Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit
Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet
1
Test broj 1
1. a) Izraunati .0625,0log3071:
59:
43
51
2
2
+
+
b) Uprostiti ( ) .442
22 yxyxy
yxx
+
2. Rjeiti jednaine:
a) xxxx 23
254
25
12
+=
+
+
b) ( )( ) ( ) ( ) .2 ,12 ,1
je ako ,02
Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit
Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet
2
Rjeenje testa broj 1
1. a)
( )
( ) .04414212log22
3730
6037
5,0log23730
60251225,0log
3730
59:
43
51
0625,0log3071:
59:
43
51
21
2
2
22
22
2
2
2
2
==+
=+
=
=+
+=+
+=
=+
+
b)
( ) ( )( )( )
( )( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
y. x-y xuslov uz
,12222
22
2222
2222
2
2244
2
22
+
=++++
=+++
=
=++
+=
=+
+=
+
yxyxyxyxyxyx
yxyxyxyyxx
yxyxyxy
yxx
yxyxyxy
yxx
yxyxy
yxx
2. a) Ako se data jednaina pomnoi sa NZS (3,4,5), tj. sa 60, dobija se:
( ) ( ) ( )
2x 4020189
1202520215121223
254
25
12
=+=
+=+++
=+
+
xx
xxxxxxxx
b) Ako je x < 2, jednaina glasi ( ) ( ) .011 2 =+++ xx Tada je:
( ) ( )
( )-2x-1x
2-2x-1x 20132011 22
==
Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit
Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet
3
.2:2:
2
1
=+=xyt
xyt
3.) Za Zk ,
2 xza tj.0,sinx ili 0cos === kx jednaina je nemogua.
Dalje, data jednaina je ekvivalentna sa :
( )
. ,4
,2
121t2t
023 032
)0cos sa mdijeljenje(0cossin3sincos2
0cossin3cossincos0cossin31cos
1cossin3cos
2
2
2
22
222
2
2
ZllxZkkarctgx
tgxtgxttgx
ttttgxtgxxtg
xxxxx
xxxxxxxx
xxx
+=+=
======+=
=+
=+
=++
=+
=
4.) Nejednaina 81log3log 222 0. Ako uvedemo smjenu tx =2log , onda je tx 2= , pa dobijamo:
( )
( ) ( )( ) ( )
3013
03333
22
82
2
2
23
33
13
23
2
Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit
Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet
4
Slika 2.
Dakle, ,2 bac += 22
bac = i a = 3, odakle je
.21
333
3326
332
==
==
=+=
=+=
cb
bcb
bcbb
bcbc
Visinu h dobijamo iz pravouglog trougla AED:
.32
322
360sin ==== cch o
To znai da je obim trapeza 813222 =++=++= bacO cm,
a povrina trapeza je 3232
132
=+
=+
= hbaP cm2.
7.) Na osnovu formule za povrinu kupe srrMBP +=+= 2
( )
.6 i 09610 je da odnosno,
,1096 je da dobijamo
2 ==+
+=
rrr
rr
Kako je . 8 je to,222 cmHrsH == Slika 3. Zapreminu kupe izraunavamo po formuli
. 96 tj.
8631 je pa ,
31
3
2
cmV
VHBV
=
==
8.) Prema uslovu zadatka je 1q i 16...2111
Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit
Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet
5
Zbir svih lanova progresije izraunava se po formuli
:slijedi 153,61
i 161
iz pa ,1 2
2111 =
=
= q
aq
aq
aS
( )
( )( )
( ) ( )( )
.4112
6,4094,102116
16,1531256116
6,1531
1256
1161
11
2
21
=
=
==
+==
=
=
q
a
qqa
qqqa
qq
qa
Dakle, .643
25612
4112 i
41 44
15 ==
=== qaaq
9.) Znajui da je ( ) sin180sin i
sin22sincos == o , dobijamo da je
( ) ( ) .
161
20sin20180sin
60sin60180sin
161
20sin160sin
60sin120sin
161
80sin2160sin
60sin2120sin
40sin280sin
20sin240sin80cos60cos40cos20cos
=
==
=
=
o
oo
o
oo
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
ooooo
10. Mogue sastave grupe prikaimo pomou skupova (jer redosled nije bitan): { } { } { } { } { } { },,,, ,,,, ,,,, ,,,, ,,,, ,,,, VPOOVPPOVVPOPPPOPPOOPOOO gdje O oznaava oficira, P podoficira, i V vojnika.
Od 5 oficira moemo izabrati 3 oficira na 10321345
35
=
=
naina.
etvrti lan grupe mora biti podoficir, za iji izbor imamo 414
14
==
mogunosti.
Svakom izboru 3 oficira od 5 oficira odgovaraju 4 izbora podoficira pa za ovu kombinaciju imamo 40410 = mogua naina formiranja grupe. Slino rasuivanje primjenjuje se i u ostalim sluajevima. Ukupan broj traenih naina je:
.1720400300900206040110
14
25
110
24
15
210
14
15
34
15
24
25
14
35
=+++++=
=
+
+
+
+
+
Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit
Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet
6
Test broj 2
1.) a) Izraunati .116
1:63
1226
416
15+
++
b) Uprostiti .22
2
222
abab
baba
abba
+
+
2.) Rjeiti jednaine: a) ,6
13
424
132
1 ++
=
+
xxxx
b) ( ) ( ).47124 222 xxxx =+
3.) Rjeiti trigonometrijsku jednainu: .212cos
815sincos 66 =+ xxx
4.) Rjeiti nejednainu: ( ) .4
1log3log313
+
Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit
Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet
7
10.) Izraunati granine vrijednosti:
a) ,2log...4log2log
lim 2222
n
n
n
++++
b) 23 2
0
11limxx
x
+
Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit
Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet
8
Rjeenje testa broj 2 1. a)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) .1151216116116116634262163
11669
631246
26416
1615
1161:
6312
264
1615
==+=
=++++=
=+
+
+
+
=
=+
++
b)
( ) ( )( )( )
( ) ( )( )( ) b.a i 0b ,0a uslov uz ,1
333223
3322
2222
2
2
2
222
=
=
=
++=
++
=
=
+
+
=
+
+
baababab
baabbabbaaba
baabbababa
baab
baba
abba
abab
baba
abba
2. a) Ako datu jednainu pomnoimo sa NZS (2,3,4,6), tj. sa 12, dobijamo:
( ) ( ) ( ) ( )
.1551410915
12424133166
13
424
132
1
===
++=++
+
=
+
xxxx
xxxxxxxx
b) Ako uvedemo smjenu txx = 42 , dobijamo da je:
( ) ( )
( ).21344034
44344340127447124
22
222
22222
===+=+
=====
=++==+
xxxxxxxxxxxtttxx
tttxxxxxx
3.) Koristei identitete:
( )( )( )
,cos1sin i 2sincossin2
,3
,
22
222224224
2233
xxxxx
bababbaa
babababa
=
=+=+
++=+
transformiemo lijevu stranu jednaine na sledei nain:
Zbirka rjeenih zadataka iz matematike za prijemni ispit
Univerzitet u Istonom Sarajevu Mainski fakultet
9
( ) ( )
( )( )( )[ ]
( ).2cos14312sin
431
4cossin431sincos3sincos1
sinsincoscossincossincossincos
22
2222222
422422
323266
xx
xxxxxx
xxxxxxxxxx
=
==+=
=++=
=+=+
Data jednaina sada ima oblik ( )212cos
8152cos1
431 2 = xx , odakle se sreivanjem
dobija ekvivalentna jednaina, odnosno .022cos52cos2 2 =+ xx Uvoenjem smjene
tx =2cos dobija se jednaina 0252 2 =+ tt , ija su rjeenja 21 ili 2 == tt . Jednaina
22cos =x je nemogua, a jednaina 212cos =x ima rjeenja . ,2
6Zkkx +=
4.) Nejednaina ( )4
1log3log313
++> xx , odnosno
ako je ( )3,1x . Kako je aa nn
loglog 1 = bie da je
.1
4log4
1log4
1log4
1log 31
3331 +
=
+=
+=
+
xxxx
Osnova logaritma je vea od 1, pa je logaritamska funkcija rastua, a nejednaina
( )1
4log3log 33 +
++
xxxx
Rjeenja poslednje nejednaine su svi brojevi vei od -1 i razliiti od 1. Ako uzmemo u obzir da je ( )3,1x , konano rjeenje dat
