Tesis de Placas y Cascaras

8/10/2019 Tesis de Placas y Cascaras

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ESCUELA POLITCNICA SUPERIOR

Departamento de Mecnica de Medios Continuos yTeora de Estructuras

Ingeniera Tcnica Industrial Mecnica

Proyecto Fin de Carrera

CLCULO DE PLACAS A

TRAVS DE DISTINTASMETODOLOGAS

Autor: Miguel Ortega Oyarzbal

Tutor: Sergio Gonzlez Lpez

UNIVERSIDADCARLOS III DE MADRID


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ii

5.1. Introduccin a la dinmica ................................................................................ 85

Casos y Resultados en Dinmico ............................................................................ 94

6.1 Resolucin Analtica. ......................................................................................... 94

6.1.1. Carga Uniforme.......................................................................................... 95

6.1.2. Carga Puntual .......................................................................................... 100

6.1.3. Carga Triangular ...................................................................................... 102

6.2 Resolucin Mediante M.E.F............................................................................. 105

6.2.1. Carga Uniforme........................................................................................ 105


6.2.3. Carga Puntual .......................................................................................... 110

6.3 Resolucin mediante Diferencias Finitas ......................................................... 111

6.3.1 Mtodo Dinmico ...................................................................................... 1156.3.2. Mtodo DinmicoEsttico .................................................................... 122

Comparativa ............................................................................................................ 132

7.1 Comparativa de resultados en esttico ............................................................ 132

7.1.1. Carga Uniforme........................................................................................ 132

7.1.2. Carga Puntual .......................................................................................... 133


7.2. Comparativa de resultados en dinmico ......................................................... 134

7.2.1. Carga Uniforme........................................................................................ 134


7.2.3. Carga Puntual .......................................................................................... 138

Conclusiones .......................................................................................................... 140

8.1. Conclusiones .................................................................................................. 140

8.2. Trabajos Futuros ............................................................................................ 141

Bibliografa .............................................................................................................. 142

Anexos..................................................................................................................... 143

Anexo A Gua de uso de Abaqus .......................................................................... 143

Anexo B Tabla con resultados numricos de la flecha de una placa sometida a cargatriangular ............................................................................................................... 153


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iii

ndice de Figuras

Fig 1. Ejemplo de placa (izquierda) y de laja (derecha). ................................................ 3

Fig 2. Forjado de un edificio .......................................................................................... 4

Fig 3. Cubierta plegada ................................................................................................. 4

Fig 4. Losa de puente. .................................................................................................. 5

Fig 5. Aproximacin a lmina. ....................................................................................... 5

Fig 6. Momentos Flectores creados por xy y. ............................................................ 8

Fig 7. Momentos torsores creados por las tensiones xyy yx. ....................................... 9

Fig 8. Cortantes creados por las tensiones xzy yz. .................................................... 10

Fig 9. Desplazamiento en el eje X............................................................................... 11

Fig 10. Desplazamiento en el eje Y. ............................................................................ 12

Fig 11. Esfuerzos en un elemento diferencial de placa. .............................................. 15

Fig 12. Borde empotrado. ........................................................................................... 19

Fig 13. Borde apoyado. ............................................................................................... 20

Fig 14. Borde libre en x=a. .......................................................................................... 21

Fig 15. Mtodos de resolucin de placas .................................................................... 24

Fig 16. Placa apoyada en sus cuatro lados. ................................................................ 25

Fig 17. Divisin de un cuerpo unidimensional mediante nodos. .................................. 29Fig 18. Ejemplo de malla bidimensional y tridimensional. ........................................... 29

Fig 19. Grados de libertad en un elemento rectangular. .............................................. 30

Fig 20. Ejemplo de malla mixta. .................................................................................. 35

Fig 21. Diferentes tipos de malla. ................................................................................ 36

Fig 22. Aproximacin de un contorno irregular mediante una malla. ........................... 37

Fig 23. Aproximacin de una funcin mediante diferencias finitas .............................. 37

Fig 24. Molcula computacional con los coeficientes de cada elemento. .................... 40

Fig 25. Borde empotrado. ........................................................................................... 42

Fig 26. Borde apoyado. ............................................................................................... 43

Fig 27. Puntos ficticios en borde libre. ........................................................................ 44

Fig 28. Borde libre. ..................................................................................................... 45

Fig 29. Placa apoyada en sus cuatro lados sometida a carga uniforme. ..................... 48

Fig 30. Placa apoyada en sus cuatro lados sometida a una carga puntual. ................ 50

Fig 31. Placa apoyada en sus cuatro lados sometida a una carga triangular. ............. 52

Fig 32. Grfico de la flecha total en la placa sometida a carga triangular. ................... 53Fig 33. Grfico con los resultados para m = n = 1. ...................................................... 54


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iv

Fig 34. Grfico para el resto de combinaciones de valores de m y n. ......................... 54

Fig 35. Viga sometida a carga triangular. .................................................................... 55

Fig 36. Imagen de Placa Apoyada con Carga Repartida Constante ............................ 58

Fig 37. Grfico Tensin de V. Mises para anlisis de sensibilidad de malla. ............... 59

Fig 37. Grfico de la Flecha para anlisis de sensibilidad de malla. ............................ 60

Fig 38. Mallado de 400 elementos .............................................................................. 60

Fig 39. Placa deformada ............................................................................................. 61

Fig 40. Placa con carga triangular............................................................................... 62

Fig 41. Grfico de la Tensin de V. Mises para anlisis de sensibilidad de malla. ...... 63

Fig 42. Grfico de la Flecha para anlisis de sensibilidad de malla. ............................ 64

Fig 43. Placa deformada bajo carga triangular. ........................................................... 65

Fig 44. Placa con Carga puntual en direccin negativa al eje Z. ................................. 66Fig 45. Grfico de la Flecha para anlisis de sensibilidad de malla. ............................ 67

Fig 46. Grfico de la Tensin de V. Mises para anlisis de sensibilidad de malla. ...... 67

Fig 47. Deformada Carga Puntual ............................................................................... 68

Fig 48. Zonas de la malla para el clculo de la placa. ................................................. 70

Fig 49. Grfica de iteraciones vs. deformacin para carga uniforme. .......................... 72

Fig 50. Deformacin de la placa bajo carga uniforme. ................................................ 73

Fig 51. Comprobacin de la solucin para carga uniforme.......................................... 74

Fig 52. Grfica de iteraciones vs. deformacin para carga triangular. ......................... 75

Fig 53 Placa deformada bajo carga triangular. ............................................................ 76

Fig 54. Deformada de la placa bajo carga triangular. .................................................. 77

Fig 55. Comprobacin de la solucin para carga triangular......................................... 77

Fig 56. Grfico de iteraciones vs deformacin para carga puntual. ............................. 79

Fig 57. Deformada bajo carga puntual. ....................................................................... 80

Fig 58. Imagen de la matriz de comprobacin para espesor de malla 0,2 m. .............. 81


Fig 60. Deformada bajo carga puntual ........................................................................ 82

Fig 61. Imagen de la matriz de comprobacin para espesor de malla 0,1 m. .............. 82


Fig 63. Deformada bajo carga puntual ........................................................................ 84

Fig 64. Imagen de la matriz de comprobacin para espesor de malla 0,05 m. ............ 84

Fig 65. Placa sometida a una fuerza transversal F(x,y,t). ............................................ 85

Fig 66. Placa apoyada en sus cuatro lados sometida a carga uniforme. ..................... 95

Fig 67. Deformacin en funcin del tiempo para el primer trmino de Galerkin........... 98Fig 68. Deformacin en funcin del tiempo para el tercer trmino de Galerkin............ 98


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v

Fig 69. Deformacin en funcin del tiempo total. ........................................................ 99

Fig 70. Placa apoyada en sus cuatro lados sometida a una carga puntual. .............. 100

Fig 71. Deformacin en funcin del tiempo para carga puntual. ................................ 102

Fig 72. Placa apoyada en sus cuatro lados sometida a una carga triangular. ........... 103

Fig 73. Deformacin en funcin del tiempo para carga triangular. ............................ 104

Fig 74. Imagen de Placa Apoyada con Carga Repartida Constante .......................... 106

Fig 75. Anlisis dinmico carga uniforme 3 segundos. .............................................. 107

Fig 76. Placa con carga triangular............................................................................. 108

Fig 77. Anlisis dinmico carga triangular 3 segundos. ............................................. 109

Fig 78. Placa con Carga puntual en direccin negativa al eje Z. ............................... 110

Fig 79. Anlisis dinmico carga puntual 3 segundos. ................................................ 111

Fig 80. Esquema desarrollo diferencias finitas dinmica ........................................... 115Fig 81. Deformacin punto medio de la placa con t=0,001 s................................... 117

Fig 82. Deformacin punto medio de la placa con t=0,0001 s y t=0,00001 s........ 118

Fig 83. Deformacin punto medio de la placa con t=0,00005 s y t=0,00001 s. ..... 120

Fig 84. Deformacin en el punto de mxima flecha de la placa con t=0,00005 s y

t=0,00001 s. ........................................................................................................... 122

Fig 85. Esquema desarrollo mtodo combinado dinmicoesttico. ....................... 123

Fig 86. Deformacin del punto medio de la placa. .................................................... 124

Fig 87. Deformacin del punto medio de la placa con t=0,001 s. Detalle. ............... 125Fig 88. Deformacin del punto medio de la placa con t=0,0001 s y t=0,00001 s.126

Fig 89. Deformacin del punto de mxima flecha de la placa. Y detalle .................... 127

Fig 90. Deformacin en el punto de mxima flecha de la placa con t=0,0001 s...... 128

Fig 91. Deformacin en el punto de mxima flecha de la placa cont=0,00001 s yt=0,000001 s. ......................................................................................................... 129

Fig 92. Deformacin en el punto de mxima flecha de la placa con t=0,001 s........ 130

Fig 93. Deformacin del punto medio de la placa con t=0,0001 s y t=0,00001 s. . 131

Fig 94. Grficas obtenidas mediante (de izquierda a derecha y de arriba abajo) mtodoanaltico, M.E.F., diferencias finitas (solo dinmico t=0,00001 s)............................ 135



Fig.1. Pantalla Principal de Abaqus. ......................................................................... 144

Aspecto de la placa despus de aplicarle las condiciones de contorno y la carga. ... 149

Cuadro de dialogo para seleccionar la forma de los elementos. ............................... 150

Cuadro de dilogo para definir el tipo de elemento. .................................................. 150


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vi

Resultado del mallado de la placa. ........................................................................... 151

Placa deformada con mapa de colores y presentando el mximo y mnimo valor de losmovimientos. ............................................................................................................ 152


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1

Captulo 1

Introduccin y Objetivos

1.1 Introduccin

A lo largo de la historia las placas se han convertido en un tipo de estructurafundamental en la ingeniera y su empleo es muy amplio en campos como la

ingeniera civil. Algunas de sus funciones ms usuales son como estructura decubierta, en muros de contencin o en losas de cimentacin. Tambin han sidoel tipo estructural por antonomasia en los tableros de puentes, en los cuales seha usado ampliamente. Dada la importancia de las placas como elementoestructural el anlisis del comportamiento de las placas es realmenteimportante.

La forma tradicional de solucionar los problemas de placas es mediante el usode desarrollos en series de Fourier, los cuales estn ligados a las condiciones

de contorno y al sistema de coordenadas elegido.Actualmente los clculos de placas se realizan mayormente mediante mtodosnumricos como los elementos finitos, o las diferencias finitas. Estos mtodospermiten encontrar una solucin a problemas que resolver de la maneratradicional sera muy difcil o incluso imposible. Sin embargo, para poder usarestos mtodos se hace necesario el uso de ordenadores.

En el presente PFC la placa delgada ser sometida a diferentes tipos de carga(manteniendo la condiciones de contorno) constante en el tiempo. Y losresultados se analizarn desde el punto de vista esttico y dinmico.

1.2. Objetivos

En este PFC, puesto que se divide en dos partes bien diferenciadas (esttica ydinmica), se puede hablar de dos objetivos principales. Estos objetivos sondesarrollar el procedimiento de obtencin de la flecha en una placa sometida acargas perpendiculares de manera esttica y dinmica.


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3

Captulo 2

Introduccin a Placas

2.1 Placas, Estructuras tipo placa y Clasificacin

Se denomina placa al elemento estructural plano en el que una dimensin (elespesor) es muy pequeo en comparacin con las otras dos dimensiones.

Clsicamente se ha venido diferenciando entre placa y laja segn la direccinde las fuerzas que actan sobre ellas. En la placa las fuerzas son normales asu plano medio, mientras que en la laja estn contenidas en l. La placatambin puede estar sometida a momentos cuyos ejes estn contenidos en elplano medio. Se define plano medio de la placa como aquel que divide elespesor en dos partes iguales.

Fig 1. Ejemplo de placa (izquierda) y de laja (derecha).

Estructuras reales tipo placa

El elemento estructural placa se encuentra muy a menudo en las estructurasreales. Puede aparecer solo como placa, como en los forjados de un edificio, o

como una combinacin de placa y laja (p.e.: cubiertas plegadas, losas de


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4

puentes) o en una aproximacin a lmina (anlogo a la sustitucin de un arcopor una poligonal). A continuacin se muestran unos ejemplos.

Fig 2. Forjado de un edificio

Fig 3. Cubierta plegada


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5

Fig 4. Losa de puente.

Fig 5. Aproximacin a lmina.

Clasificacin de las placas

Las placas se pueden clasificar de diferentes maneras:

Segn el espesor:

o Delgadas: El espesor es menor que la quinta parte de la menorde sus otras dimensiones.

o Gruesas: El espesor es mayor que la quinta parte de la menor desus otras dimensiones.


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6

En las placas delgadas se supone la deformacin por cortante despreciable.

Algunos autores denominan placa delgada a aquella en la el espesor es 20veces menor que la ms pequea de sus otras dimensiones.

Segn sus caractersticas elastomecnicas:

o Istropas: Las caractersticas no dependen de la direccin (igualen cualquier direccin).

o Anistropas: Las caractersticas dependen de la direccin.

o Orttropas: Las caractersticas dependen de la direccinpresentando dos direcciones ortogonales principales.

Para el clculo de placas se tienen en cuenta una serie de hiptesis de partida.

2.2. Hiptesis bsicas del clculo de placas

A la hora de calcular placas, se estudiarn placas delgadas e istropas.Adems se tendrn en cuenta unas hiptesis de partida. Ests hiptesis departida (hiptesis de Kirchoff) facilitan el clculo de las placas.

1. El material es elstico y lineal.2. El espesor es mucho ms pequeo que las otras dos dimensiones de la

placa.3. La placa inicialmente es plana.

4. Las deformaciones son pequeas en comparacin con el espesor de laplaca.5. Los puntos del plano medio solo tiene movimientos perpendiculares a

dicho plano.6. Los puntos situados en una perpendicular al plano medio antes de la

deformacin siguen situados en una recta perpendicular al plano mediodespus de la deformacin.

7. Las tensiones normales al plano medio se consideran despreciables.8. Los esfuerzos en el plano medio producidos por fuerzas en ese plano,

se consideran despreciables.


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8

Fig 6. Momentos Flectores creados por xy y.

Los momentos mxy myse expresan de la siguiente manera:

Los momentos torsores mxy y myx son creados por las tensiones xy y yxrespectivamente.

(2.1)

(2.2)


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9

Fig 7. Momentos torsores creados por las tensiones xyy yx.

Debido a las hiptesis de partida xy

= yx

, de donde mxy

= myx

.

Y por ltimo, los cortantes qx y qy los crean las tensiones xz y yzrespectivamente.

(2.3)

(2.4)


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10

Fig 8. Cortantes creados por las tensiones xzy yz.

2.3.2. Ecuacio nes Cinemtic as (Com pat ib ilid ad)

Estas ecuaciones relacionan deformaciones y movimientos. Se Estudiar eldesplazamiento debido a flexin que tienen en la placa dos puntos A y Bseparados por una distancia z perpendicular al plano medio de la placa. Elpunto A pertenece al plano medio, por lo que solo tiene movimiento vertical. Laperpendicular al plano medio permanece normal al plano medio deformado.

(2.5)

(2.6)


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12

Fig 10. Desplazamiento en el eje Y.

Igual que se ha hecho en el eje X se hace en el eje Y. En este caso en puntosufrir un desplazamiento wen el eje Zy un desplazamiento ven el eje Y.

(2.9)

2.10


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13

La deformacin en el plano XY tambin es posible expresarla en funcin de lasderivadas de la flecha.

Si se denomina curvaturas a:

2

2

x

wx

2

2

y

wy

yx

wxy

2

Se puede expresar las deformaciones de la siguiente manera:

xx z yy z xyxy z 2

2.3.3 Ecuaciones Const i tut ivas

Estas ecuaciones relacionan las tensiones y las deformaciones. Se asume queel material es elstico por lo que se puede usar la ley de Hooke de manera quese obtienen las tensiones en funcin de las deformaciones.

Tambin se puede escribir las tensiones en funcin de las curvaturas:

(2.13)

(2.12)

(2.11)

(2.14)

(2.15)

(2.16)


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14

Donde E es el mdulo de elasticidad y es el mdulo de Poisson.

Integrando las tensiones para obtener los esfuerzos:

La solucin de la integral es:

Con lo que el momento mxqueda expresado:

Donde

(2.17)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

2.23


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15

que representa la rigidez.

Y mxquedara:

Procediendo igual con los otros momentos (myy mxy) queda:

2.3.4. Ecuacio nes d e equi l ib r io

Ahora se plantearan las ecuaciones de equilibrio de los esfuerzos en un

diferencial de placa de dimensiones dxxdy y espesor h como el de la figura.

Fig 11. Esfuerzos en un elemento diferencial de placa.

(2.24)

(2.25)

(2.26)


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16

Considerando el equilibrio de fuerzas en el eje Y se obtiene:

Simplificando:

Se desprecia el trmino de tercer orden:

Y finalmente:

Operando igual en el eje X:

Simplificando y despreciando los trminos de tercer orden:

(2.27)

(2.28)

(2.29)

(2.30)

2.32

(2.31)


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17

Y finalmente el equilibrio en el eje Z:

Simplificando:

Ahora se sustituyen las expresiones de los momentos obtenidas anteriormenteen las ecuaciones de equilibrio de los ejes X e Y.

Simplificando:

Procediendo igual con la otra expresin de cortante (qy):

(2.33)

(2.34)

(2.35)

(2.36)

(2.37)

(2.38)


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18

Simplificando:

Y sustituyendo estas dos expresiones en la del equilibrio en el eje Z nos queda:

Usando el operador Laplaciano :

Esta es la ecuacin diferencial de la flexin de placas. Esta ecuacin fueobtenida por Lagrange y es la base de la teora de placas.

(2.39)

(2.40)

2.41

(2.42)

(2.43)

(2.44)

(2.45)


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19

El problema queda reducido a encontrar una flecha w(x,y) que cumpla laecuacin de Lagrange y las condiciones de contorno. Una vez conocida w(x,y)se pueden averiguar los esfuerzos con las expresiones obtenidasanteriormente en que los esfuerzos estaban en funcin de las derivadas de laflecha.

A continuacin se vern algunas de las condiciones de contorno ms usualesen el clculo de placas.

1. Borde empotrado

Cuando un lado de una placa est empotrado no hay movimiento alguno a lolargo del mismo (ni desplazamiento, ni giro). Por lo que, si el lado empotrado dela placa es x=a, se cumplir:

|

Fig 12. Borde empotrado.

x

y

(2.46)

(2.47)

x=a


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2. Borde apoyado

En este caso, la condicin implica que el desplazamiento y el momento en ellado apoyado son nulos.

|

Fig 13. Borde apoyado.

3. Borde Libre

El borde libre conlleva que los esfuerzos en ese borde son nulos. Por tanto:

|

x

y

(2.48)

(2.49)

(2.50)

(2.51)

x=a


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22

(2.56)


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23

Captulo 3

Mtodos de Clculo

En este captulo se vern diferentes mtodos de clculo para las placas. Haymuchos mtodos distintos, algunos de los ms usuales se reflejan en elsiguiente esquema.


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Fig 15. Mtodos de resolucin de placas


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En este PFC se desarrollaran los clculos analticamente con el mtodo deNavier, y numricamente con los mtodos de elementos finitos y de diferenciasfinitas.

3.1. Mtodo de Navier

Este mtodo permite obtener la solucin para la ecuacin diferencial de laflexin de placas en el caso de tener los cuatro lados apoyados. Se basa en laaplicacin de desarrollos en serie de Fourier.

Fig 16. Placa apoyada en sus cuatro lados.

Para una placa cualquiera de dimensiones axby de espesor h,apoyada en suscuatro lados y sometida a una carga p(x,y) la flecha ha de cumplir la ecuacindiferencial de las placas.

La solucin propuesta por Navier expresa la carga p(x,y) como una doble seriede Fourier con la siguiente expresin:

x

y

(3.1)

(3.2)


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Igualmente la flecha w(x,y) se expresa como una doble serie de Fourier:

Esta es la solucin a la ecuacin de Lagrange. Se puede comprobar que estasolucin cumple las condiciones de contorno de cuatro lados apoyados, esdecir las flechas en los cuatro lados es nula:

00

x

w 0ax

w 00

y

w 0by

w

Y los momentos en los apoyos son nulos:

00

xx

m 0ax

xm 0

0

yy

m 0by

ym

Introduciendo las expresiones de w(x,y) yp(x,y) en (3.1)se pueden despejar loscoeficientes Wm,nde la flecha en funcin de los coeficientes Pm,nde la carga.

Por tanto primero deben calcularse los coeficientes Pm,nde la carga. Para ellohay que integrar la expresin de la cargap(x,y), y se obtiene:

(3.3)

(3.4)

(3.5)

(3.6)


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27

En el desarrollo en serie de Fourier hay que coger conjuntos completos detrminos, es decir, suma de M+Niguales, por ejemplo:

TRMINO VALORES DE M VALORES DE N SUMA DE M+N

1erTrmino 1 1 2

2 Trmino1 2

32 1

3erTrmino

1 3

42 2

3 1

Tabla 1. Ejemplo de valores de m y n.

Una vez obtenida la flecha se pueden determinar los esfuerzos aplicando lasecuaciones obtenidas anteriormente en que se relacionaban la flecha y losesfuerzos.

3.2. Mtodos numricos

Ingenieros y cientficos a menudo se enfrentan a problemas cuya solucinmediante mtodos analticos convencionales es de extrema dificultad o inclusoimposible. Por ejemplo, un cuerpo cualquiera tridimensional sobre el queactan una serie de fuerzas externas. Para poder analizar la respuesta exactade este cuerpo a esas fuerzas se busca una solucin aproximada a lasecuaciones que rigen su deformacin. Sin embargo, debido a la complejidadgeomtrica que por regla general tienen los problemas prcticos esextremadamente difcil y a menudo imposible obtener dicha solucin. Ante esto

el recurso es encontrar una solucin numrica al problema. Hay varios mtodos


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numricos vlidos. En este proyecto nos centraremos en el Mtodo deElementos Finitos y el Mtodo de las Diferencias Finitas.

3.2.1. Mtodo de los Elementos Fin ito s

El de los elementos finitos es un mtodo relativamente reciente. El mtodo fuedesarrollado por M.J. Turner en la dcada de los 50. Sin embargo se considerael verdadero inicio del M.E.F. actual a partir de 1956 a raz del estudio llevado acabo por Turner, R.W. Clough, H.C. Martin y L.J. Topp. Este estudio secentraba en la rigidez y deformacin de estructuras complejas.

En sus inicios el M.E.F. est muy unido a la industria aeroespacial, pues era la

nica que se poda permitir los equipos necesarios para los clculos.Originalmente el M.E.F. se utilizaba solamente para el clculo de estructuras.Sin embargo, con el posterior desarrollo de los ordenadores el M.E.F. segeneraliz y se pudo aplicar a ms campos diferentes. Unido al desarrollo delos ordenadores se extendi el uso de programas especializados en diferentescampos.

El MEF permite obtener una solucin numrica aproximada sobre un cuerpo,estructura o dominiosobre el que estn definidas ciertas ecuacionesdiferenciales que caracterizan el comportamiento fsico del problema

dividindolo en un nmero elevado de subdominios denominados elementosfinitos. El M.E.F. facilita el clculo en problemas en que es prcticamenteimposible encontrar una solucin analtica.

Actualmente, gracias a la generalidad del M.E.F. se puede aplicar en una grancantidad de campos diferentes desde estudios estructurales a problemastermodinmicos o incluso magnticos. Y se usa en muchos y diversos camposindustriales (aviacin, automocin,) o de la construccin.

Hoy en da existen varios programas para el uso del M.E.F. algunos de los ms

conocidos son:

SolidWorks ANSYS Abaqus (empleado en este PFC) Nastran

En este mtodo el cuerpo se divide en cierto nmero de elementos o

dimensiones finitas, de ah su nombre. Si el cuerpo tiene n (n= 1,2,3)dimensiones en el espacio, se dividir en elementos finitos de ndimensiones.

Los cuerpos unidimensionales se dividen en elementos finitos mediante nodos.


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Fig 17. Divisin de un cuerpo unidimensional mediante nodos.

Para la divisin de los cuerpos de dos y tres dimensiones se usan lneas yplanos.

Fig 18. Ejemplo de malla bidimensional y tridimensional.

En los cuerpos unidimensionales los elementos finitos resultantes pueden tenerlongitudes diferentes, as mismo los elementos finitos en los cuerpos de dos ytres dimensiones pueden tener diferentes tamao y forma. En todos los casoslos elementos finitos estarn conectados por nodos. De esta manera el cuerpoobjeto del estudio es sustituido por un sistema de elementos finitos conectadospor nodos.

Una vez se tiene el cuerpo dividido en elementos finitos el siguiente paso esdeterminar la matriz de rigidez de los elementos individualmente. Luego estas


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30

se unen para formar la matriz de rigidez del cuerpo de manera que lacontinuidad de los movimientos y el equilibrio de fuerzas prevalezca en todoslos nodos del modelo. Esto nos lleva a la siguiente ecuacin matricial:

PK

Donde [K] es la matriz de rigidez del cuerpo, (P) es el vector de las fuerzasexternas aplicadas en todos los nodos y () es el vector de los desplazamientos

de los nodos. Para unas condiciones de contorno especficas y unas fuerzasaplicadas sobre el cuerpo esta ecuacin se puede resolver hallando losdesplazamientos de los nodos. Una vez hallados se pueden calcular las

tensiones y los esfuerzos.Como se ha dicho anteriormente [K] se forma a partir de las matrices de rigidezde cada uno de los elementos [K i] en que se divide el cuerpo objeto del estudio.Para averiguar la [Ki] de un elemento se estudian los desplazamientos en losvrtices de ese elemento. En este caso se emplear el elemento rectangular,puesto que va a ser el que se utilice posteriormente para resolver los casospropuestos como ejemplos.

Fig 19. Grados de libertad en un elemento rectangular.

Cada uno de los vrtices del elemento tiene tres grados de libertad, undesplazamiento y dos giros. Como son cuatro vrtices se puede definir eldesplazamiento w(x,y) como un polinomio definido por 12 constantes. De esta

manera,

3.7


38/162


39/162

32

Particularizando las expresiones de los desplazamientos para uno de losvrtices del elemento se obtiene:

Donde el subndice iindica que pertenece al elemento i.Realizando esto mismo en todos los vrtices del elemento, se puede expresarde la siguiente manera:

Donde

es el vector de todos los desplazamientos de los vrtices del

elemento i.

La matriz [c] es la matriz de coeficientes y solo depende de las coordenadasde los vrtices.

(3.16)

(3.17)

(3.18)

(3.19)

(3.20)


40/162

33

Derivando la expresin de w(x,y) se obtiene:

Se puede escribir

Siendo el vector de deformaciones.Se puede escribir la expresin general de la matriz de rigidez de un elementode la siguiente manera:

Donde [d] es la matriz de elasticidad de la placa:

(3.21)

(3.22)

(3.23)


41/162

34

Conviene sealar que para estos clculos se ha utilizado el centroide delelemento como origen de coordenadas.

Una vez obtenidas las matrices de rigidez de todos los elementos en quese ha dividido la placa hay que ensamblarlas para crear la matriz de rigidez dela placa. Debido al tamao de matrices que se ha de manejar, el trabajo deensamblaje de la matriz de rigidez global se realiza mediante ordenadores.

Resumiendo, los pasos a seguir para resolver un problema mediante el mtodode elementos finitos seran los siguientes:

1. Divisin del cuerpo objeto de estudio en un sistema de elementos finitos.2. Obtencin de la matriz de rigidez para cada uno de los elementos que

representan el cuerpo.3. Unin de las anteriores para obtener la matriz de rigidez general y la

obtencin del vector de fuerzas general.

4. Resolver la ecuacin anterior para las condiciones de contornos dadasobteniendo el vector de desplazamientos, y finalmente5. Calcular los esfuerzos y las tensiones a partir de los desplazamientos de

los nodos obtenidos.

Para que el clculo mediante este mtodo sea lo ms preciso posible es muyimportante la eleccin del tipo de elementos en que se va a dividir el cuerpoobjeto del estudio. Cuando queremos decidir cmo dividir el cuerpo nosguiamos en gran medida por su geometra, sobre todo por la forma de susextremos, tanto externos como internos (p.e.: un agujero en el centro de una

placa). As podemos ver como en cuerpos bidimensionales los elementostriangulares o cuadrangulares son una mejor opcin que los elementosrectangulares a la hora de discretizar un cuerpo curvo o con una forma extraa.Igualmente en los cuerpos tridimensionales el tetraedro es mejor que el prismarectangular. Otras veces dependiendo de la forma del cuerpo lo mejor es haceruna divisin mixta, es decir, con elementos de diferentes formas.

(3.24)


42/162

35

Fig 20. Ejemplo de malla mixta.

3.2.2. Mtodo de las Diferen cias Fi ni tas

El mtodo de las diferencias finitas es un mtodo numrico aproximado basadoen sustituir las derivadas parciales que intervienen en la ecuacin de Lagrangepor diferencias de valores numricos (en este caso la flecha) en una serie depuntos determinados. Estos puntos se sitan en una malla que puede sertriangular, rectangular, hexagonal


43/162

36

Fig 21. Diferentes tipos de malla.

En este caso se optar una malla rectangular y regular (separaciones entre lospuntos iguales). Mediante este tipo de malla puede estudiarse cualquier forma

de contorno de la placa a estudiar.


44/162

37

Fig 22. Aproximacin de un contorno irregular mediante una malla.

Para una comprensin ms fcil se aplicar los fundamentos del mtodo a unafuncin genrica f(x) en una direccin. La derivada de f(x) en el punto m sedefine como el lmite de y/x cuando x tiende a cero.

Fig 23. Aproximacin de una funcin mediante diferencias finitas

(3.25)


45/162

38

As se puede expresar

La expresin utilizada para y la llamamos diferencia hacia delante. Tambin

se pueden usar diferencias centrales

O diferencias hacia detrs

Esta sera la primera derivada, pero se puede hacer de manera similar para lasegunda derivada

Se procede igual para obtener la tercera y la cuarta derivadas.

De la primera a la cuarta derivada mediante diferencias centrales quedan de lasiguiente manera:

(3.26)

(3.27)

(3.28)

(3.29)

(3.30)

(3.31)

(3.32)


46/162

39

En este caso, para calcular placas, lo que se quiere es obtener la flecha wquecumpla la ecuacin de Lagrange.

Donde wno depende solo dex, sino dexy de y.

Calculando cada uno de los trminos mediante diferencias parciales se obtiene:

As la ecuacin de Lagrange para un punto cualquiera m, n.

(3.33)

(3.34)

(3.35)

(3.36)

(3.37)

(3.38)

(3.39)


47/162

40

En todas las expresiones anteriores=x=y. Esto es as porque se ha elegidouna malla rectangular y regular. Si representamos esta ecuacin grficamentese obtiene lo que se llama molcula computacional.

Fig 24. Molcula computacional con los coeficientes de cada elemento.

Esta expresin da la flecha en cada punto de la malla que se ha elegido. El

conjunto de todas las expresiones de la flecha en cada punto de la malla creaun sistema de ecuaciones. Este sistema de ecuaciones hay que completarlocon las condiciones de contorno del problema.

Una vez obtenido wm,n se pueden hallar los esfuerzos (momento flectores ytorsores y los cortantes) en cualquier punto m, n.

Las expresiones de los esfuerzos seran:

(3.40)


48/162

41

(3.41)

(3.42)

(3.43)

(3.44)

(3.45)


49/162

42

Las condiciones de contorno ms usuales, tal y como se ha vistoanteriormente, son borde empotrado, borde apoyado y borde libre. Estascondiciones de contorno, hay que expresarlas en diferencias finitas. Al estarusando diferencias centradas, con lo que para poder expresar las condicionesde contorno en diferencias finitas, ser necesario introducir unos puntosficticios fuera de la placa.

1. Borde empotrado

Fig 25. Borde empotrado.

Expresando las condiciones de contorno de un borde empotrado (ladeformacin es nula y su derivada es tambin nula) en diferencias finitastenemos:

;

De esta manera,

(3.46)

(3.47)

(3.48)


50/162

43

2. Borde apoyado

En el caso del apoyo simple la deformacin es nula y el momento flector esnulo tambin.

Y se obtiene que,

Fig 26. Borde apoyado.

3. Borde libre

En el caso de borde libre todos los esfuerzos son nulos. Si el punto central delas diferencias est en el eje libre, hay que introducir cuatro puntos ficticiosfuera de la placa.

(3.49)

3.50

(3.51)


51/162

44

Fig 27. Puntos ficticios en borde libre.

Al igual que en los casos anteriores las deformaciones de estos puntos ficticiosse pueden expresar en funcin de las deformaciones de puntos de la malla queestn dentro de la placa. Para ello especificamos que la fuerza y el momento

en el eje son nulos.

Para poder eliminar las deformaciones de los puntos ficticios son necesariasdos ecuaciones ms, que son las siguientes:

Borde Libre

(3.52)

(3.53)


52/162

45

Eliminando los cuatro puntos ficticios de este sistema de ecuaciones ysustituyendo el resultado en la ecuacin de Lagrange se obtiene larepresentacin en diferencias finitas de la condicin de borde libre.

Fig 28. Borde libre.

Usualmente en el mtodo de las diferencias finitas para que una solucin seconsidere vlida se establece el criterio de convergencia.

Un mtodo de diferencias finitas es convergente si la solucin de la ecuacinde diferencias finitas se aproxima a la solucin exacta de la ecuacindiferencial parcial cuando los tamaos de los pasos en la malla tienden a cero.

(3.54)

(3.55)

(3.56)


53/162

46

Cuando x0

Para que un mtodo sea convergente ha de ser consistente y estable. Laconsistencia de un mtodo con la ecuacin diferencial parcial se consigue si laecuacin discreta usada por el mtodo es equivalente a la ecuacin diferencial

cuando el tamao de paso tiende a cero. La estabilidad se define como:Cuando una ecuacin diferencial parcial tiene una solucin acotada, se diceque la ecuacin de diferencias asociada es estable si produce una solucinacotada y es inestable si produce una solucin no acotada. El concepto de laestabilidad est ligado con el crecimiento o decrecimiento de los errores que seintroducen en la etapa de cmputo. As se puede decir que un mtodoparticular es estable si el efecto acumulativo de todos los errores de redondeoproducidos al aplicar un determinado algoritmo es insignificante.

La prueba de que una solucin aproximada converge a la solucin exacta deuna ecuacin diferencial parcial es generalmente muy difcil, an en los casosms simples. En el caso de este PFC habra que aplicar esos criterios a unaecuacin diferencial parcial de cuarto grado.


54/162

47

Captulo 4

Casos y Resultados en Esttico

4.1. Resolucin analtica. Mtodo de Navier.

Para resolver el problema se va a utilizar el mtodo de Navier, Como se ha

visto en la introduccin este mtodo se usa cuando la placa tiene sus cuatrolados apoyados (como en el caso del problema) y facilita mucho la labor declculo.

El mtodo de Navier se basa en expresar la funcin deformacin y la funcinde la carga como un desarrollo en doble serie de Fourier. De esta manera seobtiene que

Donde

Y

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)


55/162

48

Siendo D

4.2.1. Carga Unifo rme

Fig 29. Placa apoyada en sus cuatro lados sometida a carga uniforme.

Los datos de partida del problema son

DATOS DEL PROBLEMA

Geometra de la Placa

Longitud (a) 4 m

Ancho (b) 4 m

Espesor (h) 0,02 m

Caractersticas de la PlacaMaterial AceroMdulo de Young (E) 210E9

Coeficiente de Poisson () 0,3

Carga Carga 1.000 N/m

En este caso, carga repartida y constante el coeficiente Pm,ndel mtodo Navieres

(4.5)

(4.6)


56/162

49

Como se vio anteriormente en la introduccin hay que coger conjuntoscompletos de trminos. Es decir, sumas de m+niguales.

Para este caso se realizarn los clculos con tres trminos, que ofrecesuficiente precisin.

Termino Valores de m Valores de nValor de Pm,n Valor de

Wm,n1erTrmino 1 1 1621,139 6,939e-3

2 Trmino1 3 540,370 9,231e-53 1 540,370 9,231e-5

3erTrmino1 5 324,228 8,193e-63 3 180,126 8,193e-65 1 324,228 9,497e-6

Tabla 2. Valores de Pm,n y Wm,npara carga uniforme.

Ahora hay que sustituir estos valores de Wm,nen la expresin de la flecha parael punto central de la placa (x=2, y=2). En el punto central de la placa se da laflecha mxima.

Termino Valores de m Valores de nValor de

Wm,nValor de la

flecha w (m)1erTrmino 1 1 6,939e-3 6,939e-3

2 Trmino1 3 9,231e-5 -9,231e-53 1 9,231e-5 -9,231e-5

3erTrmino1 5 8,193e-6 8,193e-63 3 9,497e-6 9,497e-65 1 8,193e-6 8,193e-6

Tabla 3. Valores de la flecha para carga uniforme.

La flecha en el punto central ser la suma de todos los valores de las flechasde la tabla anterior.

w(2,2) 6,780e-3 m


57/162

50

4.1.2. Carga Puntual

En este nuevo caso la carga es una carga puntual en el centro de la placa. Seaveriguar la flecha en el centro de la placa, que es el punto en el que se dar

la mxima deformacin.

Fig 30. Placa apoyada en sus cuatro lados sometida a una carga puntual.

Para ello tambin se emplear el mtodo de Navier.


DATOS DEL PROBLEMA


Longitud (a) 4 m

Ancho (b) 4 m

Espesor (h) 0,02 m

Caractersticas de la Placa

Material Acero

Mdulo de Young (E) 210E9


Carga Carga 1000 N

En este caso la expresin de la que se obtiene el coeficiente Pm,n es lasiguiente

(4.7)


58/162

51

Donde y son las coordenadas del punto donde es aplicada la carga. Eneste caso coincide con el punto en el que se quiere hallar la flecha (x==2; y==2). Y siendo m,n=1,2,3,

Termino Valores de m Valores de n Valor de Pm,nValor de

Wm,n1erTrmino 1 1 250 1,068e-3

2 Trmino1 2 0 02 1 0 0

3erTrmino1 3 -250 -4,271e-52 2 0 03 1 -250 -4,271e-5

Tabla 4. Valores de Pm,ny Wm,npara carga puntual.

Sustituyendo estos valores en la expresin en doble serie de Fourier para laflecha se obtiene:

Termino Valores de m Valores de nValor de

Wm,nValor de la

flecha w (m)1erTrmino 1 1 1,068e-3 1,068e-3

2 Trmino1 2 0 02 1 0 0

3erTrmino1 3 -4,271e-5 4,271e-52 2 0 03 1 -4,271e-5 4,271e-5

Tabla 5. Valores de la flecha para carga puntual.

La flecha es la suma de los valores obtenidos.

w(2,2) 1,153e-3 m

4.2.3. Carga Triang ular

El ltimo caso que se va a analizar es el de una placa apoyada en sus cuatrolados y con una carga triangular.


59/162

52

Fig 31. Placa apoyada en sus cuatro lados sometida a una carga triangular.


DATOS DEL PROBLEMA


Longitud (a) 4 m

Ancho (b) 2 m

Espesor (h) 0,02 m


Material Acero

Mdulo de Young (E) 210E9Coeficiente de Poisson () 0,3

Carga Carga 250*x N/m

Para este caso, aplicando el mtodo de Navier, se obtiene que

Al ser la carga simtrica respecto a la recta y= 1, la deformacin de la placaser simtrica respecto a esa misma recta. Sin embargo la carga no essimtrica en x, por lo que se puede esperar que lo sea la deformacin. Estehecho dificulta la obtencin del punto de mxima deformacin, del que siconocemos su coordenada segn el eje y, y = 1. Por ello se obtendrn losvalores de la deformacin a lo largo de la recta y= 1, desdex= 0 hastax = 4con incrementos dexde 0,1 m (x = 0,1 m). Para obtener de una manera ms

cmoda estos valores se utilizar una hoja de clculo de Excel. Para losclculos al igual que en los dos casos anteriores se emplearn tres trminos

(4.8)


60/162


61/162

54

Fig 33. Grfico con los resultados para m = n = 1.

Fig 34. Grfico para el resto de combinaciones de valores de m y n.

Los resultados obtenidos para el primer trmino son los que mayor peso tieneposteriormente en el valor final obtenido para flecha, por ello se ha preferidorepresentar los resultados obtenidos en dos grficos. De esta manera se puede

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0 1 2 3 4 5

m=n=1

-0,00004

-0,00003

-0,00002

-0,00001

0

0,00001

0,00002

0,00003

0,00004

0 1 2 3 4 5

m=1; n=3

m=3; n=1

m=1; n=5

m=n=3

m=5; n=1


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55

apreciar ms claramente como los resultados, para cualquiera de los valoresde m y n,son simtricos respecto ax= 2.

Esta incongruencia puede deberse a la propia eleccin del sistema de clculopara este modelo. El mtodo de Navier es una aproximacin a la realidad y por

eso mismo sus resultados son aproximados.

Como analoga a este caso se puede ver la deformacin de una viga sometidaa una carga triangular.

Fig 35. Viga sometida a carga triangular.

La carga puntual equivalente (pe = qL/2) estara aplicada a un tercio de lalongitud total de la viga (L), tomado desde el extremo con el valor ms alto decarga puesto que es la coordenada del centro de gravedad del tringulo.Planteando las ecuaciones de equilibrio en el extremo B obtenemos lasreacciones en ambos extremos

La ley de momentos flectores es

El momento flector mximo

(4.9)

(4.10)

(4.11)


63/162

56

Una vez obtenida la ley de momentos flectores se puede averiguar la expresinde la deformada sin ms que integrar la ley de flectores dos veces respecto dexdos veces.

Al integrar se obtiene

Donde C1y C2son dos constantes de integracin que se obtienen al sustituiren f(x) las condiciones de contorno. En este caso la flecha en los dos extremosde la viga es nula.

Y la deformada queda

Para hallar la mxima flecha y el punto en que esta aparece hay que derivar laexpresin de la deformada e igualar a cero.

Se iguala a cero y nos queda

(4.12)

(4.13)

(4.14)

(4.15)

(4.16)

(4.17)

(4.18)

(4.19)


64/162


65/162

58

Fig 36. Imagen de Placa Apoyada con Carga Repartida Constante

Tal y como se ha comentado en la introduccin al M.E.F. el proceso delmallado es fundamental para la posterior validez de los resultados. Paraasegurarse de obtener un mallado lo ms adecuado posible se realizar unanlisis de sensibilidad de malla. En l se realizan diversos mallados sobre el

modelo y posteriormente se analizan los resultados. Para este casoescogeremos una malla regular y de elementos rectangulares, es decir, todoslos elementos tienen las mismas dimensiones. Empezando por una malla conpocos elementos y partir de ah se aumentar el nmero de los mismos hastaencontrar la malla apropiada.

En la Tabla 6 se pueden ver los resultados obtenidos con los diferentes tiposde malla.

N de Elementos Tamao (m2) Tensin de V. Mises (Pa) Flecha (m)

4 2x2 6,962E+06 6,401E-03

16 1x1 1,026E+07 6,845E-03

25 0,8x0,8 1,078E+07 6,195E-03

64 0,5x0,5 1,207E+07 6,784E-03

100 0,4x0,4 1,245E+07 6,777E-03

256 0,25x0,25 1,289E+07 6,771E-03

400 0,2x0,2 1,295E+07 6,770E-03

625 0,16x0,16 1,293E+07 6,746E-03

Tabla 6. Anlisis de sensibilidad de malla para carga uniforme.


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La diferencia de la flecha obtenida entre un mallado con 25 elementos y unocon 64 elementos vara un 9.5%, mientras que la diferencia entre el mallado de256 elementos y el de 400 elementos es de 0.014%. O entre el mallado de 400elementos y el de 625 elementos es de 0.35%. En el grfico de la tensin de V.Mises la diferencia entre el mallado de 256 elementos y el de 400 elementos esde 0.45% y en el caso del mallado de 400 y el de 625 es de 0.15%.

Plasmando estos datos en sendos grficos es posible hacerse, de maneravisual, una idea de lo observado en los datos de la tabla. En ambos grficos losresultados obtenidos con los mallados de pocos elementos tienen una granvariacin. Sin embargo cuando se aumenta significativamente el nmero deelementos los resultados tienden a estacionarse.

Fig 37. Grfico Tensin de V. Mises para anlisis de sensibilidad de malla.

0,000E+00

2,000E+06

4,000E+06

6,000E+06

8,000E+06

1,000E+07

1,200E+07

1,400E+07

0 200 400 600 800

Tensin de V.Mises

Tensin de V.Mises


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61

Una vez definido el mallado se puede pasar a visualizar el resultado que nosofrece Abaqus. El programa nos ensea la deformada de la placa con un mapade colores en el que el rojo sera la flecha mxima y el azul la mnima. Abaqus

tambin muestra la escala de ese mapa de colores. La flecha mxima se da enel centro de la placa (lo cual era de esperar). Si bien existe un rea en que laflecha tiene valores muy similares.

Fig 39. Placa deformada

En la Fig. 39 se puede ver el resultado obtenido en Abaquscon la forma deformada dela placa. El valor mximo de la flecha obtenido es el siguiente:

wmax(m) 6,770E-03


Los datos de partida para este modelo son los siguientes:


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DATOS DEL PROBLEMA


Longitud (a) 4 m

Ancho (b) 2 m

Espesor (h) 0,02 m


Material Acero

Modulo de Young (E) 210E9



Fig 40. Placa con carga triangular.

Al igual que en el caso de carga repartida, de manera previa al clculo serealizar un anlisis de sensibilidad de malla en este modelo.

N de Elementos Tamao (m2) Tensin de V. Mises mx. (Pa) Flecha mx. (m)

2 2x2 7,87E-25 0

8 1x1 1,604E+06 4,049E-04

32 0,5X0,5 2,627E+06 5,449E-04

35 0,57x0,4 2,960E+06 5,251E-04

50 0,4x0,4 2,721E+06 5,244E-04

128 0,25x0,25 3,037E+06 5,616E-04

200 0,2x0,2 3,118E+06 5,617E-04

300 0,13x0,2 3,146E+06 5,625E-04

450 0,13x0,13 3,169E+06 5,624E-04

800 0,1x0,1 3,168E+06 5,664E-04Tabla 7. Anlisis de sensibilidad de malla para carga triangular.


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Se aprecia claramente como los resultados con una malla de pocos elementosno son muy fiables y son muy diferentes a los obtenidos con un nmeroconsiderable de elementos. Por ejemplo la variacin entre la tensin de V.

Mises en las mallas de 32 y 35 elementos es del 12,67%. Cogiendo las mallasde 300 y 450 elementos la diferencia sera de 0,7%. En el caso de la flecha, ypara las mismas mallas, en el primer caso la variacin es del 3,7% y en elsegundo del 0,01%.

Grficamente tambin se puede ver, como a partir de una malla con 200elementos los resultados no varan tanto y se estabilizan en torno a un valor.

Fig 41. Grfico de la Tensin de V. Mises para anlisis de sensibilidad de malla.

0,00E+00

5,00E+05

1,00E+06

1,50E+06

2,00E+06

2,50E+06

3,00E+06

3,50E+06

0 200 400 600 800 1000

Tensin V. Mises

Tensin V. Mises


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Fig 42. Grfico de la Flecha para anlisis de sensibilidad de malla.

La malla que elegida en esta ocasin es la de 450 elementos. Con lo que laflecha mxima obtenida mediante el M.E.F. es:

wmax(m) 5,624E-04

Esta deformacin mxima se obtiene en el punto de coordenadas x=2.53 m;y=1 m.

La deformada que muestra Abaqus con ese mallado se puede ver en la Fig 43.

0

0,0001

0,0002

0,0003

0,0004

0,0005

0,0006

0 200 400 600 800 1000

Flecha mx.

Flecha mx.


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65

Fig 43. Placa deformada bajo carga triangular.

4.2.3. Carga Pun tual

Los datos de partida del problema son los siguientes:

DATOS DEL PROBLEMA


Longitud (a) 4 m

Ancho (b) 4 m

Espesor (h) 0,02 m


Material Acero


Coeficiente de Poisson () 0,3Carga Carga 1000 N


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Fig 44. Placa con Carga puntual en direccin negativa al eje Z.

Observando la Fig 44. llaman la atencin las dos lneas que cruzan la placadividindola en 4 partes iguales. Esto se debe a que para este problema se hatenido que realizar un paso que no se ha realizado en ninguno de los otros doscasos. Para poder escoger el punto central de la placa para situar la carga hayque realizar una particin de la placa, la cual se lleva a cabo con esas doslneas que dividen la placa en cuatro partes. Una vez realizado esto Abaquspermite seleccionar el punto central para situar la placa. Hay que resaltar que sibien se divide la placa en cuatro partes los clculos posteriores no se venafectados, puesto que luego se utiliza la placa como un continuo.

Procediendo igual que en los dos casos anteriores se realiza un anlisis desensibilidad de la malla.

N de Elementos Tamao (m2) Tensin de V. Mises mx. (Pa) Flecha mx. (m)

16 1x1 1,26E-03 2,11E+06

36 0,66x0,66 1,23E-03 2,65E+06

64 0,5x0,5 1,22E-03 3,07E+06

100 0,4x0,4 1,21E-03 3,40E+06256 0,25x0,25 1,21E-03 4,12E+06

400 0,2x0,2 1,21E-03 4,46E+06

676 0,15x0,15 1,21E-03 4,87E+06

900 0,13x0,13 1,21E-03 5,09E+06

Tabla 8. Anlisis de sensibilidad de malla para carga puntual.


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67

Fig 45. Grfico de la Flecha para anlisis de sensibilidad de malla.

Fig 46. Grfico de la Tensin de V. Mises para anlisis de sensibilidad de malla.

En los grficos (Fig 45 y 46) y en la Tabla 8 se puede ver como para la flechamxima a partir de 400 elementos el valor de la flecha se estabiliza, mientrasque en el caso de la tensin de Von Mises ese valor no se estabiliza, sinembargo si suaviza en gran medida su crecimiento respecto a los primeros

valores. Al ser la versin de Abaqus empleada una versin de estudiante, no


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admite ms de 1000 elementos. De esta manera parece claro que la malla aelegir en este caso es la de 900 elementos.

Fig 47. Deformada Carga Puntual

En la figura de la deformada se visualizan tambin el punto mximo dedeformacin y el mnimo. El punto de mximo deformacin como es obvio esten el centro de la placa. El valor mximo de la placa obtenido por Abaqus es:

wmax(m) 1,209E-03

4.3 Resolucin mediante diferencias finitas

Para la resolucin de los diferentes casos segn el mtodo de las DiferenciasFinitas, se usar el programa Matlab, el cual permite crear de manera ms omenos sencilla pequeos programas ejecutables con los que se pueden

visualizar los resultados.


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En este captulo se mostraran los resultados obtenidos una vez ejecutados losprogramas, as como se explicar el desarrollo de los mismos.

La forma tradicional de resolver el clculo de placas mediante diferencias finitasimplica la resolucin de un sistema de ecuaciones. Cuantos ms puntos tiene

la malla ms se complica la resolucin del sistema, puesto que se hace mscomplicada la programacin de la matriz de coeficientes. Adems este sistemaimplica la inversin de la matriz de coeficientes, que puede ser un procesoarduo y muy complicado dependiendo de la matriz en s. Por estas razones laaproximacin que se realizar a este problema ser desde una perspectivadiferente.

Como se ha visto antes la ecuacin general de la deformacin de una placadesarrollada en diferencias finitas es:

Despejando el trmino wm,nse obtiene:

A esta ecuacin hay que aadir las condiciones de contorno de la placa, cuyasecuaciones se presentaron en el captulo de la teora de diferencias finitas.

Una vez obtenido todo lo anterior, se realiza un programa que haga un barridopor todos los puntos de la malla aplicando esa ecuacin. Para obtener unresultado vlido no es suficiente con un solo barrido de los puntos de la malla,hay que hacer una serie de iteraciones. Una vez realizado el barrido elsuficiente nmero de iteraciones para conseguir una solucin aceptable seobtendr una matriz solucin, en la que estarn representados los valores de

las flechas en todos los nodos de la malla.

4.21

4.22


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70

Para averiguar el valor de cada uno de los puntos de la malla, se utiliza lallamada molcula computacional. Debido al uso de esta molculacomputacional hay puntos de la malla que estn situados fuera de la placa. Sonlos llamados puntos imaginarios. Pero son fundamentales para poder obtenerel valor de la flecha en cada uno de los nodos de la malla.

Para realizar el clculo de la flecha, el programa partir de una matriz deresultados inicial de valor nulo, todos los elementos sern iguales a cero.Posteriormente se inicia realmente el programa. Para poder calcular de manerams sencilla la flecha en la malla se ha dividido esta en varias zonas diferentes:

Zona Central (1):Es la zona central de la placa, donde se aplica la carga.

Zonas Izquierda (2) y Derecha (3):Son las zonas a izquierda y derecha de lazona central de la malla en las que hay puntos imaginarios.

Zonas Inferior (4) y Superior (5):Son las zonas inferior y superior a la zonacentral de la malla en las que hay puntos imaginarios.

Fig 48. Zonas de la malla para el clculo de la placa.

Se puede observar en la imagen como hay algunos nodos que no estnasignados a ninguna zona. En estos nodos a la deformacin se le asigna valornulo.


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En general las zonas sern las mismas en todos los casos, aunque habrvariaciones en alguno de ellos que se expondrn dentro del casocorrespondiente.

Por comodidad en los clculos se emplearan unas mallas lo ms similar posible

a las utilizadas en el M.E.F.

4.3.1. Carga Un ifo rme

El primer caso estudiado es el de una placa cuadrada apoyada en todo sucontorno con carga uniforme distribuida en toda a superficie.

Los datos de partida son los siguientes:

DATOS DEL PROBLEMA


Longitud (a) 4 m

Ancho (b) 4 m

Espesor (h) 0,02 m


Material Acero




Al igual que en el caso de los elementos finitos se realizaba un anlisis desensibilidad de malla para obtener la malla ms apropiada para los clculos,ahora realizaremos un anlisis similar para obtener el nmero de iteracionesnecesario para obtener una solucin aceptable.

De esta manera se puede ver la convergencia de la solucin hacia un valordeterminado.


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Fig 50. Deformacin de la placa bajo carga uniforme.

Realmente este anlisis solo confirma la convergencia de la solucin en unpunto de la placa, en este caso el centro. Para ver si la solucin es aceptableen todos los puntos hay que realizar otra comprobacin adicional.

Comprobacin de la solucin obtenida

Realizar una comprobacin punto por punto de la malla es una tarea inviable,pues se perdera demasiado tiempo. Por ello esta comprobacin ha decomparar todos y cada uno de los datos de la malla de una sola vez. Estacomprobacin final consiste en comparar los resultados obtenidos en la ltimaiteracin con los resultados de la penltima iteracin de manera que se obtiene

una matriz en la que cada uno de sus elementos es el porcentaje de variacinde ese elemento en la matriz deformacin entre las dos ltimas iteraciones.

Esta ecuacin solo se aplica en la zona de la malla correspondiente a al interior

de la placa. Lo que interesa es que los valores de los elementos de la matriz [c]sean lo ms pequeos posible. Esta matriz tiene cerca de 400 elementos, lo

4.23


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74

que hace que revisar uno por uno todos los elementos de la matriz sea unatarea ardua. Sin embargo, representando grficamente la nueva matriz [c] sepuede ver rpidamente si la variacin es muy grande y en qu punto se da lamayor variacin.

Fig 51. Comprobacin de la solucin para carga uniforme.

En la grfica se observa los valores de variacin de la ltima iteracin con

respecto a la inmediatamente anterior, los cuales son prcticamente nulos(valores de orden 10-15). Y el valor mximo de esta variacin en la matriz [c] es7,6540*10-13. La solucin para 100.000 iteraciones tambin es vlida en el restode puntos de la placa.


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Los datos de partida para este modelo son los siguientes:

DATOS DEL PROBLEMA


Longitud (a) 4 m

Ancho (b) 2 m

Espesor (h) 0,02 m


Material Acero




Procediendo igual que en el caso anterior, se realiza un anlisis de losresultados en el punto de mayor deformacin de la placa respecto al nmero deiteraciones. El espesor de malla usado en los clculos es=0,1 m.

Fig 52. Grfica de iteraciones vs. deformacin para carga triangular.

Se observa en la grfica como a partir de las 50.000 iteraciones el valor de laflecha comienza a estabilizarse. Se elige de nuevo el valor correspondiente a

100.000 iteraciones.


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100.000 iteracioneswmax(m) 5,664*10

-

Si se representa la superficie deformada:

Fig 53 Placa deformada bajo carga triangular.

El punto de mxima deformacin en este caso no ser el centro de la placa, sino que estar desplazado hacia el lado donde el valor de la carga sea mayor.El punto donde se da la mxima flecha es x=2.5 m; y =1 m. en la siguientegrfica se visualiza mejor el desplazamiento del punto de mxima deformacinhacia el extremo de la placa donde se da la mayor carga.


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77

Fig 54. Deformada de la placa bajo carga triangular.


Al igual que en el caso anterior ahora se realizar la comprobacin de lasolucin respecto a la solucin para la iteracin anterior. Para ello se aplicar la

ecuacin (4.23).

Fig 55. Comprobacin de la solucin para carga triangular.


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En este caso la mxima diferencia entre los valores de una iteracin y laanterior es de 1,0424*10-6. Que es un valor muy bajo. Por lo que la solucinobtenida para 100.000 iteraciones es vlida no solo para el punto de mximadeformacin, sino tambin para el resto de la placa.


Los datos de partida del problema son los siguientes:

DATOS DEL PROBLEMA


Longitud (a) 4 m

Ancho (b) 4 m

Espesor (h) 0,02 m


Material Acero



Carga Carga 1000 N

Al igual que anteriormente para los clculos se emplear una malla similar a lautilizada en el clculo mediante el M.E.F. aunque al ser un caso especial por

ser la carga puntual, tambin se emplear un malla ms fina. De este modo sepuede establecer una comparacin entre las mallas. Adems con el programaMatlab no existe una limitacin del nmero de nodos, mientras que con elM.E.F. si hay una limitacin del nmero de elementos a emplear en el estudio.

Es importante tener en cuenta que la carga en la ecuacin general de lasplacas expresada en diferencias finitas es solo vlida si esta es uniforme. Eneste caso es una carga aplicada en un punto. Para poder aplicar la ecuacin(4.22) se aproximar la carga puntual a una carga uniforme distribuida en unapequea superficie. Esta pequea superficie ser lo ms pequea que se

pueda en funcin de la malla empleada y ha de ser lo suficientemente grandecomo para albergar una molcula computacional completa.

Matlab, a diferencia de lo que ocurre en Abaqus, no admite un valor de espesorde malla que d un nmero no entero de nodos. Por ello, para este caso enparticular se realizar ms de un estudio de malla. En Abaqus se habaescogido un espesor de malla de 0.13 m. Para resolverlo por diferencias finitasse estudiarn primero unas mallas con 0,2 m, 0,1 m y 0,05 m de espesor demalla respectivamente.


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Malla con espesor de malla =0,2m

Cumpliendo con la condicin expresada anteriormente sobre el tamao de la

superficie en la que repartir la carga equivalente, para esta malla se obtieneuna superficie de 0,8x0,8 m2.

Realizando el mismo anlisis de iteraciones que en los casos anteriores, seobtiene:

Fig 56. Grfico de iteraciones vs deformacin para carga puntual.

Se observa en el grfico como a partir de 50.000 iteraciones el valor mximo dela deformacin se estabiliza en 1,73*10-3 m.


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81

Fig 58. Imagen de la matriz de comprobacin para espesor de malla 0,2 m.


En el anlisis de sensibilidad de malla se obtiene el siguiente resultado:


En el grfico se observa como el valor de la deformacin se estabiliza a partirde 500.000 iteraciones. Si bien se estabiliza en un valor similar al resultadoobtenido con la malla anterior, han sido necesarias ms iteraciones paralograrlo.

500.000 iteracioneswmax(m) 1,836*10

-

0,00E+00

2,00E-04

4,00E-04

6,00E-04

8,00E-04

1,00E-03

1,20E-03

1,40E-031,60E-03

1,80E-03

2,00E-03

0 500000 1000000 1500000

Puntual (=0,1)

Deformacin


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82

Fig 60. Deformada bajo carga puntual

El caso actual es un caso especial puesto que toda la carga est aplicada enun solo punto. Con una malla muy gruesa, podran darse discontinuidades,debido a efectos locales producidos por la carga. Por esa razn es normalemplear una malla ms fina de manera que se disminuyen esasdiscontinuidades y puede obtenerse un resultado ms fiable. A continuacin seempleara una malla de 0,05 m de espesor.


Fig 61. Imagen de la matriz de comprobacin para espesor de malla 0,1 m.


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83

En el caso de la malla con espesor de 0,1 m, los valores de variacin obtenidosson del orden de 10-7y el mximo es 8,9833*10-7.


Para esta nueva malla tambin hay que realizar el anlisis de convergenciacon el nmero de iteraciones.


Al disminuir el tamao de la malla aumenta el nmero de iteraciones a partir delas cuales el resultado se estabiliza. En este caso se estabiliza a partir de 5millones de iteraciones. Obviamente este aumento de las iteraciones conllevaun aumento del tiempo de clculo.

6.000.000 iteracioneswmax(m) 1,865*10

-3

0,00E+00

2,00E-04

4,00E-046,00E-04

8,00E-04

1,00E-03

1,20E-03

1,40E-03

1,60E-03

1,80E-03

2,00E-03

0 2000000 4000000 6000000 8000000

Deformacin(m)

Iteraciones

Puntual (=0,05)

Series1


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85

Captulo 5

Introduccin a la Dinmica dePlacas

5.1. Introduccin a la dinmica

En este captulo se estudia el comportamiento dinmico de una placa bajocargas transversales a la misma.

Fig 65. Placa sometida a una fuerza transversal F(x,y,t).


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86

Se realizaran las operaciones tomando una placa de longitud a, ancho b yespesor hsometida una carga distribuida en su superficie F(x,y,t). El materialde la placa tiene densidady mdulo de elasticidad E.

El objetivo de este estudio es averiguar los movimientos de todos los pintos de

la placa en funcin del tiempo, es decir, averiguar la funcin w(x,y,t).

Los lados de la placa estarn sujetos a determinadas condiciones de contorno.Estas normalmente sern alguna de las que se citan a contunuacin para elcaso de estudio dinmico.

1. Borde apoyado

Esta condicin nos dice que tanto el desplazamiento en cualquier direccincomo el momento flector en el borde apoyado son nulos. Si el borde apoyadoes x = 0,

|

2. Borde empotrado

En este caso est impedido cualquier movimiento, por lo que el desplazamientoy el giro son nulos. Si el borde empotrado es x=0

| 3. Borde libre

5.1

5.2

5.3

5.4


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87

Ahora los desplazamientos no son nulos. Sin embargo todos los esfuerzos(momentos y cortantes) en el borde libre si son nulos. Siendo x = a el bordelibre.

| Si hacemos igual que en el caso esttico entonces tenemos que las reaccionesde borde han de ser nulas. Recordemos que estas reacciones de borde se

obtienen de la suma del cortante y de un cortante adicional obtenido derepresentar el momento torsor como un par de fuerzas.

|

Adems en los estudios dinmicos se parte de unas condiciones iniciales dedesplazamiento y velocidad en el instante inicial (t=0) que hay que tener encuenta a la hora de resolver el problema. Generalmente estas condicionesiniciales son desplazamiento y velocidad nulos en t=0.

| Hay que resear que en este desarrollo y tal y como se viene haciendohabitualmente en este tipo de clculos, se despreciar el efecto del peso propiode la estructura ya que es menor que el resto de fuerzas que actan sobre la

estructura. O lo que es lo mismo, los desplazamientos que origina el peso sondespreciables frente a los que originan las fuerzas externas.

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

5.10

5.11


95/162

88

Si al igual que en el cas esttico se considera un diferencial de placa detamao dxx dyse obtiene la ecuacin diferencial de la placa. Solo que en estecaso tambin depende del tiempo.

La solucin a la ecuacin () ser la suma de la solucin de la ecuacinhomognea (F(x,y,t) = 0) ms una solucin particular de la ecuacin completa.La ecuacin homognea se puede asemejar a un problema de vibracioneslibres, mientras que la particular se asemeja a un problema de vibraciones

forzadas.

Donde wh(x,y,t) es la solucin homognea y wp(x,y,t) la particular.

La ecuacin homognea se obtiene cuando las fuerzas externas a la placa son

nulas (F(x,y,t)=0). La ecuacin diferencial de la placa queda de la siguientemanera

Un mtodo muy habitual para resolver la ecuacin homognea es la separacin

de variables, o mtodo de Galerkin, que consiste en obtener una solucin comosuma de unas funciones espaciales y temporales. De esta manera

Donde i y qi son las funciones espaciales y temporales respectivamente.Introduciendo la ecuacin (5.15) en la ecuacin (5.14) se obtiene

5.12

5.13

5.14

5.15


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89

Esto debe cumplirse para cualquier sumando i-simo. As se obtiene

As se obtienen dos ecuaciones dos ecuaciones diferenciales, una para lacomponente espacial i(x,y) y otra para la componente temporal qi(x,y). Parapoder resolverlas hay que tener en cuenta las condiciones iniciales y lascondiciones de contorno.

La componente espacial i(x,y) es el modo propio de la vibracin libre. Y sepuede escribir:

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20


97/162

90

Si se asume que el movimiento es armnico:

Esto se puede expresar de esta otra forma: Siendo x0 e y0constantes arbitrarias, la frecuencia propia y kn y cm son elnmero de ondas. Insertando esta expresin el la ecuacin general del

movimiento

Reordenando:

Los desplazamientos w(x)y w(y) se pueden escribir:

Las expresiones exponenciales pueden expresarse como una sucesin desenos y cosenos:

Donde las constantesAiy Bise obtienen aplicando las condiciones de contornolas expresiones anteriores e imponiendo la condicin de que exista al menos

5.21

5.22

5.23

5.24

5.25

5.26

5.27

5.28


98/162


99/162

92

(5.33)

(5.34)

(5.35)

(5.36)

5.37

(5.38)

Se aplica la transformada de Laplace a la ecuacin de movimiento de maneraque tenemos W(x,y,s) y F(x,y,s) en vez de w(x,y,t) y F(x,y,s) respectivamente.

Ahora se aplica el mtodo de Galerkin que como se ha visto antes desarrollauna funcin como una serie de productos de funciones. En este caso:

Donde las funciones j(x,y) son los modos propios obtenidos en la parte devibraciones libres. Estos modos propios solo deben cumplir las condiciones decontorno y geomtricas. De esta manera se puede expresar la ecuacingeneral de la siguiente forma:

Para simplificar la expresin se aplica la ortogonalidad de los modos propios.

As se obtiene la siguiente ecuacin matricial:


100/162

93

(5.39)

(5.40)

(5.41)

(5.42)

(5.43)

5.44

(5.45)

Donde:

Donde M y K son matrices cuyos elementos pueden calcularse de la siguientemanera:

La matriz M resulta ser la matriz identidad.

Y la matriz K es tambin una matriz diagonal.

Para obtener las funciones qk(t), hay que aplicar la inversa de Laplace:


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94

Captulo 6

Casos y Resultados en Dinmico

6.1 Resolucin Analtica.

Al igual que en el caso esttico en este apartado/captulo se resolvern unos

ejemplos de placas pero de manera dinmica.El objetivo es al igual que en el caso esttico hallar la flecha, aunque en estecaso la deformacin depender del tiempo. Anteriormente se ha visto que laflecha puede expresarse como un producto de unas funciones espaciales porunas temporales.

Donde las funciones espaciales son los modos propios de vibracin. Estosmodos propios solo dependen de las caractersticas de la placa y de lascondiciones de contorno.

Para una placa apoyada en los cuatro lados los modos propios de vibracin seexpresan de la siguiente manera:

La frecuencia propia:

(6.1)

(6.2)

(6.3)


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95

Las funciones temporales se obtienen aplicando la transformada de Laplace.La ecuacin matricial mediante la cual obtenemos las funciones temporales es:

6.1.1. Carga Un ifo rme

Fig 66. Placa apoyada en sus cuatro lados sometida a carga uniforme.


DATOS DEL PROBLEMA


Longitud (a) 4 m

Ancho (b) 4 m

Espesor (h) 0,02 m


Material AceroDensidad () 7850 kg/m

Mdulo de Young (E) 210*10-



Condiciones inicialesDesplazamiento 0 m

Velocidad 0 m/s

Del mismo modo que en el caso esttico se averiguar la flecha en el centro de

la placa(x=2, y=2), que es el punto en que se dar la mayor deformacin.

(6.4)


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96

Generalmente para estos clculos se suelen coger los cuatro primeros trminoscon m y n iguales. De manera que los modos propios y las frecuencias propiasseran

Termino Valores de m Valores de n Valor de m,nValor de

wm,n

1er

Trmino 1 1 0.039904 38.61619

2 Trmino 2 2 0 154.47679

3er

Trmino 3 3 0.039904 347.57278

4oTrmino 4 4 0 617.90717

Tabla 9. Valor de los modos propios y frecuencias propias para carga uniforme con 4

trminos de m y n.

Para poder hallar las funciones temporales primero hay que averiguar lasmatrices M y K que nos dan la matriz P.

Las matrices M y K son matrices diagonales por lo que la matriz P tambin serdiagonal.

Ahora hay que hallar el vector f.

(6.5)

(6.7)

(6.6)


104/162

97

El hecho de que las matrices sean diagonales facilita mucho los clculos, puesse pueden realizar como ecuaciones individuales directamente.

(

)

Una vez obtenido el vector se aplica la inversa de Laplace a dicho vector yobtenemos las funciones q(t). Multiplicando estas funciones por los modospropios de vibracin hallados anteriormente se obtiene la flecha en funcin deltiempo.

Para una mejor comprensin de los resultados obtenidos se obtendrnmediante Matlab unas grficas en las que se pueden visualizar los valores delos trminos calculados, as como una grfica a de la deformacin obtenida alsumar la deformacin de todos los trminos. El segundo y cuarto trminos sonnulos y no aportan nada al valor final de la deformacin.

(6.8)

(6.9)


105/162

98

Fig 67. Deformacin en funcin del tiempo para el primer trmino de Galerkin.

Fig 68. Deformacin en funcin del tiempo para el tercer trmino de Galerkin.


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99

Fig 69. Deformacin en funcin del tiempo total.

Hasta ahora se han usado cuatro trminos de Galerkin (N=4). La deformacintotal se obtendr al sumar las deformaciones obtenidas para cada uno de lostrminos.

Deformacin por trminos Deformacin total

w1=0,01385 m

wt=0,01386 mw2= 0 m

w3=1,898 E-05 m

w4= 0 m

Tabla 10. Valores de deformacin para cada uno de los trminos y deformacin total

para carga uniforme.

JUST IF ICAC IN DE N=1 PARA LO S CLCULO S DE LADEFORMA CIN

A continuacin se va a analizar que aporta cada elemento al resultado global ysi se puede pasar de N=4 a N=1 y de esta manera reducir el tiempo de losclculos.

Para ver el peso que tiene cada desplazamiento en el total de la deformacinse aplicar la siguiente ecuacin:


107/162

100

Para la deformacin obtenida con el primer trmino se obtiene:

Teniendo en cuenta este resultado se puede llegar a la conclusin de que noes necesario realizar los clculos con cuatro trminos de Galerkin si no que sepueden realizar usando N=1 e igualmente tener una alta precisin en elresultado. Por esta razn a partir de ahora en los prximos casos solo seemplear N=1.


En este nuevo caso la carga es una carga puntual en el centro de la placa. Se

averiguar la flecha en el centro de la placa, que es el punto en el que se darla mxima deformacin.

Fig 70. Placa apoyada en sus cuatro lados sometida a una carga puntual.


(6.10)


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101

DATOS DEL PROBLEMA


Longitud (a) 4 m

Ancho (b) 4 m

Espesor (h) 0,02 m


Material Acero

Densidad () 7850 kg/m Mdulo de Young (E) 210E9


Carga Carga 1000 N

Condiciones inicialesDesplazamiento 0 m

Velocidad 0 m/s

En este caso, y al ser la misma placa que en el caso anterior (sometida adiferente carga), los modos propios y las frecuencias son las mismas.

Termino Valores de m Valores de n Valor de m,nValor de

wm,n

1er

Trmino 1 1 0.039904 38.61619

Tabla 11. Frecuencia y valor propio del primer trmino para carga puntual.

Las matrices M y K tambin sern las mismas que en el caso anterior.

A la hora de averiguar f(s)en este caso de carga puntual aparece un problema.Este sistema slo es vlido para cargas repartidas, no puntuales. Para podersortear esta limitacin se crear una carga repartida equivalente a la cargapuntual del problema, localizada en un rea pequea alrededor del punto

central de la placa. El rea elegida ser cuadrada y con una superficie de0,04x0,04 m2. Con estos datos la carga resultante equivalente es de 625.000N/m2.

De esta manera:

(6.12)

(6.11)


109/162

102

Multiplicando una vez ms por el resultado obtenido para l

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Tesis de Placas y Cascaras