

Definition der Geschwindigkeit: t

sv

∆

∆=

rr

. Das heisst vr

und sr

∆ sind parallel.

Dabei ist sr

∆ ein Stück der Bahnkurve, die Momentangeschwindigkeit ist darum Tangente an die Bahnkurve.

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 10 20 30 40 50

y [m]

x [m]

Darstellung x-y-Diagramm. Indirekte Zeitangabe durch Punkte mit einem Zeitabstand von ganzen Sekunden.

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

0 5 10 15 20

vy [m/s]

vx [m/s]

Momentangeschwindigkeit (vx/ vy)

Kinematik Theorie

40

Berechnungen Wir berechnen die Überlagerung einer unbeschleunigten Bewegung in Richtung von v0 (horizontale Gerade im ersten Diagramm S. 29) mit einem freien Fall ohne Anfangsgeschwindigkeit. Wir wählen das gewohnte rechtwinklige Koordinatensystem:

Geschwindigkeit Position (Ort) Unbeschleunigte Bewegung

0vvx = tvx ⋅= 0

Freier Fall vertikal tgvy ⋅−= 25.0 tgy ⋅⋅−=

Mit den vier Gleichungen können die meisten Angaben gelöst werden. Die ersten Informationen können meistens aus den vertikalen oder weniger oft aus den horizontalen Angaben berechnet werden. Aus der Fallhöhe kann z.B. die Fallzeit berechnet werden.

Die Momentangeschwindigkeit ist ein Vektor: ( )yx vvv /=r

Er gibt die Richtung der Bahnkurve an.

Beispiel Aufschlag im Tennis

Der Spieler schlägt den Ball horizontal auf einer Höhe von 2.40 m und will, dass der Ball genau auf der Grundlinie zu Boden kommt.

a) Wie lange braucht der Ball bis zur gegnerischen Grundlinie?

b) Wie gross ist die Geschwindigkeit v0? c) Wie hoch ist der Ball in der Platzmitte, ist er über dem Netz?

In der Platzmitte ist die Netzoberkante 91.4 cm ab Boden, an den Seiten 106 cm. d) Unter welchem Winkel trifft der Ball am Boden auf?

Die Wurfparabel Wir haben die Bewegungen bereits in die x- und y-Richtung zerlegt, welche beide von der Zeit t abhängig sind. Das ist die Parameterdarstellung der Wurfparabel, die Zeit t wird Parameter genannt.

Gleichung � Gleichung � Parabel �

tvx ⋅= 0 20 2

tg

hy ⋅−= cxay +⋅= 2

ohne die Zeit t!

Oft ist es praktisch, wenn die Wurfparabel direkt mit x und y dargestellt werden kann, wie das aus der Mathematik für die quadratischen Funktionen bekannt ist.

Eine Parabel mit dem Scheitelpunkt auf der y-Achse hat die Form: cxayxf +⋅== 2)(

Aufgaben zum schiefen Wurf:

1. Stellen Sie die Parabel mit dem grafikfähigen TR dar für v0 = 30 m/s Dazu müssen Sie den Grafikmodus auf „parametric“ umstellen.

2. Berechnen Sie die Koeffizienten a und c der Wurfparabel. Stellen Sie dieselbe Parabel mit dem TR im üblichen Grafikmodus „Function“ dar.

Die Flugbahn eines horizontalen Wurfes (ohne Luftwiderstand) ist eine

Parabel. 2

20

0 2x

v

ghy ⋅−=

v0 = ?

Gesamtlänge: 23.77 m

H0 = 2.40 m

BMS Physik Kinematik Theorie

06.08.13 41

4. Kreisbewegungen

4.1 Kreisbewegung mit konstanter Drehzahl Eine Schallplatte (LP) dreht mit 33 1/3 Umdrehungen pro Minute, was als Tourenzahl (siehe Automotoren) bekannt ist. Für eine Umdrehung werden 1.8 s benötigt.

Die Frequenz sagt aus, wie oft ein Ereignis pro Sekunde stattfindet sf 13

1 55.0s60/33 == ,

Die Einheit 1ss/1 −= ist auch als Hertz bekannt ist. Ein Gigahertz bedeutet, dass der Mikroprozessor mit 109 Hz getaktet ist oder 109 Arbeitsschritte pro Sekunde ausführt. Ein Arbeitsschritt dauert also 10-9 Sekunden oder eine Nanosekunde.

Die Rille einer Schallplatte reicht vom Radius 14.5 cm bis zu ca. 6.5 cm innen. Wie gross ist die Geschwindigkeit der Nadel?

scmT

Rvaussen /6.50

2=

⋅⋅=

π scm

T

rvinnen /7.22

2=

⋅⋅=

π r

Tv ⋅=

π2

Die Umfanggeschwindigkeit ist direkt proportional zum Radius r, der Proportionalitätsfaktor T

π2 kann

als Zeit

Rad

Zeit

Winkel π2= interpretiert werden und heisst Winkelgeschwindigkeit

t

ϕω = .

Damit folgt die einfache Form für die Umfanggeschwindigkeit rv ⋅= ω . Das funktioniert nur, wenn der Winkel im Bogenmass (Radiant) gemessen wird!

Repetition: Radius

Bogenlänge=Winkel , Umrechnung π

π2

2360 =

⋅=°

r

r in Rad

Begriffe und Zahlenbeispiele Schallplatte:

Begriff Symbol Einheit Bsp. Anzahl Umdrehungen n dimensionslos 700 U (in 21 min) Frequenz, Drehzahl f Hz = s-1 Hz50.U/min33 3

1 =

Umlaufzeit T s 1.8 s Umfanggeschwindigkeit v, u m/s 22.7 – 50.6 cm/s Winkelgeschwindigkeit ω 1/s (oder Rad/s) 3.49 s-1

Kreisbewegung: Tt

nf

1== f

Tt⋅==

∆

∆= π

πϕω 2

2 r

T

rv ⋅=

⋅= ω

π2

Analogie

Für Drehbewegungen gelten dieselben Formeln wie für die geradlinige Bewegung, anstelle der Strecke s tritt allerdings der Winkel ϕ auf. Daraus abgeleitet sind die Begriffe Winkel-Geschwindigkeit und

Winkel-Beschleunigung. Geradlinige Bewegung Kreisbewegung Ort / Winkel Strecke s Winkel ϕ in Radiant Geschwindigkeit

t

sv

∆

∆= [ ] m/s=v

t∆

∆=

ϕω [ ] 1srad/s −==ω

Ort / Winkel Ort: tvs ∆⋅= Winkel: ϕ t∆⋅= ωϕ

Beschleunigung

t

va

∆

∆= [ ] 2m/s=a

t∆

∆=

ωα [ ] 22 s1/s −==α

Kinematik Theorie

42

4.2 Die Zentripetalbeschleunigung Weil sich die Richtung andauernd ändert, ist eine gleichförmige Kreisbewegung beschleunigt! Nach Pythagoras gilt:

( ) ( ) 222rtvhr +⋅=+ (1)

Ausmultiplizieren:

vereinfachen [r2 subtrahieren und h ausklammern]

⇒ ( ) 222 tvhrh ⋅=+⋅⋅ (2)

Betrachtet man immer kürzere Zeiten t, so wird die Höhe h stets kleiner; im Grenzübergang geht diese abgehackte „Sägezahnbewegung“ in eine „glatte“ Kreisbewegung über: (gerade Wegstücke v⋅t → Kreisbogen)

für sehr kleine Zeiten t folgt: die Höhe rh ⋅<< 2 darum darf h gegenüber 2 ⋅r vernachlässigt werden.

Aus Gleichung (2) folgt : 222 tvrh ⋅=⋅⋅ (3) nach h aufgelöst und etwas umgruppiert ergibt sich:

22

2

1t

r

vh ⋅

⋅≈ diese Gleichung ist analog zu 2

2

1tgh ⋅⋅=

d.h. die Beschleunigung in Richtung des Zentrums ist: r

va

2

=

Kreisbewegung: Die Zentripetalbeschleunigung zeigt stets zum Kreiszentrum.

Zentripetalbeschleunigung (Betrag): r

vaZ

2

= , Einheit [ ]2s

m=Za

Beispiel Roller Ein Roller ist mit 90 km/h unterwegs, seine Reifen haben einen Aussendurchmesser von 47.0 cm. Welche Beschleunigung wirkt bei dieser Geschwindigkeit auf einen Stein, der im Reifen eingeklemmt ist?

( ) 222

m/s 6602m 0.235

m/s 25′≈==

r

vaZ

Diese Beschleunigung ist 271 Mal so gross wie die Fallbeschleunigung g!

Warum fällt ein Satellit nicht auf die Erde? Satelliten fallen dauernd gegen die Erde. Ihre Geschwindigkeit ist genau so gross, dass das Fallen die Ablenkung in die Kreisbahn bewirkt.