TESTAREA IPOTEZELOR

  • View
    228

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of TESTAREA IPOTEZELOR

  • 1

    FACULTATEA DE FINANE, BNCI I CONTABILITATE BRAOV

    CERCUL TIINIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A

    PROCESELOR ECONOMICE

    TEMA 4

    TESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE

    Conf. univ. dr. Nicolae BRSAN-PIPU

    Facultatea de Finane, Bnci i Contabilitate Braov

    Universitatea Cretin Dimitrie Cantemir

    Obiective

    Cunoaterea principalelor concepte legate de testarea ipotezelor statistice

    Analiza principalelor teste generale de verificare a ipotezelor statistice

    Cuprins

    4.1 Conceptul de testare a ipotezelor statistice 2

    4.2 Testarea ipotezelor statistice pentru o singur populaie 5

    4.2.1 Testarea mediei populaiei atunci cnd abaterea standard este cunoscut 5

    4.2.2 Testarea mediei populaiei atunci cnd abaterea standard nu este cunoscut 7

    4.2.3 Testarea proporiei populaiei 9

    4.3 Testarea ipotezelor statistice pentru o dou populaii 11

    4.3.1 Testarea diferenei dintre mediile a dou populaii, cu abaterile standard cunoscute 11

    4.3.2 Testarea diferenei dintre mediile a dou populaii, cu abaterile standard necunoscute 13

    4.3.3 Testarea diferenei dintre mediile a dou populaii, pentru eantioane pereche 14

    4.3.4 Testarea diferenei dintre proporiile a dou populaii 16

    4.7 Bibliografie selectiv 17

    http://universitatea-cantemir.ro/Cercetare/detaliu_cerc.php?id=1http://universitatea-cantemir.ro/Cercetare/detaliu_cerc.php?id=1

  • 2 CERCUL TIINIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE

    4.1 Conceptul de testare a ipotezelor statistice

    Testarea sau verificarea ipotezelor statistice reprezint o modalitate

    important pentru inferena asupra parametrilor unei populaii. Obiectivul

    testrii unei ipoteze statistice este acela de a determina dac o anumit

    presupunere asupra unui parametru al unei populaii este validat din punct de

    vedere statistic.

    En: Hypothesis testing

    Exist ntotdeauna dou ipoteze care se testeaz:

    Ipoteza nul (notat H0);

    Ipoteza alternativ sau ipoteza de cercetare (notat Ha sau H1).

    Procedura de testare ncepe presupunnd ipoteza nul ca fiind adevrat.

    Scopul testrii este acela de a stabili dac exist suficiente elemente pentru a

    decide c ipoteza alternativ este adevrat.

    Exist ntotdeauna dou decizii posibile, reciproc exclusive:

    Acceptarea ipotezei alternative;

    Respingerea ipotezei alternative.

    Acceptarea ipotezei alternative presupune c ipoteza nul este fals.

    Respingerea ipotezei alternative presupune c ipoteza nul este

    adevrat.

    Exist dou erori posibile, care apar la testarea ipotezelor statistice:

    Eroarea de tipul I: Respingerea ipotezei nule cnd n realitate ea este

    adevrat

    Eroarea de tipul II: Acceptarea ipotezei nule cnd n realitate ea este

    fals

    Probabilitatea de a comite o eroare de tipul I este:

    Prob{Eroare de tipul I} =

    Probabilitatea de a comite o eroare de tipul II este:

    Prob{Eroare de tipul II} =

    Tabelul de decizie pentru testarea ipotezelor statistice, respectiv deciziile

    adoptate fa de starea real a populaiei, este reprezentat n Tabelul 4.1.

    Tabelul 4.1: Tabelul de decizie pentru testarea ipotezelor statistice

    Decizie Starea real a populaiei

    H0 adevrat Ha adevrat

    Acceptare H0

    (Respingere Ha) Decizie corect

    Eroare de tipul II

    ()

    Respingere H0

    (Acceptare Ha)

    Eroare de tipul I

    () Decizie corect

  • TEMA 4: TESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE 3

    Pentru testarea ipotezelor statistice se utilizeaz urmtoarele tipuri de teste:

    Test unilateral la stnga, cu ipotezele:

    0

    00

    :

    :

    aH

    H;

    Test unilateral la dreapta, cu ipotezele:

    0

    00

    :

    :

    aH

    H;

    Test bilateral, cu ipotezele:

    0

    00

    :

    :

    aH

    H.

    Dup stabilirea ipozezelor H0 i Ha, etapa urmtoare const n alegerea

    testului statistic i a nivelului de semnificaie.

    Testul statistic utilizeaz datele obinute din eantion pentru a decide

    asupra acceptrii sau respingerii ipotezei nule H0, referitoare ntotdeauna la

    testarea unui parametru al populaiei analizate. Valoarea numeric obinut

    dintr-un test statistic se numete valoarea calculat a testului.

    Nivelul de semnificaie al testului este , respectiv probabilitatea de a

    comite o eroare de tipul I. Valoarea 1 se numete coeficient de ncredere.

    Riscul de a comite o eroare de tipul II este . Valoarea 1 se numete puterea

    testului i este probabilitatea de a respinge ipozeza nul atunci cnd ea este

    fals i trebuie respins.

    Dup alegerea nivelului de semnificaie, se alege valoarea critic a

    testului, n funcie de i de efectivul eantionului n, din tabelele

    corespunztoare testului respectiv. Valoarea critic a testului determin

    regiunea critic sau regiunea de respingere a testului. Regiunile de

    respingere i de acceptare a testului bilateral sunt reprezentate n Figura 4.1.

    Definiia 4.1: Regiunea de respingere (regiunea critic) este un interval

    de valori, astfel nct dac statistica calculat a testului aparine acestui

    interval, atunci decidem respingerea ipotezei nule n favoarea ipotezei

    alternative.

    Valoare critic

    Valoare critic

    Regiune de acceptare (necritic sau de

    nerespingere)

    Regiune de respingere (critic)

    superioar

    Regiune de respingere (critic)

    inferioar

    Figura 4.1: Regiunile de respingere i de acceptare (testul bilateral)

  • 4 CERCUL TIINIFIC MODELAREA STATISTICO-MATEMATICA A PROCESELOR ECONOMICE

    O alt metod pentru acceptarea sau respingerea ipotezei nule o constituie

    aa-numita valoare p a testului.

    Definiia 4.2: Valoarea p a unui test statistic este probabilitatea ca statistica

    calculat a testului s fie mai mare dect nivelul de semnificaie .

    Rezult urmtorul algoritm pentru testarea unei ipoteze statistice, utiliznd

    cele dou abordri, respectiv abordarea prin metoda variabilei sau variabilelor

    critice i abordarea prin metoda valorii p:

    Pasul 1: Se stabilesc ipoteza nul H0 i ipoteza alternativ Ha;

    Pasul 2: Se specific nivelul de semnificaie al testului;

    Pasul 3: Se nregistreaz datele eantionului i se calculeaz valoarea

    statisticii testului;

    Metoda variabilei critice:

    Pasul 4: Se utilizeaz nivelul de semnificaie pentru a determina valoarea

    critic i regula de acceptare/respingere;

    Pasul 5: Se utilizeaz valoarea critic i regula de acceptare/respingere

    pentru ipoteza nul H0, astfel:

    Dac statistica calculat a testului nu se situeaz ntr-una din

    regiunile de respingere, atunci se accept (nu se respinge)

    ipoteza H0;

    Dac statistica calculat a testului este mai mic sau mai mare

    dect valorile critice, respectiv statistica calculat a testului se

    situeaz ntr-una din regiunile de respingere p , atunci se

    respinge (nu se accept) ipoteza H0.

    Metoda valorii p:

    Pasul 4: Se utilizeaz statistica testului pentru a determina valoarea p;

    Pasul 5: Se aplic regula de decizie pentru acceptarea/respingerea ipotezei

    nule H0 astfel:

    Dac p , atunci se accept (nu se respinge) ipoteza H0;

    Dac p , atunci se respinge (nu se accept) ipoteza H0.

    Concluzia testrii unei ipoteze statistice se interpreteaz astfel:

    1. Dac respingem ipoteza nul, concluzionm c exist suficient

    eviden statistic pentru a decide c ipoteza alternativ este

    adevrat;

    2. Dac nu respingem ipoteza nul, concluzionm c nu exist

    suficient eviden statistic pentru a decide c ipoteza

    alternativ este adevrat.

  • TEMA 4: TESTAREA IPOTEZELOR STATISTICE 5

    4.2 Testarea ipotezelor statistice pentru o singur populaie

    Vom analiza n continuare testarea ipotezelor statistice pentru o singur

    populaie statistic.

    4.2.1 Testarea mediei populaiei atunci cnd abaterea standard este

    cunoscut

    Vom analiza n continuare testele pentru ipotezele statistice asupra mediei

    a populaiei, atunci cnd abaterea standard este cunoscut.

    Definiia 4.3: Statistica testului pentru testarea ipotezei statistice asupra

    mediei a populaiei, atunci cnd abaterea standard este cunoscut este:

    n

    xz

    /

    0

    . (4.1)

    Atunci, pentru testele unilaterale i testul bilateral, cu nivelul de

    semnificaie , vom utiliza urmtoarele relaii de calcul (Tabelul 4.1):

    Tabelul 4.1: Testarea ipotezelor statistice asupra mediei populaiei, cunoscut

    Test unilateral la

    stnga (inferior)

    Test unilateral la

    dreapta (superior) Test bilateral

    Ipoteze: 0

    00

    :

    :

    aH

    H

    0

    00

    :

    :

    aH

    H

    0

    00

    :

    :

    aH

    H

    Statistica testului: n

    xz

    /

    0

    n

    xz

    /

    0

    n

    xz

    /

    0

    Regula de

    respingere

    (variabila critic):

    Se respinge H0

    dac:

    zz

    Se respinge H0

    dac:

    zz

    Se respinge H0

    dac:

    2zz

    sau 2zz

    Regula de

    respingere

    (valoarea p):

    Se respinge H0

    dac:

    infp

    Se respinge H0

    dac:

    supp

    Se respinge H0

    dac:

    supinfp

    Exemplul 4.1: Se consider datele din eantionul de valori din Exemplul 8.1,

    n care abaterea standard a populaiei este cunoscut. S