TEZ Ă DE DOCTORAT CONTRIBU ŢII LA …digilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/badea.pdfOptimizarea schemei de automatizare pentru pornirea stea-triunghi a unui motor trifazat .....140

MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII,

TINERETULUI �I SPORTULUI UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCURE�TI

FACULTATEA DE INGINERIE A INSTALAŢIILOR

TEZĂ DE DOCTORAT

CONTRIBUŢII LA OPTIMIZAREA PROIECTĂRII INSTALAŢIILOR ELECTRICE �I DE AUTOMATIZARE

Conducător ştiinţific:

Prof. univ. dr. ing. Sorin CALUIANU

Doctorand: ing. Eugen - Cristian BADEA

BUCURE�TI - 2010 -

CUPRINS

2

CUPRINS 1. INTRODUCERE .................................................................................................5

2. CONSIDERAŢII ASUPRA PROBLEMEI OPTIMIZĂRII INSTALAŢIILOR ELECTRICE �I DE AUTOMATIZARE ......................................................................10

2.1. Despre stadiul actual al cercetărilor şi preocupărilor în domeniul optimizării instalaţiilor electrice şi de automatizare ..................................................................10

2.2. Principalele obiective urmărite în lucrare ........................................................11

2.3. Soluţii de creştere a fiabilităţii .........................................................................13

2.3.1. Soluţii în faza de proiectare a instalaţiilor .................................................13

2.3.2. Soluţii în faza de execuţie şi exploatare a instalaţiilor...............................14

3. ANALIZA FIABILITĂŢII INSTALAŢIILOR ELECTRICE �I DE AUTOMATIZARE......................................................................................................16

3.1. Noţiuni fundamentale ......................................................................................16

3.2. Principalii indicatori utilizaţi în prezent pentru evaluarea numerică a fiabilităţii instalaţiilor electrice şi de automatizare ..................................................................19

3.2.1. Cazul general ...........................................................................................19

3.2.2. Cazul particular al repartiţiei exponenţiale λ(t)=λ=ct. ................................28

3.3. Metode, modele şi procedee actuale pentru determinarea fiabilităţii instalaţiilor electrice şi de automatizare....................................................................................31

3.3.1. Scheme logice şi diagrame de fiabilitate utilizate la optimizarea instalaţiilor electrice şi de automatizare.................................................................................31

3.3.2. Ipoteza distribuţiei exponenţiale – avantaje, dezavantaje, soluţii alternative utilizate în modelarea fiabilităţii instalaţiilor electrice şi de automatizare .............33

3.3.2.1. Repartiţia exponenţială.....................................................................33

3.3.2.2. Repartiţia Weibull .............................................................................35

3.3.2.3. Repartiţia Gamma ............................................................................36

3.3.2.4. Repartiţia uniformă ...........................................................................37

3.3.2.5. Repartiţia normală (Gauss) ..............................................................38

3.3.2.6. Repartiţia binomială (Bernoulli) ........................................................40

3.3.2.7. Repartiţia Poisson (legea evenimentelor rare) .................................41

3.3.3. Alte ipoteze de calcul al fiabilităţii utilizate la optimizarea instalaţiilor electrice şi de automatizare.................................................................................42

3.3.3.1. Ipoteza evenimentelor independente din punctul de vedere al defectării .........................................................................................................42

3.3.3.2. Ipoteza limitării numărului de stări ale unei instalaţii.........................43

3.3.3.3. Ipoteza limitării numărului de tranziţii într-un interval dat..................43

3.3.3.4. Ipoteza neglijării tranziţiilor din stări de defect în stări de defect.......43

3.3.3.5. Ipoteza valorilor relativ mari ale timpului de funcţionare faţă de timpul de defectare .....................................................................................................43

3.3.4. Funcţionarea sistemelor până la prima defectare.....................................44

CUPRINS

3

3.3.4.1. Fiabilitatea sistemelor compuse dintr-un singur element..................45

3.3.4.2. Fiabilitatea sistemelor compuse din n elemente cu fiabilitate diferită din care, pentru asigurarea stării de funcţionare a sistemului este necesar să fie în stare de funcţionare α elemente...................................................................46

3.3.5. Funcţionarea sistemelor cu restabilire ......................................................50

3.3.5.1. Procese stochastice de tip Markov cu timp continuu........................50

3.3.5.2. Procese stochastice de tip Markov cu timp discret...........................55

3.3.5.2.1. Lanţuri Markov finite omogene....................................................56

3.3.5.2.2. Lanţuri Markov finite neomogene................................................60

3.3.5.2.3. Soluţie pentru determinarea duratei de viaţă a unui proces ........61

3.3.6. Elemente echivalente ...............................................................................69

3.3.7. Grupuri de defectare.................................................................................73

3.3.7.1. Procedeu clasic al grupurilor de defectare .......................................73

3.3.7.2. Procedeu simplificat pentru întocmirea grupurilor de defectare........74

4. PARTICULARITĂŢI ALE FIABILITĂŢII INSTALAŢIILOR DE AUTOMATIZARE......................................................................................................76

4.1. Generalităţi .....................................................................................................76

4.2. Toleranţa la defectări ......................................................................................76

4.2.1. Consideraţii generale................................................................................77

4.2.2. Soluţii de implementare a toleranţei la defectări .......................................77

4.2.2.1. Reconfigurarea sistemelor ...............................................................77

4.2.2.2. Sisteme autotestabile .......................................................................79

4.2.3. Aspecte privind fiabilitatea sistemelor tolerante la defectări .....................80

4.3. Fiabilitatea releelor .........................................................................................83

4.4. Fiabilitatea conectoarelor şi optocuploarelor...................................................85

4.5. Fiabilitatea memoriilor semiconductoare.........................................................88

4.6. Fiabilitatea microprocesoarelor.......................................................................89

4.7. Fiabilitatea software-ului .................................................................................91

5. MANAGEMENTUL FIABILITĂŢII ....................................................................95

5.1. Evoluţia conceptuala de la controlul calităţii la managementul fiabilităţii ........95

5.2. Cerinţe actuale şi perspective.......................................................................100

5.2.1. Managementul fiabilităţii în sens restrâns...............................................100

5.2.2. Managementul mentenabilităţii ...............................................................102

5.2.3. Managementul mentenanţei ...................................................................104

5.2.3.1. Mentenanţa corectivă .....................................................................105

5.2.3.2. Mentenanţa preventivă ...................................................................106

5.2.3.3. Mentenanţa preventivă curentă ......................................................107

5.2.3.4. Testarea curentă periodică.............................................................107

5.2.3.5. Costurile mentenanţei ....................................................................109

5.2.3.6. Mentenanţa bazată pe fiabilitate.....................................................110

5.2.4. Managementul riscului............................................................................112

CUPRINS

4

6. CONTRIBUŢII LA OPTIMIZAREA INSTALAŢIILOR ELECTRICE �I DE AUTOMATIZARE....................................................................................................118

6.1. Consideraţii asupra unor insuficienţe ale teoriei actuale...............................118

6.1.1. Limitarea utilizării funcţiei de fiabilitate ...................................................118

6.1.2. Paradigma distribuţiei exponenţiale a sistemelor fără uzură ..................119

6.1.3. Contractarea şi dilatarea duratei de viaţă a sistemelor...........................119

6.1.4. Defectare sau degradare........................................................................119

6.2. Soluţii propuse pentru evitarea paradoxurilor şi completarea teoriei actuale 120

6.2.1. Necesitatea şi posibilitatea introducerii unor noi caracteristici numerice pentru evaluarea fiabilităţii: viabilitatea, entropia şi riscul ..................................120

6.2.1.1. Viabilitatea......................................................................................120

6.2.1.2. Entropia ..........................................................................................121

6.2.1.3. Riscul .............................................................................................123

6.2.2. Un nou punct de vedere asupra structurilor redundante în instalaţiile electrice şi de automatizare...............................................................................124

6.2.3. Despre cuanta de timp. Aplicaţii în evaluarea fiabilităţii instalaţiilor electrice şi de automatizare .............................................................................................127

6.3. Optimizarea unor soluţii privind instalaţiile electrice şi de automatizare .......128

6.3.1. Optimizarea unei structuri de tip serie ....................................................128

6.3.2. Optimizarea unei structuri de tip paralel .................................................131

6.3.3. Optimizarea redundanţei totale. Cazul unei duble alimentări cu energie electrică .............................................................................................................133

6.3.4. Optimizarea unei instalaţii electrice de tip n = 3, α = 1 ...........................136

6.3.5. Optimizarea unei instalaţii electrice de distribuţie de tipul n = 3, α = 2 ...138

6.3.6. Optimizarea schemei de automatizare pentru pornirea stea-triunghi a unui motor trifazat .....................................................................................................140

6.4. Creşterea fiabilităţii instalaţiilor prin rezervare ..............................................143

6.5. Optimizarea sistemelor complexe. Comparaţie între metodele aproximative simplificate şi metodele clasice de calcul al fiabilităţii ...........................................150

6.6. Optimizarea sistemelor utilizând metoda multiplicatorilor Lagrange .............158

7. CONCLUZII....................................................................................................160

8. SINTEZA PRINCIPALELOR CONTRIBUŢII ORIGINALE.............................163

9. ANEXE...........................................................................................................168

10. BIBLIOGRAFIE..............................................................................................197

1. INTRODUCERE

5

1. INTRODUCERE

Realizările tehnologice fără precedent ale secolului XX nu ar fi fost posibile fără dezvoltarea conceptuală şi operaţională a cercetărilor şi aplicaţiilor în domeniul calităţii şi fiabilităţii. Nu este întâmplător faptul că perioada în care au avut loc marile realizări ale tehnicii (dezvoltarea aplicaţiilor electrotehnicii, electronicii, automatizării, energeticii nucleare, zborurilor spaţiale, etc.) a coincis cu perioada în care au apărut şi s-au dezvoltat calitologia ştiinţifică şi teoria fiabilităţii.

Titlul tezei de doctorat ne pune de la început în faţa necesităţii rezolvării unei prime probleme de optimizare: alegerea dintr-o mulţime de alternative posibile a criteriilor (obiectivelor, mărimilor) pe care să încercăm să le optimizăm în condiţiile unor constrângeri (restricţii) date.

Atât calitatea cât şi fiabilitatea, conform definiţiilor standardizate pe plan internaţional trebuie să satisfacă unele cerinţe ale clienţilor. Deosebirea esenţială dintre calitate şi fiabilitate constă în intervalul de timp de-a lungul căruia trebuie îndeplinite cerinţele. Un adevăr, de necontestat, astăzi este faptul că gestionarea satisfacerii cerinţelor o face piaţa (clienţii). Este natural să ne punem întrebarea dacă clienţii doresc să cunoască intervalul de timp de-a lungul căruia produsul (sistemul) achiziţionat le poate satisface cerinţele. Răspunsul este evident afirmativ şi în concordanţă cu previziunile exprimate în [74], [32] şi [35] privind posibilitatea trecerii de la managementul calităţii la managementul fiabilităţii în prima parte a secolului în care am intrat.

Acest fapt m-a condus la soluţia alegerii criteriului fiabilităţii ca obiectiv pentru optimizarea proiectării instalaţiilor electrice şi de automatizare. Creşterea fiabilităţii oricărui sistem este de regulă restricţionată de costuri astfel încât în orice problemă de optimizare tratată în prezenta lucrare trebuie avute în vedere de fapt două cerinţe, fiabilitatea şi economicitatea. Complexitatea şi diversitatea instalaţiilor electrice şi de automatizare fac să existe o dualitate între cele două cerinţe în sensul că există şi situaţii în care economicitatea este criteriul de optimizat iar fiabilitatea reprezintă o restricţie a problemei.

Aceste aspecte au condus la necesitatea rezolvării unei alte probleme de optimizare: alegerea soluţiei optime dintre alternativa tratării în fiecare caz atât a cerinţei de fiabilitate cât şi a celei de economicitate sau a direcţionării prioritare a efortului de cercetare în direcţia uneia din ele. Restricţia în această problemă este impusă de spaţiul afectat unei teze de doctorat şi de timpul disponibil pentru cercetare în vederea elaborării tezei. Pentru rezolvarea acestei probleme am apelat la criteriul de eficienţă a cercetării ceea ce m-a condus la adoptarea celei de a doua alternative, prioritară fiind fiabilitatea. Acesta deoarece cercetările în domeniul fiabilităţii sunt încă într-o fază de evoluţie accelerată faţă de cele în domeniul economicităţii care sunt aproape de saturaţie.

În capitolul 2 intitulat „CONSIDERAŢII ASUPRA PROBLEMEI OPTIMIZĂRII INSTALAŢIILOR ELECTRICE �I DE AUTOMATIZARE” cerinţa de fiabilitate este particularizată prin cerinţa de durată de funcţionare justificându-se această alegere

1. INTRODUCERE

6

prin faptul că deşi cerinţă este cea mai cerută de piaţă, ea este cea mai puţin reglementată iar evaluarea ei numerică conduce în cazul instalaţiilor cu grad de complexitate mediu şi mare la dificultăţi care deseori nu pot fi depăşite. Sunt evidenţiate erorile de metodă de evaluare care pentru instalaţiile actuale devin inacceptabile.

Se propune orientarea cercetării spre o nouă abordare a problemei evaluării duratei de funcţionare şi chiar o nouă denumire, după modelele din fizică, durată de viaţă. Se consideră posibilitatea ca prin alăturarea indicatorului de risc, mult agreat în ultimele două decenii, problema evaluării numerice a fiabilităţii să fie rezolvată mult mai bine decât cu indicatorii actuali (funcţia de fiabilitate şi rata de defectare la care se adaugă, uneori, durata medie de defectare evaluată statistic).

În continuare se arată că actualele metode şi modele matematice cunoscute în prezent pentru analiza şi optimizarea fiabilităţii conţin şi soluţii care sunt practic depăşite în sensul că pot fi înlocuite cu modele mai simple şi mai eficiente.

În încheierea capitolului se arată că evoluţia tehnologică din ultimele decenii, caracterizată şi de îmbunătăţirea fiabilităţii în general şi a instalaţiilor electrice şi de automatizare în special, s-ar putea să impună chiar revizuirea conceptuală a teoriei actuale a fiabilităţii în sensul că evenimentului defectare trebuie să i se asocieze şi evenimentul degradare. În foarte multe cazuri este chiar suficientă evaluarea degradării care conduce implicit la determinarea duratei de viaţă, conform teoriei entropice a sistemelor (TES) elaborată în ultimii zece ani (1999 - 2008). Formalizarea matematică a proceselor de degradare, cărora le sunt supuse absolut toate sistemele din natură, nu a putut fi realizată până în 1999 pentru că nu a existat un formalism matematic corespunzător pentru al doilea principiu al termodinamicii. Adăugându-se la formalismul din 1999 conceptul de cuantă de timp (2004) şi graf entropic canonic (2008) a fost posibilă realizarea unei teorii simple şi coerente ale cărei aplicaţii din capitolul 6 rezolvă şi problema evaluării fiabilităţii pe baza conceptului de degradare.

În capitolul 3 al lucrării, intitulat „ANALIZA FIABILITĂŢII INSTALAŢIILOR ELECTRICE �I DE AUTOMATIZARE” se prezintă noţiunile, indicatorii, ipotezele, metodele, modelele şi procedeele utilizate în teoria actuală a fiabilităţii sistemelor.

Un loc aparte în acest capitol este cel al proceselor stochastice de tip Markov finite. Deşi, pentru cazul particular al lanţurilor omogene modelul este cunoscut şi menţionat în numeroase lucrări de fiabilitate, datorită unor dificultăţi de percepţie create de lipsa unor exemple de aplicaţii simple şi eficiente în literatura de specialitate, modelul a fost până acum foarte puţin folosit în evaluarea fiabilităţii. Acceptarea noţiunii de cuantă de timp a condus la necesitatea abandonării evaluării fiabilităţii cu modelele clasice mult utilizare în prezent şi trecerea la modelul cu timp discret. Deşi cuanta de timp nu are nici o legătură cu ceea ce se înţelege prin discretizarea timpului, modelul lanţurilor Markov cu timp discret omogene poate fi folosit pentru compararea ordinului de mărime al duratei de viaţă determinată prin modelul entropic.

În capitolul 4 intitulat „PARTICULARITĂŢI ALE FIABILITĂŢII INSTALAŢIILOR DE AUTOMATIZARE” se prezintă faptul că una din cerinţele pe care trebuie să le îndeplinească o instalaţie electrică şi de automatizare este utilizarea a cât mai puţine componente pentru realizarea aceleiaşi funcţii. De aceea, rezolvarea acestui lucru s-a putut face prin înglobarea într-un singur element a mai multor funcţii cu ajutorul electronicii. De aici, a rezultat necesitatea dezvoltării previziunilor de fiabilitate pentru

1. INTRODUCERE

7

sisteme electronice. Previziunile de fiabilitate pentru instalaţii electrice şi de automatizare se bazează pe cunoaşterea unor indicatori de fiabilitate a elementelor componente.

Instalaţiile electrice şi de automatizare au în componenţa sa un număr mare de elemente, lucrarea de faţă prezentând doar o parte dintre acestea, utilizate în mod frecvent în componenţa unei instalaţii electrice şi de automatizare. Astfel, se prezintă modul de punere al problemei în ceea ce priveşte fiabilitatea releelor, fiabilitatea conectoarelor şi optocuploarelor, fiabilitatea memoriilor semiconductoare, fiabilitatea microprocesoarelor şi nu în ultimul rând fiabilitatea software-ului.

În subcapitolul destinat fiabilităţii software-ului, după ce se menţionează utilizarea tot mai frecventă a acestui instrument pentru comanda si supravegherea instalaţiilor de automatizare sunt prezentate tipurile de erori şi de defecte caracteristice care afectează fiabilitatea în acest caz conform standardului internaţional IEEE 982.2/1998 dintre care erorile umane, incompatibilitatea cu cerinţele clienţilor, defectele de proiectare, de codare de documentare şi de operare sunt cele mai relevante. Sunt definite conceptele de fiabilitate a software-ului şi de erori critice.

Fiabilitatea releelor prezintă între particularităţi faptul că în acest caz în locul duratei de viaţă se utilizează numărul de comutări. Sunt prezentate cele mai importante şi interesante aspecte ale fiabilităţii acestor componente care prezintă şi o caracteristică specifică faţă de celelalte componente ale instalaţiilor de automatizare, uzura contactelor si dispozitivelor de acţionare astfel încât tratarea fiabilităţii releelor trebuie făcută în proiectare cu toată responsabilitatea profesională, iar datele de intrare trebuie stabilite exclusiv prin încercări de laborator.

Tratarea fiabilităţii memoriilor semiconductoare relevă ratele mari de defectări timpurii, caracteristice pentru numărul mare de componente integrate, ceea ce necesită o selecţie prin supunerea modulelor la solicitări mari de temperatură şi intensitate a câmpului în timpul fabricaţiei. În cazul microprocesoarelor apar în plus defectări care depind de succesiunea instrucţiunilor, pierderea datelor la întrerupere şi repetare multiplă a comenzilor. Cu toate acestea fiabilitatea proprie a microprocesoarelor este foarte mare faţă de cea a memoriilor sau a altor circuite integrate.

Având în vedere creşterea complexităţii sistemelor tehnice actuale odată cu cerinţa de minimizare a riscului eventualelor defectări, în acest capitol se prezintă câteva concepte de bază utilizate în domeniul sistemelor tolerante la defectări, ce vine în sprijinul micşorării riscului de defectare al sistemelor.

Toleranţa la defectări, caracteristică structurală şi în acelaşi timp soluţie de ameliorare a fiabilităţii instalaţiilor de automatizare este prezentată prin detalierea conţinutului soluţiilor de reconfigurare şi autotestare a sistemelor şi prin formalizarea matematică specifică a principalilor indicatori de creştere a fiabilităţii. La aceşti indicatori se adaugă doi indicatori foarte importanţi pentru optimizarea redundantei instalaţiilor de automatizare şi anume indicele de cost Ic si indicele de eficienta E.

În capitolul 5 intitulat „MANAGEMENTUL FIABILITĂŢII” se prezintă conceptul de calitate care stă la baza dezvoltării conceptului de management al fiabilităţii şi mentenabilităţii. Se arată faptul că activităţile dedicate satisfacerii cerinţelor necesare de fiabilitate influenţează organizarea unei societăţi, deoarece responsabilitatea

1. INTRODUCERE

8

pentru calitate şi fiabilitate revine întregii societăţi. Astfel se arată necesitatea introducerii în organigrama unei societăţi a unui departament centralizat, de sine stătător, pentru asigurarea fiabilităţii, care să acţioneze după un „program de fiabilitate”.

În continuare se arată faptul că noţiunea de fiabilitate în sens larg presupune şi alte noţiuni printre care cea de mentenabilitate. De aceea este prezentat conceptul de management al mentenabilităţii şi în mod evident conceptul de management al mentenanţei.

Având în vedere evoluţia şi răspândirea sistemelor tehnice complexe a căror defectare are un impact puternic asupra instalaţiilor electrice şi de automatizare dar şi asupra mediului înconjurător, preocupările de evaluare şi cuantificare a riscului au crescut foarte mult, fapt ce a dus la dezvoltarea conceptului de management al riscului, prezentat în acest capitol.

Capitolul 6 intitulat „CONTRIBUŢII LA OPTIMIZAREA INSTALAŢIILOR ELECTRICE �I DE AUTOMATIZARE” aduce în discuţie o serie de insuficienţe ale teoriei actuale cum sunt: limitele utilizării funcţiei de fiabilitate, utilizarea distribuţiei exponenţiale ce nu ţine seama de uzura sistemului, duratele de viaţă a sistemelor faţă de duratele de viaţă ale elementelor şi nu în ultimul rând conceptul de defectare folosit în sensul de tranziţie a sistemului din starea de satisfacere a cerinţelor date în stare de nesatisfacere a acestora, concept ce ar trebui înlocuit cu cel de degradare.

În continuare se propun câteva soluţii pentru evitarea paradoxurilor şi completarea teoriei actuale bazate pe conceptul de teorie entropică a sistemelor (TES). Astfel au fost propuşi noi indicatori pentru evaluarea fiabilităţii instalaţiilor electrice şi de automatizare cum sunt: viabilitatea, entropia şi riscul. Totodată este prezentată şi noţiunea de cuantă de timp ce stă la baza grafului entropic canonic şi care va fi utilizat în continuare în aplicaţiile de optimizare.

In acest capitol sunt prezentate o serie de optimizări ale unor soluţii privind instalaţiile electrice de automatizare. Astfel a fost abordată optimizarea sistemelor de tip serie şi a sistemelor de tip paralel. Pentru structurile de tip serie a fost analizată optimizarea unor instalaţii electrice şi de automatizare cum ar fi: instalaţia de alimentare cu energie electrică a unui motor şi instalaţia de automatizare pentru pornirea stea-triunghi a unui motor electric trifazat. Pentru structurile redundante sunt abordate sistemele de două elemente identice din punct de vedere al fiabilităţii, montate în paralel, ce asigură o redundanţă parţială dar şi instalaţiile la care este asigurată redundanţa totală.

Tot în acest capitol sunt analizate optimizările unor instalaţii de tip (n – α) redundante pentru care am considerat cazurile particulare n = 3 şi α = 1 respectiv n = 3 şi α = 2.

În cadrul tuturor exemplelor de optimizare descrise sunt realizate analize bazate pe graficele rezultate în urma calculelor indicatorilor de fiabilitate atât pentru metodologia actuală de calcul a acestora cât şi pentru metodologia de calcul propusă în acest capitol. Toate calculele sunt prezentate sub formă tabelară în capitolul 9 - Anexe.

Una din aplicaţiile din acest capitol abordează problema creşterii fiabilităţii instalaţiilor electrice şi de automatizare prin rezervare, analizând comparativ soluţia de rezervare totală cu soluţia de rezervare parţială.

1. INTRODUCERE

9

În două exemple analizate în cadrul optimizării sistemelor complexe se pune problema comparării rezultatelor obţinute prin metodele aproximative simplificate şi metodele clasice de calcul al fiabilităţii. Metodele luate în discuţie sunt metoda soluţiei generale, metoda grupurilor de defectare, metoda drumurilor extremale şi metoda simplificată a soluţiei generale sau soluţia generală 2 (SG2) cum a fost introdusă în 2002 [61].

În finalul capitolului este prezentată metoda de optimizare utilizând multiplicatori Lagrange, metodă utilizată pentru determinarea maximelor sau minimelor funcţiilor de mai multe variabile.

În capitolele 7 şi 8 sunt prezentate concluziile şi respectiv principalele contribuţii originale ale autorului lucrării.

* * *

Pe această cale doresc să aduc un omagiu domnului Prof. dr. ing. Constantin

IONESCU care m-a îndrumat spre acest interesant domeniu al fiabilităţii. Totodată doresc să adresez deosebite mulţumiri şi profundă recunoştinţă

îndrumătorului de doctorat domnul Prof. dr. ing. Sorin CALUIANU şi domnului Prof. dr. ing. Alexandru STAMATIU pentru înţelegerea şi îndrumarea deosebit de competentă acordată pe tot parcursul elaborării lucrării.

2. CONSIDERAŢII ASUPRA PROBLEMEI OPTIMIZĂRII INSTALAŢIILOR ELECTRICE �I DE AUTOMATIZARE

10


2.1. Despre stadiul actual al cercetărilor şi preocupărilor în domeniul optimizării instalaţiilor electrice şi de automatizare

Prin optimizare se înţelege deseori găsirea celei mai bune soluţii în condiţiile unor constrângeri sau restricţii date. În inginerie, în general, prin optim se înţelege „optimul economic”, acesta putând fi cea mai bună soluţie tehnică în condiţiile unor restricţii financiare impuse sau cea mai ieftină soluţie în condiţiile unor restricţii tehnice impuse de obicei printr-un caiet de sarcini. În ambele variante optimizarea trebuie realizată încă din faza de proiectare a instalaţiilor electrice şi de automatizare, fapt care nu exclude căutarea şi găsirii unor soluţii optime şi în faza de realizare şi de exploatare a instalaţiilor. Este cunoscut faptul că cele mai mari costuri ale unei instalaţii industriale sunt deseori în faza de exploatare, cauza fiind de fapt în faza de proiectare. Între aceste costuri cea mai mare pondere o au cheltuielile cu mentenanţa, cu toate progresele făcute în ultimele decenii în această direcţie.

Acesta este motivul pentru care subiectul prezentei teze de doctorat abordează problema optimizării instalaţiilor electrice şi de automatizare în faza de proiectare.

În domeniul instalaţiilor electrice şi de automatizare există, ca în orice domeniu, unele particularităţi care trebuie şi pot să conducă la o ierarhizare a priorităţilor în domeniul optimizării. Dintre multiplele cerinţe pe care trebuie să le îndeplinească o instalaţiile electrică şi de automatizare, experienţa ne arată că în afara de cerinţa fundamentală de a răspunde scopului sau obiectivului stabilit, nu pot fi trecute cu vederea cerinţele specifice legate de incendii, electrocutări şi durată de funcţionare.

În ceea ce priveşte cerinţa fundamentală şi cele de protecţie împotriva incendiilor şi electrocutărilor nu pot fi făcute concesii deoarece există reglementări stabilite prin standarde şi normative, cerinţa de durată de funcţionare este însă departe de a fi reglementată corespunzător. Ea este practic supusă numai reglementării pieţei, concurenţiale sau nu, astfel încât costurile, daunele, pierderile datorate unei durate de funcţionare neconformă cu aşteptările clienţilor, fiind suportate aproape în exclusivitate de către aceştia.

Aceasta este situaţia actuală! Este însă bine cunoscut faptul că în anii ’70 au fost elaborate standarde la nivel naţional privind evaluarea duratei medii de funcţionare, au fost elaborate reglementări privind obligativitatea înfiinţării laboratoarelor de fiabilitate în învăţământul superior şi în industria producătoare de echipamente pentru instalaţii electrice şi de automatizare, au fost elaborate normative de fiabilitate în domeniul distribuţiei energiei electrice şi în domeniul industriei producătoare. După aproape patru decenii numărul laboratoarelor s-a redus de la câteva zeci la doar câteva laboratoare, iar singurele reglementările normative recente pe plan internaţional sunt încă într-o fază incipientă de implementare.

Cauza acestei situaţii nu trebuie însă căutată în transformările economice, structurale care au avut loc în ultimii douăzeci de ani, ci în constatarea unei eficienţe economice scăzute a laboratoarelor şi normativelor respective.


11

Problema căreia trebuie să i se găsească un răspuns corect, documentat şi argumentat este cea a necesităţii oportunităţii şi posibilităţii reconsiderării unor noi caracteristici numerice prin care să fie apreciată durata de funcţionare.

Necesitatea şi oportunitatea este evidentă, atât furnizorilor cât şi clienţilor le poate fi nu numai utilă ci şi necesară o cunoaştere cât mai apropiată de realitate a unor astfel de caracteristici numerice ale produselor. Posibilitatea evaluării satisfăcătoare a acestor caracteristici este însă astăzi mult discutată. Din anii ’50 şi până astăzi principala cale pentru determinarea duratei de funcţionare a fost cea a încercărilor de laborator, cel mai des a celor de tip accelerat (prin supunerea produselor la suprasolicitări fizice), urmate de prelucrarea statistică a rezultatelor obţinute. Rezultatele sunt însă afectate de mai multe tipuri de erori de metodă dintre care cele produse de evaluarea funcţiilor de corelaţie între solicitările de laborator şi cele reale şi cele de estimare a distribuţiei statistice şi a nivelului de încredere impus de modelul folosit, sunt cele mai importante.

În lucrarea de faţă ne propunem să arătăm că este posibilă o nouă abordare a problemei evaluării duratei de funcţionare prin care să se înlăture unele din dezavantajele de mai sus şi să se obţină, cu un efort de laborator şi de calcul redus, informaţii de mare importanţă nu numai pentru condiţiile iniţiale, ca până acum, ci şi pentru întreaga evoluţie a sistemelor şi proceselor

2.2. Principalele obiective urmărite în lucrare Principalul obiectiv este cel prezentat în ultimul paragraf de mai sus. Vom folosi pentru durata de funcţionare, fie ea medie (obţinută printr-o metodă

de mediere) sau nu, denumirea de durată de viaţă. Această denumire va fi folosită şi pentru caracteristicile de fiabilitate sau siguranţă în funcţionare cum sunt MTTF, MTBF şi celelalte durate din standardul internaţional CEI – IEC – 50(191), prezentate în capitolul 3.1 al lucrării. Echivalenţa cu aceste durate sau intervale de timp prin care se caracterizează în prezent fiabilitatea în sens larg este necesară deoarece pentru aplicaţiile în ingineria sistemelor (instalaţiilor electrice şi de automatizare în cazul acestei lucrări) se vor folosi datele existente în băncile actuale de date sau datele obţinute prin metodele existente pentru ratele de defectare.

Ca orice optimizare şi optimizarea proiectării instalaţiilor electrice şi de automatizare trebuie să aibă definite obiective şi restricţii. Se ştie că pentru caracterizarea oricărui fenomen sau proces nu este suficient un singur indicator (caracteristică numerică). Practica inginerească arată că este necesar, şi în majoritatea cazurilor şi suficient, un număr de doi indicatori. În cazul instalaţiilor electrice şi de automatizare şi nu numai se pare că cel mai util indicator, alături de durata de viaţă, se dovedeşte a fi riscul. Pentru evaluarea numerică a acestor indicatori dispunem de formalismele matematice ale teoriei fiabilităţii sistemelor. Teoria actuală a fiabilităţii se bazează însă pe trei indicatori, funcţia de fiabilitate, rata de defectare şi durata medie de funcţionare fără defectare dintre care ultimul poate fi identificat cu durata de viaţă. Riscul, sub formă de risc tehnic, este considerat ca probabilitatea complementară funcţiei de fiabilitate, multiplicată uneori cu daunele specifice, rezultând riscul în unităţi financiare.

Lucrarea îşi propune să aprofundeze şi aceste aspecte pentru a se găsi soluţii optime aplicabile în problemele concrete deoarece după mai mult de 15 ani de


12

încercări de implementare a indicatorului de risc în practica ingineriei instalaţiilor electrice şi de automatizare rezultatele nu sunt deloc concludente.

Un obiectiv esenţial urmărit în lucrare este şi încercarea de a selecţiona modelele şi metodele matematice utilizate pentru determinarea şi optimizarea instalaţiilor utilizate. O parte din modelele de optimizare folosite în trecut ar trebui abandonate întrucât nu si-au mai găsit aplicaţii suficiente în practica actuală.

Locul acestor modele în practica optimizării proiectării instalaţiilor electrice şi de automatizare se pare că va trebui luat de unele modele care trebuie reconsiderate, ca lanţurile Markov cu timp finit omogene şi neomogene, sau promovate ca modelarea entropică.

Pentru confirmarea şi validarea acestui ultim model, cunoscut şi sub denumirea de teorie entropică a sistemelor (TES), este interesant că în unele aplicaţii să se determine durata de viaţă prin ambele metode (lanţuri Markov discrete şi modelare entropică) şi să se compare rezultatele. Modelul lanţurilor Markov finite nu oferă însă, în faza actuală a dezvoltării, informaţii asupra indicatorului de risc.

Este cunoscut faptul că actuala teorie a fiabilităţii a fost concepută cu scopul reducerii numărului de defectări ale instalaţiilor de automatizare constatate cu ocazia exerciţiului de alarmă generală comandat de secretarul de stat pentru apărare al S.U.A. în 1949. Rezultatul exerciţiului a fost mai mult decât alarmant, echipamentele militare recent modernizate prin automatizare au fost în stare de defectare (neîndeplinirea cerinţelor) pe o durată mai mare de 80% din durata totală a exerciţiului. Ca urmare a acestui rezultat s-a pus problema de a decide între două alternative: renunţarea la sofisticare prin automatizare sau reducerea numărului de defectări ale instalaţiilor de automatizare la un nivel acceptabil. Ca urmare a cercetărilor finanţate în acest scop, după doi ani s-a reuşit să se tranşeze decizia în favoarea celei de a doua alternative, confirmată de rezultatele unor noi manevre militare.

Au trecut şase decenii şi teoria fiabilităţii elaborată cu scopul reducerii numărului de defectări s-a dezvoltat foarte mult dar nu s-a modificat ca baze conceptuale (scop, definiţii, caracteristici fundamentale, modelare matematică). Se poate spune chiar că teoria actuală a fiabilităţii şi-a atins scopul pentru care a fost creată, în sensul că numărul de defectări ale celor mai multe echipamente tehnologice actuale a scăzut până la un nivel cu totul acceptabil, cu toate că nivelul de complexitate şi sofisticare a crescut foarte mult!

Cu toate acestea nici un sistem (produs, instalaţie, echipament, etc.) nu are o durată de viaţă nelimitată în timp!

Care este cauza acestei limitări? La această întrebare ştiinţa din ultimele două secole a dat răspunsuri prin afirmaţii directe sau indirecte, mai mult filozofice decât ştiinţifice, concretizate în conceptul de ireversibilitate şi în principiul creşterii entropiei. Fenomenul considerat „vinovat” de limitarea duratei de viaţă este numit degradare sau degradare entropică.

Până în anul 1999 nu s-a găsit însă nici un formalism sau model matematic satisfăcător care să pună în evidenţă acest fenomen. La Conferinţa Facultăţii de Instalaţii din noiembrie 1999 a fost prezentată comunicarea Entropie şi Fiabilitate [39] iar ca urmare a cercetărilor dezvoltate în acest domeniu pe durata ultimilor zece ani în anul 2004 a fost introdus conceptul de CUANTĂ DE TIMP şi indicatorul numeric numit VIABILITATE [67] iar în anul 2008 [76] a fost redefinită cuanta de timp, şi a fost


13

prezentat modelul matematic numit GRAF ENTROPIC CANONIC cu ajutorul cărora se poate modela simplu şi eficient degradare entropică.

Ca urmare, între obiectivele prezentei lucrări, se află realizarea unor aplicaţii în domeniul optimizării instalaţiilor electrice şi de automatizare cu ajutorul acestor instrumente, ceea ce ar putea constitui o tranziţie de la teoria fiabilităţii bazată pe defectare la o teorie a fiabilităţii bazată pe degradare, numită în referinţele bibliografice de mai sus şi teoria entropică a sistemelor (TES)

2.3. Soluţii de creştere a fiabilităţii

Determinarea indicatorilor de fiabilitate nu reprezintă un scop în sine; valorificarea lor se face prin folosirea indicatorilor în calculele economice, urmărindu-se alegerea unei soluţii optime din rândul mai multor variante pentru fiecare problemă în parte. Prin definiţie creşterea fiabilităţii este o condiţie caracterizată printr-o îmbunătăţire progresivă a performantelor de fiabilitate ale unei entităţi, în decursul timpului. Problema creşterii fiabilităţii instalaţiilor a apărut odată cu apariţia instalaţiilor, fiind evident faptul că totdeauna s-a urmărit realizarea unor instalaţii cat mai fiabile, care să se defecteze cat mai puţin. Soluţionarea acestei probleme s-a făcut şi se mai face încă, în multe cazuri, pe baza experienţei şi intuiţiei celor care concep, realizează sau exploatează instalaţiile, concretizarea soluţiilor regăsindu-se deseori în alegerea unor coeficienţi de siguranţa ridicaţi şi în asigurarea unei redundanţe crescute prin prevederea unor rezerve suplimentare atât în faza de proiectare cât şi în cea de exploatare. Pentru creşterea fiabilităţii se poate şi trebuie să se acţioneze în toate etapele prin care trece un dispozitiv sau o instalaţie: proiectare, fabricare, încercare, stocare, transport, montaj, punere în funcţiune, exploatare, întreţinere şi reparare.

2.3.1. Soluţii în faza de proiectare a instalaţiilor

A proiecta fiabilitatea înseamnă a stabili, încă înaintea începerii execuţiei, nivelul performanţelor de comportare în utilizare, astfel încât instalaţia să-şi îndeplinească cerinţa funcţională stabilită în condiţii de exploatare specificate şi pe întreaga durată prevăzută. Dintre multiplele posibilităţi de intervenţie pentru creşterea fiabilităţii, când este necesar, în faza de proiectare se menţionează:

1. Analiza preliminară a unor instalaţii asemănătoare; 2. Utilizarea unor elemente componente cu indicatori de fiabilitate mai

buni; 3. Stabilirea nivelului de fiabilitate pe baza datelor din încercări; 4. Simplificarea schemelor instalaţiilor. Se ştie că este mult mai uşor să se

conceapă o schemă complicată pentru un anumit scop decât o schemă simplă. Profesionalismul proiectantului este hotărâtor în această privinţă;

5. Realizarea prin proiect a unor regimuri uşoare de funcţionare pentru elementele componente, obţinându-se în acest fel o creştere a fiabilităţii acestora;


14

6. Folosirea redundanţei, în special pentru componentele cu fiabilitate redusă, prin prevederea unor elemente sau sisteme de rezervă parţială sau totală.

Problema redundanţei, a fost enumerată după celelalte cinci metode de creştere a fiabilităţii tocmai pentru obligativitatea epuizării primelor cinci metode înainte de a se apela la redundanţă, care este mai costisitoare. Numai dacă prin aplicarea celorlalte metode nu se ajunge la nivelul dorit pentru fiabilitate se va folosi redundanţa.

7. Asigurarea accesului rapid la elementele instalaţiei în scopul scurtării duratelor intervenţiilor pentru depistarea defectelor şi restabilirea funcţionarii prin reparaţie sau înlocuire;

8. Omogenizarea produsului din punctul de vedere al fiabilităţii elementelor, tinzând la egalizarea duratelor de bună funcţionare a tuturor componentelor.

2.3.2. Soluţii în faza de execuţie şi exploatare a instalaţiilor

În faza de execuţie se poate contribui la creşterea fiabilităţii instalaţiilor prin:

1. calitatea lucrărilor executate concretizată în respectarea strictă a prevederilor din proiecte, normative şi fişe tehnologice;

2. asigurarea controlului riguros al calităţii materialelor şi dispozitivelor componente primite pe şantiere înainte de punerea lor în operă;

3. prefabricarea unei părţi cât mai mari din instalaţii, execuţia prefabricată, realizată în condiţii de industrie, asigurând o calitate superioară cât şi posibilitatea unui control de calitate riguros;

4. executarea probelor, verificărilor, rodajului, punerii în funcţiune în strictă conformitate cu prevederile din normele tehnice, caietele de sarcini şi proiecte;

5. asigurarea unui rodaj corespunzător şi a unei pregătiri corespunzătoare a personalului care urmează să ia în primire instalaţia.

Toate aceste măsuri conduc la scăderea intensităţii de defectare şi apropierea acesteia de valoarea constantă corespunzătoare repartiţiei exponenţiale a timpului de funcţionare fără defecţiuni, conform ipotezei în care a fost determinat prin calcul nivelul de fiabilitate. În faza de exploatare a instalaţiilor se poate interveni pentru creşterea fiabilităţii prin:

1. organizarea şi programarea lucrărilor de mentenanţă preventivă şi corectivă, cu ajutorul modelelor matematice oferite de teoria optimizării, pentru mentenanţa corectivă apelând în special la modelele teoriei aşteptării. Prin aceasta se poate asigura de regulă, micşorarea sau menţinerea aproximativ constantă a intensităţi de defectare şi menţinerea, cel puţin la nivelul considerat constant, în faza de proiectare, a intensităţii de restabilire;

2. utilizarea pentru lucrările de întreţinere şi reparaţii a unui personal cu calificare corespunzătoare, stabilirea precisă a obligaţiilor şi răspunderilor acestui personal;

3. organizarea şi asigurarea culegerii corecte de date privind numărul, cauzele şi duratele defecţiunilor instalaţiilor pentru determinarea, analizarea şi îmbunătăţirea fiabilităţii operaţionale;


15

4. colaborarea cu proiectanţii şi producătorii de aparatură şi elemente componente, prin furnizarea de date din exploatare pe baza cărora să se stabilească masurile necesare pentru creşterea fiabilităţii instalaţiilor.

Toate aceste aspecte şi altele trebuie avute în vedere la elaborarea unei politici de mentenanţă şi stabilirea resurselor cuprinse în logistica de mentenanţă. Cunoaşterea tuturor fazelor prin care trece o instalaţie este necesară pentru organizarea conducerii activităţilor în conformitate cu tehnicile moderne de management al calităţii, fiabilităţii şi mentenabilităţii. La baza celor prezentate în acest subcapitol sunt [37], [27], [64], [63], [28], [33].

3. ANALIZA FIABILITĂŢII INSTALAŢIILOR ELECTRICE �I DE AUTOMATIZARE

16


3.1. Noţiuni fundamentale Termenul de fiabilitate este relativ nou în limba română. Termenul a fost preluat în limba franceză, fiabilité, în anii ’60 prin traducerea termenului englez reliability. Până în deceniul al şaptelea s-au folosit, în literatura română de specialitate, conform STAS 8174/68, termenii siguranţă sau siguranţă în funcţionare, în deceniul al optulea consacrându-se termenul de fiabilitate. Termenul de fiabilitate poate fi definit atât din punct de vedere calitativ cât şi din punct de vedere cantitativ. Calitativ, fiabilitatea reprezintă aptitudinea unei entităţi de a îndeplinii o cerinţă funcţională (o funcţie specificată) în condiţii date şi de-a lungul unui interval de timp dat. Această definiţie este în conformitate cu Vocabularul Electrotehnic Internaţional (VEI), publicaţia CEI 50(191). Cantitativ, fiabilitatea reprezintă caracteristica unei entităţi exprimată prin probabilitatea îndeplinirii cerinţei funcţionale de-a lungul unui interval de timp dat şi în condiţii date. Semnificaţia conceptelor ce apar în definiţiile fiabilităţii sunt prezentate în continuare:

- termenul aptitudine are corespondent în limba franceză aptitude, în limba engleză ability şi reprezintă o caracteristică a unei entităţi;

- termenul entitate este preferabil în locul celui de dispozitiv deoarece are un sens mult mai general, prin entitate înţelegându-se orice element, componentă, dispozitiv, subsistem, echipament şi chiar o persoană sau mai multe;

- funcţia specificată este funcţia pe care trebuie să o realizeze entitatea în conformitate cu parametrii nominali pe care trebuie să-i asigure în condiţii de calitate prevăzute;

- condiţii date înseamnă în general nivelul solicitărilor exterioare la care este supusă entitatea (temperatură, umiditate, şocuri, agenţi chimici, etc.);

- intervalul de timp dat se referă la intervalul de timp de referinţă pentru exprimarea nivelului fiabilităţii, deoarece fiabilitatea poate fi privită ca o calitate care variază în timp;

- caracteristica unei entităţi pune fiabilitatea, care poate fi determinată şi caracterizată printr-o valoare, alături de celelalte caracteristici (tensiune, intensitate, putere, etc.);

- probabilitatea este o mărime ce nu poate fi măsurată direct, are valori cuprinse între 0 şi 1 şi se determină pe baza metodelor teoriei probabilităţilor;

- durata dată reprezintă intervalul de timp dat; - condiţiile de funcţionare specifice reprezintă condiţiile date Se folosesc şi noţiunile de fiabilitate în sens restrâns şi fiabilitate în sens larg.

Prima se referă la definiţia calitativă a fiabilităţii, iar cea de a doua la aspectele combinate de: fiabilitate în sens restrâns, disponibilitate, mentenabilitate şi logistică de mentenanţă.


17

În cazul în care nu se poate face o confuzie a celor două noţiuni, termenul de fiabilitate se foloseşte ca atare fără a specifica sensul restrâns sau larg. Conform standardului internaţional CEI 50(191) se definesc: Mentenabilitatea este capacitatea unei entităţi de a fi menţinută sau restabilită într-o stare în care să poată îndeplini o cerinţă funcţională, în condiţii date, dacă mentenanţa este realizată în condiţii date, cu proceduri şi resurse prescrise. Mentenanţa este ansamblul tuturor acţiunilor tehnice, administrative şi de supraveghere, destinate menţinerii sau restabilirii unei entităţi într-o stare care să poată îndeplini o cerinţă funcţională. Disponibilitatea este capacitatea unei entităţi de a fi într-o stare care să poată îndeplini o cerinţă funcţională, în condiţii date la un moment dat sau într-un interval de timp dat, presupunând resursele asigurate. Logistica de mentenanţă este capacitatea unui sistem de mentenanţă de a putea oferi, în condiţii date, resursele necesare pentru mentenanţa unei entităţi, în conformitate cu o politică de mentenanţă dată. Siguranţa de funcţionare este ansamblul proprietăţilor unei entităţi care descrie disponibilitatea şi factorii care o condiţionează: fiabilitatea, mentenabilitatea şi logistica de mentenanţă. În cele ce urmează se prezintă definiţiile unor termeni comuni, necesari pentru definirea altor termeni care vor fi introduşi pe parcursul lucrării, definiţii ce sunt, în general, acceptate în recomandările cuprinse în normativele internaţionale. Starea de funcţionare este starea unei entităţi în care aceasta îndeplineşte cerinţa funcţională. Starea de nefuncţionare este starea unei entităţi în care aceasta nu îndeplineşte cerinţa funcţională. Defectarea este încetarea unei entităţi de a-şi îndeplini cerinţa funcţională. După defectare, entitatea este în stare de defect. Starea de defect (pană) este starea unei entităţi inaptă de a îndeplini o cerinţă funcţională, excluzând inaptitudinea datorată mentenanţei preventive sau altor acţiuni programate sau lipsei unor resurse exterioare. Starea de disponibilitate este starea unei entităţi caracterizată prin aptitudinea acesteia de a îndeplinii o cerinţă funcţională, presupunând că resursele exterioare, eventual necesare, sunt asigurate. Starea de indisponibilitate este starea unei entităţi caracterizată fie prin defect, fie prin inaptitudinea eventuală de a îndeplini o cerinţă funcţională pe durata mentenanţei. Restabilirea este recuperarea aptitudinii unei entităţi de a îndeplinii o cerinţă funcţională după o defectare. Restabilirea se poate realiza, în general, prin reparare, înlocuire, intrarea în funcţiune a unei rezerve, reconfigurarea unei scheme. Ameliorarea fiabilităţii este o acţiune destinată îmbunătăţirii fiabilităţii prin eliminarea cauzelor defectărilor sistematice şi/sau prin reducerea probabilităţilor de apariţie a altor defectări. Creşterea fiabilităţii reprezintă ameliorarea progresivă a unui indicator de fiabilitate al unei entităţi în timp. Managementul fiabilităţii şi mentenabilităţii reprezintă managementul funcţiunilor şi activităţilor destinate definirii şi realizării obiectivelor de fiabilitate şi mentenabilitate ale unei entităţi. Auditul de fiabilitate şi mentenabilitate este o examinare sistematică şi independentă cu scopul de a determina dacă activităţile şi rezultatele sunt în


18

conformitate cu dispoziţiile planificate şi dacă aceste dispoziţii sunt eficiente pentru realizarea obiectivelor de performanţă de fiabilitate şi mentenabilitate. Termenul de risc este utilizat în prezent în cele mai diverse domenii cum ar fi: economic, tehnic, social, politic, militar, etc. În funcţie de obiectivul urmărit, riscul poate avea semnificaţii şi modalităţi de calcul diferite. Atât în activităţile desfăşurate de oameni, cât şi în funcţionarea aparatelor, instalaţiilor şi echipamentelor tehnice, exista anumite riscuri, care, atunci când sunt întrunite anumite condiţii favorizante, pot duce la pierderi materiale şi umane cu consecinţe grave sau mai puţin grave. Noţiunile de risc şi pericol sunt frecvent utilizate ca fiind sinonime. Prezintă interes de a face distincţie între aceşti doi termeni. Riscul implică o potenţiala pierdere pentru o entitate care poate fi: omul (individ, grup, colectivitate, societate), proprietatea (construcţii, terenuri, instalaţii, echipamente, produse, etc.) şi mediul (solul, subsolul, apa, aerul, vegetaţia, etc.). Riscul (expunerea la pericol) consta dintr-un set de condiţii care prezintă posibilitatea fie a realizării, fie a nerealizării pierderii pentru o anume entitate. Pericolul reprezintă un eveniment sau o situaţie posibilă de a produce pierderi unei entităţi. Problema securităţii sistemelor tehnice este strâns legata de fiabilitatea şi disponibilitatea acestora. Acestea depind de cele doua mari sisteme externe cu care sistemul tehnic interacţionează, respectiv mediul socio-uman şi cel natural. Neglijarea factorilor umani şi ai celor de mediu constituie una din cele mai frecvente greşeli făcute în evaluarea securităţii sistemelor.

Conceptul de securitate tehnică al unui sistem tehnic reprezintă probabilitatea ca, într-un interval de timp dat, sa nu se producă o defectare periculoasa (sa nu se producă o avarie sau un eveniment generator de avarii). Mărimea complementara a securităţii tehnice o reprezintă riscul tehnic. Conceptul de risc tehnic al unui sistem tehnic reprezintă probabilitatea ca, într-un interval de timp dat, sa se producă o defectare periculoasa (sa se producă o avarie sau un eveniment generator de avarii).

Securitatea tehnică şi riscul tehnic sunt funcţii de timp la fel ca şi fiabilitatea şi nonfiabilitatea. Datorită faptului că în sistemele reale, doar unele defectării duc la avarii (pierderi pentru unul din elementele om, mediu, maşină), atunci rezulta că: - probabilitatea de defectare a unui sistem tehnic este mai mare decât probabilitatea producerii unei avarii, în acelaşi interval de timp. - probabilitatea de funcţionare este mai mică decât probabilitatea de a nu se produce o avarie, în acelaşi timp. Cazul particular: defectarea sistemului coincide cu producerea unei avarii reprezintă limita critică. Din punct de vedere fizic, acest lucru, pentru un sistem real este foarte puţin probabil.


19

3.2. Principalii indicatori utilizaţi în prezent pentru evaluarea numerică a fiabilităţii instalaţiilor electrice şi de automatizare

3.2.1. Cazul general

Am prezentat, în subcapitolul 3.1, definiţia cantitativă a fiabilităţii care arată că

fiabilitatea reprezintă o probabilitate ca o entitate să poată realiza funcţia specificată, în anumite condiţii, într-un interval de timp dat.

Funcţia de fiabilitate se notează cu R(t1, t2), unde (t1, t2) este intervalul de timp dat. În general, se consideră că t1 = 0. Astfel, dacă notăm cu t lungimea intervalului (t1, t2), se poate scrie R(t1, t2) = R(0, t) = R(t), ultima notaţie fiind cea mai uzuală. Conform definiţiei de mai sus, se poate scrie }{)( tTPtR f ≥= 3-1 unde R(t) este funcţia de fiabilitate; Tf – variabila aleatoare continuă, durata de funcţionare fără defectare sau durata de bună funcţionare; t – lungimea intervalului (t1, t2).

Funcţia de fiabilitate este o funcţie monoton descrescătoare şi evident R(0) = 1 şi 0)(lim =

∞→tR

t.

În legătură cu notaţia R(t) pentru funcţia de fiabilitate este de menţionat faptul că în unele lucrări se întâlnesc şi alte notaţii între care: P(t), p(t), F(t), F.

Conform teoriei probabilităţilor, funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare Tf este:

)()(1)(1)( tTPtTPtRtF ff <=≥−=−= 3-2

�i pentru F(t) se întâlnesc în literatură alte notaţii cum sunt U(t) şi Q(t). Funcţia Q(t) se mai numeşte funcţia de nefiabilitate sau funcţia de

nonfiabilitate. Densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare tf este:

dt

tdR

dt

tdftf

)()()( −== 3-3

şi reprezintă viteza de scădere a fiabilităţii în timp. Despre funcţia de fiabilitate R(t) se poate spune că:

• este o funcţia descrescătoare, deci fiabilitatea scade în timp; • pentru t = 0 rezultă R(t) = 1; deci la momentul punerii în funcţiune

instalaţia trebuie să fie corespunzătoare calitativ; • pentru t → ∞ rezultă R(t) = 0; deci la durate foarte mari de timp

fiabilitatea devine nulă. • funcţiile R(t) şi F(t) sunt complementare (v. Fig. 3-1), şi evident are loc

relaţia

1)()( =+ tFtR 3-4


20

Fig. 3-1. Reprezentarea funcţiilor R(t) şi F(t).

Rata instantanee de defectare λλλλ(t)

Este limita, dacă există, a raportului dintre probabilitatea condiţionată ca momentul de defectare să se afle într-un interval de timp dat (t, t+∆t) şi lungimea acestui interval, ∆t, atunci când ∆t → 0, ştiind că dispozitivul era în stare de funcţionare la începutul intervalului.

Pentru a determina pe λ(t) se consideră următoarele două evenimente: - A – evenimentul care constă în funcţionarea fără defectare a entităţii în

intervalul (0, t); - B – evenimentul care constă în funcţionarea fără defectare a entităţii în

intervalul (t, t+∆t); Aplicând definiţia probabilităţii condiţionate avem:

)()(

)()(

)/(tR

ttR

AP

BAPABP

∆+=

∩= 3-5

Dacă notăm cu F(t, t+∆t) probabilitatea de defectare în intervalul (t, t+∆t) condiţionată de funcţionarea fără defecţiuni în intervalul (0, t), rezultă:

)()()(

)()(

1)/(1),(tR

ttRtR

tR

ttRABPtttF

∆+−=

∆+−=−=∆+ 3-6

Conform definiţiei lui λ(t), rezultă:

t

tRttR

tRtRt

ttRtR

t

tttFt

ttt ∆

−∆+−=

⋅

∆

∆+−=

∆

∆+=

∞→∆∞→∆∞→∆

)()(lim

)(1

)(1)()(

lim),(

lim)(λ

sau

t ti

R(t) F(t)

F(t)

R(ti)

F(ti)

0

1/2

1

R(t)


21

)(ln)()('

)(

)(

)( tRdt

d

tR

tR

tR

dt

tdR

t =−=−=λ 3-7

Relaţia (3-7) stabileşte legătura directă între rata de defectare şi funcţia de fiabilitate. Deoarece, R’(t) = - F’(t) = - f(t), rezultă

)()(

)(tR

tft =λ 3-8

Deoarece prin definiţie R(t)<1, rezultă

)()( tft >λ 3-9

Pentru instalaţii, o fiabilitate bună presupune de obicei ca R(t)>0,99 astfel încât, în practica inginerească a fiabilităţii instalaţiilor, se poate considera

)()( tft ≅λ 3-10

Rezolvând ecuaţia diferenţială (3-7) în condiţii iniţiale R(0) = 1 rezultă

−= ∫

t

dtttR0

)(exp)( λ 3-11

Având în vedere prima ipoteză introdusă în fiabilitate şi anume aceea a repartiţiei exponenţiale, rata de defectare se reduce la o constantă, notată în general cu λ. În acest caz, funcţia de fiabilitate devine:

tetR λ−=)( 3-12 Experienţa arată că rata de defectare, exprimată prin relaţia (3-7), variază în timpul funcţionării conform unei curbe de tipul celei din Fig. 3-2.

Fig. 3-2. Curba de variaţie λ(t) ≈ f(t)

t

λ(t)

uzură viaţa utilă rodaj

0


22

Curba prezintă trei zone: • zona tinereţii, a rodajului, în cursul căreia rata de defectare este relativ

mare, din cauze diverse, dintre care fac parte şi defectele de fabricaţie a elementului;

• zona de maturitate, viaţa utilă, în cursul căreia rata de defectare este aproximativ constantă, caz în care avem λ(t) = constant = λ;

• zona de bătrâneţe, de uzură, în cursul căreia rata de defectare creşte din nou, datorită defectelor de uzură ireversibile.

Acest tip de curbă este caracteristic pentru elemente de cele mai diferite naturi: tehnice, biologice, sociale, umane, etc.

Uneori interesează probabilitatea de funcţionare fără defectare într-un interval de timp oarecare (t1, t2) cu condiţia ca entitatea să fie disponibilă la începutul intervalului. Pentru a determina relaţia de calcul a acestei probabilităţi considerăm aceleaşi evenimente A şi B ca mai sus dar pentru t = t1 şi ∆t = t2 – t1. Astfel avem:

)()(

)()(

)/(),(1

221

tR

tR

AP

BAPABPttR =

∩== 3-13

Conform (3-11),

ee

et

tt

t

dtt

dtt

dtt

ttR ∫=

∫

∫=

−

−

− 2

11

0

2

0 )(

)(

)(

21 ),(λ

λ

λ

3-14

Rata medie de defectare λλλλ(t1, t2) Reprezintă media ratelor instantanee de defectare într-un interval de timp dat (t1,t2).

∫−=

2

1

)(1

),(12

21

t

t

dtttt

tt λλ 3-15

În CEI – IEC50(191) s-a introdus noţiunea nouă de intensitate instantanee de defectare z(t), noţiune diferită de cea a ratei instantanee de defectare, cu toate că, până la apariţia reglementărilor simbolul folosit azi pentru intensitatea de defectare z(t) era folosit şi pentru rata instantanee de defectare. Intensitatea instantanee de defectare z(t)

Este limita, dacă există, a raportului dintre media stochastică a numărului de

defectări ale unei entităţi reparate într-un interval de timp (t, t+∆t) şi lungimea acestui interval, ∆t, atunci când ∆t → 0.

t

tNttNEtz

t ∆

−∆+=

∞→∆

)]()([lim)( 3-16


23

unde: E este simbolul folosit pentru media variabilelor aleatoare; N(t) – numărul de defectări în intervalul (0, t). Intensitatea medie de defectare z(t1, t2) Reprezintă media intensităţii instantanee de defectare într-un interval de timp dat (t1,t2).

∫−=

2

1

)(1

),(12

21

t

t

dttztt

ttz 3-17

Timpul mediu de bună funcţionare MTBF Reprezintă media duratelor de funcţionare între defectări. Iniţialele MTBF se traduc în limba franceză “moyenne time de bon fonctionnement” iar în limba engleză “mean operating time between faillures”. Această mărime caracterizează fiabilitatea entităţilor reparabile. Timpul mediu de funcţionare înainte de prima defectare MTTF

Reprezintă media timpilor de funcţionare până la prima defectare. Această mărime caracterizează fiabilitatea entităţilor nereparabile. Conform definiţiei unei variabile aleatoare, rezultă

∫∞

⋅=0

)( dttftMTTF 3-18

Integrând prin părţi rezultă

∫∫∞ −∞ ∫

==

∞

0

)(

0

0)(dtt

edttRMTTFλ

3-19

Timpul mediu între defectări Reprezintă media timpilor între defectări. Diferenţa între MTBF şi timpul mediu între defectări este aceea că timpul mediu între defectări include şi duratele de nefuncţionare din diverse cauze (mentenanţă preventivă, stand-by, etc.), altele decât defectarea. Observaţii

1. Se folosesc uzual notaţiile m sau M(Tf) atât pentru MTTF, cât şi pentru MTBF.

2. Relaţia (3-19) este valabilă şi pentru MTBF, în cazul entităţilor reparabile, dacă variabila aleatoare cu densitate de probabilitate f(t) este “durata cumulată a timpilor între două defectări”.


24

În cele arătate mai sus, s-a avut în vedere comportarea entităţilor din momentul punerii în funcţiune şi până la prima defectare. În cazul instalaţiilor, după apariţia defecţiunilor, în urma mentenanţei, entitatea este adusă în stare de funcţionare. Aceasta conduce la necesitatea abordării problemei ţinând seama de perioadele alternative de funcţionare şi de nefuncţionare. În acest scop se definesc şi se determină şi alte mărimi pentru caracterizarea fiabilităţii.

Restabilirea

Reprezintă capacitatea unei entităţi de a-şi recăpăta aptitudinea de a îndeplinii

o cerinţă funcţională, după defect. Mentenabilitatea M(t1, t2) = M(t) Reprezintă probabilitatea ca o acţiune activă de mentenanţă să se poată efectua într-un anumit interval de timp dat, atunci când întreţinerea este realizată în condiţii date şi utilizând procedee şi resurse prescrise. Funcţia de mentenabilitate se notează cu M(t1, t2), unde (t1, t2) este intervalul de timp dat. Din aceleaşi considerente ca şi în cazul fiabilităţii se poate scrie M(t1, t2) = M(0, t) = M(t), ultima notaţie fiind cea mai utilizată. Conform definiţiei de mai sus se poate scrie }{)( tTPtM r ≥= 3-20 unde M(t) este funcţia de mentenabilitate; Tr – variabila aleatoare continuă, durata de restabilire; t – lungimea intervalului (t1, t2). Funcţia M(t) reprezintă chiar funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare Tr. Termenul de "mentenabilitate" este de asemenea folosit pentru a indica performanţa de mentenabilitate cuantificată prin această probabilitate. Prin mentenanţă se înţelege ansamblul tuturor acţiunilor necesare, tehnice şi administrative, inclusiv acţiunile de supraveghere, destinate menţinerii sau restabilirii unei entităţi într-o stare în care să poată îndeplini o funcţiune specificată. Mentenanţa preventiva este mentenanţa efectuată la intervale de timp prestabilite sau în conformitate cu criterii prescrise şi destinată reducerii probabilităţii defectării sau degradării funcţionarii unei entităţi. Mentenanţa corectivă este mentenanţa efectuată în urma detectării defecţiunii şi destinata punerii unei entităţi în stare de a îndeplini o funcţiune specificată. Rata (instantanee) de reparare µ(t) Este limita, dacă există, a raportului dintre probabilitatea condiţionata, ca o acţiune de mentenanţa corectivă să se termine într-un interval (t, t+∆t) şi lungimea acestui interval ∆t, atunci când ∆t → 0, acţiunea nu era terminată la începutul intervalului de timp. Procedând în mod analog faţă de rata de defectare rezultă următoarele relaţii de calcul:


25

.)](1ln[)(1

)(')(1

)(

)( consttMdt

d

tM

tM

tM

dt

tdM

t =−=−

=−

=µ 3-21

∫

−==

t

dxx

etM 0

)(

1)(µ

3-22 Rata medie de reparare µ(t1, t2) Reprezintă media ratelor de reparare instantanee pe un interval de timp dat (t1, t2). Rata medie de reparare se deduce din rata instantanee de reparare µ(t) prin relaţia:

∫−=

2

1

)(1

),(12

21

t

t

dtttt

tt µµ 3-23

Valoarea medie a variabilei aleatoare Td se numeşte timpul mediu de restabilire şi se notează cu M[Td].

∫∞ −∫

=0

)(0][

t

dx

d eTMµ

3-24

Timpul de restabilire (timp de pană) Reprezintă intervalul de timp în care o entitate este în stare de indisponibilitate ca urmare a unei defectări (în engleză time to recovery). Această mărime caracterizează fiabilitatea entităţilor reparabile. Durata medie de pană (restabilire) MTTR Reprezintă media variabilei aleatoare “timpul de pană” (în engleză mean time to repair). Pentru această mărime se mai folosesc notaţiile mr,şi M[Tr]. Analog relaţiei (3-18) putem scrie relaţia între MTTR şi µ(t):

∫ ∫∞ ∞ −∫

=−=

∞

0 0

)(0)](1[

dtt

edttMMTTRµ

3-25

Disponibilitatea (instantanee) A(t) Este probabilitatea ca o entitate să fie în stare de a îndeplini funcţia specificată în anumite condiţii, la un moment dat de timp, presupunând că resursele externe necesare sunt disponibile.


26

Disponibilitatea medie Ā(t1, t2) Reprezintă media disponibilităţilor instantanee într-un interval de timp dat (t1, t2). Disponibilitatea medie se calculează cu ajutorul disponibilităţii instantanee cu formula:

∫−=

2

1

)(1

),(12

21

t

t

dttAtt

ttA 3-26

Disponibilitatea asimptotică A Reprezintă limita, dacă există, a disponibilităţilor (instantanee), atunci când t → ∞. În condiţii date (rata de defectare şi rata de reparare constante) disponibilitatea asimptotică poate fi exprimată prin raportul dintre timpul mediu de disponibilitate şi timpul mediu de indisponibilitate. )(lim tAA

t ∞→= 3-27

Expresia analitică a disponibilităţii asimptotice este:

][][

][

df

f

TMTM

TMA

+= 3-28

Indisponibilitatea (instantanee) U(t) Este probabilitatea ca o entitate să nu fie în stare de a îndeplini funcţiunea specificată în anumite condiţii, la un moment dat de timp, presupunând că resursele externe necesare sunt disponibile. )(1)( tAtU −= 3-29 Indisponibilitatea medie U(t1, t2) Reprezintă media indisponibilităţilor (instantanee) într-un interval de timp dat (t1, t2). Indisponibilitatea medie se calculează cu ajutorul indisponibilităţii instantanee cu formula:

∫−=

2

1

)(1

),(12

21

t

t

dttUtt

ttU 3-30

Indisponibilitatea asimptotica U Reprezintă limita, dacă există, a indisponibilităţilor (instantanee), atunci când t→∞. În condiţii date (rata de defectare şi rata de reparare constante) indisponibilitatea asimptotică poate fi exprimată prin raportul dintre timpul mediu de


27

disponibilitate şi timpul mediu de indisponibilitate. )(lim tUU

t ∞→= 3-31

AU −= 1 3-32

Timpul de disponibilitate Este intervalul de timp în care o entitate este în stare de disponibilitate.

Durata medie de disponibilitate (MUT) Este media variabilei aleatoare “timpul de disponibilitate”. În limba engleză mean up time.

Timp de indisponibilitate Este intervalul de timp în care o entitate este în stare de indisponibilitate.

Durata medie de indisponibilitate (MDT) Este media variabilei aleatoare “timpul de indisponibilitate”. În limba engleză mean down time.

Durata medie totală a stării de funcţionare într-un interval de timp de

durată t M[α(t)] Reprezintă durata medie cumulată a duratelor stărilor de disponibilitate într-un interval de timp dat (0, t)

∫==t

dxxAttM0

)()()]([ αα 3-33

Durata medie totală a stării de defect într-un interval de timp de durată t

M[β(t)] Reprezintă durata medie cumulată a duratelor stărilor de indisponibilitate într-un interval de timp dat (0, t)

∫==t

dxxUttM0

)()()]([ ββ 3-34

Numărul mediu de defecte într-un interval de timp de durată t M[ν(t)]

Numărul mediu de treceri din stări de funcţionare în stări de defect, în intervalul de timp dat (0, t)

][)]([

)()]([rTM

tMttM

βνν == 3-35


28

Se observă că, în cazul funcţionarii fără restabilire, definiţia lui A(t) este echivalentă cu cea pentru R(t), ceea ce explică confuzia făcută uneori între noţiunile de fiabilitate şi disponibilitate. În sprijinul acestei afirmaţii stă determinarea disponibilităţii A(t), pornind de la definiţie şi utilizând formula probabilităţilor totale, se determină ecuaţia:

0)()()(

=−++ µµλ tAdt

tdA 3-36

care conduce la

µλ

µµλ

++= +− tCetA )()( 3-37

Constanta C se determină din condiţiile iniţiale.

Dacă la t = 0 dispozitivul era în stare de funcţionare A(0) = 1, µλ

λ

+=C iar

µλ

λµ µλ

+

+=

+− tetA

)(

)( 3-38

Pornind de la formula (3-36) pentru cazul sistemelor fără restabilire, în care µ = 0, se poate observa că A(t) = e-λt = R(t). Dacă la t = 0 dispozitivul era în stare de defect A(0) = 0, C = -µ (λ + µ) iar

µλ

λµ µλ

+

−=

+− tetA

)(

)( 3-39

În ambele cazuri coeficientul de disponibilitate conform relaţiei (3-27) rezultă:

µλ

µ

+=)(tA 3-40

3.2.2. Cazul particular al repartiţiei exponenţiale λ(t)=λ=ct.

Repartiţia exponenţială este caracterizată de λ(t) = λ = ct. şi rezultă:

• Funcţia de fiabilitate

}{)( tTPtR f ≥= 3-41

tetR λ−=)( 3-42


29

• Funcţia de nonfiabilitate

}{)( tTPtQ f <= 3-43

tetRtQ λ−−=−= 1)(1)( 3-44

• Funcţia de mentenabilitate

}{)( tTPtM r <= 3-45

tetM µ−−= 1)( 3-46

• Rata de defectare

)(ln)( tR

dt

dt −=λ

3-47 • Rata de reparare

)](1ln[)( tMdt

dt −−=µ 3-48

• Disponibilitatea asimptotică

MTTRMTTF

MTTFA

+= 3-49

• Indisponibilitatea asimptotică

AU −= 1 3-50

• Durata medie totală a stării de funcţionare în intervalul t

ttAtM ⋅+

=⋅=µλ

µα )]([ 3-51

• Durata medie totală a stării de nefuncţionare în intervalul t

ttAtM ⋅+

=⋅−=µλ

λβ )1()]([ 3-52


30

• Numărul mediu de defectări într-un interval de timp t

ttA

tM ⋅+

=⋅−

=µλ

λµ

µ

ν1

)1()]([ 3-53

• Timpul mediu de funcţionare fără defectare într-un interval de timp t

λ

1== mMTTF 3-54

• Timpul mediu de nefuncţionare într-un interval de timp t

µ

1== rmMTTR 3-55

• Relaţia de legătura între fiabilitate, nonfiabilitate, mentenabilitate şi disponibilitate

)](1)[(1)()()( rr tMtQtMtQtRA −−=+= 3-56 unde: t este timpul de funcţionare;

tr timpul afectat acţiunilor de mentenanţă. Este bine de precizat faptul că în ultimul timp au apărut multe cercetări privind utilizarea în unele probleme de fiabilitate a repartiţiei Weibull. Funcţia de repartiţie Weibull folosită în teoria fiabilităţii este de forma:

βλ tetF −−= 1)( 3-57 pentru β = 1 rezultând repartiţia exponenţială, iar pentru β ≈ 3,25 repartiţia normal Intensitatea de defectare este 1)( −⋅⋅= ββλ ttz 3-58 Funcţia de mentenabilitate este tetM µ−=)( 3-59 �i în cazul repartiţiei Weibull rezultă că .)( constt == µµ 3-60


31

3.3. Metode, modele şi procedee actuale pentru determinarea fiabilităţii instalaţiilor electrice şi de automatizare

3.3.1. Scheme logice şi diagrame de fiabilitate utilizate la optimizarea instalaţiilor electrice şi de automatizare

Orice instalaţie este alcătuită dintr-un anumit număr de componente conectate

între ele prin conducte de legătură (conductoare, cabluri electrice, ţevi, etc.). Toate acestea sunt în strânsă legătură funcţională pentru realizarea scopului pentru care a fost concepută instalaţia. Componentele unei instalaţii împreună cu conductele de legătură formează elementele sistemului. Putem spune că o instalaţie este un ansamblu de n > 1 elemente conectate între ele în scopul îndeplinirii unei funcţii specificate.

Problema care se pune cel mai frecvent în cercetările legate de fiabilitatea instalaţiilor este cea a determinării indicatorilor de fiabilitate a instalaţiilor pe baza indicatorilor de fiabilitate ai elementelor componente.

Prima etapă în determinarea indicatorilor de fiabilitate ai unei instalaţii este întocmirea unei scheme logice de fiabilitate corespunzătoare schemei tehnologice a instalaţiei.

Schema logică de fiabilitate reprezintă modelul structural care arată cum sunt conectate elementele sistemului din punct de vedere al fiabilităţii. Altfel spus schema logică de fiabilitate a unei instalaţii reprezintă o modalitate descriptivă de evidenţiere a capacităţii funcţionale a ansamblului elementelor componente ale instalaţiei respective şi interconexiunilor lor.

În literatura de specialitate se mai întâlnesc şi denumirile de schemă funcţională, diagramă de fiabilitate, diagramă bloc, model logic de fiabilitate sau schemă de structură.

Schema logică de fiabilitate cuprinde numai elementele care influenţează fiabilitatea instalaţiei. Pentru identificarea acestor elemente trebuie să se analizeze în prealabil schema tehnologică.

Etapele de întocmire a schemei logice de fiabilitate sunt: 1. Stabilirea funcţiei specificate despre care este vorba în definiţia

fiabilităţii; 2. Analiza schemei tehnologice şi identificarea elementelor (inclusiv

conductele de legătură) care influenţează fiabilitatea instalaţiei. Trebuie precizat faptul că pot exista componente a căror defectare nu conduc la defectarea schemei (se mai numesc şi neesenţiale sau irelevante şi nu se regăsesc în schema logică de fiabilitate), componente a căror defectare duc la defectarea schemei şi componente a căror defectare conduce la defectarea schemei numai dacă simultan cu ele sunt în stare de defect şi alte componente (se mai numesc şi esenţiale sau relevante şi se regăsesc în schema logică de fiabilitate);

3. Reprezentarea acestor elemente în schema logică de fiabilitate; 4. Reprezentarea modului de conectare al elementelor schemei din punct

de vedere al fiabilităţii (de menţionat faptul că unei scheme tehnologice de tip serie îi poate corespunde o schemă logică de fiabilitate de tip paralel şi invers).


32

De obicei, reprezentarea elementelor în schema logică de fiabilitate se face prin dreptunghiuri, iar legăturile între diferitele elemente se face în general prin arce neorientate, aceste legături nereprezentând legăturile reale din schema tehnologică.

Astfel pentru alcătuirea schemei logice de fiabilitate a instalaţiei electrice din Fig. 3-3 trebuie definită funcţia specificată.

Fig. 3-3. Schema tehnologică de tip paralel

Astfel funcţia specificată poate fi definită, funcţie de funcţionarea impusă,

astfel: a) Existenţa în stare de funcţionare a ambelor elemente R1 şi R2; b) Existenţa în stare de funcţionare a cel puţin unuia din elementele

R1 şi R2. În consecinţă, schema logică de fiabilitate va fi cea din Fig. 3-4.a. pentru cazul

a), iar pentru cazul b) va fi cea din Fig. 3-4.b.

a) b)

Fig. 3-4. a) Schema logică de fiabilitate de tip serie; b) Schema logică de fiabilitate de tip paralel.

Se observă că funcţie de definirea stării de funcţionare schema logică are diferite aspecte putând să coincidă sau nu cu schema tehnologică.

Este necesară şi analiza defectelor posibile. Astfel există două posibilităţi: - Întreruperea unui element. În acest caz cele arătate mai sus rămân

valabile; - Scurtcircuitarea unui element. În acest caz, starea de funcţionare trebuie

definită numai ca la subpunctul a) şi schema logică de fiabilitate va fi cea din Fig. 3-4.a.

Se poate observa că în acest al doilea caz, schema logică de fiabilitate de tip serie diferă faţă de schema tehnologică care este de tip paralel din punct de vedere electric.

Aceste consideraţii au ca scop evidenţierea importanţei ce trebuie acordată definirii funcţiei specificate şi întocmirii corecte a schemei logice de fiabilitate

R2

R1

R2

R1

R1 R2


33

3.3.2. Ipoteza distribuţiei exponenţiale – avantaje, dezavantaje, soluţii alternative utilizate în modelarea fiabilităţii instalaţiilor electrice şi de automatizare

Sub numele de repartiţii sau distribuţii se înţeleg legile care determină probabilitatea de apariţie a unei mărimi aleatoare după anumite reguli.

Legile de distribuţie folosite în practică pentru exprimarea defectării componentelor trebuie să poată fi descrise prin funcţii foarte simple, care să permită o aplicare accesibilă a matematicii.

În funcţie de natura mărimilor aleatoare, distingem:

a) repartiţii discrete - repartiţia binomială - repartiţia Poisson - repartiţia hipergeometrică

b) repartiţii continue - repartiţia uniformă - repartiţia normală - repartiţia exponenţială - repartiţia Weibull - repartiţia Gamma

Dintre toate, cea mai utilizată repartiţie este cea exponenţială pentru variabilele aleatoare Tf (timp de funcţionare fără defectare) şi Td (timp de restabilire). Această ipoteză a fost introdusă datorită proprietăţilor statistico-matematice ale funcţiei de repartiţie exponenţiale care reuşesc să modeleze relativ complet comportarea în funcţionare a unei game foarte largi de dispozitive, elemente şi sisteme cum sunt: componentele electronice, maşinile unelte, sistemele energetice, schemele de instalaţii electrice, etc.

Pentru instalaţiile energetice din care fac parte şi schemele de instalaţii electrice, utilizarea repartiţiei exponenţiale este reglementată la noi în ţară prin normativul PE 013/94, în care se precizează: “calculele de fiabilitate se elaborează considerând că dispozitivul (instalaţia) este complet echipat în conformitate cu proiectul şi că în perioada pentru care se efectuează calculul prezintă intensităţi de defectare şi reparare (înlocuire) constante şi în consecinţă, distribuţii exponenţiale pentru duratele de funcţionare şi de reparare”.

În continuare, bazându-mă pe [63], [34], [49] voi prezenta atât distribuţia exponenţială cât şi câteva alternative la aceasta.

3.3.2.1. Repartiţia exponenţială

Variabila aleatoare cu funcţia de repartiţie 0,1)( )( ≥−= − xeXF xλ 3-61 se numeşte variabilă aleatoare cu repartiţie exponenţială.


34

Densitatea de repartiţie:

)()( xexf λλ −= 3-62

Valoarea medie a variabilei aleatoare este

λ

1)( =XM 3-63

Dispersia variabilei aleatoare este

2

1)(

λ=XD 3-64

0 proprietate foarte importantă a acestei repartiţii este aceea că o variabilă aleatoare X cu repartiţie exponenţială este “lipsită de memorie" în sensul că )()/)( yXPxXyxXP >=>+> 3-65

oricare ar fi numerele nenegative x şi y. Se demonstrează că lipsa de memorie a variabilei aleatoare cu repartiţie exponenţială este o proprietate caracteristică a acesteia în sensul că îndeplinirea condiţiei date de relaţia (3-65) este suficientă pentru ca oricare ar fi x, y ≥ 0 variabila aleatoare X să aibă repartiţie exponenţială, Graficul funcţiei de repartiţie şi curba de repartiţie pentru o variabilă aleatoare cu repartiţie exponenţială sunt prezentate în Fig.3-5.

a) b) Fig.3-5. a)Graficul funcţiei de repartiţie exponenţială pentru o variabilă aleatoare; b) Graficul curbei de

repartiţie exponenţială pentru o variabilă aleatoare.

)(

1

XM=λ

F(x)

0 M(X) 2M(X) 3M(X) x

1

f(x)

0 M(X) 2M(X) 3M(X) t


35

3.3.2.2. Repartiţia Weibull

Variabila aleatoare cu funcţia de repartiţie

0,,0,1)( )( >⟩≥−= − βαβλ xexF x 3-66

se numeşte variabilă aleatoare cu repartiţie Weibull. Funcţia de repartiţie a acestei variabile aleatoare se mai întâlneşte şi sub forma

0,,1)(0

≥≥=

−−

uuxexFx

uxβ

3-67

din care pentru α

β

=

0

1x

şi u = 0 rezultă forma din relaţia (3-66)

Densitatea de repartiţie este

)(1)(βαβαβ xexxf −−= 3-68

Pentru β = 1 rezultă repartiţia exponenţială. Pentru β = 2 se obţine aşa numita repartiţie Rayleigh. Media variabilei aleatoare este

+Γ=

−

11

)(1

βα βXM 3-69

unde

+Γ 1

1β

reprezintă funcţia lui Euler de speţa doua cunoscută din analiza

matematică

0,)(0

)(1 >=Γ ∫∞

−− xdueux ux 3-70

Dispersia variabilei aleatoare este

+Γ−

+Γ=

−22

11

12

)(ββ

α βXD 3-71

Graficul funcţiei de repartiţie şi curba de repartiţie, pentru variabile aleatoare cu repartiţie Weibull sunt prezentate în Fig. 3-6. Pentru α = 1 şi β = 1, 2, 3.


36

a) b)

Fig. 3-6. a)Graficul funcţiei de repartiţie Weibull pentru o variabilă aleatoare; b) Graficul curbei de repartiţie Weibull pentru o variabilă aleatoare.

3.3.2.3. Repartiţia Gamma


∫∞

−−

Γ−=

x

au dueua

xF )(1

)(1)( α

α

α 3-72

unde 0 ≤ x < ∞ se numeşte variabilă aleatoare cu repartiţie gamma. Densitatea de repartiţie este

)(1)()(

)( axeaxa

xf −−

Γ= α

α 3-73

Valoarea medie a variabilei aleatoare este α=)(XM 3-74 Dispersia variabilei aleatoare este α=)(XD 3-75 Graficul funcţii de repartiţie şi curba de repartiţie pentru repartiţia gamma sunt prezentate în Fig. 3-7.

1

F(x)

0 0,5 1 1,5 x

1 f(x)

0 1 2 3 x

β = 1 β = 2 β = 3


37

a) b)

Fig. 3-7. a)Graficul funcţiei de repartiţie gamma pentru o variabilă aleatoare; b) Graficul curbei de repartiţie gamma pentru o variabilă aleatoare.

Pentru λ

α1

= în repartiţia gamma se obţine repartiţia Erlang.

3.3.2.4. Repartiţia uniformă


>

≤≤−

−

≤

=

bxpentru

bxapentruab

ax

axupentr

xF

,1

,

,0

)(

&

3-76

se numeşte variabilă aleatoare cu repartiţie uniformă dacă valorile ei sunt echiprobabile şi se află în intervalul dat [a,b].

Densitatea de repartiţie este:

∉

∈−=

],[,0

],[,1

)(baxpentru

baxpentruabxf 3-77

Se poate calcula:

• media variabilei aleatoare (x), uniformă pe [a,b], este

2)(

baxM

+= 3-78

1 F(x)

0 x

f(x)

0 2 4 6 x

0,5

α =4


38

• dispersia variabilei aleatoare (x), uniformă pe [a,b], este

12

)()(

2ab

xD−

= 3-79

Graficul funcţiei de repartiţie şi curba de repartiţie pentru o variabilă aleatoare cu repartiţie uniformă sunt prezentate în Fig. 3-8.

a) b)

Fig. 3-8. a)Graficul funcţiei de repartiţie uniformă pentru o variabilă aleatoare; b) Graficul curbei de repartiţie uniformă pentru o variabilă aleatoare.

3.3.2.5. Repartiţia normală (Gauss)

De remarcat este faptul că această repartiţie este folosită ca model matematic pentru cazurile când predomină defectarea prin uzură. Variabila aleatoare cu funcţie de repartiţie

∫∞−

−−

=x mu

duexF2

2

2

)(

2

1)( σ

πσ 3-80

se numeşte variabilă aleatoare cu repartiţie normală. Densitatea de repartiţie este

−−

=2

2

2

)(

2

1)( σ

πσ

mu

exf 3-81

Valoarea medie a variabilei aleatoare este mXM =)( 3-82 Dispersia variabilei aleatoare este 2)( σ=XD 3-83

F(x)

0 a b x

1

ab −

1

f(x)

0 a b x


39

Graficul funcţiei de repartiţie şi curba de repartiţie sunt prezentate în Fig. 3-9. a) b)

Fig. 3-9. a)Graficul funcţiei de repartiţie normală pentru o variabilă aleatoare; b) Graficul curbei de repartiţie normală pentru o variabilă aleatoare.

În Fig. 3-9 punctele de abscisă m ± σ sunt puncte de inflexiune. Se poate demonstra că ( ) 9974,03 =<− σmXP 3-84

relaţie cunoscută sub denumirea de "regula lui 3σ ". Curba de repartiţie a variabilei aleatoare cu repartiţie normală este cunoscută şi sub denumirea de “curba lui Gauss" sau "clopotul lui Gauss" deoarece a fost introdusă de C.F.Gauss (177. - 1855) ca fiind curba căreia trebuie să i se supună erorile de observaţie pentru ca media aritmetică a unei mulţimi de măsurări să fie valoarea cea mai apropiată de valoarea "adevărată". În realitate, erorile de observaţie se supun mai mult sau mai puţin aproximativ repartiţiei normale. Trebuie accentuată importanţa teoretică deosebită a repartiţiei normale şi locul ei central în problemele asimptotice ale teoriei probabilităţilor. În practică se utilizează deseori repartiţia normală cu parametrii m = 0 şi σ =1.

∫∞−

−

=x u

duexF2

2

2

1)(

π 3-85

numită repartiţie normală redusă sau funcţia integrală a lui Laplace, pentru care rezultă

−

=2

2

2

1)(

x

exfπ

3-86

0)( =XM 3-87 1)( =XD 3-88

F(x)

0 x

1

f(x)

0 m-σ m m+σ x

σ2 < σ

σ1 > σ


40

Valorile acestei funcţii sunt tabelate. Tabelele se folosesc nu numai pentru repartiţia normală redusă ci şi pentru orice repartiţie normală deoarece dacă o va-riabilă aleatoare X are repartiţia normală cu parametrii m şi σ atunci variabila

aleatoare )(1

mXY −=σ

are repartiţie normală cu parametrii m = 0 şi σ = 1.

3.3.2.6. Repartiţia binomială (Bernoulli)

Variabila aleatoare

−−− −− nknkk

n

n

n

n pppCppCp

nkX

.....)1(.......)1()1(

............1011 3-89

se numeşte variabilă aleatoare cu repartiţie binomială sau simplu variabilă aleatoare binomială. Valorile xi = 0, 1, ... k ... n ale acestei variabile aleatoare reprezintă numărul de realizări în k experienţe repetate ale unui eveniment care are probabilitatea de realizare într-o experienţă egală cu p. Notând cu q = 1 – p probabilitatea de nerealizare a evenimentului într-o experienţă se observă că probabilităţile pi de apariţie a evenimentelor X = xi sunt termenii dezvoltării binomului (q+p)n fapt care explică denumirea acestei repartiţii. Repartiţia binomială se mai numeşte şi "repartiţia lui Bernoulli" deoarece se aplică în cazul aşa numitei "schema de probabilitate a lui Bernoulli" (n extrageri repetate ale unei bile dintr-o urnă care conţine un număr dat de bile de două culori, punând după fiecare extragere din nou în urnă bila extrasă). Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare binomiale definită mai sus, conform relaţiei (3-89) va fi ∑

⟨

−−=xk

knkkn ppCXF )1()( 3-90

Pentru a calcula valoarea medie a variabilei aleatoare binomiale X se consideră variabila aleatoare Xi care corespunde unui eveniment A care într-o experienţă i poate să se realizeze cu probabilitatea pi :

− ii

ipp

X1

10 3-91

Valoarea medie a acestei variabile aleatoare este iiii pppXM =+−= 1)1(0)( 3-92 Valoarea medie a variabilei aleatoare binomiale va fi

∑ ∑= =

==n

i

n

i

ii pXMXM1 1

)()( 3-93


41

Pentru p1 = p2 = … = pn = p npXM =)( 3-94 Dispersia variabilei aleatoare binomiale este )1()1()1()0()( 22

iiiiiii ppppppXD −=−+−−= 3-95 Dispersia variabilei aleatoare binomiale pentru evenimente independente (kxy=0), în cazul a n variabile aleatoare este

)1()()(1 1

i

n

i

n

i

ii ppXDXD −==∑ ∑= =

3-96

Pentru p1 = p2 = … = pn = p )1()( pnpXD −= 3-97 Abaterea medie pătratică a variabilei aleatoare binomiale )1()( pnpX −=σ 3-98

3.3.2.7. Repartiţia Poisson (legea evenimentelor rare)

Variabila aleatoare

−−−

........!)(

.......!1

.................10)()()(

eeel

kll

k

ll

k

X λλλ λλ 3-99

se numeşte variabile aleatoare cu repartiţie Poisson. Valorile xi = 0, 1, ..., k, ... ale acestei variabile aleatoare reprezintă numărul de puncte într-un interval de lungime l pe o axă, punctele fiind dispuse cu o densitate constantă λ, independente unul de altul, iar probabilitatea ca într-un interval mic ∆l să fie două sau mai multe puncte fiind considerată neglijabilă faţă de probabilitatea de a fi un singur punct. Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare cu repartiţie Poisson este

∑⟨

−=

xk

lk

ek

lXF

)(

!)(

)(λλ

3-100

Repartiţia Poisson rezultă din repartiţia binomială în cazul în care se consideră în repartiţia binomială n foarte mare şi p foarte mic astfel ca np = const. = a (practic e suficient ca p ≤ 0,05 iar n ≥ 20). Se poate scrie


42

ea

kknkk

nn k

appC

−−

∞→=−

!)1(lim 3-101

Pentru a = λl rezultă variabila aleatoare cu repartiţie Poisson definită mai sus. Pentru variabila aleatoare cu repartiţie Poisson lXDXM λ== )()( 3-102 Repartiţia Poisson se mai numeşte "legea evenimentelor rare" deoarece corespunde evenimentelor rare cum sunt apelurile telefonice sau defectările unui dispozitiv într-un interval de timp dat.

3.3.3. Alte ipoteze de calcul al fiabilităţii utilizate la optimizarea instalaţiilor electrice şi de automatizare

O instalaţie este formată dintr-un număr mare de elemente simple, grupate

funcţional, în vederea atingerii scopului pentru care a fost realizată instalaţia respectivă. În cursul exploatării instalaţiei se pot produce defectării ale elementelor sale. Instalaţia se poate afla în mai multe stări posibile, în funcţie de elementele aflate în stare de funcţionare şi cele aflate în stare de defect. Stabilirea tuturor stărilor posibile ale instalaţiei rezultă din examinarea modului de funcţionare a ei, rezultând astfel ipoteze simplificatoare atât din considerente teoretice, cât şi din considerente de simplificare a calculelor (practice).

3.3.3.1. Ipoteza evenimentelor independente din punctul de vedere al defectării

În baza acestei ipoteze, elementele componente ale unei instalaţii se vor considera independente din punctul de vedere al defectării, adică defectarea unui element al instalaţiei nu influenţează defectarea altor elemente componente ale aceleiaşi instalaţii. Aceasta ipoteză, deşi nu s-ar putea aplica în toate cazurile deoarece există elemente care prin defectarea altor elemente (elementele cu rol de protecţie), se consideră admisă datorită următoarelor considerente:

• este o ipoteza acoperitoare; • diferenţele rezultate în urma calculelor efectuate în cazul

schemelor de instalaţii electrice şi energetice cu elemente independente fată de schemele cu elemente dependente din punctul de vedere al defectării sunt mici;

• conduce la reducerea semnificativa a volumului de calcul şi a relaţiilor de calcul;

• conduce la stabilirea unor reguli generale şi relaţii generalizate pentru determinarea indicatorilor de fiabilitate a instalaţiilor.


43

3.3.3.2. Ipoteza limitării numărului de stări ale unei instalaţii

Aceasta ipoteză precizează în mod clar faptul că o instalaţie se poate afla în numai două stări: starea de funcţionare şi starea de defect. Aceasta ipoteza nu este valabilă decât atunci când este precizată în mod expres şi o altă stare decât cele expuse anterior. Este necesară precizarea faptului că, nu este vorba de numărul de stări ale unui sistem, rezultate ca urmare a stărilor fiecărui element component, deoarece, fiecare element poate fi la rândul sau în stare de funcţionare sau stare de defect şi atunci numărul de stări va fi 2n (n fiind numărul componentelor relevante ale sistemului).

3.3.3.3. Ipoteza limitării numărului de tranziţii într-un interval dat

Pentru rezolvarea problemelor cu ajutorul metodei modelării funcţionarii instalatei prin procese stohastice de tip Markov sau cu ajutorul procedeului grupurilor de defectare, sunt necesare introducerea următoarelor două ipoteze:

• Probabilitatea producerii simultane a două sau mai multe evenimente de tipul defectărilor sau restabilirilor, într-un interval de timp elementelor este neglijabilă;

• Probabilitatea ca într-un interval de timp finit, în care o instalaţie cu un element relevant, să se defecteze mai mult decât încă un element relevant se poate neglija. Aceasta ipoteză este cunoscută ca ipoteza neglijării probabilităţilor de defectare triple.

În practică pot apărea situaţii care nu pot fi simplificate cu ajutorul a celor două ipoteze şi în aceste cazuri se căută să se utilizeze un model, procedeu sau metodă de calcul care nu presupun îndeplinirea acestor ipoteze.

3.3.3.4. Ipoteza neglijării tranziţiilor din stări de defect în stări de defect

Aceasta ipoteza exclude ca în timp ce o instalaţie se află în stare de defect şi este supusă acţiunilor de mentenanţă corectivă să se defecteze un alt element al instalaţiei. Practic, defectarea unui alt element în perioada de când instalaţia se află în stare de nefuncţionare, are o probabilitate foarte “scăzută” mai ales în cazul schemelor de instalaţii electrice. Aceasta ipoteză conduce la avantaje privind reducerea şi sistematizarea calculelor.

3.3.3.5. Ipoteza valorilor relativ mari ale timpului de funcţionare faţă de timpul de defectare

Este evident că o instalaţie prezintă interes numai atunci când timpul de funcţionare a instalaţiei este suficient de mare faţă de timpul de defectare. Pentru aceste sisteme se consideră, de obicei, că raportul MTTF / MTTR are valori în jur de 100 şi mai mari şi în cazuri izolate se pot întâlni valori între 50-100, instalaţiile făcând parte din sistemele numite “de înaltă fiabilitate”.


44

Această ipoteză poate fi folosită pentru stabilirea unor relaţii aproximative, simplificate, pentru elaborarea unor procedee de simplificare a schemelor logice de fiabilitate. Ipoteza simplifică sistemul de ecuaţii diferenţiale pentru determinarea indicatorilor de fiabilitate prin modelul proceselor stohastice de tip Markov într-un sistem de ecuaţii liniare algebrice, prin faptul ca dacă MTTF / MTTR > 50-100, atunci se poate considera disponibilitatea independentă de timp, fapt ce echivalează cu independenta de timp a probabilităţilor absolute a stărilor unui sistem.

3.3.4. Funcţionarea sistemelor până la prima defectare

Complexitatea relativă a modelelor utilizate în analiza fiabilităţii instalaţiilor în

ipoteza funcţionării cu restabilire conduce deseori la opţiunea efectuării analizei în ipoteza funcţionării fără restabilire. Informaţia care se obţine prin modelele fără restabilire este însă, în general mai puţină decât cea oferită de modelele cu restabilire, datorită atât numărului de indicatori cât şi semnificaţiei acestora în raport cu scopul urmărit. Sunt însă şi cazuri în care o analiză în ipoteza fără restabilire este mai mult decât satisfăcătoare putând fi chiar mult mai adecvată în situaţiile în care numărul mediu de defectări într-o unitate de timp nu este semnificativ pentru cazul în speţă, iar funcţia de fiabilitate satisface necesităţile pentru evaluarea fiabilităţii (semnificaţia oferită de funcţia de fiabilitate este de obicei superioară celei oferite de coeficientul de disponibilitate).

Din punct de vedere istoric modelele de analiză a fiabilităţii în ipoteza fără restabilire au devansat pe cele cu restabilire fapt care a condus la prezentarea lor în majoritatea cărţilor în această ordine. Este interesantă însă constatarea faptului că nimic nu impune astăzi această ordine. Din contră, se pare că inversarea ordinii de prezentare a modelelor este benefică cel puţin datorită faptului că ipoteza fără restabilire poate fi tratată ca un caz particular al ipotezei cu restabilire.

Se ştie că în ipoteza funcţiilor de repartiţie exponenţiale pentru duratele de funcţionare (Tf) şi de restabilire (Tr) disponibilitatea punctuală la un moment t, indicator de bază în cazul cu restabilire, este dată de ecuaţia:

µµλ =++ )(*)()(

tAdt

tdA

3-103

care rezolvată cu condiţia iniţială A(0)=1 conduce la:

tetA )(*)( µλ

µλ

λ

µλ

µ +−

++

+= 3-104

În această expresie λ şi µ sunt parametrii funcţiilor de repartiţie ale variabilelor

aleatoare Tf şi Tr, respectiv tetRtF λ−−=−= 1)(1)( şi ttetMtG µ−−== 1)()( , R(t) fiind funcţia de fiabilitate, iar M(t) funcţia de mentenabilitate.

În cazul fără restabilire făcând µ = 0 ceea ce corespunde duratei medii de restabilire MTTR = ∞ respectiv nerestabilirii într-un interval de timp finit, se obţine:

)()( tRetA t == − λ 3-105


45

deci funcţia de fiabilitate, indicator de bază în acest caz.

Media duratei de funcţionare, în cazul funcţionării fără restabilire, este denumită durată medie de funcţionare până la defectare şi notată cu MTTF, iar durata de funcţionare până la defectare este numită “durată de viaţă“. Acest aspect este important pentru evitarea unor confuzii care se pot face în legătură cu utilizarea termenului “durată de viaţă“. Conform [25] MTTF este cunoscută şi sub numele de “durabilitate” astfel încât se poate spune că prin durabilitate se înţelege media duratei de viaţă, aceste noţiuni fiind caracteristice cazului fără restabilire.

Indicatorii de fiabilitate care se determină de obicei pentru instalaţiile fără restabilire, sunt funcţia de fiabilitate R(t), rata instantanee de defectare λ(t) şi durata medie de funcţionare până la apariţia unei defectări MTTF.

3.3.4.1. Fiabilitatea sistemelor compuse dintr-un singur element

Conform celor prezentate în capitolul 3.2 expresiile analitice ale indicatorilor de fiabilitate sunt date de relaţiile:

}{)( tTPtR f ≥=

)(ln)( tRdt

dt −=λ

∫∞

=0

)( dttRMTTF

aceste relaţii în ipoteza funcţiei de repartiţie exponenţială pentru variabila aleatoare Tf, se transformă în: tetR λ−=)( 3-106

λλ =)(t 3-107

λ

1=MTTF 3-108

Aceste relaţii se folosesc pentru calculul indicatorilor de fiabilitate în cazul instalaţiilor cu un singur element fără restabilire. Pe baza celor arătate în [37] funcţia de fiabilitate poate fi calculată şi cu relaţia: tTR λ−= 1)(


46

3.3.4.2. Fiabilitatea sistemelor compuse din n elemente cu fiabilitate diferită din care, pentru asigurarea stării de funcţionare a sistemului

este necesar să fie în stare de funcţionare α elemente

Redundanţa unui sistem reprezintă existenţa a mai mult decât un mijloc pentru îndeplinirea cerinţei funcţionale. Vom analiza în continuare o instalaţie compusă din trei elemente, dintre care pentru asigurarea funcţionării instalaţiei sunt necesare α elemente în stare de funcţionare. Pentru aceasta vom folosi metoda soluţiei generale, metodă ce are la bază următorii paşi de calcul:

1. Stabilirea cerinţei funcţionale;

2. Întocmirea schemei logice de fiabilitate a instalaţiei;

3. Descrierea stărilor instalaţiei cu ajutorul tabelului stărilor;

4. Determinarea probabilităţilor stărilor;

5. Determinarea indicatorilor de fiabilitate specifici instalaţiilor fără restabilire.

a) Pentru o instalaţie compusă din trei elemente dintre care numai unul este

necesar să funcţioneze pentru asigurarea stării de funcţionare a instalaţiei (n = 3; c).

Analiza unei astfel de instalaţii se poate face prin aplicarea modelării

funcţionării instalaţiei prin procese stohastice de tip Markov. Pentru aceasta este necesar să respectăm paşii de lucru prezentaţi anterior, astfel:

1. Cerinţa funcţională a acestei instalaţii este n = 3; α = 1. 2. Întocmirea schemei logice de fiabilitate a instalaţiei este prezentată în

Fig.3-10.

Fig.3-10. Schema logică de fiabilitate pentru n-α elemente redundante (n=3; α=1) Stările posibile ale acestui sistem sunt în număr de 2n = 23 = 8. Astfel se poate

trece la pasul 3. 3. Descrierea stărilor instalaţiei cu ajutorul matricii stărilor de funcţionare din

Tabelul 3-1.

1

2

3

α = 1


47

Tabelul 3-1

Elemente Stări

1 2 3 Probabilităţile

stărilor

0 F F F R1(t)R2(t)R3(t)

1 D F F Q1(t)R2(t)R3(t)

2 F D F R1(t)Q2(t)R3(t)

3 F F D R1(t)R2(t)Q3(t)

4 D D F Q1(t)Q2(t)R3(t)

5 D F D Q1(t)R2(t)Q3(t)

6 F D D R1(t)Q2(t)Q3(t)

7 D D D Q1(t)Q2(t)Q3(t)

4. Determinarea probabilităţilor stărilor Se poate observa că mulţimea stărilor de funcţionare (F) respectiv de

defectare (D) sunt:

F = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6} D = {7}

În cele de mai sus s-a introdus notaţia Qi(t) = 1 – Ri(t) şi astfel se obţin probabilităţile stărilor, astfel:

∏∏==

==8

1

8

10 )()()(

i

i

i

i tRtPtP 3-109

)()(

)()(1

101

tR

tQtPtP = 3-110

)(

)()()(

2

202

tR

tQtPtP = 3-111

)(

)()()(

3

303

tR

tQtPtP = 3-112

)()()()(

)()(21

2104

tRtR

tQtQtPtP = 3-113

)()(

)()()()(

31

3105

tRtR

tQtQtPtP = 3-114

)()(

)()()()(

32

3206

tRtR

tQtQtPtP = 3-115


48

)()()()()()(

)()(321

32107

tRtRtR

tQtQtQtPtP = 3-116

5. Calculul indicatorilor de fiabilitate specifici instalaţiilor fără restabilire. Funcţia de fiabilitate a sistemului rezultă prin însumarea probabilităţilor stărilor

de funcţionare (F)din mulţimea stărilor de mai sus:

∏∏

∏ ∏∏∑

==

= ==∈

−−=−=

=

−−

==

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

)](1[1)(1

)()(

)()()(

)()(

i

i

i

i

i i i

i

i

ii

i

i

Fk

ke

tRtQ

tR

tQ

tR

tQtRtRPtR

3-117

relaţie scrisă în baza identităţii

nnnn

nnnnnn

nnn

n

i

i

xxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxx

121132

22112112421

3211322121

1

......

..............

......1)1(

−−

−−−−

−

=

++

++++++++

++++++++++=+∏

3-118

După determinarea funcţiei de fiabilitate ceilalţi indicatori de fiabilitate ai

sistemelor fără restabilire se determină cu relaţiile (3-106) şi (3-108), astfel:

−−−= ∏=

3

1

)](1[1ln)(i

ie tRdt

dtλ 3-119

dttRMTTFi

i∫ ∏∞

=

−−=0

3

1

)](1[1 3-120

b) Pentru o instalaţie compusă din trei elemente dintre care numai două sunt

necesare să funcţioneze pentru asigurarea stării de funcţionare a instalaţiei

(n = 3; α = 2). În acest caz mulţimea stărilor de funcţionare (F) respectiv defectare (D) este:

F = {0, 1, 2, 3} D = {4, 5, 6, 7}

Funcţia de fiabilitate a sistemului rezultă prin însumarea probabilităţilor stărilor de funcţionare (F) din mulţimea stărilor de mai sus:

+++=+++== ∑

∈ )()(

)()(

)()(

1)(3

3

2

2

1

103210

tR

tQ

tR

tQ

tR

tQPPPPPPtR

Fk

ke 3-121


49

c) Pentru o instalaţie compusă din trei elemente dintre care toate sunt

necesare să funcţioneze pentru asigurarea stării de funcţionare a instalaţiei

(n=3; α=3). În acest caz mulţimea stărilor de funcţionare (F) respectiv defectare (D) este:

F = {0} D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Funcţia de fiabilitate a sistemului rezultă prin însumarea probabilităţilor stărilor de funcţionare (F)din mulţimea stărilor de mai sus:

0)( PPtRFk

ke == ∑∈

3-122

Ţinând seama de identitatea (3-118) se poate formula următoarea regulă generală:

Pentru determinarea funcţiei de fiabilitate echivalentă a unui sistem compus din n elemente din care, pentru asigurarea stării de funcţionare a sistemului, este

necesar să fie în stare de funcţionare α elemente, se înmulţeşte probabilitatea P0 cu

suma primilor (n - α + 1) termeni ordonaţi după puterile crescătoare ale lui x, după care se face x = 1, din produsul:

∏∏=

+=

n

i i

i

nx

tR

tQx

1 )(

)(1)( 3-123

În acest caz probabilităţile P0 se determină cu relaţia:

∏=

=n

i

i tRtP1

0 )()( 3-124

În cazul instalaţiilor în care elementele sunt identice din punctUL de vedere al

fiabilităţii, adică λ1 = λ2 = …= λn, respectiv R1(t) = R2(t) =…= Rn(t) şi Q1(t) = Q2(t) =…= Qn(t), polinomul se transformă în:

n

n tR

tQ

+=∏ )(

)(1 3-125

Regula generală pentru determinarea funcţiei de fiabilitate echivalentă este:

[ ]∑∑−

=

−−

=

=

=

αα n

k

kknk

n

n

k

k

k

n

n

e tQtRCtR

tQCtRtR

00

)]([)()()(

)()( 3-126

în care P0(t) s-a înlocuit cu Rn(t).


50

3.3.5. Funcţionarea sistemelor cu restabilire

3.3.5.1. Procese stochastice de tip Markov cu timp continuu

Funcţionarea unei instalaţii electroenergetice, centrală electrică, staţie de transformare, linie electrică de transport etc. se caracterizează printr-o succesiune de stări care descriu regimurile normale sau de avarie a instalaţiei respective. Datorită stărilor probabilistice prin care trec instalaţiile se poate admite că evoluţia instalaţiilor este descrisă de un proces aleatoriu, proces definit de o familie de variabile aleatoare care descriu procesul respectiv. Cunoaşterea stărilor anterioare unui moment t contribuie la cunoaşterea stării la momentul t. Variabila aleatoare este o mărime care în funcţie de rezultatul unei experienţe poate lua o valoare, dintr-o mulţime de valori cunoscută, valoare ce poate fi cunoscută dinainte din cauza factorilor întâmplători care influenţează rezultatul experienţei. Funcţia aleatoare este o funcţie care într-o experienţă poate lua o anumită formă, necunoscută dinainte, din cauza factorilor întâmplători care influenţează rezultatul experienţei. Realizarea unei funcţii aleatoare reprezintă forma funcţiei aleatoare într-o experienţă şi este o funcţie nealeatoare. Funcţiile aleatoare se notează cu litere mari X(t), Y(t),… argumentul putând fi timpul sau alt parametru. Funcţia aleatoare poate depinde de un singur argument sau de mai multe argumente. Procesul aleator reprezintă o funcţie aleatoare care depinde numai de un singur argument. Câmpul aleator reprezintă o funcţie aleatoare ce depinde de mai multe argumente. Secţiunea procesului aleator (Fig. 3-11) pentru o valoare t a argumentului face ca procesul aleator să devină o variabilă aleatoare obişnuită. Ea reprezintă cele n valori ale variabilei aleatoare în cele n experienţe, corespunzătoare valorii date argumentului.

Fig. 3-11. Funcţii aleatoare

X(t)

0 t

X2(t)

X4(t)

X3(t)

t

X1(t)


51

Pentru caracterizarea procesului aleator trebuie să fie cunoscute funcţiile de repartiţie pentru un număr mare de secţiuni, apropiate între ele. Acest lucru fiind dificil de realizat, în practică se utilizează caracteristicile numerice ale proceselor aleatoare (valoarea medie, speranţa, corelaţia). Pentru studiul fiabilităţii instalaţiilor ne interesează să se analizeze o clasă particulară de procese aleatoare respectiv lanţurile Markov finite şi omogene. Procesul aleator omogen este procesul aleator pentru care caracteristicile sale numerice sunt invariante la orice schimbare a originii timpului. Procesul Markov este un proces aleator fără postacţiune, respectiv pentru care cunoaşterea unei secţiuni permite determinarea probabilităţilor pentru altă secţiune ca variabila aleatoare să ia altă valoare (din mulţimea valorilor sale). Cu alte cuvinte starea procesului la un moment dat depinde doar de starea precedentă nu şi de stările prin care sistemul a trecut. Lanţul Markov reprezintă un proces Markov, definit de variabile aleatoare aparţinând unui şir finit sau infinit, putându-se considera şirul numerelor naturale sau în cazul finit şirul 1, 2, …,N. Lanţurile Markov pot fi cu argument (timp) continuu sau cu argument (timp) discret în funcţie de valorile pe care le poate lua argumentul. Studiul evoluţiei funcţionării instalaţiilor arată că oportună este utilizarea lanţurilor Markov finite şi omogene cu argument (timp) continuu. Schema tehnologică a oricărei instalaţii este alcătuită din componente dispuse într-o anumită configuraţie ce asigură funcţionalitatea schemei. Diferitele combinaţii posibile de componente în funcţiune, scoase din funcţiune sau scoase în reparaţii ca urmare a avariilor definesc stările prin care poate evolua instalaţia. Studiul evoluţiei funcţionării acestor instalaţii arată că oportună este utilizarea lanţurilor Markov finite şi omogene cu argument continuu. Conceptele fundamentale în procesele Markov sunt cele de stare şi tranziţie. Ca urmare un proces Markov este caracterizat prin:

- probabilităţi absolute; - probabilităţi de tranziţie.

Prin probabilităţi absolute se înţeleg probabilităţile celor n stări ale procesului la un moment oarecare t (P1(t), P2(t), ….., Pn(t)). Prin probabilităţi de tranziţie se înţelege probabilitatea ca variabila aleatoare X(t) să ia valoarea xj pentru valoarea argumentului te dacă a avut valoarea xI pentru valoarea argumentului tk (pij(tk, tl)). })(/)({),( ikjilkij xtXxtXPttp === 3-127

Considerând lanţurile omogene avem: ),(),( lkijlkij ttpttp =++ αα 3-128

Deci se poate scrie )()(),( tptpttp ijlijlkij == 3-129


52

Această scriere nu poate da naştere la confuzii dacă se înţelege totdeauna prin t valoarea cea mai mare a argumentului din cele corespunzătoare stărilor i şi j, respectiv valoarea corespunzătoare stării j. Procesul Markov este caracterizat de:

� matricea probabilităţilor absolute )(tPi , unde Pi(t) reprezintă probabilitatea

ca procesul să se afle în starea i la momentul t;

)()......()()( 2 tPtPtPtP nii = 3-130

Pentru starea iniţială matricea probabilităţilor absolute este: )0()......0()0()0( 2 nii PPPP = 3-131

� matricea probabilităţilor de tranziţie între stări )(tpij , unde pij(t) reprezintă

probabilitatea ca procesul aflat în starea i să ajungă în starea j la momentul t;

)()()(

)()()(

)()()(

)(

1,11,10,1

1.11110

1,00100

tptptp

tptptp

tptptp

tp

mmmm

m

m

ij

−−−−

−

−

=

L

MMMM

L

K

3-132

Matricea probabilităţilor de tranziţie )(tpij este o matrice pătratică de ordinul

m care posedă două proprietăţi: - are termeni pozitivi sau nuli şi reprezintă probabilităţi; - suma termenilor fiecărei linii este egală cu 1.

Problema care se pune este determinarea matricii probabilităţilor absolute )(tPi ştiind valorile matricii probabilităţilor absolute a stării iniţiale )0(iP şi matricii

probabilităţilor de tranziţie între stări )(tpij .

Pentru rezolvarea acestei probleme se analizează expresia probabilităţii unei stări I la momentul t+∆t funcţie de probabilităţile absolute la momentul t şi probabilităţile de tranziţie. Procesul se poate afla în starea I la momentul t+∆t în două moduri:

- la momentul t s-a aflat în starea i şi a rămas în aceeaşi stare; - la momentul t s-a aflat în starea j ≠ i şi în intervalul ∆t a trecut în starea i.

Probabilitatea primului eveniment este: )()( tptP iii ∆ .

Probabilitatea celui de al doilea eveniment este ∑≠

∆ij

jij tptP )()( .

Aplicând teorema probabilităţii totale rezultă: ∑

≠

∆+∆=∆+ij

jijiiii tptPtptPttP )()()(()()( 3-133


53

Datorită intervalului foarte mic de timp ∆t, probabilitatea de a avea loc mai mult de o tranziţie se neglijează. Probabilităţile de tranziţie depind numai de lungimea intervalului dintre tranziţii, deci pentru intervalul ∆t probabilităţile de tranziţie sunt proporţionale cu lungimea intervalului. Dacă se derivează matricea )(tpij în punctul t = 0 şi se notează:

ijij qp =)0(' 3-134

rezultă )(0)()( ttqtp ijji ∆+∆=∆ 3-135

unde 0(∆t) este probabilitatea ca tranziţia din starea j în starea i să aibă loc prin intermediul unei alte stări k (probabilitate neglijată datorită ipotezei anterioare); qij(∆t) – matricea intensităţilor de tranziţie corespunzătoare matricii probabilităţilor de tranziţie. Caracteristic matricii intensităţilor de defectare este faptul că suma intensităţilor de defectare pe o linie este zero. Datorită faptului că probabilităţile de tranziţie corespund evenimentelor unui sistem complet, se poate scrie: ∑ =

j

ij tp 1)( 3-136

Deci ∑

≠

∆−=∆ij

jiii tptp )(1)( 3-137

Introducând în relaţia (3-132) relaţiile (3-135) şi (3-136) rezultă:

[ ] [ ]∑∑≠≠

∆+∆+

∆+∆−=∆+ij

ijj

ij

ijii ttqtPttqtPttP )(0)()()(0)(1)()( 3-138

Dacă scădem în ambii termeni Pi(t), împărţind cu ∆t>0, trecând la limită pentru

∆t→0 şi ţinând cont de faptul că 0)(0

lim0

=∆

∆

→∆ t

t

t deoarece 0(∆t) tinde mai repede spre

zero decât ∆t, rezultă: ∑∑

≠≠

+−=ij

iji

ij

ijii qtPqtPtP )()()(' 3-139

Conform relaţiilor (3-134) şi (3-136) avem 0)( =∑

j

ij tq 3-140

Deci


54

∑−=

j

ijij tqq )( 3-141

Înlocuind relaţia (3-141) în (3-139),rezultă: ∑

≠

+=ij

ijiijii qtPqtPtP )()()(' 3-142

Această relaţie reprezintă un sistem de ecuaţii diferenţiale prin a cărui rezolvare rezultă determinarea probabilităţilor absolute ale celor n stări. Relaţia se poate scrie şi sub formă matricială, astfel: )0()()(' ijii qtPtP ⋅= 3-143

Această relaţie se mai poate scrie şi sub forma: )0(')()(' ijii ptPtP ⋅= 3-144

Relaţia (3-144) reprezintă un sistem de ecuaţii diferenţiale care se rezolvă cu ajutorul transformatei Laplace, conducând la găsirea probabilităţilor absolute funcţie de probabilităţile de tranziţie. Pentru ca sistemul să fie compatibil se adaugă şi ecuaţia:

1)(1

=∑=

n

i

i tP 3-145

Introducând ipoteza că pentru valori relativ mari ale timpului t procesul Markov devine staţionar (probabilităţile de tranziţie nu depind de momentul iniţial ci numai de durata tranziţiilor), probabilităţile absolute ale stărilor devin independente de timp şi astfel derivatele lor în raport cu timpul se anulează, relaţia (3-144) devine:

0)0(' =⋅ iji pP 3-146

0=⋅ iji qP 3-147

Această relaţie reprezintă un sistem de ecuaţii algebrice liniare la care pentru compatibilitate se adaugă

11

=∑=

n

i

iP 3-148


55

3.3.5.2. Procese stochastice de tip Markov cu timp discret

La fel ca în cazul proceselor stochastice de tip Markov cu timp (argument)

continuu, modelul cu timp discret presupune ca evoluţia sistemului (instalaţiei) este probabilistica (stochastica), respectiv stările sunt caracterizate prin probabilităţi ale lor. Diferenţa consta în faptul ca argumentul “timp” nu mai poate lua orice valoare t, 0 ≤ t ≤ ∞ ci numai un sir numărabil de valori 0, 1, 2, …, k,….

În cazul instalaţiilor electrice şi de automatizare experienţa ne arată că este util să se restricţioneze acest şir la un şir finit 0, 1, 2, …, n. Aşa cum s-a menţionat în paragraful anterior, un astfel de proces stochastic, inclusiv în cazul şirului numărabil infinit, este numit lanţ Markov, proprietatea Markov fiind precizata în paragraful precedent. Se poate spune ca într-un lanţ Markov trecutul (A) şi viitorul (B) sunt condiţionat independente cunoscând prezentul! În cazul şirului finit avem de-a face cu un lanţ Markov finit, denumire pe care o vom folosi în cele ce urmează. Pentru acest tip de proces stochastic există foarte multe lucrări de specialitate. O caracteristică comună a acestora este complexitatea aparatului matematic şi inexistenţa (cu relativ puţine excepţii, puţin concludente) unor exemple de aplicaţii în inginerie şi fizică. S-ar putea deduce de aici faptul că acest model este mai puţin adecvat aplicaţiilor inginereşti. Realitatea este însă cu totul alta, aşa cum au revelat unele cercetări din ultimele decenii. Acest model oferă în domeniul fizicii, ingineriei, biologiei, economiei, sociologiei, geneticii, etc, multiple posibilităţi de caracterizare mult mai detaliata a proceselor, inclusiv de previziune a evoluţiei acestora. Problema care trebuie rezolvată este doar creşterea accesibilităţii specialiştilor din domeniile respective la acest instrument matematic care până în ultima parte a secolului trecut a aparţinut doar unui număr restrâns de matematicieni ultraspecializaţi.

În acest scop vom prezenta în acest paragraf numai chestiunile esenţiale strict necesare pentru aplicaţiile inginereşti ale acestui instrument. Prezentarea se bazează pe lucrările [13], [1], [12], [65], [70], [18]. Se vor folosi notaţiile din [13], altele decât cele din 3.3.5.1 Un lanţ Markov finit se caracterizează prin:

- o mulţime S ale cărei elemente se numesc stări şi care sunt numerotate 0, 1, 2, …, r

- o repartiţie de probabilitate

SiipP ∈= )( 3-149

pe S ale cărei elemente se numesc probabilităţi iniţiale - o matrice stochastica

SjjipP ∈= ,),( 3-150

ale cărei elemente se numesc probabilităţi de tranziţie Evident, probabilităţile iniţiale şi probabilităţile de tranziţie îndeplinesc condiţiile

1)(

,0)(

=

∈≥

∑∈Si

ip

Siip 3-151


56

Sijip

Sjijip

Si

∈=

∈≥

∑∈

,1),(

, ,0),( 3-152

Lanţurile Markov finite, la fel ca lanţurile Markov cu timp continuu, pot fi omogene sau neomogene.

Probabilităţile p(i, j) caracterizează tranziţiile intr-un singur pas. Pentru tranziţia (trecerea) din starea i în starea j în n paşi se foloseşte notaţia

p(n, i, j). cu aceasta notaţie rezulta ca p(1, i, j)= p( i, j)

Se defineşte şi ijjip δ=),,0( 3-153

unde

≠

==

ji

jiij daca ,0

daca ,1δ

este numit simbolul lui Kronecker.

3.3.5.2.1. Lanţuri Markov finite omogene

Este capitolul cel mai elaborat în literatura de specialitate. Proprietatea de omogenitate se poate exprima la fel ca în 3.3.5.1 în cuvinte omogenitatea constă în faptul ca probabilitatea apariţie stării in+1 la momentul n+1 condiţionata de apariţia stării in la momentul n are o valoare independenta de n. Matematicienii mai spun ca în acest caz legea condiţionată a evoluţiei probabilistice este invariabila în timp.

Se demonstrează în [13] ca omogenitatea conduce la faptul că matricea

Sjijip ∈, ),,2( este pătratul matricii SjijipP ∈= , ),(

Acest fapt stă la baza utilizării teoriei matricelor în studiul lanţurilor Markov. Generalizând rezulta ca probabilitatea de tranziţie în paşi ),,( jinp sunt

elementele puterii n a matricii de tranziţie p

Relaţia 0,, >=+

nmPPPnmnm

conduce la

∑∈

∈⋅=+Sk

Sjijknpkimpjinmp ,),,(),,(),,( 3-154

numita relaţia Chapman-Kolmogorov. Proprietatea Markov se scrie în acest caz

{ }{ }nn

nn

inXinXob

iXinXinXinXob

==+=

===−==+

+

−+

)(/)1(Pr

)0(,...,)1(,)(/)1(Pr

1

011 3-155

iar proprietatea de omogenitate a lanţului Markov conduce la

{ }{ } )1,()(/)1(Pr

)0(,...,)1(,)(/)1(Pr

1

011

+===+=

===−==+

+

−+

nnnn

nnn

iipinXinXob

iXinXinXinXob 3-156

pentru orice Siii n ∈−110 ,..., şi orice n întreg nenegativ.


57

În ceea ce priveşte mulţimea S a stărilor unui lanţ Markov, în literatura de specialitate nu întâlnim un punct de vedere unanim acceptat. Exista atât diferite moduri de clasificare cat şi diferite denumiri pentru stările sau pentru clasele de stări care aparţin lui S.

Pentru scopul urmărit în lucrare vom retine deocamdată doar faptul ca exista stări în care lanţul odată intrat nu mai poate ieşi şi pe care le vom numi după [13] stări recurente şi stări din care lanţul odată intrat poate ieşi, numite nerecurente. Alte denumiri întâlnite pentru stările recurente sunt cele de persistente sau absorbante iar pentru cele nerecurente cele tranziente sau de trecere. Alte precizări sau detalieri vor fi făcute ca urmare a unor necesitaţi care pot contribui la o mai buna înţelegere a modalităţilor de rezolvare a unor aplicaţii. Câteva consecinţe, prezentate în [13] sub forma unor enunţuri, teoreme sau corolare pot fi de folos în aplicaţii:

a) Starea i este recurentă sau nerecurentă după cum seria ∑≥1

),,(n

iinp diverge

sau converge. b) Oricare ar fi starea i, daca j este o stare nerecurentă, seria ∑

≥1

),,(n

jinp

converge, deci în particular

0),,(lim =∞→

jinpn

3-157

c) Într-un lanţ Markov finit nu este posibil ca toate stările sa fie nerecurente d) Recurenta şi nerecurenta sunt probabilităţi de clasă e) O stare nerecurentă nu este accesibilă dintr-o stare recurentă f) Un lanţ Markov finit are cel puţin o stare recurentă g) Dacă starea j este o stare recurentă

{ } 0ori de infinitate o de revine j stareaPr =ob 3-158

h) Probabilitatea de a rămâne la nesfârşit în mulţimea T a stărilor nerecurente este zero întrucât conform proprietăţii g) putem scrie

{ } { } 0ori de infinitate o de revine j stareaPr0,)(Pr =≤≥∈ obnTnXob 3-159 i) Conform proprietăţii b) rezultă şi că

0lim =∞→ T

n

n 3-160

j) Daca lanţul Markov finit şi omogen pleacă dintr-o stare nerecurenta, atunci, cu probabilitatea 1 el face un număr finit de paşi în mulţimea T a stărilor nerecurente, după care intră într-una din clasele recurente unde rămâne la nesfârşit.

Prin definiţie un lanţ Markov cu stări nerecurente se numeşte absorbant [13]. În

literatura de specialitate se găseşte şi o definiţie mai restrictivă pentru noţiunea de lanţ absorbant, respectiv lanţul în care toate stările recurente sunt absorbante. Definiţia de mai sus nu necesită această constrângere, conform proprietarii e).


58

În evoluţia instalaţiilor electrice şi de automatizare şi nu numai, lanţurile Markov finite şi omogene absorbante, pe care le vom abrevia în continuare LMOA, ne oferă posibilitatea determinării unor caracteristici ale evoluţiei sistemelor ca numărul de apariţii ale unei stări nerecurente fixate pana la absorbţie, numărul de paşi pana la absorbţie, starea în care are loc absorbţia.

Fără a micşora generalitatea se va considera în cele ce urmează că toate stările

recurente ale lanţului sunt absorbante. În acest caz matricea de tranziţie P a

lanţului (3-149) se poate scrie sub forma canonică

TRIP 0= 3-161

in care I este matricea unitate, 0 este matricea nula, R este matricea tranziţiilor

din stări nerecurente în stări recurente şi T este matricea tranziţiilor intre stările

nerecurente. Fie ν(j) numărul apariţiilor stării nerecurente j. Conform proprietarii h), ν(j) este

o variabilă aleatoare finită cu probabilitatea 1. Introducând variabilele 0),( ≥mjum definite prin relaţia

≠

==

jmX

jmXjum )( daca ,0

)( daca ,1)( 3-162

se poate scrie

∑≥

=0

)()(m

m jujν 3-163

Se observa ca operatorul valorii medii a lui )( jum

{ } { } ),,()(Pr0)(Pr1))(( jimpjmXobjmXobjuE mi ≠⋅+=⋅= 3-164

si rezultă

∑

≥

=0

),,())((m

i jimpjE ν 3-165

valoare finită conform proprietarii b). În [13, p. 45] se demonstrează următoarea teorema:

Daca A este o matrice pătrată astfel încât 0→An

(matricea nula) când

∞→n atunci inversa 1)( −− AI există şi

∑≥

− =−0

1)(n

n

AAI 3-166


59

Conform acestei teoreme şi faptului arătat anterior conform căruia

probabilităţile de tranziţie în n paşi p(n, i, j) sunt elementele matricii de tranziţie p la

puterea n, rezultă că putem scrie relaţia (3-164) sub formă matriceală

( ) ( ) 12

,...)(

−

∈−=+++= TITTITjii jE ν 3-167

Se introduce notaţia:

( ) 1−

−= TIN 3-168

matricea N fiind numita matricea fundamentala a LMOA considerat.

Caracteristica ν(j), numărul de apariţii al stării nerecurente j în evoluţia LMOA,

se poate astfel calcula în medie fără nici o dificultate dacă se cunoaşte matrice P

prin algoritmul simplu:

- se scrie matricea probabilităţilor de tranziţie intre stări P , singura dată de

intrare a problemei

- se scrie P sub forma canonică din care rezultă matricea de tranziţie între

stările recurente T (în multe cazuri această matrice se poate scrie direct)

- se calculează matricea TI −

- se calculează matricea fundamentala N prin inversarea matricii TI −

- se determina media variabilei ν(j) cu ajutorul relaţiilor (3-165) şi (3-167) Un exemplu simplu concret poate fi de folos în utilizarea corectă a acestui

algoritm. Fie acum caracteristica LMOA numita “numărul de paşi până la absorbţie”.

Pentru determinarea acestei caracteristici vom nota ν numărul momentelor la care apar stări nerecurente, adică timpul pe care lanţul îl petrece în mulţimea T a stărilor recurente. Avem evident

∑

∈

=Tj

j )(νν 3-169

Variabila aleatoare ν este numita şi timpul de absorbţie.

Se demonstrează fără dificultate că vectorul valorii medii ( )TiiEm ∈

= )(ν are

expresia

eNm ⋅= 3-170

unde e este vectorul unitatea (vector coloană) de dimensiunea lui N

Se mai pot determina şi alte caracteristici ale LMOA cu relaţiile:


60

( ) eNN dgTiiE ⋅⋅−

∈=

1)'(ν 3-171

Unde ν’ este numărul stărilor nerecurente care apar pana la absorbţie iar Ndg

este

matricea diagonală corespunzătoare matricii pătrate simetrice N . Reamintim că o

matrice este simetrică dacă este identică cu transpusa sa, iar o matrice diagonală este cea obţinută dintr-o matrice simetrică prin înlocuirea cu zero a tuturor elementelor nesituate pe diagonala principală.

RNA TSkTikia ⋅==

−∈∈ ,),( 3-172

unde a(i, k) este probabilitatea ca LMOA plecând din starea nerecurenta i sa ajungă în starea absorbanta k. Pentru verificarea corectitudinii rezultatului obţinut cu relaţia (3-172) se poate folosi condiţia

eeRN =⋅⋅ 3-173

care rezultă din faptul că atingerea unei stări absorbante într-un LMOA reprezintă un eveniment sigur.

3.3.5.2.2. Lanţuri Markov finite neomogene Într-un lanţ Markov neomogen, deşi proprietatea Markov continua sa fie verificată, matricea probabilităţilor de tranziţie se schimbă la fiecare pas. Conceptual de dependenta markoviană a apărut la începutul secolului trecut (1906) intr-o lucrare a matematicianului rus A. A. Markov (1856-1922) [13]. În cei peste 100 ani care au trecut s-au scris un număr foarte mare de lucrări despre acest subiect, numai în bibliografia menţionată în lucrarea [13] fiind cuprinse aproape 300 de titluri, număr pe care autorul, academicianul Marius Iosifescu, îl consideră infim faţă de numărul lucrărilor apărute în acest domeniu.

În cazul lanţurilor Markov finite omogene există astăzi o teorie bine pusă la punct, din care în capitolul precedent sunt prezentate câteva concepte, proprietăţi şi relaţii de calcul necesare şi utile în problemele de analiza şi optimizare a unor sisteme intre care şi instalaţiile electrice şi de automatizare.

În cazul lanţurilor Markov finite neomogene, dezvoltările teoretice, deşi au fost începute de însuşi Markov, sunt încă insuficient de elaborate pentru a putea oferi soluţiile aşteptate în aplicaţiile în care apar astfel de procese stochastice.

Aşa cum precizează academicianul Marius Iosifescu “dependenţa considerată trebuie sa fie “naturală”, adică să se întâlnească efectiv în aplicaţii cât mai diverse”. Această cerinţă se pare că nu este încă satisfăcută.

Există însă un model matematic prezentat în lucrarea [76] în care se întâlneşte un lanţ Markov finit neomogen, deşi autorul nu precizează explicit acest lucru. Este un model matematic extrem de simplu cu ajutorul căruia se pot determina, în cazul unui lanţ Markov finit neomogen absorbant aceleaşi caracteristici ca în cazul lanţurilor omogene. Modelul a fost elaborat pentru calculul indicatorului de fiabilitate


61

cunoscut sub denumirea de durată de viaţă (în fizică) sau durată normală de viaţă (în statistică matematică).

În lucrările [23] şi [77] durata normală de viaţă este definită ca vârsta la care au loc cele mai numeroase decese.

În domeniul fiabilităţii instalaţiilor electrice şi de automatizare, semnificaţia acestei caracteristici poate fi durata medie de viaţă fără defectare MTTF, cazul instalaţiilor de înaltă fiabilitate pentru care încetarea stării de satisfacere a cerinţelor este cauzată de degradare, iar defectarea este un eveniment datorat doar unor modificări (perturbaţii) ale condiţiilor date.

Modelul a fost denumit de autor „graf entropic canonic” prezentat în [67].

3.3.5.2.3. Soluţie pentru determinarea duratei de viaţă a unui proces În cele ce urmează vom analiza un model foarte cunoscut în literatura de specialitate, mersul la întâmplare cu frontiere absorbante.

Astfel, considerând ca în joc sunt 3 monede şi 2 jucători, numărul stărilor posibile sunt:

- stările posibile din punctul de vedere al primului jucător {0, 1, 2, 3} - stările posibile din punctul de vedere al celui de al doilea jucător {0, 1, 2, 3}

Cele 4 stări posibile ale fiecărui jucător reprezintă: 0 – jucătorul numai are nici o moneda, 1 – jucătorul are o singura monedă, 2 – jucătorul are două monede, 3 – jucătorul are toate cele trei monede.

Se pune problema determinării duratei în paşi a jocului până în momentul în care unul din jucători câştigă toate monedele.

Rezolvarea acestei probleme va fi abordata în cele ce urmează atât printr-un

calcul manual dar si printr-un calcul automat utilizând facilităţile programului MATLAB. Conform teoriei prezentată în capitolul 3.3.5.2., stările sistemului nostru pot fi împărţite în stări nerecurente sau tranziente {1, 2} şi stări recurente sau absorbante {0, 3} Considerăm că jocul începe din starea 1, astfel că repartiţia de probabilitate

este { }0(1p şi că probabilitatea de tranziţie între stări este 21),( =jip

Urmărind paşii descrişi în subcapitolul 3.3.5.2.1., avem:

- matricea probabilităţilor de tranziţie între stări

10002

10210

02102

10001

=P


62

- forma canonică a matricei probabilităţilor de tranziţie între stări

021

210

21002

10010

0001

=Q

- matricea de tranziţie între stările recurente

021

210

=T

Se demonstrează în [13] că durata medie în paşi a jocului este:

( ) eNpRjjE ⋅⋅=∈)(ν 3-174

unde: p este vectorul line al probabilităţilor iniţiale

N este matricea fundamentală

e este vectorul unitate (vector coloană) de mărimea lui N

Pentru calculare matricii fundamentale este nevoie de:

- determinarea lui TI −

121

211

021

210

10

01

−

−=−=−TI

- determinarea lui ( ) 1−

−TI are ca etape:

o determinarea matricii transpuse ( )TIt

−

( )12

12

11

−

−=−TI

t

o determinarea matricii adjuncte a matricii transpuse

( )12

12

11

1)1()21()1(

)21()1(1)1(

2212

2111*

=⋅−−⋅−

⋅−⋅−=

−

++

++

TIt


63

o se determină ∆ adică valoarea determinantului TI −

43

121

211

=−

−=Λ

o se determină N

( )3

43

23

23

4

121

211

341 *

=⋅=

−⋅

Λ= TIN

t

- se poate determina durata medie în paşi a jocului

( ) pasi 21

1

34

32

32

34

01)( =⋅⋅=∈RjjE ν

În continuare voi prezenta modul de rezolvare al acestei probleme utilizând

programul MATLAB. Este cunoscut faptul că MATLAB (MATrix LABoratory) este un pachet de

programe de înalta performanţă dedicat calculului numeric si reprezentărilor grafice în domeniul ştiinţei şi al ingineriei care integrează: analiza numerică, calculul matriceal, procesarea semnalului şi reprezentările grafice într-un mediu uşor de învăţat şi folosit. Elementul de baza cu care operează MATLAB este matricea (matrix), cu care se pot rezolva problemele date, fără a fi necesară cunoaşterea unui limbaj de programare. Cea mai importantă caracteristică a MATLAB este uşurinţa în operare şi dezvoltarea unor aplicaţii specifice domeniului în care lucrează utilizatorul. Structural, MATLAB este realizat sub forma unui nucleu de baza, cu interpretor propriu, în jurul căruia sunt construite aplicaţii specifice diferitelor domenii, numite TOOLBOX (colecţii extinse de funcţii MATLAB, destinate rezolvării unor probleme din domenii variate).

Din studierea toolbox-urilor pe care le pune la dispoziţie MATLAB-ul, nu am găsit unul pentru rezolvarea proceselor stochastice de tip Markov cu timp discret. De aceea am creat un program de calcul pentru a putea modela exemplul de mai sus, astfel:

- am pornit prin a defini numărul de linii şi coloane (L) pe care o are matricea

stocastică a probabilităţilor de tranziţie

L = 4;

- am definit matricea probabilităţilor de tranziţie

P = [1 0 0 0; 1/2 0 1/2 0; 0 1/2 0 1/2; 0 0 0 1];


64

- am întocmit forma canonică a matricii probabilităţilor de tranziţie în două etape notată cu Q:

o am mutat coloana 4 a matricii probabilităţilor de tranziţie după coloana 1 a acestei matrici

Q = [P(1:L,1) P(1:L,4) P(1:L,2) P(1:L,3)];

o am mutat linia 4 a matricii probabilităţilor de tranziţie după linia 1 a acestei matrici

Q = [Q(1,1:L);Q(4,1:L);Q(2,1:L);Q(3,1:L)];

- am întocmit matricea de tranziţie între stările recurente: notată cu T

T = [Q(3,3:L);Q(4,3:L)];

- am definit vectorul linie al probabilităţilor iniţiale notată cu p

p = [1 0];

- am definit vectorul unitate de tip vector coloană notat cu e

p = [1;1]; - am determinat matricea fundamentală notată cu N

N = inv(inv(T) * T - T)

- am determinat durata medie în paşi a jocului notată cu Niu aşa cum se vede în Fig. 3-12

Niu = p * N * e = 2


65

Fig. 3-12. Durata medie în paşi


66

O altă aplicaţie interesantă este studierea corelaţiei între probabilităţile de

tranziţie între stări şi numărul de paşi. Astfel, pornind de la programul creat, l-am îmbunătăţit pentru a putea modifica în mod automat matricea probabilităţilor de tranziţie prin modificarea probabilităţii de tranziţie între stări. Astfel am putut calcula numărul de paşi ai jocului pentru diferite probabilităţi de trecere între stări, aşa cum este prezentat în continuare:

- am pornit prin a defini numărul de linii şi coloane (L) pe care o are matricea stocastică a probabilităţilor de tranziţie

L = 4;

- am notat cu q probabilităţile de trecere între stări şi am considerat că

probabilitatea de trecere între stări ia pe rând valorile {0,1; 0,2, 0,3, 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9}

q=0.1:0.1:0.9

- am realizat calculul automat al duratei medii în paşi prin utilizarea rutinei da tip

„for” , astfel:

i=0; for q=0.1:0.1:0.9 i=i+1; P=[1 0 0 0; q 0 1-q 0; 0 1-q 0 q; 0 0 0 1]; Q=[P(1:L1) P(1:LL P(1:L2) P(1:L3)]; Q=[Q(1,1:L;Q(L1:L;Q(2,1:L;Q(3,1:L]; T=[Q(3,3:L;Q(4,3:L]; p=[1 0]; e=[1;1]; N=inv(inv(T)*T-T); Niu(i)=p*N*e; End

- rezultatele afişate de program sunt:

Niu = 10.0000 5.0000 3.3333 2.5000 2.0000 1.6667 1.4286 1.2500 1.1111 q = 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000 0.8000 0.9000 În Fig. 3-13 este prezentat întreg programul de calcul şi valorile pe care le afişează în urma calculelor.


67

Fig. 3-13. Duratele medii în paşi pentru diferite valori ale probabilităţilor de trecere între stări


68

- ultimul pas în realizarea scopului propus este reprezentarea grafică a duratei

de viaţă în paşi funcţie de probabilităţile de trecere între stări aşa cum este prezentat în Fig. 3-14

Fig. 3-14. Reprezentarea grafică a duratei de viaţă în paşi funcţie de probabilităţile de trecere


69

3.3.6. Elemente echivalente

Metoda elementelor echivalente este o metoda ce simplifică foarte mult

calculele, in special pentru sistemele fiabilistice cu multe elemente. Astfel, pentru simplificarea calculelor se poate înlocui, in multe cazuri, o grupa

de elemente componente ale unui sistem printr-un element echivalent din punctul de vedere al fiabilităţii. Condiţiile de echivalare impun ca indicatorii de fiabilitate sa fie aceeaşi atât pentru grupa de elemente echivalate cât şi pentru elementul echivalent.

După înlocuire, elementul echivalent preia practic funcţiunile grupării (din punctul de vedere al fiabilităţii), simplificând astfel atât schema logică de fiabilitate şi implicit calculele, fată de metodele şi procedeele cunoscute.

Astfel, pentru o structură fiabilistică ce are ca schemă logică de fiabilitate un singur element, principalii indicatori de fiabilitate, în cazul instalaţiilor cu restabilire, sunt:

µλ

µ

+=A 3-175

ttµλ

µα

+=)( 3-176

ttµλ

λβ

+=)( 3-177

ttµλ

λµν

+=)( 3-178

λ

1=m 3-179

µ

1=rm 3-180

Din analiza acestor relaţii se constata ca indicatorii de fiabilitate pentru o

anumită durată a intervalului de timp de funcţionare T, se pot determina funcţie de numai două mărimi, λ şi µ în ipotezele că procesele sunt staţionare şi funcţia de repartiţie este exponenţială pentru variabilele aleatore Tf, Td.

Astfel, pentru elementului echivalent va fi suficient sa se determine valori corespunzătoare pentru aceste doua mărimi, pentru a putea determina funcţie de aceste valori toţi indicatorii de fiabilitate. Aceste valori se notează cu λe si µe şi nu mai reprezintă rata instantanee de defectare respectiv restabilire, deoarece relaţiile

λ

1=m şi

µ

1=rm sunt proprii repartiţiei exponenţiale pentru Tf si Td, iar pentru

elementul echivalent funcţiile de repartiţie pentru Tf si Td depind de structura grupei


70

de elemente echivalate. De aceea mărimile λe şi µe trebuie considerate ca parametrii de calcul pentru elementul echivalent cu semnificaţia valorilor inverse ale lui m şi mr.

Astfel se pot scrie pentru elementul echivalent, indicatorii de fiabilitate:

ee

eAµλ

µ

+= 3-181

ttee

e

µλ

µα

+=)( 3-182

ttee

e

µλ

λβ

+=)( 3-183

ttee

ee

µλ

µλν

+=)( 3-184

e

mλ

1= 3-185

e

rmµ

1= 3-186

Problema care se pune este determinarea lui λe şi µe. Aceşti doi parametrii se pot determina în două moduri, astfel:

a) Se alege din relaţiile indicatorilor de fiabilitate expresiile lui A şi ν(t), deoarece aceşti indicatori se determină cu prioritate şi astfel rezultă:

tA

te

⋅=

)(νλ 3-187

tA

te

⋅−=

)1()(ν

µ 3-188

b) Se determină funcţie de probabilităţile absolute şi intensităţile de tranziţie, înlocuind valorile lui A şi ν(t) cu cele din relaţiile (3-187) şi (3-188)

∑

∑∑

∈

∈ ∈=

Fk

k

Fk Dl

kkl

eP

Pq

λ 3-189

∑

∑∑

∈

∈ ∈

−=

Fk

k

Fk Dl

kkl

eP

Pq

1µ 3-190


71

Pe baza celor arătate mai sus rezultă parametrii de calcul λe şi µe pentru diverse tipuri de grupări a elementelor [37]

• pentru n elemente in serie

∑=n

ie

1

λλ 3-191

∑

∑=

n

i

i

n

i

e

1

1

µ

λ

λ

µ 3-192

• pentru n elemente identice legate în serie

λλ ne = 3-193 µµ =e 3-194

• pentru 2 elemente în paralel

211221

2121 )(µµµλµλ

µµλλλ

++

+=e 3-195

21 µµµ +=e 3-196

• pentru 2 elemente identice legate în paralel

µλ

λλ

+=

22 2

e 3-197

µµ 2=e 3-198

• pentru instalaţii (n – 1) redundante; Cazul n = 3

321332211

321321

))()((

)(

λλλµλµλµλ

µµµλλλλ

−+++

++=e 3-199

321 µµµµ ++=e 3-200


72

• pentru instalaţii (n – 1) redundante cu elemente identice; Cazul n = 3

22

3

333

λλµµ

λλ

++=e 3-201

µµ 3=e 3-202

• pentru instalaţii (n – 1) redundante; Cazul n oarecare

∏ ∏

∏ ∑

= =

= =

−+

=n

i

n

i

iii

n

i

n

i

ii

e

1 1

1 1

)( λµλ

µλ

λ 3-203

∑=

=n

i

ie

1

µµ 3-204

• pentru instalaţii (n – 1) redundante cu elemente identice; Cazul n oarecare

nn

n

e

n

λµλ

µλλ

−+=

)( 3-205

µµ ne = 3-206

• pentru instalaţii (n – α) redundante; Cazul n = 3, α = 2 (cel puţin două elemente în stare de funcţionare)

213312321321

321323123121321 )()()(µµλµµλµµλµµµ

µµµλλµµµλλµµµλλλ

+++

+++++=e 3-207

1321231321321

321323123121321 )()()(µλλµλλµλλλλλ

µµµλλµµµλλµµµλλµ

+++

+++++=e 3-208

• pentru instalaţii (n – α) redundante cu elemente identice; Cazul n = 3, α = 2

(cel puţin două elemente în stare de funcţionare)

λµµ

µλλλ

363

2

23

+

+=e 3-209

µλ

µλµµ

363 2

+

+=e 3-210


73

3.3.7. Grupuri de defectare

3.3.7.1. Procedeu clasic al grupurilor de defectare

Este un procedeu utilizat pentru analiza fiabilităţii sistemelor complexe ale căror scheme logice de fiabilitate nu se pot reduce la configuraţii clasice si care devin foarte greu de analizat. Ipotezele care fac ca acest procedeu să fie foarte eficient în aceste cazuri sunt:

- Ipoteza elementelor independente din punct de vedere al defectării; - Ipoteza neglijării probabilităţii ca la un moment dat sa fie in stare de defect

mai mult de doua elemente ale schemei. Grup de defect este mulţimea elementelor care se bucură de proprietatea că starea de funcţionare a mulţimii respective este asigurată dacă cel puţin un element al grupului se află în stare de funcţionare. În cazul schemelor de instalaţii în general şi în cazul instalaţiilor electrice şi de automatizare în special, se aplică cea de a doua ipoteză amintită mai sus conform căreia în perioada în care un element al instalaţiei este defect, probabilitatea de a se defecta mai mult de încă un element este extrem de redusa şi astfel grupurile de defectare se consideră ca putând fi constituite numai din unul sau două elemente. Astfel, se consideră grupuri de defectare numai cele constituite din unul sau două elemente. Grupurile de defectare individuale, constituite dintr-un element, se reprezintă în schema echivalentă de calcul ca atare, iar grupurile de defectare constituite din două elemente se reprezintă în schema echivalentă de calcul prin grupări în paralel. Schema echivalentă de calcul se obţine prin reprezentarea în serie a tuturor grupurilor de defectare. Pentru determinarea propriu-zisă a grupurilor de defectare este necesară simplificarea schemei logice de fiabilitate cu ajutorul relaţiilor de echivalenţă şi apoi întocmirea schemei logice simplificate de fiabilitate. Pe baza acestei scheme se întocmeşte o matrice cu număr de linii şi coloane egal cu numărul total de elemente din schema simplificată, afectându-se fiecărui element o linie şi o coloană. Pornind de la cerinţa funcţională se analizează elementele din schemă care duc singure la defectarea schemei şi acest lucru se notează în matrice la intersecţia liniei cu coloana respectivului element, intersecţie ce se află pe diagonala principală a matricei. Toate elementele care prin defectarea lor duc la nefuncţionarea schemei se vor nota pe diagonala principală a matricei pentru a nu mai fi luate în consideraţie în analiza în continuare şi se vor deveni grupuri de defectare individuale în schema echivalentă de calcul. În continuare se analizează pentru fiecare linie dacă elementul respectiv defect împreuna cu alt element defect de pe coloane conduce la defectarea schemei. În cazul în care acest lucru este adevărat, se notează intersecţia liniei cu coloana respectivă, intersecţiile notate definind grupurile de defectare de două elemente care se reprezintă prin grupări în paralel în schema echivalentă de calcul. Precizez că matricea se va completa numai deasupra sau dedesubtul diagonalei principale, astfel încât grupurile de defectare formate din 2 elemente să nu poată fi luate în considerare decât o singură dată. Apoi se întocmeşte schema echivalentă de calcul. Se calculează pentru fiecare grup de defectare parametrii echivalenţi de calcul aşa cum este arătat în [37] şi [49] şi apoi se calculează parametrii echivalenţi pentru întreaga schemă cu relaţiile:


74

∑= gie λλ 3-211

∑

∑=

gi

gi

gi

e

µ

λ

λµ 3-212

Pe baza rezultatelor oferite de relaţiile (3-211) şi (3-212) se pot determina toţi ceilalţi indicatori care caracterizează fiabilitatea schemei respective, aşa cum sunt prezentaţi în capitolul 3.3.6 Trebuie menţionat faptul că funcţie de definirea stării de funcţionare a instalaţiei grupurile de defectare pot fi diferite. Deci pentru determinarea indicatorilor de fiabilitate utilizând procedeul grupurilor de defectare trebuie urmăriţi paşii de calcul:

1. Definirea cerinţei funcţionale;

2. Întocmirea schemei logice de fiabilitate;

3. Simplificarea schemei logice de fiabilitate cu ajutorul relaţiilor de

echivalenţă;

4. Întocmirea matricei grupurilor de defectare;

5. Completarea matricei cu grupuri de defectare numai deasupra

diagonalei principale din motive de simetrie;

6. Întocmirea schemei echivalente de calcul;

7. Calculul parametrilor echivalenţi ai schemei;

8. Calculul indicatorilor de fiabilitate.

3.3.7.2. Procedeu simplificat pentru întocmirea grupurilor de defectare

Complexitatea mare a schemelor de distribuţie a energiei electrice şi faptul că în schemele electrice de distribuţie la consumatori nodurile reprezintă sisteme de bare de alimentare şi de distribuţie, conduce la posibilitatea elaborării unui algoritm care constituie un procedeu simplificat pentru constituirea directă a grupurilor de defectare, fără a se mai întocmi matricea pentru analiza ca în cazul procedeului clasic. Procedeul poate fi aplicat pentru o clasă largă de sisteme care prezintă analogii din punct de vedere al fiabilităţii cu instalaţiile electrice de distribuţie. Procedeul se bazează pe transfigurarea schemelor logice de fiabilitate cu legaturi transversale în scheme de tip radial. În acest scop, schemele logice de fiabilitate ale schemelor electrice de distribuţie la consumatori, vor trebui să conţină explicitatea grafică a barelor, ca în schemele electrice tehnologice, numai restul elementelor componente fiind simbolizate prin dreptunghi.


75

Procedeul constă în constituirea următoarelor grupuri de defectare:

1. Elementul echivalent dintre nodul pentru care se determină fiabilitatea şi prima bară (sau sistem de bare) întâlnita în parcurgerea schemei dinspre nod (nodul consumator) spre sursă (nodul de alimentare).

2. Elementul echivalent constituit de bara (sau cele doua bare considerate ca grup de defectare) de la punctul 1.

3. Dacă bara (sau sistemul de bare) de la punctul 1 are:

3.1 O singura alimentare, se constituie ca grup de defectare elementul echivalent al componentelor înseriate pană la ultimul nod (bară sau sistem de bare) cu dublă alimentare întâlnit în parcurgerea schemei spre sursă, inclusiv acest nod ca la punctul 2. Se constituie în continuare grupurile de defectare ca la punctul 3.2.

3.2 Dublă alimentare, se constituie ca grupuri de defectare toate combinaţiile de câte două elemente obţinute prin combinarea fiecărui element al primei alimentari (pană la sursă sau următorul nod – bară sau bare – cu dublă alimentare). Dacă nodurile respective cu dublă alimentare sunt constituite dintr-o singură bară, aceasta se consideră ca element al alimentarii respective. Dacă aceste noduri sunt constituite dintr-un sistem de bare acestea nu se considera în combinaţiile care conduc la grupurile de defectare. Prin sistem de bare cu dublă alimentare se înţelege situaţia în care fiecare bară este dublu alimentată. În procedeul prezentat s-a considerat, în cazul dublei alimentari, asigurarea unei puteri de 100% fată de cerere prin fiecare alimentare. Avantajul deosebit al acestui procedeu pentru constituirea grupurilor de defectare constă în eliminarea necesitaţii de întocmire şi analizare a unei matrici cu n linii şi n coloane (n fiind numărului elementelor din schema de distribuţie), matrice care conform procedeului “clasic” trebuie analizată element cu element pentru a stabili grupurile de defectare. Cu cât schema de analizat este mai complexă avantajele procedeului expus sunt mai mari.

4. PARTICULARITĂŢI ALE FIABILITĂŢII INSTALAŢIILOR DE AUTOMATIZARE

76


4.1. Generalităţi Cerinţele impuse fiabilităţii instalaţiilor de automatizare cresc fără încetare,

datorita, pe de-o parte numărului din ce în ce mai mare de componente conţinute intr-o instalaţie şi pe de alta parte datorita pretenţiilor din ce în ce mai mari.

Una din cerinţele pe care trebuie sa le îndeplinească o instalaţie electrică de automatizare este aceea de a utiliza cat mai puţine componente pentru realizarea aceleiaşi funcţii.

Reducerea numărului de elemente a instalaţiei electrice de automatizare a determinat înglobarea mai multor funcţii intr-un singur element, cu ajutorul electronicii. Altfel, sisteme complexe de automatizare care erau rezolvate în mod tradiţional utilizând contactori şi relee, pot fi înlocuite cu automate programabile sau cu relee programabile.

Aceasta dezvoltare atrage după sine şi dezvoltarea calculelor previziunilor de fiabilitate pentru sisteme electronice.

Este cunoscut faptul ca pentru determinarea fiabilităţii unui sistem, în cazul nostru a unei instalaţii electrice şi de automatizare, este necesara cunoaşterea unor indicatori de fiabilitate a elementelor componente.

În [34] este prezentata fiabilitatea diverselor componente ce stau la baza unei instalaţii electrice de automatizare, printre care amintesc: fiabilitatea componentelor pasive, fiabilitatea tranzistoarelor de putere cu siliciu, fiabilitatea circuitelor integrate, fiabilitatea memoriilor semiconductoare, fiabilitatea microprocesoarelor, fiabilitatea componentelor optoelectronice, fiabilitatea capsulelor de plastic.

În continuare voi prezenta modul de punere al problemei pentru o serie de elemente componente a instalaţiilor electrice şi de automatizare la care am adăugat şi sistemele tolerante la defectări.

4.2. Toleranţa la defectări Creşterea continuă a complexităţii sistemelor tehnice actuale şi a importanţei misiunilor pe care acestea trebuie să le îndeplinească impune implementarea unor metode eficiente de minimizare a riscului eventualelor defectări.

Ridicarea continuă a nivelului tehnic şi calitativ al produselor constituie o cerinţă fundamentală, direcţia strategică vizând asigurarea unei înalte fiabilităţi a produselor pentru sisteme de mare răspundere funcţională (sisteme de calcul, aeronautice, de energetică nucleară, militare, de dirijare a traficului) fiind deosebit de importantă şi pentru celelalte categorii de produse în vederea realizării unei competitivităţi sporite pe piaţa externă.

Una din direcţiile principale urmate pe plan mondial pentru asigurarea unei fiabilităţi ridicate constă în introducerea toleranţei la defectări ca atribut arhitectural al acestora [27].


77

4.2.1. Consideraţii generale

În cele ce urmează sunt introduse câteva concepte de bază utilizabile în

domeniul sistemelor tolerante la defectări [27].

Sistemele tolerante la defectări sunt acele sisteme care îşi pot continua execuţia corectă a funcţiilor de intrare/ieşire, fără intervenţie din exterior, în prezenţa unor anumite defectări ce apar în timpul funcţionării.

Eroarea este un simptom al unui defect, fiind cauzată de prezenţa unei defectări la locul de acţiune al defectului.

Un sistem parţial tolerant la defectări este un sistem care nu îndeplineşte toate condiţiile definiţiei sistemelor tolerante.

Toleranţa statică la defectări este cea în care pentru implementarea toleranţei la defectări a unui sistem, se utilizează forme ale redundanţei de tip static.

Toleranţa dinamică la defectări este cea în care se utilizează diverse procedee de detecţie a defectărilor sistemului, urmat de reconfigurări automate ale acestuia.

4.2.2. Soluţii de implementare a toleranţei la defectări

4.2.2.1. Reconfigurarea sistemelor

Relaţia structurală care asigură sistemului toleranţa la defectări poate fi o

relaţie de mascare a defectărilor sau de corecţie şi reconfigurare adecvată a sistemului.

O metodologie de implementare a toleranţei la defectări aplicată unui sistem trebuie să înceapă cu specificarea cerinţelor de fiabilitate pentru acel sistem, să continue cu selecţia modelelor de diagnosticare şi a algoritmilor de mascare a defectelor sau reconfigurare a sistemelor şi să se termine cu evaluarea toleranţei la defectări şi a performanţelor de fiabilitate şi economice aduse sistemului.

Cel mai utilizat procedeu în scopul detectării defectelor este cel al testelor de diagnoză. Testul de diagnoză presupune introducerea unor seturi de semnale la intrările sistemului pentru care sunt cunoscute semnalele corecte de la ieşirile acestuia. O neconcordanţă între semnalele de ieşire ale sistemului testat şi semnalele corecte de ieşire ale aceluiaşi sistem evidenţiază prezenţa unui anumit defect.

Această tehnică presupune atât detectarea defectului cât şi izolarea sa pentru a nu se propaga alte defecte în sistem. Detectarea defectelor se face în etape, pornind de la detectarea elementului defect al sistemului până la detectarea componentei defecte a elementului acelui sistem.

În urma etapei de localizare a defectelor, una sau mai multe componente ale sistemului vor fi considerate defecte şi deci trebuie avute în vedere măsuri de reparare. Repararea poate fi o reparare propriu-zisă sau o reparare prin reconfigurarea sistemului.

Tehnicile de reconfigurare pot fi:


78

• Manuale – toate acţiunile sunt realizate de factori externi (umani). Aceste tehnici constau în modificarea manuală a conexiunilor între componente sau înlocuirea componentelor defecte;

• Dinamice – acţiunile de reconfigurare sunt realizate de către sistem dar prin instrucţiuni date din afara sistemului;

• Spontane – acţiunile sunt iniţializate şi realizate de către sistem. Ultimele două tehnici de reconfigurare au ca scop automatizarea acţiunii

manuale, prin utilizarea diferitelor forme de reţele de comutaţie (v. Fig. 4-1).

Fig. 4-1. Reţea de comutaţie (redundanţă dinamică)

Comutatorul prezintă interfeţe cu ambele componente de comutat.

Problemele de care trebuie ţinut cont in vederea unei reconfigurări a sistemului sunt următoarele:

- Dacă erorile de proiectare nu sunt considerate esenţiale atunci elementul de rezervă poate fi din punct de vedere constructiv identic cu cel defect. În cazul în care se doreşte eliminarea erorilor de proiectare atunci elementul redundant trebuie să fie diferit de elementul de bază;

- Pentru obţinerea unui avantaj major din prezenţa rezervelor, se adoptă soluţia ca toate componentele să fie funcţionale, inclusiv rezervele. În acest caz, dacă o componentă se defectează, aceasta este înlăturată din sistem, iar sarcina ei este preluată de altă componentă. Această operare va conduce la degradarea lentă a serviciilor asigurate de sistem (reducerea capacităţilor de tolerare a defectelor). Un exemplu în acest sens poate fi cel potrivit căruia pentru comanda unei nave spaţiale, din proiectare, sunt prevăzute patru calculatoare identice, care pot fi reduse şi la unul singur, pierzându-se astfel facilităţile asigurate de funcţionarea celor patru calculatoare şi deci reducerea capacităţii de toleranţă a defectelor;

- Trebuie avut în vedere dimensiunea unităţilor înlocuibile care influenţează efortul localizării defectelor. S-a constatat că unităţile mari permit localizarea defectelor mai uşor, dar impun o redundanţă mai mare, deci un MTBF mare, dar necesită o reţea de comutaţie mai complexă;

- La conceperea sistemului trebuie avut în vedere ca sistemul de comutaţie să nu fie activat în mod accidental, aceasta putând fi controlat de un mecanism de tip password;

- Un sistem prevăzut cu reconfigurare dinamică sau spontană trebuie să poată fi reconfigurat şi manual;

- Pentru facilitatea mentenanţei manuale este necesară prevederea unei culegeri de date privind comportarea eronată a sistemului.

Restul sistemului Comutator

Rezervă

Componentă defectă


79

Cea mai simplă strategie de reconfigurare a sistemului este plasarea componentelor într-o configuraţie stand-by (structură redundantă de comutaţie).

Configuraţia stand-by presupune utilizarea unor modele identice din punct de vedere funcţional, unul sau o parte din ele fiind active, realizând funcţia sistemului, celelalte fiind în aşteptare, urmând a fi comutate, atunci când unul din modulele active se va defecta. Astfel, toleranţa defectului este explicită: la ieşirea modulului defect apar semnale eronate care sunt detectate şi corectate prin înlocuirea modulului defect, în mod automat, cu module aflate în aşteptare (v. Fig. 4-2).

Fig. 4-2. Exemplu de sistem reconfigurabil

4.2.2.2. Sisteme autotestabile

Baza implementării toleranţei dinamice a defectelor o constituie procedeul

autotestării funcţionării sistemului. Acesta poate fi implementat atât la nivelul elementelor sistemului cât şi la nivelul întregului sistem.

Funcţia de autotestabilitate este inclusă sistemelor autoreparabile sau sistemelor reconfigurabile.

Dacă notăm cu A mulţimea semnalelor de ieşire ale unui sistem şi cu B mulţimea semnalelor de ieşire la apariţia defectării, mulţimi disjuncte între ele, problema autotestării se pune prin căutarea apartenenţei semnalelor de ieşire, la una din mulţimile A sau B, atunci când sistemul funcţionează posibil ca semnalul de ieşire chiar la apariţia unui defect să facă parte din mulţimea A. Sistemele la care se previne acest lucru sunt sistemele total autotestabile.

Sistemele tolerante la defectări şi autotestabile care asigură o înaltă fiabilitate în funcţionare comportă două tipuri de ieşiri: o ieşire de date şi, respectiv, una indicatoare de defect, care poate declanşa oprirea sistemului. În continuare se vor defini conform [27] o serie de indicatori caracteristici pentru astfel de sisteme.

Monitor

Bară alimentare 1

Pompa 1

Comutator

Bară alimentare 2

Pompa 2


80

Securitatea sistemului reprezintă probabilitatea ca la ieşirea acestuia să nu apară o informaţie eronată (informaţia dată de sistem este eronată şi semnalul de STOP nu a apărut). S = 1- Pr 4-1 Fiabilitatea sistemului reprezintă probabilitatea de a executa corect misiunea sa pe durata afectată acesteia (informaţia dată de sistem este corectă şi semnalul STOP nu a apărut). R = Pr 4-2 Disponibilitatea sistemului reprezintă probabilitatea ca acesta să fie disponibil la un moment dat (semnalul STOP nu a apărut). A = Pr 4-3 Credibilitatea sistemului reprezintă probabilitatea ca informaţia dată să fie corectă, condiţionată de faptul ca sistemul să fie disponibil (informaţia este corectă / sistemul este disponibil). C = Pr 4-4 Definiţia dată aici pentru disponibilitate nu implică faptul că semnalele de ieşire funcţionale sunt corecte, ci numai cerinţa ca semnalul de STOP să nu apară. Semnalele de ieşire vor fi corecte dacă securitatea sistemului este perfectă. În aceasta constă diferenţa dintre definiţia dată disponibilităţii pentru sistemele reparabile şi definiţia dată aici pentru sistemele nereparabile; în cazul definiţiei “clasice” se subînţelegea că sistemul funcţionează corect dacă este disponibil.

4.2.3. Aspecte privind fiabilitatea sistemelor tolerante la defectări

În proiectarea sistemelor se urmăreşte realizarea unui maxim de fiabilitate a

sistemului prin folosirea sistemelor tolerante la defectări, altfel spus prin asigurarea unei anumite structuri redundante a sistemului. Realizarea maximului de fiabilitate a sistemului este o problemă complexă legată de mulţi factori dar în primul rând de cost. Astfel, sistemele intolerante la defectări (sisteme care au o schemă logică de fiabilitate de tip serie), pentru a atinge un nivel înalt de fiabilitate trebuie să se utilizeze componente cu fiabilitate foarte bună. Aceste sisteme, conduc la costuri mari şi de aceea pentru realizarea unei înalte fiabilităţi, în multe cazuri, se preferă realizarea schemelor cu structură redundantă.

Apare necesitatea practică a comparării performanţelor de fiabilitate ale sistemelor cu structură redundantă în raport cu cele ale sistemelor neredundante.

Indicatorii de fiabilitate folosiţi la compararea sistemelor redundante şi a sistemelor neredundante sunt: funcţia de fiabilitate R(t), media timpului de funcţionare m(t), numărul mediu de defectări ν(t).


81

O altă metodă care face posibilă compararea diferitelor structuri redundante presupune evidenţierea atât a îmbunătăţirii fiabilităţii sistemului prin utilizarea redundanţei, cât şi a creşterii costului acestuia ca urmare a introducerii unor elemente suplimentare în sistem. Acestea pot servi ca bază de comparaţie între cele două structuri. Această metodă propune utilizarea indicilor logaritmici de îmbunătăţire a fiabilităţii şi a indicilor costului şi eficienţei.

Pentru a putea utiliza această metodă se introduc ipotezele: • Elementele sunt independente din punct de vedere al probabilităţii

de defectare;

• Numărul de componente al structurii neredundante este acelaşi cu

numărul de componente cărora li se va asigura redundanţa.

Pe baza celor enunţate considerăm un sistem cu structură neredundantă format din K subsisteme identice din punct de vedere al fiabilităţii având funcţia de fiabilitate notată cu Rn(t) şi un sistem cu structură redundantă format din acelaşi număr de subsisteme având funcţia de fiabilitate notată cu Rr(t).

Pentru a permite evaluarea îmbunătăţirii fiabilităţii unui sistem prin aplicarea redundanţei, se compară valorile numerice ale unui indice de creştere a fiabilităţii. Acest indice trebuie să fie independent de mărimea sistemului şi să fie sensibil la schimbări mici în valoarea funcţiei de fiabilitate în jurul lui 1.

Indicele de creştere al fiabilităţii poate fi definit în mai multe feluri, astfel: • Indicele de creştere al fiabilităţii se defineşte ca fiind raportul funcţiilor de fiabilitate

pentru sistemul redundant şi pentru sistemul neredundant

n

r

n

rR

R

R

tR

tRI ==

)()(

4-5

• Indicele de creştere al fiabilităţii se poate defini şi ca raport între funcţia de nonfiabilitate pentru sistemul redundant şi funcţia de nonfiabilitate pentru sistemul neredundant

r

n

r

nF R

RFF

I−

−==

1

1 4-6

Se poate observa că în expresiile (4-5) şi (4-6) cei doi indici sunt dependenţi de numărul de elemente al sistemului şi deci contravine ipotezelor stabilite. • Indicele de creştere al fiabilităţii definit ca raportul dintre media timpului de bună

funcţionare pentru sistemul redundant şi media timpului de bună funcţionare pentru sistemul neredundant

n

rm m

mI = 4-7

Deoarece media timpului de bună funcţionare este:

∫∞

=0

dt)t(Rm 4-8


82

rezultă că şi acest indice contravine ipotezei potrivit căreia indicele de îmbunătăţire a fiabilităţii nu trebuie să depindă de mărimea sistemului. • Indicele de creştere al fiabilităţii se mai poate defini şi ca raportul între ratele de

defectare pentru sistemul cu structură neredundantă şi cel cu structură redundantă.

r

nIλ

λ=λ 4-9

Deoarece

dt

)t(dR)t(R

)t(1

−=λ 4-10

rezultă că acest indice este independent de dimensiunea sistemului, dar nu este sensibil la variaţiile lui Rr în jurul lui 1. • Indicele logaritmic de îmbunătăţire a fiabilităţii

r

nlog Rln

RlnI =α= 4-11

Dezvoltând în serie logaritmul rezultă:

....F

F

....F

F

)Fln()Fln(

RlnRln

rr

nn

r

n

r

n

++

++=

−

−==α

2

2

1

1

2

2

4-12

Pentru Fn, Fr <<1 rezultă

)FF

(FF rn

r

n

21

−+≅α 4-13

Faţă de toţi ceilalţi indici de îmbunătăţire a fiabilităţii prezentaţi anterior,

indicele α respectă cele două ipoteze, este şi independent de numărul elementelor sistemului şi este şi sensibil la variaţii mici ale funcţiei de fiabilitate.

Aplicarea redundanţei este adeseori limitată de considerente tehnologice şi economice. Astfel, pentru evaluarea acestor limitări devine necesară introducerea indicelui de cost.

tneredondan sistemului costulredondant sistemul costul

Ic = 4-14

Noţiunea de cost este privită aici în sens larg, ca un parametru a căror

creştere evidenţiază dezavantajul mărimii gradului redundanţei.


83

În scopul evaluării eficienţei utilizării tehnicilor de redundanţă se poate utiliza indicele de eficienţă E, definit astfel:

cIcost de indicele

ifiablitati a crestere delogaitmic indiceleE

α== 4-15

4.3. Fiabilitatea releelor

În general, indicaţiile de fiabilitate date de fabricanţii de componente electronice în foile de catalog sunt insuficiente, căci chiar daca informaţii exista, cel puţin parţial, ele nu pot fi utilizate nici pentru comparaţii, nici pentru calcule de evaluare a fiabilităţii sistemelor în care aceste componente sunt “materia prima”.

Conform celor arătate în [34] minimul de informaţii care ar trebui puse la dispoziţie ar fi: tipul şi caracteristicile releului, numele fabricantului, condiţiile de exploatare (utilizare normala), şi de stres (in încercare), durata specifica de utilizare, tipuri de defectări, dimensiunea lotului încercat, comportarea la control. Un exemplu în acest sens este ca rata de defectare a elementelor de contact ale unui releu să fie însoţite şi de condiţiile climatice, sarcinile electrice, frecventa acestora, criteriile de defectare utilizate etc.

Pana în prezent, o parte din încercările efectuate pe elemente de contact (relee, selectoare) se refera la durata de viata; aceste elemente au fost acţionate în condiţii apropiate de cele de exploatare normala, poziţiile lor de contact au fost încărcate cu ajutorul circuitelor electrice tipice şi valorile caracteristice au fost măsurate la intervale de timp bine definite. Sfârşitul duratei de viata a intervenit în momentul în care parametrii de comanda sau cei ai elementelor de contact nu mai corespundeau valorilor stabilite. Dezavantajul acestei metode de încercare este acela ca nu se poate depista nicio defectare în funcţie de numărul de acţionari. O metoda accelerată nu poate fi utilizata.

Pentru relee durata de viata este încheiata atunci când un parametru al releului ajunge sa depăşească în mod continuu domeniul valorilor premise. Impunerea unei durate de viaţă de 25 ani, depinde de tipul şi mărimea sarcinii comutate prin contact (tensiune, curent, sarcina rezistiva sau capacitive), cat şi de criteriile de defectare acceptate şi de condiţiile mediului înconjurător. Aceasta explica de ce nu este pertinent sa se indice pentru un releu o durata de viata, căci mai ales numărul de comutări determina durata de viata. Comportamentul specific (si, deci, fizica defectărilor) este foarte complicat, căci sarcinile electrice sunt determinante în ceea ce priveşte defectările [34].

S-a ajuns la concluzia ca este suficient sa se utilizeze rezultatele măsurărilor calităţii contactelor după fiecare acţionare, în timp ce restul parametrilor principali sunt măsuraţi doar după anumite intervale de timp. Criteriul de defectare este rezistenta de contact de trecere; adică se controlează “siguranţa” şi “calitate” contactelor (închise şi deschise). Aceasta a forţat fabricanţii sa utilizeze instalaţii de control şi de încercări de fiabilitate cu care se poate obţine rata de defectare. Determinarea condiţiilor climatice se dovedeşte mult mai dificila, atât pentru temperatura şi umiditatea aerului, cat şi pentru numărul şi dimensiunea particulelor de praf şi pentru cantitatea de gaz vătămător, gaci generarea şi măsurarea unor astfel de particule şi a atmosferei conţinând gaz nociv sunt foarte scumpe [34].


84

Pentru relee, cheltuielile provin şi din numărul mare de parametrii, care joaca un rol în determinarea fiabilităţii (cum ar fi rezistenta la contact, capacitatea de comutare, tensiunea de comanda etc.). Pentru fiecare parametru al releului se pot determina criteriile de defectare; astfel, de exemplu, se ştie ca sarcina de comutare influenţează sensibil durata de viata, de aceea trebuie sa se indice un interval de timp în care este valabila o anumita fiabilitate. De asemenea, valoarea prezisa a fiabilităţii va fi lipsita de semnificaţie, daca se obţine dintr-o încercare de fiabilitate pe contacte, deschise, fără sa se definească condiţiile specifice climatice; fiabilitate obţinuta prin încercări de laborator nu va concorda cu cea obţinuta în condiţii practice, normale de exploatare.

Defectările timpurii joaca un rol secundar în cazul releelor căci în cea mai mare parte ele sunt descoperite chiar la fabricant, cu ajutorul încercărilor.

Valoarea tipică a ratei de defectare, care depinde foarte mult de încărcarea contactelor se situează între 105 şi 109 defectări pe releu şi comutare, aceste valori plasează releul printre cele mai fiabile componente în funcţie de încărcare.

Defectarea releelor poate fi clasifică astfel: - defectări aleatoare: întreruperii bobinei, spargerea resortului; - defectări de uzură: frecarea punctului de sprijin de lamela: migrarea de

material în regiunea punctelor de contact - trebuie făcută diferenţa între defect şi defectare, deoarece pot să apară

defecte izolate dar care să nu conducă la defectarea releului. Defectul este definit ca o deviaţie inadmisibila a unui parametru al releului.

Aceasta conduce la problemele următoare: o Să se indice un procedeu care sa permită o distincţie intre defectele

sporadice şi defectele care conduc la defectări aleatoare şi de uzura;

o Sa se determine, începând de la ce frecventa a acestui tip de defecte se poate vorbi de o defectare; astfel, un criteriu de defectare va fi definit de o frecventa a defectelor;

o Uzura conduce la o frecventa mare a defectare, dar reciproca nu este valabila, căci o frecventa mare a defectelor poate fi provocata şi de o defectare aleatoare; de aceea, este necesar sa se clasifice defectările ulterioare în defectări aleatoare şi defectări de uzura, de exemplu studiind în detaliu fiecare defectare. Conform [34] Kupec şi Frauendorfer au arătat ca trebuie sa se înlocuiască releul daca este vorba despre o defectare aleatoare; din contra, daca este vorba despre o defectare sporadica, nu trebuie sa se înlocuiască releul. De aceea, cazul aplicaţiei este decisiv şi utilizatorul trebuie sa aibă libertatea sa aleagă daca va trata sau nu în aceeaşi maniera rata de defectare aleatoare şi ratele defectelor.

Ca o concluzie la cele arătate, pentru a satisface criteriile economice şi de fiabilitate, este nevoie să cunoaştem comportarea în timp a releelor şi ratelor respective de defectare. Astfel de informaţii se găsesc rareori în foaia de catalog şi sunt dificil, daca nu imposibil, de obţinut, astfel încât singura cale de a şti mai mult este sa se efectueze încercările de fiabilitate necesara.


85

4.4. Fiabilitatea conectoarelor şi optocuploarelor

Conectorul este elementul ce realizează conectarea electrica şi mecanica a doua sau mai multe conductoare. Aceasta poate îndeplini următoarele funcţiuni unitare:

- Realizarea unui contact electric uşor de desfăcut, - Realizarea unui cuplări mecanice uşor de desfăcut, - Prevederea posibilităţilor de a conecta alţi conductori, - Izolarea parţilor bune conducătoare de electricitate, - Realizarea stabilităţii mecanice, - Prevederea posibilităţilor de fixare.

Evaluarea acestor funcţii unitare depinde de utilizarea respectiva şi de forma de execuţie a conductorului. Deşi s-ar părea ca unele funcţii sunt “importante”, iar altele “neimportante”, totuşi funcţionarea generala ireproşabila este garantata numai daca toate funcţiile unitare sunt realizate în proporţia corecta. De aceea forma de realizare a elementelor de contact ca şi materialele utilizate şi acoperirile galvanice capătă o importanta deosebita.

În domeniul instalaţiilor electrice şi de automatizare utilizarea conductoarelor şi deci a contoarelor este foarte mare. De aceea, profilul specificaţiilor tehnice ale conectoarelor trebuie sa fie [34].

• Calitatea contactului: depinde de rezistenta de trecere • Fiabilitate: depinde de defectările timpurii, de cele de uzura, de cele de

funcţionare, de influenta mediului înconjurător. • Curentul de funcţionare: în funcţie de temperatura mediului, e determinat de

materialul izolant corp, materialul de contact resort elastic, forţa de contact, diametrul de contact.

• Realizarea contactului din punct de vedere mecanic: raportul dintre forţele de elasticitate şi cele de forfecare (toleranta sistemului).

• Tehnica de conectare: conexiune prin lipire manuala, prin lipire cu imersie, conexiune prin presare fără sudare, tehnica “press in”.

• Specificaţii pentru conectoare pentru conductori optici (fibre optice): construcţie stabile, componente normate, montaj simplu, vaporizare redusa, rezistenta la acţiunea mediului, protecţia suprafeţei fibrelor, conectare frecventa şi reproductibila. Gradul de adecvare a unui metal nobil drept material de contact se poate

stabili definitiv numai pentru conductoarele comerciale. Cercetările efectuate timp de un deceniu de firma ITT au arătat ca scăderea forţei de contact în timpul vieţii are o alura logaritmica.

Din punctual de vedere al utilizatorului, un plan de încercări pentru calificarea unui conductor trebuie sa conţină următoarele grupe de caracteristici: caracteristici ale produsului, caracteristici de funcţionare, caracteristici de utilizare, caracteristici de comportare în funcţionare.

Fiecare dintre aceste grupe poate fi împărţită în elemente bine definite; în acest sens se poate face deosebirea dintre caracteristicile de estimare şi caracteristicile de încercare.

a) Caracteristici ale produsului În aceasta grupa sunt reunite caracteristicile pe care le furnizează

producătorul pe baza selecţiei materialelor şi tehnologiei aplicate pentru a asigura


86

produsului comportarea ulterioara. Dintre acestea fac parte: materialele folosite, prelucrarea (examinarea optica a capsulei şi a parţilor de contact), suprafeţele (joncţiunile intre materiale, porozitatea materialelor de contact, impurificările, ungerea contactelor), construcţia straturilor (in zonele de contact şi conectare).

b) Caracteristici de funcţionare Aceasta grupa cuprinde caracteristicile importante pentru funcţionare:

caracteristicile mecanice de funcţionare (dimensiuni şi tolerante, posibilitatea de încrucişare, forţele totale de conectare şi tracţiune, forţa de contact, sarcina statica axiala, etc.), caracteristicile electrice de funcţionare (devaluarea, rezistenta de trecere, curentul de funcţionare, rezistenta la tensiune).

c) Caracteristici de prelucrare Aceasta grupa de caracteristicile este deosebit de importanta şi cuprinde

caracteristicile ce determina manipularea, montarea şi capacitatea de conectare: caracteristicile de manipulare, modularitatea şi rezistenta mecanica a conexiunii; caracteristica de montaj, momentul maxim de tracţiune admisibil la înşurubare sau fixare; capacitatea de conectare înşurubare, presare, lipire, prindere în cleme.

d) Caracteristici de comportare în funcţionare Caracteristici de introducere în montaj: domeniul temperaturilor de transport şi

păstrare, domeniul de temperatura la funcţionare, cicluri de conectare-deconectare, inflamabilitate, stres la umiditate, influente în cursul funcţionarii, solicitări mecanice (vibraţii, acceleraţii, şocuri), solicitări electrice (încărcarea electrica de durata, supratensiune) solicitări climatice (frig, căldura, umezeala, nisip şi praf, şocuri termice, variaţii de temperatura, mucegai).

Înlocuirea conectoarelor mecanice cu cele optoelectronice, acolo unde este posibil acest lucru, a influenţat foarte mult concepţia diferitelor circuite electronice din componenta instalaţiilor electrice şi de automatizare.

Aşa cum se arata în [34], preţul avantajos, viteza mare (de adresare) şi fiabilitate buna a componentelor au contribuit la acest fapt şi la fabricarea lor în masa.

Sub numele de componente optoelectronice se înţeleg, în general, componentele a căror putere luminoasa se transforma în putere electrica (sau invers).

Diodele cu emisie luminoasa (LED) au cucerit sub diferite forme constructive, domenii din ce în ce mai largi de utilizare. Acest fapt se datorează unei serii de avantaje fata de alte surse de lumina, printre care, în special, robusteţe, fiabilitate şi viata îndelungata ca şi viteza de comutaţie şi compatibilitatea cu circuitele integrate.

Producerea luminii în semiconductoare se bazează pe o recombinare radiativa a electronilor şi golurilor. Energia eliberata în urma recombinării este emisa şi sub forma de fotoni. Desigur ca pentru excitare e nevoie ca numărul electronilor şi golurilor sa fie mărit peste concentraţia lor de echilibru. Forma cea mai simplă a excitării continue este cea realizata prin intermediul unei joncţiune pn; ca urmare astfel de surse semiconductoare de lumina au fost numite diode emiţătoare de lumina.

Problemele de fiabilitate ale fotoemiţătoarelor sunt cu totul diferite de cele ale fotoreceptoarelor. Materialele constitutive ale emiţătoarelor sunt combinaţii chimice relative noi ale elementelor din subgrupele principale III şi IV ale sistemului periodic. Aceste diode tehnice care trebuie corelate cu structura materialelor şi proceselor de fabricaţie se reflecta în nivelul fiabilităţii lor.


87

Îmbunătăţirile realizate în ultimul timp (tehnologia, proiectare, construcţia şi încapsularea LED-urilor) au dus, toate, la mărirea duratei de viata a LED-urilor GaAs. Utilizarea tehnologiei planare a dus şi ea la creşterea duratei de viata a LED-urilor GaAsP şi GaAs (dopat cu Zn). în general, în prezent probabilitatea defectării unui LED e comparabila cu a oricărei componente de siliciu, dar fiabilitatea sa e influenţata încă în mare măsura de procesul de fabricaţie.

Deoarece tehnologiile utilizate la fabricarea LED-urilor sunt asemănătoare celor pentru semiconductoarele de siliciu, e de aşteptat ca LED-urile sa aiba o fiabilitate asemănătoare acestora. Comparativ cu alte surse de lumina LED-urile prezintă mai multe avantaje relative de fiabilitate, cum ar fi durate lungi de viata, rezistenta la şocuri şi vibraţii, ca şi o compatibilitate cu circuitele integrate, ca urmare a tensiunii mici de funcţionare, de numai 2V. Alte avantaje sunt: domeniul mare de temperaturi de funcţionare, temperatura scăzuta de funcţionare, dimensiunile mici şi funcţionarea fiabila în condiţii severe de mediu. Toate acestea sunt realizabile în practica daca diodele sunt corect proiectate, fabricate şi montate. De asemenea, proiectantul de componente optoelectronice trebuie sa ştie ca puterea de emisie a unei componente poate fi influenţata pe termen lung de degradarea unor parametric.

În general, fiabilitatea unei componente optoelectronice depinde de doi factori diferiţi variabili: caracteristicile de fiabilitate ale structurilor LED-urilor şi cele ale capsulelor. Aceşti doi factori sunt interdependenţi, deoarece o defectare a capsulei (chiar daca nu e catastrofala) poate duce fie la o defectare, fie la degradarea componentei.

Din punct de vedere teoretic, un LED ar trebui sa aibă o viata fără sfârşit, ca şi oricare alta joncţiune pn. în practica, în condiţii normale de solicitare, durata de viata preliminata poate atinge 1000000 ore. Scăderea lenta în timp a luminii emise este o proprietate cunoscuta.

Contrar presupunerilor iniţiale nu se poate prevedea o dependenta intre degradarea unui LED şi curentul direct de stres, IFS. Acest fapt duce la concluzia ca poate fi observat un mecanism analog celui al unei rezistente ohmice în paralel cu joncţiunea pn şi a cărei valoare depinde de densitatea de curent a LED-ului şi de timpul de trecere al acestuia. Rezistenta parazita se formează lent la valori mici ale curentului şi mai repede la curenţi mari. Desigur, valoarea ei este invers proporţionala cu curentul şi cu timpul.

In mod ciudat, se pare ca temperatura joncţiunii influenţează degradarea doar în mica măsura şi dimpotrivă, temperatura mediului joaca un rol hotărâtor.

Câştigul de luminiscenta al LED-urilor GaP e determinat în principal de defectele cristalului, care duc la recombinări neradiative.

Pentru a evalua fiabilitatea unei capsule se utilizează metode de testare privind sudabilitatea, ciclarea termica, şocurile mecanice şi termice şi rezistenta la umiditate pentru diferite niveluri de stres. Aceste încercări servesc la determinarea condiţiilor extreme de microclimat. Daca materialul capsulei e impermeabil la apa, după cca 100 ore, majoritatea capsulelor din plastic sunt complet saturate la interior cu vapori de apa. O umiditate ridicata duce la defectări fie prin corodarea metalizării, fie prin curenţi reziduali. Din acest motiv, încercările accelerate la umiditate sunt considerate distructive.

Oboseala termica e şi ea considerata ca un factor limitativ pentru componentele încapsulate în plastic. În [34], este arătat ca e foarte obişnuita o rata de defectare de cca 5% după 50 cicluri termice (-55oC la 125 oC) sau după şocuri termice repetate de la 0oC la 100oC. Capsulele suprasolicitate (temperaturi mai mari


88

decât cele de regim) suferă defectări catastrofale. Cauzele de defectare sunt analoge celor constatate în privinţa circuitelor integrate încapsulate în plastic, numai ca materialele plastice utilizate pentru componentele optoelectronice sunt supuse unor solicitări mai mari.

Un tip de defectare specifica LED-urilor în capsule de plastic este apariţia bulelor de aer. Deoarece indicii de refracţie ai aerului şi materialului plastic sunt diferiţi, acest defect se poate traduce prin pierderi de lumina.

Tipul cel mai frecvent de defectare a LED-urilor încapsulate în plastic este cel produs de sudurile şi conexiunile interne.

S-a arătat ca ciclarea termică la putere disipată maximă e cel mai eficient test standard de fiabilitate, deoarece produce defectările cele mai asemănătoare celor constatate în practica (se aplica tensiunea continua UF la valoarea limita maxima a puterii injectate şi la intervale de alternare de 3 minute).

Toate tipurile de defecte observate (in afara de “plastic delamination”) au fost puse în evidenta prin testul de cicluri de putere (“power cycle test”). În mod obişnuit, componentele sunt supuse la cca. 10000 cicluri termice în timp de 1000 ore. Celalalt tip de test (încercare ciclica pasiva) permite temperatura mai înalte, pe o plaja mai larga, dar se executa de obicei 5-10 cicluri.

Încercările în impulsuri de curent (pana la 1000 A/cm2) efectuate de Texas Instruments nu au dus la defectări, ceea ce a impus concluzia ca defectările depind de puterea medie disipata şi de condiţiile de funcţionare în cursul ciclărilor. Pentru a putea determina diversele compatibilităţi structurate ale materialelor plastice, se utilizează adesea şocurile termice (lichid-lichid). în general, controalele electrice finale ale LED-urilor urmăresc direct IF, tensiunea directa UF şi intensitatea luminii, toate măsurările posibile făcându-se conform foii de catalog. La o temperatura a mediului de +40 oC, rata de defectare este de 40…80 FIT.

4.5. Fiabilitatea memoriilor semiconductoare

Progresele rapide din ultimii ani din domeniul tehnologiei memoriilor semiconductoare (creşterea capacitaţilor de memorie datorita densităţii mărite de integrare) a avut drept urmare o scădere a costurilor ceea ce a permis utilizarea din ce în ce mai mult a acestora. Tipurile de memorii semiconductoare:

RAM – Random – Access Memory ROM – Read Only Memory PROM – Programmable ROM EPROM – Erosable PROM EEPROM – Electrically Erosable PROM

Memoriile de lucru ale micro, mini şi macrocalculatoarelor sunt echipate în mod predominant cu memorii semiconductoare scris – citit (RAM - Random Access Memory). Conform [53], memoriile RAM realizate în conformitate cu cerinţele pieţei comerciale au devenit din ce în ce mai mici şi mai des folosite. Au fost puse la punct pentru aplicaţii comerciale module de memorare ce au caracteristicile de performante necesare în sistemele industriale integrate. Astfel, primul modul de memorie ce a migrat către domeniul industrial a fost SIMM-ul urmat apoi de DIMM-uri (small outline dual în line module).


89

Avantajele componentelor înalt integrate se reflecta mai ales în costurile şi ratele de defectare mai mici. Aşa cum este arata în [34], densităţile tot mai mari de integrare sunt greu de realizat, astfel încât costurile realizării unei astfel de exemplare fără defecte sunt mari. Concepţiile cele mai recente recomanda utilizarea unei parţi din circuitele de memorie potenţial defecte şi luarea de masuri suplimentare la nivelul circuitului pentru a tolera aceste defecte de fabricaţie. La baza acestor concepţii se afla marile avantaje ale circuitelor înalt integrate: gabarit redus, o mare economie de costuri şi un timp redus de operare.

În ceea ce priveşte fiabilitatea memoriilor semiconductoare, deşi numărul de tranzistoare de memorie aproape se dublează, acesta sta în loc fata de integrarea crescânda deoarece modelele de memorie au o rata de defectare pe durata mare de 10-7h1. Defectările timpurii în primele 10000 h de funcţionare sunt în domeniul procentelor, astfel încât modulele de memorie trebuie supuse, în timpul fabricaţiei, unei solicitări mari de intensitate a câmpului şi temperaturii.

Având în vedere cauzele defectărilor memoriilor semiconductoare (defecte de oxid, contaminare, defecte de cristal, etc.) utilizatorul poate îmbunătăţi rata de defectare a acestora prin masuri de testare, de selecţie şi condiţii de funcţionare.

În continuare voi prezenta o serie de date de fiabilitate [34]. Este necesar sa se facă deosebire intre valorile extrapolate rezultate din

testele accelerate de durata de viata şi defectările operaţionale. În cadrul testelor cu comprimarea timpului, componentele sunt evaluate de obicei din punctul de vedere al specificaţiilor lor, adică abaterea unui singur parametru, poate necritic, e considerata defectare. La nivelul sistemului insa (in funcţie de proiectul sistemului), sunt tolerate chiar abateri mai mari ale parametrilor. Aceasta explica rata de defectare operaţională, a cărei valoare e de 2-3 ori mai mică decât cea extrapolată [34].

Rate de defectare pe timpul îndelungat (25 ani) a memoriilor semiconductoare digitale depind în principal de tipul de memorie, de producătorul şi de condiţiile de montare, atingând valori intre 0% şi 0,01% / 1000 ore la 400C şi la nivelul de încredere 60%. Aceleaşi valori le atinge şi rata de defectare „soft” a memoriilor complexe de scriere – citire.

În cazul memoriilor reprogramabile, fiabilitatea se refera şi la numărul de cicluri de programare, astfel încât nu trebuie depăşite 10000 de cicluri [34].

În fata de început a memoriilor RAM de 16k s-a stabilit prin intermediul unui test amplu de durata de viata o cota de defectare/test de 73/6456 = 1,13% [Fiabilitatea componentelor electronice]. Analizele de defecte efectuate au fost în evidenta 4 principale cauze de defectare: structuri de protecţie de intrare defecte, defecte de ferestre de contact, întreruperea traseelor de aluminiu şi degradarea contactelor „Nail Head” la nivelul Au-Al. Îmbunătăţirile întreprinse relativ la design, proces tehnologic şi control au redus, respectiv eliminat, aceste rate de defectare, astfel ca la un nou ciclu de teste au rezultat doar 14/4693 = 0,3% defectări; nu s-au mai constatat puncte critice de defectare.

4.6. Fiabilitatea microprocesoarelor

Progresele tehnologice din domeniul memoriilor semiconductoare au făcut

posibila, in 1970, apariţia unor produse noi, microprocesoarele.


90

Aşa cum am prezentat in [34], microprocesoarele prezintă aceleaşi tipuri de defecte ca si memoriile semiconductoare, deoarece au aceleaşi metode de fabricaţie si moduri de funcţionare apropiate. Se constata in plus si unele erori cauzate de desfăşurarea programului:

- defectări ce depind de succesiunea instrucţiunilor, - pierderea datelor la întrerupere, - executarea defectuoasa a comenzilor la întreruperi multiple. Aceste erori depind de condiţiile de exploatare, cum ar fi temperatura,

tensiunea de alimentare, etc. si de aceea sunt foarte greu de localizat, astfel încât o testare cuprinzătoare a funcţiunilor microprocesoarelor e deosebit de greu de realizat.

Daca se observă rata de defectare a unui anumit microcomputer timp de câţiva ani, se constata uşor continua îmbunătăţire a fiabilităţii componentelor: cu trecerea timpului, fabricantul stăpâneşte mai bine procesul de fabricaţie, astfel încât numărul surselor de defecte se micşorează. Aceste curbe cu aspect de funcţie exponenţiala sunt numite adesea curbe „de învăţare”. Constanta de timp a acestei funcţii ce descrie matematic îmbunătăţirea depinde de priceperea si cheltuiala puse in joc de producător. Pentru fiecare nou produs trebuie parcurs din nou acest proces de învăţare. Pentru memoriile semiconductoare se cunosc azi metode care oferă o buna probabilitate pentru descoperirea lipsurilor.

Pentru microprocesoare nu s-a ajuns încă atât de departe, deoarece diversitatea lor permite mai multe moduri de funcţionare.

Modelele utilizate pentru previziunile de fiabilitate sunt pana acum neadecvate si nici nu se poate propune un model mai bun, deoarece lipsesc elementele de calcul corespunzătoare [34].

Este arătat faptul că fiabilitatea proprie a microprocesoarelor este foarte mare faţă de cea a memoriilor semiconductoare sau a altor circuite integrate.

Trebuie cunoscut faptul că în privinţa testelor, nu au fost găsite încă metodele şi nici mijloacele de testare adecvată a microprocesoarelor.

Experienţa ultimilor ani a pus în evidenţă existenţa unui fenomen asemănător celui de „pattern sensitivity” al memoriilor semiconductoare; anumite comenzi care sunt executate corect în timpul unei secvenţe pot duce la o defectare dacă ele se repetă de mai multe ori intr-un ciclu. Deosebit de neplăcută este şi „iteration sensitivity”. În acest sens, s-a stabilit pentru microprocesoare că timpul de execuţie a diferitelor comenzi depinde de succesiunea acestora si poate atinge valori neavantajos de mari. Aceasta se explica in mod evident prin faptul ca, la cele mai multe circuite, timpul de propagare depinde de numărul de comutări la care a fost supus in cele 10-10 µs precedente [34].

Alte dificultăţi: - Lipsa unei scheme de testare echivalente a circuitului. - Chiar in cazul unor scheme cunoscute, utilizarea acestora e foarte delicata,

deoarece ipotezele clasice de defectare (scurtcircuit, circuit deschis) explica doar o mica parte din defectări

- Microprocesorul este doar un element al sistemului, de aceea testarea sa e dependenta de testarea celorlalte elemente (memorie, interfaţa).

O serie de rezultate de fiabilitate rezultate in urma unor cercetări îndelungate au condus la următoarele concluzii [34]:

• Rata de defectare depinde de mai mulţi parametrii, dintre care cei mai importanţi sunt: temperatura, tensiunea de alimentare, tehnica de


91

preîncărcare, criteriul de defectare si nivelul de încredere. Deoarece operarea cu aceşti parametrii poate duce la rezultate foarte diferite, e absolut necesar ca utilizatorul sa aibă cunoştinţe avansate de fiabilitate si sa interpreteze corect ratele de defectare date in raportul de fiabilitate.

• Tehnica de preîncărcare dinamica a circuitelor VLSI este preferabila celei statice pentru testele de durata de viata, deoarece corectările si întreruperile repetate ale modurilor interne simulează mai bine utilizarea reala.

• Masurile electrice trebuie sa cuprindă programe de testare cu secvenţe de exploatare in condiţiile cele mai proaste si impulsuri de clock. Criteriile bun/rău trebuie sa fie definite pentru fiecare circuit pe baza parametrilor de c.c, c.a. si timp daţi de către producător in foaia de catalog. Microprocesoarele care nu satisfac condiţiile testului respectiv sunt selecţionate după modurile de defectare, apoi are loc o înregistrare a datelor si o analiza a defectelor pentru a putea determina mecanismul specific de defectare.

• Calculul factorilor de accelerare si al ratelor de defectare trebuie făcut in funcţie de temperatura joncţiunii (si nu a mediului ambiant), deoarece aceasta metoda tradiţionala e utilizata in toate datele de fiabilitate MOS.

• Statistica ratelor de defectare ale unui sistem oglindeşte comportarea sa la montare, de care depinde defectarea sa totala brusca. Rata de defectare totala se refera si la circuitele integrate pentru care a fost constatata degradarea unui parametru, care insa nu modifica puterea sistemului.

• Se cunosc 4 clase generale de circuite integrate LSI: microprocesoare, circuite periferice, RAM si ROM. In cursul testelor de fiabilitate nu s-au pus in evidenta diferenţe importante intre aceste clase ci doar unele mecanisme de defectare specifice energiei de activare diferite. Diferenţele – daca exista - nu se datorează designului, layoutului, complexităţii sau densităţii de integrare ale acestor 4 clase de circuite.

• Ratele de defectare ale capsulelor de plastic si ceramice sunt comparabile celor din ceramica fiind ceva mai mici (de exemplu, 1,4 x 10-7h-1 fata de 1,7 x 10-7h-1, cu o sensibilitate mai mare a capsulelor de plastic la umiditate si coroziune.

• Testele de ciclare termica a dus la concluzia ca nu sunt mult mai proaste capsulele cu 40 pini decât cele cu 14 pini.

4.7. Fiabilitatea software-ului Software-ul este utilizat din ce în ce mai mult pentru comanda şi

supravegherea instalaţiilor electrice şi de automatizare. Daca în cazul hardware-ului exista fisa de fabricaţie, la software nu exista aceste fise, aşa ca după conceperea lui, acesta poate fi multiplicat fără greşeala în oricâte exemplare. În cazul software-ului, odată pus la punct, nu vor mai exista probleme de defectare, de uzura sau de îmbătrânire.

Cu toate acestea, software-ul pentru comanda microprocesoarelor nu lucrează totdeauna ireproşabil, el conţinând adesea defecte ascunse care pentru determinarea lor în faza de concepere sunt necesare cheltuieli mari.


92

Software-ul „cade” în pana datorita prezentei unei erori, care pleacă de la simple greşeli de codare şi pana la erori fundamentale de concepţie (proiectare). Pe măsura ce aceste erori sunt remediate, fiabilitatea software-ului creste.

În [72] sunt prezentate, conform standardului IEEE 982.2/1988, o serie de tipuri de erori:

- eroarea (error), care este o greşeala umana (o misiune sau interpretare greşita) având drept rezultat un program incorect;

- neregula (fault), care reprezintă accidental intern apărut ca urmare a erorii umane şi care face ca sistemul sa nu funcţioneze corect;

- defectul (defect), care consta intr-o anomalie din sistemul software datorata neregulilor cauzate de erori umane;

- căderea (failure), care este manifestarea vizibila a defectului prin care o unitate funcţionala nu-si poate îndeplini funcţia în limitele specificate.

Considerând acelaşi standard, o clasificare a defectelor software-ului sunt [72]:

� Defecte de specificare, datorate convertirii eronate a cerinţelor beneficiarului cum ar fi:

- incompatibilitatea intre ansamblul specificaţiilor şi cerinţele beneficiarului;

- probleme de interfaţare harware-software-utilizator; - descrierea incorecta a funcţionarii; � Defecte de proiectare, care sunt localizate la nivelul algoritmilor, logicii

sau structurilor de date cum ar fi: - probleme de interfatare harware-software-utilizator; - comunicare interprocesuală defectuoasa (sincronizare şi transfer

incorect); - definirea greşita a structurilor de date; - controlul logic defectuos la nivelul modulelor; - verificări incorecte de identificare a defectelor; - nerespectarea standardelor de proiectare. � Defecte de implementare (codare), care se pot datora: - logicii (sărirea etapelor, neglijarea limitelor, etc); - calculului (erori de semn, ecuaţii incorecte, etc.) - prelucrării incorecte a datelor (iniţializare, accesare, stocare, etc.) - interfaţării defectuoase intre module (apelarea incorecta a subrutinelor). � Defecte de documentare, care se refera la greşeli din documentaţia

produselor software. � Defecte induse de operator, prin aplicarea incorecta a procedurii sau

introducerea greşita a datelor. � Defecte datorate instrumentelor de testare software şi hardware.

Si în acest domeniu s-a impus în ultima vreme asigurarea calităţii, care se ocupa în special de masurile preventive privind calitatea software-ului de-a lungul tuturor fazelor de viata ale acestuia.

Dezvoltarea unui departament specific care sa se ocupe de asigurarea calităţii software-ului are la baza următoarele motivaţii [63]:

- Standardul ANSI/IEEE 730, 1981 recunoscut la nivel înalt - Costurile mari de realizare a software-ului pot fi reduse cu ajutorul

asigurării calităţii software-ului, prin găsirea erorilor încă în fazele de test şi proiectare


93

- Cerinţele clienţilor care doresc sa utilizeze software fără erori, având în vedere experienţele neplăcute

Problema asigurării calităţii software-ului este o problema de previziune. Astfel se pune problema determinării creşterii fiabilităţii software-ului după

remedierea erorilor, ce include estimarea fiabilităţii curente a programului plecând de la datele de defectare anterioare.

Conform [22] abordările în domeniul fiabilităţii software-ului se clasifica în două categorii:

• rezultând din extinderea, în cazul software-ului, a tehnicilor utilizate în cazul fiabilităţii hardware-ului;

• specifice software-ului, ţinând cont de complexitatea interna a programelor, comportarea lor dinamica şi eventual, de datele psihometrie referitoare la activitatea de programare.

In mod uzual, prin analogie cu cazul sistemelor hardware, se defineşte fiabilitatea software-ului ca fiind probabilitatea ca un produs de software sa funcţioneze fără erori, o perioada de timp data, pe sistemul pe care a fost conceput.

Pe baza aceleiaşi analogii harware-software, pot fi utilizaţi ca principali indicatori de fiabilitate ai software-ului:

- funcţia de fiabilitate a software-ului, Rs(t) (probabilitatea de a nu apare erori de software în intervalul (0,t));

- rata erorilor de software, zs(t); - timpul mediu intre erorile de software, TMIE.

De remarcat faptul ca datorita numeroaselor deosebiri existente intre conceptele fundamentale din domeniile harware-ului şi software-ului, analogia fiabilistică intre cele doua domenii este posibila doar intre anumite limite. Transpunerea identica în domeniul software-ului a unor concepte şi modele de fiabilitate dezvoltate iniţial pentru sistemele hardware – caracteristica în special unor cercetări timpurii privind fiabilitatea sistemelor software – a condus la unele interpretări eronate, fiind de altfel răspunzătoare pentru scepticismul cu care au fost şi sunt privite unele modele fiabilistice bazate pe analogia harware-software.

Intr-adevăr, erorile unui program nu pot fi considerate echivalente defectărilor dintr-un sistem material şi de aceea modelele fiabilistice specifice hardware-ului nu pot fi transpuse întocmai în domeniul software-ului.

Erorile de software nu pot privite ca mărimi care apar la intervale de timp aleatoare, deoarece nu exista ca în hardware un mecanism fizic de generare a defectare de software, iar o eroare o data corectata nu mai reapare. Astfel un program nu se va defecta datorita trecerii timpului sau uzurii fizice, iar în copiile suplimentare ale unui program nu vor fi introduse imperfecţiuni sau variaţii (exceptând posibilitatea introducerii unei categorii de erori de copiere, uşor de testat).

O abordare mai recenta priveşte conceptul de fiabilitate a software-ului prin prisma calităţii serviciilor pe care produsul de software le oferă utilizatorului. Din acest punct de vedere fiabilitatea software-ului poate fi definită ca probabilitatea ca rularea programului va conduce la datele de ieşire corecte, pentru o mulţime de date de intrare corecte.

Aceasta definiţie este valoroasa prin aceea ca permite reliefarea influentei pe care o pot avea diferitele mulţimi de date de intrare, corespunzătoare diferitelor utilizări ale produsului de software, asupra fiabilităţii programului. Poate fi astfel modelata comportarea unor programe, a căror structura face ca unele părţi ale programului – deşi conţin erori – sa fie foarte rar utilizate (doar în anumite aplicaţii,


94

deci pentru anumite mulţimi de date de intrare); deşi aceste erori nu vor afecta funcţionarea programului pentru majoritatea utilizatorului (ceea ce ar putea crea impresia falsa ca produsul de software este perfect fiabil), ele vor putea fi totuşi activate pentru anumite mulţimi de date corespunzătoare unei utilizări date.

Astfel de erori pot fi critice, în special în cazul sistemelor de mare răspundere funcţionala (cum sunt cele militare). De exemplu, o eroare software în procedura de comunicaţii legate de declanşarea unei anumite componente a unui sistem de apărare trebuie considerata critica şi va conduce ca un întreg programul sa fie considerat inacceptabil, chiar daca restul produsului de software nu conţine nici o eroare.

Din cele de mai sus rezultă că pentru o definire cât mai completă a conceptului de fiabilitate a software-ului trebuie avut în vedere cât de critice sunt erorile de software, dar şi costul penalizărilor datorate acestora.

5. MANAGEMENTUL FIABILITĂŢII

95


5.1. Evoluţia conceptuala de la controlul calităţii la managementul fiabilităţii

Calitatea este definită de către standardul ISO 8402 ca fiind mulţimea de proprietăţi şi caracteristici ale unui produs sau serviciu, care ii conferă capacitatea de a satisface exigentele explicite sau implicite.

Termenul de calitate provine din cuvântul latin “quails” care indica felul de a fi, ceea ce presupune diferenţierea specifica din interiorul claselor de produse prin caracteristici calitative (v. Fig. 5-1).

Fig. 5-1. Clase de caracteristici ale unui produs

Calitatea unui produs este determinată de ansamblul caracteristicilor care se pot observa, încerca şi măsura.

Calitatea unui produs este o noţiune complexă care include factori de concepţie, fabricatei şi utilizare. Estimarea calităţii se poate face cu o relaţie de forma [72]

Q = qu x qc x qf 5-1

Unde: qu reprezintă calitatea de utilizare definite de cerinţele beneficiarului; qc este calitatea concepţiei, fiind un indicator al caracteristicilor calitative realizabile prin documentaţia tehnica; qf reprezintă calitatea fabricaţiei, fiind un indicator al nivelului de conformitate a producţiei în raport cu documentaţia tehnică.

Interdependenta intre calitatea concepţiei şi calitatea fabricaţiei se reprezintă în triunghiul calităţii din Fig. 5-2.

Producator Beneficiar Societate

Produs

Tipologie Calitative Nesemnificative

Caracteristici

CALITATE


96

Fig. 5-2. Triunghiul calităţii produselor

Progresul în activitatea de asigurare a calităţii se desfăşoară în spirală

conform figurii de mai jos [10].

Fig. 5-3. Spirala progresului în activitatea de asigurare a calităţii

Ciclul de viata reprezintă perioada de timp în care produsul (entitatea) se afla pe piaţa, începând cu introducerea şi sfârşind cu retragerea. Curba ciclului de viata defineşte un produs în funcţie de vârsta comerciala împărţită în mai multe faze (v. Fig. 5-4):

- I – lansare; - II – dezvoltare; - III – maturitate; - IV – declinul

Cerinţele beneficiarului şi societăţii

Caracteristici de calitate din

documentaţia tehnică

Caracteristici calitative ale

produsului finit

Calitatea

fabricaţiei

Calitatea produsului

Calitatea produsului

Proiectare / Dezvoltare (aprovizionare, utilizare echipamente de lucru şi a dispozitivelor de măsură şi control a proceselor)

Cercetare, concepţie şi definire Desfacerea produselor

(vânzări)

Fabricare şi instalare (controlul de calitate ce se referă la: probe, încercări,

inspecţie, controlul procesului de producţie)

Cercetare

Funcţionare şi mentenanţă


97

Fig. 5-4. Ciclul de viaţă

Curba ciclului de viaţă are forme care depind de natura produselor şi caracteristicile pieţei de desfacere, ce poate fi descrisă de relaţia [72]:

( ) btaeKttY −= 5-2

in care: Y (t) reprezintă vânzările la momentul t; K este constanta care depinde de piaţă; a şi b sunt parametrii specifici produsului. Declinul produsului datorita învechirii, se determina cu relaţia: nnnv ICC ε+≥ 5-3 în care: CV este costul realizării produsului aflat în fabricaţie; Cn reprezintă costul realizării produselor noi; I este investiţia pentru schimbarea producţiei; ε reprezintă un coeficient al eficientei economice.

Cuvântului “calitate” i s-a atribuit o varietate de sensuri în afara de sensul cuprins în sfera noţiunii de “capacitate de a satisface exigente explicite şi implicite”. De aceea este necesar sa identificam care sunt noţiunile pe care le cuprinde:

- performanta, care se refera la caracteristicile de utilizare din perspectiva produsului şi a utilizatorului;

- fiabilitatea, care exprimă, prin indicatori specifici, probabilitatea de bună funcţionare a produsului;

- conformitatea, care arată concordanţa caracteristicilor produsului sau serviciilor cu standardele în vigoare;

- durabilitatea, care exprima durata de viaţă a produsului; - capabilitatea de a furniza service (Serviceability), care este definită prin

viteza, competenţa şi uşurinţa de reparare a produsului; - estetica, care reflectă preferinţele subiective ale clienţilor, exprimate de

simţurile umane (văz, miros, auz, pipăit); - calitatea percepută, care se bazează pe reputaţia anterioară a unor firme.

Ani

Vânzări

Decalaj

Produs în fabricaţie Produs nou

A B A’ B’

I II III IV

Viaţa comercială


98

Managementul calităţii se bazează pe următoarele principii: - Coordonarea de către un lider (lidership) a strategiei de îmbunătăţire a

calităţii; - Orientarea spre client, pentru satisfacerea nevoilor curente şi viitoare; - Implicarea abilitaţii şi ideilor novatoare ale salariaţilor pentru atingerea

obiectivelor calităţii; - Abordarea bazată pe conceptul de proces, considerat ca un ansamblu de

activităţi corelate pentru transformarea elementelor de intrare în proces în elemente de ieşire, pe baza unor resurse şi a unor constrângeri;

- Abordarea manageriala pe baza de sistem pentru identificarea, înţelegerea şi coordonarea proceselor corelate pentru îmbunătăţirea eficacităţii şi eficientei;

- Îmbunătăţirea continua a calităţii trebuie sa fie obiectivul permanent; - Abordarea deciziilor pe baza de fapte exprimate prin date şi informaţii; - Relaţii reciproc avantajoase cu furnizorii.

Managementul calităţii cuprinde următoarele niveluri de evoluţie: Inspecţia (I), conform ISO 9000:2000, reprezintă evaluarea conformităţii prin

observare şi judecare, însoţita de măsurare, încercare sau comparare cu un calibru. Controlul calităţii (QC), conform ISO 9000:2000, reprezintă acea parte a

managementului concentrata pe îndeplinirea cerinţelor calităţii. Apar astfel primele elemente de planificare a calităţii prin specificaţii tehnice (desene de execuţie, parametri tehnologici, metodologia de testare) şi respectiv de control statistic a produselor.

Asigurarea calităţii (AQ) conform ISO 9000:2000, reprezintă acea parte a managementului concentrate pe furnizarea încrederii că cerinţele calităţii vor fi îndeplinite. Se utilizează un sistem de management al calităţii care urmăreşte conformitatea şi creşterea uniformităţii pe baza controlului statistic, costurilor calităţii şi analiza defectelor.

Managementul calităţii totale (TQM), conform ISO 8402:2000, reprezintă modul de management al calităţii unei organizaţii, bazat pe participarea tuturor membrilor acesteia şi care vizează un succes pe termen lung prin satisfacerea clientului şi avantaje pentru membrii organizaţiei şi pentru societate.

Controlul calităţii stabileşte conformitatea produselor cu specificaţiile tehnice (desene de execuţie, contract) prin: estimarea calităţii, autocontrolul, controlul în lanţ şi controlul statistic. Estimarea calităţii se poate face prin: metoda comparării indicatorilor sintetici, metoda ponderării defectelor, diagrama Pareto, fişelor de frecvenţă, diagramelor (arbore, cauza-efect, de corelare, de relaţii, de afinitate, de decizii de acţiune) sau prin grafice şi histograme. Controlul calităţii este o verificare a conformităţii unui produs cu prescripţiile impuse de documentaţia tehnica. Controlul calităţii nu se reduce la rolul pasiv de depistare, constatare şi înregistrare a defectelor, ci are şi rolul activ de a influenta activitatea de producţie pentru prevenirea defectelor. Controlul de calitate se referă la materialele utilizate, dispozitivele tehnologice, aparate de măsura şi control, standurile de încercări, produsele finite (piese, subansambluri) şi modul de asamblare a acestora, disciplina tehnologica, capabilitatea procesului, documentaţia tehnica.


99

Capabilitatea unui proces reprezintă capacitatea acestuia de a se încadra în limitele specificate în documentaţie. Aceasta se măsoară prin compararea câmpului de împrăştiere şi cel de toleranta. Controlul se poate face unitar pentru fiecare produs (100% sau bucata cu bucata), pentru seriile mici sau prin sondaj la seriile mari. Controlul prin sondaj poate fi empiric sau statistic (pe baza teoriei probabilităţilor şi statisticii matematice). Controlul calităţii se realizează pe baza unui plan de control care stabileşte tipul controlului, mărimea eşantionului, schema de prelevare şi criterii de acceptare. În funcţie de etapa de fabricaţie a produselor controlate deosebim:

- controlul de fabricaţie (intermediar), care are ca scop supravegherea şi reglajul procesorului de fabricaţie pentru a fi menţinut sau adus intre limitele prescrise;

- controlul de recepţie (final) pentru acceptarea sau respingerea unui lot de produse finite.

Controlul se realizează cu aparate de măsura şi control (AMC), standuri, dispozitive şi verificatoare (SDV), care trebuie sa aibă o precizie de trei ori mai mare decât câmpul de tolerante a caracteristicii controlate. Deosebim următoarele metode de control a calităţii produselor:

- autocontrolul, efectuat pentru fiecare operaţie de către muncitorul care a realizat-o;

- controlul în lanţ, care presupune ca fiecare executant să controleze întâi operaţia anterioară şi dacă aceasta este corect efectuată să realizeze propria operaţie şi autocontrolul. Metoda se aplică pentru procesele de fabricaţie la bandă când pentru realizarea unui produs lucrează mai mulţi muncitori;

- controlul volant, care se face pentru urmărirea respectării tehnologiilor şi a capabilităţii maşinilor şi utilajelor, scoţându-se din funcţiune acele maşini care nu respecta parametrii din documente;

- controlul în puncte fixe pentru repere, subansamble sau operaţii se stabileşte de către tehnolog în punctele cele mai importante pentru obţinerea performantelor produselor finite. De obicei se controlează parametrii care nu pot fi verificaţi la produsul finit pe baza metodei ponderării defectelor;

- controlul final, care se face pentru produsele finite în mod unitar sau prin sondaj, pe baza metodelor statistice.

Controlul statistic se aplica produselor fabricate în serie, printr-un proces tehnologic automatizat, având o pondere importanta în producţia întreprinderii. Controlul se calitate se realizează pe baza de măsurare sau pe baza de atribute (bun-defect, satisfacator-nesatisfacator).

Conform [34], prin termenul de asigurare a calităţii se înţelege ansamblul activităţilor organizatorice şi tehnice menite sa asigure calitatea proiectelor şi a realizării produselor respective, ţinând seama şi de considerentele economice. În afară de eforturile dedicate automatizării producţiei, trebuie să se acorde suficientă atenţie şi domeniului asigurării calităţii. Astfel, pe lângă proiectarea automatizată a controlului, se urmăreşte să se accelereze procesul de control, mai ales în sectoarele realizării controlului şi prelucrării datelor obţinute. Prelucrarea datelor se realizează parţial prin programe de prelucrare statistică ajutate de microcalculatoare, care furnizează imediat rezultatele controlului.


100

Prin fiabilitate se înţelege probabilitatea cu care un produs îşi exercita ireproşabil funcţia prevăzuta, pe o durata de timp, în condiţiile prescrise de solicitare. Studiile de cercetare şi dezvoltare din ultimele doua decenii au contribuit la o creştere constanta a interesului pentru fiabilitate. Introducerea microelectronicii a dus la o scădere a preturilor dar şi la îmbunătăţirea fiabilităţii şi a disponibilităţii sistemelor electronice. Progresele ulterioare în aceasta direcţie depind de un personal calificat, care sa înţeleagă factorii ce influenţează fiabilitatea componentelor şi posibilităţile de specificare, măsurare şi îmbunătăţire a fiabilităţii ca şi problema întreţinerii şi disponibilităţii.

5.2. Cerinţe actuale şi perspective

5.2.1. Managementul fiabilităţii în sens restrâns

În conformitate cu [31], fiabilitatea reprezintă aptitudinea unei entităţi de a

îndeplini o cerinţa funcţională în condiţiile date şi de-a lungul unui interval de timp dat.

Aşa cum am arătat în capitolul 3.1 se utilizează şi noţiunile de „fiabilitate în sens restrâns” şi „fiabilitate în sens larg”.

Fiabilitatea în sens restrâns se bazează pe definiţia enunţata mai sus, iar fiabilitatea în sens larg combina pe lângă fiabilitatea în sens restrâns şi noţiunile de disponibilitate, mentenabilitate şi logistica de mentenanţă.

Cererea pieţii pentru un produs s-a schimbat în mod corespunzător şi va varia din ce în ce mai mult în funcţie de satisfacerea cerinţelor referitoare la putere, calitate, fiabilitate şi preţ, indicând totodată şi ordinea ca şi ponderea fiecăruia dintre criteriile individuale menţionate. Preţul, oricât ar fi de important, e pus în mod conştient pe ultimul loc, deoarece un sistem insuficient elaborat, cu perioade lungi de defectare şi care în mod curent cere cheltuieli de reparare, produce o mărire de câteva ori a costurilor, daca se neglijează cerinţele de fiabilitate şi respectarea lor la conceperea sistemului.

Activităţile dedicate satisfacerii cerinţelor necesare de fiabilitate sunt cuprinzătoare şi costisitoare. Ele influenţează organizarea întreprinderii şi impun în cursul exploatării unele masuri, care anterior, nu erau cunoscute în toata importanta lor. Responsabilitatea pentru calitate şi fiabilitate aparţine întregii întreprinderi. Acest principiu constituie baza pentru structura organizatorica şi comunicarea obligatorie dintre diferitele sectoare responsabile. Fiecare dintre principalele compartimente ale întreprinderii are de îndeplinit o sarcina bine determinata, de exemplu:

- compartimentul de proiectare: dezvoltarea şi elaborarea planificată de noi prototipuri.

- sectorul de desfacere: vânzarea rapidă şi profitabilă a producţiei disponibile. Pentru realizarea asigurării în toate fazele a calităţii şi fiabilităţii unui produs

este necesară înfiinţarea unui serviciu independent, subordonat direct conducerii întreprinderii. Sarcina acestuia este de a elabora cu toate sectoarele întreprinderii, de la proiectare până la desfacere şi de a le furniza informaţii şi cunoştinţe specifice referitoare la calitate şi fiabilitate. [34]

În [34] se arată că aşa cum serviciul de asigurarea calităţii are şi sarcina de a informa conducerea întreprinderii asupra calităţii şi fiabilităţii, atât a produselor aflate în fabricaţie cat şi a celor aflate în fişa de cercetare, crearea unor grupe de fiabilitate în interiorul sectoarelor de activitate nu ar fi utilă. Se arată că înfiinţarea unui


101

compartiment de fiabilitate independent şi subordonat direct conducerii firmei ar fi mult mai eficientă. Acest compartiment ar avea ca sarcină, pe lângă schimbul de informaţii referitoare la fiabilitate şi elaborarea şi îmbunătăţirea metodei şcolarizării de fiabilitate, s.a.

Este foarte posibil ca existenta grupelor de fiabilitate în diverse sectoare sa fie utila, dar toate acestea trebuie reprezentate în fata conducerii firmei printr-un singur departament centralizat care va avea şi rolul de a rezolva problemele de fiabilitate ce nu pot fi rezolvate la nivelul grupelor.

Colaborarea compartimentului de fiabilitate cu celelalte compartimente are loc în mod normal prin rolul consultativ şi de supraveghere pe care îl are. Trebuie să fie activ mai ales în acele cazuri în care unele funcţiuni care intra în domeniul altor compartimente influenţează puternic fiabilitatea produsului, fără ca prin aceasta responsabilitatea primara a sectoarelor respective sa fie supusă unor presiuni externe. Compartimentul de fiabilitate va aproba sau respinge, cu ocazia controalelor curente, aspectele cu implicaţii asupra fiabilităţii.

În [34] este propusă o schemă de organizare a asigurării calităţii (v. Fig. 5-5)

Fig. 5-5. Schema de organizare a asigurării calităţii (AQ) În felul acesta, conducătorul asigurării calităţii e subordonat direct directorului

şi are acelaşi rol în luarea deciziilor manageriale ca şi ceilalţi şefi de compartimente. Subordonarea directa garantează independenta controlului calităţii şi fiabilităţii.

În [34] se presupune ca activitatea din departamentul de fiabilitate sa fie organizata după un „program de fiabilitate” care trebuie privit ca o activitate complementară pe lângă activitatea normală de fiabilitate.

Punctele cele mai importante ale unui program de fiabilitate sunt: - echilibrul (sau un compromis acceptabil) intre fiabilitate şi capabilitatea de

putere, intre costuri şi timp, - stabilirea unei configuraţii funcţionale şi fizice a sistemului în funcţie de

cerinţele de fiabilitate, - minimizarea riscurilor tehnice, economice şi de amânare prin lucrările de

fiabilitate efectuate în fazele de proiectare şi fabricaţie, - controlul succesiunii modificărilor (introduse în cursul fazelor de proiectare şi fabricaţie) în funcţie de fiabilitatea viitorului sistem,

- eforturile pentru realizarea probabilităţii de succes economic, - conducerea şi controlul eforturilor de fiabilitate ale tuturor furnizorilor

intermediari, - supravegherea tuturor deciziilor care pot influenta programul de fiabilitate,

Conducătorul AQ

Control de intrare

Control de proces

Control final

Asigurarea fiabilităţii


102

- controlul tuturor lucrărilor de fiabilitate ale viitorului sistem şi buna funcţionare,

- colaborarea strânsa intre toate sectoarele implicate, trebuie avut în vedere permanent şi factorul uman.

Fiecare nou pas al programului trebuie în mod curent verificat, observându-se raportul intre ceea ce s-a realizat şi ceea ce se urmăreşte.

Un program de fiabilitate trebuie sa cuprindă cel puţin cinci etape: - Studii preliminare de fiabilitate a diferitelor soluţii, pentru a putea decide

asupra variantei finale a proiectului respectiv. - Studiul amănunţit al variantei finale; specificaţii determinate de scopul

urmărit. - Testarea primului prototip; compararea rezultatelor testelor cu cele ale

studiului detaliat; la o buna corelare se poate trece la producţia de serie, în timp ce în cazul unei insuficiente corelări sunt necesare modificări ale concepţiei în zona „critica” a proiectului.

- Calificarea fiabilităţii produsului înainte de intrarea în fabricaţie de serie. - Instituirea unui sistem de culegere a informaţiilor referitoare la defectările

produsului (mai ales în cazul produselor cu perioada de garanţie). O problema de mare importanta ce trebuie rezolvata de departamentul de

fiabilitate este garantarea unei fiabilităţi ridicate. Defectarea elementelor se datorează: - defectelor de fabricaţie - defectelor ce decurg din exploatarea sa. Este de reţinut faptul ca, după statisticile americane, 70% din defectările

componentelor semiconductoare se datorează utilizării incorecte. Fiabilitatea este criteriul de decizie pentru o entitate care a îndeplinit toate

cerinţele de calitate. Nu trebuie uitat ca utilizatorul poate avea o contribuţie importanta atât în prelungirea cat şi în scurtarea vieţii entităţii.

În trecut, proiectanţii de sisteme impuneau condiţii de calitate mai drastice pentru a mări certitudinea că elementele constructive satisfac specificaţiile din certificatul de garanţie. Astăzi, proiectanţii cer teste acceptabile, care întregesc controlul de calitate, pentru a se asigura că specificaţiile producătorului nu sunt valabile doar iniţial, la controalele de intrare si, mai ales, mai târziu, după un timp mai lung de exploatare.

Până nu demult, factorii care influenţează cumpărarea unui echipament sau dispozitiv, se aflau în următorul raport: preţ 30%, serviciu 30% şi calitate 40%. Azi, aceste proprietăţi s-au schimbat astfel: preţ 25%, serviciu 30%, calitate 25% şi fiabilitate 25%, astfel ca fiabilitatea şi calitatea realizează un total de 50% [34].

5.2.2. Managementul mentenabilităţii

Aşa cum am arătat în capitolul anterior, pentru definirea noţiunii de fiabilitate în sens larg, este nevoie şi de alte noţiuni printre care şi mentenabilitatea. Conceptul de mentenanţă a unui sistem tehnic, în general, include multitudinea acţiunilor tehnice şi organizatorice privind testarea (probe, măsurări şi verificări profilactice), întreţinerea şi repararea subansamblurilor acestuia în scopul menţinerii în stare de funcţionare sau readucerii lui în stare de indisponibilitate în stare operantă la niveluri de siguranţă şi/sau de securitate cât mai performante.


103

Operaţiile de mentenanţă efectuate la o instalaţie industrială sunt de tip preventiv şi de tip corectiv. Lucrările executate în scop preventiv au ca obiect preîntâmpinarea apariţiei stărilor de defect, precum şi diminuarea riscului de a surveni asemenea stări. Mentenanţa preventivă are în vedere, deci, un ansamblu de intervenţii ciclice ce se realizează la intervale precizate de timp şi care cuprind: acţiuni de inspecţie, diagnoză, verificări, întreţinere, revizii tehnice şi reparaţii. Mentenanţa corectivă constituie totalitatea operaţiilor întreprinse asupra unei instalaţii în scopul eliminării unor stări de funcţionare corespunzătoare din punctul de vedere al siguranţei şi/sau securităţii, lichidării stărilor incidentale sau de avarie şi readucerii sistemului tehnic la capacitatea funcţională nominală. Rezultă aşadar, că în timp ce acţiunile de mentenanţă preventivă au un caracter determinist, cele corective au o natură aleatoare. Se poate afirma, deci, că obiectivul fundamental al acţiunilor de mentenanţă este acela de a asigura echipamentul tehnic şi ansamblul condiţiilor necesare pentru ca acesta să poată fi capabil de a realiza o stare operantă în conformitate cu cerinţele impuse; aşadar, sistemul tehnic va trebui să înregistreze nivele cât mai performante ale fiabilităţii şi mentenabilităţii, precum şi ale mărimii cumulative a acestora, disponibilitatea. Mentenabilitatea unui sistem tehnic exprimă o măsură a mentenanţei şi semnifică – sub aspect calitativ – aptitudinea acestuia de a fi exploatat, de a fi întreţinut şi de a fi reparat într-un interval de timp dat şi în condiţii, de asemenea, impuse; cantitativ, mentenabilitatea este definită de probabilitate ca la apariţia unei stări de defect, instalaţia respectivă să poată fi readusă în stare operantă în limitele de timp şi în condiţiile anterior stabilite. Expresia mentenabilităţii unui sistem tehnic este dată de relaţia: te1)t(M µ−−= 5-4 unde M(t) reprezintă mentenabilitatea sistemului tehnic; µ – rata de restabilire a instalaţiei, mărimea egală cu inversul timpului mediu de indisponibilitate aleatoare (de avarie), MTTR Referindu-ne la sistemele tehnice moderne de mare complexitate, obţinerea unui nivel performant de disponibilitate implică realizarea simultană a unor valori cât mai ridicate ale fiabilităţii şi mentenabilităţii acestor sisteme. Dacă R(t) şi M(t) reprezintă fiabilitatea, respectiv mentenabilitatea unei instalaţii, disponibilitatea sa A(t), este dată de expresia: )t(M))t(R1()t(R)t(A −+= 5-5 Scrisa sub forma )]t(M1)][t(R1[1)t(A −−−= 5-6 aceasta relaţie nu evidenţiază nicidecum efectul redundant al celor două mărimi asupra disponibilităţii; şi aceasta datorită faptului că probabilităţile R(t) şi M(t) sunt asociate unor evenimente a căror realizare simultană este imposibilă. Micşorarea numărului căderilor (defectărilor) sistemului şi diminuarea totodată a timpilor de mentenanţă conduce la o creştere a timpului mediu de funcţionare şi o


104

scădere a timpului mediu de avariere, fapt ce acţionează favorabil asupra disponibilităţii pe termen lung.

MTTRMTBF

MTBF)t(A

+= 5-7

Realizarea unui nivel de fiabilitate cât mai ridicat pentru o instalaţie industrială se poate soluţiona prin diverse moduri, astfel:

- prin mărirea fiabilităţii modulelor componente ale sistemului aflat în funcţiune, aceasta putându-se obţine ca urmare a adoptării unor strategii optime de mentenanţă în sensul reparării componentelor sistemului la un înalt nivel calitativ şi/sau prin înlocuirea anumitor module mai puţin fiabile, cu altele având niveluri ridicate de fiabilitate;

- adoptarea redundanţei, fie pentru componentele sistemului, parţial sau total, fie la nivel de sistem;

- diminuarea complexităţii sistemului tehnic. Tendinţa de adoptare a unor structuri redundante trebuie corelată pe de o parte cu posibilitatea diminuării timpilor lucrărilor de mentenanţă, iar pe de altă parte cu cerinţele de a se realiza sisteme tehnice cât mai flexibile. Această caracteristică a unor instalaţii moderne – flexibilitatea – are în vedere capacitatea unui sistem de a se adapta din punct de vedere structural şi de a realiza într-un interval de timp stabilit starea de funcţionarea optimală, corespunzătoare unor modificări impuse elementelor de intrare. Spre exemplu, realizarea într-un timp cât mai redus a unei variate game tipodimensionale de anumite produse necesită atât schimbări ce afectează natura resurselor, calitatea şi cantitatea acestora, cât şi o adaptare a structurii sistemului pentru a răspunde în condiţii de eficienţă maximă unei alte funcţii obiectiv a sistemului. Adaptarea structurală s-ar putea obţine şi prin soluţia multiplicării modulelor componente şi interconexiunilor lor; o astfel de concepţie modulară constituită din elemente, în majoritate interşanjabile, asigură o mare operativitate în adaptarea sistemelor respective de a opera în ipostaze diverse. De asemenea, în scopul realizării unui nivel de disponibilitate cât mai ridicat pentru un sistem tehnic, evidenţiem şi faptul că una dintre multiplele căi de îmbunătăţire a mentenanţei sistemului se dovedeşte a fi şi o bună accesibilitate, însuşire care evidenţiază rapiditatea intervenţiei omului asupra elementului defect, fie pentru a-l repara, fie pentru a-l înlocui.

5.2.3. Managementul mentenanţei

Mentenabilitatea unui sistem reprezintă caracteristica acestuia de a fi uşor menţinut readus în stare de bună funcţionare, într-un interval de timp cât mai redus. Ansamblul activităţilor legate de menţinerea sau readucerea sistemului în stare de bună funcţionare formează mentenanţa sistemului. Scopul principal al activităţilor de mentenanţă constă în asigurarea unei disponibilităţi a sistemului cât mai ridicate. Activităţile de mentenanţă pot fi corective atunci când au ca scop repararea sistemului, adică restabilirea stării de bună funcţionare după producerea unei defecţiuni, sau preventive atunci când au ca scop prevenirea sistemului adică menţinerea acestuia în stare de funcţionare o durată de timp cât mai îndelungata.


105

5.2.3.1. Mentenanţa corectivă

Această strategie constă în înlocuirea componentei atunci când ea se defectează şi este specifică sistemelor care sunt supravegheate continuu pe durata de funcţionare. În acest caz, defectarea componentei conduce la starea de defectare a sistemului uşor de recunoscut. Pentru un element simplu sau un sistem cu intensităţi de defectare şi reparare constante, λ şi respectiv µ, indisponibilitatea este:

t)(e)t(U µ+λ−

µ+λ

λ−

µ+λ

λ= 5-8

care pentru t → ∞ devine

µ+λ

λ==

∞→U)t(Ulim

t 5-9

În Fig. 5-6 se poate vedea graficul funcţiei de indisponibilitate pentru cazul începerii mentenanţei în momentul apariţiei defectului.

Fig. 5-6. Variaţia indisponibilităţii în timp

Din relaţia (5-8), se constată că pentru durate de timp mai mari decât µ+λ

53..

faţă de momentul punerii în funcţiune a sistemului, indisponibilitatea devine

independentă de timp şi tinde către o valoare staţionară, µ+λ

λ

Cum de regulă duratele de bună funcţionare (MTBF) sunt cu mult mai mari ca duratele de restabilire (MTTR) expresia (5-9) capătă forma:

λ>>µλ=µ

λ≤

µ+λ

λ= pentru ,MTTR)t(U 5-10

U(t)

µ+λ

λ

t


106

care poate fi interpretată astfel: coeficientul de indisponibilitate este în cel mai defavorabil caz egal cu raportul dintre intensităţile de defectare şi reparare.

5.2.3.2. Mentenanţa preventivă

Aceasta strategie constă în înlocuirea periodică a componentei la intervale de timp planificate apriori. Strategia este caracteristică, în special, sistemelor care nu sunt operaţionale continuu sau sunt operaţionale continuu dar sunt solicitate intermitent aşa cum este şi cazul sistemelor antiefracţie sau de protecţie la incendiu. De asemenea, această strategie se aplică şi în cazul elementelor caracterizate de uzura (îmbătrânirea) în timp, ca de exemplu elemente hidraulice (filtre, diafragme, etc.) sau electrice (condensatori electrolitici, becuri cu incandescentă, etc.). În Fig. 5-7 este prezentată forma idealizată pentru variaţia în timp a intensităţilor de defectare a elementelor caracterizate de perioada de îmbătrânire.

Fig. 5-7. Graficul strategiei de mentenanţă preventivă În intervalul (0, Tu) rata de defectare λ este constantă în timp ca apoi să crească rapid pentru t > Tu. Considerând că duratele Tu sunt distribuite după legea normală (Gaussiană) cu abaterea δ, se constată că dacă înlocuirea elementului se face la momentul TM = Tu – 2δ atunci mai există probabilitatea ca doar 2,3% din elemente să se defecteze înainte de înlocuire. Dacă se adoptă TM = Tu – 3δ atunci probabilitatea ca elementele să fie în stare de defect înainte de înlocuire se va reduce foarte mult şi va fi de 0,1%.

t

λ

λ0 + m

λ0

MTm

1=

3Tu 2Tu T0 Tu TM

P(Tu)

Tu

Tu-2δ Tu Tu+2δ


107

Ca urmare, dacă durata normală de viaţă a componentei Tu este mult mai mică decât durata de viată T a sistemului, atunci rezultă că înlocuirea acesteia înainte de a ajunge în domeniul uzurii (λ >> λ0) este economic avantajoasă.

5.2.3.3. Mentenanţa preventivă curentă

Strategia este caracteristică elementelor mecanice şi constă în efectuarea la intervale periodice de operaţii curente, ca de exemplu înlocuirea unsorilor şi lubrifianţilor, gresarea (ungerea) lagărelor, ajustarea jocurilor libere ale axelor în mişcare etc. pentru reducerea uzurii componentelor şi implicit de creştere a momentului Tu de intrare în regiunea de uzura pronunţată (îmbătrânire) caracterizată de λ >> λ0. În Fig. 5-8 este prezentat graficul pentru strategia de mentenanţă preventivă curentă.

Fig. 5-8. Graficul strategiei de mentenanţă preventivă curentă După cum se poate constata din Fig. 5-8, se observă că momentul Tu se măreşte cu ∆Tu în cazul aplicării acestui tip de mentenanţă. Următoarele operaţii de întreţinere trebuie efectuate înainte de a se atinge momentele Tu + ∆Tu; Tu + 2∆Tu ş.a.m.d. De asemenea este necesar ca intervalul dintre două operaţii consecutive de mentenanţă curentă TMc să fie egal cu ∆Tu.

5.2.3.4. Testarea curentă periodică

Strategia constă în efectuarea, la intervale de timp periodice, de măsurători şi încercări specifice, în scopul depistării eventualelor defecţiuni care pot apărea în condiţiile în care sistemul este solicitat. Acest tip de strategie este caracteristic, în special, sistemelor de protecţie sau de tip stand – by pentru detectarea defectelor neevidente – de tip periculoase – care conduc la nefuncţionarea sistemului atunci când sunt întrunite condiţiile de pericol.

t

λ

Tu + ∆Tu Tu

TM TM

∆Tu ∆Tu

Tu + 2∆Tu


108

Considerând intervalul TT, dintre două testări succesive şi o rată constantă de defectare asociată defectelor neevidente rezultă probabilitatea de defectare la momentul t, de forma: te)t(Q λ−−= 1 5-11 Admitem că după testare şi verificare sistemul este ca şi nou, ceea ce înseamnă Q = 0 În funcţie de valoarea maxim admisă pentru funcţia de nonfiabilitate a sistemului pentru aceste două tipuri de defectări, se poate determina intervalul TT, dintre două testări succesive din relaţia: TT

max eQ λ−−= 1 5-12 unde TT reprezintă intervalul dintre două testări succesive. Pentru exemplificare considerăm un sistem cu λ = 0,2 ani-1 şi Qmax = 0,001,

rezultă intervalul TT dintre testări succesive ca fiind egal cu 0,1 ani. În Fig. 5-9 se poate vedea variaţia probabilităţii de defectare în timp.

Fig. 5-9. Graficul testării curente periodice

Trebuie făcută precizarea ca dacă durata medie a efectuării testării MTT, este ridicată se pot întâlni situaţii în care indisponibilitatea sistemului datorată verificărilor este mai mare decât indisponibilitatea cauzată de defectul în sine.

Pentru exemplul anterior rezultă o indisponibilitate 31050

2

1 −⋅=≈ ,Q)t(U max

dacă MTT este scăzut. Daca MTT = 1 zi, la aceeaşi periodicitate a verificărilor, rezultă un număr de 10 zile/an în care instalaţia nu este operantă ca urmare a operaţiilor de testare. În acest caz avem o indisponibilitate mai mare decât cea produsă de defectul în sine.

t

Q(t)

TT TT TT

MTT MTT MTT


109

5.2.3.5. Costurile mentenanţei

În cele mai multe aplicaţii practice, alegerea uneia sau alteia dintre strategiile de mentenanţă se face pe baza costurilor implicate de acestea. Pentru utilizatorii de sisteme tehnice este important costul pe durata de viată (de folosire) a sistemului respectiv. Costul total pe durata de utilizare a sistemului CT, constă din: costul iniţial de cumpărare CP; costul de instalare CI; costul de verificare şi punere în funcţiune, CV; şi costul de reparare pe durata de viată a echipamentului CM. În cele ce urmează se va analiza costul de reparare CM. Dacă se consideră că durata de viată a sistemului este T (ani) şi rata de defectare este λani-1, atunci numărul total de defectări în această perioadă este λ⋅T. Pentru strategia de tip corectiv, dacă considerăm durata medie de restabilire, MTTR, atunci durata medie total de nefuncţionare în intervalul (0,T) este λ⋅T⋅(MTTR). Costul total al defecţiunilor în intervalul (0, T) este format din următoarele componente:

- Cmat. – costul mediu al materialelor / operaţiei de reparare; - Cman. – costul manoperei / oră; - Cprod. – costul de producţie nerealizată / oră, ca urmare a nefuncţionării

sistemului; si rezultă pentru strategia de tip mentenanţă corectivă un cost total, CTC, egal cu: T)]MTTR)(CC(C[C C.prod.man.matCT λ++= 5-13

Pentru strategia de tip preventiv, dacă se consideră TP intervalul dintre două operaţii succesive de mentenanţă preventivă rezultă o frecvenţă de mentenanţă

PTm

1= .

Considerând o valoare medie a timpului de mentenanţă MTM, aferentă unei operaţii de mentenanţă preventivă rezultă o durată medie totală de nefuncţionare a sistemului în intervalul (0, T) egală cu m⋅T⋅(MTM). Dacă se consideră:

- CMAT. – costul mediu al materialelor / operaţiei de reparare; - CMAN. – costul manoperei / oră; - CPROD. – costul de producţie nerealizată / oră, ca urmare a nefuncţionării

sistemului; rezultă pentru acest tip de strategie de mentenanţă un cost total CTP, egal cu: mT)]MTM)(CC(C[C .PROD.MAN.MATCP ++= 5-14 În practică, în mod frecvent sunt asociate cele două tipuri de mentenanţă deoarece existenţa celei de-a doua componentă conduce la o scădere a ratei de defectare globale a sistemului. Pentru că aplicarea celor două tipuri de strategii să fie rentabilă şi economică este necesar îndeplinirea condiţiei următoare:


110

T)]MTTR)(CC(C[

mT)]MTM)(CC(C[T)]MTTR)(CC(C[

P.prod.man.mat

.PROD.MAN.MATC.prod.man.mat

λ++<

<+++λ++ 5-15

În relaţia (5-15) s-au folosit notaţii distincte pentru intensităţile de defectare deoarece este posibil ca în condiţiile mentenanţei preventive λP să fie mai mic decât λC în condiţiile mentenanţei corective. Dacă consideram Cmat. = CMAT.; Cprod. = CPROD. şi MTTR ≈ MTM atunci expresia (5-15) devine: CP m λ<+λ 5-16 de unde rezultă că: mCP −< λλ 5-17

ceea ce înseamnă că aplicarea strategiei pentru a fi rentabilă din punct de vedere economic, trebuie să îndeplinească condiţia rezultată în relaţia (5-17). De asemenea relaţia (5-15) este îndeplinita şi atunci când are loc inegalitatea: )MTM)(CC(C)MTTR)(CC(C .PROD.MAN.MAT.prod.man.mat ++>>++ 5-18

care pentru Cmat. ≈ CMAT.şi MTTR >> MTM sau Cprod. >> CPROD. devine: )MTM)(CC()MTTR)(CC( .PROD.MAN.prod.man +>>+ 5-19

5.2.3.6. Mentenanţa bazată pe fiabilitate

Mentenanţa bazată pe fiabilitate (RCM – Reliability Centered Mantenance) (v. Fig. 5-10) reprezintă o concepţie de utilizare a feedback-ului din exploatarea instalaţiilor în domeniul mentenanţei predictive bazate pe principiile calculelor fiabilistice. Alături de activităţile de diagnosticare on-line, mentenanţă bazată pe fiabilitate urmăreşte optimizarea strategiilor de mentenanţă în condiţii tehnico-economice date. Scopurile principale ale mentenanţei bazată pe fiabilitate sunt:

- îmbunătăţirea sau cel puţin menţinerea în limite acceptabile a fiabilităţii respectiv a disponibilităţii instalaţiilor;

- formalizarea şi structurarea analizelor pentru selectarea sarcinilor de mentenanţă;

- optimizarea resurselor de mentenanţă prin alocarea acestora funcţie de eficienţă.


111

Fig. 5-10. Organigrama mentenanţei bazată pe fiabilitate (RCM – Reliability Centered Mantenance)

MENTENANŢA CORECTIVĂ FEEDBACK

DIN EXPLOATARE MENTENANŢA PREVENTIVĂ

MENTENANŢA PREDICTIVĂ → MENTENANŢA BAZATĂ PE FIABILITATE

DETERMINAREA FRECVENŢEI �I CONŢINUTULUI ACŢIUNILOR DE MENTENANŢĂ

- CONDIŢII

MENTENANŢA

PLANIFICATĂ

Reducerea duratelor de reparaţii Reducerea duratelor de înlocuire

Diagnoză Preliminări statistico-probabilistice

Ateliere Spaţii de acces şi de lucru, mică

mecanizare

Pregătire personal

Optimizarea stocurilor de echipamente de rezervă şi intervenţii prin

metode probabilistice

Posibilităţi de transport, acces

şi montaj

Aparate, dispozitive

Laboratoare Personal specializat

Optimizarea intervalelor de

intervenţie

Personal specializat

ORGANIZAREA MENTENANŢEI


112

Având în vedere măsurile eficiente de creştere a fiabilităţii şi mentenabilităţii este necesar un feedback organizat corespunzător, aplicarea metodelor analitice ale RCM fiind condiţionată de existenţa datelor statistice credibile, obţinute din urmărirea instalaţiilor şi echipamentelor. Acesta se poate face în cadrul unui sistem informaţional unitar de culegere şi prelucrare a informaţiei asupra comportării în exploatare. În aceste condiţii metodele analitice pot deveni mult mai eficiente în stabilirea strategiilor de mentenanţă. În prezent echipamentele sunt supuse aceloraşi acţiuni de mentenanţă preventivă, indiferent de nivelul de redundanţă prevăzut în scheme. În unele cazuri acest aspect poate fi discutabil deoarece, atât consecinţele unei defectări, cât şi efectele rezultate, pot fi diferite, funcţie de nivelul de redundanţă din schemă, prevăzut la echipamentul respectiv. În analiza mentenanţei bazată pe fiabilitate este foarte importantă luarea în considerare a modurilor de defectare a unei entităţi. În prezent, stabilirea strategiilor de mentenanţă se face fie neţinând seama de aspectele specifice legate de modurile de defectare, fie în mod intuitiv, bazat pe o experienţă de exploatare care nu ţine seama de evenimentele înregistrate la o entitate până la o acţiune de mentenanţă. Astfel, în normele specifice privind planificarea mentenanţei preventive, nu se regăsesc elemente care să ţină seama de evenimentele aleatoare (număr şi tip de defecte) produse în intervalul dintre două acţiuni de mentenanţă. Pe lângă faptul că o entitate poate prezenta mai multe moduri de defectare ale elementelor componente, aceste elemente pot prezenta diferite legi de repartiţie ale duratelor de funcţionare între defecte. Se mai constată că intervenţiile în cazul unor evenimente aleatoare pot influenţa condiţiile planificate iniţial pentru acţiunile de mentenanţă preventivă.

5.2.4. Managementul riscului

Evoluţia şi răspândirea sistemelor tehnice complexe a căror defectare are

impact puternic asupra societăţii şi mediului înconjurător au amplificat preocupările de evaluare şi cuantificare a riscului.

Luând în considerare cele prezentate în [79] şi [72] noţiunea de risc poate fi interpretata în multe feluri.

Conform DEX, riscul reprezintă posibilitatea de a ajunge intr-o primejdie, de a avea de înfruntat un necaz sau de suportat o paguba; pericol posibil.

In BBC English-Romanian Dictionary, riscul este asimilat primejdiei; daca exista riscul sa se întâmple ceva, acesta poate fi neplăcut sau cu consecinţe periculoase.

Dicţionarul Merriam – Webster Collegiate este mai generos şi mai specific: posibilitatea pierderii sau o primejdie, dar şi gradul de probabilitate a unei astfel de pierderi (acesta este un element nou în definitii uzuale).

Ediţia cea mai recenta a “Illustrated Oxford Dictionary” (2008, Dorling/Oxford, Univ. Press, Litera International, Bucureşti – Chişinău, pagina 709) defineşte riscul ca posibilitatea apariţiei unei primejdii, pierderi, accident.

Dicţionarul Webster (ediţia 2002) avansează conceptul de management al riscului (MR) şi de manager de risc. MR este văzut ca tehnica estimării, prevenirii şi


113

reducerii pierderilor accidentale care pot sa apară intr-o afacere, prin luarea unor masuri de siguranţa (de ex. asigurări ).

Se poate sesiza ca noţiunea de risc este un eveniment nesigur, care poate sa aibă loc daca acţionează factorii de risc sau poate sa nu aibă loc.

Conform [79] şi [72] se desprind tipuri diferite de riscuri, în funcţie de domeniul pe care îl consideram. Astfel, pentru o anume organizaţie este important studierea riscului economic, în cadrul deducţiei statistice este importanta studierea diferitelor riscuri statistice: riscurile producătorului şi ale consumatorului, riscurile tehnice, riscul Taguchi şi un index care apare în practica SPC (Statistical Process Control), riscul mentenanţei.

Evaluarea riscului se realizează similar ca în cazul fiabilităţii, la nivelul elementelor, sistemelor şi la nivelul decizional.

Defectarea elementelor se datorează factorilor interni (oboseala materialului, coroziunea, îmbătrânirea, uzura) şi factorilor externi cu acţiune critică sau catastrofală (cutremure, inundaţii, trăsnet, vânt, etc.).

Riscurile producătorului (α) şi riscurile consumatorului (β) sunt de fapt nişte erori pe care le facem în luarea deciziilor privind ipotezele fundamentale. O ipoteză este definită ca o afirmaţie (presupunere) despre un fenomen anume, proces, situaţie, etc, aceasta putând fi adevărată sau nu.

Analiza statistică lucrează cu probe luate la întâmplare, iar concluzia se bazează exclusiv pe aceste probe. Probele ar putea sprijini ipoteza propusa iniţial (N0) sau ar putea susţine o ipoteză alternativă (N1).

Deci exista doua tipuri de erori [79]: α = Prob{respinge Ho/ daca H0 este adevărat} 5-20 β= Prob{accepta Ho/ daca H1 este adevărat} 5-21 Acestea se numesc: eroare de Tip unu (α) şi eroare de Tip doi (β) - vezi detalii

Blinshke şi Murthy, 2000, pag. 157-162. Aceşti autori atrag atenţia ca erorile Tip 1 şi Tip 2 sunt posibilitatea efectuării

acestui tip de greşeli – adică “ respingeţi H0” (când Ho este adevărat) şi “nu respingeţi Ho “ (când H1 alternativa, este adevărata).

De fapt, α = α(n; θt) şi β = β(n; θt) - ele depind de dimensiunea probei folosite şi de valoarea reala a parametrului (θ) pe baza căruia se face ipoteza.

În [79] este arătat că dacă luam în considerare standardele americane MIL STD 105D; MIL STD 414 sau echivalentul lor ISO, ISO 2859 şi ISO 3951, cele două riscuri α şi β au nivele fixe de 5% şi 10%.

În concluzie nu putem sa modificam în sensul diminuării, decât riscul neacceptării.

Acest risc este exprimat ca 1-Pa(p) unde Pa(p) este probabilitatea acceptării lotului care depinde de fracţia defecta (sau neconforma) p. Dacă p este mai mare, atunci valoarea acceptată (AQL- Nivelul Acceptabil de Calitate) în acest caz riscul de neacceptare este mai ridicat.

Un alt element important din documentele menţionate mai sus este aşa numitul LQ / Calitate Limitata adică valoarea lui p pe care suntem gata s-o acceptam cu o mică probabilitate ( în 10% din cazuri, în cea mai buna situaţie).

Daca p=po>AQL, riscul de neacceptare creste pe măsură ce (p) se apropie de valoarea LQ.


114

Putem spune ca managementul acestui risc trebuie să acţioneze asupra micşorării defectărilor.

În [79] este ridicata şi problema existentei erorii de tip III, introdusă de Raiffa, care se referă la existenţa unei probleme false. Se arată că Raiffa nu a stabilit clar ce înţelege printr-o problemă falsă: este o problemă prost înţeleasă (impropriu/greşit formulată) sau falsitatea se referă la scopul/obiectivul stabilit de autoritatea responsabilă.

În sprijinul afirmaţiei lui Raiffa vin şi Malita şi Zidaroiu care afirmă că acest tip de eroare „se aşteaptă să aibă o încărcătură specifică comparată cu cele două tipuri anterioare de erori clasice”

Ei mai susţin ca principala sursă de eroare de tip III este lipsa de comunicare dintre analist şi factorul de decizie. Această comunicare trebuie sa fie bidirecţională: de la unitatea decizională la analist / experimentator şi invers, pentru a verifica dacă intr-adevăr am detectat problema care trebuia!

În [79] este arătată ca Irina Isaic-Maniu a dat o interpretare riscului bazându-se pe indicatorii principali din teoria fiabilităţii.

Astfel, este arătat ca ceea ce noi am numit funcţia de non fiabilitate (v. Cap.3.1) sau funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare Tf şi se numeşte „risc tehnic”

F(t) = 1 – R(t) = 1-p(Tf≥t) = P(Tf<t) 5-22

Unde: F(t) – risc tehnic (probabilitatea ca sistemul sa funcţioneze mai slab decât timpul dorit) R(t) – funcţia de fiabilitate. Este introdusa noţiunea de pericol de eşec (hazard) (h(t)) – care reprezintă de

fapt rata de defectare a sistemului.

( ))()(

)()(

)(1)(

tR

tdR

tR

tdF

tF

tfth −==

−= 5-23

Conform [72] managementul riscului face parte din planificarea mentenanţei

preventive. Astfel, managementul riscului ia în considerare numărul şi tipul defectelor produse aleator în intervalul dintre două acţiuni de mentenanţă.

Voi considera cazul a două elemente legate în serie pentru care legea de variaţie a defectelor de funcţionare între defecte este cea exponenţială.

Consideram ca ratele de defectare a elementelor sunt definite, atunci rata de defectare a sistemului este:

)()()( 21 ttte λλλ += 5-24

Introducem ipoteza ca la un moment K din intervalul (0, t) apare o defectare

datorita defectării elementului 2, iar sistemul este readus în stare de funcţionare prin acţiune de mentenanţă corectivă.

Vom scrie expresia riscului în intervalul (0, t)

et

tRtF)(

0211),0(1)(

λλ +−−=−= 5-25


115

respectiv (k, t1)

ekt

tkRtkF))((

1111211),(1),(−+−

−=−=λλ

5-26

unde: F0 – risc iniţial

F1 – risc pe intervalul (x, t1) t – durata intervalelor de mentenanţă propuse x – durata la care apare o intervenţie de mentenanţă t1 –durata intervalelor de mentenanţă în urma apariţiei evenimentului X.

Astfel se poate determina valoarea t1(t1>t) pentru care a fost acceptat riscul iniţial r0 în condiţiile în care t = t1 – x.

În stabilirea valorilor de risc admisibile în funcţionarea instalaţiilor se utilizează probabilitatea apriori pentru programarea unor acţiuni de mentenanţă cu risc r0 de defectare la un anumit interval t, respectiv probabilitatea aposteorii pentru stabilirea intervalelor dintre acţiunile de mentenanţă preventivă, astfel încât riscul iniţial sa nu fie depăşit.

Un alt aspect ce nu trebuie neglijat, în evaluarea riscului este eroarea umana [72]. Aşa cum este arătat, eroarea umana este la originea a 20-90% din accidentele majore.

Acest lucru impune analiza fiabilităţii umane în calculul riscului şi evidenţierea factorilor de modelare a performantelor umane.

Erorile umane pot fi: - erori individuale (neintenţionate / intenţionate) - erori manageriale. După modul de producere: - erori bazate pe îndemânare - erori bazate pe reguli - erori bazate pe cunoştinţe. Factorii de modelare a performantei la apariţia erori sunt [72]: - factori fiziologici (starea de sănătate, oboseala) care produc alterarea

simţurilor determinând scăpări bazate pe îndemânare. - factori psihologici (lipsa experienţei sau a cunoştinţelor, atitudinea,

temperamentul), care conduc la erori de identificare şi de interpretare. - factori filozofici care se refera la aspectul subiectiv. Conform [72] probabilitatea erorilor umane se calculează conform relaţiei:

54321KKKKKPeu ⋅⋅⋅⋅= 5-27

în care: Peu – probabilitatea erorilor umane

K1 – rata erorii de baza în funcţie de tipul de activitate K2 – coeficientul ce tine seama de timpul disponibil pentru îndeplinirea activităţii K3 – coeficientul ce tine seama de caracteristicile operatorului şi de nivelul de pregătire K4 – coeficientul ce tine seama de starea de nelinişte a operatorului K5 – coeficientul ce tine seama de caracteristicile ergonomice ale mediului


116

Pentru clarificarea celor prezentate în capitolul 5.2.3.6, utilizând noţiunile prezentate în capitolul curent, propun să analizăm o entitate oarecare ce poate prezenta trei moduri de defectare distincte şi dacă consecinţele acestora sunt aceleaşi, ea poate fi modelată printr-un echivalent format din trei elemente legate în serie, fiecare element corespunzând unui mod de defectare (v. Fig. 5-11.). Fiecare element este caracterizat de o rată de defectare λ1(t), λ2(t) şi λ3(t) ce poate corespunde unor legi de repartiţie diferite: exponenţială, Weilull,etc.

Fig. 5-11. Echivalentul unei entităţi ce prezintă trei moduri de defectare diferite În cazul prezentat, rata de defectare echivalentă a entităţii va fi: )t()t()t()t(e 321 λ+λ+λ=λ iar funcţia de fiabilitate a entităţii este:

∫

=λ−

t

e dx)x(

e)t(R 0

Echivalarea elementelor cu ratele de defectare λ1(t), λ2(t) şi λ3(t) cu un element cu rata de defectare λe(t) este posibilă numai în cazul în care modurile de defectare ale elementelor au consecinţe identice.

Pentru un calcul complet al strategiei de mentenanţă trebuie stabilite valorile de risc admisibile în funcţionarea instalaţiilor. Pentru aceasta trebuie avute în vedere două tipuri de probabilităţi şi anume:

- probabilităţi apriori;

- probabilităţi aposteriori.

Probabilitatea apriori este utilizată la planificarea unor acţiuni de mentenanţă la un anumit interval de timp T, în condiţiile admiterii unui risc r0 de defectare pe un interval (0, t) de timp.

Probabilitatea aposteriori permite ca pe baza unei experienţe câştigate, să se ia decizii privind intervalele între acţiunile de mentenanţă preventivă, astfel încât riscul iniţial asumat să nu fie depăşit.

Considerăm o entitate pentru care este stabilit un interval de timp pentru acţiunea de mentenanţă T aşa cum este prezentat în Fig. 5-12, se poate determina riscul iniţial acceptat.

λ1(t) λ2(t) λ3(t)


117

Fig. 5-12. Repartizarea acţiunilor de mentenanţă în timp pentru o entitate

Riscul acceptat se pate calcula astfel [40]: )T(R)T(Fr 000 1−== 5-28 Considerând că la un momente dat t1 se produce un defect care necesită o acţiune de mentenanţă corectivă, se poate determina adaptarea politicii de mentenanţă preventivă, pe baza experienţei câştigate (aposteriori). Astfel se poate determina riscul de defectare pe intervalul (t1, T) în condiţiile apariţiei unui defect la momentul t1 < T prin relaţia [40]: )T,t(R)T,t(Fr 11111 1−== 5-29 Se poate determina astfel timpul T pentru care riscul iniţial acceptat în condiţiile în care acţiunea de mentenanţă preventivă s-a făcut la intervale de timp T este egal cu riscul pe intervalul (t1, T), în condiţiile apariţiei unui defect în momentul t1 şi a efectuării unei mentenanţe corective la momentul respectiv.

t

T t1

0

r1

r0

6. CONTRIBUŢII LA OPTIMIZAREA INSTALAŢIILOR ELECTRICE �I DE AUTOMATIZARE

118


6.1. Consideraţii asupra unor insuficienţe ale teoriei actuale

Actualele modele matematice pentru aprecierea şi evaluarea numerică a fiabilităţii sistemelor au fost elaborate la începutul celei de a doua jumătăţi a secolului trecut ca urmare a unor cerinţe impuse de necesitatea adoptării unor decizii majore privind implementarea automatizării instalaţiilor din domeniile militar, energetic şi aerospaţial. Depăşind repede aceste domenii, astăzi necesitatea asigurării unei fiabilităţi optime se regăseşte practic în toate domeniile vieţii economice.

Cu toate acestea, după o perioadă de entuziasm şi dezvoltare rapidă, datorită unor succese remarcabile în optimizarea deciziilor, dezvoltarea cunoaşterii, în acest domeniu a scăzut în timp ce, paradoxal, fiabilitatea elementelor componente cât şi a sistemelor tehnice a crescut!

Cauzele acestui fenomen sunt multiple şi nu fac obiectul investigaţiei noastre. Trebuie să remarcăm faptul că modelele matematice elaborate cu mai mult de

jumătate de secol în urmă şi parţial prezentate în capitolele precedente prezintă unele incoerenţe cu cerinţele impuse de necesităţile dezvoltării ştiinţei şi tehnologiei în secolul XXI, manifestate uneori chiar sub forma unor paradigme şi paradoxuri. Vom prezenta pe scurt câteva dintre acestea, iar în capitolul următor vom propune câteva soluţii de rezolvare.

6.1.1. Limitarea utilizării funcţiei de fiabilitate

Vom considera cazul cel mai simplu al repartiţiei exponenţiale ceea ce nu

micşorează generalitatea concluziei.

Conform relaţiilor (3-42) şi (3-54) funcţia de fiabilitate este ee m

tt

tR−⋅−

==λ

)( .

Pentru mt ⋅= 7,0 rezultă 5,049658,0)(7,0

<==−

etR . Rezultă că pentru valori ale

duratei medii de funcţionare fără defecţiuni (m = MTTF) sau pentru valori ale duratei medii de bună funcţionare (m=MTBF) funcţia de fiabilitate respectiv probabilitatea sau şansa de funcţionare este mai mică decât riscul de defectare

50342,0)7,0()/( == FmtF . Situaţia este valabilă şi pentru alte distribuţii statistice. Mai mult decât atât, paradoxul este cunoscut de zeci de ani şi explicaţiile care

s-au dat nu sunt satisfăcătoare. De exemplu, în lucrarea [5] se afirmă că funcţia de fiabilitate trebuie utilizată „numai pentru valori mici ale duratei de utilizare” fată de durata medie de funcţionare fără defectare. Au trecut de atunci peste 40 de ani şi funcţia de fiabilitate nu a fost înlocuită! Consecinţele sunt astăzi directe asupra supraevaluării riscurilor tehnice cu implicaţii economice grave rezultate pe baza analizelor de risc.


119

6.1.2. Paradigma distribuţiei exponenţiale a sistemelor fără uzură

Distribuţia exponenţială este foarte frecvent utilizată datorită simplităţii relaţiilor

de calcul care rezultă în acest caz şi aproximării relativ satisfăcătoare a indicatorilor de fiabilitate chiar în cazuri în care rata de defectare nu este riguros constantă.

Absenţa uzurii se defineşte prin relaţia 0 x t, ; )(),( ≥=+ xRxttR [19 p. 31] şi se demonstrează [4] că există o singură funcţie de repartiţie a timpului de funcţionare până la defectare care verifică această relaţie de definiţie a absenţei uzurii

et

tF⋅−

−=λ

1)( .

Relaţia de mai sus conduce la concluzia că media duratei de funcţionare rămase este aceeaşi indiferent de vârsta sistemului, rezultat greu de acceptat.

Distribuţia exponenţială se caracterizează şi printr-o dispersie mare a timpului de funcţionare (egală cu media) ceea ce conduce la o diversitate mare a sistemelor individuale [19].

Se poate spune că s-a creat chiar o paradigmă a distribuţiei exponenţiale conform căreia matematicienii cred că ea corespunde unor realităţi fizice, iar inginerii şi fizicienii o consideră un instrument matematic riguros fundamentat (şi binevenit!).

6.1.3. Contractarea şi dilatarea duratei de viaţă a sistemelor

În cazul celui mai simplu sistem compus din mai mult de un singur element,

sistemul cu două elemente identice din punct de vedere al fiabilităţii, în cazul distribuţiei exponenţiale rezultă pentru structura fiabilistică de tip serie o durată de viaţă egală cu jumătate din durata de viaţă a unui singur element, iar pentru structura fiabilistică de tip paralel rezultă o durată de viaţă cu 50% mai mare decât în cazul unui singur element. Aceste rezultate nu numai că sunt contrare posibilităţii noastre de înţelegere dar sunt şi în contradicţie cu experienţa cotidiană. Cu toate acestea ele stau la baza teoriei fiabilităţii sistemelor şi corespund nu numai distribuţiei exponenţiale sistemelor compuse din două elemente ci şi tuturor distribuţiilor şi tuturor tipurilor de structuri utilizate, cu corecţiile numerice corespunzătoare fiecărui caz în parte.

6.1.4. Defectare sau degradare

Teoria actuală este elaborată pornind de la conceptul de defectare folosit în

sensul de trecere (tranziţie) a sistemului din starea de satisfacere a cerinţelor date în starea de nesatisfacere a acestora (a cel puţin uneia dintre ele). De fapt scăderea fiabilităţii unui sistem în timp nu are drept cauză principală defectarea ci degradarea.

Este adevărat că teoria actuală a fost elaborată ca urmare a necesităţii reducerii numărului de defectări ale instalaţiilor de automatizare cu care au fost echipate navele din flota S.U.A. după cel de al doilea război mondial şi creşterii în acest fel a duratei operaţionale a acestora într-un interval de timp dat. Din acest punct de vedere teoria actuală şi-a atins scopul. Mai mult decât atât, în ultimele decenii evenimentele de tip defectare au devenit tot mai rare datorită atât optimizării fiabilităţii cât şi progresului tehnologic şi pieţei concurente.


120

Caracteristicile sau indicatorii numerici pentru evaluarea fiabilităţii, cum sunt funcţia de fiabilitate şi rata de defectare se întâlnesc tot mai rar pe piaţă, în contractele economice şi în normativele de fiabilitate. Locul lor a fost luat de durata de viaţă căreia i se asociază şi indicele de risc. Dezvoltarea analizelor şi politicilor de mentenanţă a contribuit de asemenea la ameliorarea şi optimizarea fiabilităţii.

O problemă foarte importantă a rămas însă nerezolvată la nivelul cerinţelor actuale şi anume problema evaluării duratei de viaţă pe baza conceptului de degradare, nu numai pe baza conceptului de defectare ca în prezent. Dacă defectările pot fi şi au şi fost diminuate, minimizate sau uneori chiar eliminate, degradarea nu poate fi înlăturată! Ea poate fi doar controlată şi previzionată pentru a se putea acţiona în consecinţă.

În [19, p. 227,231] se afirmă că „fenomenele de defectare sunt supuse principiului creşterii entropiei care se manifestă în domeniul fiabilităţii prin creşterea continuă a probabilităţii de defectare”. În continuare autorii susţin că „principiul creşterii entropiei nu poate conduce direct la previziuni de utilitate practică, dar fundamentează singurul enunţ absolut cert al teoriei fiabilităţii, inevitabilitatea defectării oricărui sistem”.

În capitolul următor vom arăta că cele afirmate în citatul de mai sus nu sunt adevărate decât în parte. În mod curent, PRINCIPIUL CRE�TERII ENTROPIEI POATE CONDUCE DIRECT LA PREVIZIUNI DE MARE UTILITATE PRACTICĂ în analiza şi optimizarea fiabilităţii.

6.2. Soluţii propuse pentru evitarea paradoxurilor şi completarea teoriei actuale

6.2.1. Necesitatea şi posibilitatea introducerii unor noi caracteristici numerice pentru evaluarea fiabilităţii: viabilitatea, entropia şi riscul

6.2.1.1. Viabilitatea

A fost introdusă în anul 2004 în lucrarea [67] în scopul determinării duratei de

viaţă a sistemelor. Viabilitatea sau funcţia de viabilitate, cum poate fi numită prin analogie cu funcţia de fiabilitate, este o funcţie de durata de viaţă rămasă a unui sistem. Spre deosebire de funcţia de fiabilitate R(t), unde t este un interval de timp (0, t) sau (t1, t2) cu 0 < t1, t2 ≤ MTTF (sau MTBF), argumentul funcţiei de viabilitate a fost notat cu νrămas = ν – k, unde ν este durata (medie) totală de viaţă, iar k este durata de viaţă trecută (realizată). O altă deosebire faţă de intervalul t caracteristic funcţiei de fiabilitate este aceea că intervalul ν – k nu se măsoară, în general, în unităţi de timp calendaristic ci în paşi temporali [58] sau CUANTE DE TIMP [67]. Mai multe detalii asupra acestor noţiuni sunt prezentate în 6.2.3.

Funcţia de viabilitate (viabilitatea) a fost notată în lucrarea de referinţă cu p(νramas), iar ulterior autorul a adoptat în cercetările sale notaţia w(ν – k). Din consideraţii legate de entropie (v. subcapitolul 6.2.1.2) expresia analitică adoptată şi care s-a dovedit foarte utilă în aplicaţii este:

e kramas kwkwp −

−=−== νννν

1

)(),()( 6-1

În [67] sunt prezentate graficele de variaţie pentru diferite valori ale lui νramas.


121

Este de remarcat faptul că pentru k = ν – 1 funcţia de viabilitate are aceeaşi valoare ca funcţia de fiabilitate pentru t = m unde m este durata medie de îndeplinire a cerinţelor date (MTTF, MTBF, etc., după caz). Această valoare este egală cu

inversul numărului lui Euler respectiv e1−, valoare care joacă un rol fundamental în

TES (teoria entropică a sistemelor)!

6.2.1.2. Entropia

A fost formalizată până acum în mai mult de 30 de feluri specifice diferitelor

domenii ale ştiinţei. O caracteristică a acestor formalisme, cu excepţia diversităţii lor, este cea a „duratei de viaţă” relativ scurte. Nici unul din formalismele elaborate până în anul 1999 pentru entropie nu a reuşit să îndeplinească cerinţa de a fi „guvernatorul fenomenelor din natură” cum a afirmat marele fizician L. Landau, laureat al premiului Nobel.

Cea mai mare longevitate au avut-o formalismele lui Clausius (1865), Boltzmann (1870). Entropia informaţională a fost definită în lucrările lui Fischer (1925), Hartley (1928) şi Shannon & Wiener (1948) conform [54]. �i durata de viaţă a acestora se pare că şi-a atins limita întrucât frecvenţa utilizării acestora s-a micşorat.

În lucrarea [39] autorul propune un nou formalism matematic pentru entropie:

ppS ln−= 6-2

unde S este entropia, iar p probabilitatea stării în care se află sistemul considerat. Principala deosebire între acest formalism şi cel al lui Shannon ( ∑−=

i

ii ppS log ) constă în faptul că pentru formalismul ppS ln−= autorul

postulează, prin definiţie, lipsa de aditivitate în sensul că două entropii nu pot fi aditive. De altfel este evident faptul că dacă un sistem se compune din două elemente care au entropiile 11 ln pp− şi 22 ln pp− , entropia sistemului nu poate fi

2211 lnln pppp −− deoarece această sumă nu se mai poate scrie sub forma pp ln− .

Acest lucru era posibil în cazul entropiei lui Boltzmann WkS ln⋅−= deoarece

2121 lnlnln WWkWkWk ⋅⋅=⋅+⋅ rezultând necesitatea ca în acest caz

21 WWWsistem ⋅= , unde k este constanta lui Boltzmann, iar W probabilitatea „termodinamică”, un număr întreg pozitiv nerestricţionat ca interval de valori, cum este probabilitatea matematică cuprinsă între zero şi unu. Trebuie însă subliniat faptul că Boltzmann a avut o contribuţie de maximă importanţă în acest domeniu, postulând pentru prima dată faptul că entropia trebuie să fie o funcţie de probabilitate! Atunci când a propus formalismul WkS ln⋅−= trecuseră puţini ani de când J.C.Maxwell a afirmat că „entropia unui sistem este suma entropiilor părţilor sale”. Doar că Maxwell se referea probabil la entropia în sensul lui Clausius, care a fost elaborată cu peste zece ani înainte. Boltzmann nu a avut de ales: care funcţie de probabilitate îndeplinea cerinţa lui Maxwell? Evident, logaritmul.

Mai trebuie remarcat faptul că toate cele trei entropii (Clausius, Boltzmann şi Shannon) au fost elaborate înainte de a se defini riguros axiomatic probabilitatea (1933, Kolmogorov).

Au mai trecut aproape 70 de ani până la apariţia formalismului pentru entropia din relaţia (6-2) care se pare că satisface toate cerinţele impuse pentru a fi aplicat cu


122

succes în foarte multe domenii pentru modelarea matematică a evoluţiei fenomenelor.

O altă deosebire faţă de entropia lui Shannon este baza logaritmului. Shannon a folosit baza 2 ceea ce limitează şi complică dezvoltările matematice.

Utilizarea logaritmului natural conduce la o proprietate matematică care simplifică formulele şi calculele: în cazul entropiei maxime valoarea funcţiei ( pppfS ln)( −== ) este egală cu valoarea argumentului (p), ambele fiind egale cu

inversul numărului lui Euler e1−.

Acest fapt, asociat cu cel remarcat în ultimul paragraf din 6.2.1.1 oferă posibilitatea elaborării unui model matematic simplu şi foarte eficient pentru soluţionarea multor probleme nerezolvate până în prezent sau rezolvate nesatisfăcător, între care analiza şi optimizarea instalaţiilor electrice şi de automatizare ocupă un loc foarte important.

Se ştie că în natură totul este în continuă schimbare. Schimbarea înseamnă evoluţie. Evoluţia în natură are loc ireversibil în sensul creşterii entropiei. Orice lucru are un început şi un sfârşit. Sfârşitul evoluţiei oricărui lucru are loc când entropia ajunge la valoarea maximă.

Acesta este ideea fundamentală a modelului evoluţiei bazată pe creşterea entropiei.

Prima formă a modelului a fost prezentată în comunicarea prof. Al. Stamatiu la Conferinţa Facultăţii de Instalaţii Bucureşti din luna noiembrie 1999 intitulată „Entropie şi fiabilitate”.

În anul 2002 folosirea modelului a condus la conceptul de modelare entropică, iar dezvoltările ulterioare au consacrat, începând cu anul 2004 conceptul de teorie entropică a sistemelor (TES).

Pentru detalii se pot consulta lucrările autorului referenţiate pentru perioada 1999 – 2008.

Esenţial pentru aplicaţii este modelul denumit graf entropic canonic elaborat şi comunicat în anul 2008 în [76]. Modelul este prezentat în Fig. 6-1.

Fig. 6-1. Graful entropic canonic în cazul unui proces

0 0 0 0 0

1

Pasul 1 2 k k+1 ν-2 ν-1 ν

1−e

(k) (1) (0) (ν-2) (ν-1)

1

)1(1−

−ννe 12

1−

−

e

11−

−νe ke −

−ν

1

21

−

e 11

1−

−

= ee ν

1−

e


123

6.2.1.3. Riscul

Aşa cum am arătat în capitolul 5.2.4, în prezent riscul este definit prin funcţia

de nonfiabilitate.

)(1)( tRtF −= şi este considerat în filozofia riscului ca risc tehnic.

Unii specialişti sunt de părere că riscul F(t) ar trebui multiplicat cu valoarea daunelor produse de defectare rezultând o estimare financiară a riscului. În acest fel s-ar putea diferenţia un risc de defectare a unui aparat electrocasnic de acelaşi risc, ca valoare a probabilităţii de defectare a unei bariere de cale ferată sau a unei centrale nucleare.

În scopul optimizării instalaţiilor electrice şi de automatizare este suficientă evaluarea riscului calculat cu (5-22).

Cu toate acestea, experienţa ne arată că, evaluând fiabilitatea prin durata de viaţă rămasă şi nu cea realizată, fapt care se pare că reprezintă adevărata noastră cerinţă (!), riscul ar putea fi evaluat prin complementarea funcţiei de viabilitate. Dacă notăm acest risc cu r avem:

e kkwkr −−

−=−−=− ννν1

1)(1)( 6-3

mai mult decât atât, evaluând într-un număr de cazuri caracteristicile numerice w, s, F(t) şi r(ν-k) se constată că există inegalităţile:

SkrtF >−> )()( ν 6-4 iar diferenţele între r(ν-k) şi S sunt mici, cu excepţia ultimilor paşi ai evoluţiei sistemului.

Un risc mai mic poate însemna importante câştiguri financiare atât pentru furnizor cât şi pentru consumator. La nivelul furnizorului, în cazul instalaţiilor electrice şi de automatizare înseamnă reducerea costurilor produsului prin evitarea supradimensionărilor şi micşorarea redundanţei necesare în faza de proiectare cât şi posibilitatea acordării unei garanţii pe o durată mai mare. La nivelul consumatorului poată să scadă preţul de achiziţie al produsului, iar un termen de garanţie mai mare este un alt avantaj important.

Ţinând seama şi de faptul că durata de viaţă este determinată strict de valoarea entropiei maxime consider că aprecierea nivelului de risc prin valoarea entropiei poate constitui o opţiune foarte importantă.

În orice caz cercetările în această direcţie trebuie continuate, o diminuare a riscului la valoarea entropiei şi nu a nonfiabilităţii ca în prezent putând avea şi implicaţii favorabile nebănuite în prezent pentru protecţia mediului!


124

6.2.2. Un nou punct de vedere asupra structurilor redundante în instalaţiile electrice şi de automatizare

Pentru analiză vom considera o structură de tip paralel formată din două

elemente identice din punctul de vedere al fiabilităţii (v. Fig. 6-2)

Fig. 6-2. Structura de tip paralel cu elemente identice

Pornind de la durata medie de viaţă a fiecărui element m = 5 ani, această valoare corespunzând cu valoarea lui ν din definiţia viabilităţii, putem întocmi Tabelul 6-1 în care vom analiza riscul şi entropia atât pentru fiecare element în parte cât şi pentru întreg sistemul, luând în considerare cele prezentate în subcapitolul precedent.

Tabelul 6-1. Calculul numărului de paşi pentru sistemul

redundant compus din două elemente identice

ELEMENT SISTEM

kel

(n(n (n(n -

k)

el

w( nn nn

, t)

el =

e(-

1/ nn nn

-k)

Sel =

- w

el*ln

wel

w( nn nn

, t)

sis

t =

2*w

el-(w

el)

2

Ssis

t =

- w

sis

t*ln

wsis

t

nn nnra

mas s

ist =

-1/ln

wsis

t =

( nn nn -

k) s

ist

0 1 2 3 4 5 6

0 5 0.81873 0.16375 0.96714 0.03231 29.93

1 4 0.77880 0.19470 0.95107 0.04771 19.93

2 3 0.71653 0.23884 0.91965 0.07704 11.94

3 2 0.60653 0.30327 0.84518 0.14216 5.95

4 1 0.36787

0.36787 0.60042

0.30629 1.96

5 0


125

În cazul redundanţei active cele două elemente constituie împreună un sistem. Starea operaţională caracterizează sistemul şi nu fiecare element luat în parte. Starea de îndeplinire a cerinţelor caracterizează de asemenea sistemul a cărui cerinţă este exprimată ca „necesitatea de a fi în stare de satisfacere a cerinţelor cel puţin unul din cele două elemente”.

Probabilitatea elementului sistemului de a se afla în stare de a satisfacere a cerinţelor funcţionale este egală după 4 paşi cu 0,36787.

Probabilitatea sistemului de a se afla în stare de satisfacere a cerinţelor (viabilitatea) este egală după 4 paşi cu 0,6004. Entropia corespunzătoare acestei probabilităţi (ea decide, legea creşterii entropiei este lege fundamentală) este 0,30629, mai mică decât entropia maximă e

1− . Conform relaţiei:

sistemsistem wln/1−=ν

rezultă

pasi 9,16004,0ln/1 ≈−=sistemramasν . La prima vedere, sistemul ar putea să îşi continue evoluţia cu încă un pas

după ce elementele şi-au încetat evoluţia, ceea ce este absurd. Aşa cum este arătat şi în [83], în momentul în care elementele componente nu mai sunt în stare de a îndeplini cerinţele funcţionale, nici sistemul nu mai poate evolua.

Conform [83], acest lucru se explică prin transcendenţa numărului

e respectiv e/1 . De fapt, valorile viabilităţii şi entropiei în pasul 4 pentru element

sunt foarte apropiate de valoarea maximă a entropiei e1− , deoarece eS

1max

−= este un

maximmaximorum, valoarea acestuia fiind un număr transcendent cu un număr nedefinit de zecimale, iar valorile entropiei maxime din aplicaţiile concrete sunt calculate cu un număr finit de zecimale. Acest lucru explică faptul că valoarea entropiei maxime calculată pentru un element (0,36787) este foarte aproape de valoarea maximă a entropiei e

1− , după k = 4 paşi. Deci elementul ar mai putea să îşi continue evoluţia încă un pas. De fapt, elementul îşi continuă evoluţia de-a lungul unei cuante de timp de la valoarea entropiei de 0,36787 în pasul 4 până la e

1− după care urmează tranziţia în starea nerecurentă.

În cazul sistemului, în pasul 4, valoarea entropiei este de 0,30629, astfel încât şi sistemul îşi poate continua existenţa în pasul 5. Sistemul ajuns după 4 „paşi element” la o entropie apropiată de entropia maximă e

1− , mai evoluează un pas pana

la atingerea lui e1− şi apoi urmează tranziţia în starea nerecurentă. Concluzia este că

după 4 paşi („în timp element”) atât elementul cât şi sistemul vor mai parcurge un pas ce urmează să se dividă de fapt în doi paşi, unul în stare de satisfacere a cerinţelor (până la Smax) şi următorul de tranziţie de stare.


126

Fig. 6-3. Graficul caracteristicilor unui sistem redundant compus din doua elemente identice

Se poate pune întrebarea asupra dimensiunii unui pas al sistemului raportat la un pas al elementului, răspunsul fiind evident legat de fiecare caz în parte şi pentru a fi găsit este necesar să apelăm la principiile şi rezultatele fizicii cuantice!

0.00

000

0.20

000

0.40

000

0.60

000

0.80

000

1.00

000

1.20

000

54

32

10

Nu

maru

l d

e p

asi

ram

asi

w(nnnn-k), S

Via

bilit

ate

elem

ent

Ent

ropi

e el

emen

t

Via

bilit

ate

sist

em

Ent

ropi

e si

stem

Via

bilit

ate

elem

ent

Ent

ropi

e el

emen

t

Via

bilit

ate

sist

em

Ent

ropi

e si

stem


127

În fizica cuantică probabilitatea ca un sistem să se afle într-o anumită stare este o caracteristică a energiei sistemului.

În fizica cuantică energia şi durata de viaţă sunt mărimi complementare, la fel ca spaţiul şi viteza conform principiului de incertitudine (Heisenberg, 1927).

În [77] autorul precizează că „trăsătura definitorie care diferenţiază modul de a raţiona CLASIC de cel CUANTIC este PRINCIPIUL DE INCERTITUDINE.

În concluziile lucrării [76] în care, după cele cunoscute de mine, s-a introdus pentru prima dată conceptul de CUANTĂ DE TIMP, definită şi utilizată în graful entropic canonic, se afirmă că „teoria entropică a sistemelor este o teorie în acord cu principiile teoriei relativităţii în sensul că nu foloseşte noţiunea de timp absolut, ci un timp propriu pentru fiecare proces, format din cuante determinate de schimbări. Mai mult, evoluţia procesului nu este legată de nici un sistem de referinţă.

Este o teorie în acord şi cu principiile teoriei cuantice nu numai prin introducerea şi a cuantei de timp ci şi în ce priveşte principiul incertitudinii al lui Heisenberg…”

Se mai pot pune eventual sub semnul întrebării cele prezentate aici datorită faptului că teoria cuantică este considerată deseori ca o teorie specifică fenomenelor care au loc în ceea ce numim domeniul microscopic. În concluziile prezentate în [58] autorul afirmă că „cele prezentate pot fi aplicate atât în domeniul macroscopic cât şi în cel microscopic”.

Concluzia care rezultă conform obiectivelor propuse în lucrarea de faţă este faptul că durata de viaţă a sistemului redundant considerat, compus din două elemente identice, este egală cu durata de viaţă a elementelor. Această concluzie este îν concordanţă cu experienţa şi în contradicţie cu rezultatul absurd pe care ni-l oferă teoria actuală

6.2.3. Despre cuanta de timp. Aplicaţii în evaluarea fiabilităţii instalaţiilor electrice şi de automatizare

În [58] autorul afirmă că „este natural şi esenţial să se pună întrebarea cât

este de mare un pas temporal? Răspunsul poate fi surprinzător: cât dorim noi să fie de mare!”

Denumirea de pas temporal a fost aleasă de autor după sugestia matematicianului american Martin Gutzwiller care afirmă, fără alte detalii, că: „se pare că modelarea fenomenelor naturale se poate face numai în paşi temporali, cel puţin în ceea ce priveşte punctul de vedere Lagrange asupra naturii” (Gutzwiller,C.M – Chaos in Classical nd Quantum Mechanics, New York, Inc., 1990).

În lucrarea [67] autorul înlocuieşte noţiunea de pas temporal cu cea de CUNATĂ DE TIMP arătând că „nu este vorba de o discretizare a timpului aşa cum se procedează în diferitele modele matematice cu timp discret sau în teoriile mai recente în care s-a introdus unitatea de timp numită „cronos” sau „timp Planck”, de dimensiune foarte mică. În TES trebuie folosită cuantificarea timpului în unităţi naturale sau conforme cu cerinţele problemei sau fenomenului studiat. Ele pot fi diferite şi în cadrul aceluiaşi fenomen. Mai mult decât atât, în sistemele redundante (organismul uman poate fi cel mai semnificativ exemplu) CUANTELE DE TIMP NU SE SUCCED CU NECESITATE. Ele, pe lângă faptul că DIFERĂ CA DIMENSIUNE DE LA UN ELEMENT (sau subsistem) LA ALTUL, SE POT SUPRAPUNE. Acest fapt este esenţial…”.


128

In [76] cuanta de timp a fost definită ca interval între două schimbări. Conform cu afirmaţia autorului din [67] referitoare la mărimea pasului temporal („cât dorim noi să fie de mare”) autorul a ales mărimea unei cuante de timp egală cu unu! Acest fapt a permis realizarea modelului matematic numit „grafic entropic canonic” prezentat în subcapitolul 6.2.1.2.

6.3. Optimizarea unor soluţii privind instalaţiile electrice şi de automatizare

6.3.1. Optimizarea unei structuri de tip serie

Pentru schema din Fig. 6-4 se cere să se analizeze posibilitatea creşterii

duratei de viaţă şi scăderii riscului de defectare a alimentării motorului.

Fig. 6-4. Circuit de alimentare motor electric Componentele sistemului sunt: B – bară, S – separator, I – întreruptor, C – cablu, M – motor electric, pentru care cunoaştem:

λB = λ1 = 0,03306·10-8 s-1 µB = µ1 = 1656·10-8 s-1 λS = λ2 = 0,00834·10-8 s-1 µS = µ2 = 1538·10-8 s-1 λI = λ3 = 0,04334·10-8 s-1 µI = µ3 = 1552·10-8 s-1 λC = λ4 = 0,355·10-8 s-1/km µC = µ4 = 103·10-8 s-1/km

Lungimea traseului de cablu se consideră egală cu 1 km. Soluţie:

Cu relaţia

∑=

=4

1

1

i

i

m

λ

din teoria actuală rezultă m = 63.168 ore = 7,2 ani.

Această valoare corespunde cu valoarea lui ν din definiţia viabilităţii respectiv

ek

kw)/1(

),(−−

=ν

ν dacă alegem pasul an 1=τ , putem astfel întocmi 9-1 (v. Anexe) şi

graficul din Fig. 6-5.

B

M

C

I

S


129

Fig. 6-5. Graficul caracteristicilor unei structuri de tip serie

0.00

000

0.20

000

0.40

000

0.60

000

0.80

000

1.00

000

1.20

000

7.2

6.2

5.2

4.2

3.2

2.2

1.2

0

Nu

maru

l d

e p

asi

ram

as

R(t), w(nnnn-k), r(nnnn-k), S

viab

ilita

tea

fiabi

litat

ea

entro

pia

viab

ilita

tii

entro

pia

fiabi

litat

ii

risc

fiabi

litat

e

risc

viab

ilita

te

viab

ilita

tea

fiabi

litat

ea

entro

pia

fiabi

litat

ii

entro

pia

viab

ilita

tii

risc

viab

ilita

te

risc

fiabi

litat

e


130

Din analiza tabelului 9-1 (v. Anexe) şi graficului din Fig. 6-5 se constată că

riscul calculat cu funcţia de viabilitate este cu 6% până la 15% mai mic decât cel calculat cu metodologia actuală, cu excepţia primilor doi de paşi (ani în cazul nostru) în care metodologia actuală presupune o probabilitate iniţială egală cu unu ceea ce nu poate fi luat în considerare. În modelarea matematică modernă (procese stohastice finite) dintr-o stare cu probabilitate unu nu se mai poate ieşi, nu se mai poate evolua.

Înainte de ultimul pas riscurile calculate prin cele două metode devin egale în acest caz .

O altă constatare ne oferă compararea valorilor din coloanele 5 şi 7 ale tabelului 9-1 (v. Anexe). Se observă că riscul creşte odată cu creşterea entropiei astfel încât chiar entropia poate fi considerată un indicator de risc, în mod deosebit pentru valori mici ale entropiei.

În cele ce urmează, datele oferite de Tabelul 9-1 (v. Anexe) sunt concludente şi în ceea ce priveşte posibilitatea renunţării la analiza paralelă a riscului oferit de metodologia actuală şi cel oferit de funcţia de viabilitate, astfel încât o vom folosi numai pe cea din urmă.

Aceste observaţii şi constatări, deşi foarte interesante şi importante nu conduc în totalitate la rezolvarea problemei optimizării schemei din Fig. 6-4.

Scopul nostru este să găsim soluţia optimă, respectiv cea mai bună fiabilitate cu cele mai mici costuri.

Funcţie de destinaţia utilizării instalaţiei trebuie determinată durata de viaţă necesară. Tabelul 9-1 (v. Anexe) ne oferă riscul pentru diferite durate de viaţă, limitate la valoarea maximă de 7,2 ani. Soluţia cea mai bună este cea în care duratele de viaţă ale tuturor elementelor instalaţiei sunt aproximativ egale (!) şi egale la rândul lor cu durata de viaţă cerută de client.

Există două cazuri posibile: a) durata de viaţă calculată este inferioară duratei cerute b) durata de viaţă calculată este superioară duratei cerute În cazul a) conform metodologiilor actuale se apelează la:

a1. înlocuirea elementelor de fiabilitate necorespunzătoare cu elemente cu fiabilitate mai bună

a2. asigurarea unor elemente redundante pentru elementele cu durată de viaţă necorespunzătoare

a3. prevederea în programele de mentenanţă a înlocuirii elementelor cu durată de viaţă necorespunzătoare după o durată de utilizare la care riscul multiplicat cu pierderile financiare impune măsura necesară.

Una din noutăţile pe care ni le oferă prezenta lucrare este aceea că soluţia de la punctul a2 nu este satisfăcătoare pentru creşterea duratei de viaţă. Acest fapt va rezulta din calculele prezentate în exemplele din 6.3.2 şi 6.3.3. În cazul b), problema este rezolvată fiind necesară eventual în plus o analiză de risc.


131

6.3.2. Optimizarea unei structuri de tip paralel

Elementul component al instalaţiei din Fig. 6-4 cu cea mai mică durată de

viaţă este cablul C care are cea mai mare rată de defectare λC = λ4 = 0,355·10-8 s-1.

Aplicând relaţia 22

2λ

µλ

⋅

+⋅=m durata de viaţă este egală cu 8,93 ani (în cazul

repartiţiei exponenţiale a duratelor de funcţionare şi restabilire). În consecinţă vom analiza în continuare cum anume se modifică durata de

viaţă a acestei componente în cazul în care montăm încă un cablu în paralel cu cel existent, identic din punct de vedere al fiabilităţii cu cel existent (v. Fig. 6-6)

Fig. 6-6. Asigurarea redundanţei elementului cu cea mai mică durată de viaţă

În cazul aplicării metodologiei actuale rezultă o creştere a duratei de viaţă la 13,4 ani prin asigurarea acestei redundanţe.

Procedând ca în exemplul anterior întocmim Tabelul 9-2 (v. Anexe) şi graficul din Fig. 6-7.

B

M

C1

I

S

C2


132

Fig. 6-7. Graficul caracteristicilor unei structuri de tip paralel

0.00

000

0.20

000

0.40

000

0.60

000

0.80

000

1.00

000

1.20

000

8.93

7.93

6.93

5.93

4.93

3.93

2.93

1.93

0.93

0

Nu

mar

de p

asi

ram

asi

w(nnnn-k), r(nnnn-k), S

viab

ilita

te1

viab

ilita

te 2

risc

1

risc

2

entr

opie

1

entr

opie

2

viab

ilita

te 1

cab

lu

viab

ilita

te 2

cab

luri

risc

1 ca

blu

risc

2 ca

blur

ien

trop

ie 1

cab

luen

trop

ie 2

cab

luri


133

Analizând datele din Tabelul 9-2 (v. Anexe) şi graficul din Fig. 6-7 se constată că riscul calculat ca funcţie de viabilitate este mai mic în acest caz cu de la aproximativ 9,5 ori pentru cablurile noi până la 2,5 ori înainte de sfârşitul duratei de viată. Reducerea raportului dintre riscul de defectare al unui cablu raportat la riscul de defectare a sistemului de două cabluri scade de la cca. 9,5 cu câte aproximativ o unitate până la cca. 2,5 înaintea ultimului pas pe care l-ar avea de făcut un singur cablu.

În acest caz, faţă de cazul elementelor serie, calculul funcţiei de viabilitate din coloana 2 se face pe baza relaţiei

elementelementparalel kwkwkw )()(2)( 2 −−−⋅=− ννν

Din Tabelul 9-2 (v. Anexe) reiese faptul că elementele sistemului ajung la o viabilitate şi o entropie apropiată de valoarea maximă e

1− după 8 paşi. Conform cu explicaţiile din capitolul 6.2.2, elementul mai evoluează un pas până când acesta ajunge la entropia maximă e

1− şi apoi mai urmează un pas în care elementul trece în starea de nesatisfacere a cerinţelor funcţionale. �i în acest caz, sistemul ajunge în pasul 8 la o valoare a entropiei foarte apropiată de valoarea maximă, urmând a mai parcurge şi el un pas, la fel ca elementele din care se compune, până la atingerea entropiei maxime e

1− şi apoi trece în stare absorbantă.

�i în acest caz, compararea valorilor din coloanele 5 şi 7 conduce la concluzia că ENTROPIA POATE FI UTILIZATĂ �I CA INDICATOR DE RISC!

Durata de viaţă a sistemului compus din două cabluri în paralel, aşa cum era de aşteptat, conform teoremelor stabilite anterior, conform şi cu intuiţia şi experienţa noastră şi contrar rezultatelor oferite de teoria actuală a fiabilităţii sistemelor, este aceeaşi cu durata de viaţă a unui element. Avantajul, foarte important, al redundanţei constă în REDUCEREA RISCULUI DE DEFECTARE şi nu în creşterea duratei de viaţă!

6.3.3. Optimizarea redundanţei totale. Cazul unei duble alimentări cu energie electrică

Acest tip de redundanţă se încadrează la fel ca şi redundanţa prevăzută

pentru elementul cu cea mai mare nonfiabilitate din paragraful precedent, în categoria a2 a măsurilor de creştere a fiabilităţii. Acest caz trebuie tratat datorită importanţei sale în proiectarea instalaţiilor electrice şi frecvenţei cu care este întâlnit în practică. Este cazul cunoscut în ingineria electrică sub denumirea de dublă alimentare.

Schema electrică se întâlneşte sub forma din Fig. 6-8.


134

Fig. 6-8. Alimentarea dublă pentru un motor electric

În exemplul din capitolul 6.3.1 am calculat datele pentru un circuit, astfel încât avem doar de adăugat datele pentru ansamblul celor două circuite care şi acest caz se încadrează în tipul paralel. Datele sunt prezentate în Tabelul 9-3 (v. Anexe), iar în Fig. 6-9 am reprezentat grafic caracteristicile alimentării duble ce asigură o redundanţă totală circuitului din Fig. 6-4.

B1

M

C1

I1

S1

B2

C2

I2

S2


135

Fig. 6-9. Graficul caracteristicilor unei structuri cu redundanţă totală

0.00

000

0.20

000

0.40

000

0.60

000

0.80

000

1.00

000

1.20

000

7.2

6.2

5.2

4.2

3.2

2.2

1.2

Nu

mar

de p

asi

ram

asi

w(nnnn-k), r(nnnn-k), Svi

abili

tate

alim

enta

re s

impl

a

viab

ilita

te a

limen

tare

dub

la

risc

alim

enta

re d

ubla

risc

alim

enta

re s

impl

a

entro

pie

alim

enta

re s

impl

a

entro

pie

alim

enta

re d

ubla

viab

ilita

te a

lim.

sim

pla

viab

ilita

te a

lim. d

ubla

risc

alim

. sim

pla

risc

alim

. dub

laen

tropi

e al

im. d

ubla

entro

pie

alim

. sim

pla


136

Din graficul de mai sus şi din Tabelul 9-3 (v. Anexe) se constată că riscul

calculat cu funcţia de viabilitate este mult mai mic şi în acest caz pe întreaga durată de viaţă, de la de peste 7 ori la începutul funcţionării până la de 3 ori spre sfârşitul duratei de viaţă.

Un aspect foarte important al calculelor prezentate în Tabelul 9-3 este cel referitor la valoarea viabilităţii (col. 3) pentru structura paralel după ce structura serie şi-a epuizat durata.

În acest caz, ca şi în cazul precedent, având în vedere faptul că durata de viaţă de la care se pleacă nu este un număr întreg, se observă mai bine faptul că în pasul 6, atât viabilitatea şi entropia sistemului cât şi viabilitatea şi entropia elementului sunt apropiate de valoarea maximă e

1− . Atât elementul cât şi sistemul

mai fac un pas până la atingerea entropiei maxime e1− după care are loc tranziţia în

starea de nesatisfacere a cerinţelor de funcţionare. Ca şi în cazul precedent, durata de viaţă a sistemului cu dublă alimentare faţă

de durata de viaţă a sistemului cu alimentare simplă este aceeaşi. �i în acest caz rezultă că avantajul redundanţei constă în REDUCEREA

RISCULUI şi nu în creşterea duratei de viaţă.

6.3.4. Optimizarea unei instalaţii electrice de tip n = 3, α = 1

Acest tip de sistem face parte din categoria sistemelor redundante pentru care

avem un număr de 3 elemente din care 1 este necesar a fi în stare de funcţionare pentru asigurarea cerinţelor de funcţionare. Acest sistem se întâlneşte în cazul alimentărilor cu energie electrică a instalaţiilor electrice şi de automatizare vitale.

Schema logică de fiabilitate pentru acest caz este prezentată în Fig. 6-10.

Fig. 6-10. Schema logică de fiabilitate pentru o instalaţie de tipul n = 3, α = 1

În continuare vom analiza cazul în care toate elementele sunt identice din

punct de vedere al fiabilităţii şi au durata medie de funcţionare a fiecărui element egală cu m = 5 ani. Pentru determinarea duratei de viaţă utilizând metodologia

actuală, se aplică formula elementsistem mm ⋅=⋅

=611

611

λ şi rezultă o durată de viaţă a

sistemului de 9,16 ani.


137

Pornind de la aceste date de intrare, şi de la faptul că un pas este 1 an, am întocmit Tabelul 9-4 (v. Anexe) şi graficul din Fig. 6-11, în care am analizat care este evoluţia sistemului utilizând metodologia de calcul propusă în capitolul 6.2.1.

Fig. 6-11. Graficul caracteristicilor unei instalaţii electrice de tip n = 3, α = 1

0.00

000

0.20

000

0.40

000

0.60

000

0.80

000

1.00

000

1.20

000

54

32

10

Nu

mar

de p

asi

ram

asi

w(nnnn-k), S

viab

ilita

te 1

ele

men

t

entr

opie

1 e

lem

ent

viab

ilita

te s

iste

m

entr

opie

sis

tem

viab

ilita

te 1

ele

men

t

viab

ilita

te s

iste

m

entr

opie

sis

tem

entro

pie

1 el

emen

t


138

Din analiza graficului din Fig. 6-11 şi a tabelului Tabelul 9-4 (v. Anexe), se observă că dacă utilizăm ca indicator de risc entropia, aceasta este mult mai redusă în cazul aplicării acestei redundanţe decât pentru cazul unui singur element, ceea ce confirmă faptul că redundanţa este o măsură ce reduce foarte mult RISCUL.

Aşa cum am văzut în exemplele precedente în care am analizat sisteme redundante, evoluţia sistemului este analizată prin funcţia de viabilitate ce se

calculează cu relaţia elementelementelementsistem kwkwkwkw )()(3)(3)(

32 −+−⋅−−⋅=− νννν .

În Tabelul 9-4 (v. Anexe) se poate observa că entropia elementului ajunge foarte aproape de entropia maximă în pasul 4, atingând valoare de 0,36787. In acest moment, elementul mai poate îndeplini cerinţele funcţionale încă un pas până la atingerea valorii entropiei maxime e

1− după care apare tranziţia în starea absorbantă. Valorile pentru entropie şi viabilitate ale sistemului în pasul 4 ne arată că acesta ar putea să îşi continue evoluţia. Întrebarea care poate pune este câţi paşi mai poate evolua? Răspunsul este, conform [83] şi celor arătate în capitolul 6.2.2, că sistemul nu poate exista mai mult decât elementele sale componente. Cu alte cuvinte, sistemul va ajunge în pasul 4 la o valoare a entropiei apropiată de valoarea maximă e

1− după care urmează încă un pas până la atingerea

valorii maxime e1− urmând să treacă în starea de nesatisfacere a cerinţelor

funcţionale.

6.3.5. Optimizarea unei instalaţii electrice de distribuţie de tipul n = 3, α = 2

Un alt exemplu de sistem redundant este cel format dintr-un număr de 3

elemente, din care 2 trebuie să fie în stare de funcţionare pentru îndeplinirea cerinţelor de funcţionare.

Plecând de la acest lucru vom analiza în continuare un post de transformare format din 3 transformatoare identice din punctul de vedere al fiabilităţii, din care sunt suficiente să funcţioneze doar 2. În acest caz, schema logică de fiabilitate este cea fin Fig. 6-12.

Fig. 6-12. Schema logică de fiabilitate pentru un post de transformare de tip n = 3, α = 2

�tim că toate cele trei transformatoare sunt identice din punctul de vedere al fiabilităţii şi fiecare are durata medie de funcţionare egală cu m = 5 ani.

Utilizând metodologia de calcul propusă în lucrare putem calcula viabilitatea sistemului, entropia sistemului şi riscul sistemului.

TR1

TR2

TR3


139

În Tabelul 9-5 (v. Anexe) şi graficul din Fig. 6-13, am analizat care este evoluţia sistemului fată de cea a unui singur element utilizând metodologia de calcul propusă în capitolul 6.2.1.

Fig. 6-13. Graficul caracteristicilor unui post de transformare cu transformatoare identice de tip n = 3, α = 1

0.00

000

0.10

000

0.20

000

0.30

000

0.40

000

0.50

000

0.60

000

0.70

000

0.80

000

0.90

000

1.00

000

54

32

10

Nu

mar

de

pas

i ra

mas

i

w(nnnn-k), S, r(nnnn-k)

viab

ilita

te 1

ele

men

t

entro

pie

1 el

emen

t

risc

1 el

emen

t

viab

ilita

te s

iste

m

entro

pie

sist

em

risc

sist

emvi

abili

tate

1 e

lem

ent

entro

pie

1 el

emen

t

risc

1 el

emen

t

viab

ilita

te s

iste

m

entro

pie

sist

em

risc

sist

em


140

Aşa cum am văzut în exemplele precedente în care am analizat sisteme redundante, şi în acest caz, evoluţia sistemului, analizată prin funcţia de viabilitate,

se calculează cu relaţia elementelementsistem kwkwkw )(2)(3)(

32 −⋅−−⋅=− ννν , iar

pentru evoluţia unui singur element cu relaţia ek

elkw−−

=−ν

ν/1

)( .

Analizând graficul din Fig. 6-13 şi a tabelului Tabelul 9-5 (v. Anexe), se observă că funcţia de viabilitate a sistemului este mai mare decât funcţia de viabilitate a unui singur element, iar riscul în cazul sistemului este mai mic decât riscul unui singur element. Se mai poate observa că şi în acest caz entropia maximă a sistemului se atinge după pasul 4, la fel ca şi entropia maximă a unui element, instalaţia parcurgând încă un pas până la atingerea entropiei maxime pentru ca apoi să treacă în starea nerecurentă.

�i în acest caz se observă că redundanţa sistemului are ca scop reducerea riscului de defectare a instalaţiei, cu consecinţe economice importante.

6.3.6. Optimizarea schemei de automatizare pentru pornirea stea-triunghi a unui motor trifazat

O altă aplicaţie interesantă este optimizarea unei instalaţii de automatizare

pentru pornire stea-triunghi a unui motor electric trifazat. Mai jos este prezentată schema desfăşurată pentru pornirea stea-triunghi a

unui motor electric trifazat.

Fig. 6-14. Schema desfăşurată electrică pentru pornirea stea-triunghi a unui motor trifazat

k2 k2 k1

k3

dt

o

p

k2

e4

e5

M

e1..e3

e4

k1=kL k3=k

k2=kY

1

2 3 N

PE

K2 Dt K1 K3

k1


141

În continuare voi analiza caracteristicile acestui sistem plecând de duratele de viaţă ale elementelor componente: - bobinele contactoarelor mK1 = mK2 = mK3 = 10 * 106 cicluri

- contactele contactoarelor mk1 = mk2 = mk3 = 3 * 106 cicluri

- butoanele cu revenire (ON/OFF) mO = mP = 2 * 106 cicluri

- bobinele contactoarelor mK1 = mK2 = mK3 = 3 * 106 cicluri

- bobina releului de timp mDt = 1 * 108 cicluri

- contactele releului de timp mdt = 3 * 106 cicluri

Duratele de viaţă ale elementelor componente din schema de automatizare sunt preluate din cataloagele firmei Schneider Electric România [81] ,[85] şi [86]. Pentru aplicarea metodei actuale pentru determinarea duratei de viaţă a instalaţiei de automatizare pentru pornirea stea-triunghi a unui motor electric trifazat, este necesară întocmirea schemei logice de fiabilitate (v. Fig.6-15).

Fig.6-15 . Schema logică de fiabilitate pentru schema de automatizare din Fig. 6-14 O observaţie ce trebuie făcută este legată de faptul că în calculul duratei de viaţă a schemei de automatizare au fost luate în considerare numai elementele ce compun strict partea de automatizare a acesteia şi nu elementele ce protejează schema, ele putând fi analizate separat pentru un alt scop (o altă cerinţă funcţională). De aceea în schema logică de fiabilitate nu sunt incluse siguranţa fuzibilă e5 şi contactul normal închis al releului termic e4.

Utilizând relaţia

∑=

=13

1

1

i

i

m

λ

din teoria actuală rezultă că durata medie de viaţă a

schemei de automatizare este m = 293272,332 cicluri. Dacă considerăm un număr de 20 cicluri/zi, durata medie de funcţionare va fi:

m = 14663,616 zile = 40,17 ani. Aşa cum am văzut şi din exemplele precedente, această valoare corespunde cu valoarea lui ν din definiţia viabilităţii. Dacă alegem pasul an 1=τ , putem întocmi şi graficul din Fig. 6-16.

P O K1 K2 K3 k1 k1

k2 k2 k2 k3 Dt dt


142

Fig. 6-16. Graficul caracteristicilor schemei de automatizare a pornirii stea-triunghi a unui motor electric trifazat

0.00

000

0.20

000

0.40

000

0.60

000

0.80

000

1.00

000

1.20

000 40

.17

38.2

36.1

734

.17

32.1

730

.17

28.1

726

.17

24.1

722

.17

20.1

718

.17

16.1

714

.17

12.1

710

.17

8.17

6.17

4.17

2.17

Nu

mar

de p

asi

ram

asi

R(t), w(nnnn-k), r(nnnn-k), S

fiabi

litat

ea

viab

ilita

tea

risc

fiabi

litat

e

risc

viab

ilita

te

entr

opie

fia

bilit

ate

entr

opie

via

bilit

ate

fiabi

litat

ea

viab

ilita

tea

risc

fia

bilit

ate

entr

opie

fia

bilit

ate

risc

via

bilit

ate

entr

opie

via

bilit

ate


143

Din analiza tabelului Tabelul 9-6 (v. Anexe) şi graficului din Fig. 6-16 se constată că riscul calculat cu funcţia de viabilitate este mai mic cu 4% până la 40% decât cel calculat cu metodologia actuală, cu excepţia primilor doi paşi în care metodologia actuală presupune o probabilitate iniţială egală cu unu ceea ce nu poate fi luat în considerare. În modelarea matematică modernă (procese stohastice finite) dintr-o stare cu probabilitate unu nu se mai poate ieşi, nu se mai poate evolua.

Înainte de ultimul pas riscul calculat cu metoda propusă în lucrare creşte foarte mult, comparativ cu riscul calculat prin metodologia actuală.

O altă constatare ne oferă compararea curbelor de variaţie a riscului calculat cu funcţia de fiabilitate şi curba entropiei calculată tot cu funcţia de viabilitate (vezi şi coloanele 5 şi 7 din Tabelul 9-6 (v. Anexe)). Se observă că riscul creşte cu creşterea entropiei, diferenţele fiind mici, aproape neglijabile, astfel încât entropia poate fi considerată un indicator de risc.

Unul din scopurile noastre este să găsim soluţia optimă, respectiv cea mai bună fiabilitate cu cele mai mici costuri. Aşa cum am afirmat în exemplul din subcapitolul 6.3.1, soluţia cea mai bună este ca duratele de viaţă ale elementelor componente ale instalaţiei să fie aproximativ egale şi egale la rândul lor cu durata de viaţă cerută de client. În exemplul prezentat, este îndeplinită cerinţa ca duratele de viaţă a elementelor componente să fie aproximativ egale, rămânând ca aceasta să fie egală şi cu durata de viaţă cerută de client.

Acest exemplu vine în sprijinul susţinerii propunerii ca entropia, calculată cu funcţia de viabilitate, să poată fi considerată ca indicator de risc.

6.4. Creşterea fiabilităţii instalaţiilor prin rezervare

Rezervarea se întâlneşte foarte des în natură, plantele şi animalele fiind un exemplu în acest sens prin aceea că la defectarea, încetarea din viaţă, a unui număr relativ mare de celule vii, activitatea vitală continuă să se desfăşoare. Se poate spune că durata medie de viaţă a organismului viu este mai mare decât durata medie de viaţă a celulelor separate din care este constituit, iar acest fapt se poate obţine, numai prin rezervare. Aspectele rezervării în natură sunt insuficient studiate în prezent. Se poate aprecia că aprofundarea acestor probleme va oferii noi soluţii pentru rezolvarea calitativ superioară a unor probleme tehnice complexe.

În cazul instalaţiilor şi în special în cazul instalaţiilor electrice şi de automatizare cu scheme logice de fiabilitate de tipul “paralel” existenţa şi nivelul de rezervare rezultă imediat din schema electrică, dacă se precizează condiţiile necesare pentru asigurarea stării de funcţionare a instalaţiei electrice. În cazul instalaţiilor electrice şi de automatizare mai complexe, a căror schemă logică de fiabilitate nu este şi nici nu se poate reduce la o schemă cu structuri numai de tipul serie sau paralel, deşi existenţa rezervării este uneori evidentă, nivelul de rezervare este mai dificil de determinat, fiind necesar să se analizeze toate stările posibile ale instalaţiei electrice sau, în cazurile în care condiţiile specifice ale problemei permit, să se utilizeze procedeul grupurilor de defectare. În astfel de cazuri schema logică de fiabilitate are o rezervare intrinsecă al cărui nivel trebuie determinat şi care este de obicei diferit funcţie de punctul din schemă şi de modul în care se defineşte cerinţa funcţionala a instalaţiei electrice.

Rezervarea unei instalaţii electrice şi de automatizare poate fi totală sau parţiala. Un exemplu clasic în acest sens îl constituie două transformatoare electrice


144

de forţă, fiecare putând asigura 100% puterea solicitata de consumatori. Dacă aceste transformatoare sunt racordate la aceeaşi sursa de energie electrică, avem de a face cu o rezervare parţiala (numai a transformatoarelor) iar dacă sunt racordate la surse de alimentare diferite, rezervarea instalaţiei de alimentare cu energie electrica a consumatorilor este totală.

În Fig. 6-17 este reprezentată o schemă logică de fiabilitate cu rezervare totală, iar în Fig. 6-18 este reprezentată o schemă logică de fiabilitate cu rezervare parţială.

Fig. 6-17. Schema logică de fiabilitate cu rezervare totală

Fig. 6-18. Schema logică de fiabilitate cu rezervare parţială

O formă aparte de rezervare este rezervarea autonomă care constă în

prevederea unor instalaţii independente pentru realizarea unei funcţii specificate. Rezervarea autonomă se utilizează în cazurile în care realizarea unei anumite funcţiuni de către o instalaţie electrică are o importanţă deosebit de mare (măsurarea şi controlul unor parametrii în centrala nucleară). În acest caz se prevăd mai multe instalaţii de măsurare complet separate pentru aceiaşi parametrii, fiecare instalaţie având traductoare, înregistratoare şi surse de alimentare proprii, toate instalaţiile fiind permanent în funcţiune.

În Fig. 6-19 a), b) şi c) şi în Fig. 6-20 sunt reprezentate pentru comparaţie diferite variante posibile de scheme logice de fiabilitate cu rezervare totală sau parţială.

a)

1 2 n

n’ 2’ 1’

1 2 3 4

4’ 2’

1 2 m

n

2

1


145

b)

c)

Fig. 6-19. Scheme logice de fiabilitate cu rezervare totală

Fig. 6-20. Schemă logică de fiabilitate cu rezervare parţială

În cazul funcţionarii fără restabilire, funcţia de fiabilitate Rs(t) a schemei din

Fig. 6-19 se poate exprima în funcţie de fiabilitatea elementelor componente cu ajutorul relaţiei:

n

m

i

is tRtR

−−= ∏

=1

)(11)( 6-5

Pentru cazul n = 2 avem:

1

2

b a = m - b

b a

b a


146

2

1

)(11)(

−−= ∏

=

m

i

is tRtR 6-6

În mod analog, pentru schema din Fig. 6-19.a) se obţine funcţia de fiabilitate:

2b

1j

2j

a

1iis })]t(R[1{)t(R111)t(R

−

−−−= ∏∏

==

6-7

Pentru schema din Fig. 6-19.c) funcţia de fiabilitate are forma:

∏ ∏= =

−−=

a

i

b

jjis )t(R)t(R)t(R

1

2

1

11 6-8

In cazul în care elementele din schemă se supun funcţie exponenţiale atunci

relaţiile (6-5), (6-7) şi (6-8) devin:

2

111

∑−−= =

λ−m

iit

s e)t(R 6-9

( )2

1

2

1111 1

−−∑

−−= ∏=

λ−λ−

=

b

j

tt

sj

m

ii

ee)t(R 6-10

∑−−

∑= ==

λ−λ−

2

11 11

b

jj

m

ii

tt

s ee)t(R 6-11

Pentru schema din Fig. 6-20 funcţia de fiabilitate este:

−−

−−= ∏∏

==

2

11

1111b

jj

a

iis )t(R)t(R)t(R 6-12

iar pentru elementele cu fiabilitate exponenţială

∑−−

∑−−= ==

λ−λ−

2

11 1111

b

jj

a

ii

tt

s ee)t(R 6-13

Se observă că valorare funcţiei de fiabilitate din relaţia (6-11) este mai mică


147

decât cea din relaţia (6-10) dar mai mare decât cea corespunzătoare schemelor din figurile Fig. 6-19.a) şi Fig. 6-20.

Din analiza funcţiilor de fiabilitate rezultă că schema din Fig. 6-19.b) realizează cea mai mare creşterea de fiabilitate cu cheltuieli minime.

Valorare funcţiei de fiabilitate din relaţia (6-13) este mai mică decât cea din relaţia (6-10)) dar mai mare decât cea din relaţia (6-9). Pentru instalaţii electrice care funcţionează cu restabilire este foarte util să se analizeze fiabilitatea instalaţiei electrice, luându-se în considerare trei tipuri distincte de rezervare cunoscute în literatura de specialitate sub denumirea de rezervare activă, semiactivă şi pasivă. Rezerva activa este cea care se afla în aceleaşi condiţii de funcţionare, de solicitare, ca şi elementul rezervat. Rezerva activă preia în timp neglijabil funcţia elementului de bază (exemplu: anclanşarea automată a rezervei AAR). Aceasta se justifică pentru situaţii în care sunt exigenţe mari în ceea ce priveşte siguranţa în funcţionare. Rezerva semiactivă este supusă la solicitări mai reduse decât elementul rezervat, se află în aşa zise condiţii de lucru uşurate. Exemple clasice de rezervare semiactivă sunt: o pompă este pregătită pentru preluarea funcţiei în cazul în care elementul de bază se avariază; pornirea unui grup generator Diesel pentru menţinerea în funcţiune a serviciilor interne în cazul în care alimentarea acestora de la sursa de bază este compromisă datorită unor stări de avarie. În aceste condiţii, intensitatea de defectare a elementului în rezervă este mai mică decât intensitatea sa de defectare în condiţii normale de exploatare. Dacă în cazul rezervei active intensitatea de defectarea a elementului de rezervă este λ, în cazul rezervei semiactive λ’ < λ. Acest avantaj al acestui tip de rezervare este diminuat uneori de dezavantajul datorat duratei relativ mari de comutare a rezervei. Rezerva pasivă constituie o rezervă nepregătită pentru intrarea în funcţiune imediată în mod operativ. În cazul rezervei pasive se considera λ’ = 0. Tranziţia de la starea de aşteptare la starea operantă necesită un interval de timp până la realizarea parametrilor regimului nominal, uneori chiar de ordinul orelor. Un exemplu în acest sens poate fi pornirea unui cazan de apă fierbinte pentru furnizarea energiei termice în reţeaua de termoficare. Stări posibile ale unei instalaţii compusă din două elemente din care unul este rezerva semiactivă a celuilalt sunt descrise în Tabelul 6-2.

Tabelul 6-2 Elementul

Starea 1 2 Starea sistemului

1 F Rsa F 2 F D F 3 D F F 4 D D D 5 Rsa F F

unde F reprezintă starea de funcţionare; D – starea de defect; Rsa – starea de rezervă semiactivă.

Evident, mulţimile stărilor de funcţionare şi de defect ale sistemului vor fi:


148

F = {1,2,3,5} D = {4}

Considerând elementele identice cu intensitatea de defectare λ în starea de funcţionare şi λ’ în starea de rezervă semiactivă şi intensitatea de restabilire µ, rezultă graful intensităţilor de tranziţie prezentat în Fig. 6-21.

Fig. 6-21. Graful intensităţilor de tranziţie

Aplicând procedeul de modelare a funcţionării instalaţiilor prin procese stohastice de tip Markov prezentat în capitolul 3.3.5.1, rezultă sistemul:

∑=

=

=⋅

n

ii

iji

p

qp

1

1

0

În acest caz

1

0

00

020

00

00

00

54321

54321

=++++

=

λ+λ−λλ

µ−µµ

µλµ+λ−

λµ+λ−µ

λλλ+λ−

⋅

ppppp

)'('

)(

)(

')'(

ppppp

sau

1

3

2

4

5

λ’

λ

λ

λ λ

µ µ

µ


149

1

0

02

0

0

0

54321

53

432

5431

5421

21

=++++

=λ+λ−µ

=µ−λ+λ

=λ+µ+µ+λ−λ

=λ+µ+µ+λ−λ

=µ+λ+λ−

ppppp

p)'(p

ppp

p'pp)(p

ppp)(p'

pp)'(

Alegând patru din primele cinci şi a şasea ecuaţie (pentru compatibilitate) se găseşte:

2422 µ+µ+λλ+λ

λ+λλ=

))('(

)'(p

si rezulta disponibilitatea sistemului

2422

211

µ+µ+λλ+λ

µ+λ+λµ=−=−== ∑∑

∈∈ ))('(

)'(pppA

Rll

Fkk 6-14

respectiv numărul mediu de defectări conform [37]

t)pp(t)ppp(0p

t)pqpqpqpq(tpq)t(

1

Fk Dlkkl

52532

554334224114

0 +λ=+λ+λ+=

=+++==ν ∑∑∈ ∈

Din sistemul de ecuaţii de mai sus se găseşte că:

432

2ppp

λ

µ=+

rezultă

t))('(

)'()t(

222

2

µ+µ+λλ+λ

λ+λλµ=ν 6-15

În consecinţă se pot determina parametrii echivalenţi ai sistemului format, astfel:

µ+λ+λ

λ+λλ=

ν=λ

')'(

At)t(

e 6-16

µ=

−

λ=

−

λ=µ 2

111

AAA ee

e 6-17


150

Trebuie remarcat faptul că: � pentru λ’ < λ se obţine cazul rezervei active, iar relaţia (6-16) devine:

µ+λ

λ=λ

2

22

e 6-18

� pentru λ’ = 0 se obţine cazul rezervei pasive şi relaţia (6-16) devine:

µ+λ

λ=λ

2

e 6-19

Se constata ca pentru µe nu are importanţă felul de rezervare (µe nu depinde de λ’) ceea ce era de aşteptat. Dintre cele trei tipuri de rezervare, cei mai buni indicatori de fiabilitate, conform relaţiilor de mai sus, se obţin în cazul rezervei pasive, urmată de rezerva semiactivă şi activă. Această concluzie este însă valabilă numai în cazul în care durata de intrare în funcţiune a rezervei pasive sau semiactive poate fi neglijată ca influenţă asupra indicatorilor de fiabilitate, respectiv asupra daunelor produse la consumatori prin nonfiabilitate. În cazurile în care durata de intrare în funcţiune a rezervei nu poate fi neglijată, trebuie determinată durata medie totală de manevre prin înmulţirea numărului mediu de întreruperi în urma manevrelor cu durata medie a unei manevre. Numărul mediu de întreruperi în urma manevrelor se poate determina la fel ca numărul mediu de întreruperi urmate de restabilire prin reparare sau înlocuire, ν(t), prin însumare, în acest caz, a produselor dintre probabilităţile absolute ale stărilor din care se face trecerea, în starea în care se revine prin manevră cu instalaţiile de tranziţie corespunzătoare. În acest fel se poate stabili pentru fiecare caz în parte, care tip de rezervare este mai avantajos.

6.5. Optimizarea sistemelor complexe. Comparaţie între metodele aproximative simplificate şi metodele clasice de calcul al fiabilităţii

Instalaţiile moderne reprezintă ansambluri de elemente funcţionale interconectate cu o multitudine de legături care conduc la caracterizarea acestor instalaţii prin niveluri ridicate de complexitate.

Referindu-ne la fiabilitatea instalaţiilor în general, încă din faza de cercetare – proiectare, indicatorii de fiabilitate fac obiectul unor analize în scopul optimizării soluţiilor. Fiabilitatea unei instalaţii moderne înregistrează valori ridicate datorită, pe de o parte, fiabilităţii mari a modulelor constituente ale instalaţiei şi pe de altă parte realizării unor scheme tehnologice cu structuri fiabilistice adecvate.

Calculul probabilităţii de funcţionare a acestor instalaţii necesită de regulă rezolvarea unui număr mare de ecuaţii, ceea ce se poate dovedi uneori incomod chiar şi pentru calculatoarele electronice. De aceea, pentru reducerea timpului de calcul se folosesc deseori metode aproximative simplificate [33], [37], [14].

În cele ce urmează ne vom referi la metode aproximative simplificate pentru determinarea funcţiei de fiabilitate pentru instalaţii complexe, datorită rezultatelor


151

interesante pe care acestea le oferă, comparativ cu metoda clasică a soluţiei generale.

În scopul simplificării şi clarificării ideilor voi considera două exemple. Primul exemplu este cel al uneia din cele mai simple şi cunoscute structuri

pentru o instalaţie tehnologică complexă, structura de tip punte a cărei schemă logică de fiabilitate este prezentată în Fig. 6-22.

Fig. 6-22 Schema logică de fiabilitate de tip punte

Pentru simplitatea analizei, se consideră că elementele ce alcătuiesc schema logică de fiabilitate au aceeaşi probabilitate de funcţionare fără defectare, altfel spus sunt identice din punct de vedere al fiabilităţii.

Metoda soluţiei generale (SG1) pentru analiza fiabilităţii instalaţiilor fără restabilire, presupune descrierea tuturor stărilor posibile prin care poate trece sistemul, ţinând seama de stările de funcţionare sau de defect a elementelor componente ale instalaţiei. Funcţia de fiabilitate a sistemului rezultă prin însumarea probabilităţilor stărilor de funcţionare din mulţimea stărilor posibile [37].

Astfel în Tabelul 6-3 se poate vedea analiza stării sistemului în funcţie de starea fiecărui element în parte.


Starea

1 2 3 4 5 Starea

sistemului Probabilitatea

stării

0 F F F F F F R1 R2 R3 R4 R5

1 D F F F F F Q1 R2 R3 R4 R5

2 F D F F F F R1 Q2 R3 R4 R5

3 F F D F F F R1 R2 Q3 R4 R5

4 F F F D F F R1 R2 R3 Q4 R5

5 F F F F D F R1 R2 R3 R4 Q5

6 D D F F F D Q1 Q2 R3 R4 R5

7 D F D F F F Q1 R2 Q3 R4 R5

8 D F F D F F Q1 R2 R3 Q4 R5

1

2

3

4

5


152

Elementul

Starea

1 2 3 4 5 Starea

sistemului Probabilitatea

stării

9 D F F F D F Q1 R2 R3 R4 Q5

10 F D D F F F R1 Q2 Q3 R4 R5

11 F D F D F F R1 Q2 R3 Q4 R5

12 F D F F D F R1 Q2 R3 R4 Q5

13 F F D D F F R1 R2 Q3 Q4 R5

14 F F D F D F R1 R2 Q3 R4 Q5

15 F F F D D D R1 R2 R3 Q4 Q5

16 D D D F F D Q1 Q2 Q3 R4 R5

17 D D F D F D Q1 Q2 R3 Q4 R5

18 D D F F D D Q1 Q2 R3 R4 Q5

19 D F D D F F Q1 R2 Q3 Q4 R5

20 D F D F D D Q1 R2 Q3 R4 Q5

21 D F F D D D Q1 R2 R3 Q4 Q5

22 F D D D F D R1 Q2 Q3 Q4 R5

23 F D D F D F R1 Q2 Q3 R4 Q5

24 F D F D D D R1 Q2 R3 Q4 Q5

25 F F D D D D R1 R2 Q3 Q4 Q5

26 D D D D F D Q1 Q2 Q3 Q4 R5

27 D D D F D D Q1 Q2 Q3 R4 Q5

28 D D F D D D Q1 Q2 R3 Q4 Q5

29 D F D D D D Q1 R2 Q3 Q4 Q5

30 F D D D D D R1 Q2 Q3 Q4 Q5

31 D D D D D D Q1 Q2 Q3 Q4 Q5

Conform relaţiei:

∑∈∀

=Fk

ke PtR)(

)(

funcţia de fiabilitate a instalaţiei este:

)(2)(5)(2)(2)( 54321 tRtRtRtRtR SGe +−+= 6-20


153

Este cunoscut că metoda grupurilor de defectare (GD) este un procedeu specific pentru analiza fiabilităţii instalaţiilor complexe. Eficienţa acestui procedeu constă în aplicarea unei ipoteze simplificatoare conform căreia se pot neglija probabilităţile ca într-un interval de timp mic, dar finit, să fie în stare de defect mai mult de două elemente ale schemei.

Aplicarea acestui procedeu de calcul presupune întocmirea matricei grupurilor de defectare aşa cum este prezentat în Tabelul 6-4 şi întocmirea schemei echivalente de calcul prezentată în Fig. 6-23.

Tabelul 6-4 1 2 3 4 5

1 X

2

3

4 X

5

Fig. 6-23. Schema echivalentă de calcul aferentă schemei din Fig. 6-22

Aplicarea relaţiilor pentru determinarea funcţiei de fiabilitate a instalaţiei aşa cum este arătat în [64], conduce la funcţia de fiabilitate a instalaţiei de forma:

)()(4)(4)( 432 tRtRtRtR GDe +−= 6-21

Metoda drumurilor extremale (DE) presupune analiza schemei logice de fiabilitate a instalaţiei şi determinarea traseelor minime ale acestei scheme.

Aplicând această metodă, drumurile extremale aferente schemei logice de fiabilitate din Fig. 6-22 sunt:

d1: 1 – 4;

d2: 1 – 3 – 5;

d3: 2 – 5;

d4: 2 – 3 – 4.

1

2

4

5


154

Conform [33], aplicarea acestei metode conduce la următoarea formă a funcţiei de fiabilitate a instalaţiei:

)(2)(5)(2)(2)( 5432 tRtRtRtRtR DEe +−+= 6-22

Metoda alternativă la metoda soluţiei generale a fost elaborată de către colectivul de Fiabilitate al Catedrei de Electrotehnică din cadrul UTCB sub conducerea dl. prof. univ. dr. ing. Alexandru STAMATIU. Această metodă o voi numi metoda simplificată a soluţie generale sau soluţia generală 2 (SG2).

Metoda a fost obţinută prin aplicarea ipotezei neglijării probabilităţii ca la un moment dat să fie în stare de defect mai mult de două elemente ale schemei [61].

Este o metodă care reduce numărul de stări care trebuie luate în considerare în analiza de fiabilitate, reducerea fiind cu atât mai mare cu cât numărul elementelor relevante ale instalaţiei este mai mare. Astfel, dacă pentru un sistem compus din 5 elemente reducerea numărului de stări care trebuie analizate este de 50% (aşa cum se poate observa din Tabelul 6-3), pentru un sistem compus din 7 elemente reducerea este de 77%, pentru un sistem compus din 8 elemente reducerea este de 85%, iar pentru 10 elemente reducerea este de 94% ş.a.m.d. ceea ce constituie un avantaj considerabil.

Relaţia de calcul pentru exemplul considerat aplicând acest procedeu este:

)(8)(11)(4)( 3452 tRtRtRtR SGe +−= 6-23

Obţinerea celor patru relaţii de calcul a funcţiei de fiabilitate a instalaţiei prin cele patru metode diferite de calcul presupune clarificarea următoarelor aspecte:

- Cunoscând faptul că metoda soluţiei generale (SG1) este considerată ca “metoda exactă”, rezultatele oferite de celelalte metode pot fi utilizate în calculele de proiectare şi optimizare a instalaţiilor?

- Dacă răspunsul la întrebarea de mai sus este afirmativ trebuie precizate condiţiile (restricţiile) în care poate fi utilizată fiecare metodă aproximativă.

- Pe baza experienţei şi a clarificării celor de mai sus este util şi necesar să se elaboreze unele recomandări cu referire la cazurile în care este mai eficientă folosirea uneia sau alteia dintre cele patru metode.

În acest scop am întocmit Tabelul 9-7 (v. Anexe) în care sunt prezentate valorile funcţiei de fiabilitate echivalentă, obţinută conform relaţiilor (6-20), (6-21), (6-22) şi (6-23) corespunzător celor patru metode, pentru valori ale variabilei independente R(t) cuprinse în intervalul [0,8; 0,999]. În ultima coloană sunt prezentate valorile erorii relative de aproximaţie în % între valorile obţinute prin metoda grupurilor de defectare faţă de metoda “exactă” a soluţiei generale. Se observă că aceste erori sunt neglijabile în calculele ingineriei fiabilităţii instalaţiilor, fiind practic nule pentru fiabilitatea elementelor componente mai mare decât 0,99, sub 0,2% pentru domeniul [0,9; 0,99] ajungând la 1,1236% pentru fiabilitatea elementelor componente egală cu 0,8, valoare mult sub cele uzuale. În detaliu aceste aspecte sunt reflectate în figurile Fig. 9-1, Fig.9-2 şi Fig.9-3 în care sunt reprezentate grafic funcţiile de fiabilitate echivalente pentru cele patru metode şi trei intervale de valori [0,8; 0,9], [0,9; 0,99] şi [0,99; 0,999].


155

În Fig. 9-4 este prezentat graficul variaţiei erorii relative de aproximare în cazul determinării funcţiei echivalente de fiabilitate pentru structura din Fig. 6-22 prin procedeul grupurilor de defectare. Nu am considerat necesar să analizez acest aspect şi pentru soluţia oferită de metoda SG2 deoarece în acest caz este evident că SG2 oferă o aproximare pesimistă faţă de SG1 în toate cazurile, iar nivelul erorii rezultă din graficele din figurile Fig. 9-1, Fig.9-2 şi Fig.9-3. Un alt exemplu este cel al unei scheme de alimentare cu energie electrică a unui consumator, schemă cu o structură de asemenea complexă, este prezentată în Fig. 6-24.

Fig. 6-24. Schema tehnologică de alimentare cu energie electrică a unui consumator

Ca şi în exemplul precedent, vom aplica cele patru metode de calcul pentru determinarea funcţiei de fiabilitate a instalaţiei, iar pentru simplificarea analizei voi considera că elementele sunt identice din punctul de vedere al fiabilităţii.

Aplicând metoda soluţiei generale (SG1),analizând toate stările posibile prin care trece sistemul, conform celor arătate în [64], funcţia de fiabilitate a instalaţiei este:

53

1 )()(2)( tRtRtR SGe −= 6-24 Metoda grupurilor de defectare (GD), presupune simplificarea schemei

tehnologice cu ajutorul relaţiilor de echivalenţă după care prin întocmirea matricei grupurilor de defectare se poate alcătui schema logică de fiabilitate. În urma transfigurărilor care pot simplifica si mai mult această schemă logică de fiabilitate şi aplicând formulele de calcul prezentate în [37] şi [49], rezultă funcţia de fiabilitate de forma:

53 )()(2)( tRtRtR GDe −= 6-25

M

C1

Î1

S3 S2 S1

B2

B1

S4

1


156

Pentru a utiliza metoda drumurilor extremale (DE), trebuie alcătuită schema logică de fiabilitate (v. Fig. 6-25.) identică din punct de vedere al interconexiunilor elementelor componente cu cea funcţională din Fig. 6-24.

Fig. 6-25.Schema logică de fiabilitate aferentă metodei drumurilor extremale

Se analizează drumurile extremale şi astfel rezultă:

d1: B1 – S2 – 1; d2: B2 – S3 – 1.

Aşa cum este arătat în [64], funcţia de fiabilitate a instalaţiei este:

53 )()(2)( tRtRtR DEe −= 6-26

Aplicarea metodei soluţiei generale simplificate (SG2) conduce la analiza a numai 22 de stări posibile a instalaţiei din totalul de 64 de stări aşa cum au trebuit analizate în cazul metodei soluţiei generale (SG1). Se poate constata o reducere a volumului de calcul considerabilă în cazul acestei metode.

Pentru exemplificare în continuare am prezentat în Tabelul 6-5 analiza stărilor sistemului în funcţie de starea elementelor.


Starea B1 B2 S1 S2 S3 1

Starea sistemului

Probabilitatea stării

0 F F F F F F F R1 R2 R3 R4 R5 R6

1 D F F F F F F Q1 R2 R3 R4 R5 R6

2 F D F F F F F R1 Q2 R3 R4 R5 R6

3 F F D F F F F R1 R2 Q3 R4 R5 R6

4 F F F D F F F R1 R2 R3 Q4 R5 R6

5 F F F F D F F R1 R2 R3 R4 Q5 R6

6 F F F F F D D R1 R2 R3 R4 R5 Q6

7 D D F F F F D Q1 Q2 R3 R4 R5 R6

8 D F D F F F F Q1 R2 Q3 R4 R5 R6

B2

S1

S3

B1

1

S2


157

Elementul

Starea B1 B2 S1 S2 S3 1

Starea sistemului

Probabilitatea stării

9 D F F D F F F Q1 R2 R3 Q4 R5 R6

10 D F F F D F D Q1 R2 R3 R4 Q5 R6

11 D F F F F D D Q1 R2 R3 R4 R5 Q6

12 F D D F F F F R1 Q2 Q3 R4 R5 R6

13 F D F D F F D R1 Q2 R3 Q4 R5 R6

14 F D F F D F F R1 Q2 R3 R4 Q5 R6

15 F D F F F D D R1 Q2 R3 R4 R5 Q6

16 F F D D F F F R1 R2 Q3 Q4 R5 R6

17 F F D F D F F R1 R2 Q3 R4 Q5 R6

18 F F D F F D D R1 R2 Q3 R4 R5 Q6

19 F F F D D F D R1 R2 R3 Q4 Q5 R6

20 F F F D F D D R1 R2 R3 Q4 R5 Q6

21 F F F F D D D R1 R2 R3 R4 Q5 Q6

�tiind că funcţia de fiabilitate a sistemului rezultă prin însumarea

probabilităţilor stărilor de funcţionare din mulţimea stărilor posibile, rezultă că:

4562 )(6)(7)(2)( tRtRtRtR SGe +−= 6-27

Datorită faptului că trei metode folosite în analiza instalaţiei din Fig. 6-24 au avut ca rezultat aceeaşi expresie a funcţiei de fiabilitate, în Tabelul 9-8 (v. Anexe) sunt prezentate valorile funcţiei de fiabilitate echivalentă obţinute prin metoda soluţiei generale (SG1) şi metoda soluţiei generale simplificate (SG2), pentru valori ale variabilei independente R(t) cuprinse în acelaşi interval [0,8; 0,999] ca şi în exemplul anterior. În ultima coloană a tabelului am prezentat valorile erorii relative de aproximative între cele două metode de calcul. Similitudinea formulelor determinate prin metoda soluţiei generale, metoda grupurilor de defectare şi metoda drumurilor extremale, permit ca eroarea relativă de aproximare faţă de metoda soluţiei generale simplificată, prezentată în Tabelul 9-8, să fie aceeaşi în cazul analizei acestei metode cu celelalte două. Aceste aspecte sunt reflectate şi în graficele din figurile Fig. 9-5, Fig. 9-6 şi Fig. 9-7 în care sunt reprezentate grafic funcţiile de fiabilitate echivalente pentru cele două metode de calcul şi trei intervale de valori [0,8; 0,9]; [0,9; 0,99] şi [0,99; 0,999]. În Fig. 9-8 este prezentat graficul variaţiei erorii relative de aproximare în cazul determinării funcţiei echivalente de fiabilitate pentru structura din Fig. 6-24 prin metoda “exactă” a soluţiei generale şi prin metoda simplificată a soluţiei generale.


158

6.6. Optimizarea sistemelor utilizând metoda multiplicatorilor Lagrange

Este un caz particular important şi de foarte mare utilitate în problemele de optimizare din ingineria sistemelor al metodei generale de determinare a maximelor sau minimelor funcţiilor de mai multe variabile. Se refera la valorile maxime sau minime ale unei funcţii supuse la legături.

Fie ),...,,( 21 nxxxfy = 6-28 o funcţie de n variabile care sunt legate între ele prin una sau mai multe relaţii de forma:

0),...,,(

0),...,,(

0),...,,(

21

212

211

=

=

=

np

n

n

xxx

xxx

xxx

ϕ

ϕ

ϕ

M 6-29

astfel încât daca ecuaţiile (6-29) ar fi rezolvate în funcţie de n-p dintre variabile, y ar fi o funcţie de numai n-p variabile independente, de exemplu xp+1, xp+2,…, xp+n. Se pot determina valorile maxime şi minime ale lui y fără a rezolva sistemul (6-29).

Teoria completa a acestei probleme este prezentata în [2, pp . 312 – 321]. Se demonstrează ca soluţia problemei se poate obţine relativ simplu

determinând valorile maxime sau minime ale funcţiei auxiliare.

∑=

+=p

k

nkknn xxxxxxfxxxF1

212121 ),...,,(),...,,(),...,,( ϕλ 6-30

prin anularea diferenţialei totale. ),...,,( 21 nxxxF este o funcţie de n variabile independente, iar λ1, λ2, …, λ3,

sunt parametrii introduşi de noi, numiţi multiplicatorii lui Lagrange. Se obţin n ecuaţii:

∑ ==∂

∂+

∂

∂=

∂

∂),...2,1( 0 ni

xx

f

x

F

i

kk

ii

ϕλ 6-31

care împreuna cu ecuaţiile (6-29) de legătura formează un sistem de n+p ecuaţii cu n+p necunoscute, respectiv valorile lui x1, x2, …, xn corespunzătoare maximului sau minimului funcţiei y şi valorile parametrilor λ1, λ2, …, λp.


159

Exemplu

Sa se găsească maximul funcţiei ∑=

−=n

i

ii ppH1

2log cu condiţia ∑=

=n

i

ip1

1

Fie ∑ ∑= =

+−=n

i

n

i

iii pppF1 1

2log λ

Derivând pe F în raport cu p1, p2, …, pn şi anulând derivatele obţinem sistemul de ecuaţii

),...,2,1( ,0loglog 22 niepi ==++ λ sau

),...,2,1( ,loglog 2 niep i =−−= λ ceea ce ne arata ca extremele (aici maximele) corespund la pi egale intre ele.

Întrucât ∑=

=n

i

ip1

1 rezultă

nppp n

1...21 ====

si entropia maximă a sistemului va fi

nH 2max log= adică entropia maxima, conform lui Shannon, a sistemului cu un număr finit de stări este egală cu logaritmul numărului de stări şi corespunde unor stări echiprobabile. În cazul utilizării formulei ppS ln−= , pentru entropie, maximul acesteia este cunoscut apriori ca inversul numărului lui Euler. Această valoare este de fapt un maximmaximorum care nu poate fi atins, numărul n de stări fiind determinand doar

pentru numărul de termeni din dezvoltarea în serie a lui e

1 care trebuie considerat

în fiecare problemă concretă de optimizare pentru evaluarea entropiei maxime. Această problemă poate constitui obiectul unor cercetări viitoare.

7. CONCLUZII

160

7. CONCLUZII

Cea mai importantă concluzie care rezultă din teza de doctorat este faptul că

principalul obiectiv exprimat explicit în capitolul 2 al lucrării „o nouă abordare a

problemei evaluării duratei de funcţionare” a fost realizat. Această afirmaţie este

confirmată în special de consideraţiile şi soluţiile teoretice din capitolele 6.1 si 6.2 şi

de contribuţiile la optimizarea unor soluţii privind instalaţiile electrice şi de

automatizare cuprinse în capitolul 6.3.

Introducerea noului formalism matematic pentru exprimarea riscului, bazat pe

funcţia de viabilitate în locul funcţiei de fiabilitate, prin implicaţiile sale economice,

conduce la o nouă abordare teoretică (şi practică) a însăşi problemei fiabilităţii

sistemelor şi nu numai a duratei de funcţionare. Durata de funcţionare, pentru care în

lucrare s-a folosit denumirea de durată de viaţă, după modelul din fizică, este doar

una din caracteristicile fiabilităţii, chiar dacă deseori este cea mai importantă. Faţă de

cerinţele actuale ale pieţei, caracteristica de risc a câştigat foarte mult ca importanţă

în ultimele două decenii.

În prezenta teză de doctorat se folosesc pentru prima dată în aplicaţii noile

concepte de „cuantă de timp” şi „viabilitate” elaborate şi publicate în anul 2004 şi

modelul matematic numit „graf entropic canonic” elaborat şi publicat în anul 2008. Cu

ajutorul acestora s-au evoluat durata de viaţă şi riscul în aplicaţiile din capitolul 6.3 şi

s-a confirmat faptul că principiul creşterii entropiei poate conduce direct la previziuni

de mare utilitate practică.

Noua abordare a problemei fiabilităţii a condus la înlăturarea paradoxurilor

care rezultă în teoria actuală, prezentate în capitolul 6.1. Rezultatele oferite de noua

abordare sunt în acord atât cu datele experimentale cât şi cu modul nostru de

gândire în ceea ce priveşte sistemele redundante.

Noua abordare se bazează pe evenimentul „degradare” sper deosebire de

teoria actuală care ia în considerare numai evenimentul „defectare”. Se poate obiecta

faptul că degradarea este un proces şi nu un eveniment. Prima parte a acestei

afirmaţii este adevărată. În modelele bazate pe cuantificarea (nu discretizarea!)

7. CONCLUZII

161

timpului, procesul de degradare nu mai este continuu, ci compus dintr-un sir de

evenimente, de „degradări” succesive.

Noua abordare a condus, ca rezultat al cercetării realizate în scopul elaborării

tezei de doctorat şi nu ca un obiectiv prestabilit, şi la o noua filozofie a riscului.

Riscului tehnic, legat ca formalism matematic de funcţia de fiabilitate a unui sistem, i

s-a asociat un nou formalism în care pur si simplu funcţia de fiabilitate a fost înlocuită

cu funcţia de viabilitate. Au rezultat valori ale riscului mult mai reduse pe durata

evoluţiei sistemului, indiferent de structura sa, cu excepţia valorilor iniţiale.

Comparând curbele de risc şi variaţia entropiei în reprezentările grafice oferite de

programul de calculator, elaborat in acest scop, s-a constatat că există aproape o

coincidenţă pentru prima parte a duratei de viaţă între riscul calculat cu ajutorul

viabilităţii şi entropie. Cu cât sistemul parcurge o durată mai mare din durata sa totală

de viaţă, entropia este depăşita din ce în ce mai mult ca valoare de valorile riscului.

Acest aspect, repetat în cazul fiecărei structuri de sistem analizată, conduce la

posibilitatea formulării ipotezei exprimării matematice a riscului prin entropie. Din

punct de vedere fizic aceasta ipoteza este mai plauzibila decât cea folosita în

formalizarea actuală a riscului tehnic ca funcţie de nonfiabilitate, datorita faptului ca

entropia este asociată cu dezordinea, dezorganizarea, degradarea, noţiuni care pot fi

mai apropiate de „cauza riscului” decât nonfiabilitatea. Se propune pentru acest

formalism matematic prin care riscul coincide cu entropia, denumirea de „risc

entropic”. Este o ipoteză de lucru care nu trebuie neglijată în cercetările viitoare.

O nouă teorie, o nouă abordare a unei probleme, oricât de solid ar fi suportul

pe care este construită, nu poate fi adoptată fără a se răspunde la o întrebare

naturală: ce se întâmplă cu vechea sau actuala teorie (a fiabilităţii instalaţiilor

electrice şi de automatizare în cazul nostru)? Răspunsul este în acest caz simplu şi

clar: teoria actuală trebuie modificată în părţile sale care conduc la rezultate

paradoxale sau chiar absurde. Pornind de la definiţia fiabilităţii care rămâne evident

neschimbată (altfel ar fi vorba de teorii care se referă la lucruri diferite) trebuie

modificate acele caracteristici de fiabilitate şi acele modele matematice care sunt

sursa neajunsurilor prezentate în capitolul 6.1., de fapt trebuie renunţat la

continuitatea timpului! Acest lucru se poate face relativ simplu prin înlocuirea

derivatelor în raport cu timpul cu diferenţe finite. Este cazul definiţiei ratei de

7. CONCLUZII

162

defectare. Noţiunea de intensitate de defectare îşi pierde semnificaţia. Funcţia de

fiabilitate se poate scrie şi pentru timp discontinuu şi, după caz, poate fi înlocuită cu

funcţia de viabilitate. Durata medie de funcţionare se înlocuieşte cu durata de viaţă

care nu se mai poate determina ca integrală în raport cu timpul de la zero la infinit a

funcţiei de fiabilitate ş.a.m.d. Noţiunea de infinit trebuie de asemenea evitată. Toate

aceste modificări pot constitui subiectul unor cercetări viitoare!

Din actuala teză de doctorat se desprind şi alte aspecte de mare importanţă

care pot face obiectul unor cercetări ştiinţifice viitoare:

- aplicaţiile prezentate în capitolul 6 necesită date de intrare în modelul

entropic sub forma unui vector al probabilităţilor iniţiale. Cum se pot

determina aceste probabilităţi? O sursă foarte bună o constituie actualele

bănci de date pentru rata de defectare. În unele cazuri probabilităţile se pot

determina şi direct, pe baza datelor statistice existente pentru diferite

mărimi fizice.

- Corespondenţa între cuantele de timp şi unităţile de timp calendaristic

trebuie analizată pornind de la exemple cunoscute rezolvate prin cele două

metode. Din rezultatele obţinute in teză şi prezentate în anexe se pare că

ar putea exista un grad de nedeterminare în această corespondenţă,

determinat de mărimea cuantei de timp.

- Într-o teză de doctorat precedentă, în acelaşi domeniu al fiabilităţii,

prezentată în cadrul Catedrei de Electrotehnică în anul 2003, a fost tratată

problema variaţiei ratei de defectare echivalente şi a funcţiei de fiabilitate

pentru o schemă complexă, pentru durate mari de timp. Nu s-a putut

determina durata medie de funcţionare. Problema poate fi reluată şi

rezolvată.

- Problemele de fiabilitate, de durată de viaţă, apar pretutindeni. Metodele

de determinare a duratei de viaţă şi a riscului prezentate şi validate de

prezenta teză de doctorat îşi pot găsi aplicaţii imediate în multe alte

domenii dintre care nu trebuie omise instalaţiile energetice, instalaţiile

termice, instalaţiile de alimentare cu apă, fizica, termodinamica la

neechilibru, electrotehnica, biologia, protecţia şi conservarea mediului ş.a.

Toate aceste deschideri spre noi investigaţii se pot adăuga la obiectivele

propuse şi realizate în această lucrare.

8. SINTEZA PRINCIPALELOR CONTRIBUŢII ORIGINALE

163


� Am efectuat o selecţie a metodelor şi modelelor matematice utilizate în optimizarea instalaţiilor electrice şi de automatizare.

Dintre metodele de optimizare mult folosite în trecut pentru optimizarea instalaţiilor electrice şi de automatizare unele trebuie abandonate întrucât nu şi-au mai găsit aplicaţii suficiente în practica actuală, cum sunt de exemplu programarea matematică, atât liniară cât şi cea neliniară, dinamică sau discretă, metoda iteraţiilor succesive care-şi păstrează importanţa in proiectare mai mult pentru dimensionare decât pentru optimizare, metoda servirii în masă, utilizată mult în trecut pentru optimizarea redundanţei pasive ş.a.

� Am contribuit la introducerea unei metode alternative la metoda soluţiei generale, numită metoda simplificată a soluţie generale şi notată (SG2).

În ceea ce priveşte utilizarea metodelor aproximative de calcul a fiabilităţii instalaţiilor, în subcapitolul 6.5 am realizat o comparaţie între patru metode de calcul a funcţiei de fiabilitate şi anume metoda soluţiei generale (SG1), metoda grupurilor de defectare (GD), metoda determinării drumurilor extremale (DE) şi metoda soluţiei generale simplificată (SG2), aplicând aceste metode pe două exemple de calcul. Precizez că metoda soluţiei generale simplificată este o metodă de calcul elaborată de Colectivul de Fiabilitate din cadrul Catedrei de Electrotehnică.

Din exemplele prezentate am desprins următoarele concluzii:

• Toate cele patru metode sunt utilizate în calculul fiabilităţii schemelor de instalaţii complexe.

• Metodele aproximative reprezentate de soluţiile notate GD şi SG2 sunt şi pentru structuri cu componente cu valori ale funcţiei de fiabilitate pentru intervalul de timp cerut de clienţi mai mici de 0,99. Aceste metode se pot utiliza cu precauţia evaluării, în unele cazuri a erorii relative aşa cum s-a procedat în această lucrare.

• În timp ce GD se poate utiliza practic în orice situaţie, ţinând seama de concluziile de mai sus, SG2 este o metodă foarte utilă atunci când numărul de elemente relevante ale schemei este relativ mic (nu mai mare decât 7 elemente).

• Comparând volumul de calcul în toate cele patru variante rezultă că metoda grupurilor de defectare este mai avantajoasă datorită simplităţii şi rapidităţii calculelor, în comparaţie cu metoda soluţiei generale ”exacte” dar şi a metodei soluţiei generale reduse.

• Varianta redusă a metodei soluţiei generale este mai avantajoasă decât varianta “exactă” a aceleiaşi metode datorită diminuării numărului de stări posibile de analizat ale sistemului. Astfel, pentru un sistem compus din 5 elemente reducerea numărului de stări care trebuie analizate este de 50%, pentru un sistem compus din 7 elemente reducerea este de 77%, pentru un sistem compus din 8


164

elemente reducerea este de 85%, pentru 10 elemente reducerea este de 94% ş.a.m.d.

Ca o concluzie generală, atât procedeul grupurilor de defectare cât şi metoda soluţiei generale în varianta redusă prezentată în această lucrare sunt instrumente de utilitate deosebite pentru calculele necesare în problemele de proiectare şi optimizare a fiabilităţii.

Am făcut o analiză critică a unor neajunsuri şi paradoxuri în teoria actuală a fiabilităţii instalaţiilor electrice şi de automatizare în ipoteza distribuţiei exponenţiale:

� Paradoxul funcţiei de fiabilitate care pentru valori mai mari de 0,7 din durata de viată este mai mică de 0,5.

Nu este de acceptat ca după trecerea unei perioade de 70% din durata de viaţă a unui sistem să avem probabilitatea de a fi în stare de satisfacere a cerinţelor funcţionale mai mică decât probabilitatea de nesatisfacere a cerinţelor funcţionale.

� Durata de viaţa a unui sistem compus din n elemente identice din punctul de vedere al fiabilităţii, interconectate în serie să fie de n ori mai mică decât a oricărui element, ceea ce este absurd.

� Durata de viaţă a unui sistem format din două elemente identice din punctul de vedere al fiabilităţii, interconectate în paralel creşte cu 50% faţă de durata de viaţa a unui singur element, rezultat neconfirmat de practică.

� Am utilizat noţiunea de viabilitate ca indicator pentru evaluarea fiabilităţii instalaţiilor electrice şi de automatizare.

În capitolul 6.2.1.1 am prezentat noţiunea de viabilitate sau funcţia de viabilitate cum poate fi numită prin analogie cu funcţia de fiabilitate. Diferenţa între funcţia de fiabilitate şi cea de viabilitate este că funcţia de fiabilitate are ca argument un interval de timp t ≤ MTTF (sau MTBF), iar funcţia de viabilitate are ca argument diferenţa între durata medie totală de viaţă (ν) şi durata de viaţă trecută (k). Expresia

analitică fiind e kkw −−

=− νν1

)( . Argumentul )( k−ν , pentru o valoare ν fixată, aparţine

unei mulţimi de valori discrete (progresie aritmetică cu raţia -1)faţă de argumentul

funcţiei de fiabilitate, et

tR⋅−

=λ

)( ,care este continuu (timpul clasic newtonian,

absolut).

� Am conceput matricea de analiză a viabilităţii, riscului şi entropiei.

În toate exemplele de optimizare abordate în capitolul 6.3, am întocmit matrici de analiză a viabilităţii, riscului şi entropiei funcţie de numărul de paşi rămaşi de parcurs pentru un element al sistemului respectiv pentru întreg sistemul. Pe baza acestor matrici am întocmit grafice pentru analiza caracteristicilor numerice rezultate. Am elaborat matrici de analiză a viabilităţii, riscului şi entropiei atât pentru sisteme de tip serie cât şi pentru structuri de tip redundant.

� Am aplicat graful entropic canonic la determinarea pasului în care are loc tranziţia din clasa stărilor recurente în starea absorbantă.

Aşa cum se vede din analizele făcute în problemele de optimizare din capitolul 6.3, există un pas în care are loc tranziţia din clasa stărilor recurente în


165

starea absorbantă. Aplicarea grafului entropic canonic prezentat în capitolul 6.2.1.2, în toate problemele analizate, m-a condus la determinarea pasului în care are loc această tranziţie.

Optimizarea instalaţiilor electrice şi de automatizare prin studierea viabilităţii, duratei de viaţă şi a riscului pentru:

� Prima aplicaţie este cea din capitolul 6.3.1 unde am considerat o structură de tip serie respectiv o instalaţie de alimentare cu energie electrică a unui motor, pentru care cunoaştem ratele de defectare ale elementelor componente. Aplicând metoda clasică de determinare a duratei medii de funcţionare au rezultat 7,2 ani. Utilizând formulele de calcul propuse şi un pas de an 1=τ , am întocmit tabelul 9-1 (v. Anexe) şi graficul din Fig. 6-5. Am constatat că riscul calculat cu funcţia de viabilitate este mai mic cu 6% până la 15% decât cel calculat cu metodologia actuală, cu excepţia primilor doi paşi în care metodologia actuală presupune o probabilitate iniţială egală cu unu. În graful entropic canonic probabilitatea egală cu unu este caracteristică numai unei stări nerecurente din care procesul nu mai poate continua în condiţiile date.

Comparând valorile din coloanele 5 şi 7 ale tabelului 9-1 (v. Anexe) am observat că riscul creşte cu creşterea entropiei astfel încât chiar entropia poate fi considerată un indicator de risc, iar pentru diferenţe mari fată de risc, entropia devine un indicator de risc ce aduce beneficii economice majore. Cercetările pot continua în această direcţie pentru verificarea experimentală a acestei propuneri.

� Plecând de la instalaţia de alimentare cu energie din exemplul anterior, în capitolul 6.3.2 am analizat ce se întâmplă în cazul asigurării unei redundanţe parţiale pentru cel mai puţin fiabil element şi anume cablul de alimentare. Astfel, a rezultat o schemă de tipul paralel cu două elemente identice din punct de vedere al fiabilităţii. Analizând datele din Tabelul 9-2 (v. Anexe) şi graficul din Fig. 6-7 am constatat că riscul calculat ca funcţie de viabilitate este mai mic în acest caz cu de la aproximativ 9,5 ori pentru cablurile noi până la 2,5 ori înainte de sfârşitul duratei de viată. Reducerea raportului dintre riscul de defectare al unui cablu raportat la riscul de defectare a sistemului de două cabluri scade de la cca. 9,5 cu câte aproximativ o unitate până la cca. 2,5 înaintea ultimului pas pe care l-ar avea de făcut un singur cablu.

În acest caz, se poate observa că după ce unul din elementele sistemului atinge durata de viaţă foarte apropiată de durata maximă are loc tranziţia din starea de satisfacere a cerinţelor în stare de nesatisfacere a cerinţelor, pentru un singur element (cablu). Am constatat că în momentul în care elementul ajunge la entropie maximă, sistemul trece şi el în stare de nesatisfacere a cerinţelor deşi aparent acesta ar putea să mai evolueze, explicaţia constând în faptul că un sistem nu poate evolua dacă elementele sale au încetat să mai funcţioneze.

O concluzie a acestei aplicaţii este aceea că durata de viaţă a sistemului este accesaşi cu durata de viaţă a elementelor componente.

Alte concluzii desprinse din analiza acestui sistem sunt că entropia poate fi utilizată şi ca indicator de risc, iar avantajul redundanţei nu este în creşterea duratei de viaţă ci în scăderea riscului de defectare.

� În următorul capitol 6.3.3 am analizat ce se întâmplă în cazul asigurării unei redundanţe totale pentru instalaţia de alimentare cu energie electrică a unui motor, cunoscută şi ca alimentarea dublă.


166

În acest caz am analizat care este variaţia indicatorilor propuşi (viabilitate, risc şi entropie) atât pentru alimentarea simplă cât şi pentru alimentare dublă. Si în acest caz am constatat că durata de viaţă a sistemului se termină atunci când s-a atins entropia maximă a elementelor componente.

Ca şi în cazul precedent concluzia care se desprinde este că redundanţa totală are marele avantaj de a reduce riscul.

� Două aplicaţii interesante sunt prezentate în capitolul 6.3.4 şi capitolul 6.3.5, aplicaţii ce fac parte din instalaţiile de tip (n – α) redundante în care n = 3 şi α = 1, respectiv n = 3 şi α = 2. Am întocmit tabele de calcul pentru indicatorii de fiabilitate propuşi spre analiză. Si în aceste două cazuri am constatat că durata de viaţă a sistemului este limitată de durata de viată a elementelor componente. În ambele cazuri, din analiza graficelor şi tabelelor de calcul rezultă că dacă utilizăm ca indicator de risc entropia, aceasta este mult mai redusă în cazul aplicării acestei redundanţe decât pentru cazul unui singur element, ceea ce confirmă faptul că redundanţa este o măsură ce reduce foarte mult riscul.

� Ultima aplicaţie ce ia în discuţie studierea viabilităţii, duratei de viaţă şi a riscului este cea prezentată în capitolul 6.3.6 şi anume optimizarea unei instalaţii de automatizare pentru pornirea stea-triunghi a unui motor electric trifazat. Calculele au pornit de la valori reale ale duratei de funcţionare pentru elementele componente ale schemei de automatizare, date preluate din cataloagele unei firme de prestigiu în domeniul instalaţiilor electrice. Astfel, calculând durata medie de funcţionare a sistemului şi introducând ipoteza că vor exista 20 de cicluri de funcţionare pe zi, a rezultat o durată de viaţă calculată cu metoda actuală de 40,17 ani. Am întocmit curbele de variaţie ale riscului, viabilităţii şi entropiei sistemului.

Si în acest caz am constatat că riscul creşte cu creşterea entropiei, diferenţele fiind mici, aproape neglijabile, astfel încât entropia poate fi considerată un indicator de risc.

� Am elaborat o nouă formulă de calcul a riscului bazată pe funcţia de viabilitate. Utilizarea noţiunii de risc calculată astfel ar avea influenţe importante asupra costurilor.

În capitolul 5.2.4 am prezentat faptul că riscul este definit prin funcţia de nonfiabilitate )(1)( tRtF −= şi este numit risc tehnic. În capitolul 6.2.1.3 am arătat că dacă evaluăm fiabilitatea prin durata de viaţă rămasă, riscul ar putea fi evaluat prin complementarea funcţiei de viabilitate, pentru care avem

e kkwkr −−

−=−−=− ννν1

1)(1)( .

� Am propus ca entropia calculată pe baza funcţiei de viabilitate să fie utilizată ca indicator de risc. Acest indicator se poate numi „risc entropic”.

În capitolul 6.2.1.2 am prezentat un nou formalism matematic pentru entropie ppS ln−= . Acest formalism l-am utilizat în toate aplicaţiile de optimizare a instalaţiilor electrice şi de automatizare din capitolul 6.3. Din analizele graficelor (v. Fig. 6-5, Fig. 6-7, Fig. 6-9, Fig. 6-11, Fig. 6-13 şi Fig. 6-16) şi a tabelelor din anexă (v. 9-1, Tabelul 9-2, Tabelul 9-3, Tabelul 9-4, Tabelul 9-5 şi Tabelul 9-6) am observat că riscul creşte odată cu creşterea entropiei, astfel încât entropia să poată fi considerată un indicator de risc.


167

� Am utilizat MATLAB-ul pentru determinarea duratei de viaţă a unui proces utilizând lanţuri Markov finite omogene.

În capitolul 3.3.5.2.3 am realizat două aplicaţii pentru determinarea duratei de viaţă a unui proces utilizând ca pachet de programe MATLAB.

Aplicaţiile au la bază un proces stochastic de tip Markov finit omogen. Având în vedere că TOOLBOX-urile MATLAB-ului nu pun la dispoziţie funcţii pentru calculul lanţurilor Markov cu timp discret, am întocmit programe de calcul pentru cele două aplicaţii.

Primul program de calcul determină durata de paşi (durata de viaţă) a procesului pornind de la egalitatea probabilităţilor de tranziţie între stări

Njijip ∈= , 2

1),( şi rezultă că durata de viaţă este de 2 paşi. Acelaşi rezultat se

obţine şi cu ajutorul grafului entropic canonic, efortul de calcul fiind foarte mult redus. Pentru sisteme mari acest fapt este esenţial.

Cel de al doilea program de calcul determină durata de paşi (durata de viaţă) a procesului pentru diverse probabilităţi de tranziţie între stări pornind de la

1,0),( =jip şi până la 9,0),( =jip . Rezultatele afişate de programul de calcul sunt prezentate grafic în Fig. 3-14.

� Am introdus noţiunea de degradare care poate fi folosită independent sau în asociere cu cea de defectare în optimizarea instalaţiilor electrice şi de automatizare

Noţiunea de degradare explică mai bine scăderea în timp a fiabilităţii unei instalaţii electrice şi de automatizare decât noţiunea de defectare utilizată în teoria actuală.

� Am pus în evidenţă corespondenţa între cuantele de timp ale elementelor şi cele ale structurii fiabilistice (sistemului) analizată.

� Am utilizat rata de defectare determinată prin teoria actuală pentru determinarea probabilităţilor iniţiale necesare în aplicaţiile grafului entropic canonic.

În aplicaţiile de optimizare a instalaţiilor electrice şi de automatizare prezentate în capitolul 6.3 am plecat de la cunoaşterea ratei de defectare a elementelor componente determinate prin teoria actuală. Astfel, cunoscând ratele de defectare ale elementelor am determinat duratele medii de funcţionare ale acestora. Practic, durata medie de funcţionare este aceeaşi cu durata de viaţă din definiţia viabilităţii şi astfel, prin aplicarea formulei viabilităţii am determinat probabilitatea iniţială necesară în aplicaţiile de optimizare a proiectării.

9. ANEXE

168

9. ANEXE

Tabelul 9-1. Principalele caracteristici numerice ale schemei din Fig. 6-4

k

nn nn -

k

R(t

)

w( nn nn

-k)

F(t

) =

1 -

R(t

)

r(nn nn

-k)

= 1

- w

( nn nn-k

)

S =

- R

(t)l

nR

(t)

S =

- w

( nn nn-k

)ln

w( nn nn

-k)

0 1 2 3 4 5 6 7

0 7.2 1.00000 0.87032 0 0.12968 0 0.12088

1 6.2 0.87032 0.85104 0.12968 0.14896 0.12088 0.13727

2 5.2 0.75747 0.82505 0.24253 0.17495 0.21041 0.15866

3 4.2 0.65924 0.78813 0.34076 0.21187 0.27468 0.18765

4 3.2 0.57375 0.73162 0.42625 0.26838 0.31875 0.22863

5 2.2 0.49935 0.63474 0.50065 0.36526 0.34677 0.28852

6 1.2 0.43460 0.43460 0.56540 0.56540 0.36217

0.36217

7 0

9. ANEXE

169

Tabelul 9-2.Principalele caracteristici numerice ale asigurării unei redundanţe 100% pentru cablul din Fig. 6-6

VIABILITATE RISCUL ENTROPIA

k

nn nn -

k

w1( nn nn

-k)

= w

cab

lu( nn nn

-k)

w2( nn nn

-k)

= w

2cab

luri

para

lel(nn nn

-k)

=

2*w

1( nn nn

-k)-

w12( nn nn

-k)

1 -

w1( nn nn

-k)

1 -

w2( nn nn

-k)

- w

1( nn nn

-k)l

nw

1( nn nn

-k)

- w

2( nn nn

-k)l

nw

2( nn nn

-k)

nn nnra

mas p

ara

lel =

-1/l

nw

2 =

(nn nn

- k

) para

lel

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 8.93 0.89406 0.98878 0.10594 0.01122 0.10012 0.01116 88.6

1 7.93 0.88152 0.98596 0.11848 0.01404 0.11116 0.01394 70.7

2 6.93 0.86563 0.98194 0.13437 0.01806 0.12491 0.01789 54.9

3 5.93 0.84482 0.97592 0.15518 0.02408 0.14247 0.02379 41.0

4 4.93 0.81641 0.96629 0.18359 0.03371 0.16560 0.03313 29.2

5 3.93 0.77534 0.94953 0.22466 0.05047 0.19729 0.04918 19.3

6 2.93 0.71085 0.91639 0.28915 0.08361 0.24261 0.08001 11.5

7 1.93 0.59563 0.83649 0.40437 0.16351 0.30862 0.14935 5.6

8 0.93 0.34121 0.56599 0.65879 0.43401

0.36689

0.32215 1.8

9 0

9. ANEXE

170

Tabelul 9-3. Principalele caracteristici numerice ale unei duble alimentări

ALIMENTARE SIMPLA ALIMENTARE DUBLA

k

nn nn -

k

w( nn nn

-k)

= e

(-1/ nn nn

-k)

r(nn nn

-k)

= 1

-w( nn nn

-k)

S =

- w

( nn nn-k

) *ln

w( nn nn

-k)

w( nn nn

-k) s

is =

e(-

1/ nn nn

-k)

r(nn nn

-k) s

is =

1-w

( nn nn-k

)

Ssis =

- w

( nn nn-k

) *ln

w( nn nn

-k)

nn nnra

mas s

ist =

-1/l

nw

sis

t =

( nn nn -

k) s

ist

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 7.2 0.87032 0.12968 0.12088 0.98318 0.01682 0.01667 58.97

1 6.2 0.85104 0.14896 0.13727 0.97781 0.02219 0.02194 44.57

2 5.2 0.82505 0.17495 0.15866 0.96939 0.03061 0.03013 32.17

3 4.2 0.78813 0.21187 0.18765 0.95511 0.04489 0.04387 21.77

4 3.2 0.73162 0.26838 0.22863 0.92797 0.07203 0.06937 13.38

5 2.2 0.63474 0.36526 0.28852 0.86658 0.13342 0.12409 6.98

6 1.2 0.43460 0.56540

0.36217 0.68032 0.31968

0.26205 2.60

7

9. ANEXE

171

Tabelul 9-4. Principalele caracteristici numerice ale unei instalaţii electrice de tip n = 3, α = 1

ELEMENT SISTEM

ke

l

(n(n (n(n -

k)

el

w( nn nn

-k) e

l = e

(-1/ nn nn

-k)

Sel =

- w

el*ln

wel

w( nn nn

-k) s

ist =

3*w

el-

3*(

wel)

2+

(wel)

3

Ssis

t = -

wsis

t*ln

ws

ist

nn nnra

mas s

ist =

-1/ln

wsis

t =

( nn nn -

k) s

ist

0 1 2 3 4 5 6

0 5 0.81873 0.16375 0.99404 0.00594 167.4

1 4 0.77880 0.19470 0.98918 0.01076 91.9

2 3 0.71653 0.23884 0.97722 0.02252 43.4

3 2 0.60653 0.30327 0.93908 0.05902 15.9

4 1 0.36787

0.36787 0.74741 0.21760 3.4

5 0

9. ANEXE

172

Tabelul 9-5. Principalele caracteristici numerice ale unui post de transformatoare cu transformatoare identice de tip n = 3, α = 2

ELEMENT SISTEM k

el

(n(n (n(n -

k)

el

w( nn nn

-k) e

l = e

(-1/ nn nn

-k)

Sel =

- w

el*ln

wel

r(nn nn

-k)

= 1

- w

( nn nn-k

) el

w( nn nn

-k) s

ist =

3*(

we

l)2-2

*(w

el)

3

Ssis

t =

- w

sis

t*ln

wsis

t

r(nn nn

-k)

= 1

- w

( nn nn-k

) sis

t

nn nnra

mas s

ist =

-1/l

nw

sis

t =

(nn nn

- k

) sis

t

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 5 0.81873 0.16375 0.18127 0.91334 0.08279 0.08666 11.03

1 4 0.77880 0.19470 0.22120 0.87486 0.11696 0.12514 7.48

2 3 0.71653 0.23884 0.28347 0.80449 0.17501 0.19551 4.60

3 2 0.60653 0.30327 0.39347 0.65738 0.27577 0.34262 2.38

4 1 0.36787 0.36787 0.63213 0.36787 0.36787 0.63213 1.00

5 0

9. ANEXE

173

Tabelul 9-6. Principalele caracteristici numerice ale schemei de automatizare pentru pornirea stea-triunghi a unui motor electric trifazat

k

nn nn -

k

R(t

) =

exp

(-k/(nn nn

-k))

w( nn nn

-k)

= e

xp

(-1/(nn nn

-k))

F(t

) =

1 -

R(t

)

r(nn nn

-k)

= 1

- w

( nn nn-k

)

S =

- R

(t)l

nR

(t)

S =

- w

( nn nn-k

)ln

w( nn nn

-k)

0 1 2 3 4 5 6 7

0.0 40.2 1.00000 0.97541 0 0.02459 0 0.02428

1.0 39.2 0.97541 0.97479 0.02459 0.02521 0.02428 0.02489

2.0 38.2 0.95143 0.97414 0.04857 0.02586 0.04737 0.02552

3.0 37.2 0.92804 0.97346 0.07196 0.02654 0.06931 0.02619

4.0 36.2 0.90522 0.97273 0.09478 0.02727 0.09014 0.02689

5.0 35.2 0.88296 0.97197 0.11704 0.02803 0.10990 0.02764

6.0 34.2 0.86125 0.97116 0.13875 0.02884 0.12864 0.02842

7.0 33.2 0.84008 0.97030 0.15992 0.02970 0.14639 0.02925

8.0 32.2 0.81942 0.96939 0.18058 0.03061 0.16319 0.03013

9.0 31.2 0.79928 0.96843 0.20072 0.03157 0.17908 0.03107

10.0 30.2 0.77963 0.96740 0.22037 0.03260 0.19408 0.03206

11.0 29.2 0.76046 0.96630 0.23954 0.03370 0.20824 0.03313

12.0 28.2 0.74176 0.96512 0.25824 0.03488 0.22159 0.03426

13.0 27.2 0.72352 0.96386 0.27648 0.03614 0.23415 0.03548

14.0 26.2 0.70573 0.96251 0.29427 0.03749 0.24596 0.03678

15.0 25.2 0.68838 0.96105 0.31162 0.03895 0.25705 0.03818

16.0 24.2 0.67146 0.95947 0.32854 0.04053 0.26745 0.03970

17.0 23.2 0.65495 0.95776 0.34505 0.04224 0.27717 0.04134

9. ANEXE

174

k

nn nn -

k

R(t

) =

exp

(-k/(nn nn

-k))

w( nn nn

-k)

= e

xp

(-1/(nn nn

-k))

F(t

) =

1 -

R(t

)

r(nn nn

-k)

= 1

- w

( nn nn-k

)

S =

- R

(t)l

nR

(t)

S =

- w

( nn nn-k

)ln

w( nn nn

-k)

0 1 2 3 4 5 6 7

18.0 22.2 0.63884 0.95590 0.36116 0.04410 0.28626 0.04312

19.0 21.2 0.62314 0.95386 0.37686 0.04614 0.29474 0.04506

20.0 20.2 0.60782 0.95163 0.39218 0.04837 0.30262 0.04718

21.0 19.2 0.59287 0.94917 0.40713 0.05083 0.30994 0.04951

22.0 18.2 0.57829 0.94645 0.42171 0.05355 0.31672 0.05209

23.0 17.2 0.56408 0.94342 0.43592 0.05658 0.32297 0.05495

24.0 16.2 0.55021 0.94003 0.44979 0.05997 0.32873 0.05813

25.0 15.2 0.53668 0.93621 0.46332 0.06379 0.33400 0.06171

26.0 14.2 0.52348 0.93186 0.47652 0.06814 0.33882 0.06576

27.0 13.2 0.51061 0.92688 0.48939 0.07312 0.34321 0.07038

28.0 12.2 0.49806 0.92112 0.50194 0.07888 0.34717 0.07569

29.0 11.2 0.48581 0.91436 0.51419 0.08564 0.35072 0.08186

30.0 10.2 0.47387 0.90635 0.52613 0.09365 0.35390 0.08912

31.0 9.17 0.46222 0.89668 0.53778 0.10332 0.35670 0.09778

32.0 8.17 0.45085 0.88480 0.54915 0.11520 0.35916 0.10830

33.0 7.17 0.43977 0.86982 0.56023 0.13018 0.36127 0.12131

34.0 6.17 0.42896 0.85038 0.57104 0.14962 0.36307 0.13782

35.0 5.17 0.41841 0.82413 0.58159 0.17587 0.36456 0.15941

36.0 4.17 0.40812 0.78678 0.59188 0.21322 0.36575 0.18868

37.0 3.17 0.39809 0.72946 0.60191 0.27054 0.36667 0.23011

38.0 2.17 0.38830 0.63076 0.61170 0.36924 0.36732 0.29067

9. ANEXE

175

k

nn nn -

k

R(t

) =

exp

(-k/(nn nn

-k))

w( nn nn

-k)

= e

xp

(-1/(nn nn

-k))

F(t

) =

1 -

R(t

)

r(nn nn

-k)

= 1

- w

( nn nn-k

)

S =

- R

(t)l

nR

(t)

S =

- w

( nn nn-k

)ln

w( nn nn

-k)

0 1 2 3 4 5 6 7

39.0 1.17 0.37875 0.36787 0.62125 0.63213 0.36772

0.36787

40.0

9. ANEXE

176

Tabelul 9-7. Valorile funcţiei echivalente de fiabilitate obţinute prin metodele SG1, GD, DE şi SG2

R(t)

Metoda solutiei

generale (SG1)

Re(t)SG1=2R(t)2+2R(t)3

—5R(t)4+2R(t)5

Procedeul grupurilor

de defectare (GD)

Re(t)GD=4R(t)2-

-4R(t)3+R(t)4

Metoda drumurilor

extremale (DE)

Re(t)DE=2R(t)2+2R(t)3-

-5R(t)4+2R(t)5

Metoda solutiei

generale (SG2)

Re(t)SG2=4R(t)5-

-11R(t)4+8R(t)3

Re(t)Re(t)Re(t)

δSG1

SG1GDR

−=

0.8 0.911360000 0.921600000 0.911360000 0.901120000 1.12360 0.801 0.912253839 0.922366239 0.912253839 0.902141438 1.10851 0.802 0.913143350 0.923128954 0.913143350 0.903157747 1.09354 0.803 0.914028528 0.923888138 0.914028528 0.904168917 1.07870 0.804 0.914909364 0.924643789 0.914909364 0.905174939 1.06398 0.805 0.915785852 0.925395901 0.915785852 0.906175803 1.04938 0.806 0.916657985 0.926144468 0.916657985 0.907171501 1.03490 0.807 0.917525756 0.926889488 0.917525756 0.908162023 1.02054 0.808 0.918389158 0.927630954 0.918389158 0.909147361 1.00631 0.809 0.919248185 0.928368863 0.919248185 0.910127507 0.99219 0.81 0.920102830 0.929103210 0.920102830 0.911102450 0.97819

0.811 0.920953087 0.929833990 0.920953087 0.912072184 0.96432 0.812 0.921798949 0.930561198 0.921798949 0.913036700 0.95056 0.813 0.922640410 0.931284831 0.922640410 0.913995989 0.93692 0.814 0.923477464 0.932004883 0.923477464 0.914950044 0.92340 0.815 0.924310103 0.932721351 0.924310103 0.915898856 0.91000 0.816 0.925138324 0.933434229 0.925138324 0.916842418 0.89672 0.817 0.925962118 0.934143513 0.925962118 0.917780722 0.88356 0.818 0.926781480 0.934849199 0.926781480 0.918713761 0.87051 0.819 0.927596405 0.935551283 0.927596405 0.919641527 0.85758 0.82 0.928406886 0.936249760 0.928406886 0.920564013 0.84477

0.821 0.929212918 0.936944626 0.929212918 0.921481211 0.83207 0.822 0.930014495 0.937635876 0.930014495 0.922393115 0.81949 0.823 0.930811612 0.938323506 0.930811612 0.923299718 0.80703 0.824 0.931604262 0.939007513 0.931604262 0.924201012 0.79468 0.825 0.932392441 0.939687891 0.932392441 0.925096992 0.78244 0.826 0.933176143 0.940364636 0.933176143 0.925987651 0.77033 0.827 0.933955363 0.941037745 0.933955363 0.926872982 0.75832 0.828 0.934730096 0.941707213 0.934730096 0.927752979 0.74643 0.829 0.935500336 0.942373036 0.935500336 0.928627636 0.73466 0.83 0.936266079 0.943035210 0.936266079 0.929496947 0.72299

0.831 0.937027319 0.943693731 0.937027319 0.930360907 0.71144 0.832 0.937784051 0.944348594 0.937784051 0.931219508 0.70001 0.833 0.938536272 0.944999796 0.938536272 0.932072747 0.68868 0.834 0.939283975 0.945647333 0.939283975 0.932920617 0.67747 0.835 0.940027157 0.946291201 0.940027157 0.933763113 0.66637 0.836 0.940765813 0.946931395 0.940765813 0.934600230 0.65538 0.837 0.941499938 0.947567912 0.941499938 0.935431963 0.64450 0.838 0.942229527 0.948200748 0.942229527 0.936258307 0.63373 0.839 0.942954578 0.948829898 0.942954578 0.937079258 0.62308 0.84 0.943675085 0.949455360 0.943675085 0.937894810 0.61253

0.841 0.944391044 0.950077129 0.944391044 0.938704959 0.60209 0.842 0.945102451 0.950695201 0.945102451 0.939509700 0.59176 0.843 0.945809302 0.951309573 0.945809302 0.940309031 0.58154 0.844 0.946511593 0.951920241 0.946511593 0.941102946 0.57143 0.845 0.947209321 0.952527201 0.947209321 0.941891441 0.56143

9. ANEXE

177

R(t)

Metoda solutiei

generale (SG1)


—5R(t)4+2R(t)5


de defectare (GD)

Re(t)GD=4R(t)2-

-4R(t)3+R(t)4

Metoda drumurilor

extremale (DE)


-5R(t)4+2R(t)5

Metoda solutiei

generale (SG2)

Re(t)SG2=4R(t)5-

-11R(t)4+8R(t)3

Re(t)Re(t)Re(t)

δSG1

SG1GDR

−=

0.846 0.947902481 0.953130449 0.947902481 0.942674514 0.55153 0.847 0.948591070 0.953729981 0.948591070 0.943452159 0.54174 0.848 0.949275084 0.954325795 0.949275084 0.944224374 0.53206 0.849 0.949954521 0.954917886 0.949954521 0.944991156 0.52248 0.85 0.950629375 0.955506250 0.950629375 0.945752500 0.51302

0.851 0.951299644 0.956090884 0.951299644 0.946508405 0.50365 0.852 0.951965326 0.956671785 0.951965326 0.947258866 0.49439 0.853 0.952626415 0.957248949 0.952626415 0.948003882 0.48524 0.854 0.953282911 0.957822372 0.953282911 0.948743450 0.47619 0.855 0.953934808 0.958392051 0.953934808 0.949477566 0.46725 0.856 0.954582106 0.958957982 0.954582106 0.950206230 0.45841 0.857 0.955224800 0.959520162 0.955224800 0.950929438 0.44967 0.858 0.955862888 0.960078587 0.955862888 0.951647189 0.44104 0.859 0.956496367 0.960633254 0.956496367 0.952359480 0.43250 0.86 0.957125235 0.961184160 0.957125235 0.953066310 0.42407

0.861 0.957749490 0.961731301 0.957749490 0.953767678 0.41575 0.862 0.958369128 0.962274674 0.958369128 0.954463581 0.40752 0.863 0.958984147 0.962814275 0.958984147 0.955154019 0.39939 0.864 0.959594546 0.963350102 0.959594546 0.955838991 0.39137 0.865 0.960200322 0.963882151 0.960200322 0.956518494 0.38344 0.866 0.960801474 0.964410418 0.960801474 0.957192529 0.37562 0.867 0.961397998 0.964934901 0.961397998 0.957861095 0.36789 0.868 0.961989894 0.965455596 0.961989894 0.958524191 0.36026 0.869 0.962577159 0.965972500 0.962577159 0.959181817 0.35273 0.87 0.963159791 0.966485610 0.963159791 0.959833973 0.34530

0.871 0.963737790 0.966994923 0.963737790 0.960480658 0.33797 0.872 0.964311154 0.967500435 0.964311154 0.961121872 0.33073 0.873 0.964879880 0.968002145 0.964879880 0.961757616 0.32359 0.874 0.965443969 0.968500047 0.965443969 0.962387891 0.31655 0.875 0.966003418 0.968994141 0.966003418 0.963012695 0.30960 0.876 0.966558226 0.969484421 0.966558226 0.963632031 0.30274 0.877 0.967108393 0.969970887 0.967108393 0.964245900 0.29598 0.878 0.967653917 0.970453533 0.967653917 0.964854301 0.28932 0.879 0.968194798 0.970932359 0.968194798 0.965457236 0.28275 0.88 0.968731034 0.971407360 0.968731034 0.966054707 0.27627

0.881 0.969262625 0.971878534 0.969262625 0.966646715 0.26989 0.882 0.969789570 0.972345878 0.969789570 0.967233262 0.26359 0.883 0.970311869 0.972809389 0.970311869 0.967814349 0.25739 0.884 0.970829521 0.973269064 0.970829521 0.968389978 0.25128 0.885 0.971342526 0.973724901 0.971342526 0.968960151 0.24527 0.886 0.971850884 0.974176896 0.971850884 0.969524872 0.23934 0.887 0.972354594 0.974625047 0.972354594 0.970084141 0.23350 0.888 0.972853657 0.975069352 0.972853657 0.970637962 0.22775 0.889 0.973348072 0.975509807 0.973348072 0.971186337 0.22209 0.89 0.973837840 0.975946410 0.973837840 0.971729270 0.21652

0.891 0.974322960 0.976379158 0.974322960 0.972266762 0.21104 0.892 0.974803434 0.976808049 0.974803434 0.972798819 0.20564 0.893 0.975279261 0.977233080 0.975279261 0.973325442 0.20033 0.894 0.975750442 0.977654248 0.975750442 0.973846636 0.19511 0.895 0.976216977 0.978071551 0.976216977 0.974362404 0.18998 0.896 0.976678868 0.978484986 0.976678868 0.974872751 0.18492 0.897 0.977136115 0.978894551 0.977136115 0.975377679 0.17996

9. ANEXE

178

R(t)

Metoda solutiei

generale (SG1)


—5R(t)4+2R(t)5


de defectare (GD)

Re(t)GD=4R(t)2-

-4R(t)3+R(t)4

Metoda drumurilor

extremale (DE)


-5R(t)4+2R(t)5

Metoda solutiei

generale (SG2)

Re(t)SG2=4R(t)5-

-11R(t)4+8R(t)3

Re(t)Re(t)Re(t)

δSG1

SG1GDR

−=

0.898 0.977588718 0.979300243 0.977588718 0.975877194 0.17508 0.899 0.978036680 0.979702060 0.978036680 0.976371299 0.17028

0.9 0.978480000 0.980100000 0.978480000 0.976860000 0.16556 0.901 0.978918680 0.980494060 0.978918680 0.977343301 0.16093 0.902 0.979352722 0.980884237 0.979352722 0.977821207 0.15638 0.903 0.979782126 0.981270529 0.979782126 0.978293722 0.15191 0.904 0.980206894 0.981652935 0.980206894 0.978760853 0.14752 0.905 0.980627028 0.982031451 0.980627028 0.979222604 0.14322 0.906 0.981042528 0.982406075 0.981042528 0.979678982 0.13899 0.907 0.981453398 0.982776805 0.981453398 0.980129991 0.13484 0.908 0.981859639 0.983143639 0.981859639 0.980575638 0.13077 0.909 0.982261252 0.983506575 0.982261252 0.981015929 0.12678 0.91 0.982658240 0.983865610 0.982658240 0.981450870 0.12287

0.911 0.983050605 0.984220742 0.983050605 0.981880468 0.11903 0.912 0.983438349 0.984571970 0.983438349 0.982304729 0.11527 0.913 0.983821474 0.984919290 0.983821474 0.982723659 0.11159 0.914 0.984199984 0.985262701 0.984199984 0.983137266 0.10798 0.915 0.984573879 0.985602201 0.984573879 0.983545557 0.10444 0.916 0.984943163 0.985937787 0.984943163 0.983948540 0.10098 0.917 0.985307840 0.986269458 0.985307840 0.984346221 0.09760 0.918 0.985667910 0.986597212 0.985667910 0.984738608 0.09428 0.919 0.986023378 0.986921047 0.986023378 0.985125709 0.09104 0.92 0.986374246 0.987240960 0.986374246 0.985507533 0.08787

0.921 0.986720518 0.987556950 0.986720518 0.985884087 0.08477 0.922 0.987062197 0.987869015 0.987062197 0.986255379 0.08174 0.923 0.987399286 0.988177153 0.987399286 0.986621418 0.07878 0.924 0.987731788 0.988481362 0.987731788 0.986982213 0.07589 0.925 0.988059707 0.988781641 0.988059707 0.987337773 0.07307 0.926 0.988383047 0.989077987 0.988383047 0.987688107 0.07031 0.927 0.988701811 0.989370398 0.988701811 0.988033224 0.06762 0.928 0.989016003 0.989658874 0.989016003 0.988373133 0.06500 0.929 0.989325628 0.989943412 0.989325628 0.988707844 0.06244 0.93 0.989630689 0.990224010 0.989630689 0.989037367 0.05995

0.931 0.989931190 0.990500667 0.989931190 0.989361712 0.05753 0.932 0.990227135 0.990773381 0.990227135 0.989680889 0.05516 0.933 0.990518529 0.991042151 0.990518529 0.989994908 0.05286 0.934 0.990805377 0.991306975 0.990805377 0.990303779 0.05063 0.935 0.991087683 0.991567851 0.991087683 0.990607514 0.04845 0.936 0.991365451 0.991824777 0.991365451 0.990906124 0.04633 0.937 0.991638686 0.992077753 0.991638686 0.991199619 0.04428 0.938 0.991907393 0.992326776 0.991907393 0.991488010 0.04228 0.939 0.992171578 0.992571846 0.992171578 0.991771310 0.04034 0.94 0.992431245 0.992812960 0.992431245 0.992049530 0.03846

0.941 0.992686399 0.993050117 0.992686399 0.992322681 0.03664 0.942 0.992937046 0.993283316 0.992937046 0.992590775 0.03487 0.943 0.993183191 0.993512556 0.993183191 0.992853825 0.03316 0.944 0.993424839 0.993737834 0.993424839 0.993111844 0.03151 0.945 0.993661997 0.993959151 0.993661997 0.993364842 0.02990 0.946 0.993894669 0.994176503 0.993894669 0.993612835 0.02836 0.947 0.994122862 0.994389890 0.994122862 0.993855834 0.02686 0.948 0.994346582 0.994599312 0.994346582 0.994093852 0.02542 0.949 0.994565834 0.994804765 0.994565834 0.994326903 0.02402

9. ANEXE

179

R(t)

Metoda solutiei

generale (SG1)


—5R(t)4+2R(t)5


de defectare (GD)

Re(t)GD=4R(t)2-

-4R(t)3+R(t)4

Metoda drumurilor

extremale (DE)


-5R(t)4+2R(t)5

Metoda solutiei

generale (SG2)

Re(t)SG2=4R(t)5-

-11R(t)4+8R(t)3

Re(t)Re(t)Re(t)

δSG1

SG1GDR

−=

0.95 0.994780625 0.995006250 0.994780625 0.994555000 0.02268 0.951 0.994990961 0.995203765 0.994990961 0.994778157 0.02139 0.952 0.995196848 0.995397308 0.995196848 0.994996389 0.02014 0.953 0.995398294 0.995586880 0.995398294 0.995209708 0.01895 0.954 0.995595303 0.995772477 0.995595303 0.995418129 0.01780 0.955 0.995787884 0.995954101 0.995787884 0.995621668 0.01669 0.956 0.995976043 0.996131748 0.995976043 0.995820337 0.01563 0.957 0.996159786 0.996305419 0.996159786 0.996014153 0.01462 0.958 0.996339121 0.996475112 0.996339121 0.996203130 0.01365 0.959 0.996514055 0.996640826 0.996514055 0.996387284 0.01272 0.96 0.996684595 0.996802560 0.996684595 0.996566630 0.01184

0.961 0.996850749 0.996960313 0.996850749 0.996741184 0.01099 0.962 0.997012523 0.997114085 0.997012523 0.996910961 0.01019 0.963 0.997169926 0.997263874 0.997169926 0.997075978 0.00942 0.964 0.997322965 0.997409680 0.997322965 0.997236251 0.00869 0.965 0.997471648 0.997551501 0.997471648 0.997391796 0.00801 0.966 0.997615983 0.997689336 0.997615983 0.997542629 0.00735 0.967 0.997755977 0.997823186 0.997755977 0.997688769 0.00674 0.968 0.997891640 0.997953049 0.997891640 0.997830231 0.00615 0.969 0.998022978 0.998078924 0.998022978 0.997967033 0.00561 0.97 0.998150001 0.998200810 0.998150001 0.998099193 0.00509

0.971 0.998272717 0.998318707 0.998272717 0.998226727 0.00461 0.972 0.998391135 0.998432615 0.998391135 0.998349655 0.00415 0.973 0.998505263 0.998542531 0.998505263 0.998467994 0.00373 0.974 0.998615109 0.998648457 0.998615109 0.998581761 0.00334 0.975 0.998720684 0.998750391 0.998720684 0.998690977 0.00297 0.976 0.998821995 0.998848332 0.998821995 0.998795658 0.00264 0.977 0.998919052 0.998942280 0.998919052 0.998895825 0.00233 0.978 0.999011865 0.999032234 0.999011865 0.998991496 0.00204 0.979 0.999100442 0.999118194 0.999100442 0.999082690 0.00178 0.98 0.999184794 0.999200160 0.999184794 0.999169427 0.00154

0.981 0.999264929 0.999278130 0.999264929 0.999251727 0.00132 0.982 0.999340857 0.999352105 0.999340857 0.999329609 0.00113 0.983 0.999412589 0.999422084 0.999412589 0.999403094 0.00095 0.984 0.999480134 0.999488066 0.999480134 0.999472202 0.00079 0.985 0.999543502 0.999550051 0.999543502 0.999536953 0.00066 0.986 0.999602703 0.999608038 0.999602703 0.999597368 0.00053 0.987 0.999657748 0.999662029 0.999657748 0.999653468 0.00043 0.988 0.999708647 0.999712021 0.999708647 0.999705274 0.00034 0.989 0.999755411 0.999758015 0.999755411 0.999752807 0.00026 0.99 0.999798050 0.999800010 0.999798050 0.999796090 0.00020 0.99 0.999802087 0.999803990 0.999802087 0.999800185 0.00019 0.99 0.999806084 0.999807929 0.999806084 0.999804238 0.00018 0.99 0.999810039 0.999811829 0.999810039 0.999808249 0.00018 0.99 0.999813953 0.999815688 0.999813953 0.999812217 0.00017

0.991 0.999817826 0.999819508 0.999817826 0.999816143 0.00017 0.991 0.999821658 0.999823288 0.999821658 0.999820028 0.00016 0.991 0.999825449 0.999827027 0.999825449 0.999823870 0.00016 0.991 0.999829198 0.999830727 0.999829198 0.999827669 0.00015 0.991 0.999832907 0.999834387 0.999832907 0.999831427 0.00015 0.991 0.999836575 0.999838007 0.999836575 0.999835143 0.00014 0.991 0.999840201 0.999841586 0.999840201 0.999838816 0.00014

9. ANEXE

180

R(t)

Metoda solutiei

generale (SG1)


—5R(t)4+2R(t)5


de defectare (GD)

Re(t)GD=4R(t)2-

-4R(t)3+R(t)4

Metoda drumurilor

extremale (DE)


-5R(t)4+2R(t)5

Metoda solutiei

generale (SG2)

Re(t)SG2=4R(t)5-

-11R(t)4+8R(t)3

Re(t)Re(t)Re(t)

δSG1

SG1GDR

−=

0.991 0.999843787 0.999845126 0.999843787 0.999842448 0.00013 0.991 0.999847332 0.999848626 0.999847332 0.999846037 0.00013 0.991 0.999850835 0.999852085 0.999850835 0.999849585 0.00013 0.992 0.999854298 0.999855505 0.999854298 0.999853090 0.00012 0.992 0.999857719 0.999858885 0.999857719 0.999856554 0.00012 0.992 0.999861100 0.999862225 0.999861100 0.999859975 0.00011 0.992 0.999864440 0.999865525 0.999864440 0.999863355 0.00011 0.992 0.999867739 0.999868784 0.999867739 0.999866693 0.00010 0.992 0.999870996 0.999872004 0.999870996 0.999869989 0.00010 0.992 0.999874213 0.999875184 0.999874213 0.999873243 0.00010 0.992 0.999877389 0.999878324 0.999877389 0.999876455 0.00009 0.992 0.999880524 0.999881424 0.999880524 0.999879625 0.00009 0.992 0.999883619 0.999884483 0.999883619 0.999882754 0.00009 0.993 0.999886672 0.999887503 0.999886672 0.999885841 0.00008 0.993 0.999889685 0.999890483 0.999889685 0.999888886 0.00008 0.993 0.999892656 0.999893423 0.999892656 0.999891889 0.00008 0.993 0.999895587 0.999896323 0.999895587 0.999894851 0.00007 0.993 0.999898477 0.999899183 0.999898477 0.999897771 0.00007 0.993 0.999901326 0.999902002 0.999901326 0.999900650 0.00007 0.993 0.999904134 0.999904782 0.999904134 0.999903486 0.00006 0.993 0.999906902 0.999907522 0.999906902 0.999906281 0.00006 0.993 0.999909629 0.999910222 0.999909629 0.999909035 0.00006 0.993 0.999912314 0.999912882 0.999912314 0.999911747 0.00006 0.994 0.999914960 0.999915502 0.999914960 0.999914418 0.00005 0.994 0.999917564 0.999918082 0.999917564 0.999917046 0.00005 0.994 0.999920128 0.999920622 0.999920128 0.999919634 0.00005 0.994 0.999922651 0.999923121 0.999922651 0.999922180 0.00005 0.994 0.999925133 0.999925581 0.999925133 0.999924685 0.00004 0.994 0.999927574 0.999928001 0.999927574 0.999927148 0.00004 0.994 0.999929975 0.999930381 0.999929975 0.999929569 0.00004 0.994 0.999932335 0.999932721 0.999932335 0.999931950 0.00004 0.994 0.999934655 0.999935021 0.999934655 0.999934289 0.00004 0.994 0.999936934 0.999937281 0.999936934 0.999936586 0.00003 0.994 0.999939172 0.999939501 0.999939172 0.999938843 0.00003 0.995 0.999941369 0.999941681 0.999941369 0.999941058 0.00003 0.995 0.999943526 0.999943821 0.999943526 0.999943232 0.00003 0.995 0.999945642 0.999945921 0.999945642 0.999945364 0.00003 0.995 0.999947718 0.999947981 0.999947718 0.999947455 0.00003 0.995 0.999949753 0.999950001 0.999949753 0.999949506 0.00002 0.995 0.999951748 0.999951981 0.999951748 0.999951515 0.00002 0.995 0.999953701 0.999953921 0.999953701 0.999953482 0.00002 0.995 0.999955615 0.999955820 0.999955615 0.999955409 0.00002 0.995 0.999957488 0.999957680 0.999957488 0.999957295 0.00002 0.995 0.999959320 0.999959500 0.999959320 0.999959139 0.00002 0.996 0.999961112 0.999961280 0.999961112 0.999960943 0.00002 0.996 0.999962863 0.999963020 0.999962863 0.999962705 0.00002 0.996 0.999964573 0.999964720 0.999964573 0.999964426 0.00001 0.996 0.999966244 0.999966380 0.999966244 0.999966107 0.00001 0.996 0.999967873 0.999968000 0.999967873 0.999967746 0.00001 0.996 0.999969463 0.999969580 0.999969463 0.999969345 0.00001 0.996 0.999971011 0.999971120 0.999971011 0.999970902 0.00001 0.996 0.999972520 0.999972620 0.999972520 0.999972419 0.00001

9. ANEXE

181

R(t)

Metoda solutiei

generale (SG1)


—5R(t)4+2R(t)5


de defectare (GD)

Re(t)GD=4R(t)2-

-4R(t)3+R(t)4

Metoda drumurilor

extremale (DE)


-5R(t)4+2R(t)5

Metoda solutiei

generale (SG2)

Re(t)SG2=4R(t)5-

-11R(t)4+8R(t)3

Re(t)Re(t)Re(t)

δSG1

SG1GDR

−=

0.996 0.999973988 0.999974080 0.999973988 0.999973895 0.00001 0.996 0.999975415 0.999975500 0.999975415 0.999975330 0.00001 0.997 0.999976802 0.999976880 0.999976802 0.999976724 0.00001 0.997 0.999978149 0.999978220 0.999978149 0.999978077 0.00001 0.997 0.999979455 0.999979520 0.999979455 0.999979390 0.00001 0.997 0.999980721 0.999980780 0.999980721 0.999980662 0.00001 0.997 0.999981946 0.999982000 0.999981946 0.999981893 0.00001 0.997 0.999983132 0.999983180 0.999983132 0.999983083 0.00000 0.997 0.999984276 0.999984320 0.999984276 0.999984233 0.00000 0.997 0.999985381 0.999985420 0.999985381 0.999985342 0.00000 0.997 0.999986445 0.999986480 0.999986445 0.999986410 0.00000 0.997 0.999987469 0.999987500 0.999987469 0.999987438 0.00000 0.998 0.999988453 0.999988480 0.999988453 0.999988425 0.00000 0.998 0.999989396 0.999989420 0.999989396 0.999989372 0.00000 0.998 0.999990299 0.999990320 0.999990299 0.999990278 0.00000 0.998 0.999991162 0.999991180 0.999991162 0.999991143 0.00000 0.998 0.999991984 0.999992000 0.999991984 0.999991968 0.00000 0.998 0.999992766 0.999992780 0.999992766 0.999992753 0.00000 0.998 0.999993508 0.999993520 0.999993508 0.999993497 0.00000 0.998 0.999994210 0.999994220 0.999994210 0.999994200 0.00000 0.998 0.999994872 0.999994880 0.999994872 0.999994864 0.00000 0.998 0.999995493 0.999995500 0.999995493 0.999995487 0.00000 0.999 0.999996075 0.999996080 0.999996075 0.999996069 0.00000 0.999 0.999996616 0.999996620 0.999996616 0.999996611 0.00000 0.999 0.999997117 0.999997120 0.999997117 0.999997113 0.00000 0.999 0.999997577 0.999997580 0.999997577 0.999997575 0.00000 0.999 0.999997998 0.999998000 0.999997998 0.999997996 0.00000

9. ANEXE

182

Fig. 9-1. Funcţia de fiabilitate echivalenta Re(t) obţinuta prin metodele SG1, GD, DE, SG2 pentru R(t)= 0,8 - 0,9

0.89

99

0.91

99

0.93

99

0.95

99

0.97

99

0.99

99 0.800 0.803 0.806 0.809 0.812 0.815 0.818 0.821 0.824 0.827 0.830 0.833 0.836 0.839 0.842 0.845 0.848 0.851 0.854 0.857 0.860 0.863 0.866 0.869 0.872 0.875 0.878 0.881 0.884 0.887 0.890 0.893 0.896 0.899

R(t

)

Re(t)

Re(

t)-m

et.s

olut

iei g

ener

ale

var.I

Re(

t)-m

et. g

rupu

rilor

de

defe

ctar

e

Re(

t)-m

et.s

olut

iei g

ener

ale

var.I

I

Re(

t)-m

et.d

rum

urul

or e

xtre

mal

e

9. ANEXE

183

Fig.9-2. Funcţia de fiabilitate echivalenta Re(t) obţinuta prin metodele SG1, GD, DE, SG2 pentru R(t)= 0,9 - 0,99

0.97

49

0.97

99

0.98

49

0.98

99

0.99

49

0.99

99

0.90.9

03 0.906 0.909 0.912 0.915 0.918 0.921 0.924 0.927

0.93 0.933 0.936 0.939 0.942 0.945 0.948 0.951 0.954 0.957

0.96

0.963 0.966 0.969 0.972 0.975 0.978 0.981 0.984 0.987

0.99

R(t

)

Re(t)

Re(

t)-m

et. s

olut

iei g

ener

ale

var.I

Re(

t)-m

et. g

rupu

rilor

de

defe

ctar

e

Re(

t)-m

et. s

olut

iei g

ener

ale

var.

II

Re(

t)-m

et. d

rum

urilo

r ext

rem

ale

9. ANEXE

184

Fig.9-3. Funcţia de fiabilitate echivalenta Re(t) obţinuta prin metodele SG1, GD, DE, SG2 pentru R(t)= 0,99 - 0,999

0.99

9749

99

0.99

9799

99

0.99

9849

99

0.99

9899

99

0.99

9949

99

0.99

9999

99 0.99

00.

990

0.99

10.

991

0.99

10.

992

0.99

20.

992

0.99

20.

993

0.99

30.

993

0.99

40.

994

0.99

40.

994

0.99

50.

995

0.99

50.

996

0.99

60.

996

0.99

70.

997

0.99

70.

997

0.99

80.

998

0.99

80.

999

0.99

9

R(t

)

Re(t)

Re(

t)-m

et. s

olut

iei g

ener

ale

var.

I

Re(

t)-m

et. g

rupu

rilor

de

defe

ctar

e

Re(

t)-m

et. s

olut

iei g

ener

ale

var.

II

Re(

t)-m

et. d

rum

urilo

r ex

trem

ale

9. ANEXE

185

Fig. 9-4. Eroarea relativa de aproximare, in %, in cazul determinării funcţiei de fiabilitate pentru structura din Fig. 6-22 prin metoda (procedeul) grupurilor de defectare

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20 0.

800 0.

809 0.818

0.827

0.83

6 0.84

5 0.85

4 0.86

3 0.872

0.881

0.89

0 0.89

9 0.90

8 0.91

7 0.926

0.935

0.94

4 0.95

3 0.96

2 0.97

1 0.98

0 0.989

0.991

0.99

2 0.99

3 0.99

4 0.994

0.99

5 0.99

6 0.99

7 0.99

8 0.99

9

R(t

)

ddddR (%)

Ero

area

rel

ativ

a

9. ANEXE

186

Tabelul 9-8. Valorile funcţiei echivalente de fiabilitate obţinute prin metodele SG1, GD, DE şi SG2

R(t) Metoda solutiei generale

SG1 Re(t)SG1=2R(t)3-R(t)5

Metoda solutiei generale SG2

Re(t)SG2=2R(t)6-7R(t)5+6R(t)4

0.8 0.696320000 0.688128000 1.17647 0.801 0.698111676 0.690011643 1.16028 0.802 0.699902685 0.691894231 1.14422 0.803 0.701693001 0.693775734 1.12831 0.804 0.703482597 0.695656120 1.11253 0.805 0.705271447 0.697535358 1.09690 0.806 0.707059524 0.699413418 1.08139 0.807 0.708846801 0.701290269 1.06603 0.808 0.710633251 0.703165879 1.05081 0.809 0.712418846 0.705040217 1.03571 0.81 0.714203560 0.706913252 1.02076

0.811 0.715987365 0.708784953 1.00594 0.812 0.717770234 0.710655287 0.99126 0.813 0.719552139 0.712524224 0.97671 0.814 0.721333052 0.714391733 0.96229 0.815 0.723112947 0.716257780 0.94801 0.816 0.724891794 0.718122336 0.93386 0.817 0.726669567 0.719985367 0.91984 0.818 0.728446237 0.721846843 0.90595 0.819 0.730221777 0.723706732 0.89220 0.82 0.731996157 0.725565000 0.87858

0.821 0.733769350 0.727421618 0.86509 0.822 0.735541327 0.729276552 0.85172 0.823 0.737312059 0.731129770 0.83849 0.824 0.739081519 0.732981241 0.82539 0.825 0.740849678 0.734830932 0.81241 0.826 0.742616506 0.736678811 0.79956 0.827 0.744381975 0.738524845 0.78684 0.828 0.746146055 0.740369002 0.77425 0.829 0.747908719 0.742211250 0.76179 0.83 0.749669936 0.744051557 0.74945

0.831 0.751429677 0.745889888 0.73723 0.832 0.753187913 0.747726213 0.72514 0.833 0.754944614 0.749560498 0.71318 0.834 0.756699752 0.751392711 0.70134 0.835 0.758453295 0.753222818 0.68962 0.836 0.760205215 0.755050788 0.67803 0.837 0.761955481 0.756876586 0.66656 0.838 0.763704063 0.758700181 0.65521 0.839 0.765450932 0.760521539 0.64399 0.84 0.767196058 0.762340626 0.63288

100Re(t)

Re(t)Re(t)δ

SG1

SG1SG2R ⋅

−=

9. ANEXE

187




Re(t)SG2=2R(t)6-7R(t)5+6R(t)4

0.841 0.768939409 0.764157411 0.62190 0.842 0.770680955 0.765971859 0.61103 0.843 0.772420667 0.767783938 0.60029 0.844 0.774158513 0.769593615 0.58966 0.845 0.775894463 0.771400855 0.57915 0.846 0.777628486 0.773205625 0.56876 0.847 0.779360551 0.775007893 0.55849 0.848 0.781090627 0.776807624 0.54834 0.849 0.782818683 0.778604786 0.53830 0.85 0.784544688 0.780399344 0.52838

0.851 0.786268610 0.782191265 0.51857 0.852 0.787990418 0.783980515 0.50888 0.853 0.789710081 0.785767060 0.49930 0.854 0.791427567 0.787550867 0.48984 0.855 0.793142844 0.789331902 0.48049 0.856 0.794855881 0.791110131 0.47125 0.857 0.796566645 0.792885520 0.46212 0.858 0.798275105 0.794658035 0.45311 0.859 0.799981228 0.796427642 0.44421 0.86 0.801684982 0.798194307 0.43542

0.861 0.803386336 0.799957996 0.42674 0.862 0.805085255 0.801718674 0.41816 0.863 0.806781709 0.803476308 0.40970 0.864 0.808475664 0.805230864 0.40135 0.865 0.810167087 0.806982306 0.39310 0.866 0.811855946 0.808730601 0.38496 0.867 0.813542208 0.810475714 0.37693 0.868 0.815225840 0.812217610 0.36901 0.869 0.816906808 0.813956256 0.36119 0.87 0.818585079 0.815691617 0.35347

0.871 0.820260621 0.817423658 0.34586 0.872 0.821933398 0.819152345 0.33836 0.873 0.823603379 0.820877643 0.33095 0.874 0.825270529 0.822599517 0.32365 0.875 0.826934814 0.824317932 0.31646 0.876 0.828596201 0.826032855 0.30936 0.877 0.830254656 0.827744249 0.30237 0.878 0.831910144 0.829452081 0.29547 0.879 0.833562631 0.831156315 0.28868 0.88 0.835212083 0.832856916 0.28198

0.881 0.836858466 0.834553850 0.27539 0.882 0.838501745 0.836247081 0.26889 0.883 0.840141885 0.837936575 0.26249 0.884 0.841778852 0.839622296 0.25619 0.885 0.843412610 0.841304209 0.24998 0.886 0.845043126 0.842982279 0.24387

100Re(t)

Re(t)Re(t)δ

SG1

SG1SG2R ⋅

−=

9. ANEXE

188




Re(t)SG2=2R(t)6-7R(t)5+6R(t)4

0.887 0.846670364 0.844656472 0.23786 0.888 0.848294288 0.846326750 0.23194 0.889 0.849914863 0.847993081 0.22611 0.89 0.851532055 0.849655428 0.22038

0.891 0.853145827 0.851313755 0.21474 0.892 0.854756145 0.852968028 0.20920 0.893 0.856362972 0.854618211 0.20374 0.894 0.857966272 0.856264269 0.19838 0.895 0.859566010 0.857906167 0.19310 0.896 0.861162149 0.859543868 0.18792 0.897 0.862754654 0.861177337 0.18282 0.898 0.864343489 0.862806540 0.17782 0.899 0.865928616 0.864431439 0.17290

0.9 0.867510000 0.866052000 0.16807 0.901 0.869087604 0.867668187 0.16332 0.902 0.870661391 0.869279964 0.15866 0.903 0.872231325 0.870887297 0.15409 0.904 0.873797368 0.872490148 0.14960 0.905 0.875359485 0.874088482 0.14520 0.906 0.876917637 0.875682263 0.14088 0.907 0.878471787 0.877271457 0.13664 0.908 0.880021898 0.878856026 0.13248 0.909 0.881567934 0.880435935 0.12841 0.91 0.883109855 0.882011148 0.12441

0.911 0.884647625 0.883581630 0.12050 0.912 0.886181206 0.885147344 0.11666 0.913 0.887710559 0.886708254 0.11291 0.914 0.889235648 0.888264325 0.10923 0.915 0.890756434 0.889815520 0.10563 0.916 0.892272878 0.891361803 0.10211 0.917 0.893784943 0.892903139 0.09866 0.918 0.895292591 0.894439491 0.09529 0.919 0.896795781 0.895970824 0.09199 0.92 0.898294477 0.897497100 0.08877

0.921 0.899788639 0.899018285 0.08561 0.922 0.901278228 0.900534342 0.08254 0.923 0.902763206 0.902045234 0.07953 0.924 0.904243533 0.903550926 0.07660 0.925 0.905719170 0.905051381 0.07373 0.926 0.907190078 0.906546564 0.07093 0.927 0.908656218 0.908036438 0.06821 0.928 0.910117550 0.909520966 0.06555 0.929 0.911574034 0.911000113 0.06296 0.93 0.913025631 0.912473842 0.06044

0.931 0.914472300 0.913942117 0.05798 0.932 0.915914003 0.915404901 0.05558

100Re(t)

Re(t)Re(t)δ

SG1

SG1SG2R ⋅

−=

9. ANEXE

189




Re(t)SG2=2R(t)6-7R(t)5+6R(t)4

0.933 0.917350699 0.916862159 0.05326 0.934 0.918782347 0.918313854 0.05099 0.935 0.920208907 0.919759950 0.04879 0.936 0.921630340 0.921200410 0.04665 0.937 0.923046604 0.922635198 0.04457 0.938 0.924457658 0.924064277 0.04255 0.939 0.925863463 0.925487612 0.04059 0.94 0.927263978 0.926905165 0.03870

0.941 0.928659160 0.928316901 0.03686 0.942 0.930048970 0.929722783 0.03507 0.943 0.931433366 0.931122774 0.03335 0.944 0.932812306 0.932516839 0.03167 0.945 0.934185750 0.933904940 0.03006 0.946 0.935553656 0.935287041 0.02850 0.947 0.936915982 0.936663106 0.02699 0.948 0.938272686 0.938033098 0.02554 0.949 0.939623727 0.939396981 0.02413 0.95 0.940969063 0.940754719 0.02278

0.951 0.942308650 0.942106274 0.02148 0.952 0.943642449 0.943451611 0.02022 0.953 0.944970415 0.944790693 0.01902 0.954 0.946292507 0.946123483 0.01786 0.955 0.947608681 0.947449945 0.01675 0.956 0.948918896 0.948770042 0.01569 0.957 0.950223109 0.950083738 0.01467 0.958 0.951521276 0.951390997 0.01369 0.959 0.952813355 0.952691782 0.01276 0.96 0.954099302 0.953986056 0.01187

0.961 0.955379075 0.955273783 0.01102 0.962 0.956652630 0.956554927 0.01021 0.963 0.957919923 0.957829451 0.00944 0.964 0.959180910 0.959097318 0.00872 0.965 0.960435549 0.960358492 0.00802 0.966 0.961683796 0.961612936 0.00737 0.967 0.962925606 0.962860615 0.00675 0.968 0.964160935 0.964101491 0.00617 0.969 0.965389739 0.965335528 0.00562 0.97 0.966611974 0.966562690 0.00510

0.971 0.967827596 0.967782940 0.00461 0.972 0.969036560 0.968996242 0.00416 0.973 0.970238821 0.970202558 0.00374 0.974 0.971434335 0.971401854 0.00334 0.975 0.972623057 0.972594092 0.00298 0.976 0.973804941 0.973779236 0.00264 0.977 0.974979943 0.974957250 0.00233 0.978 0.976148018 0.976128097 0.00204

100Re(t)

Re(t)Re(t)δ

SG1

SG1SG2R ⋅

−=

9. ANEXE

190




Re(t)SG2=2R(t)6-7R(t)5+6R(t)4

0.979 0.977309120 0.977291740 0.00178 0.98 0.978463203 0.978448144 0.00154

0.981 0.979610223 0.979597272 0.00132 0.982 0.980750133 0.980739088 0.00113 0.983 0.981882888 0.981873554 0.00095 0.984 0.983008441 0.983000636 0.00079 0.985 0.984126748 0.984120297 0.00066 0.986 0.985237760 0.985232500 0.00053 0.987 0.986341434 0.986337209 0.00043 0.988 0.987437721 0.987434387 0.00034 0.989 0.988526575 0.988524000 0.00026 0.99 0.989607950 0.989606010 0.00020

0.9901 0.989715674 0.989713791 0.00019 0.9902 0.989823324 0.989821496 0.00018 0.9903 0.989930897 0.989929124 0.00018 0.9904 0.990038396 0.990036677 0.00017 0.9905 0.990145818 0.990144152 0.00017 0.9906 0.990253166 0.990251551 0.00016 0.9907 0.990360438 0.990358873 0.00016 0.9908 0.990467634 0.990466119 0.00015 0.9909 0.990574754 0.990573288 0.00015 0.991 0.990681799 0.990680380 0.00014

0.9911 0.990788768 0.990787396 0.00014 0.9912 0.990895662 0.990894335 0.00013 0.9913 0.991002479 0.991001196 0.00013 0.9914 0.991109221 0.991107982 0.00013 0.9915 0.991215887 0.991214690 0.00012 0.9916 0.991322477 0.991321321 0.00012 0.9917 0.991428991 0.991427875 0.00011 0.9918 0.991535428 0.991534353 0.00011 0.9919 0.991641790 0.991640753 0.00010 0.992 0.991748076 0.991747076 0.00010

0.9921 0.991854285 0.991853322 0.00010 0.9922 0.991960418 0.991959491 0.00009 0.9923 0.992066475 0.992065583 0.00009 0.9924 0.992172455 0.992171597 0.00009 0.9925 0.992278359 0.992277534 0.00008 0.9926 0.992384187 0.992383394 0.00008 0.9927 0.992489938 0.992489177 0.00008 0.9928 0.992595613 0.992594882 0.00007 0.9929 0.992701211 0.992700510 0.00007 0.993 0.992806732 0.992806060 0.00007

0.9931 0.992912177 0.992911533 0.00006 0.9932 0.993017545 0.993016929 0.00006 0.9933 0.993122836 0.993122247 0.00006 0.9934 0.993228050 0.993227487 0.00006

100Re(t)

Re(t)Re(t)δ

SG1

SG1SG2R ⋅

−=

9. ANEXE

191




Re(t)SG2=2R(t)6-7R(t)5+6R(t)4

0.9935 0.993333188 0.993332649 0.00005 0.9936 0.993438249 0.993437734 0.00005 0.9937 0.993543233 0.993542742 0.00005 0.9938 0.993648139 0.993647671 0.00005 0.9939 0.993752969 0.993752523 0.00004 0.994 0.993857722 0.993857297 0.00004

0.9941 0.993962397 0.993961993 0.00004 0.9942 0.994066995 0.994066612 0.00004 0.9943 0.994171516 0.994171152 0.00004 0.9944 0.994275960 0.994275615 0.00003 0.9945 0.994380326 0.994379999 0.00003 0.9946 0.994484615 0.994484306 0.00003 0.9947 0.994588827 0.994588534 0.00003 0.9948 0.994692961 0.994692684 0.00003 0.9949 0.994797018 0.994796757 0.00003 0.995 0.994900997 0.994900751 0.00002

0.9951 0.995004898 0.995004666 0.00002 0.9952 0.995108722 0.995108504 0.00002 0.9953 0.995212468 0.995212263 0.00002 0.9954 0.995316136 0.995315944 0.00002 0.9955 0.995419727 0.995419547 0.00002 0.9956 0.995523240 0.995523071 0.00002 0.9957 0.995626674 0.995626517 0.00002 0.9958 0.995730031 0.995729885 0.00001 0.9959 0.995833310 0.995833174 0.00001 0.996 0.995936511 0.995936384 0.00001

0.9961 0.996039633 0.996039516 0.00001 0.9962 0.996142678 0.996142569 0.00001 0.9963 0.996245644 0.996245544 0.00001 0.9964 0.996348532 0.996348440 0.00001 0.9965 0.996451342 0.996451257 0.00001 0.9966 0.996554074 0.996553996 0.00001 0.9967 0.996656727 0.996656656 0.00001 0.9968 0.996759302 0.996759237 0.00001 0.9969 0.996861798 0.996861739 0.00001 0.997 0.996964216 0.996964162 0.00001

0.9971 0.997066555 0.997066506 0.00000 0.9972 0.997168815 0.997168772 0.00000 0.9973 0.997270997 0.997270958 0.00000 0.9974 0.997373100 0.997373066 0.00000 0.9975 0.997475125 0.997475094 0.00000 0.9976 0.997577070 0.997577043 0.00000 0.9977 0.997678937 0.997678913 0.00000 0.9978 0.997780725 0.997780704 0.00000 0.9979 0.997882434 0.997882416 0.00000 0.998 0.997984064 0.997984048 0.00000

100Re(t)

Re(t)Re(t)δ

SG1

SG1SG2R ⋅

−=

9. ANEXE

192




Re(t)SG2=2R(t)6-7R(t)5+6R(t)4

0.9981 0.998085615 0.998085601 0.00000 0.9982 0.998187087 0.998187075 0.00000 0.9983 0.998288479 0.998288469 0.00000 0.9984 0.998389793 0.998389785 0.00000 0.9985 0.998491027 0.998491020 0.00000 0.9986 0.998592182 0.998592176 0.00000 0.9987 0.998693258 0.998693253 0.00000 0.9988 0.998794254 0.998794250 0.00000 0.9989 0.998895171 0.998895168 0.00000 0.999 0.998996008 0.998996006 0.00000

100Re(t)

Re(t)Re(t)δ

SG1

SG1SG2R ⋅

−=

9. ANEXE

193

Fig. 9-5. Funcţia de fiabilitate echivalenta Re(t) obţinuta prin metodele SG1, şi SG2 pentru R(t)= 0,8 - 0,9

0.5999

0.6499

0.6999

0.7499

0.7999

0.8499

0.8999

0.9499

0.9999

0 .8000.8030.8060.8090.8120.8150.818

0.8210.8240.8270.8300.8330.836

0.8390.8420.8450.8480.8510.854

0.8570.8600.8630.8660.8690.872

0.8750.8780.8810.8840.8870.8900.8930.8960.899

R(t)

R e(t)

Re(t)-m

et. solutiei generale (SG1)

Re(t)-m

et. solutiei generale (SG2)

9. ANEXE

194

Fig. 9-6. Funcţia de fiabilitate echivalenta Re(t) obţinuta prin metodele SG1 şi SG2 pentru R(t)= 0,9 - 0,99

0.84

99

0.86

99

0.88

99

0.90

99

0.92

99

0.94

99

0.96

99

0.98

99 0.900 0.903 0.906 0.909 0.912 0.915 0.918 0.921 0.924 0.927 0.930 0.933 0.936 0.939 0.942 0.945 0.948 0.951 0.954 0.957 0.960 0.963 0.966 0.969 0.972 0.975 0.978 0.981 0.984 0.987 0.990

R(t

)

Re(t)

Re(

t)-m

et. s

olut

ie g

ener

ale

(SG

1)

Re(

t)-m

et. s

olut

iei g

ener

ale

(SG

2)

9. ANEXE

195

Fig. 9-7. Funcţia de fiabilitate echivalenta Re(t) obţinuta prin metodele SG1 şi SG2 pentru R(t)= 0,9 - 0,99

0.98

93

0.99

13

0.99

33

0.99

53

0.99

73

0.99

93 0.990 0.990 0.991 0.991 0.991 0.992 0.992 0.992 0.992 0.993 0.993 0.993 0.994 0.994 0.994 0.994 0.995 0.995 0.995 0.996 0.996 0.996 0.997 0.997 0.997 0.997 0.998 0.998 0.998 0.999 0.999

R(t

)

Re(t)

Re(

t)-m

et. s

olut

iei g

ener

ale

(SG

1)

Re(

t)-m

et. s

olut

iei g

ener

ale

(SG

2)

9. ANEXE

196

Fig. 9-8. Eroarea relativa de aproximare, in %, in cazul determinării funcţiei de fiabilitate pentru instalaţia din Fig. 6-24 prin metoda soluţiei generale simplificata

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.800

0.808

0.816

0.824

0.832

0.840

0.848

0.856

0.864

0.872

0.880

0.888

0.896

0.904

0.912

0.920

0.928

0.936

0.944

0.952

0.960

0.968

0.976

0.984

0.990

0.991

0.992

0.993

0.993

0.994

0.995

0.996

0.997

0.997

0.998

0.999

R(t

)

ddddR(%)

Eroa

rea

rela

tiva

10. BIBLIOGRAFIE

197

10. BIBLIOGRAFIE

[1]. Onicescu, O., Mihoc, Gh. – Calculul probabilităţilor, Fundaţia pentru literatură şi artă Regele Carol al II-lea, 1939

[2]. Ciorănescu, N. – Curs de algebră şi analiză matematică, Editura tehnică, Bucureşti, 1955

[3]. Kemeny, J.G., Snell, J.L. – Finite Markov chains. Princeton, Van Nostrand,1960;

[4]. Barlow, R.E., Proschan, F. – Statistical Theory of Reliability, John Wilwy, New York, 1965

[5]. Gnedenko, B.V., Beleaev, I.K., Soloviev, A.D. – Metode matematice în teoria siguranţei în funcţionare, Editura Tehnică Bucureşti, 1968

[6]. Mihoc, Gh., Micu, N. – Elemente de teoria probabilităţilor şi statistică, Editura Didactică şi Pedagogică, 1969, Bucureşti;

[7]. Mihoc, Gh., Ciucu, G., Craiu, V. - Teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1970

[8]. Georgescu Roegen N. – The Entropy Law and the Economic Process, Harvard University Press, traducere în limba română, 1971;

[9]. Niţu, V. I. - Fiabilitatea instalaţiilor energetice, Editura Academia R.S.R., Bucureşti, 1973

[10]. Juran, J.M., Gryna jr., F.M. – Calitatea produselor – Tratat practic de planificare, proiectare, realizare şi control, Editura tehnică, Bucureşti, 1973

[11]. Mihoc, Gh., Muja Aneta, Diatu, E. – Bazele matematice ale teoriei fiabilităţii, Editura Dacia, Cluj Napoca, 1976

[12]. Mihoc, Gh., Muja, A., Diatcu, E. – Bazele matematice ale teoriei fiabilităţii, Editura Dacia, Cluj-Napoca, 1976

[13]. Iosifescu, M. – Lanţuri Markov finite şi aplicaţii, Editura tehnică, Bucureşti, 1977

[14]. Pages, M. Gondran – Fiabilite des systèmes, Editeur Paris, 1979;

[15]. Stamatiu, Al. – Relaţii aproximative pentru calculul indicatorilor de fiabilitate ai schemelor electrice de distribuţie la consumatori industriali, Buletinul �tiinţific I.C.B., nr. 3-4, 1979, Bucureşti;

[16]. Niţu, V.I., Ionescu, C. – Fiabilitate în energetică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980

[17]. Mihoc, Gh., Micu, N. – Teoria probabilităţilor şi statistică matematică, Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1980

[18]. Niţu, V.I, Ionescu, C. – Fiabilitate în energetică, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1980

10. BIBLIOGRAFIE

198

[19]. Cătuneanu, V.M., Mihalache, A. – Bazele teoretice ale fiabilităţii, Editura Academiei, Bucureşti, 1983

[20]. Isaic, M. Al. – Metoda Weibull. Aplicaţii, Editura Academiei, Bucureşti, 1983

[21]. Centea, O. – Elemente de teoria şi calculul fiabilităţii, Institutul de Construcţii Bucureşti, 1984;

[22]. Cătuneanu, V. M., Bacivarof, I. C. – Fiabilitatea sistemelor de telecomunicaţii, Editura militară, Bucureşti, 1985

[23]. Isaic, Al., Vodă, V. Gh. – Fiabilitatea şansă şi risc, Editura Tehnică, Bucureşti, 1986

[24]. Stamatiu, Al. – Optimizarea schemelor de instalaţii electrice la consumatorii industriali, Teză de doctorat, U.T.C.B., 1987, Bucureşti;

[25]. Popovici, A. A. – Proiectarea securităţii sistemelor complexe, Editura �tiinţifică şi Enciclopedică, Bucureşti,1988.

[26]. Stamatiu, Al. – The optimising of electrical drivers supply networks, The 2-nd International Conference on Electrical Drivers, Braşov, 1988

[27]. Cătuneanu, V. M., Bacivarof, A. – Structuri electronice de înaltă fiabilitate – Toleranţa la defectări, Editura militară, Bucureşti, 1989

[28]. Cătuneanu, V. M., Popenţiu, F. – Optimizarea fiabilităţii sistemelor, Editura Academiei, Bucureşti, 1989

[29]. Catunenu, V.M., Popentiu, Fl. - Evaluarea fiabilităţii sistemelor noncoerente, Calitate, Fiabilitate, Metrologie, volumul XXXVI, nr. 2-3, 1989;

[30]. Andreas – Asigurarea mentenabilităţii produselor, Calitatea, Fiabilitate, Metrologie, volumul XXXVI, nr. 2-3, 1989

[31]. CEI – IEC 50 (191) – Norme internaţionale, Vocabulaire Electrotehnique International, chapiter 191: Sûreté de fonctionnement et qualité de service, Premiére édition, 1990-12

[32]. Stamatiu, Al. - Unele consideraţii asupra ingineriei fiabilităţii instalaţiilor redundante, Simpozion SIEAR, 1994, Bucureşti;

[33]. Cârlan, M. – Probleme de optimum în ingineria sistemelor tehnice, Editura Academiei Române, Bucureşti, 1994

[34]. Băjenescu, T.I. – Fiabilitatea componentelor electronice, Editura Tehnică, Bucureşti, 1996

[35]. Bacivarof, I. – Ingineria siguranţa în funcţionare în perspectiva mileniului trei, Asigurarea Calităţii, nr. 9, ianuarie - martie, 1997

[36]. Ionescu, C., Larionescu, S. – Automatizări, Sisteme automate discrete logice, UTCB, 1997;

[37]. Stamatiu, Al. – Fiabilitatea Instalaţiilor, Editura MatrixRom, Bucureşti, 1998

[38]. Vlad Aurelia – Stadiul actual al teoriei fiabilităţii si mentenabilităţii, Referat doctorat, Bucureşti, 1998

10. BIBLIOGRAFIE

199

[39]. Stamatiu, Al. – Entropie şi fiabilitate, Conferinţa Facultăţii de Instalaţii, Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti, Bucureşti, 24 - 26 noiembrie1999;

[40]. Vlad Aurelia – Fiabilitatea şi mentenabilitatea instalaţiilor, Referat doctorat, Bucureşti, 1999

[41]. Vlad Aurelia – Managementul fiabilităţii, Referat doctorat, Bucureşti, 1999

[42]. Larionescu, S. – KitSAS Simularea şi Analiza Sistemelor, Editura MatrixRom, Bucureşti, 1999

[43]. �erbu, T. – Fiabilitatea şi Riscul instalaţiilor. Elemente de teorie şi calcul, Editura MatrixRom, Bucureşti, 2000

[44]. Stamatiu, Al., Badea, E. – Unele consideraţii asupra analizei fiabilităţii instalaţiilor cu şi fără restabilire, Conferinţa de Instalaţii Electrice şi Automatizări, volumul 2, Sinaia, 2000

[45]. Stamatiu, Al. – Schimbare şi entropie, A VII-a Conferinţă a Facultăţii de Instalaţii, Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti, Bucureşti, 29 – 30 noiembrie 2000;

[46]. Stamatiu, Al. – Implicaţii ale legii entropiei în analiza fiabilităţii sistemelor, The 7th International Conference on Quality, Reliability, Maintainability – CCF 2000, Proceedings of CCF 2000(I), Sinaia, România, 27-29 Septembrie 2000;

[47]. Caluianu, S. – Inteligenţa artificială în instalaţii. Logica fuzzy şi teoria posibilităţilor, Editura MatrixRom, Bucureşti, 2000

[48]. Popescu, D. – Teoria sistemelor automate, Editura MatrixRom, Bucureşti, 2000

[49]. Badea, E. – Stadiul actual al teoriei fiabilităţii, Referat de doctorat, Bucureşti, 2001

[50]. Stamatiu, Al. – Entropia maxima – Soluţii pentru evaluarea schimbării entropice. A VIII-a Conferinţă a Facultăţii de Instalaţii, Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti, vol. III, Bucureşti, 28 – 30 noiembrie 2001;

[51]. Stamatiu, Al., Ivan, N., Badea, E. - Contribuţii la evaluarea MTTF prin modelul degradării entropice, A VIII-a Conferinţă a Facultăţii de Instalaţii, Universitatea Tehnică de Construcţii Bucureşti, vol. III, Bucureşti, 28 – 30 noiembrie 2001;

[52]. Brown, R.E., Marshall, M.W. - The Cost of Reability, Transmission & Distributions World, December 2001,Primedia Publication, 2001.

[53]. Malide, C. – Evoluţia sistemelor embedded: tehnologiile comerciale migrează spre lumea embedded, Rev. Electronica Azi, nr.4, Editura Eurostandard Press 2000, martie, 2001

[54]. Radcenco, V. – O teorie termodinamică a interacţiunilor fizice, Editura Academiei Române, Bucureşti, 2001

10. BIBLIOGRAFIE

200

[55]. Richard, E. B., Mike, W. M. – The Cost of Reliability, Transmission & Distribution World, december, U.S.A., 2001

[56]. Badea, E., Popescu, D. – Implementarea cu automat programabil a sistemului logic secvenţial pentru pornirea stea-triunghi a motorului electric asincron trifazat cu rotorul în scurtcircuit, Conferinţa a VII-a „Eficienţă, Confort, Conservarea Energiei şi Protecţia Mediului”, Secţiunea Electrotehnică, Instalaţii electrice şi Automatizări, Editura MatrixRom, Bucureşti, 2001;

[57]. Stamatiu, Al. – Considerations on Maximum Entropy, World Energy Council, Regional Energy Forum, Neptun-Olimp, România, 2002;

[58]. Stamatiu, Al. – Metode entropice pentru evaluarea fiabilităţii sistemelor, The 8th International Conference on Quality, Reliability, Maintainability – CCF 2002, Proceedings of CCF 2002, Sinaia, România, 18-20 Septembrie 2002;

[59]. Stamatiu, Al., Ivan, N. – Un nou model entropic pentru analiza fiabilităţii sistemelor redundante, A XXXVII-a Conferinţă Naţională de Instalaţii, Sinaia, 1 – 4 octombrie 2002;

[60]. Stamatiu, Al., Badea, E. – Aplicaţii ale modelării entropice în fiabilitatea instalaţiilor energetice, A XXXVII-a Conferinţă Naţională de Instalaţii, Sinaia, 1 – 4 octombrie 2002;

[61]. Stamatiu, Al., Badea, E., Ivan, N. – Unele soluţii practice pentru analiza fiabilităţii schemelor de instalaţii complexe cu componente de înaltă fiabilitate, A IX –a Conferinţă a Facultăţii de Instalaţii, Bucureşti, 27 – 29 noiembrie 2002;

[62]. Ionescu, C., Larionescu, S., Caluianu, S., Popescu, D. – Automatizarea instalaţiilor. Comenzi automate, Editura MatrixRom, Bucuresti, 2002

[63]. Băjenescu, T.I. – Fiabilitatea sistemelor tehnice, Editura MatrixRom, Bucureşti, 2003

[64]. Badea, E. – Metode de proiectare pe baza optimizării fiabilităţii şi mentenabilităţii, Referat de doctorat, Bucureşti, 2003

[65]. Feller, W. – An Introduction to Probability Theory and Its Applications, vol. I, third ed., John Wiley & Sons, 2003

[66]. Ionescu, C. Gh. – Optimizarea fiabilităţii instalaţiilor hidraulice din cadrul sistemelor de alimentare cu apă, Editura MatrixRom, Bucureşti, 2004

[67]. Stamatiu, Al. – Bazele unei teorii entropice a sistemelor. Aplicaţii în fiabilitate, Proceedings of the 9th International Conference on Quality, Reliability, Maintainability, september 29th – october 1st, Sinaia România, 2004

[68]. Burlacu, G., Bandrabur, C., Dăneţ, N., Duminică, T. – Fiabilitatea şi mentenabilitatea sistemelor tehnice, Editura MatrixRom, Bucureşti, 2005

10. BIBLIOGRAFIE

201

[69]. Baicu, F. – Elemente de fiabilitate, Editura Victor, Bucureşti, 2005

[70]. Stamatiu, Al. – Consideraţii asupra posibilităţii modelării entropice a unor fenomene naturale, Studies of Applied Thermodynamics, nr. 2, Editura Politehnica Press, Bucureşti, 2005

[71]. Iordache, Gh. – Ingineria calităţii. Fiabilitate, Editura MatrixRom, Bucureşti, 2007

[72]. Ciobanu, L. – Fiabilitate, diagnoză şi elemente de calimetrie, Editura MatrixRom, Bucureşti, 2008

[73]. Bendea, G. – Fiabilitatea sistemelor electrice din centralele termoelectrice, Editura MatrixRom, Bucureşti, 2002

[74]. Petrescu, E., Voda, V.Gh. – Managementul fiabilităţii, Editura ASAB, Bucureşti, 2008

[75]. Dinu, Gh., Vodă, Gh. V. – Despre informaţie, entropie şi aplicaţii în managementul calităţii, Calitatea – acces la succes, nr.4, 2008

[76]. Stamatiu, Al. – Asupra necesităţii redefinirii cuantei de timp, A 11-a Conferinţă Internaţională de Calitate şi Fiabilitate CCF, Sinaia, 2008 şi republicat la A 43-a Conferinţă Naţională de instalaţii, Sinaia, 2008

[77]. Green, B. – The Elegent Univers, Vintage Books a division of Random House, Inc., New York, 2003, tradusă în l. română, Editura Humanitas, Bucureşti, 2008

[78]. Petrescu, E., Voda, V.Gh. – Necesitatea întamplării sau lumea riscului statistic, Editura Printech, Bucureşti, 2009

[79]. Vodă, V.Gh. – Some comment son statistical risk, Reliability & Risk Analysis: Theory & Application, USA, martie, 2009

[80]. xxx – Motor starter solutions. Control and protection components, Catalog Telemecanique, Schneider Electric Romania, 2008/2009

[81]. xxx – Zelio Time – timing relays, Catalog Telemecnique, Schneider Electric Romania, 2008/2009

[82]. Badea, E. – O nouă metodă pentru evaluarea riscului tehnic al instalaţiilor, Buletinul ştiinţific UTCB, 2010

[83]. Stamatiu, Al., Badea, E., Ivan, B., Păltineanu, G.,– O nouă teorie a fiabilităţii instalaţiilor, Proceedings of the 12th International Conference on Quality, Reliability, Maintainability, september 22th – 24st, Sinaia România, 2010, republicată în broşura celei de a 45-a Conferinţă Naţională de Instalaţii, vol. Instalaţii electrice automatizări, 13 – 15 octombrie, Sinaia, România, 2010

[84]. Badea, E. – Consideraţii asupra posibilităţii determinării duratei de viaţă a instalaţiilor cu ajutorul lanţurilor Markov finite, Conferinţa Facultăţii de Instalaţii, martie, Bucureşti, 2010

[85]. xxx – www.schneider-electric.ro

[86]. xxx – www.thomsonscientific.com

Documents

TEZ Ă DE DOCTORAT CONTRIBU ŢII LA …digilib.utcb.ro/repository/ccn/pdf/badea.pdfOptimizarea schemei de automatizare pentru pornirea stea-triunghi a unui motor trifazat .....140