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UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Departamento de Matematica
Tesis de Licenciatura
La Integral Fraccionaria en diferentes Espacios Funcionalesdel Analisis Armonico
Hilde Bianchi
Director: Pablo De Napoli
16 de abril de 2018
Agradecimientos:
A mi director, Dr. Pablo de Napoli, por su paciencia, su bondad y su gentileza.
Al Dr. Ricardo Duran y a la Dra. Irene Drelichman, que aceptaron ser juradosde mi tesis.
A Roberto Sicardi Rodriguez, que me alento y me ayudo generosamente en losaspectos vinculados a la fısica.
A mi mama , mi tia y a mi hermano en la vida Omar Villalva, que me afirmaronon una confianza que yo, por desgracia, nunca me he tenido.
A Elida y Gisela, de la Hemeroteca del Departamento, que me buscaron librosy articulos que sin su ayuda me hubiese sido muy dificil conseguir.
A Juan Gonzalez, Javier Fernandez, Mariano Mancuso, Carlos Scirica y engeneral, a la larga lista de amigos que me facilitaron material e ideas.
2
Introduccion
La integral fraccionaria o potencial de Riesz es un operador integral muy utili-zado en el analisis armonico. Dada una funcion f : Rd → R, su integral fraccionariade orden α se define por:
Iαf (x) =1
γ (α)
ˆRd
f (y)
|x− y|d−αdy 0 < α < d,
donde γ(α) es una constante de normalizacion.
La teorıa de la integral fraccionaria con pesos se remonta al trabajo de G.H.Hardy y J.E. Littlewood [12] de 1927, sobre la convergencia de los desarrollos enserie de Fourier. Este artıculo crea la inquietud de Marcel Riesz, quien en 1948la aplico a la solucion del problema de Cauchy para la ecuacion de ondas. Otrasaplicaciones a varios problemas inversos en fısica matematica y geometrıa puedenconsultarse en [22] y en [15] . En particular, la teorıa de la transformada de Radon,esto es
R [f ] (τ, p) =
ˆRf (x, τ + px) dx,
que se utiliza en tomografıas computadas se basa tanto teorica como numericamenteen los potenciales de Riesz,segun se detalla en [14]. Asımismo, los potenciales deRiesz son una herramienta util en cuestiones de energia y de capacidad electrica.
El estudio de las propiedades de mapeo del potencial de Riesz en varias dimen-siones fue iniciada por S. Sobolev en un artıculo, fechado en 1938 [25], donde setrata la integrabilidad de Iα para funciones f ∈ Lp
(Rd), en el cual se establece
que ‖Iαf‖Lp ≤ C ‖f‖Lp , donde 1 < p < Nα , y p∗ = Np
N−αp . Para p = Nα , existen
teoremas de inmersion que involucran espacios de Orlicz.
En cuanto a las acotaciones con pesos, en 1958 Stein y Weiss escriben unartıculo [28] en el que obtienen acotaciones con pesos potencia de la de la integralfraccionaria en n dimensiones .Para funciones radiales, podemos mencionar los tra-bajos de Rubin,[23]; de de D´Ancona y Georgiev [5]; y de De Napoli, Drelichmany Duran, [6]; y.
En acotaciones cuanto acotaciones ara pesos mas generales, Muckenhoupt yWheeden ,[17],dieron condiciones necesarias y suficientes para la validez de la de-sigualdad
‖vMf‖Lq(Rd) ≤ Cp.q ‖vf‖ Lp(Rd)
donde M denota la funcion maximal de Hardy-Littlewood, con el mismo peso enambos miembros de la desigualdad. Este resultado fue generalizado en 1992 porSawyer y Wheeden en [24], dando condiciones para la acotacion con dos pesos dela integral fraccionaria.
3
INTRODUCCION 4
El objetivo de la presente tesis es exponer algunos resultados sobre la acotacionde la integral fraccionaria en distintos espacios funcionales con pesos utilizados enel analisis armonico. Para comprender y desarrollar estos temas se requirio el estu-dio previo de analisis armonico y teorıa geometrica de la medida, que permitieronfacilitar el desarrollo de esta tesis y despertaron el interes por el tema.
La misma se organiza de la siguiente manera:
En el capıtulo 1, enumeramos algunas propiedades de analisis real y funcional eintroducimos algunos resultados sobre la integral fraccionaria y potenciales de Riesz,el operador maximal de Hardy -Littlewood y el operador maximal fraccionario.
En el capıtulo 2, estableceremos las propiedades de los espacios BMO y Lipschitz-α. En algunos libros y artıculos los espacios Lipschitz-α son llamados Holder-α-Tambien estudiaremos las propiedades basicas del potencial de Bessel, nombradoası en homenaje al matematico y astronomo de ese nombre, aunque fue descubiertopor Daniel Bernoulli hacia el 1700. Tambien estudiaremos los espacios potencialesLα,p.
En el capıtulo 3, estudiaremos el comportamiento de los espacios de Lebesguecon pesos, especialmente aplicado a los pesos de Ap de Muckenhoupt, los pesosque cumplen una condicion doblante , la condicion inversa de Holder y los pesosdeMuckenhoupt y Wheeden o pesos Ap,q.
En el capıtulo 4, introduciremos los espacios de Lebesgue con exponente varia-ble y la funcional modular .Tambien enunciaremos los teoremas de extrapolacion,que permiten estudiar el comportamiento de la integral fraccionaria en dichos es-pacios. Estos espacios fueron introducidos por Orlicz en 1931 y reaparecen en 1950a traves del trabajo de Nakano e introducidos en la literatura matematica rusapor I. V.Tsenov. En 1979, I.I. Sharapudinov estudia aspectos topologicos de losespacios de Lebesgue con exponente variable en la recta real. No fue sino hasta1982 que se descubrieron aplicaciones a estos espacios, gracias a Zhikov, que hizoaplicaciones a la elasticidad de tejidos en su articulo [32]. En la actualidad, losespacios de Lebesgue con exponente variable tienen aplicaciones a la fısica de flui-dos electrorreologicos, que fueron desarrollados por Ruzicka, y a la fabricacion decristales fotonicos,polımeros y procesamiento de imagenes, tema que desarrollaronChen, Levine y Rao en[2]. Otra aplicacion, esta vez a la industria automotriz, fuedescubierta por Hao en 2006 y fue desarrollada en [11].
La vastedad del tema tratado y sus aplicaciones estimula a seguir trabajandosobre estos particulares.
Indice general
Agradecimientos: 2
Introduccion 3
Capıtulo 1. Definiciones y Teoremas Basicos 61.1. Definicion de la Integral Fraccionaria o Potencial de Riesz 61.2. El operador maximal de Hardy-Littlewood 111.3. El Teorema de Hardy-Littlewood-Sobolev 131.4. El operador maximal fraccionario 15
Capıtulo 2. Espacios BMO y Lipschitz-α 192.1. El espacio BMO 192.2. Los espacios de Lipschitz 242.3. El potencial y el nucleo de Bessel 29
Capıtulo 3. Espacios de Lebesgue con Pesos 383.1. Los pesos Ap de Muckenhoupt 383.2. Pesos doblantes 413.3. La condicion inversa de Holder 443.4. Caracterizacion de los pesos A1 463.5. La clase Ap,q de Muckenhoupt y Wheeden 49
Capıtulo 4. Espacios de Lebesgue Exponente Variable 574.1. La Funcional Modular 574.2. El operador maximal de Hardy-Littlewood en Lp(.) (Ω) 614.3. Teoremas de extrapolacion 64
Bibliografıa 66
5
Capıtulo 1
Definiciones y Teoremas Basicos
En este capitulo definiremos la integral fraccionaria, el operador maximal deHardy-Littlewood, los operadores maximales fraccionarios y estableceremos algunasde sus caracteristicas basicas.
A lo largo del presente trabajo, usaremos la notacion Q para denotar a loscubos y B, para denotar a las bolas
1.1. Definicion de la Integral Fraccionaria o Potencial de Riesz
Definicion 1. Sea f : Rd → R.Definimos como integral fraccionaria o poten-cial de Riesz al operador
Iαf (x) =1
γ (α)
ˆRd
f (y)
|x− y|d−αdy 0 < α < d,
donde γ (α) = πd2 2α
Γ(α2 )Γ( d2−
α2 )
es una constante de normalizacion.
Este operador esta bien definido por ejemplo sif ∈ C0(Rd)
pues si B (0, R) esuna bola tal que sop f ⊆ B ((0, R)) entonces,
|(Iαf) (x)| ≤ 1
γ (α)
ˆRd|x− y|−d+α |f (y)| dy
≤ 1
γ (α)
(maxx∈Rd
|f (x)|)ˆ
B(0,R)
|x− y|−d+αdy
≤ 1
γ (α)
(maxx∈Rd
|f (x)|)ˆ
B(x,R)
|z|−d+αdz
51
γ (α)
(maxs∈Rd
|f (x)|)ˆ R
0
ρ−d+αρd−1cddρ =
≤ cdγ (α)
(maxs∈Rd
|f (s)|)ˆ R
0
ρα−1dρ
≤ cdγ (α)
1
α
(maxs∈Rd
|f (s)|)Rα
Por otra parte, notamos que si f es una funcion suave que tiende a cero sufi-cientemente rapido en infinito, se tiene que
(−∆f)ˆ
(x) = −4π2 |x|2 f (x)
Por ejemplo, esto se verifica si f esta en la clase de Schwarz, formada por lasfunciones de clase C∞ con la propiedad de tener derivadas acotadas al multiplicarlas
6
1.1. DEFINICION DE LA INTEGRAL FRACCIONARIA O POTENCIAL DE RIESZ 7
por polinomios. Si reemplazamos |x|2 por |x|β con−d < β < 0, podemos definir, almenos formalmente, las potencias negativas del Laplaciano por(
− (∆f)β2
)(x) = −4π2 |x|2 f (x)
La integral fraccionaria proporciona entonces una representacion integral de laspotencias negativas del Laplaciano, pues tenemos que
Iα (f) = (−∆)−α2 (f)
si f es una funcion en la clase de Schwarz. Esta identidad se verifica en el sentidodistribucional, como se establece en [27, lema2, capıtulo 5] :
Lema. Sea 0 < α < d.a)La transformada de Fourier de |x|−d−α es la funcion γ (α) (2π)
−α |x|−α enel sentido que ˆ
Rd
|x|d+αϕ (x) dx =
ˆRd
γ (α) (2π)−α |x|−α ϕ (x)dx
b)La identidad Iα (f) = (2π |x|)−α f es valida en el sentido que
ˆRd
Iαf (x) g (x) =
ˆRd
ˆf (x) (2π)−α |x|−α g (x)
cualesquiera sean f, g ∈ S
Observacion 2. Sea 0 < α < d. Sea f ∈ L1(Rd)∩ L∞
(Rd). Entonces,
Iα (f) ∈ L∞ (R∞)
Demostracion. Sea xB ∈ Rd cualquiera Sea R > 0, que elegiremos conve-nientemente despues
|Iαf(x)| = 1
γ (α)
∣∣∣∣ˆRd
f (y)
|x− y|αdy
∣∣∣∣=
1
γ (α)
∣∣∣∣∣ˆB(xB ,R)
f (y)
|x− y|αdy +
ˆRd−B(xB,R)
f (y)
|x− y|αdy
∣∣∣∣∣≤ 1
γ (α)
∣∣∣∣∣ˆB(xB ,R)
f (y)
|x− y|αdy
∣∣∣∣∣+1
γ (α)
∣∣∣∣∣ˆRd−B(xB,R)
f (y)
|x− y|αdy
∣∣∣∣∣≤ 1
γ (α)
ˆB(xB ,R)
|f (y)||x− y|α
dy +1
γ (α)
ˆRd−B(xB,R)
|f (y)||x− y|α
dy
≤ 1
γ (α)‖f‖L∞(Rd)
ˆB(xB ,R)
1
|x− y|αdy +
1
γ (α)
1
Rα
ˆRd−B(xB,R)
|f (y)| dy
=1
γ (α)‖f‖L∞(Rd)
ˆ R
0
cdρd−1
ραdy +
1
γ (α)
1
Rα‖f‖L1(Rd)
=1
γ (α)‖f‖L∞(Rd)
cdd− α
Rd−α +1
γ (α)R−α ‖f‖L1(Rd)
Observemos que esta cota es valida ∀R > 0. Entonces, una buena estrategiapuede ser minimizar esta expresion, para lo cual, para cada f ∈ L1
(Rd)∩L∞
(Rd)
definiremos F : (0,+∞)→ [0,+∞),
1.1. DEFINICION DE LA INTEGRAL FRACCIONARIA O POTENCIAL DE RIESZ 8
F (R) = ‖f‖L∞(Rd)
cdd− α
Rd.−α +R−α ‖f‖L1(Rd)
Notemos que limR→0+
(F (R)) = +∞, limR→+∞
(F (R)) = +∞, F ∈ C1 (0,+∞)
dF
dR= ‖f‖L∞(Rd) cdR
d.−α−1 − αR−α−1 ‖f‖L1(Rd)
Si dFdR = 0=⇒ ‖f‖L∞(Rd) cdR
d.−α−1 = αR−α−1 ‖f‖L1(Rd) Luego,
R =
(α ‖f‖L1(Rd)
‖f‖L∞(Rd) cd
) 1d
En punto, F alcanza un mınimo absoluto. Entonces,
|Iα (f)| ≤ 1
γ (α)
(α ‖f‖L1(Rd)
‖f‖L∞(Rd) cd
)−αd(‖f‖L∞(Rd)
cdd− α
α ‖f‖L1(Rd)
‖f‖L∞(Rd) cd+ ‖f‖L1(Rd)
)
=1
γ (α)
(α ‖f‖L1(Rd)
‖f‖L∞(Rd) cd
)−αd (
cdα
d− α+ 1
)(‖f‖ L1(Rd)
)Por lo tanto, ‖Iα (f)‖L∞(Rd) ≤
1γ(α)
(α‖f‖L1(Rd)‖f‖
L∞(Rd)cd
)−αd (
cdαd−α + 1
) (‖f‖ L1(Rd)
)
Una generalizacion de este resultado es :
Observacion 3. Sea 1 < p < +∞. Sea f ∈ Lp(Rd)∩ L∞
(Rd).Sea q = p
p−1
Sea d−1q < α < d. Entonces, Iα (f) ∈ L∞ (R∞)
Demostracion. Sea xB ∈ Rd cualquiera Sea R > 0, que elegiremos conve-nientemente despues
|Iαf (x)| = 1γ(α)
∣∣∣´Rd
f(y)|x−y|α dy
∣∣∣= 1γ(α)
∣∣∣´B(xB ,R)f(y)|x−y|α dy +
´Rd−B(xB,R)
f(y)|x−y|α dy
∣∣∣≤ 1
γ(α)
∣∣∣´B(xB ,R)f(y)|x−y|α dy
∣∣∣+ 1γ(α)
∣∣∣´Rd−B(xB,R)f(y)|x−y|α dy
∣∣∣≤ 1
γ(α)
´B(xB ,R)
|f(y)||x−y|α dy+ 1
γ(α)
´Rd−B(xB,R)
|f(y)||x−y|α dy
≤ 1γ(α) ‖f‖L∞(Rd)
´B(xB ,R)
1|x−y|α dy + 1
γ(α)1Rα
´Rd−B(xB,R)
|f(y)||x−y|α dy
Por la clasica desigualdad de Holder;1
γ(α) ‖f‖L∞(Rd)
´B(xB ,R)
1|x−y|α dy + 1
γ(α)
´Rd−B(xB,R)
|f(y)||x−y|α dy
≤ 1γ(α) ‖f‖L∞(Rd)
´ R0
cdρd−1
ρα dy+ 1γ(α) ‖f‖Lp(Rd−B(xB,R))
(´Rd−B(xB,R)
1|x−y|αq dy
) 1q
= 1γ(α) ‖f‖L∞(Rd)
cdd−αR
d.−α + 1γ(α) ‖f‖Lp(Rd)
(´ +∞R
cdρd−1
ραq
) 1q
Observemos que d− αq < 0, ası que
|Iα (f (x))| ≤ 1γ(α) ‖f‖L∞(Rd)
cdd−αR
d.−α + 1γ(α) ‖f‖Lp(Rd) c
1q
d
(Rd−αq
αq−d
) 1q
=
1γ(α) ‖f‖L∞(Rd)
cdd−αR
d.−α + 1γ(α) ‖f‖Lp(Rd) c
1q
d
(1
αq−d
) 1q(Rdq−α
)Observemos que esta cota es valida ∀R > 0.Ahora, intentemos minimizar esta expresion. Para ello definamos F (R) =
C1Rd.−α + C2
(Rdq−α
), donde
1.1. DEFINICION DE LA INTEGRAL FRACCIONARIA O POTENCIAL DE RIESZ 9
C1 = ‖f‖L∞(Rd)cdd−α y C2 = ‖f‖Lp(Rd) c
1q
d
(1
αq−d
) 1q
Notemos que limR→0+
(F (R)) = +∞, limR→+∞
(F (R)) = +∞, F ∈ C1 (0,+∞)
dFdx = C1 (d− α)Rd.−α−1 +
(dq − α
)2
Si dFdx = 0=⇒ (d− α− 1)C1R
d.−α−1 =(α− d
q
)C2R
dq−α−1
(d− α)C1Rd.− dq =
(α− d
q
)C2
Rd(1− 1q ) =
(α− dq )C2
(d−α)C1
Rdp =
(α− dq )‖f‖Lp(Rd)c1qd ( 1
αq−d )1q
(d−α)‖f‖L∞(Rd)
cdd−α
R =
((α− dq )‖f‖Lp(Rd)c
1qd ( 1
αq−d )1q
(d−α)‖f‖L∞(Rd)
cdd−α
) pd
=
((α− dq )‖f‖Lp(Rd)c
1q−1
d ( 1αq−d )
1q
‖f‖L∞(Rd)
) pd
=
(α− dq )‖f‖Lp(Rd)c−1pd ( 1
αq−d )1q
‖f‖L∞(Rd)
pd
Este punto es un mınimo absolutoLuego,
|Iα (f) (x)| ≤ 1
γ (α)
‖f‖L∞(Rd)
cdd− α
(α− d
q
)‖f‖Lp(Rd) c
−1p
d
(1
αq−d
) 1q
‖f‖L∞(Rd)
pd (d−α)+
1
γ (α)
‖f‖Lp(Rd) c1q
d
(1
αq − d
) 1q
(α− d
q
)‖f‖Lp(Rd) c
−1p
d
(1
αq−d
) 1q
‖f‖L∞(Rd)
pd
dq−α
Una generalizacion de este resultado esta dado por la observacion siguiente:
Observacion 4. Sean 1 < p1 < p2 < +∞. Sean q1, q2 tales que 1p1
+ 1q1
=
1 , 1p2
+ 1q2
= 1. Sea f ∈ Lp1(Rd)∩ Lp2
(Rd).Sea α ∈
(dq2, dq1
).Entonces, Iα (f) ∈
L∞(Rd)
Demostracion. Sea x ∈ Rdcualquiera y sea B (xB , R),con R > 0,que ele-
giremos beneficiosamente despues. Consideremos |Iα (f)| =∣∣∣ 1γ(α)
´Rd
f(y)|x−y|α dy
∣∣∣ ≤1
γ(α)
´Rd
|f(y)||x−y|α dy
= 1γ(α)
(´B(xB ,R)
|f(y)||x−y|α dy +
´Rd−B(xB,R)
|f(y)||x−y|α dy
)En la primera integral ,usaremos la tradicional desigualdad de Holder con los
exponentes p1 y q11
γ(α)
(´B(xB ,R)
|f(y)||x−y|α dy +
´Rd−B(xB,R)
|f(y)||x−y|α dy
)≤ 1
γ(α) ‖f‖Lp1 (B(xB ,R))
(´B(xB ,R)
1|x−y|αq1 dy
) 1q1
+ 1γ(α)
´Rd−B(xB,R)
|f(y)||x−y|α dy
1.1. DEFINICION DE LA INTEGRAL FRACCIONARIA O POTENCIAL DE RIESZ 10
≤ 1γ(α) ‖f‖Lp1 (Rd)
(´B(xB ,R)
1|x−y|αq1 dy
) 1q1
+ 1γ(α)
´Rd−B(xB,R)
|f(y)||x−y|α dy
Haciendo un cambio de variables en la primera integral, obtenemos(ˆ R
0
cdρd−1
ραq1dρ
) 1q1
=
(ˆ R
0
cdρd−1−αq1dρ
) 1q1
Observemos que d− 1− αq1 > −1, o sea que(ˆ R
0
cdρd−1−αq1dρ
) 1q1
=
(cd
1
d− αq1Rd−αq1
) 1q1
=
(cd
d− αq1
) 1q1
Rdq1−α
Ahora consideremos´Rd−B(xB,R)
|f(y)||x−y|α dy
Usaremos nuevamente la desigualdad de Holder con p2 y q2, y elegiremos R ,
para lo cual minimizaremos F : (0,+∞) → R definida como F (R) = C1Rdq1−α +
C2Rdq2−α, donde C1 = ‖f‖Lp1 (Rd)
(cd
d−αq1
) 1q1
y C2 = ‖f‖Lp2 (Rd)
(cd
αq2−d
) 1q2
.
Notemos que F ∈ C1 ((0,+∞)) , limR→0+
F (R) = +∞ , limR→+∞
F (R) = +∞, luego
tiene sentido buscar un mınimo absoluto en (0,+∞)
F´ (R) = C1
(d
q1− α
)R
dq1−α−1 + C2
(d
q2− α
)R
dq2−α−1
= R−α−1
(C1
(d
q1− α
)R
dq1 + C2
(d
q2− α
)R
dq2
)F´ (R) = 0⇒
(C1
(dq1− α
)R
dq1 + C2
(dq2− α
)R
dq2
)= 0
Ası, C1
(dq1− α
)R
dq1 = C2
(− dq2
+ α)R
dq2 .
O equivalentemente,(C1
(dq1− α
)) q1q2d
Rq2 =(C2
(− dq2
+ α)) q1q2
d
Rq1
De lo cual resulta,(C1
(dq1− α
)) q1q2d
=(C2
(− dq2
+ α)) q1q2
d
Rq1−q2 , Y ası
obtenemos,
R =
C1
(dq1− α
)C2
(− dq2
+ α)
q1q2d(q1−q2)
Un simple analisis de F ′ permite determinar que en
(C1
(dq1−α
)C2
(− dq2
+α)) q1q2
d(q1−q2)
,F
alcanza un mınimo, de lo cual resulta que
(1.1.1) |Iα(f)(x)| ≤ 1
γ (α)
C1
(dq1− α
)C2
(− dq2
+ α)−q1q2αd(q1−q2)
×
C1
C1
(dq1− α
)C2
(− dq2
+ α)
q2q1−q2
+ C2
C1
(dq1− α
)C2
(− dq2
+ α)
q2q1−q2
1.2. EL OPERADOR MAXIMAL DE HARDY-LITTLEWOOD 11
El potencial de Riesz tiene como desventaja que no es integrable en todo elespacio Rd, por eso se introdujo el potencial de Bessel, nombrado ası en homenajeal matematico y astronomo aleman Friedrich Wilhem Bessel (1784-1846), que usodicho potencial para estudiar el movimiento , el paralaje y la ubicacion de apro-ximadamente 75000 estrellas dtel hemisferio norte .Tambien dedujo la posicion dela estrella gemela de Sirio,conocida como el Cachorro,descubierta en 1862 por elastronomo ingles Graham Clark.
El nucleo de Bessel se introducira a traves de la transformada de Fourier como
Gα (ξ) =(
1 + 4 |ξ|2)−α
2
o, equivalentemente, como
Gα (x) =1
(4π)α2 Γ(α2
) ˆ +∞
0
e−π|x|2δ e
−δ4π δ
α−d2dδ
δ,
El potencial de Bessel se define como Jα (f)ˆ(ξ) =
(1 + 4 |ξ|2
)−α2
f (ξ), o equi-
valentemente como Gα ∗ f
1.2. El operador maximal de Hardy-Littlewood
Comenzaremos por recordar unos resultados de analisis real que se usaran acontinuacion
Lema 5 (Lema de cubrimiento de Vitali-Wiener). Sea E ⊆ Rd y Bjj∈Nuna
sucesion de bolas tales que supj∈Ndiam (Bj) ∈ R y que E ⊆ ∪j∈NBj.Entoncespodemos elegir una subsucesion de bolas disjuntas con la propiedad que∑
k∈N|Bjk | ≥ 5−d |E|
Demostracion. Ver [8]
Definicion 6. Sea f localmente integrable . Definimos al operador maximalde Hardy Littlewood como
M (f) (x0) = supQ/x0∈Q
1
|Q|
ˆQ
|f (x)| dx
Observacion 7. Una forma equivalente se obtiene sustituyendo los cubos porbolas, esto es:
M (f) (x0) = supB(x0,R)/R>0
1
|B (x0, R)|
ˆB(x0,R)
|f (x)| dx
Este operador resulta equivalente en el sentido que existen c1y c2 constantes
positivas tales que c1Mf (x0) ≤ M (f) (x0) ≤c2Mf (x0)
Demostracion. Sea xB ∈ Rd arbitrario .Sea R > 0.Sea Q un cubo centradoen xB de lado 2R .Claramente,B (xB , R) ⊆ Q. Entonces,
1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
|f (x)| dx ≤ 1
|B (xB , R)|
ˆQ
|f (x)| dx
1.2. EL OPERADOR MAXIMAL DE HARDY-LITTLEWOOD 12
Ahora, forcemos la aparicion de Q:
1
|B (xB , R)|
ˆQ
|f (x)| dx =|Q|
|B (xB , R)|
(1
|Q|
ˆQ
|f (x)| dx)
A continuacion comparemos la medida de Q con la de B (xB , R):
|Q||B (xB , R)|
=(2R)
d
Rd |B (0, 1)|En consecuencia
M (f) (x) ≤ 2d
|B (0, 1)|M (f) (x)
Ahora probaremos una desigualdad en sentido contrario. Para ello consideremos
xB ∈ Rdarbitrario,y Qun cubo de lado l.Consideremos B(xB , (2l)
d).
Claramente Q ⊆ B(xB , (2l)
d)
.Luego,
1
|Q|
ˆQ
|f (x)| dx ≤ 1
|Q|
ˆB(xB ,(2l)d)
|f (x)| dx
Ahora, forcemos la aparicion de B(xB , (2l)
d)
:
1
|Q|
ˆB(xB ,(2l)d)
|f (x)| dx =
∣∣∣B (xB , (2l)d)∣∣∣|Q|
1∣∣∣B (xB , (2l)d)∣∣∣ˆB(xB ,(2l)d)
|f (x)| dx
A continuacion comparemos la medida de Q con la de B
(xB , (2l)
d)
:∣∣∣B (xB , (2l)d)∣∣∣|Q|
=(2l)
d |B (xB , 1)|ld
= 2d |B (0, 1)|
Concluimos que
M (f) (x) ≤ 2d |B (0, 1)| M (f) (x)
Teorema 8 (Desigualdad maximal de Hardy-Littlewood). El operador maxi-
mal M, y por lo tanto ,tambienM, son de tipo debil (1,1), es decir: Si f ∈ L1(Rd)y
λ > 0, entonces ∣∣∣M (f) > λ∣∣∣ ≤ 3d
λ‖f‖L1(Rd)
|M (f) > λ| ≤ c
λ‖f‖L1(Rd)
Demostracion. Sea λ > 0 cualquiera .Sea Eλ =x ∈ Rd/M (f) > λ
Six ∈ Eλ,∃B (x,R)y 1
|B(x,R)|´B(x,R)
f (t) dt > λ
Sea C la coleccion de bolas que cumplen que 1
|B(x,R)|´B(x,R)
|f (t)| dt > λ
Cada x ∈ Eλ pertenece a al menos una bola B,por lo tanto C es un cubrimientode Eλ.
1.3. EL TEOREMA DE HARDY-LITTLEWOOD-SOBOLEV 13
Si B ∈ C,´B(x,R)
f (t) dt > λ∣∣∣B (x,R)
∣∣∣ . Luego,∣∣∣B (x,R)
∣∣∣ ≤ ‖f‖L1(Rd)λ
Luego, las bolas de C tienen radios acotados ,y por el lema simple de Vitali,∃ Bjj∈Nsucesion de bolas disjuntas de C con la propiedad que
∑∞k=1 |Bk| > 3−d |Eλ|de
lo cual deducimos que
|Eλ| ≤ 3d,∞∑k=1
|Bk| ≤ 3d∞∑k=1
1
λ
ˆBk
‖f (y)‖ dy ≤ 3d
λ
ˆ∪∞k=1Bk
|f (y)| dy
En consecuencia ,|Eλ| ≤ 3d
λ ‖f‖L1(Rd), que es lo que querıamos probar.
Como una aplicacion de lo anterior recordaremos el teorema de diferenciacionde Lebesgue, que usaremos fuertemente para demostrar algunos teoremas:
Teorema 9. Sea f una funcion localmente integrable. Entonces
limB(x0,R)→x01
|B (x0, R)|
ˆB(x0,R)
f(x)dx = f(x0) para casi todo x0 ∈ Rd
A continuacion recordaremos el teorema de interpolacion de operadores subadi-tivos demostrado por el matematico polaco Josef Marcinkiewicz en 1939. Este teo-rema se puede consultar en [8] y es necesario para demostrar que tanto M como
M son de tipo fuerte (p, p) :
Teorema. sean 1 < r ≤ ∞ y T un operador subaditivo definido en L1(Rd)
+
Lr(Rd),donde L1(Rd)
+L1(Rd)
=f + g / f ∈ L1
(Rd), g ∈ Lr
(Rd)
Si T es de tipo debil (1, 1) y (r, r),entonces T es de tipo fuerte (p, p)
Observacion 10. El operador M (f) es de tipo fuerte (p, p) para p > 1.
Demostracion. Comencemos por tomar f ∈ L∞(Rd).Tomemos x0 ∈ Rd, R >
0 cualquiera.Trivialmente,
1
|B (x0, R)|
ˆB(x0,R)
f [y] dy ≤ ‖f‖L∞(Rd)
Luego,M es de tipo fuerte (∞,∞) y de tipo debil (1, 1).Ası, por el teorema de
interpolacion de Marcinkiewicz, M es de tipo fuerte (p, p) si p > 1.Analogamente, lo anterior es valido tambien para M.
1.3. El Teorema de Hardy-Littlewood-Sobolev
A continuacion recapitularemos algunos resultados basicos para determinarcuando la integral fraccionaria es un operador acotado en los espacios de Lebesgue.El resultado principal es el siguiente:
Teorema 11 (Teorema de Hardy-Littlewood-Sobolev). Sea f ∈ Lp(Rd),1 <
p < 1α . Entonces, Iαf ∈ Lq
(Rd), donde 1
q = 1p −
αd y existe una constante
c ≡ c (α, p, q) independiente de f tal que
‖Iαf‖Lq ≤ c ‖f‖Lp
1.3. EL TEOREMA DE HARDY-LITTLEWOOD-SOBOLEV 14
Para demostrar este teorema necesitaremos algunos resultados tecnicos queveremos a continuacion. Se conocen varias demostraciones de este teorema. Aquıreproduciremos una debida a Hedberg [13]. Dicha demostracion se basa en com-parar la integral fraccionaria con el operador maximal de Hardy-Littlewood, comoestablece el teorema siguiente. Otra demostracion se da en [27] (Teorema 1, capıtuloV).
Teorema 12 (desigualdad de Hedberg). :Sea 0 < α < d y sea funa funcionacotada de soporte compacto. Entonces, si 1 ≤ p < d
α , resulta que
|Iαf (x)| ≤ C ‖f‖pαd
Lp (Mf)1− pαd (x)
Demostracion. Sea s > 0. Entonces,
|Iαf (x)| ≤ˆ|x−y|<s
|f (y)||x− y|d−α
dy +
ˆ|x−y|>s
|f (y)||x− y|d−α
dy
Notaremos como
I1 =
ˆ|x−y|<s
|f (y)||x− y|d−α
dy
y como
I2 =
ˆ|x−y|>s
|f (y)||x− y|d−α
dy
Veamos el comportamiento de I1:
I1 =
ˆ|x−y|<s
|f (y)||x− y|d−α
dy =
∞∑k=0
ˆ2−k−1s≤|x−y|≤2−ks
|f (y)||x− y|d−α
dy
≤∞∑k=0
ˆ2−(k+1)s≤|x−y|≤2−ks
|f (y)|2−(k+1)s(d−α)
dy
≤∞∑k=0
ˆ|x−y|≤2−ks
|f (y)|2−(k+1)s(d−α)
dy
≤∞∑k=0
2−kα1(
2−(k+1)s)d ˆ
Q(x,2−k+1s)
|f (y)| dy ≤ CsαMf (x)
Por otro lado, si p = 1,para I2,tenemos,
I2 =
ˆ|x−y|≥s
|f (y)||x− y|d−α
dy
≤ 1
sd−α
ˆ|x−y|>s
|f (y)| dy
≤ 1
sd−α‖f‖L1
Para 1 < p < dα , llamemos β = p´(d− α)-d. Observemos que β > 0 y podemos
concluir que
III =
ˆ|x−y|≥s
|f (y)||x− y|d−α
dy ≤ ‖f‖Lp
(ˆ|x−y|>s
dx
|x− y|p´(d−α)
) 1p´
1.4. EL OPERADOR MAXIMAL FRACCIONARIO 15
Ademas,ˆ|x−y|≥s
1
|x− y|p′(d−α)
dy =
ˆ|x−y|≥s
1
|x− y|d+βdy
= cd
ˆ ∞s
ρd−1cdρd+β
dρ = cd
ˆ ∞s
ρ−1−βcddρ =cdβsβ
,
de lo cual deducimos
I2 ≤ ‖f‖Lp
(cdβsβ
) 1p´
= C ‖f‖Lp s−( dp−α)
Observemos que si se toma p = 1, esta desigualdad tambien es valida. Luegopara 1 ≤ p < d
α , podemos acotar Iαf (x)por
|Iαf (x)| ≤ CsαMf (x) + C ‖f‖Lp s−( dp−α)
para todo s > 0
Ahora,si tomamos s =
(‖f‖Lp(Rd)Mf(x)
) pd
,que minimiza al segundo miembro como
funcion de s, obtenemos que
|Iα (f)| ≤ C
(‖f‖Lp(Rd)
Mf (x)
) pαd
Mf (x)
= C(‖f‖Lp(Rd)
) pαd
(Mf (x))1− pαd .
Como corolario, obtenemos el resultado del teorema 11 usando la continuidadde la maximal en Lp, pues
‖Iαf‖Lq ≤ C(‖f‖Lp(Rd)
) pαd(‖f‖Lp(Rd)
)1− pαd= C ‖f‖Lp(Rd)
Un caso lımite de este teorema se da en el lema siguiente, cuya demostraciontambien aparece en el artıculo de Hedberg [13].
Lema 13. i)Sea 1 < p < ∞ y sea s ∈ (0, 1) tal que sp = d. Entonces,existenc1,c2 > 0 tales que ∀G, abierto y acotado,
1
|G|
ˆG
exp
|Iαf |A1 ‖f‖
Lp(Rd)
p
≤ c2
1.4. El operador maximal fraccionario
En esta seccion introduciremos liss operadores maximales fraccionarios, queusaremos fuertemente en la seccion 3.5:
Definicion 14. Definimos al operador maximal fraccionario, Mα (f) ,dondef es una funcion localmente integrable, por
Mα (f) (x) = supB⊆Rd
(1
|B|1−αd
ˆB
|f (y)| dy
),
donde 0 < α < d y el supremo se toma sobre todos las bolasB , cuyo centro esel punto x.
1.4. EL OPERADOR MAXIMAL FRACCIONARIO 16
Observemos que si α = 0,obtenemos la clasica maximal de Hardy-Littwewoody que si α = d, obtenemos la norma de f en el espacio L1
(Rd)
Observacion 15. Sea f ∈ Lp(Rd).Entonces. ∀x ∈ Rd, M d
p(x) ≤ ‖f‖Lp
Demostracion. Por la desigualdad de Holder,
1
|B|1−αd
ˆB
|f (y)| dy =1
|B|1−αd
ˆB
|f (y)|χBdy
≤ 1
|B|1−αd‖f‖Lp(Rd)
(ˆB
χp′
B
) 1p′
= ‖f‖Lp(Rd)
Lema 16. Mα (f)es un operador sublineal. Esto es:
i)
Mα (f + g) (x) ≤Mα (f) (x) +Mα (g) (x)
ii)
Mα (λf) (x) = |λ|Mα (f) (x)
Demostracion. i)Sea x ∈ Rd y sea B = B(x,R) una bola de centro x. Con-sideremos
1
|B|1−αd
ˆB
|f (y) + g (y)| dy ≤ 1
|B|1−αd
ˆB
|f (y)| dy +1
|B|1−αd
ˆB
|g (y)| dy
≤Mα (f) (x) +Mα (g) (x)
Tomando supremo sobre todas las bolas B, se obtiene i). Similarmente,
1
|B|1−αd
ˆB
|λf (y)| dy = |λ| 1
|B|1−αd
ˆB
|f (y)| dy ≤ |λ|Mα (f) (x)
y tomando supremo obtenemos ii).
Observacion 17. Mα
(|x|−α
)<∞∀x ∈ R ∀0 < α < d
Demostracion. Estructuraremos esta demostracion en 4 casos:i)Consideremos primero el caso donde xB = 0.Sea R > 0 arbitrario, B =
B (0, R)1
|B|1−αd
ˆB
|x|−α dy =1
R(1−αd )d |B (0, 1)|
ˆB
ρ−αρd−1cddρ
=1
Rd−α |B (0, 1)|
ˆB
ρ−αρd−1cddρ =cd
(d− α) |B (0, 1)|:= K1
ii)Veamos ahora xB 6= 0, 0 < R < ‖xB‖4 ,x ∈ B (xB , R)
‖xB‖ ≤ ‖xB − x‖+ ‖x‖ ≤ R+ ‖x‖ ≤ ‖xB‖4
+ ‖x‖
Entonces,∀x ∈ B (xB , R), ‖x‖ > 34 ‖xB‖
Luego,
1
|B (xB , R)|1−αd
ˆB(xB ,R)
|x|−α dy ≤ 1
|B (xB , R)|1−αd
(3
4‖xB‖
)−α|B (xB , R)|
1.4. EL OPERADOR MAXIMAL FRACCIONARIO 17
Dado que |B (xB , R)|αd(
34 ‖xB‖
)−α= Rα |B (0, 1)|α
(34 ‖xB‖
)−α, obtenemos
1
|B (xB , R)|1−αd
(3
4‖xB‖
)−α|B (xB , R)| ≤
(‖xB‖
4
4
3‖xB‖−1
)α=
(1
3
)α:= K2
iii)En el caso de xB 6= 0, ‖xB‖4 < R < 4 ‖xB‖
‖x‖ ≤ ‖x− xB‖+ ‖xB‖ ≤ R+ ‖xB‖ ≤ 5 ‖xB‖ ∀x ∈ B (xB , R)
Entonces, B (xB , R) ⊆ B (0, 5 ‖xB‖). Ası,
1
|B (xB , R)|1−αd
ˆB(xB ,R)
|x|−α dy 5 1
|B (xB , R)|1−αd
ˆB(xB ,5‖xB‖)
|x|−α dy
=1
|B (xB , 5 ‖xB‖)|1−αd
ˆB(xB ,R)
|x|−α dy |B (xB , 5 ‖xB‖)|1−αd
|B (xB , R)|1−αd
≤ 1
|B (xB , 5 ‖xB‖)|1−αd
ˆB(xB ,R)
|x|−α dy |(5 ‖xB‖)|1−αd∣∣∣(‖XB‖4
)∣∣∣1−αd=
201−αd
|B (xB , 5 ‖xB‖)|1−αd
ˆB(xB ,R)
|x|−α dy
=20d−αcd
(d− α) |B (0, 1)|:= K3
iv)Consideremos ahora el caso, xB 6= 0, R > 4 ‖xB‖
‖x‖ ≤ ‖x− xB‖+ ‖xB‖ ≤ R+ ‖xB‖ ≤ R+R
4=
5
4R ∀x ∈ B (xB , R)
Entonces,B (xB , R) ⊆ B(0, 5
4 ‖xB‖). Luego,
1
|B (xB , R)|1−αd
ˆB(xB ,R)
|x|−α dy 5 1
|B (xB , R)|1−αd
ˆB(xB , 54R)
|x|−α dy
≤ 1∣∣B (0, 54R)∣∣1−αd
ˆB(xB , 54R)
|x|−α dy
(∣∣B (xB , 54R)∣∣
|B (xB , R)|
)1−αd
=
(5
4
)1−αd cd(d− α) |B (0, 1)|
:= K4
Se sigue que Mα (|x|-α) (x) ≤ max K1,K2,K3,K4Como una consecuencia inmediata de lo anterior ,∀c ∈ Rd, Mα
(‖x− c‖−α
)<
∞A continuacion haremos algunas observaciones sobre el operadorMα (f)
Observacion 18. Sea f ∈ C1 (R) tal que f (0) = 0 y dfdx ∈ L∞ (R). Entonces,
Mα (f (|x−α|)) (x) <∞
1.4. EL OPERADOR MAXIMAL FRACCIONARIO 18
Demostracion. Usando el teorema de Lagrange para una variable, f (x) =
f (0) + dfdx (λx)x , donde λ = λ (x) ∈ (0, 1)
Como f (0) = 0,f (x) = dfdx (λx)x
Entonces,∣∣∣f (|x|−α)∣∣∣ =
∣∣∣ dfdx (λ |x|−α)∣∣∣ |x|−α ≤ ∥∥∥ dfdx∥∥∥L∞(R)|x|−α
En consecuencia, por la observacion 17, Mα
(f(|x|−α
))(x) <∞
El comportamiento del operador maximal fraccionario en los espacios Lp estadescripto por el teorema siguiente, que aparece por ejemplo en [16] (lema2.1):
Teorema 19. Sea 0 ≤ α ≤ d.
i) El operador Mα es de tipo debil (1, n/(n− α)) esto es: se tiene la estima-cion: ∣∣x ∈ Rd/|Mα (f (x))| > λ
∣∣1−αd ≤ ‖f‖L1
λii) Si1 < p < d
α y q esta definido por la relacion 1q = 1
p −αd entonces Mα es
de tipo fuerte (p, q),
‖Mα (f)‖Lq ≤ Cα,p ‖f‖Lp
La demostracion de i) es similar a la del teorema 8. ii) es realmente un corolariodel teorema 11, pues
Mα(f)(x) ≤ C Iαf(x)
Capıtulo 2
Espacios BMO y Lipschitz-α
En este capıtulo estudiaremos los espacios BMO o de funciones de variacionmedia acotada y los espacios Lipschitz−α , conocidas tambien como Holder−α ysus propiedades fundamentales.
2.1. El espacio BMO
Definicion 20. Sea f una funcion localmente integrable en Rd. Llamaremospromedio de f en el cubo Q a 1
|Q|´Qfdx y lo notaremos como fQ.
Similarmente, llamaremos promedio de f en la bola B a 1|B|´Bfdx y lo nota-
remos como fBDiremos que f es de oscilacion media acotada o que pertenece al espacio BMO
(por sus iniciales en ingles bounded mean oscillation) si existe C > 0 tal que paratodo cubo Q,
1
|Q|
ˆQ
|f − fQ| dx ≤ C
, o equivalentemente, si existe C > 0 tal que ∀B bola
1
|B|
ˆB
|f − fB | dx ≤ C
Llamaremos ‖f‖∗ a infC > 0/∀B bola 1
|B|´B|f − fB | dx ≤ C
.
Lema 21. Sea f ∈ L1loc y supongamos que ∃C ∈ R con la propiedad que para
todo cubo Q, existe cQ tal que
1
|Q|
ˆQ
|f − cQ| ≤ C
Entonces f ∈ BMO y ‖f‖∗ ≤ 2C.
Demostracion. Escribimos: f − fQ = f − cQ + cQ − fQAsı |f − fQ|Q ≤ |f − cQ|Q + |cQ − fQ|Q ≤ C + C = 2C.
Entonces,f ∈ BMO y ‖f‖∗ ≤ 2C
Proposicion 22. i)L∞ ( BMOii)BMO es un espacio vectorial sobre Riii)Si f y g son funciones de BMO,|f | , max f, 0 ,min f, 0 , max f, g y
min f, g son funciones de BMO.iv)Si definimos como equivalentes a 2 funciones que difieren en una constante,
BMO/∼ es un espacio de Banach.
19
2.1. EL ESPACIO BMO 20
Demostracion. i) Sean f ∈ L∞y Q un cubo cualquiera, entonces
1
|Q|
ˆQ
|f − fQ| ≤1
|Q|
ˆQ
|f |+ 1
|Q|
ˆQ
|fQ| ≤ ‖f‖L∞ + ‖f‖L∞ = 2 ‖f‖L∞ .
Por consiguiente, supQ⊂Rd
(1|Q|´Q|f − fQ|
)≤ 2 ‖f‖L∞ .
Esto muestra que L∞ ⊆ BMO. Para probar que la contencion es estricta, con-
sideremos la funcion f : R→ R definida como f (x) =
−ln |x| 0 < |x| < 10 x = 00 |x| ≥ 1
Observemos que f (x) > 0Como
´−ln |x| dx = −x (ln |x| − 1) + C , y lim
x→0x (ln |x| − 1) = 0, podemos
extender la primitiva hallada como
F (x) =
−x (ln |x| − 1) + C 0 < |x| ≤ 1
C x = 0
Sea Q = (a, b) .Entonces,
fQ =−b (ln |b| − 1) + a (ln |a| − 1)
b− a
=−b ln |b|+ a ln |a|
b− a+ 1
Hagamos
1
b− a
ˆ b
a
∣∣∣∣−ln |x|+ b ln |b| − a ln |a|b− a
− 1
∣∣∣∣ ≤ 1
b− a
ˆ b
a
−ln |x|+b ln |b| − a ln |a|b− a
+1 =
−b ln |b| − aln |a|b− a
+b ln |b| − a ln |a|
b− a+ 1 = 1
Luego, f ∈ BMOPor otro lado, tomemos λ > 0 arbitrario.
|x ∈ R/f (x) > λ| =∣∣∣(−e−λ, e−λ)∣∣∣ = 2e−λ > 0
por lo cual f /∈ L∞ii) Sea Q cualquiera.Tenemos que
1
|Q|
ˆQ
|f + g − fQ − gQ|
≤ 1
|Q|
ˆQ
|f − fQ|+1
|Q|
ˆQ
|g − gQ|
≤ ‖f‖∗ + ‖g‖∗Luego,‖f + g‖∗ ≤ ‖f‖∗ + ‖g‖∗Sea α ∈ R y sea Q cualquiera. Luego
1
|Q|
ˆQ
∣∣∣αf + (αf)Q
∣∣∣=
1
|Q|
ˆQ
|α| |f − fQ|
2.1. EL ESPACIO BMO 21
≤ |α| ‖f‖∗Por lo tanto,‖αf‖∗ ≤ |α| ‖f‖∗iii)Para probar que |f | ∈ BMO, usaremos el lema 21 ,tomando CQ = |f |Q.Luego,
||f | −CQ| ≤ |f − fQ|Ası,
||f | − CQ|Q ≤ |f − fQ|Q ≤ ‖f‖∗Luego,
‖|f |‖∗ ≤ 2 ‖f‖∗Para probar que max f, 0 ∈ BMO, usaremos que
max f, 0 =f + |f |
2=
1
2f +
1
2|f |
y por aplicacion directa de ii) y del ıtem anterior,tenemos quemax f, 0 ∈ BMO,masaun ,‖max f, 0‖∗ ≤
12 (‖f‖∗ + 2 ‖f‖∗) = 3
2 ‖f‖∗Para probar que min f, 0 ∈ BMO, usaremos que
min f, 0 =f − |f |
2=
1
2f − 1
2|f | ,
y por aplicacion directa de ii) y del hecho que sif ∈ BMO ⇒ |f | ∈ BMO,tenemos quemin f, 0 ∈ BMO,mas aun ,‖min f, 0‖∗ ≤
12 (‖f‖∗ + 2 ‖f‖∗) = 3
2 ‖f‖∗Para probar que max f, g ∈ BMO consideremos que max f, g = f+g
2 +|f−g|
2 .Usando que si f, g ∈ BMO ⇒ f + g ∈ BMO, f − g ∈ BMO y que si f − g ∈
BMO ⇒ |f − g| ∈ BMO , obtenemos que f+g2 + |f−g|
2 ∈ BMOy, por lo tanto, max f, g ∈ BMO.
Para probar que min f, g ∈ BMO consideremos que min f, g = f+g2 −
|f−g|2 .
Usando que si f, g ∈ BMO ⇒ f + g ∈ BMO,f − g ∈ BMO y que si f − g ∈BMO ⇒ |f − g| ∈ BMO , obtenemos que
f + g
2− |f − g|
2∈ BMO
y, por lo tanto,
min f, g ∈ BMO
iv)Ya vimos que BMO/∼ es un espacio vectorial normado, basta ver que escompleto .Usaremos la demostracion de [18]
Para ello tomemos una sucesion fkk∈N de Cauchy en BMO y Q un cubo.
1
|Q|
ˆQ
∣∣∣fn − (fn)Q −(fm − (fm)Q
)∣∣∣ ≤ ‖fn − fm‖∗ −→n,m→∞
0
.
Luego,fn − (fn)Q
n∈N
es una sucesion de Cauchy en L1 (Q) de lo que resulta
quefn − (fn)Q
n∈N
tiene lımite en el sentido de L1 (Q). Llamemos gQ a tal lımite.
2.1. EL ESPACIO BMO 22
A continuacion tomemos Q1 k Q. De igual forma que antes, tenemos quefn − (fn)Q1
n∈N
tiene lımite en el sentido de L1 (Q1). Llamemos gQ1a tal lımite
.Obervemos que gQ1es tambien el lımite defn − (fn)Q1
n∈N
en Q .
Ahora,(fn)Q1
− (fn)Q → C (Q1, Q)
Para cada k ∈ N,Qk denotara el cubo centrado en el origen de lado k .Dadoque cualquier x ∈ Rd pertenecera a algun cubo Qk, consideremos la expresion
f (x) = gQk − C (Q1, Qk) ∀x ∈ Qk.
Para demostrar la buena definicion de f tenemos que probar que si x ∈ Qk ⊂Ql, entonces,gQk (x) − C (Q1, Qk) = gQl (x) − C (Q1, Ql),o equivalentemente quesi 1 < k < l, tenemos que C (Q1, Ql) = C (Q1, Qk) + C (Qk, Ql). Esta ultimaafirmacion se sigue inmediatamente de gQk (x)−C (Q1, Qk) = gQl (x)−C (Q1, Ql)
Retornemos a nuestro cubo fijo Q.Tenemos que ,para un k suficientementegrande,Q $ Qk.Luego,
f (x) = gQk − C (Q1, Qk) implica que
ˆQ
∣∣∣∣(fn − f) (x)− 1
|Q|
ˆQ
(fn − f)
∣∣∣∣ dx=
ˆQ
∣∣∣∣(fn − gQk (x) + C (Q1, Qk))
(x)− 1
|Q|
ˆQ
fn +1
|Q|
ˆQ
f
∣∣∣∣ dx=
ˆQ
∣∣∣∣(fn − 1
|Q|
ˆQ
fn − gQ (x) +(gQ (x)− gQk (x)
)+ C (Q1, Qk) +
1
|Q|
ˆBf
)∣∣∣∣ dxAhora, notemos que
(gQ (x)− gQk (x)
)+ C (Q1, Qk) + 1
|Q|´B f = 0 ∀x ∈ Q
En consecuencia, dado que giL1(Q)→ gQ, tenemos que,
ˆQ
∣∣∣∣(fn − f) (x)− 1
|Q|
ˆQ
(fn − f)
∣∣∣∣ dx =
ˆQ
∣∣∣∣fn (x)− 1
|Q|
ˆBfn − gQ
∣∣∣∣ dx →n→∞ 0
Esto concluye la demostracion.
Observacion 23. Seanf ∈ BMO y g ∈ L∞ y sea h:∀x ∈ Rd, f (x) ≤ h (x) ≤f (x) + g (x).Entonces,h ∈ BMO
Demostracion. Sea Q cualquiera. fQ ≤ hQ ≤ fQ + gQLuego, f − fQ − gQ ≤ h− hQ ≤ f + g − fQ + gQAsı,− |f − fQ − gQ| ≤ h− hQ ≤ |f + g − fQ + gQ|De lo cual resulta que |h− hQ| ≤ max |f + g − fQ + gQ| , |f − fQ − gQ|Luego,|h− hQ|Q ≤ |f + g − fQ + gQ|+ |f − fQ − gQ|
≤ |f − fQ|+ |g + gQ|+ |f − fQ|+ |gQ|= |f − fQ|+ |g − gQ|+ |f − fQ|+ 3 |gQ|≤2 |f − fQ|+ |g − gQ|+ 3 |gQ|
Por lo tanto,‖h‖∗ ≤ 2 ‖f‖∗ + ‖g‖∗
+ 3 ‖g‖L∞ .
2.1. EL ESPACIO BMO 23
Observacion 24. Sea fnn∈Nuna sucesion de funciones de BMO con la pro-
piedad que supn∈N‖fn‖∗ <∞.Si fn
→→ f cuando n→∞,
i)f ∈ BMOii)‖f‖∗ ≤ sup
n∈N‖fn‖∗
Demostracion. Comencemos por observar que f ∈ L1loc
ElijamosB una bola de centro y radio arbitrarios y consideremos 1|B|´B|f − fB |
1|B|´B|f − fB | = 1
|B|´B|f − fn + fn − (fn)B + (fn)B − fB |
≤ 1|B|´B|f − fn|+ 1
|B|´B|fn − (fn)B |+
1|B|´B|f − fB |+ 1
|B|´B|(fn)B − fB |
Esta desigualdad es valida independientemente de nA continuacion elijamos ε > 0 arbitrario. Como la convergencia es uniforme,
∃n0/∀n ≥ n0, supx∈Rd
|f (x)− fn (x)| < ε2
Ası, 1|B|´B|f − fn|+ 1
|B|´B|fn − (fn)B |+
1|B|´B|(fn)B − fB |
≤ 1|B|´Bε2 + 1
|B|´B|fn − (fn)B |+
1|B|´Bε2
= ε+ 1|B|´B|fn − (fn)B |
≤ ε+ ‖fn‖∗≤ ε+ sup
n∈N‖fn‖∗
Luego, como ε es arbitrario,haciendo ε→ 0,1|B|´B|f − fB | ≤ sup
n∈N‖fn‖∗
Luego, supB⊆Rd
1|B|´B|f − fB | ≤ sup
n∈N‖fn‖∗
Por lo tanto, ‖f‖∗ ≤ supn∈N‖fn‖∗
Ejemplo 25. Sea fnn∈N una sucesion de funciones definida como fn (x) =
e−n(|x|+1)-Claramente ‖fn (x)‖L∞ = e−n(|x|+1) ≤ e−n ≤ e−1.Como L∞ ⊆ BMO y ‖f‖∗ ≤ 2 ‖f‖L∞ resulta que ‖fn‖∗ ≤ 2e−1, de tal manera
que supn∈N‖fn‖∗ ≤ 2e−1
Observemos que 0 ≤ e−n(|x|+1) ≤ e−n →n→∞
0,de tal modo que fn (x)→→ 0, de
tal modo que estamos en las hipotesis de la observacion anterior .Mas aun ‖0‖∗ ≤supn∈N‖fn‖∗
Otro ejemplo, tambien de una sucesion de funciones radiales es la siguiente:
Ejemplo 26. fnn∈N una sucesion de funciones definida como fn (x) = |x||x|2+n2
Probaremos que fn ∈ L∞(Rd),y por lo tanto, fn ∈ BMO . Mas aun,‖f‖∗ ≤
2 ‖f‖L∞(Rd)
Para esto, para cada n natural fijo , consideremos una funcion auxiliar gn (u) :[0,+∞)→ R definida como gn (u) = u
u2+n2
Esta funcion alcanza el mınimo en u = 0 y el maximo en u = n.Luego, ‖fn‖L∞ = 1
2n
Por lo tanto,‖fn‖∗ ≤1n ≤ 1.
Por otro lado, supx∈Rd
|fn (x)| ≤ 12n < ε
2.2. LOS ESPACIOS DE LIPSCHITZ 24
Como ‖0‖∗ < 1,tenemos que la desigualdad se cumple, mas aun , se cumple enforma estricta
.
2.2. Los espacios de Lipschitz
Diremos que f es lipschitziana de orden α, 0 < α < 1, en un intervalo I si existeC con la propiedad que
|f (x)− f (y)| ≤ C |x− y|α ∀x, y ∈ I.Para cada α,al conjunto de funciones lipschitzianas de ese orden las denotaremoscomo Λα (I)
Notaremos a inf C : |f (x)− f (y)| ≤ C |x− y|α ∀x, y ∈ I como ‖f‖Λα(I)
Lema 27. ‖f‖Λα(I)es una seminorma para el espacio Λα (I)
Demostracion. i)‖f‖Λα(I) > 0. Claramente,dados x, y ∈ I cualesquiera,
0 ≤ |f (x)− f (y)| ≤ C |x− y|α
Como |x− y|α > 0,resulta que C > 0,‘por lo tanto:‖f‖Λα(I) > 0
ii)‖λf‖Λα(I) = |λ| ‖f‖ΛαSeaλ ∈ R,y f ∈ Λα (I) |λf (x)− λf (y)| = |λ| |f (x)− f (y)| ≤ |λ| ‖f‖Λα(I) |x− y|
α.
Dado que
inf C : |f (x)− f (y)| ≤ C |x− y|α ∀x, y ∈ I = ‖f‖Λα ,obtenemos que
inf C : |λf (x)− λf (y)| ≤ C |x− y|α ∀x, y ∈ I = |λ| ‖f‖Λα ,
iii)Si f, g ∈ Λα (I) ,‖f ‘ + g‖Λα(I) ≤ ‖f‖Λα(I) + ‖g‖Λα(I)
|f (x) + g (x)− f (y)− g (y)| ≤ |f (x)− f (y)|+ |g (x)− g (y)|
≤ ‖f‖Λα(I) |x− y|α
+ ‖g‖Λα(I) |x− y|α
Por lo tanto,‖f + g‖Λα(I) ≤ ‖f‖Λα(I) + ‖g‖Λα(I)
Sin embargo, no es una norma pues si K ∈ R, entonces ‖K‖Λα(I) = 0. Pero
si decimos que f v g si c.t.p x ∈ I , (f − g) (x) = c ∈ R, Λα (I) / v es un espacionormado.
El siguiente teorema proporciona una caracterizacion de los espacios de Lips-chitz mediante una condicion similar a la que define el espacio BMO.
Teorema 28. (Campanato y Myers)[29] Supongamos que f ∈ L (I)y que 0 <α < 1Las siguientes afirmaciones son equivalentes en el sentido que las constantesque aparecen tambien son equivalentes:
i)∃C1 ∈ R : |f (x)− f (y)| ≤ C1 |x− y|α ∀x, y ∈ Iii) 1|J|1+α
´J
∣∣∣f − 1|J|´Jf∣∣∣ ≤ C2 ∀J j I
iii)∣∣∣f (x)− 1
|J|´Jfdx
∣∣∣ ≤ C3 |J |α ∀x ∈ J, ∀J j I
iv) 1|J|1+αp
´J
∣∣∣f (x)− 1|J|´Jfdx
∣∣∣p 5 C4 ∀J j I ∀1 ≤ p <∞
2.2. LOS ESPACIOS DE LIPSCHITZ 25
Demostracion. i)⇒ii)Comencemos por observar que f ∈ C (I),de tal manera que para cada J j
I,.∃xJ ∈ J : f (xJ) = fJLuego, 1
|J|1+α
´J|f (t)− fJ | dt = 1
|J|1+α
´J|f (t)− f (xJ)| dt
≤ C1
|J|1+α
´J|t− xJ |α
≤ C2
|J|1+α
´J|J |α
≤ C2
|J|1+α |J |α+1
= C2
i)⇒iii) Como f ∈ C (I),por el teorema de valor medio para integrales ,∇J jI, ∃xJ ∈ J : f (xJ) = fJ .
Luego,|f (x)− fJ | = |f (x)− f (xJ)| ≤ c1 |x− xj |α ≤ c3 |J |αi)⇒iv)Dado que f ∈ C (I),sacamos que para cada J j I, ∃xJ ∈ J : f (xj) = fJ .Ası, (
1
|J |1+αp
ˆJ
|f (t)− fJ |p dt
)=
1
|J |1+αp
ˆJ
|f ((t)− f (xJ))|p dt
≤
(cp1
|J |1+αp
ˆJ
|t− xJ |pα dt
)
≤
(c4
|J |1+αp |J |pα+1
)
= c4
Ahora intentemos demostrar iii)⇒ii):1
|J|1+α
´J|f (t)− fJ|dt ≤ c3
|J|1+α
´J|J |α dt = c3
Para demostrar que iv)⇒ii), basta tomar p = 1Ahora veamos ii)⇒i)La equivalencia se debe entender en el sentido de que cada f que satisface ii)
puede ser modificada en un conjunto de medida 0, de tal modo que coincida conuna funcion continua que verifica i).
Con esto en mente procedamos con la demostracion.Tomemos x < y, ambos pertenecientes a I y sea J = [x, y] Luego,
|f (x)− f (y)| ≤ |f (x)− fJ |+ |fJ − f (y)| = |f (x)− fJ |+ |f (y)− fJ |
Sean A = |f (x)− fJ |,B = |f (y)− fJ | Luego,|f (x)− fJ |+|fJ − f (y)| = A+BSea Jkk∈N una sucesion de subintervalos que tiendan a x de esta forma:J1 = JJ2 =
[x, x+y
2
]J3 =
[x, 3x+y
4
]Y en general,Jk =
[x,
(2k−1−1)x+y
2k−1
]Observemos que |Jk+1| = 1
2 |Jk|Empecemos por acotar A, dado que la forma de acotar B es analoga.
2.2. LOS ESPACIOS DE LIPSCHITZ 26
A ≤ |f (x)− fJk |+k−1∑n=1
∣∣fJn+1 − fJn∣∣
Sean A1 = |f (x)− fJk | y A2 =∑k−1n=1
∣∣fJn+1− fJn
∣∣Ahora bien:
A2 ≤k−1∑n=1
1
|Jn+1|
ˆJn+1
|f (t)− fJn | dt
≤ 2
k−1∑n=1
1
|Jn|
ˆJn
|f (t)− fJn | dt
≤ 2c2
∞∑n=1
|J |α
2(n−1)α= 2c2
|J |α
1−(
12
)αDe esto resulta que
A ≤ |f (x)− fJk |+ 2c2|J |α
1−(
12
)αPor el teorema de diferenciacion de Lebesgue tenemos que para casi todo x,
limk→∞
(f (x)− fJk) = 0,
de tal modo que
∃k0 : ∀k > k0, |f (x)− fJk | ≤ |J |α
A ≤ |f (x)− fJk |+2c2|J |α
1−(
12
)α ≤(
1 +2c2
1−(
12
)α)|J |α =
(1 +
2c2
1−(
12
)α)|x− y|α
Luego,redefiniendo f de forma adecuada en el conjunto de medida 0 donde novale que lim
k→∞(f (x)− fjk) = 0, terminamos la demostracion.
En resumen:
A ≤∣∣∣∣f (x)− 1
|JK |
ˆJK
fdx
∣∣∣∣+
k−1∑n=1
∣∣∣∣∣ 1
|Jn+1|
ˆJn+1
f − 1
|Jn|
ˆJn
fdx
∣∣∣∣∣Usando la redefinicion del comienzo de la demostracion,la demostracion queda
completada.
A continuacion daremos algunos ejemplos de funciones lipschitzianas
Observacion 29. Sea I compacto y sea f ∈ Λα (I).Entonces, si 0 < β < α, f ∈Λβ (I)
Demostracion. |f (x)− f (y)| ≤ ‖f‖Λα(I) |x− y|α
= ‖f‖Λα(I) |x− y|α−β |x− y|β
≤ ‖f‖Λα(I) (diamI)α−β |x− y|β
Observacion 30. Sea I compacto y convexo y sea y f ∈ C1 (I) .Entonces, ∀α ∈(0, 1) , f ∈ Λα (I)
2.2. LOS ESPACIOS DE LIPSCHITZ 27
Demostracion. Sea x ∈ I cualquiera y sea y ∈ I.Por teorema de Lagrange,∃P de la forma c (x− y) + y ,donde c ∈ (0, 1)∃c ∈ (0; 1) :f (y) = f (x) +∇f (P ) (x− y).esselLuego,f (y)− f (x) = ∇f (P ) (x− y)Ası, |f (y)− f (x)| = |∇f (P ) (x− y)|Como I es compacto y f ∈ C1 (I),
|f (y)− f (x)| ≤ supu∈I|∇f (u)| |x− y|
Ahora,
supu∈I|∇f (u)| |x− y| = sup
u∈I|∇f (u)| |x− y|1−α |x− y|α
≤ supu∈I|∇f (u)| (diamI)
1−α |x− y|α
Observacion 31. si 0 < α < 1 ,I ⊆ [0,+∞),xα ∈ Λα (I)
Demostracion. Sean 0 ≤ x < y. Sea 0 < α < 1 .Queremos probar que∃C=C (α) :0 < yα − xα ≤ C (y − x)
α
Observemos que como y > x,en forma inmediata resulta que yα − xα > 0
La inecuacion yα−xα ≤ C (y − x)α
es equivalente a yα(
1−(xy
)α)≤ Cyα
(1− x
y
)αComo y > 0,resulta equivalente
(1−
(xy
)α)≤ C
(1− x
y
)αLlamemos s = x
y .Reescribiendo la inecuacion tenemos (1− sα) ≤ C (1− s)α
Notemos que usando el hecho que 0 ≤ x < y,obtenemos que 0 ≤ s < 1Como consecuencia inmediata sacamos que 0 < 1−s ≤ 1,ası que para demostrar
la desigualdad bastaver que 1−sα
(1−s)α esta acotado si s ∈ [0, 1).Para ver este resultado introducimos
la funcion Fα : [0, 1]→ R definida de la siguiente manera:
Fα (s) =
1−sα
(1−s)α 0 ≤ s < 1
0 s = 1
Afirmo que Fα ∈ C ([0, 1]). Si0 < s < 1,Fα (s) es continua por ser cociente decontinuas con denominador no nulo.
Ahora consideremos lims→1−
1−sα(1−s)α .Dado que en un entorno a izquierda de1, Fα
es derivable, puedo usar la regla de L´ Hospital lims→1−
1−sα(1−s)α = lim
s→1−
−αsα−1
−α(1−s)α−1 =
lims→1−
sα−1
(1−s)α−1 = lims→1−
(1−s)1−α
−s1−α = 01 = 0
Ası obtenemos queFα ∈ C ([0, 1]) y al ser continua en un conjunto compacto,Fα alcanza su maximo y su mınimo,
de tal forma que 1−sα(1−s)α es acotada en [0, 1).Por lo tanto ∃C=C (α) : 0 <
yα − xα ≤ C (y − x)α
Corolario. Si 0 < α < 1,|x|α ∈ Λα (R)
Demostracion. Supongamos que 0 ≤ |x| < |y|.Aplicando el resultado anterior,0 <|y|α − |x|α ≤ C (|y| − |x|)α
2.2. LOS ESPACIOS DE LIPSCHITZ 28
∀a, b ∈ R,||a| − |b|| < |a− b| y que en este caso ,||y|α − |x|α| = |y|α−|x|α ,obtenemosque (|y| − |x|)α ≤ |y − x|α, de tal modo que concluimos :
0 < |y|α − |x|α ≤ C |y − x|α
Observacion 32. Sea f derivable con derivada acotada. Sea 0 < α < 1 y seaI j [0,+∞)Entonces f (xα) ∈ Λα (I)
Demostracion. Sean 0 < x < y. Por teorema de valor medio,∃P : sobre el segmento que une x con y /f (yα) = f (xα) + (yα − xα) df
dx (P )
Luego,|f (yα) .− f (xα)| ≤∥∥∥ dfdx∥∥∥L∞ (yα − xα).Por 3.5,∥∥∥ dfdx∥∥∥L∞ (yα − xα) ≤
∥∥∥ dfdx∥∥∥L∞ C (α) (y − x)α
, donde C (α) = max0≤s≤1
Fα (s)
Observacion 33. Sea a > 0. ln (x) ∈ Λα ([a,+∞))
Demostracion. Comencemos por recordar que ,∀x > 0,∀β ∈ R,ln (x) =
βln(x
1β
)y que por teorema de Lagrange, ∀s, t > 0,∃θ ∈ (0, 1) : ln (t) = ln (s) +
1θ(t−s)+s (t− s).Esto,en particular es cierto si tomamos a < s < t.
Luego,
ln (t)− ln (s) ≤ 1
a(t− s)
A continuacion,tomemos t = y1β , s = x
1β ,de lo cual resulta que
ln(y
1β
)− ln
(x
1β
)≤ y
1β − x
1β
Seguidamente,sea α = 1β ,por lo cual
ln (yα)− ln (xα) ≤ 1
a(yα − xα)
En base al corolario 2.2 ,
ln (yα)− ln (xα) ≤ 1
a(yα − xα) ≤ C (α)
a(y − x)
α
Por lo tanto ,αln (y)−αln (x) ≤ C(α)a (y − x)
αy,consecuentemente,ln (y)− ln (x) ≤
C(α)aα (y − x)
α. Dado que y > x.,0 < ln (y)− ln (x) ≤ C(α)
α (y − x)α
,por lo que
ln (x) ∈ Λα ([a,+∞))
La relacion entre los potenciales de Riesz y los espacios de Lipschitz esta dadopor el siguiente lema, cuya demostracion puede consultarse en [15]
Lema 34. Sea 1 < p <∞ . Si f ∈ Lp(Rd)
,y
ˆRd
(1 + |y|)α−d |f (y)| <∞
2.3. EL POTENCIAL Y EL NUCLEO DE BESSEL 29
Lema 35. Sea 1 < p < ∞ y sea s ∈ (0, 1) tal que sp > d,α = s − pd < 1 . Si
f ∈ Lp(Rd)
y ˆRd
(1 + |y|)α−d |f (y)| <∞
entonces
|Isf (y)− Isf (x)| ≤M |x− y|s−dp ‖f‖Lp(Rd)
2.3. El potencial y el nucleo de Bessel
En terminos estrictos este nucleo fue descubierto por Daniel Bernoulli hacia1700, pero sus aplicaciones y el desarrollo de sus propiedades de deben a Bessel, detal modo que se lo conoce bajo ese nombre.
Gα (ξ) e Iα (ξ),hacia ∞,decaen como |ξ|−α, segun se detalla en [1] Pero Gαdecae exponencialmente ,segun veremos en breve. Otras caracterısticas notablesson
1. Si 0 < α < N , 0 < Gα (x) < Iα (x)2.Gα (x) ∼ Iα (x) , si |x| → 0Recordemos que el nucleo de Bessel, esta definido como
Gα (x) =1
(4π)α2 Γ(α2
) ˆ +∞
0
e−|x|2δ e−
δ4π δ
α−n2dδ
δ,
donde n es la dimension del espacio y α > 0Llamaremos potencial de Bessel al operador definido como Gα ∗ uEste nucleo tiene las siguientes propiedades:
1. Gα > 02. Gα es continua fuera del origen3. Gα es radial
4. Gα (x) ≈ |x|−(n−α)si |x| → 0
5. Gα (x) ≤ C1e−C2|x| si |x| → +∞
6. |Gα (x)−Gα (y)| ≤ C |x− y|(min |x| , |y|−(n−α+1)
)7. |Gα (x)−Gα (y)| ≤ C |x− y| e−c(min|x|,|y|) si |x| , |y| > 28.´Rn Gα = 1
Demostracion. Los items 1, 2 y 3 son inmediatos.
Para demostrar el ıtem 4, necesitamos un resultado previo : que ∀α > 0, |x|−n−α
γ(α) =
1
(4π)α2
1Γ (α)
´ +∞0
e−π|x|2δ δ
−n−α2
dδδ , donde γ (α) =
2απn+α
2 Γ(α2 )Γ(n+α
2 )
Para esto, usaremos el clasico cambio de variable π|x|2δ = t
Entonces,
1
(4π)α2
1
Γ (α)
ˆ +∞
0
e−π|x|2δ δ
−n−α2
dδ
δ=
1
(4π)α2
1
Γ (α)
ˆ +∞
0
e−u1(
π|x|2u
)n+α2
−π|x|2u2
π|x|2u
du
=1
(4π)α2
1
Γ (α)
ˆ +∞
0
e−uun+α
2 −1du =1
(4π)α2
1
Γ (α)
1
πn+α
2
|x|−n−α Γ(n+ α
2
)
2.3. EL POTENCIAL Y EL NUCLEO DE BESSEL 30
Para demostrar el ıtem 4, observemos que , usando el teorema de Lagrange
aplicado a la funcion f (s) = es con a = −δ4π y b = 0, obtenemos 1−e−δ4π = ec δ4π .donde
c ∈(−δ
4π , 0)
Luego, e−δ4π
δ4π ≤ 1− e−δ4π ≤ δ
4πAsı que
Gα (x) =1
(4π)α2 Γ(α2
) ˆ +∞
0
e−|x|24δ e−
δ4π δ
α−n2dδ
δ
=1
(4π)α2 Γ(α2
) ˆ +∞
0
e−|x|24δ
(e−
δ4π − 1
)δα−n
2dδ
δ+
1
(4π)α2 Γ(α2
) ˆ +∞
0
e−|x|24δ δ
α−n2dδ
δ
Usando el resultado previo, en forma inmediata, obtenemos que
1
(4π)α2 Γ(α2
) ˆ +∞
0
e−|x|2δ δ
α−n2dδ
δ=
1
(4π)α2
1
Γ (α)
1
πn+α
2
|x|−n−α Γ(n+ α
2
)Veamos ahora el comportamiento de la otra integral:∣∣∣∣∣ 1
(4π)α2 Γ(α2
) ˆ +∞
0
e−|x|2δ
(e−
δ4π − 1
)δα−n
2dδ
δ
∣∣∣∣∣≤ 1
(4π)α2 Γ(α2
) ˆ +∞
0
e−|x|2δ
∣∣∣e− δ4π − 1
∣∣∣ δ α−n2dδ
δ
=1
(4π)α2 Γ(α2
) ˆ +∞
0
e−|x|2δ
(1− e− δ
4π
)δα−n
2dδ
δ
≤ 1
(4π)α2 Γ(α2
) ˆ +∞
0
e−|x|2δ
δ
4πδα−n
2dδ
δ
=1
(4π)α2 +1
Γ(α2
) ˆ +∞
0
e−|x|2δ δ
α−n2 dδ
=(4π)
α+12 Γ
(α2 + 1
)(4π)
α2 +1
Γ(α2
) 1
(4π)α+1
2 Γ(α+1
2
) ˆ +∞
0
e−|x|2δ δ
α−n2 dδ
=
√4πα
2
|x|−n−α+1
γ (α+ 1)=√π|x|−n−α+1
γ (α+ 1)
Luego,
|x|−n−α
γ (α)−√π|x|−n−α−1
γ (α+ 1)≤ Gα (x) ≤ |x|
−n−α
γ (α)+√π|x|−n−α−1
γ (α+ 1)
Esto demuestra el ıtem 4Veamos el ıtem 5.Probaremos que ∀x/ |x| ≥ 1 ∃c1, c2 > 0 tales que 0 < Gα (x) ≤ c1e−c2|x|para cada x/ |x| ≥ 1 definimos la funcion auxiliar F|x| : [0,+∞) → R como
F|x| (δ) =
e−π|x|2
δ e−δ4π δ > 0
0 δ = 0
Busquemos los extremos de F|x|
2.3. EL POTENCIAL Y EL NUCLEO DE BESSEL 31
dF|x|
dδ= e
−π|x|2δ − δ
4π
(π |x|2
δ2− 1
4π
)= e
−π|x|2δ − δ
4π
(4π2 |x|2 − δ2
4πδ2
)
e−π|x|2
δ − δ4π
(4π2 |x|2 − δ2
δ2
)= 0
⇒ δ = ±2π |x|Como DomF|x| = [0,+∞) concluimos que δ = 2π |x|
dF|x|
dδ(π |x|) = e
−|x|− |x|43
4> 0
dF|x|
dδ(4π |x|) = e
−|x|4 −
|x|(−12π2
16π2
)< 0
Entonces,F|x|tiene un minimo absoluto en δ = 0 y un maximo en δ = 2π |x|Ahora, volvamos a Gα
0 < Gα =1
(4π)α2
1
Γ(α2
) ˆ +∞
0
e−π|x|2
δ e−δ4π δ
−n+α2
dδ
δ
=1
(4π)α2
1
Γ(α2
) (ˆ 2π|x|
0
e−π|x|2
δ e−δ4π δ
−n+α2
dδ
δ+
ˆ +∞
2π|x|e−π|x|2
δ e−δ4π δ
−n+α2
dδ
δ
)1
(4π)α2
1
Γ(α2
) (I1 + I2)
Comencemos por acotar I1
0 <
ˆ 2π|x|
0
e−π|x|2
δ e−δ4π δ
−n+α2
dδ
δ≤ˆ 2π|x|
0
e−π|x|2
δ δ−n+α
2dδ
δ
Hagamos el conveniente cambio de variables π|x|2δ = 2u
δ = π|x|22u , dδ = −π|x|
2
2u2 ,u ≥ |x|4
ˆ 2π|x|
0
e−π|x|2
δ δ−n+α
2dδ
δ=
ˆ +∞
|x|4
e−2u
(π |x|2
2u
)−n+α2(π |x|2
2u2
)2u
π |x|2du
=
ˆ +∞
|x|4
e−2u
(π |x|2
2
)−n+α2
un−α
2 −1du
≤ e−|x|
4
(π |x|2
2
)−n+α2 ˆ +∞
|x|4
e−uun−α
2 −1du
≤ e−|x|
4
(π |x|2
2
)−n+α2 ˆ +∞
0
e−uun−α
2 −1du
-
2.3. EL POTENCIAL Y EL NUCLEO DE BESSEL 32
= e−|x|
4
(π |x|2
2
)−n+α2
Γ
(n− α
2
)Ahora concentremonos en I2,para lo cual usaremos fuertemente que en [2π |x| ,+∞),
F|x| es decreciente
ˆ +∞
2π|x|e−π|x|2
δ e−δ4π δ
−n+α2
dδ
δ
≤ e−|x|ˆ +∞
2π|x|δ−n+α
2dδ
δ
= e−|x|2
n− α(2π |x|)
−n+α2
Para demostrar 6, definimos la funcion Fα (ρ) : [0,+∞) → [0,+∞), Fα (ρ) =1
2απn2 Γ(α2 )
´ +∞0
e−s
4π e−ρ24s s−
n−α2
dss ,de modo que
Gα (x) = Fα (|x|)
Demostraremos que ∃C > 0 ∀ρ > 0 :∣∣∣dFαdρ ∣∣∣ ≤ Cρ−(n−α+1)
Observemos que
dFαdρ
=1
2απn2 Γ(α2
) ˆ +∞
0
e−se−ρ24s s−
n−α2
(−2ρ
4s
)ds
s
Sea M > 0,que elegiremos convenientemente despues
∣∣∣∣dFαdρ∣∣∣∣ ≤ 1
2απn2 Γ(α2
) ˆ M
0
e−se−ρ24s s−
n−α2
( ρ4s
) dss
+1
2απn2 Γ(α2
) ˆ +∞
M
e−se−ρ24s s−
n−α2
(2ρ
4s
)ds
s
≤ 1
2απn2 Γ(α2
) ˆ M
0
e−ρ24s s−
n−α2
( ρ4s
) dss
+1
2απn2 Γ(α2
) ˆ +∞
M
e−ss−n−α
2
(2ρ
4s
)ds
s
En la primera integral hagamos la sustitucion ρ2
4s = u
1
2απn2 Γ(α2
) ˆ M
0
e−ρ24s s−
n−α2
( ρ4s
) dss
≤ 1
2απn2 Γ(α2
) ˆ +∞
ρ2
4M
e−u(
4u
ρ2
)n−α2
ρ
(u
ρ2
)(− ρ2
4u2
)+
1
2απn2 Γ(α2
) ˆ +∞
M
e−ss−n−α
2
(2ρ
4s
)ds
s
≤ 1
2απn2 Γ(α2
) (ˆ +∞
ρ2
4M
e−uun−α
2 −1du
)4n−α
2 ρ−(n−α−1)+1
2απn2 Γ(α2
) ˆ +∞
M
e−ss−n−α
2
(2ρ
4s
)ds
s
≤ 1
2απn2 Γ(α2
)2n−αρ−(n−α−1)Γ
(n− α
2
)+
1
2απn2 Γ(α2
)e−MM−(n−α−1)2ρn−α
2 + 1
2.3. EL POTENCIAL Y EL NUCLEO DE BESSEL 33
En particular, si tomamos M > ρ,
1
2απn2 Γ(α2
)2n−αρ−(n−α−1)Γ
(n− α
2
)+
1
2απn2 Γ(α2
)e−MM−(n−α−1)2ρn−α
2 + 1
≤ 1
2απn2 Γ(α2
)2n−αρ−(n−α−1)Γ
(n− α
2
)+
1
2απn2 Γ(α2
)e−ρ ρ−(n−α−1)2ρn−α
2 + 1
≤ 1
2απn2 Γ(α2
)2n−αρ−(n−α−1)Γ
(n− α
2
)+
1
2απn2 Γ(α2
)2e−1 ρ−(n−α−1)
n−α2 + 1
Ahora bien, si 0 < |x| ≤ |y| ,
|Gα (x)−Gα (y)| = |Fα (|x|)− Fα (|y|)| ≤ ||x| − |y|| sup|x|≤ρ≤|y|
∣∣∣∣dFαdρ (ρ)
∣∣∣∣≤ |x− y| sup
|x|≤ρ≤|y|
∣∣∣∣∣ 1
2απn2 Γ(α2
)2n−αρ−(n−α−1)Γ
(n− α
2
)+
1
2απn2 Γ(α2
)2e−1 ρ−(n−α−1)
n−α2 + 1
∣∣∣∣∣≤ |x− y| |x|−(n−α−1)
∣∣∣∣∣ 1
2απn2 Γ(α2
)2n−αΓ
(n− α
2
)+
1
2απn2 Γ(α2
)2e−1 1n−α
2 + 1
∣∣∣∣∣= |x− y| |x|−(n−α−1)
2n−αΓ(n−α
2
)+ 2e−1 1
n−α2 +1
2απn2 Γ(α2
) ,
lo cual demuestra la propiedad 6.
7.SeaFα (ρ) : [2,+∞)definida como Fα (ρ) = 1
2απn2 Γ(α2 )
´ +∞0
e−se−ρ24s s−
n−α2
dss
dFdρ = 1
2απn2 Γ(α2 )
´ +∞0
e−se−ρ24s
(−2ρ4s
)s−
n−α2
dss∣∣∣dFdρ ∣∣∣ ≤ π
2απn+2
2 Γ(α2 )
ρ2
´ +∞0
e−se−ρ24s s−
n+2−α2
dss = πρFα (ρ)
Por el ıtem 5 de la enumeracion,∣∣∣dFdρ ∣∣∣ ≤ πρFα (ρ) ≤ πρe−
ρ2
Afirmo que si ρ = 2,ρ < e49ρ
En efecto, la funcion f : [2,+∞)→ Rdefinida comof (u) = ue−49 u
Esta funcion tiene un maximo absoluto en(
94 ,
94e−1)
Como 94e−1 < 85
100 ,∣∣∣∣dFdρ∣∣∣∣ ≤ πρFα (ρ) ≤ πρe−
ρ2 ≤ πe 4
9ρe−ρ2 = πe
−118 ρ
Supongamos que 2 ≤ |x| ≤ |y|
|Gα (x)−Gα (y)| = |Fα (|x|)− Fα (|y|)| ≤ ||x| − |y|| sup|x|≤ρ≤|y|∣∣∣∣dFdρ
∣∣∣∣ ≤ |x− y| sup|x|≤ρ≤|y|
πe−118 ρ ≤ π |x− y| e
−118 |x|
8.Este es un claro caso de aplicacion del teorema de Fubbini-Tonelli, por seruna funcion no negativa
2.3. EL POTENCIAL Y EL NUCLEO DE BESSEL 34
ˆRdGαdx
=
ˆRn
ˆ +∞
0
1
2nπn2 Γ(α2
) ˆ +∞
0
e−|x|24t e−tt−
n−α2dt
tdx
=
ˆ +∞
0
ˆRn
1
2nπn2 Γ(α2
) ˆ +∞
0
e−|x|24t e−tt−
n−α2
1
tdxdt
=
ˆ +∞
0
(4π)n2
2nπn2 Γ(α2
) tα2−1e−tˆRn
e−|x|24t (4πt)
−n2 dxdt
Observemos que e−|x|24t (4πt)
−n2 es el nucleo del calor cuya integral sobre Rnes1,∀t > 0.
Seguimos que´ +∞
0(4π)
n2
2nπn2 Γ(α2 )
tα2−1e−t
´Rn e
− |x|2
4t (4πt)−n2 dxdt
=´ +∞
0(4π)
n2
2nπn2 Γ(α2 )
tα2−1e−tdt =
´ +∞0
1
Γ(α2 )tα2−1e−tdt =
Γ(α2 )Γ(α2 )
= 1
El operador Jα = Gα ∗ f resulta acotado de Lpen Lp y si definimos el espaciopotencial Lα,p = Jα (Lp) con la norma ‖f‖α,p =
∥∥J−1α f
∥∥p,tenemos que Jαes un
isomorfismo entre Lp y Lα,p
2.3.1. Algunas propiedades del operador de Bessel.
Observacion 36. Para α > 0 y 1 ≤ p ≤ ∞,‖Gα ∗ f‖Lp ≤ ‖f‖Lp
Demostracion. Usando la desigualdad de Young para convoluciones,‖Gα ∗ f‖Lp ≤‖Gα‖L1 ‖f‖Lp
Como, por el punto 8 de la enumeracion anterior,´Rn Gα = 1,
‖Gα ∗ f‖Lp ≤ ‖f‖Lp
Como corolario obtenemos la siguiente acotacion para Gα
Corolario 37. Si α > 0 y Gα ∗ g (x) esta bien definido, |Gα ∗ g (x)| ≤CMg (x)
Demostracion. Comenzaremos por probar que si ϕes una funcion positiva,radial, decreciente ,defininida en (0,+∞)y que sea integrable y una funcion f ∈ L1
loc,supt∈R|ϕ ∗ f (x)| ≤ ‖ϕ‖L1 Mf (x)
Para ello empezaremos tomando ϕ simple ,es decir, ϕ (x) =∑mi=1 ajχAj (x),
con αj > 0, de modo que
ϕ ∗ f (x) =
m∑i=1
aj(χBj ∗ f
)(x) =
m∑i=1
aj|Bj ||Bj |
(χBj ∗ f
)(x)
≤m∑i=1
aj |Bj |Mf (x) = ‖ϕ‖L1 Mf (x)
Si ϕ no es simple, existe una sucesion creciente de funciones simples, positivas,radiales, a la que llamaremos ϕnn∈N tales que ϕn ϕ en casi todo punto, paralas cuales es valido el resultado.
2.3. EL POTENCIAL Y EL NUCLEO DE BESSEL 35
En nuestro caso, tomaremos como ϕ a Gα,que por el punto 3 de la enumeraciones radial .Para probar que es decreciente ,usaremos la funcion definida en el ıtem 6de la enumeracion. En efecto,
dF
dρ=
1
2απn2 Γ(α2
) ˆ +∞
0
e−se−ρ24s
(−2ρ
4s
)s−
n−α2ds
s
=−2ρ
2απn2 Γ(α2
) ˆ +∞
0
e−se−ρ24s s−
n−α2 −1 ds
s< 0
Entonces,
|Gα ∗ g (x)| ≤ ‖Gα‖L1 Mg (x) = Mg (x)
.
A continuacion veremos como Gα mejora la regularidad de β a β + α para lasfunciones que cumplen una condicion Lipschitz-α
Teorema 38. Sea f (x) = Gα ∗ g (x) y α+ β < 1 dondeα, β > 0,
|f (x)− f (y)| ≤ C [g]β |x− y|α+β
,
donde
[g]β = supx 6=y
(|g (x)− g (y)||x− y|β
)Demostracion. Como
´RN Gαdx = 1,tenemos que
f (x)− f (y) =
ˆRd
g (z) (Gα (x− z)−Gα (y − z)) dz
=
ˆRd
(g (z)− g (x)) (Gα (x− z)−Gα (y − z)) dz
Llamemos d = |x− y|Luego,
|f (x)− f (y)| ≤ CˆB(x,2d)
|g (x)− g (z)||x− z|N−α
dz + C
ˆB(x,3d)
|g (x)− g (z)||x− z|N−α
dz
+C
ˆRN−B(x,2d)
|g (x)− g (z)||x− z|N−α
dz = I + II + III
Consideraremos cada integral por separado:Por definicionde [g]β , y porque α, β > 0,
I ≤ C [g]B
ˆB(x,2d)
|x− z|β
|x− z|N−αdz ≤ C [g]β
ˆ 2d
0
ρβ
ρN−αcNρ
N−1dρ
= C [g]β cN
ˆ 2d
0
ρβ+α−1dρ
C [g]β cN (2d)β+α
β + α
2.3. EL POTENCIAL Y EL NUCLEO DE BESSEL 36
Para II, tenemos
II ≤ C [g]B
ˆB(x,3d)
1
|x− z|N−αdz
= C [g]β cN
ˆ 3d
0
ρN−1
ρN−αdρ
C [g]β cN
ˆ 3d
0
ρα−1dρ
C [g]β cN (3d)α
αPara acotar III, tenemos que
III ≤ C [g]β d
ˆRN−B(x,2d)
|x−z|β |x− z|−(N+1−α)dx
= C [g]β d
ˆ ∞2d
ρβ+α−N−1ρN−1cNdρ
C [g]β d
ˆ ∞2d
ρβ+α−2cNdρ
Como α+ β < 1, concluimos que
|f (x)− f (y)| ≤ C [g]β d
ˆ ∞2d
ρβ+α−2cNdρ
+C [g]β cN
1− (α+ β)d(2d)
α+β−1
+C [g]β cN
1− (α+ β)
1
21−(α+β)dα+β
≤ C [g]β |x− y|α+β
Como corolario obtenemos:
Corolario 39. si α, β > 0 yα+ β < 1,Gα : Cβ → Cα+β
Demostracion. Comenzaremos por demostrar que Gα : L∞ → L∞Elijamos g ∈ L∞.Por el corolario 37,|Gαg (x)| ≤ CMg (x) ≤ C ‖Mg (x)‖L∞O sea que ‖Gαg‖L∞ ≤ C ‖Mg (x)‖L∞ ≤ C ‖g‖L∞A continuacion, el resultado es inmediato usando el teorema 38
2.3.2. Espacios potenciales. Ahora estamos en condiciones de introducirel espacio potencial Lα,p.Este espacio coincide con elespacio de Sobolev W (α, p) siα ∈ Z,hecho demostrado por Calderon en el artıculo Lebesgue spaces of functionsand distributions ,de 1961,que se puede consultar en Proceedings of Symposia inPure Mathematics.Las derivadas involucradas se deben interpretar en sentido debil.
2.3. EL POTENCIAL Y EL NUCLEO DE BESSEL 37
Definicion 40. Definimos el espacio potencial
Lα,p(RN)
= f ∈ Lp : ∃g ∈ Lp/f = Gα ∗ gy lo equipamos con la norma ‖f‖α,p=‖f‖p + ‖g‖p.
Esta definicion es correcta,dado que por [27],pagina 137,Gα es un operadorinyectivo
Observacion 41. ‖Gαg‖α,p ≤ ‖g‖p,de tal manera que Gα∗g es continuo de
Lpp en Lp,α..En particular ,como Lpp ∩L∞ es denso en Lpppara 1 ≤ p ≤ ∞ tenemosque ,Gα (Lpp ∩ L∞) es denso en Lα,p
Demostracion. por la desigualdad de Young, ‖Gα∗g‖α,p ≤ ‖Gα‖1 ‖g‖p =
‖g‖p
Teorema 42. Lα,p es un espacio de Banach
Demostracion. Claramente ‖f‖α,p > 0, y si ‖f‖α,p = 0 ⇒ ‖f‖p = 0.de locual se deduce que f = 0 en casi todo punto.
Consideremos λ ∈ R arbitrario En forma inmediata,
‖λf‖p = |λ| ‖f‖p + λ ‖g‖pSean f1, f2 ∈ Lα,p .Evaluemos ‖f1 + f2‖α,p:Por las propiedades de la norma
‖f1 + f2‖,p ≤ ‖f1‖p + ‖f2‖py
‖g1 + g2‖p ≤ ‖g1‖p + ‖g2‖pAsi, ‖f1 + f2‖,p ≤ ‖f1‖p + ‖f2‖pAhora veamos la completitud:Sea fnn∈N una sucesion de Cauchy en Lp.α, es decir que ∀ε > 0 ∃n0 /∀n,m ≥
n0, ‖fn − fm‖Lp,α < εComo ∀n ∈ N, fn ∈ Lp,α ⇒ ∃gn ∈ Lp/fn = Gα ∗ gn = Jα (gn)Ahora bien, fn − fm = Jα (fn)− Jα (fm)Como Jαes un operador lineal, fn−fm = Jα (gn − gm), ası que ‖fn − fm‖Lp,α =
‖Jα (gn − gm)‖Lp = ‖gn − gm‖Lp ,de tal modo que gnn∈N es de Cauchy en Lp.Como Lp es un espacio de Banach,
∃g ∈ Lp/gn −→n→∞
g en el sentido de Lp
Luego.Jα (gn) →n→∞
Jα (g)por la continuidad de Jαen Lp
Llamemos f = Jα (g) ,ası que f ∈ Lp,α.Por lo tanto ,Lp.α es un espacio de Banach
Capıtulo 3
Espacios de Lebesgue con Pesos
En este capıtulo se estudiaran algunas clases de pesos usuales en el analisisarmonico
3.1. Los pesos Ap de Muckenhoupt
En esta seccion introducimos la clase de pesos Ap de Muckenhoupt.
Definicion 43. Se dice que una funcion medible no negativa es un peso en laclase Apdonde 1 < p <∞ si ∀Qcubo,Q ⊆ Rd ∃C independiente de Q tal que
(3.1.1)
(1
|Q|
ˆQ
wdx
)(1
|Q|
ˆQ
w−1p−1 dx
)p−1
≤ C
Se dice que una funcion medible no negativa es un peso en la clase A1 si existe Cindependiente de Q tal que
(3.1.2)1
|Q|
ˆQ
wdx ≤ C w(x) c.t.p.x ∈ Q
A mejor constante en (3.1.1) la llamaremos condicion Ap de f y a la mejor constanteen (3.1.2) la llamaremos condicionA1 de f .
Esta clase de pesos es de fundamental importancia, pues Muckenhoupt de-mostro en[7], que la desigualdad de tipo debil con pesos
w(x ∈ Rd/Mf (x) > λ
)≤ C
λp
ˆRd
|f (x)|p w (x) dx
se satisface si y solo si w ∈ Ap.Un peso ω se dice que pertenece a la clase A∞ si ω ∈ ∪p>1Ap. Esta definicion es
equivalente a la de Pattakos y Volberg [19], que establece que un peso ω pertenece
a la clase A∞ si supB⊆Rd
(1|B|´B$
e1|V|
´B lnω
)<∞ y es tambien equivalente a que existan C y
δ > 0 : ‖ω‖L1(Q) ≥ C(|Q||E|
)δ‖ω‖L1(E) . Esta ultima definicion pertenece a Turesson
[30].
Teorema 44. [8].Supongamos que ω ∈ Ap, 1 < p < ∞.Entonces,el operadormaximal de Hardy Littlewood M es acotado en Lpω
(Rd),esto es, existe C ∈ R>0
tal que ˆRd
(Mf)pωdx ≤ C
ˆRd|f |p ωdx ∀f ∈ Lpω
(Rd).
donde la constante C depende unicamente de d, p y la constante Ap de ω ,Si ω ∈ A1,
ω(x ∈ Rd/Mf (x) > λ
)≤ C
λ
ˆRd|f |ωdx ∀f ∈ L1
ω
(Rd)
38
3.1. LOS PESOS Ap DE MUCKENHOUPT 39
y ∀λ > 0.En este ultimo caso,.la constante C depende unicamente de d y la cons-tante A1 de ω.
Recıprocamente, si
ˆRd
(Mf)pωdx ≤ C
ˆRd|f |p ωdx ∀f ∈ Lpω
(Rd), entonces, ω ∈ Ap
y
ω(x ∈ Rd/Mf (x) > λ
)≤ C
λ
ˆRd|f |ωdx ∀f ∈ L1
ω
(Rd)
entonces
ω ∈ A1.
3.1.1. Algunas propiedades de los pesos Ap.
1. Si ω ∈ Ap, 1 ≤ p < ∞, y B es una bola arbitraria ,dado que 1 = ω1pω−1p ,
usando la desigualdad de Holder, obtenemos que
1 ≤(
1
|B|
ˆBω
)(1
|B|
ˆBω−1p−1
)p−1
2. Si 1 ≤ p < q <∞, Ap ⊂ Aq, resultado que se obtiene usando la desigualdadde Holder
3. Si ω ∈ Ap,con 1 < p <∞, entonces ω−1p−1 ∈ Ap y reciprocamente.
4. Si ω ∈ Ap,a ∈ Rd, δ > 0, entonces ω (x+ a),ω (δx) ∈ Ap5. Si ω0, ω1 ∈ A1,ω0ω
1−p1 ∈ Ap
Corolario 45. Si 0 < β < d, ‖x‖−β(1−p) ∈ Ap
Demostracion. Vimos, en el ejemplo 3. de pesos Ap que ‖x‖−β ∈ A1. Apli-cando el ejemplo 1. de pesos Ap , vimos que la funcion que vale constantemente 1,tambien esta en A1. Usando el resultado 6 de la enumeracion anterior obtenemos
que 1. ‖x‖−β(1−p) ∈ Ap
A continuacion mostraremos un resultado que vincula los pesos Apcon las fun-ciones de BMO.
Lema 46. Sea ϕ (x) = lnω (x)Entonces ω ∈ Apsi y solo si
supI
ˆI
eϕ−ϕtdx <∞
y
supI
ˆI
e−(ϕ−ϕt)p−1 dx <∞
Esto implica que si ω ∈ Ap,entonces ϕ ∈ BMO. Recıprocamente, si ϕ ∈ BMO,entoncesωδ ∈ Ap,para algun δ > 0 .(Ver[10])
3.1.2. Ejemplo de pesos Ap.
1. Siω ∈ L∞(Rd)y ess inf ω > 0, entonces,ω ∈ Ap ∀p ≥ 1. En efecto,(
1
|B|
ˆBω
)(1
|B|
ˆBω−1p−1
)p−1
≤ ‖ω‖L∞(Rd)
(ess infx∈Rd
ω (x)
)−1
3.1. LOS PESOS Ap DE MUCKENHOUPT 40
2. Seaϕ ∈ L∞(Rd).Entonces, eδϕ ∈ Appara algun δ > 0. En efecto,∣∣∣∣∣ 1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
ϕdx
∣∣∣∣∣ ≤ 1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
|ϕ| dx ≤ ‖ϕ‖L∞(Rd)
Como
1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
|ϕ− ϕB | dx ≤1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
|ϕ| dx+ |ϕB |
≤ 2 ‖ϕ‖L∞(Rd) ,
tenemos que ϕ ∈ BMO y,por lo tanto,eδϕ ∈ Ap para algun 0 < δ < 1, porel lema precedente.
3. Si 0 < β < d, ‖x‖−β ∈ A1
Demostracion. Consideremos xB ∈ Rd cualquiera, R > 0 y B (xB , R) .Dividiremos la demostracion en 3 casos:i) Si xB = 0, tenemos que 1
|B(xB ,R)|´B(xB ,R)
‖x‖−β dx = 1Rd
´ R0ρ−βρd−1dρ =
cdRd|B(0,1)|R
d−β , dado que d− β > 0.
Por otro lado,
ess supx∈B(xB ,R)
‖x‖β = Rβ
Ası,
1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
‖x‖−β dx
(ess supx∈B(xB ,R)
‖x‖β)
=cd
|B (0, 1)|1
d− βR−βRβ =
cd|B (0, 1)|
:= K1
ii) Si xB 6= 0 y R < ‖xB‖2 , observemos que
‖xB‖ ≤ ‖xB − x‖+ ‖x‖ ≤ R+ ‖x‖ < 1
2‖xB‖+ ‖x‖ ,
de lo cual sacamos que ∀x ∈ B (xB , R) , 12 ‖xB‖ ≤ ‖x‖ , por lo cual podemos
concluir que
‖xB‖2≤ ‖x‖
Ası ,
1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
‖x‖−β dx ≤(‖xB‖
2
)−βPor otro lado,
ess supx∈B(xB ,R)
‖x‖β ≤ (‖xB‖+R)β ≤
(3
2‖xB‖
)βLuego,(
1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
‖x‖−β dx
)ess supx∈B(xB ,R)
‖x‖β ≤ 3β := K2
3.2. PESOS DOBLANTES 41
iii) Si xB 6= 0 y R > ‖xB‖2 ,
1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
‖x‖−β dx
≤ 1
|B (xB , R)|
ˆB(0,R+‖xB‖)
‖x‖−β dx =1
Rd |B (0, 1)|
ˆ R+‖xB‖
0
ρ−βρd−1cddρ
=cd
Rd |B (0, 1)|ρd−β
d− β
∣∣∣ρ=R+‖xB‖ρ=0 =
cdRd |B (0, 1)|
(R+ ‖xB‖)d−β
d− βDado que ess sup
x∈B(xB ,R)
‖x‖β ≤ (‖xB‖+R)β, sacamos que(
1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
‖x‖−β dx
)(ess supx∈B(xB ,R)
‖x‖β)
≤ cdRd |B (0, 1)|
(R+ ‖xB‖)d−β
d− β(‖xB‖+R)
β
por lo que,(1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
‖x‖−β dx
)(ess supx∈B(xB ,R)
‖x‖β)
≤ cdRd |B (0, 1)|
(R+ ‖xB‖)d
d− β=
cd|B (0, 1)|
(1 + ‖xB‖
R
)dd− β
≤ cd|B (0, 1)|
3d
d− β:= K3
Entonces,(1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
‖x‖−β dx
)(ess supx∈B(xB ,R)
‖x‖β)≤ max K1,K2,K3
3.2. Pesos doblantes
En esta seccion desarrollaremos algunas herramientas vinculadas a pesos do-blantes. Tales conocimientos los necesitaremos para desarrollar el tema central, esdecir, cuando la integral fraccionaria con pesos es acotada.
Definicion 47. Diremos que un peso satisface una condicion doblante si existeC : tal que
ω (2B) ≤ Cω (B) ∀B ⊂ Rd
Una condicion suficiente para que un peso satisfaga una condicion doblante esque ω ∈ L∞
(Rd)
y que ess ınf ω > 0. En efecto,
ω (2B)
ω (B)≤
2d ‖ω‖L∞(Rd)
ess ınf ω.
3.2. PESOS DOBLANTES 42
Esta condicion no es necesaria, por ejemplo si consideramos ω : R→ R, ω (x) =x2, claramente ess inf ω = 0 y ess supω = +∞ y
´ x0+2R
x0−2Rω (x) dx´ x0+R
x0−Rω (x) dx
=(x0 + 2R)
3 − (x0 − 2R)3
(x0 +R)3 − (x0 −R)
3 =4R(3x2
0 + 4R2)
2R (3x20 +R2)
≤ 212x2
0 + 4R2
3x20 +R2
= 8.
Observacion 48. Para d = 1, si existen c1 y c2 numeros reales positivos:c1 < c2 y n ∈ N con la propiedad que
c1 x2n ≤ ω (x) ≤ c2 x2n , entonces ω satisface una condicion doblante.
Demostracion. Consideremos´ x0+2R
x0−2Rx2ndx´ x0+R
x0−R x2ndx=
(x0 + 2R)2n+1 − (x0 − 2R)
2n+1
(x0 +R)2n+1 − (x0 −R)
2n+1
=
∑2n+1j=0
((2n+1j
)xj0 (2R)
2n+1−j − xj0 (−2R)2n+1−j
)∑2n+1j=0
((2n+1j
)xj0R
2n+1−j − xj0 (−R)2n+1−j
)
=
∑2n+1j=0
((2n+‘1j
)xj0 (2R)
2n+1−j(
1 + (−1)2n+1−j
))∑2n+1j=0
((2n+1j
)xj0R
2n+1−j(
1 + (−1)2n+1−j
))∑
0≤j≤2n+1,j par 2((
2n+1j
)xj0 (2R)
2n+1−j)
∑0≤j≤2n+1,j par 2
((2n+1j
)xj0R
2n+1−j)
=
∑0≤k≤n
((2n+‘1
2k
)x2k
0 (2R)2n+1−2k
)∑
0≤k≤n
((2n+‘1
2k
)x2k
0 R2n+1−2k)
≤
∑0≤k≤n
((2n+‘1
2k
)x2k
0 (2R)2n+1−2k
)∑
0≤k≤n
((2n+‘1
2k
)x2k
0 R2n+1−2k)
≤22n+1
∑0≤k≤n
((2n+‘1
2k
)x2k
0 R2n+1−2k)
∑0≤k≤n
(2n+‘1
2k
)x2k
0 R2n+1−2k
= 22n+1
Ahora ,´ xo+2R
x0−2Rω (x) dx´ xo+R
x0−R ω (x) dx≤´ xo+2R
x0−2Rc2x
2ndx´ xo+R
x0−R c1x2ndx=c2´ xo+2R
x0−2Rx2ndx
c1´ xo+R
x0−R x2ndx≤ c2c1
22n+1
Proposicion 49. Si ω ∈ Ap con 1 ≤ p <∞, ω es doblante
3.2. PESOS DOBLANTES 43
Demostracion. En efecto, sean x0 ∈ Rd, y R > 0 .Entonces, usando la de-sigualdad de Holder,
|B (x0, R)| ≤
(ˆB(x0,R)
ω
) 1p(ˆB(x0,R)
ω−1p−1
) p−1p
≤
(ˆB(x0,R)
ω
) 1p
(|B (x0,R)|)p−1p
(1
|B (x0, R)|
ˆB(x0,R)
ω−1p−1
) p−1p
Ahora forzaremos la aparicion de B (x0, 2R).Como ω ∈ Ap,(´B(x0,R)
ω) 1p |B (x0,R)|
p−1p
(1
|B(x0,2R)|´B(x0,2R)
ω) 1p(
1|B(x0,2R)|
´B(x0,2R)
ω) 1p
(1
|B(x0,2R)|´B(x0,R)
ω−1p−1
) p−1p
≤ C
(ˆB(x0,R)
ω
) 1p
|B (x0,R)|p−1p
1(1
|B(x0,2R)|´B(x0,2R)
ω) 1p
≤ C1p
( ´B(x0,R)
ω´B(x0,2R)
ω
) 1p
|B (x0, 2R)|p−1p |B (x0, 2R)|
1p
≤ C
(´B(x0,R)
ω) 1p
(´B(x0,2R)
ω) 1p
|B (x0, 2R)|
Entonces,
|B (x0, R)| ≤
( ´B(x0,R)
ω´B(x0,2R)
ω
) 1p
|B (x0, 2R)|C1p ≤ 2dC
1p
( ´B(x0,R)
ω´B(x0,2R)
ω
) 1p
|B (x0, R)|
Por lo tanto
( ´B(x0,2R)
ω´B(x0,.R)
ω
) 1p
≤ 2dC1p
De esto concluimos que
´B(x0,2R)
ω´B(x0,.R)
ω≤ 2dpC
Ejemplo 50. Un ejemplo de peso no doblante es ω (x) = ex
En efecto ,sean x0 ∈ R, R > 0.Consideremos´ x0+2R
x0−2Rexdx´ x0+R
x0−R exdx=ex0+2R − ex0−2R
ex0+R − ex0−R
=e2R − e−2R
eR − e−R
=e2R
(1− e−4R
)eR (1− e−2R)
=eR(1− e−4R
)1− e−2R
3.3. LA CONDICION INVERSA DE HOLDER 44
Ahora,hagamos R→ +∞.Entonces,obtenemos
´ x0+2Rx0−2R exdx´ x0+R
x0−Rexdx
=eR(1−e−4R)
1−e−2E →R→∞
+∞
3.3. La condicion inversa de Holder
Definicion 51. Dado p > 1,diremos que ω ∈ RH (p) si ω satisface una de-sigualdad inversa de Holder con exponente p, es decir ,si existe C tal que( ´
Bωp
|B|
) 1p ≤ C ‖ω‖L1(B)
|B| ∀B ⊂ Rd
Ejemplo 52. Si ω ∈ L∞(Rd)y ess inf ω > 0,ω satisface una condicion inversa
de Holder ∀p > 1( ´Bωp
|B|
) 1p ≤ ‖ω‖L∞(B) =
‖ω‖L∞(B)
ess inf ω ess inf ω ≤‖ω‖L∞(Rn)
ess inf ω
´Bω ∀B ⊂ Rd.En este
caso,podemos tomar
C =‖ω‖L∞(Rn)
ess inf ω
Ejemplo 53. Sea ω : R→ R, ω (x) = x2.Entonces, ω satisface una condicioninversa de Holder para p = 2
Sean x0 ∈ R yR > 0 cualquiera .Luego,( ´
Bωp
|B|
) 1p
=
( ´ x0+R
x0−Rx4dx
2R
) 12
= 1√5
((x0+R)5−(x0−R)5
2R
) 12
=1√5
(10x4
0R+ 20x20R
3 + 2R5
2R
) 12
=1√5
(5x4
0 + 10x20R
2 +R4) 1
2
=
(x4
0 + 2x20R
2 +R4
5
) 12
≤ x20 +R2
Por otro lado,( ´
Bω
|B|
)=
´ x0+R
x0−Rx2dx
2R = (x0+R)3−(x0−R)3
6R =(
6x20R+2R3
6R
)≤
3x20+R2
3 =x20 + R2
3En este caso concreto podemos elegir C = 3Este es un caso particular del ejemplo que veremos a continuacion:
Ejemplo 54. Sean n ∈ N y ω : R→ R, ω (x) = x2n.Entonces, ω satisface unacondicion de Holder inversa para p = 2n
Sean x0 ∈ R yR > 0 cualquiera.Tenemos que(´Bω2n
|B|
) 12n
=
(´ x0+R
x0−R x4n2
dx
2R
) 12n
=
((x0 +R)
4n2+1 − (x0 −R)4n2+1
2R (4n2 + 1)
) 12n
4n2+1∑k=0
1
2R (4n2 + 1)
(4n2 + 1
k
)xk0R
4n2+1−k(
1− (−1)4n2+1−k
) 12n
3.3. LA CONDICION INVERSA DE HOLDER 45
=
2n2∑j=0
2
2R (4n2 + 1)
(4n2 + 1
2j
)x2j
0 R4n2+1−2j
12n
=
2n2∑j=0
1
4n2 + 1
(4n2 + 1
2j
)x2j
0 R4n2−2j
12n
=
2n2∑j=0
1
4n2 + 1
(4n2 + 1
2j
)(x2
0
)j (R2)2n2−j
12n
≤
((max
0 ≤ j ≤ 2n2
(4n2 + 1
2j
)1
4n2 + 1
) 12n
)2n2∑j=0
(x2
0
)j (R2)2n2−j
)
12n
=
((max
0 ≤ j ≤ 2n2
(4n2 + 1
2j
)1
4n2 + 1
) 12n
)((x2
0‘ +R2)2n2) 1
2n
)
=
((max
0 ≤ j ≤ 2n2
(4n2 + 1
2j
)1
4n2 + 1
) 12n
)(x2
0‘ +R2)n
)
= Cn(x2
0 +R2)n
Por otro lado ,
(´Bω
|B|
)=
(´ x0+R
x0−R x2ndx
2R
)=
((x0 +R)
2n+1 − (x0 −R)2n+1
2R (2n+ 1)
)
=
(2n+1∑k=0
1
2R (2n+ 1)
(2n+ 1k
)xk0R
2n+1−k(
1− (−1)2n+1−k
))
=
n∑j=0
1
2R (2n+ 1)
(2n+ 1
2j
)x2j
0 R2n+1−2j2
=
n∑j=0
1
2n+ 1
(2n+ 1
2j
)x2j
0 R2n−2j
=
n∑j=0
1
2n+ 1
(2n+ 1
2j
)(x2
0
)j (R2)n−j
>
n∑j=0
1
2n+ 1
(2n+ 1
2j
)(x2
0
)j (R2)n−j
3.4. CARACTERIZACION DE LOS PESOS A1 46
>1
2n+ 1
min0≤j≤n
(2n+ 1
2j
) n∑j=0
(nj
)(nj
) (x20
)j (R2)n−j
>1
2n+ 1
n∑j=0
(nj
)(nj
) (x20
)j (R2)n−j
>1
2n+ 1
1
max0 ≤ j ≤ n
(nj
) n∑j=0
(nj
)(x2
0
)j (R2)n−j
=1
2n+ 1
1
max0 ≤ j ≤ n
(nj
) (x20 +R2
)n
Luego, basta tomar C = Cn (2n+ 1)max
0 ≤ j ≤ n
(nj
)Observemos que no toda funcion no negativa cumple con una condicion de
Holder inversa.Sea por ejemplo ω : R→ R, ω (x) = ex .ω /∈ RH (p) para ningunp > 1
Ejemplo 55. En efecto,consideremos
(1
2R
´ x0+R
x0−R epxdx) 1p
12R
´ x0+R
x0−R exdx
=
(1Re
px0sinh (pR)) 1p
1RsinhR
= R1− 1p
(sinh (pR)
(sinhR)p
) 1p
Ahora,consideremoslim
R→ +∞sinh(pR)(sinhR)p=
limR→ +∞
epR(1−e−pR)eRp(1−e−R)p
2p−1=
limR→ +∞
(1−e−pR)(1−e−R)p
2p−1 = 2p−1
Por lo tanto,lim
R→ +∞R
1− 1p sinh(pR)
(sinhR)p = +∞.
3.4. Caracterizacion de los pesos A1
Usaremos los siguientes resultados,incluidos en el libro de Fava y Zo,,Medidae integral de Lebesgue,paginas 211 y 212 y en el libro de Duoandikoetxea Zuazo,paginas 109 y 110
3.4. CARACTERIZACION DE LOS PESOS A1 47
Definicion 56. Sea f localmente integrable . Llamaremos funcion de distri-bucion de f y la denotaremos como λ (t) : [0,+∞)→ R a
λ (t) = |x ∈ E / |f (x)| > t|Haremos uso de los siguientes resultados;
1. tpλ (t) ≤´|f |>t |f |
p
2.´E|f |p dx = p
´ +∞0
tp−1λ (t) dt3. Si ϕ : [0,+∞) → [0,+∞) es una funcion derivable y creciente que verifica
ϕ (0) = 0, y f es medible ,entonces´Eϕ (f (x)) dx =
´ +∞0
dϕdy (y) |x ∈ E / |f (x)| > y|
Lema 57. (Lema de Kolmogorov) Si 0 ≤ δ < 1 y E es un conjunto de medidafinita , existe C = C (δ) tal queˆ
E
(Mf)δ
(x) dx ≤ C |E|1−δ ‖f‖δ1
Demostracion. por el punto 2 de la enumeracion:ˆE
(Mf)δdx = δ
ˆ +∞
0
tδ−1 |x ∈ E /Mf (x) > t| .
Observemos que |x ∈ E / |f (x)| > y| ≤ |E| y que, por el tipo (1, 1) de Mf,
|x ∈ E /Mf (x) > y| ≤ C
t‖f‖1
Por lo tanto,´E
(Mf)δdx ≤ δ
´ +∞0
tδ−1min|E| , Ct ‖f‖1
dt.
= δ´ C‖f‖1|E|
0 tδ−1min|E| , Ct ‖f‖1
dt+ δ
´ +∞C‖f‖1|E|
tδ−1min|E| , Ct ‖f‖1
dt
= δ´ C‖f‖1|E|
0 tδ−1 |E| dt+ Cδ ‖f‖1´ +∞C‖f‖1|E|
tδ−2dt
= |E|(C‖f‖1|E|
)δ− Cδ ‖f‖1
1δ−1
(C‖f‖1|E|
)δ−1
= Cδ ‖f‖δ1 |E|1−δ − δ
δ−1Cδ ‖f‖δ1 |E|
1−δ= 1
1−δCδ ‖f‖δ1 |E|
1−δ
Teorema 58. Sea f ∈ L1loc
(Rd)
tal que Mf (x) <∞ c.t.p.x ∈ Rd .
i) Si 0 ≤ δ < 1, entonces ω (x) = (Mf)δ
(x) es un peso A1 de tal forma que laconstante depende solo de δ
ii)Recıprocamente, si ω ∈ A1 entonces existen f ∈ L1loc
(Rd)
,0 ≤ δ < 1 y una
funcion K tal que K, K−1 ∈ L∞(Rd)
tal que ω (x) = K (x) (Mf)δ
(x)
Demostracion. Fijemos xB ∈ Rd cualquiera y R > 0. Descompongamosf = f1 + f2 donde f1 (x) = f (x)χB(xB ,2R) (x) y f2 = f − f1
Observemos que f2 (x) = 0 si |x− xB | < 2R y f2 (x) = f (x) si |x− xB | > 2RPor la sublinealidad del operador Mf, Mf (x) ≤Mf1 (x) +Mf2 (x)
Consecuentemente, (Mf)δ
(x) ≤ (Mf1 +Mf2 (x))δ
(x) ≤ (Mf1)δ
(x)+(Mf2)δ
(x)y
1|B(xB ,R)|
´B(xB ,R)
(Mf)δ
(x) ≤ 1|B(xB ,R)|
´B(xB ,R)
(Mf1)δ
(x)+ 1|B(xB ,R)|
´B(xB ,R)
(Mf2)δ
(x)
Consideremos 1|B(xB ,R)|
´B(xB ,R)
(Mf1)δ
(x)dx
Por el lema 571
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
(Mf1)δ
(x)
3.4. CARACTERIZACION DE LOS PESOS A1 48
≤ C |B (xB , R)|1−δ
|B (xB , R)|‖f1‖δ
= C1∣∣∣B (xB , R)
δ∣∣∣ ‖f1‖δ
= C1
|B (xB , R)|δ
(ˆB(xB ,2R)
|f |
)δ
= C|B (xB , 2R)|δ
|B (xB , R)|δ
(1
|B (xB , 2R)|
ˆB(xB ,2R)
|f |
)δ≤ C2dδ (Mf)
δ(xB)
A continuacion consideremos Mf2
Comencemos por notar que f2 (x) = f (x)−f1 (x) =
0 |x− xB | < 2R
f (x) |x− xB | > 2R
EstimemosMf2. Comencemos por observar que si y ∈ B(xB , R
)y´B(xB ,R) |f | dx >
0⇒R ≥ 2R. Tambien podemos concluir que ∃c > 0/B(xB , R
)⊂ B (y, cR),
de lo cual deducimos que
1∣∣∣B (y, R)∣∣∣ˆB(y,R)
|f2|
≤ cd
|B (xB , cR)|
ˆB(xB ,cR)
|f2|
≤ cdMf (xB)
Luego,
Mf2 (y) ≤ cdMf (xB) ∀y ∈ B (xB , R) ,
de lo cual seguimos que 1|B(xB ,R)|
´B(xB ,R)
(Mf2 (y))δdy ≤ cd (Mf (xB))
δ
ii)Por la desigualdad inversa de Holder, ∃ε > 0 tal que ∀B bola,(
1|B|´Bω1+εdx
) 11+ε ≤
C|B|´Bωdx≤ CMω
Por la condicion A1,obtenemos(Mω1+ε
) 11+ε (x) ≤ CMω (x) ≤ Cω (x) c.t.p.x ∈ Rd
Por el teorema de diferenciacion de Lebesgue, para casi todo x ∈ Rd,
ω (x) = limR→0+
(1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
ω1+ε (y) dy
) 11+ε
≤M (x) ≤ kω (x) ,
donde f = ω1+ε, δ = 11+ε .
Ahora,basta definir K(x) como K (x) = ω(x)
(Mf)δ(x), que verifica 1
k ≤ K (x) ≤ 1
c.t.p.x ∈ Rd
3.5. LA CLASE Ap,q DE MUCKENHOUPT Y WHEEDEN 49
Ejemplos de aplicaciones de este teorema.
1. Sea Ann∈N : ∪n∈NAn = Rd y αnn∈N ⊆ [0,+∞) con la propiedad que la
serie∑∞i=1 αj < ∞.Sea ω (x) =
∑∞i=1 αiχAi (x). Claramente, 0 ≤ ω (x) =∑∞
i=1 αiχAi (x) ≤∑∞i=1 αj < ∞, de tal modo que ω (x) ∈ L∞
(Rd). Eso
fuerza a que Mf ∈ L∞(Rd), por lo cual Mf es localmente integrable, de
tal forma que por el teorema anterior,Mδf es un peso A1 si 0 < δ < 1
2. Sea Ann∈N : ∪n∈NAn = Rd;Ai∩Aj = ∅ ∀i 6= j y αnn∈N ⊆ B (0, R) ,R <∞. Sea ω (x) =
∑∞i=1 αiχAi (x).Claramente, para cada x,|ω (x)| = |αi| ≤
supj∈N|αj | ≤ R,de tal modo que ω (x) ∈ L∞
(Rd)Eso fuerza a queMf ∈ L∞
(Rd),
por lo cual Mf es localmente integrable,de tal forma que por el teoremaanterior ,Mδ
f es un peso A1 si 0 < δ < 1
3.5. La clase Ap,q de Muckenhoupt y Wheeden
Definicion 59. Un funcion v : Rd → [0,+∞) se dice que pertencece aAp,q (1 < p, q <∞)si verifica que dada B una bola arbitraria.(
1
|B|
ˆB
vq) 1q(
1
|B|
ˆB
v−p´) 1p´
≤ K <∞,
donde K es independiente de B y donde p´= pp−1 .
Para el caso p = 1,esta condicion se escribe como(
1|B|´Bvq) 1q ≤ K essinf
y∈Bv (y)
y para p =∞,(
1|B|´Qv−p´
) 1p´ ≤ K inf
y∈B
(1
v(y)
)<∞
Ejemplo 60. Si v ∈ L∞(Rd)y essinf
x∈Rd
v (x) > 0,v ∈ Ap,q∀p, q > 1
Demostracion.(
1|B|´Bvq) 1q(
1|B|´Bv−p´
)−1p´ ≤ ‖v‖L∞
(ess infx∈Rd
v (x)
)−1
Observacion 61. Sean p yq numeros reales p, q > 1 ,d ∈ N y 0 < r < dp´ .
Entonces, la funcion ‖x‖r : Rd → R pertenece a Ap,q ∀q > 1
Demostracion. i)Analicemos primero el caso en que B = B (0, R),
1
|B|
ˆB
‖x‖−p´r =1
Rd |B (0, 1)|
ˆ R
0
ρ−p´rρd−1cddρ =1
|B (0, 1)|cdR
−p´r
A continuacion consideremos el caso en que B = B (xB , R) con xB 6= 0 yR <‖xB‖
4 , donde acotemos superiormente ‖x‖
‖xB‖ ≤ ‖xB − x‖+ ‖x‖ ≤ R+ ‖x‖ ≤ ‖xB‖4
+ ‖x‖
Luego,‖x‖ > 34 ‖xB‖, de lo cual deducimos que
1
|B|
ˆB
‖x‖−p´r ≤ 1
Rd |B (0, 1)|
ˆB(xB ,R)
(3
4‖xB‖
)−p´r
=
(3
4‖xB‖
)−p´r
Ahora veremos el caso en que B = B (xB , R) con xB 6= 0 y ‖xB‖4 ≤ R <4 ‖xB‖, ampliando la bola de tal forma que quede centrada en 0
3.5. LA CLASE Ap,q DE MUCKENHOUPT Y WHEEDEN 50
‖x‖ ≤ ‖x− xB‖+ ‖xB‖ ≤ R+ ‖xB‖ < 5 ‖xB‖.
Luego,B (xB , R) ⊂ B (0, 5 ‖xB‖). Ası,
1
|B|
ˆB
‖x‖−p´r ≤ 1
Rd |B (0, 1)|
ˆB(xB ,5‖xB‖)
‖x‖−p´r
=cd
Rd |B (0, 1)|
ˆ 5‖xB‖
0
ρ−p´r+d-1dρ
=cd
Rd |B (0, 1)|(5 ‖xB‖)−p´r+d 1
−p´r+d
≤ cdRd |B (0, 1)|
(20R)−p´r+d 1
−p´r+d
=cd
|B (0, 1)|20dR−p´r 1
−p´r+d
Por ultimo, veamos el caso en queB = B (xB , R) con xB 6= 0 yR > 4 ‖xB‖, ampliandola bola de tal forma que quede centrada en 0
‖x‖ ≤ ‖x− xB‖+ ‖xB‖ ≤ R+ ‖xB‖Luego,B (xB , R) ⊂ B (0, ‖xB‖+R). Se sigue que:
1
|B|
ˆB
‖x‖−p´r ≤ 1
Rd |B (0, 1)|
ˆB(0,‖xB‖+R)
‖x‖−p´r
=1
Rd |B (0, 1)|
ˆ ‖xB‖+R0
ρ−p´rρd−1cd
=1
Rd |B (0, 1)|cd
(‖xB‖+R)−p´r+d
−p´r+d
≤ 1
Rd |B (0, 1)|cd
(R4 +R
)−p´r+d
−p´r+d
=1
|B (0, 1)|
(5
4
)−p´r+d
cdR−p´r
−p´r+d
Ahora analicemos 1|B|´B‖x‖qr
Trivialmente,‖x‖ ≤ ‖x− xB‖+ ‖xB‖ ≤ R+ ‖xB‖,ası que
1
|B|
ˆB
‖x‖qr ≤ (R+ ‖xB‖)qr
Por lo tanto,i)Si xB = 0,(
1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
‖x‖qr) 1q(
1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
‖x‖−p´r) 1p´
3.5. LA CLASE Ap,q DE MUCKENHOUPT Y WHEEDEN 51
≤ (R+ ‖xB‖)qrq
(1
|B (0, 1)|cdR
−p´r
) 1p´
= Rr(
1
|B (0, 1)|cd
) 1p´
R−r
=
(1
|B (0, 1)|cd
) 1p´
:= K1
ii)Si xB 6= 0, R < ‖xB‖4 .(
1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
‖x‖qr) 1q(
1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
‖x‖−p´r) 1p´
≤ (R+ ‖xB‖)qrq
(3
4‖xB‖
)− p´rp´
=
(5
3
)r:= K2
iii)Si xB 6= 0, ‖xB‖4 ≤ R < 4 ‖xB‖,
(1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
‖x‖qr) 1q(
1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
‖x‖−p´r) 1p´
≤ (R+ ‖xB‖)qrq
(cd
|B (0, 1)|20dR−p´r 1
−p´r+d
) 1p´
= 5rRr(
cd|B (0, 1)|
20d1
−p´r+d
) 1p´
R−r
= 5r(
cd|B (0, 1)|
20d1
−p´r+d
) 1p´
:= K3
iv)Si B = B (xB , R) con xB 6= 0 yR > 4 ‖xB‖,(1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
‖x‖qr) 1q(
1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
‖x‖−p´r) 1p´
≤ (R+ ‖xB‖)r(
1
|B (0, 1)|
(5
4
)−p´r+d
cdR−p´r
−p´r+d
) 1p´
≤(R+
R
4
)r (1
|B (0, 1)|
(5
4
)−p´r+d
cdR−p´r
−p´r+d
) 1p´
≤(
1
|B (0, 1)|cd
1
−p´r+d
) 1p´(
5
4
) dp´
:= K4
En conclusion,(
1|B(xB ,R)|
´B(xB ,R)
‖x‖qr) 1q(
1|B(xB ,R)|
´B(xB ,R)
‖x‖−p´r) 1p´ ≤ K,
donde
3.5. LA CLASE Ap,q DE MUCKENHOUPT Y WHEEDEN 52
K = max K1,K2,K3,K4 ,
Observacion 62. Sean p yq numeros reales p, q > 1, d ∈ N y 0 < r < dq´ .
Entonces, la funcion ‖x‖−r : Rd → R pertenece a Ap´,q´
Demostracion.(
1|B(xB ,R)|
´B(xB ,R)
‖x‖−qr) 1q(
1|B(xB ,R)|
´B(xB ,R)
‖x‖p´r) 1p´
=
(1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
‖x‖p´r) 1p´(
1
|B (xB , R)|
ˆB(xB ,R)
‖x‖−qr) 1q
Por la observacion61, ‖x‖−r ∈ Ap´,q´
Este resultado se puede generalizar como:
Proposicion 63. Si v ∈ Ap,q, entonces, v−1 ∈ Aq´,p´
Demostracion. tenemos que(1
|B|
ˆB
vq) 1q(
1
|B|
ˆB
v−p´) 1p´
≤ K <∞
Ahora, reescribamos esta desigualdad como(1
|B|
ˆB
(v−1
)−q) 1q(
1
|B|
ˆB
(v−1
)p´) 1p´
≤ K <∞
Usando que (q´) ´=q ,obtenemos el resultado´.
Observacion 64. Sea v1y v2,funciones de A1,q. Entonces,v1 + v2 ∈ A1,q ymax v1, v2 ∈ A1,q
Para probar estos resultados necesitaremos una observacion previa:
Observacion. Sean a, b, p > 0.Entonces :i)Si p ≥ 1,(a+ b)
p ≤ 2p−1 (ap + bp)ii)Si 0 < p < 1,(a+ b)
p ≤ 2p (ap + bp)
Ahora estamos en condiciones de demostrar la observacion 64
Demostracion. Sea B ⊆ Rd cualquiera.Consideremos(
1|B|´B
(v1 + v2)q) 1q
Como, por definicion de A1.q, q > 1, aplicando la observacion anterior, 3.5,(1
|B|
ˆB
(v1 + v2)q
) 1q
≤(
1
|B|
ˆB
2q−1 (vq1 + vq2)
) 1q
o, equivalentemente,
2q−1q
(1
|B|
ˆB
vq1 +1
|B|
ˆB
vq2
) 1q
Apliquemos nuevamente la observacion 3.5,
2q−1q
(2
1q
(1
|B|
ˆB
vq1
) 1q
+ 21q
(1
|B|
ˆB
vq2
) 1q
)= 2
((1
|B|
ˆB
vq1
) 1q
+
(1
|B|
ˆB
vq2
) 1q
)
3.5. LA CLASE Ap,q DE MUCKENHOUPT Y WHEEDEN 53
Como v1y v2, son funciones de A1,q,∃K1,K2 > 0/
2
((1
|B|
ˆB
vq1
) 1q
+
(1
|B|
ˆB
vq2
) 1q
)≤ 2
(K1inf
x∈Bv1 (x) +K2inf
x∈Bv2 (x)
)≤
2max K1,K2(infx∈B
v1 (x) + infx∈B
v2 (x)
)Dado que v1, v2 > 0,
2max K1,K2(infx∈B
v1 (x) + infx∈B
v2 (x)
)≤ 2max K1,K2
(infx∈B
(v1 + v2) (x) + infx∈B
(v1 + v2) (x)
)= 4max K1,K2
(infx∈B
(v1 + v2)
)En este caso, K = 4max K1,K2Ahora probaremos que si v1 yv2 son funciones de A1,q,max v1, v2 ∈ A1,q
Sea B ⊆ Rd cualquiera. Consideremos(
1|B|´B
(max v1, v2)q) 1q
(1
|B|
ˆB
(max v1, v2)q) 1q
=
(1
|B|
ˆB∩v1>v2
(max v1, v2)q +1
|B|
ˆB∩v1<v2
(max v1, v2)q) 1q
=
(1
|B|
ˆB∩v1>v2
vq1 +1
|B|
ˆB∩v1<v2
vq2
) 1q
≤(
1
|B|
ˆB
vq1 +1
|B|
ˆB
vq2
) 1q
Usando la observacion 3.5,(1
|B|
ˆB
vq1 +1
|B|
ˆB
vq2
) 1q
≤ 21q
((1
|B|
ˆB
vq1
) 1q
+
(1
|B|
ˆB
vq2
) 1q
)Dado que si v1, v2 ∈ A1q´ ⇒ v1 + v2 ∈ A1 ,q ,
21q
((1
|B|
ˆB
vq1
) 1q
+
(1
|B|
ˆB
vq2
) 1q
)≤ 2
1q 4max K1,K2
(infx∈B
(v1 + v2)
)Como v1 ≤ max v1, v2 y v2 ≤ max v1, v2,
21q 4max K1,K2
(infx∈B
(v1 + v2)
)≤ 2
1q 4max K1,K2
(infx∈B
(max v1, v2+max v1, v2) (x)
)= 2
1q+3max K1,K2
(infx∈B
(max v1, v2) (x)
)
3.5. LA CLASE Ap,q DE MUCKENHOUPT Y WHEEDEN 54
En este caso, podemos tomar K = 21q+3max K1,K2.
Observacion 65. Sean 0 < C1 < C2 ,u ∈ Ap,q y v una funcion que en casitodo punto verifica que C1u ≤ v ≤ C2u. Entonces,v ∈ Ap,q
Demostracion. Sea B una bola cualquiera.Consideremos(1
|B|
ˆB
vq) 1q(
1
|B|
ˆB
v−p´) 1p´
Luego,(
1|B|´Bvq) 1q(
1|B|´Bv−p´
) 1p´ ≤
(1|B|´B
(C2v)q) 1q(
1|B|´B
(C1v)−p´) 1p´
= C2nC−11
(1
|B|
ˆB
(C2v)q
) 1q(
1
|B|
ˆB
(C1v)−p´) 1p´
≤ C2C−11 K
La clase Ap,q es la que permite obtener acotaciones con peso para el operadormaximal fraccionario , de acuerdo al teorema siguiente:
Teorema 66. Asumamos que 0 < α < d, 1 < p < dα , 1
q = 1p −
αd y v ∈ Ap,q.
Entonces, existe C, independiente de f con la propiedad que(ˆRd
|Mα (f) (x) v (x)|q dx) 1q
≤ C(ˆ
Rd
|f (x) v (x)|p dx) 1p
Demostracion. La demostracion se basa en el teorema de interpolacion deMarcinkiewicz y las estimaciones de tipo debil para el operador Tg en los espacios
de medida(Rd, dµ
), con dµ = vq y T (g) =
(Mα (g (vq))
αd
)(x).Los detalles se
pueden consultar en[31]El punto clave donde se usa el teorema de interpolacion de Marcinkiewicz es
el hecho que si v ∈ Ap,q entonces v ∈ Api,qi ,i = 1, 2 con pi y qi que verifiquenla igualdad 1
qi= 1
pi− α
d y 1 < p1 < p < p2. Los posibles valores de p1 y de p2
dependen de la funcion v. Este hecho se deduce de la condicion de Holder inversa,
esto es( ´
Bωp
|B|
) 1p ≤ ‖ω‖L1(B)
|B| ‖ω‖L∞(B) ∀B ⊂ Rd.En el caso que v ∈ A1, q1 donde 1 < q1 < ∞, la condicion de Holder inversa
tambien puede ser obtenida y entonces se puede probar que existe p0 > 1 con lapropiedad que v ∈ Ap0,q0 , donde usamos 1
q0= 1
p0− α
d .En este caso el teorema de
interpolacion conduce a(ˆRd
|Mα (f) (x) v (x)|q dx) 1q
≤ Ct(ˆ
Rd
|f (x) v (x)|p dx) 1p
,
donde Ct = O(
11−t
), t→ 1, 1
p = t+ 1−tp0
, 1q = 1
q1+ 1−t
q0
En particular , si v ∈ Ap,q,tenemos queˆMg>α
vqdx ≤ C(
1
α
ˆRd
|g (x)|p vq (x) dx
) qp
Ahora,veamos los detalles de la demostracion de la continuidad con pesosAp,qde la integral fraccionaria
3.5. LA CLASE Ap,q DE MUCKENHOUPT Y WHEEDEN 55
Teorema 67. Sean 0 < α < d , 1 < p < dα , 1
q = 1p −
αd y v ∈ Ap,q. Existe C
independiente de f con la propiedad que(ˆRd
|Iα (f) v (x)|q dx) 1q
≤ C(ˆ
Rd|f (x) v (x)|p dx
) 1p
Demostracion. Iαf (x) =´Rd f (y) |x− y|α−d dy
Sea δ > 0 que elegiremos convenientemente despues
Iαf (x) =´|x−y|<δ f (y) |x− y|α−d dy +
´|x−y|>δ f (y) |x− y|α−d dy = I1 + I2
Llamemos Ri =y ∈ R/2−i−1δ ≤ |x− y| ≤ 2−iδ
,donde i ∈ Z.
Tenemos que
|I1| ≤∞∑i=0
ˆRi
|f (y)| |x− y|α−d dy
≤∞∑i=0
(2−i−1δ
)α−d ˆRi
|f (y)| dy
≤∞∑i=0
(2−i−1δ
)α−d ˆB(x,2−iδ)
|f (y)| dy
=
∞∑i=0
2d−α2−i(α−d)
ˆB(x,2−iδ)
|f (y)| dy
Sea ε > 0
∞∑i=0
2d−α2−i(α−d)
ˆB(x,2−iδ)
|f (y)| dy
≤∞∑i=0
2d−α2−iεδε1
(2−iδ)d−α+ε
ˆB(x,2−iδ)
|f (y)| dy
Luego
I1 ≤ AεδεMα−εf (x)
En forma similar,
I2 ≤∞∑i=1
(2i−1δ
)α−d ˆB(x,2iδ)
|f (y)| dy
≤ Aεδ−εMα+εf (x)
Eligiendo δε =√
Mα+εf(x)Mα−εf(x) , obtenemos
|Iαf (x)| ≤ A√Mα−εf (x)Mα+εf (x)
Sea qε definido como 1qε
= 1p −
α+εd y sea qεdefinido como Sea qε definido como
1qε
= 1p −
α−εd . Observemos que si v ∈ Ap,q entonces v ∈ Ap,qε a Ap,qε para ε
suficientemente pequeno y en ese caso obtendrıamos(ˆRd
|Mα−ε (f) (x) v (x)|q dx) 1q
≤ C(ˆ
Rd
|f (x) v (x)|p dx) 1p
3.5. LA CLASE Ap,q DE MUCKENHOUPT Y WHEEDEN 56
y (ˆRd
|Mα+ε (f) (x) v (x)|q dx) 1q
≤ C(ˆ
Rd
|f (x) v (x)|p dx) 1p
A continuacion definamos F = (Mα+εf (x) v (x))q2 y G = (Mα−εf (x) v (x))
q2
Tomemos p1 = 2qεq y p2 = 2qε
q de tal forma que 1p1
+ 1p2
= 1. Por la clasica
desigualdad de Holder, aplicada a |Iαf (x) v (x)| obtenemos
ˆRd
|Iαf (x) v|q ≤ ‖F‖p1‖G‖p2
Aplicando(´
Rd |Mα (f) (x) v (x)|q dx) 1q ≤ C
(´Rd |f (x) v (x)|p dx
) 1p .,obtenemos
que
‖F‖p1=
ˆ|Mα+εf (x) v (x)|qε dx
1p1
≤ C ‖fv‖qεq1p
Analogamente
‖G‖p2=
ˆ|Mα−εf (x) v (x)|qε dx
1p1
≤ C ‖fv‖qεq2p
Por lo tanto ˆRd
|Iαf (x) v (x)|q dx ≤ C ‖fv‖qεq1
+ qεq2
p
o equivalentemente,(ˆRd
|Iαf (x) v (x)|q dx) 1q
≤ C(ˆ
Rd
|f (x) v (x)|p dx) 1p
Como ejemplos particular de esta desigualdad ,proponemos :
Proposicion 68. Sea f ∈ Lp,v ∈ L∞/essinfx∈Rd
v > 0.Entonces,
(ˆRd
|Iαf (x) v (x)|q dx) 1q
≤ C ‖f‖Lp ‖v‖L∞
Demostracion. Por la clasica desigualdad de Holder,(ˆRd
|f (x) v (x)|p dx) 1p
≤ esssupx∈Rd
v (x)
(ˆRd
|f (x)|p dx) 1p
= esssupx∈Rd
v (x) ‖f‖Lp
Capıtulo 4
Espacios de Lebesgue Exponente Variable
4.1. La Funcional Modular
Los espacios de Lebesgue con exponente variable que estudiaremos en estecapıtulo, permiten,mediante un exponente funcional adecuado, volver finitamenteintegrables funciones que no tienen norma finita en los espacios Lp con p > 1 fijo,como por ejemplo |x|α con α ∈ R
Por ejemplo, si α > −1,´|x|≤1
|x|α dx es finitamente integrable y´|x|≤1
|x|α dx =
2α+1 , pero
´|x|>1
|x|α dx = +∞..Ahora bien,si definimos p (x) =
1 |x| ≤ 1β |x| > 1
,
donde αβ + 1 < 0
Usando este exponente funcional,´R |x|
αp(x)dx = 2
α+1 −2
αβ+1
Para el caso α < −1.,´|x|≥1
|x|α dx es finitamente integrable y´|x|≥1
|x|α dx =
− 2α+1 , pero
´|x|<1
|x|α dx = +∞
Ahora,tomando p (x) =
β |x| ≤ 11 |x| > 1
donde αβ + 1 > 0,´R |x|
αp(x)dx =
− 2α+1 + 2
αβ+1
Para el caso α = −1, ni´|x|≤1
|x|−1dx ni
´|x|>1
|x|−1dx son finitamente medi-
bles, pero definiendo p (x) =
12 |x| ≤ 12 |x| > 1
,´R
(1|x|
)p(x)
dx = 4 + 2 = 6
Para los siguientes resultados , usaremos fuertemente los resultados de [21] y[3]
Definicion 69. Sea p (x) : Rd → [1,+∞] medible/esssupx∈Rd
p (x) < +∞..Sea
Ω∞ =x ∈ Rd/p (x) = +∞
Llamaremos funcional modular a ρp (f) =
´Rd−Ω∞ |f |
p(x)dx+ ess sup
x∈Ω∞|f (x)| .
Definimos ‖f‖p(.) = infλ > 0/ρp
(fλ
)≤ 1
Llamaremos P (Ω) =
p (x) : Ω → [1,+∞] /esssup
x∈Ωp (x) < +∞
,
B (Ω) =
p (x) ∈ P (Ω) /M (p)es acotada en Lp(.) (Ω)
,
P 0 (Ω) =
p (x) : Ω → [0,+∞] /essinf
x∈Ωp (x) > 0, esssup
x∈Ωp (x) < +∞
Definimos p´ por la relacion funcional 1
p(x) + 1p´(x) = 1
Como trabajaremos fundamentalmente con p ∈ P, ρp (f) =´Rd |f |p(x)
dx
4.1.1. Propiedades de la funcional modular. La funcion modular veri-fica
57
4.1. LA FUNCIONAL MODULAR 58
1. ρp (f) = 0 ∀f2. ρp (f) = 0⇔ f = 0 c.t.p..3. ρp (−f) = ρp (f)4. ρp (f) es una funcional convexa5. Si |f (x)| ≥ |g (x)| c.t.p. y ρp (f) < ∞ resulta que ρp (f) ≥ ρp (g) y la de-
sigualdad es estricta si |f (x)| 6= |g (x)|en algun conjunto de medida positiva
6. Si para algun Λ > 0,0 < ρp
(fΛ
)< ∞ entonces la funcion λ → ρp
(fλ
)es
continua y decreciente en [Λ,+∞)
7. Si f ∈ Lp, ρp
(f
‖f‖Lp
)≤ 1
Demostracion. La primera propiedad es obvia.La segunda al ser una sumade dos cantidades no negativas solo puede ser 0 si ambos sumandos son nulos. esdecir, |f | = 0 c.t.p.en Rd−Ω∞ y|f | = 0 c.t.p. en Ω∞. Luego f = 0 c.t.p x ∈Rd.La tercera es obvia,dado que |f | = |−f |Ahora veremos que ρp es convexa. Para ello comenzaremos por remarcar que
∀x ∈ Rd,p (x) ≥ 1 .Sea 0 ≤ λ ≤ 1 y sea f, g localmente integrables .Consideremos
ρp (λf + (1− λ) g) =
ˆRd−Ω∞
|λf + (1− λ) g|p(x)dx+ esssup
x∈Ω∞|λf + (1− λ) g| (x)
≤ˆRd−Ω∞
(λ |f (x)|+ (1− λ) |g (x)|)p(x)dx+ esssup
x∈Ω∞(λ |f (x)|+ (1− λ) |g (x)|)
Como ∀x ∈ Rd,p (x) ≥ 1
ˆRd−Ω∞
(λ |f (x)|+ (1− λ) |g (x)|)p(x)dx
≤ λˆRd−Ω∞
(|f (x)|)p(x)dx+ (1− λ)
ˆRd−Ω∞
(|g (x)|)p(x)dx
Dado que
esssupx∈Ω∞
(λ |f (x)|+ (1− λ) |g (x)|) ≤ λesssupx∈Ω∞
(|f (x)|) + (1− λ) esssupx∈Ω∞
(|g (x)|)
Luego
ρp (λf + (1− λ) g) ≤ λρp (f) + (1− λ) ρp (g)
La demostracion de 5. es ρp (f) =´Rd−Ω∞ (|f (x)|)p(x)
dx + esssupx∈Ω∞
|f (x)| ≤´Rd−Ω∞ (|g (x)|)p(x)
dx+ esssupx∈Ω∞
|g (x)| = ρp (g)
Para demostrar 6.,elegiremos 0 < Λ ≤ λ1 < λ2 . Usando el punto 5 de la
enumeracion.,ρp(.)
(fλ1
)− ρp(.)
(fλ2
)≥ 0
Consideremos ρp(.)
(fλ1
)=´Rd−Ω∞
(|f |λ1
)p(x)
dx+ ess supx∈Ω∞
|f |λ1
=´Rd−Ω∞
(|f |λ2
)p(x) (λ2
λ1
)p(x)
dx+ ess supx∈Ω∞
|f |λ2
λ2
λ1.
4.1. LA FUNCIONAL MODULAR 59
≤´Rd−Ω∞
(|f |λ2
)p(x) (λ2
λ1
)‖p‖L∞ dx+ λ2
λ1ess supx∈Ω∞
|f |λ2
≤(λ2
λ1
)‖p‖L∞(´
Rd−Ω∞
(|f |λ2
)p(x)
dx+ ess supx∈Ω∞
|f |λ2
)=(λ2
λ1
)‖p‖L∞ ρp(.)
(fλ2
)ρp(.)
(f
λ2
)≤ ρp(.)
(fλ1
)≤(λ2
λ1
)‖p‖L∞ ρp(.)
(fλ2
)Haciendo que λ1 → λ2, y dado que ρp(..)
(fλ2
)< ∞,sacamos que ρp(.)
(fλ
)es
continuaLa propiedad 7 es trivial
Ejemplo 70. Sean f ∈ L1⋂L∞ y p ∈ L∞. Entonces, f ∈ Lp(.)
Como p ∈ L∞, ası que ρp (f) =´Rd−Ω∞ |f |
p(x)dx+ess sup
x∈Ω∞|f (x)| . =
´Rd |f |p(x)
dx.
Dado que ρp (f) =´Rd |f |p(x)
dx=´|f|≤1 |f |
p(x)dx+
´|f|>1 |f |
p(x)dx. .
≤´|f|≤1 |f | dx+
´|f|>1 |f |
‖p‖L∞ dx
≤´|f | dx+
´|f |‖p‖L∞ dx = ‖f‖L1 + (‖f‖L‖pp‖)
p
Como corolario de lo anterior ,si f ∈ C0(Rd), ρp (f) ≤
´|f|≤1∩sopf
|f | dx +´|f|>1∩sopf
|f |‖p‖L∞ dx
≤´
sopfdx+
´sopf‖f‖‖p‖L∞L∞ dx = |sopf |
(1 + ‖f‖‖p‖L∞L∞
)Existen exponentes p (.) que no pertenecen a L∞
(Rd)
pero quef : Rd → Rmedible/ρp (f) <∞
6=
∅, como por ejemplo p (x) =
1 |x| < 1
+∞ |x| ≥ 1
Si tomamos f (x) = e−|x|, ρp (f) = 2− e−1.De hecho,con la funcion p (x) definida en el ejemplo anterior , si f ∈ L1
(Rd)∩
L∞(Rd), ρp (f) ≤ ‖f‖L1 + ‖f‖L∞
Observacion 71. Si p (x) ∈ L∞ y f y g tienen funcional modular finita f + gtambien la tiene
Demostracion. ρp (f + g) =´Rd−Ω∞ |f + g|p(x)
dx+ esssupx∈Ω∞
|f + g| (x)
≤´Rd−Ω∞ 2p(x)
(|f(x)|+|g(x)|
2
)p(x)
dx+ esssupx∈Ω∞
(|f (x)|+ |g (x)|)
≤´Rd−Ω∞ 2p(x)
((12
)|f (x)|p(x)
+ 12 |g (x)|p(x)
)dx+esssup
x∈Ω∞(|f (x)|)+esssup
x∈Ω∞(|g (x)|)
=´Rd−Ω∞ 2p(x)−1
(|f (x)|p(x)
+ |g (x)|p(x))dx+esssup
x∈Ω∞(|f (x)|)+esssup
x∈Ω∞(|g (x)|)
=´Rd−Ω∞ 2‖p(x)−1‖∞
(|f (x)|p(x)
+ |g (x)|p(x))dx+esssup
x∈Ω∞(|f (x)|)+esssup
x∈Ω∞(|g (x)|)
= 2‖p(x)−1‖∞´Rd−Ω∞
(|f (x)|p(x)
+ |g (x)|p(x))dx+esssup
x∈Ω∞(|f (x)|)+esssup
x∈Ω∞(|g (x)|)
≤ 2‖p(x)−1‖∞
(´Rd−Ω∞
(|f (x)|p(x)
+ |g (x)|p(x))dx+ esssup
x∈Ω∞(|f (x)|) + esssup
x∈Ω∞(|g (x)|)
)= 2‖p(x)−1‖∞ (ρP (f) + ρP (g))
4.1. LA FUNCIONAL MODULAR 60
Observacion 72. Si p (x) ∈ L∞, y f tiene funcional modular finita y α ∈ R, αftambien la tiene
Demostracion. ρp (αf) =´Rd−Ω∞ |αf |
p(x)dx+ esssup
x∈Ω∞|αf | (x)
ρp (αf) ≤´Rd−Ω∞ |α|
p(x) |f (x)|p(x)dx+ |α| esssup
x∈Ω∞|f | (x)
Si 0 ≤ |α| ≤ 1,´Rd−Ω∞ |α|
p(x) |f (x)|p(x)dx+|α| esssup
x∈Ω∞|f | (x) ≤
´Rd−Ω∞ |α| |f (x)|p(x)
dx+
|α| esssupx∈Ω∞
|f | (x)
= |α| ρp (f)
Si |α| > 1,´Rd−Ω∞ |α|
p(x) |f (x)|p(x)dx+|α| esssup
x∈Ω∞|f | (x) ≤
´Rd−Ω∞ |α|
‖p‖∞ |f (x)|p(x)dx+
|α|‖p‖∞ esssupx∈Ω∞
|f | (x)
= |α|‖p‖∞ ρp (f)
Por lo tanto,ρp (αf) ≤ max|α| , |α|‖p‖∞
ρp (f)
Como corolario de estas dos propiedades basicas,obtenemos que max f, g ymin f, g tienen funcional modular finita si f y g la tienen,dado que
ρp (max f, g) ≤ ρp (max |f | , |g|) ≤ ρp (|f |+ |g|) ≤ 2‖p−1‖∞ (ρp (|f |) + ρp (|g|))
≤ 2‖p−1‖∞+1max (ρp (|f |) , ρp (|g|)) = 2‖p−1‖∞+1max (ρp (f) , ρp (g))
Para el mınimo,tenemos que
ρp (min f, g) ≤ ρp (f)
y queρp (min f, g) ≤ ρp (g) ,
de tal modo que
ρp (min f, g) ≤ min ρp (f) , ρp (g)
Proposicion 73. Sea p (.) ∈ P(Rd)/esssupx∈Rd
p (x) ≤ r. Si f ∈ L1∩Lr, f ∈ Lp(.)
Demostracion. Como esssupx∈Rd
p (x) ≤ r, la funcional modular resulta ρp (f) =
´Rd−Ω∞ |f |
p(x)dx
Ahora bien ,ˆRd−Ω∞
|f |p(x)dx =
ˆ(Rd−Ω∞)∩|f|<1
|f |p(x)dx+
ˆ(Rd−Ω∞)∩|f|≥1
|f |p(x)dx
≤ˆ
(Rd−Ω∞)∩|f|<1|f | dx+
ˆ(Rd−Ω∞)∩|f|≥1
|f |r dx
≤ˆRd
|f | dx+
ˆRd
|f |r dx = ‖f‖L1 + ‖f‖rLr
4.2. EL OPERADOR MAXIMAL DE HARDY-LITTLEWOOD EN Lp(.) (Ω) 61
Como una extension del resultado anterior ,tenemos el siguiente corolario
Proposicion 74. Sean 0 < r < q < ∞. Sea p (.) ∈ P(Rd)/essinfx∈Rd
p (x) >
r, esssupx∈Rd
p (x) ≤ q. Si f ∈ Lr ∩ Lq, f ∈ Lp(.)
Demostracion. ρP (f) ≤´
(Rd−Ω∞)∩|f|<1 |f |rdx+
´(Rd−Ω∞)∩|f|≥1 |f |
qdx
≤ˆRd
|f |r dx+
ˆRd
|f |q dx = ‖f‖rLr + ‖f‖qLq
4.2. El operador maximal de Hardy-Littlewood en Lp(.) (Ω)
En analisis armonicos , un operador fundamental es el operador maximal deHardy Littlewood, ya introducido en este trabajo. Sabemos que M (f) es acotadoen Lp
(Rd), si 1 < p <∞, aunque hay espacios y funciones p (.)donde el operador no
es acotado, como el hallado por Pick y Ruzicka y que expondremos a continuacion
Observacion 75. [20] Sean d = 1, Ω = (−1, 1) ⊆ R y 1 < p0 < +∞.Sea ϕuna funcion estrictamente positiva y creciente en [0, 1)que verifique lim
x→0+ϕ (x) = 0
y que limx→0+
ϕ(x2
)ln(
1x
)=∞.
Asumamos que p (x) ≤ p0 ∀x ∈ (−1, 0]y que p (x) = p0+ϕ (x) ∀x ∈ [0, 1) .Entonces,M no es acotado en Lp(..) (Ω)
De la condicion limx→0+
ϕ(x2
)ln(
1x
)=∞ , deducimos que lim
x→0∗
(1
p( x2 )− 1
p0
)ln(
1x
)=
−∞ y que limx→0∗
(1x
) 1p(x)− 1p0 = 0
Luego, para cada k ∈ N podemos buscar bk ∈(0, 1
3
)que verifique
(1bk
) 1
p
(bk2
)− 1p0
<
2−kp0 y que 0 < bk+1 <
bk2 .
Habiendo fijado dicha sucesion, definimos ak = bk2 y λk =
(1bk
) 1p(ak)
. Observe-
mos que λk > 1.
Ahora, sean g (x) =∑∞k=1 λkχ(ak,bk) y h (x) =
g (−x) −1 < x < 0
0 0 < x < 1
Dado que p (x) ≤ p0 en (−1, 0) y λk > 1∀k ∈ N, y dado que(
1bk
) 1
p
(bk2
)− 1p0
<
2−kp0 , obtenemos
ˆ 0
−1
h (x)p(x)
dx =
∞∑k=1
ˆ bk
ak
λp(−x)k dx
≤∞∑k=1
(bk − ak)λp0
k
=
∞∑k=1
1
2b1− p0
p(αk)k
4.2. EL OPERADOR MAXIMAL DE HARDY-LITTLEWOOD EN Lp(.) (Ω) 62
∞∑k=1
1
2k= 1 <∞
A continuacion, tomemos x ∈ (ak, bk).Luego 2x+ bk < 1 ,dado que bk <13 ,de
lo cual seguimos
Mh (x) ≥ 12(x+bk)
´ 2x+bk−bk h (y) dy ≥ 1
4bk
´ −ak−bk h (y) dy = 1
4bk
´ −bk2
−bk λkdy = λk8
Ası ,
Mh (x) ≥ 1
8
∞∑k=1
λkχ(ak,bk) (x) , x ∈ (0, 1)
Por consiguiente ,ˆ 1
0
(Mh (x))p(x)
dx ≥ 1
8
∞∑k=1
ˆ bk
ak
λp(x)k dx
=1
16
∞∑k=1
λp(αk)k bk
=
∞∑k=1
1
= +∞
Como ejemplos de ϕ (x),proponemos ϕ (x) = −ln−α (sin (x)) ,donde 0 < α <
1y ϕ (x) =(ln(ln(e+ 1
xβ
)))−1, donde β > 0
A continuacion veremos que condiciones debe satisfacer p (x) para que el ope-rador maximal resulte acotado
Teorema 76. [3] Dado un conjunto abierto Ω ⊆ Rd y p (.) ∈ P (Ω)que satis-face
|p (x)− p (y)| ≤ C
−ln |x− y|x, y ∈ Ω/ |x− y| ≤ 1
2
|p (x)− p (y)| ≤ C
ln (e+ |x|)x, y ∈ Ω |y| ≥ |x|
Entonces, p (.) ∈ B (Ω),es decir ,el operador maximal es acotado en Lp(.) (Ω)Este teorema se puede consultar en [4]aunque utilizaremos la demostracion pro-
puesta por [9],que utiliza condiciones equivalentes:
Teorema 77. Sea 0 < α < d y sea p (.) una funcion tal que 1 < essinfx∈Ω
p (x) ≤
p (x) ≤ esssupp (x)x∈Ω
< dα .Sea q (x)definida por la relacion 1
q(x) = 1p(x) −
dα
Entonces,
Mα (f) (x) ≤(M(|f |
q(.)p(.)
dd−α)
(x))1−αd
(ˆΩ
|f (y)|p(y)dy
)αd
es valida para toda f medible
4.2. EL OPERADOR MAXIMAL DE HARDY-LITTLEWOOD EN Lp(.) (Ω) 63
Demostracion. Sea B ⊂ Rd una bola. de centro x . .Teniendo en cuenta quep(y)q(y) + αp(y)
d = 1,
1
|B|1−αd
ˆB∩Ω
|f (y)| dy =1
|B|1−αd
ˆB∩Ω
|f (y)|p(y)q(y) |f |
αp(y)d dy
Ahora, por aplicacionde la clasica desigualdad de Holder :
≤
(1
|B|1−αd
ˆB∩Ω
|f (y)|p(y)q(y)
dd−α dy
)1−αd (ˆB∩Ω
|f |p(y)dy
)αd
≤(M(|f |
q(.)p(.)
dd−α)
(x))1−αd
(ˆΩ
|f (y)|p(y)dy
)αd
Estas condiciones son equivalentes a :
Teorema 78. Sea p (.) ∈ P(Rd).Son equivalentes
i)p (.) ∈ B(Rd)
ii) p (.) ∈ B(Rd)
iii)p(.)q ∈ B(Rd)si 1 < q < essinf
x∈Rd
p (x)
iv)(p(.)q
)´
∈ B(Rd)si 1 < q < essinf
x∈Rd
p (x)
Como corolario de76 podemos concluir el siguiente corolario
Corolario 79. Bajo las condiciones del teorema 76,Mαf (x) ≤ ‖f‖1−pq (Mf)
pq (x)
Demostracion. La demostracion es inmediata usando la desigualdad de Holder
Ejemplo 80. Sea p : R→ R, p(x) = a+ 1x2+1+b , con a > 1 y b > 0. Entonces,
si f ∈ Lp(.), Iα (f),Mα (f)y M (f) pertenecen a Lq(.)
Para esto ,basta comprobar que
|p (x)− p (y)| ≤ C
−ln |x− y|x, y ∈ R/ |x− y| ≤ 1
2
|p (x)− p (y)| ≤ C
ln (e+ |x|)x, y ∈ R |y| ≥ |x|
|p (x)− p (y)| =∣∣∣ 1x2+1+b −
1y2+1+b
∣∣∣Por el teorema de Lagrange ,∃s ∈ int (x, y) /
∣∣∣ 1x2+1+b −
1y2+1+b
∣∣∣ = |x− y|∣∣∣ −2s
(s2+1+b)2
∣∣∣= |x− y| 2|s|
(|s|2+1+b)2
≤ |x− y| 2(1+b)2 = |x− y| 1
16
(1+b
3
)−32 −ln|x−y|−ln|x−y|
Sea Fb : [0,+∞)→ R, Fb (u) = u(u2+1+b)2
Observemos que ,para cada b > 0 ,Fb alcanza su maximo absoluto en√
1+b3 y
0 ≤ Fb (x) ≤ 116
(1+b
3
)−32
4.3. TEOREMAS DE EXTRAPOLACION 64
Definamos F :[0, 1
2
]→ R, F (u) =
0 u = 0
−ulnu u > 0
Trivialmente, F ∈ C([
0, 12])
. Un simple analisis da como resultado que 0 ≤F (u) ≤ e−1 si u ∈
[0, 1
2
]En resumen,
∣∣∣ 1x2+1+b −
1y2+1+b
∣∣∣ ≤ 122 1
16
(1+b
3
)−32 e−1 1
−ln|x−y| = 116
(1+b
3
)−32 e−1 1
−ln|x−y|
Ahora verifiquemos que |p (x)− p (y)| ≤ Cln(e+|x|) x, y ∈ R |y| ≥ |x|
Comencemos por observar que si |y| ≥ |x|,y2 ≥ x2 y por consiguiente,, y2 + 1 +b ≥ x2 + 1 + b,
ası que∣∣∣ 1x2+1+b −
1y2+1+b
∣∣∣ = 1x2+1+b −
1y2+1+b ≤
1x2+1+b=
1x2+1+b
ln(e+|x|)ln(e+|x|)=
e+|x|x2+1+b
1e+|x|
ln(e+|x|)ln(e+|x|)
Afirmo que e+|x|x2+1+b es acotado superiormente ∀b > 0.
En efecto, para cada b > 0, sea Gb : [0,+∞)→ R, Gb (u) = e+uu2+1+b
Esta funcion alcanza su maximo en x =√
1 + b+ e2 − e y es√
1+b+e2
2(√
1+b+e2−e)
Luego, e+|x|x2+1+b
1e+|x|
ln(e+|x|)ln(e+|x|) ≤
√1+b+e2
2(√
1+b+e2−e)1
e+|x|ln(e+|x|)ln(e+|x|)
Analizando la funcion F (u) = lnuu en [e,+∞),obtenemos que F (u) ≤ 1
e ,de tal
forma que e+|x|x2+1+b
1e+|x|
ln(e+|x|)ln(e+|x|) ≤
√1+b+e2
2(√
1+b+e2−e)1e
1ln(e+|x|)
Luego, si f ∈ Lp(.), Iα (f),Mα (f)y M (f) pertenecen a Lq(.)
4.3. Teoremas de extrapolacion
Para exponer estos resultados necesitamos una definicion previa, que daremosa continuacion
Definicion 81. Diremos que p(x) y p´(x)son exponentes conjugados si ∀x ∈Dom (p) , 1
p(x) + 1p´(x) = 1
La relacion entre pesos y espacios Lp(.),donde p : Rd → [1,+∞]donde esssupx∈Rd
p (x) <
∞ esta dado por los dos teoremas y el corolario que incluimos a continuacion y quepueden consultarse en [3] y en [9].,que desarrollaremos a continuacion
Teorema 82. Sea 0 < α < d y sea p (.)una funcion que verifica 1 < essinfp (x)x∈Rd
≤
p (x) ≤ esssup (x) <∞x∈Rd
y sea q (x) que verifica 1q(x) = 1
p(x) −αd
Entonces la siguiente desigualdad es valida para toda funcion f :
Mαf (x) ≤(M(∣∣∣f p(.)
q(.)αd−α
∣∣∣ (x)))1−αd
(ˆRd
|f (y)|p(y)dy
)αd
Demostracion. Sea B ⊂ Rd una bola de centro xy teniendo en cuenta quep(y)q(y) + αp(y)
d = 1 ,
1
|B|1−αd
´B|f (y)| dy = 1
|B|1−αd
´B|f (y)| dy = 1
|B|1−αd
´B|f (y)|
p(y)q(y) |f (y)|
αp(y)d dy
≤(
1|B|´B|f (y)|
p(y)q(y)
αd−α dy
)1−αd (´Rd |f (y)|p(y)
dy)αd
≤Mαf (x) ≤(M(∣∣∣f p(.)
q(.)αd−α
∣∣∣ (x)))1−αd (´
Rd |f (y)|p(y)dy)αd
4.3. TEOREMAS DE EXTRAPOLACION 65
Una aplicacion directa de este lema nos permite obtener la acotabilidad deMαen los espacios Lp(.)
Teorema 83. Dada una familia F y un conjunto abierto Ω ⊆ Rd, supongamosque para algun 0 < p0 <∞ y para todo peso ω ∈ A1ˆ
Ω
f (x)p0 ω (x) dx ≤ C0
ˆΩ
g (x)p0 ω (x) dx
conf, g ∈ F ,donde C0depende unicamente de p0 y la constante A1 de ω.
Si p (.) ∈ P0 (Ω)verifica :que p0 < essinfp (x)x∈Ω
,y que(p(.)p0
)´
∈ B (Ω) , enton-
ces,
‖f‖p(x),Ω ≤ C ‖g‖p(x),Ω
La relacion entre espacios Lp(.) y la integral fraccionaria se basa en el siguienteteorema, tambien desarrollado en [3]
Teorema 84. Dada una familia Fy Ω un conjunto abierto de Rdcon la pro-piedad que para algun p0 y algun q0,tales que 0 < p0 ≤ q0 <∞∀ω ∈ A1,(ˆ
Ω
f (x)q0 ω (x) dx
) 1q0
≤ C0
(ˆΩ
g (x)p0 ω
p0q0 (x) dx
) 1p0
Dado p (.) ∈ P0 (Ω) con la propiedad que p0 < essinfp (x)x∈Ω
≤ esssupp (x) < p0q0q0−p0
x∈Ωy definida q (.) a traves de la ecuacion 1
p(x) −1
q(x) = 1p0− 1
q0, x ∈ Ω
Si(q(x)q0
)´
∈ B (Ω) , entonces ∀f, g ∈ F tal que f ∈ Lp(.) (Ω)tenemos que
‖f‖q(.),Ω ≤ C ‖g‖p(.),Ω
Corolario 85. Sean p (.)y q (.) /p ∈ P (Ω) , esssuppx∈Ω
< dα ,esssupq
x∈Ω< ∞ y
1p(x) −
1q(x) = d
α
si existe q0/d
d−α < q0 < ∞ con la propiedad que essinf q(x)q0
x∈Ω≥ 1 y que
esssup qq0x∈Ω
<∞ tenemos que
‖Iαf‖q(.),Ω ≤ C ‖f‖p(.),Ωy que
‖Mαf‖q(.),Ω ≤ C ‖f‖p(.),Ω
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