Upload
dargen
View
236
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/6/2019 Tesi Tensegrity
1/88
U N I V E R S I T P O L I T E C N I C A
D E L L E M A R C H E
F a c o l t d i I n g e g n e r i a
C o r s o d i I n g e g n e r i a C i v i l e
D i p a r t i m e n t o d i A r c h i t e t t u r a , c o s t r u z i o n i , s t r u t t u r e
S t r u t t u r e T e n s e g r i t y
M e t o d i d i a n a l i s i e d i r i c e r c a d i f o r m a
R e l a t o r e L a u r e a n d o
o F p z o h e h o q i x y i i
A n n o A c c a d e m i c o 2 0 0 7 - 2 0 0 8
8/6/2019 Tesi Tensegrity
2/88
8/6/2019 Tesi Tensegrity
3/88
R i n g r a z i a m e n t i
h d o n z l n o n m n n o o n l l d
F
w o l l o G i u l i o G e n o v e s e m o n d l
m l n d o n l o ( @ o o l o l A m d o
o l m n l o m o m n o d o m F
s l m o m o M a r c o C a m e r a n e s i l n m o o n z o n l l m E
m l 9 n o m D n l l n o l n l o d l
g d o F
v m m S i l v i a S o c i n o v i D m m n D
m d o n l o n n d o n o n m
n n o d o n z z l o F
v 9 n n A n d r e a M i c h e l e t t i o z o o n l d l d z o n D
l 9 o d l l o o n d m n l l o m n o n d l n
o F
s l m o l o D o F F a b r i z i o D a v D l ( d o n m n l o o m
l o d o d n o m n o o n n F
8/6/2019 Tesi Tensegrity
4/88
8/6/2019 Tesi Tensegrity
5/88
I n d i c e
I n t r o d u z i o n e 1
1 S T A T I C A E C I N E M A T I C A D E L L E S T R U T T U R E R E T I -
C O L A R I 7
I F I h ( n z o n d l m o d l l o m m o F F F F F F F F F F F F F F F U
I F P v o l d w l l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F W
I F Q v 9 o n F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I H
I F Q F I v 9 o n l l n F F F F F F F F F F F F F F I P
I F R v n z z z o n l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I Q
I F R F I w n m d l o F F F F F F F F F F F F I R
I F R F P h o m o z o n l o n o l d l l m d E
l o F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I T
I F R F Q i ' d l l o n o n F F F F F F F F F F F F F F F F F I V
I F S l d l l 9 l o F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I W
I F T w o d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F P I
I F T F I h o m o z o n l o n o l l o l l m E
n o l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F P P
I F U s n z o n n o d n d m n m F F F F F F F P Q
I F U F I i m l ( z o n ( F F F F F F F F F F F F F F F F F P R
I F V n o l n o n l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F P S
I F W i ' n o n l n F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F P V
2 R I C E R C A D E L L A F O R M A 3 3
P F I w d d n d o z F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Q Q
P F I F I w d o m F F F F F F F F F F F F F F Q R
P F I F P d l l m d d n d o z F F F F F F F Q R
P F I F Q n o l o m F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Q S
P F P e l o m o l d o m F F F F F F F F F F F F F F F F Q T
8/6/2019 Tesi Tensegrity
6/88
8/6/2019 Tesi Tensegrity
7/88
I n t r o d u z i o n e
v o l t e n s e g r i t y @ l n z z l n n n o A D d d l l o n z o n
d l l d o l n l 9 t e n s o n l n e g r i t y 9 F v m d ( n z o n d
n d d p l l X
` A s s e m b l a g g i o d i e l e m e n t i t e s i e c o m p r e s s i i n c u i g l i e l e m e n t i t e s i s o n o
c o n t i n u i e q u e l l i c o m p r e s s i d i s c o n t i n u i '
d ( n z o n o o l n l l z z d l l n F q l
l m n o m D o m n d o n n n m d o n n o D o n o d o l
m n m o n d n l D n o n o l l l m n n o n n d o
o l m d n l o o n o l F s l m l n n d
o l m m o F x l m o d l l 9 n o d m o n n
d d ( n z o n l o l o u n n n l o n D o d l n o
n @ p F I p F P A d l l F
p I X x d l o d n l o n D d l o
I
8/6/2019 Tesi Tensegrity
8/88
P I n t r o d u z i o n e
p P X x d l o d n l o n
x l l 9 n n l l 9 m o n ( o l o d P I H m
d l n g o h o m n D p l o d @ p F Q A F v 9 d l
n z z l n l l p F R F
v o l n n l o o d l n n m o d n ( o D n
n o o n o m l n n d l l F x l E
n l o o n o n o m n o l l d ( n z o n d p l l D m l l
n X
` S t r u t t u r a r e t i c o l a r e p r e t e n s i o n a b i l e c h e i n a s s e n z a d i p r e t e n s i o n e l a b i l e ,
m e n t r e r i g i d a e s t a b i l e s e p r e t e s a '
o l n n o l o o o n o d E
m D o m n o m l d o n o l l n d o
l n o n l m n o l l o o l n z z F s n p F S n E
8/6/2019 Tesi Tensegrity
9/88
I n t r o d u z i o n e Q
p Q X n g o h o m n
p R X m l d n o n
8/6/2019 Tesi Tensegrity
10/88
R I n t r o d u z i o n e
o l 9 m o d n n o o d m n o n l d l o n o l l n d o l
l n z z d l m n l l F
p S X n o ( d m n o n l
x m o o n o l l z o n d l l d l n l m o d l E
l 9 n n o z l F o n d n l l o z o m o l o
m l o n o n o l o o l m o o n o d n o F
v 9 n z d n d n o l m o l o l o z o n F
n 9 l o l l z o n l o z o n d l m n
o l m o n l D o m d m o n d o n ( o d
m o o n n l o n o d l l l m n l F
v n n n o d n d o l F n d o m E
m m n d D l d z z d m n m l z z d l l n o n
n o n m o l o l F x o n o n o n d l m n l z z l d o l 9 z o d l l
n d n o l o m n n o l m F
s n o l l o m n o n l m n D d o n d o
l d l 9 l o n n z d n o n F
8/6/2019 Tesi Tensegrity
11/88
I n t r o d u z i o n e S
g o n o n o l m n l F q l m n o n n o
d o z o n o n o m o l o n D m n n o m o d o m l d d o d
D o o o l n d o l l 9 m o d n o
l n l F q l l o m d d l l o m n n o n o l m o
m l D o o n d l l 9 m l o d m o d l l m n F
v o o o d o n n m o d o n l d n l d
@ m o o l o A d m o d d d o m @ o n d o o l o A F
x l z o o l o n n o o n l n m n m d l z o n d
m o d F
8/6/2019 Tesi Tensegrity
12/88
T I n t r o d u z i o n e
8/6/2019 Tesi Tensegrity
13/88
Capitolo1S T A T I C A E C I N E M A T I C A D E L L E
S T R U T T U R E R E T I C O L A R I
1 . 1 D e n i z i o n e d e l m o d e l l o m a t e m a t i c o
d ( n o l n n m o n n o d l n @ m b a r r e A
o l l n o d n @ n o d i A F s l n m o d l l n d o o n b
m n
l n m o d n o d j
@ d l l 9 n l j o i n t A F
l m n n o d o n o m m n n o z o l d o d m n o n @ o
n l m n d n l o d m l ( z o n ( A D l l o o o z o n
n d ( n d l l o o d n l n d d n o F e d m o l o o d n
d l n o i
E m o o o n o m xi ; yi ; zi o x1i ; x2i ; x3i F x l
o n o d n o o z o n x d d m n o n 3j @ 2j n l l o z o d m n o n l A D m n d o
xi n o m o n n F h l n o d o l l d n d n o n d z o n o n o
l o z n n o d l n o n o n F v m o o n o
n d n o f d d m n o n 3j F v o n d D o n n n o n o D n n o d ( n o m o o n o n
l n z z l
d l l F g o m n o o 0 n d n E
o n m l m n o m n o n F s l o d l l n o n t d d m n o n
bF v n o n o d z o n F
v l n m @ d l d l l A n d n n o n
o n d z o n o n o l o m n n o d l D o n z z n n o d d E
m n o n 3j
m m o d @ d d i s p l a c e m e n t A D l 9 l l n m n o d l l
F m l m n l l n o n tD l 9 l l n m n o d ( n o o m l o E
d o o l n z z d l l
l l n m n o F o o d d m n o n
b m o eD d e l o n g a t i o n F q l o m n n o d l o o n o
( n n d o n l n d m d l l o o d n d n o d D o
U
8/6/2019 Tesi Tensegrity
14/88
V S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i
o m n o m l o n l l n z z d l l F s n ( n m o n E
d l o m o l o o l d l l l n z z d l l F s l
l l n m n n n o ( n n l m o o D n l o n d o o o n o d E
n l l n m n n ( n m d l m o o d n D d l o n d o o d n
d o d n o F
d ( n a u t o t e n s i o n e l o t n o n n l l o n l o n
n z d n f @ d p F I F I A F
p I F I X i m o d o n o n
d ( n m n m o ( n o l o m n o ( n o d n o n m E
l l n z z d l l F n m n m o n ( n m o n n l
o m n o n ( n m o d l l l n m n e n ( n m d l
o n d o o d n F s n p I F P o n o m l ( d d m n m F
p I F P X i m d m n m
i 9 o o n o d ( n n o l o d m n m o D l m o t o r i g i d o D
n m n m o d o l n m m o n o m o z o n d n l z o n
8/6/2019 Tesi Tensegrity
15/88
S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i W
d n o z o n F o n o o l m o d n d n d n @ n l l o z o
d m n o n l A F x o n o l l m n o o d m n m o D
m n o n o n n o d n o d n o l n @ n l l A F
o n n o l n m n n o m l d l z o n
l n F h o k
l n m o d n o l D n o o n o o n l m o l E
l D o f = Vf d = VTd F v m V n m (3j k) 3j
F v 9 z o n d l n o l o m n m d n d o d
o m n n d o l l o z n l l m d m d z o n F h n n o d
m m o l n o l o d l z o l d l l o l d d
f d o o z o l F x l l 9 l o n n o l n o o
d n D l m V o n o l n d o d l l m d n
d o d n
3j o n n D o o n d n l l d z o n d l
n o d o n o l o F s n n z d n o l V l 9 d n F
s l o d o o l f d l l o o d l l o z n F n n d o o n o d n o l m n o m f VTd = Vf d = f d F
v z o n d l l 9 n n n d l o d o o l
dEint =t deF
d ( n n ( n EiAi/l
3i l d z z d l l i E m @ m o E
A F E
dA
o n o m n l m o d l o l o d l m l o n
l l 9 d l l z o n F v d z z m n E
l z o n l n o n o n l 9 l l n m n o m d n n l m o o F
ti = (EA/l
3)iei F l z o n D o l m n D o m t = He D d o H n m d o n l d d m n o n b F
s n o m o d l l o m m o d o n n o d ( n l o n d z o n d E
l o d o m l D o o o d l l l z o n l l n o E
d o n o l l n d l l o z n o d n l l l
l l n m n n o o m l o n l o m n n o d l F
1 . 2 L a r e g o l a d i M a x w e l l
i 9 n o o D d l l n z d l l o z o n D n n o l
o n l m n o T n o l n m d o n o m o d D d o l o D o
b = 3j k@ I F I A
o o z o n n o o m r e g o l a d i M a x w e l l F i o n o
d l l z o n o l n o l n l n n o l o n o
n 0 n o d o n d n D o d n o n ( z o n o o l o
d l l o n d o z o n o m d n o d d l l
F
8/6/2019 Tesi Tensegrity
16/88
I H S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i
h o m
l n m o d m n m l n m n n d n d n d s
l n E
m o d o n o n l n m n n d n d n o l n l l D n
o o m l z o n d o l d o n d n d o l
o m n o l ( n o l d n z d n D n d n d o n o n d E
z o n l n m o 0 d l n o l D m o rA F v d rA
n o d A
D n d m o n o l l n z z z o n d l n o o
o l m n o d d l l m l l o l o d l n o l d
l o m o m n o d l l F X
s = b rA m = 3j k rA @ I F P A h d z o n o n l n l z z z o n d l l r e g o l a d i
M a x w e l l X
b = 3j k + s m@ I F Q A
s n o l s = m
n o d d l o l d
w l l m n o l l l n o F
1 . 3 L ' a r c o a t r e c e r n i e r e
m l o l o m o m n o d n o l
l d l m n m n n m l m o X l 9 a r c o a t r e c e r n i e r e F
o n m o l 9 o m m o o n d m o l n o d o n l
n o z d n n f
l F m n o l l p I F Q F
p I F Q X e o n n o n l l n
o n l 9 l o d l n o d o n o n o l l n o
o d n o n F n o d
l o o m n o l d l n o d o D e
t
l 9 l l n E
m n o l n o n n d l l d F o n n d o f
n d
8/6/2019 Tesi Tensegrity
17/88
S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i I I
n d
m o l o o l D @ o d n l d ( n z o n d t
de
n l F I F I A X
f = t 2he = d h @ I F R A
n d o n o n o n d z o n n m l o m o n n d l l o z f
d l o m n d
D l I F R o o n o n l l n o m
m l X
f1f2 =
h ha
a
t1t2 @ I F S A
e1e2
=
h ah a
d1d2
@ I F T A
o o
f = At e = Bd @ I F U A
v m A n o o m m a t r i c e d i e q u i l i b r i o D m n B l m a t r i c e
c i n e m a t i c a F o A = BT F o n d o n n z d l p r i n c i p i o d e i l a v o r i v i r t u a l i @ l d m o z o n n l o n l d
n l F I F R F I A F w n d o n ( n n o o l l m o o D X
t =
EA/l3 0
0 EA/l3
e = He @ I F V A
o n l l I F U o
f = AHB d = AHAT d = Kd @ I F W A
v m K = AHAT n d l n o m d m a t r i c e d i r i g i d e z z a d n m d m m F l n o n l l
K n l D
o
d = K1f @ I F I H A
x l n o o o X
K = 2EA
l3
h2 00 a2
@ I F I I A
8/6/2019 Tesi Tensegrity
18/88
I P S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i
1 . 3 . 1 L ' a r c o a t r e c e r n i e r e a l l i n e a t e
x l o n h = 0
l 9 o d n l l D n n o l n o n o
l l n F n o n m o n o n o n o l l l n m n d l o n d o o d n
d l l D l o n o l o o z o z z o n l D n o n l F
d m o n l d l o o d F
p I F R X e o n l l n
o n m o n z l m n n o n n o o d n o n F v 9 l E
l n m n o d n
e = l
l2 + d2 l
= l2
1 +
d2
l2 1
@ I F I P A
o n n d o d
o l o D o m
1 + d
2
l2 o n
1+ d2
2l2 D o n n d o
e =d2
2@ I F I Q A
h l l m o o o n l n o n t
n d l l d
t =EA
l3 d
2
2@ I F I R A
s n ( n D d l l 9 l o
f = 2t l dl
=EA
l3 d
2
2 l d
l= EA
d3
l3@ I F I S A
v o d n d z z n o n l n D d l z o o d n F o
n ( f m o l o o l @ n ( n m d l m o o d n A D d m o l o n d o d
f@d
n ( n m o d o d n I G Q A F v d z z l n
n l l D d n n o d l o l l l F
s n o d n o n l o m n o F n l o l d
n o o d o n o n D l n n z d o z n F n
o l s = 1 ; m = 1
F o n m o l l n d E
n n o n t0 D n d o t0 n n o n n o n n ( n m n
n d l l d F h o o l 9 l z o n d l l o z f
l I F I R I F I S
d n n o m n
8/6/2019 Tesi Tensegrity
19/88
S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i I Q
t = EAl3
d2
2+ t0 @ I F I T A
f = EAd3
l3+ 2t0d @ I F I U A
s n o o l d z z l n F v 9 n d l l o
o m n o d l l o o o d n d l l o z F
i 9 n n n o l d z z o o o t0 F x l o
n t0 < 0 l 9 o n l l n l o m o D l d z z
d n n F o ( m n n l D n ( l
o z n o o m n o o o o d D o m n d o l o o n o F s n
n z d l n l o n l D o o l E
z o n l d l n o d o n l n o o m n o d l l o z o n
d l o D n o n n n o o z o n m n d o n o n o
l o m o n n n o n l n d l l l n m n d l l n o n F
1 . 4 L i n e a r i z z a z i o n e a l g e b r i c a
x l l 9 n n l o l d l o m o m n o d n E
n l l 9 n o n o d l l o n ( z o n n z l D o n n d o l o m n E
o l n d l d n o n m l o n ( z o n o m d l l F
m n n o n o n o l n ( n m m m n d o z o n
n d o n o l d n n z d n o n F s n o o
n l z z n n o n d l o n n l F I F Q F
g o m n o n m o d l l o m m o D d o n o d l l n z o n
n d n o l m o d l l o o m l o n l l F o n n o l X
l d@ I F I V A
n z o n m d o m l l l n m n e o n n E
z o n l n d dD o l d l o n d o o d n o m n l F I F U F
v o n o n o n o n o d n o d n d n d z z n d d l l
o z l D d l l n o n d o d o F x l l o n d t =t0 + t
o n t0 t F v 9 o n o n d n o d n d n d z z
o l d l l m o o D o o
t0 EA/l @ I F I W A 9 l m n z o n n d n m o l m l l
n o n d o @ n d l n o n l l A m o l o n o l
m o d l o l o F s n o l m d m n n o n l l n z z d l l
8/6/2019 Tesi Tensegrity
20/88
I R S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i
m d o o l n o n D n m o d o d o l l m o o
H o n F
r n 9 l o n n z m o l o m o n F d m o n l E
d z z o l d n o m m d n d z z l D o o z o n l
l m o d l o l o d l m l D d n d z z o o z o n l l l n E
o n D n d n l n l o n o n d m n m n ( n m d
d F o n d n d o n m l d z z ( n D l d z z d n
m n m o m m o l o m n o d l l d z z l F
o o n d l d n l o o m l o n n o n m
l d z z o n o l n n l o m n F
1 . 4 . 1 M a t r i c i c i n e m a t i c a e d i e q u i l i b r i o
g o n d m o n n o d o n o n n o l o D o n o n o l
I D P D F F F D
l o z f = (fx ; fy ; fz) F s l n o d o o o d n x ; y ; z
l l n o d d l l n n o o o d n xi ; yi ; zi D o n 1 i F o n
n n o n
ti F o n o n o z o n d l o X
i=1
(x xi)ti = fxi=1
(y yi)ti = fyi=1
(z zi)ti = fz
@ I F P H A
z o n o o n o n n o d o D o n n d o l E
m
At = f @ I F P I A
s n o d n d o n o l X
VAt = Vf @ I F P P A
o n n d o VA = A
At = f @ I F P Q A
v m a t r i c e d i e q u i l i b r i o A d m n o n (3j k) b F y n o l o n n d A n n F x l o n o l n o o d n
D o n o l o n n m n n o n n l l d o o d d D d
8/6/2019 Tesi Tensegrity
21/88
S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i I S
z o n d l l o n o o n n o d F o
A = A(x) n z o n l n d l l o z o n xF n o n l m n n d o D o m A = A(x) F v l n E
d l l m d l o n l l o n ( z o n o m n d
o n n z d l l 9 l o l o o n o n l n z z d l l
o m m o z z n l o o n o n l F d m o n o
A(x) o m l o d o o d n n o d l z o o d n l o o z o n xF
o n d n o n n n o d P
Q
l o
l l n m n o e
n n z o n d l o m n n o d l dPx D dPy D dPz Y dQx D dQx D
dQx d l l o o d n xP D yP D zP Y xQ D yQ D zQ
e = (xPxQ)(dPxdQx)+(yPyQ)(dPydQy)+(zPzQ)(dPzdQz) @ I F P R A
z o n n o n n d o l E
m
Bd = e @ I F P S A
h ( n n d o l m a t r i c e c i n e m a t i c a B = BVT
Bd
= e@ I F P T A
o A = BT F s l p r i n c i p i o d e i l a v o r i v i r t u a l i ' m D n n l o n ( z o n l D l z o n l d l
o m n dd l z o n d n n n d n F s n
m o l
t de = f dd @ I F P U A o n d o e d f D o n t Bdd = At dd D d n ( n
A = BT
@ I F P V A
v m A n o o l n Rb @ z o d l l n o n A R3jk
@ z o d A F v o d l o o l n o d A o
o o z o l F e d o n n o d d n 9 n z o n
D n 9 n z o n n m D n d o A = BT
F
v o s p a z i o c o l o n n a o i m m a g i n e d A l o z o n o d l l o l o n n D
n d o n s m AF v d m n o n l n o d A @ rA A F h l n o d o n l o z n o d l l o n
n z m m n d o m F o n n d o l l o s p a z i o r i g a d BD o z o
8/6/2019 Tesi Tensegrity
22/88
I T S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i
o m o o l l o z o d l o m n n o d l n o l l n m n n l l
F
g o m l m n o o o o n l o z o l o s p a z i o n u l l o s i n i s t r o d AD
n d o o n u AT D n l o z o d l l o z n o n o o n o
l l l m n n n d o l n l o D d d m n o n
m = 3j k rA F v 9 n z o n n m l o s p a z i o n u l l o d BD o o l 9 n m d o d o o n d e = 0F o z o l 9 n m d l o m n n o d l o n o m n m F
v o s p a z i o r i g a d AD d d m n o n rA D n n l n E o n l d o n o l d n F n d o n s m AT F
o n o l o l l n z o n o n D l o o n o n l
d l l n o m n z o n l n d l l d o z o F g n m E
m n l o s p a z i o c o l o n n a d B l 9 n m d l l l n m n d l l
n o l o m l d n o l F
v o s p a z i o n u l l o okernel
d A l o m l m n o o o o n l d l d n D
n d o n u AF r d m n o n s = b rA F n l 9 n m d l l o n o n l l l F g n m m n l o s p a z i o n u l l o
s i n i s t r o d B o o l l l n m n o n o n o m l
o n l o n ( z o n n z l F
s l o n z z o n F I F I F
S p a z i o d i
AD i m e n s i o n e I n t e r p r e t a z i o n e s t a t i c a I n t e r p r e t a z i o n e c i n e m a t i c a
S p a z i o c o l o n n a
R3jkrA
C a r i c h i c h e p o s s o n o e s s e r e
e q u i l i b r a t i d a
t
S p o s t a m e n t i c h e c a u s a n o a l -
l u n g a m e n t i n e l l e b a r r e
S p a z i o n u l l o s x
R3jk
m = 3j k rA
C a r i c h i n o n e q u i l i b r a b i l i n e l -
l a c o n g u r a z i o n e i n i z i a l e
M e c c a n i s m i
S p a z i o r i g a
RbrA T e n s i o n i p o s s i b i l i i n a s s e n z a
d i a u t o t e s n i o n i
A l l u n g a m e n t i c o m p a t i b i l i
d e l l e b a r r e
S p a z i o n u l l o
Rbs = b rA A u t o t e n s i o n i A l l u n g a m e n t i i n c o m p a t i b i l i
d e l l e b a r r e
l l I F I X o o z o l d l l m n m d l o
1 . 4 . 2 D e c o m p o s i z i o n e a i v a l o r i s i n g o l a r i d e l l a m a t r i c e
d i e q u i l i b r i o
z o l o o n o l m n d m n l o l n d o l d e -
c o m p o s i z i o n e a i v a l o r i s i n g o l a r i d A
D n o n h @ d S i n g u l a r
V a l u e D e c o m p o s i t i o n A F
v h o d n n m A
d d m n o n m n
l
m B, C, D
d d m n o n m n m m
Dm n
dn n
l
X
8/6/2019 Tesi Tensegrity
23/88
S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i I U
A = B C DT
v m
B
D o n o o o n o m l F
C d o n l F
q l l m n
Cii l l d o n l d C o n o n o n n d o d n n o d n n o n n l d
iF
q l l m n l l d o n l d C
o n o m l o n o l d A
D
m n l o l o n n d B
d D
o n o m m n o n o l
n d d A
F x l o A
m m d ( n n o n n D
B = D
F
v h d l l m d l o
A = DETT@ I F P W A
d l o m n d n ( I F S
p I F S X h o m o z o n l o n o l d l l m d l o
v m D o m o d d m X
D =
D D
@ I F Q H A
v o l o n n d
D
D m d d m n o n
3j rA D o n o n o o n o E m l d l l o z o d l o m n n o n o n o m n m Y l
m o l o n n
d D o n o n m n m F
v m T o o m o X
T =
T T
@ I F Q I A
v o l o n n d T D m d d m n o n b rA D o n o n d l l n o n l d o z n n z o n o n D m n l l d T D
d d m n o n b s
D o n o n d l l o z o d l l o n o n F
8/6/2019 Tesi Tensegrity
24/88
I V S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i
v m A o m n l o l o n n d T n l l l o l o n n
d D
D o o D
= AT
F s n D o l n d n m n l l
o o n o m l n d d n o o z o l o d n
m D l h n d n D n l n o o o m l m D T D n
o o n o m l m n o o o n l n d o o l o m z o n F
1 . 4 . 3 E e t t i d e l l e a u t o t e n s i o n i
o n d l ' d n d l l o o d o n o n D o m E
m o o l 9 o n l l n D o n n o n o d l o E
m n @ n ( n m A d l l F m o l I F P H l
I F P Q n n z o n n o n o l o d l l o z o n d n o d
xm n d l o o o E
m n dF v m o l o n l n d d d l o o n ( o d l l
l o o z o n xF
i=1
(x + dx xi dxi)ti = fxi=1
(y + dy yi dyi)ti = fy
i=1
(z + dz
zi
dzi)ti = fz
@ I F Q P A
f = A(x + d)(t0 + t)
@ I F Q Q A
s n 9 l m z o n l n o n t o m o m m d n
o m o n n ( n d n o n t0 d n o m o n n d o o o n l
n ( n m t F q l l l n m n o o n o n D n d o
n ( n m d o d n o l m o D o m
e = e0 + e = e0 + A(x)
Td @ I F Q R A
i m n n d o l I F Q P D o d n d o A(
x)
t0 = 0
d t o n o
n ( n m D n d o l n ( n m d o d n o l m o o m o
o m l I F Q Q n
f = V(x)t + V(d)t0 @ I F Q S A
g o n n n d n n o d l z o o d n lmn d d m n o n 3jb3j n l n d
l d
n n o d d l d n o d d l l
@ Q o o d n n o d o A d m
l F o n lmn = 1 l = n l n o d o o n o n l l
mF lmn = 1 l d n
8/6/2019 Tesi Tensegrity
25/88
S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i I W
n n o l o o d n d d n o d d l l m
F l l
m n o n o n l l F
o o n o d n d o l o d l l o o l o d l l
o l D n o n d l l o m F s n o l n n o m m o n l m o
z o n d F g o n x
d
n n d o n o D o n m n o l l o l d
i n n l o m m o n l n d D l m lmnxn lmndn F g o m
l ( o n m l l o l n d o l I F Q P o n n o d o D
A(x + d) = V(x + d) = V(x + VTd)F o n n d o lnm = lmn o d n d o t
= He = HATd o m o l I F Q S o m
f
= ( (V x)H(V x)T
+ V
t0 VT
)d
@ I F Q T A
e d n l d z z d l l l l o m m d
n d z z l K = AHAT
d n d z z d n o n =
V t0VT
D l n n t0 F o m m o D n l m
m m F
o m o n m o l m o d o m n n l l o m m d = d + d F d
n m o d o m n n o n n n m n m o @ ATd =0
A D n n o z o o l d d m n o n rA F d
n m n m o
@ ATd = 0 A l o m l m n o o o o n l D d d m n o n mF m n o l l m d d l l F I F I F
f = Kd + (t0)(d + d) @ I F Q U A
o n o n d n d d l l m o o D m o l o d l l E
n o n F
v m K m m m d ( n n o n n D d n o rA Fv m d d z z d n o n n n ) m n m
l l d o m z o n F i 9 o o n o n d l o o l o n d z o n
@ o o l l o d t0 A l d z z o m l n o o m l o
d o F i 9 o m n n d n l m n m d
n n o
d d (t0)F
1 . 5 S t a b i l i t d e l l ' e q u i l i b r i o
h n o l m
o l l l d s
o l D o o l
o n d z o n o l o n n o n l d c n d o
d z z d ( n o c
s o o o o n l d d o o n o D n d o l m o l o
n l F I F R F P o m
8/6/2019 Tesi Tensegrity
26/88
P H S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i
d
= D
drA @ I F Q V A
d = Ddm @ I F Q W A
z o n m o n o d n l z o l d n l l
m d d l l F I F I n n z o n d m drA dm F
n o l X
K = AHAT = (DETT)H(DETT)T = D (ETTHTET) DT @ I F R H A
x l l 9 l m z o n l o d o o d m n n m
(3j k) (3j k) o d n l o o d o J d d m n o n rA d
m n n l l X
K = D
J 0
0 0
DT
@ I F R I A
i m m o o l 9 o n o n t0 o m o m n z o n l n d l s E o o z n d n d n F
t0 = T
ts@ I F R P A
o o = (ts) F v m DD n n l D n o n d l o n F y n d o D n d o D o o n o m l D =D(DTD)DT D o m o
K + (ts) = D
11 + J 12
m22
DT = D (ts) D
T@ I F R Q A
h ( n m o o l o d d m n o n 3j k
d
= drA
dm @ I F R R A
o d = Dd
D n d = DTd
F e 0 n l d z z o m l E
l d n d
dT
(ts)d > 0 d = 0 @ I F R S A
o D l n d o ts n z o l o @ n o d o o n l I F I W A D
n m o d o l d n o n l l o o z o
K l d n o n d n m n l F h o m o
8/6/2019 Tesi Tensegrity
27/88
S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i P I
n d o n n l l o z o d m n m d n d o l o 22 D
o n n d o D o n m n o l l I F R R D drA = 0F
n d 22 n n z o n d m ts
22(ts) = DT(ts)D
@ I F R T A
v m 22 o m n z o n l n d s m D n o d n l m n o d ts F n d
22 =s
i=1iti @ I F R U A
v m i o n o m d d d m n o n m n o o n d n d n d l l o o d n o n D l o l l o n d o n l l I F R T l
o ts o n l m n n l l n n n o l I F
v n o d l l m n d n o n
ts = [t1, t2, . . . , ts]T F F dTm
si=1
iti
dm > 0 dm = 0 @ I F R V A
1 . 6 M o t i r i g i d i
l d l d z z d n n o n n o l D
n d d o m o d F o o n m n
o o n l m n o l V D n o d n d o n o l m d o n o
m o d F n d o o d
o o n d n T m o d @ Q
n l n o A l n m n n d n d n d o n l F l l z o n
o l I l o m n di n l l o o n d z o n F l o z o n
o n o l l 9 x
l o l n o l o m n d o n n o d o n l n m o d o X
(dx, dy, dz) = (x,y,z) (1, 0, 0) @ I F R W A s n 9 l m z o n
x,y,z o n o l o o d n d l n o d o D
n d
l o d o o o l F v l d o z o n o n o n o m o l l n d o
(0, 1, 0)
(0, 0, 1)F g m d1, d2, . . . , d6 o m n @
o m A D n d n o n d z o n n m d n d d m n o n
3jF l m n n o d m n m n l n
n m n o l n o n o m d m o d F g m ui l
m D o n d o n
8/6/2019 Tesi Tensegrity
28/88
P P S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i
ui 6
j=1
djui dj|dj |2 @ I F S H A
d o |dj| n d l m o d l o d l o dj F o n l d o l m n
o n l 9 o o n o m l z z z o n d l l 9 n m d o o n F
n l n o l o m d m o d D n d o
l n D n o n o l o D n n o d n d @ l n m n A d l l o m xF
o V = V(x) F
1 . 6 . 1 D e c o m p o s i z i o n e a i v a l o r i s i n g o l a r i p e r c a l c o l a r e l a
m a t r i c e v i n c o l a r e
s l o d m n o n o o n l z z o o n l m E
n o l d m o m d D n d d d l F s n D
o m d ( n V D n o n o m m d o l d l o m n m d E
d n o l l l z o n d ( n o n o l d l l m n o l F
s n o l n n o m o l n o l D o o n o ( l o n o E
d o n d n F g o n d m o n d l m
V
D d d m n o n
k3j d o o n n n o o m n o
d m d o @ o l n m n n o z
f o l A F l o m n m d o n o l n m n n d n d n V
d d m n o n (3j k) 3j
F
l o l V D l o l l d e c o m p o s i z i o n e a i v a l o r i s i n g o l a r i d
V X
V = V1V2VT3 @ I F S I A
e o n o n d o n o n o n d z o n l o l o n n n V2 n l l D
o n o n o l d V d l l 9 n m d l o n o l d n V3 F
v 9 o z o n d m n l d V o n n o o n o m l d l l o z o
n l l o d V F
o m n n o n 9 l n d ' n z o n l m o d o d o n l l I F S H D
d o l h d n m l o l o n n o d m n o m l F s l
n o o n l o m o l o m m l o o D o m
d m o M a t l a b D m o n o d ' l h o n n n o l o o m n d o D
m n d o l d m o l d o d @ d l 9 e F e F P A F
8/6/2019 Tesi Tensegrity
29/88
S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i P Q
1 . 7 I n t e r p r e t a z i o n e e n e r g e t i c a e o r d i n e d e i m e c -
c a n i s m i
i 9 n n n l d l o I F R d n n o d
n o D o n l l 9 o d n d n ( n m o o n m n
o o n ) n z n o l 9 n n n d n d l l F v
D n d o n n z l m n t = t0 D d o o l 9 n n o d l l o z f n t = t0 + t
F
m o l l l n m n e l m n n n z o n d l l o m
x d l l d l o m n n o d l dF g o n d m o l ( n n
o l l n n o d I P F g m m o xi di l o o d n l o o E
m n o iE m d l n o d o @ ia I D P D Q n l l o z o d m n o n l Y = 1, 2A F o n
xi = xi1 xi2 n l o m n d ( n di F v l n z z n z l d l l
l =3
i=1(xi)2
D m n l l ( n l
3i=1(xi + di)
2F
X
e = l
3
i=1
(xi + di)2 l
@ I F S P A
w d n l o m l d l o D o l n o m z o n l
o n d o o d n o dD o n n d o D n o m o l D
e =
de
dd
d=0
d + 12!
d2e
dd2
d=0
d d @ I F S Q A
i n d o l o l d ( n n d o l n o d d m n o n b 3j 3j
ijk = jik @ I F S R A
n
e = (x)d +1
2(d)d @ I F S S A
v 9 n n D o n n d o f n d d n ( n m D o m
n n z o n n ( n m d l o n d o o d n
Eest = f d @ I F S T A
v 9 n n n n D d ( n n d o l l H n l o t = 0 d = 0
Eint = t0 e + 12
t e @ I F S U A
8/6/2019 Tesi Tensegrity
30/88
P R S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i
n o o n o d l l I F S S D d l l m o o t = He D d n o l d =
VTd d l l l z o n
x d = ATd D l n d o n ( n m d o d n o l o n d o o d D n
Eint = t0 (ATd) + 12
t0 ((d)d) + 12
d (AHAT)d @ I F S V A
x l l o d l l 9 l l n l 9 n n n m n n z o n
d o m o n d l o m n F s l m o d d n d o n l l I F S V d
n d n l l o D l d n l l o n d z o n d l o l
n o n X At0 = 0 F h o n d o n o l z o n l n Eint
Eest D o n n d o l z o l d o d o n l I F Q T F e m o n d m o n d n z l 9 n n n n n ( n m o
d l o n d o o d n o d F x l l n z d l l o z o n l
l o d o o d d n ( n m d l m o o d n D o o l l l n m n
l n o n d l l D n m l n n d F s n o d n o n
n n n l o d o o d n n o n ( n t0 n d n d n d
d d n n n ( n m d l o n d o o d n
12
(d)dF
o d m o n l n m n m o o n o
d @ o n d z z o l A o n n n o n o n o m n E
m n ( n m d l m o o d n D o o l l n o n l l n m n o
d l l d l o n d o o d n n o n o o n o o n d m n E
m ( n F l m n D n o n l l n n d o l D n o n o n o n o
l l 9 m n o d n o n z l n n F s m n m d o d n o
l m o n o n o n o d l d l l n o n n n n o n o
n l l d z z o n n o d n o l m o F
n d ( n o m n m o n ( n m o d l m o
o d n n d o n o n o n l o d o m n F
o n o n n l D n l n o o n o o n m n m
n ( n m d l m o o d n n o n d l d l n o n o n d l l
F
1 . 7 . 1 E s e m p l i c a z i o n e g r a c a
o d o n ( z o n ( d n o o o F
o n d n P Q
D m l d l n z z n D m m n l
n o d m n o n l D o d n n o n ( n t
F s l n o d o P
( o D
m n l 9 l o o n P
d n n d = (d1, d2) D n d o d1 d2 m n l o o m n o n l l d z o n d l l n l l d z o n
n d o l F m n o l l p F I F T F
8/6/2019 Tesi Tensegrity
31/88
S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i P S
p I F T X e l l n m n E i m l ( z o n (
s l n o d o P
n l o o o l n o n t
D n n o o n
n o l @ n o n n d n ( A n 9 D l o l n o F
v 9 l l n m n o d l l o m o o n n l l n m n o n ( n E
m o d l m o o d n d1 D n n l l n m n o n ( n m o
d l o n d o o d n F o l l n m n o d 1/2 d22
o l n o n n o n n ) n z l o m o m n o d l l
n l l d z o n d d1 F o n n o D n d o l l m l o l n D
n o n m o n l o o n z l D m o l o l z o n d n o n l
n o l l o o m n o F s n l l m l o l n
d l l n o n o 9 l D m o l o d n o
n o n F
h o o d o l n l d z o n d2 D n d o l l l F
v n o n D l m o o d n D m n n D l 9 l l n m n o d l
o n d o o d n F l n o n ( n t
m d d z o n o m
n o m o n n t
d l l o z n l l d z o n d d2 F o z n
o z n ( n m o o z o n l d2 D d m o n l o d z o n @
d z z o l A F
1 . 8 V i n c o l i t e n s i o n a l i
x l d ( n l m o d l l o m m o d l o m o m n o d n D
n o o l l d l l l z o n l n o n l l F
g o n d m o d m o n d m n o n l o d
n o d A
DB
C
o l l d n n o d o P
d n n o F l o
o n ( z o n m o l o o l D l n o n m n m l o l d
w l l d 3 = 2 46+s
F i 9 n d o l n o n o n F l
n o P
n n o l n o l o ABC
l 9 o n o n d z o n
l F o n m o o d d l l @ d m o AP
8/6/2019 Tesi Tensegrity
32/88
P T S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i
P B
A n o o d n n o n F v o l z o n
d m o o n n o l @ d p F I F U A F
p I F U X n o l n o n l
n n o l o n o n l F n o t1 t
2 D l n o n l E
l 9 l m n o AP B CPF v n o n o n o o o n o d l l n X
tAP = t
1lAP+lPB
lAP
tBP = t1lAP+lPB
lBP
tCP = t2
@ I F S W A
g o nl
n n d l l n z z d l l l F
s l n o l o n o n l n o d n l l F h n o l D l
d n o F n o l o z o n d l n o P
D n
l o n n z d n o C
o CP
n n l l 9 l l d o
A B n PD n n o l l l n o l @
s = m = 1A D d l d n o n F
o o n o m m n n z o n o m l D o m d m o
n o o l l m d m o o D o d n o
l o o o F s n n l n o l n o n l o o n o
d l z o n l n d o n o l o z o d l o l t d n o
o o z o F X
t = St @ I F T H A
8/6/2019 Tesi Tensegrity
33/88
S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i P U
v m S d m n o n b
(b
)
D n d o
l n m o d n o l
n o n l F
v 9 z o n d SD o l l o d l l n o n D n l
o d l e F m o n m n o l l p F I F U D e1 = (lAP + lPB)
eAPlAP
+ eAPlAP
e2 = eCP
@ I F T I A
z o n o o n o o n l l z o n d l d l l I F T H
e = STe @ I F T P A
s l l m o o HD d m d d d m n o n b
D d n d
d m n o n b
D m o n t = He F v z o n d n n n m n d l o d o o l
t deF n X
t e = t STe = St e = t e@ I F T Q A
s n o l n o n l o m n o l m d l o A = V x nA = V x S
v d z z K d o m n d n l l I F Q T d n
K = (V x S)H(V x S)T @ I F T R A
v m
S n o l d l l d z z d n o n
D o E
m n d o l n
= V (St0) VT
@ I F T S A
o D m n n o l n m V
o o n o d l n m o
d m n m n n o d o n o d d l dD l n o l o l l
n o n S
m n n l n m o F s n d l n o d K
D n
n o o l m HD d n o b D o n n d n o b F n o d l n o n D V m n l n m o d E
o n o n o l D n n o d l d AF s l n o l o l l n o n
o n m n o o X n o n d o n n 9 o n o n
t0D n
o l n o d o o l n o l o n o n l D o n l l o m St D
n d l n m o d l l o n o n n d n d n d o o F
o n o l n o n l d o n o n l n m o d l l D l
o l d w l l I F Q d n
b = 3j k + s + m@ I F T T A
x l l m o d l n d l n o l o n o n l n o n
l n n l l o m xF
8/6/2019 Tesi Tensegrity
34/88
8/6/2019 Tesi Tensegrity
35/88
S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i P W
e = ATd + 12
dd + . . . @ I F U I A
y m o X
n m n m o o m n z o n d l l o l o n n d D l l n m n
n l l d l o n d o o d n o o l F
n o o m n o o m n z o n d l l o l o n n d D d o d l l
d z z l K
D l l n m n d l m o n l E
m n d l o n d o o d n o o l F
x l o d o o eTHe m n d l o n d o o d n n d n o n E
d z z d l m o o d n F s m n d l z o o d n D d D d n n o n
d z z d l o n d o o d n F m n o o n o o n o l o o E
m o d o o d n m n d l m o m o l l o n m n d l o n d o
o d n n eD o o d n l l n m n o d n d n o o m n o n o n
n m n m o @ d l o DdrA A d n o o m n o n o F n l
I F T U D o m n D n n o o n DdrA o l o F
m n o n o d o n d m n d l o o d n F m l 9 o E
I F T U D o n d n o o l o m n d n d l o d o o d d l l n E
m n o n n m n m F y n d o l I F U I d d o
m n m l o m
(12
dd) H(12
dd)D d o
d n m n m o F
n o n m n o n o o d o o d n m n d l m o o d n
@ o n n d n n o n m n m o A n m n d l z o F
m n d o o m o n d d D o o o D l d z z
o l d n o m l d X
n d z z l n KD o o z o n l d H d l o E
m n DdrA F
n d z z l n D o o z o n l t0 m E
n m l l o z o o o o n l F i n d o l l m o o m o l o
n d d l l n o n D d d z z o
l d n o n m n m DdrA F
n d z z d l z o o d n d l o m n m n m
Ddm F
d ( n n d X
Kd(4) =1
2(dd) H(dd) @ I F U P A
8/6/2019 Tesi Tensegrity
36/88
Q H S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i
s l n o d l o o d n K
d m n o n (3j)4
d m m o n
o n d F o d n d o d = VTd D d ( n l n o d d m n o n (3j k)4
l
Kd(3) =1
4
d
dd(Kd(4)) @ I F U Q A
o o
Ki1i2i3i4 = Ka1a2a3a4Vi1a1Vi2a2Vi3a3Vi4a4 @ I F U R A
n d
f
= (K + )d
+ Kd(3)
@ I F U S A
o l z o n D l o l n o l m n m n m n m D
m l d m n z o n d l o dm F e l ( n o n o l o z
f l l o z o d m n m @ n o n d d KA D m o l l n d o n
DT
o n d o fm = D
TfF m l I F T U o m
l m n DTKd(3) o n Kmd(3)m D d o Km n n o d d m n o n m
4
l
K(Ddm)(4) = Kmd
(4)m @ I F U T A
o
Km,i1i2i3i4 = Ka1a2a3a4D
a1i1Da2i2D
a3i3Da4i4 @ I F U U A
o n X
fm = DTDdm + Kmd
(3)m = 22dm + Kmd
(3)m @ I F U V A
s n z o n fm n o o F l o l dm l o d E
m n o o d N e w t o n - R a p h s o n F d ( n l n z o n
fm(dm) = 22dm + Kmd(3)m @ I F U W A
n l o l n d l m d n X
(dm) =dfmddm
@ I F V H A
h l m m d Km
(dm) = 22 + 3Kmd(2)m @ I F V I A
o n n d D o n n d o n l X
8/6/2019 Tesi Tensegrity
37/88
S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i Q I
dm,0 =
122 fm
dm,n+1 = dm,n (dm,n)1(fm(dm,n) fm) @ I F V P A
l n o n o m l m n d d l l n o n l m
22 n o n n l F o m n l o l dm,0 d o m o n n d o 22 =PPT o n d o n l l m d o n l l o l o n l l o n d
m o l o l o o l o l l o F
o l o n o o n d n l ' n o n l n n o n m n m D
o n o n o d l ' d l o d n D n n o d l
n o n D o o o n l l I F T W d m n l 9 o n I F S P F
d o n d l l m o d o d N e w t o n - R a p h s o n l l 9 n o o d
n o n o l o m n m D d m n n d o l d n d l l n z o n f(d) F o l n o n l l 9 l o m o d N e w t o n - R a p h s o n
n o n o n D n o n n o l n l 9 n d l l o l z o n F
8/6/2019 Tesi Tensegrity
38/88
Q P S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i
8/6/2019 Tesi Tensegrity
39/88
Capitolo2R I C E R C A D E L L A F O R M A
x l m o o l o m o o d l l 9 n l d n o l
d ( n F n d o d l l o o l o d l l o m x m o n l z z o
o o l o n d z o n n 9 o o z o t o m n d n F
s n o o n d o o l o ' o n m o l o l m n o F m o
d l l o o l o d l l d n l l d l l 9 o n o n
m o d d o m l l n m n o l l
l n o n F
n l l n d l l z o n D o n n o l n m E
n o n d n d n d l l o n ( z o n o m xF s n o l o n
n o n n o n n o l n o n l F
2 . 1 M a t r i c e d i d e n s i t d i f o r z a
v o n d z o n d n o n l At = 0 l t = 0 F n d o A l m n n n z o n d l l o m xD d l l o o l o
d n o l V o n o X
f
= V(x)t = 0@ P F I A
p o xD l m o m m o d z o n l n n tD m o m o
n ( t xD o n n d o l n z o n l n n xX
f = V(t)x = 0 @ P F P A
v m
Z = V(t) @ P F Q A
Q Q
8/6/2019 Tesi Tensegrity
40/88
Q R R i c e r c a d e l l a f o r m a
n d l n o m d m a t r i c e d i d e n s i t d i f o r z a D d d m n o n (3j
k)
3j F o = ZVT D n n z d n o l n m = ZFi 9 o l o l o l z o n
xd l m
Zx = 0 l o l n d o n l
n o rZ n d d n d o n l o z o n l l o F
2 . 1 . 1 M a t r i c e d e i c a r i c h i g e o m e t r i c i
o n m o d n o l l d F s n
n z d n d = 0D f = Z(x + d) = Zx = 0F e E l m o n o o m n o n ( n m o dD o n n d o D l o z o n
n ( n m D m n n l l n o n l l F o n f = Zd
F
v m d n d o z n d n d n l l o l o n n l o z l
n o n o d n o d o d n n o o m n o dF
d n m n m o o m l o n n o l D o m o o
d = VTd = VTDdm @ P F R A
d
f = ZVTDdm = Ddm = dm @ P F S A
v m = D D d d m n o n (3j k) m m m a t r i c e d e i c a r i c h i g e o m e t r i c i l d m n o
mF v
o l o n n o n o l o z o d o n o n o l l 9 l z o n d l l o
m n m o F
2 . 1 . 2 S t r u t t u r a d e l l a m a t r i c e d i d e n s i t d i f o r z a
w d n n d o m o z o n l o n o l o l
Z = WXUT @ P F T A
v o l o n n d U n n o n o o n o m l d l l o n ( z o n
o m
xF n o l o n n d
X n l l m o o o n l l
o l o n n d U n o n ( z o n o m l o n l 9 o o z o F
s n n l o o n n o o o n l m d l o n l F I F R F P
Z =
W W
X
UT
UT
@ P F U A
o m d ( n o D l o z o n l l o d Z o n n m n
o x n n o o n d n o d n n n o o l o F x l l o z o
8/6/2019 Tesi Tensegrity
41/88
R i c e r c a d e l l a f o r m a Q S
d m n o n l l d m n o n d o z o n l l o n l F s n o l D
n d n Z V m m n l l d z o n D o m o n l n
l o d n F i 9 o l n d l U n m n l
o m d l o l @ n o n d m n o n A F o n
n n o n d n n n n l n o n n n o o n o m n D
n d l l d m n o n D l m n o n o d ' n d l l o l o n n
d U
F v 9 n d n d l l o l z o n n l n o n l o l
l 9 n F
s l o l l d o n l d l l m X o n o n d l D d
n o l d @ l l l l l o l z o n n l A D o n o m n l l F
n d 0 n n 9 o o z o n n d m n o n l o n
n o l m m n o
rZ 3j 12F v n l l d n R o n n o d l o X o l l l o n o l n l l o l o
l l o n ( z o n n l D m o o n o d o n ( z o n d o
n d n d z o n F x l n o d rZ 2j6F l
o n ( z o n D n l o o o m n z o n l n d m n l o m d l l
F i 9 n n n o o m n z o n l n
l m n D n d t o o z o l o m xD l o n
n l o m z o n 0 n F
s n n l D d o n o o n o n l t o n o n d o
n o m x l o n d o o z o F
n d o l l o d l l m
ZD l
d l l o m o n n d o n o l o l o o D o n n d o l m m n n o
z o m o n o d m n o n l @ n l n A F d d ( l
D l m V D o d n d o l 9 o n z o o l o D o n
d l l 9 d n o l n d o l l l l n F o l n
n n o l o m m o n l l d z o n F
2 . 1 . 3 V i n c o l i g e o m e t r i c i
v o d o d l l m Z n l z z n d o n n o l o l o o n o n o l
n o d o n o d n o l n m o n o l l l o m x n o n m m
n l l d z o n F s n o o d o l 9 n l d l l 9 n m D
m n n d o n n l l d l o n d z o n l n o n d n
n n n o F
s l n o l o o m o o n l m n d ' n d l n o l o n m E
o F s l m o n o l l o z o n d n o d n d o n o n o n d ( n l
o m d l l X d m o d n o n o d o o l E
l o o l l o o n o n d d o d l n o d F s l n o l o n m o
l @ d m o A n o n o d o D o n o F
8/6/2019 Tesi Tensegrity
42/88
Q T R i c e r c a d e l l a f o r m a
n o n d z o n d n o l o l n l l x o m x =
Gx F v P F P P F Q d n n o m n X
V(t)Gx = 0 @ P F V A
Z = V(t)G @ P F W A
v d m n o n d Z o n o (3jk)(3jg) D n d o g l n m o d n o l o m F s l o x d m n o n 3j g F
n d o x o m o d d m n o n j @ n o n d m n E o n A x = (xT, yT, zT)T D o l o n o l l z o n D l d o n d l n X
x1 = (11 1|0|0)T @ P F I H A x2 = (0|11 1|0)T @ P F I I A x3 = (0|0|11 1)T @ P F I P A
g o n l n n l F I F T o o n o l m n
o d l l o l o n ( z o n d o n GF
Q n o l o m D n d o m m n l l d z o n D o o n o
n n l l d z o n m o n o d m n o n l D l n n o
o l o F
2 . 2 A l g o r i t m o p e r l a r i c e r c a d i f o r m a
h ( n o l o o l o d n D l x l 9 o o z o t o o n o
o m l n l o X
I F h ti D l o l Z = V ti G d m n l h Z = WXU
TF
P F s n n z o n o n o l d U d l l o n o l n
XD l o l n o
xi
n d l n o o n ( z o n
xi = Gxi
Y
o n o l l 9 l m n o n d n n n n o F l o
n n o l d m n o n o o o n o o l n m n n d n d n D
d o n o n o n ( z o n d m n o n l F
Q F g l o l l m d l o A = V xi d m n l h A = DETT
F
R F s n n z o n d o n o l d T d l l o n o l
n ED l o l l o ti+1 F
8/6/2019 Tesi Tensegrity
43/88
R i c e r c a d e l l a f o r m a Q U
S F Ati+1
0
d l l o o l m n o n l n o n z l d o o
n m n o i d I F
s n o l o m o d d ( n o l n o d n o D
o l n o I n o l d ( n t1 D o l n o Q d ( n n d o n x1 F
e 0 n l 9 l o m o o n D n d n l d ( n n l l n m n
d l d x t d n P R F n m o o o
l l o n ( z o n l n o n n l o z m n o o n
l 9 l o F s n l l D n X d ED l o m n m D
o l l l o l o n n d U d TF o o l o z z l
o n n z D m d o o o n o l l o l l o F
n l o n n z l m o
xi+1
ti+1D n m n l D
d z o n n l m n d n ( o n m o d z o n n z l D
l m n o n d l l n m ( @ d m l
o n z o n A X
|Zi+1xi+1||xi+1| <
|Zixi||xi| @ P F I Q A
|Ai+1ti+1||ti+1| <
|A1ti||ti| @ P F I R A
s d m
o n o d n m m n o d l l 9 n d ( n o F
s l m o d o l o n l l n o n n l l d l l o n E
( z o n x d n o o o t F n o n o m n
m o d ( m o l o d 0 l x o d d ( l P F P F n
l 9 l o m o o o o D n n o d o n n z d n
n o n d n D o l m n l n z d n o o d o E
n o n F n o l n o l o m d l l o o n o o n o l l
l d l o n m o d o n l g F I F
2 . 2 . 1 S c e l t a d e l l a t e n s i o n e i n f u n z i o n e d i u n p r o t o t i p o
i n i z i a l e
s l m o d o o l l o l o d l l n o n d l l d ( n z o n d n o
o o o D o o d n o t l o n m n n o m F s n
m n n z d l o n o m z o n l l d o o
m l m n o n n d o l d I m n o n o n D
E I l l o n o n o n o m F n o n
l o l l m d n d o z n l l m z o n F
s n o n z o n D l o l l h d A(x) = DETT D n d n n o n o n d z o n l l m o n o l d n TD o o n d n d l o
8/6/2019 Tesi Tensegrity
44/88
Q V R i c e r c a d e l l a f o r m a
n o l n EF o m n o n l o n d o l m n l 9 l m
o l o n n D n n d o l l n l l o l n o d n F y n o l
n n o l o n n D l o l n d l o m n z o n l n d l l o l o n n
l m l o o m m n m d l n o n o o o F s l
o d m n o d l l o l o d l l n o n o n m n n d o D d o o
n o n n m o o o l o d o l o n n D n o n o d d l P F I R F
h ( n n d o l n o t
o m l 9 l m l o l o d d l P F I R D o d
n d o n l l o l o d Z = Z(t)
2 . 2 . 2 S c e l t a d e l l a g e o m e t r i a
v l d l l o m l m o l o d l d l l l d l l n o n D
o o n o n d ( n o n o o o d o m n d @ n l l
o o n m n m l l l d l n o n A
l m n o l n o n o n o m m n l l d z o n F x l o G
V n o m m l o n ( z o n n d n d n F
s d n l o l m o n ' o n o n o X
v n o n d d n n n n o o n
v l n z z d l l d n o n n l l
o n d z o n d o n o o d d n o n o l o o n xi D m n
l l m d l l o n d l l x n d l o d m n o o F
v m o n d z o n d d l l 9 n z ( d n E
d m n o n l F s n D n d o o l n d m n o n l
l m n d n o l m m n n o z o d m n E
o n D n z n l o l o m o n n o z o
d m n o n m o n d m n o n F
v o n d o n d z o n d d l l n o d ( n z o n d n o n F E
o d @ d l d ( n z o n d t n l F I F I A l n o n n l n
o 0 n d n o n D o o l o o n o n l n z z d l l E
F n l n z z d l l n d z o D o l d ( m n
o o n o D m l n l n o t
o n D l n o n l d
n ( n o D o o m n m n n d m n F
x l l n l o d m n o o l l o l o d l l o n ( z o n
o n @ d l 9 e F e F I A n l n m d o n d d l l l m o l o n n
d l l m GUF d l o n d o l o l 9 l m o l o n n D n E
n d o n n l m n n l l o l n o n o n o o d d l o n d z o n
d n o n d n z o n d l l o n ( z o n F s l o n l o n m n
o o z o n l l o d o o d d l X
8/6/2019 Tesi Tensegrity
45/88
R i c e r c a d e l l a f o r m a Q W
I l l o n o l d l l l o l o n n F
I l o m m d d d l l l n z z d o n
l d o d l l o n ( z o n o n o o n l l n E
z z d l l n o m o n l o n o l n n o l l
n l l F m n l m n l o d m n o m d l o n @ d l
g F Q A F
l o n o l l o o n l l P F I Q D d l n d o l 9 z o n d l l
o n n z l l l d l l n o n o n n o n o l l o d l o P F I R F
2 . 3 R i c e r c a a n a l i t i c a d e l l a f o r m a
v 9 o o d d l l o m ( n o d o d o d o n m E
o F x d o n @ l o o l o d l l n o o o
d n o n A d l l n n l l o d D m
l o n o d n o o o n o l l o l l o D l m o l l d ( E
n z o n d n o o o o m o d n o n d l l m n o l
G F
9 l m o n o l o n o l d o l n D n d n o n o n m l n
d o o n o d o l n o n o d n d o z o n n o n
l n F n m o n n o l o ( l l n z z d n o
D o l d m n o n d n d l l n o F
v n l d l l o m n o d m n o D d o o d ( E
n o l o m x m d n n n z o n n n o n l n d n l m o
n m o d m D l l l l z o n m n o
l n z d n o o z o F i n d o n o d m n o n o n d o n l
n d d n d n d o o D l o l o n l o m o
o d m n n d o n m o F
2 . 3 . 1 S t r u t t u r e t e n s e g r i t y t r o n c o c o n i c h e a d u n p i a n o
g o n d n o n o m d d o l o n o l d n
l @ n o n
n m n o n A n n d o n n z d o r1 r2 E
n d n l l l D o n n l l n n n d o l
d n D d n h
l 9 n o d l l 9 l o F s l d o l o n o n o n D
m n n o d d d o l o n o n o o l l l o o d n
n o n n
n F
v m m o z o n d 2/n
o n o l l o n n n
d n D n n o d l n o n l l F m
l 9 n o l o o m o d n n o B
d n o d d o l o n D l o n o D l
8/6/2019 Tesi Tensegrity
46/88
R H R i c e r c a d e l l a f o r m a
o z o n d l l 9 m o B
d l n o n AB
l n o d l o l o n o F
m n o l l p F P F I @ l l n o n o n o n A F
p P F I X n o n o o n
v 9 n o l o n n o d o l o
F m o o m d
l = 2k/n
D o n k
l o n m m n o d n/2
m o n n
Y
kd m o o n
n n n o n l d n n o d o l o
d o n o o n m l n F l k < n/2
n n o l
o n ( z o n k =
k = n
o n o l F v o n ( z o n o l o n o
n d (n)/2
D n d o (n)
l f u n z i o n e t o t i e n t e d i E u l e r o D o l n m o d
n m m n o d n
m o n o F
v o m d 2n
n o d d 4n
F l d o n o T m o
d D d l l o l d w l l o n m = s + 2n
6
F d m o
s = 1D d m = 2n 5Fg n d o n m d m n o n o n
OD o n n d
A =(r1, 0, 0)Y B = (r1 cos , r1 sin , 0) Y O
= (0, 0, h)Y
A = (r2 cos , r2 sin , h) YB = (r2 cos( + ), r2 sin( + ), h)
v m m o z o n m l l l n d l l d o z
Ad n
AC d
AB n l l d z o n d
AOF e 0 n l n o
A
n l o n o n d n A,O,A, B
n o o m l n D
o o l o d o o l o d o OA
DOA
OB
n l l o F i n d o
l o l o n l l z o n
8/6/2019 Tesi Tensegrity
47/88
R i c e r c a d e l l a f o r m a R I
= 2
2@ P F I S A
s n o n ( l m n o OA
l l l o d AB
F
n o l n o o
o l o l o o d n d n o d D l o l
n d l m d l o l 9 o o z o d l F
e d m o n = 5
n n o (5)/2 = 4/2 = 2
o l D o o n E
d n k = 1; k = 2
D o o l l d o n ( z o n d l n o n o o l X
l @ p F P F P A l l @ p F P F Q A F
p P F P X n o n o o n D n o n o l o
2 . 4 D i s p i e g a m e n t o
n d l l l z o n d l l l o l d m o d ( l
o m d l l o n o l l n d o l l n z z d o l m n F v n
n n m d d ( n n m o m o d l o n o l l o d l l
l n z z d n F s l m o l o m o l n F n d o l
l n z z d l l n @ d m o o n n m l n l l o o n o l l o d n m o o D
o m l m n n d o l n A D o l d d n z F g o m E
o m n o n l o o o n n n o n l z z o d n
l o o n m n m o d l o F
8/6/2019 Tesi Tensegrity
48/88
R P R i c e r c a d e l l a f o r m a
p P F Q X n o n o o n D n o n o l l
2 . 4 . 1 L u n g h e z z a m a s s i m a o m i n i m a d i u n a b a r r a p r e t e -
s a
g o n d m o n d n D o n m o
n d n l l d z z l l d l l F i 9
n z n o n l n n d D l
d n n m n m o n o d o l l l l l o n n n o F
d n n o n n m n m o n l d m F
s n o l d m o l n n D n z o n
d n d m D m n n o n o l m n m d n z
o l F
p o m l m o d m o m o o o n o m m m n D l n E
d o m l d l n z d n o l F
t = [t1, t2...tb] n o o d o n o n D o n d m o t1 = 0F n o d o m n d l D o o e = ATdD ei = 0 i =1
D l l o n e1 = 0D o d n m n m o F s n l o t
n o D o l o m o n o n D n o m n m o d
l l n m n n o m l @ d I F I A F s l o e = [1, 0, 0 . . . 0]
n o n
n l l o z o d l l l n m n o m l D n n o t e =t1 = 0F n d n e1 = 0F
m o n n d o ei = 0 i = 1 D o n m o o l o n d o o d n F
8/6/2019 Tesi Tensegrity
49/88
R i c e r c a d e l l a f o r m a R Q
h l l I F S S D o d n d o n At = 0D o n
t e = t
ATd +1
2(d)d
= At d + 1
2d t d = 1
2d d @ P F I T A
d m o l o o l o n m n m o D d o o l o d l l
d z z d n o n F n d D l l @ o l d z z
o A D l 9 l m o m m o d l l P F I T o o F o e1 l 9 n o m n
n o n n l l o d eD d d t1 e1 > 0F o n ( n n o n ( z o n l l n E
n o n d o m n l D l l n z z d n
n l l n z z m n m m l o o l n o l o
l l n z z d l l l n o n m F n n o n n l n z z m m F
v o n d m o m d d ( n n 9 l o m E
o d o d d l l o m F h ( n n d o n o n ( z o n n z l x
E
n n d o d o n l n z o n n o n o n D o o n o l l n
m o o n d n o l l o l D m n n n d o l l n z z d l l
l ( F o o ( n n o n o n o o l m m n d
l n z z F
o m o d o m m n n n d l n o d n n E
o D n n o m d o m n m d n m n E
m d o n o l l o d l l l n z z F
2 . 4 . 2 C o n t r o l l o d e l l a f o r m a
s n n l D n d o d n o n ( z o n n d o n m n E
l l n z z d l l m n d l l n o D d 0 l m n
o n d l d n o n F v o n ( z o n ' E
d n l d m n o @ o l o o n o d m m n o A
d n d n n o n d d l l 9 l o d l l o z n l l l E
D m l o z o F n l o n o n l
o o n o n o n d l l o z d n z F
h n l m m n o d o m D l o l n d l l l o n E
D o n m o n d l l n l z o n n z o n d l l l
m o
li <