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Theorie der Darstellungen
und ihre Anwendungen
in DER
konstruktiven Analysis
Vom Fachbereich Mathematik und Informatik der
FernUniversität Hagen genehmigte Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades eines
Doktors der Naturwissenschaften
von
Diplom-Informatiker CHRISTOPH KREITZ
aus Düsseldorf
Erster Gutachter : Prof.Dr. K.Weihrauch
Zweiter Gutachter: Prof.Dr. B.Schinzel
Tag der mündlichen Prüfung: 14. Dezember 1984
Inhalt
Einleitung 1
Typ-2 Rekursionstheorie 9
Theorie der Darstellungen 23
3.1 Darstellungen - Stetigkeit, Berechenbarkeit undReduzierbarkeit 23
3.2 Topologische Eigenschaften von Darstellungen 31
3.3 Abschlußkonstruktionen auf Darstellungen 38
3.4 Rekursionstheoretische Eigenschaften - Berechenbare Elemente 51
3.5 Beispiele für Darstellungen spezieller Räume 59
Darstellungen in der konstruktiven Analysis 71
4.1 Darstellungen der reellen Zahlen 71
4.2 Darstellungen offener und abgeschlossenerTeilmengen von IR 37
Kompaktheit in der konstruktiven Analysis 97
5.1 Kompakte Mengen - der Satz von Heine-Borel 97
5.2 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen 1o4
Schlußbetrachtungen 113
Anhang: Fußnoten 118
Literaturverzeichnis 122
1. Einleitung
Das Unbehagen an der herkömmlichen "idealistischen" Mathematik,
in der meist nichtkonstruktiv definierte Objekte (Mengen, Elemente,
Funktionen etc.) untersucht und Bev/eise nicht konstruktiv geführt
werden, führte zu Beginn dieses Jahrhunderts zu einer tiefgreifen
den Kritik an den Grundlagen der Mathematik. Sie wurde ausgelöst
durch L.E.J. Brouwer, der zugleich auch einer ihrer entschiedensten
Vertreter war. Die mathematische Fachwelt hat diese Kritik zwar
durchaus akzeptiert, die zahlreichen Versuche aber, die Mathematik
auf einen konstruktiven Teilbereich zu beschränken, fanden allgemein
nur wenig Anklang, da auch ihre Grundlagen nicht unproblematisch
sind. So entwickelte z.B. Brouwer selbst Grundlagen für eine
"intuitionistische" Mathematik ( [4]), die aber nicht zuletzt
wegen einiger recht unklarer Definitionen nur auf geringe Reso
nanz traf. Nichtsdestotrotz erhielt er einige interessante Ergeb
nisse bezüglich Konstruktivität in der Analysis und gab damit
Anstoß zur Entwicklung einer neuen "intuitionistischen" Logik,
in der z.B. das Gesetz vom ausgeschlossenen Dritten nicht gilt.
Später erschienene Arbeiten (Lorenzen [28], Bishop I2], Bridges
[3J ), die zeigten, daß ein Großteil der klassischen Analyse auch
konstruktiven Methoden zugänglich ist, sind etwas überzeugender
als diejenigen von Brouwer, aber auch gegen sie läßt sich als
Haupteinwand vorbringen, daß ausschließlich konstruktive Objekte
und Beweise betrachtet werden, und daß damit die Theorie keinerlei
Gegenbeispiele zuläßt.
1 -
Durch die Entwicklung der Rekursionstheorie in den dreißiger
Jahren wurde ein neuer Zugang zum Bereich des Konstruktivismus
eröffnet, der wiederum zu (mindestens) zwei verschiedenen Rich
tungen einer rekursiven Analysis führte. In beiden Ansätzen defi
niert man berechenbare Objekte (Zahlen, Mengen, Funktionen, ...)
und untersucht dann ohne Einschränkung der Beweismethoden, welche
Objekte berechenbar sind.
Die "russische Schule" der rekursiven Analysis {Ceitin [5],
Kushner [27], Aberth (1 ]) betrachtet dabei ausschließlich be
rechenbare reelle Zahlen (bezeichnet als "Elemente von HR ")c
und überträgt mittels einer "effektiven" Numerierung die Standard
theorie der Berechenbarkeit von den natürlichen Zahlen (IN ) auf
IRc. Hier treten jedoch einige seltsame Phänomene auf, die inner
halb der Theorie unerklärlich bleiben. So gibt es z.B. eine
stetige Funktion f: [0;1] - TR , die nicht gleichmäßig stetig
ist (s. Aberth [ 1] § 7.2). Diese paradoxe Erscheinung findet
erst außerhalb dieser Theorie eine Erklärung. In klassischer
Formulierung ist nämlich f eine Funktion von [0;1] n mc
nach lRc und läßt sich auch nicht zu einer stetigen Funktion
auf [0;1] fortsetzen.
Die "polnische Schule" der rekursiven Analysis (Grzegorczyk [111,
Klaua [18] etc.) dagegen definiert Berechenbarkeit auf der Grund
lage aller reellen Zahlen und vermeidet damit die obengenannten
Probleme. Im wesentlichen wird hier bereits das Darstellungs
konzept angewandt (, das im Prinzip auch schon durch Brouwers
- 2 -
[ 4] "Wahlfolgen" angedeutet wurde), d.h. eine reelle Zahl wird
beschrieben durch eine unendliche approximierende Folge rationaler
Zahlen (also endlicher Objekte), und Berechenbarkeit auf 3R wird
mit Hilfe berechenbarer Funktionale auf diesen Folgen erklärt.
Eine neue Bedeutung hat dieses Modell durch Arbeiten von Ker-I Ko
[2o] (1982) erhalten, in denen der Rechenaufwand (Komplexität) kon
kreter reeller Funktionen anhand von Orakel-Turing-Maschinen unter
sucht wird. Die "polnische Schule" verwendet das Darstellungskon
zept aber noch nicht konsequent genug, da sie zur Definition
berechenbarer Operatoren auf (berechenbaren) reellen Funktionen
(wie z.B. Integration) oder auf "effektiven" Teilmengen von TR
jeweils ein neues Berechenbarkeitsmodell aufstellt. Bei einer ge
naueren Betrachtung stellt man fest, daß diese Modelle immer wieder
von dem gleichen Prinzip ausgehen (z.B. von der Orakel-Turing-
Maschine) und somit ein eigentlich unnötiger Aufwand getrieben
wird. Sinnvoller erscheint es, dieses Prinzip zu einer Standard
theorie der Berechenbarkeit auf einer festgewählten Menge auszu
bauen und analog zum Konzept der Numerierungsberechenbarkeit diese
Theorie dann mit Hilfe von "Darstellungen" auf andere Mengen zu
übertragen.
In der vorliegenden Arbeit soll nun gezeigt werden, daß dieser
Gedanke sich eignet als Grundlage für eine einheitliche Theorie
der Berechenbarkeit auf kontinuumsmächtigen Mengen ("Typ 2
Theorie"), insbesondere also auch für die konstruktive Analysis.
Dabei legt die Beschreibung reeller Zahlen durch approximierende
Folgen nahe, als Grundmenge für die Standardtheorie einen mög
lichst einfachen Folgenraum, also z.B. die Menge der unendlichen
- 3 -
Folgen natürlicher Zahlen (bezeichnet durch das Symbol TF) , zu
verwenden. Gegenüber anderen Grundstrukturen wie der Menge P
aller Teilmengen von IN oder CPO's (s. § 3.5) hat dies den
Vorteil, daß ein Berechenbarkeitsmodell sehr einfach und anschau
lich ausfällt und zudem noch Komplexitätsbetrachtungen direkt
ermöglicht werden. Die Elemente von 1F sollen also als Namen
für Elemente einer abstrakten Menge M aufgefaßt werden, aus
denen man schrittweise immer mehr Informationen über das be
zeichnete Objekt erhält. Die surjektive (möglicherweise partielle)
Abbildung 6 von 3F auf M, welche die Zuordnung zwischen dem
Namen eines Objektes und dem Objekt selbst vornimmt, wird
"Darstellung der Menge M" genannt. Damit sind Darstellungen
die natürlichen Verallgemeinerungen von Numerierungen für den Fall
der kontinuumsmächtigen Mengen. Darstellungen wurden bereits von
Hauck ([13] ,[14]) untersucht. Er beschäftigte sich aber mehr mit
Effektivitätseigenschaften und der Struktur von Darstellungen
effektiver Räume, während uns in dieser Arbeit eher die von
Darstellungen induzierte Berechenbarkeitstheorie unabhängig
von Effektivitätseigenschaften des dargestellten Raumes interes
siert.
Schon früh hat sich in der rekursiven Analysis herausgestellt,
daß Stetigkeit eine wichtige Voraussetzung für Berechenbarkeit
ist, und eine genauere Untersuchung zeigt, daß viele bedeutende
Fragen eigentlich weniger mit Berechenbarkeit als mit Stetigkeit
zu tun haben. Nichtberechenbarkeit bedeutet meist auch Unstetig-
keit; und Stetigkeit hat oft sogar eine "leichte" Berechenbarkeit
- 4 -
zur Folge. Aus diesem Grunde werden wir Stetigkeit als allge
meinere und Berechenbarkeit als speziellere Form von Effektivi
tät auffassen und die Theorie des Konstruktivismus simultan
in zwei Versionen, einer topologischen und einer berechenbaren,entwickeln.
Die von Weihrauch, Dettki /Schuster ([38] ,[ 8 ]) im Jahre 1983
entwickelte Berechenbarkeitstheorie auf TF ist formal der
"klassischen" Rekursionstheorie auf IN sehr ähnlich, zerfällt
aber ebenfalls in eine topologische und eine berechenbare Version.
Diese Standardtheorie wird die Grundlage für unsere Darstellungstheorie bilden. Im Kapitel 2 werden die für uns wesentlichen
Teile davon kurz vorgestellt.
Die Theorie der Darstellungen, mit der sich das dritte Kapitelbeschäftigt, bildet den Schwerpunkt dieser Arbeit. In Abschnitt
3.1 definieren wir Stetigkeit und Berechenbarkeit relativ zu
Darstellungen und untersuchen diese Begriffe im Zusammenhangmit Reduzierbarkeit. Abschnitt 3.2 behandelt topologische Eigenschaften von Darstellungen, wobei besonders die Finaltopologie,d.h. die von einer Darstellung einer Menge M induzierte Topo-logie auf M, von Interesse ist. Wesentlich ist die Definition
einer Standard-Darstellung eines separablen To-Raumes (M,r).Es stellt sich heraus, daß die von diesen Darstellungen indu
zierte Stetigkeitstheorie (offene Mengen, stetige Funktionen
etc.) genau der üblichen topologischen Stetigkeitstheorie ent
spricht. Gleiches gilt auch für alle zu einer Standard-Darstel
lung äquivalenten Darstellungen, die wir deshalb als "zulässig"
- 5 -
(d.h. besonders geeignet) für die Erforschung von Konstruktivi-
tät ansehen, im dritten Abschnitt von Kapitel 3 stellen wir
einige Konstruktionen vor, die aus vorgegebenen Darstellungen
neue Darstellungen erzeugen, und untersuchen, welche Eigen
schaften sich dabei fortpflanzen. Wir erhalten auf diese Art
Darstellungen von (endlichen und unendlichen) Produkten, ste
tigen Funktionen, offenen und clopenen (d.h. zugleich offenen
und abgeschlossenen) Mengen und ein Standardsupremum und
-infimum einer endlichen Menge von Darstellungen. Für Dar
stellungen von Mengensystemen werden außerdem noch "duale"
Darstellungen betrachtet. Anhand des Begriffs "fastvollständig"
wollen wir im Abschnitt 3.4 zeigen, daß auch rein rekursions-
theoretische Eigenschaften von Darstellungen denen der Numerie
rung in der Rekursionstheorie entsprechen. Ein Rekursionssatz
und eine Variante des Satzes von Rice sind unmittelbare Folge
rungen der Fastvollständigkeit. Wir diskutieren außerdem kurz
berechenbare Elemente, ihre durch Darstellungen induzierten
Numerierungen und den Zusammenhang zwischen Darstellungs- und
Numerierungsberechenbarkeit. Abschnitt 3.5 betrachtet schließ
lich als einfache Anwendungsbeispiele die-Mengen P undCO
IP = {f: IN —- IN} , metrische Räume und CPO's und zeigt, daß
für geeignete zulässige Darstellungen die induzierte Berechen
barkeit auf diesen Räumen genau mit der von verschiedenen Autoren
explizit definierten Berechenbarkeit übereinstimmt.
Die nächsten zwei Kapitel befassen sich mit Anwendungen der
Darstellungstheorie auf die konstruktive Analysis. Im Abschnitt
- 6
4.1 untersuchen wir verschiedene gebräuchliche Darstellungen
der reellen Zahlen hinsichtlich ihrer Verwendbarkeit für die
konstruktive Theorie und zeigen, daß die wesentlichen Unter
schiede dieser Darstellungen bereits topologischer Natur sind
und damit nicht von irgendeinem Berechenbarkeitsmodell abhängen.
Abschnitt 4.2 behandelt Darstellungen von Teilmengen der reellen
Zahlen, insbesondere von offenen und abgeschlossenen Mengen.
Unterschiede zwischen diesen Darstellungen zeigen sich insbe
sondere an der verschiedenartigen aus einem Namen (in endlich
vielen Schritten) zugänglichen Informationen über die benannte
Menge. Auch Bishops [ 2] Konzept der "located sets" findet
hier sein natürliches Gegenstück.
Im Kapitel 5 untersuchen wir Sätze der klassischen Analysis
in bezug auf Effektivität. Wir beschränken uns dabei auf den
Themenkomplex Kompaktheit. Im ersten Abschnitt wird gezeigt,
daß zumindest zwei verschiedene Aspekte der Kompaktheit sinn
voll formuliert werden können. Zwei Versionen des Satzes von
Heine-Borel resultieren daraus, jeweils ausgedrückt durch eine
einfache Äquivalenz von Darstellungen. Der zweite Abschnitt
schließlich hat stetige Funktionen auf kompakten Mengen zum
Thema. Wir untersuchen Sätze über gleichmäßige Stetigkeit,
Bilder kompakter Mengen unter stetigen Funktionen, Suprema
von Funktionen auf kompakten Mengen und den Zwischenwertsatz
auf mögliche konstruktive Versionen. Im Falle negativer Ergeb
nisse ist immer eine einfache Unstetigkeit der Grund, so daß
der Verdacht naheliegt, daß für "natürliche" Probleme der
Analysis Stetigkeit und Berechenbarkeit zusammenfallen.
- 7 -
Kapitel 6 beinhaltet ein kurzes Resümee und diskutiert weitere
Anwendungsmöglichkeiten der Darstellungstheorie.
Einige aufwendige technische Details wurden der Übersichtlichkeit
wegen aus den Beweisen und dem normalen Text herausgenommen. Fuß
noten verweisen auf die entsprechenden Punkte im Anhang.
Als Referenz für die gewöhnliche Rekursionstheorie verwenden wir
das Buch von Rogers [31] , dem im wesentlichen auch unsere Notation
entspricht. Mit W( IN ) bezeichnen wir die Menge aller endlichen
Worte über IN. lg(w) sei die Länge des Wortes w. Ist
w = x0--xn G W(3N) mit xi eiN, so sei w(i) := x.. Mit (,> kenn
zeichnen wir Tupelfunktionen. So schreiben wir z.B. <i ,..,i >1 n
anstatt n(n)(ij,..,in) (n<n): INn - IN ist die Cantor'sehe Bijek-tion) und für w = x ..x , v = y ..y e w(3N) sei <w,v) :=
xovo,-Xnyn* Es sei m:= !F u W(IN) die Menge der endlichen
und unendlichen Folgen in IN. Für a,b gib gelte a s b «* a ist
Präfix von b. Für p e if, i e in sei p[i] := p(o) ..p(i-1) e w( IN)
und umgekehrt sei [v] := {p e if |v <= p} für v e w( IN ) . Wir ver
wenden auf IB eine Topologie, die durch die Basis {0 Iv e W(IN)}
mit 0v:= {b eißlv = b] definiert ist. Die hierdurch auf IF in
duzierte Topologie xw (mit Basis {[v] |v € w( IN )} ) ist genau die
Baire'sche Topologie. Auf U betrachten wir die diskrete Topologie.
Partielle Funktionen werden mit f:A—-B, totale mit f:A-B bezeichnet.
Solange Eindeutigkeit besteht, werden wir bei Numerierungen und
Darstellungen auf die Klammern um das Argument verzichten oder dieses
in den Index setzen.
Teile der vorliegenden Arbeit wurden bereits in eigenen Berichten
veröffentlicht. Der Vollständigkeit halber sind diese im Literatur
verzeichnis unter den Nummern 23, 24, 25 und 4o aufgeführt.
- 8 -
2. Typ-2 Rekursionstheorie
Im Gegensatz zur Typ-1 Rekursionstheorie, d.h. zur Theorie der
rekursiven Funktionen von IN nach IN , gibt es für die Berechen
barkeit von Funktionalen höheren Typs bisher keinen einheitlichen
Formalismus, sondern nur eine Reihe von expliziten Definitionen
( siehe z.B. Egli & Constable [ 9] , Ershov [ 42] , Kleene [ 43] ,
Normann [44], Rogers [31], Scott l33] ), die im wesentlichen äqui
valent sind. In diesem Kapitel wollen wir den Ansatz von Weihrauch,
Dettki & Schuster ( [38] bzw. [8]) skizzieren, der formal der
gewöhnlichen Rekursionstheorie sehr ähnlich ist. Aus Gründen der
Übersichtlichkeit werden Beweise hier meist nur angedeutet oder ganz
ausgelassen. Eine ausführliche Darstellung dieser Typ-2 Theorie
findet man in den obengenannten Originalarbeiten.
Fundamental für die Typ-2 Rekursionstheorie ist die Definition
einer "effektiven" Darstellung 4» der Menge [F - m] aller steti
gen totalen Funktionen von IF nach B , welche für die Typ-2 Theorie
in etwa die gleiche Bedeutung besitzt wie die Standardnumerierung
cp der partiell-rekursiven Funktionen in der gewöhnlichen Rekursions-
theorie. Die entsprechenden Definitionen und Aussagen über Funktionen
T:3F—- IF bzw. E:F—* IN lassen sich hieraus unmittelbar ableiten.
Eine grundlegende Rolle spielt hierbei das folgende Lemma.
2.1 Lemma
(1) Es sei y:W(K) -W(IN) eine (bezüglich s) monotone Ab
bildung. Dann ist die Funktion y :TF -B definiert durch
Y(p) := sup{ y(w) |wsp } stetig.
- 9 -
(2) Zu jeder stetigen Funktion T:F -B gibt es eine monotone
Abbildung y:W(W) - W(IN) mit r = y .
Beweis
(1) Sei y(P) =q für p e 3F , q eB . Man rechnet leicht nach, daß für jede
Umgebung O von q eine Umgebung w von p existiert mit vCw] c o .v v
(2) Sei T:F - B stetig. Für weW(M) sei
M := {veW(W) | lg(v)£lg(w) und r[w]cO }. Da max(M ) für allew vw
weW(M) existiert, ist durch •y(w):=max(M ) eine (isotone) Funktionw
Y:W(EJ) - W(M) definiert und es gilt für alle peF, ve W(BJ) :
v e y(p) ° v - r(p) also y = r.
Ist also T:IF - IB stetig und y:W(IN) - W(W) monoton mit r = y,
so kann für alle p e IF der Wert r(p) beliebig genau durch Präfixe
Y(w) approximiert werden, wobei w€ W(IN) ein Anfangsstück von p
sein muß. Aufgrund von Lemma 2.1 ist die Funktion y**Y eine sur-
jektive Abbildung von der Menge {y:W(IN) - W(IN) | y monoton} auf
[IF - IB] . Diese Abbildung kann in eine Darstellung i]>:IF - [IF - IB]
(d.h. ili ist surjektiv) transformiert werden, indem y:W(IN) -W(IN)
durch p:= vM yv^gif (mit einer bijektiven Numerierung v von
W(IN) ) ausgedrückt und die so entstandene partielle Funktion von IF
nach [IF-IB] zu einer totalen Funktion fortgesetzt wird. Letzteres
läßt sich am einfachsten über die Charakterisierung der berechen
baren Funktionen durch Orakel-Turing-Maschinen erreichen. Hierzu sei
explizit eine bijektive Standardnumerierung v :IN -W(IN) definiertIN
durch: v (0):= e (leeres Wort), v (<x ,..,x ) +1):= x ..x .IN JN o n 0 n
- 10 -
Definition
(1) Eine Funktion Y:W(1N) -W(IN) heißt berechenbar genau dann,
wenn v^J yvw partiell-rekursiv ist.
(2) Eine stetige Funktion T:IF - B heißt berechenbar genau dann,
wenn r = y für ein berechenbares y:W(IN) -W(IN) gilt.
Berechenbare Funktionen von IF nach B können sehr einfach
auch über Orakel-Turing-Maschinen (kurz: OTM's) beschrieben werden.
Diese Charakterisierung erlaubt informale aber zuverlässige Beweise
und Spezifikationen berechenbarer Funktionen. Dabei wird als Orakel-
Turing-Maschine eine Turing-Maschine T mit den folgenden Besonder
heiten verstanden:
- T hat ein (einseitiges) unendliches Eingabeband, auf dem die
Werte p(0),p(1),p(2)... der Eingabe pe if stehen,
- T besitzt die üblichen Arbeitsbänder,
- T hat ein (einseitiges) unendliches Ausgabeband, auf das nach
und nach die Werte q(0),q(1),... der Ausgabe q e IB geschrieben
werden.
Die Maschine startet mit Eingabe pe if auf dem Eingabeband, leerem
Ausgabeband und Schreib- bzw. Lesekopf in Position 0. Die Maschine
kann unendlich lange rechnen. Das Ergebnis (bezeichnet mit f (p) )
ist die Folge von Zahlen (endlich oder unendlich), welche T während
der Berechnung auf das Ausgabeband schreibt.
2.2 Lemma
Eine Funktion r-.IF -B ist genau dann berechenbar, wenn eine
Orakel-Turing-Maschine T existiert mit r = f .
- 11 -
Beweis
Es sei T<*y.lF * IB berechenbar. Dann sei T eine OTM, welche bei Eingabe
von per in Schritten n = 0,1,2,... wie folgt arbeitet:
Stufe n: Lese w := p(0)..p(n) und bestimme y(w). Ist v das bisherige
Wort auf dem Ausgabeband, so schreibe xeW(JN) mit y(w) =vx
auf die Ausgabe.
Es ist unmittelbar einsichtig, daß T = £ ist.T
Sei nun umgekehrt r = f für eine OTM T. Für weW(W) sei y(v) der
Inhalt des Ausgabebandes nach lg(w) Schritten, wenn w am Anfang des Ein
gabebandes steht. (In lg(w) Schritten kann T keine Information von der
Eingabe lesen, die länger als w ist.) Dann ist Y:W(W) * W(W) wohl
definiert, berechenbar, monoton und es gilt y = T.
Für die Forraalisierung der Typ-2-Theorie spielen wie in der gewöhn
lichen Rekursionstheorie Tupelfunktionen eine wichtige Rolle.
Definition
(1) Tupelfunktionen n(k):lF - IF seien definiert durch:
n<»<e) == p.
n<k*"«v-w» =.jn""(p.-'p*),jl £alls i =2^l Pk+i(j) falls i = 2j+1.
(2) n(o>) :TFW - IF sei erklärt durch n(oo) (p ,p ,...)<i,j> := p (j)(3) Es sei n<IN>:INxiF -IF definiert durch:
n(IN) (i,p)(n) := (i falls n=0, p(n-1) sonst ).
Solange keine Verwechselung entsteht, werden alle diese Funktionen
durch das Symbol ( ,> ausgedrückt, d.h. es wird geschrieben
- 12 -
<P./«-/Pk> statt n(k)(p ,..p ) und <p.> ,(i,p> entsprechendfür n(m) und n<IN) . Die wichtigsten Eigenschaften der Tupelfunk
tionen sind in dem folgenden Lemma zusammengefaßt.
2.3 Lemma
(k)n* ist ein Homöomorphismus und für alle i (1 £i < k) ist
die Abbildung <P,»««#Pk> -P. berechenbar.
Entsprechendes gilt für n und n .
V TN(Dabei sei auf IF% IF und IN xIF die entsprechende Produkt-
topologie zugrundegelegt.)
Der Beweis ergibt sich durch simples Nachrechnen und Konstruktion
geeigneter OTM's.
(k \ (ool ( TN)Mit Hilfe von IT ' ( IT ', nv ' ) kann jede k-stellige Funktion
p.jp » M eindeutig durch eine einstellige Funktion, nämlich durch
(k) -1r* := r°(n ) , ausgedrückt werden. Aus diesem Grunde reicht es,
einstellige Funktionen zu betrachten.
Wir definieren nun die Darstellung 4»:IF— [ IF -*• B ] über eine
universelle Funktion. Dazu sei eine OTM T definiert wie folgt:
Es sei (p,q) die Eingabe von T . T arbeite in Stufen n = 0,1,2,...
Stufe n Es sei veW(U) bereits auf das Ausgabeband geschrieben. Falls
w := max {v p(i) | i £n und v_, (i) E q}, sonst setze w := v.
Schreibe u £W(3N) mit w = vu auf das Ausgabeband.
- 13 -
Definition (Standarddarstellung von [IF- B] )
Sei ro: IF - TB die von T berechnete Funktion.
Die Standard-Darstellung ip:IF -» [ TF ~ B ] ist definiert durch
tpp(q) := iMp) (q) := ro<p,q>.
Das nächste Lemma zeigt, daß zwischen ij> und der durch Lemma 2.1
definierten Abbildung y •» Y ein enger Zusammenhang besteht.
2.4 Lemma
(1) iJ;:IF - [IF - B] ist wohldefiniert und surjektiv .
(2) Für alle monotonen Abbildungen y:W(IN) - W(IN) gilt
Y = ib(v yv ) •VIVIN ,vin '
(3) r:IF - B ist berechenbar genau dann, wenn r = iMp) für
ein rekursives pe IF ist.
(1),(2) Man macht sich leicht klar, daß aufgrund der Bedingung "(Vi,jsn).."
in jeder Stufe n die Werte u und v existieren. Daher ist ty wohldefi
niert. Sei nun Y:H<n) * w(w) monoton. Dann ist für p := v_1vv in jeder
Stufe die Bedingung "(Vi,jS n).." erfüllt und deshalb gilt:
* (q) = sup {vmP(i) |(3n) isn und v^dlsq) = Y(q)- Hieraus folgt (2)
und die Surjektivität von ty.
(3) Für ein rekursives p £F gibt es immer eine OTM T mit f (q) = <p,q>
für alle q. Die Komposition von T mit T ergibt dann eine OTM für i|i(p),
d.h. iji(p) ist berechenbar. Die Umkehrung folgt aus (2) und der Definition
berechenbarer Wortfunktionen.
- 14 -
Per Definition ist die universelle Funktion r von ijj berechenbar,
Diese Aussage bildet ein Äquivalent zum klassischen utm-Theorem für
die Standardnumerierung <p der partiell-rekursiven Funktionen. Auch
zur zweiten fundamentalen Effektivitätseigenschaft von cp - dem smn-
Theorem - gibt es ein entsprechendes Gegenstück bei iK Dies sei
hier als "ubersetzungslemma" formuliert.
2.5 Satz
(1) "utm-Theorem": Es gibt eine berechenbare Funktion r :IF - B
mit T^P/q) = ti» (q) für alle p,qGTF.
(2) "Ubersetzungslemma": Zu jedem berechenbaren r:IF -B gibt
es ein berechenbares E:IF - IB mit ränge E c TF und
»Jjj.. .(q) = T(p,q> für alle p,qeiF.
Beweis
(1) Folgt unmittelbar aus Lemma 2.2.
(2) Da für jedes berechenbare T:F - B ein rekursives re 3F mit V = *r
existiert, gilt r<p,q> = r (r,<p,q>>. Man konstruiert nun leicht E:F - B
mit <E(p),q> = <r,<p,q>> für alle p.qeF. E erfüllt (2).
Zwei andere Versionen des Ubersetzungslemma's, das uniforme smn-Theorem
und ein stetiges Ubersetzungslemma sind eine unmittelbare Konsequenz
von Satz 2.5.
- 15 -
2.6 Korollar
(1) Es gibt ein berechenbares E:IF - IB mit ränge ECjp, so daß
'£<P,q>(r) = V(2) Zu jedem stetigen T:IF -B gibt es ein stetiges A:IF -B
mit ränge A c IF und \\i (q) = T(p,q> für alle p,qeiF,
Utm- und smn-Theorem haben für die Darstellung ip die gleiche Bedeu
tung wie die entsprechenden Typ-1-Versionen für die Numerierung cp
der partiell-rekursiven Funktionen, d.h. durch diese beiden Theoreme
sind alle wesentlichen Eigenschaften von \\> festgelegt. Mit Hilfe
des Reduzierbarkeitsbegriffes für Darstellungen, der im nächsten
Kapitel genauer betrachtet wird, läßt sich diese Aussage als ein
Gegenstück zum Äquivalenzsatz von Rogers für effektive Gödelnumerier-
ungen formulieren:
Für je zwei Darstellungen 6 und 6' gelte
6 Sc 6' : (VpGdomö) öp = 6T(p) für ein berechenbares T:F-B,
6 =„ 6' : 6 < 6' und 6' £ 6.c c c
2.7 Satz (Äquivalenzsatz)
Eine Darstellung 6:1F-[F -B] erfüllt utm- und smn-Theorem
genau dann, wenn 6 = ip gilt.
Der Beweis verläuft formal analog zum entsprechenden Beweis für <p.
Bis auf berechenbare Äquivalenz ist i\> also die einzige "natürliche"
und "effektive" Darstellung der stetigen Funktionen von IF nach B.
- 16 -
Auf der Grundlage von utm- und smn-Theorem kann eine reichhaltige
Theorie der Stetigkeit und Berechenbarkeit auf [F - B ] entwickelt
werden, welche formal der gewöhnlichen Rekursionstheorie mit der
Standardnumerierung <p gleichkommt. Für eine Typ-2 Berechenbarkeits-
theorie interessanter als ip sind jedoch zwei hieraus abgeleitete
Darstellungen gewisser partieller Funktionen von IF nach IF bzw.
von IF nach IN.
Definition
(1) Eine Menge [F -» »1 ] c{r:F—«•IN} und eine surjektive Funktion
X:F - [ F -» H ] seien definiert durch
div falls \\i (q) = e e B ,*
P -IX (q) := X(P)(q) := { pdie erste Zahl der Folge $ (q) sonst.
P
(2) Die Menge [F-F] C{r:F—*IF} und eine Darstellung
<p:F - [ TF - F] seien definiert durch
(ilMq) falls i|j (q) e TF ,P P
div sonst
Diese Definition erweitert die bekannten Konzepte berechenbarer
Funktionale und Operatoren zu einem uniformen topologischen Konzept.
Die x-berechenbaren Elemente (d.h. die Funktionale T:F-— IN mit
r = xp für ein rekursives p ) sind genau die rekursiven Funktionale
auf F wie z.B. von Rogers ([31] §15.3) definiert und die totalen
(p-berechenbaren Operatoren sind genau die Einschränkungen der
"general recursive Operators" (Rogers [31] §9.8) auf F. Berechen
barkeit andersartiger Operatoren ( auf anderen Mengen) kann hieraus
mit Hilfe geeigneter Darstellungen abgeleitet werden. Dies wird in
den folgenden Kapiteln noch ausführlich untersucht werden,
c ist das leere Wort.
- 17 -
Genau wie die partiell-rekursiven Funktionen besitzen die Funktionen
aus [F -F] und |F - IN ] natürliche Definitionsbereiche. Mit
Hilfe des Darstellungsbegriffes läßt dies sich sogar effektiv for
mulieren.
Definition
Darstellungen w der offenen Teilmengen von F und E der
Gfi-Teilmengen von F seien definiert durch:
Up := a)(p) := udyi)] | i+1e ränge p } ,
Ep := £(p) := 0U{ [v^ <i,j>] I<i,j> +1e rängep} für alle p£ F,
2.8 Satz
Die Darstellungen co' und E' seien erklärt durch
0)'(p) := domx„ und E'(p) := domip für p£F.P P
Es gilt
(1) cj = w' und (2) £ h £•.
Die Aussage (1) entspricht im wesentlichen der Charakterisierung der
rekursiv-aufzählbaren Mengen als Definitionsbereiche der partiell-
rekursiven Funktionen einerseits und als Bildbereiche der total-
rekursiven Funktionen andererseits. Der Beweis der beiden Aussagen
ist eher technischer Natur, verläuft aber im Prinzip wie der Beweis
der eben erwähnten Gleichheit.
Aus Satz 2.8 resultiert auch die nun folgende Charakterisierung
von [F - F ] und [F - IN 1. Außerdem zeigt sich, daß im wesentlichen
alle stetigen Funktionen von F nach F (bzw. von F nach IN )
durch (p (bzw. x ) dargestellt werden.
- 18 -
2.9 Satz
(1)[F~IN] = {E: F—-N | domE ist offen t z stetig }.
(2) Für jedes stetige E:F—»M gibt es eine Fortsetzung E*e[F-IN].
(3) [F -• F] = {A :TF—-TF I domA ist eine G.-Menge , a stetig }
(4) Für jedes stetige A:F—-F gibt es eine Fortsetzung A'G[F-"-F].
Einen Beweis hierzu findet man z.B. bei Weihrauch [38].
Da die Darstellungen ip:F — [ F - F ] und x:3F — [ F -» IN] direkt aus
der Darstellung ip von [F-B] abgeleitet sind, besitzen sie auch
die gleichen grundlegenden Eigenschaften.
2.10 Satz
Die Darstellungen ip und x erfüllen das utm-Theorem, das Uber
setzungslemma, das smn-Theorem und den Äquivalenzsatz.
Per Definition gibt es Funktionen H und H', sodaß x = ü°ty und ip = H'ot|> .P P p P
Unter Verwendung dieser Funktionen kann Satz 2.5 in eine entsprechende Version
für x u"«3 <P umgewandelt werden. Die übrigen Behauptungen folgen unmittelbar.
Eine Funktion re[F -F] (bzw. [ F - IN ] ) heißt berechenbar, wenn sie
bezüglich (p (bzw. x ) einen berechenbaren Namen besitzt, d.h. wenn
T = (p (bzw. T = x ) für ein rekursives p gilt. Es ist leicht zuP P
sehen, daß für ein berechenbares re[F -F] und ein rekursives qedomr
auch das Resultat r(q) wieder rekursiv ist. Dies gilt sogar effektiv
- 19 -
bezüglich der Numerierung (p ( welche auch als partielle-Numerierung
der total-rekursiven Funktionen aufgefaßt werden kann).
2.11 Lemma
Es seien T:F *F und A:F—-IN berechenbar. Dann gilt
(1) Es gibt ein total-rekursives g mit Ttp. = (p falls <p tota
(2) die Restriktion von A auf die rekursiven Funktionen ist
( <p, id_, )-berechenbar.JN
Mit Hilfe des Modells der (Orakel-) Turing-Maschinen für berechenbare Opera
toren und rekursive Funktionen macht man sich leicht klar, daß die Abbildungen
<i»j> •* ( ftp,)(3) und i •» A(p. partiell-rekursiv sind. Mit dem smn-Theorem
der gewöhnlichen Rekursionstheorie folgt dann die Behauptung.
Man beachte, daß die Restriktion r" von r auf die rekursiven Funk
tionen i.A. nicht im strengen Sinne (tp,cp)-berechenbar ist. Dies gilt
nur, wenn r total ist.
Aus dem utm- und smn-Theorem lassen sich noch viele weitere
Aussagen ableiten, die formal Sätzen der gewöhnlichen Rekursionstheorie
entsprechen. So ist z.B. die Komposition auf [F ~F] effektiv
(d.h. ip °vp = ip_, s gilt für ein berechnbares E:F -F), einp q £'p»q'
Projektionssatz verbindet offene und "clopene" Mengen (entsprechend
den rekursiv-aufzählbaren bzw. rekursiven Mengen), ein Halteproblem
und ein Selbstanwendbarkeitsproblem existiert für x usw. (siehe
Weihrauch [38]). Im folgenden spielen diese allerdings nur eine unter
geordnete Rolle und werden daher nicht weiter diskutiert.
- 20 -
Für die Untersuchung rekursionstheoretischer Eigenschaften von Dar
stellungen ist dagegen das Konzept der effektiven Untrennbarkeit von
Bedeutung. Es läßt sich ebenfalls direkt aus der klassischen Rekur
sionstheorie übertragen.
Definition
Zwei Mengen A,BCF heißen t-(c-) effektiv untrennbar genau dann,
wenn eine stetige (berechenbare) Funktion T:F -TF existiert, so daß
für alle p,q£F gilt:
( ACa und BCu und (o n&i =0) =» r<p,q> e F \ (oo uu ).
Insbesondere sind effektiv untrennbare Mengen auch nicht clopen
(d.h. zugleich abgeschlossen und offen - englisch: closed & open).
2.12 Satz
(1) Die Mengen {p lxo(p) = 0} und {p Ix (p) =1} sinde p
c-effektiv untrennbar .
(2) Sind A und B t-(c-) effektiv untrennbar und gilt
ACA', BCB', so sind auch A' und B' t-(c-) effektiv
untrennbar .
(3) Ist T:F-»F stetig (berechenbar) und A und B
t-(c-) effektiv untrennbar, so gilt dies auch für r(A)
und T(B).
Auch hier entspricht der Beweis dem des entsprechenden Typ-1 Satzes.
- 21
Theorie der Darstellungen
3.1 Darstellungen - Stetigkeit, Berechenbarkeit und Reduzierbarkeit
Für die Menge F der Folgen natürlicher Zahlen ist im vorigen
Kapitel eine Theorie der Berechenbarkeit vorgestellt worden. Wir
v/ollen nun dazu übergehen, diese Theorie auch auf andere (höchstens
kontinuumsmächtige) Mengen zu übertragen. Dazu werden wir jetzt die
Elemente von F als Namen für "abstrakte" Objekte verwenden, d.h.
diese Objekte werden durch Folgen aus IF dargestellt.
Definition
Sei M eine höchstens kontinuumsmächtige Menge.
Eine Darstellung von M ist eine (möglicherweise partielle)
surjektive Abbildung 6:F —-M.
Wir sagen oft, daß pelF ein ö-Name für xSM ist, wenn
6p = 6(p) = x gilt. Man beachte, daß jedes Element x von M
mehr als nur einen Namen haben kann und daß nicht jedes p e TF ein
gültiger Name sein muß.
Wir geben nun einige Beispiele, die für das Folgende von Bedeutung
sind.
(1) Definiere IM: F-P durch IM(p) := IM := {i6M li+1 e ränge p}u P
M ist die AufZählungsdarstellung von P .
- 23 -
(2) Im Kapitel 2 haben wir die Homöomorphismen n*k':Fk- F (k>l),
n^-F^-F und D(M):MxF*F vorgestellt. Die Umkehrungen
17 := (n(k,)_1, n := <n(a,))-1 und n := (n**")"1 sind dieK 3N
Standard-Darstellungen von Fk , ffM und IN * F .
(3) Die im vorigen Kapitel definierten Abbildungen ip:F- [F - B ],
{p:IF-[F-F] und X:F-[IF-INl sov/ie w, co', £ und £•
sind Darstellungen.
Weitere Beispiele werden im Abschnitt 3.5 angegeben.
Hauptanliegen einer Berechenbarkeitstheorie ist es, die Effektivität
von Funktionen, Prädikaten, Mengen etc. und auch von mathematischen
Sätzen zu untersuchen. Um diese Begriffe formal zu präzisieren,
führen wir Korrespondenzen (d.h. mehrdeutige Funktionen) ein und
definieren hierfür Effektivität explizit. Die anderen Effektivitäts
begriffe ergeben sich hieraus dann direkt durch Wahl geeigneter
Korrespondenzen.
Eine Korrespondenz ist ein Tripel f = (M,M* ,P) mit PCMxM'.
Es sei definiert: dorn f := [ x g M I(3yG m' ) (x,y) ep),
rängef := {xGm' I(3xGh) (x,y) e P).
Definition ( Effektivität von Korrespondenzen )
Es seien 5, 6' Darstellungen von M bzw. M* und f = (M,M',P)
eine Korrespondenz, f heißt schwach (6,6')-t-effektiv (-c-effektiv)
genau dann, wenn es ein (berechenbares) r g [TF -IF] gibt mit
(öp , 6T(p) )GP für alle p G ö_1 dorn f .
Ist zusätzlich r(p) für alle pG ö_1(m \dom f } nicht definiert,
so heißt f (6,5')-t-effektiv (bzw. -c-effektiv).
- 24 -
Für totale Korrespondenzen (dornf = M) fallen die beiden t-(c-)Effek
tivitätsbegriffe zusammen.
Analog definiert man (6,v)-Effektivität von Korrespondenzen
f = (M,S,P) wobei v eine Numerierung der (abzählbaren) Menge S
ist. Hierzu ersetze man in der obigen Definition 6' durch v und
[TF - F ] durch [ TF - IN ]. Zum besseren Verständnis werden wir oft
"stetig" sagen anstelle von "t-effektiv" und "berechenbar" anstatt
"c-effektiv".
Ist eine Korrespondenz f= (M,M*,P) rechtseindeutig (d.h. es gilt
((x,y) gp und (x,z) g p) => y = z ), so heißt sie partielle Funktion
und wird mit " f:M—-M' " bezeichnet. Die Definition der Effektivität
ist daher unmittelbar auf Funktionen anwendbar. In diesem Spezialfall
kann sie auch durch das folgende Diagramm veranschaulicht werden.
Die Funktion ist (schwach) (6 ,6')-t-(c-)effektiv, wenn das Diagramm
für ein stetiges (bzw. berechenbares) re[iF-»F] kommutiert, d.h.
wenn f6 p = 6T(p) für alle pedomf gilt. Die zusätzliche Be
dingung an ("stark"-) effektive Korrespondenzen besagt, daß r den
Definitionsbereich von f zu respektieren hat und daß effektive
Korrespondenzen damit auch natürliche Definitionsbereiche besitzen.
Auf dieser Tatsache basiert auch die folgende Definition.
- 25 -
Definition
Es sei 6 eine Darstellung von M. Für ACm setze e := (M,TN, A*IN)
und cA:= (M,IN , {(x,0) |x£A) u {(y,1) |y£M\A] ).
(1) A heißt 6-(c-)offen gdw. eA (6,id^ )-t-(c-)effektiv ist.
(2) A heißt 6-(c-)clopen gdw. c (6,idm, ) t-(c-)effektiv ist.A JN
Man macht sich leicht klar, daß eine Menge A genau dann 6-offen
ist, wenn A = dornf für eine t6'10^ )-stetige Funktion f:M—- IN
gilt, und daß A genau dann 6-clopen ist, wenn gilt A = g-1[0}
für eine (6,id^ )-stetige totale Funktion g:M-JJ. Aus diesem
Grunde sagen wir in Anlehnung an die gewöhnliche Rekursionstheorie
meist "beweisbar" bzw. "entscheidbar" anstelle von "c-offen" bzw.
"c-clopen".
Auch die folgende Charakterisierung darstellungsoffener Mengen er
weist sich häufig als sehr nützlich.
3.1 Lemma
Es sei 6 eine Darstellung von M und AC m.
A ist 6-offen genau dann, wenn 6_1A offen in domo ist.
(Entsprechendes gilt für "clopen", "beweisbar" und "entscheidbar")
Bewei s
Aus den vorausgegangen Definitionen ergibt sich:
A 6-offen
o OreO-H]) (6p ,r(p) UAxM für pc6_1dome =6_1AA
und T(p) ist nicht definiert für pe 5_1(M\A)
« (31" iO -W ]) domr n6_1M = 6_1A
** 6 A offen in dorn6 = 6 M.
- 26 -
Wir wollen als erstes das Verhalten effektiver Korrespondenzen unter
Komposition untersuchen. Dabei ist die Komposition zweier Korrespon
denzen f = (M.,M ,P) und g = (M2,M.,Q) erklärt durch
g°f := (M1,M3,Q»P) mit Q«P = {(x^zJGM^M^I(3yGM2) (x,y)GP a (y,z)GQ}
3.2 Satz (Komposition von Korrespondenzen)
Es seien 6. Darstellungen von M (i=1,2,3).
f = (M ,M ,P) sei rechtseindeutig und (6 ,6 )-berechenbar,
g = (M2,M3,Q) sei (62,63)-berechenbar.
Dann ist auch gof (6 ,6.)-berechenbar.
Beweis
Es seien r,Ae[3F-3F] berechenbare Funktionen, welche f bzw. g berech
nen. Definiere E:= r«A. Da f rechtseindeutig ist, gilt für pcö dorn gof
(Ö.P, 6 A(p))cP und 6 A(p)c domg, also (6 p,6 E(p))e Q°P.
Für pe 6 (M \ dorn gof ) gilt dagegen
pe 6~ (M \ domf ) oder (3y c M ) ( (6 p,y) e P A y { domg )
bzw. p i dorn A oder A(p) (domT , d.h. p^domE .
Es folgt g°f ist (6 ,6 )-berechenbar mittels E.
Entsprechendes gilt wiederum für die anderen Fälle ("stetig", "schwach
berechenbar" und "schwach stetig"). Damit ist insbesondere die Kompo
sition effektiver Funktionen wieder effektiv. Für beliebige Korrespon
denzen gilt dies jedoch i.A. nicht, da dann für pGdomg-f und
(6 p,6 A(p)) GP nicht garantiert werden kann, daß 6 A(p) in domg
liegt (wobei A die Korrespondenz f berechne).
27 -
Ein ähnlicher Satz gilt auch für die Komposition einer schwach-
(ö1,ö2)-effektiven Korrespondenz f und einer schwach-(ö ,v)-
effektiven Korrespondenz g. Wegen der unterschiedlichen Defini
tionsbereiche der Funktionen aus [F - F] (Gfi-Mengen) und [F - IN ]
(offene Mengen) ist aber für den Fall der "starken" Effektivität
eine entsprechende Aussage nicht mehr richtig.
Aufgrund von Satz 3.2 besteht auch die Möglichkeit, eine Dar
stellung zu modifizieren, ohne das dies Einfluß auf die induzierte
Effektivitätstheorie hat. Diese Veränderungsmöglichkeiten v/erden
durch die bereits im vorigen Kapitel angesprochene Reduzierbarkeit
und Äquivalenz von Darstellungen ausgedrückt.
Definition ( Reduzierbarkeit von Darstellungen )
Für zwei Darstellungen 6, 6' von M bzw. M' sei definiert
5 < 6' :<> MCM' und id„ „, ist (6,6')-t-effektiv,£ M, M '
6 =fc ö' :<> 6 <fc 6' und 6' £fc 6.
Berechenbare (c-)Reduzierbarkeit "< " und Äquivalenz "= " seic ^ c
analog definiert.
Wir werden in Anlehnung an die Theorie der Numerierung an Stelle von
" idM M, ist (6,6')-effektiv " häufig auch benutzen " Es gibt ein
re[JF-IF] mit 6p = 6T(p) für alle pedomö " ( kurz "65 6'
mittels r" ). Die Äquivalenz dieser Charakterisierungen ist un
mittelbar einzusehen.
- 28 -
3.3 Lemma
Seien 6, 6' Darstellungen von M. Dann ist äquivalent
(1) 6 <c 6' ,
(2) für jede Darstellung 6 :F—-M und jedes f:M—-M gilt
f (schwach) (6 ,6 )-c-effektiv
=» f (schwach) (6 ,6')-C7effektiv,
(3) für jede Darstellung 6,:IF—-M und jedes g:M—-M gilt
g (schwach) (6',6 )-c-effektiv
=* g (schwach) (6 ,6 )-c-effektiv.
(1)=»(2), (1) •» (3) folgt direkt aus Satz 3.2 ,
(2)=»(1): Wähle <5,: =6 und f := id .1 M
id .M
Lemma 3.3 gilt für topologische Reduzierbarkeit entsprechend.
Eine unmittelbare Konsequenz ist, daß zwei Darstellungen genau dann
c- (bzw. t-)äquivalent sind, wenn sie die gleiche Berechenbarkeits-
(bzw. Stetigkeits-) Theorie auf M induzieren. Insbesondere
definieren äquivalente Darstellungen die gleichen berechenbaren
(bzw. stetigen) Funktionen und die gleichen beweisbaren und entscheid
baren (bzw. offenen und clopenen) Mengen.
- 29 -
3.4 Korollar
Es seien 6± (6|) Darstellungen von M und es gelte
6i Sc 6i U=1'2). Dann gilt
(1) eine Funktion f^—M2 ist (schwach) ^,62)-c-effektiv,
g.d.w. sie (schwach) (6J»ö^)-c-effektiv ist,
(2) eine Menge ACM1 ist 6 -c-offen (c-clopen), g.d.w. sie
6j-c-offen (bzw. c-clopen) ist.
Auch hier gilt wieder eine entsprechende topologische Variante. Wir
werden hierauf bei der Untersuchung der induzierten Darstellungen
der darstellungsoffenen bzw. -clopenen Mengen und der darstellungs
stetigen Funktionen im Abschnitt 3.3 noch einmal zurückkommen.
- 30 -
3.2 Topologische Eigenschaften von Darstellungen
In den verschiedenen Ansätzen für eine Effektivitätstheorie
auf kontinuumsmächtigen Mengen - z.B. auf reellen Zahlen (Grzegor-
czyk [11] ), auf CPO's (Scott [33] , Egli & Constable [9 ], Weihrauch
& Deil [39] ), auf den Lp-Räumen (Pour-El & Richards [30] ) und auf F.-
zeigt sich immer wieder, daß topologische Stetigkeit eine bedeutende
Rolle spielt. Aufgrund der Definitionen des vorigen Abschnitts indu
ziert jede Darstellung einer Menge M einen Stetigkeitsbegriff auf M.
Der Zusammenhang zwischen diesen Begriffen soll nun in diesem Ab
schnitt näher untersucht werden.
Dazu sei 6:TP—M eine Darstellung. Da auf F bereits eine Topo
logie erklärt ist, definiert 6 auf M eine Topologie t& durch
xex6 J*» 6" X = An dorn 6 für ein offenes ACif.
Tfi wird häufig auch als Finaltopologie von 6 bezeichnet. Nach
Lemma 3.1 besteht Tfi genau aus den 6-offenen Teilmengen von M.
Die folgenden Beispiele beschreiben die Finaltopologien einiger
Darstellungen (vgl. Abschnitt 3.1 ).
(1) Sei M die AufZählungsdarstellung von P . Für eine endliche
Menge e c in sei 0 := {xgp| ecx}.
Die Menge {0e Iec in , e endlich} bildet eine Basis von PCd
und IM ist bezüglich Tm eine offene Abbildung.
(2) Die Finaltopologien der Darstellungen IIk, n^ und n sind
genau die entsprechenden Produkttopologien von F und INk DJ
auf TF , IF und in *F . Auch diese Darstellungen sind offen.
- 31 -
(1) Man rechnet leicht nach, daß die Menge {0 | ecw, e endlich} Basise
einer Topologie t auf P ist. Für endliches ecw gilt außerdem
3M~ (0e) = U{[w] |(Viee)(3j) w(j) =i+l}eT und umgekehrt gilt für
W£W(W): M(Cw]) = 0 mit e(w):= {i£l I(3j) w(j)=i+l} . Also ist
3M stetig und offen bezüglich t und insbesondere gilt x = x .TU
(2) Folgt unmittelbar aus der Tatsache, daß n , II und II Umkehr-k » M
abbildungen von Homöomorphismen sind.
Das nächste Lemma beschreibt das Verhalten von Finaltopologien unter
topologischer Reduktion.
3.5 Lemma
Es seien 6, 6' Darstellungen von M bzw. M' mit Final
topologien t und t'. Dann gilt
6 £ 6' •» T'i :={XnM | XGT'} C T.u 'm
Beweis
Es gelte 6 S 6' mittels Tc [F * 3F] . Dann gilt für Xc M*
xex' °» 6'" X = An dorn6' für ein offenes Acf
«» 6~ (xnM) o r~ 6,-1xndom« ist offen in dorn 6
•» X nM e x.
- 32 -
Aus Lemma 3.5 folgt insbesondere, daß äquivalente Darstellungen
die gleiche Finaltopologie haben. Es sei jedoch bereits an dieser
Stelle bemerkt, daß die Umkehrung hiervon im Allgemeinen nicht gilt.
Beispiele hierfür sind die Dezimaldarstellung und die "Standard"-
Darstellung der reellen Zahlen, welche im vierten Kapitel vorge
stellt werden.
Wir haben bisher zu vorgegebenen Darstellungen die Finaltopologien
beschrieben. Häufig liegt aber genau die umgekehrte Problemstellung
vor, d.h. gegeben ist ein topologischer Raum (M,x) und gesucht
ist eine geeignete Darstellung 6, welche diesen respektiert (d.h.
t6 = x). Im Falle separabler TQ-Räume können wir hierfür eine
Standardlösung angeben. ( Ein topologischer Raum ist separabel
g.d.w. er eine abzählbare Basis besitzt; er ist ein T -Raum q.d.w.o 3
je zwei Elemente durch offene Mengen voneinander unterschieden
werden können.)
Definition ( Standard-Darstellung eines separablen T -Raumeso
)
Es sei (M,x) ein separabler TQ-Raum und U Numerierung einer
Basis B von x. Für xGM sei ey (x) := {ieIN |xg u }.
Die Darstellung ö^F M sei erklärt durch
domöy := {p I(3xGM) IM = e^x)} und
6up := e"1 TM falls pGdomö .6 heißt Standard-Darstellung von (M,x).
Da t die T -Eigenschaft besitzt, ist e„:M-P injektiv. Daherw Um
ist 6 wohldefiniert.
- 33 -
Eine Standard-Darstellung besitzt einige bemerkenswerte Eigenschaften.
3.6 Satz
Es sei &u eine Standard-Darstellung von (M,x). Dann gilt
(1) 60 ist eine stetige und offene Abbildung bezüglich x.
Insbesondere ist x die Finaltopologie von 6 ,
(2) für jeden topologischen Raum (M',x') und jede
Abbildung H:M M« gilt: H»6u stetig => H stetig,
(3) für jede stetige Funktion C:F—M gilt C £ 6•3 ^ t U'
(Man beachte, daß £ eine Darstellung von ränge £ cm ist.)
Beweis
(1) Mit den Bezeichnungen aus Beispiel (1) folgt für jede endliche Menge
ec]N: ey (0e) = {^liee} und umgekehrt ^V =°{i} für alle i-EU:M~Pu ist also steti9 und offen wie W :IF - P . Hieraus folgt (1).
(2) Sei Ho6w stetig und O'c m' offen. Dann gibt es ein offenes O c ff
mit H (0-) =^(Hfiy)"1^1) =öyi-O^ndomH. Mit Teil (1) folgt dieBehauptung.
(3) Sei C:3F—"M stetig. Dann gilt C(p)£U *»(3k) sCp^üeu fürn n
alle n tu, pe dorne . Man konstruiert nun leicht ein Ae[3F - F] mit
mA(p)= {n ' Up) €Un} =euC<P) als° C\ 6U mittels A-
Eine Konsequenz dieses Satzes ist, daß alle Standard-Darstellungen
eines separablen T0-Raumes (m,t) topologisch äquivalent sind. Dies
hat wiederum zur Folge, daß die Klasse der zu einer Standard-Dar
stellung 6XJ topologisch äquivalenten Darstellungen unabhängig vonder Wahl der Basis und der Basisnumerierung u ist.
- 34 -
Da t-äquivalente Darstellungen die gleiche Stetigkeitstheorie indu
zieren, sind für die Untersuchung von (M,t) alle zu einer Standard-
Darstellung t-äquivalenten Darstellungen geeignet.
Definition ( Zulässige Darstellung eines separablen T -Raumes )
Es sei (M,x) ein separabler T -Raum. Eine Darstellung 6:TF—-M
heißt zulässige ("t-effektive") Darstellung von (M,x), g.d.w.
6 =t 60 für eine Standard-Darstellung 6 von (M,x) gilt.
Es ist klar, daß für eine zulässige Darstellung 6 von (M,x) die
Finaltopologie genau die Topologie x ist.
Die zulässigen Darstellungen lassen sich aufgrund von Satz 3.6 wie
folgt charakterisieren.
3.7 Korollar
Sei 6 Darstellung eines separablen T -Raumes (M,x).
Dann ist äquivalent:
(1) 6 ist zulässig,
(2) 6 ist stetig und für jede stetige Abbildung £:TF—-M
gilt C St ö,
(3) 6 ist stetig und 60 £fc 6 gilt für eine Standard-
Darstellung 6y von (M,t).
- 35 -
Beispiele für zulässige Darstellungen sind:
(1) Die Aufählungsdarstellung IM von Ptd*
(2) Die Darstellungen n^TF-F*, n<x>:F - F™ und n :F-INxif.
Beweis
Durch U := 0 ist eine Numerierung einer Basis von t definiert. Wir
zeigen, daß 6 < M gilt:U c *
Per Definition gilt 6 o = e"lM = {d |ieM } für pedomö .Es seiu u p x p u
k+1 falls p(j)=i+l und keD.,r(p)<i,j,k> := ,
0 sonst
Dann ist T-.JF * ff berechenbar und es folgt 6 s m mittels rU c
Da nfc ein Homöomorphismus ist, gilt für jede stetige Abbildung £:!•—-JF^-(k)(Vpe dorne) c(p) = IL( nl 'c)(p) also es H, .
K c k
Der Beweis für II und II. verläuft ähnlich.09 Jj
Weitere Beispiele werden im Abschnitt 3.5 und im Kapitel 4 gegeben.
Natürlich gibt es auch Darstellungen separabler T -Räume, die nicht
zulässig sind. Die Dezimaldarstellung der reellen Zahlen (s. §4.1)
ist ein Beispiel hierfür.
Für zulässige Darstellungen besteht ein enger Zusammenhang zwischen
Darstellungsstetigkeit und topologischer Stetigkeit. Dies gibt Grund
zu der Annahme, daß sich für die Entwickling von Stetigkeits- und
Berechenbarkeitstheorien auf kontinuumsmächtigen Mengen zulässige
Darstellungen besonders gut eignen.
D sei die Standardnumerierung der endlichen Teilmengen von TU (s. Rogers [31] §5.6)
- 36 -
3.8 Satz ( Hauptsatz über zulässige Darstellungen )
Seien 6, 6' zulässige Darstellungen von (M,x) bzw. (M',x')
und f:M -M'. Dann gilt
(1) f (T,x')-stetig o f schwach (6,6')-stetig,
(2) [f (x,x')-stetig und domfGG^x)] - f (6,6') -stetig.
Es seien o.B.d.A. 6 und 6' Standard-Darstellungen.
(1) Sei f (t,t')-stetig und £:= fö . Dann ist £ stetig und wegen
Satz 3.6(3) folgt t. £ 6", d.h. föp = 5T(p) gilt für ein I"e[3F * F ]
und alle pedomf . Sei umgekehrt f schwach (6,6*)-stetig, d.h. es gilt
f6 = 6T für ein stetiges T.-IF—-»JF . Da 6* stetig ist, ist auch f6
stetig und nach Satz 3.6(2) auch die Funktion f.
(2) Sei f (t,t')-stetig und domfeG.(T), d.h. domf = n{0. | i e W} für
gewisse 0^ c x. Aufgrund der Stetigkeit von 6 gibt es in F offene
Mengen V^ mit domf6 = n <V± | ieN}ndom6 . Nach (1) gibt es ein stetiges
rcßF-iF] mit f6p= 6T(p) für pedomf6 . Sei nun E die Restriktion
von I* auf die Gfi-Menge fl{v. | i£M). Dann gilt EcCff-ff], f6p= 6'E(p)
für alle pedomf 6 und domE n dorn 6= domf6 . Also ist f (6,6')-stetig.
Die Umkehrung von (2) gilt in einigen Fällen ebenfalls (s. §5.2).
Wie man sieht, genügt für den Beweis von Satz 3.8 neben der Stetig
keit von 6, 6' die Eigenschaft 3.6(2) für 6 und 3.6(3) für 6'.
Damit ließe sich der Satz im Prinzip auch verallgemeinern auf
gewisse Darstellungen von Räumen, die keine separablen T -Räume sind.
Wir wollen im Rahmen dieser Arbeit hierauf jedoch nicht näher
eingehen.
- 37 -
3.3 Abschlußkonstruktionen auf Darstellungen
In diesem Abschnitt wollen wir einige Konstruktionen vorstellen,
mit denen aus vorgegebenen Darstellungen weitere Darstellungen er
zeugt werden können, und untersuchen, welche Eigenschaften der
ursprünglichen Darstellungen sich auf die neuen vererben.
Wir beginnen mit Darstellungen von Produkt- und Folgenräumen. Diese
ergeben sich nahezu kanonisch unter Verwendung von n , n und n .k » TN
Definition
Es seien 6A Darstellungen von M. (ieaj), v sei eine Numerier
ung der Menge S.
(1) Die Darstellung [6.] des Folgenraumes M xm xm x...
ist definiert durch:
<p. >. 6 dorn [6J. :«» (ViG M ) p e dorn6. ,ii ii i i
[6i]i (p^ := (60P0,6lPl ,62p ,... ).
(2) Die Darstellung [6,,..,6 ] des endlichen Produktesl n
M,x..xm ist erklärt durchl n
<P1/../Pn> Gdomlöj ,..,6n] :<> (vi,lsi«sn) p g dorn 6.
[6l,..,6n]<p1,..,pn) := (6lPr,..,6nPn).
(3) Die Darstellung [v,6] von Sxm sei definiert über
<i,p> G dorn [ v,6 ] :<* \ i G dorn v und pG domo ) ,
[v,6j]<i,p) := (vi ,6lP ).
Für einige Spezialfälle werden wir vereinfachte Schreibweisen ver
wenden. Gilt 6i = 6 für alle i, so schreiben wir kurz 6°° statt
[6 ] bzw. 6n anstelle von [6,,..,6 ]. Außerdem steht kurz•*• *• in
38 -
[v0,v1,..,vn,6] für [vQ,[v1,[ ..[ vn,6] ..]] . Ist in (3) M ein-
elementig und 6 total, so ist S xm isomorph zu S und wir
schreiben 6 :TF—-S anstelle von [v,6].
Reduzierbarkeit und Äquivalenz von Darstellungen kann unmittelbar
auf die entsprechenden Produkte übertragen werden.
3.9 Lemma
Es seien 6± (bzw. 6|) Darstellungen von M. (bzw. M!) für iGJN
und v (bzw. v') eine Numerierung von S (bzw. S'). Dann gilt
(1) <(vi,1<isn) 6. <fc 6p =» [61,..,6n] <=t [öj,..^] ,
(2) ((Vi) 6, <t 6') •> [6i]i st [6'llf
(3) (v S v' und 6Q St 6^) => [v,60] ^ [v> ,6^] .
Beweis
Es seien jeweils r± eCff * ff ], so daß 6.p=6;r (p) für pe dorn 6 und es
sei q partiell-rekursiv mit vi= v'q(i) für i e domv . Dann definiere
zu (i) r<P ,..,P > := <r (P ),..,r (P )> ,In 11 n n
(2) r<P.>i := <r.(Pi)>i ,
(3) r<i,p> := (q(i),rQ(p)> .
I" e Cf - IF] ist dann die jeweils gesuchte Reduktionsfunktion.
Aus dem Beweis ist ersichtlich, daß (1) und (3) entsprechend auch im
berechenbaren ("c") Fall gelten, während die berechenbare Version von
(2) eine in i uniforme Reduzierbarkeit ( r (p)=A<i,p> für ein be
rechenbares A) verlangt. Wir formulieren daher nur die einfachere
Version: (2') 6, <; 6! •» ö" £ 6?".1 c 1 1 c 1
- 39 -
Das nun folgende Lemma drückt das Verhalten der Finaltopologien
unter Produktbildung aus.
3.10 Lemma
Es seien 6± Darstellungen von M± mit Finaltopologien x(i gin) . Dann gilt
Tl Ä-'8Tn C T[6...,6 ] und • T± C xIn i iJi
( © bezeichne die Bildung von Produkttopologien).
Beweis
Es seien Oj, ex^ d.h. 6~1oi =U±n dorn &L für gewisse offene U. cb\ (i 6»),Da II eine offene Abbildung ist, gilt :
C61,..,6n]"1(01x..xo ) =n(nJ(6"1ox..«"1oj ist offen in dorn [6 ,..,6 ]i n n In
also 01x..x0n ext6 ^ 6 y Entsprechend ergibt sich für alle keM:1 n
0 x..xo xm xm x... £TO k-1 k k+1 '•öi^i* Hieraus folgen die Behauptungen.
Wir zeigen jetzt, daß Produktbildung zulässige Darstellungen wieder
in zulässige Darstellungen transformiert, und erhalten somit eine
erste wichtige Abschlußeigenschaft der Zulässigkeit.
3.11 Satz
Sind 6L zulässige Darstellungen von (M£ ,t ) (iGiN), so gilt
(1) I61#..,6n] ist eine zulässige Darstellung des Raumes
(M x..xm ,T,®..®x ) ,1 n 1 n
(2) [6i]L ist eine zulässige Darstellung von (xm ,®x ).
- 40 -
Insbesondere gilt in Lemma 3.10 für zulässige Darstellungen auch
die Gleichheit.
Beweis
(2) Aufgrund von Lemma 3.10 ist [6 ]. stetig. Es sei r:F—• x M einei i i i
beliebige stetige Abbildung und r :=pr.?:F—-*M. für IcN. Dann sind alle
Qi stetig und folglich gilt für alle ie3N : ? s 6 mittels einer Funk
tion I\e [F- F]. Definiere T(p):= <I\(p)>.. Dann liegt T in [ff - ff]
und für alle pedom? folgt ?(p)=(yo(P)(«.r.(p),... )=C6]r(p).
Aus Korollar 3.7 ergibt sich nun die Zulässigkeit von [6 ] .i i
(1} Analog zu (2).
Als nächstes untersuchen wir Darstellungen von (darstellungs-)
stetigen Funktionen sowie von offenen und clopenen Mengen. Diese erhält
man mit Hilfe der Darstellungen (p:TF - [TF - F ] und x:IF - [3F - IN ]
unmittelbar aus den Definitionen der Begriffe "darstellungsstetig",
"darstellungsoffen" und "darstellungsclopen" (s. §3.1).
Definition
Es seien 6 und 6' Darstellungen von M bzw. M'.
(1) Die Darstellung [6-6'] aller (6,6')-stetigen Funktionen sei
definiert durch
ip (dorn 6 ) C dorn6' und(ip (dornp
(vq,q'
([6-6'] p) (x) := 6'(p (q) für ein beliebiges qG6_1{x}.
G domo )(6q=6q* =» 6'<p (q) = 6'(p <q'),P P
- 41 -
(2) Die Darstellung u& aller 6-offenen Teilmengen von M ist
erklärt durch
pGdom&k ••** (Vq,q' Gdomö ) (6q=6q' •» x (q) = x(q') ),
(ü.p := 6 (dorn x) für pGdomco,.o Po
(3) Eine Darstellung Efi der 6-clopenen Teilmengen von M sei
definiert durch
pGdom£fi :«• ( pG domo und domo c dornx )/
£6P := (6q IX (q) = 0} für pGdomg, .
Im Abschnitt 3.1 hatten wir die Auswirkungen der Reduzierbarkeit
von Darstellungen auf die induzierte Stetigkeits- und Berechenbar
keitstheorie untersucht. Hierbei zeigte sich z.B., daß die Menge der
darstellungsstetigen Funktionen von M nach M nicht kleiner
wird, wenn man die Darstellung von M, "verkleinert" und die von M1 2
"vergrößert" (Lemma 3.3). Damit führen (c-) äquivalente Darstellungen
auch zu den gleichen stetigen (berechenbaren) Funktionen und zu den
gleichen offenen (beweisbaren) und clopenen (entscheidbaren) Mengen.
Diese Aussage läßt sich mit Hilfe der oben definierten Darstellungen
sogar effektiv (d.h. in Form einer Darstellungsreduzierbarkeit)
formulieren.
3.12 Satz
Es seien 6^, , 6| Darstellungen von M bzw. M' für i=1,2.
Dann gilt
(1)(6J *c &i und 62 Sc 6') - lö^öal *c [6J-6- ](2) (6J 5c 61 und Kt = Mj ) =» u& £c ^, und Efi f
(Man achte auf die Reihenfolge der Reduktionen.)
- 42 -
Beweis
Es seien jeweils T :F—-F berechenbar, so daß 6'p = 6 T (p) und
62q = 52F2(q) fÜr alle Pedom*J ' qedomÖ .
(1) Aufgrund des utm- und smn-Theorems gibt es ein berechenbares E:ff •» F
mit ^£(p)<q) = r2^pri(q) fÜr alle P'1€lF' Hieraus folgt für pedom[6-»6 ],xeM und qeff mit 6"q = x:
([6^6^ p)(x) =*2r2Vl<q) = 62*Z(p)(q) = tWi-'p^tPWW-(2) Mit Hilfe einer geeigneten OTM läßt sich ein Te [ff - W ] konstruieren
mit T(p,q) = xriq) für alle qedomr . Nach dem Ubersetzungslemma für x
gibt es daher ein berechenbares A:ff - F , so daß y (q)=T(p,q> = x T (q)
für alle pedomT gilt. Für p e dorn w, folgt nun A(p) e dorn w und6I 6i
-4,Ä(p) - 6; (dorn x&(p)) = ö^^dom xA(p) n dorn «j)= 6^ (dorn y ri) n 6 r (dorn 6')
= 61(dom v ) n erränge I* ) n 6 T (dorn 6!) =w p.
Also gilt w, S w,, mittels A.61 ° 61
Analog zeigt man, daß auch £, s £.. mittels A qilt.«t c 6
Auch hier gilt - wie immer - eine entsprechende topologische Version.
Aus dem vorigen Abschnitt ist bekannt, daß für eine zulässige Darstel
lung 6 die 6-offenen Mengen einen separablen T -Raum bilden. Zur
Beschreibung separabler topologischer Räume (auch ohne T -Eigenschaft)
ist auch die folgende AufZählungsdarstellung w üblich:
Sei U Numerierung einer Basis von x. Dann ist <o :F-t
definiert durch w p := u {u | iemj.
43 -
Es zeigt sich, daß für eine zulässige Darstellung 6 die Darstellung
o>6 äquivalent zu dieser "natürlichen" Darstellung ist (vgl. Satz 2.8)
3.13 Lemma
Es sei 6 eine zulässige Darstellung von (M,x) und U eine
Numerierung einer Basis von x. Dann gilt co = ü>6 "t "V
(Insbesondere sind alle AufZählungsdarstellungen u topologisch
äquivalent.)
Beweis
Es sei o.B.d.A. 6 = 6y. Da 6 stetig ist, gilt für alle pedom6 ,qeff
5p e"„q ° (3ie M )(3j) 6[p 3]c u±. Unter Verwendung des smn-Theorems kannman nun leicht ein stetiges E:F» F konstruieren, so daß für alle q eff gilt:
d0m XE(q) = *P 'Äp£uDq' alS° M6Z(q) =uuq* Umgekehrt gilt für pedomo :u^p = U{6[w] |[w] c dorn x )• Es gibt nun ein stetiges r:ff* ff mit
Mr(p) = fj '<3C«3C clom x) U c5[w] }. Da 6 eine offene Abbildung ist,folgt w„r(p) = u p für alle p e dorn <d„.
u o 6
Die Aussage von Lemma 3.13 kann man übrigens auch als eine weitere
Verallgemeinerung der Charakterisierung von rekursiv-aufzählbaren
Mengen durch Bilder total-rekursiver Funktionen (g>0) einerseits und
durch Definitionsbereiche partiell-rekursiver Funktionen (u.) anderer-
seits interpretieren. Wie man an dem Beweis ersieht, gilt die Aussage
sogar für alle Darstellungen eines separablen topologischen Raumes,
die äquivalent zu einer stetigen und offenen Darstellung sind.
- 44 -
In einer neueren Arbeit haben L.Hay und D.Miller [151 die Finaltopo
logie x der Darstellung u von x := {BCF I B offen} (vgl. §2)
charakterisiert. Eine Menge ACt ist w-offen, g.d.w. es eine ab
geschlossene Menge B C if gibt mit ü>~ A = u {C IpGß} (DabeiK (p)
ist K eine Darstellung der kompakten Teilmengen von TF und
cv/„» = tq^F IK(p)Cu } ). Es ist zu vermuten, daß x keine abzähl-*-\P) q u
bare Basis besitzt und damit kein separabler topologischer Raum ist.
Die Eigenschaft der Zulässigkeit wird sich daher wahrscheinlich i.A.
nicht auf die induzierte Darstellung der offenen Mengen vererben.
Eine weitere Möglichkeit, aus vorgegebenen Darstellungen neue
Darstellungen zu konstruieren, liefert der Reduzierbarkeitsbegriff.
Wie man aus der Definition leicht ersehen kann, bildet die Klasse
aller Darstellungen zusammen mit der Relation < (bzw. 5 ) einet c
Vorordnung, d.h. die Relation ist reflexiv und transitiv. Deshalb
sind für jede beliebige Menge X von Darstellungen die folgenden
Mengen wohldefiniert:
SupfcX := {616 ist bzgl. <fc eine kleinste obere Schranke von X} ,
InffcX := {6|6 ist bzgl. £t eine größte untere Schranke von X}
und entsprechend auch Sup X bzw. Inf X. Es ist leicht einzusehen,
daß die Mengen SuptX bzw. Inftx entweder leer sind oder aus genau
einer Äquivalenzklasse bestehen.
Wir werden nun zeigen, daß jede endliche Menge von Darstellungen
Supremum und Infimum (bezüglich £,. und S ) besitzt und daß eint c
Standardvertreter dieser Klassen effektiv gewonnen werden kann. Dazu
seien für je zwei Darstellungen 6:F—-M und 6':F—- M' die
Darstellungen 6n6':F—-MnM* und 6u6':F—-MuM* wie folgt
definiert:
- 45 -
(6 n 6') (p,q>
3.14 Satz
6 q falls p = 2q und q G dorn 6 ,
(6u6')p := ^6'q falls p= 2q+1 und qGdomö* ,
div sonst,
••[6p falls pGdomö, qGdomö* und 6p = 6'q,
div sonst.
Für beliebige Darstellungen 6 und 6' gilt
(1) 6 u6' GSupc{6,6'} CSupt{6,6'} ,
(2) 6n6' €inf {6,6'} c Inf {6,6'} .c t
Beweis
Zur Vereinfachung sei 6:= 6uö' , 6:= 6 n 6'.
(1) Es sei r(p):=2p und T'(p) :=2p+l. Dann sind I\r':ff-F berechenbar
und es gilt 6 £ 6 mittels I* und 6•S 6 mittels T•. Es sei nun 6c 1
eine Darstellung, für die 6$c 5( und 61 ^ 6j gilt mittels A bzw. A'
und E:ff---ff berechenbar mit E(2p)=r(p) und E(2p+l)=r•(p) für alle p.
Dann folgt 6(2p) =6p=61A(p) =6^1 (2p) für pedom6 und
6(2p+l) =6'p= öjA'tp) =6 E(2p+1) für pe dorn 6'.
Dies bedeutet ^sc61 also auch 6e Sup {6 ,6 •}.
6eSupt(6,6*} folgt analog und damit auch die angegebene Inklusion.
(2) 6^5 und Js^' ist direkt einzusehen. Sei 6 eine Darstellung
mit fij^ä und «1Sc6> mittels fj bzw. «'.Setze J^ (p) :=<fj (p) ,fi- (p)> .Dann ist f^ berechenbar und es folgt 6 S 6 mittels JJ und damit
lc— i
i eInfc(6,6'}. Entsprechend folgt 6elnf {6,6'}.
p=2q bedeutet: p(i)=2q(i) für alle i. Entsprechendes gilt für Worte über IN.
- 46 -
Aufgrund von Satz 3.14 nennen wir 6 u6' auch das Standardsupremum
und 6n6' das Standardinfimum von 6 und 6'.
Wir wollen nun das Verhalten von Finaltopologien unter Supremums- und
Infiraumsbildung untersuchen. Dabei verwenden wir zur Vereinfachung die
folgenden Schreibweisen:
Für zwei topologische Räume (M,x) und (M* ,t') sei
sup(x,x') := (XCMuM1 iXnMGx und XnM'Gx'} ,
inf(x,x') := Die von der Basis {XnX' | XGx, X' G x' }
erzeugte Topologie.
3.15 Lemma
Es seien 6, 6' Darstellungen von M und M' mit Finaltopo
logien x und x'. Dann gilt
(1) sup(x,x') = x(6u6l),
(2) inf(x,x') c T{4n6i).
(1) Sei Xesup(T,i'). Dann gilt S~ (XnM) = U(Cw] | we.v] n dom6 für ein
Vcw(W) und entsprechend 6' (xnM1) = U{[w] I w <= V} n dom6" mit Vcw(M)
Setze W:= {2w | we v} u {2w+l |weV'}. Dann folgt
(6u6') x= U{[w] I we W} ndom{6 u 6*) also Xex * .... Umgekehrt(6 us1) *
liefert Lemma 3.5: Xet y , => ( xnM et und XnM' et') *> Xesup(x,T').
(2) Sei Y o xnX' mit Xe t, X'a1. Dann folgt mit Lemma 3.5
{xnM',X'nM} ct also Y = xnM'nx'OM ex,, ,. .(6 n6') (6 nä')
- 47 -
Für zulässige Darstellungen gilt auch in 3.15(2) die Gleichheit, da
Zulässigkeit sich unter Infimumsbildung vererbt.
3.16 Satz
Es seien 6 und 6' zulässige Darstellungen von (M,x) und
(M',x'). Dann ist jede Darstellung fieinf {5,6'} zulässig.
Beweis
Sei 6elnft{6,6'}. Dann folgt inf(T,T')cT)S d.h. 6 ist stetig bezüglichdes separablen ^-Raumes (MnM\inf (t,!1) ). Da 6 und 6' zulässig sind,
gilt nach Korollar 3.7(2) für jede stetige Abbildung ?.-ff MnM': ^ < 6
und C Sfc 6' und damit auch c s 6. Also ist 6 zulässig.
Für das Supremum zweier zulässiger Darstellungen gilt ein Vergleich
bares Ergebnis im allgemeinen nicht, da der Raum (MuM*,sup(x,x') )
nicht notwendig ein TQ-Raum sein muß, wenn dies für (M,x) und
(M',x') erfüllt ist. Ein Gegenbeispiel hierzu liefern die Cut- •
Darstellungen p,. und p> von TR , die in Kapitel 4 vorgestellt
werden. Die Finaltopologien dieser Darstellungen (s. Satz 4.4)
x< = {(x;~) I xg mu{-o»,=o } } und T> = {(-».x) | xg TRu {-»,»} } sind
separable TQ-Räume, was für sup(x<,x>) = {0,m} jedoch nicht mehr
gilt.
- 48 -
Zum Schluß dieses Abschnitts wollen wir noch kurz eine Konstruk
tion vorstellen, die auf Darstellungen von Mengensystemen (z.B. von
P^ oder von den offenen Teilmengen von TR) anwendbar ist. Hierbei
wird eine Darstellung 6 in eine "duale" Darstellung 6C (z.B. der
abgeschlossenen Mengen in TR) überführt, welche im wesentlichen die
gleichen Eigenschaften wie 6 besitzt. Bei unseren Untersuchungen
wollen wir uns auf den Aspekt der Zulässigkeit beschränken.
3.17 Satz
Es sei M eine Familie von Teilmengen einer Menge N und 6
eine zulässige Darstellung des Raumes (M,x). Die Darstellung
6C:F Mc := {X cN |N\X GM} sei definiert durch 6cp:=N\6 p.
Dann ist 6C eine zulässige Darstellung von (Mc,xc) wobei
x° := {0C|0€t} mit 0° := {X€MC IN\X GO} .
Beweis
Offensichtlich ist mit (M,x) auch (M ,t ) ein separabler T -Raum.und für
jede Numerierung u einer Basis von t ist durch UC(i):=(u(i))C eine
Numerierung einer Basis von t definiert. Für die zugehörigen Standard-Dar
stellungen 6 :ff—M und 6 :ff-~*MC und für XeMC gilt nun:U Uc
(X«6 p)o(IMp= {i |XeüC(i)} ={i | N\XeU(i)}) o(N\X - 6^>) .Damit ist 6=6 eine Standard-Darstellung des Raumes (MC,x°).
° ucDa weiterhin für je zwei Darstellungen 6, 6* von M gilt
6 St 6' <• Or« [ff ~F])(vp edomö ) 6p <= 6T(p)
• OTe [ff -ff]) (Vpe dom6C ) 6°p = N 6T(p) = 6,Cr(p)
• 6C s 6,C
folgt aus der Zulässigkeit von 6 (6 = 6 ) auch die von 6°.
- 49 -
Mit Hilfe des Standardinfimums läßt sich aus einer zulässigen Dar
stellung 6 eines Mengensystems neben der Darstellung 6C noch eine
dritte zulässige Darstellung -nämlich 6 n6C- erzeugen. Diese stellt
diejenigen Elemente dar, die sowohl die durch 6 beschriebene Eigen
schaft als auch die hierzu duale Eigenschaft besitzen. Als ein inter
essantes Randergebnis erhält man auf diese Art E e Inf f<o ,tiic1 für6 cl 5 6J
jede beliebige Darstellung 6. Wir wollen dies jedoch hier nicht
weiter vertiefen.
- 50
3.4 Rekursionstheoretische Eigenschaften - Berechenbare Elemente
Anhand des Begriffs "fastvollständig" wollen wir nun demons
trieren, daß rekursionstheoretische Eigenschaften von Darstellungen
denen der Numerierungen in der Typ-1 Rekursionstheorie (Ershov [10])
entsprechen. Unmittelbare Konsequenzen der Fastvollständigkeit sind
auch bei uns ein Rekursionssatz und eine Variante des Satzes von Rice.
Wie immer erhalten wir jedoch eine allgemeine topologische und eine
speziellere berechenbare Version.
Definition
Eine Darstellung 6:TF—- M heißt t-(c-)fastvollständig, g.d.w. für
jedes (berechenbare) TG[f - F] ein totales (und berechenbares)
AG[F-F] existiert mit 6r(p) = 6A(p) für alle p e dorn r .
Wir geben zunächst einige Beispiele für fastvollständige Darstellungen.
(1) Die AufZählungsdarstellung IM von P ist c-fastvollständig,
(2) Die Darstellungen tp, ip und x sind c-fastvollständig.
Beweis
(1) Es sei T:ff—»ff berechenbar und T eine OTM, welche r berechnet.
Wir definieren ein berechenbares A:F-» F durch
k falls T bei Eingabe von p e F im Schritt i die
...... __ , Zahl k auf das Ausgabeband schreibt,
O sonst.
Dann gilt für p e dorn T : ränge A(p) c(ränge T(p))u{o} d.h. M = IMT(p) A(p)
- 51 -
(2) Es sei r:F ff berechenbar. Dann gibt es ein monotones y.W(Xl) *W(U)
mit r(p) =9(p) für alle pedornr. Sei 1^=y„ die universelle Funktionvon t|). Definiere E:F - B durch
E(p,q> := sup{Yu<(r(p))Ci;lfqCi:l>| i«;lg<r(p))} .Dann ist E berechenbar und für pe domT , qe F gilt E<p,q> = r <r(p),q>.
Nach dem ubersetzungslemma existiert ein berechenbares A:F - F mit
'''A(D) <q) = E<P,q> für alle P'"3€ w' insbesondere also <b = tf, fürKpl VA(P) vr(p) ruralle pe domE . Damit ist \\> fastvollständig.
Die Fastvollständigkeit der Darstellungen $ und x folgt hieraus unmittelbar.
Es ist leicht nachzurechnen, daß eine Darstellung 6:F— M fastvoll
ständig ist, wenn sie sich schreiben läßt als 6 = Ho6*, wobei
6':F M' eine fastvollständige Darstellung und H:M'—« M eine
beliebige surjektive Funktion ist. Aus diesem Grunde sind alle auf
diese Art aus IM, iP, (p und x abgeleiteten Darstellungen - insbe
sondere alle Standard-Darstellungen separabler T -Räume und die
Darstellungen [6-6'],^ und gfi U für beliebige Darstellungen 6und 6« - fastvollständig. Man beachte jedoch, daß Fastvollständigkeitsich im allgemeinen nicht auf äquivalente Darstellungen vererbt. So
sind z.B. die Darstellungen nn, n„ (Folgerung aus Satz 3.19) und die
Darstellung p der reellen Zahlen (s. §4.1) nicht fastvollständig,obwohl sie zulässig, d.h. äquivalent zu einer (fastvollständigen)
Standard-Darstellung sind. Hinreichend ist (wie bei der m-Äquivalenz
von Numerierungen) nur Äquivalenz mit Hilfe totaler Funktionen aus[ F'- F] .
- 52 -
Wie in der Theorie der Numerierungen ist Fastvollständigkeit einer
Darstellung 6 äquivalent zur Gültigkeit des Rekursionssatzes für 6.
Definition
Eine Darstellung 6:F—- M erfüllt den t-(c-)Rekursionssatz, g.d.w.
es ein totales (und berechenbares) OG[F -F] gibt,sodaß gilt
(vpGF) (p total => 6 0(p) = 6(p ß(p) .
3.18 Satz
Eine Darstellung 6:F—»M ist t-(c-)fastvollständig genau dann,
wenn sie den t-(c-)Rekursionssatz erfüllt.
Beweis
Sei 6 c-fastvollständig. Da die Funktion T:ff—- IF mit T(p) = \f> (p)P
berechenbar ist, existiert ein totales berechenbares A:IF - F mit
6A(p) = 6$ (p) falls p e dorn ip . Nach dem ubersetzungslemma gibt es ein
berechenbares E:ff-* F mit ip_, = (p A für alle pe F. Setzt man nunE(P) p
fl := AoE, so ist fl berechenbar und für totale ip folgtP
6$ fi(p) = 6$ AE(p) = 6$_, vE(p) = 6AE(p) = 60(p).P P MP)
Also erfüllt 6 den c-Rekursionssatz.
Für die Umkehrung erfülle nun 6 den c-Rekursionssatz mittels fl:ff •» F. Für
jedes berechenbare T:ff—-♦ IF gibt es nach dem Ubersetzungslemma ein berechen
bares E:ff»F mit ip (q) = T(p) für alle p,qe F. Für dieses E ist
*E ) total falls pe domT und folglich gilt 5flE(p) = 6$ «E(p> = 6T(p)
für alle pedomf . Damit hat A:= 0»E die gewünschten Eigenschaften.
- 53 -
Für fastvollständige Darstellungen sind - wie im Falle der Numerier
ungen - die Äquivalenzklassen der Namen effektiv untrennbar (vgl. §2)
3.19 Satz
Sei ö:TF h eine t-(c-)fastvollständige Darstellung und x,yeMmit x^y. Dann sind ö"1{x} und ö"1 {y} t-(c-)effektiv untrenn-bar.
Beweis
r-lr > ... ,-1Sei qe6 (x), q'c 6 (y>. Es gibt ein berechenbares IMF—• r mit
l falls x <P) = 0,
T(p) = ( q' falls x (P) = 1#P
div sonst.
Nach Satz 2.12(1} sind die Mengen A ={p |x (p) =o} und A ={p |x (p) =1}P 1 p
effektiv untrennbar. Offensichtlich gilt r(AQ)c6"i{x} und r(A)c6_1{y}.Aufgrund der Fastvollständigkeit von 6 gibt es ein berechenbares A: ff - ff
mit 6A(p) =6r(p) für alle pe domT , insbesondere also für puuA.Es1 ol"
folgt A(Ao)c6~ {x}, /KAjJcrty) Und mit Satz 2.12{2)/(3) die Behauptung.
Eine direkte Konsequenz von Satz 3.19 ist das Rice«sehe Theorem, wir
formulieren hier nur die topologische Version, da diese die berechenbare beinhaltet.
- 54 -
3.20 Korollar (Satz von Rice)
Sei 6:F—- M topologisch fastvollständig und X£m nichtleer.
Dann ist 6~ X nicht clopen in domo .
(D.h. es gibt kein äcf, A clopen mit ö-1X = Andorn6 .)
Ist 6 X clopen, so gibt es p,q c ff mit 6 X c u , 6~ (M\X) c u undP q
o) = ff\ü) . Da ü) und u nicht effektiv untrennbar sind, kann dies auchP q P q
nicht für 6 X und 6 (M\X) gelten, was aber Satz 3.19 /2.12(2) widerspricht.
Ist also ö:F—- M fastvollständig, so kann keine nichttriviale
Eigenschaft auf M relativ zu 6 mit einem immerhaltenden stetigen
Verfahren entschieden werden. Für totale Darstellungen bedeutet der
Satz von Rice sogar, daß keine nichttriviale Teilmenge von M
6-clopen ist. Diese verschärfte Version des Satzes gilt auch für
einige andere Darstellungen, z.B. für zulässige Darstellungen von IR
(mit der Standard-Topologie auf TR). Wir werden im vierten Kapitel
hierauf noch einmal zurückkommen.
Für die Berechenbarkeitstheorie auf einer dargestellten Menge M
spielen berechenbare Elemente, d.h. Elemente mit rekursiven Namen,
eine wichtige Rolle, da bei ihnen ein sinnvoller Zusammenhang zwischen
Darstellungs- und Numerierungsberechenbarkeit gewährleistet ist. Eine
kanonische Numerierung dieser Elemente ergibt sich unmittelbar aus der
vorgegebenen Darstellung und der Standard-Gödelnumerierung <p.
55 -
Definition ( Berechenbare Elemente )
Es sei 6 eine Darstellung von M.
(1) xGM heißt 6-berechenbar g.d.w. x=6p für ein rekursives p.
(2) Sei Mc 6 := {xgm| x 6-berechenbar}. Die induzierte Numerierung
vfi von Mc 6 ist definiert durch v := 6°<p.
(Liegt 6 fest, so schreiben wir kurz M anstatt M )c c,6
Da cp bekanntlich eine fastvollständige Numerierung ist, gilt dies
auch für die hieraus abgeleitete Numerierung v , d.h. für jedes
partiell-rekursive p:TN—•IN gibt es ein total-rekursives q:U .. IN
mit vßp(i) = v6q(i) für alle iG domp. Dabei ist es unbedeutend,
ob die Darstellung 6 selbst fastvollständig ist oder nicht. Eine
Konsequenz ist auch hier wieder die Gültigkeit des Rekursionssatzes
und des Satzes von Rice für jede induzierte Numerierung v (vgl. Deil
[6] §2).
In den folgenden Beispielen charakterisieren wir die berechenbaren
Elemente einiger Darstellungen.
(1) Für die AufZählungsdarstellung M:F -. P und xc P gilt:Cd tu
X ist IM-berechenbar g.d.w. X rekursiv-aufzählbar ist,
VM ist m-äquivalent zur Standardnumerierung W der rekursiv-
aufzählbaren Mengen (definiert durch W. := domtp ).
(2) Für Darstellungen 6, 6' von M bzw. M', f:M—M' und Acm gilt:
f ist [6-6']-berechenbar ~ f ist (6,6')-berechenbar,
A ist Oj-berechenbar ~ a ist 6-beweisbar,
A ist E6-berechenbar « a ist 6-entscheidbar.
- 56 -
Diese Aussagen ergeben sich unmittelbar aus den entsprechenden Defi
nitionen und aus Sätzen der klassischen Rekursionstheorie. Das zweite
Beispiel zeigt insbesondere, daß die Definition der Darstellungen
[6-6'] , co. und g. auch bezüglich Berechenbarkeit sinnvoll ist.0 o
Im Kapitel 2 ist bereits ein Zusammenhang zwischen Berechenbarkeit in
[TF-F] und Berechenbarkeit auf den rekursiven Funktionen (relativ
zu cp) untersucht worden. Die dort getroffenen Aussagen lassen sich
direkt auf Darstellungen verallgemeinern.
3.21 Lemma
Für Darstellungen 6,6" von M bzw. M', f:M • M' und ACM gilt:
(1) f (6,6')-berechenbar •* fl schwach (v. ,v., )-berechenbar,M . 0 01 c,6
(2) A 6-beweisbar •» An M . v,-beweisbar,c i o o
(3) A 6-entscheidbar •» A<~>m , v -entscheidbar.C , 0 o
Der Beweis folgt aus Lemma 2.11 und der Definition von v .
Darstellungsberechenbarkeit erzwingt also unmittelbar die Berechenbar
keit bezüglich der induzierten Numerierungen berechenbarer Elemente.
Eine berechenbare Funktion wird aufgrund des smn-Theorems allerdings
immer durch eine total-rekursive Funktion p beschrieben, d.h. der
Definitionsbereich von f wird bei der Numerierungsberechenbarkeit
im allgemeinen nicht mehr respektiert. Dies wirkt sich bei der Redu
zierbarkeit wiederum positiv aus, denn es gilt 6^6' *» v, < vfil ,
und auch Infimums- und Supremumsbeziehungen übertragen sich auf die
induzierten Numerierungen, wie man leicht nachrechnet. Insbesondere
- 57 -
definieren c-äquivalente Darstellungen die gleichen berechenbaren
Elemente und m-äquivalente Numerierungen hiervon.
Die Umkehrung der Aussagen von Lemma 3.21 läßt sich im allgemeinen
nicht mehr beweisen,* jedoch ergibt sich z.B. aus dem Satz von Myhill/Shepherdson (29], daß für bestimmte Darstellungen (z.B. von P ,CPO's
etc.) und totale Funktionen die Berechenbarkeit bezüglich induzierter
Numerierungen auch die entsprechende Darstellungsberechenbarkeit
induziert. Für metrische Räume liefert der Satz von Kreisel/Lacombe/
Shoenfield [21] (bzw. Ceitin [5]) ebenfalls gewisse Teilerfolge. Im
Rahmen dieser Arbeit wollen wir dieses Thema allerdings nicht weiter
vertiefen.
Ein Gegenbeispiel wurde 1958 von Friedberg für Funktionale auf ff geliefert( s. Rogers [31]).
- 58 -
3.5 Beispiele für Darstellungen spezieller Räume
Für Berechenbarkeitsmodelle höheren Typs werden neben dem Raum
TF der totalen arithmetischen Funktionen häufig auch andere Strukturen
als Grundlage verwandt. Hierzu zählen insbesondere P (Menae allerw
Teilmengen von IN), F (Menge der partiellen und totalen arithme
tischen Funktionen) metrische Räume und CPO's. Für diese speziellen
Räume wollen wir in diesem Abschnitt einige geeignete Darstellungen
vorstellen.
Teilmengen der natürlichen Zahlen können auf verschiedenste Arten
durch arithmetische Funktionen beschrieben werden. Schon die gewöhn
liche Rekursionstheorie verwendet für rekursive und rekursiv-aufzähl
bare Mengen die Charakterisierung durch Bild, Graph oder Nullstellen
menge einer totalen Funktion. Während durch Graphen von Funktionen nur
die sogenannten "single-valued sets" beschrieben werden können, führen
die anderen Charakterisierungen unmittelbar zu Darstellungen von P :0)
(1) Die AufZählungsdarstellung IM:F-P ist definiert durchcd
TM(p) := 3M := [ie IN | (3j) p(j) = i+1} ,
(2) Die Darstellung von P durch charakteristische Funktionen
&cf :F - P^ ist definiert durch 6 (p) := {i e IN |p(i) = O} .
Die AufZählungsdarstellung IM ist bereits häufiger vorgekommen. Wir
fassen hier noch einmal kurz ihre wichtigsten Eigenschaften zusammen.
59 -
3.22 Korollar
(1) IM ist eine zulässige Darstellung von P .u
(2) Eine Basis der Finaltopologie von IM bildet die Menge
{0 leCiN, e endlich} wobei O := [XGP lecXl.e e tu
(3) IM ist eine offene Abbildung.
(4) IM ist fastvollständig - IM erfüllt den Rekursionssatz.
(5) Ein Element von P^ ist IM-berechenbar, g.d.w. es eine
rekursiv-aufzählbare Teilmenge von TN ist. Die zugehörige
Numerierung \^:= iMoq) ist m-äquivalent zur Standard-
Numerierung W der rekursiv-aufzählbaren Mengen.
Es ist leicht einzusehen, daß 6rf und IM verschiedene Aspekte einer
Teilmenge von IN beschreiben. Wir wollen diese Tatsache ausnutzen, um
zu demonstrieren, daß Effektivität auf einer (abstrakten) Menge M
nicht von der Menge allein, sondern sehr stark von der stetig zugäng
lichen Information über die Elemente von M abhängt. Man betrachte
z.B. die beiden Fragen, ob Komplement oder abzählbare Vereinigung in
Pu effektiv ist. Eine absolute Antwort hierauf wird es nie geben
können, sondern nur eine Antwort relativ zu einer vorgegebenen Dar
stellung.
3.23 Lemma
(1) Die Abbildung U: (p )" -. p mit u(A ,A ,.. ) := yA. ist(IM ,IM)-berechenbar, aber nicht einmal schwach stetig
relativ zu 6 , •cf
(2) Die Funktion C:P - P mit <T(A) := 3N\ A ist (6 ,6 )-" <o cf ' cf
berechenbar aber nicht schwach (IM ,IM) -stetig.
- 60 -
(1) Aus der Definition von IM folgt direkt U(M <p > ) = M<p > füri i i i
alle <pi>ieff, also die (IM ,1M) - Berechenbarkeit von U.
Es sei nun angenommen, daß U(6 f(p)) = 6 ,r(p) für ein re[ff-ff] und
alle p e IF gilt. Wir wählen ein pe IF mit 0< U(6°° (p)). Dann folgt
Hp) (0) ?* 0 und wegen der Stetigkeit von r gilt r(q) (0) f 0 für alle
q£ [p ] und ein it JN. Da andererseits für alle i ein qe [p ] mit
0eU{6cf(q)) existiert (wähle q<i,0>:=0) ergibt sich ein Widerspruch.
(2) Mit r(p)(i):= l-p(i) folgt unmittelbar die (6 ^,6 _)-Berechenbarkeitet er
des Komplements. Der Beweis für die (IM, IM)-Unstetigkeit verläuft ähnlich
zum Widerspruchsbeweis aus (1). Er basiert auf der Tatsache, daß ein Operator
nicht in eindlich vielen Schritten beweisen kann, daß eine Zahl i e IN in
einer unendlichen Aufzählung nicht vorkommt.
Man macht sich übrigens leicht klar, daß die totalen (IM, IM)-berechen
baren Funktionen auf P^ genau die AufZählungsoperatoren von Rogers
([31] S.147) sind.
Mit den Konstruktionen aus Abschnitt 3.3 lassen sich aus der AufZähl
ungsdarstellung IM auch noch zwei weitere Darstellungen ableiten,
nämlich MC:IF-Pu mit IMC (p) :=IN \ IM und das Standard-InfimumIM n IMC dieser beiden Darstellungen. IMC besitzt im wesentlichen die
gleichen Eigenschaften wie IM , wobei die Finaltopologie jedoch durch
die Mengen V := {XGP | xciN\e} charakterisiert wird und diee u
1MC -berechenbaren Elemente genau die co-rekursiv-aufzählbaren Mengen
sind. Interessanter ist dagegen die Aussage des nun folgenden Lemmas.
- 61 -
3.24 Lemma
D
6 G Inf (TM ,IM )
6ef £c m und 5cf £c m ist leicht einzusehen. Da es einen berechenbaren
Operator Te[ff »ff ] gibt mit r<p,q)(i) = (o falls ieW , 1 sonst)P
für alle p,q<::i; mit IM =IMC(q) , folgtauch IM n MC S 6 .P c cf
Man sieht sofort, daß dies eine verallgemeinerte Version der Aussage
" XCin ist rekursiv, g.d.w. X und IN \ X rekursiv-aufzählbar ist"
bildet.
Eine Konsequenz von Lemma 3.24 sind die folgenden Eigenschaften von 6 .cf
3.25 Korollar
(1) 6 ist eine zulässige Darstellung.cf
(2) Die Finaltopologie von 6 besitzt die Basiscf
(u, I e,dCEJ, endlich} mit u, = (xep I dcxcu\eld,e d,e w v '
(3) Die rekursiven Mengen bilden genau die 6 -berechenbarencf
Elemente von P .
Weitere Darstellungen von P ergeben sich aus der Idee, die Teilmengen
von IN als offene bzw. abgeschlossene oder clopene Mengen (bezüglich
der diskreten Topologie auf 3N) aufzufassen. Dies führt aber nicht zu
wesentlich neuen Erkenntnissen, da die entstehenden Darstellungen
berechenbar-äquivalent zu IM bzw. 3MC oder 6 f sind.
- 62 -
II. TP :
Die Menge der partiellen Funktionen auf TN kann im Prinzip ähn
lich behandelt werden wie P , da sie sich mit den "single-valued sets'to "^
(d.h. mit Mengen S c in mit (<i,k>GS und <i,k>GS)=» j= k ) iden
tifizieren läßt. Die hierzu nötige Bijektion liefert die Abbildung
"graph" mit graph(f) = (<i,j> IiGdomf und f(i) = j}. Eine Dar
stellung öjp :F—- F ergibt sich hieraus durch:
domöjp := {pG TF !(3fG ip) Blp = graph(f)} und'JP " •" ""="~-6_ p := graph 'TM für pGdomö
IP
Man rechnet leicht nach, daß die wichtigsten Eigenschaften von IM
(Korollar 3.22) entsprechend auch für 6 gelten, d.h. es gilt
(1) 6^ ist eine zulässige Darstellung von TP und die Finaltopo
logie von 6^ wird gebildet durch die Basis
(Ue leCiN, e ist endlich und single-valued} mit
Ue = {fgd? I ec graph(f)} ,
(2) 6^, ist fastvollständig,
(3) ein Element f von F ist 6 -berechenbar, g.d.w. f partiell-
rekursiv ist, und v^ ist m-äquivalent zur Standard-Gödelnumer-ip
ierung tp.
Schließlich entsprechen die (6 ,6 )-berechenbaren Funktionen auf TPip ip
den "partiell-rekursiven Operatoren" von Rogers ([31] §9.8) bzw. den
"effektiv-berechenbaren Funktionalen" von Myhill/Shepherdson [29] .
Analog ergeben sich aus 6cf und ffl° weitere Darstellungen von TP.
Diese sind allerdings nur von geringer Bedeutung.
63 -
III. Metrische Räume
Es sei (M,d) ein vollständiger metrischer Raum, c eine abzähl
bare dichte Teilmenge von M und ß:lN—C eine Numerierung von C.
Dann ist M die Cauchy-Vervollständigung von C, d.h. alle Elemente
von M lassen sich durch Cauchy-Folgen in C beschreiben und zu
jeder Cauchy-Folge in C gehört genau ein Element von M. Dies führt
zu der folgenden Darstellung von M:
Die Cauchy-Darstellung 6C von M ist definiert durch
(Hmßp(i) falls (ßp(i)) Cauchy-Folge,
div sonst.
Diese Darstellung erweist sich jedoch als unbrauchbar für die Unter
suchung von M, da kein Name für ein Element x von M auch nur die
geringste stetig zugängliche Information über x enthält, d.h. die
Finaltopologie von 6C ist die indiskrete Topologie {0,M}. Dies ist
leicht einzusehen, wenn man bedenkt, daß zu jedem vGw(IN) und jedem
xGM ein Name P<=6C 00 existiert mit pG[v] und daß damit für
jede offene Teilmenge O von F gilt 6 (O) = M (siehe auch Satz 4.7)
Eine zusätzliche Anforderung an die Konvergenzgeschwindigkeit der
Cauchy-Folgen führt dagegen zu einem zufriedenstellenden Ergebnis.
Definition
Die normierte Cauchy-Darstellung 6„„ von M ist erklärt durchNC
dom6N(, := {p | (Vi) d(ßp(i) ,ßp(i+1)) <; 2_i} ,
6NCP := lim ßP(i) fUr Pedom6NC *
- 64 -
Bekanntlich induziert die Abstandsfunktion d auf M eine Topologie
xfl und die Mengen Bc := {xG mId(c,x) <2~j } für cGc, jG3Nbilden eine Basis von x .
d
3.26 Satz
6 ist eine zulässige Darstellung von (M,x ).
Es sei B(i .j := {xe M|d(ßifx) <2~3}. Dann ist B Numerierung einer Basisvon t und für die zugehörige Standard-Darstellung 6 gilt
dorn 6ß ={p|(3xeM) m ={<i,j> | d(ß.,x)< 2~j}} und{6ßp} =n(B(i } | <i,j> e im } für pe dorn 6 .
Zu zeigen ist 6 = 6 .NC t B
Dafür pe dorn 6NC und i, j eW gilt: 6^ eB^ }• (3k) dfß^ß )<2-i-2_k ,läßt sich leicht ein Te [ff * ff] konstruieren, so daß für pe-dom 6 gilt
NC
mT(p) " t<i'^> 'V:p,£B<i,j>} und damit auch 6ncp a6Br(p)- ES folgtfiNC st ÖB- Umgekehrt kann man ebenso leicht ein berechenbares A:ff—•IF
konstruieren mit A(p) (j) = uiC<i. j+l> eW ] für pe ff, je in . Sei nun
pe dorn6 . Dann folgt offensichtlich pe domA und d(ß ,ß 1< ?~3B A(p)(j)'0A(p)(j+l)' *
für alle je IN. Hieraus ergibt sich 6 p=6 A(p), d.h. 6 s 6 .f NC r" B c NC
Man beachte, daß an die Numerierung 0 keinerlei Effektivitätsan
forderungen gestellt wurden.
über die Darstellung 6^ induziert unser Konzept also für alle voll
ständigen metrischen Räume eine kanonische Theorie des Konstruktivis
mus. Wichtige Anwendungsbeispiele sind der Raum der reellen Zahlen
- 65 -
(siehe Kapitel 4 und 5) und die Lp-Räume (Pour-El/Richards [30] ).
Bei letzteren wird die Metrik bestimmt durch die Lp-Norm und für die
dichte abzählbare Teilmenge kann man (gleichwertig) verwenden:
Polynome der Form ^ akx mit akGtB, ngin , trigonometrische Poly
nome (mit sin(kx), cos(kx) anstatt xk), Treppenfunktionen oder
Polygonzüge. Bei Verwendung entsprechender Standard-Numerierungen
ergeben sich insgesamt vier c-äquivalente Darstellungen der Lp-Räume.
Auch eine konstruktive Maßtheorie ließe sich in diesem Rahmen ent
wickeln. So gibt es z.B. für die Menge B/N (B sei die Menge der
Borel-Mengen auf [0;1] , N die Menge der Elemente von B mit Maß 0)
eine "effektive" Darstellung mittels der folgenden Konstruktion:
Sei Vk := u{ (vffl(i);vffi(j)) |<i,j)G Dfc} n[0;1] mit
vffl<i,j,k> =-^-. Dann ist V eine effektive Numerierung einerMenge T von offenen Teilmengen von [0;1]. Durch
d(A,B) := u(A\BnB\A) (u sei daß Maß auf [0;1] ) wird auf T
eine Metrik definiert. Die Vervollständigung von T ist (im
wesentlichen) B/N. Die Konstruktion einer Darstellung von B/N
ergibt sich hieraus - über normierte Cauchy-Folgen - unmittel
bar.
IV. Stetige CPO's mit abzählbarer Basis
Zu Anfang der 70er Jahre wurden vollständige Halbordnungen (com-
plete fiartial orders) von D.Scott ([22] ,[23]) als geeignete Bereiche
vorgeschlagen, um Berechenbarkeit auf überabzählbaren Mengen zu unter
suchen. Seitdem haben mehrere Autoren diese Idee aufgegriffen und for
malisiert ( Egli/Constable [ 9], Kanda/Park [17], Smyth [35]). Eine
- 66 -
umfassende Darstellung dieses Konzepts und eine Reihe von Beispielen
findet man in dem Bericht von Weihrauch/Deil [39] . Zu den Anwendungs
beispielen zählen insbesondere CPO's für P , F und für die abge
schlossenen Intervalle auf TR (einschließlich der unendlichen Inter
valle) . Wir stellen hier kurz die wichtigsten Begriffe vor.
Es sei (D,e) eine Halbordnung. Eine Menge ACD heißt gerichtet,
g.d.w. A?0 und (Va,b G A) (3cG A) (a E c und b=c).
(D,5) heißt vollständig, g.d.w. für jede gerichtete Teilmenge
A von D das Supremum supA existiert. Eine CPO ist ein Tripel
5 := (D,s,i), wobei (D,?) eine vollständige Halbordnung und j.gd
das Minimum von D ist. Auf D ist eine zweistellige Relation
"<" (Scott [23]) definiert durch:
x<y ** (VAC D, A gerichtet) (y 5 supA =» (3aG A) x=a ). Eine
Teilmenge B von D heißt Basis der CPO 5, g.d.w. für alle
xG d die Menge ^x'-= (bG B Ib< x} gerichtet und x= supB
ist. Besitzt eine CPO eine Basis, so heißt sie stetig.
Es sei 5 eine stetige CPO mit Basis B. Dann ist auf D eine Topo
logie xD - die sogenannte Scott-Topologie - definiert durch ihre
topologische Basis {0 | b G B} , wobei für bGB 0== {xGD|b<x}
ist. Man macht sich leicht klar, daß (D,x ) ein separabler T -Raum
ist, wenn 5 eine abzählbare Basis besitzt.
Für effektive CPO's (d.h. stetige CPO's mit einer effektiven Basis
numerierung ß) haben K.Weihrauch und G.Schäfer [41] (berechenbar-)
zulässige totale Darstellungen mit Hilfe zweier Axiome beschrieben
und gezeigt, daß hierfür CPO- und Darstellungs-Berechenbarkeit über
einstimmt. Es zeigt sich, daß eine stetige Verallgemeinerung dieser
Axiome genau die (im Sinne von §3.2) zulässigen Darstellungen von
(D,x ) charakterisiert.
- 67 -
3.27 Satz
Es sei 5 eine stetige CPO mit abzählbarer Basis B und ß
eine beliebige Numerierung von B. Eine Darstellung 6:IF— D
ist zulässig bezüglich (D,xD) g.d.w. sie die folgenden zweiAxiome erfüllt.
(A1) Es gibt ein TG[F-F] mit (VpG dom.6 ) IM,, = .{ilß^öp},(A2) Es gibt ein EG [TF -F] mit der Eigenschaft
6E(p) = sup ß(mp) falls {ßi IiG Mp} gerichtet ist.
Insbesondere ist eine Darstellung genau dann zulässig, wenn sie
t-zulässig im Sinne von Weihrauch/Schäfer [41] ist.
Beweis
Sei 0^= {xeD |ß±< x}. Dann ist o Numerierung einer Basis von t und
die zugehörige Standard-Darstellung 6 erfüllt:
dom6Q ={p |(3xe D) IMp= {i |ßi< x}} und 6^= sup ßW falls pe dom6 .
Hieraus ist unmittelbar zu entnehmen, daß eine Darstellung 6:IF—*D das
Axiom (AI) genau dann erfüllt, wenn 6 S 6 gilt. Ebenso folgt direkt, daß
die Gültigkeit von (A2) für eine Darstellung 6 von D impliziert 6 s 6.
Es gelte nun 6Q Sfc 6 mittels Ae[ff* ff]. Da für jede gerichtete Menge
ßmp gilt ßi< supßmp <» (3j emp) ßi< ß3 *,gibt es ein totales SJe[ff -. ff]mit m«(p) ={i 'ßi< supßIMp) -insbesondere also 6Qfl(p) =supßM - fallsßlM gerichtet ist. Damit genügt 6 dem Axiom (A2) mit E:=A»n.
Für eine stetige CPO D mit Basis B gilt nach Scott [33]:
*istXcD gerichtet, so gilt y<supX<» (3xeX) y<x.
- 68 -
Aus dem Beweis folgt sogar für jede Darstellung 6:F • D
6 5 6 o 6 erfüllt (A1) (6 ist "analysierbar"),
6Q <fc 6 *> 6 erfüllt (A2) (6 ist "synthetisierbar").
Bemerkenswert ist, daß damit die Axiome (A1) und (A2) unabhängig von
der Wahl der Basis und ihrer Numerierung ß sind. Dies ändert sich
natürlich, wenn man zu der berechenbaren Version der Axiome übergeht,
da eine Numerierung und ihre Effektivitätseigenschaften die induzierte
Berechenbarkeitstheorie sehr stark beeinflußt (s. Kanda/Park [17]) .
Jedoch lassen sich durch zusätzliche Anforderungen an S auch ge
wisse Normalformen berechenbar zulässiger Darstellungen von CPO's
entwickeln. Näheres hierzu findet man in den Untersuchungen effektiver
CPO's durch Weihrauch und Schäfer 141].
- 69 -
Darstellungen in der konstruktiven Analysis
4.1 Darstellungen der reellen Zahlen
In der Vergangenheit wurden viele verschiedene Darstellungen
der reellen Zahlen im Hinblick auf ihren Nutzen für die rekursive
Analysis untersucht (siehe z.B. Turing [37], Specker [36 ] ,Grzegor-
czyk [11], Hauck [12], Ko [19] und Deil [ 6 ]).
Wir wollen in diesem Abschnitt einige typische Beispiele für Dar
stellungen von IR vorstellen: die (uneingeschränkte) Cauchy-Dar
stellung, die normierte Cauchy-Darstellung, die Dezimal-Darstellung
und die Darstellungen durch Aufzählung oder charakteristische Funk
tionen von Schnitten. Diese Darstellungen wurden bisher meist nur
in bezug auf Berechenbarkeitsaspekte miteinander verglichen. Hier
soll nun gezeigt werden, daß die wesentlichen Unterschiede dieser
Darstellungen bereits auf topologischen Gründen basieren und damit
nicht von der Church'sehen These oder irgendeinem Berechenbarkeits-
mode11 abhängen.
Auf der Menge IR der reellen Zahlen ist die Standard-Topologie t
definiert durch die Basis {(x;y) I x,y G (ß, x<y} der offenen Inter
valle in IR mit rationalen Endpunkten. Bekanntlich bildet der Raum
(IR ,x ) einen separablen T -Raum und besitzt damit auch zulässige
Darstellungen, durch die Stetigkeit auf IR hinreichend beschrieben
werden kann. Wir werden nun explizit eine zulässige Standard-Dar
stellung p von IR definieren, die sich auch für eine sinnvolle
Berechenbarkeits- und Komplex!tätstheorie auf IR eignet.
- 71 -
Hierzu sei für nG * V= ^.j-n, mejz} und ^.„y^, n€]N} dieMenge der dyadischen Rationalzahlen. 0>D kann numeriert werden durchv<i,j,k> := (i-j)-2~k. Es sei vD eine bijektive Numerierung von ffl ,die (m-)äquivalent zu v ist. Eine Numerierung I von offenen In
tervallen mit dyadischen Randpunkten sei definiert durch
^i.k) := 1<i'k> := (vD(i)-2-k;vD(i)+2-k).Man sieht sofort, daß fflD dicht in IR liegt und daß I Numerierungeiner Basis von xR ist. Die Numerierungen vß und I sind in einemgewissen Sinne effektiv, da alle grundlegenden Funktionen (bzw. Prä
dikate) berechenbar (bzw. entscheidbar) bezüglich vD und Isind.Nach Abschnitt 3.2 induziert I eine zulässige Darstellung 6des separablen TQ-Raumes (IR ,T ) durch
dom6x := {p | (3x6 IR) M = {j |xGI.} } undp 3
6jP := das XGIR mit {x} = n{Ij ,jeM } für pGdomö .Ebenso induziert nach Abschnitt 3.5 die Numerierung v eine zu
lässige normierte Cauchy-Darstellung des separablen metrischen Raumes
(3R ,1 I). Eine leichte Modifikation dieser Darstellung führt zu derfolgenden Definition.
Definition
Die Standard-Darstellung p von B ist definiert durch
domp := {p|(vk) (vQp(k) g^ a|vDp(k)-v p(k+1) |<2~{k+1)) },und pp := lim vDp(n) für pG domp .
Die Elemente des Definitionsbereiches von p lassen sich als Namen
für normierte Cauchy-Folgen auffassen. Dies wird in dem folgenden
- 72 -
Diagramm veranschaulicht. Jeder Name pG domp entspricht hierin
einem unendlichen absteigenden Pfad und umgekehrt gehört zu jedem
absteigenden Pfad genau ein pG domp .
Man sieht unmittelbar, daß für jedes x G ir die Menge der gegen x
konvergierenden Pfade einen endlich verzweigten Baum bildet. Diese
Aussage wird ausgedrückt im Teil (3) des folgenden Satzes, der die
wichtigsten Eigenschaften von p zusammenfasst.
4.1 Satz
, insbesondere ist p zulässig .
(2) domp ist c-abgeschlossen (d.h. F\ domp ist beweisbar).
(3) p K ist kompakt für jede kompakte Teilmenge K von IR
- 73 -
(1) Es gibt ein berechenbares T:F F, so daß für alle pedomp giltMr(P) ={J '<3i> CvD(i)-2-i;vD(i)+2-i]cI.} ={j, pp£y ^ damitPP = 6jr{p). umgekehrt lässt sich mit Hilfe einer Orakel-Turing-Maschine
ein berechenbares A: F-- F konstruieren mit der Eigenschaft:
Für alle pedomöj gilt A(p) edomp und für alle n gibt es ein
jeMp mit Ijc[vDA(p)(n)-2-n;vDA(p)(n)+2-n] ,also ^(p) =pA(p).(Man beachte, daß für pedorn «^ ,neK immer ein Intervall I mit
jeMp ,mit Durchmesser 2~n und mit xeI. existiert.)
(2) Per Definition gilt
IF \domp = U{[a ..a ]| v a *(ß v |v a -v a I> 2~n}o n D n T*n ' D n-1 D n' ' *
Damit ist domp c-abgeschlossen.
(3) Sei K eine kompakte Teilmenge von *. Es ist zu zeigen, daß p-1K
abgeschlossen und wachstums-beschränkt (d.h. es gilt p(n) Sq(n) für
alle pep-1K, neIN und ein festes qeff ) ist 2). Da p als zulässigeDarstellung insbesondere stetig ist, überträgt sich die Abgeschlossen
heit von K unmittelbar auf p_1K. Weiterhin ist K beschränkt in IR ,d.h. es gibt ein n eIN mit Kc [l-n;n-l] c m . Definiere q e ff durch
q(i) := max{j| vD(j)n ffiic[-n;n] } . Dann ist q eine Wachstumsschranke
für p K und damit ist p_1R kompakt.
Die Definitionsbereiche der Darstellungen p und 6X sind auch imBezug auf Berechenbarkeit sehr einfach, da die Mengen S und S
p l
mit Sp= {i| [v^i)] n domp ? 0 } und S^ {i| [^(i)] ndorn 6J. j* 0}entscheidbar sind. Zwei weitere Eigenschaften von p sind für technische Beweise von Bedeutung.
- 74 -
4.2 Lemma
(1) Sei p':F—-F» definiert durch
domp' := {pedompl(vn) lvDp(n) - vDp(n+2) |<2~(n+1'} ,p' p : = p p für p g dorn p' .
Dann gilt p = p?.c
(2) Für xG IR , pG domp , ie M gilt
|x - vDp(i) I<2~L o OqeP_1{x}) pLLl = qCi].
Beweis
(1) p's p gilt mittels der Identität auf ff. Für die Umkehrung definiere
E: F-* ff durch
(P(n)
min (i|v
falls v_p(n+3)e QE(p)(n) := { f n"1'
JD{i)eQnA IVpdJ-VpPtn+SJlS 2 vnT1'} sonst.
Dann ist E berechenbar und es gilt für alle pe domp , ne XI
und |vDE(p)(n)-VDE(P)(n+2)IS 2~{n+1) und|vD5:(p)(n)-vDE(p)(n+l)U2"(n+1) , also E(p)edomp'. 3)
Weiterhin gilt |v E(p)(n)-v p(n)|< 2~n für alle pedomp und damit
insbesondere p'E(p) = lim v E(p)(n) = pp .
(2) Folgt direkt aus |x-v p(i) |ä 2~X <> xep[p ].
Da p zulässig ist, gilt dies natürlich auch für die Produktdarstel
lungen pn von TRn und p™ der unendlichen Folgen in IR . Eine
unmittelbare Folgerung hieraus ist das Rice'sehe Theorem für pn.
4.3 Korollar (Satz von Rice)
Sei X c IR eine nichtleere Menge.
Dann ist (p ) X nicht entscheidbar und nicht abgeschlossen.
- 75 -
In diesem Fall ist der Satz von Rice nichts anderes als die wohlbe
kannte Tatsache, daß lRn keine nichttrivialen Teilmengen besitzt,
die zugleich offen und abgeschlossen sind. Dies hat zur Folge, daß
man in IRn auch keine nichttrivialen Eigenschaften entscheiden kann.
So gibt es z.B. kein berechenbares r:F—F (nicht einmal ein ste
tiges) mit T<p,q> = ( 0 falls pp =pq, 1 sonst). Gleiches gilt auch
für die Eigenschaft pp<pq. Allerdings ist die Menge {(x,y)| x< y}
p-beweisbar, was für {(x,y)| x< y} schon nicht mehr gilt. Man beachte,
daß der Satz von Rice bereits aufgrund topologischer Eigenschaften
der Darstellung p Gültigkeit hat, während Berechenbarkeitsargumente
hierfür keine Rolle spielen (p ist z.B. auch nicht fastvollständig,
da p {5} und p" {-5} effektiv trennbar sind). Gleiches gilt auch
für die meisten in der Literatur gebäuchlichen Darstellungen, da diese
(c-) äquivalent zu p sind. Beispiele hierfür sind die folgenden
Darstellungen (vgl. Deil [ 6]):
(1) Die von der polnischen Schule der rekursiven Analysis (Grzegor-
czyk [11]) verwandte Darstellung 6 :F-—«IR mit
6pq -x» (vn) IVQp(n) _ I < 1n+1 A| " n+1
(Dabei sei v eine "effektive" Numerierung der rationalen Zahlen)
(2) Die Intervalldarstellung ö^jtP—-TR (Weihrauch/Deil [39] ) mit
<p,q> Gdom &L:1 «»Die Folge (|vfflp(k) ;v q(k)] )fc ^ bildet eine
Intervallschachtelung,
6Q,]<P/q> := ^ vfflp(k) für <p,q>Gdomö, .
(3) Die Intervalldarstellungen 6( ,6 , und & mit offenen bzw.
halboffenen Intervallen.
- 76 -
(4) Die Darstellung 6 durch normierte Cauchy-Folgen in ffl mitNC
dorn 6NC := {p I(Vi) lvÄp(i) - v9p(i+1) l< -^6 pNC *
:= lim v p(i) für pe dorn 6. Q> NC
und
In der konstruktiven und rekursiven Analysis werden wir fast aus
schließlich auf p bzw. äquivalente Darstellungen zurückgreifen.
Von Interesse sind auch die folgenden zwei Darstellungen, welche
durch Aufzählung von links- bzw. rechtsseitigen Dedekind-Schnitten
entstehen.
Definition
Darstellungen p
domp
domp
P. P
und von IR seien definiert durch
= {p I v W ist nach oben beschränkt }
= sup v Mr D
= {p | v M ist nach unten beschränkt }
= inf v MD
für p£ domp
für p e dorn p
p^ ist die linksseitige, p? die rechtsseitige Darstellung der reellen
Zahlen. Beide Darstellungen sind zulässig bezüglich ihrer Finaltopologien.
4.4 Satz
Es seien x und x. die Finaltopologien von p bzw. p .
(1) T< = {(x;») | xGJRu {-«,»} }, x> = {(-»;x) | xeEu {-»,»} }.
(2) Durch üt := ( vD(i);°° ), V£ := ( -°°,vD(i) ) seien Numer
ierungen einer Basis von x bzw. x definiert.
Dann gilt 6 = p und 6 5pu c < v c >
Insbesondere sind p und p zulässig.
- 77 -
Beweis
Wir betrachten nur p< , da der Beweis für p analog verläuft.
Aus der Definition von 6 folgt:
dorn 6o ={p |(3x£K) Mp= {j| VQ(j)< x}} = domP< und insbesondere
•S..P = P, P für alle p £dorn S„ , d.h. 6 £ p .u < U U c <
Umgekehrt gibt es ein berechenbares T: IF - F, so daß für p e dorn p gilt
Mr(p) = li ' (3i) vd(J> KvDP(i)J = ^3 IP^«",} und somit p< p=<5 r(p).Damit ist (2) bewiesen. (1) folgt aus (2), da 6 eine Standarddarstellung
von (K,t ) ist.
Der folgende Satz beschreibt die Relationen zwischen p , ps und p
4.5 Satz
(1) p e Infc{p</P>} .
(2) P< *t P ' P> *t P.(3) p< und p> sind bezüglich topologischer Reduzierbarkeit
unvergleichbar.
Beweis
(1) Es gibt ein berechenbares T: T - F, so daB für alle p £F , i £W gilt
vDr(p)U) = vDP(i) - 2 . Es folgt p<cP< mittels r. Analog zeigt man p<
Es sei nun 6 das Standardinfimum von p und p (Satz 3.14). Dann gilt
dorn 6= {<p,q> |pedomp< ,qedomp^ , pp= pq} und 6(p,q> = pp für
<P»q> edorn 6 . Es gibt nun eine berechenbare Funktion A: F—-*F mit
A<p,q>(n) = min{i|v (i)effln a (3j)(v d(j)e[v (i)-2_i;v (i)] )
A (3k)(vDq(k)£[vD(i)1-vD(i)+2~i] )} für <p,q)edom6Also gilt 6s p und damit die Behauptung.
- 78 -
c >
(2) und (3) folgen auu Lemma 3.5 und der Charakterisierung der Finaltopo-
logien von p, p und p .
Bei einer vorgegebenen Darstellung 6: IF—-M kann man sich fragen,
welche Informationen über ein x e M man in endlich vielen Schritten
aus einem 6-Namen p für x erhalten kann. Im Falle der Darstellung
M : IF - P ist z.B. jedes nGW stetig zugänglich aus dem Namen p
aber nicht ein einziges m<fc IM . Formalisiert bedeutet dies:P
Die Menge M+ := {(n,A) G BJxp^ | n6A) ist [id^ ,IM] -beweisbar aber
nicht [id^ ,IM] -clopen. Aufgrund von Korollar 3.7 lassen sich
zulässige Darstellungen - bis auf Äquivalenz - eindeutig durch
dieses Konzept der stetig zugänglichen Information charakterisieren.
Für die bisher vorgestellten Darstellungen von TR ergibt sich dabei
folgendes.
4.6 Lemma
(1) p< ist die größte Darstellung 6 von IR , für die
M< := {(d,x) GQ^x ir | d<x } l vD,6] -(c-)offen ist.
(2) p? ist die größte Darstellung 6 von IR , für die
M> := {(d,x) G^x m | d>x} [vD,6] -(c-)offen ist
(3) p ist die größte Darstellung 6 von B , für die
sowohl M^ als auch M lvD,5]-(c-)offen ist.
Man beachte, daß der Begriff "größte Darstellung" nur bis auf
t-(c-)Äquivalenz eindeutig ist.
- 79 -
Beweis
Nach Lemma 3.7 ist eine Darstellung & von (M,t) genau dann zulässig, wenn
sie die größte stetige Darstellung von (M,t) ist. Für eine Numerierung U
einer Basis B von t und eine Darstellung «5 von (M,t) gilt nach Lemma 3.5
6 ist stetig « 6 Sfc 6y «» {(b,x)e Bxm | xeB} ist [u,<S]-offen.
Mit den Basisnumerierungen aus Satz 4.4 folgt nun (1) und (2). Punkt (3) er
gibt sich hieraus mit Satz 4.5(1).
Wir wollen nun einige gebräuchliche Darstellungen diskutieren, die
bereits aus rein topologischen Gründen für die konstruktive Analysis
auf (IR,x ) unbrauchbar sind.
Die erste Darstellung dieser Art ist die uneigeschränkte Cauchy-Dar-
stellung (vgl. Abschnitt 3.5 - metrische Räume).
4.7 Satz (Cauchy-Darstellung)
Für die Cauchy-Darstellung 6 : IF—-IR mit
dom6c= {p I (vDP(i))i€jN ist eine Cauchy-Folge } und
6cp = lim vDp(i)
gilt
(1) die Finaltopologie t von ö ist trivial, d.h. t = {0,IR},
<2> P< Sc 6C ' P> *c 6C'
(3) 6c *t p< ' 6c *t p>' 6c *t p'
- 80 -
Beweis
(1) Sei XcB nichtleer und t -offen, d.h. es gibt ein AcW(U), A?«0 mit
6 X = { Cw] |w£ A } dorn 6 . Da für alle w e A, y c TR immer ein p« 6 {y}
mit p e[w] existiert (eine Cauchy-Folge kann beliebig spät konvergieren),
folgt X = R also x = {0,R }.
(2) Zeigt man durch Programmierung geeigneter Reduktionsfunktionen (Deil [6] )
(3) Folgt aus der Charakterisierung der entsprechenden Finaltopologien.
Die Darstellung 6 besitzt also die Eigenschaft, daß keine Infor
mation über eine reelle Zahl stetig zugänglich aus ihrem Namen
p Gdorn6 ist, denn ein Anfangsstück einer Cauchy-Folge liefert noch
keinerlei Information über ihren Grenzwert. 6 ist damit natürlichc
auch nicht zulässig. Aus diesem Grunde kann der Satz über die Charak
terisierung darstellungsstetiger Funktionen (3.8) auf 6 nicht an-C
gewandt werden. Stetigkeit relativ zur uneingeschränkten Cauchy-
Darstellung ist bis jetzt noch nicht voll verstanden. Zwar läßt sich
zeigen, daß jede (p,p)-stetige Funktion auch (6 ,6 )-stetig ist,
jedoch ist es nicht klar, ob die Umkehrung ebenfalls gilt.
Eine der häufigst benutzten Darstellungen der reellen Zahlen
ist die r-adische Darstellung ( rä2, oft r = 2,8 oder 10 ).
Bekanntlich liegen die endlichen r-adischen Brüche dicht in IR und
lassen sich daher als Approximationen für reelle Zahlen verwenden
(z.B ffl für r = 2 ). Die unendlichen r-adischen Brüche dagegen
sind für die Darstellung reeller Zahlen nicht sonderlich gut geeignet.
Wir wollen das hier am Beispiel r = 10 demonstrieren. Der allgemeine
Fall, kann ähnlich behandelt werden.
- 81 -
4.8 Satz ( Dezimal - Darstellung )
Die Dezimal-Darstellung &DBZ'- E"—"3R sei definiert durch
dorn 6DEZ:= {pl (Viä2) p(i) < 10} ,
*na P := <"1)P(0) *z P<i)'10-(i-l).i>0
Es gilt dann
(1) die Finaltopologie von 6^ ist die Standardtopologie auf IR,
(2) die Abbildung f := xt*3x ist nicht (6 ,6 )-stetig,DEZ DEZ
(3) 6DEZ ist nicht zulässig,
(4) 6DEZ SC P ' P *t 6DEZ '
Beweis
(1) Der Nachweis 6 s p ist eine einfache Programmierübung (s. Deil [6 ])
Damit folgt t^c t^^. sei nun xcj 6DE2_offen "«<* x£ X. Falls x kein
endlicher Dezimalbruch ist, so gibt es ein p£6"1 {x} mit p £ (wOOO...),
5DEZ steti9 (bezüglich T^DEZ
PI« (w999...) für alle weW(]N). Da 6 stetig (bezüglich T ) ist,
gibt es ein n mit 6DEZCP ]<=*• Aufgrund der Voraussetzungen an p ist
diese Menge eine (t^) -Umgebung von x. Ist x dagegen ein endlicher Dezi
malbruch, so gilt x = 6 p = 6 q für gewisse p,q£F mit p(i) = 0,iJCäCä DEZ
q(i) =9 für fast alle i. Wieder gibt es ein n mit 6 CpCn]] ex .Cn] DÖDEZ[q "]CX Und die Menge 6DEZ( tPCn]]u[qCn3]) ist eine TR -Umgebung
von x. Damit.besitzt jedes x eX eine Umgebung in X , d.h. xct
(2) Es sei angenommen: 6DEzr(P) =3-<SDEZP fflr ein r:IF—»IF und alle
pedom fiDEz. zwei Folgen (pn> und (q ) in F seien definiert durch
Pn :«= (0033^3300... ), q^ != (0033. .3400... ).
n^Jfi n-malDann gilt r(pn) = (0099..9900... ), r(q ) «. (0100?To200... )
für alle n. Dies bedeuted lim T(p )/ lim T(q ) obwohl lim p = lim q" " n n
ist. T kann also nicht stetig sein.
- 82 -
(3) Folgt direkt aus (2) mit Satz 3.8.
(4) £ £ p ist bereits bekannt, p £ £ widerspricht wegen (3) derDEZ C t Uuu
Zulässigkeit von p .
Es sei 6 die r-adische Darstellung ( r ä 2 ). Aus der Arbeit von
Deil [ 6] ist bekannt, daß 6 £ 6 genau dann gilt, wenn r eine
Potenz von s teilt. Auch hier beruht die Negativaussage bereits auf
rein topologischen Ursachen (z.B. Satz 4.8(2) ). Zwar ist, wie wir
gesehen haben, die Finaltopologie von 6 gerade die Standard-Topo-
logie auf IR , jedoch sind viele für die Analysis wichtige (stetige)
Funktionen nicht berechenbar, ja nicht einmal stetig relativ zu 6 .
Die r-adischen Darstellungen eignen sich daher nicht für eine kon
struktive Analysis.
Eine weitere Darstellung von IR ergibt sich durch charakteristische
Funktionen von Dedekind-Schnitten.
4.9 Satz ( Schnitt - Darstellung )
Es sei scm dicht (bezüglich Tp), v:IN -S eine Numerierung.
Die linksseitige Schnitt-Darstellung von IR (bezüglich v )
ist definiert durch:
dorn ö := (p |(3xe R ) (vi) p(i)=0 «• v < x } ,Lv i
6LvP := sup {v1lp(i)=0 )
6 ist zulässig und die Finaltopologie von 6T„ besitzt dieLv LV
Basis B := {(x;y) | x,yGS und x < y} .
Entsprechendes gilt für die rechtsseitige Schnitt-Darstellung °Rv-
- 83 -
Offensichtlich ist B Basis einer Topologie t auf R . Es sei
U(i,j> := ((vi;vj] falls vi Svj' ^ sonst) und £ die durch Uinduzierte Darstellung von (IR ,t ). Dann gilt
dorn £y •> {p |(3x£ R) M = {<i,j> |v. < x <Sv.} } undP i j
£„P ist das einzige Element x von D{(v. ;v.] |(i,j)eM } .i 3 p
Es gibt berechenbare Funktionen r, A:IF —. f, so daß für pedomfi , qedomfiLV
9ilt: ( <i»j> + 1 falls p(i)=o, p(j)A) ,T(p)<i,j>
( <i,j> + 1
i:
sonst
falls (3j) <i,j>e M ,A(q)(i) = l <J
falls (3j) <j,i>e M .q
Es folgt £ S fi mittels T und 6 s fiT mittels A. Also ist £ijv c u U c Lv Lv
zulässig und hat t als Finaltopologie.
Die Finaltopologie x von 6Lv ist damit feiner als die Standard-
Topologie TjR, denn die Mengen (x;y] mit x,yes, x<y liegen
nicht in xR . Man sieht leicht, daß x stark von der Wahl der
dichten Menge S abhängt. Daher liefern z.B. S = (fi und S = (D1 2 D
keine äquivalenten Schnitt-Darstellungen. Aufgrund der Zulässigkeit
VOn 5lv hän9fc die von 6L induzierte Stetigkeitstheorie zwar
nicht von der speziellen Numerierung v der Menge S ab, wohl aber
von der speziellen Wahl der dichten Menge S. Eine Darstellung, die
so empfindlich gegenüber relativ unbedeutenden Änderungen ist, kann
nicht sinnvoll sein. Man beachte an dieser Stelle, daß man an Stelle
von p, p< und p> immer t-äquivalente Darstellungen erhält, wenn
man in den entsprechenden Definitionen vQ durch irgendeine beliebige
Numerierung einer - bezüglich x^- dichten Teilmenge von IR ersetzt.
- 84 -
In einer neueren Arbeit hat K.Skandalis (34] eine bijektive Dar
stellung von H definiert, die berechenbar äquivalent zu einer rechts
seitigen Schnitt-Darstellung ist, und dabei eine effektive Numerierung
einer Teilmenge ffl' von ffi verwandt. Durch Satz 4.9 wissen wir nun,
daß die Finaltopologie dieser Darstellung von QT abhängt und daß
die Darstellung deshalb nicht sehr natürlich ist.
Es sei 6„D die Kettenbruchdarstellung von IR (siehe Deil [ 6 ] )KB
Dann gilt 6„_ e Inf {6,6 } für eine Standardnumerierung v derKB c LV Rv
rationalen Zahlen. Nach Satz 3.16 ist 6 also zulässig und die
Finaltopologie von 6 hat die Basis { [a;b] | a,bG Q)} , d.h. auch
sie ist abhängig von der dichten Teilmenge Q von H .
Für die Darstellung 6 von IR durch Faktoriellen-Folgen
(siehe Deil [ 6 l ) gilt 6„„ ^ 6^„ und 6r < 6 , 6^ £ 6FF c DEZ Lv c FF Rv c FF
( v wie oben). Damit besitzt 6 zwar die Standard-Topologie
als Finaltopologie (3.16), ist aber nicht zulässig.
Wir beenden diesen Abschnitt mit einigen Bemerkungen über
berechenbare reelle Zahlen. Aus Kapitel 3.4 ist bekannt, daß jede
Darstellung 6:F —«M eine Numerierung v. der 6-berechenbaren Ele-£
mente von M induziert durch v := 6tp. Dabei definieren nichtäqui-£
valente Darstellungen im Allgemeinen auch verschiedene Klassen be
rechenbarer Elemente. Es kann jedoch gezeigt werden, daß die Dar
stellungen p, 6 , 6 , 6 , 6 (wobei v eine effektive Numer-DEZ FF KV Lv
ierung von <D sei) und 6 die gleich Art berechenbarer Zahlen
erzeugen, obwohl die induzierten Numerierungen nicht äquivalent sind
(siehe z.B. Deil [ 6] ). Die p-berechenbaren Zahlen werden daher
meist allgemein "berechenbare reelle Zahlen" genannt. Die Darstel
lungen p und o., erzeugen dagegen eine andere Klasse berechenbarer
Elemente, die üblicherweise als links- bzw. rechtsrekursive reelle
Zahlen bezeichnet werden. Diese drei Zahlenklassen und die
- 85 -
entsprechenden aus p, P< und P> abgeleiteten Numerierungen sindfür die rekursive Analysis von besonderem Interesse.
Definition
Es sei n :=P<P , n< := P<0> und n> := P^. 3Rc := rangen
(]R<c := ran<3er\< , lR>c := ränger\> ) ist die Menge der berechenbaren(links- / rechtsberechenbaren) reellen Zahlen.
Das folgende Lemma beschreibt die Relation zwischc n, n< und r\>
4.10 Lemma
D
(1) nGmfc {1^,1^3
(2) 3Rc= nR<cnIR>c, IR<c(fjR>c, IR>cCflR<(
(1) Folgt aus p £ Inf (p ,p } und Lemma 3.21.c < >
(2) Sei K eine rekursiv-aufzählbare aber nichtrekursive Teilmenge von IN .
Dann ist xR := ^ 2x linksrekursiv aber keine berechenbare reelle Zahl 4)
Entsprechend folgt "*K £*<c \ K, .Mit (1) folgt hieraus die Behauptung.
Da n fastvollständig ist, gilt der Satz von Rice für berechenbare
reelle Zahlen, d.h. auch auf IRc ist keine nichttriviale Eigenschaft(relativ zu n) entscheidbar.
- 86 -
4.2 Darstellungen offener und abgeschlossener Teilmengen von IR
Die Menge aller Teilmengen von IR ist mächtiger als IF und
kann daher nicht durch Darstellungen beschrieben werden. Einige Aus
sagen der klassischen Analysis lassen sich aus diesem Grunde auch
nicht konstruktiv mit dem Darstellungskonzept formulieren. Hierzu
zählen z.B. Sätze wie "Jede beschränkte Teilmenge von IR besitzt
eine kleinste obere Schranke", da auch die Menge der beschränkten
Teilmengen von IR zu reichhaltig ist. Häufig kann man jedoch effek
tive Versionen klassischer Sätze beweisen oder zeigen, daß eine kon
struktive Version nicht gelten kann. Zuweilen gibt es sogar verschie
dene effektive Formulierungen desselben Satzes, die abhängig sind von
der jeweils zugänglichen Information über das betreffende Objekt, also
von der Darstellung. Wir werden in diesem Abschnitt für einige in der
Analysis gebräuchliche Klassen von Teilmengen von IR diverse "Stan-
dard"-Darstellungen definieren und miteinander vergleichen.
Wir beginnen mit Darstellungen der offenen Mengen (vgl. Abschnitt 3.3).
Definition
Die topologische Standard-Darstellung co :IF -x ist definiert durch
co := u(p) := U{lk |k£Mp) *
(Dabei ist I die Numerierung der offenen Intervalle mit dyadischen
Endpunkten aus dem vorigen Abschnitt.)
*
Die in Kapitel 2 definierte Darstellung der offenen Mengen in F wird der Ein-
- 87 -
Wir wollen nun die Finaltopologie x von w auf x charakter
isieren und zeigen, daß u zulässig ist.
4.11 Satz
Es sei ü := {XGx | K CX} (mit K, := U{I | n€ d. } * )J JK J 3 n j
und x die durch die Basis {v^ |j<= u} induzierte Topologieauf Tm . Dann gilt
C) (Tjß i t) ist ein separabler T -Raum,
(2) u =c 60 (die durch U induzierte Standard-Darstellung),
(3) o) ist zulässig.
Beweis
(1) Offensichtlich ist U Numerierung einer Basis einer Topologie auf xIR*
Sind A,B verschiedene Elemente von T , so gibt es (o.B.d.A.) ein x £R
mit x £A \B und damit gilt x £1 <= i =K.= A für gewisse j,n £W alson n 3
Aeu. und B <iu.. Hieraus folgt (1).
(2) Die Definition von £ besagt: dornfi = {p | (3X£T ) M = fi | x £U 11,u U 3RpLJ j
und für p £dom£ , j£IN: j£M*>KcäDU P j U*
Es gibt nun ein berechenbares T:F -*3F mit M , = fn | (3j eM ) n£ D \T(p) p j->"
Dafür A£Tm gilt A= UÜJi^A}, folgt ur{p) „ &^p für p£ta^(d'h* 6u 5c W" Für dio Urakehr«ng definiere A:F - F durch
!j+l falls K. c U{ I | n £M } ,D n p,i
O sonst.
wobei M := {n ! (3m£D ) p(m)=n+l}. Dann ist & berechenbar und, da Kj
für alle j kompakt ist, gilt für p£3F, j £ IN :
K3CV= U{ln,neMp} * <3i>< V U{Inln€Mp,i»~ jCMMP)-Es folgt « £ £ mittels A.
c U
(3) Ergibt sich unmittelbar aus (2).
* —
I„ ist der Abschluß von I .n
- 88 -
Die Charakterisierung von x ist eine Variante eines Resultats von
Hay & Miller [15], das die Finaltopologie der Darstellung co der
offenen Teilmengen von IF beschreibt. Die wohl wichtigste Eigen
schaft von co (und 6 ) ist, daß jede wahre Information "I, c co "
stetig aus dem Namen p gewonnen werden kann. Wir wissen außerdem
durch Lemma 3.13, daß co äquivalent zu der durch p induzierten
Darstellung co ist. Eine genaue Betrachtung des zugehörigen Beweises
zeigt, daß diese Äquivalenz sogar berechenbar ist.
4.12 Korollar
Es sei co : IF—• x„ definiert durchp IR
p Gdom cop : ~ (Vq,q* e dorn p) ( pq = pq' •> X (q) = X (q') ) ,
co p := p(domy ) für p £ dorn co .pf ^v *p' * p
Dann gilt co = co und co ist zulässig.^ p c p *
Eine neue Darstellung der offenen Teilmengen von IR erhält man durch
eine Betrachtung abgeschlossener Mengen, d.h. Komplemente offener Men
gen. Da IR vollständig ist, gilt für jede abgeschlossene Menge A c IR:
A= n u {I.. .|(j,n)eH ) mit M = (k |AnI ?f 0}. (Man beachte,n j •* ,n A A k
daß der Durchmesser des Intervalls I. . genau 2~(n~1) ist.)v 3 , n ;
A ist also durch M eindeutig festgelegt. Diese Beobachtung führtA
zu der folgenden Darstellung co von IR.
Definition
Es sei co :IF—• IR definiert durchc
p e dorn co : o TM = {k | I \B f 0} für ein B e x ,c p k IR
co p := m\nu jl. | <j,n> e MJ für pe dorn co .c n j v j , n ' F c
- 89 -
Der folgende Satz gibt die wichtigsten Eigenschaften von co wieder,
4.13 Satz
Es sei Vj := {X 6 TjR | (VkSD ) lfc\ X + 0} und x die
Topologie auf t^ mit der Basis {V.| je in }. Dann gilt
(1) (xm ,t) ist ein separabler T -Raum,
(2) co = 6 , d.h. co ist zulässig,c c V c
(3) co * co und co 1,. coet t c
(1) Man sieht sofort, daß die Menge (V | je W } Basis einer Topologie
T auf t bildet. Sind A,B£t , A f B so gibt es (o.B.d.A.) ein xeR
mit x £ A \ B und somit x c I c A für ein n e Jl . Für 1 mit D, = {n}n j
gilt also A^V und BeV (da x eI \ B), d.h. x ist separabel.
(2) Aus den Definitionen von u und fi„ folgt für X e x :c V IR
X = ü> p ** M ={k|I \X ? 0} und X = fi a o M = {j |(Vk eD.) I, \ X t 0}.c p k V q j K
Da es berechenbare Funktionen Z,r:F-» F gibt mit M ={j|DcM)E (p) j P
und W = {k |(3j £M ) k eD } folgt die Behauptung.
(3) Ergibt sich direkt aus der Unvergleichbarkeit der zugehörigen Final-
topologien.
Da co und coc unvergleichbar und zulässig sind, wird durch
co := co n coc eine weitere zulässige Darstellung von x definiert.
Die Finaltopologie von co besitzt nach Satz 3.16 die Basis
{u<i,j>' <i'3>G^N} mit U<lj) = {XeT]R| K. ex und (VkeD.) I c[:X}J k
Man beachte, daß D = 0 also V = x isto o m
- 90 -
Eine vierte Darstellung cö von x erhält man entsprechend über
das Standard-Supremum von co und co . Da aufgrund von Lemma 3.15
_ *
die Finaltopologie von co genau die diskrete Topologie {0,xm)
ist, kann co nicht zulässig sein.
Als nächstes betrachten wir abgeschlossene Teilmengen von IR .
Da Abgeschlossenheit und Offenheit zueinander duale Begriffe sind,
ergeben sich aus den Darstellungen co, co , co und co durch Komplemen
tieren unmittelbar vier verschiedene Darstellungen abgeschlossener
Mengen.
Definition
Die Darstellungen a, a , a und a der abgeschlossenen Teilmengen
von IR sind definiert durch:
(1) ap := u {IR\I. I k eiM } für alle pe if ,K p
(2) p<= dorn a :«• M = (k| I n A ji 0) für ein abgeschlossenes AC IR,
a p := n u [ i . I <j,n) e IM } für pe doma ,cr n j <3,n> -" p r c
(3) a:=ana , ä:=aua
Durch Anwendug von Satz 3.1.7 können die v/ichtigsten Eigenschaften
dieser Darstellungen direkt aus denen von co und co abgeleitet
werden.
Für alle i gilt : (0 c U.={x [ K. c x}) "-> K.=0 und Ec ü.
sowie (IRcV.={X | (VkcD.) Ii X}) =» D =0 und 0£V.i i k i l
Es folgt hieraus, daß x n x = {0, x } ist.u Cd R
- 91 -
4.14 Korollar
(1) Es sei Uj := (YC]R|y ist abgeschlossen und Y nK. = 0}.
Die Finaltopologie von a wird erzeugt durch die Basis
(U\ | j e IN } und a ist zulässig .
(2) Sei V := {Ycm |Y ist abgeschlossen und (vkSD ) I nY 4 01,j j k
Dann ist ac zulässig bezüglich der durch die Basis
{V. 1j 6 in } erzeugten Topologie .
(3) a und a sind unvergleichbar .
(4) a ist zulässig und die Finaltopologie von a wird erzeugt
durch die Basis {V? n v?| <i,j)eu} .
(5) Die Finaltopologie von ä ist die diskrete Topologie.
a ist nicht zulässig.
über Abstandsfunktionen dft := xn-d(x,A) := inf { |x-y| | y6A]
für nichtleere Mengen A c jr erhält man weitere Darstellungen der
abgeschlossenen (nichtleeren) Teilmengen von IR . Die Eigenschaft
dA = dß «• Ä = I induziert eine bijektive Relation A — d zwischen
den abgeschlossenen nichtleeren Mengen und den AbStandsfunktionen.
Da jede Abstandsfunktion stetig ist, ist sie insbesondere auch
( P, P)~, ( P# P<)- und ( p, p>)-stetig. Die Standard-Darstellungen
dieser Funktionen (s. Kapitel 3.3) liefern uns die folgenden Darstel
lungen abgeschlossener Mengen.
- 92 -
Definition
Darstellungen a^,, a> und a., der nichtleeren abgeschlossenen
Teilmengen von IR seien definiert über
pedom a< :«• (3A C m , a ? 0) (VqSdorn p ) d(pq, A) = p^,^ (q) ,
a.p := {x em I(Vqep"'{x) ) p<Ci (q) = 0} für pedoma< .a> und a sind analog definiert mit p bzw. p an Stelle von p
In Bishop's [ 2] konstruktiver Analysis wird eine Menge ACE
"located" genannt, wenn die Abstandsfunktion d "existiert". DaA
aus jedem a -Namen einer abgeschlossenen Menge A konstruktiv ein
Name der Abstandsfunktion d gewonnen werden kann (mittels id ),
wird die Eigenschaft "located" in unserer Theorie durch die Dar
stellung a^ bzw. durch die hieraus stetig erhältliche Information
ausgedrückt.
Wir zeigen nun, daß o^ und a bzw. a> und a , a und a im
wesentlichen -d.h. bis auf Namen der leeren Menge- äquivalent sind.
4.15 Satz
Es seien a' bzw. a' die Restriktionen von a bzw. a aufc c
die Namen nichtleerer Mengen. Dann gilt
(1) a< =c a' ,
(2) a = a' ;> c c
(3) ax e mf {a< , aj .
- 93 -
(1) Es gibt eine total-rckursive Funktion q:3N» IN mit der Eigenschaft
vD(i) = P*,^ für alle i£ W. Damit läßt sich nun leicht (unter Verwen
dung der Definition von Ps.) eine berechenbare Funktion A:F * F programm
ieren mit IMÄ(p) = {<i,j> |2"3 <P^ptcPg^j) =d(vD<i), a<P)}= (<i,j> I i, ,|Ha,p= (l] für alle pedoma .
'i»3' ** <
Es folgt a'A(p) = fHs^ . ,} ]i . n a p =0) =a p, also o Sa'.
Andererseits gilt für p£doma', q c domp , i £ in mit v (i) > O :
v (i) < d(pq , a'p) « Cp q -vfi) , p q+v (i) ] c u { I. | j c M } .u DD 3 P
Aufgrund der Kompaktheit beschränkter abgeschlossener Intervalle kann man
eine berechenbare Funktion r:3F *F programmieren, so daß für pc: dorn a' ,
qedomp gilt: IM p( g) = {i |vD(i) <d(p q,a'p)} d.h. pr<p,q> =d(pq,a'p)
Das smn-Theorem liefert nun eine berechenbare Funktion E:lF-«-F mit
r<p,q) ='I'j./pjfq)- Damit gilt a' < a mittels l.(2) Ahnlich zu (1).
(3) Wegen p £Inf {p<,p>} gibt es berechenbare Funktionen A , A , A:IF * F
mit pp= p^.Ajtp) = P>A2(p) und pA<q,r) = p<q für alle p c dorn p , q •• dorn p
r £ dorn p mit p q = p r.
Für pedoma folgt a p={x| (Vpcp_1{x}) p$ q=p A» q=p A„$ q = 0} .*• i P * 1 p > 2 p
Gilt umgekehrt a^ - a>r, so ergibt sich
c^q = {x I(Vpcp {x}) p<$ p =p^P = pA<iJ/ P,iJ»rP> =0}. Man wähle nunmit dem smn-Theorem r , r und r:lF- IF mit \b , . = A ffi ,1 2 rr*j (p) lyp'
*r (p) = A2*p und ^r<p,q> = ^%'^q ' DieS Uefert die gewünschten Reduktionsfunktionen .
- 94 -
Außer den offenen und abgeschlossenen Mengen lassen sich noch einige
größere Klassen von Teilmengen von IR durch Darstellungen beschrei
ben. So könnte man z.B. analog zum Kapitel 2 eine Darstellung der
G.-Teilmengen von IR angeben durch £Rp := n g I <JL .j. Entsprechend
wären auch die anderen Klassen der Borel-Hierarchie ( F -Mengen etc.)
darzustellen. Da diese jedoch nur eine geringe Bedeutung in der Ana
lysis besitzen, soll dieses Thema hier nicht weiter vertieft werden.
- 95 -
Kompaktheit in der konstruktiven Analysis
5.1 Kompakte Mengen - der Satz von Heine-Borel
In der klassischen und konstruktiven Analysis spielen kompakte
Mengen eine besondere Rolle. Wir werden daher Kompaktheit hier etwas
näher untersuchen und zeigen, daß in unserer Theorie zumindest zwei
verschiedene Aspekte von Kompaktheit formuliert werden können.
Bekanntlich ist eine Menge K c ir genau dann kompakt, wenn sie
abgeschlossen und beschränkt ist. Die Einschränkungen der Darstellungen
a , a und a (bzw. a , a und a ) auf beschränkte Mengen führen
daher unmittelbar zu Darstellungen a', a', a' von K(IR) , der Mengec —
der kompakten Teilmengen von IR. Es zeigt sich jedoch bereits bei
der Betrachtung des Supremums nichtleerer kompakter Mengen, daß diese
Darstellungen nicht genügend endlich zugängliche Informationen über
kompakte Mengen beinhalten.
5.1 Lemma
Der Operator sup:K(IR) \ {0} - IR ist nicht (o',p>)-stetig.
Beweis
Wir nehmen an, daß ein stetiges Te[TF-* IF] existiert mit p Tip) = supa'p
für alle pe domo' . Zu jedem pedoma' liefert V also in endlich vielen
Schritten eine obere Schranke v (i) für a'p, d.h. es gibt ein n e W, sodaßD 1
i£ D4n, . gilt für alle qe [p n ]ndomT . Da jedoch jedes Anfangsstück pr(q)
97 -
eines aJ-Naraens p nur Informationen über endlich viele Intervalle I. mit
IjCIR\a^p beinhaltet, gibt es immer ein qe [p[n]] ndomo' , sodaß v (i)keine obere Schranke von a'q ist. Für dieses q gilt also
VD(i) <supajq =P>I"(q) =infvDlMr(q) <; vD(i). Aufgrund dieses Widerspruchskann T nicht existieren.
Der Supremumsoperator ist damit nicht einmal stetig bezüglich der
Darstellungen a'<t c^ und a| einerseits und p bzw. p anderer
seits. Ähnlich verläuft auch der Beweis dafür, daß sup nicht stetig
relativ zu o.; und P< ist, da ein a'-Name p keine stetig zugäng
liche Information über Elemente x£^p enthält und somit untere
Schranken für sup ojp nicht stetig aus p gewonnen werden können.
Nimmt man allerdings Informationen über eine obere Schranke ebenfalls
hinzu, so erhält man ein positives Resultat.
5.2 Satz
Es gibt berechenbare Funktionen S, r, A:IF—- IF mit
P<S(p) = supc^p falls c^p nach oben beschränkt,
P>r<i,p> = supo^p falls i obere Schranke von a p,
pA<i,p> = supc^p falls i obere Schranke von a p.
Entsprechendes gilt für das Infimum kompakter Mengen.
- 98 -
Nach Satz 4.15 gibt es ein berechenbares fle [F -» F] ,. so daß für pe domo
gilt M ={<j,n>| I 1101^0). Für dieses fi folgt, falls supa p
existiert, v (j)-2 n< supa p <* (j,n>£ Mn/ ,. Damit läßt sich nun leichto > H(p)
ein berechenbares E programmieren mit IM = {j |v (j)< supa p) .
Es sei nun pedoma^. und i£IN sei eine obere Schranke von a p. Dann folgt
vD(j) >supa<p *» ( vD(j) >i oder [vQ( j) ;i] cm\ a p ). Da nach Satz 4.15
IR\a p = U(I |jcM } für ein berechenbares hc [TF-* IF ] und zudem* J A(P)
CvD(j);i] kompakt ist, gibt es ein berechenbares I":IF - IF mit
Mr<i,p> ° ^ 'vd^} >suPa<pJ also P/U.P) " supa p falls i eine
obere Schranke von a p ist.
Die Existenz von A folgt jetzt direkt aus der Beziehung a e Inf {a ,a }.1 c * >
Wie wir gesehen haben, genügt es also nicht, zu wissen, daß eine
abgeschlossene Menge beschränkt ist, um ihr Maximum stetig oder gar
berechenbar zu bestimmen. Vielmehr ist die explizite Kenntnis einer
oberen Schranke dieser Menge hierfür unentbehrlich (vgl. Bishop's [21
Begriff von konstruktiver Kompaktheit bzw. Beschränktheit). Diese
Information über eine Schranke kann nun direkt in den Namen einer
kompakten Menge (analog zur Infimumsbildung) mit hineingenommen werden.
Definition
Die Darstellung ab:IF—- K(IR) sei definiert durch
<i,p>€domob :<> pedoma und apc[-i;i],
ab(i,p> := ap für (i,p)6domab.
Analog seien definiert ab, ab sowie <xb, ab und ab.c — < > i
- 99 -
Mit diesen neuen Bezeichnungen läßt sich die Aussage von Satz 5.2
jetzt sehr vereinfacht formulieren.
5.3 Korollar
(1) Der Operator sup:K(IR)\ {0} —- ir ist
(0^,0)- , (a<,p>)- und (^ ,p<)-berechenbar,
(2) Der Operator Inf : K(IR)\ {0} —- jr ist
(o^fp)- , (o^p^J- und (ab,p>)-berechenbar.
Eine andere Methode zur Charakterisierung kompakter Mengen lie
fert uns die Heine-Borel-Eigenschaft: "Zu jeder Familie offener
Mengen, die eine kompakte Menge K überdeckt, gibt es eine endliche
Teilfamilie, welche ebenfalls bereits eine Überdeckung von K ist."
Wir werden sehen, daß diese Charakterisierung zumindest zwei ver
schiedene konstruktive Versionen besitzt.
Da jede offene Menge eine Vereinigung offener Basisintervalle ist,
wollen wir Überdeckungen durch Familien von Basisintervallen be
schreiben.
Definition
Für p6 if, n€ in sei C := [t | jei iP j p
und Cp,n := djl <3ieDn> p(i) = 3+1>'
Ein stetiger Operator n.:IF—- IN beweist Kompaktheit von KCIR,
g.d.w. gilt (Vp)((KCUC o pedomfl) und (KCUC •> KCUC ) )p P P»n(p)' ' *
- 100 -
Man sieht leicht, daß ein Operator 0 zu [IF - IN ] gehört, wenn
er die Kompaktheit einer Menge K beweist, und daß zu jeder kom
pakten Menge KCIR durch n(p) := min {j IKCC ,} ein ne[iF~INlPrj
definiert wird, welches die Kompaktheit von K beweist. Dies
induziert die folgende Darstellung kompakter Mengen.
Definition (schwache (weak) Heine-Borel Darstellung von K(m) )
Die Darstellung <w der kompakten Mengen ist definiert durch:
domKw := {p Ix beweist Kompaktheit einer Menge KCffi),
<WP := n {ucp#x (q) Iqedomxp)* für pedomKw .
Die Äquivalenz der Charakterisierungen kompakter Mengen durch die
Eigenschaften "abgeschlossen" und "beschränkt" einerseits und durch
die endliche Überdeckungseigenschaft anderseits wird in der klas
sischen Analysis durch den Satz von Heine-Borel ausgedrückt. Eine
erste konstruktive Version dieses Satzes läßt sich in unserer
Theorie wieder durch eine einfache Äquivalenz von Darstellungen
beschreiben.
5.4 Satz (Heine-Borel - schwache Version)
< = abw c
•<c": Da für alle p <• dom^ gilt <wPcCid (wobei id(n)=n für alle n)
und weil cid,nc E-1'*^ entscheidbar ist, gibt es ein berechenbares
AeClF-IN] mit ^p c [-A(p);A(p) ] für alle p£ dorn k . Weiterhin gilt
Man beachte, daß eine kompakte Menge der Durchschnitt all ihrer endlichen offenenOberdeckungen ist.
- 101 -
K^p = n{3R \ i | i nk^> =0 } und
^-in,c^ = ^ ° Oq£domx ) In UC =03 ^ p j p»Xp(q)*> (3w£W(lN))On)( vfflpvjj(w) £[n] und I nUdjJOieDJ w(i)=k+l) =0 )Damit läßt sich nun leicht ein berechenbares T:F - F konstruieren mit
MT(p) =t j I Ij nK^p =0} also K^p =aT(p) für p£dorn* . Die Kombination von A und T liefert die gewünschte Reduktion k £ ab
w c
"i ": Für (l,p> £dorn« gilt ab(i,p) =[-i;i] \ u{l I j £M }. Da dasJ P
Intervall [-i;i] kompakt in IR ist, folgt
o <i,p>cUC o C-i;i]c UC UUC <» (3n) [-i;i]cUC u UC und<ä P q p,n q,n
C-i;i]cuc uUC • ab(i,p> c C-i,i] \ UC c UC .Da wiederump,n q,n p,n q,n
C-i;i]cUCp nuUCg n entscheidbar ist, gibt es ein berechenbares E mita <i,p> = k £<i,p> für alle <i,p>£ domab .
Da aufgrund dieses Satzes die Operatoren sup und inf : K(IR) •* IR
nicht (Kw,p)-stetig sind, nennen wir k die schwache Heine-Borel
Darstellung der kompakten Teilmengen von IR . Es ist jedoch bereits
bekannt, daß Namen bezüglich der Darstellung <xb (bzw. ab) mehr
stetig zugängliche Informationen über kompakte Mengen tragen als
a -Namen. Diese Information bewirkt, daß zu jeder Überdeckung C
einer Menge g. p effektiv eine minimale endliche Teilüberdeckung
C n gefunden werden kann (dabei wollen wir eine Überdeckung C
von K c IR minimal nennen, wenn sie keine überflüssigen Elemente
enthält, d.h. wenn für alle I ec gilt I nK ? 0). Diese
"starke" Heine-Borel-Eigenschaft wird durch die folgende Darstel
lung < ausgedrückt.
- 102 -
Definition (starke Heine-Borel Darstellung)
Die Darstellung k:IF—- K(JR) ist definiert, durch:
dornk := {p e dornk l(Vqe domx ) C , . ist minimale Überdeckung von k p},r w ^ q,x (q) ^ w*^'
P
k p := k p für p e dorn k .
Die durch k beschriebene starke Heine-Borel-Eigenschaft entspricht
übrigens dem Begriff "totally bounded", den Bishop [2] als Grundlage
für seinen Kompaktheitsbegriff (kompakt = totally bpunded + vollständig)
verwendet. Die Bishop'sche Version des Satzes von Heine-Borel: "Eine
Menge ist kompakt, g.d.w. sie abgeschlossen, beschränkt und
located ist" korrespondiert daher mit dem folgenden Satz.
5.5 Satz (Heine-Borel - starke Version)
bK = a
c —
b b"£ ": Wir wissen bereits, daß k £ a gilt (Satz 5.4). Zu zeigen ist < £ a .
c c c c
Dazu sei p £ dornte . Dann gilt
IjilKP t 0 « (3q£domXp) Ij£Cq#x (q)
*> (3we W{K))(3n) (« ,pv"J;(w)eCn] und (3ie D) w(i)=j+l ).in in n
Damit gibt es ein berechenbares A c [IF - F ] mit IM., ={j|l.nKpj*0}Mp) 3
für alle pedomK und es folgt < S a mittels A.c c
"a ": Da für (i,p,q> £ dorn a gilt W = {j !I. n a <i,p,q) ?£ 0} folgtc - q 3 -
a <i,p,q) c UC *» a (i,p,q) c U{l | j £ W n IM ). Es gibt ein berechenbares
T:IF-*IF mit IM,,, , = IM n IM und damit gilt a (i,p,q>cUC g.d.w.T<q,r> q r - v ^ r
C„, . eine minimale Uberdeckung von a <i,p,q> ist. Da nach Satz 5.4
a £ k gilt, folgt hieraus die Behauptung.
- 103 -
5.2 Stetige Funktionen auf kompakten Mengen
Aufgrund der Zulässigkeit der Darstellung p:IF —- IR können
wir stetige Funktionen auf IR genau durch die schwach (p,p)-ste
tigen Funktionen beschreiben. Aus der Topologie (Kuratowski [26])
ist außerdem bekannt, daß die natürlichen Definitionsbereiche der
stetigen Funktionen auf IR genau die Gfi-Teilraengen von IR sind,
d.h. jede stetige partielle Funktion f:IR—- IR kann stetig auf
eine G^-Menge fortgesetzt werden. Nach Satz 3.8 sind stetige
Funktionen mit G^-Mengen als Definitionsbereich auch stark dar
stellungsstetig. Wir zeigen nun, daß für die Darstellung p auch
die Umkehrung dieser Aussage gilt.
5.6 Satz
Eine Funktion f:IR —• IR ist genau dann (p,p)-stetig, wenn
sie topologisch stetig ist und eine G^-Menge als Definitions
bereich besitzt.
Beweis
Wegen Satz 3.8 ist nur noch zu zeigen: f (p,p)-stetig •» domf G -Menge.
Es sei also f:IR—• IR (p,p)-stetig mittels r = y £ [IF»IF]. Für
ieSp ={j| [vm(j)]ndomp t 0} sei ü := (vD<j)-2_(k+1) ,v (j)+2~(k+1))wobei k= lg(v (i) und j = v (i) (k-1) *. Für neW setzen wir
0n := U^lieSp und (VJ£Sp)( Ui=Uj •» Igtyv^tj) )2n )}.Wir werden zeigen: domf = 00 (d.h. domf ist eine G -Menge).
n n £
-k.zuEs reicht im Prinzip aus, U± := Kern pCv^ (i)] = (v (j)-2 ;v (j)+2~K)
wählen. Die hier verwandte Form ist jedoch auch für die Konstruktion von
Stetigkeitsmodulen nützlich.
- 104 -
"c": Es sei n £ IN und XEdomf. Dann existiert für alle p £ p (x)
ein l(n,p)eIN mit lg(YP )>n. Offensichtlich wird p_1{x}
überdeckt von der Menge {[p ]| pep" {x}} und wegen der Kompakt
heit von p (x> gibt es eine endliche Teilmenge E c p~ {x} mit
P {x)c U(Cp n'P ]|p£E }. Insbesondere gilt lg(YP )2: n für alle
p£p (x), 1 2 l(n,x) :=max{l(n,p) | p £E }. Man wähle nun i£S mitx p
lg(v (i)):= 1 ai(n,x) und x £ U.. ( i existiert immer, wie man sichIN 1
z.B. an der Graphik in §4.1 klarmachen kann.) Dann gibt es für alle
J£S mit U =U ein p £p" {x} mit p =v(j) was zur Folge hatp i j n
lg(YV_,(J)) = lg(YP )än. Folglich gilt U.c o also X£0 .IN i n n
"=>": Sei xeflo . Wir konstruieren ein p£p {x} mit p £don>Y •n n
Wähle i £ S mit x e U, c o .o p i o
o
Ist i bereits bestimmt, so gibt es aufgrund der Stetigkeit von y und
P ein i £S mit v (i ) ? v (i ) und x £ U. c o .. Setze nunn+1 p IN n IN n+1 i . n+1
n+1
p := sup{v (i ) | neu}. Dann gilt x = pp und für alle n gibt es ein
[m] [mlm mit p = v_, (i ) insbesondere also lg(YP ) ä n. Hieraus folgt
in n
pedomY d.h. x£domf.
Es sei (analog zu den Bezeichnungen aus §2) [IR-IR] die Menge der
stetigen reellen Funktionen mit einer G^-Menge als Definitionsbe
reich. Nach §3.3 induziert p eine kanonische Darstellung (p-p)
der (p,p)-stetigen Funktionen, die wir der Einfachheit halber kurz
mit p bezeichnen wollen. Satz 5.6 besagt also, daß p eine Dar
stellung von [IR-JR] ist. Man könnte leicht auch eine effektive
Form dieses Satzes beweisen, da die im Beweis verwandte Menge S
entscheidbar (§4.1) und für i€S die Menge {j | U = U } endlich
ist. Für das folgende ist dies jedoch ohne besondere Bedeutung.
- 105 -
Die Stetigkeit reeller Funktionen wird häufig auch durch Stetig
keitsmodule ausgedrückt:
Es sei f:IR —- IR , xedomf und IC domf . Eine Funktion p:IN - IN
heißt Stetigkeitsmodul von f in x, g.d.w. für alle y€domf ,
n€iN gilt |x-y| <; 2~p(n) - |f(x)-f(y)| £ 2~n . Ist p für
alle xei ein Stetigkeitsmodul, so heißt p auch Stetigkeits
modul von f auf I.
Der folgende Satz zeigt, daß Stetigkeitsmodule von Funktionen aus
IIR -IR] effektiv aus ihrem p-Namen konstruiert werden können.
5.7 Satz
Es gibt ein berechenbares re[ F ~F], sodaß für alle pe domp
und alle q£p" (dorn pp) gilt
r<p,q> ist ein Stetigkeitsmodul von f=pp in x=pq.
Beweis
Nach Lemma 4.2 gibt es ein berechenbares A:F—-IF,so daß für qfidomp
gilt A(q)£domp und (Vi) |vDA(q)(i) - pq| S3.2~(i+2). Man programmiertnun leicht ein r:F—*F mit r<p,q> (n) =min{i+2 | lg(v Pv^ (A(q))Ci:i)an+l >für alle p£domp, qedomA. Sei jetzt x:=pq e dompp, k:= T(p,q> (n),
ycdompp mit |x-y|<2~k "und y':= v^Pv^J,. Dann gilt|y- vDA(q)(k-2)| s |y-x|+ |x-vDA(q)(k-2)| s 2~k+3»2~k =. 2"(k~2>.Hieraus folgt mit Lemma 4.2(2) (3r£p_1{y}) rCk_23 = (A(q)) Ck~2;l. Damit
gilt |pp(x) -pp(y)|
* |pp(x) - vD(Y<Mq))Ck"2:l(n+l))| +l«D(YrCk"2](n+l))-?p(y)|S 2"<n+1) + 2'<n+1) =2"n.
T<p,q> ist also ein Stetigkeitsmodul von pp an der Stelle x.
- 106 -
Ein bekannter Satz der reellen Analysis besagt, daß das Bild einer
kompakten Menge unter einer stetigen Funktion wieder kompakt ist.
Im Rahmen unserer Darstellungstheorie können wir diese Aussage nun
auch effektiv formulieren.
5.8 Satz
Es gibt ein berechenbares T:IF - IF, so daß für alle p,q mit
tcqCdompp gilt (pp)(Kq) = KT<p,q>.
Wegen P =, £j gibt es ein berechenbares Ee[F * F], so daß für pe domp ,
r£F gilt (pp) (uCr) =UCJ;( }n dompp und zusätzlich für j mit
r(j)>0: <PP>~llr(j)_1 = U{lk | (3i) E(p,rXj,i> =k+l}ndompp. 5)Es sei nun tcq cdompp und (pp)(Kq)cUC . Dann gilt <q c UC ,
r E<p,r>
also E<p,r>£ domXg und CJ{ } zlpir> ist minimale Überdeckung von Kq.Sei TiTF- F berechenbar mit der Eigenschaft
DX , (r) = {j ' <3i) ll'i>€ ° T(D r>> för alle p,q,r €F. Dann istAr<p,q> v ; Xq"P«*'Cr,Y (r) eine miniraale Teilüberdeckung von (pp)(*q), denn es gilt
r(p,q>
x « (pp) (Kq) "> (3y £icq) (pp) (y) o x
- (3<j,i>eDx E<p/r>){3k)(«pfrXj,i>ok+l a yeik A x«{pp)(y) )
xr<P,q>(r) r(^~1•» xe UC
r,xr(p,q>(r) und
3eDv ,_, ** (3i#k)(E<p,rXj,i> = k+l und I, n Kq *0)Xr<p,q>(r) *
•* ^(j)-!0 (PPXieq) * 0.
Weiterhin gilt redomXr<pfq> «• E<p,r>£ domx « (pp)(icq)c UC also
r<p,q>£domK und icr(p,q> = (pp)(icq).
- 107 -
Satz 5.8 gilt entsprechend auch für die schwache Heine-Borel-
Darstellung. Eine unmittelbare Konsequenz dieses Satzes bilden
effektive Versionen von zwei weiteren Sätzen der reellen Analysis.
5.9 Korollar ("Stetige Funktionen sind auf kompakten Mengen
beschränkt")
Es gibt ein berechenbares Ae [IF - M], so daß pp auf k aw ^
beschränkt ist durch A<p,q> (d.h. (Vx eK q) |pp(x)| ^ A<p,q>)
falls k q cdompp.
5.10 Korollar ("Eine stetige Funktion nimmt auf einer kompakten
Menge ihr Supremum und ihr Infimum an")
Es gibt berechenbare Operatoren E, fje(iF-IF] ,für die gilt
E<p,q> = sup(pp)Uq) und Q<p,q> = inf(pp)Uq)
falls Kq cdompp nichtleer ist.
Da sup und inf nicht (<W,P)-stetig sind, gilt Korollar 5.10
nur für die starke Heine-Borel Darstellung. Es stellt sich außer
dem heraus, daß zwar der Wert des Supremums (bzw. Infimums) einer
stetigen Funktion auf einer kompakten Menge uniform aus den ent
sprechenden Namen berechnet werden kann, nicht aber die Stelle,
an der die Funktion ihren Extremwert annimmt. Dieses ist nicht
einmal dann möglich, wenn man die kompakte Menge K und einen
K-Namen von K fest vorgibt..
- 108 -
5.11 Satz
Es gibt kein stetiges r-.IF —- Wf so daß für alle ^pe domp
mit J-1;1] cdompp gilt:
pp nimmt in pr(p) das Maximum auf ]-1;1] an.
Definiere f , g : K •<• IR durch f (x) := x«2 n, g (x) :=-x«2 . Dann sindn n n n
*fn'n c IN Und ^g * £ DJ konvergente Folgen von stetigen Funktionen und
es gilt limf = limg . Weiterhin nimmt f das Supremum auf [-1,1]n n n
in x=l- und g in y=-l an.
Es gelte nun (pp)(pr(q)) = sup{(pp)(x) | xe[-l»l]} für ein T:]F—- 3F
und alle p mit [-1;1]cdorapp. Mit der Definition von p (bzw. p, $
und v ) lassen sich leicht zwei konvergente Folgen (p )m ^ ., "n'neM' "n'neffl
in F konstruieren, für die gilt f = pp , g = pq und limo =liman n "n ^n *n n
Da dann für alle n gelten muß pT(p )= 1 und pT(q )= -1, kann T nichtn n
stetig sein.
(q_>.
Eine weitere wichtige Eigenschaft stetiger Funktionen auf kompak
ten Mengen ist die gleichmäßige Stetigkeit, also die Existenz
eines uniformen Stetigkeitsmoduls.
- 109 -
5.12 Satz
Es gibt ein berechenbares re [ IF - if] , für das gilt
T<p,q> ist ein Stetigkeitsmodul von f=pp auf k q, falls
k q c dompp ist.
Beweis
Es seien S , U wie im Beweis von Satz 5.6 (G.-Eigenschaft) und
°n,p:= UCUjJifS und (Vj cS )( u =ü =» lgjv^pti)) >n}. Dann giltdompp co für alle n £ IN, p£ domp (vgl. Satz 5.6). Da außerdem S
n,p p
entscheidbar und U = I für ein rekursives r ist, existiert ein
berechenbares A:IF—* F mit O . =U{I. IjeM.. .}= UC, .n+l,p j A<n,p> A(n,p)
für pfdomp . Es gelte nun k q cdompp . Dann folgt k q cUC., .w^ w^ A<n,p>
also k qc Uc . . , . für alle n£ IN. Man konstruiere nun einw A\n,p/,x Avn,p/
berechenbares IMF-—» IF mit
r<p,q>(n) = max {k | (3i)(3j£ D .( .) A<n,p>(j) = <i,k>+l>. Für p,qxq
mit K^q cdompp, x £ ^q» y £dompp und n £IN folgt dann: Es gibt ein i £ IN
mit r(i) £ {1| (3J£D fi<n#p>) A(n,p>(j) =1+1}, xc^cO^ und
tx-y|S2_r<P,q>(n) - (y£p[v <i>] und x£p[v (i)])31 IN
*> l(PP)(x)- (pp)(y)l s 2~n (vgl. 5.7)
r besitzt also die gewünschten Eigenschaften.
Aus der reellen Analysis ist bekannt, daß eine auf einem Intervall
(a;b] definierte stetige Funktion f mit f(a) ^ f(b) jeden Wert
zwischen f(a) und f(b) auf (a;b) annimmt. Wie schon im Falle
des Supremums ist jedoch eine effektive Version dieser Aussage
nicht gültig, was zur Konsequenz hat, daß auch der Zwischenwertsatz
- 110 -
und die Mittelwertsätze der Differential- und Integralrechnung in
ihrer allgemeinen Form keine konstruktive Variante besitzen.
5.13 Satz
Es gibt kein stetiges T:1F—- IF mit der Eigenschaft
PP hat eine Nullstelle in pr(p)S[-2;2] für alle p€ domp
mit (pp) (-2) < 0 < (pp) (2) .
Beweis (vgl. Aberth [1])
Definiere Funktionen f ,g :K - Jt durch f (x) :=min{x+l, max {x-l,2~n} }
und g (x) :=min{ x+1, max {x-l,-2~"}}. Dann sind (f ) und (g )n n n£ IN *n n£ N
konvergente Folgen stetiger Funktionen mit limf = limg . Außerdem giltn n
fn(-2) =g (-2)=-1 und f (2) =g (2) = 1 aber die Nullstelle von f liegtn n n
bei -1 und die von g bei +1.
Eine Abbildung, die fn und gfi die Nullstelle zuweist, ist daher nicht
folgenstetig und T kann damit nicht existieren. (Für die Formalisierung
betrachte man den Beweis von Satz 5.11.)
- 111 -
Eine eingeschränkte Version des Zwischenwertsatzes läßt sich
allerdings wieder effektiv formulieren und beweisen. So gibt es
z.B. ein Verfahren, welches zu jeder auf einem Intervall [a;b]
definierten stetigen Funktion f mit f(a)?*f(b), die auf keinem
Teilintervall von [a;b] konstant ist, und jedem Wert c echt
zwischen f(a) und f(b) ein xQe (a;b) konstruiert mit
f(xQ) = c (s. Aberth [ 1], Seite 63ff) . Dieses Verfahren kann
leicht in einen berechenbaren Operator re[IF - IF ] umgesetzt
werden, der entsprechendes auf den zugehörigen Namen durchführt.
- 112 -
6. Schlußbetrachtungen
Das Konzept der Darstellungen, das in dieser Arbeit
ausführlich präsentiert wurde, bildet die Grundlage für eine
universelle Theorie des Konstruktivismus und der Berechenbarkeit
auf kontinuumsmächtigen Mengen. Es liefert uns damit insbesondere
einen einheitlichen Ansatz zu einer konstruktiven und rekursiven
Analysis, der auch als Vermittler zwischen idealistischer und
intuitionistischer Mathematik dienen könnte. Von den Resultaten
hier ergibt sich dabei eine konstruktive Analysis im Sinne der
Intuitionisten (Brouwer [4], Bishop [2]), im Unterschied zu
diesen untersuchen wir Aussagen über Konstruierbarkeit gewisser
Objekte jedoch mit Mitteln der klassischen Logik. Neben der
konstruktiven Analysis (§4/5) bilden z.B. Effektivitätstheorien
auf P^, IP, metrischen Räumen -speziell LP-Räumen, CPO's (vgl.
die Beispiele in § 3.5) und auf der Menge ® der abzählbaren
Ordinalzahlen (hierzu wird demnächst eine Arbeit von H.J. Dettki
I7] erscheinen) interessante Anwendungen des Darstellungskon
zeptes. Sogar ein kanonischer Ansatz zu einer konstruktiven
Maßtheorie ist damit möglich (s. § 3.5).
Ein wesentliches Merkmal des vorgestellten Konzepts ist die
prinzipielle Flexibilität in der Wahl der Darstellung. Bei vor
gegebener Darstellung 6 von M ist durch jedes p e domo
das Element x = 6p gm eindeutig festgelegt, d.h. p enthält
die vollständige Information zur Identifizierung von x. Die
- 113 -
Grundidee des Konstruktivismus aber ist, daß Teile dieser
Information bereits aus endlichen Teilen (Anfangsstücken) von
p erhältlich sein müssen (was z.B. die uneingeschränkte
Cauchy-Darstellung der reellen Zahlen nicht erfüllt), und
daß x auch vollständig durch die aus den Anfangsstücken
erhältliche Information bestimmt ist. Diese Bedingungen ent
sprechen genau der Forderung nach der Stetigkeit von 6.
Stetige Darstellungen bilden daher eine Präzisierung des
intuitionistischen Existenzbegriffes (Bishop [2], Brouwer
[4]), der die Existenz eines Objektes mit seiner Konstruierbar-
keit gleichsetzt, wobei das Konstruktionsverfahren - die Dar
stellung - schrittweise (d.h. stetig) Informationen über dieses
Objekt liefert. In Art und Umfang solcher Informationen können
sich die verschiedenen Darstellungen einer Menge M unter
scheiden, was meist auch zu unterschiedlichen Theorien der
Effektivität auf M führt, wie das Beispiel in Lemma 3.23
zeigt. Es ist daher im allgemeinen nicht möglich, von der
Berechenbarkeitstheorie auf M zu sprechen, wenn man nicht
gleichzeitig (bis auf Äquivalenz, d.h. gleichartigen Infor
mationsgehalt) die Darstellung von M angibt. Die stetig
zugängliche Information über die zu untersuchenden Objekte
beeinflußt meist direkt die Wahl der Darstellung. Die Voraus
setzungen eines mathematischen Satzes können daher oft voll
ständig durch eine geeignete Darstellung ausgedrückt werden.
Beispiele hierfür findet man im fünften Kapitel.
- 114 -
Die im Rahmen der konstruktiven Analysis vorgestellten Sätze
und Unmöglichkeitsaussagen weisen immer wieder darauf hin, daß
zwischen Stetigkeit und Berechenbarkeit ein sehr enger Zusammen
hang besteht. Gilt von einer klassischen Aussage die effektive
Version nicht, so geschieht dies fast immer schon aus rein
topologischen Gründen (d.h. aufgrund von Unstetigkeiten).
Die in der Literatur häufig verwandte Methode, zum Beweis das
Halteproblem oder ein äquivalentes Problem der Rekursionstheorie
heranzuziehen, verschleiert nur die wirkliche Ursache. Auch um
gekehrt hat Stetigkeit meistens direkt auch Berechenbarkeit zur
Folge. Es scheint, abgesehen von künstlichen kombinatorischen
Konstruktionen, in der (klassischen) Mathematik keine "natür
lichen" Korrespondenzen zu geben, die stetig aber nicht berechen
bar bezüglich der (effektiven) Standard-Darstellungen sind.
Gegen den Grundsatz, Berechenbarkeit als Spezialisierung von
Stetigkeit anzusehen, den auch die vorliegende Arbeit vertritt,
werden zuweilen Einwände erhoben. Als "Gegenbeispiel" wird hier
zu oft vorgebracht, daß (einfache) Treppenfunktionen (auf IR)
intuitiv gesehen leicht zu berechnen sind, obwohl sie nicht zu
den stetigen Funktionen gehören. Diese Unstimmigkeit ist aus
der Sicht der Darstellungstheorie leicht zu lösen. Richtig ist
zwar, daß man den Funktionswert einer Treppenfunktion f an
der Stelle x leicht angeben kann, wenn man weiß, in welchem
der durch f bestimmten Intervalle (Treppenstufen) sich x
befindet, jedoch ist diese zusätzliche Information hierfür auch
unentbehrlich. Zur Berechnung einer Treppenfunktion muß also für
115 -
die Argumente eine andere Darstellung gewählt werden, aus
der auch diese Information stetig zugänglich ist. Relativ zu
dieser Darstellung ist Berechenbarkeit dann wieder ein Spezial
fall der Stetigkeit aber "klassische" Stetigkeit (relativ zur
Standardtopologie) und Darstellungsstetigkeit sind nicht mehr
dasselbe. Ursache der Einwände ist manchmal auch, daß bei
Funktionen "lokale" (6,5')-Berechenbarkeit mit "globaler"
Berechenbarkeit verwechselt wird. Im zweiten Fall ist die
Funktion ein berechenbares Objekt relativ zu einer Darstellung
spezieller Funktionen (z.B. Treppenfunktionen), bei denen man
sich nur für das globale Verhalten, nicht aber den Funktions
wert an bestimmten Stellen interessiert. Es ist leicht einzu
sehen, daß diese beiden Begriffe nicht immer zusammenfallen.
Bei der Vorstellung der Darstellungstheorie in dieser Arbeit
spielten im wesentlichen topologische Eigenschaften eine Rolle.
In einem zweiten Schritt müßte man für diejenigen Darstellungen,
die sich als topologisch günstig erwiesen haben, auch Berechen-
barkeitseigenschaften untersuchen. Dies kann geschehen, indem
man entweder explizit "effektive " Darstellungen wie IM, p, co
etc. definiert, oder - was bisher nicht geschehen ist - eine
gewisse Effektivität derjenigen Numerierungen verlangt, aus denen
die Standard-Darstellung gemäß § 3.2 erzeugt wird. So könnte man
z.B. fordern, daß für die Numerierung U der Basis eines topo
logischen Raumes die Relation "u c u n U " rekursiv oder1 j k
rekursiv-aufzählbar ist, oder daß relativ zur Numerierung v
der dichten Teilmenge eines metrischen Raumes (s. § 3.5) die
- 116 -
Abstandsfunktion ((v,v), v^)-berechenbar ist etc. Fast alle
von uns angegebenen Darstellungen besitzen solche Eigenschaften.
Eine weitere Vertiefung bildet die Untersuchung der Komplexi
tätseigenschaften von Darstellungen und die Entwicklung einer
Komplexitätstheorie auf dargestellten Mengen. Hierzu bietet
sich an, zunächst anhand des Modells der Orakel-Turing-Maschinen
auf IF eine (Zeit-)Komplexität berechenbarer Funktionen zu
definieren, und dann die entstehende Komplexitätstheorie - analog
zur Berechenbarkeitstheorie - mit Hilfe geeigneter Darstellungen
auf andere Mengen zu übertragen. Im Falle der reellen Zahlen er
weist sich dabei wiederum die Darstellung p als sinnvoll
(s. Ko [2o], [21], Kreitz/Weihrauch [22]). Was allgemein eine
bezüglich Komplexitätseigenschaften günstige Darstellung ist,
wäre noch zu untersuchen.
- 117 -
Anhang: Fußnoten
1) Zur Fastvollständigkeit von [6-6'] , co und £
Aufgrund der Forderungen f£p=6T(p) für pedomfö und r(p) =div für
p£dornfl\ dornffi gibt es eine eindeutige Zuordnung H zwischen [F - F]
und der Menge der (£,£')-stetigen Funktionen, für die gilt [£-£•] =h»$.
Definiert man Hj (D := ( 6(domr ) falls r£X(domtoö), div sonst ) undH2(D := ( ST {o} falls r£x(dom56), div sonst ), so ent
stehen to6 und 56 aus x durch die Abbildungen Hj und H. Aus der Fastvollständigkeit von $ und x folgt hieraus die von [£*£'], w und $.
£ fi"
2) Eine Menge Kc w ist überdeckungskompakt, g.d.w. sie abgeschlossen und wachstumsbeschränkt ist. (Da Kompaktheit in dompund Kompaktheit in IF für KCdomp identisch ist, gilt dieAussage dann auch für Kc dornp.)
Beweis
Es sei Kcif kompakt. Da für alle n£U gilt Kc U{ [w] | lg(„) =n} folgt
aus der Überdeckungseigenschaft direkt die Beschränktheit von K. Wir zeigennun, daß IF\ K offen ist. Dazu sei pe IF \ K. Dann gibt es für alle qe K
ein i mit p1 ?qi] und folglich ist Kq) :=min {i | qCi:l ,4 pCi^} wohl_definiert. Offensichtlich ist Kc UttJ^h Iq£K> und aufgrund der Kompaktheit von K gibt es eine endliche Menge Eck mit Kc u{[q[l(q):l]|q£E}.Wähle nun j:=max {l(q) |q£E}. „egen pCj] ^ qCJ] für alle qe K folgt dann[p D]nK=0, d.h. pe [pC:,:l]c f\ K. Damit ist IF \ Koffen und Kabge-schlössen.
Sei nun umgekehrt Kc IF abgeschlossen und beschränkt durch qe F und es
gelte Kc u{ [v^ (i)] | i e a} für ein Acjn.
- 118 -
Dann ist für alle m die Menge Q := Kn (IF \ U{[v (i)]| i £ A, ism})m IN
abgeschlossen und beschränkt und es gilt Q d Q = Q = Q a ... . Nimmt man
nun an, K sei nicht kompakt, so gilt Q £ 0 für alle m £ W und damit auchm
nQ = Kn (F\U{[v (i)] | i £ A)) £ 0, was ein Widerspruch zur Voraussetzungm IN
ist.
D
3) Zu den Abschätzungen im Beweis von Satz 4.2(1)
Es sei d := |v Z(p)(n) - v E(p)(n+1)|. Per Konstruktion gilt dann
1. Falls v D(n+3)£ ffi J_., v p(n+4)£ <B : d=|v p(n)- v_p(n+l)| i. 2~(n+1>D n+1 D n+z D D
2. Falls ^^+3)4 ffln+1» vDp(n+4)t fin+2:
d<2"(n+1) +|vDp(n+3)-VDp(n+l)| , 2"(n+1) +3.2"(n+3) . 7-2-(n+3)Wegen d£Q folgt dS2_(n+1} .
3. Falls vjp(n+3)e ffi +1» Vop(n+4)4 ffin+2:
Wegen lv P(n+3) -v p(n+l)| < 2~(n+ ' folgt v p(n+3)= v p(n+l) und
p(n+3) =min{ i| vfi)£ m a |v (i)-v p(n+4)| < 2~(n+2)).D n+1 D D
Also d=|vDp(n)- VDp(n+l)| <2_(n+1).4. Falls v p(n+3)i ffl A,» v p(n+4)4 ffi :
D n+1 D n+2
"(n+1) . i.. _,_^, ,_^i + 2~{n+2) - .->-->-(n+4)
(n+1)
d< 2 l"T1'+ |vp(n+3)- v p(n+4)| +2 l '£ 13« 2 l . Wieder folgt aus
d £ ffi die Abschätzung d £ 2
Die Ungleichung für e := |v£(p)(n) - v E(p) (n+2)! verläuft analog:
Falls v p(n+3)£ ffi + , so gilt VDp(n+l)= VDp(n+2)= vDP(n+3).
Für vp(n+5)£ ffin+3 ist e= \v^[n) - vDp(n+2)! S 2~(n+l) .Sonst gilt e< 2~(n+1,+ |vDp(n+3) -VDP(n+5)| +2~(n+3) < 3-2~(n+2).
„ ^ -(n+2) „-(n+1)Mit e £ (B _ ergibt sich e £ 2« 2 =2
n+2
Falls v p(n+3) £ ffl ., so gilt für v p(n+5) £ ffi •.D n+1 D n+J
e< 2"(n+1)+ |vDp(n+3)- vDp(n+2)| S 5-2~(n+3) also e£2_(n+1),und für vj>(n+5)e ffl +3:
e< 2"(n+1)+ |vDP(n+3)-vDP<n+5)| +2~(n+3) <6.2_(n+3) also eS 2"(n+1>
- 119 -
4) Die Zahl xK:=E{2_:L | iGK} ist für nichtrekursives KCINkeine berechenbare reelle Zahl.
Beweis
Da K nicht rekursiv ist, sind K und U\K undendlich und für i£DJ,
P£p" {xK> folgt:
i£K ° "k* 2t2_3|j<i und J£K} +2-i° On) vDp(n)- 2_n> E{2~j | j< i und j£ K) +2_i und
i4K o (3n) vDP(n) +2"n< 2{2~j | j<i und j£ K) +2-i.
Hiermit kann man nun ein berechenbares F konstruieren mit der Eigenschaft
P {xK)cdomr und (VP£P_1{xK}) K= {i | T(p) (i) =0). Da für ein rekursivesp die Menge U | T<p) <i) =0} rekursiv ist, kann x nicht berechenbar sein.
5) Zur Konstruktion des im Beweis von 5.8 angegebenen Operators S.
Wir zeigen zunächst (*): Es gibt ein berechenbares T-.tf F , so daß für
p£dom[firfii] gilt ([£r£I]P)-1Wg =Ur(pq)ndom[fir6i]p.Es sei fii := [6.^-* &j. Nach Lemma 3.13 gibt es ein berechenbares fi mit
ti) = id. 0 . Es folgt1
•(iIPrlo>q =Vi (6lP)_uq = Vpl6I1(V (Definition von £)
" «i'iV««^ =ö^pldomxn(q) =6idon,(xfl(q)^p).Es gibt ein berechenbares A mit XA<p,q> (*> =Jc^,» *p(r> für r€dom$und aufgrund der Offenheit von 6 ein berechenbares r mit
Wr<p,q> =<* I<3[w]ndom xA(pfq)) I^w]} also ^^ =^dom^^Damit gilt (^P)"1^ =VdomXA<p,q>n don,«ip> =«r<p q> n̂ «t* •(Man beachte £_ (domÄp) c dornffi .)
I I yp
- 12o -
Wegen p = [fi » fi ] (Satz 3.12) und I. = io( 1+. ^ Q> folgt aus (*):
Es gibt ein berechenbares A mit
(pp)-1I. = wA< }n dompp = Udkl OD t\< j+l,p> (i) =k+l) ndompp.Definiere S durch £(p,r>(j,i) :=A(r(j),p>(i). Dann gilt
(PP)_1I ,-,_, " WA< /•») jO dompp = U(l I (3i) Z(p,r> <j,i> =k+l) ndompp ,(pp)_1UC =• U{(pp)_1I .... | r(j)> 0}n dompp = UC , >ndompp
für alle pcdomp,r£lF und j mit r(j)>0.
- 121 -
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LEBENSLAUF
Persönliche Daten:
Ausbildung:
April 1964 - Juli 1967
Juli 1967 - Juni 1976
Juni 1976
Juli 1976 - September 1977
Oktober 1977 - Dezember 1981
Dezember 1981
Januar 1982 - heute
Christoph Sebastian Maximilian KREITZ
geboren am 24. November 1957 in Düsseldorf
Grundschule
(Carl-Sonnenschein-Schule, Düsseldorf)
Gymnasium
(altsprachliches Humboldt-Gymnasium mitreformierter Oberstufe, Düsseldorf)
Reifeprüfung
Grundwehrdienst
(Psychologische Verteidigung in Clausthal-Zellerfeld und Andernach)
Studium der Informatik mit Nebenfach Physik
in Aachen
Abschluß der Diplomprüfung
wissenschaftlicher Angestellter im
DFG-Forschungsprojekt "Berechenbarkei t"
bei Professor Dr. K. Weihrauch
am Lehrgebiet Theoretische Informatik,
FernUniversität Hagen