Embed Size (px)
DESCRIPTION
The World of Matrix Uvod u linearnu algebru. Erna Oklapi Elektroteh nički fakultet, Beograd ernaoklapi @ gmail.com. Njeno Visočanstvo: Matrica. Matematička definicija Definicija u programskim jezicima Matrica je niz nizova Pascal: type MATRICA = ARRAY[1..40, 1..40] of integer; - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
The World of MatrixUvod u linearnu algebru
Erna OklapiElektrotehnički fakultet, Beograd
Njeno Visočanstvo: Matrica Matematička definicija
Definicija u programskim jezicima
Matrica je niz nizova Pascal: type MATRICA = ARRAY[1..40, 1..40] of integer; C: int mat1[40][40]; int * mat2[40]; int** mat3;
Za pravougaonu šemu brojeva ( 1,..., , 1,..., )ija K i m j n predstavljenu u obliku:
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
m m mn
a a a
a a aA
a a a
kažemo da je matrica tipa nad poljem m n Kija A
, a za brojeve
kažemo da su elementi matrice
Njeno Visočanstvo: Matrica
Oznaka i tip Odgovarajući elementi Jednakost
m nijA a
m nijB b
Vrste matrica Nula matrica Matrica vrsta Matrica kolona
(vektor kolona) Kvadratna matrica Dijagonalna
matrica
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...[ ]
...
m
n
nij
n
n
n n n
a a a
a a aA a
a a a
0 0 0
0
0 0
...
0 0 ...
... 0
11 12 1na a a
11
21
1m
a
a
a
11
22
mn
a
aA
a
Vrste matrica
Jedinična matrica Trougaone matrice
1
1
1
I
11 12 1
22 2
...
...n
n
nn
a a a
a a
a
11
21 22
1 2 ...n n nn
a
a a
a a a
Operacije sa matricama
Sabiranje važi komutativnost važi asocijativnost
Množenje skalarom
Operacije sa matricama
Množenje dve matrice broj kolona matrice A jednak broju vrsta
u matrici B broj vrsta u matrici C jednak broju vrsta
u matrici A broj kolona u matrici C jednak je broju
kolona u matrici B Komutativnost ne važi
Algebarske strukture na vidiku?!
Neka je skup svih matrica tipa (m x n). Struktura je Abelova grupa.
Neka je skup svih kvadratnih matrica reda n, snabdeven operacijom sabiranja + i operacijom množenja *. Tada je struktura
prsten sa jedinicom.
m nM ( , )m nM
nM
( , ,*)nM
Transponovana matrica
Ako u matrici zamenimo vrste kolonama i obrnuto dobijamo matricu koja se zove transponovana matrica matrice A.
Transponovanjem vektora dobija se vrsta matrica i obrnuto.
m nijA a
n
T
mijA a
Transponovana matrica Za operaciju transponovanja važe
sledeće teoreme: T1: i T2: Ako su A i B matrice istog tipa tada
je
T3: Za matrice A i B, za koje je definisan proizvod AB, definisan je i proizvod
i važi:
( )T TA A ( )T TA A
( )T T TB BA A
T TB A( )T T TB BA A
Transponovana matrica T4: Za m matrica , za koje je
definisan proizvod , važi jednakost 1,..., mA A1 mA A
1 1( )T T Tm m AA AA
Stepenovanje kvadratne matrice
Neka je A kvadratna matrica. Stepen matrice A definiše se pomoću
Ako su k i m nenegativni celi brojevi, važe formule
0 ,A I 1 ,A A 1n nA AA ( 2,3...)n
,k m k mA AA ( )k m kmA A
Stepenovanje kvadratne matrice
Ako je za neko tada za matricu A kažemo da je nilpotentna. Najmanji broj za koji je
naziva se stepen nilpotentnosti. Ako je za matricu A kažemo da
je idempotentna. Ako je za matricu A kažemo da
je involutivna.
0mA ,m
,k 0kA
2A A
2A I
Determinanta matrice
Neka je matrica A data sa
Preslikavanje definisaćemo pomoću
detA A
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
...
n
n
n n nn
a a a
a a aA
a a a
1 2
11 12 1
21 22 21 2
1 2
...
...det ( 1)
...
n
n
n jj j nj
n n nn
a a a
a a aA a
a a a
a a
Determinanta matrice Broj D=det A se naziva determinanta
matrice A. Neka je data matrica A. Tada se det A
može izraziti u obliku
Gde se sumiranje izvodi preko svih permutacija prvih (drugih) indeksa elemenata, dok su drugi (prvi) indeksi elemenata fiksirani
1 1 2 2
11 12 1
21 22 2
1 2
...
...det ( 1)
...
n n
n
n i ji j i j i j
n n nn
a a a
a a aA a
a a a
a a
Osobine determinanti
T1: T2: Ako se svi elementi jedne vrste
matrice A pomnože nekim brojem c i dobijenu matricu obeležimo sa B, tada je det B=c det A.
T3: Ako su elementi jedne vrste matrice A jednaki nuli, tada je detA=0.
det T AA det
Osobine determinanti
T3: Ako su u matrici A elementi jedne vrste jednaki odgovarajućim elementim neke druge vrste, tada je detA=0.
T4: Ako su u matrici A elementi jedne vrste proporcionalni odgovarajućim elementima neke druge vrste, tada je det A=0.
Osobine determinanti
T5: Determinanta ne menja vrednost ako se elementima jedne vrste dodaju odgovarajući elementi neke druge vrste, prethodni pomniženi istim skalarom.
T6: Ako je u matrici A jedna vrsta linearna kombinacija ostalih vrsta, tada je det A=0
Osobine determinanti
T7: Ako odgovarajući elementi dve vrste matrice A promene svoja mesta i dobijenu matricu obeležimo sa B, tada važi jednakost det B=-det A.
T8: Neka su date kvadratne matrice A i B. Tada je det(AB)=(det A)(det B)
Razlaganje determinante
Minor
Kofaktor
Razvoj determinante po vrsti
Razvoj determinante po koloni
Adjungovana i inverzna matrica
Matrica kofaktora matrice A je adjungovana matrica.
Neka je . Za matricu kažemo da je inverzna matrica
matrice A ako je:
nA M nX M
AX XA I
Inverzna matrica - teorema
Ako je det A≠0, tada inverzna matrica postoji, jedinstvena je i može se predstaviti u obliku
Dokaz...
1A
1 1
detA adjA
A
Literatura
Gradimir V. Milovanović – Linearna algebra
Tatomir P. Anđelić - Matrice
Hvala na pažnji!
Pitanja?Ili zauvek ćutite... :-)
