theoretische physik 2 II · • Das Hamiltonsche Prinzip (Prinzip der kleinsten Wirkung) • Symmetrien und Erhaltungsgesetze • Anwendungen der Lagransgeschen Mechanik:-Zentralkraftbewegung,

Theoretische Physik II

Roland MitricFachbereich Physik

Termine und Spielregeln:

Vorlesung:

• Montag 12-14 Uhr und Mittwoch 12-14 Uhr im Großen Hörsaal

Übungsgruppen:

• Montag 8-10 Uhr (1.3.48) Assistent: H. Al-Jibbouri Sprache: englisch

• Dienstag 14-16 Uhr (1.3.48) Assistent: J. Brüggemann Sprache: deutsch

• Dienstag 16-18 Uhr (1.3.48) Assistent: M. Ghabour Sprache: englisch

• Mittwoch 8-10 Uhr (1.3.48) Assistent: J. Petersen Sprache: deutsch

• Mittwoch 14-16 Uhr (1.3.48) Assistent: M. Wohlgemuth: Sprache: deutsch

• Mittwoch 14-16 Uhr (1.4.03) Assistent: P. Lisinetskaya: Sprache: englisch

• Mittwoch 16-18 Uhr (1.3.48) Assistent: M. Saidan Sprache: englisch

• Donnerstag 8-10 Uhr (1.3.48) Assistent: M. Hayn Sprache: deutsch

Es besteht Teilnahmepflicht an den Übungen!

Inhalt der Vorlesung:

Analytische Mechanik:

• Newtonsche Mechanik (Wiederholung)

• Lagrangesche Mechanik

• Das Hamiltonsche Prinzip (Prinzip der kleinsten Wirkung)

• Symmetrien und Erhaltungsgesetze

• Anwendungen der Lagransgeschen Mechanik:

- Zentralkraftbewegung, der Starre Körper, Schwingungen...

• Hamiltonsche Mechanik

• Kanonische Transformationen

• Hamilton-Jacobi-Theorie

Statistische Physik:• Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

• Brownsche Bewegung

• Ensembles, Boltzmann Verteilung, Entropie

• Ideales klassisches Gas

• Verbindung zur Thermodynamik

Lehrbücher

Analytische Mechanik:• Herbert Goldstein: „Klassische Mechanik“ (deutsch oder englisch)

• L. D. Landau, E. Lifshitz: „Lehrbuch der theoretischen Physik-Mechanik I“ (deutsch, englisch, russisch...)

• T. Fließbach: „Mechanik“

• F. Kuypers: „Klassische Mechanik“

• W. Nolting: „Klassische Mechanik“

• V. I. Arnold: „Mathematical Methods of Classical Mechanics“

• C. Lanczos: „The variational principles of mechanics“

Statistische Physik:• T. Fließbach: „Statistische Physik“

• H. B. Callen: „Thermodynamics and Introduction to Thermostatics“

• L. D. Landau, E. M. Lifshitz: „Lehrbuch der theoretischen Physik-Statistische Physik III“

Termine und Spielregeln:

Scheinkriterien:

• mindestens 50 % der Punkte in den Übungsaufgaben (Übungen sollen zu zweit abgegeben werden)

• Eine der beiden Klausuren muss mit mindestens 50 % bestanden werden

• Die Scheinnote basiert ausschliesslich auf der bestandenen Klausur

Warum schon wieder Mechanik?

Während der Schwerpunkt in der TP 1 an der Newtonschen Mechanik und deren Anwendungen lag, wollen wir uns in diesem Semester mit der formalen Struktur der Mechanik beschäftigen.

Es werden neue Formulierungen der Mechanik entwickelt, die:

1. eine viel einfachere und elegantere Lösung der komplexen Probleme der angewandten Mechanik ermöglichen

2. aber vor allem die Basis und Sprache der gesamten modernen Physik (von Elektrodyamik, über allgemeine Relativitätstheore, Quantenmechanik, bis hin zum Standardmodell der Teilchenphysik und Stringtheorie) darstellen!

Newtonsche Mechanik (Wiederholung)

Newton Axiom I:

• Es gibt Bezugssysteme (Inertialsysteme) in denen sich jeder unbeeinflusster Körper unbeschleunigt bewegt

Newton Axiom II:

• Sämtlliche äusseren Einflüsse auf die Bewegung eines Körpers können in einem Kraftvektor zusammengefasst werden. Die Bewegung des Körpers wird in einem Inertialsystem durch folgende Differentialgleichung bestimmt:

Grundgleichung der Mechanik

O

ImpulsOrtsvektor

Geschwindigkeitsvektor

Bemerkung: Die Newtonschen Gesetze der Bewegung haben die einfachste Form im kartesischen Koordinatensystem! Wir wollen aber die Gesetze der Mechanik so formulieren, dass die Bewegunggleichungen Invariant auf die Transformation der Koordinaten sind!

Arbeit, konservative Kräfte und Potentiale

Die Arbeit einer Kraft F entlang einer Kurve C zwischen den Punkten 1 und 2 ist definiert durch

das Kurvenintegral:

parametrische Darstellung der Kurve C, mit z. B. der Zeit als Parameter

O1

2

C

Nach dem zweiten Newtonschen Axiom (für m konstant) gilt:

kinetische Energie:


Eine Kraft heißt konservativ wenn die Arbeit entlang eines beliebigen Weges nur vom Anfangspunkt und Endpunkt und nicht vom Verlauf der Kurve zwischen den beiden Endpunkten abhängt

1

2

Die Arbeit ist genau dann vom Weg unabhängig, wenn ein skalares Feld V(r) existiert so dass;

C1

C2

C3

Das skalare Feld V(r) heißt Potential oder potentielle Energie

oder equivalent:

für jede geschlossene Kurve


Eine Kraft ist genau dann konservativ, wenn ihre Rotation verschwindet:

Beispiel:

Wir betrachten das Vektorfeld:

Ist dieses Feld konservativ?

Wenn ja, wie sieht das Potential aus?

- 0.10 - 0.05 0.00 0.05 0.10

- 0.10

- 0.05

0.00

0.05

0.10


Um zu bestimmen ob das Feld konservativ ist, berechnen wir die Rotation:


Das heißt: Das Feld ist konservativ!

Wie sieht das Potential aus?

Wie suchen eine skalare Funktion V so dass:


- 1.0 - 0.5 0.0 0.5 1.0

- 1.0

- 0.5

0.0

0.5

1.0

Ein nichtkonservatives Feld...

Ist das Feld:

konservativ?

nicht konservativ!

Erhaltungsgesetze (Ein-Teilchen Mechanik)

Impulserhaltung:

Aus folgt für

Drehimpulserhaltung:

Wir definieren den Drehimpuls eines Teilchens als:

Aus dem 2. Newtonschen Gesetz folgt durch Vektormultiplikation mit :


Das heisst:

Wenn:

Drehmoment


Beispiel: Bewegung im Zentralfeld

Zentralfeld:

Beispiele: Schwerkraft, Coulomb-Kraft...



Bei der Bewegung in einem Zentralfeld bleibt der Drehimpuls einer Punktmasse konstant!

Die Bewegung erfolgt immer in einer Ebene! Im Speziellen Fall wenn L=0, sind r und p kolinear, das heisst die Bewegung erfolgt auf einer Gerade!

L

r

p


Energieerhaltung:

Aus dem 2. Newtonschen Gesetz für eine Punktmasse ,die sich

in einem konservativen Feld mit dem Potential V(r) bewegt, folgt:

Skalarmultiplikation mit

Es gilt:


Daher gilt:

Diese Größe, die wir Energie nennen bleibt bei der Bewegung in einem konservativen Feld

erhalten!



Zentralfeld sind immer konservativ!

Das Potential eines Zentralfeldes ist:


Wir müssen zeigen, dass:

Berechnen wir den Gradient des Potentials:

Das heisst, bei der Bewegung in einem Zentralfeld bleibt die Energie!


Beispiel:

Eindimensionale Bewegung:

Wenn sich eine Punktmasse unter Einfluss einer stetigen Kraft F(x) bewegt, dann ist diese Kraft immer konservativ!

Das Potential ist:

Die Energieerhaltung (Das erste Integral der Bewegungsgleichung) kann benutzt werden um die Bewegungsgleichung durch Integration zu lösen:


Separation von Variablen:

Bewegung möglich nur in den Bereichen wo:

Beispiel: Anharmonische Oszillationen in 1D-Potentialtopf

Ein Teilchen mit der Masse m bewegt sich in einer Dimension unter Einflusse einer Kraft deren Potential die folgende Form hat:

Mit welcher Periode Oszilliert das Teilchen für E<0?

Lösungg:

Wir bestimmen zuerst die Grenzen in denen sich das Teilchen bewegt:


•Das Teilchen kann sich nur im Intervall [xmin,xmax] bewegen

•Mit steigender Energie (aber E<0) wird der Bereich in dem das Teilchen Oszilliert größer


Die Halbperiode der Oszillation ist:Variablensubstitution:

Integrationsgrenzen:

Standardintegral!

In unserem Fall gilt:


Die Lösung des Integrals:

Die volle Periode der Oszillation ist damit:

Die Periode ist energieabhängig!


E=-0.5

E=-0.25

T


Bemerkung:

Das Potential das wir gerade untersucht haben heisst Morse Potential und spielt eine große Rolle in der Molekülphysik

Beispiel: Rb2


Bemerkung:

Das Potential das wir gerade untersucht haben heisst Morse Potential und spielt eine große Rolle in der Molekülphysik

Beispiel: Rb2

Mehrteilchensysteme

Wir betrachten die Bewegung eines Systems aus N Teilchen:

1

2

3

i

j

N

System

Fi1

Fi2Fij

Fiext

F1i

F2i

Fji

Die Kraft auf das i-te Teilchen besteht aus einem externen und einem Inneren Anteil zusammen:

Wir nehmen an, dass:Das dritte

Newtonsche Axiom

Mehrteilchensysteme

Was sind externe Kräfte Fiext ?

1

2

3

j

System

Fiext

Umgebung

1‘

F11‘

2‘

F12‘

3‘

F13‘

Externe Kräfte stammen von den Wechselwirkungen mit Teilchen ausserhalb des Systems!entsprechende Reaktionskräfte liegen

auch ausserhalb des Systems!

Mehrteilchensysteme

Bewegung eines N-Teilchen Systems:

(Wir summieren alle Bewegungsgleichungen)

Wir definieren:

Gesamtimpuls

Mehrteilchensysteme

Daraus folt der Impulssatz:

Die zeitliche Änderung des Gesamtimpulses ist gleich der Summe aller externen Kräfte!

Mit der Einführung des Schwerpunktes, kann der Impulssatz auch so formuliert werden:

Gesamtmasse:

Ortsvektor des Schwerpunktes:

Mehrteilchensysteme

Somit können wir den Impulssatz in folgender Form schreiben:

Der Schwerpunkt eines N-Teilchen Systems bewegt sich so, als ob die gesamte Masse in ihm konzentriert wäre und als ob alle äußeren

Kräfte in ihm wirken würden.

Wenn

In Abwesenheit der äußeren Kräfte bleibt der Gesamtimpuls konstant. Innere Kräfte können die Impulse einzelner Teilchen

verändern, aber nicht den Gesamtimpuls!

Im Abwesenheit der äußeren Kräfte bewegt sich der Schwerpunkt unbeschleunigt!

Übungsgruppen, Übungsblätter, Skript...

Stand der Anmeldungen:

• Montag 8-10 Uhr (1.3.48) M. Hayn(deutsch) Anmeldungen: 0

• Dienstag 14-16 Uhr (1.3.48) J. Brüggemann(deutsch) Anmeldungen: 0

• Dienstag 16-18 Uhr (1.3.48) M. Ghabour(englisch) Anmeldungen: 0

• Mittwoch 8-10 Uhr (1.3.48) J. Petersen(deutsch) Anmeldungen: 26

• Mittwoch 14-16 Uhr (1.3.48) M. Wohlgemuth(deutsch) Anmeldungen: 27

• Mittwoch 14-16 Uhr (1.4.03) P. Lisinetskaya(englisch) Anmeldungen: 27

• Mittwoch 16-18 Uhr (1.3.48) M. Saidan(englisch) Anmeldungen: 25

• Donnerstag 8-10 Uhr (1.3.48) Al-Jibbouri(englisch) Anmeldungen: 0

Übungsblätter:

http://userpage/physik/fu-berlin.de/~mitric

Vorlesungsskripte:

http://userpage/physik/fu-berlin.de/~mitric

Mehrteilchensysteme

Beispiel: Hantelbewegung im Gravitationsfeld

g

Mehrteilchensysteme


g

Mehrteilchensysteme


g

Der Schwerpunkt bewegt sich auf einer parabolischen Bahn, wie die Masse M=m1+m2 unter Einfluss der Schwerkraft:

Mehrteilchensysteme

Drehimpulssatz:

Wegen

Wegen

Mehrteilchensysteme

Drehimpulssatz:

i

Fjij

rj

ri

rij =ri - rj

FijWenn Kräfte parallel zu dem Verbindungsvektor rij sind (Zentrale Kräfte) verschwindet der Beitrag der inneren Kräfte:

Kommentar: Die Tatsache, dass

nennt man manchmal starkes Gesetz von „actio et reactio“

Mehrteilchensysteme

Wenn wir die Koordinaten der Teilchen im Bezug auf das Koordinatensystem mit Ursprung im Schwerpunkt beziehen, gilt:

i

rj

ri R

ri‘

j

rj‘

Wenn der Schwerpunkt im Ursprung liegt

Mehrteilchensysteme

Bahndrehimpuls, der die Bewegung des Schwerpunktes beschreibt

Eigendrehimpuls, der die Bewegung der Teilchen um den Schwerpunkt beschreibt

Wie ändert sich der Eigendrehimpuls mit der Zeit?

Wegen

Mehrteilchensysteme

Energie eines N-Teilchen Systems:

Multiplizieren mit

und

Wir nehmen an, dass innere und äußere Kräfte

konservativ sind

Mehrteilchensysteme


Der Term auf der linken Seite ist die zeitliche Ableitung der kinetischen Energie:

Durch Verwendung der Kettenregel kann der erste Term auf der rechten Seite auch direkt als eine Zeitliche Ableitung geschrieben werden:

Wenn wir den dritten Term auch in eine zeitliche Ableitung umformen können haben wir eine erhaltene Größe gefunden!

Mehrteilchensysteme


Schauen wir uns die zeitliche Ableitung von an:

Wegen

Damit ist die zeitliche Ableitung von

Mehrteilchensysteme


In der Gleichung:

kommen diese zeitliche Ableitungen nicht direkt vor...

Also, addieren wir uns subtrahieren das was fehlt...

Faktor 1/2 nicht vergessen...

Mehrteilchensysteme

Energie eines N-Teilchen Systems:Damit haben wir:

Daraus folgt:

Mehrteilchensysteme


Die konstante Größe in der Klammer nennen wir Energie eines N-Teilchen Systems:

Die Energie setzt sich aus zwei Termen zusammen:

kinetische Energie

potentielle Energie

Einteilchen-Anteil Zweiteilchen-Anteil

Zusammenfassung

Newtonsche Mechanik liefert in Prinzip die Lösung aller mechanischen Probleme, wenn alle Kräfte die auf die Teilchen wirken bekannt sind:

Wir haben aber gesagt, dass wir in dieser Vorlesungen andere (schönere) Formulierungen der Mechanik kennenlernen werden

Wozu brauchen wir andere Formulierungen der Mechanik?

•Newtonsche Gleichungen haben eine einfache Form nur in kartesischen Koordinaten. Viele Probleme sind aber viel einfacher in anderen Koordinaten lösbar. Die Transformation der Newtonschen Gleichungen in andere Koordinaten ist mühsam... Es wäre schön eine Form der Bewegungsgleichungen zu finden die in allen Koordinaten gleich ist...

•Nicht alle Kräfte sind immer von vornerein bekannt. Zum Beispiel in Systemen mit Zwangsbedingungen...

•Die Verbindung zur Quantenmechanik ist nicht gut erkennbar in der Sprache der Newtonschen Mechanik...

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