THEOREMA SISA, THEOREMA FAKTOR

BENTUK POLINUM

Prepared by: Romli Shodikin, M.Pd

sabtu., 23 November 2013

Pertemuan 7

Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk LinearTeorema Sisa :

TEOREMA SISA dan TEOREMA FAKTOR

1.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh pembagi linear berbentuk (x – k), maka sisanya adalah s = f(k).

2.Jika suatu suku banyak f(x) dibagi oleh pembagi linear berbentuk (ax + b), maka sisanya adalah s = a

bf Bukti : f(x) = (x – k).H(x) + s

Jika x = k, maka f(k) = (k – k).H(k) + s f(k) = 0.H(k) + s f(k) = 0 + s Sisa s = f(k) (terbukti)

Contoh soal :

1. Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4+4x3–x2+5x– 7) oleh (x – 2)Jawab :S = f(2) = 3.24 + 4.23 – 22 + 5.2 – 7

= 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7= 3.16 + 4.8 – 4 + 10 – 7= 48 + 32 – 1 = 79

Jadi sisa suku banyak di atas adalah 79

2. Suku banyak (2x3 + ax2 + bx – 2) memberikan sisa 7 jika dibagi (2x – 3) dan habis dibagi oleh (x + 2). Tentukan nilai a + b !

Jawab :f(x) = (2x3 + ax2 + bx – 2)

s = 7 jika dibagi (2x – 3) s = = 7 2

3f

s = = 2 + a + b – 2 = 7 23f 32

3 23 2

23

72f s 23b

49a

427

23

x 427 + 9a + 6b = 36

9a + 6b = 9

: 33a + 2b = 3

......(1)

f(x) habis dibagi (x + 2) s = f(– 2) = 0 s = f(– 2) = 2(– 2)3+ a(– 2)2+ b(– 2) – 2 = 0

s = f(– 2) = – 16 + 4a – 2b – 2 = 0

2. Suku banyak (2x3 + ax2 + bx – 2) memberikan sisa 7 jika dibagi (2x – 3) dan habis dibagi oleh (x + 2). Tentukan nilai a + b !

s = f(– 2) = – 16 + 4a – 2b – 2 = 0 4a – 2b = 18 : 22a – b = 9

….......(2)

Dari persamaan (1) dan (2), kita cari nilai a dan b :

(1)….3a + 2b = 3 (2)….2a – b = 9

x 1

x 23a + 2b = 3 4a – 2b = 18 +7a = 21

a = 3 Untuk menentukan nilai b, substitusikan a = 3 pada persamaan (1) atau (2) (2)…. 2 . 3 – b = 9 b = – 3

Jadi a + b = 3 + (– 3) = 0

Teorema Sisa untuk Pembagian Bentuk Kuadrat yang dapat difaktorkan (x – a)

(x – b)Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – a)(x – b)Jika fungsi suku banyak f(x) dibagi oleh (x–a)(x – b),

selalu dapat dituliskan :

f(x) = p(x) . H(x) + s

f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + s(x)

f(x) = (x–a)(x – b) . H(x) + (px+q)

P adalah koefisien x dan q adalah konstanta

Untuk menentukan nilai p dan q lakukan kegiatan 5.2 pada hal. 173

Sehingga didapatkan :

ba

afbbfaqdan

ba

bfafp

)(.)(.)()(

Jadi :

ba

afbbfax

ba

bfafxs

)(.)(.)()(

)(

Contoh soal :Tentukan sisa pembagian suku banyak (3x4+4x3–x2+5x– 7) oleh x2 + x – 6 !

Jawab :

P(x) = x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)F(x) = (3x4+4x3–x2+5x– 7)

a = 2 dan b = - 3

)3(2

79).3(104.2

)3(2

10479)(

xxs

Jadi :

ba

afbbfax

ba

bfafxs

)(.)(.)()(

)(

5

237208

5

25

x

895 x

P(x) = x2 + x – 6 = (x – 2)(x + 3)F(x) = (3x4+4x3–x2+5x– 7)

a = 2 dan b = - 3

Jawab :

f(a) = f(2) = 3.24 + 4.23 – 22 + 5.2 – 7= 48 + 32 – 4 + 10 – 7= 79

f(b) = f(- 3) = 3.(- 3)4 + 4. (- 3)3 – (- 3)2 + 5. (- 3) – 7

= 243 – 108 – 9 – 15 – 7= 104

ba

afbbfax

ba

bfafxs

)(.)(.)()(

)(

Jadi :

SOAL-SOAL LATIHAN

10

.adalah.... sisanya

)3(2x dibagi f(x)banyak suku 5.Jika 3)sisanya-(2x

dibagi jikadan 10 sisanya 1)(x dibagi f(x)banyak Suku 2.2

x

SOAL-SOAL LATIHAN

11

.adalah....)23(xoleh P(x)pembagian

sisa 1. 2)sisanya-(xoleh dibagi jika23)dan -(12x

sisanya)1(xoleh dibagi P(x)banyak suku Suatu 3.

2

2

x

SOAL-SOAL LATIHAN

12

adalah.... 22oleh x P(x)pembagian sisa

2)-(x dibagi 643xP(x)banyak Suku 4.2

23

x

kxx

SOAL-SOAL LATIHAN

13

.adalah.... )32(xoleh h(x)

pembagian sisa maka f(x).g(x)h(x) Jika 15. bersisa

3)-(x dibagi jikadan 9- bersisa 1)(x dibagi jika

g(x)banyak suku 4. bersisa 3)-(x dibagi jikadan

8 bersisa 1)(x dibagi jika f(x)banyak suku Diketahui 5.

2

x

Teorema Faktor

1.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki faktor (x – k) jika dan hanya jika f(k) = 0.

2.Suatu fungsi suku banyak f(x) memiliki faktor (ax + b) jika dan hanya jika = 0 a

bf

Contoh soal :Buktikan bahwa (x – 2) dan (x + 3) adalah faktor-faktor dari suku banyak (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18) !Bukti :f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)• (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18)

Bukti :f(x) = (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)• (x – 2) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)maka f(2) = (2.24 + 7.23 – 4.22 – 27.2 – 18)

= (32 + 56 – 16 – 54 – 18) = 0

Karena f(2) = 0, maka (x – 2) adalah faktor dari f(x)Terbukti

• (x + 3) faktor dari (2x4 + 7x3 – 4x2 – 27x – 18)maka f(-3) = (2.(-3)4 + 7.(-3)3 – 4.(-3)2 – 27.(-3) – 18)

= (162 – 189 – 36 + 81 – 18) = 0

Karena f(-3) = 0, maka (x + 3) adalah faktor dari f(x)Terbukti

Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak

Menentukan Faktor Linear dari Suku BanyakJika f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an dan (x

– a) merupakan faktor dari f(x), maka nilai a yang mungkin adalah faktor-faktor bulat dari an

Contoh soal :Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 – 5x2 – 14x + 8) Jawab :

Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0

f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8

Contoh soal :Tentukan faktor-faktor dari suku banyak (2x3 – 5x2 – 14x + 8)

Jawab :

Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1

Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0

f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8

Untuk a = -2 f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor dari f(x)

Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan dengan cara HORNER sebagai berikut :

2 – 14– 5 8

x = – 22

– 4 +– 9

184

– 80 f(-2)

Sehingga :f(x) = (x – k).H(x) + s

2x3 – 5x2 – 14x + 8 =

2x3 – 5x2 – 14x + 8 =

Jadi faktor dari 2x3 – 5x2 – 14x + 8 adalah (x + 2), (2x – 1) dan (x – 4)

(x + 2).(2x2 – 9x + 4) + 0

(x + 2).(2x – 1)(x – 4)

Menyelesaikan Persamaan Suku Banyak

Contoh soal :Selesaikan persamaan suku banyak 2x3 – 5x2 – 14x + 8 = 0

Jawab :

Nilai a yang mungkin adalah ±8, ±4, ±2, ±1

Dengan cara trial and error, tentukan nilai a yang mungkin dengan mensubstitusikan ke dalan f(x) sehingga f(a) = 0

f(x) = 2x3 – 5x2 – 14x + 8

Untuk a = -2 f(- 2) = 0, sehingga (x + 2) merupakan faktor dari f(x)

Untuk menentukan faktor-faktor yang lain dapat dilakukan dengan cara HORNER sebagai berikut :

2 – 14– 5 8

x = – 22

– 4 +– 9

184

– 80 f(-2)

Sehingga :

f(x) = (x – k).H(x) + s

2x3 – 5x2 – 14x + 8 =

2x3 – 5x2 – 14x + 8 =

Jadi faktor dari 2x3 – 5x2 – 14x + 8 adalah (x + 2), (2x – 1) dan (x – 4)

(x + 2).(2x2 – 9x + 4) + 0

(x + 2).(2x – 1)(x – 4)

Pembagian Suku BanyakHitunglah 1.256 dibagi 3 dengan cara bersusun !

Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (x – k) 1. Cara bersusun

Contoh soal :Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7 dibagi (x – 2) !

Jawab :3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7(x – 2)

3x3

3x4 – 6x3 -10x3 – x2 + 5x – 7

+ 10x2

10x3 – 20x2 -

19x2 + 5x – 7

+ 19x

19x2 – 38x -

3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7(x – 2)

3x3

3x4 – 6x3 -10x3 – x2 + 5x – 7

+ 10x2

10x3 – 20x2 -

19x2 + 5x – 7

+ 19x

19x2 – 38x -43x – 7

+ 43

43x – 86 -79 sisa

Hasil bagi

pembagi

Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43

dan sisanya adalah 79

2. Cara Bagan/Horner/Sintetis :Contoh soal :

Jawab :3 - 14 - 75

x = 2

36 +

102019

3843 79

86 Sisa

Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 3x4 + 4x3 – x2 + 5x – 7 dibagi (x – 2) !

Koefisien Hasil Bagi

Jadi hasil baginya = 3x3 + 10x2 + 19x + 43 dan sisanya adalah 79

Pembagian Suku Banyak

Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (ax+b) 1. Cara bersusun

Contoh soal :Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 6x4 – 4x2 + 2x – 1 dibagi (2x + 4) !

Jawab :6x4 + 0x3 – 4x2 + 2x – 1(2x + 4)

3x3

6x4 + 12x3 -– 12x3 – 4x2 + 2x – 1

– 6x2

– 12x3 – 24x2 -

20x2 + 2x – 1

+ 10x

20x2 + 40x -

6x4 + 0x3 – 4x2 + 2x – 1(2x + 4)

3x3

6x4 + 12x3 -– 12x3 – 4x2 + 2x – 1

– 6x2

– 12x3 – 24x2 -

20x2 + 2x – 1

+ 10x

20x2 + 40x -– 38x – 1

– 19

– 38x – 76 -75 sisa

Jadi hasil baginya = 3x3 - 6x2 + 10x -19 dan sisanya adalah 75

Hasil bagi

pembagi

6x4 – 4x2 + 2x – 1= (2x + 4)(3x3 - 6x2 + 10x -19) + 75

2. Cara Bagan/Horner/Sintetis :Contoh soal :

Jawab :6 – 40 – 12

x = – 2

6– 12 +– 12

2420

– 40– 38 75

76 Sisa

Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 6x4 – 4x2 + 2x – 1 dibagi (2x + 4) !

Jadi hasil baginya : H(x) = 3x3 – 6x2 + 10x – 19 dan sisanya adalah f(– 2) = 75

H(x) =

a

3820x12x6x 23

= 3x3 – 6x2 + 10x – 192

3820x12x6x 23

Pembagian Suku Banyak

Algoritma Pembagian Suku Banyak oleh (ax2+ bx + c) 1. Cara bersusun

Contoh soal :Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 4x4 – 5x2 + 3x – 1 dibagi (2x2 + x – 1) !

Jawab :4x4 + 0x3 – 5x2 + 3x – 1(2x2 + x – 1)4x4 + 2x3 – 2x2 -

– 2x3 – 3x2 + 3x – 1

2x2

– 2x3 – x2 + x -– 2x2 + 2x – 1

– x

-

– 1

– 2x2 – x + 13x – 2 sisa

Hasil bagi

pembagi

2. Cara Bagan/Horner/Sintetis :Contoh soal :

Jawab :

Tentukan pembagian suku banyak f(x) = 4x4 – 5x2 + 3x – 1 dibagi (2x2 + x – 1) !

Diskusikan dan kerjakan, dikumpulkan pada pertemuan yang akan datang !!!!