Tesi Tensegrity

  • Upload
    dargen

  • View
    236

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    1/88

    U N I V E R S I T P O L I T E C N I C A

    D E L L E M A R C H E

    F a c o l t d i I n g e g n e r i a

    C o r s o d i I n g e g n e r i a C i v i l e

    D i p a r t i m e n t o d i A r c h i t e t t u r a , c o s t r u z i o n i , s t r u t t u r e

    S t r u t t u r e T e n s e g r i t y

    M e t o d i d i a n a l i s i e d i r i c e r c a d i f o r m a

    R e l a t o r e L a u r e a n d o

    o F p z o h e h o q i x y i i

    A n n o A c c a d e m i c o 2 0 0 7 - 2 0 0 8

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    2/88

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    3/88

    R i n g r a z i a m e n t i

    h d o n z l n o n m n n o o n l l d

    F

    w o l l o G i u l i o G e n o v e s e m o n d l

    m l n d o n l o ( @ o o l o l A m d o

    o l m n l o m o m n o d o m F

    s l m o m o M a r c o C a m e r a n e s i l n m o o n z o n l l m E

    m l 9 n o m D n l l n o l n l o d l

    g d o F

    v m m S i l v i a S o c i n o v i D m m n D

    m d o n l o n n d o n o n m

    n n o d o n z z l o F

    v 9 n n A n d r e a M i c h e l e t t i o z o o n l d l d z o n D

    l 9 o d l l o o n d m n l l o m n o n d l n

    o F

    s l m o l o D o F F a b r i z i o D a v D l ( d o n m n l o o m

    l o d o d n o m n o o n n F

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    4/88

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    5/88

    I n d i c e

    I n t r o d u z i o n e 1

    1 S T A T I C A E C I N E M A T I C A D E L L E S T R U T T U R E R E T I -

    C O L A R I 7

    I F I h ( n z o n d l m o d l l o m m o F F F F F F F F F F F F F F F U

    I F P v o l d w l l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F W

    I F Q v 9 o n F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I H

    I F Q F I v 9 o n l l n F F F F F F F F F F F F F F I P

    I F R v n z z z o n l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I Q

    I F R F I w n m d l o F F F F F F F F F F F F I R

    I F R F P h o m o z o n l o n o l d l l m d E

    l o F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I T

    I F R F Q i ' d l l o n o n F F F F F F F F F F F F F F F F F I V

    I F S l d l l 9 l o F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F I W

    I F T w o d F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F P I

    I F T F I h o m o z o n l o n o l l o l l m E

    n o l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F P P

    I F U s n z o n n o d n d m n m F F F F F F F P Q

    I F U F I i m l ( z o n ( F F F F F F F F F F F F F F F F F P R

    I F V n o l n o n l F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F P S

    I F W i ' n o n l n F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F P V

    2 R I C E R C A D E L L A F O R M A 3 3

    P F I w d d n d o z F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Q Q

    P F I F I w d o m F F F F F F F F F F F F F F Q R

    P F I F P d l l m d d n d o z F F F F F F F Q R

    P F I F Q n o l o m F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F Q S

    P F P e l o m o l d o m F F F F F F F F F F F F F F F F Q T

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    6/88

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    7/88

    I n t r o d u z i o n e

    v o l t e n s e g r i t y @ l n z z l n n n o A D d d l l o n z o n

    d l l d o l n l 9 t e n s o n l n e g r i t y 9 F v m d ( n z o n d

    n d d p l l X

    ` A s s e m b l a g g i o d i e l e m e n t i t e s i e c o m p r e s s i i n c u i g l i e l e m e n t i t e s i s o n o

    c o n t i n u i e q u e l l i c o m p r e s s i d i s c o n t i n u i '

    d ( n z o n o o l n l l z z d l l n F q l

    l m n o m D o m n d o n n n m d o n n o D o n o d o l

    m n m o n d n l D n o n o l l l m n n o n n d o

    o l m d n l o o n o l F s l m l n n d

    o l m m o F x l m o d l l 9 n o d m o n n

    d d ( n z o n l o l o u n n n l o n D o d l n o

    n @ p F I p F P A d l l F

    p I X x d l o d n l o n D d l o

    I

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    8/88

    P I n t r o d u z i o n e

    p P X x d l o d n l o n

    x l l 9 n n l l 9 m o n ( o l o d P I H m

    d l n g o h o m n D p l o d @ p F Q A F v 9 d l

    n z z l n l l p F R F

    v o l n n l o o d l n n m o d n ( o D n

    n o o n o m l n n d l l F x l E

    n l o o n o n o m n o l l d ( n z o n d p l l D m l l

    n X

    ` S t r u t t u r a r e t i c o l a r e p r e t e n s i o n a b i l e c h e i n a s s e n z a d i p r e t e n s i o n e l a b i l e ,

    m e n t r e r i g i d a e s t a b i l e s e p r e t e s a '

    o l n n o l o o o n o d E

    m D o m n o m l d o n o l l n d o

    l n o n l m n o l l o o l n z z F s n p F S n E

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    9/88

    I n t r o d u z i o n e Q

    p Q X n g o h o m n

    p R X m l d n o n

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    10/88

    R I n t r o d u z i o n e

    o l 9 m o d n n o o d m n o n l d l o n o l l n d o l

    l n z z d l m n l l F

    p S X n o ( d m n o n l

    x m o o n o l l z o n d l l d l n l m o d l E

    l 9 n n o z l F o n d n l l o z o m o l o

    m l o n o n o l o o l m o o n o d n o F

    v 9 n z d n d n o l m o l o l o z o n F

    n 9 l o l l z o n l o z o n d l m n

    o l m o n l D o m d m o n d o n ( o d

    m o o n n l o n o d l l l m n l F

    v n n n o d n d o l F n d o m E

    m m n d D l d z z d m n m l z z d l l n o n

    n o n m o l o l F x o n o n o n d l m n l z z l d o l 9 z o d l l

    n d n o l o m n n o l m F

    s n o l l o m n o n l m n D d o n d o

    l d l 9 l o n n z d n o n F

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    11/88

    I n t r o d u z i o n e S

    g o n o n o l m n l F q l m n o n n o

    d o z o n o n o m o l o n D m n n o m o d o m l d d o d

    D o o o l n d o l l 9 m o d n o

    l n l F q l l o m d d l l o m n n o n o l m o

    m l D o o n d l l 9 m l o d m o d l l m n F

    v o o o d o n n m o d o n l d n l d

    @ m o o l o A d m o d d d o m @ o n d o o l o A F

    x l z o o l o n n o o n l n m n m d l z o n d

    m o d F

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    12/88

    T I n t r o d u z i o n e

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    13/88

    Capitolo1S T A T I C A E C I N E M A T I C A D E L L E

    S T R U T T U R E R E T I C O L A R I

    1 . 1 D e n i z i o n e d e l m o d e l l o m a t e m a t i c o

    d ( n o l n n m o n n o d l n @ m b a r r e A

    o l l n o d n @ n o d i A F s l n m o d l l n d o o n b

    m n

    l n m o d n o d j

    @ d l l 9 n l j o i n t A F

    l m n n o d o n o m m n n o z o l d o d m n o n @ o

    n l m n d n l o d m l ( z o n ( A D l l o o o z o n

    n d ( n d l l o o d n l n d d n o F e d m o l o o d n

    d l n o i

    E m o o o n o m xi ; yi ; zi o x1i ; x2i ; x3i F x l

    o n o d n o o z o n x d d m n o n 3j @ 2j n l l o z o d m n o n l A D m n d o

    xi n o m o n n F h l n o d o l l d n d n o n d z o n o n o

    l o z n n o d l n o n o n F v m o o n o

    n d n o f d d m n o n 3j F v o n d D o n n n o n o D n n o d ( n o m o o n o n

    l n z z l

    d l l F g o m n o o 0 n d n E

    o n m l m n o m n o n F s l o d l l n o n t d d m n o n

    bF v n o n o d z o n F

    v l n m @ d l d l l A n d n n o n

    o n d z o n o n o l o m n n o d l D o n z z n n o d d E

    m n o n 3j

    m m o d @ d d i s p l a c e m e n t A D l 9 l l n m n o d l l

    F m l m n l l n o n tD l 9 l l n m n o d ( n o o m l o E

    d o o l n z z d l l

    l l n m n o F o o d d m n o n

    b m o eD d e l o n g a t i o n F q l o m n n o d l o o n o

    ( n n d o n l n d m d l l o o d n d n o d D o

    U

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    14/88

    V S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i

    o m n o m l o n l l n z z d l l F s n ( n m o n E

    d l o m o l o o l d l l l n z z d l l F s l

    l l n m n n n o ( n n l m o o D n l o n d o o o n o d E

    n l l n m n n ( n m d l m o o d n D d l o n d o o d n

    d o d n o F

    d ( n a u t o t e n s i o n e l o t n o n n l l o n l o n

    n z d n f @ d p F I F I A F

    p I F I X i m o d o n o n

    d ( n m n m o ( n o l o m n o ( n o d n o n m E

    l l n z z d l l F n m n m o n ( n m o n n l

    o m n o n ( n m o d l l l n m n e n ( n m d l

    o n d o o d n F s n p I F P o n o m l ( d d m n m F

    p I F P X i m d m n m

    i 9 o o n o d ( n n o l o d m n m o D l m o t o r i g i d o D

    n m n m o d o l n m m o n o m o z o n d n l z o n

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    15/88

    S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i W

    d n o z o n F o n o o l m o d n d n d n @ n l l o z o

    d m n o n l A F x o n o l l m n o o d m n m o D

    m n o n o n n o d n o d n o l n @ n l l A F

    o n n o l n m n n o m l d l z o n

    l n F h o k

    l n m o d n o l D n o o n o o n l m o l E

    l D o f = Vf d = VTd F v m V n m (3j k) 3j

    F v 9 z o n d l n o l o m n m d n d o d

    o m n n d o l l o z n l l m d m d z o n F h n n o d

    m m o l n o l o d l z o l d l l o l d d

    f d o o z o l F x l l 9 l o n n o l n o o

    d n D l m V o n o l n d o d l l m d n

    d o d n

    3j o n n D o o n d n l l d z o n d l

    n o d o n o l o F s n n z d n o l V l 9 d n F

    s l o d o o l f d l l o o d l l o z n F n n d o o n o d n o l m n o m f VTd = Vf d = f d F

    v z o n d l l 9 n n n d l o d o o l

    dEint =t deF

    d ( n n ( n EiAi/l

    3i l d z z d l l i E m @ m o E

    A F E

    dA

    o n o m n l m o d l o l o d l m l o n

    l l 9 d l l z o n F v d z z m n E

    l z o n l n o n o n l 9 l l n m n o m d n n l m o o F

    ti = (EA/l

    3)iei F l z o n D o l m n D o m t = He D d o H n m d o n l d d m n o n b F

    s n o m o d l l o m m o d o n n o d ( n l o n d z o n d E

    l o d o m l D o o o d l l l z o n l l n o E

    d o n o l l n d l l o z n o d n l l l

    l l n m n n o o m l o n l o m n n o d l F

    1 . 2 L a r e g o l a d i M a x w e l l

    i 9 n o o D d l l n z d l l o z o n D n n o l

    o n l m n o T n o l n m d o n o m o d D d o l o D o

    b = 3j k@ I F I A

    o o z o n n o o m r e g o l a d i M a x w e l l F i o n o

    d l l z o n o l n o l n l n n o l o n o

    n 0 n o d o n d n D o d n o n ( z o n o o l o

    d l l o n d o z o n o m d n o d d l l

    F

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    16/88

    I H S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i

    h o m

    l n m o d m n m l n m n n d n d n d s

    l n E

    m o d o n o n l n m n n d n d n o l n l l D n

    o o m l z o n d o l d o n d n d o l

    o m n o l ( n o l d n z d n D n d n d o n o n d E

    z o n l n m o 0 d l n o l D m o rA F v d rA

    n o d A

    D n d m o n o l l n z z z o n d l n o o

    o l m n o d d l l m l l o l o d l n o l d

    l o m o m n o d l l F X

    s = b rA m = 3j k rA @ I F P A h d z o n o n l n l z z z o n d l l r e g o l a d i

    M a x w e l l X

    b = 3j k + s m@ I F Q A

    s n o l s = m

    n o d d l o l d

    w l l m n o l l l n o F

    1 . 3 L ' a r c o a t r e c e r n i e r e

    m l o l o m o m n o d n o l

    l d l m n m n n m l m o X l 9 a r c o a t r e c e r n i e r e F

    o n m o l 9 o m m o o n d m o l n o d o n l

    n o z d n n f

    l F m n o l l p I F Q F

    p I F Q X e o n n o n l l n

    o n l 9 l o d l n o d o n o n o l l n o

    o d n o n F n o d

    l o o m n o l d l n o d o D e

    t

    l 9 l l n E

    m n o l n o n n d l l d F o n n d o f

    n d

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    17/88

    S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i I I

    n d

    m o l o o l D @ o d n l d ( n z o n d t

    de

    n l F I F I A X

    f = t 2he = d h @ I F R A

    n d o n o n o n d z o n n m l o m o n n d l l o z f

    d l o m n d

    D l I F R o o n o n l l n o m

    m l X

    f1f2 =

    h ha

    a

    t1t2 @ I F S A

    e1e2

    =

    h ah a

    d1d2

    @ I F T A

    o o

    f = At e = Bd @ I F U A

    v m A n o o m m a t r i c e d i e q u i l i b r i o D m n B l m a t r i c e

    c i n e m a t i c a F o A = BT F o n d o n n z d l p r i n c i p i o d e i l a v o r i v i r t u a l i @ l d m o z o n n l o n l d

    n l F I F R F I A F w n d o n ( n n o o l l m o o D X

    t =

    EA/l3 0

    0 EA/l3

    e = He @ I F V A

    o n l l I F U o

    f = AHB d = AHAT d = Kd @ I F W A

    v m K = AHAT n d l n o m d m a t r i c e d i r i g i d e z z a d n m d m m F l n o n l l

    K n l D

    o

    d = K1f @ I F I H A

    x l n o o o X

    K = 2EA

    l3

    h2 00 a2

    @ I F I I A

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    18/88

    I P S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i

    1 . 3 . 1 L ' a r c o a t r e c e r n i e r e a l l i n e a t e

    x l o n h = 0

    l 9 o d n l l D n n o l n o n o

    l l n F n o n m o n o n o n o l l l n m n d l o n d o o d n

    d l l D l o n o l o o z o z z o n l D n o n l F

    d m o n l d l o o d F

    p I F R X e o n l l n

    o n m o n z l m n n o n n o o d n o n F v 9 l E

    l n m n o d n

    e = l

    l2 + d2 l

    = l2

    1 +

    d2

    l2 1

    @ I F I P A

    o n n d o d

    o l o D o m

    1 + d

    2

    l2 o n

    1+ d2

    2l2 D o n n d o

    e =d2

    2@ I F I Q A

    h l l m o o o n l n o n t

    n d l l d

    t =EA

    l3 d

    2

    2@ I F I R A

    s n ( n D d l l 9 l o

    f = 2t l dl

    =EA

    l3 d

    2

    2 l d

    l= EA

    d3

    l3@ I F I S A

    v o d n d z z n o n l n D d l z o o d n F o

    n ( f m o l o o l @ n ( n m d l m o o d n A D d m o l o n d o d

    f@d

    n ( n m o d o d n I G Q A F v d z z l n

    n l l D d n n o d l o l l l F

    s n o d n o n l o m n o F n l o l d

    n o o d o n o n D l n n z d o z n F n

    o l s = 1 ; m = 1

    F o n m o l l n d E

    n n o n t0 D n d o t0 n n o n n o n n ( n m n

    n d l l d F h o o l 9 l z o n d l l o z f

    l I F I R I F I S

    d n n o m n

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    19/88

    S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i I Q

    t = EAl3

    d2

    2+ t0 @ I F I T A

    f = EAd3

    l3+ 2t0d @ I F I U A

    s n o o l d z z l n F v 9 n d l l o

    o m n o d l l o o o d n d l l o z F

    i 9 n n n o l d z z o o o t0 F x l o

    n t0 < 0 l 9 o n l l n l o m o D l d z z

    d n n F o ( m n n l D n ( l

    o z n o o m n o o o o d D o m n d o l o o n o F s n

    n z d l n l o n l D o o l E

    z o n l d l n o d o n l n o o m n o d l l o z o n

    d l o D n o n n n o o z o n m n d o n o n o

    l o m o n n n o n l n d l l l n m n d l l n o n F

    1 . 4 L i n e a r i z z a z i o n e a l g e b r i c a

    x l l 9 n n l o l d l o m o m n o d n E

    n l l 9 n o n o d l l o n ( z o n n z l D o n n d o l o m n E

    o l n d l d n o n m l o n ( z o n o m d l l F

    m n n o n o n o l n ( n m m m n d o z o n

    n d o n o l d n n z d n o n F s n o o

    n l z z n n o n d l o n n l F I F Q F

    g o m n o n m o d l l o m m o D d o n o d l l n z o n

    n d n o l m o d l l o o m l o n l l F o n n o l X

    l d@ I F I V A

    n z o n m d o m l l l n m n e o n n E

    z o n l n d dD o l d l o n d o o d n o m n l F I F U F

    v o n o n o n o n o d n o d n d n d z z n d d l l

    o z l D d l l n o n d o d o F x l l o n d t =t0 + t

    o n t0 t F v 9 o n o n d n o d n d n d z z

    o l d l l m o o D o o

    t0 EA/l @ I F I W A 9 l m n z o n n d n m o l m l l

    n o n d o @ n d l n o n l l A m o l o n o l

    m o d l o l o F s n o l m d m n n o n l l n z z d l l

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    20/88

    I R S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i

    m d o o l n o n D n m o d o d o l l m o o

    H o n F

    r n 9 l o n n z m o l o m o n F d m o n l E

    d z z o l d n o m m d n d z z l D o o z o n l

    l m o d l o l o d l m l D d n d z z o o z o n l l l n E

    o n D n d n l n l o n o n d m n m n ( n m d

    d F o n d n d o n m l d z z ( n D l d z z d n

    m n m o m m o l o m n o d l l d z z l F

    o o n d l d n l o o m l o n n o n m

    l d z z o n o l n n l o m n F

    1 . 4 . 1 M a t r i c i c i n e m a t i c a e d i e q u i l i b r i o

    g o n d m o n n o d o n o n n o l o D o n o n o l

    I D P D F F F D

    l o z f = (fx ; fy ; fz) F s l n o d o o o d n x ; y ; z

    l l n o d d l l n n o o o d n xi ; yi ; zi D o n 1 i F o n

    n n o n

    ti F o n o n o z o n d l o X

    i=1

    (x xi)ti = fxi=1

    (y yi)ti = fyi=1

    (z zi)ti = fz

    @ I F P H A

    z o n o o n o n n o d o D o n n d o l E

    m

    At = f @ I F P I A

    s n o d n d o n o l X

    VAt = Vf @ I F P P A

    o n n d o VA = A

    At = f @ I F P Q A

    v m a t r i c e d i e q u i l i b r i o A d m n o n (3j k) b F y n o l o n n d A n n F x l o n o l n o o d n

    D o n o l o n n m n n o n n l l d o o d d D d

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    21/88

    S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i I S

    z o n d l l o n o o n n o d F o

    A = A(x) n z o n l n d l l o z o n xF n o n l m n n d o D o m A = A(x) F v l n E

    d l l m d l o n l l o n ( z o n o m n d

    o n n z d l l 9 l o l o o n o n l n z z d l l

    o m m o z z n l o o n o n l F d m o n o

    A(x) o m l o d o o d n n o d l z o o d n l o o z o n xF

    o n d n o n n n o d P

    Q

    l o

    l l n m n o e

    n n z o n d l o m n n o d l dPx D dPy D dPz Y dQx D dQx D

    dQx d l l o o d n xP D yP D zP Y xQ D yQ D zQ

    e = (xPxQ)(dPxdQx)+(yPyQ)(dPydQy)+(zPzQ)(dPzdQz) @ I F P R A

    z o n n o n n d o l E

    m

    Bd = e @ I F P S A

    h ( n n d o l m a t r i c e c i n e m a t i c a B = BVT

    Bd

    = e@ I F P T A

    o A = BT F s l p r i n c i p i o d e i l a v o r i v i r t u a l i ' m D n n l o n ( z o n l D l z o n l d l

    o m n dd l z o n d n n n d n F s n

    m o l

    t de = f dd @ I F P U A o n d o e d f D o n t Bdd = At dd D d n ( n

    A = BT

    @ I F P V A

    v m A n o o l n Rb @ z o d l l n o n A R3jk

    @ z o d A F v o d l o o l n o d A o

    o o z o l F e d o n n o d d n 9 n z o n

    D n 9 n z o n n m D n d o A = BT

    F

    v o s p a z i o c o l o n n a o i m m a g i n e d A l o z o n o d l l o l o n n D

    n d o n s m AF v d m n o n l n o d A @ rA A F h l n o d o n l o z n o d l l o n

    n z m m n d o m F o n n d o l l o s p a z i o r i g a d BD o z o

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    22/88

    I T S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i

    o m o o l l o z o d l o m n n o d l n o l l n m n n l l

    F

    g o m l m n o o o o n l o z o l o s p a z i o n u l l o s i n i s t r o d AD

    n d o o n u AT D n l o z o d l l o z n o n o o n o

    l l l m n n n d o l n l o D d d m n o n

    m = 3j k rA F v 9 n z o n n m l o s p a z i o n u l l o d BD o o l 9 n m d o d o o n d e = 0F o z o l 9 n m d l o m n n o d l o n o m n m F

    v o s p a z i o r i g a d AD d d m n o n rA D n n l n E o n l d o n o l d n F n d o n s m AT F

    o n o l o l l n z o n o n D l o o n o n l

    d l l n o m n z o n l n d l l d o z o F g n m E

    m n l o s p a z i o c o l o n n a d B l 9 n m d l l l n m n d l l

    n o l o m l d n o l F

    v o s p a z i o n u l l o okernel

    d A l o m l m n o o o o n l d l d n D

    n d o n u AF r d m n o n s = b rA F n l 9 n m d l l o n o n l l l F g n m m n l o s p a z i o n u l l o

    s i n i s t r o d B o o l l l n m n o n o n o m l

    o n l o n ( z o n n z l F

    s l o n z z o n F I F I F

    S p a z i o d i

    AD i m e n s i o n e I n t e r p r e t a z i o n e s t a t i c a I n t e r p r e t a z i o n e c i n e m a t i c a

    S p a z i o c o l o n n a

    R3jkrA

    C a r i c h i c h e p o s s o n o e s s e r e

    e q u i l i b r a t i d a

    t

    S p o s t a m e n t i c h e c a u s a n o a l -

    l u n g a m e n t i n e l l e b a r r e

    S p a z i o n u l l o s x

    R3jk

    m = 3j k rA

    C a r i c h i n o n e q u i l i b r a b i l i n e l -

    l a c o n g u r a z i o n e i n i z i a l e

    M e c c a n i s m i

    S p a z i o r i g a

    RbrA T e n s i o n i p o s s i b i l i i n a s s e n z a

    d i a u t o t e s n i o n i

    A l l u n g a m e n t i c o m p a t i b i l i

    d e l l e b a r r e

    S p a z i o n u l l o

    Rbs = b rA A u t o t e n s i o n i A l l u n g a m e n t i i n c o m p a t i b i l i

    d e l l e b a r r e

    l l I F I X o o z o l d l l m n m d l o

    1 . 4 . 2 D e c o m p o s i z i o n e a i v a l o r i s i n g o l a r i d e l l a m a t r i c e

    d i e q u i l i b r i o

    z o l o o n o l m n d m n l o l n d o l d e -

    c o m p o s i z i o n e a i v a l o r i s i n g o l a r i d A

    D n o n h @ d S i n g u l a r

    V a l u e D e c o m p o s i t i o n A F

    v h o d n n m A

    d d m n o n m n

    l

    m B, C, D

    d d m n o n m n m m

    Dm n

    dn n

    l

    X

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    23/88

    S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i I U

    A = B C DT

    v m

    B

    D o n o o o n o m l F

    C d o n l F

    q l l m n

    Cii l l d o n l d C o n o n o n n d o d n n o d n n o n n l d

    iF

    q l l m n l l d o n l d C

    o n o m l o n o l d A

    D

    m n l o l o n n d B

    d D

    o n o m m n o n o l

    n d d A

    F x l o A

    m m d ( n n o n n D

    B = D

    F

    v h d l l m d l o

    A = DETT@ I F P W A

    d l o m n d n ( I F S

    p I F S X h o m o z o n l o n o l d l l m d l o

    v m D o m o d d m X

    D =

    D D

    @ I F Q H A

    v o l o n n d

    D

    D m d d m n o n

    3j rA D o n o n o o n o E m l d l l o z o d l o m n n o n o n o m n m Y l

    m o l o n n

    d D o n o n m n m F

    v m T o o m o X

    T =

    T T

    @ I F Q I A

    v o l o n n d T D m d d m n o n b rA D o n o n d l l n o n l d o z n n z o n o n D m n l l d T D

    d d m n o n b s

    D o n o n d l l o z o d l l o n o n F

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    24/88

    I V S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i

    v m A o m n l o l o n n d T n l l l o l o n n

    d D

    D o o D

    = AT

    F s n D o l n d n m n l l

    o o n o m l n d d n o o z o l o d n

    m D l h n d n D n l n o o o m l m D T D n

    o o n o m l m n o o o n l n d o o l o m z o n F

    1 . 4 . 3 E e t t i d e l l e a u t o t e n s i o n i

    o n d l ' d n d l l o o d o n o n D o m E

    m o o l 9 o n l l n D o n n o n o d l o E

    m n @ n ( n m A d l l F m o l I F P H l

    I F P Q n n z o n n o n o l o d l l o z o n d n o d

    xm n d l o o o E

    m n dF v m o l o n l n d d d l o o n ( o d l l

    l o o z o n xF

    i=1

    (x + dx xi dxi)ti = fxi=1

    (y + dy yi dyi)ti = fy

    i=1

    (z + dz

    zi

    dzi)ti = fz

    @ I F Q P A

    f = A(x + d)(t0 + t)

    @ I F Q Q A

    s n 9 l m z o n l n o n t o m o m m d n

    o m o n n ( n d n o n t0 d n o m o n n d o o o n l

    n ( n m t F q l l l n m n o o n o n D n d o

    n ( n m d o d n o l m o D o m

    e = e0 + e = e0 + A(x)

    Td @ I F Q R A

    i m n n d o l I F Q P D o d n d o A(

    x)

    t0 = 0

    d t o n o

    n ( n m D n d o l n ( n m d o d n o l m o o m o

    o m l I F Q Q n

    f = V(x)t + V(d)t0 @ I F Q S A

    g o n n n d n n o d l z o o d n lmn d d m n o n 3jb3j n l n d

    l d

    n n o d d l d n o d d l l

    @ Q o o d n n o d o A d m

    l F o n lmn = 1 l = n l n o d o o n o n l l

    mF lmn = 1 l d n

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    25/88

    S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i I W

    n n o l o o d n d d n o d d l l m

    F l l

    m n o n o n l l F

    o o n o d n d o l o d l l o o l o d l l

    o l D n o n d l l o m F s n o l n n o m m o n l m o

    z o n d F g o n x

    d

    n n d o n o D o n m n o l l o l d

    i n n l o m m o n l n d D l m lmnxn lmndn F g o m

    l ( o n m l l o l n d o l I F Q P o n n o d o D

    A(x + d) = V(x + d) = V(x + VTd)F o n n d o lnm = lmn o d n d o t

    = He = HATd o m o l I F Q S o m

    f

    = ( (V x)H(V x)T

    + V

    t0 VT

    )d

    @ I F Q T A

    e d n l d z z d l l l l o m m d

    n d z z l K = AHAT

    d n d z z d n o n =

    V t0VT

    D l n n t0 F o m m o D n l m

    m m F

    o m o n m o l m o d o m n n l l o m m d = d + d F d

    n m o d o m n n o n n n m n m o @ ATd =0

    A D n n o z o o l d d m n o n rA F d

    n m n m o

    @ ATd = 0 A l o m l m n o o o o n l D d d m n o n mF m n o l l m d d l l F I F I F

    f = Kd + (t0)(d + d) @ I F Q U A

    o n o n d n d d l l m o o D m o l o d l l E

    n o n F

    v m K m m m d ( n n o n n D d n o rA Fv m d d z z d n o n n n ) m n m

    l l d o m z o n F i 9 o o n o n d l o o l o n d z o n

    @ o o l l o d t0 A l d z z o m l n o o m l o

    d o F i 9 o m n n d n l m n m d

    n n o

    d d (t0)F

    1 . 5 S t a b i l i t d e l l ' e q u i l i b r i o

    h n o l m

    o l l l d s

    o l D o o l

    o n d z o n o l o n n o n l d c n d o

    d z z d ( n o c

    s o o o o n l d d o o n o D n d o l m o l o

    n l F I F R F P o m

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    26/88

    P H S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i

    d

    = D

    drA @ I F Q V A

    d = Ddm @ I F Q W A

    z o n m o n o d n l z o l d n l l

    m d d l l F I F I n n z o n d m drA dm F

    n o l X

    K = AHAT = (DETT)H(DETT)T = D (ETTHTET) DT @ I F R H A

    x l l 9 l m z o n l o d o o d m n n m

    (3j k) (3j k) o d n l o o d o J d d m n o n rA d

    m n n l l X

    K = D

    J 0

    0 0

    DT

    @ I F R I A

    i m m o o l 9 o n o n t0 o m o m n z o n l n d l s E o o z n d n d n F

    t0 = T

    ts@ I F R P A

    o o = (ts) F v m DD n n l D n o n d l o n F y n d o D n d o D o o n o m l D =D(DTD)DT D o m o

    K + (ts) = D

    11 + J 12

    m22

    DT = D (ts) D

    T@ I F R Q A

    h ( n m o o l o d d m n o n 3j k

    d

    = drA

    dm @ I F R R A

    o d = Dd

    D n d = DTd

    F e 0 n l d z z o m l E

    l d n d

    dT

    (ts)d > 0 d = 0 @ I F R S A

    o D l n d o ts n z o l o @ n o d o o n l I F I W A D

    n m o d o l d n o n l l o o z o

    K l d n o n d n m n l F h o m o

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    27/88

    S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i P I

    n d o n n l l o z o d m n m d n d o l o 22 D

    o n n d o D o n m n o l l I F R R D drA = 0F

    n d 22 n n z o n d m ts

    22(ts) = DT(ts)D

    @ I F R T A

    v m 22 o m n z o n l n d s m D n o d n l m n o d ts F n d

    22 =s

    i=1iti @ I F R U A

    v m i o n o m d d d m n o n m n o o n d n d n d l l o o d n o n D l o l l o n d o n l l I F R T l

    o ts o n l m n n l l n n n o l I F

    v n o d l l m n d n o n

    ts = [t1, t2, . . . , ts]T F F dTm

    si=1

    iti

    dm > 0 dm = 0 @ I F R V A

    1 . 6 M o t i r i g i d i

    l d l d z z d n n o n n o l D

    n d d o m o d F o o n m n

    o o n l m n o l V D n o d n d o n o l m d o n o

    m o d F n d o o d

    o o n d n T m o d @ Q

    n l n o A l n m n n d n d n d o n l F l l z o n

    o l I l o m n di n l l o o n d z o n F l o z o n

    o n o l l 9 x

    l o l n o l o m n d o n n o d o n l n m o d o X

    (dx, dy, dz) = (x,y,z) (1, 0, 0) @ I F R W A s n 9 l m z o n

    x,y,z o n o l o o d n d l n o d o D

    n d

    l o d o o o l F v l d o z o n o n o n o m o l l n d o

    (0, 1, 0)

    (0, 0, 1)F g m d1, d2, . . . , d6 o m n @

    o m A D n d n o n d z o n n m d n d d m n o n

    3jF l m n n o d m n m n l n

    n m n o l n o n o m d m o d F g m ui l

    m D o n d o n

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    28/88

    P P S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i

    ui 6

    j=1

    djui dj|dj |2 @ I F S H A

    d o |dj| n d l m o d l o d l o dj F o n l d o l m n

    o n l 9 o o n o m l z z z o n d l l 9 n m d o o n F

    n l n o l o m d m o d D n d o

    l n D n o n o l o D n n o d n d @ l n m n A d l l o m xF

    o V = V(x) F

    1 . 6 . 1 D e c o m p o s i z i o n e a i v a l o r i s i n g o l a r i p e r c a l c o l a r e l a

    m a t r i c e v i n c o l a r e

    s l o d m n o n o o n l z z o o n l m E

    n o l d m o m d D n d d d l F s n D

    o m d ( n V D n o n o m m d o l d l o m n m d E

    d n o l l l z o n d ( n o n o l d l l m n o l F

    s n o l n n o m o l n o l D o o n o ( l o n o E

    d o n d n F g o n d m o n d l m

    V

    D d d m n o n

    k3j d o o n n n o o m n o

    d m d o @ o l n m n n o z

    f o l A F l o m n m d o n o l n m n n d n d n V

    d d m n o n (3j k) 3j

    F

    l o l V D l o l l d e c o m p o s i z i o n e a i v a l o r i s i n g o l a r i d

    V X

    V = V1V2VT3 @ I F S I A

    e o n o n d o n o n o n d z o n l o l o n n n V2 n l l D

    o n o n o l d V d l l 9 n m d l o n o l d n V3 F

    v 9 o z o n d m n l d V o n n o o n o m l d l l o z o

    n l l o d V F

    o m n n o n 9 l n d ' n z o n l m o d o d o n l l I F S H D

    d o l h d n m l o l o n n o d m n o m l F s l

    n o o n l o m o l o m m l o o D o m

    d m o M a t l a b D m o n o d ' l h o n n n o l o o m n d o D

    m n d o l d m o l d o d @ d l 9 e F e F P A F

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    29/88

    S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i P Q

    1 . 7 I n t e r p r e t a z i o n e e n e r g e t i c a e o r d i n e d e i m e c -

    c a n i s m i

    i 9 n n n l d l o I F R d n n o d

    n o D o n l l 9 o d n d n ( n m o o n m n

    o o n ) n z n o l 9 n n n d n d l l F v

    D n d o n n z l m n t = t0 D d o o l 9 n n o d l l o z f n t = t0 + t

    F

    m o l l l n m n e l m n n n z o n d l l o m

    x d l l d l o m n n o d l dF g o n d m o l ( n n

    o l l n n o d I P F g m m o xi di l o o d n l o o E

    m n o iE m d l n o d o @ ia I D P D Q n l l o z o d m n o n l Y = 1, 2A F o n

    xi = xi1 xi2 n l o m n d ( n di F v l n z z n z l d l l

    l =3

    i=1(xi)2

    D m n l l ( n l

    3i=1(xi + di)

    2F

    X

    e = l

    3

    i=1

    (xi + di)2 l

    @ I F S P A

    w d n l o m l d l o D o l n o m z o n l

    o n d o o d n o dD o n n d o D n o m o l D

    e =

    de

    dd

    d=0

    d + 12!

    d2e

    dd2

    d=0

    d d @ I F S Q A

    i n d o l o l d ( n n d o l n o d d m n o n b 3j 3j

    ijk = jik @ I F S R A

    n

    e = (x)d +1

    2(d)d @ I F S S A

    v 9 n n D o n n d o f n d d n ( n m D o m

    n n z o n n ( n m d l o n d o o d n

    Eest = f d @ I F S T A

    v 9 n n n n D d ( n n d o l l H n l o t = 0 d = 0

    Eint = t0 e + 12

    t e @ I F S U A

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    30/88

    P R S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i

    n o o n o d l l I F S S D d l l m o o t = He D d n o l d =

    VTd d l l l z o n

    x d = ATd D l n d o n ( n m d o d n o l o n d o o d D n

    Eint = t0 (ATd) + 12

    t0 ((d)d) + 12

    d (AHAT)d @ I F S V A

    x l l o d l l 9 l l n l 9 n n n m n n z o n

    d o m o n d l o m n F s l m o d d n d o n l l I F S V d

    n d n l l o D l d n l l o n d z o n d l o l

    n o n X At0 = 0 F h o n d o n o l z o n l n Eint

    Eest D o n n d o l z o l d o d o n l I F Q T F e m o n d m o n d n z l 9 n n n n n ( n m o

    d l o n d o o d n o d F x l l n z d l l o z o n l

    l o d o o d d n ( n m d l m o o d n D o o l l l n m n

    l n o n d l l D n m l n n d F s n o d n o n

    n n n l o d o o d n n o n ( n t0 n d n d n d

    d d n n n ( n m d l o n d o o d n

    12

    (d)dF

    o d m o n l n m n m o o n o

    d @ o n d z z o l A o n n n o n o n o m n E

    m n ( n m d l m o o d n D o o l l n o n l l n m n o

    d l l d l o n d o o d n n o n o o n o o n d m n E

    m ( n F l m n D n o n l l n n d o l D n o n o n o n o

    l l 9 m n o d n o n z l n n F s m n m d o d n o

    l m o n o n o n o d l d l l n o n n n n o n o

    n l l d z z o n n o d n o l m o F

    n d ( n o m n m o n ( n m o d l m o

    o d n n d o n o n o n l o d o m n F

    o n o n n l D n l n o o n o o n m n m

    n ( n m d l m o o d n n o n d l d l n o n o n d l l

    F

    1 . 7 . 1 E s e m p l i c a z i o n e g r a c a

    o d o n ( z o n ( d n o o o F

    o n d n P Q

    D m l d l n z z n D m m n l

    n o d m n o n l D o d n n o n ( n t

    F s l n o d o P

    ( o D

    m n l 9 l o o n P

    d n n d = (d1, d2) D n d o d1 d2 m n l o o m n o n l l d z o n d l l n l l d z o n

    n d o l F m n o l l p F I F T F

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    31/88

    S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i P S

    p I F T X e l l n m n E i m l ( z o n (

    s l n o d o P

    n l o o o l n o n t

    D n n o o n

    n o l @ n o n n d n ( A n 9 D l o l n o F

    v 9 l l n m n o d l l o m o o n n l l n m n o n ( n E

    m o d l m o o d n d1 D n n l l n m n o n ( n m o

    d l o n d o o d n F o l l n m n o d 1/2 d22

    o l n o n n o n n ) n z l o m o m n o d l l

    n l l d z o n d d1 F o n n o D n d o l l m l o l n D

    n o n m o n l o o n z l D m o l o l z o n d n o n l

    n o l l o o m n o F s n l l m l o l n

    d l l n o n o 9 l D m o l o d n o

    n o n F

    h o o d o l n l d z o n d2 D n d o l l l F

    v n o n D l m o o d n D m n n D l 9 l l n m n o d l

    o n d o o d n F l n o n ( n t

    m d d z o n o m

    n o m o n n t

    d l l o z n l l d z o n d d2 F o z n

    o z n ( n m o o z o n l d2 D d m o n l o d z o n @

    d z z o l A F

    1 . 8 V i n c o l i t e n s i o n a l i

    x l d ( n l m o d l l o m m o d l o m o m n o d n D

    n o o l l d l l l z o n l n o n l l F

    g o n d m o d m o n d m n o n l o d

    n o d A

    DB

    C

    o l l d n n o d o P

    d n n o F l o

    o n ( z o n m o l o o l D l n o n m n m l o l d

    w l l d 3 = 2 46+s

    F i 9 n d o l n o n o n F l

    n o P

    n n o l n o l o ABC

    l 9 o n o n d z o n

    l F o n m o o d d l l @ d m o AP

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    32/88

    P T S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i

    P B

    A n o o d n n o n F v o l z o n

    d m o o n n o l @ d p F I F U A F

    p I F U X n o l n o n l

    n n o l o n o n l F n o t1 t

    2 D l n o n l E

    l 9 l m n o AP B CPF v n o n o n o o o n o d l l n X

    tAP = t

    1lAP+lPB

    lAP

    tBP = t1lAP+lPB

    lBP

    tCP = t2

    @ I F S W A

    g o nl

    n n d l l n z z d l l l F

    s l n o l o n o n l n o d n l l F h n o l D l

    d n o F n o l o z o n d l n o P

    D n

    l o n n z d n o C

    o CP

    n n l l 9 l l d o

    A B n PD n n o l l l n o l @

    s = m = 1A D d l d n o n F

    o o n o m m n n z o n o m l D o m d m o

    n o o l l m d m o o D o d n o

    l o o o F s n n l n o l n o n l o o n o

    d l z o n l n d o n o l o z o d l o l t d n o

    o o z o F X

    t = St @ I F T H A

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    33/88

    S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i P U

    v m S d m n o n b

    (b

    )

    D n d o

    l n m o d n o l

    n o n l F

    v 9 z o n d SD o l l o d l l n o n D n l

    o d l e F m o n m n o l l p F I F U D e1 = (lAP + lPB)

    eAPlAP

    + eAPlAP

    e2 = eCP

    @ I F T I A

    z o n o o n o o n l l z o n d l d l l I F T H

    e = STe @ I F T P A

    s l l m o o HD d m d d d m n o n b

    D d n d

    d m n o n b

    D m o n t = He F v z o n d n n n m n d l o d o o l

    t deF n X

    t e = t STe = St e = t e@ I F T Q A

    s n o l n o n l o m n o l m d l o A = V x nA = V x S

    v d z z K d o m n d n l l I F Q T d n

    K = (V x S)H(V x S)T @ I F T R A

    v m

    S n o l d l l d z z d n o n

    D o E

    m n d o l n

    = V (St0) VT

    @ I F T S A

    o D m n n o l n m V

    o o n o d l n m o

    d m n m n n o d o n o d d l dD l n o l o l l

    n o n S

    m n n l n m o F s n d l n o d K

    D n

    n o o l m HD d n o b D o n n d n o b F n o d l n o n D V m n l n m o d E

    o n o n o l D n n o d l d AF s l n o l o l l n o n

    o n m n o o X n o n d o n n 9 o n o n

    t0D n

    o l n o d o o l n o l o n o n l D o n l l o m St D

    n d l n m o d l l o n o n n d n d n d o o F

    o n o l n o n l d o n o n l n m o d l l D l

    o l d w l l I F Q d n

    b = 3j k + s + m@ I F T T A

    x l l m o d l n d l n o l o n o n l n o n

    l n n l l o m xF

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    34/88

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    35/88

    S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i P W

    e = ATd + 12

    dd + . . . @ I F U I A

    y m o X

    n m n m o o m n z o n d l l o l o n n d D l l n m n

    n l l d l o n d o o d n o o l F

    n o o m n o o m n z o n d l l o l o n n d D d o d l l

    d z z l K

    D l l n m n d l m o n l E

    m n d l o n d o o d n o o l F

    x l o d o o eTHe m n d l o n d o o d n n d n o n E

    d z z d l m o o d n F s m n d l z o o d n D d D d n n o n

    d z z d l o n d o o d n F m n o o n o o n o l o o E

    m o d o o d n m n d l m o m o l l o n m n d l o n d o

    o d n n eD o o d n l l n m n o d n d n o o m n o n o n

    n m n m o @ d l o DdrA A d n o o m n o n o F n l

    I F T U D o m n D n n o o n DdrA o l o F

    m n o n o d o n d m n d l o o d n F m l 9 o E

    I F T U D o n d n o o l o m n d n d l o d o o d d l l n E

    m n o n n m n m F y n d o l I F U I d d o

    m n m l o m

    (12

    dd) H(12

    dd)D d o

    d n m n m o F

    n o n m n o n o o d o o d n m n d l m o o d n

    @ o n n d n n o n m n m o A n m n d l z o F

    m n d o o m o n d d D o o o D l d z z

    o l d n o m l d X

    n d z z l n KD o o z o n l d H d l o E

    m n DdrA F

    n d z z l n D o o z o n l t0 m E

    n m l l o z o o o o n l F i n d o l l m o o m o l o

    n d d l l n o n D d d z z o

    l d n o n m n m DdrA F

    n d z z d l z o o d n d l o m n m n m

    Ddm F

    d ( n n d X

    Kd(4) =1

    2(dd) H(dd) @ I F U P A

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    36/88

    Q H S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i

    s l n o d l o o d n K

    d m n o n (3j)4

    d m m o n

    o n d F o d n d o d = VTd D d ( n l n o d d m n o n (3j k)4

    l

    Kd(3) =1

    4

    d

    dd(Kd(4)) @ I F U Q A

    o o

    Ki1i2i3i4 = Ka1a2a3a4Vi1a1Vi2a2Vi3a3Vi4a4 @ I F U R A

    n d

    f

    = (K + )d

    + Kd(3)

    @ I F U S A

    o l z o n D l o l n o l m n m n m n m D

    m l d m n z o n d l o dm F e l ( n o n o l o z

    f l l o z o d m n m @ n o n d d KA D m o l l n d o n

    DT

    o n d o fm = D

    TfF m l I F T U o m

    l m n DTKd(3) o n Kmd(3)m D d o Km n n o d d m n o n m

    4

    l

    K(Ddm)(4) = Kmd

    (4)m @ I F U T A

    o

    Km,i1i2i3i4 = Ka1a2a3a4D

    a1i1Da2i2D

    a3i3Da4i4 @ I F U U A

    o n X

    fm = DTDdm + Kmd

    (3)m = 22dm + Kmd

    (3)m @ I F U V A

    s n z o n fm n o o F l o l dm l o d E

    m n o o d N e w t o n - R a p h s o n F d ( n l n z o n

    fm(dm) = 22dm + Kmd(3)m @ I F U W A

    n l o l n d l m d n X

    (dm) =dfmddm

    @ I F V H A

    h l m m d Km

    (dm) = 22 + 3Kmd(2)m @ I F V I A

    o n n d D o n n d o n l X

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    37/88

    S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i Q I

    dm,0 =

    122 fm

    dm,n+1 = dm,n (dm,n)1(fm(dm,n) fm) @ I F V P A

    l n o n o m l m n d d l l n o n l m

    22 n o n n l F o m n l o l dm,0 d o m o n n d o 22 =PPT o n d o n l l m d o n l l o l o n l l o n d

    m o l o l o o l o l l o F

    o l o n o o n d n l ' n o n l n n o n m n m D

    o n o n o d l ' d l o d n D n n o d l

    n o n D o o o n l l I F T W d m n l 9 o n I F S P F

    d o n d l l m o d o d N e w t o n - R a p h s o n l l 9 n o o d

    n o n o l o m n m D d m n n d o l d n d l l n z o n f(d) F o l n o n l l 9 l o m o d N e w t o n - R a p h s o n

    n o n o n D n o n n o l n l 9 n d l l o l z o n F

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    38/88

    Q P S t a t i c a e c i n e m a t i c a d e l l e s t r u t t u r e r e t i c o l a r i

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    39/88

    Capitolo2R I C E R C A D E L L A F O R M A

    x l m o o l o m o o d l l 9 n l d n o l

    d ( n F n d o d l l o o l o d l l o m x m o n l z z o

    o o l o n d z o n n 9 o o z o t o m n d n F

    s n o o n d o o l o ' o n m o l o l m n o F m o

    d l l o o l o d l l d n l l d l l 9 o n o n

    m o d d o m l l n m n o l l

    l n o n F

    n l l n d l l z o n D o n n o l n m E

    n o n d n d n d l l o n ( z o n o m xF s n o l o n

    n o n n o n n o l n o n l F

    2 . 1 M a t r i c e d i d e n s i t d i f o r z a

    v o n d z o n d n o n l At = 0 l t = 0 F n d o A l m n n n z o n d l l o m xD d l l o o l o

    d n o l V o n o X

    f

    = V(x)t = 0@ P F I A

    p o xD l m o m m o d z o n l n n tD m o m o

    n ( t xD o n n d o l n z o n l n n xX

    f = V(t)x = 0 @ P F P A

    v m

    Z = V(t) @ P F Q A

    Q Q

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    40/88

    Q R R i c e r c a d e l l a f o r m a

    n d l n o m d m a t r i c e d i d e n s i t d i f o r z a D d d m n o n (3j

    k)

    3j F o = ZVT D n n z d n o l n m = ZFi 9 o l o l o l z o n

    xd l m

    Zx = 0 l o l n d o n l

    n o rZ n d d n d o n l o z o n l l o F

    2 . 1 . 1 M a t r i c e d e i c a r i c h i g e o m e t r i c i

    o n m o d n o l l d F s n

    n z d n d = 0D f = Z(x + d) = Zx = 0F e E l m o n o o m n o n ( n m o dD o n n d o D l o z o n

    n ( n m D m n n l l n o n l l F o n f = Zd

    F

    v m d n d o z n d n d n l l o l o n n l o z l

    n o n o d n o d o d n n o o m n o dF

    d n m n m o o m l o n n o l D o m o o

    d = VTd = VTDdm @ P F R A

    d

    f = ZVTDdm = Ddm = dm @ P F S A

    v m = D D d d m n o n (3j k) m m m a t r i c e d e i c a r i c h i g e o m e t r i c i l d m n o

    mF v

    o l o n n o n o l o z o d o n o n o l l 9 l z o n d l l o

    m n m o F

    2 . 1 . 2 S t r u t t u r a d e l l a m a t r i c e d i d e n s i t d i f o r z a

    w d n n d o m o z o n l o n o l o l

    Z = WXUT @ P F T A

    v o l o n n d U n n o n o o n o m l d l l o n ( z o n

    o m

    xF n o l o n n d

    X n l l m o o o n l l

    o l o n n d U n o n ( z o n o m l o n l 9 o o z o F

    s n n l o o n n o o o n l m d l o n l F I F R F P

    Z =

    W W

    X

    UT

    UT

    @ P F U A

    o m d ( n o D l o z o n l l o d Z o n n m n

    o x n n o o n d n o d n n n o o l o F x l l o z o

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    41/88

    R i c e r c a d e l l a f o r m a Q S

    d m n o n l l d m n o n d o z o n l l o n l F s n o l D

    n d n Z V m m n l l d z o n D o m o n l n

    l o d n F i 9 o l n d l U n m n l

    o m d l o l @ n o n d m n o n A F o n

    n n o n d n n n n l n o n n n o o n o m n D

    n d l l d m n o n D l m n o n o d ' n d l l o l o n n

    d U

    F v 9 n d n d l l o l z o n n l n o n l o l

    l 9 n F

    s l o l l d o n l d l l m X o n o n d l D d

    n o l d @ l l l l l o l z o n n l A D o n o m n l l F

    n d 0 n n 9 o o z o n n d m n o n l o n

    n o l m m n o

    rZ 3j 12F v n l l d n R o n n o d l o X o l l l o n o l n l l o l o

    l l o n ( z o n n l D m o o n o d o n ( z o n d o

    n d n d z o n F x l n o d rZ 2j6F l

    o n ( z o n D n l o o o m n z o n l n d m n l o m d l l

    F i 9 n n n o o m n z o n l n

    l m n D n d t o o z o l o m xD l o n

    n l o m z o n 0 n F

    s n n l D d o n o o n o n l t o n o n d o

    n o m x l o n d o o z o F

    n d o l l o d l l m

    ZD l

    d l l o m o n n d o n o l o l o o D o n n d o l m m n n o

    z o m o n o d m n o n l @ n l n A F d d ( l

    D l m V D o d n d o l 9 o n z o o l o D o n

    d l l 9 d n o l n d o l l l l n F o l n

    n n o l o m m o n l l d z o n F

    2 . 1 . 3 V i n c o l i g e o m e t r i c i

    v o d o d l l m Z n l z z n d o n n o l o l o o n o n o l

    n o d o n o d n o l n m o n o l l l o m x n o n m m

    n l l d z o n F s n o o d o l 9 n l d l l 9 n m D

    m n n d o n n l l d l o n d z o n l n o n d n

    n n n o F

    s l n o l o o m o o n l m n d ' n d l n o l o n m E

    o F s l m o n o l l o z o n d n o d n d o n o n o n d ( n l

    o m d l l X d m o d n o n o d o o l E

    l o o l l o o n o n d d o d l n o d F s l n o l o n m o

    l @ d m o A n o n o d o D o n o F

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    42/88

    Q T R i c e r c a d e l l a f o r m a

    n o n d z o n d n o l o l n l l x o m x =

    Gx F v P F P P F Q d n n o m n X

    V(t)Gx = 0 @ P F V A

    Z = V(t)G @ P F W A

    v d m n o n d Z o n o (3jk)(3jg) D n d o g l n m o d n o l o m F s l o x d m n o n 3j g F

    n d o x o m o d d m n o n j @ n o n d m n E o n A x = (xT, yT, zT)T D o l o n o l l z o n D l d o n d l n X

    x1 = (11 1|0|0)T @ P F I H A x2 = (0|11 1|0)T @ P F I I A x3 = (0|0|11 1)T @ P F I P A

    g o n l n n l F I F T o o n o l m n

    o d l l o l o n ( z o n d o n GF

    Q n o l o m D n d o m m n l l d z o n D o o n o

    n n l l d z o n m o n o d m n o n l D l n n o

    o l o F

    2 . 2 A l g o r i t m o p e r l a r i c e r c a d i f o r m a

    h ( n o l o o l o d n D l x l 9 o o z o t o o n o

    o m l n l o X

    I F h ti D l o l Z = V ti G d m n l h Z = WXU

    TF

    P F s n n z o n o n o l d U d l l o n o l n

    XD l o l n o

    xi

    n d l n o o n ( z o n

    xi = Gxi

    Y

    o n o l l 9 l m n o n d n n n n o F l o

    n n o l d m n o n o o o n o o l n m n n d n d n D

    d o n o n o n ( z o n d m n o n l F

    Q F g l o l l m d l o A = V xi d m n l h A = DETT

    F

    R F s n n z o n d o n o l d T d l l o n o l

    n ED l o l l o ti+1 F

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    43/88

    R i c e r c a d e l l a f o r m a Q U

    S F Ati+1

    0

    d l l o o l m n o n l n o n z l d o o

    n m n o i d I F

    s n o l o m o d d ( n o l n o d n o D

    o l n o I n o l d ( n t1 D o l n o Q d ( n n d o n x1 F

    e 0 n l 9 l o m o o n D n d n l d ( n n l l n m n

    d l d x t d n P R F n m o o o

    l l o n ( z o n l n o n n l o z m n o o n

    l 9 l o F s n l l D n X d ED l o m n m D

    o l l l o l o n n d U d TF o o l o z z l

    o n n z D m d o o o n o l l o l l o F

    n l o n n z l m o

    xi+1

    ti+1D n m n l D

    d z o n n l m n d n ( o n m o d z o n n z l D

    l m n o n d l l n m ( @ d m l

    o n z o n A X

    |Zi+1xi+1||xi+1| <

    |Zixi||xi| @ P F I Q A

    |Ai+1ti+1||ti+1| <

    |A1ti||ti| @ P F I R A

    s d m

    o n o d n m m n o d l l 9 n d ( n o F

    s l m o d o l o n l l n o n n l l d l l o n E

    ( z o n x d n o o o t F n o n o m n

    m o d ( m o l o d 0 l x o d d ( l P F P F n

    l 9 l o m o o o o D n n o d o n n z d n

    n o n d n D o l m n l n z d n o o d o E

    n o n F n o l n o l o m d l l o o n o o n o l l

    l d l o n m o d o n l g F I F

    2 . 2 . 1 S c e l t a d e l l a t e n s i o n e i n f u n z i o n e d i u n p r o t o t i p o

    i n i z i a l e

    s l m o d o o l l o l o d l l n o n d l l d ( n z o n d n o

    o o o D o o d n o t l o n m n n o m F s n

    m n n z d l o n o m z o n l l d o o

    m l m n o n n d o l d I m n o n o n D

    E I l l o n o n o n o m F n o n

    l o l l m d n d o z n l l m z o n F

    s n o n z o n D l o l l h d A(x) = DETT D n d n n o n o n d z o n l l m o n o l d n TD o o n d n d l o

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    44/88

    Q V R i c e r c a d e l l a f o r m a

    n o l n EF o m n o n l o n d o l m n l 9 l m

    o l o n n D n n d o l l n l l o l n o d n F y n o l

    n n o l o n n D l o l n d l o m n z o n l n d l l o l o n n

    l m l o o m m n m d l n o n o o o F s l

    o d m n o d l l o l o d l l n o n o n m n n d o D d o o

    n o n n m o o o l o d o l o n n D n o n o d d l P F I R F

    h ( n n d o l n o t

    o m l 9 l m l o l o d d l P F I R D o d

    n d o n l l o l o d Z = Z(t)

    2 . 2 . 2 S c e l t a d e l l a g e o m e t r i a

    v l d l l o m l m o l o d l d l l l d l l n o n D

    o o n o n d ( n o n o o o d o m n d @ n l l

    o o n m n m l l l d l n o n A

    l m n o l n o n o n o m m n l l d z o n F x l o G

    V n o m m l o n ( z o n n d n d n F

    s d n l o l m o n ' o n o n o X

    v n o n d d n n n n o o n

    v l n z z d l l d n o n n l l

    o n d z o n d o n o o d d n o n o l o o n xi D m n

    l l m d l l o n d l l x n d l o d m n o o F

    v m o n d z o n d d l l 9 n z ( d n E

    d m n o n l F s n D n d o o l n d m n o n l

    l m n d n o l m m n n o z o d m n E

    o n D n z n l o l o m o n n o z o

    d m n o n m o n d m n o n F

    v o n d o n d z o n d d l l n o d ( n z o n d n o n F E

    o d @ d l d ( n z o n d t n l F I F I A l n o n n l n

    o 0 n d n o n D o o l o o n o n l n z z d l l E

    F n l n z z d l l n d z o D o l d ( m n

    o o n o D m l n l n o t

    o n D l n o n l d

    n ( n o D o o m n m n n d m n F

    x l l n l o d m n o o l l o l o d l l o n ( z o n

    o n @ d l 9 e F e F I A n l n m d o n d d l l l m o l o n n

    d l l m GUF d l o n d o l o l 9 l m o l o n n D n E

    n d o n n l m n n l l o l n o n o n o o d d l o n d z o n

    d n o n d n z o n d l l o n ( z o n F s l o n l o n m n

    o o z o n l l o d o o d d l X

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    45/88

    R i c e r c a d e l l a f o r m a Q W

    I l l o n o l d l l l o l o n n F

    I l o m m d d d l l l n z z d o n

    l d o d l l o n ( z o n o n o o n l l n E

    z z d l l n o m o n l o n o l n n o l l

    n l l F m n l m n l o d m n o m d l o n @ d l

    g F Q A F

    l o n o l l o o n l l P F I Q D d l n d o l 9 z o n d l l

    o n n z l l l d l l n o n o n n o n o l l o d l o P F I R F

    2 . 3 R i c e r c a a n a l i t i c a d e l l a f o r m a

    v 9 o o d d l l o m ( n o d o d o d o n m E

    o F x d o n @ l o o l o d l l n o o o

    d n o n A d l l n n l l o d D m

    l o n o d n o o o n o l l o l l o D l m o l l d ( E

    n z o n d n o o o o m o d n o n d l l m n o l

    G F

    9 l m o n o l o n o l d o l n D n d n o n o n m l n

    d o o n o d o l n o n o d n d o z o n n o n

    l n F n m o n n o l o ( l l n z z d n o

    D o l d m n o n d n d l l n o F

    v n l d l l o m n o d m n o D d o o d ( E

    n o l o m x m d n n n z o n n n o n l n d n l m o

    n m o d m D l l l l z o n m n o

    l n z d n o o z o F i n d o n o d m n o n o n d o n l

    n d d n d n d o o D l o l o n l o m o

    o d m n n d o n m o F

    2 . 3 . 1 S t r u t t u r e t e n s e g r i t y t r o n c o c o n i c h e a d u n p i a n o

    g o n d n o n o m d d o l o n o l d n

    l @ n o n

    n m n o n A n n d o n n z d o r1 r2 E

    n d n l l l D o n n l l n n n d o l

    d n D d n h

    l 9 n o d l l 9 l o F s l d o l o n o n o n D

    m n n o d d d o l o n o n o o l l l o o d n

    n o n n

    n F

    v m m o z o n d 2/n

    o n o l l o n n n

    d n D n n o d l n o n l l F m

    l 9 n o l o o m o d n n o B

    d n o d d o l o n D l o n o D l

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    46/88

    R H R i c e r c a d e l l a f o r m a

    o z o n d l l 9 m o B

    d l n o n AB

    l n o d l o l o n o F

    m n o l l p F P F I @ l l n o n o n o n A F

    p P F I X n o n o o n

    v 9 n o l o n n o d o l o

    F m o o m d

    l = 2k/n

    D o n k

    l o n m m n o d n/2

    m o n n

    Y

    kd m o o n

    n n n o n l d n n o d o l o

    d o n o o n m l n F l k < n/2

    n n o l

    o n ( z o n k =

    k = n

    o n o l F v o n ( z o n o l o n o

    n d (n)/2

    D n d o (n)

    l f u n z i o n e t o t i e n t e d i E u l e r o D o l n m o d

    n m m n o d n

    m o n o F

    v o m d 2n

    n o d d 4n

    F l d o n o T m o

    d D d l l o l d w l l o n m = s + 2n

    6

    F d m o

    s = 1D d m = 2n 5Fg n d o n m d m n o n o n

    OD o n n d

    A =(r1, 0, 0)Y B = (r1 cos , r1 sin , 0) Y O

    = (0, 0, h)Y

    A = (r2 cos , r2 sin , h) YB = (r2 cos( + ), r2 sin( + ), h)

    v m m o z o n m l l l n d l l d o z

    Ad n

    AC d

    AB n l l d z o n d

    AOF e 0 n l n o

    A

    n l o n o n d n A,O,A, B

    n o o m l n D

    o o l o d o o l o d o OA

    DOA

    OB

    n l l o F i n d o

    l o l o n l l z o n

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    47/88

    R i c e r c a d e l l a f o r m a R I

    = 2

    2@ P F I S A

    s n o n ( l m n o OA

    l l l o d AB

    F

    n o l n o o

    o l o l o o d n d n o d D l o l

    n d l m d l o l 9 o o z o d l F

    e d m o n = 5

    n n o (5)/2 = 4/2 = 2

    o l D o o n E

    d n k = 1; k = 2

    D o o l l d o n ( z o n d l n o n o o l X

    l @ p F P F P A l l @ p F P F Q A F

    p P F P X n o n o o n D n o n o l o

    2 . 4 D i s p i e g a m e n t o

    n d l l l z o n d l l l o l d m o d ( l

    o m d l l o n o l l n d o l l n z z d o l m n F v n

    n n m d d ( n n m o m o d l o n o l l o d l l

    l n z z d n F s l m o l o m o l n F n d o l

    l n z z d l l n @ d m o o n n m l n l l o o n o l l o d n m o o D

    o m l m n n d o l n A D o l d d n z F g o m E

    o m n o n l o o o n n n o n l z z o d n

    l o o n m n m o d l o F

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    48/88

    R P R i c e r c a d e l l a f o r m a

    p P F Q X n o n o o n D n o n o l l

    2 . 4 . 1 L u n g h e z z a m a s s i m a o m i n i m a d i u n a b a r r a p r e t e -

    s a

    g o n d m o n d n D o n m o

    n d n l l d z z l l d l l F i 9

    n z n o n l n n d D l

    d n n m n m o n o d o l l l l l o n n n o F

    d n n o n n m n m o n l d m F

    s n o l d m o l n n D n z o n

    d n d m D m n n o n o l m n m d n z

    o l F

    p o m l m o d m o m o o o n o m m m n D l n E

    d o m l d l n z d n o l F

    t = [t1, t2...tb] n o o d o n o n D o n d m o t1 = 0F n o d o m n d l D o o e = ATdD ei = 0 i =1

    D l l o n e1 = 0D o d n m n m o F s n l o t

    n o D o l o m o n o n D n o m n m o d

    l l n m n n o m l @ d I F I A F s l o e = [1, 0, 0 . . . 0]

    n o n

    n l l o z o d l l l n m n o m l D n n o t e =t1 = 0F n d n e1 = 0F

    m o n n d o ei = 0 i = 1 D o n m o o l o n d o o d n F

  • 8/6/2019 Tesi Tensegrity

    49/88

    R i c e r c a d e l l a f o r m a R Q

    h l l I F S S D o d n d o n At = 0D o n

    t e = t

    ATd +1

    2(d)d

    = At d + 1

    2d t d = 1

    2d d @ P F I T A

    d m o l o o l o n m n m o D d o o l o d l l

    d z z d n o n F n d D l l @ o l d z z

    o A D l 9 l m o m m o d l l P F I T o o F o e1 l 9 n o m n

    n o n n l l o d eD d d t1 e1 > 0F o n ( n n o n ( z o n l l n E

    n o n d o m n l D l l n z z d n

    n l l n z z m n m m l o o l n o l o

    l l n z z d l l l n o n m F n n o n n l n z z m m F

    v o n d m o m d d ( n n 9 l o m E

    o d o d d l l o m F h ( n n d o n o n ( z o n n z l x

    E

    n n d o d o n l n z o n n o n o n D o o n o l l n

    m o o n d n o l l o l D m n n n d o l l n z z d l l

    l ( F o o ( n n o n o n o o l m m n d

    l n z z F

    o m o d o m m n n n d l n o d n n E

    o D n n o m d o m n m d n m n E

    m d o n o l l o d l l l n z z F

    2 . 4 . 2 C o n t r o l l o d e l l a f o r m a

    s n n l D n d o d n o n ( z o n n d o n m n E

    l l n z z d l l m n d l l n o D d 0 l m n

    o n d l d n o n F v o n ( z o n ' E

    d n l d m n o @ o l o o n o d m m n o A

    d n d n n o n d d l l 9 l o d l l o z n l l l E

    D m l o z o F n l o n o n l

    o o n o n o n d l l o z d n z F

    h n l m m n o d o m D l o l n d l l l o n E

    D o n m o n d l l n l z o n n z o n d l l l

    m o

    li <