1. OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE

1.1. Termodinamika. Termodinamicki metodi

Termodinamika je nauka koja se, u osnovnom, bavi izucavanjem zakonitosti transformisanja energije.Osnovi termodinamike postavljeni su u XIX veku razvojem toplotnih masina. Izucava-ne su zakonitosti

transformisanja toplote u mehanicki rad. Termodinamika i njeni metodi nasli su siroku primenu kako utehnici tako i u mnogim oblastima osnovnih prirodnih nauka posebno fizike i hemije.

Termodinamickim metodama moze da se odredi smer odvijanja razlicitih fizickih i hemijskih procesa,kao i veze koje postoje izmedju razlicitih fizickih velicina (na primer, izmedju specificnog toplotnog kapacitetai gustine supstance).

Karakteristicno je da termodinamika ne koristi modele strukture materije tj. nije neposredno vezana sapredstavom o njenoj mikrostrukturi. To je njena prednost ali u nekim slucajevima i nedostatak.

U osnovama termodinamike leze dva osnovna, eksperimentalno ustanovljena, zakona (principa): I i IIzakon termodinamike. Dok I zakon termodinamike kvantitativno opisuje proces transformisanja energije, IIzakon termodinamike kvalitativno opisuje smer odvijanja odredjenih procesa u fizickim sistemima.

1.2. Termodinamicki sistem

Termodinamicka ispitivanja vrse se na izbranom telu, ili skupu tela, izdvojenih u odredjenom i ogranicen-om delu prostora. Takav skup tela, ili odredjena kolicina mase, tzv. radna tela, koja interaguju medjusobnokao i sa okolnom sredinom naziva se termodinamicki sistem.

Okolnu sredinu, odnosno okolinu termodinamickog sistema, cine sva tela koja se nalaze van datogsistema. Pri nekim razmatranjima okolna sredina moze da se predstavi kao drugi termodinamicki sistem.

Termodinamicki sistem je odvojen od njegove okoline, ili drugih sistema, realnom fizickom povrsinomili zamisljenom povrsinom, tzv. granicom sistema.

Termodinamicki sistem, a time i granica sistema, ne mora da bude stalnog oblika i zapremine kojuobuhvata.

U zavisnosti od interakcije datog sistema sa okolinom i drugim sistemima, odnosno od moguc nostirazmene masa i energije kroz granicu sistema, razlikuju se zatvoreni, otvoreni, i izolovani sistemi.

Zatvoreni sistem se karakterise time da je u njemu sadrzana konstantna masa, ali je moguca razmenaenergije izmedju sistema i njegove okoline kroz granicu sistema. Kao primer zatvorenog sistema moze dasluzi gas koji je zatvoren u cilindru motora sa pokretnim klipom (slika 1.1). U ovom slucaju, pri pomeranjuklipa, menja se zapremina

Slika 1.1.

sistema a time i velicina granice sistema, medjutim kolicina gasa tj. njegova masa ostaje konstantna. Uovom slucaju granica sistema je fizicka jer se poklapa sa granicom cilindra. Kroz granicu sistema moze dase razmenjuje energija u obliku toplote ili rada.

Sa stanovista termodinamike najinteresantniji za posmatranje a i za primenu su takvi sistemi kojirazmenjuju toplotu sa okolinom. Medjutim, koriste se i izucavaju i sistemi koji ne razmenjuju toplotu saokolinom. Takvi zatvoreni sistemi se nazivaju adijabatski sistemi.

Otvoreni sistem je takav sistem koji kroz granicu sistema razmenjuje sa okolinom, ili drugim sistemimai energiju (u obliku toplote i rada) i masu. U termodinamici i termotehnici se zapremina obuhvacenagranicnom povrsinom otvorenog sistema, kroz koji se razmenjuje masa, impuls i energija, naziva kon-trolisana zapremina a granicna povrsina - kontrolna povrsina. Kao primer otvorenog sistema, naslici 1.2 prikazan je razmenjivac

1

Slika 1.2toplote izmedju fluida A i B. U ovom slucaju kontrolna povrsina se ne poklapa sa granicom sistema ipredstavlja zamisljenu povrsinu.

Izolovan sistem se karakterise time da izmedju njega i okoline ne postoji nikakva interakcija, tj. saokolinom se ne razmenjuje ni masa ni energija. Znaci, izolovan sistem je zatvoren sistem koji ne razmenjujeenergiju sa svojom okolinom.

1.3. Parametri stanja. Jednacina stanja

Pri izabranim spoljasnjim uslovima, na primer, pri datoj temperaturi i pritisku, odre- djena supstancamoze da egzistira u jednom od cetiri agregatna stanja: cvrstom, tecnom, gasovitom i stanju plazme.

Da bi se odredili konkretni uslovi pri kojim se odredjena supstanca jednoznacno nalazi u odredjenom(agregatnom) stanju uvode se, tj. definisu, posebne karakteristike stanja - tzv. parametri stanja.

Neki od parametara stanja, kao na primer pritisak i temperatura, ne zavise od kolicine supstance usistemu (intenzivni parametri stanja), dok drugi, kao na primer zapremina, zavise od kolicine supstanceu sistemu (ekstenzivni parametri stanja).

Da bi se izbegla ovakva podela uvode se specificne karakteristike stanja, u odnosu na jedinicu mase,cime se ekstenzivni parametri stanja prevode u intenzivne.

Intenzivni parametri kojima se definise stanje termodinamickog sistema nazivaju se termodinamickiparametri stanja.

Stanje termodinamickog sistema definise se pomocu tri osnovna termodinamicka parametra stanja:apsolutna temperatura (T ), pritisak (p) i specificna zapremina (v) ili gustina (ρ) tela.

Kao sto je poznato temperatura T karakterise toplotno stanje sistema. Iz eksperimenta je poznato datoplota, u konacnom bilansu, spontano prelazi sa ”zagrejanog” na ”manje zagrejano telo”, odnosno sa telavise temperature na telo nize temperature. Znaci, temperatura tela definise smer spontanog prelaza toploteizmedju datih tela.

Pritisak, p kao termodinamicki parametar stanja, definise silu koja deluje normalno na povrsinu telapo jedinici njegove povrsine.

Specificna zapremina v predstavlja zapreminu V koju zauzima jedinica mase m date supstance:

v =V

m. (1.1)

Specificna zapremina v povezana je sa gustinom ρ tela relacijom:

ρ =m

V=

1v. (1.2)

Ukoliko je termodinamicki sistem izolovan, tj. ako na sistem ne deluju spoljnje sile ili je pak njihova rezultantajednaka nuli, stanje sistema je jednoznacno odredjeno ako su poznata dva termodinamicka parametra stanja.Iz predhodnog sledi da postoji jednoznacna veza medju termodinamickim parametrima predstavljena uobliku jednacine stanja

F (p, v, T ) = 0. (1.3)

Znaci, svaki termodinamicki parametar moze jednoznacno da se predstavi kao funkcija druga dva parametra:

v = f(p, T ) (1.4)

T = ϕ(p, v) (1.5)

p = ψ(T, v). (1.6)

2

Veze medju termodinamickim paramertima, umesto jednacina stanja, mogu se predstaviti u vidu termodi-namickih povrsina ili pak dijagrama stanja u trodimenzionalnom (v, T, p) sistemu ili dvodimenzionalnim(p, v), (p, T ) i (v, T ) koordinatnim sistemima, pri- kazanih na slikama 1a., 1b., 1c., i 1d. respektivno.

Slika 1.3.

1.4. Termodinamicki procesi

Termodinamicki sistem moze da se nalazi u razlicitim termodinamickim stanjima definisanim razlicitimparametrima stanja (T, p, v). Termodinamicko stanje je ravnotezno ukoliko su termodinamicki parametri,svaki posebno, jednaki u celoj zapremini sistema. U suprotnom je stanje neravnotezno. Iz ravnoteznogstanja termodinamicki sistem ne moze da izadje spontano, vec samo ukoliko dodje do vremenske promenenekog od njegovih termodinamickih parametara (na primer zapremine).

Promena jednog od termodinamickog parametara izaziva promenu stanja termodi-namickog sistema, tj.dolazi do termodinamickog procesa. Znaci, pod termodinamickim procesom podrazumeva se prelazenjetermodinamickog sistema iz jednog termodinamickog stanja u drugo termodinamicko stanje. Termodi-namickim procesom opisuje se promena stanja sistema. Termodinamicki procesi mogu biti ravnotezni i ner-avnotez-ni. Proces koji se sastoji iz niza neprekidnih uzastopnih ravnoteznih stanja naziva se ravnotezni(kvazistaticki) proces. U suprotnom proces je neravnotezan. S obzirom da je svaki t.d. proces vezansa narusenjem ravnoteze sistema, odnosno sistem prolazi kroz niz neravnoteznih stanja, realni procesi suneravnotezni. Medjutim, pri vrlo sporom odvijanju procesa sistem prolazi kroz niz skoro ravnoteznih stanjatako da se proces u datom slucaju moze smatrati ravnoteznim (kvazistatickim). Proces prelaza sistemaiz neravnoteznog u ravnotezno stanje naziva se relaksacija a vreme trajanja procesa relaksacije naziva sevreme relaksacije.

Ravnotezna stanja i ravnotezni procesi mogu da se prikazu na dijagramu stanja, sto ne vazi za ner-avnotezna stanja i neravnotezne procese. Kako ravnotezni procesi mogu da proticu u oba smera cesto senazivaju povratnim ili reverzibilnim procesima. Nera- vnotezni procesi se uslovno na dijagramu stanjaprikazuju tackastim krivama. Proces, pri kojem se sistem, posle niza medjustanja, vraca u pocetno stanjenaziva se kruznim procesom ili ciklusom.

1.5. Procesi strujanja fluida

Sve dok su klipne parne masine imale dominatnu ulogu u tehnici, termodinamicki su razmatrani samotakvi zatvoreni sistemi tipa ”cilindar-klip” kod kojih se radno telo kao celina ne premesta (ili skoro nepremesta) u prostoru. Medjutim, s razvojem parnih i gasnih turbina, raketnih i reaktivnih letelica, kojekoriste kineticku energiju fluidnih (gasnih) struja, javila se potreba da se termodinamicki razmotre takviotvoreni sistemi. Brzine u fluidnim strujama kod centrifugalnih i turbo-masina kao i kod raketnih letelicamogu da budu relativno velike (vece od 100 m/s) u odnosu na brzinu premestanja centra mase radnoggasa kod klipnih parnih masina (2-3 m/s). Osim prethodnog, primeri otvorenih sistema kod kojih se vrsineprekidni protok (strujanje) mase kroz granicu datog sistema su: razmenjivaci toplote, kompresori, cevovodii dr.

Za ispitivanje takvih otvorenih sistema posmatra se deo sistema-kontrolisana zapre- mina, koja jeogranicena zamisljenom kontrolisanom povrsinom kroz koju, u konkretnim uslovima prakse, najcesce strujifluid (slika 1.4).

Slika 1.4.

Strujanje fluida, kao izotropnog masenog kontinuuma, moze se posmatrati kao unutrasnji ravnotezniproces sa potpuno odredjenim vrednostima parametara stanja, na primer, p i v (odnosno ϕ i ρ), koji se

3

najcesce kontinualno menjaju u posmatrackoj tacki ili od tacke do tacke (”1” do ”2” na slici 1.4.)

1.5.1. Jednacina strujanja fluida

U zavisnosti od toga da li se sile unutrasnjeg trenja izmedju susednih slojava fluida sa razlicitim brzinamamogu da zanemare ili ne, fluidi se dele na idealne fluide i viskozne fluide. Jasno je da su svi realni fluidiu manjoj ili vecoj meri viskozni. Medjutim, pri odredjenim uslovima, na primer pri malim brzinama, realnifluidi mogu da se razmatraju kao idealni fluidi.

Da bi se izvrsila termodinamicka analiza fluidne struje neophodnao je da se pored polja brzine

~w = ~w(~r, τ) (1.7)

gde je ~r i τ poznaju bilo koje dve termodinamicke velicine stanja, na primer p i ρ (ρ = 1/v) u funkcijipolozaja i vremena, tj. polje pritiska i gustina

p = p(~r, τ), ρ = ρ(~r, τ) (1.8)

U slucaju idealnih fluida, kada sile viskoznog trenja mogu da se zanemare, na fluid zapremine dVobuhvacene povrsinom δA, deluju zapreminske sile.

d~FV = ρdV · ~f, (1.9)

gde je ~f = d~FV /dm zapreminska sila po jedinici mase (gustina zapreminskih sila) i povrsinske sile

d~FA = −∫

δA

pd ~A (1.10)

dajuci fluidu mase ρdV ubrzanje d~vdt :

ρdV · d~w

dt= ρdV · ~f −

∫

δA

pd ~A. (1.11)

Iz ove osnovne jednacine kretanja (1.11), primenom Gauss-ove teoreme

∫

A

pd ~A =∫

V

gradpdV, (1.12)

posto jednacina vazi za proizvoljnu zapreminu fluida obuhvacenu povrsinom A, dobija se osnovna jednacinakretanja idealnog fluida, tzv. Euler-ova jednacina

d~w

dτ= ~f − 1

ρgradp, (1.13)

gde je totalno ubrzanje d~wdτ dato supstancijalnim izvodom brzine:

d~w

dτ=

∂ ~w

∂τ+ (~w∇)~w. (1.14)

Prvi clan ∂ ~w/dτ pretstavlja tzv. lokalno ubrzanje u posmatranoj tacki nastalo vremenskom promenompolja brzine, a drugi clan (~w∇)~w pretstavlja tzv. konvektivno ubrzanje nastalo usled promene polozajauocene zapremine fluida u polju brzine. Na osnovu (1.14) Euler-ova jednacina kretanja idealnog fluida (1.13)moze da se napise u obliku:

∂ ~w

∂τ+ (~w∇)~w = ~f − 1

ρgradp. (1.15)

Skalarni oblik Euler-ove jednacine je:

∂wx

∂τ+ wx

∂wx

∂x+ wy

∂wx

∂y+ wz

∂wx

∂z= fx − 1

ρ

∂p

∂x

4

∂wy

∂τ+ wx

∂wy

∂x+ wy

∂wy

∂y+ wz

∂wy

∂z= fy − 1

ρ

∂p

∂y(1.16)

∂wz

∂τ+ wx

∂wz

∂x+ wy

∂wz

∂y+ wz

∂wz

∂z= fz − 1

ρ

∂p

∂z

Jedan od najvaznijih zakona fizike, posebno fizike kontinuuma, a time i fizike strujanja idealnog fluidaje zakon odrzanja mase. Uocimo da fluid zapremine V i gustine ρ(~r, τ) koji je ogranicen kontrolnompovrsinom A, kroz koju se razmenjuje (struji) masa fluida m. Smanjenje mase fluida u zapremini V u jednicivremena iznosi:

−∂m

∂τ=

∂

∂τ

∫

V

ρdV. (1.17)

S druge strane protok mase fluida kroz kontrolnu povrsinu A iznosi:

Φ =∫

A

ρ~wd ~A (1.18)

Kako je ukupna masa ogranicena kontrolnom povrsinom konstantna, sledi

Φ = −∂m

∂τ(1.19)

tako da se iz (1.17) i (1.18) dobija

− ∂

∂τ

∫

V

ρdV =∫

A

ρ~wd ~A, (1.20)

sto predstavlja najprostiji izvor za zakon odrzanja mase. NA osnovu Gauss-ove teoreme je∫

A

ρ~wd ~A =∫

V

div(ρ~w)dV,

tako da jednacina (1.20) dobija oblik∂ρ

∂τ+ div(ρ~w) = 0. (1.21)

Ona je poznata kao jednacina kontinuiteta mase, odnosno jednacina kontinuiteta (neprekidnosti)Jednacina kontinuiteta u skalarnom obliku, u Decartes-ovom kordinatnom sistemu, glasi

∂ρ

∂τ+

∂(ρwx)∂x

+∂(ρwy)

∂y+

∂(ρwz)∂z

= 0 (1.22)

Ako se gustina ρ fluida ne menja sa vremenom ρ = ρ(~r), odnosno ako je fluid nestisljiv, jednacina konti-nuiteta dobija jednostavniji oblik:

div~w = 0 (1.23)

Skalarni oblik jednacine kontinuiteta nestisljivog fluida je:

∂wx

∂x+

∂wy

∂y+

∂(wz)∂z

= 0 (1.24)

Da bi se opisalo strujanje nestisljivog viskoznog fluida, jednacina kretanja idealnog fluida (1.13) odnosno(1.14) mora da se prosiri clanom µ/ρ∆~w = ν∆~w koji uzima u obzir delovanje sila viskoznog trenja na deofluida zapremine dV , gde je µ koeficijent dinamicke viskoznosti a ν = µ/ρ koeficijent kinematicke viskoznosti.Tako se dobija jednacina kretanja nestisljivog viskoznog fluida, tzv. Navier-Stokes-ova jednacina:

d~w

dτ= f − 1

ρgradp + ν∆~w (1.25)

Ako se u prethodnoj jednacini zameni supstancijalni izvod brzine d~w/dτ izrazom (1.14) dobija se drugi oblikNavier-Stokes-ove jednacine:

∂ ~w

∂τ+ (~w∇)~w = f − 1

ρgradp + ν∆~w. (1.26)

5

Skalarni oblik Navier-Stokes-ove jednacine u Decartes-ovom koordinatnom sistemu je sledeci

∂wx

∂τ+ wx

∂wx

∂x+ wy

∂wx

∂y+ wz

∂wx

∂z= fx − 1

ρ

∂p

∂x+ ν

(∂2wx

∂x2+

∂2wx

∂y2+

∂2wz

∂z2

)

∂wy

∂τ+ wx

∂wy

∂x+ wy

∂wy

∂y+ wz

∂wy

∂z= fy − 1

ρ

∂p

∂y+ ν

(∂2wy

∂x2+

∂2wy

∂y2+

∂2wy

∂z2

)(1.27)

∂wz

∂τ+ wx

∂wz

∂x+ wy

∂wz

∂y+ wz

∂wz

∂z= fz − 1

ρ

∂p

∂z+ ν

(∂2wz

∂x2+

∂2wz

∂y2+

∂2wz

∂z2

)

U slucaju nestisljivog viskoznog fluida jednacina kretanja se jos vise usloznjava. Da bi se opisalo strujanjeviskoznog fluida jednacini kretanja (1.25) treba prikljuciti i jednacinu kontinuiteta (1.23).

1.5.2. Stacionarni strujni procesi

Ukoliko se parametri stanja fluidne struje u kontrolisanoj zapremini ne menjaju sa vremenom, tj.

∂ ~w

τ= 0,

∂p

∂τ= 0,

∂ρ

∂t= 0 (1.28)

odnosno~w = ~w(~r), p = p(~r), ρ = ρ(~r) (1.29)

tada je proticanje stacionarno. Uslovi stacionarnosti proticanja fluida, osim uslova (1.27) odnosno (1.28), susledeci:

- Kontrolisana zapremina se ne krece u odnosu na izabrani koordinatni sistem;- konstantnost masenog protoka ∂m/∂τ kroz kontrolnu povrsinu, kao i jednakost mase- nih protoka na

ulazu i izlazu iz kontrolisane zapremine iz cega sledi i konstantnost s vremenom mase fluida u kon-trolisanoj zapremini;

- konstantnost protoka energije ( u obliku toplote i rada) kroz kontrolisanu povrsinu. Iz prethodnihuslova sledi da je u slucaju jednodimenzionog stacionarnog proticanja fluida maseni protok na ulazu”1” povrsine preseka A1 jednak masenom protoku na izlazu ”2” povrsine preseka A2 iz kontrolisanezapremine:

∂m

∂τ= w1ρ1A1 = w2ρ2A2 (1.30)

gde su w1 i w2 srednje vrednosti brzina na presecima A1 i A2, respektivno. Jednacine (1.29) se takodjenaziva jednacina kontinuiteta. Iz jednacine kontinuiteta

∂m

∂τ= wρA = const (1.31)

sledi diferencijalni oblik jednacine kontinuiteta:

dw

w+

dA

A+

dρ

ρ= 0. (1.32)

Primer 1.1

U balonu zapremine 5000cm3 pri temperaturi od 1270C i pritisku 0.20MPa nalazi se 10 g smese ”nor-malnog” - dvoatomskog kiseonika (O2) i troatomskog kiseonika - ozona (O3). Odrediti procentni masenisadrzaj ozona u smesi.

resenje:

Za smesu gasova vazi Daltonov zakon, tj. pritisak (p) smese gasova jednak je zbiru parcijalnih pritisaka(p) :

p =∑

i

pi, (P1.1.1)

6

gde se parcijalni pritisci (pi) odredjuju iz jednacina stanja idealnog gasa

pi =mi

Mi

RT

V; (P1.1.2)

mi i Mi su respektivno, masa i molarna masa i-te komponente smese u datoj zapremini V pri temperaturiT. Iz (P 1.1.1) i (P 1.1.2) sledi

p =RT

V

∑

i

mi

Mi(P1.1.3)

S druge strane, pritisak smese moze da se predstavi izrazom

p =RT

V

m

M, (P1.1.4)

gde je m =∑

mi, ukupna masa smese, a M srednja molarna masa smese. Iz izraza (P1.1.3) i (P1.1.4) sledi

M =m∑ mi

Mi

=1∑ mi/mMi

=1∑ gi

Mi

, (P1.1.5)

gde jegi =

mi

m=

m1∑mi

(P1.1.6)

relativni maseni sadrzaj i-te komponente u smesi. Ako smesa sadrzi n komponenti vazi relacija

n∑

i=1

gi = 1 (P1.1.7)

Iz izraza (P1.1.5), u slucaju smese sa dve komponte, sledi

g1

M1+

g2

M2=

1M

. (P1.1.8)

Kako jeg1 + g2 = 1 (P1.1.9)

Iz (P 1.1.8) sledi da je relativno

g2 =1

M− 1

M1

1M2

− 1m1

=M2

M

M −M1

M2 −m1(P1.1.10)

Iz izraza (P1.1.4) sledi da je srednja vrednost molarne mase smese:

M =mRT

PV=

10−2 · 8, 315 · 103 · 4 · 102

0, 20 · 106 · 5 · 105 · 10−6= 0, 03326kg/mol =

= 33, 26 · 10−3kg/mol

Kako su molarne mase dvoatomskog kiseonika i ozona M1 = 32 · 10−3kg/mol i M2 = 48 · 10−3kg/mol,respektivno, iz (P1.1.10) sledi da je relativni maseni sadrzaj ozona u datoj smesi

g2 =M2

M

M −M1

M2 −M1=

48(33, 26− 32)33, 26(48− 32)

= 0, 117,

odnosno 11.7%.

7

Primer 1.2

Znajuci da je po definiciji koeficijent zapreminskog sirenja gasova α = 1V (∂V

∂T )p odrediti vrednost koefi-cijenta zapreminskog sirenja idealnog gasa na temperaturama t1 = 500C i t2 = 1000C kao i njihovusrednju vrednost u datom temperaturskom intervalu.

resenje:

Iz jednacine stanja idealnog gasa sledi

V =mRT

Mp

tako da je∂V

∂T=

mR

Mp.

pa je koeficijent zapreminskog sirenja idealnog gasa odredjen samo apsolutnom temperaturom

α =1V

(∂V

∂T)p =

mR

MpV=

1T

.

Za temperature t1 = 500C(323K) i t2 = 1000C(373K) dobija se

α1 = 3, 096 · 10−3K−1

α2 = 2, 681 · 10−3K−1

Srednja vrednost koeficijenta zapreminskog sirenja idealnog gasa iznosi

α =1

T2 − T1

∫ T2

T1

α(T )dT =1

T2 − T1

∫ T2

T1

dT

T=

1T2 − T1

lnT2

T1

Zamenom brojnih vrednosti za temperature dobija se

α = 2, 878 · 10−3K−1

8

2. PRVI ZAKON TERMODINAMIKE

Poznato je da se materija nalazi u neprekidnom kretanju. Mera kretanja materije naziva se energija.Energija koju sadrzi sistem sastoji se iz kineticke, potencijalne i unutrasnje energije. Izmedju sistema kojiucestvuju u termodinamickim procesima dolazi do razmene energije. Energija koja se razmenjuje krozgranice sistema zavisi od tipa procesa . Razmena energije kroz granice sistema ostvaruje se u obliku toplotei u obliku rada. Toplota i rad su energija koja se prenosi kroz granice sistema. Razmena toplote i vrsenjerada su nacini promena unutrasnje energije sistema. Prvi zakon termodinamike, kao poseban slucaj opstegzakona odrazanja energije, povezuje promenu energije sistema s energijom koja u obliku toplote ili radaprelazi granice sistema pri termodinamickim procesima.

2.1. Toplota i rad

Prenosenje energije u obliku toplote ostvaruje se ili pri neposrednom kontaktu dva ili vise sistema (tela)razlicitih temperatura (provodjenje toplote, konvekcija), putem razmene kineticke energije atoma i molekulasistema koji su u kontaktu, ili bez direktnog kontakta putem zracenja, tj. elektromagnetnih talasa. U obaslucja energija se, u konacnom bilansu prenosi od tela vise ka telu nize temperature. Kolicina energije kojaje pri tome razmenjena naziva se kolicina toplote.

Za prenosenje energije u obliku rada sistem mora da se premesta (krece) u polju sila ili da menja granicusistema, tj. svoju zapreminu pod dejstvom spoljasnjih sila. Kolicina razmenjene energije u ovom procesunaziva se rad.

U opstem slucaju razmena energije izmedju sistema u obliku toplote i u obliku rada moze da se odvijajednovremeno.

Kolicina toplote i rad zavise od puta kojim sistem prelazi iz pocetnog u konacno stanje, tj. zavise odkaraktera procesa. Kako su toplota i rad, kao procesi razmene energije, vezani za odvijanje termodinamickogprocesa, to ukoliko nema procesa nema ni toplote ni rada. Znaci, telo ne moze da poseduje toplotu ili rad.

Iz prethodnog sledi da elementarni rad δL i elementarna kolicina toplote δQ nisu totalni diferencijali.Velicina δQ i δL su samo beskonacno male kolicine toplote i rada, koji ucestvuju u elementarnim procesima.

Tako je za konacan proces (izmedju stanja 1 i 2)

∫ 2

1

δQ 6= Q2 −Q1

i∫ 2

1

δL 6= L2 − L1

odnosno∫ 2

1

δQ = Q1,2

i∫ 2

1

δL = L1,2

2.1.1. Rad sirenja termodinamickog sistema

Neka se telo zapremine V i slobodne povrsine A nalazi u sredini pritiska ps (slika 2.1.). Pri povecanjuzapremine za dV = Adx sistem izvrsi elementarni rad sirenja nasuprot sili pritiska spoljnje sredine Fp =psA :

δL = Fpdx = psAdx = psdV, (2.1)

tako da ukupan rad sirenja (zapreminski rad) iznosi

L =∫ V2

V1

psdV. (2.2)

9

Slika 2.1.Rad sirenja vrsi telo (sistem) nad spoljnjom sredinom. Jasno je (2.2) da se rad sirenja vrsi samo kada semenja zapremina tela i kada je pritisak spoljnje sredine razlicit od nule (dV 6= 0, ps 6= 0). U daljem teksturazmatrace se samo ravnotezni procesi kada je pritisak p unutar sistema jednak spoljnjem pritisku p = pstako da se za elementarni rad sirenja dobija

δL = pdV. (2.3)Ukupan rad sirenja iznosi

L =∫ V2

V1

pdV. (2.4)

Velicina odnosno vrednost izvrsenog rada sirenja sistema (2.4) moze da se predstavi u p,V-dijagramupovrsinom ispod krive procesa (srafirana povrsina na slici 2.2.). Zbog toga se p,V-dijagram naziva radnidijagram.

Ocigledno je, kako iz p,V-dijagrama tako i iz izraza (2.2.), da rad sirenja ne zavisi samo od pocetnog(1) i krajnjeg (2) stanja vec i od puta kojim se iz stanja 1 dolazi u stanje 2, tj. zavisi od funkcije procesap = p(V ). Znaci, rad L nije funkcija stanja i nema totalni diferencijal, tako da oznaka dL, u daljem tekstu,oznacava elementarni prirastaj δL.

Slika 2.2.Pri sirenju (dV > 0) sistem vrsi pozitivan rad a pri sabijanju (dV < 0) sistem vrsi negativan rad, tj.

rad vrse spoljasnje sile na sistemu.U opstem slucaju, osim rada sirenja (zapreminski rad), telo moze da vrsi rad nasuprot sila povrsinskog

napona, zatim mehanicki rad pri premes-tanju (kretanju) tela u gravitacionom, elektrostatickom i magnet-nom polju itd.

U daljem tekstu koristice se umesto rada tzv. specificni rad koji predstavlja rad jedinice mase sistema(tela)

l =L

m. (2.5)

10

Na osnovu izraza (2.5), (2.3), (2.4) i (1.1) slede izrazi za elementarni i ukupni specificni rad

δl = pdv (2.6)

il1,2 =

∫ v2

v1

pdv. (2.7)

2.1.2. Rad strujanja

Da bi fluid mogao da protice kroz kontrolnu povrsinu, tj. da udje i izadje iz kontrolisane zapremine,mora da poseduje tzv. energiju strujanja. Energija strujanja jednaka je radu potrebnom da se fluidpokrene nasuprot postojecih sila u kontrolisanoj zapremini.

Posmatrajmo masu fluida, zapremine dV (slika 2.3) u stacionarnoj struji fluida. Data masa dm = ρdVpredstavlja pokretan zatvoreni sistem. Povrsinske sile koje deluju na povrsinu uocene mase date su tenzoromnapona cije su komponente sila pritiska i tenzor napona trenja.

Zanemarujuci sile trenja odredimo rad sila pritiska za vreme dτ pri prodiranju uocene mase fluida krozkontrolnu povrsinu x−ose za rastojanje dx = wdτ pri stacionarnom strujanju fluida.

Slika 2.3Na osnovu slike 2.3 sledi da mase dm prodire kroz kontrolnu povrsinu za dx = wdτ pod dejstvom

rezultantne spoljasnje sile pritiska:

F = (p + dp)(A + dA)− pA ≈ pdA + Adp (2.8)

a da je zanemaren clan dAdp kao beskonacno malaPri tome rezultujuca sila F izvrsi rad

δLs = Fdx = (pdA + Adp)dx = pdAdx + Adxdp. (2.9)

Kako je dV = Adx i dV = dm/ρ = vdm sledi

Adx = vdm (2.10)

tako da se posle diferenciranja obe strane izraza (2.10) dobija

dAdx = dvdm (2.11)

Posle zamene izraza (2.10) i (2.11) u (2.9) dobija se rad pomeranja mase dm

δLS = (pdv + vdp)dm (2.12)

ili po jednici mase, tzv. specificni rad strujanja

δls = pdv + vdp = d(pv) (2.13)

Iz dobijenog izraza (2.13) sledi da je specificni rad strujanja jednak zbiru specificnog rada sirenja pod dejstvomsile pritiska p

δl(v) = pdv (2.14)

11

i specificnog rada koji izvrse povrsinske sile pritiska pri pomeranju elementa mase fluida u polju pritiska p(~r)tzv. rad promena pritiska

δl(p) = vdp. (2.15)

Osim toga, vidi se da je specificni rad strujanja diferencijal parametra stanja pv, sto znaci da jedinicamase fluida poseduje pri strujanju, osim unutrasnje, kineticke i potencijalne energije u polju sila teze, tzv.energiju strujanja (pv).

2.1.3. Tehnicki rad

Radno telo koje se krece kroz otvoren sistem (fluidna struja) moze da vrsi i druge oblike rada na svomputu kroz kontrolisanu zapreminu osim rada potiskivanja. Na primer, fluidna struja moze da okrece tocakturbine (gasne ili parne) a u slucaju strujanja elektroprovodne tecnosti u magnetnom polju, ciji je vektorindukcije normalan na pravac vektora brzina fluidne struje, oslobadja se deo elektricne energije u spoljasnjemkolu usled magnetohidrodinamickog efekta. Zatim, fluidna struja moze da vrsi koristan rad u kompresorima,ventilatorima itd. Sve ovakve vrste rada nazivamo tehnicki rad (Lteh). S obzirom da radno telo moze daprimi energiju u obliku tehnickog rada kroz granice otvorenog sistema (kao sto je slucaj kod kompresora )mora da se vodi racuna o algebarskom znaku rada, pri cemu vazi konvencija kao i kod rada sirenja. Tehnickirad je energija koja se pri strujnom procesu prenosi kroz granicnu povrsinu otvorenog sistema, izuzev povrsineulaznog i izlaznog preseka, sto znaci da se ne uzima u obzir energija potrebna za vrsenje rada strujanja

2.2. Unutrasnja energija i entalpija sistema

2.2.1. Unutrasnja energija

Unutrasnja energija je fizicka velicina koja karakterise velicinu unutrasnjeg kretanja materije. Sastanovista molekularno kineticke teorije materije unutrasnje energije predstavlja zbir kineticke i potenci-jalne energije cestica sistema.

Uopste, pod unutrasnjom energijom podrazumeva se zbir svih oblika energije cestica sistema: kinetickaenergija kretanja atoma i molekula; energija elektrona; energija cestica unutar jezgra atoma; energija in-terakcije izmedju jezgra i elektrona; potencijalna energija atoma i molekula u polju spoljnjih sila; energijaelektromagnetnog zracenja atoma sistema itd. Ukupna unutrasnja energija Uu sistema moze da se predstavikao zbir kineticke Uk i potencijalne energije Up atoma i molekula (zavisne od temeperature odnosno od med-jusobnog rastojanja atoma i molekula) i unutrasnje energije U0 cestica koje ulaze u sastav atoma i jezgraatoma (nezavisne od temperature) kao i energije elektromagnetnog polja i (zracenja):

Uu = Uk + Up + U0. (2.16)

S obzirom da je za termodinamicku analizu procesa u sistemu bitna promena unutrasnje energije a ne njenavrednost u tehnickoj termodinamici (termotehnici) se ne uzima u obzir unutrasnja energija U0 cestica kojeulaze u sastav atoma i jezgra niti energija elektromagnetnog polja.

Pod unutrasnjom energijom sistema podrazumeva se, u slucaju idealnih gasova, kineti- cka energijatranslatornog Uk t i oscilatornog kretanja Uk o atoma i molekula

U = Uk t + Uk o, (2.17)

a u slucaju realnih gasova i potencijalna energija Up medjumolekulskih interakcija, zavisna od medjusobnograstojanja molekula sistema (specificne zapremine gasa),

U = Uk t + Uk r + Uk o + Up. (2.18)

S obzirom da svakom stanju sistema odgovara samo jedna vrednost unutrasnje energije, zavisno od temper-ature i rastojanja (specificne zapremine), sledi da je ona jednoznacna funkcija stanja. Kako je unutrasnjaenergija srazmerna masi sistema to je ona ekstenzivna velicina, tako da moze da se uvede specificna un-utrasnja energija

u = U/m. (2.19)

Promena specificne unutrasnje energije ne zavisi od karaktera procesa i potpuno je odredjena pocetnim(1) i krajnjim (2) parametrima stanja radnog tela (slika 2.4.)

12

Slika 2.4.

∆u1a2 = ∆u1b2 = ∆u12 = u2 − u1 =∫ 2

1

du (2.20)

a za kruzni proces (ciklus)

∆u = ∆u1a2c1 =∮

du = 0 (2.21)

Specificna unutrasnja energija je funkcija stanja i moze da se predstavi kao funkcija bilo koja dvaparametra stanja:

u = f(v, T ), (2.22)

u = ϕ(p, T ), (2.23)

u = ψ(p, v). (2.24)

Znaci, prirastaj specificne unutrasnje energije du je totalni diferencijal

du(v, T ) =(

∂u

∂v

)

T

dv +(

∂u

∂T

)

v

dT (2.25)

du(p, T ) =(

∂u

∂p

)

T

dp +(

∂u

∂T

)

p

dT, (2.26)

du(p, v) =(

∂u

∂p

)

v

dp +(

∂u

∂v

)

p

dv (2.27)

Kako u slucaju idealnog gasa, kod koga su zanemarljive interakcije izmedju molekula, specificna unutrasnjaenergija ne zavisi od zapremine i pritiska vec samo od temperature u = u(T ) sledi (Joule-ov zakon)

(∂u

∂v

)

T

= 0 i(

∂u

∂p

)

T

= 0, (2.28)

tako da je na osnovu (2.28), (2.25) i (2.26)(

∂u

∂T

)

v

=(

∂u

∂T

)

p

=du

dT, (2.29)

odnosno

du =(

∂u

∂T

)

v

dT = cvdT, (2.30)

gde je

cv =(

∂u

∂T

)

v

=(

du

dT

)

v

, (2.31)

13

specificna toplota pri konstantnoj zapremini, koja karakterise porast unutrasnje energije u izohornom procesusa porastom temperature.

2.2.2. Entalpija

Da bi se uprostili mnogi proracuni vezani za termodinamicke procese (posebno za fluidne struje),omogucilo uvodjenje nekoliko grafickih metoda ispitivanja procesa, kao i uprostio oblik i struktura formula,uvedena je entalpija I - funkcija koja predstavlja zbir unutrasnje energije (U) sistema i proizvode pritiska(p) i zapremine (V ) sistema:

I = U + pV, (2.32)

koja je, kao i unutrasnja energija, ekstenzivna velicina. Specificna entalpija (i), data izrazom

i = u + pv, (2.33)

pretstavlja kombinaciju velicina koje su funkcije stanja (u, p, v) tako da se i sama funkcija (odnosno param-etar) stanja i moze da pretstavi funkcijom bilo koja dva parametra stanja (p, v, T ) :

i = f(v, T ), (2.34)

i = ϕ(p, T ), (2.35)

i = ψ(p, v). (2.36)

Ocigledno je da (kao i u slucaju unutrasnje energije) promena specificne entalpije ne zavisi od karakteraprocesa i potpuno je odredjena pocetnim (1) i krajnjim (2) parametrima stanja radnog tela

∆i = i2 − i1 =∫ 2

1

di = (u2 + p2v2)− (u1 + p1v1), (2.37)

a za ciklus∆i =

∮di = 0. (2.38)

Na osnovu prethodnog sledi da je elementarni prirastaj specificne entalpije (di) totalni diferencijal

di =(

∂i

∂v

)

T

dv +(

∂i

∂T

)

v

dT, (2.39)

di =(

∂i

∂p

)

T

dp +(

∂i

∂T

)

p

dT, (2.40)

di =(

∂i

∂p

)

v

dp +(

∂i

∂v

)

p

dv. (2.41)

U slucaju idealnog gasa, unutrasnja energija a time i specificna entalpija su samo funkcije temperature:

i = u(T ) + pv = u(T ) + RT = i(T ) (2.42)

tako da je (∂i

∂p

)

T

= 0 (2.43)

i (∂i

∂v

)

T

= 0. (2.44)

Na osnovu (2.43), (2.44), (2.39) i (2.40) sledi

(∂i

∂T

)

p

=(

∂i

∂T

)

v

=di

dT(2.45)

14

odnosno

di =(

∂i

∂T

)

p

dT = cpdT, (2.46)

gde je

cp =(

∂i

∂T

)

p

=(

di

dT

)

p

(2.47)

specificna toplota pri konstantnom pritisku, koja karakterise promenu entalpije u izobarnom procesu sapromenom temperature.

2.3. Prvi zakon termodinamike za otvoren termodinamicki sistemRazmotrimo promenu energije otvorenog termodinamickog sistema koga cini pokretni fluid u kon-

trolisanoj zapremini mase mτ , usled razmene mase i energije (u obliku toplote i rada) kroz granicnu povrsinudatog otvorenog sistema [kontrolnu povrsinu (slika 2.5)]. Neka fluid struji brzinom ~w u odnosu na nepokretnireferentni sistem. Prodiruci kroz ulazni (∆Au i izlazni (∆Ai) deo kontrolne povrsine (A), za vreme ∆τ, raz-meni masu [izraz (1.18) i (1.19)]

∆m = ∆mu −∆mi =[∫

A

ρ~wd ~A

]

sr

∆τ. (2.48)

Pri tome je ∆mu masa fluida koja ulazi kroz deo kontrolisane povrsine ∆Au a ∆mi masa fluida koja izlaziiz otvorenog sistema kroz deo kontrolne povrsine ∆Ai za vreme ∆τ ; usrednjavanje integrala

∫A

ρ~wd ~A vrsise zbog, u opstem slucaju, razlicitih brzina strujanja mase fluida kroz razlicite delove kontrolne povrsine A.

Dati otvoreni sistem moze da se zameni uslovno zatvorenim sistemom, koji se sastoji od mase mτ

otvorenog sistema (u kontrolisanoj zapremini) i mase ∆mu koja tokom vremena ∆τ prodire u otvoreni sistemkroz kontrolnu povrsinu: m = mτ + ∆mu. Na slici 2.5.a i 2.5b prikazan je zatvoreni sistem i kontrolisanazapremina pre i posle prodora mase ∆mu kroz kontrolnu povrsinu u otvoreni sistem. Punom zatvorenomlinijom oznacena je granica zatvorenog sistema. Kontrolna povrsina je predstavljena crticastom zatvorenomlinijom.

Slika 2.5.

Energija E1 uslovno zatvorenog sistema u trenutku τ jednaka je zbiru energije Eτ u kontrolisanojzapremini i energije eu∆mu mase fluida (koji moze da se razmotri kao zatvoren pokretni sistem):

E1 = Eτ + eu∆mu, (2.49)

gde je eu energija jedinice mase fluida na ulazu u kontrolisanu zapreminu.Neka u toku interakcije ∆τ zatvoren sistem razmeni energiju s okolnom sredinom u obliku toplote Q12

i u obliku rada L12.Usled razmene energije s okolnom sredinom, energija zatvorenog sistema u trenutku τ + ∆τ iznosi

E2 = Eτ+∆τ + ei∆mi, (2.50)

gde je Eτ+∆τ− energija u kontrolisanoj zapremini τ + ∆τ a ei -energija jedinice mase fluida na izlazu izkontrolisane zapremine.

Razmenjena energija ∆E12 zatvorenog sistema u toku vremena ∆τ iznosi

∆E12 = E2 − E1 = (Eτ+∆τ − Eτ ) + (ei∆mi − eu∆mu). (2.51)

15

Izraz (ei∆mi−eu∆mn) u gornjoj jednacini predstavlja energiju koja se prenese kroz kontrolnu povrsinu usledstrujanja fluida za vreme ∆τ . Slicno izrazu (2.48), za razmenjenu masu kroz kontrolnu povrsinu, energijakoja se prenese kroz kontrolisanu povrsinu usled strujanja fluida, tj. razmene mase, iznosi

∆Ee = ei∆mi − eu∆mu =

[∫

(A)

eρ~w · d ~A

]

sr

·∆τ. (2.52)

Izraz (Eτ+∆τ −Eτ ) u jednacini (2.55) predstavlja promenu ukupne energije unutar kontrolisane zapremine:

∆Ekz = Eτ+∆τ − Eτ = ∆∫

(m)

edm = ∆∫

(V )

e · ρdV, (2.52)

gde je energija kontrolne zapremine data izrazom

Ekz =∫

(m)

edu =∫

(V )

eρdV. (2.53)

Na osnovu (2.51), (2.52) i (2.53), razmenjena energija zatvorenog sistema iznosi

∆E12 = ∆Ekz + ∆Ee = ∆∫

(V )

eρdV +

[∫

(A)

eρ~wd ~A

]

sr

∆τ. (2.54)

Iz zakona odrzanja energije, tj. prvog principa termodinamike, sledi da je promena energije ∆E12zatvorenog sistema jednaka energiji koju u obliku toplote Q12 i rada L12 sistem razmeni sa okolnom sredinomkroz granicnu povrsinu:

Q12 − L12 = ∆E12. (2.55)

Ukupan rad L12 koji vrsi zatvoren sistem tokom vremena ∆τ jednak je zbiru rada strujanja Ls mase ∆mu i∆mi kroz kontrolnu povrsinu, i rada Lkz u koju su ukljuceni svi ostali oblici rada koje izvrsi sistem za vreme∆τ [(rad sila smicanja, rad promene zapremine celokupne kontrolne zapremine, osovinski rad (tehnicki rad)itd.]:

L12 = Ls + Lkz, (2.56)

gde je rad strujanja Ls, na osnovu (2.12), dat izrazom

Ls = pivi∆mi − puvu∆mu. (2.57)

Analogno izrazima (2.48) i (2.52) rad strujanja za celu kontrolnu povrsinu iznosi

Ls =

[∫

(A)

pvρ~wd ~A

]

sr

∆τ. (2.58)

Na osnovu izraza (2.57), (2.59) i (2.55) jednacina I zakona termodinamike moze da se napise u integral-nom obliku:

Q12 − Lkz = ∆∫

(V )

eρdV +

[∫

(A)

(e + pv)ρ~wd ~A

]

sr

∆τ. (2.59)

S obzirom da mase ∆mu i ∆mi, koje se kao zatvoreni pokretni sistemi krecu u odnosu na pokretni koordinatnisistem brzinom ~wu i ~wi, imaju ukupnu energiju jednaku zbiru unutrasnje (U), kineticke (Ek) i potencijalneenergije (Ep)

E = U + Ek + Ep, (2.60)

ili po jedinici mase

e =E

∆m= u + ek + ep = u +

w2

2+ gz, (2.61)

na osnovu (2.33), sledi da izraz e + pv, u drugom clanu desne strane jednacine (2.60), moze da se napise uobliku

e + pv = (u + pv) + ek + ep = i +w2

2+ gz, (2.62)

16

tako da jednacina prvog zakona termodinamike za fluidnu struju dobija oblik

Q12 = ∆∫

(V )

eρdV +

[∫

(A)

(i +

w2

2+ gz

)ρ~wd ~A

]

sr

∆τ + Lkz, (2.63)

Kada ∆τ → 0, jednacina (2.64) moze da se napise u obliku

Qkz =d

dτ

∫eρdV +

[∫

(V )

(i +

w2

2+ gz

)ρ~wd ~A

]

sr

+ Lkz, (2.64)

gde je Qzk = lim∆τ→0Q12∆τ i Lkz = lim∆τ→0

Lkz

∆τ . Znaci, toplotni protok (Qzk) je jednak zbiru brzine povecanjaenergije kontrolisane zapremine, protoka energije kroz kontrolnu povrsinu i rada koji se kroz kontrolnupovrsinu u jedinici vremena razmeni sa okolnom sredinom.

2.4. Prvi princip termodinamike za stacionarne fluidne struje

U slucaju stacionarnog strujanja je maseni protok konstantan:

d

dτ

∫

V

ρdV = 0,

tako da je ∫

(A)

ρ~wd ~A = 0. (2.65)

Zbog jednostavnosti izvodjenja pretpostavimo da na kontrolnoj povrsini postoji jedan ulaz i jedan izlaz.Tada je na osnovu jednacine kontinuiteta za stacionarno strujanje (1.30)

dmu

dτ=

dmi

dτ=

dm

dτ= m = const . (2.66)

Na osnovu (2.66) i (2.67), jednacina (2.65) moze da se napise u obliku

Qkz = m

[(ii − iu) +

(w2

i

2− w2

u

2

)+ g(zi − zu)

]+ Lkz (2.67)

jer je ∫

(A)

(i +

w2

2+ gz

)ρ~wd ~A = mi

(ii +

w2i

2+ gzi

)− mu

(iu +

w2u

2+ gzu

). (2.68)

Jednacina prvog zakona termodinamike za stacionarno proticanje moze da se napise za jedinicu mase fluida:

qkz = (ii − iu) +(

w2i

2− w2

u

2

)+ g(zi − zu) + lkz (2.69)

gde je qkz = Qkz/m i lkz = Lkz/m, ili u diferencijalnom obliku

δq = di + wdw + gdz + δlkz (2.70)

Cesto se rad kontrolisane zapremine (otvorenog sistema) naziva tehnicki rad i nezavisan je od promenezapremine fluida. Osim toga moze da se primeti da je rad otvorenog stacionarnog sistema (lkz)(l12) jednakradu zatvorenog sistema umanjenog za rad strujanja (ls) i za promenu kineticke i potencijalne energije∆(ek + ep) :

lkz = l12 − ls −∆(ek + ep). (2.71)

2.5. Prvi zakon termodinamike za zatvoren sistem

Jednacina prvog zakona termodinamike za pokretne zatvorene sisteme moze da se dobije iz jednacineprvog zakona termodinamike za otvorene sisteme (2.60).

17

Naime, u slucaju kada nema strujanja fluida, (nema razmene mase kroz kontrolnu povrsinu) kontrolisanazapremina je zatvoren sistem. U tom slucaju je

Qkz = Q12,

∆E12 = ∆Ekz = ∆∫

V

eρdV,

∫(e + pv)ρ~wd ~A = 0,

Lkz = L12,

tako da, na osnovu izraza (2.60), jednacina prvog zakona termodinamike za zatvorene sisteme moze da senapise u obliku

Q12 − L12 = ∆E12 (2.72)

ili za elementarne proceseδQ− δL = dE. (2.73)

Kako je elementarna promena ukupne energije zatvorenog pokretnog sistema, koji se krece brzinom w, dataizrazom

dE = d(U + Ek + Ep) = dU + d

(mw2

2

)+ d(mgz), (2.74)

jednacina prvog zakona termodinamike za zatvoren pokretni sistem moze da se napise u obliku

δQ− δL = dU + d

(mw2

2

)+ d(mgz). (2.75)

Za konacan proces prelaza sistema iz stanja 1 u stanje 2, na osnovu (2.76), dobija se

Q12 − L12 = U2 − U1 + m

(w2

2 − w21

2

)+ mg(z2 − z1), (2.76)

ili po jedinici mase sistema

q12 − l12 = u2 − u1 +w2

2 − w21

2+ g(z2 − z1). (2.77)

2.6. Prvi zakon termodinamike za zatvoren nepokretni sistem

U slucaju zatvorenih nepokretnih sistema, w1 = w2 i z2 = z1 =const., jednacine prvog zakonatermodinamike, na osnovu (2.76), (2.77), (2.78), dobijaju oblik

δQ− δL = dU (2.78)

Q12 − L12 = U2 − U1 (2.79)

q12 − l12 = u2 − u1 (2.80)

Jednacine (2.79 - 2.81) vaze u slucaju kada je broj cestica sistema konstantan i predstavljaju jednacineprvog zakona (principa) termodinamike za zatvorene sisteme, bez obzira da li je proces reverzibilanili ireverzibilan. U slucaju ireverzibilnih procesa osim rada sirenje vrsi se i rad nasuprot silama trenja

l1,2 =∫ 2

1

pdv + ltr (2.81)

δl1,2 = pdv + δltr, (2.82)

gde je∫ 2

1pdv specificni rad sirenja a ltr specificni rad nasuprot sila trenja. U slucaju reverzibilnih procesa

(ltr = 0) jednacina I zakona termodinamike moze da se napise u obliku

δq = du + pdv (2.83)

18

q1,2 = u2 − u1 +∫ 2

1

pdv. (2.84)

Uzimajuci u obzir da jepdv = d(pv)− vdp

jednacina prvog zakona termodinamike (2.84) dobija sledeci oblik

δq = du + d(pv)− vdp

odnosnoδq = d(u + pv)− vdp. (2.85)

Kako je specificna entalpija povezana sa specificnom unutrasnjom energijom izrazom (2.33): i = u + pv,zadnji izraz (2.86) moze da se napise u obliku

δq = di− vdp (2.86)

odnosno

q1,2 = (i2 − i1)−∫ 2

1

vdp. (2.87)

Izrazi (2.87) i (2.88) predstavljaju drugi oblik jednacine prvog zakona termodinamike u diferencijalnom iintegralnom obliku, za razliku od jednacina (2.84) i (2.85) koje se ponekad nazivaju prvim oblikom (formom)prvog zakona termodinamike.

Iz izraza (2.87) sledi da di predstavlja elementarnu kolicinu toplote koja je dovedena radnom telu tokomizobarnog procesa (dp = 0) :

dqp = di (2.88)

U slucaju konacnog izobarnog procesa izmedju stanja 1 i 2 sledi

(q1,2)p = i2 − i1, (2.89)

tako da razmenjena kolicina toplote moze da se odredi iz razlike entalpija u krajnjim tackama procesa.Pri prakticnim izracunavanjima koriste se odgovarajuce tabele i grafici za odredjivanje vrednosti entalpijepojedinih gasova i para.

Primer 2.1

Koliki je deo dovedene toplotne energije tokom izobarnog procesa iskoristi za vrsenje rada ukoliko jeradno telo ugljen-dioksid (CO2)

resenje:

Na osnovu I principa termodinamikeδq = du + δl

slediδl

δq= 1− du

δq.

Kako jedu = cvdT

iδq = cpdT

dobija seδl

δq= 1− cv

cp= 1− 1

k= 1− 1

1, 29= 0, 225

tj. 22.5% ulozene toplotne energije se utrosi za vrsenje rada a ostali deo (77, 5%) na povecanje unutrasnjeenergije gasa.

19

Primer 2.2

Idealan gas mase m=0.5 kg iz stanja 1(v1 = 0, 5m3/kg, p1 = 0, 2MPa) prelazi kvazistatickim procesom,bez razmene toplote s okolinom, po zakonu p(v) = Av−4/3 u stanje 2 (v2, p2 = 0, 05MPa). Odreditivelicinu izvrsenog rada tokom datog procesa kao i kolicinu toplote koju je potrebno dovesti gasu da biizvrsio rad velicine 100kJ, prelazeci iz stanja 1 u stanje 2 po drugoj krivoj.

resenje:

Rad izvrsen tokom datog procesa iznosi

L1,2 = ml1,2 = m

∫ 2

1

p(v)dv = m

∫ 2

1

Av−4/3dv = −3mAv−13 |21

Konstanta A se nalazi iz uslova da tacka 1 zadovoljava datu jednacinu tj.

A = p1v4/31 = 0, 2 · 106 · 0, 54/3 = 7, 937 · 104.

Specificna zapremina v2 se nalazi iz uslova da i tacka 2 zadovoljava datu jednacinu tj.

p2 = Av−4/32 ,

odakle je

v2 = (A/p2)3/4 = (7, 937 · 104

0, 05 · 106)3/4 = 1, 414m3/kg.

Zamenom dobijenih vrednosti u izraz za rad sledi

L1,2 = 3 · 0, 5 · 7, 937 · 104(0, 5−1/3 − 1, 414−1/3) = 43, 93kJ

Velicina promene unutrasnje energije, na osnovu I principa termodinamike (Q12 = ∆U + L1,2), iznosi(Q12 = 0)

∆U1,2 = U2 − U1 = −L12 = −43, 93kJ.

Kada sistem prelazi iz stanja 1 u stanje 2 po drugoj krivoj promena unutrasnje energije je jednaka

∆U ′1,2 = U2 − U1 = ∆U1,2 = −43, 93kJ,

jer je unutrasnja energija funkcija stanja, tako da njena promena ne zavisi od puta. Dovedena kolicinatoplote u ovom procesu iznosi

Q′12 = ∆U ′1,2 + L′1,2 = ∆U1,2 + L′12 = −43.93 + 100 = 56.07kJ.

20

3. II ZAKON TERMODINAMIKE. POVRATNOST I RAD

Iz iskustva je poznato da se razliciti oblici energije (na primer: mehanicka, elektricna, itd.) na relativnojednostavan nacin pretvaraju u toplotnu energiju. Obrnut proces, tj. pretvaranje toplotne energije (ili drugihoblika energije) u mehanicki rad je moguc, kako sledi iz I zakona termodinamike, ali je pracen resavanjemslozenih tehnickih problema.

Osnovni zadatak termotehnike je upravo resavanje problema prevodjenja toplote u mehanicki rad. Pritome se postavlja pitanje da li je moguce da se mikroskopsko-toplotno kretanje u potpunosti prevede umakroskopsko kretanje, tj. mehanicki rad. Iskustvo je pokazalo da energija toplotnog kretanja, kao jedanod oblika unutrasnje energije, ne moze da se u potpunosti transformise u mehanicki rad. O uslovima kojimoraju da budu ispunjeni pri konverziji toplotne energije u mehanicki rad (ili druge oblike energije) govoriII zakon termodinamike. Pokazano je od strane mnogobrojnih autora (Maxwell, Boltzmann, Gibbs i dr.) daII zakon (princip) termodinamike nije opsti zakon prirode i da je primenljiv samo za makroskopske sisteme.

3.1 Formulacije II zakona termodinamike

Postoje vise razlicitih formulacija II zakona termodinamike do kojih se doslo na osnovu iskustva:a) Nije moguc takav periodicni proces (ciklus) ciji bi konacan rezultat bio vrsenje rada na racun celokupne

toplotne energije uzete od tela vise temperature (toplotnog izvora) [Thompson (Kelvin) -Planck-ovprincip], tj. nije moguc perpetuumobile druge vrste (W.Ostwald). Ova formulacija drugog principatermodinamike pretstavlja ogranicava-juci uslov rada toplotnih masina.

b) Nije moguc takav proces koji bi se sastojao samo u tome da se toplotna energija prenosi sa hladnijegna toplije telo (Clausius-ov princip), tj. toplota ne moze spontano (bez kompenzacionih promena usistemu) da se prenese sa hladnijeg na toplije telo. Ova formulacija pretstavlja ogranicavajuci uslovrada rashladnih uredjaja.Sustina prethodnih dveju formulacija, kojim su zadati ogranicavajuci uslovi rada toplotnih masina (a)

i rashladnih uredjaja (b), sadrzana je u opstoj formulaciji, koja odrazava statisticki karakter II principatermodinamike, nezavisno od njegove primene u termotehnici:

c) Svaki realan spontan proces se odvija u smeru od manje verovatnog ka verovatnijem stanju (Boltzmann).d) Entropija izolovanog sistema ne moze da opada (princip porasta entropije).e) Svi realni procesi su ireverzibilni (nepovratni).

Postoji jos nekoliko formulacija II principa termodinamike koje se u sustini ne razlikuju od gore nave-denih, tj. odrazavaju princip porasta entropije.

Iz Thompson-Planck-ovog principa sledi da je za dobijanje rada neop-hodno koriscenje najmanje dvatoplotna rezervoara: jednog toplijeg-grejaca i jednog hladnijeg-hladnjaka (S.Carnot). Osim toga, iz ovogprincipa sledi da je nemoguce da se kostruise takva toplotna masina koja bi iskoristila celokupnu unutrasnjuenergiju jednog tela samo njegovim hladjenjem.

3.2. Povratni kruzni procesi (ciklusi). Toplotna masina.

Termicki koeficijent iskoriscenja

Kako je u prethodnom poglavlju istaknuto, na osnovu II principa termodinamike sledi da u periodicnomprocesu (ciklusu) nije moguce kompletno prevodjenje toplote u mehanicki rad. Medjutim, neprekidno pre-vodjenje jednog dela ulozene toplotne energije u mehanicki rad moze da se ostvari putem kruznog termodi-namickog procesa (ciklusa).

Ciklicni termodinamicki proces je takav proces pri kome se sistem, preko niza me-djustanja, vracau pocetno stanje. Termodinamicki ciklusi mogu da budu kako povratni (reverzibilni) tako i nepovratni(ireverzibilni), sto zavisi od toga da li su svi delovi procesa povratni ili nepovratni. Ako je samo jedandeo ciklusa nepovratan, tada je nepovratan i ciklus u celini. Strogo govoreci, svi realni ciklicni procesi sunepovratni. I pored toga, u daljem izlaganju, bice izucavani samo kvazistaticki povratni procesi, u kojimaje sistem u svakom trenutku beskonacno blizu ravnoteznom stanju. Na vrsenju ciklicnih procesa zasnivase rad svih toplotnih masina i rashladnih sistema, tako da je izucavanje ciklicnih procesa vazan zadataktermotehnike.

Svaki cilklicni proces moze grubo da se podeli na dva dela. Tokom prvog dela ciklicnog procesa, pred-stavljenog na slici 3.1. vrsi se sirenje - ekspanzija (proces 1-a-2), a u drugom delu procesa sabijanja -kompresija (proces 2-b-1) sistema (radnog tela).

Na osnovu I principa termodinamike rad (δL) pri sirenju radnog tela moze da se vrsi kako na racundovedene kolicine toplote (δQ) tako i na racun njegove unutrasnje energije (dU) : δL = δQ − dU. Slicno,rad spoljasnjih sila pri sabijanju radnog tela moze da se jednim delom transformise u unutrasnju energijusistema, dok se drugi deo odvodi od sistema u obliku toplote.

21

Slika 3.1Znaci, u jednom delu ciklusa, na primer, tokom procesa 1-a-2 na slici 3.1 radnom telu se dovede kolicina

toplote

Q1 = Q1a2 =∫

1−a−2

δQ > 0 (3.1)

od spoljasnjeg izvora vise temperature (grejaca), a u drugom delu ciklusa, na primer, tokom procesa 2-b-1na slici 3.1 od radnog tela se odvede kolicina toplote

Q2b1 =∫

2−b−1

δQ < 0 (3.2)

ka spoljasnjem izvoru toplote nize temperature (hladnjaku). Odvedena kolicina toplote (Q2b1) jednaka je(po apsolutnoj vrednosti) onoj kolicini toplote koju bi radno telo primilo u suprotnom procesu (1-b-2), tj.

Q2 = Q1b2 =∫

1−b−2

δQ = −∫

2−b−1

δQ = −Q2b1 (3.3)

Odvodjenje dela neiskoriscene toplotne energije (Q2b1) u jednom delu ciklusa je neop-hodan uslov da seciklus uopste ostvari.

U konacnom bilansu, za jedan ciklus, radnom telu se preda kolicina toplotne energije

Qc =∮

δQ (3.4)

jednaka algebarskom zbiru (odnosno razlici) dovedene kolicine toplote Q1a2 i odvedene kolicine toplote Q2b1 :

Qc =∫

1−a−2

δQ +∫

2−b−1

δQ = Q1a2 + Q2b1 (3.5)

tj.Qc = Q1 −Q2 (3.6)

Dovedena i odvedena kolicina toplote (Q1a2 i Q2b1), a na osnovu prethodnog, i kolicina toplote koja se tokomjednog ciklusa preda radnom telu Qc, zavise od puta kojim se iz pocetnog (1) dolazi u krajnje (2) stanje, iobrnuto.

Kasnije ce biti pokazano da samo ovaj deo ulozene toplotne energije (Qc) moze da se transformise umehanicki rad, tako da i rad dobijen u konacnom bilansu od sistema zavisi od oblika ciklusa, tj. oblikaputanje (1-a-2-b-1 na slici 3.1.).

Rad koji izvrsi gas u procesu 1-a-2, pri sirenju od zapremine V1 do V2(> V1) i promeni pritiska okolnesredine ( a u slucaju kvazistatickog procesa i radnog tela) od p1 do p2, iznosi

L1 = L1a2 =∫

1−a−2

δL =∫ V2

V1

p(V )dV. (3.7)

22

Da bi gas ponovo vrsio rad (L1 > 0) neophodno je da se sabijanjem vrati u pocetno stanje s parametrima p1

i V1. U procesu 2-b-1, pri promeni zapremine gasa od V2 do V1, tj. pri sabijanju, sistem (radno telo) izvrsirad

L2b1 =∫

2−b−1

δL =∫ V1

V2

p(V )dV = −∫ V2

V1

p(V )dV. (3.8)

Rad sistema pri sabijanju je negativan (L2a1 < 0), sto znaci da u ovom delu ciklusa spoljasnje sile vrse radsabijanja nad sistemom

L2 = −L2b1 (3.9)

Rad sirenja (L1) i rad sabijanja (L2) zavise od oblika funkcije p = p(V ) koja opisuje proces sirenja, odnosnosabijanja radnog tela, tj. od puta kojim se iz pocetnog dolazi u konacno stanje i obrnuto.

Rad koji izvrsi sistem za jedan ciklus, tzv. rad ciklusa (koristan rad)

Lc =∮

δL (3.10)

jednak je algebarskom zbiru, odnosno razlici, rada sirenja L1 i rada sabijanja L2 :

Lc =∫

1−a−2

δL +∫

2−b−1

δL = L1a2 + L2b1, (3.11)

tj.Lc = L1 − L2 (3.12)

i zavisi od oblika ciklusa, tj. od putanje 1-a-2-b-1. Rad ciklusa Lc je brojno jednak povrsini koja je ogranicenazatvorenom krivom 1-a-2-b-1 u p, V-dijagramu (slika 3.1).

Da bi rad ciklusa bio pozitivan (Lc > 0), tj. da bi sistem u konacnom bilansu vrsio rad nasuprotspoljasnjim silama, neophodno je da se izaberu takvi procesi sirenja i sabijanja radnog tela tako da radsabijanja bude manji od rada sirenja (L2 < L1).

Primenom prvog zakona termodinamike na zatvoren sistem, u slucaju kada radno telo vrsi proizvoljanciklus, dobija se ∮

δQ =∮

dU +∮

δL. (3.13)

Kako je unutrasnja energija sistema funkcija stanja, pa je na taj nacin njen integral po zatvorenoj konturijednak nuli

∮dU = 0, iz prethodnog izraza sledi:

∮δQ =

∮δL. (3.14)

Na osnovu izraza (3.4) i (3.10) relacija (3.14) dobija sledeci oblik:

Qc = Lc, (3.15)

sto znaci da u direktnom ciklusu sistem vrsi rad (rad ciklusa je pozitivan Lc > 0) na racun jednog deladovedene kolicine toplote (Qc > 0). U inverznom ciklusu od sistema se odvodi toplota (Qc < 0) na racunrada nad sistemom (Lc < 0).

Slika 3.2.S obzirom na smer odvijanja procesa (direktan i inverzan ciklus) moguca su dva razlicita slucaja:

23

a) Kolicina toplote Q1 se od grejaca predaje telu, koje vrsi rad nad okolnom sredinom, pri cemu seneiskoriscena toplota Q2 predaje hladnjaku (slika 3.2a) (direktan ciklus);

b) kolicina toplote Q2 se odvodi od hladnjaka uz vrsenje rada okolne sredine nad radnim telom (tzv.kompenzujuci rad) i predaje kolicine toplota Q1 grejacu (inverzan ciklus).

Na slucaju pod a) zasnovan je rad toplotnih motora (masina, uredjaja) a na slucaju pod b) zasnovan je radrashladnih masina (sistema, uredjaja) i tzv. toplotnih pumpi.

Na slici 3.2 strelicama su oznaceni smerovi prenosa toplote i vrsenja rada.Toplotni motori i rashladne masine su termodinamicki modeli pomocu kojih se semat-ski predstavlja

rad bilo koje realne toplotne masine ili sistema za hladjenje.Za ocenu stepena savrsenosti, odnosno efektivnosti, ciklusa toplotnih masina uvodi se termicki (ter-

modinamicki) koeficijent iskoriscenja TKI (ili termicki koeficijent korisnog dejstva TKKD), koji pokazujekoji se deo dovedene toplote transformise u rad

ηt =Lc

Q1=

Q1 −Q2

Q1= 1− Q2

Q1. (3.16)

Sto je ηt vece to je ciklus savrseniji, tj. pri istoj kolicini ulozene toplote Q1 dobija se veci rad Lc. Medjutim,ovde postoje ogranicenja, koja slede iz II principa termodinamike, tj. uvek je ηt > 0 i ηt < 1, odnosno0 < ηt < 1. Efektivnost ciklusa rashladnih masina odredjuje se tzv. koeficijentom hladjenja

εh =Q2

Lc=

Q2

Q2 −Q1≶ 1, (3.17)

a efektivnost ciklusa toplotnih pumpi odredjuje se koeficijentom grejanja (koeficijent iskoriscenja toplote)

εg =Q1

Lc=

Q2 + Lc

Lc= εh + 1 > 0. (3.18)

3.3. Carnot-ov ciklus. Carnot-ova teorema

Za ocenu savrsenstva radnog procesa, odnosno ciklusa, realnih toplotnih masina neop-hodno je da sezna idealan ciklus kojim treba da se tezi. Takav je tzv. Carnot-ov ciklus.

Carnot-ov ciklus ostvaruje radno telo izmedju samo dva izvora toplote konstantnih temperatura: grejaca(temperature Tg) i hladnjaka (temperature Th < Tg).

Idealan ( bez gubitaka), povratan proces dovodjenja toplote od grejaca ka radnom telu moze da seostvari jedino pri konstantnoj temperaturi radnog tela T1 = const < Tg, tj. pri izotermnom sirenju (proces1-2 na slici 3.3.). Ovaj uslov moze da bude zadovoljen ukoliko se temperatura grejaca i radnog tela, prinjegovom sirenju, razlikuju za beskonacno malu velicinu dT, tj.:

T1 = Tg − dT. (3.19)

Na slican nacin, povratan proces odvodjenja toplote od radnog tela ka hladnjaku moze da se ostvari priizotermnom sabijanju radnog tela na temperaturi T2 = const < T1 (proces 3-4 na slici 3.3.), ukoliko jetemperatura radnog tela za beskonacno malu vrednost dT visa od temperature hladnjaka, tj.:

T2 = Th + dT. (3.20)

S obzirom da postoje samo dva izvora toplote, jasno je da radno telo moze da predje sa nivoa vise temperatureT1 na nivo nize temperature T2, tj. sa vise na nizu izotermu, bez razmene toplote sa okolinom samo u procesuadijabatskog sirenja (proces 2-3 na slici 3.3.).

Radno telo moze da predje sa nivoa nize temperature T2 na nivo vise temperature T1, tj. sa nize navisu izotermu, bez razmene toplote samo u procesu adijabatskog sabijanja (proces 4-1 na slici 3.3.). Tokomprocesa izotermnog sirenja (1-2) tradno telo (jedan mol idealnog gasa) izvrsi rad nasuprot sila spoljasnjesredine

A12 =∫ 2

1

pdV = RT1

∫ 2

1

dV

V= RT11n

V2

V1(3.21)

na racun dovedene toplote od grejaca (unutrasnja energija gasa se ne menja)

Q1 = Q12 = A12 = RT11nV2

V1, (3.22)

24

gde su V1 i V2 zapremine gasa u stanjima 1 i 2.

Slika 3.3. Slika 3.4.Tokom procesa izotermnog sabijanja (3-4) sile spoljasnje sredine vrse rad nad gasom (gas vrsi negativan

rad ) pri cemu radno telo preda hladnjaku kolicinu toplote jednaku izvrsenom radu, tj.

Q34 = A34 = RT2lnV4

V3= −Q2. (3.23)

Termicki koeficijent iskoriscenja povratnog direktnog (desnokretnog) Carnot-ovog ciklusa, na osnovu(3.16), (3.22) i (3.23), iznosi:

ηtc = 1− Q2

Q1= 1− T2

T1

lnV3V4

lnV2V1

. (3.24)

Kako se adijabatski procesi 2-3 i 4-1 ostvaruju izmedju temperatura T1 i T2, sledi

(V3

V2

)k−1

=T1

T2(3.25)

i (V4

V1

)k−1

=T1

T2(3.26)

odakle jeV3

V4=

V2

V1. (3.27)

Na osnovu (3.24) i (3.27) sledi da termicki koeficijent iskoriscenja Carnot-ovog ciklusa zavisi samo od tem-peratura T1 i T2 :

ηtc = 1− T2

T1=

T1 − T2

T1. (3.28)

TKI Carnot-ovog ciklusa je veci sto je veca razlika izmedju temperatura T1 i T2, medjutim uvek je manji od1, jer je T2 > 0K a T1 < ∞.

Koeficijent hladjenja εhc i koeficijent grejanja εgc inverznog (levokretnog) povratnog Carnot-ovog ciklusa(slika 3.4.) koji se kao i direktan (desnokretni) povratni Carnot-ov ciklus sastoji iz dve adijabate (3-2) i (1-4)i dve izoterme (2-1) i (4-3), na osnovu (3.17) (3.18), (3.22), (3.23) i (3.27), iznose

εhc =Q2

Lc=

Q2

Q2 −Q1=

T2

T1 − T2(3.29)

iεgc =

Q1

Lc= εhc + 1 =

T1

T1 − T2. (3.30)

Koeficijent hladjenja εhc i koeficijent grejanja εgc inverznog Carnot-ovog ciklusa zavise samo od temperatureT1 i T2, odnosno od njihove razlike T1 − T2.

Carnot-ov ciklus je najefektivniji ciklus za transformisanje toplote u druge oblike energije i sluzi kaoetalon sa kojim se porede realni ciklusi. Niti jedna toplotna masina, koja radi izmedju dva toplotna izvora, nemoze da ima veci termicki koeficijent iskoriscenja od masine koja bi radila po Carnot-ovom ciklusu (Carnot-ova teorema). Takodje, moze da se pokaze da TKI Carnot-ovog ciklusa ne zavisi od svojstava radnog tela

25

pomocu koga se ostvaruje dati ciklus. Medjutim, Carnot-ov ciklus se ne primenjuje u praksi zbog cistotehnickih razloga koji ce biti obrazlozeni u glavi 10.

3.4. Clausius-ov integral. Entropija

Termicki koeficijent iskoriscenja bilo kog, a time i Carnot-ovog ciklusa, na osnovu izraza (3.16) (3.1) i(3.3), iznosi:

ηt = 1− Q2

Q1= 1− Q1b2

Q1a2. (3.31)

gde su

Q1 = Q1a2 =∫

1a2

δQ

i

Q2 = Q1b2 =∫

1b2

δQ

kolicine toplote koje radno telo primi tokom procesa sirenja po putanji 1-a-2 odnosno 1-b-2 prelazeci iz stanja”1” u stanje ”2”.

S druge strane, pokazano je (izraz 3.28) da termicki koeficijent iskoriscenja povratnog Carnot-ovogciklusa (slika 3.3.) iznosi

ηtc = 1− T2

T1, (3.32)

gde su T1 i T2 temperature pri kojima se vrsi razmena toplote izmedju grejaca i radnog tela i radnog tela ihladnjaka.

Poredjenjem izraza (3.31) i (3.32) dobija se da za povratan Carnot-ov ciklus vazi relacija

Q1

T1=

Q2

T2, (3.33)

odnosnoQ1a2

T1=

Q1b2

T2. (3.34)

velicina Q1 i Q2 odnosno Q1a2 i Q1b2 su istog znaka, tj. odnose se na izotermne procese istog smera.S obzirom da se pri Carnot-ovom ciklusu razmena toplote izmedju radnog tela i toplotnih izvora (grejaca

i hladnjaka) vrsi samo tokom izotermnih procesa, iz izraza (3.34) sledi da je odnos razmenjene toplote itemperature pri kojoj se vrsi razmena, za bilo koje izotermne procese koji se odvijaju izmedju dveju datihadijabata, konstantan. Odnos razmenjene toplote i temperature pri kojoj se toplota razmenjuje tj. Q/T,naziva se redukovana toplota.

Kako je (izraz 3.3)

Q1b2 =∫

1b2

δQ = −∫

2b1

δQ = −Q2b1

iz izraza (3.34) slediQ1a2

T1− Q1b2

T2= 0, (3.35)

odnosnoQ1a2

T1+

Q2b1

T2= 0. (3.36)

Relacija (3.36) pokazuje da je kod povratnog Carnot-ovog ciklusa, koji se odvija izmedju dve stalne izotermei dve stalne adijabate, zbir (algebarski) redukovanih kolicina toplote jednak nuli.

Da bi se ostvario bilo kakav povratni ciklus neophodno je da se koristi beskonacno veliki broj toplonihizvora (umesto dva kao, na primer, kod Carnot-ovog ciklusa). U tom slucaju, bilo kakav povratni ciklus mozeda se pretstavi skupom velikog broja elementarnih Carnot-ovih ciklusa (na primer 1(i)−2(i)−3(i)−4(i)−1(i),

na slici 3.5., koji imaju svoje grejace razlicitih konstantnih temperatura T(i)1 od kojih radno telo dobija toplotu

∆Q(i)1 i hladnjaka na temperaturama T

(i)2 kojima predjaje toplotu ∆Q

(i)2 .

26

Slika 3.5.

S obzirom da su adijabate 2(i) − 3(i) i 1(i) − 4(i) beskonacno blizu jedna drugoj, razlika temperaturaizmedju tacaka 1(i) i 2(i) kao i razlika temperatura izmedju tacaka 3(i) − 4(i) je beskonacno mala tako da selinije 1(i) − 2(i) i 4(i) − 3(i) mogu smatrati izotermama, a time, i da je elementarni ciklus 1(i) − 2(i) − 3(i) −4(i) − 1(i) - Carnot-ov ciklus.

Primenom relacije (3.36) na elementarni povratni Carnot-ov ciklus dobija se

∆Q(i)1

T(i)1

+∆Q

(i)2

T(i)2

= 0. (3.37)

Posle sumiranja odgovarajucih relacija (3.37) po svim elementarnim povratnim Carnot-ovim ciklusima datogciklusa (1-a-2-b-1 na slici 3.5) dobija se

n∑

i=1

∆Q(i)1

T(i)1

+n∑

i=1

∆Q(i)2

T(i)2

= 0. (3.38)

U granicnom slucaju beskonacno malih elementarnih ciklusa, iz (3.38) se dobija

limn→∞

n∑n=1

∆Q(i)1

T(i)1

+ limn→∞

n∑n=1

∆Q(i)2

T(i)2

= 0, (3.39)

odnosno ∫

1a2

δQ

T+

∫

2b1

δQ

T= 0, (3.40)

tako da je ∮δQ

T= 0. (3.41)

Integral na levoj strani izraza (3.41) naziva se Clauzius-ov integral.Izraz (3.41) pokazuje da je Clauzius-ov integral za proizvoljan povratan ciklus jednak nuli.U slucaju kada sistem vrsi nepovratan (ireverzibilan) ciklican proces moze da se pokaze da vazi Clauzius-

ova (Clausius) nejednacina: ∮δQ

T< 0, (3.42)

koja pokazuje da je krivolinijski integral elementarne redukovane toplote δQ/T po zatvore-noj putanji(Clausius-ov integral) manji od nule. U izrazu (3.42) T je temperatura toplotnih izvora (grejaca i hlad-njaka).

Za bilo kakav (reverzibilan ili ireverzibilan) ciklus, na osnovu (3.41) i (3.42), vazi izraz∮

δQ

T≤ 0, (3.43)

27

koji se takodje naziva Clausius-ova nejednacina i pokazuje da u slucaju bilo kakvog ciklusa Clausius-ovintegral nije veci od nule.

Kako je u slucaju povratnih ciklicnih procesa integral po zatvorenoj putanji elementarne redukovanetoplote jednak nuli (izraz 3.41), sledi da je njen integral nezavisan od puta kojim se iz pocetnog stanja dolaziu konacno stanje, odnosno da je podintegralna velicina, tj. redukovana toplota, totalni diferencijal nekefunkcije stanja S koje se naziva entropija:

dS =δQ

T. (3.44)

Na osnovu (3.41) i (3.44) sledi da je u slucaju povratnih ciklicnih procesa

∮dS = 0. (3.45)

Pri prelazu iz pocetnog stanja ”1” u konacno stanje ”2” dolazi do promene entropije cija je vrednost nezavisnaod puta kojim se iz stanja ”1” doslo u stanje ”2”, tj.:

∆S = S2 − S1 =∫ 2

1

dS =∫ 2

1

δQ

T. (3.46)

Jedinica za merenje entropije je J/K. Metode za izracunavanje entropije pomocu drugih termodinamickihvelicina bice razmotrene u glavi 6.

Entropija je eksteznivna velicina (srazmerna masi sistema) tako da moze da se definise njena specificnavelicina tzv. specificna entropija

s =S

m(3.47)

brojno jednaka entropiji jedinice mase sistema. Jedinica za merenje speci-ficne entropije je J/kgK.Slicno drugim ekstenzivnim velicinama i entropija je aditivna velicina, tj. entropija sistema (S) jednaka

je zbiru entropija podsistema (Si) :

S =n∑

l=1

Si. (3.48)

Ovo vazi samo u slucaju kada su ispunjeni uslovi za aditivnost unutrasnje energije i rad, odnosno kada jeunutrasnja energija sistema jednaka zbiru unutrasnje energije podsistema i kada je rad sistema jednak zbirurada podsistema:

U =n∑

i=1

Ui, A =n∑

i=1

Ai. (3.49)

Tada je, na osnovu prvog principa termodinamike, ukupna kolicina toplote koju primi sistem tokom nekogprocesa jednaka zbiru kolicina toplote koju prime podsistemi, tj. Q =

∑ni=1 Qi, tako da je na osnovu (3.46)

promena entropije sistema pri prelazu iz stanja ”1” u stanje ”2” jednaka zbiru promena entropije podsistema,tj.

∆S =∫ 2

1

δQ

T=

∫ 2

1

∑ni=1 δQi

T=

n∑

i=1

∫ 2

1

δQi

T=

n∑

i=1

∆Si. (3.50)

S obzirom da je entropija definisana do na proizvoljnu konstantu, sledi

∆S = (S2 + const)− (S1 + const) = S2 − S1 (3.51)

in∑

i=1

∆Si =n∑

i=1

[(Si2 + const)− (Si1 + const)] =n∑

i=1

(Si2 − Si1) =n∑

i=1

Si2 −n∑

i=1

Si1, (3.52)

tako da na osnovu izraza (3.50) sledi da je entropija sistema, kako u pocet-nom stanju tako i u konacnomstanju, jednaka zbiru entropija podsistema, tj.

S1 =n∑

i=1

Si1, S2 =n∑

i=1

Si2, (3.53)

28

sto je trebalo da se dokaze.

3.5 Promena entropije pri nepovratnim procesima

Iz izraza (3.44) sledi da u slucaju razlicitih povratnih procesa entropija sistema moze da raste, opada ilida se ne menja. Kako je T > 0 sledi da kada se sistemu dovodi toplota (δQ > 0) entropija raste (dS > 0) dokpri odvodjenju toplote (δQ < 0) entropija sistema opada (dS < 0). Entropija sistema se ne menja (dS = 0)kada nema razmene toplote sa okolinom (δQ = 0), tj. u slucaju adijabatskih procesa sistema kao celine.Medjutim, entropija sistema se ne menja i u slucaju kada radno telo vrsi povratni ciklicni proces.

U slucaju povratnih ciklicnih procesa, s obzirom da se radno telo vraca u pocetno stanje, iz izraza (3.45)sledi da se entropija radnog tela ne menja, tj.:

∆Srt =∮

dS = 0. (3.54)

Moze da se pokaze da se u slucaju povratnih ciklicnih procesa (na primer Carnot-ovog ciklusa) i entropijasistema toplotnih izvora ne menja (∆Sti = 0). Naime, tokom jednog ciklusa se od grejaca temperature T1

odvodi toplota Q1 a hladnjaku temperatura T2 se preda toplota Q2 tako da se entropija grejaca smanji za

∆Sg = −Q1

T1, (3.55)

a entropija hladnjaka poveca za

∆Sh =Q2

T2. (3.56)

Ukupna promena entropije sistema toplotnih izvora u slucaju povratnog ciklicnog procesa, na osnovu (3.55),(3.56) i (3.33) jednaka je nuli:

∆Sti = ∆Gg + ∆Sh = −Q1

T1+

Q2

T2= 0 (3.57)

Iz izraza (3.54) i (3.57) sledi da je u slucaju povratnog Carnot-ovog ciklusa (sa dva toplotna izvora) ukupnapromena entropije sistema (radnog tela i toplotnih izvora) jednaka nuli:

∆Ssis = ∆Srt + ∆Sti = 0. (3.58)

Prethodni zakljucak moze da se prosiri i za bilo kakav povratni ciklus (sa beskonacnim brojem toplotnihizvora). Naime, i u slucaju bilo kakvog povratnog ciklicnog procesa entropija sistema kao celina se ne menja:

∆Ssis = 0. (3.59)

Razmotrimo promenu entropije u slucaju nepovratnih procesa, tj. takvih procesa pri kojima postojegradijenti pritiska i temperature. Kao sto je poznato, takvi procesi ne mogu da se pretstave linijama utermodinamickim dijagramima. Neka se radno telo iz pocetnog stanja ”1” nepovratnim (ireverzibilnim)procesom 1-2 (crticasta kriva na slici 3.6.) dovede u novo ravnotezno stanje ”2”, a zatim se povratnimprocesom 2-b-1 vrati u pocetno stanje ”1”. Kako je deo ciklusa nepovratan, sledi da je dati ciklus (1-2-b-1),posmatran u celini, nepovratan.

29

Slika 3.6.Primenom Clausius-ove nejednacine (3.42)

∮δQ

T< 0

na dati nepovratni ciklus 1-2-b-1, uzimajuci u obzir da je deo ciklusa 2-b-1 povratan (reverzibilan) tako daje (izraz 3.44)

∫

2−b−1

(δQ

T

)

p

=∫ 1

2

dS,

sledi ∮δQ

T=

∫

1−2

(δQ

T

)

np

+∫

2−b−1

(δQ

T

)

p

=∫

1−2

(δQ

T

)

np

+∫ 2

1

dS < 0,

odnosno ∫ 2

1

dS = S2 − S1 >

∫

1−2

(δQ

T

)

np

, (3.60)

ili napisano u diferencijalnom obliku

dSsis >

(δQ

T

)

np

. (3.61)

U slucaju kada je nepovratan proces 1-2 adijabatski (δQ = 0), ili kada se bilo kakav nepovratan proces 1-2odvija u izolovanom sistemu (dU = 0, δL = pdV = 0), sto znaci da je u oba slucaja δQ = 0, iz izraza (3.60)sledi ∫ 2

1

dS = S2 − S1 > 0, (3.62)

odnosno, napisano u diferencijalnom obliku:dSsis > 0. (3.63)

Dakle, u izolovanom sistemu, ili u slucaju adijabatske promene stanja sistema, odvijaju se samotakvi ireverzibilni procesi koji dovode do porasta entropije sistema.

Kako se, na osnovu (3.44), pri povratnim procesima entropija izlovanog sistema (δQ = 0) nemenja:

dSsis = 0, (3.64)

iz izraza (3.63) i (3.64) sledi da u slucaju bilo kakvih (povratnih ili nepovratnih) procesa (ciklusa)entropija izolovanog sistema ne opada:

dSsis ≥ 0. (3.65)

Moze da se primeti da je promena entropije radnog tela pri, kako povratnim tako i pri nepovratnim, ciklicnimprocesima jednaka nuli (dSrt = 0), s obzirom da se sistem vraca u pocetno stanje.

Ukoliko se izolovan sistem nalazi u neravnoteznom stanju dolazi do spontanog nepovra-tnog procesapracenog porastom entropije (dS > 0), sve dok sistem ne dostigne ravnotezno stanje odredjeno maksimal-nom vrednoscu entropije (dS = 0, d2S < 0), cime prestaju svi spontani procesi u sistemu. Jasno je da uneizolovanim sistemima entropija moze da raste, opada ili da ostane nepromenjena zavisno od karakteraprocesa.

3.6. Entropija i drugi princip termodinamike.Objedinjeni prvi i drugi princip termodinamike

U slucaju bilo kakvih (povratnih ili nepovratnih) procesa na osnovu izraza (3.46) i (3.60), odnosno (3.44)i (3.61), vaze sledece nejednacine:

∆Ssis = S2 − S1 ≥∫

1−2

δQ

T, (3.66)

odnosnodSsis ≥ δQ

T, (3.67)

30

napisane u integralnom, odnosno diferencijalnom obliku.Izrazi (3.66) i (3.67) predstavljaju analiticke izraza drugog principa termodinamike za povratne (znak

”=”) i nepovratne (znak ”>”) procese bilo kakvog (otvorenog ili zatvore-nog) sistema.U slucaju izolovanog sistema, ili kada je sistem adijabatski izolovan (δQ = 0), analiticki oblik drugog

principa termodinamike je sledeci (izraz 3.65):

dSsis ≥ 0, (3.68)

gde znak jednakosti odgovara povratnom procesu.Na osnovu analitickog oblika drugog principa termodinamike (izraz 3.67)

dS ≥ δQ

T

slediTdS ≥ δQ. (3.69)

Iz jednacine prvog principa termodinamike (izraz 2.79)

δQ = dU + δL,

i nejednacine (3.69), koja predstavlja analiticki izraz drugog principa termodinamike, dobija se objedinjenajednacina prvog i drugog principa termodinamike

TdS ≥ dU + δL. (3.70)

Ukoliko sistem vrsi samo rad sirenja (δL = pdV ) jednacina (3.70) dobija sledeci oblik:

TdS ≥ dU + pdV. (3.71)

U slucaju reverzibilnih procesa objedinjena jednacina prvog i drugog principa termodinamike je data izrazom:

TdS = dU + pdV. (3.72)

3.7. Maksimalan koristan rad. Eksergija

Vazan zadatak termodinamike je ispitivanje uslova pri kojima izolovan sistem vrsi maksimalan koristanrad, tzv. radna sposobnost sistema.

Izolovan sistem moze da vrsi rad samo u slucaju kada se ne nalazi u ravnoteznom stanju ( u ravnotezisa okolnom sredinom), tj. kada temperatura i pritisak razlicitih delova sistema nisu jednaki. Znaci, samoneravnotezan sistem moze da vrsi rad. Dobijanje rada vezano je za prelaz izolovanog sistema iz neravnoteznogu ravnotezno stanje. Vrseci rad sistem se sve vise priblizava ravnoteznom stanju.

Velicina izvrsenog rada, kao sto je poznato, zavisi od karaktera procesa prelaza sistema u ravnoteznostanje. Maksimalan rad pri zatvorenim termodinamickim procesima-ciklusima moze da se dobije u slucajureverzibilnog (povratnog) Carnot-ovog ciklusa, kada je najvisa temperatura radnog tela jednaka temperaturigrejaca a najmanja temperatura radnog tela jednaka temperaturi hladnjaka, tj. u slucaju kada radno telovrsi povratne adijabatske i izotermne procese.

Odredimo velicinu maksimalnog korisnog rada izolovanog adijabatskog sistema (δQs = 0), koga cineradno telo sa okolnom sredinom. Neka su temperatura T0 i pritisak p0 okolne sredine konstantne velicine,nezavisne od velicine primljene kolicine toplotne energije δQ0 i velicine izvrsenog rada nad okolnom sredinomδL0 od strane radnog tela. S obzirom da se temperatura T i pritisak p radnog tela razlikuju od odgovarajucihvelicina okolne sredine, sledi da je dati izolovani sistem neravnotezan i kao takav moze da vrsi rad. Kako jeposmatrani sistem adijabatski izolovan (δQs = 0), na osnovu prvog principa termodinamike

δQs = dUs + δLs,

sledi da je velicina izvrsenog rada izolovanog sistema δLs jednaka smanjenju njegove unutrasnje energije−dUs, tj.

δLs = −dUs. (3.73)

Promena unutrasnje energije izolovanog sistema dUs zbog vrsenja rada δLs jednaka je algebarskom zbirupromena unutrasnje energije radnog tela dU i okolne sredine dU0 :

dUs = dU + dU0. (3.74)

31

Promena unutrasnje energije okolne sredine dU0 koja je nastala zbog razmene toplote δQ0 sa radnimtelom i rada δL0, koji izvrsi radno telo nasuprot sile pritiska okolne sredine, na osnovu prvog principatermodinamike, iznosi:

dU0 = δQ0 − δL0. (3.75)

Na osnovu (3.73), (3.74) i (3.75) dobija se izraz za rad δLs izolovanog sistema izrazen preko velicina dU, δQ0

i δL0 :δLs = −dU − δQ0 + δL0. (3.76)

Pritisak okolne sredine je konstantan (p0 = const) tako da elementarni rad koji izvrsi spoljasnja sredina pridatom procesu iznosi

δL0 = p0dV0, (3.77)

gde je dV0 elementarna promena zapremine okolne sredine. Kako je promena zapremine okolne sredinenastala zbog promene zapremine radnog tela −dV = dV0, iz (3.77) sledi

δL0 = −p0dV. (3.78)

Zbog primljene kolicine toplote δQ0 dolazi do promene (povecanja) entropije dS0 okolne sredine konstantnetemperature T0 (izraz 3.44)

dS0 =δQ0

T0,

tako da jeδQ0 = T0dS0. (3.79)

Smenom izraza (3.78) i (3.79) za δL0 i δQ0, u izraz (3.76) dobija se izraz za rad izolovanog sistema δLs uobliku

δLs = −dU − T0dS0 − p0dV, (3.80)

za slucaj beskonacno male promene stanja sistema, odnosno

Ls = −(U2 − U1)− T0(S02 − S01)− p0(V2 − V1), (3.81)

u slucaju konacne promene stanja sistema.S obzirom da se oduzima deo p0(V2 − V1) rada sistema, koji se trosi na sabijanje okolne sredine, izraz

(3.81) predstavlja koristan rad sistema iz pocetnog neravnoteznog u konacno ravnotezno stanje.Kako je entropija aditivna velicina, i u slucaju izolovanog sistema ne moze da opada, tj.

dSs = dS + dS0 ≥ 0,

sledi da porast entropije okolne sredine dS0 nastaje ukoliko entropija radnog tela opada (dS < 0), odnosno

dS0 ≥ −dS, (3.82)

tako da jeT0dS0 ≥ −T0dS. (3.83)

Smenom izraza (3.83) u (3.80) dobija se

δLs ≤ −dU + T0dS − p0dV, (3.84)

ili u slucaju konacnog procesa

Ls ≤ −(U2 − U1) + T0(S2 − S1)− p0(V2 − V1), (3.85)

odnosnoLs ≤ (U1 − U2)− T0(S1 − S2) + p0(V1 − V2). (3.86)

Iz izraza (3.86) sledi da ce izolovan sistem da izvrsi najveci rad u slucaju kada radno telo vrsi reverzibilan(povratan) proces. Ovaj, tzv. maksimalan rad iznosi

Lm = (U1 − U2)− T0(S1 − S2) + p0(V1 − V2). (3.87)

32

Ovim izrazom je, u isto vreme, definisan tzv. maksimalan koristan rad, s obzirom da desna strana izrazapredstavlja ukupan maksimalan rad sistema umanjen za velicinu rada sirenja radnog tela koji se trosi nasabijanje okolne sredine −p0(V2 − V1).

Maksimalan koristan rad sistema pri datim parametrima okolne sredine p0 i T0 odredjen je pocetnimstanjem radnog tela i ne zavisi od puta kojim se stanje menja.

Iz izraza (3.87) sledi da ce radna sposobnost izvora rada, tj. radnog tela, da bude potpuno iskoriscenaukuliko pritisak p2 i temperatura T2 radnog tela u konacnom stanju ”2” budu jednaki odgovarajucimparametrima okolne sredine, odnosno ukoliko se radno telo dovede u stanje ravnoteze s okolnom sredinom:p2 = p0 i T2 = T0. Pri ovim uslovima su i ostali parametri radnog tela jednaki odgovarajucim parametrimaokolne sredine, tj.: U2 = U0 i V2 = V0. U tom slucaju, iz izraza (3.87), sledi da je maksimalan koristan radL′m dat izrazom

L′m = (U1 − U0)− T0(S1 − S0) + p0(V1 − V0). (3.88)

S obzirom na vezu entalpije I s unutrasnjom energijom U(I = U +pV ), maksimalan koristan rad (izraz 3.88)moze da se napise u obliku

L′m = (I1 − I0)− T0(S1 − S0). (3.89)

Razlika (I1 − I0) u izrazu (3.89) predstavlja spoljasnji rad pri izoentropskom procesu (S =const) a clanT0(S1 − S0) predstavlja koristan spoljasnji rad pri povratnom izoterm-skom procesu (T = const i U =const). Znaci, maksimalan koristan rad se dobija pri povratnim adijabatskim (izoentropskim) i izotermskimprocesima kao i njihovoj kombinaciji (na primer, u slucaju povratnog Carnot-ovog ciklusa). Velicina korisnograda L′m [izraz (3.88) odnosno (3.89)] naziva se i radna sposobnost toplote ili ukupna eksergija tela.

Radna sposobnost toplote, dobijene od grejaca temperature T1 predstavlja onaj deo maksimalnog ko-risnog rada koji moze da se dobije (na racun ove toplote) u slucaju kada je hladnjak okolna sredina temper-ature T0.

U slucaju ciklicnih procesa unutrasnja energija se ne menja tako da je rad izvrsen samo na racun delatoplote Q1 dovedene od grejaca.

Sto je veca razlika temperatura grejaca i hladnjaka to veci deo toplote uzete od grejaca moze da setransformise u rad tokom ciklusa.

Specificna eksergija e = L′m/m koja se cesto naziva specificna tehnicka radna sposobnosttoplote, na osnovu (3.89), data je izrazom:

e = (i1 − i0)− T0(s1 − s0), (3.90)

preko specificne entalpije (i) i specificne entropije (s) u pocetnom i krajnjem stanju procesa.Do sada je nekoliko puta naglaseno da najeci TKI, pri datom izntervalu temperatura, ima povratni

Carnot-ov ciklus. Znaci, najveci maksimalan koristan rad neke kolicine toplote Q1, uzete od grejaca temper-ature T1 moze da se dobije ukoliko radno telo vrsi povratan Carnot-ov ciklus. Tada je

L′m = ηcQ1 = Q1(1− T0

T1), (3.91)

gde je ηc -TKI povratnog Carnot-ovog ciklusa izmedju temperatura T1 i T0.Iz izraza (3.91) sledi da je radna sposobnost toplote tim veca sto je veca razlika temperatura T1 − T0,

tj. veca temperatura grejaca (T1) pri konstantnoj temperaturi hladnjaka (T0). Radna sposobnost postajejednaka nuli u slucaju uspostavljanja termodinamicke ravnoteze izmedju grejaca i hladnjaka (T1 = T0).

3.8. Eksergija i gubici rada usled nepovratnosti realnih procesa

U slucaju nepovratnog (ireverzibilnog) ciklusa koristan rad toplote, uzete od grajaca, je manji od mak-simalnog korisnog rada (radna sposobnost toplote), s obzirom da je TKI bilo kog nepovratnog ciklusa manjiod TKI povratnog Carnot-ovog ciklusa.

Svaka nepovratnost dovodi do srazmernog smanjenja velicine korisnog rada sistema. Kako je velicinaporasta entropije mera nepovratnosti proce-sa, sledi da izmedju smanjenja velicine korisnog rada (gubitkaradne sposobnosti) i porasta entropije postoji jednoznacna veza, odnosno srazmernost.

Velicina smanjenja korisnog rada ∆L, usled nepovratnosti procesa, moze da se dobije iz razlike velicinemaksimalnog korisnog rada toplote (izraz 3.87) kada je proces povratan

Lm = (U1 − U2)− T0(S1 − S2) + p0(V1 − V2)

i velicine korisnog rada sistema u slucaju odgovarajuceg nepovratnog procesa (izraz 3.81)

Ls = (U1 − U2)− T0(S02 − S01) + p0(V1 − V2),

33

tj.,∆L = Lm − Ls = T0[(S02 − S01)− (S1 − S2)]. (3.92)

S obzirom da clan u uglastoj zagradi poslednjeg izraza

(S02 − S01)− (S1 − S2) = (S02 + S2)− (S01 + S1) = Ss2 − Ss1 = ∆Ss, (3.93)

predstavlja prirastaj entropije sistema (∆Ss > 0) usled nepovratnosti proce-sa, gubitak radne sposobnosti∆L s porastom entropija sistema ∆Ss usled nepovratnosti procesa moze da se predstavi izrazom:

∆L = T0∆Ss. (3.94)

Velicina ∆L se cesto naziva energijski gubitak. Analogno izrazu (3.94) gubitak specificne radne sposobnostitoplote (eksergije) zbog nepovratnosti procesa srazmeran je porastu specificne entropije ∆ss :

∆e = T0∆ss. (3.95)

Jednacine (3.94) i (3.95) predstavljaju matematicki izkaz tzv. Gui-Stodoline teoreme.Iz izraza (3.94) i (3.95) jasno sledi da pri povratnim procesima u izolovanom sistemu, kada se entropija

sistema ne menja, nema gubitaka radne sposobnosti toplote, odnosno eksergije.Koriscenje eksergijskog metoda, koji se u poslednje vreme sve vise koristi, pogodno je za termodinamicku

analizu procesa, ciklusa ili uredjaja u celini.Da bi se okarakterisao, odnosno definisao, stepen povratnosti nekog procesa ili ciklusa, uveden je u

termotehniku pojam eksergijskog koeficijenta iskoriscenja (EKI) ηe. U slucaju termodinamickih ciklusaEKI predstavlja odnos realno dobijenog korisnog rada Ls prema velicini maksimalnog korisnog rada, koji bise dobio da je ciklus povratan, tzv. radna sposobnost toplote Lm :

ηe =Ls

Lm=

lslm

, (3.96)

gde ls i lm predstavljaju odgovarajuce specificne radove. Kako u slucaju povratnih procesa nema gubitakaeksergije maksimalan specificni koristan rad toplote je jednak razlici dovedene e1 i odvedene e2 eksergije:

lm = e1 − e2. (3.97)

Usled nepovratnosti procesa dolazi do gubitaka eksergije ∆e tako da specifi-cni koristan rad sistema iznosi:

ls = lm −∆e = (e1 − e2)−∆e. (3.98)

Na osnovu izraza (3.96), (3.97) i (3.98) EKI nepovratnog ciklusa iznosi

ηe = 1− ∆e

e1 − e2. (3.99)

U slucaju povratnih procesa i ciklusa je lm = ls pa je tada (izraz (3.92)) EKI maksimalan i jednak jedinici(ηe = 1).

Na osnovu eksergijske analize (vrednosti EKI procesa ili ciklusa) moze da se zakljuci o mogucnostiusavrasavanja procesa, ciklusa i uredjaja u celini.

34

Primer 3.1 Odrediti termicki koeficijent iskoriscenja Lenauer-ovog ciklusa, koji se sastoji iz izohore,adijabata i izobare (slika P3.1). Stepen povisenja pritiska iznosi ψ = p2

p1= 10. Radno telo je idealan gas.

Slika P3.1.

resenje: Toplota se dovodi radnom telu tokom izohornog procesa

q1 = cv(T2 − T1), (P3.1.1)

a odvodi tokom izobarne kompresijeq2 = cp(T1 − T3). (P3.1.2)

Termicki koeficijent iskoriscenja ovog ciklusa, na osnovu (P3.1.1) , (P3.1.2) i (3.16), iznosi

η = 1− |q2|q1

= 1− cp(T3 − T1)cv(T2 − T1)

= 1− k(T3

T1− 1)

(T2T1− 1)

. (P3.1.3)

Kako je proces 1 → 2 izohoran slediT2

T1=

p2

p1= ψ, (P3.1.4)

odnosnoT2 = ψT1. (P3.1.5)

S druge strane, proces 2 → 3 je adijabatski, tako da uzimajuci u obzir da je p3 = p1, sledi

T2p1−k

k2 = T3p

1−kk

3 = T3p1−k

k1 , (P3.1.6)

odnosnoT3

T2= (

p2

p1)

1−kk = ψ

1−kk (P3.1.7)

Iz (P3.1.5) i (P3.1.7) sledi

T3 = T2ψ1−k

k = ψT1ψ1−k

k = T1ψ1k . (P3.1.8)

Na osnovu (P3.1.3), (P3.1.4) i (P3.1.8) dobija se vrednost termickog koeficijenta iskorisce-nja Lanauer-ovogciklusa:

η = 1− k(T3

T1− 1)

(T2T1− 1)

= 1− kψ

1k − 1

ψ − 1= 0, 35.

35

Primer 3.2 Odrediti eksergiju (maksimalan koristan rad -radna sposobnost) vazduha mase m=7kgsmestenog u balon pod pritiskom p1 = 15MPa i temperaturi t1 = 200C jednakoj temperaturi okolne sre-dine t0 = t1 = 200C. Pritisak okolne sredine je p0 = 0.1MPa. Gasna konstanta za vazduh je R = 287J/kgK.

resenje: Maksimalan koristan rad se dobija kada se gas izotermski (T0 = T1 = const) siri do pritiskaokolne sredine (p2 = p0), s obzirom na povratnost datog procesa, izracunava se na osnovu izrza (3.84):

L′m = (U1 − U0)− T0(S1 − S0) + p0(V1 − V0).

U datom slucaju jeU1 − U2 = mcv(T1 − T0) = 0

i

∆S = S2 − S1 = S0 − S1 =∫ 2

1

δQ

T=

∫ 2

1

dU

T+

∫ 2

1

p

TdV =

= mcv

∫ 2

1

dT

T+ mR

∫ 2

1

dV

V= mcvln

T2

T1+ mRln

V2

V1= mRln

p1

p2=

= mRlnp1

p0= 1, 007 · 104J/K,

tako da je T0∆S = 2, 949MJ. Pocetna i krajnja zapremina gasa iznose, respektivno:

V1 =mRT1

p1= 0, 392m3

iV2 = V0 =

mRT0

p0=

mRT1

p0= V1

p1

p0= 5, 866m3,

pa jep0(V1 − V0) = −0, 585MJ.

Eksergija vazduha iznosi

L′m = T0(S0 − S1) + p0(V1 − V0) = 2, 949MJ − 0, 585MJ = 2, 364MJ.

Brojna vrednost maksimalnog korisnog rada moze da se odredi graficki na osnovu p,v (ili T, s) -dijagrama(slika P3.2) i jednaka je povrsini 1-2-5-1. Naime, kolicina toplote dovedene gasu T0(S2−S1) > 0, jednaka jeradu sirenja gasa i brojno je jednka povrsini 1-2-3-4-1. Poslednji clan u izrazu (3.84) je negativan p0(V1 −V0) < 0, i predstavlja deo neiskoriscenog rada, koji se trosi na sabijanje okolne sredine konstantnog pritiskap0 i brojno je jednak povrsini 2-3-4-5-2.

Slika P3.2.

Primer 3.3 Odrediti ukupnu eksergiju kiseonika mase m=1kg i temperature t1 = 5000C na pritiskujednakom atmosferskom pritisku p1 = p0. Pritisak i temperatura okolnog vazduha, iznose, respektivno, p0 =0, 1MPa i t0 = 200C.R = 260J/kgK. Smatrati da je kiseonik idealan gas.

36

resenje: Maksimalan rad moze da se dobije ako se dati gas (kiseonik) povratnim procesom dovede uravnotezu sa okolnom sredinom, tako da bude p2 = p1 = p0 i T2 = T0. Ovo moze da se postigne ukoliko segas prvo adijabtski siri do temperature okolne sredine a zatim izotermno sabije do pritiska okolne sredine(slika P3.3)

Slika P3.3.Pri tome je za krajnje tacke ukupnog procesa

U1 − U2 = mcv(T1 − T0) = mcvT0(T1

T0− 1),

S1 − S0 =∫ 1

2

δQ

T=

∫ 1

2

mcpdT

T= mcpln

T1

T2= mcpln

T1

T0,

odnosnoT0(S1 − S0) = mcpT0ln

T1

T0.

Kako je V2 = mRT0p0

i V1 = V2T1T0

sledi

p0(V1 − V2) = p0V2(V1

V2− 1) = mRT0(

T1

T0− 1).

Kako je U2 = U0, S2 = S0 i V2 = V0 smenom dobijenih izraza u (3.84) dobija se vrednost ukupne eksergije:

L′m = mcpT0(T1

T0− 1− ln

T1

T0) =

mkT0

k − 1(T1

T0− 1− ln

T1

T0)

=1 · 1, 40 · 260 · 293

0, 4(773293

− 1− ln773293

) = 178kJ/kg ≈ 180kJ/kg.

37

4. KARAKTERISTICNE FUNKCIJE I TERMODINAMICKIPOTENCIJALI. MAXWELL-OVE RELACIJE

4.1. Karakteristicne funkcije i termodinamicki potencijali

Za opisivanje termodinamickih svojstava sistema u termotehnici se koriste dva metoda:metod kruznih procesa i metod termodinamickih potencijala (ili karakteristicnih funkcija).Karakteristicne funkcije su funkcije stanja tj. fizicke velicine koje su jednoznacno defi-nisane parametrima stanja. Poznavanjem karakteristicnih funkcija i njenih izvoda moguda se odrede sva termodinamicka svojstva sistema, kao sto su na primer, parametri stanja,jednacine stanja, jednacine za specificne toplotne kapacitete Cp i Cv kao i drugi termodi-namicki potencijali.

U termodinamici se specificna zapremina (v), pritisak (p) i temperatura (T ) nazivajutermickim parametrima (svojstvima) sistema, dok se unutrasnja energija (u), en-talpija (i), entropija (s), specificna toplota (cp, cv) itd, nazivaju kalorickim parametrima(svojstvima) sistema.

Jednacine stanja koje povezuju termicke parametre stanja sistema, kao sto suF (p, v, T ) = 0 ili p = p(v, T ) i T = T (p, v), nazivaju se termickim jenacinama.Jednacine koje povezuju tri parametra stanja od kojih je jedan kaloricki, kao na primer,i = i(p, T ), u = u(v, T ) i dr., nazivaju kalorickim jednacinama stanja.

Karakteristicne funkcije karakterisu odredjene termodinamicke procese i sadrze pot-puna obavestenja o termickim i kalorickim svojstvima sistema. Tako na primer, prviizvodi ovih funkcija odredjuju parametre stanja p, v, T (termicka svojstva) a drugi izvodiovih funkcija velicine cp i cv (kaloricka svojstva).

Karakteristicne funkcije su unutrasnja energije U(S, V ), entalpija I(S, p), Helmholtz-ova funkcija (slobodna energija) F (T, V ), Gibbs-ova funkcija (slobodna entalpija) G(T, p),entropija S(V,U) i zapremina V (S, U).

Karakteristicne funkcije su aditivne i jednoznacne funkcije stanja sistema a njihovidiferencijalni prirastaji su totalni diferencijali.

Unutrasnja energija U je karakteristicna funkcija nezavisno promenljivih entropijeS i zapremine V, tj. U = U(S, V ).

Polazeci od jednacina prvog i drugog principa termodinamike dobija se izraz kojiobjedinjuje oba pomenuta principa:

TdS ≥ dU + pdV. (4.1)

Ovaj izraz ujedno predstavlja uslov koji mora da bude zadovoljen pri odvijanju kako reverz-ibilnih tako i ireverzibilnih procesa u sistemu. U slucaju reverzibilnih procesa prethodniizraz dobija oblik

TdS = dU + pdV, (4.2)

tako da u slucaju kada sistem vrsi rad (pdV 6= 0) promena unutrasnje energije sistemaiznosi

dU = TdS − pdV. (4.3)

S obzirom da je unutrasnja energija U funkcija nezavisno promenljivih S i V sledi daprirastaj unutrasnje energije sistema iznosi

dU(S, V ) =(

∂U

∂S

)

V

dS +(

∂V

∂S

)

S

dV. (4.4)

Iz jednacina (4.3) i (4.4) dobijaju se izrazi za parametre stanja T i p

T =(

∂U

∂S

)

V

(4.5)

48

i

p = −(

∂U

∂V

)

S

(4.6)

Entalpija I je karakteristicna funkcija nezavisno promenljivih entropije S i pritiska p, tj.I = I(S, p).

Kako je (izraz 2.32) I = U + pV, prirastaj entalpije termodinamickog sistema iznosi

dI = dU + pdV + V dp. (4.7)

Smenom dU iz jednacine (4.4) u prethodni izraz (4.7) dobija se

dI = TdS + V dp. (4.8)

Kako je, s druge strane, entalpija funkcija nezavisno promenljivih S i p sledi

dI(S, p) =(

∂I

∂S

)

p

dS +(

∂I

∂p

)

S

dp (4.9)

Iz jednacina (4.8) i (4.9) dobijaju se izrazi za parametre stanja T i V preko izvoda entalpijepo parametrima S i p :

T =(

∂I

∂S

)

p

(4.10)

i

V =(

∂I

∂p

)

S

. (4.11)

Helmholtz-ova funkcija (slobodna energija) F je karateristicna funkcija nezavisnopromenljivih temperature T i zapremine V, tj. F = F (T, V ) i predstavlja izotermno-izohorni potencijal.

Slobodna energija F je povezana s unutrasnjom energijom U relacijom

F = U − TS. (4.12)

Uzevsi u obzir jednacine (4.12) i (4.3) prirastaj slobodne energije dF = dU − TdS − SdTiznosi

dF = −SdT − pdV. (4.13)

Kako je F = F (T, V ), prirastaj slobodne energije je dat izrazom

dF (T, V ) =(

∂F

∂T

)

V

dT +(

∂F

∂V

)

T

dV. (4.14)

Poredjenjem jednacina (4.13) i (4.14) dobija se

S = −(

∂F

∂T

)

V

(4.15)

i

p = −(

∂F

∂V

)

T

. (4.16)

49

Pri izotermnom procesu (T = const) prirastaj slobodne energije iznosi

dF = −pdV. (4.17)

Znaci, pri izotermnom procesu sistem vrsi rad na racun smanjenja slobodne energije (δA =−dF ).

Kako je U = F + TS, na osnovu prethodnog sledi da slobodna energija predstavljaonaj deo unutrasnje energije sistema koji moze da se transformise u rad; velicina TS senaziva vezana energija s obzirom da taj deo unutrasnje energije ne moze da se prevedeu rad.

Gibbs-ova funkcija (slobodna entalpija) G je karakteristicna funkcija nezavisnopromenljivih temperature T i pritiska p, tj. G = G(T, p) i predstavlja izotermno-izobarnipotencijal.

Slobodna entalpija G vezana je s entalpijom I relacijom:

G = I − TS. (4.18)

Uzevsi u obzir jednacine (4.18) i (4.8) prirastaj slobodne entalpije dG = dI − TdS − SdTdobija oblik

dG = −SdT + V dp. (4.19)

Kako je G = G(T, p) prirastaj slobodne entalpije iznosi

dG(T, p) =(

∂G

∂T

)

p

dT +(

∂G

∂p

)

T

dp. (4.20)

Poredjenjem jednacina (4.19) i (4.20) dobija se da je

S = −(

∂G

∂T

)

p

(4.21)

i

V =(

∂G

∂p

)

T

. (4.22)

Karakteristicne termodinamicke funkcije povezane su medjusobno tako da znajuci jednuod njih mogu da se nadju druge. Na primer, pomocu izraza (4.12) i (4.15) jednostavnose nalazi relacija koja povezuje slobodnu energiju F (i njen prvi izvod) s unutrasnjomenergijom U (Gibbs-Helmholtz-ova jednacina):

U = F + TS = F − T

(∂F

∂T

)

V

. (4.23)

Slicno prethodnom, uz pomoc izraza (4.18) i (4.21) dobija se relacija koja povezuje slobodnuentalpiju G i njen prvi izvod s entalpijom I :

G = I − TS = I + T

(∂G

∂T

)

p

. (4.24)

Entalpija I moze da se predstavi preko drugih karakteristicnih funkcija U,F, i G. Naprimer, iz relacije (2.32) sledi veza entalpije I i unutrasnje energije U :

I = U + pV, (4.25)

50

iz relacije (4.18) sledi veza entalpije i slobodne entalpije G :

I = G + TS, (4.26)

a iz relacije (4.12) i (4.25) sledi veza entalpije I i slobodne energije F :

F = U − TS = I − pV − TS,

tako da jeI = F + pV + TS. (4.27)

Osim prethodnih relacija, iz izraza (4.18) i (4.27) dobija se veza izmedju slobodne entalpijeG i slobodne energije F :

G = I − TS = (F + pV + TS)− TS = F + pV. (4.28)

Prethodno nadjene veze izmedju karakteristicnih funkcija I, U, F i G [relacije (4.25), (4.26)i (4.27)] graficki su prikazane na slici 4.1.

Slika 4.1.Osim navedenih karakteristicnih funkcija U, I, F i G, kao karakteristicna funkcija neza-

visno promenljivih U i V smatra se entropija S = S(U, V ). Naime, iz jednacine (4.2) sledi

dS =1T

dU +p

TdV. (4.29)

S obzirom da je

dS(U, V ) =(

∂S

∂U

)

V

dU +(

∂S

∂V

)

U

dV, (4.30)

iz izraza (4.29) i (4.30) sledi

T =1(

∂S∂U

)V

(4.31)

i

p = T

(∂S

∂V

)

U

=

(∂S∂V

)U(

∂S∂U

)V

. (4.32)

51

4.2. Maxwell-ove relacije

Diferencijalni prirastaji karakteristicnih funkcija, kako je vec naglaseno, su totalnidiferencijali tako da njihovi uzastopni izvodi ne zavise od redosleda diferenciranja. Takoje

∂2U

∂V ∂S=

∂2U

∂S∂V, (4.33)

pa se iz relacija (4.5) i (4.6) dobija

(∂T

∂V

)

S

= −(

∂p

∂S

)

V

. (4.34)

S obzirom da je∂2I

∂V ∂S=

∂2I

∂S∂V(4.35)

iz relacija (4.10) i (4.11) se dobija

(∂T

∂p

)

S

=(

∂V

∂S

)

p

. (4.36)

Slicno prethodnom, s obzirom da su dF i dG totalni diferencijali, iz relacija (4.15) i (4.16)kao i relacija (4.29) i (4.22) dobijaju se nove relacije

(∂S

∂V

)

T

=(

∂p

∂T

)

V

(4.37)

i (∂S

∂p

)

T

= −(

∂V

∂T

)

p

. (4.38)

Relacije (4.34), (4.36), (4.37) i (4.38) nazivaju se Maksvel-ove termodinamicke relacije(jednacine). Maksvel-ovim relacijama su povezani parcijalni izvodi termodinamickihparametara p, V, T i S.

Na slici 4.2 prikazana je sema pomocu koje se lako nalaze veze izmedju parcijalnihizvoda odgovarajucih termodinamickih parametara a time i Maksvel-ove relacije.

Slika 4.2.

Smer strelice oznacava koji se parametar diferencira po kom parametru. Na primer,T → V oznacava parcijalni izvod ( ∂T

∂V )S . Ukoliko se strelice ukrstaju odgovarajuci parcijalniizvodi su suprotnog znaka.

52

4.3. Hemijski potencijal

Pri razmatranju karakteristicnih funkcija U = U(S, V ), I = I(p, S),F = F (T, V ) i G = G(T, p), kao i funkcija S = S(V, U) i V = V (S, U), koje se takodjemogu smatrati karakteristicnim, ukazano je da su one aditivne a time i ekstenzivne velicine.Naime, ukoliko se masa m bilo kog dela sistema poveca nekoliko puta toliko puta ce da seuvecaju i vrednosti svih karakteristicnih funkcija. Znaci, termodinamicke karakteristicnefunkcije zavise i od mase m komponenata sistema:

U = mu; I = mi; F = mf ; G = mg; S = ms; V = mv, (4.39)

gde su u, i, , f, g, s, v− odgovarajuce specificne velicine. Slicno relacijama (4.24) (4.12)i (4.18), koje povezuju entalpiju I, slobodnu energiju F i slobodnu entalpiju G sa un-utrasnjom energijom U, jednostavno se dobijaju relacije koje povezuju odgovarajuce speci-ficne velicine:

i = u + pv (4.40)

f = u− Ts, (4.41)

g = i− Ts = u + pv − Ts. (4.42)

Iz prethodnog sledi da do promene unutrasnje energije sistema moze da dodje, ne samo prirazmeni toplote i vrsenju rada, vec i pri ravnoteznom (reverzibilnom) dovodjenju (ili odvod-jenju) beskonacno male kolicine supstance, mase dm pri konstantnoj entropiji S =const ikonstantnoj zapremini V = const:

dU = TdS − pdV + ϕdm, (4.43)

gde je

ϕ =(

∂U

∂m

)

S,V

(4.44)

tzv. hemijski potencijal.Na osnovu izraza (4.39) i (3.72) prirastaj unutrasnje energije iznosi:

dU = d(mu) = mdu + udm = m(Tds− pdv) + udm. (4.45)

Kako jemds = d(ms)− sdm = dS − sdm, (4.46)

imdv = d(mv)− vdm = dV − vdm, (4.47)

izraz (4.45) moze da se napise u sledecem obliku:

dU = TdS − pdV + (u− Ts + pv)dm. (4.48)

Na kraju, na osnovu prethodnog izraza (4.48) i (4.42) dobija se:

dU = TdS − pdV + gdm. (4.49)

Poredjenjem poslednjeg izraza (4.49) sa izrazom (4.43) dobija se da je hemijski potencijal(ϕ) jednak specificnoj slobodnoj entalpiji (g) :

53

ϕ = g. (4.50)

Na slican nacin moze da se pokaze da vaze sledce relacije:

dI = TdS + V dp + ϕdm, (4.51)

dF = −SdT − pdV + ϕdm, (4.52)

dG = −SdT + V dp + ϕdm. (4.53)

Iz jednacina (4.43), (4.51), (4.52) i (4.53) sledi da je

ϕ =(

∂U

∂m

)

S,V

=(

∂I

∂m

)

S,p

=(

∂F

∂m

)

T,V

=(

∂G

∂m

)

T,p

, (4.54)

sto znaci da je hemijski potencijal jednak parcijalnom izvodu bilo koje karakteristicnefunkcije po masi pri konstantnim vrednostima odgovarajucih nezavisno promenljivih.

Iz izraza (4.43) slediTdS = dU + pdV − ϕdm, (4.55)

odnosnodS =

1T

dU +p

TdV − ϕ

Tdm, (4.56)

tako da je (∂S

∂U

)

V,m

=1T

;(

∂S

∂V

)

U,m

=p

T;

(∂S

∂m

)

U,V

= −ϕ

T. (4.57)

Na osnovu izraza (4.54) ustanovljeno je kako pomocu hemijskog potencijala mogu da seodrede promene karakteristicnih funkcija bilo kog sistema pri promeni kolicine supstancijeu sistemu. Zbog toga hemijski potencijal igra vaznu ulogu pri analizi faznih prelaza kao iu hemijskoj termodinamici pri razmatranju hemijskih reakcija.

54

Primer 4.1. Dokazati da je promena entalpije kod izoentropske promene stanjasrazmerna izvrsenom radu.

resenje: Entalpija (i) i unutrasnja energija (u) povezane su relacijom (2.33) i =u + pv. Diferenciranjem predhodnog izraza dobija se

di = du + pdv + vdp.

Znajuci da je (relacija (3.72))du = Tds− pdv,

sledi (4.8)di = Tds + vdp. (P4.1.1)

Iz (P4.1.1) sledi da promena entalpije kod izoentropske promene stanja (ds = 0) iznosi

(di)s = vdp. (P4.1.2)

S druge strane, u slucaju izoentroske promene stanja sledi

pvκ = const, (P4.1.3)

pa jevdp + κpdv = 0. (P4.1.4)

S obzirom da elementarni rad iznosi

δl = pdv,

iz predhodnog izraza (P4.1.4) se dobija

vdp = −κpdv = −κδl (P4.1.5)

Iz (P4.1.2) i (P4.1.5) sledi(di)s = −κδl, (P4.1.6)

tako da je promena entalpije kod izoentropske promene stanja srazmerna izvrsenom radu

(∆i)s = −κl, (P4.1.7)

sto je trebalo da se dokaze.

Primer 4.2. Specificni Gibbs-ov potencijal nekog sistema dat je izrazom:

g = u0 + aT (1− lnT ) + RTlnp− Ts0,

gde su u0, a, R i s0 konstante. Naci termicku i kaloricku jednacinu stanja tog sistema.

resenje: Gibbs-ov potencijal (g) entalpija (i) i unutrasnja energija (u) povezani surelacijama [(4.18) i (2.33)]:

g = i− Ts, (P4.2.1)

i = u + pv. (P4.2.2)

Kako je iz (2.54) i (3.44) du = δq − pdv i δq = Tds, sledi (3.72)

du = Tds− pdv. (P4.2.3)

55

Na osnovu (P4.2.1), (P4.2.2) i (P4.2.3) dobija se (4.19)

dg = −sdT + vdp. (P4.2.4)

S druge strane, kako je g = g(T, p), dobija se (4.20)

dg =(

∂g

∂T

)

p

dT +(

∂g

∂p

)

T

dp. (P4.2.5)

Iz (P4.2.4) i (P4.2.5) sledi [relacije (4.21) i (4.22)]

v =(

∂g

∂p

)

T

, (P4.2.6)

−s =(

∂g

∂T

)

p

. (P4.2.7)

U datom slucaju je

v =(

∂g

∂p

)

T

=∂

∂p[u0 + aT (1− lnT ) + RTlnp− Ts0]T =

RT

p, (P4.2.8)

sto znaci da je termicka jednacina stanja datog sistema oblika

pv = RT. (P4.2.9)

S druge strane, iz (P4.2.1) i (P4.2.2) sledi

u = i− pv = g + Ts− pv. (P4.2.10)

Smenom konkretnog izraza za Gibbs-ov potencijal i parametara v i s

v =(

∂g

∂p

)

T

=RT

p,

s = −(

∂g

∂T

)

p

= alnT −Rlnp + s0, (P4.2.11)

[dobijenih na osnovu izraza (P4.2.7) i (P4.2.8)], u izraz (P4.2.10) dobija se kalorickajednacina stanja oblika:

u = u0 + (a−R)T. (P4.2.12)

Primer 4.3. Naci jednacinu adijabate i jednacinu stanja idealnog gasa ako je entalpija(i) data izrazom:

i = cppκ−1

κ es−s0

cp

resenje: Elementarna promena entalpije data je izrazom (P4.1.1)

di = Tds + vdp. (P4.3.1)

56

S druge strane, kako je i = i(s, p), dobija se (4.9)

di =(

∂i

∂s

)

p

ds +(

∂i

∂p

)

s

dp. (P4.3.2)

Iz (P4.3.1) i (P4.3.2) sledi [(4.10) i (4.11)]

T =(

∂i

∂s

)

p

, (P4.3.3)

v =(

∂i

∂p

)

s

. (P4.3.4)

U slucaju adijabatske promene stanja (s = const), a na osnovu (P4.3.4), sledi

v =(

∂i

∂p

)

s

=∂

∂p

(cpp

κ−1κ · e

s−s0cp

)

s

=κ− 1

κcp · p− 1

κ · es−s0

cp , (P4.3.5)

pa je jednacina adijabate oblika

pvκ =(

κ− 1κ

· cp · es−s0

cp

)κ

, (P4.3.6)

odnosnopvκ = const. (P4.3.7)

Kako je [na osnovu (P4.3.3)]

T =(

∂i

∂s

)

p

=∂

∂s

(cp · p

κ−1κ e

s−s0cp

)

p

= pκ−1

κ es−s0

cp , (P4.3.8)

slediTp−

κ−1κ = e

s−s0cp . (P4.3.9)

Na osnovu (P4.3.6) i (P4.3.9) sledi

v

T=

κ− 1κ

· cp

p=

cp − cv

p=

R

p, (P4.3.10)

pa je jednacina stanja idealnog gasa

pv = RT. (P4.3.11)

Primer 4.4 Jednacina stanja idealnog elektronskog gasa je oblika pv = 23u. Naci

jednacinu adijabate u promenljivim: a) p, v i b) T, v.

resenje: a) Elementarna promena unutrasnje energije data je izrazom (3.72)

du = Tds− pdv. (P4.4.1)

57

U slucaju adijabatskog procesa (ds = 0) je

du = −pdv. (P4.4.2)

Kako je u konkretnom slucaju

u =32pv (P4.4.3)

sledidu =

32pdv +

32vdp. (P4.4.4)

Iz (P4.4.2) i (P4.4.4) sledidv

v+

35

dp

p= 0, (P4.4.5)

pa jelnp + lnv

53 = const, (P4.4.6)

odnosnopv

53 = const. (P4.4.7)

b) Izrazavajuci unutrasnju energiju preko parametara T i v [u = u(T, v)] sledi (4.1)

du =(

∂u

∂T

)

v

dT +(

∂u

∂v

)

T

dv. (P4.4.8)

Iz (P4.4.1) sledi (∂u

∂v

)

T

= T

(∂s

∂v

)

T

− p. (P4.4.9)

Na osnovu Maxwell-ove termodinamicke jednacine (4.37)

(∂s

∂v

)

T

=(

∂p

∂T

)

v

, (P4.4.10)

i iz izraza (P4.4.9) sledi (primer 4.7)

(∂u

∂v

)

T

= T

(∂p

∂T

)

v

− p. (P4.4.11)

Na osnovu (P4.4.8) i (P4.4.11) dobija se

du =(

∂u

∂T

)

v

dT +[T

(∂p

∂T

)

v

− p

]dv, (P4.4.12)

pa uzimajuci u obzir da je [na osnovu (P4.4.2)] du = −pdv sledi

(∂u

∂T

)

v

dT + T

(∂p

∂T

)

v

dv = 0. (P4.4.13)

58

Kako je, u datom slucaju, pv = 23u sledi

(∂u

∂T

)

v

=32v

(∂p

∂T

)

v

. (P4.4.14)

Iz (P4.4.13) i (P4.4.14) sledidT

T+

23

dv

v= 0, (P4.4.15)

odakle jelnT + lnv

23 = const, (P4.4.16)

odnosnoTv

23 = const. (P4.4.17)

Primer 4.5. Koristeci se metodom karakteristicnih funkcija izraziti izvod entalpije(∂i∂p

)T

preko v, T i(

∂v∂T

)p.

resenje: Kako je (P4.1.1.) di = Tds + vdp sledi

(∂i

∂p

)

T

= T

(∂s

∂p

)

T

+ v. (P4.5.1)

Na osnovu Maxwell-ove termodinamicke jednacine (4.38)

(∂s

∂p

)

T

= −(

∂v

∂T

)

p

, (P4.5.2)

i izraza (P4.5.1) dobija se(

∂i

∂p

)

T

= v − T

(∂v

∂T

)

p

(P4.5.3)

Primer 4.6. Dokazati da vazi sledeca termodinamicka relacija:

(∂p

∂T

)

v

(∂T

∂v

)

p

(∂v

∂p

)

T

= −1.

resenje: Za neku funkciju z = z(x, y) je

dz =(

∂z

∂x

)

y

dx +(

∂z

∂y

)

x

dy (P4.6.1)

i∂2z

∂x∂y=

∂2z

∂y∂x. (P.4.6.2)

59

Ako je z = const (dz = 0) iz (P4.6.1) sledi

(∂z

∂x

)

y

dx +(

∂z

∂y

)

x

dy = 0. (P4.6.3)

Parcijalnim izvodom po x pri z = const iz (P4.6.3) dobija se

(∂z

∂x

)

y

+(

∂z

∂y

)

x

(∂y

∂x

)

z

= 0, (P4.6.4)

odnosno (∂z

∂y

)

x

(∂y

∂x

)

z

= −(

∂z

∂x

)

y

, (P4.6.5)

pa je (∂z

∂y

)

x

(∂y

∂x

)

z

= − 1(∂x∂z

)y

, (P4.6.6)

i konacno (∂z

∂y

)

x

(∂y

∂x

)

z

(∂x

∂z

)

y

= −1. (P4.6.7)

Ako je z = p, x = v i y = T [p = p(v, T )] iz (P4.6.7) sledi

(∂p

∂T

)

v

(∂T

∂v

)

p

(∂v

∂p

)

T

= −1 (P4.6.8)

sto je trebalo dokazati.

Primer 4.7. Na osnovu Maxwell-ovih jednacina izvesti sledecu diferencijalnu ter-modinamicku jednacinu:

T

(∂p

∂T

)

v

=(

∂u

∂v

)

T

+ p

resenje: Kako je (3.72) du = Tds− pdv sledi

(∂u

∂v

)

T

= T

(∂s

∂v

)

T

− p. (P4.7.1)

Jedna od Maxwell-ovih jednacina je (4.37)

(∂s

∂v

)

T

=(

∂p

∂T

)

v

, (P4.7.2)

tako da se smenom (P4.7.2) u (P4.7.1) dobija

(∂u

∂v

)

T

= T

(∂p

∂T

)

v

− p, (P4.7.3)

60

odnosno

T

(∂p

∂T

)

v

=(

∂u

∂v

)

T

+ p, (P4.7.4)

sto je trebalo dokazati.

Primer 4.8. Koristeci se metodom karakteristicnih funkcija izraziti promenu en-tropije pri beskonacno malom izobarskom sirenju −(ds)p preko promene zapremine dv ikoeficijenta zapreminskog sirenja α = 1

v ( ∂v∂T )p.

resenje: Ako se promena entropije izrazi preko promene specificne zapremine i prome-ne pritiska,

ds(p, v) =(

∂s

∂v

)

p

dv +(

∂s

∂p

)

v

dp, (P4.8.1)

sledi da je pri izobarnom sirenju (p=const)

(ds)p =(

∂s

∂v

)

p

dv. (P4.8.2)

Kako je (∂s

∂v

)

p

=(

∂s

∂T

)

p

(∂T

∂v

)

p

(P4.8.3)

i (∂T

∂v

)

p

=1(

∂v∂T

)p

=1αv

, (P4.8.4)

[gde je α = 1v

(∂v∂T

)p], i s obzirom da je (P6.7.1)

(∂s

∂T

)

p

=1T

cp, (P4.8.5)

sledi (∂s

∂v

)

p

=cp

αvT. (P4.8.6)

Iz (P4.8.2) i (P4.8.65) konacno se dobija

(ds)p =cp

αvTdv. (P4.8.7)

61

5. RAVNOTEZA TERMODINAMICKIH SISTEMA I FAZNI PRELAZI

5.1. Homogeni i heterogeni termodinamicki sistemi

Termodinamicki sistemi uslovno se dele na homogene i nehomogene (heterogene)sisteme.

Homogeni sistemi su takvi sistemi unutar kojih ne postoji povrsina razdela kojadeli makroskopske delove sistema, odnosno, kod kojih su hemijski sastav i fizicke osobinejednaki u svim njegovim delovima ili se menjaju od jedne do druge tacke sistema ali bezprekida (skoka). Primer homogenog sistema je smesa gasova, zatim tecni i cvrsti rastvorikao i tela istog hemijskog sastava u jednom od agregatnih stanja. Fizicke osobine, ovakvihsistema, mogu da se menjaju bez prekida kao, na primer, gustina vazduha sa nadmorskomvisinom u polju sile teze.

Heterogeni sistemi su takvi sistemi koji se sastoje iz dva ili vise homogenih sistema(faza) odvojenih povrsinom razdela. Pri prolazu kroz povrsinu razdela fizicka i hemijskasvojstva supstance menjaju se skokom. Tacnije receno, povrsinu razdela cini sloj supstanceduz koga se pri prolazu iz jedne u drugu fazu fizicka i hemijska svojstva menjaju brzo.Heterogene sisteme, u opstem slucaju, cine hemijski i fizicki razlicite faze. Heterogenisistemi mogu biti sacinjeni i od razlicitih agregatnih stanja iste supstance, tj. mogu daimaju isti hemijski sastav ali razlicite fizicke osobine (led-voda-para). Ne treba mesatiagregatna stanja s fazama. Broj faza moze da bude znatno veci od broja agregatnih stanjadate supstance. Faza heterogenog sistema moze da se sastoji i iz vise hemijski razlicitihsupstanci (na primer, smese i rastvori).

5.2. Termodinamicka ravnoteza

Stanje termodinamicke ravnoteze je takvo stanje u kome, pri nepromenjenimspoljnjim uslovima, sistem ostaje beskonacno dugo. U stanju termodinamicke ravnotezeparametri sistema se ne menjaju s vremenom i ne postoji teznja za spontanom promenomstanja. Svi spontani procesi teze stanju termodinamicke ravnoteze. Razlikuje se stanjestabilne, nestabilne i relativno stabilne ravnoteze.

Stanje stabilne ravnoteze (stabilno stanje) termodinamickog sistema se karak-terise time sto se posle prestanka dejstva spoljnjih sila, koje dovode do odklona sistema izstanja stabilne ravnoteze, sistem spontano vraca u pocetno ravnotezno stanje.

Stanje nestabilne ravnoteze (labilno stanje) termodinamickog sistema se karak-terise time sto se posle prestanka dejstva spoljnih sila sistem ne vraca u pocetno stanje vecprelazi u novo stanje i to stanje stabilne ravnoteze. Cak i vrlo male spoljnje sile mogu danepovratno izvedu sistem iz stanja labilne ravnoteze. Zbog stalnog dejstva razlicitih per-turbujucih faktora sistem moze da egzistira u stanju labilne ravnoteze samo u vrlo kratkomvremenskom intervalu.

Stanje relativno stabilne ravnoteze (metastabilno stanje) se karakterise timeda beskonacno male spoljne sile (perturbacije) izazivaju beskonacno male otklone iz ovogstanja, a po prestanku njihovog uticaja sistem se spontano vraca u pocetno stanje (kao kodstanja stabilne ravnoteze), medjutim dovoljno jake perturbacije nepovratno izvode sistemiz metastabilnog u novo stanje stabilne ravnoteze.

Na primer, metastabilna stanja su stanje prehladjene vode ili stanje presicene pare.

5.3. Uslovi stabilne ravnoteze jednokomponentnih sistema

S obzirom da svi spontani procesi teze stanju stabilne ravnoteze, vazno je da se nadjuuslovi (kriterijumi) stabilne ravnoteze a na osnovu njih odredi pravac odvijanja mogucegspontranog procesa.

62

5.3.1. Uslovi ravnoteze izolovanih sistema

Razmotrimo uslove ravnoteze izolovanih homogenih sistema. Karakteristikaizolovanog sistema (sistema sa idealnom toplotnom izolacijom) je da ne razmenjuje toplotus okolinom (δQ = 0) i ne vrsi rad sirenja ili se nad njim ne vrsi rad (pdV = 0), odnosnoda se unutrasnja enerija sistema ne menja (dU = 0). Znaci, za izolovani sistem je dU =0 i dV = 0 odnosno, U = const i V = const. Koristeci se prvim i drugim zakonomtermodinamike, ranije je pokazano (glava 3) da u slucaju odvijanja bilo reverzibilnih iliireverzibilnih procesa u termodinamickom sistemu mora da bude zadovoljen uslov (3.71)

TdS ≥ dU + pdV (5.1)

Na osnovu ovog opsteg uslova dobija se uslov za ravnotezu izolovanog sistema (dU =0, dV = 0) :

dS ≥ 0. (5.2)

Znak ” > ” odgovara neravnoteznom stanju sistema, a znak jednakosti odgovara stanjuravnoteze sistema pri kojem je entropija dostigla maksimalnu vrednost. Znaci, u stanjuravnoteze izolovanog sistema je

S = Smax; dS = 0; d2S < 0, (5.3)

gde poslednji izraz oznacava da u stanju ravnoteze entropija ima maksimum.Iz prethodnog sledi da u izolovanom sistemu u stanju ravnoteze prestaju svi spontani

procesi koji bi mogli da naruse postignutu ravnotezu, s obzirom da su svi spontani procesiireverzibilni i kao takvi praceni porastom entropije (dS > 0). Znaci, u izolovanim sistemimasponatni procesi mogu da teku sve dotle dok entropija ne dostigne maksimum,odnosno dok sistem ne dostigne stanje ravnoteze.

5.3.2. Uslovi ravnoteze neizolovanih sistema

Ukoliko sistem interaguje s okolnom sredinom konkretni uslovi ravnoteze mogu da seodrede iz opsteg uslova odvijanja termodinamickog procesa (5.1), kao u slucaju ravnotezeizolovanih sistema, uz koriscenje konkretnih uslova interakcije sistema s okolnom sredinom.

Razmotrimo uslove ravnoteze u slucaju cetiri razlicita uslova interakcije sistema sokolnom sredinom:

1. uslov interakcije: zapremina sistema se ne menja a sistem razmenjuje toplotu sokolinom pri konstantnoj entropiji tj. V =const i S = const.Iz relacije (5.1), napisane u obliku dU ≤ TdS− pdV, za ovaj slucaj interakcije sistema

sa okolinom (dV = 0 i dS = 0) sledi uslov

dU ≤ 0. (5.4)

Znaci,u slucaju izohorno-izoentropskog procesa unutrasnja energija opada(ne moze da raste) tako da u slucaju ravnoteze ima minimalnu vrednost:

U = Umin; dU = 0; d2U > 0. (5.5)

2. uslov interakcije: sistem razmenjuje toplotnu energiju i rad sa okolnom sredinompri konstantnom pritisku i konstantnoj entropiji, tj. p = const i S = const. Promenaentalpije sistema

dI = d(U + pV ) = dU + pdV + V dp, (5.6)

63

na osnovu izraza (5.1), moze da se napise u obliku

dI ≤ TdS + V dp, (5.7)

odakle se dobija da pri izobarno-izoentropskom procesu (dp = 0, dS = 0) en-talpija opada (ne raste)

dI ≤ 0, (5.8)

tako da u stanju ravnoteze dostize minimalnu vrednost:

I = Imin; dI = 0; d2I > 0. (5.9)

3. uslov interakcije: zapremina sistema se ne menja a sistem razmenjuje toplotu sokolnom sredinom pri konstantnoj temperaturi, tj. V = const i T = const.Promena slobodne energije (Helmholtz-ova funkcija) sistema

dF = d(U − TS) = dU − TdS − SdT, (5.10)

na osnovu izraza (5.1), moze da se napise i obliku

dF ≤ −SdT − pdV. (5.11)

Iz poslednjeg izraza se dobija da pri izobarno izotermnom procesu (dV = 0, dT = 0)slobodna energija opada (ne raste)

dF ≤ 0, (5.12)

tako da u ravnoteznom stanju dostize minimalnu vrednost:

F = Fmin; dF = 0; d2F > 0. (5.13)

4. uslov interakcije: sistem razmenjuje toplotnu energiju i rad pri konstantnom pri-tisku i konstantnoj temperaturi, tj. p = const i T = const.Promena slobodne entalpije (Gibbs-ova funkcija) sistema

dG = d(I − TS) = dI − TdS − SdT, (5.14)

na osnovu izraza (5.7) (dI ≤ TdS + V dp), iznosi

dG ≤ −SdT + V dp. (5.15)

U datom slucaju (dp = 0 i dT = 0) sledi

dG ≤ 0, (5.16)

sto znaci da pri izobarno-izotermnom procesu slobodna entalpija opada (neraste) tako da u ravnoteznom stanju dostize minimalnu vrednost:

G = Gmin; dG = 0; d2G > 0. (5.17)

64

Izrazi (5.5), (5.9), (5.13) i (5.17) su opsti uslovi ravnoteze neizolovanih sistema. Izborjednacine pomocu koje bi se izucila ravnoteza termodinamickog sistema zavisi od togakojim parametrima se karakterise sistem.

Uslovi ravnoteze zahtevaju da sve termodinamicke funkcije (potencijali) imajuminimalne vrednosti, pri datim uslovima interakcije sistema sa okolnom sredi-nom, a entropija maksimalnu vrednost kod izolovanih sistema.

5.4. Uslovi ravnoteze i stabilnosti izolovanog homogenogjednofaznog sistema

Podelimo misaono izolovan homogeni jednofazni sistem na dva podsistema ”1” i ”2” inadjimo uslove ravnoteze ovih podsistema. Kako je ceo sistem izolovan sledi V1+V2 = consti U1 +U2 = const., tako da povecanje zapremine ili unutrasnje energije jednog podsistemanastaje na racun smanjenja zapremine i unutrasnje energije drugog podsistema, tj.,

dV1 = −dV2 i dU1 = −dU2. (5.18)

U prethodnom paragrafu (5.3.1.) pokazano je da u stanju termodinamicke ravnoteze en-tropija izolovanog sistema ima konstantnu maksimalnu vrednost (S = Smin, dS = 0, d2S <0). Kako je entropija aditivna velicina, u ovom slucaju je

dS1 + dS2 = 0, (5.19)

tako da iz jednacineTdS = dU + pdV

sledidS =

1T

dU +p

TdV. (5.20)

Za podsisteme ”1” i ”2” promene entropije, na osnovu (5.20) i (5.18), iznose

dS1 =1T1

dU1 +p1

T1dV1 (5.21)

idS2 =

1T2

dU2 +p2

T2dV2 = − 1

T2dU1 − p2

T2dV1. (5.22)

Zamenom (5.21) i (5.22) u (5.19) dobija se(

1T1− 1

T2

)dU1 +

(p1

T1− p2

T2

)dV2 = 0, (5.23)

odakle jeT1 = T2 i p1 = p2. (5.24)

S obzirom da je rezultat (5.24) dobijen nezavisno od nacina podele izolovanog sistema napodsisteme, sledi da su u stanju ravnoteze izolovanog homogenog sistema temper-atura i pritisak jednaki u svim delovima sistema.

Na osnovu posebnih termodinamickih razmatranja, pokazuje se da u stanju stabilnetermodinamicke ravnoteze svaki homogeni sistem mora da zadovolji i sledece uslove sta-bilnosti

cv > 0 (5.25)

65

i (∂p

∂v

)

T

< 0. (5.26)

Iz uslova (5.25), koji se naziva uslov termicke stabilnosti, sledi da specificni toplotnikapacitet pri konstantnoj zapremini mora da bude pozitivna velicina, cv > 0 a time icp > 0.

Drugi uslov (5.26), tzv. uslov mehanicke stabilnosti, kazuje da je povecanje za-premine pri konstantnoj temperaturi praceno padom pritiska i obratno.

5.5. Uslovi fazne ravnoteze

Razmotrimo uslove fazne ravnoteze izolovanog sistema koji se sastoji od dveju ra-zlicitih faza, pri cemu kolicina (masa), supstancije iz jedne faze moze da prelazi u drugufazu. Kao u prethodnom poglavlju, razdelimo misaono sistem na dva podsistema (faze)”1” i ”2”. Kako je sistem izolovan sledi

V1 + V2 = const; U1 + U2 = const; m1 + m2 = const, (5.27)

tako da promena zapremine, unutrasnje energije i mase jednog podsistema (faze) moze danastane samo na racun promene odgovarajucih velicina drugog podsistema, tj. faze:

dV1 = −dV2; dU1 = −dU2; dm1 = −dm2. (5.28)

Na osnovu jednacine (4.56), primenjene na podsisteme ”1” i ”2”, sledi

dS1 =1T1

dU1 +p1

T1dV1 +

ϕ1

T1dm1, (5.29)

idS2 =

1T2

dU2 +p2

T2dV2 +

ϕ2

T2dm2, (5.30)

gde ϕ1 i ϕ2 predtsvljaju hemijske potencijale odgovarajucih faza. Kako je u stanju ter-modinamicke ravnoteze

dSsis = dS1 + dS2 = 0, (5.31)

na osnovu (5.29) i (5.30) sledi

(1T1− 1

T2

)dU1 +

(p1

T1− p2

T2

)dV1 −

(ϕ1

T1− ϕ2

T2

)dm1 = 0, (5.32)

tako da jeT1 = T2; p1 = p2; ϕ1 = ϕ2. (5.33)

Znaci, dve faze se nalaze u ravnotezi ako su im temperature, pritisci i hemijskipotencijali medjusobno jednaki. Ovaj zakljucak moze da se prosiri i na visefaznesistema.

66

5.6. Fazni prelazi

Prelaz supstancije iz jedne u drugu fazu naziva se fazni prelaz. Premda je pojamfaze i faznog prelaza uzi od pojma agregatnog stanja* u daljem izlaganju ce se pod pojmomfaze i faznog prelaza podrazumevati agregatno stanje i prelaz iz jednog u drugo agregatnostanje.

Zavisno od spoljnjih uslova (p, T ) supstance se nalaze u razlicitim agregatnim stanjima.

Faze se karakterisu razlicitim fizickim svojstvima, posebno gustinom (specificnom za-preminom). Razlika u osobinama faza se objasnjava karakterom medjumolekulskih inter-akcija. Tako se pri faznom prelazu tzv. toplota faznog prelaza trosi na rad sirenja i na toraskidanje medjumolekulskih veza. Na primer, pri topljenju i sublimaciji toplota se utrosina razaranje kristalne resetke. Toplota faznog prelaza zavisi od pritiska i temperature iopada s njihovim porastom. Kako se sublimacija (kao direktan prelaz iz cvrste u gasnufazu) ostvaruje pri niskim pritiscima sledi da je toplota sublimacije velika u poredjenju satoplotom topljenja i isparavanja.

Pri ispitivanju ravnoteze faza i faznih prelaza cesto se koristi tzv. Gibbs-ovo faznopravilo koje povezuje broj stepeni slobode termodinamickog sistema (ψ) sa brojem kom-ponenti sistema (n) i brojem faza u sistemu (r) :

ψ = n− r + 2. (5.34)

U slucaju ”ciste” supstance (jednokomponentni sistem, n = 1) pravilo faza ima oblik:

ψ = 3− r. (5.35)

Odavde sledi da je za jednokomponentni (n = 1) jednofazni sistem (r = 1) broj stepenislobode ψ = 2. Ovakav sistem je definisan ukoliko su zadata dva parametra stanja, naprimer, p i T dok se ostali intenzivni parametri sistema (v, i s itd.) odredjuju jednoznacno.

Dvofazni jednokomponentni sistemi (r = 2, n = 1) u stanju ravnoteze na osnovu(5.35), ima jedan stepen slobode (ψ = 1) tj., nezavisne promenljive su, na primer, pritisakili temperatura. Broj stepeni slobode trofaznog jednokomponentnog sistema (r = 3, n = 1)u stanju ravnoteze, na osnovu (5.35), jednak je nuli (ψ = 0).

Znaci, tri faze mogu da se nalaze u ravnotezi samo pri, za datu supstanciju konkret-nim (odredjenim) konstantnim vrednostima pritiska i temperature.

* na primer, led kao cvrsto agregatno stanje vode ima nekoliko faza tzv. alotropskihmodifikacija

67

Slika 5.1Na slici 5.1, u p, T dijagramu, prikazane su krive faznih prelaza neke supstance. Linija

OA predstavlja krivu topljenja (otvrdnjavanja), linija OB - krivu sublimacije (desubli-macije), linija OK - krivu kljucanja (kondenzacije). Tacka K, u kojoj se zavrsava linijakljucanja, naziva se kriticna tacka.

Stanje, u kojem postoje sve tri faze naziva se trojna tacka (tacka O na slici 5.1).Na osnovu p,T dijagrama za datu supstancu moze da se odredi agregatno stanje pri

datom pritisku i temperaturi.

5.7. Clausius-Clapeyron-ova jednacina

Dve faze, na primer, dvofaznog sistema nalaze se u termodinamickoj ravnotezi ukolikosu im pritisci, temperature i hemijski potencijali jednaki (izraz 5.33). Znaci, pri datojtemperaturi T = T1 = T2 i pritiska p = p1 = p2 dve faze ce se naci u ravnotezi ukoliko jeispunjen uslov

ϕ1(p, T ) = ϕ2(p, T ). (5.36)

Neka se temperatura i pritisak datog dvofaznog sistema promene za dT i dp, respektivno,ali tako da sistem ostane u stanju termodinamicke ravnoteze. Iz uslova ravnoteze sledi

ϕ1(p + dp, T + dT ) = ϕ2(p + dp, T + dT ). (5.37)

Razvojem funkcije ϕ(p + dp, T + dT ) u red i zadrzavanjem na prvim clanovima razvojadobija se

ϕ(p + dp, T + dT ) = ϕ(p, T ) +(

∂ϕ

∂p

)

T

dp +(

∂ϕ

∂T

)

p

dT. (5.38)

Kako je na osnovu (4.21), (4.22) i (4.50)(

∂ϕ

∂p

)

T

=(

∂g

∂p

)

T

= v i(

∂ϕ

∂T

)

p

=(

∂g

∂T

)

p

= −s (5.39)

slediϕ(p + dp, T + dT ) = ϕ(p, T ) + vdp− sdT. (5.40)

68

Kada se izraz (5.40) primeni za fazu ”1” i fazu ”2” a zatim zameni u (5.37) dobija se

ϕ1(p, T ) + v1dp− s1dT = ϕ2(p, T ) + v2dp− s2dT. (5.41)

Kako je u stanju ravnoteze ϕ1(p, T ) = ϕ2(p, T ) poslednji izraz moze da se napise u obliku

dp

dT=

s2 − s1

v2 − v1=

∆s

∆v. (5.42)

Obzirom da se prelaz iz jedne u drugu fazu desava pri konstantnoj temperaturi i konstant-nom pritisku, iz jednacine drugog zakona termodinamike (3.72) i izraza (2.33)

Tds = du + pdv = du + d(pv)− vdp =

= d(u + pv)− vdp = di− vdp (5.43)

slediTds = di, (5.44)

odnosnoT (s2 − s1) = i2 − i1. (5.45)

U slucaju faznih prelaza, razlika entalpija datih faza (i2 − i1) jednaka je toploti faznogprelaza (r), tj. kolicini toplote koju oslobadja ili apsorbuje jedinica mase pri faznomprelazu:

r = i2 − i1, (5.46)

tako da se na osnovu (5.46) i (5.45) dobija izraz za promenu entropije pri faznom prelazu

s2 − s1 =r

T. (5.47)

Zamenjujuci dobijen izraz za promenu entropije (5.47) u jednacinu (5.42) dobija se Clausi-us-Clapeyron-ova jednacina:

dp

dT=

r

T (v2 − v1). (5.48)

Ovom diferncijalnom jednacinom ustanovljena je zavisnost promene pritiska sa temper-aturom od kalorickih (r) i termicih (v1, v2) svojstava supstancije na liniji faznog prelaza, atime je definisan tok (razvoj) krive ravnoteze faza (linije faznog prelaza) u p,T dijagramu,jer dp

dT pretstavlja nagib krive p = p(T ).Clausius-Clapeyronova jednacina je primenljiva pri prelazima iz jednog u drugo agre-

gatno stanje hemijski homogenih supstanci (tela): pri topljenju, otvrdnjavanju (kristal-izaciji), isparavanju i kondenzaciji a takodje pri polimorfnim prelazima (iz jednog u drugo,takodje cvrsto, stanje).

5.8. Stabilnost faza

Razmotrimo sistem od dveju faza konstantnih i jednakih temperatura i konstantnihi jednakih pritisaka. Neka je, na primer, jedna faza tecnost cija je masa mt i hemijskipotecijal ϕt a druga faza-njena zasicena para mase mp i hemijskog potencijala ϕp.

Ukupan Gibbsov potencijal (izobarno-izotermni potencijal) sistema, s obzirom na os-obinu aditivnosti termodinamickih potencijala, moze da se napise u obliku

Gs = ϕtmt + ϕpmp. (5.49)

69

Ukoliko se dati sistem ne nalazi u ravnoteznom stanju tada ce doci do smanjenja Gibbs-og potencijala sistema (dGs < 0), s obzirom da u ravnoteznom stanju dostize minimum(5.17). Pri konstantnoj temperaturi (dT = 0) i konstantnom pritisku (dp = 0) su takodjekonstantne vrednosti hemijskih potencijala datih faza, odnosno dϕt = 0 i dϕp = 0 (jerje dϕ = −sdT + vdp). Do promene Gibssovog potencijala moze da dodje samo na racunpromene masa mt i mp faza (5.49):

dGs = ϕtdmt + ϕpdmp.

Kako je ukupna masa sistema konstantna:

ms = mt + mp = const

sledi dmt = −dmp, tako da promena Gibbsov-og potencijala iznosi

dGs = (ϕp − ϕt)dmp. (5.50)

Da bi se zakljucilo koja je od dveju faza pri datim uslovima stabilnija, potrebno je da serazmotri zavisnost hemijskog potencijala od pritiska pri konstantnoj temperaturi za obefaze a zatim odredi znak razlike ϕp − ϕt pri konstantnom pritisku. S obzirom da je naosnovu (5.39) (

∂ϕ

∂p

)

T

= v =1ρ

> 0,

izoterma ϕ = ϕ(p) je monotono rastuca kriva. Kako je(

∂2ϕ

∂p2

)

T

=(

∂v

∂p

)

T

< 0

(uslov (5.26)) izoterma ϕ = ϕ(p) je konveksna (na gore) (slika 5.2.)Nagib izoterme ϕ = ϕ(p) za fazu vece specificne zapremine, tj. manje gustine, je veci.

Na primer (slika 5.2), izoterma zasicene pare (”p”) je veceg nagiba od izoterme za tecnost(”t”).

70

Slika 5.2.Tacka S u kojoj se seku kriva ”p” i ”t” je tacka fazne ravnoteze date supstance

(ϕp = ϕt).Sa slike (5.2) se vidi da je u oblasti pritisaka p < ps hemijski potencijal zasicene pare

nizi od hemijskog potencijala tecnosti ϕp < ϕt, odnosno ϕp − ϕt < 0, tako da sistem teziravnotezi (dG < 0) samo ako raste masa pare dmp > 0 na racun mase tecnosti, sto znacida je pri datim uslovima stabilnija faza nize vrednosti hemijskog potencijala, tj. faza pare.

Kada je p > ps, sledi ϕt < ϕp, odnosno ϕp−ϕt > 0, tako da sistem tezi ravnotezi akoopada masa pare dmp < 0, tj. ako raste masa tecnosti na racun mase pare. Znaci, opet jestabilnija faza koja pri datim uslovima ima nizu vrednost hemijskog potencijala, tj. fazatecnosti. Na osnovu prethodnog sledi da je pri datim vrednostima p i T stabilnijaona faza ciji je hemijski potencijal nizi.

71

Primer 5.1. Za dve faze jednokomponentnog sistema poznate su slobodne energijef1(T, v) i f2(T, v) kao funkcije karakteristicnih promenljivih. Dokazati da se ravnoteznespecificne zapremine faza pri datoj temperaturi T mogu da odrede na osnovu zajednicketangente na krive f1(v) i f2(v).

resenje: Uslovi termodinamicke ravnoteze za dvofazne jednokomponentne sisteme su(5.33):

p1 = p2 = p, (P5.1.1)

T1 = T2 = T, (P5.1.2)

ϕ1(T, p) = ϕ2(T, p), (P5.1.3)

gde je [(4.50) i (4.28)]ϕ = f + pv = g (P5.1.4)

hemijski potencijal, jednak slobodnoj entalpiji g. Kako je (4.41)

f = u− Ts,

sledidf = du− Tds− sdT. (P5.1.5)

S druge strane (3.72) jedu = Tds− pdv, (P5.1.6)

tako da se na osnovu (P5.1.5) i (P5.1.6) dobija (4.13)

df = −sdT − pdv. (P5.1.7)

Iz (P5.1.7) sledi (4.16)

p = −(

∂f

∂v

)

T

, (P5.1.8)

a s obzirom na (P5.1.1) i (P5.1.8) dobija se

(p =)−(

∂f1

∂v

)

T

= −(

∂f2

∂v

)

T

. (P5.1.9)

Na osnovu (P5.1.3) i (P5.1.4)) je

f1 + p1v1 = f2 + p2v2, (P5.1.10)

odnosno [na osnovu (P5.1.1)]f1 + pv1 = f2 + pv2, (P5.1.11)

tako da je

p = −f2 − f1

v2 − v1(P5.1.12)

72

.

Slika P5.1

Izrazi (P5.1.9) i (P5.1.12) pokazuju da se pri datoj temperaturi ravnoteza postize izmedjustanja prikazanih tackama 1 i 2 (cije su apscise v1 i v2) na krivama f1(v) i f2(v), kojeimaju zajednicku tangentu (slika P 5.1).

Primer 5.2. U zatvorenom sudu zapremine V0 = 5 · 10−3m3 nalazi se mT

= 10 kgvode na temperaturi od T = 373 K. Prostor iznad vode ispunjen je zasicenom vodenomparom (vazduh je evakuisan). Odrediti povecanje mase ∆m zasicene pare pri povecanjutemperature za ∆T = 1K. Toplota isparavanja iznosi r = 2, 3 · 106 J/kg. Gasna konstantaza vodenu paru je R=461J/kgK. Smatrati da je vodena para idealan gas.

resenje: S obzirom da je pritisak pare mali, para moze da se smatra idealnim gasomtako da na osnovu jednacine stanja za idealni gas pv = RT, sledi da promena temperaturezasicene pare za dT dovodi do promene specificne zapremine dv i promene pritiska dp :

pdv + vdp = RdT (P5.2.1)

odnosnop

dv

dT+ v

dp

dT= R. (P5.2.2)

Na osnovu Clausius-Clapeyron-ove jednacine (5.48)

dp

dT≈ r

Tv(P5.2.3)

[specificna zapremina pare mnogo je veca od specificne zapremine tecnosti] i na osnovuizraza (P5.2.1) sledi

− dv

dT=

1p(v

dp

dT−R) =

1p(r

T−R). (P5.2.4)

73

Opadanje specificne zapremine s porastom temperature znaci da se povecava mase dmzasicene pare. Kako je v = V

m sledi,

dm = − V

v2dv, (P5.2.5)

gde je V = V0 − VT = V0 − mT

ρT

, raspoloziva zapremina pare, V0− zapremine posude, a

VT = mT

ρT− zapremina vode, mase m

Ti gustine ρ

T. Iz (P5.2.4) i (P5.2.5), posle prelaza

na konacan prirastaj, sledi:

∆m = − V

v2∆v =

V

v2p(r

T−R)∆T = (V0 − m

T

ρT

) · R

v2p(

r

RT− 1)∆T =

=p

RT 2(V0 − m

T

ρT

)(r

RT− 1)∆T = 0, 76g.

Primer 5.3. Eksperimentalno je ustanovljena sledeca zavisnost pritiska pare etra odtemperature:

log p = −2, 17 · 103T−1 + 16, 025− 1, 81 · 10−2T + 1, 72 · 10−5T 2,

gde je T < 273K; p je u Pa. Izracunati vrednost latentne toplote isparavanje etra pritemperaturi od 243K. Specificna zapremina pare etra i tecnog etra iznose v′′ = 5515 cm3/gi v′ = 1, 3cm3/g, respektivno.

resenje: Na osnovu date zavisnosti log p = f(T ) sledi

p = 10logp = 10(−2,17·103T−1+16,025−1,81·10−2T+1,72·10−5T 2)

pa jedp

dT= 10(−2,17·103T−1+16,025−1,81·10−2T+1,72·10−5T 2)×

×2, 303(2, 17 · 103T−2 − 1, 81 · 10−2 + 3, 44 · 10−5T ).

Pri temperaturi T = 243K(

dp

dT

)

T=243K

= 103,713 × 0, 0621 = 320, 7Pa/K.

Na osnovu Clausius-Clapeyron-ove jednacine (5.48) sledi da je letentna toplota isparavanja

r = T (v′′ − v′)(

dp

dT

)

T=243K

= 243(5515− 1, 3) · 10−3 · 320, 7J = 430kJ

Primer 5.4 Pod kojim pritiskom ce da kljuca voda pri temperaturi od 950 C? Specifi-cna toplota isparavanja vode u intervalu (950 − 1000C) moze da se smatra konstantnom ida iznosi 2,256MJ/kg.

74

resenje: Na osnovu Clausius-Clapeyron-ove jednacine (5.48)

dp

dT=

r

T (vp − vT),

obzirom da je specificna zapremina vodene pare vp mnogo veca od specificne zapreminevode vT (vp À vT ), sledi

dp

dT∼= r

Tvp. (P5.4.1)

Kako je

vp =RT

p, (P5.4.2)

gde je R = 461 J/kg K gasna konstanta vodene pare, iz (P5.4.1) i (P5.4.2) sledi

dp

p=

r

RT 2· dT , (P5.4.3)

odnosnolnp = − r

R

1T

+ lnc. (P5.4.4)

Konstanta intergracije c, nalazi se iz uslova da je pri atmosferskom pritisku (pa = 1.013·105

Pa) temperatura kljucanja Tnk = 373 K

lnc = lnpa +r

RTnk. (P5.4.5)

Na osnovu predhodnog [smenom (P5.4.5) u (P5.4.4)] dobija se da ce voda pri temper-aturi od 950 C da kljuca pod pritiskom od

p = paerR ( 1

Tnk− 1

T ) = 0, 0848MPa.

75

6. TERMODINAMICKA SVOJSTVA SUPSTANCIJE

Jedan od zadataka termodinamike je da, na osnovu osnovnih zakona termodinamike,uz pomoc termodinamickih diferencijalnih jednacina s odgovarajucim karakteristicnimfunkcijama, ispita karakter medjusobne zavisnosti najrazlicitijih termodinamickih svojs-tava supstancije, kao i zavisnost termodinamickih svojstava od osnovnih termodinamicihparametara. Posebno je interesantno razmatranje termickih i kalorickih svojstava supstan-cije, kao sto su unutrasnja energija (U), entropija (S), entalpija (I), specificna zapremina(v), specificni toplotni kapacitet pri konstantnom pritisku (cp) i konstantnoj zapremini (cv)termicki koeficijenti zapreminskog sirenja (α) i izotermicke kompresibilnosti (β), u svakomod agreganih stanja i faza supstancije.

6.1. Termicka i kaloricka svojstva cvrstih tela

Karakteristicna osobenost cvrstih tela, sto se tice termodinamickih svojstava, po kojojse ona bitno razlikuju od drugih agregatnih stanja supstancije, je relativno mala vrednostkoeficijenta izotermicke kompresibilnosti

β = −1v

(∂v

∂p

)

T

. (6.1)

Za vecinu supstanci u cvrstom stanju, kako je eksperimentalno pokazano, koeficijent izoter-micke kompresibilnosti β nalazi se u intervalu (10−10− 10−12)Pa−1, tako da se pri tehnic-kim proracunima moze smatrati da je kompresibilnost cvrstih tela zanemarljiva, tj. daspecificna zapremina pri T= const skoro ne zavisi od pritiska.

Do promene specificne zapremine cvrstih tela pri T=const

∆v =∫ p

p0

(∂v

∂p

)

T

dp (6.2)

dolazi samo pri sabijanju do vrlo velikih pritisaka (∼ 109Pa). Tako na primer, pri pritiskuod 1010Pa specificna zapremina dijamanta smanji se za oko 1.5%.

Kod vecine cvrstih tela temperaturski koeficijent zapreminskog sirenja

α =1v

(∂v

∂T

)

p

(6.3)

je pozitivna velicina (α > 0), skoro nezavisna od temperature (α ≈ const) u oblastisrednjih i visih temperatura. Temperaturski koeficijent linearnog sirenja αl = 1

l (∂l∂T )p, koji

karakterise promenu linearnih dimenzija tela s temperaturom pri konstantnom pritisku, zavecinu cvrstih tela ima relativno malu vrednost; pri sobnoj temparaturi αl se nalazi uintervalu (10−5 − 10−6)K−1. U slucaju izotropnih tela vazi jednostavna relacija αl = α

3koja povezuje temperaturski koeficijent linearnog i zapreminskog sirenja.

Zavisnost specificne zapremine od temperature nalazi se jednostavno znajuci da je

α =1v

(∂v

∂T

)

p

=(

∂lnv

∂T

)

p

. (6.4)

Iz prethodnog sledi ∫ v

v0

dlnv =∫ T

T0

α(T )dT, (6.5)

76

tako da se zavisnost v = v(T ) poznaje ukoliko je poznata, na primer iz eksperimenta,zavisnost koeficijenta zapreminskog sirenja od temperature α = α(T ) :

v = v0e

∫ T

T0α(T )dT

. (6.6)

Za cvrsta tela, u temperaturskom intervalu u kome se temperaturski koeficijent zapremin-skog sirenja slabo menja s temperaturom (α ≈ const), na osnovu izraza (6.6) sledi da sespecificna zapremina menja s temperaturom po eksponencijalnom zakonu:

v(T ) = v0eα(T−T0), (6.7)

gde je v0 = v(T0) specificna zapremina pri temperaturi T0. Specificne toplote pri konstant-noj zapremini i konstantnom pritisku, ma koje supstance, definisane su izrazima (2.31) i(2.47), odnosno (7.20), tj.

cv =δqv

dT=

(∂u

∂T

)

v

= T

(∂s

∂T

)

v

(6.8)

i

cp =δqp

dT=

(∂i

∂T

)

p

= T

(∂s

∂T

)

p

. (6.9)

Razlika specificnih toplota pri konstantnom pritisku i konstantnoj zapremini iznosi (pogle-dati primer 6.2):

cp − cv = −T

(∂p

∂v

)

T

(∂v

∂T

)2

p

(6.10)

odnosno

cp − cv =α2vT

β, (6.11)

gde je α−temperaturski koeficijent zapreminskog sirenja a β− koeficijent izotermicke kom-presibilnosti.

Kako je koeficijent zapreminskog sirenja cvrstih tela vrlo mali, iz rela-cije (6.11) sledida je i relativna razlika specificnih toplota takodje mala (cp − cv)/cv = 0.03 − 0.05, takoda se pri tehnickim proracunima moze sa dovoljnom tacnoscu smatrati da je cp ≈ cv.

Eksperimentalno je pokazano da je pri srednjim i visokim temperaturama (iznad sobnetemperature) specificna toplota cvrstih tela skoro nezavisna od temperature, tj. kon-stantna, izuzev supstanci koje u datoj temperaturskoj oblasti trpe fazni prelaz, na primer,prelazeci iz jedne kristalne modifikacije u drugu, iz feromagnetnog u paramagnetno stanjeitd; pribilizavajuci se temperaturi faznog prelaza specificna toplota i koeficijent linearnogsirenja trpe vrlo veliki porast. Metodama molekularno-kineticke teorije supstancije us-tanovljeno je da je u pomenutoj temperaturskoj oblasti, izuzev oblasti faznih prelaza,specificna toplota konstantna

cv = 3R, (6.12)

gde je R−gasna konstanta supstancije. Molarna specificna toplota Cv = Mcv vecine cvrstihtela u datoj temperaturskoj oblasti iznosi

Cv = 3RM = 25J/molK, (6.13)

77

gde je M−molarna masa supstancije a RM = MR = 8.314J/molK− univerzalna gasnakonstanta. Relacija (6.13) izrazava eksperimentalno ustanovljen Dulong-Petit-ov (Dilon-Ptijev) zakon. Dulong-Petit-ov zakon je primenljiv za hemijski prosta cvrsta tela prisrednjim i visokim temperaturama. Inace, merenja specificne toplote cvrstih tela razlicitihkristalografskih struktura i razlicitog hemijskog sastava u razlicim temparaturskim inter-valima pokazala su da se eksperimentalni rezultati priblizno slazu s rezultatom dobijenimna osnovu molekularno-kineticke teorije (izraz 6.13) a u nekim temperaturskim oblastimaevidentno je potpuno neslaganje. Tako, u oblasti niskih temparatura Dulong-Petit-ov za-kon prestaje da vazi, s obzirom da rezultati merenja pokazuju jako izrazenu zavisnostspecificne toplote od temperature. Naime, blizu temperature apsolutne nule specificnatoplota cvrstih tela srazmerna je trecem stepenu apsolutne temperature:

cv = const T 3. (6.14)

Relacija (6.14) izrazava poznat Debajev (Debye-ev) zakon.Eksplicitna zavisnost specificne toplote od temperature u principu ne moze da se do-

bije metodama termodinamike vec metodama kvantne statistike (Debyee 1912) uzimajuciu obzir ogranicenu primenljivost klasicnog principa ravnomerne raspodele energije po ste-penima slobode, kao i to da atomi, molekuli ili joni koji obrazuju kristalnu resetku cvrstogtela mogu da osciluju razlicitim frekvencijama. Tako se dobija da za cvrsta tela prostekristalne strukture, van oblasti temparature faznih prelaza, vazi jednacina

cv = 3RF(

T

Θ

), (6.15)

gde je F (TΘ

)− opsta funkcija redukovane temperature T/Θ nezavisna od individualnihosobina cvrstog tela. Individualna svojstva supstancije su izrazena preko velicina R i Θ.Velicina Θ je tzv. Debajeva karakteristicna temperatura definisana izrazom

Θ =hνD

k, (6.16)

gde je νD maksimalna (Debye-eva) ucestanost iz spektra normalnih oscilacija atoma datogcvrstog tela; h− je Planck-ova konstanta ak− Boltzmann-ova konstanta. Funkcija F(T/Θ) ima sledeci oblik:

F(T/Θ) = 12(T/Θ)3∫ Θ/T

0

x3dx

ex − 1− 3Θ/T

eΘ/T − 1, (6.17)

gde je x = hν/kT.U oblasti niskih temperatura (T ¿ Θ) na osnovu (6.15) i (6.17) sledi Debye-ev zakon

cv = 233R

(T

Θ

)3

, (6.18)

a u oblasti visokih temparatura (T À Θ), iz (6.15) i (6.17), sledi Dilong-Petit-ov zakon

cv = 3R.

Teorijski dobijena zavisnost specificne toplote od temperature [izrazi (6.15) i (6.17)]potvrdjena je merenjima. Sa slike 6.1. se vidi da je saglasnost ne samo kvalitativna

78

vec i kvantitativna. Osim toga, potvrdjeno je da je zavisnost F(T/Θ) univerzalna, takoda znajuci karakteristicnu temperaturu Θ za datu supstancu moze da se odredi vrednostspecificne toplote cv na datoj temperaturi a time i zavisnost cv(T ) date cvrste supstnce.Kao sto je ranije pomenuto, zavisnost (6.15) ne vazi za cvrsta tela slozene kristalne struk-ture (posebno za anizotropne kristale).

Slika 6.1.Dok je kod nemetala ukupna unutrasnja energija jednka zbiru energije oscilatornog

kretanja svih cestica kristalne resetke i potencijalne energije medjusobne interakcije, takoda je cv = cres, kod metala se mora uzeti u obzir i specificna toplota elektronskog gasa(ce). U tom slucaju je ukupna specificna toplota jednka zbiru specificne toplote resetke(cres) i specificne toplote elektronskog gasa (ce) : cv = cres +ce. Pokazuje se da je elektron-ska komponenta specificne toplote srazmerna temperaturi (ce ∼ T ), i da je njen doprinosukupnoj specificnoj toploti u oblasti srednjih i visokih temperatura zanemarljiv. Medju-tim, u oblasti niskih temperatura, bliskih apsolutnoj nuli, dominantan doprinos ukupnojspecificnoj toploti ima elektronska komponenta specificne toplote (ce > cres). Karakter-isticno je za metalna cvrsta tela, kako je eksperimentalno pokazano, da je odnos vrednostikoeficijenata zapreminskog sirenja i specificne toplote nezavisan od temperature

α

cv= ξ = const (6.19)

i zavisi samo od prirode supstance. Ova relacija poznata kao Grinajcenova (Gruneisen-ova)jednacina, ima aproksimativan karakter.

Temperaturska zavisnost entalpije i = i(T ) cvrstih tela odredjuje se na osnovu poznatetemperaturske zavisnosti specificne toplote cp = cp(T ). Naime, kako je cp = ( ∂i

∂T )p dobijase

i(T ) = i(T0) +∫ T

T0

(∂i

∂T

)

p

dT = i(T0) +∫ T

T0

cpdT, (6.20)

gde je i(T0) poznata vrednost entalpije pri datoj temperaturi T0.Za supstance u cvrstoj fazi karakteristicno je postojanje velikog broja alotropskih mod-

ifikacija, ( na primer, led ima 6) koje se medjusobno razlikuju po fizicim svojstvima (kristal-noj strukturi, specificnoj toploti, specificnoj zapremini itd). Prelaz iz jedne alotropske

79

modifikacije u drugu ima karakter faznog prelaza pracenog skokom specificne zapreminei entropije (postoji toplota prelaza) kao u slucaju prelaza iz jednog u drugo agregatnostanje.

6.2. Termicka i kaloricka svojstva tecnosti

Osnovna karakteristika tecnosti je relativno mala stisljivost (105 puta manja nego kodgasova), koja je medjutim znatno veca nego kod cvrstih tela. Na primer, pri temperaturiod 200C koeficijent izotermicke kompresibilnosti (stisljivosti) vode iznosi β = − 1

v (∂v∂p )T =

4, 456 · 10−10Pa−1. Poznato je da tecnosti pruzaju zanemarljiv otpor promeni oblika, kojizavisi od oblika posude u kojoj se tecnosti nalazi. Medjutim, kod brzih promena ob-lika tecnosti pokazaju, slicno cvrstim telima, znatan otpor. Osim toga, karakteristicnoje da tecnosti zadrzavaju sopstvenu zapreminu cak i pri nultom pritisku. Pri visokimtemperaturama i velikim vrednostima specificne zapremine tecnosti se po svojim osobi-nama priblizavaju realnim gasovima. Medjutim, pri temperaturama bliskim temperaturikristalizacije tecnosti postaju slicne cvrstim telima.

S obzirom da pri pritiscima iznad kriticnog (p > pk) ili/i pri temperaturama iznadkriticne (T > TK) nema faznog prelaza iz tecnog u gasovito stanje, tj. nema principijelnerazlike izmedju gasovite i tecne faze, neka svojstva tecnosti mogu da se kvalitativno opisuVan der Waalsov-om ili cak Clapeyron-ovom jednacinom.

Relativno mala promena zapremine (∼ 10%) pri topljenju cvrstih tela, odnosno prikristalizaciji tecnosti, u odnosu na promenu zapremine (∼ 2 · 103 puta) pri prelazu iztecnosti u paru, ukazuje na to da su molekuli u tecnostima kondenzovani, slicno molekulimau cvrstom telu. Osim prethod-nog, pokazuje se da je toplota topljenja za oko 10 puta manjaod toplote isparavanja, sto znaci da se medjumolekularne sile pri prelazu iz tecnog u cvrstostanje znatno manje menjaju nego pri prelazu iz tecnog u gasovito stanje.

Takodje je ustanovljeno da se pri topljenju specificna toplota vrlo malo menja, stogovori o tome da je karakter toplotnog krtanja molekula u obe faze slican, tj. da molekulitecnosti osciluju oko svojih ravnoteznih polozaja, koji nisu fiksirani u prostoru kao kodcvrste faze vec se neprekidno pomeraju.

Mala stisljivost ukazuje na vrlo jake interakcije na, ocigledno, vrlo malim rastojan-jima izmedju njihovih molekula, a velika fluidnost ukazuje na veliku pokretljivost njenihmolekula jednih u odnosu na druge.

Navedene osobine ukazuju na postojanje kvazikristalne strukture tecnosti, tj. ured-jenosti, ali samo na malim rastojanjima, pri temperaturama bliskim temperaturi kristal-izacije. Ove uredjene pokretne konglomeracije (zajednice) - tzv. ”grozdovi” ili clusteri(klasteri) neperkidno se razgradjuju i uspostavljaju uz promenu izvesnog broja molekula.Postojanje lokalne uredjenosti kod tecnosti pokazano je difrakcijom x-zraka. Pri povecanjutemperature stepen uredjenosti molekula se smanjuje, ”grozdovi” se svode na neposrednesusede, tako da se tecnost priblizava stanju gasa pod visokim pritiskom.

Za tecnost je karakteristicno da se pritisak znatno menja s promenom temperaturepri konstantnoj zapremini. Na osnovu relacija (P6.2.2), (6.1) i (6.3) sledi:

(∂p

∂T

)

v

= − ( ∂v∂T )v

(∂v∂p )T

=α

β, (6.21)

tako da se, na primer, za vodu pri temperaturi od 500C dobija da je (∂p/∂T )v = 1, 01 ·106Pa/K. S obzirom da se velicina (∂p/∂T )v vrlo slabo menja s temperaturom, promenapritiska vode koja je hermeticki zatvorena u posudi konstantne zapremine, pri promenitemparature za ∆T = 10K, iznosi ∆p ≈

(∂p∂T

)v∆T = 10, 1MPa. Ovako velika prom-

80

ena pritiska s relativno malom promenom temperature je posledica male kompresibilnostitecnosti.

Pri temperaturama i pritiscima koje su znatno ispod njihovih kriticnih vrednosti,specificna zapremina tecnosti je znatno manja nego kod gasova, tako da su medjumoleku-larne sile mnogo jace nego kod gasova. Zbog postojanja medjumolekularnih interakcijapojavljuje se dodatni, tzv. unutrasnji pritisak (molekularni ili Van der Waals-ov pri-tisak) na tecnost, koji je znatno veci od pritiska usled translatornog kretanja molekula utecnosti. Unutrasnji pritisak je mera uticaja medjumolekularnih sila na zapreminu kojuzauzima supstancija, i nazalost, ne moze da se direktno izmeri s obzirom da je usmerenka unutrasnjosti tecnosti a ispoljava se pri pokusaju promene zapremine. Velicina un-utrasnjeg pritiska (pi) u tecnosti moze da se proceni polazaci od toga da do promeneunutrasnje energije tecnosti dolazi usled rada protiv sila unutrasnjeg pritiska, tj.

du = pidv. (6.22)

Promena unutrasnje energije tecnosti nastaje usled promene temparature i promene za-premine:

du(T, v) =(

∂u

∂T

)

v

dT +(

∂u

∂v

)

T

dv, (6.23)

tako da promena unutrasnje energije pri konstantnoj temperaturi iznosi

du =(

∂u

∂v

)

T

dv. (6.24)

Iz relacije (6.22) i (6.24) sledi

pi =(

∂u

∂v

)

T

. (6.25)

Kako je (∂u

∂v

)

T

= T

(∂p

∂T

)

v

− p, (6.26)

(pogledati primer 4.7, relacija P4.7.3) sledi

pi = T (∂p

∂T)v − p. (6.27)

Velicina T ( ∂p∂T )v = pi +p se ponekad naziva ukupan (termicki) pritisak, jer je jednak zbiru

unutrasnjeg (pi) i spoljasnjeg (p) pritiska.Kako je vec pomenuto, unutrasnji pritisak u tecnostima je, za razliku od gasova,

ogroman. Na primer, za vodu pri temperaturi od 500C i spoljasnjem pritisku od 98 kPaunutrasnji pritisak iznosi pi = 325MPa.

Slicno gasovima, unutrasnji pritisak u tecnosti povezan je s konstantom a iz Van derWaals-ove jednacine

(p +a

v2)(v − b) = RT (6.28)

relacijompi =

a

v2. (6.29)

S obzirom da je pi À p, Van der Waals-ova jednacina za tecnost moze da se napise u obliku

pi(v − b) = RT (6.30)

81

ilia

v2(v − b) = RT. (6.31)

Zavisnost koeficijenta izotermicke kompresibilnosti (stisnjenosti) od pritiska i temperatureβ(p, T ) odredjuje se eksperimentalno. Pokazuje se da β raste s porastom temperature aopada s porastom pritiska, sto se objasnjava promenom intenziteta medjumolekularnihinterakcija zbog promene rastojanja izmedju molekula. Zavisnost koeficijenta izotermickekompresibilnosti tecnosti od temperature i pritiska moze kvalitativno da se opise na os-novu nagiba tj. izvoda (∂p/∂v)T Van der Waals-ove krive kojom se opisuje ponasanjetecnosti. Inace, za idealne gasove zavisnost koeficijenta izotermicke kompresibilnosti odpritiska dobija se iz Clapeyron-ove jednacine: β = 1

v (∂v∂p )T = − 1

p . Eksplicitna zavisnostβ(T, p) ne moze da se dobije iz Van der Waals-ove jednacine zbog toga sto koeficijentia i b zavise od temperature i specificne zapremine, respektivno. Tecnosti imaju maluvrednost koeficijenta zapreminskog sirenja α = 1

v ( ∂v∂T )p u odnosu na gasove ali znatno

vecu od cvrstih tela. Kod tecnosti α se nalazi u intervalu (10−3 − 10−4)K−1. Zavisnostkoeficijenta zapreminskog sirenja tecnosti od pritiska i temperature α(p, T ) objasnjava seslicno prethodnom, promenom intenziteta interakcije s rastojanjem izmedju molekula imoze kvalitativno da se opise preko nagiba, tj. izvoda (∂v/∂T )p Van der Waals-ove krive.Za idealan gas zavisnost koeficijenta zapreminskog sirenja od temperature dobija se izClapeyron-ove jednacine

α =1v

(∂v

∂T

)

p

=1T

.

Inace, eksperimentalno je ustanovljeno da koeficijent zapreminskog sirenja tecnosti opadas porastom pritiska a raste s porastom temperature, kao u slucaju zavisnosti β(p, T ). Kodnekih tecnosti (na primer, kod vode pri temperaturama od oko 40C) uocena je anomalijau temparaturskom ponasanju koeficijenta zapreminskog sirenja.

Ne postoji opsta teorija kojom bi se opisala zavisnost specificne toplote od pritiskai temperature. Zavisnost specificne toplote tecnosti od temperature i pritiska c(p, T ) seodredjuje eksperimentalno ili na osnovu poznavanja zavisnosti drugih termodinamickihvelicina od pritiska i temperature uz koriscenje odgovarajucih termodinamickih relacija.

Zavisnost specificne toplote pri konstantnom pritisku od pritiska je vrlo slaba takoda se tek pri vrlo preciznim proracunima uzima u obzir. Promena specificne toplote prikonstntnom pritisku pri izotermnom procesu od pritiska p1 do p2 iznosi:

cp(p2, T )− cp(p1, T ) =∫ p2

p1

(∂cp

∂p

)

T

dp. (6.32)

S obzirom na poznatu relaciju (pogledati P6.5.4)

(∂cp

∂p

)

T

= −T

(∂2v

∂T 2

)

p

,

iz (6.32) sledi da se vrednost specificne toplote cp(p2, T ) pri pritisku p2 i temepraturi Tmoze dobiti ukoliko je poznata vrednost specificne toplote cp(p1, T ) pri drugom pritisku p1

ali pri istoj temperaturi T. Na taj nacin moze da se ispita zavisnost cp(p) pri T=const usirokom intervalu pritisaka. Izvod (∂2v/∂T 2)p dobija se iz poznate zavisnosti v = v(p, T )za datu tecnost, a postupak integracije se izvodi grafickim ili numerickim metodama.

Slicnim postupkom moze da se ispita zavisnost specificne toplote pri konstantnoj za-premini cv(p) od pritiska (ili specificne zapremine) pri konstantnoj temperaturi.

82

Pokazano je da specificne toplote tecnosti obicno rastu s porastom temperature. Ra-zlika specificnih toplota pri konstantnom pritisku i konstantnoj zapremini vrlo je mala izavisi od vrednosti koeficijenta zapreminskog sirenja, koeficijenta izotermicke kompresibil-nosti i specificne zapremine tec-nosti kao i temperature, shodno Gruneisen-ovom zakonu:

cp − cv =α2vT

β. (6.33)

Vrednost entalpije tecnosti na temperaturi T2 i pritisku p moze da se odredi eksperimen-talno ili na osnovu poznate vrednosti entalpije na temperaturi T1 ali istom pritisku p, ipoznate zavisnosti specificne toplote pri konstantnom pritisku cp = ( ∂i

∂T )p od temperatureT:

i(T2, p) = i(T1, p) +∫ T2

T1

(∂i

∂T)pdT = i(T1, p) +

∫ T2

T1

cp(T )dT. (6.34)

Zavisnost entalpije od pritiska pri konstntnoj temperaturi moze da se odredi na osnovupoznate vrednosti entalpije na pritisku p1 i temperaturi T, [i(p1, T )] kao i poznate zavisnostiv = v(T ) pri konstantnom pritisku. Naime, koriscenjem poznate termodinamicke relacije(pogledati P4.5.3) (

∂i

∂p

)

T

= v − T

(∂v

∂T

)

p

,

sledi

i(p2, T ) = i(p1, T ) +∫ p2

p1

(∂i

∂p

)

T

dp = i(p1, T ) +∫ p2

p1

[v − T

(∂v

∂T

)

p

]dp. (6.35)

Eksperimenti su pokazali da entalpije slabo zavisi od pritiska, tako da se ova zavisnostuzima u obzir tek pri vrlo preciznim proracunima.

6.3. Termicka i kaloricka svojstva realnih gasova i para

Mnogobrojni eksperimenti su pokazali da jednacina stanja za idealne gasove(Clapeyron-ova jednacina) pv = RT ne moze da se primeni na stvarne (realne) gasove.Jednacina stanja idealnog gasa bi bila dobra prva aproksimacija za opisivanje ponasanjarealnih gasova samo pri visokim temperaturama i niskim pritiscima. Odstupanja su nesamo kvantitativna vec i kvalitativna. Na primer, sustinska razlika realnog od idealnoggasa je u tome sto realan gas, zavisno od pritiska i temperature, moze da se prevedeiz gasnog u tecno i cvrsto stanje. Ovakvo ponasanje realnih gasova ne moze da se ob-jasni zakonima idealnih gasova. Razlika u ponasanju realnih u odnosu na idealne gasoveobjasnjava se postojanjem medjumolekularnih sila kao i posedovanjem sopstvene zaprem-ine molekula realnih gasova. Unutrasnja energija realnog gasa jednka je zbiru kinetickeenergije haoticnog kretanja njegovih molekula i potencijalne energije medjumolekularnihinterakcija. S obzirom na gore receno, jednacina stanja realnih gasova zavisi od konkretnogoblika (zakona) medjumolekularne interakcije tako da, strogo govoreci, svaki realan gas imasvoju jednacinu stanja.

6.3.1. Andrews-ov eksperiment. Kriticna tacka.Van der Waals-ova jednacina stanja.

Izvrseni su mnogi eksperimenti s ciljem da se odredi granica primene modela idealnoggasa na realne gasove, kao i da se da odgovor na pitanje da li se realan gas moze prevesti

83

u tecnost pri bilo kojim uslovima i da li su tecnost i njena para dve faze. U eksperimenukoji je predlozio Andrews (Endrijus 1857 -1869) vrseno je sabijanje realnog gasa u cilindrusa klipom pri izotermnom procesu (T = const), i pracena je zavisnost pritiska gasa odzapremine. Ustanovljeno je da se, u ovom slucaju, zakonima idealnih gasova ( u ovomslucaju Bojl-Mariot-ov zakon) moze da objasni ponasanje realnog gasa samo u uzoj oblastitemperature i pri odredjenim uslovima. Naime, izoterme realnih gasova su hiperbole samopri temperaturama iznad neke temperature, koja je karakteristicna za dati gas, i pri vrloniskim pritiscima. Osim toga, primeceno je da pri pomenutim uslovima gas ne moze dase prevede u tecno stanje bez obzira koliko su visoki pritisci. Medjutim, na primer, gasugljen dioksid (CO2) vec pri temperaturi od 300K moze da se izotermnim sabijanjemprevede u tecnu fazu. U pocetku izotermnog sabijanja pritisak gasa raste od p1 = 98kPado p2 = 5, 73MPa sa smanjenjem specificne zapremine od v1 = 0, 562m3/kg do v2 =5, 26 · 10−3m3/kg (slika 6.2) na ocekivan nacin, tj. u dobroj aproksimaciji je zadovoljen

Slika 6.2. Slika 6.3.

Bojl-Mariot-ov zakon. Pri specificnoj zapremini v2 i pritisku p2 pocinju da se pojavljujukapljice tecnosti, tj. dolazi do kondenzacije gasa, tako da deo gasa prelazi u tecno stanje.Daljim sabijanjem gasa (zasicene pare) od specificne zapremine v2 do v3 pritisak se nemenja (proces 2 → 3 je izotermno-izobaran) sve dok se ne zavrsi proces kondenzacije igas potpuno prevede u tecnu fazu (tacka 3). Oblast 2-3, u kojoj su gas (para) i tecnost(kondenzat) razdvojeni ostrom granicom, predstavlja oblast ravnoteze tecne i gasne faze.Specificna zapremina tecnosti u tacki 3 iznosi v3 = 1, 26 ·10−3m3/kg. Daljim smanjivanjemzapremine u tecnoj fazi pritisak naglo raste s obzirom na slabu stisljivost tecnosti. Cesto seu literaturi oblast 1-2 naziva oblast pregrejane pare a oblast 2-3 -oblast zasicene (presicene)pare. Proces 1 → 2 → 3 → 4 (prikazan na slici 6.2.) moze da se izvede i u obrnutomsmeru povecanjem zapremine, odnosno snizenjem pritiska. Geometrijsko mesto tacaka (up,v-dijagramu) u kojima pocinje kondenzacija gasa naziva se gornja granicna kriva (I-K), au kojima se zavrasava kondenzacija - donja granicna kriva (II-K). Desno od gornje granicnekrive egzistira samo gasna faza, levo od donje granicne krive egzistira samo tecna faza, aizmedju granicnih krivih nalazi se dvofazna oblast tecnost-gas (para). U uslovima bliskimkondenzaciji gasna faza se cesto naziva para. Tako, na primer, gas koji se nalazi u oblastiogranicenoj gornjom granicnom krivom i izotermom naziva se para (nezasicena para), auz samu gornju granicnu krivu (desno od nje) - suva para (oslobodjena kapljica tecnosti).U dvofaznoj oblasti, izmedju granicnih krivih, para se nalazi pred kondenzacijom i nazivase vlazna (zasicena) para. Za paru se definise stepen suvoce x, tako da je za suvu paru(na gornjoj granicnoj krivoj) x = 1 a za potpuno vlaznu paru (na donjoj granicnoj krivoj)

84

x = 0. Stepen vlaznosti pare iznosi 1−x. Stepen suvoce je brojno jednak kolicini suve parekoja se nalazi u 1 kg vlazne pare.

S porastom temperature, pri kojoj se vrsi izotermno sabijanje realnog gasa (CO2),duzina odsecka 2-3 na p-v dijagramu, tj. razlika specificnih zapremina (∆v = v3−v2) tecne igasne faze, opada. Pri temperaturi T = TK u tacki K, prestaje razlika izmedju gasne i tecnefaze; pregrejana para direktno prelazi u tecnost bez promene vrednosti specificne zapremine( u tacki K je ∆v = 0). Termodinamicki parametri pK , vK i TK pri kojim gas (pregrejanapara) direktno prelazi u tecnost, nazivaju se kriticni parametri, tacka K, u kojoj izcezava ra-zlika izmedju gasne i tecne faze, naziva se kriticna tacka a stanje termodinamickog sistemakoje je definisano kriticnim parametrima - kriticno stanje. Osim prethodnog, pokazano jeda s povisenjem temperature ka kriticnoj opada vrednost specificne toplote faznog prelazar, tako da u tacki K postaje jednaka nuli (r = 0), sto sledi i iz Clausius-Clapeyron-ovejednacine: r = T∆v(dp/dT ) → 0 kada T → TK jer ∆v → 0, a dp/dT ne moze da budebeskonacno veliko. U tacki T = TK izoterma ima prevojnu tacku:

(∂p/∂v)TK

= 0 i (∂2p/∂v2)TK

= 0, (6.36)

tj. tangenta na izotermu T = TK u tacki K je horizontalna.Pokazano je da se gas pri temperaturama iznad kriticne (T > TK) ne moze izotermnim

sabijanjem prevesti u tecnost bez obzira na velicinu postignutog pritiska.U tabeli 13.1 su date kriticne temperature nekih supstanci.Kao sto se vidi sa slike 6.2., dijagrami stanja realne supstance u gasnoj i tecnoj fazi

( u ovom slucaju izoterme u p-v dijagramu) bitno se razlikuju od dijagrama stanja ide-alnog gasa. Razlika u ponasanju realnih gasova u odnosu na idealne gasove, kako je ranijenaglaseno, objasnjava se postojanjem medjumolekularnih interakcija i sopstvene zapreminemolekula realnog gasa. Van der Waals je uzeo u obzir cinjenicu da molekulima gasa ne stojina raspolaganju celokupna zapremina v vec zapremina v − b, koja je manja od celokupnezapremine za velicinu sopstvene zapremine b svih molekula koji se nalaze u datoj zaprem-ini (v) gasa. Osim toga, Van der Waals je uzeo u obzir postojanje unutrasnjeg pritiskapi u realnom gasu, uslovljenog medjumolekularnim privlacnim silama, tj. potencijalnomenergijom medjumolekularnih interakcija. Pritisak u realnom gasu je veci od spoljnjegpritiska p, kojim zidovi suda deluju na gas, za velicinu unutrasnjeg pritiska pi. Unutrasnjipritisak deluje ka unutrasnjosti gasa smanjujuci brzinu kojom molekuli udaraju o zidovesuda a time i pritisak kojim gas deluje na zidove suda, tj. pritisak koji se meri. Van derWaals je pokazao da je unutrasnji pritisak srazmeran kvadratu broja molekula u jedinicizapremine (tj. koncentracije n) pi ∼ n2, odnosno obrnuto srazmeran kvadratu specificnezapremine v (v ∼ 1/n) :

pi =a

v2, (6.37)

tako da pritisak u realnom gasu, koji je jednak zbiru spoljenjeg pritiska p i unutrasnjegpritiska pi, iznosi : p + a

v2 . Kada se umesto ukupne zapremine v i spoljnjeg pritiska p uClapeyron-ovu jednacinu zamene korigovane vrednosti v − b i p + a

v2 dobija se Van derWaals-ova jednacina stanja realnog gasa:

(p +a

v2)(v − b) = RT, (6.38)

gde su a i b empirijske konstante.U slucaju razredjenih gasova, kada su ispunjeni uslovi v À b i p À pi, Van der Waals-

ova jednacina prelazi u Claperyon-ovu jednacinu za idealan gas. Pokazano je da pri sred-njim i visokim pritiscima Van der Waals-ova jednacina samo kvalitativno opisuje ponasanjerealnog gasa, tako da je u stvari samo dobra poluempirijska aproksimacija jednacine re-alnog gasa.

85

Van der Waals-ova jednacina je kubna jednacina po v :

pv3 − (pb + RT )v2 + av − ab = 0, (6.39)

tako da ima tri resenja za v u zavisnosti od koeficijenta, tj. od vrednosti parametara stanjap, odnosno T, za izabran realan gas (za dato a i b). Moguca su tri slucaja:a) od tri resenja jedno je realno a dva su kompleksna;b) sva tri resenja su realna i medjusobno jednaka ic) sva tri resenja su realna i razlicita.

Slucaj a) se javlja pri temperaturama T > TK kada izobara sece izotermu u jednojtacki.

Slucaj b) se javlja kada je T = TK , tako da trostrukom resenju v1 = v2 = v3 = vK

odgovara kriticna tacka K, tj. prevojna tacka na izotermi T = TK = const.Slucaj c) se javlja kada je T < TK , pri cemu postoje tri presecne tacke izobare sa

izotermom (T = const < TK).Dok izoterme Van der Waals-ovog gasa, pri temperaturama iznad kriti-cne (T > TK),

kvalitativno odgovaraju izotermama realnog gasa, dokriticne izoterme (T < TK) Van derWaals-ovog gasa odstupaju od izotermi realnog gasa u dvofaznoj oblasti tako sto umestohorizontalnog dela 1-5 imaju talasast oblik 1-2-3-4-5 (slika 6.3.).

Metastabilna stanja, izmedju 1 i 2 i izmedju 4 i 5, mogu da se u praksi ostvare alisamo tokom vrlo kratkog vremena. Medjutim, stanja izmedju minimuma 2 i maksimuma3 na talasastoj krivoj ne mogu da se ostvare u praksi, jer je u tom delu (∂p/∂v)T > 0,sto je fizicki nemoguce. Stanju izmedju 1 i 2 odgovara metastabilno stanje tzv. pregrejanetecnosti, koje se ostvaruje pazljivim zagrevanjem tecnosti pri cemu se odlaze kljucanje.Stanju izmedju 4 i 5 odgovara metastabilno stanje tzv. pothladjene pare, koje se ostvaruje,na primer, pri ekspanziji pare u parnim turbinama kada ne postoje jezgra kondenzacije(cestice prasine, kapljice tecnosti, ili naelektrisane cestice-joni).

Izmedju Van der Waals-ovih koeficijenata a i b i kriticnih parametara pK , vK i TKpostoji jednoznacna veza, koja moze da se nadje polazeci od toga da u kriticnoj tacki Kmoraju da budu zadovoljeni uslovi (6.36), tj. (∂p/∂v)K

T = 0 i (∂2p/∂v2)KT = 0 (krticna

tacka K je prevojna tacka na izotermi T = TK). Polazeci od Van der Waals-ove jednacine,napisane u obliku

p =RT

v − b− a

v2, (6.40)

kao i gore navedenih uslova za kriticnu tacku, sledi(

∂p

∂v

)K

T

= − RTK

(vK − b)2+

2a

v3= 0 (6.41)

i (∂2p

∂v2

)K

T

=2RTK

(vK − b)3− 6a

v4K

= 0, (6.42)

odakle se dobija da jevK = 3b (6.43)

iTK =

8a

27Rb. (6.44)

Smenom dobijenih vrednosti za vK i TK u Van der Waals-ovu jednacinu (6.40) dobija se

pK =a

27b2. (6.45)

86

Iz izraza (6.44) dobija se da je

R =8a

27TKb, (6.46)

pa se zamenom konstanti a i b iz izraza (6.45) i (6.43) u (6.46) dobija sledeca veza kriticnihparametara (tzv. Young-ov kriterijum slicnosti):

pKvK

TK=

38R = zKR, (6.47)

gde je zK = 3/8 = 0.375 tzv. kriticni koeficijent. Za niz realnih gasova kriticni koeficijentse nalazi u intervalu 0.200-0.330, sto govori o ogranicenoj primenljivosti Van der Waals-ovejednacine za realne gasove.

Uvodjenjem redukovanih bezdimenzionih parametara stanja sistema (π, ω, τ) pomocukriticnih parametara (pK , vK , TK) :

π =p

pK, ω =

v

vK, τ =

T

TK, (6.48)

parametri stanja sistema (p,v,T) mogu da se napisu u obliku:

p = πpK =πa

27b2(6.49)

v = ωvK = ω3b, (6.50)

T = τTK =τ8a

27Rb, (6.51)

tako da se zamenom dobijenih izraza za p,v i T u Van der Waals-ovu jednacinu (6.38)dobija tzv.redukovana Van der Waals-ova jednacina:

(π +3ω2

)(3ω − 1) = 8τ. (6.52)

S obzirom da ne sadrzi eksplicitno koeficijente a i b, koji zavise od prirode gasa, redukovanaVan der Waals-ova jednacina opisuje stanje bilo kog gasa, tako da predstavlja univerzalnujednacinu stanja realnih gasova.

Stanja termodinamickih sistema koja su definisana istim vrednostima redukovanihparametara nazivaju se odgovarajuca (korespodentna) stanja. S obzirom da su reduko-vani parametri povezani redukovanom Van der Waals-ovom jednacinom stanja (6.52) slediteorema o odgovarajucim (korespodentnim) stanjima: ”Ako su dva odgovarajuca reduko-vana parametra stanja dveju ili vise razlicitih supstanci jednaki tada im je jednak i treciredukovani parametar stanja”.

87

6.3.2. Termicka i kaloricka svojstva realnih gasova i para.Jednacine stanja realnih gasova

Termicka svojstva realnih gasova mogu da se ispitaju na osnovu termickih jednacinastanja p = p(v, T ), v = v(p, T ) i T = T (p, v) ili graficki na osnovu p, v−, v, T− i p, T−dijagrama (slike 6.2., 6.4. i 6.5). Na primer, iz p, v−dijagrama (slika 6.2) se vidi da jeapsolutna vrednost nagiba (∂v/∂p)T dokriticnih izotermi (T < TK) u gasnoj fazi mnogomanja nego u tecnoj fazi, tako da je koeficijent izotermne kompresibilnosti β = − 1

v (∂v∂p )T

gasova mnogo veci nego tecnosti. Slicno, iz v, T− dijagrama (slika 6.4) se vidi da je nagib(∂v/∂T )p

Slika 6.4. Slika 6.5.dokriticnih izobara (p < pK) u gasnoj fazi mnogo veci nego u tecnoj fazi, sto pokazuje daje termicki koeficijent zapreminskog sirenja α = 1

v ( ∂v∂T )p gasova znatno veci nego tecnosti.

Slika 6.6. Slika 6.7.Zavisnost nagiba dokriticnih izobara od temperature, tj. (∂v/∂T )p = f(T ) pri p < pK

prikazana ja na slici 6.6, a zavisnost nagiba izobara od temperature pri pritiscima iznadkriticnog (p > pK) prikazana je na slici 6.7. Pomenute zavisnosti dobijene su na osnovu p,v-dijagrama za vodenu paru.* Sa slike 6.6 se vidi da (∂v/∂T )p u oblasti tecne faze (T < Ts)raste s porastom temperature sve do temperature kljucanja Ts pri datom pritisku, tako dau tacki Ts ima prekid, tj. raste skokom, a zatim opada s porastom temperature u oblasti

* Kriticne vrednosti parametara stanja za vodenu paru iznose: tK = 374, 150C, vK =0, 00326m3/kg i pK = 22, 125MPa.

88

T > Ts.Zavisnost (∂v/∂T )p = f+(T ) za pritiske iznad kriticnog (p > pK) je prikazana

neperekidnom funkcijom s maksimumom u oblasti kriticne temperature, koji je sve izrazaj-niji kako se izobara priblizava kriticnoj tako da u kriticnoj tacki ima beskonacno velikuvrednost (slika 6.7).

Kaloricka svojstva realnog gasa mogu da se ispitaju na osnovu analize kalorickihjednacina stanja, na primer, jednacine i = i(p, T ) ili graficki na osnovu i, T - i i,p-dijagrama(slike 6.8 i 6.9).

Slika 6.8. Slika 6.9.Analizom dokriticnih izobara (p > pK) sa slike 6.8 uocava se da entalpija, kako tecnosti

tako i gasova, raste s porastom temperature tako da se pri prolazu kroz liniju zasicenjatecnosti menja skokom od vrednosti i′ (entalpija zasicene tecnosti) do vrednosti i′′ (en-talpija suve zasicene pare). Duzini (i′′ − i′) vertikalnog dela dokriticne izobare odgovaraspecificna toplota prelaza r pri datom pritisku p < pK : r = i′′ − i′. Nagib (∂i/∂T )p

izobra sa i, T -dijagrama (slika 6.8) jednak je specificnoj toploti pri konstantnom pri-tisku cp = (∂i/∂T )p. Ocigledno je da je najveca vrednost nagiba ( a time i specificnetoplote cp) izobara, koje su iznad kriticne (p > pk), u prevojnim tackama. U kriticnojtacki (koja je u isto vreme prevojna tacka) specificna toplota postaje beskonacno velikacpK = (∂i/∂T )pK = ∞. Analiza dokriticnih izobara (p < pK) pokazuje da je u dvofaznojoblasti nagib izobara beskonacno veliki, sto znaci da je i u datoj oblasti specificna toplotacp beskonacno velika.

Zavisnost specificne toplote cp realnog gasa od temperature, tj. cp = cp(T ), za pritiskeispod kriticnog (p < pK) (slika 6.10) i za pritiske iznad kriticnog (p ≤ pK) (slika 6.11)dobijena je na osnovu i, T−dijagrama za vodenu paru. Sa slike 6.10 je uocljivo da u oblastip > pK specificna toplota raste s povecanjem pritiska, a pada s porastom temperature.Zavisnost specificne toplote od temperature u oblasti p ≤ pK (slika 6.11) je prikazananeprekidnom funkcijom s maksimumom, koji postaje sve veci kako se izobara priblizavakriticnoj, tako da u kriticnoj tacki dostize beskonacno veliku vrednost.

Oblik krivih zavisnosti (∂v/∂T )p = f(T ) i cp = ϕ(T ) pri pritiscima iznad kriticnog(p ≥ pK) (slike 6.7 i 6.11, respektivno) je analog, sto se i ocekivalo s obzirom na postojanjeveze izmedju cp i (∂v/∂T )p (pogledati primer 6.7):

cp = T

(∂p

∂T

)

s

(∂v

∂T

)

p

. (6.53)

Postojanje maksimuma na krivama zavisnosti cp = cp(T ), pri p > pK objasnjava se inten-zivnim raspadom vecih grupacija molekula na manje u oblasti blizu kriticne temperature.

89

.

Slika 6.10. Slika 6.11.Specificna toplota cp datog realnog gasa odredjuje se ili eksperimentalno ili na osnovu

poznate zavisnosti entalpije od temperature i = i(T ) ili na osnovu poznatih termickihjednacina stanja, tj. p,v,T-zavisnosti.

Ukoliko su poznati eksperimentalni podaci za vrednost entalpije pri datoj temperaturii pritisku tada se specificna toplota nalazi iz nagiba eksperimentalne krive i = i(T ) prip=const, tj. na osnovu izraza (2.47)

cp =(

∂i

∂T

)

p

.

Ako su poznati rezultati medjusobne zavisnosti termickih parametara p, v, T, tada sespecificna toplota cp pri datom pritiski i temperaturi moze da dobije iz relacije

cp(p, T ) = cp(p1, T ) +∫ p

p1

(∂cp

∂p

)

T

dp (6.54)

ukoliko se zna vrednost specificne toplote pri istoj temperaturi T ali pri drugom pritiskup1. S obzirom na relaciju (pogledaj primer 6.5):

(∂cp

∂p

)

T

= −T

(∂2v

∂T 2

)

p

, (6.55)

iz (6.54) sledi da se specificna toplota moze da dobije ukoliko se poznaje zavisnost v =v(p, T ), tj. velicina (∂2v/∂T 2)p:

cp(p, T ) = cp(p1, T ) + T

∫ p

p1

(∂2v

∂T 2

)

p

dp. (6.56)

Entalpija realnog gasa moze da se odredi eksperimentalno ili na osnovu poznatihvrednosti za specificnu toplotu cp kao i na osnovu rezultata p, v, T-zavisnosti.

Vrednost entalpije na temperaturi T i pritisku p moze da se odredi ukoliko je poznatavrednost entalpije na istom pritisku p ali na drugoj temperaturi T1 kao i poznate zavisnostispecificne toplote cp = (∂i/∂T )p od temperature:

i(p, T ) = i(p, T1) +∫ T

T1

(∂i

∂T

)

p

dT = i(p, T1) +∫ T

T1

cp(T )dT. (6.57)

90

Zavisnost entalpije od pritiska pri konstantnoj temperaturi moze da se odredi na osnovupoznate vrednosti entalpije na istoj temperaturi T ali na drugom pritisku p1 kao i poznatezavisnosti v = v(T ). Naime, kako je (pogledati primer 4.5)

(∂i

∂p

)

T

= v − T

(∂v

∂T

)

p

, (6.58)

sledi

i(p, T ) = i(p1, T ) +∫ p

p1

(∂i

∂p

)

T

dp = i(p, T ) +∫ p

p1

[v − T

(∂v

∂T

)

p

]dp. (6.59)

Koriscenjem termodinamicke relacije (pogledati primer 6.6)(

∂cv

∂v

)

T

= T

(∂2p

∂T 2

)

v

, (6.59′)

lako moze da se dodje do izraza za odredjivanje vrednosti specificne toplte cv pri tem-peraturi T i specificnoj zapremini v ukoliko se zna vrednost specificne toplote cv pri istojtemperaturi T ali pri drugoj vrednosti specificne zapremine v1 i ukoliko se zna zavisnostp = p(T ) pri v = const., odnosno drugi izvod pritiska po temperaturi (∂2p/∂T 2)v :

cv(v, T ) = cv(v1, T ) +∫ v

v1

(∂cv

∂v

)

T

= cv(v1, T ) + T

∫ v

v1

(∂2p

∂T 2

)

v

dv. (6.60)

Zavisnost unutrasnje energije realnog gasa od temperature, pri konstantnoj zapremini,odredjuje se na osnovu poznate zavisnosti specificne toplote cv = (∂u/∂T )v od tempera-ture, kao i poznate vrednosti unutrasnje energije pri istoj specificnoj zapremini ali razlicitojtemperaturi T1 :

u(v, T ) = u(v, T1) +∫ T

T1

(∂u

∂T

)

v

dT = u(v, T1) +∫ T

T1

cv(T )dT. (6.61)

Slicno prethodnom, izraz za nalazenje zavisnosti unutrasnje energije realnog gasa od specifi-cne zapremine pri konstantnoj temperaturi moze da se odredi koristeci se relacijom (pogle-dati primer 4.7) (

∂u

∂v

)

T

= T

(∂p

∂T

)

v

− p, (6.62)

tj.

u(v, T ) = u(v1, T ) +∫ v

v1

(∂u

∂v

)

T

dv = u(v1, T ) +∫ v

v1

[T

(∂p

∂T

)

v

− p

]dv, (6.63)

ukoliko se zna vrednost unutrasnje energije pri istoj temperaturi T ali pri drugoj specificnojzapremini v1 kao i zavisnost p = p(T ) pri v=const.

Kako je eksperimentalno odredjivanje specificne toplote cv praceno izvesnim tesko-cama, cv se cesto odredjuje na osnovu poznatih vrednosti specificne toplote cp uz pomocrelacije (P6.1.11.):

cp − cv = T

(∂p

∂T

)

v

(∂v

∂T

)

p

, (6.64)

91

a unutrasnja energija na osnovu poznate vrednosti entalpije (i = u+pv).Entropija ne moze neposredno da se izmeri vec se odredjuje racunskim putem korisce-

njem termodinamicih diferencijalnih jednacina sa termodinamickim velicinama cije suvrednosti poznate.

Vrednost entropije pri temperaturi T i pritisku p moze da se odredi ukoliko je poznatavrednost entropije pri temperaturi T1 i pritisku p1 tj.:

s(p, T ) = s(p1, T1) +∫ p

p1

(∂s

∂p

)

T

dp +∫ T

T1

(∂s

∂T

)

p

dT. (6.65)

Kako je [pogledati (4.38) i (P6.7.1)](

∂s

∂p

)

T

= −(

∂v

∂T

)

p

(6.66)

i (∂s

∂T

)

p

=cp

T, (6.67)

jednacina (6.65) moze da se napise u sledecem obliku:

s(p, T ) = s(p1, T1)−∫ p

p1

(∂v

∂T

)

p

dp +∫ T

T1

cp

TdT, (6.68)

sto znaci da vrednost entropije pri temperaturi T i pritisku p, u odnosu na vrednot en-tropije pri temperaturi T1 i pritisku p1 moze da se odredi na osnovu poznate zavisnostispecificne toplote cp od temperature T kao i izvoda (∂v/∂T )p od pritiska. S obzirom da suu termodinamici i termotehnici bitne promene odgovarajucih termodinamickih velicina ane njihove apsolutne vrednosti, po dogovoru se uzima da su entropija, entalpija i unutrasnjaenergija za vodu i vodenu paru jednaki nuli u trojnoj tacki (p = 101, 325kPa, t = 0, 010C).Izraz (6.68) moze da se primeni za izracunavanje entropije samo ukoliko se i pocetno ikrajnje stanje nalaze u istoj fazi supstancije. U suprotnom, mora da se vodi racuna o tomeda se pri prelazu iz jedne u drugu fazu kroz liniju zasicenja entropija menja za velicinus′′ − s′ = r/T, koju u datom slucaju treba dodati desnoj strani gornjeg izraza (6.68).

Vrednost entropije moze da se odredi i ukoliko je poznata njena vrednost pri tempara-turi T1 i specificnoj zapremini v1 :

s(v, T ) = s(v1, T1) +∫ v

v1

(∂s

∂v

)

T

dv +∫ T

T1

(∂s

∂T

)

v

dT. (6.69)

Kako je [pogledati (4.37) i (2.31) i (3.72)](

∂s

∂v

)

T

=(

∂p

∂T

)

v

(6.70)

i (∂s

∂T

)

v

=cv

T, (6.71)

sledi

s(v, T ) = s(v1, T1) +∫ v

v1

(∂p

∂T

)

v

dv +∫ T

T1

cv

TdT. (6.72)

92

Znaci, vrednost entropije pri temperaturi T i specificnoj zapremini v, u odnosu na vred-nost entropije pri temperaturi T1 i specificnoj zapremini v1 moze da se odredi iz poznatezavisnosti specificne toplote cv od temperature T kao i iz poznate p,v,T-zavisnosti.

Na slican nacin moze da se odredi vrednost entropije, u zavisnosti od pritiska i en-talpije, ukoliko je poznata njena vrednost pri pritisku p1 i entalpiji i1 :

s(i, p) = s(i1, p1) =∫ i

i1

(∂s

∂i

)

p

di +∫ p

p1

(∂s

∂p

)

i

dp. (6.73)

Kako je na osnovu (4.8) (∂s

∂i

)

p

=1T

(6.74)

i (∂s

∂p

)

i

= − v

T, (6.75)

izraz (6.73) moze da se napise u sledecem obliku:

s(i, p) = s(i1, p1) +∫ i

i1

di

T−

∫ p

p1

v

Tdp. (6.76)

Znaci, vrednost entropije pri datim uslovima moze da se odredi ukoliko su poznate vred-nosti entalpije kao i p,v, T-zavisnost.

Izracunavanje odgovarajucih termickih velicina i njihovih integrala, iz prethodnihrelacija [(6.56), (6.59), (6.60), (6.63), (6.68), (6.72) i (6.76)], moze da se sprovede racunskimmetodama na osnovu eksperimentalnih p, v, T−rezultata ili na osnovu jednacine stanja re-alnog gasa.

Na osnovu poznatih vrednosti entropije za datu supstancu mogu da se formiraju dija-grami stanja tako sto se na jednu od koordinatnih osa nanose vrednosti entropije a na druguneki od termickih parametara stanja (p, v ili T ). Ovi, tzv. entropijski dijagrami stanja naslisu siroku primenu u termotehnici. Na entropijskim dijagramima je osim granicnih krivihucrtana gusta mreza izobara, izotermi, izohora, kao i linije konstantnog stepena suvoce(x= const.) cime je povecana tacnost grafickog odredjivanja odgovarajucih parametarasupstancije. Na slikama 6.12 i 6.13 prikazani su T, s−, p, s− i i, s−dijagrami za oblasttecne i gasne faze (ukljucujuci i dvofaznu oblast).

Nagibi izobara u T, s− i i, T−dijagramima (slike 6.12 i 6.8, respektivno) su jed-noznacno povezani, sto moze da se zakljuci na osnovu relacije [(2.47) i (P6.7.1)] :(∂i/∂T )p = cp = T (∂s/∂T )p. Duz izobara entropija raste (ne opada) s porastom temper-ature tj. (

∂T

∂s

)

p

≥ 0. (6.77)

Znak jednakosti odgovara kriticnoj tacki i izobarama u dvofaznoj oblasti, gde je cp =T (∂s/∂T )p = ∞.

U kriticnoj tacki K su prvi i drugi izvod temperture po entropiji jednaki nuli:

(∂T

∂s

)K

p

= 0 i(

∂2T

∂s2

)K

p

= 0, (6.78)

sto znaci da je kriticna tacka prevojna tacka na kriticnoj izobari.

93

U T, s−dijagramu, povrsina ispod horizontalnog dela izobare (u dvofaznoj oblasti)odgovara specificnoj toploti faznog prelaza: r = T (s′′ − s′).

Iz Maksvelove relacije (4.38)

(∂p

∂s

)

T

= −(

∂T

∂v

)

p

(6.79)

sledi da postoji analogija izmedju p, s− i v, T−dijagrama (slike 6.13 i 6.4., respektivno).Sa slike 6.13 se vidi da je (

∂p

∂s

)

T

≤ 0, (6.80)

gde znak jednakosti odgovara kriticnoj tacki i izotermama u dvofaznoj oblasti.U kriticnoj tacki je

(∂p

∂s

)K

T

= 0 i(

∂2p

∂s2

)K

T

= 0, (6.81)

sto znaci da je kriticna tacka prevojna tacka na kriticnoj izotermi.Treba da se primeti da za razliku od p, v− i v, T−dijagrama, u entropijskim dija-

gramima su leva i desna (odnosno gornja i donja) granicna kriva simetricne u odnosu naizoentropu koja prolazi kroz kriticnu tacku i ima zvonast oblik.

Slika 6.12 Slika 6.13Najvecu prakticnu primenu pri razmatranju razlicitih termodinamickih procesa, pose-

bno promena stanja vodene pare, imaju i, s−dijagrami (tzv. Mollier-ovi dijagrami), koji sukonstruisani na osnovu odgovarajucih tablicnih podataka kao i na osnovu poznatih p, v− iliT, s−dijagrama. i, s−dijagrami su nasli veliku prakticnu primenu pri izracavanju procesai ciklusa kod toplotnih masina i rashladnih sistema.

Preimucstvo i, s−dijagrama u odnosu na ostale je u tome sto se tehnicki rad i kolicinatoplote, pri razlicitim procesima, prikazuju odseccima linija procesa a ne povrsinama, kaosto je slucaj kod s, T−dijagrama, cime se znatno ubrzava postupak nalazenja odgovarajucihtermodinamickih velicina sistema a ne gubi u tacnosti.

i, s−dijagrami se obicno prikazuju za oblast tecne i gasne faze supstance, tako stose na ordinatnu osu nanosi vrednost specificne entalpije (i) a na apscisu nanosi vrednostspecificne entropije (s) slika 6.14.

94

Slika 6.14.Sa i, s−dijagrama se uocava da su u dvofaznoj oblasti (izmedju granicni krivih) izobare

identicne izotermama. Osim toga, u ovoj oblasti izobare i izoterme su tangente na donjugranicnu krivu i lepezasto se sire od nje. Donja granicna kriva u i, s−dijagramu polazi izkoordinatnog pocetka smestenog u trojnu tacku supstance ( u trojnoj tacki su entropija,entalpija i unutrasnja energija po dogovoru jednake nuli). Naime, kako je di = Tds + vdpsledi (

∂i

∂s

)

p

= T, (6.82)

sto znaci da su izobare u i, s−dijagramu u dvofaznoj oblasti prave (duz izobare T =const)s pozitivnim nagibom jednakim apsolutnoj temperaturi (T > 0). Nagib izobara je veci stoje visa temperatura ( a time i visi pritisak), cime se objasnjava lepezast oblik familija udvofaznoj oblasti i,s-dijagrama. Kako je i u kriticnoj tacki nagib izobare p = pK pozitivan,tj. (

∂i

∂s

)K

p

= TK > 0, (6.83)

sledi da se kriticna tacka K nalazi levo od maksimuma granicne krive na njenom uzlaznomdelu.

S obzirom da je nagib izobara u i,s-dijagramu jednak apsolutnoj temperaturi (relacija6.82), jasno je da izobare seku gornju granicnu krivu bez preloma, pri cemu im nagib rastes porastom temperature u oblasti gasne faze (pregrejane pare).

Iz relacije (6.82) sledi (∂2i

∂s2

)

p

=(

∂T

∂s

)

p

. (6.84)

Kako je (6.67)

cp = T

(∂s

∂T

)

p

95

iz jednacine (6.84) se dobija (∂2i

∂s2

)

p

=T

cp, (6.85)

sto znaci da izobare nemaju prevojnu tacku (T > 0) kao i da im krivina raste, tj, izobaresu konveksne na dole [( ∂2i

∂s2 )p > 0].Pri prolazu kroz gornju granicnu krivu (desno od kriticne tacke K) u oblast pregrejane

pare, nagib izotermi (∂i/∂s)T se menja prelomom i opada kako se vise udaljava od gornjegranicne krive asimptotski se priblizavajuci nuli, tj. izoterme postaju skoro horizontalne(i=const). Prethodno moze da se dokaze na osnovu odgovarajuce termodinamicke relacije,(pogledati primer 6.8): (

∂i

∂s

)

T

= T − v

(∂T

∂v

)

p

. (6.86)

Naime, pri prolazu kroz gornju granicnu krivu velicina (∂v/∂T )p menja se skokom (pogle-dati sliku 6.6) i u gasnoj fazi opada, sto znaci da velicina v(∂T/∂v)p raste a time (∂i/∂s)T

opada, sto je trebalo da se pokaze.Znaci, dok se u dvofaznoj oblasti izobare i izoterme poklapaju, dotle se one u oblasti

pregrejane pare razdvajaju, tako da su izobare znatno strmije od izotermi.Specificna toplota faznog prelaza (tzv. latentna toplota) pri datom pritisku iznosi:

r = i′′ − i′, (6.87)

tj. jednaka je razlici ordinata presecenih tacaka izobara sa gornjom i donjom granicnomkrivom.

6.3.3. Vodena para. Velicine stanja vlazne i pregrejane vodene pare

Para je realan gas blizu stanja kondenzacije, koji znatno odstupa od idealnog gasa.Od svih para najznacajiju ulogu u termotehnici ima vodena para. Vodena para se koristikao radno telo u parnim motorima i kao grejni fluid u mnogim toplotnim uredjajima.Posebno je znacajno sto nema stetno dejstvo na zive organizme i zivotnu okolinu. Kakoposeduje relativno dobre termodinamicke osobine vodena para je od svih drugih para naslanajvecu prakticnu primenu. Vodena para se dobija isparavanjem vode pri stalnom pritiskuu specijalnim zatvorenim sudovima, tzv. parnim kotlovima.

Nacin dobijanja vodene pare moze principijelno da se prikaze u p,v -dijagramu naslici 6.15. Neka je p=const radni pritisak u kotlu u kojem se zagreva voda, od pocetnetemperature t0 (tacka A) do temperature kljucanja ts pri datom pritisku, tzv. tem-peratura zasicenja (tacka a na donjoj granicnoj krivoj K-I). Temperatura zasicenjazavisi od prirode supsrtance i raste s povisenjem pritiska. Pritisak koji odgovara tempera-turi zasicenja naziva se pritisak zasicenja ps. Para koja se nalazi u ravnotezi sa svojomtecnoscu naziva se zasicena para. Premda se radnom telu neprekidno dovodi toplota pro-ces isparavanja, koji je poceo u tacki a pri temperaturi ts, odvija se pri stalnom pritisku psi stalnoj temperaturi ts sve do tacke b na gornjoj granicnoj krivoj K-II. Kolicina toplotekoja je potrebna da se izvrsi promena faze date supstance naziva se lantentna toplota is-paravanja. Izmedju granicnih krivih sistem je dvofazni, tj. postoji smesa kljucale tecnosti(vode) i suve (vodene ) pare, tzv. vlazne pare. U tacki b po zavrsetku isparavanja, paravise ne sadrzi tecnost tako da se naziva suvozasicena para. Daljim dovodjenjem toplote,pocev od tacke b, dolazi do pregrejavanja vodene pare sve do neke, tzv. temperaturepregrejavanja tp (tacka B), koja je odredjena kolicinom toplote dovedene vodenoj parina delu b-B linije procesa pregrejavanja.

96

Slika 6.15U dvofaznom sistemu, tj. oblasti vlazne zasicene pare, stanje vlazne pare je definisano

pritiskom (ili temperaturom) i sastavom smese. Sastav smese je odredjen tzv. stepenomsuvoce x:

x =mp

ms=

mp

mp + mv[

kg pare

kg smese], (6.88)

gde je mp− masa suvo zasicene pare, ms = mp + mv− masa smese, tj. vlazne zasicenepare, a mv−masa vode, odnosno tecnosti od koje je dobijena para.

Na donjoj granicnoj krivoj postoji samo tecna faza (mp = 0, x = 0), na gornjojgranicnoj krivoj postoji samo suvo-zasicena para (mv = 0, x = 1) a u dvofaznoj oblastiobe faze (0 < x < 1).

Iz (6.88) sledi da se u 1 kg vlazne pare nalazi x kg suvo-zasicene pare i (1−x) kg vodekoja kljuca. Velicina (1− x) se cesto naziva stepen vlaznosti vodene pare.

Po dogovoru se velicine stanja vode koja kljuca (na donjoj granicnoj krivoj) oznacavajusa ”prim” (′) a suvo-zasicene pare (na gornjoj granicnoj krivoj) sa ”sekund” (′′). Pritisak itemperatura se tokom procesa isparavanja ne menjaju tako da se ne oznacavaju indeksima”prim” i ”sekund”.

Da bi se odredila potrebna kolicina toplote za zagrevanje vode od t0 do ts, zatimtoplota za isparavanje vode-latentna toplota isparavanja, kao i kolicina toplote potrebnaza pregrejavanje pare od t0 do tp, neophodno je da se odrede promene velicina stanja ∆u, ∆ii ∆s vodene pare. Velicine stanja kljucale vode, suvo-zasicene pare i pregerejane pare uzavisnosti od pritiska ili temperature, date su u tablicama za vodenu paru (vidi prilog )koje su dobijene na osnovu velikog broja eksperimentalnih podataka i proracuna razlicitihistrazivaca. Najjednostavnije i najcesce se promene stanja vodene pare odredjuju grafickina osnovu i,s- ili i, T-dijagrama stanja (slike 6.14 i 6.8, respektivno). U prakticnim ter-modinamickim proracunima se uzima da je pocetno stanje vode definisano temperaturomt0 = 00C. Po dogovoru su vrednosti unutrasnje energije u, entalpije i, i entropije s pri ovojtemperaturi jednake nuli, tj. u0 = 0, i0 = 0, s0 = 0.

Vrednost unutrasnje energije vode u stanju kljucanja odredjuje se na osnovu izraza:

u′ = i′ − pv′. (6.89)

a u stanju suvo-zasicene pare na osnovu izraza:

u′′ = i′′ − pv′′. (6.90)

97

Latentna toplota isparavanja, na osnovu prvog principa termodinamikeδq = di− vdp (izraz 2.87), odredjuje se na osnovu izraza:

r = qp = ∆i = i′′ − i′. (6.91)

Smenom izraza za entalpiju (2.33) na donjoj granicnoj krivoj i gornjoj granicnoj krivoju prethodni izraz dobija se relacija na osnovu koje moze da se odredi latentna toplotaisparavanja na osnovu tablicnih podataka za unutrasnju energiju i specificnu zapreminu:

r = (u′′ − u′) + p(v′′ − v′). (6.92)

Kako je (izraz 3.44) dS = δq/T, promena entropije pri izparavanju data je izrazom:

s′′ − s′ =qp

Ts=

r

Ts, (6.93)

gde je Ts temperatura kljucanja vode pri datom pritisku.Pokazuje se da se tokom procesa isparavanja najveci deo toplotne energije (∼ 80%)

trosi na povecavanje unutrasnje energije sistema a manji deo na spoljasnji rad sirenja.VELICINE STANJA VLAZNE PARE. Stanje vlazne pare odredjeno je pritiskom (ili

temperaturom) kljucanja i stepenom suvoce x, tj. kolicinom suve pare u vlaznoj pari.Velicine koje definisu stanje vlazne pare su ekstenzivne velicine tako da poseduju svojstvoaditivnosti pa se odredjuju na osnovu poznatih velicina stanja na granicnim linijama zadati pritisak, tako sto se velicine stanja suve vodene pare pomnoze stepenom suvoce xi saberu sa odgovarajucim velicinama stanja vode u stanju kljucanja pomnozene sa tzv.stepenom vlaznosti 1− x.

Tako se, na primer, specificna zapremina, entalpija, entropija i unutrasnja energijavlazne pare odredjuju na osnovu sledecih izraza, respektivno:

vx = xv′′ + (1− x)v′ = v′ + x(v′′ − v′) (6.94)

ix = xi′′ + (1− x)i′ = i′ + x(i′′ − i′) = i′ + rx, (6.95)

sx = xs′′ + (1− x)s′ = s′ + x(s′′ − s′) = s′ +rx

TS, (6.96)

ux = xu′′ + (1− x)u′ = u′ + x(u′′ − u′). (6.97)

Stepen suvoce moze da se odredi na osnovu gornjih izraza [(6.99), (6.95), (6.96) ili(6.97)]:

x =vx − v′

v′′ − v′=

ix − i′

i′′ − i′=

ux − u′

u′′ − u′=

sx − s′

s′′ − s′. (6.98)

VELICINE STANJA PREGREJANE PARE. Pregrejana para je takva para kojaima pri datom pritisku visu temperaturu (ili specificnu zapreminu) od temperature (ilispecificne zapremine) suvo-zasicene pare. Pregrejana para se dobija dovodjenjem toplote,a time i povisenjem temperature (T > Ts), suvoj pari pri konstantnom pritisku u poseb-nom uredjaju, tzv. pregrejacu pri cemu se povecava specificna zapremina pare (v > v′′).U kotlovskom uredjaju-pregrejacu temperatura pregrejane vodene pare dostize vrednostdo oko 6000C. Pregrejana para se znatno razlikuje od suve i vlazne pare i priblizava sesvojstvima gasova. Sto je temperatura pregrejane pare visa to se ona sve vise priblizavaidealnom gasu.

98

S obzirom na slozenost a time i nepogodnost za prakticna izracunavanja do sadapredlozenih, (od strane razlicitih autora) jednacina stanja pregrejane pare, velicine stanja(v, i, s i u) pregrejane pare se odredjuju na osnovu izmerenih velicina stanja p i t i korisce-njem odgovarajucih tablica (pogledaj prilog) ili i,s- i i,T-dijagrama, dobijenih na osnovupoluempirijskih jednacina stanja za pregrejanu paru.

Kolicina toplote koja je potrebna da se 1 kg suve pare pri konstntnom pritisku pregrejeod temperature ts do temperature tp, tzv. toplota pregrejavanja qp, iznosi:

qp =∫ Tp

Ts

cpdT = cp(Tp − Ts), (6.99)

gde je cp masena specificna toplota pregrejane pare pri stalnom pritisku a cp njena srednjavrednost u datom temperaturskom izntervalu. Zavisnost cp = cp(T ) je slozena, ali za jakopregrejanu paru je priblizno linearna. Podaci za cp daju se u odgovarajucim tabelama.Toplota pregrejavanja moze da se odredi na osnovu poznatih vrednosti drugih termodi-namickih parametara:

qp = ∆u + p∆v = (u− u′′) + p(v − v′′) = i− i′′. (6.100)

Na osnovu prethodnog, unutrasnja energija pregrejane pare moze da se odredi na osnovuizraza:

u = i− pv = u′′ − p(v − v′′) + qp. (6.101)

Na osnovu izraza (6.100) i (6.99), entalpija pregrejane pare moze da se odredi koriscenjemsledece relacije:

i = i′′ + qp = i′′ + cp(tp − ts), (6.102)

ili na osnovu izrazai = u + pv. (6.103)

Entropija pregrejane pare moze da se odredi na osnovu izraza ds = δq/T = cpdT/T, takoda je:

s− s′′ =∫ Tp

Ts

ds = cp

∫ Tp

Ts

dT

T= cpln

Tp

Ts. (6.104)

99

Primer 6.1 Dokazati da je cp − cv = T(

∂p∂T

)v

(∂v∂T

)p.

resenje: Kako je [(2.47) i (4.47)]

cp =(

∂i

∂T

)

p

=(

di

dT

)

p

, (P6.1.1)

idi = du + pdv + vdp, (P6.1.2)

sledi

cp =(

δq

dT

)

p

=(

∂u

∂T

)

p

+ p

(∂v

∂T

)

p

. (P6.1.3)

S obzirom da je (2.31)

cv =(

∂u

∂T

)

v

, (P6.1.4)

iz (P6.1.3) i (P6.1.4) sledi

cp − cv =

[(∂u

∂T

)

p

−(

∂u

∂T

)

v

]+ p

(∂v

∂T

)

p

. (P6.1.5)

S druge strane (2.25)

du(T, v) =(

∂u

∂T

)

v

dT +(

∂u

∂v

)

T

dv, (P6.1.6)

tako da je (∂u

∂T

)

p

=(

∂u

∂T

)

v

+(

∂u

∂v

)

T

(∂v

∂T

)

p

, (P6.1.7)

odnosno (∂u

∂T

)

p

−(

∂u

∂T

)

v

=(

∂u

∂v

)

T

(∂v

∂T

)

p

. (P6.1.8)

Smenom (P6.1.8) u (P6.1.5) dobija se

cp − cv =(

∂u

∂v

)

T

(∂v

∂T

)

p

+ p

(∂v

∂T

)

p

=(

∂v

∂T

)

p

[(∂u

∂v

)

T

+ p

]. (P6.1.9)

S obzirom da je (P4.7.3) (∂u

∂v

)

T

= T

(∂p

∂T

)

v

− p, (P6.1.10)

smenom (P6.1.10) u (P6.1.9) sledi

cp − cv = T

(∂p

∂T

)

v

(∂v

∂T

)

p

, (P6.1.11)

sto je trebalo da se dokaze.

100

Primer 6.2 Dokazati da je cp − cv = T α2vβ , gde je α = 1

v

(∂v∂T

)p

a β = − 1v

(∂v∂p

)T

.

resenje: U primeru 6.1. pokazano je da vazi sledeca termodinamicka relacija (P6.1.11)

cp − cv = T

(∂p

∂T

)

v

(∂v

∂T

)

p

.

Kako je (P4.6.8) (∂p

∂T

)

v

(∂T

∂v

)

p

(∂v

∂p

)

T

= −1 (P6.2.1)

sledi (∂p

∂T

)

v

= −(

∂v

∂T

)

p

(∂p

∂v

)

T

. (P6.2.2)

Na osnovu (P6.1.11) i (P6.2.2) sledi

cp − cv = −T

[(∂v

∂T

)

p

]2 (∂p

∂v

)

T

. (P6.2.3)

Kako je (∂v

∂T

)

p

= αv (P6.2.4)

i (∂v

∂p

)

T

= −βv, (P6.2.5)

smenom (P6.2.4) i (P6.2.5) u (P6.2.3), konacno se dobija da je

cp − cv =Tα2v

β. (P6.2.6)

Primer 6.3. Jednacina stanja za vodenu paru prema Diteric-u glasi

p =RT

v − be−

aRT v .

Izracunati :a) kriticne velicine stanja (pk, Tk, vk) ib) odnos RTk

pkvk

resenje: a) Kriticne velicine stanja odredjuju se iz uslova

(∂p

∂v

)

T

= 0 (P6.3.1)

101

i (∂2p

∂v2

)

T

= 0. (P6.3.2)

Iz prvog uslova (P6.3.1) sledi

a =v2

v − bRT. (P6.3.3)

Koristeci drugi uslov (P6.3.2) uz zamenu parametra (a) iz (P6.3.3) dobija se da je kriticnazapremina

v = vk = 2b. (P6.3.4)

Iz izraza (P6.3.3) sledi

T = Tk =vk − b

Rv2k

· a

R, (P6.3.5)

tako da je, posle zamene vk (iz izraza (P6.3.4), kriticna temperatura

T = Tk =a

4Rb. (P6.3.6)

Zamenom kriticnih vrednosti vk i Tk iz (P6.3.4) i (P6.3.5) u Diteric-ovu jednacinu stanjadobija se kriticni pritisak

pk =a

4b2e2. (P6.3.7)

b) Na osnovu (P6.3.3), (P6.3.6) i (P6.3.7) dobija se vrednost kriticnog odnosa

RTk

pkvk=

e2

2= 3, 7. (P6.3.8)

Primer 6.4 Odrediti parametre stanja vlazne zasicene pare pri pritisku 2,0MPa istepena suvoce x = 0, 95.

resenje: Na osnovu tablice velicina stanja kljucale vodene pare u zavisnosti od pritiskap (Prilog) dobija se da je za pritisak od p = 20 bara = 2 MPa, ts = 212, 37 0C, v′′ =1, 1766 · 10−3m3/kg, v′′ = 99, 58 · 10−3m3/kg,i′ = 908, 53kJ/kg, i′′ = 2799kJ/kg, s′ = 2, 4467kJ/kgK, s′′ = 6, 340kJ/kgK i r = Ts(s′′ −s′) = 1890, 3kJ/kg. Na osnovu datih podataka i jednacina (6.94), (6.95), (6.96) i (6.97)dobija se

v = v′ + (v′′ − v′)x = 0, 0011766 + (0, 09958− 0, 0011766) · 0, 95 =

= 0, 094660m3/kg ≈ 0, 095m3/kg

i = i′ + (i′′ − i′)x = 908, 53 + (2799− 908, 53) · 0, 95 =

= 2704, 48kJ/kg ≈ 2704kJ/kg

s = s′ + (s′′ − s′)x = 2, 4467 + (6, 340− 2, 4467) · 0, 95 =

102

= 6, 145335kJ/kgK ≈ 6, 145kJ/kgK.

Do istih rezultata se dolazi na osnovu i,s-dijagrama.

Primer 6.5 Odrediti izvod specificne toplote pri konstantnom pritisku po pritisku prikonstantnoj temperaturi : (∂cp

∂p )T.

resenje: Na osnovu (4.47) je cp = ( ∂i∂T )p tako da je

(∂cp

∂p

)

T

=

[∂

∂p

(∂i

∂T

)

p

]

T

=∂2i

∂p∂T=

[∂

∂T

(∂i

∂p

)

T

]

p

. (P6.5.1)

Iz relacije (P4.5.3) (∂i

∂p

)

T

= v − T

(∂v

∂T

)

p

(P6.5.2)

sledi[

∂

∂T

(∂i

∂p

)

T

]

p

=(

∂v

∂T

)

p

−(

∂v

∂T

)

p

− T

(∂2v

∂T 2

)

p

= −T

(∂2v

∂T 2

)

p

, (P6.5.3)

tako da je (∂cp

∂p

)

T

= −T

(∂2v

∂T 2

)

p

. (P6.5.4)

Primer 6.6 Odrediti izvod specificne toplote pri konstantnoj zapremini po zapreminipri konstantnoj temperaturi :

(∂cv

∂v

)T

resenje: Na osnovu (2.31) je cv =(

∂u∂T

)v

tako da je(

∂cv

∂v

)

T

=[

∂

∂v

(∂u

∂T

)

v

]

T

=∂2u

∂v∂T=

[∂

∂T

(∂u

∂v

)

T

]

v

. (P6.6.1)

Iz relacije (P4.7.3) (∂u

∂v

)

T

= T

(∂p

∂T

)

v

− p

sledi[

∂

∂T

(∂u

∂v

)

T

]

v

= T

(∂2p

∂T 2

)

v

+(

∂p

∂T

)

v

−(

∂p

∂T

)

v

= T

(∂2p

∂T 2

)

v

, (P6.6.2)

tako da je (∂cv

∂v

)

T

= T

(∂2p

∂T 2

)

v

. (P6.6.3)

103

Primer 6.7 Dokazati da vazi sledeca termodinamicka relacija:

cp = T

(∂p

∂T

)

s

(∂v

∂T

)

p

.

resenje: Po definiciji je (2.47) cp =(

∂i∂T

)p. Iz relacije (4.8)

di = Tds + v dp

sledi (∂i

∂T

)

p

= T

(∂s

∂T

)

p

,

tako da je

cp = T

(∂s

∂T

)

p

. (P6.7.1)

Kako je (∂s

∂T

)

p

=(

∂s

∂v

)

p

(∂T

∂v

)

p

, (P6.7.2)

uzimajuci u obzir Makswell-ovu relaciju (4.36)

(∂s

∂v

)

p

=(

∂p

∂T

)

s

(P6.7.3)

dobija se (∂s

∂T

)

p

=(

∂p

∂T

)

s

(∂v

∂T

)

p

, (P6.7.4)

tako da je

cp = T

(∂p

∂T

)

s

(∂v

∂T

)

s

. (P6.7.5)

Primer 6.8 Dokazati da vazi sledeca termodinamicka relacija

(∂i

∂s

)

T

= T − v

(∂T

∂v

)

p

resenje:S obzirom da je (

∂i

∂s

)

T

=(

∂i

∂p

)

T

(∂p

∂s

)

T

, (P6.8.1)

104

i uzevsi u obzir relaciju (P4.5.1)

(∂i

∂p

)

T

= T

(∂s

∂p

)

T

+ v, (P6.8.2)

dobija se (∂i

∂s

)

T

= T + v

(∂p

∂s

)

T

. (P6.8.3)

Na osnovu Maxwell-ove jednacine (4.38)

(∂p

∂s

)

p

= −(

∂T

∂v

)

p

, (P6.8.4)

prethodni izraz (P6.8.3) moze da se napise u obliku

(∂i

∂s

)

T

= T − v

(∂T

∂v

)

p

, (P6.8.5)

sto je trebalo da se dokaze.

105

7. PROCESI ZA HLADJENJE

Svaki sistem za postizanje niskih temperatura i za likvefikaciju gasova zasnovan je naogranicenom broju termodinamickih procesa. U praksi se najcesce koriste: proces adi-jabatskog prigusenja realnog gasa (Joule-Thomson-ov efekt), proces adijabatskog sirenjagasa sa i bez vrsenja spoljnjeg rada kao i proces adijabatskog razmagnetisavanja param-agnetnih soli. U konkretnim slucajevima, u kriogenoj tehnici, najcesce se koriste kombi-nacije pomenutih procesa. Postoje i drugi nacini postizanja niskih temeperatura kao stosu: nuklearno razmagnetisavanje, termomagnetno hladjenje, desorpciono hladjenje i nam-agnetisavanje superprovodnika. Medjutim, mada mogu da budu svrsihodni, ne primenjujuse cesto, tako da necemo posebno da ih razmatramo.

7.1. Proces prigusenja realnog gasa. Joule-Thomsonov efekt.

Ukoliko struja gasa prolazi kroz naglo suzenje preseka cevi, iza kojeg se presek ponovoprosiruje na prvobitnu vrednost (na primer - delimicno otvorenu dijafragmu, slavinu iliventil- tzv. prigusni ili reducir ventil), dolazi do naglog pada pritiska u struji gasa uodnosu na pritisak pred suzenjem. Sto je manji presek suzenog dela prema preseku ceviispred i iza suzenja to je veci pad pritiska. Pojava pada pritiska u struji gasa uprocesu proticanja kroz suzen presek cevi naziva se prigusenje (reduciranje).Pri procesu prigusenja jedan deo rada sirenja radnog tela od pritiska p1 do pritiska p2 seutrosi na savladavanje sila trenja pri proticanju gasa kroz mesni otpor (prigusni ventil).Naime, iz I zakona termodinamike, napisanog za zatvoren nepokretan sistem u slucajureverzibilnih procesa (2.84)

δq = du + pdv,

kao i istog zakona napisanog za fluidne struje (2.71).

δq = du + d(pv) + wdw + gdz + δlkz + δltr,

sledi da se rad sirenja kod fluidne struje pdv utrosi na proticanje (potiskivanje, istiskivanje)tj. na rad protiv spoljnih sila d(pv), na promenu kineticke energije wdw i potencijalneenergije gdz, na savladavanje sila trenja δltr i na vrsenje tehnickog rada δlkz(2.84) :

pdv = d(pv) + wdw + gdz + δlkz + δltr.

Kako je d(pv) = pdv + vdp, sledi

wdw = −vdp− gdz − δlkz − δltr.

U slucaju kada je dz = 0 i kada se ne vrsi tehnicki rad (δlkz = 0) iz predhodnog izraza sedobija da je

wdw = −vdp− δltr, (7.1)

sto znaci da do porasta kineticke energije fluidne struje dolazi pri padu pritiska i ukolikose smanji rad sila trenja. U slucaju malih brzina fluidne struje (w ≈ 0) dobija se

dp = −δltrv

.

Prethodan izraz pokazuje da pad pritiska (dp < 0) iza mesnog otpora nastajezbog vrsenja rada na savladavanju sila trenja (dltr > 0− rad koji vrsi struja gasaje pozitivan) sto znaci da je prigusenje potpuno ireverzibilan proces pracen porastom

105

entropije. Rad sila trenja se transformise u toplotnu energiju koju prima radno telo-fluid(δltr = δqtr = −vdp). Zbog velike brzine proticanja na mestu suzenja moze da se smatrada tokom procesa prigusenja nema razmene toplote izmedju fluida (radnog tela) i okolnesredine (posebno u slucaju dobre izolacije cevi), tj. da je proces prigusenja adijabatskiproces. Znaci, proces prigusenja se karakterise ireverzibilnim, adijabatskim snizenjempritiska bez vrsenja korisnog rada. Velicina pada pritiska zavisi od prirode fluida, njegovogstanja, brzine, kao i velicine suzenja cevi.

Slika 7.1.Pri prolazenju gasa kroz prigusni ventil raste brzina struje gasa, a time i njegova

kineticka energija, opada pritisak (slika 7.1), a raste specificna zapremina (v2 > v1) gasa.Deo kineticke energije, koji gas utrosi na savladavanje sila trenja, prelazi u toplotnu en-ergiju. Temperatura gasa zbog pada pritiska pri adijabatskom prigusenju moze da sesmanji, poveca ili ostane nepromenjena, zavisno od prirode gasa i pocetnih parametarastruje gasa. Iza prigusnog ventila brzina opada a pritisak se povecava, medjutim ne dostizuse pocetne vrednosti, zbog ireverzibilnosti procesa. Iz jednacine I zakona termodinamikeza fluidne struje napisane u diferencijalnom obliku (2.71)

δq = di + d(w2

2) + gdz + δlkz + δltr,

gde je i = u + pv, uzimajuci u obzir da je ukupna kolicina toplote jednaka zbiru spoljadovedene toplote δqsp i toplote δqtr oslobodjene u procesu rada protiv sila trenja(δqtr = δltr)

δq = δqsp + δqtr = δqsp + δltr,

106

sledi

δqsp = di + d(w2

2) + gdz + δlteh.

Pri adijabatskom procesu prigusenja (δqsp = 0) bez vrsenja tehnickog rada (δlteh = 0) ipri otsustvu visinske razlike (dz = 0) iz prethodnog izraza se dobija da promena entalpijenastaje usled promene kineticke energije (odnosno brzine) struje gasa

di = −d(w2

2), (7.2)

odnosnoi1 − i2 =

12(w2

2 − w21). (7.3)

Promena kineticke energije u odnosu na vrednost entalpije je zanemarljiva (w2 − w1 ¿i1, i2) tako da je

i1 − i2 ≈ 0, (7.4)

odnosnoi1 ≈ i2. (7.5)

Medjutim, ne znaci da je proces prigusenja izoentalpijski jer se izmedju pocetnog i krajnjegstanja entalpija menja di 6= 0, tako da u najuzem delu ima minimum (slika 7.1). Jednakost(7.5) vazi kako za gasove (realne i idealne) tako i za tecnosti, za preseke dovoljno udaljene odprigusnog ventila. Proces prigusenja moze da se prikaze uslovno u, na primer, i,s-dijagramu(crticastom) linijom i = const. Pri prigusenju entropija struje gasa raste. Naime, kako je(4.8) Tds = di− vdp, na osnovu (7.4) (uzimajuci u obzir da je dp < 0) sledi

ds = −vdp

T> 0. (7.6)

U slucaju idealnog gasa je (2.46): di = cpdT, tako da se prigusenjem temperatura idealnoggasa ne menja

dT =di

cp= 0, (7.7)

tj. T = const.Postavlja se pitanje kako se menja temperatura realnog gasa ili tecnosti tokom procesa

adijabatskog prigusenja. Pojava promene temperature fluida pri adijabatskom prigusenjunaziva se Joule-Thomson-ov efekt. S obzirom da se proces adijabatskog prigusenjakarakterise promenom (tj. padom) pritiska pri konstantnoj entalpiji i = const, da bi seodgovorilo na postavljeno pitanje treba da se odredi vrednost velicine

αi =(

∂T

∂p

)

i

. (7.8)

Velicina αi naziva se koeficijent adijabatskog prigusenja ili Joule-Thompson-ovkoeficijent (diferencijalni Joule Thomson-ov efekat).

Na osnovu izraza (primer P4.5)(

∂T

∂p

)

i

(∂p

∂i

)

T

(∂i

∂T

)

p

= −1,

107

sledi

αi =(

∂T

∂p

)

i

= − (∂i/∂p)T

(∂i/∂T )p,

tako da, uzevsi u obzir da je (primer P4.6)(

∂i

∂p

)

T

= v − T

(∂v

∂T

)

p

,

Slika 7.2.kao i da je (2.47) (

∂i

∂T

)

p

= cp,

dobija se

αi =T ( ∂v

∂T )p − v

cp. (7.9)

Promena temperature fluida tokom procesa adijabatskog prigusenja pri konacnom padupritiska naziva se integralni efekt prigusenja (integralni Joule-Thomposon-ov efekt) aizracunava se na osnovu izraza

T2 − T1 =∫ p2

p1

αidp =∫ p2

p1

T ( ∂v∂T )p − v

cpdp, (7.10)

gde su T1 i T2 temperature fluida ispred i iza prigusnog ventila.Pri maloj razlici ∆T i ∆p primenjuje se relacija

∆T = αi∆p =1cp

[T

(∂v

∂T

)

p

− v

]∆p. (7.11)

108

Zavisnost αi od temperature je slozena. Na slici 7.2 prikazane su krive zavisnosti αiod temperature vazduha pri razlicitim pritiscima. Uocljivo je da αi opada sa povecanjempritiska. Mada je diferencijalni Joule-Thomson-ov efekt mali (∼ 0.25K/bar) integralniefekt prigusenja moze da bude vrlo veliki. Na primer, pri adijabatskom prigusenju vodenepare od pritiska 29.4 MPa i temperature od 4500 C do pritiska 0,98 MPa temperatura pareopadne za 2700 C.

U slucaju idealnih gasova(

∂v∂T

)p

= vT , tako da je αi = 0, pa se, kao sto je ranije

pomenuto, tokom adijabatskog prigusenja temperatura idealnog gasa ne menja. Iz izraza(7.9) sledi da je znak αi odredjen znakom velicine T

(∂v∂T

)p− v. Pokazuje se da je znak αi

razlicit u razlicitim oblastima stanja datog realnog gasa. Stanje realnog gasa pri kojem,pri adijabatskom prigusenju, koeficijent prigusenja αi menja znak, tj. αi = 0, naziva setacka inverzije a geometrijsko mesto tacka inverzije - kriva inverzije. Kriva inverzijenalazi se iz uslova da je αi = (∂T

∂p )i = 0 odnosno T ( ∂v∂T )

p− v = 0. Pri temperaturi inverzije

Tinv =v

( ∂v∂T )p

= v

(∂T

∂v

)

p

, (7.12)

s obzirom da je αi = 0, u procesu adijabatskog prigusenja temperatura realnog gasa se nemenja. Iz izraza (7.12) i (7.9) sledi

αi =v

cp(

T

Tinv− 1). (7.13)

Ako je temperatura realnog gasa ispred prigusnog ventila niza od temperature inverzije(T < Tinv), iz (7.13) sledi αi < 0, tako da se (na osnovu (7.11)), gas pri procesu prigusenjazagreva (∆T > 0), jer pritisak gasa pri adijabatskom prigusenju opada (∆p < 0) a uvek jecp > 0.

a) b)Slika 7.3.

Kao primer, na slici 7.3a prikazana je kriva inverzije azota u p,T-dijagramu. Sa slike sevidi da datom pritisku odgvaraju dve tacke inverzije pri razlicitim temperaturama, jedna uoblasti gasne faze (pare) a druga u oblasti tecne faze. Kriva inverzija ima maksimum. Akoje pritisak gasa iznad pritiska koji odgovara maksimumu krive inverzije, pri adijabatskomprigusenju gas se (bez obzira na pocetnu temperaturu) zagreva. Unutar oblasti ogranicenekrivom inverzije αi > 0 tako da se gas pri adijabatskom prigusenju hladi. Izvan ove oblastiαi < 0 tako da se pri adijabatskom prigusenju gas zagreva. Slican oblik imaju kriveinverzije drugih gasova. Za vecinu gasova, pri normalnim uslovima, temperatura inverzijeje visoka Tinv > 800K medjutim za vodonik je Tinv = 183K a za helijum Tinv = 38K.

Temperatura iznverzije zavisi od pritiska i prirode gasa. Za Van-der Waals-ov gas prip = 0 dobija se

Tinv =2a

Rb. (7.14)

109

Kako je kriticna temperatura Tkr = 827

aRb sledi

Tinv = 6.75Tkr. (7.15)

Promena temperature realnog gasa pri procesu adijabatskog prigusenja (Joule-Thomson-ovefekt) najociglednije moze da se prikaze u T,s-dijagramu (slika 7.3b). Izoentalpe (i=const)po svom toku mogu da se svrstaju u dve grupe. Izoentalpe jedne grupe imaju maksi-mume pri temperaturi inverzije (za dati pritisak) dok nagib izoentalpi druge grupe, kojese nalaze iznad prve, monotono raste s porastom entropije. Kriva inverzija, koja prolazikroz maksimume izoentalpe prve grupe, asimptotski se priblizava maksimalnoj vrednostitemperature inverzije u slucaju malih pritisaka i visokih temperatura. Pri tome je odgo-varajuca izoentalpa horizontalna. S obzirom da nagib izoentalpi iznad krive inverzije rastes porastom entropije odnosno u ireverzibilnom procesu adijabatskog prigusenja, sa slike(7.3b) je ocigledno da je za hladjenje realnog gasa adijabatskim prigusenjem od bilo kogpritiska neophodno da se gas prethodno, na neki drugi nacin, ohladi do temperature T0

ispod temperature inverzije (Tinv > T0). Znaci, hladjenje je moguce samo u oblasti is-pod krive inverzije gde je nagib izoentalpi negativan. Pad temperature je veci sto je nizapocetna temperatura i visi pocetni pritisak.

Fizicka sustina Joule-Thomson-ovog efekta sastoji se u sledecem: kako se pri adija-batskom prigusenju entalpije ne menja ∆i = ∆u + ∆(pv) = 0, sledi da se unutrasnjaenergija gasa menja na racun rada proticanja ∆(pv) : ∆u = −∆(pv). Pri niskim tem-peraturama ili niskim pritiscima kada su privlacne medjumolekularne sile velike gas priadijabatskom prigusenju vrsi rad proticanja [∆(pv) > 0] na racun kinetickog dela un-utrasnje energije pri cemu temperatura pada (potencijalni deo unutrasnje energije raste).Pri visokim temperaturama ili visokim pritiscima kada su odbojne sile velike pri adija-batskom prigusenju nad gasom se vrsi rad (∆(pv) < 0) tako da raste kako potencijalnitako i kineticki deo unutrasnje energije, a time i temperatura gasa. Znaci, promene tem-perature realnog gasa pri adijabatskom prigusenju je posledica utrosenog rada na savlada-vanju medjumolekularnih sila. S obzirom da su u slucaju idealnog gasa medjumolekularneinterakcije zanemarljive pri adijabatskom prigusenju idealnog gasa temperatura idealnoggasa se ne menja.

7.2. Izoentropsko sirenje realnog gasa

Izoentropsko (reverzibilno adijabatsko) sirenje realnog gasa sa vrsenjem spoljasnjegrada predstavlja reverzibilan adijabatski proces za razliku od, na primer, ireverzibilnogprocesa adijabatskog prigusenja. Realan izoentropski proces sirenja ostvaruje se u eks-panzionim masinama kako klipnog tako i turbinskog tipa.

Kao sto je poznato (poglavlje 3.) kod ireverzibilnog adijabatskog procesa je δq = 0 ids > 0. Medjutim, kod reverzibilnog adijabatskog procesa je δq = 0 ali je ds = 0, tj. takavproces je izoentropski. Ocigledno je da je svaki izoentropski proces u izolovanom sistemuadijabatski ali nije svaki adijabatski proces, u isto vreme, i izoentropski. Jasno je da jeizoentropsko sirenje realnog gasa efikasniji nacin dobijanja niskih temperatura. Promenatemperature pri izoentropskom sirenju realnog gasa nalazi se iz relacije

dT (s, p) =(

∂T

∂p

)

s

dp, (7.16)

tj.

T2 − T1 =∫ p2

p1

(∂T

∂p

)

s

dp. (7.17)

Iz relacije (P4.5) (∂T

∂p

)

s

(∂p

∂s

)

T

(∂s

∂T

)

p

= −1, (7.18)

110

uzimajuci u obzir Maxwell-ovu jednacinu (4.38)(

∂s

∂p

)

T

= −(

∂v

∂T

)

p

, (7.19)

i poznat izraz [(2.47) i (6.67)]

cp =(

∂i

∂T

)

p

= T

(∂s

∂T

)

p

(7.20)

dobija se sledeca relacija za koeficijent reverzibilnog adijabatskog sirenja

αs =(

∂T

∂p

)

s

=T ( ∂v

∂T )p

cp. (7.21)

S obzirom da je ( ∂v∂T )p > 0, i cp > 0, uvek je αs > 0 sto znaci da se pri izoentropskom

sirenju temperatura gasa uvek snizava. Ocigledno je da s povisenjem temperaturei snizenjem pritiska (tj. povecanjem zapremine) αs raste. Kod realnog izoentropskogprocesa efekt hladjenja je manji od idealnog zbog delimicne ireverzibilnosti procesa.

Konacna promena temperature pri procesu izoentropskog sirenja nalazi se na osnovus,T-dijagrama ili analiticki na osnovu jednacina (7.17) i (7.21). U slucaju izoentropijskogprocesa kod idealnog gasa je

Tp1−k

k = const, (7.22)

odnosnoT2 = T1(

p2

p1)

k−1k . (7.23)

Na osnovu (7.23) sledi da je promena temperature pri izoentropskom sirenju idealnog gasadata izrazom

∆T = T2 − T1 = T1[(p2

p1)

k−1k − 1], (7.24)

gde indeksi 1 i 2 oznacavaju pocetno i konacno stanje, respektivno.Iz (7.21) i (7.9) dobija se

αs − αi =v

cp, (7.25)

tako da je (cp i v su uvek pozitivni)αs > αi. (7.26)

Znaci, proces izoentropskog sirenja (s vrsenjem spoljasnjeg rada) je efikasniji nacinhladjenja gasa (ili tecnosti) u poredjenju s ireverzibilnim procesom adijabatskog prigusenja.S porastom pritiska ili snizenjem temperature (pri cemu se smanjuje specificna zapreminav) vrednost za αi se priblizava vrednosti za αs. U okolini kriticne tacke, kada cp dostizemaksimum, αi ≈ αs. Odnos koeficijenata αi i αs dat je izrazom

αi

αs= 1− v

T

(∂T

∂v

)

p

. (7.27)

Na slici 7.4 prikazana je kriva zavisnosti odnosa αi/αs od pritiska p za vazduh pri nekolikotemperatura. Uocava se da odnos αi/αs raste sa snizenjem temperature tako da se pri

111

relativno niskim temperaturama priblizava jedinici. Osim toga, pri umereno niskim tem-peraturama i pritiscima od 5-20 MPa odnos αi/αs ima jos uvek relativno veliku vrednost,tj. αi je uporedivo sa αs.

Slika 7.4.

Izoentropsko sirenje realnog gasa (s vrsenjem spoljasnjeg rada) ima veliko preimucstvo uslucaju kada je stepen sirenja veliki ili kada se sirenje vrsi od relativno visokih pocetnihtemperatura.

7.3. Proces ireverzibilnog adijabatskog sirenja gasa iz suda konstantnezapremine

Kod nekih rashladnih sistema za postizanje niskih temperatura koristi se proces adi-jabatskog sirenja gasa iz suda konstantne zapremine, gde se on nalazi pod pritiskom. Priisticanju gas vrsi rad proticanja nasuprot sila spoljasnjeg pritiska, tj. gas ne vrsi koristantehnicki rad. Ovaj proces je, za razliku od izoentropskog sirenja u ekspanderu (detanderu),ireverzibilan i pracen je porastom entropije.

Pri otvaranju izduvnog (ispusnog) ventila pritisak p1 gasa u sudu brzo pada na pritisakp2 pri kojem gas izlazi iz suda. Velicina izvrsenog rada iznosi

l =∫ v2

v1

p2dv = p2(v2 − v1). (7.28)

Kako je proces adijabatski (δq = 0), na osnovu prvog zakona termodinamike, sledi daje promena unutrasnje energije ekvivalentna izvrsenom radu

u2 − u1 = p2(v2 − v1). (7.29)Uzimajuci u obzir da je u = i − pv dobija se da je promena entalpije pri adijabatskomsirenju iz konstantne zapremine

∆i = i1 − i2 = p1v1(1− p2

p1). (7.30)

112

U slucaju idealnog gasa p1v1 = RT1 i ∆i = cp∆T tako da je promena temperature priovom procesu

∆T = T1 − T2 =k − 1

kT1(1− p2

p1). (7.31)

U slucaju realnih gasova ∆T moze da se odredi na osnovu toplotnog (i,T)- dijagramai izraza (7.30) . Promena temperature je znatno manja u poredjenju sa izoentropskimsirenjem a veca nego pri adijabatskom prigusenju. Kao i u slucaju izoentropskog sirenja,pri adijabatskom isticanju iz suda konstantne zapremine temperatura uvek opada.

Pri malim odnosima p1p2

ovaj proces je, sto se tice efikasnosti, blizak izoentropskomsirenju i ne zavisi od pocetne temperature T1. Jednostavnost realnog ostvarenja ovogprocesa u nekim slucajevima mu daje prednost bez obzira na manju termodinamickuefikasnost.

7.4. Adijabatsko sirenje realnog gasa u vakuum (Joule-ov efekt)

Razmotrimo jos jedan ireverzibilan proces u realnom gasu - adijabatsko sirenje re-alnog gasa u vakuum bez vrsenja spoljasnjeg rada, pri kojem se u opstem slucaju snizavatemperatura realnog gasa. Kao sto je ranije pokazano (odeljak 7.3), proces sirenja gasapod pritiskom p1 iz zapremine V1 u okolnu sredinu (ili kao u nasem slucaju u zapreminuV2) pritiska p2 je neravnotezan proces tako da je elementarni rad sirenja (2.1): δl = p2dv.Jednacina prvog zakona termodinamike za slucaj neravnoteznog procesa sirenja moze dase napise u obliku

δq = du + p2dv. (7.32)

Kako je razmatran proces adijabatski (δq = 0), a gas se siri u vakuum (p2 = 0), sledida je δl = p2 dv = 0, tj. pri sirenju gas ne vrsi rad, tako da je

du = 0, (7.33)

odnosno, u procesu adijabatskog sirenja gasa u vakuum unutrasnja energija gasa se nemenja (mada se u toku samog procesa sirenja unutrasnja energija gasa u pocetku smanjujea zatim poraste do pocetne vrednosti u2 = u1).

Promena temperature gasa pri sirenju u vakuum pri u = const data je izrazom

dT =(

∂T

∂v

)

u

dv, (7.34)

odnosno

∆T = T2 − T1 =∫ v2

v1

(∂T

∂v

)

u

dv. (7.35)

Iz relacije (P4.5) (∂T

∂v

)

u

(∂v

∂u

)

T

(∂u

∂T

)

v

= −1 (7.36)

sledi (∂T

∂v

)

u

= − (∂u∂v )

T

( ∂u∂T )v

. (7.37)

Kako je du = Tds− pdv sledi(

∂u

∂v

)

T

= T

(∂s

∂v

)

T

− p. (7.38)

113

Na osnovu Maxwell-ove jednacine (4.37)(

∂s

∂v

)

T

=(

∂p

∂T

)

v

, (7.39)

i izraza (7.38), sledi (∂u

∂v

)

T

= T

(∂p

∂T

)

v

− p, (7.40)

tako da se smenom prethodnog izraza (7.40) u (7.37) dobija

(∂T

∂v

)

u

=p− T ( ∂p

∂T )v

cv, (7.41)

gde je

cv =(

∂u

∂T

)

v

.

Smenom (7.41) u (7.35) konacno se dobija izraz za promenu temperature pri adijabatskomsirenju gasa u vakuum

T2 − T1 =∫ v2

v1

p− T ( ∂p∂T )v

cvdv. (7.42)

Kako je cv > 0 i (∂u∂v )

T= T ( ∂p

∂T )v − p > 0 sledi

∆T < 0,

tj., u opstem slucaju temepratura realnog gasa pri adijabatskom sirenju u vakuum opada.Kako je u slucaju idealnog gasa (∂u

∂v )T = 0 iz (7.37) sledi da je (∂T∂v )u = 0 tj., pri

adijabatskom sirenju idealnog gasa u vakuum temperatura gasa se ne menja.Promena entropije gasa u datom procesu odredjuje se na osnovu izraza

∆s =∫ v2

v1

(∂s

∂v

)

u

dv. (7.43)

Kako je du = 0, sledi Tds = pdv, tako da je(

∂s

∂v

)

u

=p

T. (7.44)

Na osnovu (7.43) i (7.44) sledi

∆s =∫ v2

v1

p

Tdv > 0, (7.45)

tj. pri Joule-ovom efektu entropija raste sto znaci da je proces adijabatskog sirenja uvakuum tipicno ireverzibilni proces.

7.5. Postizanje niskih temperatura adijabatskim razmagnetisavanjem

114

paramagnetnih soli

Za postizanje niskih temperatura (ispod ∼ 0.3 K) pokazuje se da su klasicni termod-inamicki sistemi nepogodni s obzirom da u datoj temperaturskoj oblasti entropija imamalu vrednost i slabo zavisi od parametara p i v. Resenje problema je moguce ukolikobi se nasao i koristio takav neuredjen sistem koji bi pri vrlo niskim temperaturama imaodovoljno veliku vrednost entropije, zavisnu od nekog parametra stanja. Pokazalo se daparamagnetne soli retkih zemalja zadovoljavaju postavljene uslove. Paramagnetne solimogu da se predstave sistemom slabo interagujucih magnetnih momenata koji su sve donajnizih temperatura haoticno rasporedjeni. Pri datoj temperaturi magnetni momentimogu da se orijentisu (tj. prevedu u uredjeno stanje) pod uticajem spoljnjeg magntenogpolja. Znaci, pod uticajem spoljnjeg magnetnog polja jacine H povecava se uredjenosta time snizava entropija sistema magnetnih momenata (spinskog sistema). Jasno je dase entropija sistema magnetnih momenata smanjuje snizavanjem temperature. Ukoliko semagnetno polje ukloni (tj. uzorak razmagnetise) bez promene entropije spinskog sistema,uredjenost spinskog sistema ce da odgovara nizoj temperaturi od one koja odgovara istomstepenu uredjenosti u prisusutvu magnetnog polja. Entropija toplotnih vibracija resetkeu datoj oblasti temparatura je zanemarljiva. Na slici 7.5 prikazana je zavisnost entropijeparamagnetne soli od temperature u oblasti ispod 1K pri razlicitim jacinama spoljnjegmagnetnog polja.

Slika 7.5

Ocigledno je da se sa snizenjem temperature entropija, pri datoj jacini spoljnjeg mag-netnog polja, u pocetku slabo menja. Pri vrlo niskim temperaturama dolazi do paralelneorijentacije spinova tako da entropija ostro pada sa snizenjem temperature. Magnetnopolje dovodi do delimicne orijentacije spinova prevodeci spinski sistem u uredjenije stanjenize entropije, tako da su krive koje odgovaraju magnetnim poljima vece jacine ispod krivihkoje odgovaraju magnetnim poljima manje jacine (H3 > H2 > H1 > H0 = 0).

Hladjenje adijabatskim razmagnetisavanjem sastoji se iz procesa A → B izotermnognamagnetisavanja (od H0 do H3) pri konstantnoj temperaturi T1 i procesa B → C izoen-tropskog (adijabatskog) razmagnetisavanja (od H3 do H0) pri cemu dolazi do snizenjatemperature (od T1 do T2). Pri izotermnom namagnetisavanju paramagnetskih soli (procesA → B) magnetni momenti delimicno se uredjuju (paralelno magnetnom polju), entropijase smanjuje od sA do sB i oslobadja se kolicina toplote q = T1(sA − sB) u okolnu sredinu.Analogan proces kod klasicnih termodinamickih sistema je izotermno sabijanje gasa. Priadijabatskom razmagnetisavanju (proces B → C) temparatura pada do T2 pri sacuvanomuredjenju spinova (sB = sC). Analogan proces kod klasicnih termodinamickih sistema jeproces je adijabatskog sirenja u ekspanderu (detanderu).

115

Metod adijabatskog razmagentisanja primenjuje se za dobijanje niskih temperatura uintervalu od 0.3 - 0.001 K. Donja granica odredjena je temperaturom ΘS pri kojoj je en-ergija interakcije spinova uporediva s energijom toplotnog kretanja. Ispod ove temperaturestanje spinskog sistema je uredjeno i bez prisusutva spoljasnjeg magnetnog polja.

Principijelna sema uredjaja za postizanje niskih temperatura adijabatskim razmag-netisavanjem paramagnetnih soli prikazana je na slici 7.6. Uzorak (1) paramagnetne soli,okacen o nit male toplotne provodljivosti, postavlja se u komoru (2) popunjenu gasnim he-lijumom. Komora je potopljena u tecan helijum koji se nalzi u toplotno izolovanom sudu(3). Toplotno izolovan sud (3) se vakuumira tako da tecan helijum kljuca pri temperaturioko 1K. Gasni helijum u komori sluzi za razmenu toplote od uzorka ka tecnom helijumu.

U pocetku se u komoru uvodi manja kolicina gasnog helijuma, koji ima veliku toplotnuprovodljivost, tako da se uzorak paramagnetne soli ohladi do 1K (slika 7.6a). Pri ukljucenjumagnetnog polja dolazi do orijentacije spinova uzorka paramagnetne soli, pri cemu oslo-bodjenu kolicinu toplote prima kljucajuci helijum, tako da temperatura uzorka ostaje ne-promenjena (1K) (slika 7.6b). Pomocu vakuum pumpe iz komore (2) se, preko ventila(4), isisava gasni helijum tako da se prekida toplotna razmena uzorka paramagnetne soli sokolnom sredinom (tecnim helijumom) (slika 7.6c). Na kraju, iskljucuje se magnetno poljetako da se uzorak dodatno adijabatski hladi (slika 7.6d).

Slika 7.6.

Prethodno razmatranje pokazalo je da za magnetne materijale treba da se uvedu noviparametri stanja- jacina magnetnog polja H i magnetizacija J. Da bi se odredila konacnapromena temperature pri adijabatskom razmagnetisavanju neophodno je da se poznajejednacina stanja paramagnetne supstance: ϕ(T, H, J) = 0. Prethodno je pokazano da jeentropija magnetnog sistema zavisna od temperature T i jacine magnetnog polja H : S =f(T, H). Osim toga, pokazalo se da u prisustvu magnetnog polja dolazi do polarizacijemagnetenog materijala praceno oslobadjenjem izvesne kolicine toplote, sto znaci da radmagnetnog polja menja stanje sistema. Rad magnetnog polja odredjen je izrazom

δLm = −HdJ. (7.46)

U ovom slucaju prvi zakon termodinamike moze da se napise u obliku

δQ = dU + δLm = dU −HdJ. (7.47)

Na osnovu drugog zakona termodinamike sledi

dU = TdS + HdJ. (7.48)

Po analogiji moze da se uvede magnetna entalpija

I = U −HJ (7.49)

116

i termodinamicki potencijal

F = I − TS = U −HJ − TS. (7.50)

U slucaju izoentropskog hladjenja S = S(T,H) = const tako da je

dS =(

∂S

∂T

)

H

dT +(

∂S

∂H

)

T

dH = 0, (7.51)

odnosno

αM =(

∂T

∂H

)

S

= − ( ∂S∂H )

T

( ∂S∂T )

H

. (7.52)

gde je αM− tzv. magnetokaloricki koeficijent koji definise promenu temperature spromenom jacine magnetnog polja pri izoentropskom procesu. Pri H = const sledi, TdS =CHdT, tako da je (

∂S

∂T

)

H

=CH

T, (7.53)

gde je CH− toplotni kapacitet pri konstantnoj jacini magnetnog polja H (analogno Cp zanemagnetne sisteme).

Diferenciranjem izraza (7.50) i koriscenjem jednacine (7.48) dobija se diferencijal ter-modinamickog potencijala

dF = −SdT − JdH, (7.54)

odakle je

S = −(

∂F

∂T

)

H

(7.55)

i

J = −(

∂F

∂H

)

T

. (7.56)

Na osnovu (7.55) i (7.56) dobija se odgovarajuca Maxwell-ova termodinamicka relacija zamagnetne sisteme (

∂S

∂H

)

T

=(

∂J

∂T

)

H

. (7.57)

Smenom izraza (7.53) i (7.57) u izraz (7.52) dobija se izraz za magnetokaloricki koeficijent

αM = − T

CH

(∂J

∂T

)

H

, (7.58)

koji je slican izrazu (7.21) pri s=const kod termomehanickih sistema. Da bi se odredilakonacna promena temperature pri adijabatskom razmagnetisavanju [na osnovu izraza(7.58)] neophodno je da se prethodno odredi ( ∂J

∂T )H .Specificna toplota CJ pri konstantnoj magnetizaciji J definise se (analogno Cv za

nemagnetne sisteme).

CJ =(

∂U

∂T

)

J

. (7.59)

117

Kako je δQ = CHdT na osnovu (7.47) i (7.59) sledi

CH = CJ −H

(∂J

∂T

)

H

. (7.60)

Za paramagnetne supstance, u slucaju kada temperature nisu suvise niske a jacina mag-netnog polja nije suvise velika, vazi Curie-ov zakon

J =CH

T, (7.61)

gde je C− Curie-ova konstanta. Izraz (7.61) predstavlja jednacinu stanja ”idealnog” para-magnetika. Diferenciranjem izraza (7.61) dobija se

(∂J

∂T

)

H

= −CH

T 2. (7.62)

Zavisnost specificne toplote CJ paramagnetika od temperature data je izrazom

CJ = R

(∆E

kT

)exp(∆E

kT )(1 + exp(∆E

kT ))2, (7.63)

gde je R− gasna konstanta a ∆E razlika energijskih nivoa stanja magnetnih jona suprotnihorijentacija spinova. U oblasti temperatura T > ΘS gde je ΘS = ∆E

k karakteristicnatemperatura, zavisnost CJ od temperature je oblika

CJ =RA

T 2, (7.64)

gde je

A =Θ2

S

4. (7.65)

Na osnovu (7.60), (7.62) i (7.64) dobija se da je

CH =RA + CH2

T 2. (7.66)

Smenom izraza (7.62) i (7.66) u izraz (7.58) dobija se

αM =(

∂T

∂H

)

S

=HT

RAC + H2

, (7.67)

odakle je ∫ T2

T1

dT

T=

∫ 0

H1

HdHRAC + H2

. (7.68)

Na kraju, iz (7.68) dobija se da je konacna temperatura po zavrsenom adijabatskom raz-magnetisanju data izrazom

T2 =T1√

1 + CH21

RA

, (7.69)

118

a oslobadjena kolicina toplote u procesu namagnetisavanja (A → B)

∆Q = T

∫ H

0

(∂J

∂T

)

H

dH = −∫ H

0

(CH

T

)dH = −CH2

2T. (7.70)

Snizenje temperature pri adijabatskom razmagnetisanju je vece sto je veca jacina mag-netnog polja H1 i niza polazna temperatura T1. Supstance sa velikom vrednoscu C

RA = 4CRΘ2

S

su pogodnije za dobijanje niskih temperatura. Izrazi (7.69) i (7.70) primenljivi su u oblastivazenja Curie-ovog zakona.

119

Primer 7.1 Specificna toplota vodene pare pri p=12MPa i t=5200 C iznosi cp =2, 65 kJ

kg K . Zavisnost specificne zapremine od temperature pri p=12MPa, na osnovu po-dataka za vodenu paru, prikazana je tabelarno:

t(0C) 500 520 540

v(m3

kg ) 0,02681 0,02782 0,02881

Odrediti:a) koeficijent adijabatskog prigusenja ai (diferencijalni Joule-

Thomson-ov efekt);b) integralni efekt prigusenja ∆Ti pri padu pritiska pare od

p1 = 12M Pa do p2 = 10 MPa.

resenje:a) Koeficijent adijabatskog prigusenja ai =

(∂T∂p

)iodredjen je izrazom (7.9)

ai =T

(∂v∂T

)p− v

cp

Iz tabele sledi (∆v

∆T

)

p

=0, 02782− 0, 02681

20m3

kg K= 5 · 10−5 m3

kg K,

tako da je koeficijent adijabatskog prigusenja

ai∼=

T(

∆v∆T

)p− v

cp=

793 · 5× 10−5 − 0, 027802, 65 · 103

K/Pa =

= 0, 447 · 10−5K/Pa.

b) Pri maloj razlici pritiska ∆p, kao u ovom primeru, moze da se uzme da je αi pribliznokonstantna velicina

ai =(

∂T

∂p

)

i

∼=(

∆T

∆p

)

i

tako integralni efekt priguisenja iznosi

∆T = ai∆p = 0, 447× 10−5(12− 10) · 106 = 8, 94K.

Primer 7.2 Odrediti promenu temperature i entalpije pri hladjenju vodonika meto-dama:a) izoentropskog sirenja;b) prigusenja ic) adijabatskog sirenja iz suda konstantne zapremine.

Parametri vodonika su T1 = 80K, p1 = 4, 0MPa, p2 = 0, 15MPa a eksponent adija-bate κ = 1, 41. Pogledati sliku P.7.1.

120

.

Slika P7.1

Nestacionarni proces ireverzibilnog adijabatskog sirenja iz suda konstantne zapremineprikazan je uslovno (crtkasto).

resenje:a) Za proces izoentropskog sirenja (s = const), na osnovu T,s-dijagrama za vodonik

(pogledati prilog ), i poznatih parametara (p1 i T1), dobija se s1 = 35, 7kJ/kg. Uslucaju izoentropskog sirenja je s1 = s2 = 35, 7kJ/kg = const. Iz preseka izoen-trope s = s1 = s2 = 35, 7kJ/kg = const sa izobarom p2 = 0, 15MPa dobija sevrednost konacne temperature pri ovom procesu hladjenja, tj. T2 = 22K. Znaci,promena temperature pri ovom hladjenju iznosi (∆T )s=const = 58K. Iz istog di-jagrama se, takodje jednostavno, dobijaju pocetne i krajnje vrednosti entalpije, tj.i1 = 1260kJ/kg i i2 = 710kJ/kg, tako da promena entalpije u ovom slucaju iznosi(∆i)s = i1 − i2 = 550kJ/kg.Ukoliko bi se pretpostavilo da je vazduh idealan gas tada bi promena temperature

iznosila (7.24):(∆T )s = T1[1− (

p2

p1)

k−1k ] = 49K.

b) U slucaju izoentalpskog sirenja je i = i1 = i4 = 1260kJ/kg = const pa je (iz T,s-dijagrama za vodonik) krajnja temperatura T4 = 72K. Promena temperatura iznosi

(∆T )i = T1 − T4 = 8K.

c) Kada se vodonik adijabatski siri (δQ = 0) iz suda konstantne zapremine promenaentalpije data je izrazom (7.30):

∆i = i1 − i3 = p1v1(1− p2

p1) = 310kJ/kg,

gde specificna zapremina v1 vodonika iznosi

v1 =RT1

p1= 0, 08m3/kg,

(gasna konstanta za vodonik iznosi R = 8, 314/M = 4157J/kgK). Krajnja vrednostentalpije je

i2 = i1 −∆i = 950kJ/kg,

121

tako da se na osnovu preseka krive i2 = const sa izobarom p2 = const dobija dakolicina toplote pri ovom procesu iznosi T3 = 42K i da je promena temperature

∆T = T1 − T3 = 36K.

U slucaju idealnog gasa promena temperature pri ovom procesu iznosila bi (7.31)

∆T =k − 1

kT1(1− p2

p1) = 22, 4K.

Dobijeni rezultati pokazuju da je najefektivniji metod izoentropskog sirenja (∆T =58K), zatim sledi metod adijabatskog sirenja iz suda konstantne zapremine (∆T =36K), i na kraju metod adijabatskog prigusenja (∆T = 8K). Takodje, pokazano je daje u slucaju idealnog gasa efekat hladjenja slabije izrazen.

Primer 7.3 Odrediti temperaturu na kraju procesa adijabatskog razmagnetisavanjauzorka paramegnetne soli kalijum hromove stipse [KCr(SO4)2 · 12H2O], kao i kolicinutoplote koja se oslobodi pri namagnetisavanju jednog mola ove supstance. Pocetne vrednostitemperature i jacine magnetnog polja iznose T1 = 5, 0K i H1 = 4 · 105A/m, respektivno.Tablicni podaci za kalijum hromovu stipsu su: Θs = 0, 245K, R = 16, 7 · 10−3J/gK, M =499g/mol i C = 5, 9 · 10−14JK/g(A/m)2. Smatrati da se do temperature ∼ 0, 5K kalijumhromova stipsa podcinjava Curie-ovom zakonu.

resenje: Konstanta A u izrazu (7.64) iznosi A = Θ2s/4 = 0, 2452/4 = 0, 015K2, tako da

je vrednost konstante

C/RA =5, 9 · 10−14

16, 7 · 10−3 · 0, 015= 2, 35 · 10−10(A/m)−2.

Na osnovu formule (7.69) dobija se vrednost krajnje temperature:

T2 =T1√

1+CH21

RA

=5, 0√

1 + 2, 35 · 10−10(4 · 105)2= 0, 80K.

Toplota koja se oslobodi u procesu izotermnog namagnetisanja (T1 = const) (od 0 do H1)iznosi (7.70)

∆Q = −CH21

2T1= −5, 9 · 10−14(4 · 105)2

2 · 5, 0= −0, 944 · 10−3J/g =

= −0, 944 · 10−3J/g · 499g/mol = −0, 471J/mol.

122

8. PROTICANJE I ISTICANJE FLUIDA

U poglavlju 2.4. je pokazano (jednacina (2.71)) da se, u slucaju kada fluidna strujane vrsi tehnicki rad (lkz = 0) i kada duz fluidne struje nema visinske razlike, tj. promenepotencijalne energije (gdz = 0), toplota koja se dovodi fluidnoj struji trosi, ne samo napovecanje njene unutrasnje energije i vrsenje rada proticanja (nasuprot spoljasnjih sila),vec i ne povecanje kineticke energije usmerenog kretanja fluidne struje, koja se u toplotnimmasinama transformise u mehanicki rad i predaje potrosacu.

U parnim i gasnim turbinama, reaktivnim motorima, raketama itd., rad se dobija naracun kineticke energije struje gasa ili pare pri njihovom isticanju iz specijalnih kratkihcevi. Do promene kineticke energije fluidne struje moze da dodje pri isticanju kako krozcevi konstantnog preseka tako i u posebnim cevima promenljivog preseka, tzv. mlaznicimai difuzorima. Ukoliko se fluid pri prolazu kroz cev siri, pri cemu dolazi do povecanja brzinei pada pritiska u fluidnoj struji, tada se data cev naziva mlaznik. Ukoliko se fluid sabijapri prolazu kroz cev, tako da mu brzina pada a pritisak raste, tada se data cev nazivadifuzor.

Kako je brzina isticanje fluida kroz mlaznike i difuzore relativno velika, a mlaznici idifuzori su malih duzina, vreme prolazenja fluida kroz mlaznike i difuzore je vrlo kratko,tako da moze da se zanemeri razmena toplote izmedju gasa (pare) i zidova cevi a procesisticanja smatra adijabatskim, tj. bez dovodjenja i odvodjenja toplote.

8.1. Adijabatsko isticanje fluida

U slucaju kada duz strujne cevi nema visinske razlike (dz = 0) i kada fluidna struja nevrsi tehnicki rad (tzv. cisto strujanje, δlkz = 0), iz jednacine prvog zakona termodinamikeza fluidne struje (2.71) koja je primenljiva i za ireverzibilno strujanje, tj. za strujanjesa trenjem, sledi da se dovedena kolicina toplote (δq) trosi na povecanje entalpije (di) ikineticke energije (wdw) fluidne struje:

δq = di + wdw. (8.1)

U praksi se najcesce srecemo sa adijabatskim proticanjem i isticanjem fluida, tako da jeizucavanje reverzibilnog adijabatskog isticanja jedan od vaznijih zadataka termotehnike.

U slucaju adijabatskog isticanja (δq = 0) iz (8.1) sledi

di + wdw = 0, (8.2)

sto znaci da je ubrzavanje fluidne struje (dw > 0) praceno smanjenjem entalpije (di < 0) iobrnuto.

Integracijom prethodne jednacine (8.2) dobija se

i2 − i1 = −w22 − w2

1

2, (8.3)

tako da je

w2 =√

w21 − 2(i2 − i1). (8.4)

Iz jednacine (8.4) sledi da brzina w2 fluidne struje u tacki 2 moze da se nadje ako je poznatabrzina w1 u tacki 1 i razlika (pad) entalpije (i2−i1) izmedju tacaka 2 i 1. Velicina promeneentalpije (i2 − i1) najlakse se nalazi iz entropijskog i, s− dijagrama (slika 6.14), znajucivrednosti pocetnog i krajnjeg pritiska. Razlika entalpije jednaka je duzini izoentrope (s =const) izmedju pocetne i krajnje izobare (p1 = const i p2 = const, respektivno).

123

U slucaju strujanja bez trenja (δltr = 0), kada nema visinske razlike (dz = 0) ikada fluidna struja ne vrsi tehnicki rad (δlkz = 0) iz jednacine (7.1) sledi:

wdw = −vdp.

tako da se posle integracije dobija

w22

2− w2

1

2= −

∫ p2

p1

vdp = lr, (8.5)

odnosnow2 =

√w2

1 + 2lr, (8.6)

gde velicina

lr = −∫ p2

p1

vdp =∫ p2

p1

vdp (8.7)

predstavlja tzv. raspolozivi rad, jednak prirastaju kineticke energije, koja se inace mozetransformisati u mehanicki rad.

Jednacina (8.6) vazi kako za reverzibilno adijabatsko proticanje (i isticanje) tako iza bilo kakav drugi slucaj proticanja bez trenja. Naime, pri izvodjenju izraza (8.6) nisukoriscene nikakve pretpostavke o karakteru procesa a time niti da je δq = 0, tj. da jeproces adijabatski. Zavisnost konacne brzine u tacki 2 od karaktera procesa proticanja(isticanja) ukljucena je preko zavisnosti velicine raspolozivog rada od karaktera procesa.Velicina raspolozivog rada zavisi od karaktera procesa preko zavisnosti v = v(p). U slucajuizoentropskog procesa velicina raspolozivog rada jednaka je povrsini izmedju izoentropes =const i izobara p1 = const i p2 = const u p, v−dijagramu (slika 8.1).

Slika 8.1

U slucaju strujanja i isticanja realnih gasova raspolozivi rad se izracu-nava na osnovueksperimentalnih p, v, T− vrednosti, a za idealan gas na osnovu jednacine adijabate (pvk =const).

124

Smisao raspolozivog rada moze da se dobije na osnovu relacije vdp = d(pv)− pdv, izkoje se posle integracije dobija

∫ p1

p2

vdp =∫ v2

v1

pdv − (p2v2 − p1v1), (8.8)

sto znaci da je raspolozivi rad jednak razlici rada sirenja fluidne struje∫ v2

v1pdv i rada

proticanja (p2v2 − p1v1). Na osnovu jednacine prvog principa termodinamike napisanog uobliku (2.57):

δq = δqsp + δqtr = di− vdp, (8.9)

sledi da je u slucaju reverzibilnog adijabatskog proticanja (i isticanja) fluida (δqsp = 0 iδqtr = 0, tj. δq = 0) :

di = vdp, (8.10)

odnosnoi2 − i1 =

∫ p2

p1

vdp = −∫ p1

p2

vdp = −lr. (8.11)

Pri ireverzibilnom isticanju fluida raspolozivi rad je (pri istom padu pritiska) manji negopri reverzibilnom isticanju jer je entalpija u konacnom stanju veca zbog dodatne toplotekoja je oslobodjena trenjem.

U praksi se proracuni vrse za idealno (reverzibilno) proticanje (ili isticanje) a nereverz-ibilnost procesa se uzima u obzir preko empirijskih koeficijenata.

U slucaju isticanja tecnosti, s obzirom na njihovu nestisljivost (v = const), raspolozivirad iznosi

lr = −∫ p2

p1

vdp = v

∫ p2

p1

dp = v(p1 − p2) =(p1 − p2)

ρ, (8.12)

tako da je

w2 =

√w2

1 +2(p1 − p2)

ρ. (8.13)

8.2. Isticanje iz konvergentnog mlaznika

Kako je u uvodnom delu ovog poglavlja napomenuto, za povecanje brzine fluidnestruje do dozvucnih brzina, tj. brzina manjih od brzine zvuka u fluidnoj struji na datommestu, koriste se posebno profilisani kanali (cevi), tzv. mlaznici, koji se suzavaju u pravcukretanja fluida.

Slika 8.2

Razmotrimo slucaj reverzibilnog adijabatskog, tj. izoentropskog (s =const), isticanjagasa iz konvergentnog mlaznika koji je spojen sa rezervoarom gasa velike zapremine (slika

125

8.2), tako da pri isticanju gasa ne dolazi do primetne promene pritiska gasa u rezervoaru.Neka su parametri gasa u rezervoaru p1, v1, T1 a parametri gasa na izlazu iz mlaznikap2, v2, T2. Pritisak gasa na izlazu iz mlaznika jednak je pritisku p0 okoline u koju gas utice(p2 = p0).

Brzina w2 fluidne struje na izlazu iz mlaznika odredjuje se na osnovu izraza (8.4):

w2 =√

w21 + 2(i1 − i2),

gde se promena entalpije (i1 − i2) odredjuje iz i,s-dijagrama, ili koriscenjem izraza (8.4):

w2 =√

w21 + 2lr,

gde se raspolozivi rad lr = − ∫ p2

p1vdp =

∫ p1

p2vdp odredjuje na osnovu eksperimentalnih p,v

podataka za izoentropu realnog gasa.U slucaju izoentropskog isticanja idealnog gasa iz konvergentnog mlaznika, iz

jednacine adijabate (izoentrope) pvk = const ili vp1/k = v1p1/k1 = const, sledi izraz za

raspolozivi rad:

lr = −∫ p2

p1

vdp = −v1p1/k1

∫ p2

p1

p−1/kdp =k

k − 1(p1v1 − p2v2) =

=k

k − 1p1v1

[1−

(p2

p1

)(k−1)/k]

, (8.14)

tako da je brzina izticanja idealnog gasa iz konvergentnog mlaznika data izrazom:

w2 =

√√√√w21 +

2k

k − 1p1v1

[1−

(p2

p1

)(k−1)/k]. (8.15)

Kako je, s obzirom na veliku zapreminu rezervoara, brzina gasa w1 u rezervoaru mnogomanja od brizne w2 kojom gas istice iz mlaznika (w1 ¿ w2), brzina isticanja idealnog gasaiz konvergentnog mlaznika odredjuje se na osnovu sledeceg izraza:

w2 =

√√√√ 2k

k − 1p1v1

[1−

(p2

p1

)(k−1)/k]. (8.16)

Iz izraza (8.16) se vidi da brzina kojom idealan gas istice iz konvergentnog mlaznikazavisi od stanja gasa (p1, v1, T1) pre ulaza u malznik kao i od pritiska gasa p2 na izlazu izmlaznika, tj. od pritiska p0 okolne sredine (p2 = p0).

Za resavanje prakticnih zadataka termodinamike vazno je da se odredi zapreminski ilimaseni protok gasa pri isticanju iz mlaznika. Kroz povrsinu A2 izlaznog preseka mlaznikaza vreme dt prodje masa gasa dm = ρ2dV, zapremine dV = A2w2dt, tako da je maseniprotok gasa G = dm/dt dat izrazom:

G = ρ2A2w2 = A2w2/v2. (8.17)

126

Iz jednacine izoentrope sledi v2 = v1(p1p2

)1/k tako da se smenom v2 u izraz (8.17) dobija:

G =A2w2

v1

(p2

p1

)1/k

. (8.18)

Smenom izraza (8.16) za w2 u izraz (8.18) za G dobija se konacan izraz za maseni protokidealnog gasa pri izoentropskom isticanju iz konvergentnog mlaznika:

G = A2

√√√√ 2k

k − 1p1

v1

[(p2

p1

)2/k

−(

p2

p1

)(k+1)/k]. (8.19)

Iz poslednjeg izraza (8.19) se vidi da se maseni protok gasa pri isticanju kroz dati konver-gentni mlaznik, pri konstantnim parametrima p1, v1 ili T1 na ulazu u mlaznik, zavisi odvelicine odnosa pritisaka ψ = p2/p1.

Zavisnosti brzine isticanja w2 = w2(ψ) i masenog protoka G = G(ψ) idealnog gasaod odnosa pritisaka ψ = p2/p1 prikazane su graficki na slikama (8.3) i (8.4), respektivno.Teorijske krive dobijene su na osnovu izraza (8.16) i (8.19) i predstavljene su crtkastimlinijama, dok su eksperimentalne krive predstavljene neprekidnim linijama.

Slika 8.3. Slika 8.4.

Sa slike 8.3. uocava se da u oblasti ψk ≤ ψ ≤ 1 postoji slaganje rezultata dobijenih naosnovu jednacine (8.16) sa eksperimentalnim rezulatatima. Za vrednost ψ = 1 (p2 = p1)brizna isticanja jednaka je nuli (w2 = 0). Brzina isticanja raste kako se smanjuje ψ (tj.opada p2 pri konstantnom p1) dostizuci u tacki K, pri ψ = ψk, maksimalnu vrednost wK .Odnos pritisaka ψ = p2

p1= pk

p1= ψk, pri kojem protok gasa pri isticanju iz konvergentnog

mlaznika dostize maksimalnu vrednost, naziva se kriticni odnos pritisaka a pk− kriticanpritisak. Daljim snizavanjem ψ, u intervalu 0 ≤ ψ < ψK , dolazi do razilazenja eksperimen-talnih i teorijskih rezultata. Naime, dok teorijski rezultati (izraz 8.16) ukazuju da briznaisticanja treba da raste s opadanjem odnosa pritisaka ψ dostizuci pri ψ = 0 (p2 = p0 = 0)maksimalnu vrednost

wm =√

2kp1v1/(k − 1) (8.20)

(crticasta kriva), eksperimentalni rezultati pokazuju da je brizna isticanja konstantna (w =wK = const), tj. u ovoj oblasti smanjenje izlaznog pritiska p2 ne utice na brizinu isticanja!

Slicno se uocava pri analizi zavisnosti G = G(ψ) sa slike 8.4. Eksperimentalni iteorijski rezultati se dobro slazu u oblasti ψk ≤ ψ ≤ 1. Za ψ = 1 (p2 = p1) maseni protokje jednak nuli (G = 0) i raste kako ψ opada dostizuci maksimum GK pri ψ = ψk. U oblasti0 ≤ ψ ≤ ψk eksperimentalni rezultati za maseni protok se ne slazu s teorijskim (izraz 8.19).Naime, teorijski rezultati ukazuju da maseni protok treba da opada kako opada ψ tako daza ψ = 0 treba da je i G = 0, dok eksperimentalni rezultati pokazuju da je u ovoj oblastiprotok konstantan (G = GK = const), tj. nezavisan od promene izlaznog pritiska!

127

Da bi objasnio protivurecnost izmedju eksperimentalnih i teorijskih rezultata pri is-ticanju gasa iz konvergentnog mlaznika Sen-Venan (1839) je predlozio hipotezu, koja sekasnije pokazala ispravnom, da je u oblasti odnosa pritisaka ψk ≤ ψ ≤ 1 pritisak p2na izlazu iz konvergentnog mlaznika jednak pritisku p0 okolne sredine p2 = p0, dok je uoblasti odnosa pritisaka 0 ≤ ψ < ψk pritisak p2 na izlazu iz konvergentnog mlaznika jednakkriticnom pritisku pK , koji odgovara maksimalnom masenom protoku i maksimalnoj brziniisticanja, tj. p2 = pK , a ne pritisku okolne sredine bez obzira koliko je on nizak. Na tajnacin, porast brzine isticanja i porast masenog protoka, u oblasti ψk ≤ ψ ≤ 1 je moguc svedotle dok pritisak na izlazu iz mlaznika p2 = p0, pri snizavanju pritiska p0 okolne sredine,ne dotigne kriticnu vrednost p2 = pK . Daljim snizavanjem pritiska okolne sredine izlaznipritisak se ne menja vec zadrzava kriticnu vrednost, tako da i brzina isticanja i maseniprotok zadrzavaju svoje kriticne vrednosti (wK i GK , respektivno).

Vrednost kriticnog odnosa pritisaka ψK dobija se iz uslova maksimuma funkcije G =G(ψ), tj. potkorene funkcije Y (ψ) = ψ2/k − ψ(k+1)/k od koje zavisi funkcija G = G(ψ)(pogledati 8.19). Izjednacavanjem prvog izvoda funkcije Y (ψ) sa nulom, tj.:

dY

dψ=

2k

ψ2k−1 − k + 1

kψ

1k = 0 (8.21)

slediψK = (

2k + 1

)k/(k−1), (8.22)

tako da kriticni pritisak, koji je na osnovu Sen-Venan-ove hipoteze najmanji pritisakkoji moze da se dobije na izlazu iz konvergentnog mlaznika, pri datom pocetnom pritisku,bez obzira na pritisak okolne sredine, iznosi:

pK = p1ψK = p1

(2

k + 1

)k/(k−1)

. (8.23)

Velicina kriticnog odnosa pritisaka ψk zavisi samo od eksponenta adijabate k, tj. odprirode gasa. Zavisnost ψK(k) je slaba. Tako na primer, za jednoatomski gas (k =1, 66) ψK = 0, 490, za dvoatomski gas (k = 1, 40) ψK = 0, 528 a za troatomski gas(k = 1, 30) ψK = 0, 546. U nizu proracuna moze da se zanemari zavisnost ψK(k) i dase uzme priblizna vrednost ψK ≈ 0, 5. Kriticna brzina, tj. brizna koja se postize naizlazu iz konvergentnog mlaznika pri isticanju u sredinu ciji je pritisak jednak kriticnom(p0 = pK), dobija se kada se u izraz (8.16) zameni umesto ψ = p2/p1 vrednost kriticnogodnosa pritisaka ψK = ( 2

k+1 )k/(k−1) :

wK =

√2k

k − 1p1v1[1− 2

k + 1] =

√2k

k + 1p1v1 =

√2k

k + 1RT1. (8.24)

Poredjenjem dobijenog izraza (8.24) sa izrazom (8.20) vidi se da je kriticna brzina manjaod maksimalne brzine koju predvidja teorija:

wK < wm =

√2k

k − 1p1v1 =

√2k

k − 1RT1. (8.25)

Slicno prethodnom, maksimalan protok kroz konvergentni mlaznik dobija se smenom vred-nosti ψk u izraz (8.19):

GK = A2

√√√√ 2k

k − 1p1

v1

[(2

k + 1

)2/(k−1)

−(

2k + 1

)(k+1)/(k−1)]

=

128

= A2

√2k

k − 1p1

v1

(2

k + 1

)2/(k−1) [1− 2

k + 1

]= A2

√2k

k + 1p1

v1

(2

k + 1

)2/(k−1)

=

= A2

(2

k + 1

)1/(k−1) √2k

k + 1p1

v1. (8.26)

Iz izraza (8.26) se vidi da je maksimalan protok GK , pri datoj velicini povrsineA2 izlaznog poprecnog preseka mlaznika, odredjen pocetnim parametrima gasa p1, v1 iprirodom gasa, tj. eksponentom adijabate k.

Ostali kriticni parametri vK i TK , tj. parametri pri kojim protok i brzina fluida priisticanju iz mlaznika imaju najvecu vrednost, nalaze se tako sto se vrednost kriticnog

pritiska (izraz 8.23) pK = p1

(2

k+1

)k/(k−1)

zameni u odgovarajuce jednacine adijabate

pKvkK = p1v

k1 = const i TKp

(1−k)/kK = T1p

(1−k)/k1 = const:

vK = v1

(p1

pK

)1/k

= v1

(k + 1

2

)1/(k−1)

, (8.27)

i

TK = T1

(p1

pK

)(1−k)/k

= T12

k + 1. (8.28)

Smenom vrednosti pocetnih parametara p1, v1 odnosno T1, izrazenih preko njihovih kritic-nih vrednosti (izrazi 8.23, 8.27 i 8.28), u izraz za kriticnu brzinu isticanja (8.24), dobijase:

wK =√

kpKvK =√

kRTK . (8.29)

S druge strane, poznato je da je brzina prostiranja zvucnih talasa, tj. slabih elasticnihdeformacija (∆p À p i ∆ρ À ρ) u elasticnoj sredini, data izrazom

a =

√dp

dρ. (8.30)

Kako su promene u fluidu usled prostiranja zvucnih talasa brze i slabe, tako da se raz-mena izmedju slojeva povecane i smanjene gustine i okolnog vazduha kao i postojanjetrenja izmedju slojeva mogu da zanemare, proces prostiranja zvucnih talasa moze da sesmatra adijabatskim i reverzibilnim, tj. izoentropskim (s = const). Na taj nacin, brzinaprostiranja zvucnih talasa u elasticnoj sredini odredjuje se na osnovu tzv. Laplase-ovejednacine:

a =

√(∂p

∂ρ

)

s

. (8.31)

Kako je ρ = 1/v sledi dρ = −dv/v2, tako da je(

∂p

∂ρ

)

s

= −v2

(∂p

∂v

)

s

. (8.32)

S druge strane, iz jednacine adijabate pvk = const se posle diferenciranja dobija

dp

p= −k

dv

v, (8.33)

129

tako da je (∂p

∂v

)

s

= −kp

v. (8.34)

Iz izraza (8.32) i (8.34) sledi (∂p

∂ρ

)

s

= kpv = kRT, (8.35)

tako da se posle zamene dobijenog izraza (8.35) u Laplase-ovu jednacinu dobija zavisnostbrzine prostiranja zvucnih talasa od parametara stanja sredine:

a =√

kpv =√

kRT . (8.36)

Vidi se da brzina prostiranja zvuka kroz idealan gas zavisi samo od temperature, tj. a =a(T ), dok u slucaju prostiranja zvuka kroz realan gas zavisi i od pritiska, tj. a = a(p, T ).S obzirom da se parametri stanja fluida menjaju duz strujne cevi, tj. mlaznika iz (8.36)sledi da je brzina prostiranja zvuka razlicita na razlicitim presecima mlaznika, tako da nadatom preseku ima odredjenu vrednost (tzv. lokalna brzina zvuka).

Znaci, kriticna brzina wK isticanja fluida iz konvergentnog mlaznika (izraz 8.29) jed-naka je lokalnoj brzini zvuka a (8.36) na izlaznom preseku mlaznika:

wK = a. (8.37)

Ovom cinjenicom se objasnjava zbog cega ne moze gas da se siri u konvergentnom mlaznikudo pritiska koji je nizi od kriticnog (uvek je p2 ≥ pk), brzinom isticanja (na izlaznompreseku) vecom od kriticne (uvek je w ≤ wK), tako da protok bude veci od kriticnog (uvekje G ≤ GK). Naime, neka se pritisak okolne sredine p0 = p2 smanji za ∆p. Pri brzinamastrujanja fluida manjim od kriticne (tj. lokalne brzine zvuka) ovaj poremecaj pritiska(∆p) se prostire u smeru suprotnom strujanju relativnom brzinom (a − w), tako da seuspostavlja nova raspodela pritisaka duz mlaznika, pri cemu pritisak p1 na ulazu u mlaznikostaje nepromenjen a na izlazu iz mlaznika ima novu vrednost (p2 = p0 −∆p = p2 −∆p)manju za ∆p od vrednosti pritiska pre nego sto je doslo do poremecaja. Na taj nacinbrzina isticanja fluida iz mlaznika poraste. Kada se pritisak okolne sredine smanji takoda pritisak na izlazu iz mlaznika dostigne kriticnu vrednost p2 = p0 = pK lokalna brzinazvuka postaje jednaka kriticnoj brzini strujanja fluida, tj. a = wK tako da je relativnabrzina prenosenja poremecaja pritiska u smeru suprotnom strujanju fluida jednaka nulia − w = a − wK = 0. Daljim snizenjem pritiska okolne sredine ispod kriticnog pritiskapK poremecaj pritiska ∆p se ne prostire duz mlaznika, jer je relativna brzina prenosenjaporemecaja a = wK = 0, tako da se ne menja raspodela pritiska duz mlaznika a time nipritisak p2 = pK na izlazu iz mlaznika ni brzina isticanja koja zadrzava prethodnu vrednostw = wK , jednaku lokalnoj brzini zvuka na izlazu iz mlaznika. U ovom slucaju proizilazi,kako se O Rejnolds slikovito izrazio, kao da fluid pri strujanju nije ”saznao” da se pritisakna izlazu, tj. okolnoj sredini, smanjio.

8.3. Izoentropsko proticanje fluida kroz cevi promenljivog preseka.Nadzvucno isticanje. De Lavalov mlaznik.

U prethodnom poglavlju (8.2) je ustanovljeno da pri isticanju fluida kroz konvergentnimlaznik, na izlazu iz mlaznika ne moze da se postigne brzina fluidne struje veca od lokalnebrzine zvuka, zbog toga sto pritisak na izlazu iz mlaznika ne moze da bude nizi od kriticnog,bez obzira na pritisak okolne sredine. Da bi se iskoristio celokupan pad pritiska (p1− p0) itime postigla brzina isticanja veca od kriticne, tj. lokalne brzine zvuka, de Laval je predloziospecijalni kombinovani konvergentno-divergentni mlaznik (tzv. de Laval-ov mlaznik).

130

Dok se u najuzem preseku mlaznika postizu kriticne vrednosti pritiska pk i brzine wK , udivergentnom delu de Laval-ovog mlaznika postize se pritisak ispod kriticnog, a time brzinaisticanja iznad kriticne, tj. iznad lokalne brzine zvuka. Da bi se shvatio proces isticanja izde Lavalov-og mlaznika neophodno je prethodno da se razmotre osnovni uslovi proticanjagasa (fluida) duz cevi (kanala) promenljivog poprecnog preseka.

Razmotrimo zavisnost parametara gasa (fluida) i brzine fluidne struje od poprecnogpreseka kanala.

Na osnovu zakona odrzanja mase fluidne struje, koji govori o tome da je maseniprotok kroz bilo koji presek strujne cevi jednak (G = dm/dt = const), sledi jednacinakontinuiteta za stacionarno proticanje fluida:

G = ρAw =Aw

v= const.. (8.38)

Diferenciranjem jednacine kontinuiteta (8.38), posle sredjivanja se dobija jednacina kon-tinuiteta u diferencijalnom obliku:

dA

A+

dw

w− dv

v= 0. (8.39)

U slucaju proticanja fluida bez trenja (δltr = 0), kada fluidna struja ne vrsi tehnicki rad(δlkz = 0) i kada nema visinske razlike duz strujne cevi (dz = 0) iz jednacine (2.71), sledivdp + wdw = 0 tako da je

dw

w= − v

w2dp. (8.40)

S druge strane, u slucaju izoentropskog proticanja (s =const) vazi relacija (8.33), tako daje

dv

v= −1

k

dp

p. (8.41)

Smenom relacija (8.40) i (8.41) u jednacinu kontinuiteta u diferencijalnom obliku (8.39)dobija se

dA

A=

(v

w2− 1

kp

)dp =

1kp

(kpv

w2− 1

)dp. (8.42)

S obzirom da je (izraz 8.36) a =√

kpv iz poslednjeg izraza (8.42) sledi

dA

A=

1kp

[( a

w

)2

− 1]

dp. (8.43)

Kako je osnovni kriterijum stisljivosti gasa, tzv. Mahov broj (M), jednak odnosu brzinestrujanja fluida (w) prema lokalnoj brzini zvuka (a) :

M =w

a, (8.44)

izraz (8.43) moze da se napise u sledecem obliku:

dA

A=

1kp

(1

M2− 1)dp. (8.45)

131

Ukoliko se u prethodni izraz (8.45) zameni izraz za promenu pritiska dp = −wdw/v dobijase jednacina koja povezuje velicine promene preseka kanala (dA) s promenom brzine (dw)fluidne struje i Mahovim brojem (M) :

dA

A= (M2 − 1)

dw

w. (8.46)

Iz jednacina (8.45) i (8.46), tzv. jednacine profila, sledi analiza isticanja fluida u zavis-nosti od brzine strujanja u odnosu na lokalnu brzinu zvuka (tj. Mahovog broja M = w/a)kao i od oblika cevi (dA ≶ 0) :

1. U slucaju strujanja nestisljivog fluida (tecnosti) (M = 0, w ¿ a), povecanje brzineisticanja (dw > 0) i pad pritiska (dp < 0) postize u cevi koja se suzava u pravcustrujanja (dA < 0), tj. u konvergentnom mlazniku i obrnuto.

2. U slucaju kada je M < 1, tj. w < a, (slucaj dozvucnog strujanja, tj. isticanja)povecanje brzine isticanja (dw > 0) i pad pritiska (dp < 0) se javlja kod cevi kojese suzavaju u pravcu strujanja (dA < 0), tj. u konvergentnom mlazniku. Opadanjebrzine (dw < 0) i porast pritiska (dp > 0), u slucaju dozvucnog isticanja (M < 1)javlja se u cevima koje se sire u pravcu strujanja (dA > 0), tj. divergiraju, i nazivajuse difuzori.

3. U slucaju kada je M > 1, tj. w > a, (slucaj nadzvucnog strujanja) povecanje brzinei snizenje pritiska (dw > 0, dp < 0) se postize u difuzoru (dA > 0). Opadanje brzinei rast pritiska (dw < 0, dp > 0), pri nadzvucnom isticanju (M > 1) se postize umlazniku (dA < 0). Znaci, u zavisnosti od toga da li je isticanje s dozvucnom ilinadzvucnom brzinom ista cev (kanal) moze da bude mlaznik ili difuzor.

4. U slucaju kada je M = 1 tj. w = a, fluidna struja je vrlo osetljiva na promenu presekacevi, jer je imenilac desnog dela izraza (pogledati 8.46)

dw

w= − dA

(1−M2)A

vrlo mali. Na osnovu ranije analize (slucaj pod 2 i 3) sledi, da bi se brzina fluidne strujeneprekidno povecavala od nule do nadzvucnih brzina cev mora da se u pocetku suzava(dozvucno strujanje) a zatim siri (nadzvucno strujenje). Na taj nacin, u najuzem delucevi, tzv. kriticnom preseku, postize se kriticna brzina, koja je jednaka lokalnoj brzinizvuka w = wK = a, tako da je M = 1. Obrnuto ne vazi, tj. u najuzem preseku nemora da bude M = 1. Iz jednacine (8.46) sledi da u slucaju kada je M = 1 u najuzempreseku je dw = 0, sto znaci da je brzina dostigla maksimum ili minimum, zavisno odtoga da li je kretanje dozvucno ili nadzvucno.

132

.

Slika 8.5. Slika 8.6.

Iz prethodne analize postaje jasno kako moze prakticno da se fluid ubrza do nadzvuc-nih brzina, kada je prethodno na izlazu konvergentnog mlaznika (najuzem preseku) postig-nuta kriticna brzina, jednaka lokalnoj brzini zvuka wK = a. Naime, potrebno je da se izakriticnog preseka kanal dalje siri (divergira), tako da se ispunjavaju uslovi za dalje poveca-nje brzine, tj. nadzvucno strujenje (slucaj pod 3 iz gornje analize). Kao sto je ranijepomenuto, takav kombinovani konvergentno-divergentni- tzv. de Lavalov mlaznik omogu-cava da se iskoristi celokupan pad pritiska (p1 − p0) od pritiska p1 na ulazu u mlaznik dopritiska okolne sredine p0 ≤ pk. Na slici 8.5 prikazana je sema de Lavalovog mlaznika sadijagramom zavisnosti brzine strujanja (w) i lokalne brzine zvuka (a) od polozaja (l) duzmlaznika.

Brzina strujanja i maseni protok idealnog fluida, za dati izlazni presek, odredjuje se naosnovu izraza (8.15) i (8.19), respektivno. Maksimalni maseni protok fluida Gmax = GK

odredjen je povrsinom preseka najuzeg dela de Lavalovog mlaznika A2 = Amin, na mestuprelaza iz konvergentnog u divergentni deo mlaznika, i izracunava se na osnovu izraza(8.26). Za dati protok G povrsina minimalnog preseka mlaznika Amin moze da se odredina osnovu izraza (8.17) i (8.19), tj. na osnovu izraza

Amin =Gmin

a. (8.47)

Povrsina poprecnog preseka na izlazu iz mlaznika Amax odredjuje se na osnovu izraza(8.15) i (8.17) tj, na osnovu izraza

Amax =Gv2

w, (8.48)

gde je u slucaju idealnog gasa v2 = (p1/p2)1/kv1.U slucaju adijabatskog isticanja s trenjem, proces vise nije nepovratan a time

ni izoentropski, tako da entropija raste (∆s > 0). Zbog toga promena entalpije nije visejednaka duzini izoentrope (1 − 2′), tj. i1 − i′2 vec i1 − i2 < i1 − i′2 (slika 8.6), tako da jeshodno izrazu (8.4) brizna isticanja s trenjem (w2) manja od brine izoentropskog isticanja(w′2), tj. w2 < w′2.

133

Primer 8.1 U slucaju izoentropskog isticanja idealnog dvoatomskog gasa (vazduha) izkonvergentnog mlaznika odrediti kriticnu temperaturu TK kao i kriticnu brzinu wK . Tem-peratura gasa na ulazu u mlaznik iznosi t1 = 1000C. Uzeti da je R = 287J/K.

resenje: U slucaju izoentropskog (i adijabatskog) isticanja parametri stanja p1, T1 ipK , TK zadovoljavaju jednacinu adijabate:

pKTk/(k−1)K = p1T

k/(k−1)1 = const, (P8.1.1)

odnosnopK

p1=

(T1

TK

)k/(k−1)

=(

TK

T1

)k/(k−1)

(P8.1.2)

Iz relacije (8.23), tj.pK

p1= ψK =

(2

k + 1

)k/(k−1)

, (P8.1.3)

i izraza (P8.1.2) sledi (8.28)

TK =2

k + 1T1 =

21, 40 + 1

· 373K = 310, 8K.

Na osnovu izraza (8.29) sledi

wK =√

kRTK =√

1, 40 · 287 · 310, 8 = 353, 4m/s.

Primer 8.2. Dvoatomski gas, cija je gasna konstanta R = 296, 9 Jkg K , na ulazu u

konvergentni mlaznik ima parametre p1 = 6.4 MPa i T1 = 300K. Iz mlaznika gas istice usredinu pritiska ps = 0.1M Pa. Precnik izlaznog otvora mlaznika je D2 = 5mm. Odreditibrzinu w2 struje gasa na izlazu iz mlaznika, kao i maseni protok G gasa.

resenje: Odnos izmedju kriticnog pritiska pk i pritiska p1 na ulazu u mlaznik je (8.22)

Ψκ =pκ

p1=

(2

κ + 1

) κκ−1

= 0, 528,

gde je κ = cp

cv= 1, 40, pa je

pκ = 0, 528 p1 = 3, 379 MPa.

Obzirom da gas istice u sredinu pritiska ps = 0, 1 MPa manjeg od kriticnog (ps < pκ), naizlazu iz mlaznika se uspostavlja pritisak p2 jednak kriticnom

p2 = pκ = 3, 379MPa.

Brzina struje gasa w2 na izlazu iz mlaznika jednaka je kriticnoj brzini wκ (8.24)

w2 = wk =√

2κ

κ + 1p1v1 =

√2

κ

κ + 1RT1 = 322m/s,

134

tako da je maseni protok G jednak maksimalnom protoku Gm (8.26)

G = Gm = A2

√2

κ

κ + 1p1

v1

(2

κ + 1

) 2κ−1

= A2

√2

κ

κ + 11

RT1

(2

κ + 1

) 2κ−1

=

= A2(2

k + 1)

1k−1 · p1

√2k

k + 1· 1RT1

S obzirom da je povrsina izlaznog preseka mlaznika

A2 =πD2

2

4= 19, 635mm2

maseni protok iznosiG = 0, 288kg/s.

Primer 8.3 Vazduh pod pritiskom 2 MPa i na temperaturi 3000 C istice kroz pravilnodimenzionisan de Lavalov mlaznik u okolinu pritiska 0,1 MPa. Maseni protok vazduha je10 kg/s. Odrediti:

a) kritican pritisak, specificnu zapreminu i brzinu;b) minimalan presek mlaznika ic) brzinu i presek na izlazu iz mlaznika.

resenje: a) Kako za dvoatomski gas (vazduh) odnos kriticnog pritiska i pritiska naulazu u mlaznik iznosi (8.22)

Ψκ =pκ

p1=

(2

κ + 1

) κκ−1

= 0, 528,

kritican pritisak jepκ = Ψκp1 = 0, 528 · 2MPa = 1, 056MPa.

Specificna zapremina na ulazu u mlaznik je

v1 =RT1

p1= 0, 082

m3

kg.

Obzirom da vazduh adijabatski istice iz mlaznika, sledi

p1vκ1 = pκvκ

κ = const,

odnosnov1p

1κ1 = vκp

1κκ = const,

odakle je kriticna vrednost specificne zapremine (8.27)

vκ = v1

(p1

pκ

) 1κ

= 0, 1295m3/kg.

135

Kriticna brzina vazdusne struje iznosi (8.24)

wκ =√

2κ

κ + 1p1v1 =

√2

κ

κ + 1RT1 = 438m/s.

b) Obzirom da je maseni protok G povezan s presekom mlaznika A, specificnom zapremi-nom v i brzinom w struje gasa relacijom (8.38)

G =Aw

v,

sledi da minimalan presek mlaznika iznosi

Amin =Gmaxvκ

wκ=

G2vκ

wκ= 2957mm2.

c) Na izlazu iz mlaznika brzina struje vazduha je

w2 =

√√√√2κ

κ− 1p1v1

[1−

(p2

p1

)κ−1κ

]= 698, 4m/s,

specificna zapremina

v2 = v1

(p1

p2

) 1κ

= 0, 697m3kg

i presek mlaznika

A2 =G2v2

w2= 9980mm2.

Primer 8.4 Kroz pravilno dimenzionisan kovergentno-divergentni (de Lavalov) mlaznikprotice 0,080 kg/s pregrejane vodene pare na pritisku 6 · 105Pa i temperaturi 2600C uokolnu sredinu pritiska 0, 5 · 105Pa. Odrediti:a) Kritican pritisak i kriticnu brzinu;b) teorijsku brzinu isticanja iz mlaznika ic) presek najuzeg dala mlaznika kao i izlazni presek.

resenje:a) Kako je eksponent adijabate k= 1,30 sledi da je kritican odnos pritiska (8.22)

ψK =(

2k − 1

)k/(k−1)

= 0, 564,

tako da kritican pritisak iznosi

pK = ψK · p1 = 0, 564 · 6 · 105Pa = 3, 384Pa.

136

Iz i,s-dijagrama (ili tablica) za pregerjanu vodenu paru nalaze se pocetni parametripare: za p1 = 6·105Pa = 6bara i t1 = 2600C sledi v1 = 0, 4022m3/kg, i1 = 2975kJ/kgi s1 = 7, 215kJ/kgK. Kriticna brzina iznosi (8.24)

wK =

√2

k

k + 1p1v1 =

√2

1, 31, 3 + 1

· 6 · 105 · 0, 4022 = 522m/s.

b) Teorijska brzina isticanja iz mlaznika odredjuje se na osnovu izraza (8.4) uzimajucida je w1 ≈ 0

w2 =√

2(i1 − i2) = 44, 72√

i1 − i2,

gde se vrednosti za entalpiju (i) uzimaju u kJ/kg. Kako je (teorijski) proces isticanjakroz mlaznik izoentropski (adijabatski) krajnji parametri pare nalaze se na osnovu pre-seka izoentrope s1 = s2 = 7, 215kJ/kgK = const i izobare p2 = 0, 5 · 1065Pa =0, 5bara = const (u i,s-dijagramu). Tako se dobija da je i2 = 2515kJ/kg kao i da jestepen suvoce pare x = 0, 943, sto znaci da je para na izlazu iz mlaznika vlazna. Sledi,

w2 = 44, 72 · √i1 − i2 = 44, 72√

2975− 2515 = 959m/s.

Ukoliko se uzme u obzir gubitak kineticke energije zbog trenja stvarna brzina isticanjaje manja od teorijske.

c) Povrsina preseka najuzeg dela de Laval-ovog mlaznika oderedjuje se na osnovu izraza

Amin =GK · vK

wK

gde je na osnovu (8.27) kriticna vrednost specificne zapremine

vK = v1

(p1

pK

)1/k

= 0, 4022 ·(

63, 384

)1/1,3

= 0, 625m3/kg.

Dobija se

Amin =0, 080 · 0, 625

522= 9, 58 · 10−5m2 ≈ 96mm2.

Povrsina preseka izlaznog dela mlaznika iznosi

A2 =G · v2

w2=

0, 080 · 2, 72959

= 2, 27 · 10−4m2 ≈ 227mm2,

gde je specificna zapremina na izlazu iz mlaznika

v2 = v1

(p1

p2

)1/k

= 0, 4022 ·(

60, 5

)1/1,3

= 2, 72m3/kg.

137

9. PROCESI U KOMPRESORIMA

Kompresori su masine koje, koristeci energiju pogonskog motora, komprimuju (sabi-jaju) vazduh ili neki drugi gas pri cemu se oslobadja toplota, za razliku od pogonskihtoplotnih motora kod kojih se na racun ulozene toplotne energije vrsi ekspanzija radnogtela i time dobija mehanicki rad.

Kompresori se siroko primenjuju u mnogim oblastima tehnike. Osnovni su elementigasnih turbina, vazdusnih reaktivnih motora i kompresionih uredjaja za hladjenje. Sabijenvazduh iz kompresora koristi se kod pneumatskih motora i drugih radnih masina (pumpe,testere, cekici itd.), kod motora unutrasnjeg sagorevanja, za kocnice transportnih vozila,u pneumatskom transportu rasutih materijala, itd.

Po principu rada i konstrukcionim karakteristikama klasifikuju se na zapreminskekompresore (kompresori statickog sabijanja) i kompresore sa lopaticama (kompresoridinamickog sabijanja).

Kod zapreminskih kompresora povecanje pritiska ostvaruje se smanjenjem radne za-premine:a) translatorno-oscilatornim kretanjem pregrade (klipa) ib) rotacionim kretanjem ekscentricno postavljenog rotora u odnosu na geometrijsku osu

radnog cilindra.Zapreminski kompresori se dele na klipne i rotacione kompresore.Kod kompresora sa lopaticama radnom telu se saopstava velika brzina a zatim se nje-

gova kineticka energija transformise u potencijalnu energiju (energija pritiska). Kompresorisa lopaticama se dele na centrifugalne (turbo-kompresore) i aksijalne kompresore.

Mada se staticki i dinamicki kompresori razlikuju po principu rada i po konstruk-cionim karakteristikama, sa stanovista termodinamike, procesi koji se u njima desavaju suanalogni.

Da bi se stekla saznanja o procesima u kompresorima dovoljno je da se prouce procesiu najjednostavnijim i najrasprostranjenijim klipnim kompresorima. Prema broju stepenisabijanja kompresori (a time i klipni kompresori) dele se na jednostepene i visestepene samedjustepenim hladjenjem.

9.1. Procesi u jednostepenom klipnom kompresoru

Analiza procesa sabijanja kod klipnih kompresora izvodi se na osnovu tzv. indika-torskog dijagrama, (slika 9.1c) koji prikazuje zavisnost velicine pritiska u cilindru kom-presora od velicine zapremine gasa u cilindru, odnosno hoda klipa u cilindru. Indikatorskidijagram se zapisuje pomocu tzv. dinamometrickog indikatora spojenog za cilindar kom-prsora.

Principijelna sema realnog jednostepenog klipnog kompresora (cilindra sa kli-pom) i njegov indikatroski dijagram prikazani su na slici 9.1a i c. Klip (K) u cilindru(C) vrsi translatorno oscilatorno kretanje. Pri kretanju klipa od krajnjeg levog polozaja -spoljnja mrtva tacka (SMT), otvara se usisni ventil (UV) i u cilindar se usisava vazduh. Ukrajnje desnom polozaju klipa zatvara se usisni ventil i time se zavrsava proces usisavanja(proces 4 → 1 na indikatorskom dijagramu slika 9.1c). Pri kretanju klipa s desna nalevo, pri cemu su oba ventila-usisni (UV) i izduvni ventil (IV) zatvoreni, gas se sabija doodgovarajuceg pritiska, veceg od pritiska u rezervoaru gde se gas odvodi (proces 1 → 2 naslici 9.1c). Zatim se otvara izduvni ventil i sabijeni gas se izduvava iz cilindra i odvodi uodgovarajuci rezervoar. Proces izduvavanja (2 → 3 na slici 9.1c) je zavrsen kada klip dodjeu krajnje levi polozaj. Proces u kompresoru se potom ponavlja.

Jasno je da se u slucaju rada kompresora ne moze govoriti o ciklusu jer nema termod-inamaicke zatvorenosti procesa; radno telo ne dostize svoje pocetne parametre; u cilindarse usisava nova kolicina gasa.

Kod realnog klipnog kompresora klip ne dolazi do poklopca cilindra, vec samo do

138

spoljnje mrtve tacke (SMT), jer bi u suprotnom doslo do ostecenja ventila. Na taj nacinjedan deo zapremine (V0) cilindra je neiskoriscen-tzv. stetni prostor. Zapremina cilindraizmedju SMT i UMT naziva se radna zapremina (Vh) cilindra kompresora.

Slika 9.1

Obicno je V0 = (0.04−0.10)Vh. Znaci u procesu izduvavanja 2 → 3 jedan deo gasa se neistiskuje iz cilindra vec ostaje u skodljivom prostoru. Pri kretanju klipa u suprotnom smeru,posle zatvaranja ventila, zaostali gas u cilindru se siri a pritisak mu opada do pritiska okolnesredine (proces 3 → 4). Posle otvaranja usisnog ventila u cilindar se usisava nova kolicinagasa. Procesi usisavanja i izduvavanja gasa ne odvijaju se pri konstantnim pritiscima.Pri usisavanju pritisak u cilindru se menja i nizi je od pritiska okolne sredine, p

A< p4,

a pri izduvavanju pritisak pB

u najvisoj tacki je, na primer za 5 − 20% visi od pritiskap3 po zavrsetku procesa izduvavanja. Pri teorijskoj analizi rada realnog jednostepenogkompresora zanemeruju se varijacije pritiska pri usisavanju i izduvavanju gasa i smatra seda su odgovarajuci procesi izobarni. Idealni indikatorski dijagram realnog jednostepenogkompresora prikazan je na slici 9.1b. Medjutim, s obzirom da je velicina stetnog prostora(V0) zanemarljiva u odnosu na velicinu radnog prostora (Vh), u daljem tekstu razmotricemorad idealnog jednostepenog klipnog kompresora (bez stetnog prostora i varijacije pritiskapri usisavanju i izduvavanju).

Principijelna sema idealnog jednostepenog klipnog kompresora (cilindar sa kli-pom) i njegov idealni indikatorski dijagram prikazan je na slici 9.1d i e.

Osnovni zadatak termodinamicke analize procesa sabijanje gasa u kompresoru jeodredjivanje rada Lk koji se trosi na sabijanje. Ukupan rad Lk tokom procesa sabijanjagasa u kompresoru (4 → 1 → 2 → 3) jednak je algebarskom zbiru rada tokom procesausisavanja L4→1 = p1V1, rada tokom procesa sabijanja L1→2 =

∫ V2

V1pdV i rada na izduva-

vanju gasa L2→3 = p2(V3 − V2) = −p2V2 :

Lk = p1V1 − p2V2 +∫ V2

V1

pdV. (9.1)

Kako jepdV = d(pV )− V dp

139

sledi ∫ V2

V1

pdV = p2V2 − p1V1 −∫ p2

p1

V dp, (9.2)

tako da se zamenom (9.2) u (9.1) dobija vrednost rada koji je potreban za radni proceskompresora

Lk = −∫ p2

p1

V dp. (9.3)

Rad Lk se naziva tehnicki rad kompresora i predstavljen je srafiranom povrsinom4 → 1 → 2 → 3 na slici (9.1e).

Specifican tehnicki rad kompresora iznosi

lk =Lk

m= −

∫ p2

p1

vdp, (9.4)

gde je m-masa gasa koji se sabija u toku jednog radnog procesa.Teorijska vrednost specificne snage potrebne za rad kompresora iznosi

p =dLk

dt= lk

dm

dt, (9.5)

gde je dmdt maseni kapacitet kompresora (cija je vrednost na primer: kod klipnih i

rotacionih kompresora 10m3/s, kod centrifugalnih kompresora 70m3/s, a kod aksijalnihkompresora 250m3/s).

Kompresor je efikasniji i ekonomicniji ukoliko je rad kompresora Lk manji.Zavisno od brzine procesa sabijanja gasa kao i kvaliteta toplotne izolacije ili pak

kvaliteta hladjenja cilindra kompresora, proces sabijanja moze da se odvija po izotermi(1 → 2), politropi (1 → 2′) ili adijabati (1 → 2′′) (prikazan na slici 9.2. u p,v- i T,s-dijagramu)

Jasno je da izotermni proces sabijanja u kompresoru moze da se ostvari ukoliko secilindar nalazi u termostatu stalne temperature T1, odnosno u praksi, ukoliko se ostvarikvalitetno hladjenje cilindra kompresora i vrsi spora kompresija.

Ukoliko se proces sabijanja odvija dovoljno brzo a cilindar je idealno toplotno izolovan,takav proces ce da bude adijabatski. Realni proces sabijanja se odvija po politropi seksponentom n (1 < n < k).

Specificni tehnicki rad kompresora izracunava se na osnovu izraza (9.3) metodomracunske integracije povrsine 1 → 2 → 3 → 4 realnog indikatorskog dijagrama. Medjutim,s obzirom da je najveci pritisak gasa kod jednostepenog kompresora p2 = (1 ÷ 2)MPa,s dovoljnom tacnoscu moze da se primeni jednacina stanja idealnog gasa za odredjivanjezavisnosti v = v(p). Uzimajuci u obzir da je u slucaju izotermnog procesa v = p1T1

p = RT1p ,

u slucaju adijabatskog procesa v = p1k1

p1k· v1, i u slucaju politropnog procesa v = p

1n1

p1n· v1,

zamenom odgovarajuceg izraza za specificnu zapreminu u izraz (9.4) dobijaju se izrazi zaspecifican tehnicki rad kompresora.

Specifican tehnicki rad kompresora u slucaju izotermnog sabijanja je

lk = −∫ p2

p1

vdp = −∫ p2

p1

RT1dp

p= −RT1ln

p2

p1= −RT1ln

v1

v2, (9.6)

140

u slucaju adijabatskog sabijanja je

lk = −∫ v2

v1

vdp =k

k − 1(p1v1 − p2v2) =

k

k − 1p1v1

[1−

(p2

p1

) k−1k

]=

= − k

k − 1RT1

[(p2

p1

) k−1k

− 1

], (9.7)

i u slucaju politropnog sabijanja

lk =n

n− 1(p1v1 − p2v2) =

n

n− 1p1v1

[1−

(p2

p1

)n−1n

]=

= − n

n− 1RT1

[(p2

p1

) nn−1

− 1

]. (9.8)

Analizom izraza (9.6), (9.7) i (9.8) pokazuje se da je specificni tehnicki rad pri izotermnomsabijanju najmanji (srafirana povrsina ogranicena krivom 4 → 1 → 2 → 3 na slici 9.2).

Slika 9.2.

Kolicina toplote koja se oslobadja u toku politropnog procesa sabijanja iznosi

q1−2 = cVn− k

n− 1(T2 − T1). (9.9)

9.2. Procesi u visestepenom klipnom kompresoru sa medjustepenimhladjenjem

U tehnici ima potrebe za koriscenjem gasova ciji su pritisci do 100 MPa. Medjutim,kako je ranije pomenuto, pritisak sabijenog gasa u jednostepenom kompresoru ne prelazivrednost od p2 = (1 ÷ 2)MPa. Pri visim pritiscima (p2 > 2MPa) cak i pri savrsenomhladjenju, temperatura (T2) gasa na kraju procesa sabijanja bila bi vrlo visoka sto bidovelo do samozapaljenja ulja za podmazivanje a time i havarije kompresora. Zbog togase za vise pritiske koriste visestepeni klipni turbokompresori. Visestepeni kompresor cinedva ili vise redno vezana jednostepena kompresora. Sabijeni gas iz prvog kompresora sehladi u posebnom razmenjivacu toplote pre ulaza u sledeci stepen visestepenog kompresoraitd. Efikasnim hladjenjem u razmenjivacu temperatura gasa se snizi do temperature kojuje imao gas na ulazu u prethodni stepen visestepenog kompresora.

141

Principijelna sema i odgovarajuci idealni dijgram trostepenog idealnog klipnog kom-presora sa medjustepenim hladjenjem prikazani su na slici 9.3.

Slika 9.3.

U prvom stepenu kompresora (I) gas se usisava pri izobarnom procesu 0 → 1, sabija pripolitropnom procesu 1 → 2, zatim izduvava pri izobarnom procesu 2 → A u razmenjivactoplote (RI). Gas koji je u razmenjivacu ohladjen do pocetne temperature (T1) usisavase drugi stepen kompresora (II) (proces A → 3), sabija (proces 3 → 4) i izduvava (proces4 → B) u razmenjivac toplote (RII) hladi do pocetne temperature, usisava (proces B → 4)u III stepenu kompresora, sabija (proces 5 → 6) i izduvava (proces 6 → C) u razmenjivacpred sledeci stepen kompresora.

Iz indikatorskog dijagrama (slika 9.3b) ocigledno je da se koriscenjem visestepenogkompresora s medjustepenim hladjenjem umesto jednostepenog iste velicine ste-pena kompresije β = p4/p1, tj. odnosa krajnjeg p4 i pocetnog p1 pritiska, postizeosim nize temperature sabijenog gasa i usteda u velicini specificnog tehnickog rada lk.Ustedjena vrednost specificnog tehnickog rada jednaka je srafiranoj povrsini (2-3-4-5-6-D).

Pokazuje se da ce ukupan tehnicki rad m-stepenog kompresora da bude najmanji uslucaju kada su jednaki stepeni kompresije svih stepena kompresora

β1 = ... = βi = ... = βm =m

√p2

p1, (9.10)

gde je βi = p2i

p1i− stepen kompresije kod i-tog kompresora.

Pri vrlo velikom broju stepena (m) kompresora linija sabijanja 1 → 2 → 3 → 4 →5 → 6 postaje bliska izotermi 1 → 3 − 5 − 7 sto se vidi sa indikatorskog dijagrama(slika 9.3b). S obzirom da se pri izotermnom sabijanju izvrsi najmanji rad, sledi da sekoriscenjem visestepenog kompresora postize veca efikasnost i ekonomicnost u poredjenjusa jednostepenim kompresorom koji bi imao istu vrednost stepena kompresije.

142

Primer 9.1 Kompresor sabija (komprimuje)103m3/h vazduha od pritiska 0,1 MPa dopritiska 1,0 MPa. Odrediti neophodnu snagu za pogon kompresora, ako se sabijanje vrsi:a) adijabatski;b) politropski (n = 1, 30) ic) izotermski

resenje: Snaga potrebna za pogon kompresora data je izrazom (9.5)

Pk =dLk

dt=

dmlkdt

= lkdm

dt. (P9.1.1)

Kako jepV = mRT (P9.1.2)

dobija sedm

dt=

p

RT

dV

dt, (P9.1.3)

tako da je

Pk =p

RTlk

dV

dt=

p1

RT1lk

dV

dt. (P9.1.4)

a) U slucaju adijabatskog sabijanja vazduha (k = 1, 40) specificni rad kompresora dat jeizrazom (9.6) tako da na osnovu (P9.1.4) potrebna snaga iznosi

(Pk)ad =k

k − 1p1[(

p2

p1)

k−1k − 1]

dV

dt= 90, 5kW.

b) U slucaju politropskog sabijanja vazduha specificni rad kompresora dat je izrazom (9.7)tako da na osnovu (P9.1.4) potrebna snaga za pogon kompresora iznosi

(Pk)poli =n

n− 1p1

[(p2

p1

)n−1n

− 1

]dV

dt= 84, 4kW.

c) kada je proces sabijanja izoterman na osnovu izraza (9.6) i (P9.1.4) sledi

(Pk)izoterm = p1lnp2

p1· dV

dt= 64, 0kW.

Primer 9.2 Odrediti rad potreban za pogon jednostepenog kompresora i minimalanrad za pogon trostepenog kompresora za sabijanje 1m3 vazduha od pritiska 0,1 MPa dopritiska 12,5 MPa. Eksponent politrope u svakom stepenu iznosi 1,30.

resenje: U slucaju politropskog sabijanja vazduha jednostepenim kompresorom potrebanrad na osnovu (9.8) iznosi

Lk1 = mlk = mn

n− 1p1v1

[(p2

p1

) nn−1

− 1

]=

143

=n

n− 1p1V1

[(p2

p1

) nn−1

− 1

], (P9.2.1)

tako da je rad po jedinici zapremine

l(V )k1

=Lk1

V1=

n

n− 1p1

[(p2

p1

) nn−1

− 1

]= 887kJ/m3.

U slucaju trostepenog kompresora (m = 3) stepen kompresije, na osnovu (9.10), iznosi

β =p′2p1

= m

√p2

p1= 3

√12, 50, 1

= 5,

tako da je rad potreban za sabijanje jedinica zapremine vazduha (1m3) u jednom (prvom)stepen trostepenog kompresora

l(V )ki

=n

n− 1p1

[(p′2p1

) nn−1

− 1

]=

n

n− 1p1

[β

nn−1 − 1

]=

=n

n− 1p1

(p2

p1

)n−1nm

− 1 = 194, 9kJ/m3

Kako su radovi potrebni za pogon svakog stepena kompresora medjusobno jednaki, tj. l(V )1 =

l(V )2 = l

(V )3 , sledi

l(V )k = ml

(V )k1

= 3 · 194, 9kJ/m3 = 584, 7kJ/m3.

144

10. PROCESI U KLIPNIM MOTORIMA UNUTRASNJEGSAGOREVANJA

Nalazenje najracionalnijeg nacina prevodjenja toplotne energije u me-hanicki rad jejedan od najvaznijih zadataka tehnicke termodinamike.

Neprekidno prevodjenje toplote u rad moze da se ostvari putem termodinamickogciklusa (glava 3.). Pri datim temperaturama izvora toplote T1 i hladnjaka T2 termickikoeficijent iskoriscenja (TKI) ima najvisu vrednost kod Carnott-ovog ciklusa (poglavlje3.3 izraz (3.32)).

ηt = 1− T2

T1,

tako da bi sa stanovista termodinamike bilo najcelishodnije konstruisati takve toplotnemasine koje bi radile po Carnott-ovom ciklusu.

Toplota za ostvarenje ciklusa dobija se sagorevanjem goriva. Kao hladnjak koristise okolna sredina. Pri zadatoj temperaturi sagorevanja, Tg i temperaturi hladnjaka T2,odnosno okolne sredine Ts(T2 ≈ Ts), termicki koeficijent iskoriscenja moze da se povecaukoliko se smanji razlika izmedju temperature sagorevanja Tg i temperature radnog telaT1. Najmanja razlika Tg − T1 se postize kod motora unutrasnjeg sagorevanja (MUS).

Motori unutrasnjeg sagorevanja su takvi motori kod kojih se toplota, koja se predajeradnom telu, oslobadja sagorevanjem goriva unutar cilindra motora. Radno telo je, uprvom delu procesa vazduh ili smesa vazduha sa lako zapaljivim gorivom, a u drugomdelu procesa- proizvodi sagorevanja goriva. Gorivo moze da bude u tecnom ili gasnomstanju. U gasnim motorima unutrasnjeg sagorevanja temperatura radnog tela je znatnoiznad kriticne temperature a pritisak nije mnogo visok, tako da moze da se smatra daje radno telo idealan gas, sto znatno pojednostavljuje analizu termodinamickog procesa(ciklusa).

S obzirom da kod motora unutrasnjeg sagorevanja gorivo sagoreva u samom motoru,ovi motori imaju bitne prednosti u odnosu na druge toplotne masine. Kod ovih toplotnihmasina nema potrebe za velikim povrsinama kroz koje bi se vrsila razmena toplote od izvoraka radnom telu, tako da su oni znatno manjih dimenzija u odnosu na, na primer, parnetoplotne masine. S druge strane, kod toplotnih masina, kod kojih se radnom telu toplotadovodi od spoljnjeg izvora, gornja granica temperature radnog tela je znatno niza u odnosuna motore unutrasnjeg sagorevanja, zbog snizavanja cvrstoce konstrukcionih materijalas porastom temperature. Kod motora unutrasnjeg sagorevanja toplota se oslobadja uradnom telu, a ne prenosenjem toplote kroz zidove motora, tako da se zidovi cilindra iglava bloka cilindra prinudno hlade, cime je omoguceno povisenje gornje temperaturskegranice ciklusa a time povisenje termickog koeficijenta iskoriscenja.

Za ocenu efikasnosti motora unutrasnjeg sagorevanja, osim ocene stepena savrsenstvaciklusa, mora da se uzme u obzir i ocena stepena savrsen-stva samog motora. Racunipokazuju, da bi motori koji bi radili po Carnott-ovom ciklusu bili glomazni, teski i skupi,odnosno niskog stepena savrsen-stva. Obrazlozimo osnovne razloge zbog kojih bi motorikoji bi radili po Carnott-ovom ciklusu bili niskog stepena savrsenosti, odnosno necelishodni.

Na slici 10.1 u p,v- dijagramu prikazan je Carnott-ov ciklus, koji se sastoji iz dveizoterme A-B (T1 = const) i C-D (T2 = const) i dve adijabate B-C i D-A. Temperaturasagorevanja goriva priblizno je jednaka temperaturi radnog tela (Tg ≈ T1). Temperatura ipritisak u tacki C odgovara priblizno pritisku okolne sredine (T2 ≈ Ts, pC ≈ ps). Kako je zabenzin Tg ≈ T1 = 2100K, a Ts ≈ T2 = 290K, lako se pokazuje da je, za k=1,33 (vise atom-ski gas), pritisak u najvisoj tacki ciklusa relativno visok pA > 290MPa. Snizenje pritiskapA moze da se postigne snizenjem temperature T1 sto bi dovelo do snizenja termickog koefi-cijenta iskoriscenja. Na primer, u realnim motorima unutrasnjeg sagorevanja maksimalnipritisci su reda 1.5 -10 MPa. Znaci, prvi razlog necelishodnosti prakticnog ostvarenjaCarnott-ovog ciklusa kod ovih motora je u tome sto bi njegova masa morala da bude velika,da bi se obezbedila cvrstoca pri tako visokom pritisku (pA > 290MPa).

146

.

Slika 10.1.

Drugi razlog se sastoji u sledecem: Nagibi izoterme A-B i adijabate B-C se malo razlikujui mali su, a pad pritiska je vrlo velik (od pA ≈ 290 MPa do pC ≈ 0.1 MPa) tako da je ciklusvrlo rastegnut u pravcu v-ose; za date uslove stepen sirenja je vrlo velik vC/vA ≈ 400 (urealnim motorima unutrasnjeg sagorevanja vC/vA ≈ 16).

Na osnovu predhodnog sledi da bi cilindri takvih motora morali da budu vrlo velikeduzine, koja ne bi odgovarala snazi takvog motora. Osim toga gubici usled trenja bi biliveliki sto bi dovelo do smanjanja efikasnosti motora.

Na osnovu predhodnog sledi da je osnovni cilj konstruktora motora bio da se ostvaretakvi ciklusi koji bi sacuvali preimucstva Carnott-ovog ciklusa a da se odstrane njegovinedostaci. Na slici (10.1) su prikazani takvi ciklusi: B − C1 − D − A1 s dovodjenjemtoplote po izohori A1−B i ciklus A2−B−C1−D−A2 s dovodjenjem toplote po izobariA2 − B. U oba ciklusa snizen je, u odnosu na Carnott-ov ciklus, maksimalan pritisakpA, i stepen sirenja (ekspanzije) u istom intervalu ekstremnih temperatura (Tmax = T1 iTmin = T2).

U motorima kod kojih se realizuju ciklusi s izohornim i izobarnim dovodjenjem toplotesnizen je termicki koeficijent iskoriscenja, u poredjenju s Carnott-ovim ciklusom, ali jeznatno povecan stepen savrsenosti motora.

Klipni motori unutrasnjeg sagorevanja imaju siroku primenu (kod automobila, trak-tora, aviona starog tipa itd.).

Osnovni element svakog klipnog motora unutrasnjeg sagorevanja je cilindar s kli-pom. Cilindar ima dva otvora s ventilima. Preko jednog ventila radno telo (vazduhili zapaljiva smesa) se usisava, a kroz drugi se vrsi izbacivanje radnog tela (produkatasagorevanja) po zavrsetku ciklusa.

Razlikuju se tri osnovna oblika ciklusa klipnih motora unutrasnjeg sagorevanja:- Otto-ov ciklus (sagorevanje pri v = const);- Diesel-ov ciklus (sagorevanje pri p = const);- kombinovani Otto-Diesel-ov (Sabathe-ov, Seiliger-ov ili Trinkler-ov) ciklus (sagore-

vanje pri v = const a zatim pri p = const).Ispitivanje rada realnog klipnog motora unutrasnjeg sagorevanja korisno je da se

prikaze preko dijagrama zavisnosti pritiska gasa u cilindru od zapremine, odnosno odpolozaja klipa za ceo ciklus. Dijagram se snima pomocu posebnog instrumenta-indikatora,tako da se naziva indikatorski dijagram.

147

10.1. Ciklus s dovodjenjem toplote pri v =const - Otto-ov ciklus

Sema motora (cilindar sa klipom) koji radi po Otto-ovom ciklusu kao i njegov indika-torski dijagram prikazani su na slici 10.2a i 10.2b.

a) b)

Slika 10.2.

Klip K vrsi kretanje u cilindru C, koji ima usisni (UV) i izduvni ventil (IV). Tokomprocesa 7-1 klip se krece s leva na desno, pri cemu se vazduh u cilindru razredjuje, otvarase usisni ventil (UV) i u cilindar ulazi gorivo, koje je pripremljeno u posebnom uredjaju-karburatoru. U slucaju Otto-ovog ciklusa radno telo (gorivo) cine smesa vazduha s izves-nom kolicinom pare benzina (ili drugog lako isparljivog goriva). Kada cilindar dodje ukrajnji desni polozaj (tacka 1 na indikatorskom dijagramu) zatvara se usisni ventil (UV).Cilindar nastavlja da se krece s desna na levo, pri cemu se gorivo (radna smesa) u cilindrusabije tako da pritisak raste (proces 1-2). Kada cilindar dodje u krajnji levi polozaj, apritisak dostigne odredjenu vrednost, koja odgovara tacki 2 na indikatorskom dijagramu,pomocu elektricne svecice (S) pali se gorivo (radna smesa). S obzirom da je sagorevanjesmese skoro trenutno, klip za to vreme ne uspeva da se pomeri, tako da se proces sagore-vanja moze smatrati izohornim (v = const).

Tokom procesa sagorevanja oslobadja se odredjena kolicina toplote, na racun koje seradna smesa u cilindru zagreva tako da pritisak raste do vrednosti koja odgovara tacki3 na indikatorskom dijagramu. Pod dejstvom ovog pritiska klip se krece u desno, vrsecipri tom rad za potrebe spoljneg potrosaca. Kada klip dospe do krajnjeg desnog polozaja,otvara se izduvni ventil (IV) tako da gas izlazi iz cilindra, a pritisak pada do vrednostinesto vece od atmosferskog (proces 4-5).

Klip ponovo krece u levo, izbacujuci zaostali deo produkata sagorevanja. Zatim se,u krajnjem levom polozaju klipa, zatvara izduvni ventil (IV) a otvara usisni ventil (UV),usisava gorivo i ciklus se ponavlja. Na taj nacin, klip u cilindru motora, koji radi po ciklusuOtto-a, tokom jednog ciklusa vrsi cetiri hoda (takta) - usisavanje, sabijanje, sirenje poslesagorevanja smese i izbacivanje produkata sagorevanja u atmosferu.

Realan ciklus motora s unutrasnjim sagorevanjem, kao u primeru rada klipnog mo-tora unutrasnjeg sagorevanja s brzim sagorevanjem goriva pri v = const, nije zatvorenakriva vec petlja. Radno telo se usisava spolja i izbacuje u atmosferu po zavrsenom ciklusu,sto znaci da se u svakom ciklusu koristi nova kolicina radnog tela.

Trenje, hemijske reakcije u radnom telu, konacna brzina klipa, provodjenje toploteitd, ukazuju na ireverzibilnost procesa.

Analiza takvog ciklusa sa stanovista teorije toplotnih procesa je nemoguca, zbog togase termodinamicki ispituje odgovarajuci idealno reverzibilni ciklus. Smatra se da jeradno telo (vazduh) idealan gas, konstantne specificne toplote, da se u cilindru nalazikonstantna zapremina radnog tela, a da je razlika temperature izvora toplote i radnog telabeskonacno mala. Tako se uzima da se dovodjenje toplote radnom telu vrsi od spoljnjegizvora u izohornom procesu (2-3), a ne na racun sagorevanja goriva, a odvodjenje toploteka hladnjaku - u izohornom procesu (4-5).

Ako su procesi komprimovanja (sabijanja) (1-2) i sirenja (3-4) u ovom ciklusu brzi,

148

tako da za dato vreme ne dodje do primetne razmene toplote sa okolinom, tada se onimogu smatrati adijabatskim.

Idealizovan ciklus klipnih motora unutrasnjeg sagorevanja sa dovodjenjemtoplote (sagorevanjem) pri izohornom procesu (v =const)- Otto-ov ciklus prikazanje u p, v− i T, s− dijagramu na slici 10.3.

Proces 1 → 2 (slika 10.3.) odgovara adijabatskoj kompresiji radnog tela (smesa vaz-duha sa benzinom); 2 → 3 - izohornom dovodjenju toplote (brzo sagorevanje smese);3 → 4- adijabatskoj ekspanziji produkata sagorevanja; 4 → 1 izohornom odvodjenju toplote(izbacivanje produkata sagorevanja u atmosferu).

Slika 10.3.

Karakteristicni parametar ciklusa je stepen adijabatske kompresije (ili ekspanzije)ε = v1

v2> 1.

Odredimo termicki koeficijent iskoriscenja (TKI) Otto-vog ciklusa.Kolicina toplote koja je dovedena radnom telu tokom izohornog procesa 2 → 3 data

je izrazomq1 = cv(T3 − T2). (10.1)

Odredjena kolicina toplote tokom izohornog procesa 4 → 1 (apsolutna vrednost) iznosi

|q2| = cv(T4 − T1). (10.2)

Kako je TKI po definiciji

η =q1 − |q2|

q1= 1− |q2|

q1, (10.3)

smenom (10.1) i (10.2) u (10.3) dobija se

η = 1− T4 − T1

T3 − T2= 1−

T1

(T4T1− 1

)

T2

(T3T2− 1

) . (10.4)

Iz jednacine adijabate primenjene za krajnje tacke procesa (1 → 2)

T1vk−11 = T2v

k−12 , (10.5)

slediT1

T2=

(v2

v1

)k−1

=1

( v1v2

)k−1=

1εk−1

, (10.6)

gde je ε = v1v2

-stepen kompresije. S druge strane, za adijabatu (3 → 4) je

T4vk−14 = T3v

k−13 , (10.7)

149

odnosno (v4 = v1, v3 = v2),T4v

k−11 = T3v

k−12 . (10.8)

Iz (10.5) i (10.8) slediT4

T1=

T3

T2(10.9)

Zamenom (10.9) i (10.6) u (10.4) dobija se TKI Otto-vog ciklusa

η0 = 1− T1

T2= 1− 1

εk−1(10.10)

Znaci, TKI Otto-ovog ciklusa zavisi od stepena kompresije (ε) i prirode radnog tela (ekspo-nenta adijabate k) i raste s povecanjem stepena kompresije. Medjutim, postoji ogranicenjesto se tice povecanja stepena kompresije (a time KTI). Pri velikim vrednostima stepen kom-presije (ε > 12) dolazi do samozapaljenja smese goriva i vazduha u cilindru motora. Zavisnood vrste goriva, stepen kompresije je u intervalu od 5-10. Na primer, kod automobilskihmotora ε ≈ 8.5.

Na slici 10.4. graficki je prikazana zavisnost η od ε za razlicito k.

Slika 10.4

10.2. Ciklus s dovodjenjem toplote pri p =const - Diesel-ov ciklus

Analiza idealnog ciklusa s dovodjenjem toplote pri v = const (Otto-ov ciklus) pokazalaje da je za povecanje ekonomicnosti motora, koji rade po ovom ciklusu, neophodno da sepoveca stepen kompresije (ε). Medjutim, kako je istaknuto u prethodnom poglavlju, postojiogranicenje sto se tice povecanja stepena kompresije iznad ε = 12 zbog samozapaljenjasmese goriva i vazduha u cilindru. Pri vecim stepenima kompresije pritisak u cilindru tolikoporaste da temperatura radnog tela dostize temperaturu samozapaljenja smese goriva ivazduha. Ukoliko bi se odvojeno izvrsila kompresija vazduha (u cilindru) i goriva (vancilindra) u kompresoru pa tek po zavrsetku procesa gorivo ubrizgalo u cilindar postigaobi se zeljen cilj; stepen kompresije moze da se poveca (do ε = 20) tako da temperaturavazduha postaje visa od temperature samozapaljenja. S druge strane, posle uskladjenogi kontrolisanog ubrizgavanja goriva dolazi do kontrolisanog samozapaljenja smese tako danije potrebno da se koristi uredjaj za stvaranje elektricne varnice (sa svecicom). U ovomslucaju, posle samozapaljenja, smesa goriva sagoreva postepeno pri konstantnom pritisku.Na ovom principu su zasnovani motori koji rade po tzv. Diesel-ovom ciklusu (ciklus sadovodjenjem toplote pri p = const).

Indikatorski dijagram motora koji radi po Diesel-ovom ciklusu prika-zan je na slici(10.5).

150

Slika 10.5

Tacka A odgovara polozaju klipa u cilindru motora posle zavrsenog izbacivanja proiz-voda sagorevanja u predhodnom ciklusu rada motora i otvaranju usisnog ventila. U procesuA → 1 vrsi se usisavanje atmosferskog vazduha, pri malom podpritisku u cilindru motora.U tacki 1 proces usisavanja se zavrasava zatvaranjem usisnog ventila. Kretanjem klipa usuprotnom smeru vrsi se adijabatsko sabijanje vazduha (proces 1 → 2) pri cemu se pritisakznatno poveca a time i njegova temperatura (200− 3000C iznad temperature samozapal-jenja goriva). U pocetku procesa 2 → 3 u cilindar se ubrizgava odredjena kolicina gorivakoje se pri datoj temperaturi spontano zapaljuje. Za vreme sagorevanja goriva klip sepomeri za deo svog hoda pri skoro konstantnom pritisku. Posle zavrsenog sagorevanjadolazi do adijabatske ekspanzije proizvoda sagorevanja (proces 3 → 4) i kretanju klipa dopolozaja koji odgovara najvecoj radnoj zapremini cilindra. U tacki 5 otvara se vazdusniventil tako da gas izlazi iz cilindra a pritisak pada do vrednosti nesto vece od atmosfer-skog pritiska (proces 4 → 5). Zaostali deo vazduha i proizvoda sagorevanja izbacuje sekretanjem klipa do pocetnog polozaja (proces 5 → B), kada se zatvara izduvni ventil aotvara usisni ventil. S obzirom da se proces 5 → B odvija pri konstantnom pritisku, nestovisem od atmosferskog, a proces A → 1 odvija pri konstantnom pritisku, nesto nizem odatmosferskog, pri zatvaranju izduvnog i otvaranju usisnog ventila dolazi do manjeg padapritiska (proces B → A).

Idealizovan ciklus MUS s dovodjenjem toplote pri p = const - Dieselovciklus prikazan je u p, v− i T, s− dijagramu na slici (10.6).

Proces 1 → 2 odgovara adijabatskoj kompresiji vazduha; 2 → 3 - izobarnom dovod-jenju toplote (sagorevanje smese vazduha i ubacenog goriva); 3 → 4 - adijabatskoj ekspanz-iji proizvoda sagorevanja; 4 → 1 izohornom odvodjenju toplote (izbacivanju proizvodasagorevanja u atmosferu).

Karakteristicni parametri cikusa su stepen ekspanzije ε = v1v2

i stepen predekspanzijeρ = v3

v2.

151

Slika 10.6.

Dovedena kolicina toplote u procesu 1 → 2 iznosi

q1 = cp(T3 − T2), (10.11)

a odvedena kolicine toplote u procesu 4 → 1 iznosi

q2 = cv(T1 − T4), (10.12)

tako da je termicki stepen iskoriscenja Diesel-ovog ciklusa

η = 1− |q2|q1

= 1− cv(T4 − T1)cp(T3 − T2)

= 1− T1(T4T1− 1)

kT2(T3T2− 1)

. (10.13)

Proces 2 → 3 je izobaran tako da je

T3

T2=

v3

v2= ρ. (10.14)

Iz jednacine adijabate 1 → 2 i 3 → 4 sledi

T1 = T2

(v2

v1

)k−1

=T2

εk−1(10.15)

i

T4 = T3

(v3

v4

)k−1

= T3

(v3

v1

)k−1

. (10.16)

Iz (10.15), (10.16) i (10.14) dobija se

T4

T1=

T3

T2

(v3

v2

)k−1

= ρ · ρk−1 = ρk. (10.17)

Smenom odgovarajucih odnosa temperatura iz (10.14), (10.15) i (10.17) u izraz (10.13)dobija se zavisnost KTI Diesel-ovog ciklusa od parametara ε i ρ :

ηD

= 1− 1kεk−1

=ρk − 1ρ− 1

(10.18)

152

TKI Diesel-ovog ciklusa raste sa stepenom kompresije ε i opadanjem stepena predekspanzijeρ. Na slici 10.7 graficki je prikazana zavisnost η od ε pri najcescim vrednostima parametraρ.

Slika 10.7

10.3. Ciklus s dovodjenjem toplote pri v =const i p = const -Sabathe-ov ciklus*

Klipni motori unutrasnjeg sagorevanja s postepenim izobarnim sago-revanjem gorivaimaju niz nedostataka. Na primer, koriscenjem kompresora za ubrizgavanje goriva u cilin-dar trosi se 6 − 10% snage motora. Osim toga visok pritisak pri velikim stepenima kom-presije iziskuju slozeniju konstrukciju ovih motora cime se snizava njihova ekonomicnost.

Teznja ka uproscenju i poboljsanju rada klipnih motora unutrasnjeg sagorevanja ost-varena je kod tzv. bezkomprsorskih motora koji rade po ciklusu sa kombinovanim dovod-jenju toplote u procesima pri v = const i p = const. Kako je ranije napomenuto (poglavlje10.1 ), kod na primer, Otto-ovih motora radna smesa, koja se sastoji od goriva i vazduha,obrazuje se van cilindra u tzv. karburatoru motora i posle usisavanja sabija u cilindruu jednom taktu rada motora, pri kretanju klipa od unutrasnje mrtve tacke (UMT) kaspoljnjoj mrtvoj tacki (SMT).

Kod Diesel-ovih motora smesa goriva i vazduha formira se u cilindru motora tako stose prvo usisa i sabije vazduh u cilindru pa se tek tada kontrolisano u cilindar ubrizga irasprsi gorivo koje je prethodno sabijeno u kompresoru.

Slicno Diesel-ovim motorima, kod motora koji rade po Sabate-ovom ciklusu vazduh igorivo se sabijaju odvojeno a radna smesa vazduha i goriva formira u unutrasnjosti cilindra.

Vazduh se usisava u cilindar motora i sabija do pritiska koji odgovara tempera-turi samozapaljenja goriva. Tecno gorivo se pumpom za gorivo pod visokim pritiskom(50-70 MPa) ubacuje u cilindar preko posebne mehanicke mlaznice i rasprsi u oblikumalih kapljica. U prisustvu zagrejanog vazduha dolazi do samozapaljenja dok je otvorenamlaznica.

Manji deo goriva ubrizga se u cilindar tacno u polozaju spoljnje mrtve tacke (SMT)klipa i sagoreva skoro trenutno (pri konstantnoj zapremini) a ostali veci deo uvodi se ucilindar u prvom delu hoda klipa ka unutrasnjoj mrtvoj tacki (UMT) sagorevajuci pri skorokonstantnom pritisku.

Kod nekih tipova motora rasprsivanje goriva se vrsi u specijalnim predkomorama, kojese obicno nalaze u gornjem delu cilindra motora, spojene sa radnim prostorom cilindra

* u literaturi se koriste i nazivi: Selinger-ov, Trinkler-ov ili kombinovani Otto-Diesel-ovciklus

153

jednim ili nekoliko uskih kanala. Za vreme sabijanja vazduha pritisak u cilindru raste brzenego u predkomori, tako da dolazi do strujanja vazduha iz cilindra u pretkomoru cime sevrsi rasprsivanje tecnog goriva ubacenog u predkomoru glavnog cilindra.

Idealizovan ciklus s dovodjenjem toplote (sagorevanjem) pri v = const i p =const - Sabathe-ov ciklus prikazan je na slici 10.8 u p, v− i T, s− dijagramu.

Ovaj uopsteni ciklus predstavlja kombinaciju Otto-ovog (sagorevanje pri v = const) iDiesel-ovog (sagorevanje pri p = const) ciklusa.

Slika 10.8Proces 1 → 2 odgovara adijabatskom sabijanju vazduha u cilindru do pritiska koji

odgovara temperaturi iznad temperature samozapaljenja goriva.Proces 2 → 3 odgovara izohorskom dovodjenju toplote, odnosno skoro trenutnom

sagorevanju ubrizganog manjeg dela goriva u smesi s vazduhom visokog pritiska i visoketemperature. U procesu 2 → 3, koji odgovara izobarnom dovodjenju toplote usled sagore-vanja drugog (veceg dela) goriva ubrizganog u cilindar pri pomeranju klipa udesno od SMTka UMT.

Proces 4 → 5 odgovara adijabatskom sirenju proizvoda sagorevanja po zavrsenomubrizgavanju a time i sagorevanju goriva. Proces 5 → 1 odgovara izohornom odvodjenjutoplote usled izduvavanja iz cilindra proizvoda sagorevanja.

Dovedena kolicina toplote q1 jednaka je zbiru dovedene kolicine toplote q′1 = cv(T3 −T2), pri v = const i dovedena kolicina toplote q′′1 = cp(T4 − T3), pri p = const:

q1 = q′1 + q′′1 = cv(T3 − T2) + cp(T4 − T3), (10.19)

a odvedena kolicina toplote pri v = const je

q2 = −cv(T5 − T1). (10.20)

Termicki koeficijent iskoriscenja (TKI) Sabathe-ovog ciklusa iznosi

η = 1− |q2|q1

= 1− cv(T5 − T1)cv(T3 − T2) + cp(T4 − T2)

=

= 1− (T5 − T1)(T3 − T2) + k(T4 − T3)

. (10.21)

Pored stepena kompresije ε = v1v2

i stepena predekspanzije ρ = v3v2

uvodimo i tzv. stepenpovisenja pritiska ψ = p3

p2. Iz jednacine adijabate (proces 1 → 2) sledi

T2 = (v1

v2)k−1T1 = εk−1T1, (10.22)

154

dok je iz jednacine izohore (proces 2 → 3)

T3 = (p3

p2)T2 = ψT2, (10.23)

odnosno, [na osnovu (10.22)]T3 = ψεk−1T1. (10.24)

Iz jednacine izobare (proces 3 → 4) je

T4 = (v4

v3)T3 = ρT3 (10.25)

odnosno, [na osnovu (10.24)]T4 = ρψεk−1T1. (10.26)

Konacno iz jednacine adijabate (proces 4 → 5) sledi

T5 = (v4

v5)k−1T4 = (

v3

v1)k−1T4 =

(v3v2v1v2

)k−1

T4 = (ρ

ε)k−1T4, (10.27)

odnosno, posle zamene izraza (10.26) u predhodni izraz, dobija se

T5 = (ρ

ε)k−1ρψεk−1T1 = ψρkT1, (10.28)

Posle zamene izraza (10.21), (10.23), (10.25) i (10.27) u izraz (10.20) dobija se TKISabathe-ovog ciklusa u funkciji parametara ε, ρ, ψ i k :

ηS

= 1− ψρk − 1εk−1[ψ − 1 + kψ(ρ− 1)]

. (10.29)

Ako je ρ = 1, odnosnov3 = v2, izraz (10.29) prelazi u izraz (10.10) za TKI Otto-ovogciklusa:

ηS(ρ = 1) = η0 = 1− 1

εk−1. (10.30)

Ako je ψ = 1, odnosno p3 = p2 izraz (10.29) prelazi u izraz (10.18) za TKI Diesel-ovogciklusa:

ηS(ψ = 1) = η

D= 1− ρk − 1

k(ρ− 1). (10.31)

TKI Sabathe-ovog ciklusa raste s porastom k, ε i ψ i opadanjem ρ. Medjutim, treba imatiu vidu da su, pri zadatoj potrosnji goriva za ciklus, velicine ψ i ρ vezani. Sto vise gorivasagoreva pri v = const (vece je ψ) to manje goriva ostaje za sagorevanje pri konstantnompritisku (manje je ρ) i obrnuto.

10.4. Poredjenje ciklusa motora unutrasnjeg sagorevanja

Za poredjenje efikasnosti i ekonomicnosti razlicitih tipova klipnih MUS-a dovoljnoje uporediti TKI idealnih ciklusa ovih motora, s obzirom da se efikasnost i ekonomicnostmotora menja priblizno proporcionalno sa TKI idealnog ciklusa. Najjednostavniji metod sesastoji u poredjenju povrsina -ogranicenih linijama koje prikazuju cikluse u T,s-dijagramu.

155

a) b)

Slika 10.9.

Uporedimo TKI ciklusa klipnih MUS-a pri jednakim vrednostima odvedene kolicinetoplote q2 i stepenima kompresije ε. Odvedena kolicina toplote (u T, s- dijagramu naslici10.9a prikazana dva puta srafiranom povrsinom A14BA) kao i stepeni kompresije ε = v1

v2

jednaki su za sva tri ciklusa. S obzirom da je dovedena kolicina toplote q1 (jednaka jedanput srafiranoj povrsini u T, s- dijagramu) najveca za Otto-ov ciklus (povrsini A23′B)a najmanja za Diesel-ov ciklus (povrsina A23′′′B) iz prethodnog bi zakljucili da je TKI(η = 1− |q2|

q1) Otto-ovog ciklusa najveci a Diesel-ov najmanji (ocigledno TKI Sabathe-ovog

ciklusa je izmedju njih)η0 > ηS > ηD .

Medjutim, takav zakljucak s obzirom na pretpostavljene vrednosti parametara nije realan.Poznato je da je stepen kompresije Diesel-ovog i Sabathe-ovog ciklusa znatno veci od

Otto-ovog i da je bas to njihova prednost. Naime, realnije je poredjenje ciklusa pri jed-nakim najvisim temperaturama radnog tela i najvisim pritiscima kao i jednakim odvedenimkolicinama toplote, jer su oni odredjujuci za konstrukcione karakteristike motora.

U T, s-dijagramu na slici 10.9b uporedjeni su ciklusi klipnih MUS pri jednakim odve-denim kolicinama toplote, jednakim najvecim temperaturama (Tmax) radnog tela i jed-nakim najvecim pritiscima (pmax). Sa slike se vidi da je u ovm slucaju dovedena kolicinatoplote q1 najveca za Diesel-ov ciklus a najmanja za Otto-ov ciklus, tako da je TKI Diesel-ovog ciklusa najveci, a Otto-ovog najmanji; kao i u prethodnoj analizi TKI Sabathe-ovogciklusa je izmedju njih:

ηD > ηS > η0 .

Postavlja se pitanje da li je moguce da se realno poveca stepen kompresije Otto-ovogmotora i bude jednak stepenu kompresije Diesel-ovog ili Sabathe-ovog. Ukoliko bi se toi ostvarilo pritisak radnog tela posle sagorevanja goriva bio bi vrlo visok (tacka 3′ u T, sdijagramu na slici a) tako da bi doslo do havarije motora. Ukoliko bi se islo na povecanjecvrstoce cilindra zbog utoska materijala znatno bi se povecali troskovi i smanjila ekonomskaisplativost.

156

Primer 10.1. Jedan motor radi sa vazduhom kao radnim telom po Diesel-ovomciklusu. Vazduh se usisava na pritisku od 0, 8 · 105 Pa i temperaturi od 500 C. Stepenkompresije iznosi 12 a stepen predekspanzije 1,2. Odrediti:a) vrednost osnovnih parametara stanja u karakteristicnim tackama ib) termicki koeficijent iskoriscenja (TKI) ciklusa

resenje:a) Proces 1 → 4 je izohoran (pogledaj sliku 10.6) tako da je specificna zapremina

v1 = v4 =RT1

p1=

287 · 3230, 8 · 105

m3

kg= 1, 159

m3

kg.

S obzirom da je dat stepen kompersije

ε =v1

v2= 12,

sledi

v2 =v1

ε=

1, 15912

m3

kg= 0, 0965

m3

kg.

Na osnovu poznatog stepena predekspanzije

ρ =v3

v2= 1, 2,

dobija se

v3 = ρv2 = 1, 2 · 0, 0965m3

kg= 0, 116

m3

kg.

S obzirom da su procesi 1 → 2 i 3 → 4 adijabatski sledi

p2 = p1

(v1

v2

)κ

= p1εκ = 0, 8 · 105 · 121,40Pa = 25, 94 · 105Pa,

odnosno

p4 = p3

(v3

v4

)κ

= p2

(v3

v4

)κ

= 1, 03 · 105Pa

(jer je p3 = p2).Iz jednacine stanja, na osnovu prethodno odredjenih parametara p2 i v2, sledi

T2 =p2v2

R= 872K.

Kako je proces 2 → 3 izobaran sledi

T3

T2=

v3

v2= ρ,

tako da jeT3 = ρT2 = 1, 2 · 872K = 1047K.

157

Temparatura T4 dobija se na osnovu jednacine stanja i prethodno odredjenih parametarap4 i v4 :

T4 =p4v4

R=

1, 03 · 105 · 1, 159287

= 416K.

b) TKI Diesel-ovog ciklusa na osnovu (10.18) iznosi

η = 1− ρk − 1kεk−1(ρ− 1)

= 0, 62.

Do istog rezulata moze da se dodje smenom izraza

q1 = cp(T3 − T2) i q2 = cv(T4 − T1)

u izraz (3.16)

η = 1− |q2|q1

= 1− 1k· (T4 − T1)(T3 − T2)

= 0, 62.

Primer 10.2. U Diesel-ovom ciklusu poznate su temperature u karakteristicnimtackama: t1 = 500C, t2 = 7000C i t4 = 3000C (slika 10.6). Radno telo je vazduh. Odrediti:

a) stepen kompersije ε i stepen predekspanzije ρb) TKI ovog ciklusa kao i Carnot-ovog ciklusa izmedju ekstremnih temperatura.

resenje: a) Kako je proces 1 → 2 adijabatski (slika 10.6) sledi

T1vk−11 = T2v

k−12 (P10.2.1)

odakle se dobija da stepen kompresije iznosi

ε =v1

v2=

(T2

T1

) 1κ−1

= 15, 75.

Proces 2 → 3 je izobaran, tako da se dobija

T3

T2=

v3

v2= ρ

odnosnoT3 = ρT2. (P10.2.2)

Na osnovu (P10.2.1) i (P10.2.2) sledi

T2 = T1

(v1

v2

)κ−1

= T1εκ−1,

T3 = ρT2 = ρT1

(v1

v2

)κ−1

= ρT1εκ−1. (P10.2.3)

158

S druge strane, s obzirom da je proces 3 → 4 adijabatski, sledi

T3 = T4

(v4

v3

)κ−1

. (P10.2.4)

Kako je v3 = ρv2 i v4 = v1 iz (P10.2.4) sledi

T3 = T4

(v1

ρv2

)κ−1

= T4

(ε

ρ

)κ−1

. (P10.2.5)

Iz (P10.2.3) i (P10.2.5) sledi

ρT1εκ−1 = T4ε

κ−1 · ρ1−κ

tako da stepen predkompresije iznosi

ρ =(

T4

T1

) 1κ

= 1, 506.

Na osnovu (P 10.2.2) sledi da je temperatura u karakteristicnoj tacki 3:

T3 = ρT2 = 1465K.

S obzirom da je kod Diesel-ovog ciklusa dovedena kolicina toploteq1 = cp(T3 − T2) a odvedena kolicina toplote q2 = cv(T4 − T1) dobija se da je TKI ovogciklusa

η = 1− |q2|q1

= 1− (T4 − T1)κ(T3 − T2)

= 0, 637.

TKI Carnot-ovog ciklusa koji bi radio izmedju ekstremnih temperatura (Tmin = T1 = 323Ki Tmax = T3 = 1465K) iznosi

ηc = 1− Tmin

Tmax= 1− T1

T3= 0, 780.

159

11. PROCESI U GASNIM TURBINAMA

Osnovni nedostaci klipnih motora unutrasnjeg sagorevanja su ograni-cenost snage pojedinici mase motora, nemogucnost adijabatskog sirenja radnog tela do atmosferskog pri-tiska, kao i neravnomernost njihovog rada usled povratno-translatornog kretanja klipa ucilindu motora. Kod gasnih turbina eliminisana je vecina gore pomenutih nedostataka.

Sagorevanje goriva i predaja toplote radnom telu kod gasnih turbina vrsi se u poseb-nom uredjaju - komori za sagorevanje. Radno telo, koga cine produkti sagorevanja gasnogili tecnog goriva, je gas visoke temperature i pritiska. Sirenje radnog tela se vrsi u mlaznikugde se u isto vreme toplotna energija prevodi u kineticku energiju mlaza. Prevodjenjekineticke energije mlaza gasa u koristan mehanicki rad vrsi se na lopaticama rotora gasneturbine.

Pored niza prednosti u odnosu na klipne motore unutrasnjeg sagorevanja primenagasnih turbina jos nije siroko rasprostranjena. Da bi se povecao koeficijent iskoriscenjagasne turbine potrebno je da se poveca temperatura gasova ispred turbine, sto zahtevakvalitetan temperaturski otporan celik. Osim toga, znatan deo snage (≈ 75%) gasneturbine angazovan je za rad kompresora za usisavanje i dovodjenje vazduha u komoru zasagorevanje, cime se snizava efektivni koeficijent iskoriscenja gasne turbine.

Slicno motorima unutrasnjeg sagorevanja, radni ciklus gasne turbine je otvoren, jer seiz spoljnje sredine usisava vazduh a iz nje se izbacuju produkti sagorevanja. Medjutim, radijednostavnije termodinamicke analize pretpostavlja se da je ciklus zatvoren, odnosno da jekolicina radnog tela konstantna. Osim toga, predpostavlja se da je radno telo idealan gaskonstantne specificne toplote; da su procesi u ciklusu povratni; da je sagorevanje gorivaekvivalentno dovodjenju toplote a izlazak gasova iz gasne turbine - odvodjenju toplote.Gasne turbine nasle su primenu u energetici, avijaciji, brodogradnji, zeleznici itd.

Idealni ciklusi gasne turbine uslovno se dele na cikluse s dovodjenjem toplote u procesupri konstatnom pritisku (p=const) i konstantnoj zapremini (v=const).

11.1. Ciklus s dovodjenjem toplote pri p=const

Ciklus s dovodjenjem toplote pri p=const je osnovni i prakticno jedini u praksi pri-menjivi ciklus kod gasnih turbina.

Principijelna sema gasne turbine sa sagorevanjem goriva, odnosno dovodjenjemtoplote, pri p =const data je na slici (11.1).

Slika 11.1.

Rad gasne turbine ostvaruje se na sledeci nacin. Atmosferski vazduh pritiska p1 (0.1MPa) usisava se i komprimuje do pritiska p2 (0.4-0.6 MPa) pomocu kompresora (1) i

160

ubacuje u komoru za sagorevanje (2). U isto vreme, iz rezervoara za gorivo pomocu pumpe(5) gorivo se neprekidno ubrizgava u komoru gde se uz pomoc komprimovanog vazduhavrsi sagorevanje, pri cemu se obrazuju produkti sagorevanja visoke temperature. Iz komoreprodukti sagorevanje ulaze u mlaznik (3) gde se vrsi sirenje i ubrzavanje mlaza. Mlaz gasa,velike brzine, iz mlaznika pada na lopatice rotora gasne turbine (4) pri cemu se kinetickaenergija mlaza prevodi u mehanicki rad.

Gasne turbine s dovodjenjem toplote pri izobarnoj ekspanziji (p = const) razlikuju sepo tome kakav je proces komprimovanja vazduha u kompresoru; adijabatski, izotermskiili politropski. U daljem tekstu razmotricemo odgovarajuce cikluse s adijabatskom iizotermskom kompresijom gasa u kompresoru.

11.1.1. Ciklus gasne turbine, sa izobarskim (p= const) dovodjenjem (iodvodjenjem) toplote i adijabatskim (s= const) sabijanjem i sirenjem radnogtela - Joule-ov ciklus

Idealizovan ciklus gasne turbine s sagorevanjem pri p = const i kompresijom pri s =const prikazan je u p,v- i T,s- dijagramu na slici 11.2.

Slika 11.2

Proces 1 → 2 predstavlja adijabatsko sabijanje gasa u kompresoru. Radnom teluse dovodi toplota tokom izobarnog sirenja 2 → 3 radnog tela sto odgovara sagorevanjugoriva u komori. Proces 3 → 4 odgovara adijabatskom sirenju radnog tela (vazduh iproizvodi sagorevanja) koji se vrsi u mlazniku i delimicno na lopaticama rotora turbine.Tokom izobarskog procesa 4 → 1 vrsi se izbacivanje produkata sagorevanja iz turbine,sto odgovara odvodjenju toplote od radnog tela, i ubacivanje nove kolicine radnog tela ukompresor.

Pritisak p1(= p4 = const) na izlazu iz turbine je konstantan (i blizak atmosferskompritisku), a proces 4 → 1 je izobarni zbog stacionarnog rada gasne turbine, a time ivremenske nezavisnosti parametara radnog tela. Kod motora unutrasnjeg sagorevanjaizbacivanje radnog tela se vrsi pri izohorskom procesu, s obzirom da je vreme tokom kogaje izduvni ventil otvoren vrlo malo pa je i promena zapremine zanemarljiva (dV ≈ 0).

Razmotrimo ciklus sa dovodjenjem toplote pri izobarnoj ekspanziji (p =const) i adijabatskoj kompresiji (s= const) radnog tela.

Karakteristicni parametri ciklusa su stepen porasta pritiska u kompresoru β = p2p1

,

stepen izobarne ekspanzije (predekspanzije) ρ = v3v2

i stepen kompresije ε = v1v2

.

Dovedena kolicina toplote pri izobarnom procesu 2 → 3 je

q1 = cp(T3 − T2), (11.1)

a odvedena kolicina toplote pri izobarnom procesu 4 → 1 je

q2 = cp(T4 − T1) (11.2)

161

Termicki koeficijent iskoriscenja datog ciklusa iznosi

ηt = 1− |q2|q1

= 1− cp(T4 − T1)cp(T3 − T2)

= 1− T1(T4T1− 1)

T2(T3T2− 1)

. (11.3)

Kako su procesi 1 → 2 i 3 → 4 adijabatski a, s druge strane, procesi 2 → 3 i 4 → 1 izobarni(p3 = p2 i p4 = p1) sledi

T2 = T1

(p2

p1

) k−1k

= T1βk−1

k , (11.4)

i

T3 = T4

(p3

p4

) k−1k

= T4

(p2

p1

) k−1k

= T4βk−1

k . (11.5)

Iz (11.3) i (11.5) dobija seT4

T1=

T3

T2. (11.6)

S druge strane, za adijabatski proces 1 → 2 vazi i jednacina

T2 = T1

(v1

v2

)k−1

= T1εk−1, (11.7)

tako da na osnovu (11.4) i (11.7) sledi

β = εk. (11.8)

Na osnovu (11.3), (11.6), (11.7) i (11.8) termicki koeficijent iskoriscenja Joule-ovog ciklusaje

ηJ

= 1− T1

T2= 1− 1

βk−1

k

= 1− 1εk−1

(11.9)

Termicki koeficijent iskoriscenja gasne turbine s dovodjnjem toplote pri p=const i adija-batskoj kompresiji raste s porastom stepena kompresije (ε), stepena porasta pritiska (β)i eksponenta adijabate (k). Gornja granica stepena kompresije (ε) limitirana je temper-aturom gasa na ulazu u turbinu. Interesantno je da su pri istim stepenima kompresijetermicki koeficijent iskoriscenja ovog ciklusa i ciklusa klipnog motora unutrasnjeg sagore-vanja s dovodjenjem toplote pri v=const (Otto-ov ciklus) jednaki.

11.1.2. Ciklus gasne turbine s izotermnim sabijanjem (T= const) i dovodjenjemtoplote pri izobarnoj ekspanziji (p= const) - Brayton-ov ciklus

Idealan ciklus gasne turbine s dovodjenjem toplote pri izobarnoj ekspanziji (p = const)i izotermskoj kompresiji (T = const) gasa u kompresoru prikazan ja na slici 11.3 u p,v- iT, s- dijagramu. U odnosu na ciklus prikazan na slici 11.2 ovaj ciklus se razlikuje samo potome sto je u ovom slucaju proces 1 → 2 izoterman.

U ovom slucaju toplota se odvodi od radnog tela u izobarnom procesu 4 → 1 (slika11.3).

q′2 = cp(T4 − T1), (11.10)

162

i u izotermskom procesu 1 → 2q′′2 = RT1ln

p2

p1. (11.11)

Kolicina toplote dovedena radnom telu sagorevanjem pri izobarskom procesu 2 → 3 iznosi

q1 = cp(T3 − T2). (11.12)

Slika 11.3

Kako je

R = cp − cv = cp(1− cv

cp) = cp(1− 1

k) = cp

k − 1k

, (11.13)

i imajuci u vidu da je T1 = T2, na osnovu (11.10), (11.11) i (11.12), sledi da je toplotnikoeficijent iskoriscenja ciklusa

ηt = 1− |q′2 + q′′2 |q1

= 1−cp(T4 − T1) + cp(k−1

k ) · T1lnp2p1

cp(T3 − T2)=

= 1−(T4

T1− 1) + k−1

k lnp2p1

T3T2− 1

. (11.14)

Zadrzimo kao ranije oznake za stepen predekspanzije ρ = v3v2

i stepen povisenja pritiskaβ = p2

p1. S obzirom da je proces 2 → 3 izobarski sledi

T3

T2=

v3

v2= ρ. (11.15)

Kako je proces 3 → 4 adijabatski i kako je p3 = p2 i p4 = p1 sledi

T4 = T3

(p3

p4

) 1−kk

= T3

(p2

p1

) 1−kk

= T3β1−k

k . (11.16)

Iz (11.15) i (11.16) slediT4 = T2ρβ

1−kk = T1ρβ

1−kk ,

odnosnoT4

T1= ρβ

1−kk =

ρ

βk−1

k

. (11.17)

163

Zamenom (11.15) i (11.17) u (11.14) dobija se izraz za termicki koeficijent iskoriscenjagasne turbine s dovodom toplote pri p =const i izotermskim sabijanjem vazduha (Brayton-ov ciklus).

ηB

= 1− βk−1

k

(k−1

k lnβ − 1)

+ ρ

βk−1

k (ρ− 1). (11.18)

Maksimum termickog koeficijenta iskoriscenja za dato ρ nalazi se iz uslova da je

(∂η

∂β

)

ρ

= 0 (11.19)

Iz (11.18) i predhodnog uslova sledi

(∂η

∂β

)

ρ

=k − 1

kβ

1−2kk

ρ− βk−1

k

ρ− 1= 0, (11.20)

odakle je

ρ = βk−1

k , (11.21)

odnosno

β = ρk

k−1 . (11.22)

Zamenom β u (11.18) dobija se ηmax za dato ρ

ηmax = 1− lnρ

ρ− 1. (11.23)

11.1.3. Poredjenje TKI ciklusa gasnih turbina sa dovodjenjem toplote pri p=const za slucaj adijabatske i izotermne kompresije

Poredjenjem termickih koeficijenata iskoriscenja gasnih turbina sa sagorevanjem prip=const za slucajeve adijabtske i izotermske kompresije, pri jednakim maksimalnim tem-peraturama (T3) ciklusa kao i jednakim minimalnim (p1) i maksimalnim (p2) pritiscima,tj. jednakim stepenom povisenja pritiska β = p2

p1, pokazuje se da je termicki koeficijent

iskoriscenja ciklusa s adijabatskom kompresijom veci od koeficijenta ciklusa sa izotermskimkoeficijentom:

ηJ > ηB . (11.24)

Na primer, iz T, s - dijagrama, na kojem su prikazana oba ciklusa (slika 11.4.), ociglednoje da je (pri jednakim q1, T3 i p1 i p2) rad ciklusa s adijabatskom kompresijom (povrsinskaogranicena krivom 1 → 2 → 3 → 4 → 1) veca od rada ciklusa s izotermskom kompresijom(povrsina ogranicena krivom 1′ → 2 → 3 → 4 → 1′).

164

Slika 11.4.

Osim toga, moze da se pokaze da termicki koeficijent iskoriscenja gasne turbine sasagorevanjem pri p =const i politropskom kompresijom ima vrednost izmedju η

Ji η

B:

ηJ

> ηpoli > ηB. (11.25)

11.2. Ciklus gasne turbine s dovodjenjem toplote pri v=const

U praksi se ne koriste gasne turbine koje rade po ciklusu s dovodjenjem toplote uprocesu v=const vec se jos uvek vrse laboratorijska ispitivanja. Razlog za to su konstruk-tivne teskoce izrade delova za ubacivanje i izbacivanje radnog tela u komori sagorevanja.Posle duze upotrebe ventili ne ”dihtuju” dobro usled sopstvenog sagorevanja i time se neobezbedjuje sagorevanje pri konstantnoj zapremini.

165

Slika 11.5.

Na slici (11.5) prikazana je principijelna sema gasne turbine s dovodjenjem toplotepri v=const.

Atmosferski vazduh se usisava i komprimuje pomocu turbokompresora (1) i ubacujepreko rezervoara (2) vece zapremine i usisnog ventila (3) u komoru za sagorevanje (4).Istovremeno se iz rezervoara za gorivo, pomocu pumpe (5) i preko odgovarajuceg ventila(6), tecno gorivo ubacuje u komoru za sagorevanje. Zapaljenje smese goriva i vazduha ukomori za sagorevanje vrsi se elektricnom varnicom pomocu svecice (7). Proces sagorevanjagoriva se vrsi pri zatvorenim ventilima (3) i (8). Posle sagorevanja goriva pritisak u komoriporaste, otvara se izduvni ventil (8) i proizvodi sagorevanja se usmeravaju u mlaznik (9),gde se vrsi sirenje i ubrzavanje mlaza. Iz mlaznika mlaz gasa pada na lopatice rotora gasneturbine (10), pri cemu se kineticka energija mlaza prevodi u mehanicki rad.

Na slici 11.6. u p,v- i T,s- dijagramima prikazan je idealan ciklus gasne turbine sdovodom toplote pri v=const i adijabatskoj kompresiji* radnog tela.

Slika 11.6.

Proces 1 → 2 odgovara adijabatskoj kompresiji vazduha u kompresoru. Porast pritiskaradnog tela usled sagorevanja goriva u komori za sagorevanje pri konstantnoj zapreminiopisuje se izohornim procesom 2 → 3. Proces 3 → 4 odgovara adijabatskom sirenju radnogtela (proizvoda sagorevanja) u mlazniku. U procesu 4 → 1 dolazi do izobarnog odvodjenjatoplote ispustanjem iskoriscenih gasova.

Karakteristicni parametri ciklusa su stepen povecanja pritiska pri kompresiji β = p2p1

istepen dodatnog povecanja pritiska (pri dovodjenju toplote) λ = p3

p2(ili stepen kompresije

ε = v1v2

).Dovedena kolicina toplote pri izohornom procesu (2 → 3) iznosi

q1 = cv(T3 − T2), (11.26)

a odvedena kolicina toplote pri izobarnoj kompresiji (proces 4 → 1) iznosi

q2 = cp(T4 − T1). (11.27)

Termicki koeficijent iskoriscenja ciklusa iznosi

ηt = 1− |q2|q1

= 1− cp(T4 − T1)cv(T3 − T2)

= 1− kT4 − T1

T3 − T2. (11.28)

* kompresija radnog tela u kompresoru moze da se izvede i pri izotermnom procesu

166

Izrazimo temperature T2, T3 i T4 preko pocetne temperature radnog tela T1. Za adijabatskiproces 1 → 2 je

T2

T1=

(p2

p1

) k−1k

= βk−1

k , (11.29)

odnosnoT2 = T1β

k−1k . (11.30)

Za izohorni proces 2 → 3 jeT3

T2=

p3

p2= λ. (11.31)

Iz (11.30) i (11.31) slediT3 = T2λ = T1λβ

k−1k . (11.32)

Za adijabatski proces 3 → 4 jeT4

T3=

(p4

p3

) k−1k

. (11.33)

Kako je p4 = p1 i p3 = λp2 = λp1β, sledi

T4

T3=

(p4

p3

) k−1k

=1

(λβ)k−1

k

. (11.34)

Na osnovu (11.34) i (11.32) dobija se

T4 =T3

(λβ)k−1

k

=T1λβ

k−1k

(λβ)k−1

k

= T1λ1k . (11.35)

Na osnovu (11.28), (11.30), (11.32) i (11.35) dobija se izraz za termicki koeficijent iskorisce-nja ciklusa gasa turbine s dovodjenjem toplote pri v=const i adijabatskoj kompresiji radnogtela

η = 1− k(λ1k − 1)

βk−1

k (λ− 1). (11.36)

Termicki koeficijent iskoriscenja gasne turbine s dovodjenjem toplote pri v=const rastes stepenom porasta pritiska u kompresoru (β), stepenom povisenja pritiska u komori zasagorevanje (λ), kao i eksponentom adijabate (k).

Povecanje TKI ciklusa gasne turbine ostvaruje se primenom regeneracije toplote, vise-stepenim zagrevanjem i hladjenjem radnog tela (uz visestepeno sabijanje i sirenje) sa re-generacijom toplote itd.

11.3. Usavrseni (poboljsani) ciklus gasne turbine

11.3.1.Ciklus gasne turbine sa regeneracijom

Temperatura (T4) gasova na izlazu iz turbine je visa od temperature (T2) vazduhasabijenog u kompresoru (T4 > T2), sto se vidi iz ciklusa gasnih turbina s dovodjenjemtoplote kako pri p = const tako i pri v = const prikazanih u T,s-dijagramu na slikama

167

11.4 i 11.6. Znaci jedan deo energije radnog tela neiskoriscen odlazi u atmosferu (okolnusredinu). Ukoliko bi se deo toplotne energije gasova na izlazu iz turbine usmerio i iskoristioza dopunsko zagrevanje sabijenog vazduha na izlazu iz kompresora povecao bi se odnosdovedene prema odvedenoj kolicini toplote a time i TKI gasne turbine.

Regeneracija toplote moze da se prakticno ostvari u gasnim turbinama s dovodomtoplote kako pri p = const tako i pri v = const. Medjutim, razmotricemo samo gasneturbine sa regeneracijom toplote u slucaju adijabatska kompresija (s = const) vazduha ukompresoru i dovodjnjem toplote pri izobarnoj ekspanziji (p = const) (Joule-ov ciklus).

Principijelna sema gasne turbine sa regeneracijom toplote prikazana je na slici 11.7.U odnosu na rad gasne turbine bez regeneracije toplote (slika 11.1.) u ovom slucaju

razlika je u tome sto komprimovan vazduh iz turbokompresora (1) prolazi kroz razmenjivactoplote -regenerator (6), gde dobija deo toplotne enrgije qreg (pri konstantnom pritisku)od gasova koji su izasli iz mlaznika (3), a zatim kroz turbinu (4) i tek tada se usmerava ukomoru za sagorevanje (2).

Idealizovan ciklus gasne turbine sa regeneracijom pri adijabatskoj kompresiji vazduha(s = const) u kompresoru u izobarnom dovodjenju toplote (p =const) prikazan je u p,v- iT,s -dijagramu na slici 11.8.

Slika 11.7.

Posmatran ciklus sastoji se iz procesa adijabatskog (ili izotermnog) sabijanja vazduhau kompresoru 1 → 2, procesa izobarnog sirenja usled dogrevanja vazduha u regeneratoru2 → A, procesa izobarnog sirenja usled dovodjenja toplote pri sagorevanju goriva u komorisagorevanja A → 3, procesa adijabatskog sirenja u turbini 3 → 4, procesa izobarnogsabijanja zbog hladjenja izlaznih gasova u regeneratoru 4 → B i procesa izobarnog sabijanjazbog odvodjenja toplote u okolnu sredinu (atmosferu) B → 1.

Slika 11.8

Regeneracija se sastoji u tome sto se deo toplote qreg odveden tokom procesa 4 → Bvraca radnom telu u procesu 2 → A. Tokom procesa A → 3 i B → 1, kao i ranije vrsise razmena toplote izmedju radnog tela i izvora toplote odnosno radnog tela i hladnjaka.

168

Neophodni uslovi za ostvarenje regeneracije su T2 ≤ TB ≤ TA ≤ T4. Potpuna regeneracijabi se ostvarila pod uslovima: TB = T2 i TA = T4. Medjutim, zbog ireverzibilnosti radnihprocesa ona se prakticno ne ostvaruje. Za teorijsko razmatranje regenerativnog ciklusauvodi se tzv. stepen regeneracije σ kao odnos kolicine toplote koju primaju sabijenigasovi u regeneratoru iz kompresora q′reg = cp(TA−T2) i kolicina toplote koju oslobadjajuizlazni gasovi u regeneratoru q′′reg = cp(T4 − TB) :

σ =q′reg

q′′reg

=TA − T2

T4 − TB. (11.37)

Pri potpunoj regeneraciji (TB = T2 i TA = T4) stepen regeneracije ima najvecu vrednostσ = 1 a u slucaju kada nema regeneracije (TA = T2) najmanju vrednost σ = 0. U opstemslucaju je 0 < σ < 1.

Odredimo TKI ciklusa gasne turbine s dovodjenjem toplote pri p = const i regen-eracijom. Neka je TB = T2 i TA ≤ T4. U slucaju regeneracije radnom telu je potrebnodovesti spolja manju kolicinu toplote q1 nego kod ciklusa bez regeneracije q′1 = cp(T3−T2). Sobzirom da se iz regeneratora sistemu vraca kolicina toplote q′reg = σq′′reg = σcp(T4−TB) =σcp(T4 − T2), sledi

q1 = q′1 − q′reg = cp(T3 − T2)− cpσ(T4 − T2). (11.38)

S druge strane, u slucaju nepotpune regeneracije (0 < σ < 1), odvedena kolicina toploteje smanjena

q2 = cp(TB − T1) + (1− σ)q′′reg = cp(TB − T1) + (1− σ)cp(T4 − TB) =

cp(T2 − T1) + (1− σ)cp(T4 − T2). (11.39)

TKI razmatranog regenerativnog ciklusa, na osnovu (11.38) i (11.39), je :

η = 1− |q2|q1

= 1− (T2 − T1) + (1− σ)(T4 − T2)(T3 − T2)− σ(T4 − T2)

=

=(T3 − T2)− (T4 − T1)(T3 − T2)− σ(T4 − T2)

. (11.40)

Iz (11.40) se dobija da u slucaju kada ne postoji regeneracija (σ = 0) dobija se poznatizraz (11.9). U slucaju potpune regeneracije (σ = 1) KTI ciklusa sa dovodjenjem toplotepri p = const (bez obzira na prirodu procesa 1 → 2 i 3 → 4) je

η =(T3 − T2)− (T4 − T1)

T3 − T4=

(T3 − T4)− (T2 − T1)T3 − T4

=

= 1− T2 − T1

T3 − T4. (11.41)

U slucaju kada su procesi 1 → 2 i 3 → 4 adijabatski sledi:

T2 = T1(p2

p1)

k−1k = T1β

k−1k (11.42)

169

i

T3 = T4(p2

p1)

k−1k = T4β

k−1k = T1. (11.43)

tako da se zamenom (11.42) i (11.43) u (11.41) dobija

η = 1− T1

T4= 1− T2

T3. (11.44)

Kako je proces 2 → 3 izobaran sledi

T3

T2=

v3

v2= ρ, (11.45)

tako da je

η = 1− T2

T3= 1− 1

ρ. (11.46)

TKI ciklusa sa potpunom regeneracijom u slucaju dovodjenja toplote pri p =const i adija-batskom kompresijom zavisi samo od temeperature T4 (pri stalnoj pocetnoj temperaturiT1) na kraju adijabatskog sirenja gasa, tj. pocetka regeneracije [izraz (11.44)] odnosno odstepena predekspanzije ρ [izraz (11.46)] i raste sa njihovim porastom.

U tabeli 11.1 prikazana je zavisnost TKI regenerativnog ciklusa, pri p = const i adi-jabatskoj kompresiji, od temeperature regeneracije T4; pocetna temperatura jednaka jetemperaturi okolne sredine T1 = 300K.

Tabela 11.1.

T4(K) 700 800 900 1000

η 0,571 0,625 0.667 0,700

11.3.2. Ciklus s visestepenim dovodjenjem i odvodjenjem toplote

Ciklus gasne turbine s, na primer, dvostepenim dovodjenjem i odvodjenjem toploteprikazan je na slici 11.9.

170

Slika 11.9.

Proces 1 → 2 odgovara adijabatskom sabijanju gasa (u 1. stepen kompresora); 2 → 3-izobarnom odvodjenju toplote (u hladnjaku); 3 → 4 - adijabatskom sabijanju gasa (u 2.stepenu kompresora); 3 → 4 -izobarnom odvodjenju toplote (u komoru sagorevanja); 5 → 6-adijabatskom sirenju produkata sagorevanja (u 1.stepen turbine); 6 → 7 - izobarnomdovodjenju toplote (u dopunskoj komori sagorevanja); 7 → 8- adijabatskom sirenju (u 2.stepenu turbine); 8 → 1- izobarskom odvodjenju toplote.

U ovakvim gasnim turbinama primenjuje se i regeneracija toplote (u procesu 8 → B i4 → A). Idealni ciklusi vecine savremenih gasnih turbina su slicni prethodno prikazanom(slika 11.9). Ukoliko bi se povecao broj stepeni dovodjenja i odvodjenja toplote s korisce-njem potpune regeneracije, ovakav ciklus bi presao u Carnott-ov ciklus. Medjutim, suvecanjem broja stepeni dovodjenja i odvodjenja toplote porasli bi gubici zbog iverzibilnihprocesa i znatno bi se usloznila konstrukcija gasne turbine.

171

Primer 11.1. Gasna turbina radi po ciklusu sa izotermnim sabijanjem i dovodomtoplote pri p = const (Brayton-ov ciklus) (slika 11.3). Koeficijent predekspanzije iznosiρ = v3/v2 = 2 a koeficijent adijabate k = 1.33. Odrediti:a) termicki koeficijent iskoriscenja (TKI) ciklusa ako je koeficijent povecanja pritiska

β = p2p1

= 10;b) koeficijent povecanja pritiska β tako da termicki koeficijent iskoriscenja (η) bude na-

jveci, kao i njegovu najvecu vrednost (ηm).

resenje:a) Termicki koeficijent iskoriscenja za β = 10 iznosi (11.18)

η = 1− βk−1

k [k−1k lnβ − 1] + ρ

βk−1

k (ρ− 1), (P11.1.1)

odakle je η = 0, 299.b) Maksimalna vrednost termickog koeficijenta iskoriscenja nalazi se iz uslova

(∂η

∂β

)

ρ

= 0 (P11.1.2)

odakle je (∂η

∂p

)

ρ

=k − 1

kβ

1−2kk

(ρ− βk−1

k )ρ− 1

= 0, (P11.1.3)

odnosnoβ = ρ

kk−1 = 16, 3.

Smenom β u izraz (P11.1.1) za η dobija se maksimalna vrednost termickog koeficijentaiskoriscenja

ηm = 1− lnρ

ρ− 1= 0.45.

Primer 11.2 Gasna turbina radi po ciklusu s dovodjenjem toplote pri p=const iizotermskoj kompresiji (Brayton-ov ciklus (slika 11.3)). Radno telo je vazduh s ekspo-nentom adijabate k = cp/cv = 1.40 i gasnom konstantom R = 287J/kgK. Koeficijentpovecanja pritiska je β = p2/p1 = 9 a koeficijent predekspanzije ρ = v3/v2 = 4. Smatrajucivazduh idealnim gasom odrediti:a) parametre stanja radnog tela (vazduha) u karakteristicnim tackama;b) termicki koeficijent iskoriscenja ciklusa (nt) ic) maksimalnu vrednost termickog koeficijenta (ηm) ciklusa pri datoj vrednosti koefici-

jenta predekspanzije.

resenje: Parametri radnog tela (vazduh) u tacki 1 (pred izotermnu ekspanziju) su

T1 = 300K,

p1 = 0, 1MPa

172

v1 =RT1

p1=

297 · 300105

= 0, 861m3/kg.

Parametri radnog tela u tacki 2 (posle izvrsene izotermne kompresije) su

T2 = T1 = 300K,

p2 = βp1 = 9 · 0, 1 · 106 = 0, 9MPa,

v2 =RT2

p2=

287 · 3000, 9 · 106

= 0, 0957m3/kg.

Parametri radnog tela u tacki 3 (posle izobarne ekspanzije) su

T3 = ρT2 = 4 · 300 = 1200K,

v3 = ρv2 = 4 · 0, 0957 = 0, 3828m3/kg,

p3 = p2 = 0, 9MPa.

Parametri radnog tela u tacki 4 (posle adijabatske ekspanzije) su

p4 = p1 = 0, 1MPa,

T4 = T3

(p3

p4

)(1−k)/k

= 1200(

0, 90, 1

)(1−1,4)/1,4

= 640, 5K,

v4 =RT4

p4=

287 · 6400, 1 · 106

= 1, 8368m3/kg.

Termicki koeficijent iskoriscenja (TKI) Brayton-ovog ciklusa (11.18) iznosi

η = 1− [ρ · β 1−kk − 1 + k−1

k lnβ](ρ− 1)

= 0, 41.

b) Maksimalna vrednost termickog koeficijenta iskoriscenja pri ρ = const = 4 odredjujese iz uslova

(∂η

∂β)ρ = 0.

Dobija seβ = ρ

kk−1 = 128,

tako da je

ηm = 1− lnρ

ρ− 1= 0, 538.

Primer 11.3. Pocetni parametri radnog tela gasne turbine koja radi po ciklusu sdovodjenjem toplote pri v = const i adijabatskoj kompresiji (slika 11.6) su p1 = 0, 1MPa

173

i T1 = 300K. Stepen uvecanja pritiska iznosi β = p2p1

= 12. Ukoliko je radno telo vaz-duh konstantne vrednosti specificne toplote i ukoliko je maksimalna dozvoljena temperaturavazduha T3 = 1200K, odrediti:a) parametre stanja u svim karakteristicnim tackama ciklusa;b) stepen kompresije ε = v1

v2i

c) termicki koeficijent iskoriscenja ciklusa.Gasna konstanta vazduha iznosi R = 287J/kgK.

resenje: Specificna zapremina u tacki 1 ciklusa iznosi:

v1 =RT1

p1=

287 · 300105

= 0, 861m3/kg.

Parametri radnog tela u tacki 2 (posle izvrsene adijabatske kompresije) sup2 = βp1 = 12 · 0, 1MPa = 1, 2MPa,

T2 = T1(p2

p1)

(k−1)k = T1β

(k−1)k = 300 · 12(1,4−1)/1,4 = 610, 2K,

v2 =RT2

p2=

287 · 6101, 2 · 106

= 0, 146m3/kg.

Parametri radnog tela u tacki 3 (posle izobarnog dovodjenja toplote) suT3 = Tmax = 1200K,

v3 = v2 = 0, 146m3/kg,

p3 = p2 · T3

T2= 1, 2 · 106 1200

610= 2, 36 · 106Pa,

tako da je stepen dodatnog povecanja pritiska

λ =p3

p2= 1, 967.

Parametri radnog tela u tacki 4 (posle adijabatske ekspanzije) sup4 = p1 = 0, 1MPa,

v4 = v3

(p3

p4

)1/k

= v3

(p3

p1

)1/k

= 0, 146(

2, 360, 1

)1/1,40

= 1, 396m3/kg,

T4 =v4p4

R=

1, 396 · 0, 1 · 106

287= 486, 4K.

Stepen kompresije iznosi

ε =v1

v2=

0, 8610, 146

= 5, 9.

c) Termicki koeficijent iskoriscenja ciklusa iznosi (11.28)

ηt = 1− |q2|q1

= 1− cp(T4 − T1)cv(T3 − T2)

= 1− kT4 − T1

T3 − T2=

= 1− 1, 40486− 3001200− 610

= 0, 559 ≈ 0, 56.

Isti rezultat moze da se dobije na osnovu izraza (11.36)

η = 1− k(λ1/k − 1)β(k−1)/k(λ− 1)

= 1− 1, 40(1, 971/14,0 − 1)12(1,40−1)/1,40(1, 97− 1)

= 0, 56.

174

12. CIKLUSI TOPLOTNIH PARNIH MASINA. PARNE TURBINE

Parne toplotne masine su takve masine, koje za razliku od gasnih toplotnih masina(na primer motora unutrasnjeg sagorevanja), kao radno telo koriste paru (najcesce vo-denu paru). Parne masine se razlikuju od motora unutrasnjeg sagorevanja i po tome stoproizvodi sagorevanja goriva ne ucestvuju neposredno u radnom ciklusu. Osnovna os-obenost rada ovih masina je u tome sto se u toku radnog ciklusa desava fazni prelaz kodradnog tela (isparavanje i kondenzacija).

Iz prakticnih razloga pogodno je da radno telo na sobnoj temperaturi i atmosferskompritisku bude u tecnom stanju. Prednost ovih motora je u tome sto koriscenje radnog tela,koje tokom ciklusa menja agregatno stanje omogucava da se prakticno ostvari Carnot-ovciklus.

U savremenoj energetici toplotne masine su nasle siroku primenu. Od svih parnihtoplotnih masina najrasprostranjenije su parne turbine. Klipne parne masine skoro da sei ne upotrebljavaju. Zbog toga u daljem izlaganju govoricemo (jedino) o principima radai ciklusima parnih turbina.

12.1. Carnot-ov ciklus za vlaznu (zasicenu) vodenu paru*

Pri analizi ciklusa gasnih motora (na primer klipnih motora unutra-snjeg sagorevanja)obrazlozeni su razlozi necelishodnosti prakticnog ostvarenja Carnot-ovog ciklusa kod ovihmotora - visok maksimalan pritisak radnog tela i velika vrednost stepena kompresije.

Osim predhodnih, postoje razlozi koji su vezani za teskoce prakticnog ostvarenjaizotermnih i adijabatbatskih procesa (kao sto je poznato Carnot-ov ciklus se sastoji izdve izoterme i dve adijabate). Otklon realnog adijabatskog procesa sabijanja i sirenjaod idealnog, uslovljenog nereverzibilnoscu procesa, je neznatan i ne umanjuje bitno TKIciklusa.

Medjutim, prakticno ostvarenje izotermnih procesa dovodjenja i odvo-djenja toplotevezano je sa nepremostivim teskocama. Tako se na primer, priblizavanje realnog ka ide-alnom izotermnom procesu ostvaruje visestepe-nim sabijanjem vazduha s medjustepenimhladjenjem (kod kompresora) ili visestepenim dovodjenjem i odvodjenjem toplote sa re-generacijom (kod gasnih turbina).

Pri strujanju (proticanju) fluida tehnicki se najjednostavnije ostvaruje dovodjenje iodvodjenje toplote pri izobarnom procesu. Prilikom razmatranja faznih prelaza ukazanoje na cinjenicu da tecnost moze da se prevede u gasno stanje (i obrnuto) pri izobarnomdovodjenju (odnosno odvodjenju) toplote pri cemu se u dvofaznoj oblasti (oblast zasicenepare) izobare poklapaju s izotermama. Ukoliko se kod toplotnih masina kao radno telokoristi vlazna zasicena para tokom radnog ciklusa se jednostavno ostvaruju dve adijabatske(pri sirenju i sabijanju pare) i dve izobarno-izotermne promene stanja (pri isparavanju ilikondenzaciji radnog tela).

Znaci, koriscenjem radnog tela koji tokom ciklusa menja svoje agregatno stanje omogu-ceno je da se prakticno ostvari Carnot-ov ciklus.

Principijelna sema parne toplotne masine (parne turbine) u kojoj se ostvaruje Carnot-ov ciklus sa vlaznom (zasicenom) parom kao radnim telom, predstavljena je na slici 12.1.

Na racun toplotne energije, dobijene sagorevanjem goriva u kotlu (1) parne toplotnemasine, vrsi se izobarno-izotermno isparavanje vode, pri cemu se dobijenoj vlaznoj zasice-noj pari visokog pritiska (priblizno 10 MPa) povecava stepen suvoce. Suva para se adija-batski siri u parnoj turbini (2), transformisuci svoju kineticku energiju u mehanicki rad azatim obicno u elektricnu energiju u generatoru (3) elektricne struje. Para izlazi iz turbine s

* ovaj naslov je prihvacen s obzirom na to da se ceo ciklus ostvaruje u oblasti vlazne,odnosno zasicene pare

175

povecanom vlaznoscu i snizenim pritiskom (priblizno 0,01 MPa) i usmerava u kondenzator- razmenjivac toplote (4) gde pri konstantnom pritisku predaje toplotu hladnoj protocnojvodi tako da joj se dalje povecava vlaznost. Vlazna para (kondenzat) iz kondenzatorase pomocu kompresora (5) adijabatski sabija do pocetnog pritiska i temperature (koju jeimala na izlazu iz parnog kotla), prevodi u vlaznu kipucu vodu i ubacuje u kotao cime seradni ciklus parne turbine zatvara.

Slika 12.1

Zanemarujuci gubitke pri proticanju pare moze da se smatra da su pritisci pare p1 (odizlaza iz kompresora do ulaza u turbinu) i p2 (od izlaza iz turbine do ulaza u kompresor)konstantni (p1 = const i p2 = const). Gore opisan radni ciklus parne masine sa vlaznomparom kao radnim telom moze da se prikaze idealnim Carnot-ovim ciklusom u p,v i T, s-dijagramu (slika 12.2.).

Slika 12.2.

Proces 1 → 2 odgovara izobarno-izotermnom dovodjenju toplote q1 pri cemu se odvi-jaju procesi isparavanja, sirenja i povecavanja stepena suvoce vlazne pare u kotlu parnemasine (od x=0 do x=1). Tokom procesa 2 → 3 suva para se adijabatski siri u turbini ipostaje vlazna. U procesu 3 → 4 dolazi do izobarno-izotermnog odvodjenja toplote q2 ukondenzatoru. Sabijanje vlazne pare od pritiska p2 do pritiska p1 vrsi se tokom adijabatkogprocesa 4 → 1 u kompresoru, pri cemu se maksimalno povecava njena vlaznost a radnotelo vraca u pocetno stanje.

176

KTI Carnot-ovog ciklusa ne zavisi od prirode radnog tela, i u slucaju Carnot-ovogciklusa sa vlaznom parom KTI se izracunava na osnovu poznatog izraza (3.28):

ηc =T1 − T2

T1= 1− T2

T1.

S obzirom da se dovodjenje i odvodjenje toplote vrsi tokom izobarnog (izobarno-izoterm-nog) procesa na osnovu jednacine I zakona termodinamike za fluidne struje (δq = di−vdp),sledi da se dovedena (q1) i odvedena (q2) kolicina toplote mogu da izraze preko razlikeentalpije (i) krajnjih tacaka procesa.

q1 =∫ 2

1

di = i2 − i1 (12.1)

i

q2 =∫ 4

3

di = i4 − i3 = −(i3 − i4), (12.2)

tako da se TKI Carnot-ovog ciklusa za zasicenu paru moze da napise u obliku

η =(i2 − i1)− (i3 − i4)

i2 − i1= 1− i3 − i4

i2 − i1. (12.3)

Bez obzira na relativno uzak temperaturski interval od najnize (T2 ≈ 300K) do najvise(T1 ≈ 620)K temperature, * TKI Carnot-ovog ciklusa sa pretpostavljenim radnim temper-aturskim intervalom, bio bi sasvim zadovoljavajuci (ηc = 0.52).

Medjutim, s obzirom da se kod Carnot-ovog ciklusa proces delimicnog kondenzovanjazavrsava u tacki 4 (slika 12.2.) gde je specificna zapremina relativno velika, radna zaprem-ina i dimenzije kompresora su veliki, u poredjenju s dimenzijama turbine tako da se narad kompresora trosi iznad 30% rada parne turbine, (odnos korisnog rada parne turbine irada utrosenog za pogon kompresora predstavljen je odnosom povrsina 1′234 i 3′411′ naslici 12.2) na slici 12.2 u p,v-dijagramu. Na osnovu prethodnog sledi da je, bez obzira stoje TKI Carnot-ovog ciklusa za parnu toplotnu masinu relativno visok, ukupna efikasnost iekonomicnost takve parne ma v sine relativno mala, zbog toga se parne masine koje radepo Carnot-ovom ciklusu sa vlaznom parom ne primenjuju u praksi.

12.2. Rankine-ov ciklus za zasicenu paru

Neki nedostaci parnih masina koje rade po Carnot-ovom ciklusu sa vlaznom zasicenomparom, mogu da se eliminisu ako bi se na primer, odvodjenje toplote u kondenzatoru vrsilodo potpunog kondenzovanja vlazne pare u vodu (tacka 4 na slici 12.4.) U datom slucajupovecanje pritiska od p2 do p1 ne bi se vrsilo na vlaznoj pari vec na vodi mnogo manjespecificne zapremine i kompresibilnosti, tako da bi se umesto kompresora (5-na slici 12.1)koristila vodena pumpa, mnogo manjih dimenzija u odnosu na kompresor, za ciji rad bise utrosilo svega oko 1% rada parne turbine sa p,v dijagrama, na slici 12.4, vidi se da jekoristan rad parne turbine (pov. 1′234) mnogo veci od rada (pov.1′144′) za pogon vodenepumpe. S obzirom na malu kompresibilnost vode povecanje pritiska od p2 do p1 se vrsipri skoro konstantnoj specificnoj zapremini, tj. izohorski (umesto adijabatskog sabijanjau slucaju Carnot-ovog ciklusa za vlaznu zasicenu paru).

* Temperatura vode u kriticnoj tacki (tacka K u p,v i T,s dijagramu na slici 12.2) iznosiT = 647,3 K′

177

Prethodni nedostaci odstranjeni su kod parnih toplotnih masina (par-nih turbina) kojerade po tzv. Rankine-ovom ciklusu, sa zasicenom parom kao radnim telom i potpunimkondenzovanju pare pri odvodjenju toplote.

Principijelana sema toplotne parne turbine koja radi po Raukine-ovom ciklusu prika-zana ja na slici 12.3.

Razlika u odnosu na principijelnu semu toplotne masine koje bi radile po Carnot-ovom ciklusu je (slika 12.3) u tome sto se umesto kompresora koristi vodena pumpa (5) zaizohorsko povecanje pritiska vode (kondenzata) od p2 do p1. Na izlazu iz vodene pumpepara (pritiska p1) ima za svega nekoliko stepeni visu temperaturu (T ′2) od temperature T2

na ulazu u pumpu. Zbog toga se za dodatno zagrevanje vode (od temeperature T ′2 do T1)pre ulaza u kotao (1) koristi dogrevac (6). Dodatno zagrevanje se postize koriscenjem paresa izlaza kotla.

Slika 12.3.

Idealan Rankine-ov ciklus toplotnih parnih turbina sa zasicenom parom i pot-punom kondenzacijom pri odvodjenju toplote* prikazan je u p,v- i T, s-dijagramuna slici 12.4.

Slika 12.4.

Proces 1 → 2 odgovara izobarno-izotermnom dovodjenju toplote q′1, pri cemu se odvi-jaju procesi isparavanja, sirenja i povecavanja stepena suvoce (od x=0 do x=1) zasicene

* U slucaju klipnih parnih toplotnih masina (parne masine) takav ciklus se naziva Majer-ov ciklus

178

vlazne pare u kotlu (1) parne turbine. Tokom procesa 2 → 3 suva zasicena para se adi-jabatski siri u turbini (2), povecava vlaznost, opada temperatura i pritisak. Odvodjenjutoplote q2 pri potpunoj kondenzaciji pare u kondenzatoru (4) i maksimalno povecanjevlaznosti (do x=0) vrsi se tokom izobarno-izotermnog procesa 3 → 4. Povecanje pritiskavode (kondenzata) od p2 do p1 vrsi se pomocu vodene pumpe (5) u izohornom procesu4 → 1′. Dovodjenje toplote q′′1 pri dogrevanju vode temperature od T ′2 do temperature T1

u dogrevacu (6) vrsi se pri izohornom procesu 1′ → 1.S obzirom da je razlika temperature T ′2 − T2 vrlo mala (∼ 1K) tacke 4 i 1′ ( u T, s-

i i,s- dijagramu na slikama 12.4 i 12.5) se realno skoro poklapaju, a izobara (p1 = const)u procesu 1′ → 1 se skoro poklapa sa delom granicne krive 4-1. S druge strane, s obziromda je kompresibilnost vode mala i da je nagib levog dela granicne krive u p,v- dijagramuveliki, specificne zapremine u tackama 4 i 1′ i 1 su priblizno jednake v4 ≈ v1′ ≈ v1

Slika 12.5.

Na osnovu jednacine I zakona termodinamike za fluidne struje (δq = di− vdp) dove-dene (q1) i odvedene (q2) kolicine toplote pri izobarnim (izobarno-izotermnim) procesimamogu da se izraze preko razlike entalpija (i) u krajnjim tackama odgovarajucih procesa(qp=const = ∆i).

Kod Rankine-ovog ciklusa kolicina toplote q1 dovodi se radnom telu tokom dva proce-sa; na prethodno dogrevanje vode tokom izobarnog procesa 1′ → 1 (q′1 = i1 − i′1) i tokomizobarno-izotermnog procesa 1 → 2 (q′′1 = i2 − i1) i jednaka je njihovom zbiru

q1 = q′1 + q′′1 = (i1 − i′1) + (i2 − i1) = i2 − i′1 (12.4)

Odvedena kolicina toplote q2, pri potpunom kondenzovanju pare tokom izobarno-izoterm-nog procesa 3 → 4, moze da se izrazi preko razlike entalpije u tackama 4 i 3 datog procesa:

q2 = i4 − i3 = −(i3 − i4). (12.5)

Na osnovu (12.4) i (12.5) TKI Rankine-ovog ciklusa dat je izrazom

ηR

=q1 − |q2|

q1=

(i2 − i′1)− (i3 − i4)i2 − i′1

(12.6)

179

S obzirom da se tacke 4 i 1′ ( prikazane u T,s- i i,s- dijagramu na slikama 12.4 i 12.5) skoropoklapaju (i4 ≈ i′1), TKI Rankine-ovog ciklusa moze da se prikaze u pojednostavljenomobliku

ηR ≈ i2 − i3i2 − i4

. (12.7)

Uporedimo TKI idealnog Rankine-ovog ciklusa za zasicenu paru sa TKI Carnot-ovogciklusa za zasicenu paru pri jednakim maksimalnim (T1) i minimalnim (T2) temperatu-rama. Kolicine toplote koje su pri datoj maksimalnoj temepraturi i pritisku potrebne zaisparavanje vode i dovodjenje vlazne zasicene pare u stanje suve zasicene pare jednakasu za oba ciklusa. Medjutim, kod Rankine-ovog ciklusa dovodjenje dodatne toplote zadogrevanje vrsi se pri znatno nizoj temperaturi od maksimalne temperature ciklusa; tem-peratura vode raste do temperature (T2) pri kojoj pocinje isparavanje pri datom pritisku.Znaci srednja temperatura pri kojoj se dovodi toplota kod Rankine-ovog ciklusa niza jeod temperature (T2) pri kojoj se dovodi toplota kod Carnot-ovog ciklusa, tako da je sateorijskog stanovista TKI Rankine-ovog ciklusa manji od TKI Carnot-ovog ciklusa, sto jetrebalo i da se ocekuje. Medjutim, kada se uzme u obzir da su znatno smanjeni gubici naireverzibilnim procesima pri povecanju pritiska vode u vodenoj pumpi u odnosu na procesesabijanja u kompresoru (rad za pogon vodene pumpe je priblizno 30 puta manji od rada zapogon kompresora) ukupna efikasnost i ekonomicnost toplotne parne turbine koja radi poRankine-ovom ciklusu sa zasicenom parom je nesto visa u poredjenju sa toplotnom parnomturbinom koja radi po Carnot-ovom ciklusu.

12.3. Rankine-ov ciklus za pregrejanu paru

TKI Rankine-ovog ciklusa za zasicenu paru moze da se poveca ukoliko se dovodjenjetoplote zasicenoj pari nastavi tako da se radno telo prevede u pregrejanu paru.

Rad parne turbine po Rankine-ovom ciklusu za pregrejanu paru i njena principijelnasema (slika 12.6) razlikuju se od rada i principijelne seme Rankine-ovog ciklusa za zasicenuparu po tome sto se suva zasicena para na izlazu iz kotla (1) usmerava u poseban deoparnog kotla tzv. pregrevac (2) gde se dalje zagreva (pregreva) pri izobarnom procesu dotemperature koja je iznad temperature zasicenja pri datom pritisku, odnosno prevodi u tzv.pregrejanu paru. U ovom slucaju na turbinu (3) pada pregrejana para i pri adijabatskomsirenju transformise svoju kineticku energiju u mehanicki rad a zatim u elektricnu energijuu generatoru (4) elektricne struje.

180

Slika 12.6.

S obzirom da je pritisak znatno snizen, a temperatura opala ispod temperature zasice-nja, pri datom pritisku, na izlazu iz turbine para je vlazna i zasicena. Pri konstantnompritisku i temperaturi para predaje toplotu kondenzatoru (5) pri cemu se izvrsi potpunakondenzacija. Pomocu vodene pumpe (6) povecava se pritisak (od p2 do p1) vode (konden-zata) i preko dogrevaca (7), gde se vrsi dogrevanje vode (pri p1 = const) i prevodjenje ustanje vlazne zasicene pare, zatim ubacuje u kotao (1). Usled dovodjenja toplote, u kotluse odvija izobarno-izotermno isparavanje vode i povecavanje stepena suvoce sve dok se nedobije suva zasicena para.

Idealan ciklus toplotne parne turbine sa pregrejanom parom- Rankine-ov ciklusza pregrejanu paru prikazan je na slici 12.7 (u p,v- i T, s -dijagramu) i (u i,s-dijagramu)na slici 12.8.

Idealan Rankine-ov ciklus za pregrejanu paru razlikuje se od idealnog Rankine-ovogciklusa za zasicenu paru po tome sto se u izobarnom procesu 6 → 1 suva zasicena para(iz kotla 1 na slici 12.6) prevodi u pregrejanu paru temperature Tp, dovodjenjem dodatnekolicine toplote q′′′1 (u pregrevacu 2) i sto adijabatsko sirenje i vrsenje rada u procesu 1 → 2(u turbini 4) pocinje sa pregrejanom parom a zavrsava sa zasicenom parom male vlaznosti,tj. velikog stepena suvoce (tacka 2 je vrlo blizu desne granicne krive); kod Rankine-ovogciklusa adijabatsko sirenje pocinje sa suvom zasicenom parom a zavrsava (u tacki 2′) sazasicenom parom vece vlaznosti, odnosno manjeg stepena suvoce (tacka 2′ se nalazi nakrivoj manjeg stepena suvoce u odnosu na tacku 2).

181

Slika 12.7.

Preostali deo procesa Rankine-ovog ciklusa za pregrejanu paru je iden-tican procesimau Rankine-ovom ciklusu za zasicenu paru: 2 → 3 odgovara izobarno-izotermnom odvod-jenju toplote q2 pri kondenzaciji u kondenzatoru (5); 3 → 4 - izohornom povecanju pritiskakondenzata u vodenoj pumpi (6); 4 → 5 - izobarnom dovodjenju toplote q′1 u dogrevacu(7); 5 → 6 - izobarno-izotermnom dovodjenju toplote q′′1 za isparavanje i povecanje stepenasuvoce vlazne zasicene pare u kotlu (1).

Ukupna kolicina toplote q1, koja je dovedena radnom telu tokomRankine-ovog ciklusa za pregrejanu paru, jednaka je zbiru kolicina toplote koje su dovedenetokom izobarnog procesa 4 → 5 (q′1 = i5 − i4), izobarno-izotermnog procesa 5 → 6 (q′′1 =i6 − i5) i izobarnog procesa 6 → 1 (q′′′1 = i1 − i6) :

q1 = q′1 + q′′1 + q′′′1 = i1 − i4. (12.8)

Odvedena kolicina toplote q2 (tokom izobarno-izotermnog procesa 2 → 3) iznosi

q2 = i3 − i2 = −(i2 − i3). (12.9)

Koristan rad ciklusa lk jednak je razlici rada turbine

lT = i1 − i2 (12.10)

i rada za pogon vodene pumpelp = i4 − i3, (12.11)

odnosno:lk = lT − lp = (i1 − i2)− (i4 − i3). (12.12)

Dovedena kolicina toplote (q1), odvedena kolicina toplote (q2) i vrednost korisnog radaciklusa (lk) srazmerni su odgovarajucim otseccima na i-osi i,s-dijagrama (na slici 12.8).

182

TKI Rankine-ovog ciklusa za pregrejanu paru, na osnovu (12.8), (12.9) i (12.13) dat jeizrazom

η =lkq1

=q1 − |q2|

q1=

(i1 − i4)− (i2 − i3)i1 − i4

=(i1 − i2)− (i4 − i3)

i1 − i4. (12.13)

Slika 12.8.

Uzimajuci u obzir da je, zbog prakticne nestisljivosti vode (kondenzata), adijabatskopovecanje pritiska (od p2 do p1) skoro izohoran proces (v3 ≈ v4), na osnovu I zakonatermodinamike za fluidne struje (δq = di − vdp) sledi da je promena entalpije tokomprocesa 3 → 4 jednaka utrosenom radu za pogon vodene pumpe (12.11)

i4 − i3 =∫ 4

3

vdp = v3(p1 − p2) = lk. (12.14)

Na osnovu izraza (12.4) izraz (12.3) za TKI Rankine-ovog ciklusa za pregrejanu parumoze da se napise u obliku

η =(i1 − i2)− v3(p1 − p2)

i1 − i4=

(i1 − i2)− v3(p1 − p2)(i1 − i3)− v3(p1 − p2)

. (12.15)

S obzirom da se entalpije u tackama 3 i 4 skoro poklapaju (pogledaj prethodnopoglavlje i sliku 12.7) i3 ≈ i4, na osnovu (12.4) sledi da je rad za pogon vodene pumpezanemarljiv (lp ≈ 0) tako da izrazi (12.3) i (12.5) za TKI Rankine-ovog ciklusa mogu dase predstave u aproksimativnom i pojednostavljenom obliku

η ≈ i1 − i2i1 − i3

, (12.16)

primenljivom za slucaj kada razlika pritisaka p1 − p2 nije suvise velika (odnosno kada jei3 ≈ i4). TKI Rankine-ovog ciklusa jednostavno se odredjuje koriscenjem i,s-dijagrama ilitablica termodinamickih parametara sta-nja vodene pare.

Uporedimo TKI Rankine-ovog ciklusa za zasicenu i pregrejanu vodenu paru pri istimvrednostima najnize temperature (T1) ciklusa i istim istim vrednostima temperature (T2)

183

pri kojoj dolazi do isparavanja [tj. pri istim vrednostima najnizih (p2) i istih vrednostimapritisaka (p1) pri kojim dolazi do isparavanja]. Srednja vrednost temperature pri kojojse dovodi toplota radnom telu u slucaju Rankine-ovog ciklusa za pregrejanu paru visaje od odgovarajuce srednje vrednosti temperature pri kojoj se dovodi toplota u slucajuRankine-ovog ciklusa za zasicenu paru, jer se dodatno dovodjenje toplote za prevodjenjesuve zasicene pare u pregrejanu paru vrsi pri visim temperaturama (od T2 do Tp) odtemeperature (T2) pri kojoj se ovija proces isparavanja pri datom pritisku (p2).

Osim toga, tad turbine sa pregrejanom parom (i delimicno parom male vlaznosti)olaksan je u odnosu na rad turbine sa vlaznom parom, tako da je i opste iskoriscenje, tj.efikasnost parnih turbina koje rade po Rankine-ovom ciklusu sa pregrejanom parom veciod parnih turbina koje rade po Rankine-ovom ciklusu sa vlaznom parom.

12.4. Zavisnost TKI Rankine-ovog ciklusa za pregrejanu paru od polaznih ikrajnjih parametara pare

Iz izraza (12.6) sledi da TKI Rankine-ovog ciklusa zavisi uglavnom od vrednosti en-talpije (i) u tackama 1 i 2 ciklusa, tako da raste s povecanjem i1 i smanjenjem i2, tj,s povecanjem vrednosti pocetnih parametara p1 i Tp i smanjenjem vrednosti krajnjihparametara p2 i T2 pare, pre i posle adijabatske ekspanzije u turbini i toplotne parnemasine (parne turbine); u dvofaznoj oblasti parametri p2 i T2 su vezani jer se kondenzacijazasicene pare odvija pri izobarno-izotermnom procesu. Analiza uticaja velicine osnovnihparametara na TKI Rankine-ovog ciklusa svodi se na ispitivanje uticaja pocetnog (na-jveceg) pritiska (p1), pocetne (najvece) temperature (Tp) i krajnjeg (najnizeg) pritiska(p2) ciklusa.

Slika 12.9.

Pri zadatim vrednostima parametara Tp i p2 TKI Rankine-ovog ciklusa raste s poveca-njem pocetnog pritiska p1; s porastom pocetnog pritiska od p1 na p′1 raste temperatura prikojoj se odvija proces isparavanja od T1 na T ′1 tako da raste i srednja vrednost temperaturepri kojoj se dovodi toplote radnom telu a time i TKI ciklusa (slika 12.9a i b). Medjutim,kako s porastom pritiska p1 (pri konstantnoj temperaturi Tp) raste vlaznost zasicene parena izlazu iz turbine a time otezava rad turbine treba da se poveca temepratura Tp na ulazuu turbinu. Jasno je da postoji granica do koje moze da se poveca pritisak p2 i temepraturaTp odredjena cvrstocom materijala turbine.

Pri zadatim vrednostima p1 i p2 TKI Rankine-ovog ciklusa raste s porastom pocetnetemperature Tp; s porastom pocetne temperature (od Tp na T ′p) raste srednja temperaturapri kojoj se dovodi toplota radnom telu tako da raste i TKI ciklusa (slika 12.10a i b).

U ovom slucaju bilo bi pogodno da se poveca i pocetni pritisak ali, kao u prethodnomprimeru, postoji granica odredjena cvrstocom materijala turbine.

184

Slika 12.10.

Pri zadatim vrednostima p1 i Tp TKI Rankine-ovog ciklusa raste s snizenjem konacnogpritiska p2; snizenjem pritiska p2 (od p2 na p′2) opada temepratura (od T2 na T ′2) pri kojojse odvodi toplota a time raste TKI ciklusa (slika 12.11a i b).

Slika 12.11

Snizenje konacnog pritiska ispod p2 = 4kPa ograniceno je temperaturom vode zahladjenje (25-300 C). Osim toga, s daljim snizenjem pritiska p2 raste specificna zapreminapare sto iziskuje koriscenje kondenzatora vecih dimenzija.

Iz prethodne analize uticaja parametara pare na TKI Rankine-ovog ciklusa sledi dapre svega treba da se tezi povecanju vrednosti pocetnih paramatara pare (do granice odred-jene cvrstocom materija turbine). Medjutim, pokazalo se da je mogucnost povecanjaTKI Rankine-ovog ciklusa putem pogodnog izbora pocetnih i krajnjih parametara pareogranicen. Dalje povecanje TKI parnih turbina moze da ide u pravcu priblizenja kon-figuracije Rankine-ovog ciklusa Carnot-ovom ciklusu: regeneracijom toplote, visestepenimpregrejavanjem pare i primenom tzv. binarnih ciklusa.

12.5. Usavrseni ciklusi toplotnih parno-turbinskih postrojenja

12.5.1. Ciklusi sa sukcesivnim (visestepenim) pregrevanjem pare

Da bi se povecao ukupni TKI parno-turbinskih postrojenja jedan od nacina je dase smanji vlaznost odnosno poveca stepen suvoce (do 0.86 -0.88) pare na izlazu iz tur-bine a time olaksa rad turbine. Ovaj cilj je ostvaren primenom ciklusa sa sukcesivnim(visestepenim) pregrevanjem pare (slika 12.12b). Principijelna sema uredjaja data je naslici 12.12a. Vodenoj pari, koja je isparila iz kotla (1) tokom izobarno-izoternmog procesa4 → 5 dovodi se toplota u dogrevacu (2) tokom izobarnog procesa 5 → 1. Pregrejana parase adijabatski siri u parnoj turbini (3) visokog pritiska u procesu 1 → A a zatim usmeravau dodatni pregrevac (4) gde joj se predaje dodatna kolicina toplote u izobarnom procesuA → 1′. U drugoj turbini (5) niskog pritiska vrsi se adijabatsko sirenje (proces 1′ → 2′) azatim preko kondenzatora (7) i pumpe (8) kondenzat vraca u kotao. Stepen suvoce parena izlazu iz prve (x = 1) u drugu turbinu (x < 1) je povecan u odnosu na vrednost koju biimala po zavrsetku adijabatskog procesa 1 → 2 bez sukcesivnog (visestepenog) pregrevanjapare.

185

Slika 12.12.

Osim toga povecava se i TKI ciklusa u odnosu na Rankine-ov ciklus bez sukcesivnogpregrevanja pare. U praksi se primenjuju ciklusi sa vise sukcesivnih pregrevanja.

12.5.2. Ciklus parne turbine sa regeneracijom

TKI ciklusa toplotnih parnih turbina, kao u slucaju ciklusa gasnih turbina, mozeznatno da se poveca primenom regeneracije toplote. Sva savremena parno-turbinska post-rojenja zasnivaju svoj rad na ciklusima sa regeneracijom toplote.

Razmotrimo sustinu regenerativnog ciklusa na primeru jednostavnijeg, Rankine-ovogciklusa za zasicenu paru (slika 12.13a).

Ako bi se u ovom ciklusu (1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 1) proces adijabatskog sirenjapare 1 → 2 zamenio politropskim procesom 1 → 2′ (tako da linije 1-2 i 5-3(4) buduekvidistantne) a sva kolicina toplote odvedena od pare u procesu 1 → 2′ iskoristila zadogrevanje vode (kondenzata) u procesu 3(4) → 5 tada bi se dobio regenerativni ciklus1 → 2′ → 3(4) → 5 → 1. Ocigledno je da bi takav regenerativni ciklus imao isti TKI kaoCarnot-ov ciklus 1 → 2 → 3′ → 5 → 1 iste vrednosti najvise (T1) i najnize temperature(T2); u oba ciklusa su jednake dovedene kolicine toplote od spoljnjeg izvora radnom telukao i kolicine toplote koje su od radnog tela predate hladnjaku. Medjutim, prakticnoje nemoguce da se ostvari, gore navedeni, regenerativni ciklus, zbog toga sto je prakticnonemoguce da se izvede proces sirenja 1 → 2′ sa neperkidnim odvodjenjem toplote. Takvomprocesu mo zemo da se priblizimo preko niza adijabatskih i izobarno-izotermnih procesa.

a bSlika 12.13

Proces ukupne regeneracije ostvarivao bi se preko niza parcijalnih vise-stepenih re-generativnih procesa. Dvostepeni regenerativni ciklus prikazan je na slici 12.13b. Posleprocesa (1 → A) adijabatskog sirenja pare izobarno-izoternmim hladjenjem (A → B) odvlazne pare se odvodi toplota q′reg i predaje vodi (kondenzatu) u procesu E → F. Vlaznapara stanja B adijabatski se siri (proces B → C) a zatim izobarno-izotermnim hladjenjem(proces C → D) od vlazne pare se odvodi toplota q′′reg i predaje kondenzatu u procesu3(4) → E. Samo se u procesu F → 5 kondenzat dogreva na racun toplote spoljnjeg izvora.

186

a bSlika 12.14

U gore opisanom ciklusu, proces regenerativnog dogrevanja kondenzata (3(4) → E iE → F ) i dogrevanja na racun toplote spoljnjeg izvora (F → 5) odvijalo bi se s manjomtemperaturskom razlikom nego da se dogrevanje vrsi tokom celog procesa (3(4) → 5) naracun toplote spoljnjeg izvora. Time bi se smanjili gubici toplote zbog ireverzibilnostiprocesa i povecao TKI parne turbine. Regenerativni Rankine-ov ciklus za pregrejanu paru(slika 12.14a) slican je regenerativnom Rankine-ovom ciklusu za zasicenu paru. Jasno je dabi cak i u slucaju idealnog Rankine-ovog ciklusa sa pregrejanom parom TKI bi bio manjiod Carnot-ovog za iste vrednosti granicnih temperatura.

Principijela sema parno-turbinskog postrojenja koje radi po visestepe-nom regenera-tivnom Rankine-ovom ciklusu za pregerejanu paru prikazana je na slici 12.14b.

Pregrejana para iz pregrevaca (2) ulazi u turbinu (3) gde se, za razliku od odgo-varajuceg neregenerativnog ciklusa, posle adijabatskog sirenja i vrsenja dela mehanickograda jedan deo pare iz prvog stepena turbine odvodi u razmenjivac toplote- regenerativnidogrevac (5) i preko pumpe (6) odvodi u kotao (1). Slicno se desava pri ostalim stepenimaregeneracije. Posle izlaza iz poslednjeg stepena turbine preostali deo iskoriscene pare hladise u kondenzatoru (7) i preko pumpe (6) ubacuje u kotao (1). S obzirom da u jednomregenerativnom ciklusu ucestvuje samo jedan deo radnog tela, prikazivanje regenerativnihciklusa u T, s-dijagramu je uslovno.

U praksi se koriste od 3 do 8 stepena regeneracije u zavisnosti od potrebne snagei parametara pare parne turbine. Bez obzira na to sto se u stepenima turbine iskoristiza vrsenje mahanickog rada samo deo toplotne energije pare, zbog smanjenja gubitakana ireverzibilne procesa dovodjenja toplote pri regenerativnom dogrevanju, primenomvisestepenog regenerativnog ciklusa kod parno-turbinskih postrojenja povecava se TKIza 10− 15%.

12.5.3. Binarni ciklusi

Da bi se povecala srednja temperatura pri dovodjenju toplote i na taj nacin povecaoTKI ciklusa bilo bi pogodno da se koristi radno telo visoke temperature zasicenja pri sred-njim pritiscima. Voda kao radno telo ima relativno nisku kriticnu temperaturu (374, 150C)visok kritican pritisak (22,115 MPa) i nije pogodno za takve ciljeve. Medjutim, nije nadjenotakvo radno telo koje bi zadovoljilo gore postavljene uslove a u oblasti nizih temeperatura(20 − 500C) moglo da se kondenzuje. Na primer, nadjeno je da zivine zasicene pare pritemperaturi od 5500 C imaju pritisak od 1,5MPa tako da bi mogle da se koriste za visetemperature, (kriticna temperatura zive iznosi 14200 C) ali pri uobicajenom konacnompritisku (p2 ≈ 4kPa) temperatura zivine pare bila bi suvise visoka t2 ≈ 2170C).

187

Slika 12.15.

Razradjena je i primenjena ideja slozenog ciklusa sa dva radna tela (razlicitih svojstva)od kojih jedno radi u oblasti visokih temperatura (na primer ziva) a drugo u oblasti niskihtemperatura (obicna voda). U ovom slucaju kondenzator visokotemperaturskog radnogtela sluzi kao parni kotao, odnosno generator, vodene para.

Principijelna sema i odgovarajuci binarni ciklus u T,s-dijagramu prikazani su na slici12.15.

Zivina para, koja je obrazovana u kotlu (1), ulazi u turbinu (3) gde se posle adija-batskog sirenja i vrsenja mehanickog rada usmerava u kondenzator -generator vodene pare(4) gde se kondenzuje i odaje toplotu za obrazovanje vodene pare. Obrazovana vodenapara se preko pregrevaca (2) usmerava u turbinu (5) gde se adijabatski siri uz vrsenjemehanickog rada. Iskoriscena vodena para se hladi u kondenzatoru (6) i pumpom (7)vraca u kondenzator-generator vodene pare (4). Crticastim linijama prikazana je konturazivine pare kao i ciklus zivine pare u T, s-dijagramu.

Kako se vidi sa slike, binarni ciklus je blizak Carnot-ovom ciklusu. TKI binarnogciklusa dostize 0.85-0.95 od TKI Carnot-ovog ciklusa odnosno 0.60-0.70 po apsolutnojvelicini.

Binarni ciklusi sa zivom i vodom kao radnim telima nasli su primenu u nekim parno-turbinskim postrojenjima. Medjutim, vrse se jos uvek ispitivanja u cilju nalazenja pogod-nijih radnih tela.

188

Primer 12.1. Odrediti TKI parne turbine koja radi po idealnom Rankine-ovom cik-lusu za pregrejanu paru (slika 12.7) ako pocetna temperatura i pritisak iznose t1 = 5000Ci p1 = 2, 0MPa a krajnji pritisak pare na izlazu iz turbine je p2 = 0, 01MPa.

resenje: TKI idealnog Rankine-ovog ciklusa za pregrejanu paru iznosi (12.6)

η =i1 − i2i1 − i3

. (P12.1.1)

Na osnovu tablice za velicine stanja pregrejane pare (prilog) za temperaturu od t1 = 5000Ci pritisak p1 = 2, 0MPa = 20 · 105Pa = 20bara dobija se da je v1 = 0, 1756m3/kg, i1 =3467kJ/kg i s1 = 7, 429kJ/kgK. Entalpija i2 vlazne zasicene pare pri pritisku p2 =0, 01MPa = 0, 1bara dobija se na osnovu tablice za velicine stanja kljucale vode i suvepare u zavisnosti od pritiska i izraza (6.95):

i2 = i′2 + x · r2 = i′2 + x(i′′2 − i′2), (P12.1.2)

gde je (6.98) stepen suvoce

x =v − v′

v′′ − v′=

s− s′

s′′ − s′. (P12.1.3)

Iz tablica se dobija t2 = 45, 820C, v2 = 1, 0103dm3

kg , v′′2 = 14, 70m3/kg,

i′2 = 191, 83kJ/kg, i′′2 = 2584kJ/kg, s′2 = 0, 6492kJ/kgK i s′′2 = 8, 149kJ/kgK. Kako setacka 2 nalazi na istoj izoentropi sa tackom 1 tj. s = s2 = s1 sledi da u tacki 2 stepensuvoce x iznosi:

x =s2 − s′2s′′2 − s′2

=s1 − s′2s′′2 − s′2

=7, 429− 0, 64928, 149− 0, 6492

= 0, 904,

tako da je na osnovu (P12.1.2) entalpija u tacki 2

i2 = i′2 + x(i′′2 − i′2) = 191, 83 + 0, 904(2584− 191, 83) = 2354kJ/kg.

Kako se tacka 3 nalazi na donjoj granicnoj krivoj sledi:

i3 = i′2 = 191, 83KJ/kg ≈ 192kJ/kg,

tako da TKI datog idealnog Rankine-ovog ciklusa za pregrejanu paru iznosi:

η =i1 − i2i1 − i3

=3467− 23543467− 192

= 0, 340.

Do istog rezultata moze (brze) da se dodje na osnovu i,s-dijagrama za vodenu paru (prilog).Da bi se razumeo postupak nalazenja entalpije u datim tackama ciklusa, pogledati sliku P12.1. U preseku izoterme t1 = 5000C i izobare p1 = 2, 0MPa nalazi se tacka 1. Sa ordinatese ocita entalpija za ovu tacku i2 ≈ 3470kJ/kg. Ordinatna tacka 1 daje vrednost entapijes1 = s2 = 7, 43kJ/kgK. U preseku izoentrope s1 = s2 = 7, 43kJ/kgK i izobare p2 =0, 01MPa nalazi se tacka 2. Sa ordinate se ocita entalpija date tacke: i2 = 2360kJ/kg.Podatak za entalpiju i3 = i2 = 192kJ/kg na donjoj granicnoj krivoj moze da se dobije iztabele za vlaznu vodenu paru jer se vrednosti za entalpiju ispod 2000 J/kg ne nalaze nagrafiku. Graficki se dobija da je η = 0, 339 ≈ 0, 34

189

Slika P12.1.

Primer 12.2 Odrediti velicinu promene temperature pregrejavanja vodene pare u pre-grejacu da bi se povecao stepen suvoce pare na kraju procesa adijabatskog sirenja u turbiniza ∆x = 0, 10 kao i promenu TKI ciklusa. Parametri datog (Rankine-ovog) ciklusa zapregerjanu paru su p1 = 3MPa, t1 = 3200C i p2 = 0, 005MPa.

resenje: Podaci iz tablica za velicine stanja pregrejane pare (prilog ) za pritisak p1 =3MPa = 30bara i temperaturu pregrejane pare t1 = 3200C su v1 = 0, 08502m3/kg, i1 =3038kJ/kg i s1 = 6, 615kJ/kgK. Na kraju procesa adijabatskog (izoentropnog) sirenja dopritiska p2 = 0, 005MPa = 0, 05bara entropija je ostala nepromenjena (slika P 12.2) s2 =s1 = 6, 615kJ/kgK. Iz tablica za velicine stanja kljucale vode i suve pare u zavisnosti odpritiska (prilog) dobija se za pritisak p2 = 0, 05bara, ts = 32, 880C, v′2 = 1, 0053dm3/kg,v′′2 = 28, 23m3/kg, i2 = 137, 74kJ/kg, i′′2 = 2561kJ/kg, s′2 = 0, 4760kJ/kgK i s′′2 =8, 394kJ/kgK. Na osnovu izraza (6.98) stepen suvoce pri entropiji s2 = s1 = 6, 615kJ/kgiznosi

x1 =s2 − s′2s′′2 − s′2

=s1 − s′2s′′2 − s′2

=6, 615− 0, 47608, 394− 0, 4760

= 0, 775.

Da bi se stepen suvoce povecao na vrednost x∗1 = x1+∆x = 0, 775+0, 10 = 0, 875 entropijatreba da se poveca na vrednost

s∗2 = s∗1 = s′2 + (s′′2 − s′2) · x∗1 = 0, 4760 + (8, 394− 0, 4760) · 0, 875 =

= 7, 404kJ/kg ≈ 7, 40kJ/kgK.

190

.

Slika P 12.2Za datu vrednost entropije s∗1 ≈ 7, 400kJ/kgK i pritisak zasicene pare od p1 = p∗1 =

3MPa = 30bara, iz tabele za pregrejanu paru (prilog) dobija se temperatura pregrejanepare t∗1 = 5600C kao i v∗1 = 0, 1260m3/kg, i∗1 = 3592kJ/kg. Znaci temperatura mora da sepoveca za ∆t1 = t∗1 − t1 = 560− 320 = 2400C. Za x1 = 0, 775 sledi

i2 = i′2 + (i′′2 − i′2) · x1 = 137, 74 + (2561− 137, 74) · 0, 775 =

= 2015, 7665kJ/kg ≈ 2016kJ/kg,

a za x∗1 = 0, 875 sledi

i∗2 = i′2 + (i′′2 − i′2) · x∗1 = 137, 74 + (2561− 137, 74) · 0, 875 =

= 2258, 0925kJ/kg ≈ 2258kJ/kg,

TKI ciklusa u slucaju kada je t1 = 3200C(x1 = 0, 775) iznosi (12.6)

η1 =i1 − i2i1 − i3

=i1 − i2i1 − i′2

=3038− 2016

3038− 137, 74= 0, 352,

a TKI ciklusa kada je t∗1 = 5600C(x∗1 = 0, 875) je

η∗1 =i∗1 − i∗2i∗1 − i′2

=3592− 2258

3592− 137, 74= 0, 386.

Znaci TKI ciklusa se povecao za 9, 6%.

191

13. RASHLADNI UREDJAJI (SISTEMI)

13.1. Ciklusi rashladnih masina i termo-pumpi

Hladjenje tela do temperatura ispod temperature okolne sredine i njihovo odrzavanje uohladjenom stanju tokom duzeg vremena je osnovni zadatak tehnike hladjenja. Dobijanjemi odrzavanjem niskih temperatura do 170 K bavi se tzv. tehnika umerenog hladjenja;od 170-70 K - tehnika dubokog hladjenja a od 70 -0,3 K kriogena tehnika. Zadobijanje temperatura do 0,0008 K koristi se tehnika magnetnog hladjenja (adijabatskorazmagnetisavanje paramagnetnih soli) ili tehnika nuklearnog hladjenja. U poslednjevreme razradjuje se metod dobijanja niskih temperatura (0,01-0,02 K) rastvaranjem tecnogHe3 u tecnom He4.

U tehnici umerenog hladjenja dobijanje niskih temperatura postize se koriscenjem rad-nih tela cija je kriticna temperatura iznad temperature okolne sredine (200 C) (amonijak,ugljen dioksid, freon-12, freon-22 itd). Prevodjenje ovih gasova u tecnost (likvefikacija)se desava pri temperaturama iznad 00 C tako da se za odvodjenje toplote kondenzacijekoristi protocna voda ili vazduh. Koriscenjem kompresorskih rashladnih masina u tehniciumerenog hladjenja, osim postizanja i odrzavanja umereno niskih temperatura, moze dase izvrsi likvefikacija hlora i separacija nekih gasova.

U tehnici dubokog hladjenja kao radno telo koristi se metan, kiseonik, argon, azoti drugi. Tehnika dubokog hladjenja primenjuje se za separaciju gasnih smesa (na primervazduha), dobijanje cistih gasova (O2, N2, Ar,Kr,Xe, He, H2, C2H4 i drugi) kao i za likve-fikaciju gasova (CH4, O2, N2, Ar, F i drugi).

U kriogenoj tehnici dobijanje niskih temperatura postize se likvefikacijom neona,vodonika i helijuma.

Osim primena u industriji, rudarstvu, transportu i domacinstvu rashladne masine irashladni sistemi koriste se u naucnim laboratorijama za hladjenje uzoraka pri istraziva-njima do vrlo niskih temperatura blizu apsolutne nule.

Rashladni sistemi mogu da se uslovno podele na rashladne masine i termo-pumpe,zavisno od toga da li je cilj hladjenje tela nize temperature ili zagrevanje tela vise temper-ature.

Rashladne masine rade na principu inverznog (levokretnog) ciklusa. Kod inverznogciklusa se putem ulaganja energije predaje toplota od tela nize ka telu vise temperature(slika 13.1 ). Pri tome je rad utrosen na sabijanje radnog tela veci od rada koji izvrsiradno telo pri sirenju. Razradjen je niz tipova rashladnih masina i termo-pumpi. Kodgasnih (vazdusnih) i parnih kompresionih rashladnih masina ulaze se mehanicki rad, kodejektorskih i apsorpcionih - toplotna energija, kod termo-elektricnih i termo-magnetnih-elektricna energija. Kod ejektorskih rashladnih masina umesto kompresora sabijanjeradnog tela (pare) postize se koriscenjem kineticke energije struje pare dobijene iz kotlana racun ulozene toplotne energije.

U odnosu na prirodu radnog tela rashladne masine uslovno se dele, u osnovnom naa) gasne (ili vazdusne) - kod kojih se radno telo gas ( ili vazduh) nalazi u stanju daleko

od linije zasicenja ib) parne - kod kojih je radno telo para razlicitih gasova.

Parne rashladne masine se dele na parnokompresorske, parnoejektorske i apsorpcione.Posebnu grupu cine termo-elektricne i termo-magnetne rashladne masine ciji je rad zasno-van na Peltije-ovom i Etinghansen-ovom efektu respektivno. U ovim tipovima rashladnihmasina ne koristi se radno telo u klasicnom smislu. Za dobijanje vrlo niskih temperaturakoriste se rashladne masine i sistemi koji su zasnovani na efektu adijabatskog razmagneti-savanja paramagnetskih soli. U tehnici niskih temperatura, zavisno od toga da li je ciljhladjenja razlicitih objekata ili likvefikacija gasova, ciklusi rashladne masine se uslovnodele na refriziderske cikluse i likvefikacione cikluse, respektivno.

192

.

Slika 13.1.

Kao sto je u slucaju toplotnih masina direktan Carnot-ov ciklus najsavrseniji i sluzikao mera savrsenstva drugih ciklusa, kod rashladnih masina je inverzan Carnot-ov ciklusnajsavrseniji i sluzi kao mera savrsenstva drugih ciklusa. Inverzan Carnot-ov ciklusprikazan je u T,s-dijagramu na slici 13.1b.

Pri izotermnom (T2 = const) sirenju (proces 2 → 3) od tela nize temperature odvodise kolicina toplote q2 i predaje radnom telu. Od radnog tela se odvodi kolicina toplote q1

i predaje telu vise temperature pri izotermnom (T1= const) sabijanju radnog tela (proces4 → 1). Da bi se predala toplota od tela nize ka telu vise temperature neophodno je dase ulozi energija (mehanicki rad) tokom procesa adijabatskog sabijanja (proces 3 → 4).Najniza temperatura T2 ciklusa (radnog tela) treba da je za beskonacno malu velicinu nizaod temperature Th tela od koga se odvodi toplota a najvisa temperatura T1 ciklusa trebada je za beskonacno malu velicinu visa od temperatura Tt tela kome se predaje toplota.

Kolicina toplote q2, koja je odvedena od tela nize temperature, je manja od kolicinetoplote q1, koja je predata telu vise temperature za velicinu ulozenog rada l

q2 = q1 − l. (13.1)

Efikasnost (stepen savrsenosti) ciklusa odredjena je odnosom kolicine toplote q2, odvedeneod tela nize temperature, i ulozenog rada l za ciklus i naziva se koeficijent hladjenja

ε =q2

l. (13.2)

Sto je veci odnos odvedene kolicine toplote q2 u odnosu na ulozen rad l, tj. sto je vecikoeficijent hladjenja ε, ciklus za hladjenje je savrseniji. Za razliku od TKI direktnog ciklusakoeficijent hladjenja moze da bude manji, veci ili jednak jedinici. Sa TKI direktnog ciklusakoeficijent hladjenja ε inverznog ciklusa vezan je relacijom

ε =q2

q1 − q2=

q2q1

q1−q2q1

=1− η

η=

1η− 1. (13.3)

Kako se kod inverznog Carnot-ovog ciklusa kolicina toplote q2 odvodi od tela nize temper-ature tokom izotermnog procesa 2 → 3, a od radnog tela kolicina toplote q1 predaje teluvise temperature tokom izotermnog procesa 4 → 1, sledi

q2 = T2(s3 − s2) (13.4)

iq1 = T1(s2 − s3) = −T1(s3 − s2), (13.5)

193

tako da je koeficijent hladjenja inverznog Carnot-ovog ciklusa

ε =q2

l=

q2

|q1| − q2=

T2

T1 − T2=

1T1T2− 1

. (13.6)

Od svih inverznih ciklusa, pri zadatom temperaturskom intervalu T2 − T1, koeficijent hla-djenja inverznog Carnot-ovog ciklusa je najveci i ne zavisi od svojstava radnog tela . Znaci,pri jednakoj odvedenoj kolicini toplote q2 od tela nize temperature najmanji rad se ulazeu slucaju inverznog Carnot-ovog ciklusa

l = |q1| − q2 = (T1 − T2)(s2 − s1). (13.7)

Koeficijent hladjenja ε Carnot-ovog ciklusa raste s porastom temperature T2 hladnog izvorai s opadanjem temperature T1 toplijeg izvora, tj. sa smanjenjem intervala T1 − T2. Sobzirom da je temperatura T1 priblizno konstantna i jednaka temperaturi okoline (25-300 C), koeficijent hladjenja ε uglavnom zavisi od temperature T2 hladnog izvora. Sto jetemperatura T2 niza to treba da se ulozi veci rad da bi se ona i odrzala, tj. smanjujese koeficijent hladjenja ciklusa. Realni rashladni sistemi ne rade po inverznom Carnot-ovom ciklusu iz razloga koji su ranije navedeni (glava 10), pre svega bili bi potrebni vrlokomplikovani mehanizmi, tako da bi se izgubile sve prednosti ovog inace idealnog ciklusa.

13.2. Ciklus vazdusne (gasne) kompresorske rashladne masine

Vazdusne kompresorske rashladne masine konstruisane su ranije od parnih kompre-sorskih rashladnih masina, medjutim, zbog male efikasnosti i velikih dimenzija bile suistisnute. Koriscenjem turbo-kompresora i ekspanzionih turbina, umesto ranijih klipnihkompresora i klipnih ekspanzionih masina ( ekspander, detander), smanjile su se dimenz-ije i povecala ekonomicnost, koja je jos uvek manja od parnih kompresorskih rashladnihmasina. Osim toga sto u odnosu na parne kompresorske rashladne masine imaju manje di-menzije, vazno preimucstvo vazdusnih rashladnih masina je mogucnost hladjenja do znatnonizih temperatura (od -80 do -1400 C).

194

Slika 13.2.

Principijelna sema vazdusne rashladne masine prikazana je na slici 13.2. Vazduh*(kao radno telo) temperature T1 i pritiska p1 adijabatski se siri u ekspanzionoj masini (de-tanderu) - turbini (1) do pritiska p2. Ohladjen vazduh temparature T2 ulazi u razmenjivactoplote (2) gde od hladnog tela (hladnog izvora) temperature Th, vise od temperature T2

ohladjenog vazduha, pri konstantnom pritisku (p2 = const) prima kolicinu toplote q2. Naizlazu iz razmenjivaca toplote temperatura T3 vazduha je za beskonacno malu vrednostniza od temperature Th hladnog tela.

Zatim se vazduh, na racun ulozenog rada l u turbokompresoru (3), adijabatski sabijado pocetnog pritiska p1. Temperatura T4 vazduha pred ulaz u razmenjivac toplote - hladn-jak (4) je visa od temperature Tt protocne vode u hladnjaku (koja igra ulogu toplijeg izvora)tako da pri konstantnom pritisku (p1 = const) radno telo (vazduh) predaje kolicinu toploteq1 protocnoj vodi. Po zavrsetku hladjenja temperatura T1 vazduha je za beskonacno maluvrednost visa od temperature hladne vode.

Slika 13.3.

Na slici 13.3 u p,v- i T, s- dijagramu prikazan je idealan ciklus vazdusne rash-ladne masine -inverzan Joule-ov ciklus. Proces 1 → 2 odgovara adijabatskom sirenjuvazduha u ekspanzionoj masini (1); proces 2 → 3 izobarnom dovodjenju kolicine toploteq2 u razmenjivacu toplote (2); proces 3 → 4 - adijabatskom sabijanju vazduha u turbo-kompresoru (3) i proces 4 → 1 - izobarnom odvodjenju kolicine toplote q1 u razmenjivacutoplote-hladnjaku (4). Dovedena kolicina toplotre pri izobarnom procesu 2 → 3 je

q2 = cp(T3 − T2), (13.8)

a odvedena kolicina toplote pri izobarnom procesu 4 → 1 je

q1 = cp(T1 − T4) = −cp(T4 − T1), (13.9)

tako da koeficijent hladjenja iznosi

ε =q2

|q1| − q2=

1|q1|q2− 1

=1

T4−T1T3−T2

− 1=

1T1(

T4T1−1)

T2(T3T2−1)

− 1. (13.10)

Za adijabatski proces 1 → 2 jeT1

T2=

(p1

p2

) k−1k

. (13.11)

* Pri temperaturama iznad kriticne temperature vazduha (-140,70 C) vazduh moze dase smatra kao idealan gas.

195

Za adijabatski proces 3 → 4 je

T4

T3=

(p4

p3

) k−1k

=(

p1

p2

) k−1k

. (13.12)

Iz (13.11) i (13.12) slediT1

T2=

T4

T3, (13.13)

odnosnoT4

T1=

T3

T2, (13.14)

tako na osnovu (13.10), (13.14) i (13.11) koeficijent hladjenja ε iznosi

ε =1

T1T2− 1

=1

T4T3− 1

=1

(p1p2

)k−1

k − 1. (13.15)

Koeficijent hladjenja inverznog Joule-ovog ciklusa naizgled je identican koeficijentu hlad-jenja inverznog Carnot-ovog ciklusa (izraz 13.6). Medjutim, temperatura T2 u izrazu(13.15) pretstavlja najnizu temperaturu radnog tela u ciklusu a ne (kao sto je to slucajkod Carnot-ovog ciklusa) temperaturu Th razmenjivaca toplote (Th ≈ T3). S druge stranenajvisa temperatura T4 u ciklusu znatno je visa od temperature Tt hladnjaka (Th ≈ T1).Ekvivalntan inverzan Carnot-ov ciklus prikazan je u T,s dijagramu (slika 13.3) konturom1 → 1′ → 3 → 3′ → 1. Za ovaj ciklus koeficijent hladjenja je

εc =1

T1T3− 1

, (13.16)

i znatno je veci od koeficijenta hladjenja idealnog ciklusa vazdusne rashladne masine(T1

T3< T1

T2). Razmotrimo, na primer, rashladnu masinu koja bi radila po inverznom Carnot-

ovom ciklusu od najvise temeprature t1 = 200 C do najnize temperature t3 = −50 C, priodgovarajucim pritiscima vazduha p1 = 0, 390 MPa i p3 = p2 = 0, 098 MPa. Koeficijenthladjenja takvog ciklusa (na osnovu 13.6) bi bio εc = 10, 72. Medjutim, u slucaju inverznogJoule-ovog ciklusa pri temperaturi hladnjaka (t1 = 200 C) i istoj temperaturi hladnog tela(t3 = −50C) radno telo mora da se prethodno ohladi do temperature t2 = −680 C azatim u delu ciklusa zagreje do t4 = 1100C (pogledaj sliku 13.3.) tako da je na osnovu(13.10) koeficijent hladjenja inverznog Joule-ovog ciklusa je 2,32, odnosno 4,62 puta manjiod koeficijenta hladjenja odgovarajuceg inverznog Carnot-ovog ciklusa.

U tehnici su realizovani inverzni Joule-ovi regenerativni ciklusi kod rashladnih masinasa vodonikom ili helijumom kao radnim telom a koriste se za prevodjenje vazduha u tecnostanje.

13.3. Ciklus parnokompresorskih rashladnih masina

Za dobijanje i odrzavanje umereno niskih temperatura (do -1200 C) primenjuju serashladne masine koje kao radna tela koriste lako isparljive tecnosti niske temeperaturekljucanja: amonijak (NH3), ugljen-dioksid (CO2), hlor-metil (CH3Cl), sumpor-dioksid(SO2) i freon [freon -12 (CF2Cl2), freon-22 (CHF2Cl), freon-13 (CF3Cl), freon -14 (CF4)]

196

- ugljovodonik kod koga je vodonik zamenjen halogenim elementima, najcesce fluorom (F)i hlorom (Cl) sa razlicitim temperaturama kljucanja (od 300 C do - 1280 C).

Osnovna karakteristika ciklusa parnokompresorskih rashladnih masina je ta sto serazmena toplote izmedju razmenjivaca toplote (tela vise i nize temperature) i radnog telaostvaruje pri izobarno-izotermnim procesima u dvofaznoj oblasti stanja radnog tela. Nataj nacin ciklus parnokompresorskih rashladnih masina (inverzan Rankine-ov ciklus sazasicenom i pregrejanom parom ) blizak je inverznom Carnot-ovom ciklusu.

Principijelna sema parnokompresorske rashladne masine koja radi po inverznom Ran-kine-ovom ciklusu za zasicenu i pregrejanu paru prikazan je na slici (13.4).

Iz isparivaca (razmenjivaca toplote) (2) vlazna zasicena para pritiska p2 i temperatureT2 ulazi u kompresor (ili turbokompresor) (3) gde se na racun ulozenog rada l adijabatskisabija do pritiska p1 i temperature T1 tako da se na izlazu iz kompresora nalazi u stanju suvezasicene pare (stepena suvoce x=1). Iz kompresora para se hladi u razmenjivacu toplote(kondenzatoru) (4) gde se na racun odvedene kolicine toplote q1 pri izobarno-izotermnomprocesu delimicno kondenzuje, tako da iz kondenzatora izlazi tecnost u stanju zasicenja(odnosno vlazna para stepena suvoce x=0). Da bi se izbegao hidraulicni udar, umestou ekspanzionu masinu vlazna zasicena para se uvodi u prigusni ventil (1), gde se procesadijabatske ekspanzije zamenjuje nepovratnim procesom adijabatskog prigusenja. Pri pro-cesu prigusenja entropija raste (s2− s1 > 0) i ako je proces adijabatski (a ne izoentropski)tj. bez razmena toplote s okolinom. Tokom izoentalpijskog (i= const) procesa prigusenjaoslobodjena kolicina toplote se utrosi za delimicno isparavanje kondenzovanog radnog telabez vrsenja mehanickog rada. Pritisak i temperatura vlazne pare posle izoentalpijskogsirenja na izlazu iz prigusnog ventila opadnu na pocetnu vrednost (p2, odnosno T2). Pred-nost koriscenja prigusnog ventila je mogucnost postepenog regulisanja pada temperaturepare a time i temperature u ohladjenoj zapremini, izmenom velicine otvora prigusnog (re-dukcionog) ventila. Zatim se para uvodi u isparivac (2) gde na racun toplote q2, primljeneod ohladjenog tela, isparava tokom izobarno-izotermnog procesa. Na izlazu iz isparivacapovecan je stepen suvoce vlazne zasicene pare.

Slika 13.4.

Idealizovan ciklus parnokompresorskih rashladnih masina (inverzanRankine-ov ciklus za zasicenu paru) prikazan je u T, s- dijagramu (slika 13.4).

Proces 1 → 2 odgovara adijabatskom-izoentalpijskom prigusenju pare u prigusnomventilu; proces 2 → 3- izobarno-izotermnom isparavanju u isparivacu usled dovodjenjakolicine toplote q2 od ohladjenog tela; proces 3 → 4 adijabatskoj kompersiji vlazne zasicenepare u kompersoru i proces 4 → 1 izobarno-izotermnom kondenzovanju u razmenjivacu(kondenzatoru) pri odvodjenju toplote q1 od radnog tela u okolnu sredinu (protocnu vodu).

Kolicina toplote q2 koja je dovedena radnom telu od hladnog izvora, tokom izobarno-izotermnog procesa 2 → 3, jednaka je razlici entalpija krajnje i pocetne tacke procesa

q2 = i3 − i2. (13.17)

Kako je proces 1 → 2, koji odgovara adijabatskom sirenju, izoentalpijski (i1 = i2) sledi

q2 = i3 − i2 = i3 − i1. (13.18)

197

Kolicina toplote q1 koja je predata toplom izvoru od strane radnog tela, tokom izobarno-izotermnog procesa 4 → 1, iznosi

q1 = i4 − i1. (13.19)

Ukupan rad l koji je utrosen tokom ciklusa jednak je radu kompresora lk i iznosi

l = lk = i4 − i3. (13.20)

Rad pri adijabatskom sirenju u prigusenom ventilu, kao sto je ranije pomenuto, jednakje nuli. Koeficijent hladjenja parnih rashladnih masina koje rade po idealnom inverznomRankine-ovom ciklusu za zasicenu paru, na osnovu (13.17), (13.18) i (13.20) iznosi

ε =q2

l=

i3 − i2i4 − i3

=i3 − i1i4 − i3

. (13.21)

Kako su odvedena i dovedena kolicina toplote date izrazima

q1 = T1(s1 − s4) = T1(s2′ − s3) = −T1(s3 − s2′) (13.22)

iq2 = T2(s3 − s2), (13.23)

koeficijent hladjenja moze da se prikaze u obliku

ε =q2

l=

q2

|q1| − q2=

T2

T1s3−s2′s3−s2

− T2

. (13.24)

S obzirom da je s3−s2′ > s3−s2 dobija se da je koeficijent hladjenja ε inverznog Rankine-ovog ciklusa nesto manji od koeficijenta hladjenja ε odgovarajuceg inverznog Carnot-ovogciklusa.

ε . εc =T2

T1 − T2. (13.25)

Koeficijent hladjenja raste sa smanjenjem razlike temperature hladnjaka i hladnog izvora.Pri konstantnoj temperaturi hladnjaka [T1 = 20− 300C] raste s porastom temperature T2

hladnog izvora.Koeficijent hladjenja ε inverznog Rankine-ovog ciklusa za zasicenu paru nesto je manji

od koeficijenta hladjenja εc odgovarajuceg inverznog Carnot-ovog ciklusa (izraz 13.25),zbog stetnog uticaja ireverzibilnog procesa prigusenja. Kao sto je ranije receno, radno telooslobodjenu kolicinu toplote u procesu prigusenja iskoristi za delimicno isparavanje. Ovajdeo toplotne energije ne predaje se toplijem izvoru, tj. ne ucestvuje u procesu hladjenja.Neiskoriscen deo toplotne energije, nastao prigusenjem, za amonijak (NH3) i sumpor-dioksid (SO2) su skoro zanemarljivi tako da je teorijski ciklus kompresorskih rashladnihmasina sa NH3 i SO2 vrlo blizak Carnot-ovom (na primer, za T1 = 300C i T2 = −150Cdobija se da je ε/εc

∼= 0, 8). Znaci, za razliku od Carnot-ovog ciklusa, u slucaju parnih kom-presionih rashladnih masina koje rade po invrerznom Rankine-ovom ciklusu bitan uticaj navrednost koeficijenta hladjenja imaju osobine radnog tela (toplota isparavanja, specificnatoplota, kriticni parametri, itd.).

Osnovni nedostatk parnih kompresorskih rashladnih masina koje rade po Rankine-ovom ciklusu sa zasicenom parom je u tome sto je rad kompresora sa vlaznom paromvrlo otezan uz mogucnost tzv. ”vodenog udara”. Ovaj nedostatak je otklonjen kod parnihkompresorskih rashladnih masina kod kojih kompresor radi sa suvom (pregrejanom) parom.

198

Slika 13.5

Savremene parne rashladne masine rade po inverznom Rankine-ovom ciklusu sa pre-grejanom parom. Inverzan Rankine-ov ciklus sa suvom pregrejanom parom prika-zan je na slici 13.5. Dobijanje suve pare pred ulaz u kompresor (tacka 3 u T,s- dijagramuna slici 13.5) postize se vecim zatvaranjem prigusnog ventila, tako da kroz isparivac proticemanja kolicina radnog tela koja u njemu sva ispari. Time je rad kompresora olaksan a ionemogucen je ”vodeni udar”.

Jednostavno se dobija da koeficijent hladjenja parnih rashladnih masina koje rade poinverznom Rankine-ovom ciklusu sa suvom pregrejanom parom iznosi

ε =i3 − i2i4 − i3

=i3 − i1i4 − i3

. (13.26)

Jasno je da ovaj ciklus u odnosu na Rankine-ov ciklus sa vlaznom zasicenom parom znatnovise odstupa od Carnot-ovog ciklusa tako da mu je i koeficijent hladjenja manji.

Medjutim, zbog olaksanog rada kompresora sa suvom umesto vlaznom parom, ras-hladne masine koje rade po ovom ciklusu imaju prednost. Koeficijent hladjenja kompre-sorske parne rashladne masine moze da se poveca kako visestepenim prigusenjem tako ivisestepenom kompresijom radnog tela. U prvom slucaju povecava se toplota hladjenja,a u drugom smanjuje se rad ulozen na kompresiju radnog tela. Kao primer, na slici13.6 je prikazan ciklus parne kompresorske rashladne masine sa dvostepenimprigusenjem i dvostepenom kompresijom radnog tela.

199

13.4. Ciklus parno ejektorske rashladne masine

Parno ejektorske rashladne masine su takve rashladne masine koje, umesto mehanickeenergije, za svoj rad koriste toplotnu energiju. Naime, umesto kompresora, za sabijanjeradnog tela koristi se ejektor, kompaktan deo bez pokretnih elemenata, za ciji rad nijepotrebna mehanicka energija. Sabijanje pare u ejektoru postize se pomocu kineticke en-ergije dela pare, koja se obrazuje u kotlu, na racun dovedene kolicine toplote qk.

Principijelna sema parnoejektorske rashladne masine prikazana je na slici 13.7. Radnapara (najcesce vodena para) visokog pritiska p1 i temperature T1 izlazi iz kotla (6) i adi-jabatski se siri u mlazniku (M) ejektora (2) tako da na izlazu iz mlaznika pritisak i tem-peratura padaju na vrednost p2 i T2, respektivno, a brzina mlaza pare dostize vrednost dooko 1000 m/s. Pritisak p2 na izlazu iz mlaznika je nesto nizi od pritiska u isparivacu (1),tako da se radno telo (hladna para) iz isparivaca usisava u komoru mesanja (KM) ekjek-tora. Smesa radne pare i hladne pare ulazi u difuzor (D) ejektora gde se kineticka energijamlaza transformise u potencijalnu energiju (energiju pritiska) tj. smanjuje brzina mlazaa povecava pritisak i temperatura do vrednosti pm i Tm, respektivno (p1 > pm > p2). Nataj nacin se za adijabatsko sabijanje hladne pare koristi kineticka energija mlaza radnepare, koju je stekao na racun kolicine tolote qk utrosene u kotlu (6). Smesa radne i hladnepare pritiska pm usmerava se u kondenzator (3) gde se kondenzuje predajuci toplom izvoru(hladnoj protocnoj vodi) kolicinu toplte q1. Obrazovan kondenzat se deli na dva mlaza.Veci deo se prigusuje u prigusenom (regulacionom) ventilu (4) do pritiska p2 i temeper-aturu T2 i usmarava u kondenzator. Drugi (manji) deo kondenzata ubacuje se pomocuvodene pumpe (5) u kotao pri pritisku p1. Idealan ciklus parno-ejektorske rashladnemasine je prikazan u T,s-dijagramu na slici 13.8. uslovno s obzirom da su kolicine hladnepare i radne pare razlicite za dva dela ovog ciklusa.

Slika 13.7 Slika 13.8

Procesu 1 → 2 odgovara adijabatskom prigusenju veceg dela kondenzata u prigusenomventilu (4); procesu 2 → 2′ -izobarno-izotermnom isparavanju vlazne zasicene pare u ispar-avacu (1) na racun primljene kolicine toplote q2 od hladnog izvora do stanja suve zasicenepare (tacka 2′); proces 3 → 4 -adijabatskom sabijanju smese hladne pare i radne pare udifuzoru (D) ejektora (2). Tacka 3 odgovara stanju smese smanjene vlaznosti u komorimasanja (KM) pred difuzorom; proces 4 → 5 odgovara izobarnom hladjenju smese suvepare u kondenzatoru (3); proces 5 → 1 izobarno-izotermnoj potpunoj kondenzaciji smesepare u kondenzatoru. Tokom procesa hladjenja (4 → 5) i kondenzacije (5 → 1) radnotelo (para) predaje kolicinu toplote q1 toplom izvoru. Proces 1 → II odgovara povisenje

200

pritiska u vodenoj pumpi;* proces II → III izobarnom zagrevanju radne pare u kotlu(1); proces III → IV izobarno-izotermnom isparavanju na racun dela dovedene toplote ukotlu (6) i proces IV → V adijabatskom sirenju radne pare u mlazniku (M) ejektora (2)do pritiska p2. Posle mesanja vlazne pare stanja V sa suvom zasicenom parom stanja 2′dobija se smesa vlazne pare stanja 3. Zbog toga sto se tokom ciklusa ne vrsi spoljasnjirad (zanemarujuci rad vodene pumpe) vec se dovodi kolicina toplote qk u kotlu, umestokoeficijenta hladjenja uvodi se koeficijent iskoriscenja toplote ξ, definisan odnosomkolicine toplote q2 odvedene od hladnog izvora i ulozene kolicine toplote qk :

ξ =q2

qk. (13.27)

Jednostavno se pokazuje da koeficijent iskoriscenja ciklusa parno-ejektorske rashladnemasine iznosi

ξ =i′2 − i2

g(iIV − i1), (13.28)

gde je g− odnos kolicine pare iz kotla prema kolicini pare iz isparivaca.Ciklus parno-ejektorskih rashladnih masina u poredjenju sa ciklusom parno-kompre-

sorskih rashladnih masina je neuporedivo nesavrseniji, zbog velikih gubitaka pri ireverz-ibilnom procesu mesanja u ejektoru. Medjutim, zbog jednostavnosti (kompaktnost, bezpokretnih mehanizama izuzev vodene pumpe) parno-ejektorske rashladne masine nasle suprimenu u prehrambenoj i hemijskoj industriji i sluze za postizanje i odrzavanje umerenehladnoce [temperatura t2 = 3− 100C]. Najvisa temperatura ciklusa t1 se drzi u granicamaod 30− 400 C dok temperatura u kotlu dostize 1800 C.

13.5. Ciklus apsorpcione rashladne masine

Apsorpcione rashladne masine koriste svojstva nekih tela da apsorbuju druga tela,cime se stvara dvokomponentni sistem, tzv. binarna (dvojna) smesa. Ukoliko neki rastvorapsorbuje paru rastvaraca dolazi, na izvestan nacin, do kondenzacije pare i oslobadjanjatoplote. Apsorbovanjem pare smanjuje se koncentracija rastvora tako da se oslobadjadopunska kolicina toplote. Ukupna kolicina toplote, oslobodjena u procesu apsorpcije,povecava temperaturu rastvora. Znaci, kada neki rastvor apsorbuje paru rastvaracapredaje se toplota rastvoru iako je temperatura pare niza od temperaturerastvora. Pri ovom procesu dolazi do smanjenja koncentracije rastvora.

U apsorbcionim rashladnim masinama najcesce se koristi dvojna smesa amonijaka ivode (NH3 − H2O). U ovom slucaju voda je rastvarac-apsorbent. Voda lako i mnogoapsorbuje paru amonijaka pri cemu se rastvor zagreva. Da bi se proces apsorpcije odrzaopotrebno je da se rastvor neprekidno hladi. Ukoliko se rastvor zagreva dolazi pre svega doisparavanja amonijaka.

Principijelna sema apsorpcione rashladne masine prikazana je na slici 13.9. Apsorp-cione rashladne masine nemaju pokretnih delova (izuzev pumpe). Ulogu kompresora (iliejektora) u ovom slucaju igra parni generator (1) i apsorber (5). Kod apsorpcionih rash-ladnih masina proces apsorpcije odgovara usisavanju pare u kompresor, a isparavnje uparnom generatoru - sabijanju i izbacivanju pare iz kompresora. Ostali deo seme odgovarasemi parnih kompresorskih rashladnih masina.

* zbog zanemarljivo malog rada vodene pumpe (lp = iII − i1 ≈ 0) linija 1 → II → IIIje vrlo bliska liniji 1 → III

201

.

Slika 13.9.

Rad apsorpcione rashladne masine protice na sledeci nacin: U parnom generatoru (1)pri dovodjenju kolicine toplote qk od spoljasnjeg izvora dolazi do isparavanja komponentes nizom temperaturom kljucanja (na primer amonijak NH3) iz binarnog rastvora gde jedruga komponenta voda rastvarac-apsorbat. Suva zasicena para amonijaka usmerava seu kondenzator (2) gde se potpuno kondenzuje predajuci kolicinu toplote kondenzacije q1

protocnoj hladnoj vodi (tzv. toplijem izvoru). Tecan amonijak se prigusuje u prigusenom(regulacionom) ventilu (3), pri cemu opada pritisak i temperatura, nesto ispod temper-ature u isparivacu (4). Na racun primljene kolicine toplote q2 od ohladjenog tela (tzv.hladnijeg izvora) amonijak isparava prelazeci u vlaznu zasicenu paru a zatim se usmeravau apsorber (5). U apsorberu pare amonijaka se potpuno apsorbuju rastvorom nize koncen-tracije amonijaka, predajuci oslobodjenu kolicinu toplote apsorpcije qa hladnoj protocnojvodi. Usled apsorpcije dolazi do povecanja koncentracije amonijaka u rastvoru. Obogaceni ohladjen rastvor se pumpom (6) odvodi u parni generator (1) gde na racun dovedenekolicine toplote qk amonijak isparava i usmerava se u kondenzator (2). Apsorbent (voda)slabije koncentracije amonijaka se iz generatora preko prigusnog ventila (7) usmerava uapsorber, pri cemu pritisak i temperatura apsorbenta opadaju. Uvodjenjem apsorbentatanize koncentracije (preko prigusnog ventila) odrzava se stalna koncentracija amonijaka uapsorberu koja je inace bila povecana apsorpcijom amonijaka iz isparivaca.

Koeficijent toplotnog iskoriscenja ξ apsorpcione rashladne masine dat je izrazom

ξ =q2

qk + lp≈ q2

qk, (13.29)

zanemerujuci velicinu rada lp pumpe (lp ≈ 0). Tako, na primer, pri temepraturama T1 =400K, T2 = 258K i temperaturi okoline TS = 298K dobija se da je koeficijent iskoriscenjatoplote ξ = 0, 17− 0, 50 a odgovarajuca vrednost koeficijenta hladjenja ε = 0, 47− 1, 41.

Zbog velike iverzibilnosti procesa u apsorpcionom sistemu apsorpcione rashladne ma-sine manje su efikasne i ekonomicne od parnih kompresorskih rashladnih masina. Med-jutim, one imaju i niz preimucstava kao sto su jednostavnost, bezsuman rad, mogucnostkoriscenja iskoriscenih toplih industrijskih voda i para za dovodjenje toplote parnom gen-eratoru, niska cena i drugo, tako da su nasle siroku primenu.

13.6. Ciklusi za postizanje niskih temperatura i likvefikaciju realnih gasova

202

U 7. glavi razmatrani su procesi za hladjenje koji cine osnovu slozenih ciklusa za posti-zanje niskih temperatura kao i za likvifikaciju gasova. Jasno je da je kako za postizanje takoi za odrzavanje niskih temperatura neophodno de se ostvari termodinamicki ciklus delomsastavljen od odgovarajucih procesa za hladjenje. To se odnosi i na postupke neprekidnogdobijanja tecnih gasova (likvefikacija). U ovom poglavlju bice razmatrani osnovni ciklusiza postizanje niskih temperatura i likvefikaciju gasova.

Idealan ciklus za postizanje niskih temperatura i likvefikaciju gasova prikazan je uT,s-dijagramu na slici 13.10.

Slika 13.10

Gas se pri temperaturi T1, znatno iznad kriticne temperature TK gasa (tacka 1), sabijapri izotermnom procesu 1 → 2 od pritiska p1 do pritiska p2, pri cemu se oslobadja kolicinatoplote q1, a zatim se siri pri izoentropskom (adijabatskom) procesu 2 → 3 do pocetnogpritiska p1 i temperature T2 ispod kriticne temperature TK gasa, tako da dolazi do potpunelikvefikacije gasa tj. prelaza gasa u tecno stanje (tacka 3 lezi na krivoj zasicenja tecnosti).Na racun dovedene kolicine toplote q′2 tokom izobarno-izotermnog procesa 3 → 4 (T2 =const, p1 = const) dolazi do isparavanja tecnosti. Zasicena para se iz stanja 4 izobarnosiri u procesu 4 → 1, na racun dovedene kolicine toplote q′′2 , do pocetne temperature T1

ciklusa, tako da se zatvara neprekidan ciklus likvefikacije gasa.Specificna kolicina toplote q1 oslobodjena tokom izotermnog procesa 1 → 2 iznosi

q1 = T1(s2 − s1) = −T1(s1 − s2). (13.30)

Ukupna odvedena kolicina toplote q2 jednaka je zbiru kolicine toplote q′2, odvedene tokomizobarno-izotermnog procesa 3 → 4, i kolicine toplote q′′2 odvedene tokom izobarnog procesa4 → 1 :

q2 = q′2 + q′′2 = (i4 − i3) + (i1 − i4) = i1 − i3. (13.31)Ukupan minimalan rad lid koji se utrosi tokom idealnog ciklusa likvefikacije gasa iznosi

lid = |q1| − q2 = T1(s1 − s2)− (i1 − i3) = T1(s1 − s3)− (i1 − i3). (13.32)

Koeficijent hladjenja idealnog ciklusa je

ε =q2

lid=

i1 − i3T1(s1 − s3)− (i1 − i3)

. (13.33)

203

Moze da se uoci da je inverzan Carnot-ov ciklus 1 → 2 → 3 → 4′ → 1, izmedju temperaturaT1 i T2, manje pogodan za likvefikaciju gasa od idealnog ciklusa 1 → 2 → 3 → 4 → 1 jerse sva toplota q2 kod Carnot-ovog ciklusa odvodi pri najnizoj temperaturi T2 pri procesu3 → 4, dok se kod idealnog ciklusa u procesu 3 → 4 toplota q′2 odvodi pri najnizojtemperaturi T2 a ostali deo toplote q′′1 pri visoj temperaturi (od T2 do T1). Znaci, vecakolicina toplote odvodi se pri idealnom ciklusu likvefikacije gasa, odnosno za istu odvedenukolicinu toplote kod Carnot-ovog ciklusa treba da se ulozi veci rad.

U tabeli 13.1. prikazane su vrednosti ulozenog rada kod idealnog ciklusa lid i Carnot-ovog ciklusa lc za dobijanje 1 kg likvefikovanog gasa, njihov odnos lid/lc, kao i temperaturekljucanja Tklj gasova pri normalnim uslovima. Vrednosti su dobijene na osnovu izraza(13.32) za T1 = 300K i p1 = 0.1MPa.

Tabela 13.1

Gas Tk(K) Tinv(K) lid (MJ/kg) lc(MJ/kg) lid/lc

helijum 4,2 40 6,85 110 0,062vodonik 20,4 205 11,9 54,3 0,219

neon 27,3 250 1,23 - -azot 77,4 624 0,79 1,25 0,635

vazduh 88 603 0,74 1,13 0,660

kiseonik 90,2 893 0,64 0,95 0,674metan 111,7 - 1,11 1,53 0,720

etilen 169,4 - 0,43 0,52 0,830

Moze da se primeti [ izraz (13.32) i Tabela 13.1] da ulozen rad za ciklus znatno raste ssnizenjem najnize temperature ciklusa. Usled ireverzibilnosti pojedinacnih procesa utrosenrad u realnim uslovima je mnogo puta veci nego kod idealnog ciklusa.

Idealan ciklus likvefikacije gasova prakticno je neostvarljiv, jer bi za postizanje stanja2 (pred adijabatsko sirenje) bilo neophodno da se postigne pritisak od p2 = 50000MPa dabi se, na primer za vazduh, posle adijabatskog sirenja dostigla tacka 3 na granicnoj krivojzasicenja tecnosti (slika 13.10).

Medjutim, primenom niza stepena odvodjenja toplote sa razlicitih temperaturskihnivoa izmedju najvise (T1) i najnise (T2) temperature tezi se priblizenju idealnom ciklusulikvefikacije. Povecanjem broja stepeni ciklusa poboljsavaju se termodinamicke karakter-istike ukupnog ciklusa ali se, s druge strane, time usloznjava aparatura. Jasno je da brojstepena hladjenja raste sa snizenjem temperature T2.

Paralelno s odredjivanjem broja stepeni hladjenja zadatak tehnike niskih temperatura(kriogena tehnika) je i da se izabere najpogodniji nacin hladjenja na svakom stepenu ste-penastog (kaskadnog) hladjenja. Osnovni nacini hladjenja koji se najcesce primenjuju su:1) isparavanje tecnosti niske temperature kljucanja;2) adijabatsko prigusenje (Joule-Thomson-ov efekt) i3) adijabatsko sirenje gasa sa i bez vrsenja spoljasnjeg rada.

Ciklusi za hladjenje koji su zasnovani na isparavanju tecnosti niske temperature kljuca-nja siroko se koriste u oblasti do 200 K. Koriscenjem nekoliko tecnosti razlicitih svojstava,tako da se jedna tecnost (kao radno telo) kondenzuje hladjenjem druge tecnosti na nizojtemperaturi, mogu da se pomocu parnih kompresorskih rashladnih masina dostignu nisketemperature (do oko 60 K). Na primer, pomocu ovakvog nacina (cetverostepenim hladjen-jem) moze da se izvrsi likvefikacija azota koriscenjem amonijaka, etilena, metana i naravno

204

azota u odgovarajucim stepenima kaskadne rashladne masine.Koriscenjem adijabatskog prigusenja mogu da se likvefikuju neon ili vodonik ukoliko je

prethodno, koriscenjem stepenastog hladjenja pomocu parne kompresione masine, postignetemperatura do oko 60 K u poslednjem stepenu kaskade. Konacno, koriscenjem tecnogvodonika za prethodno hladjenje helijuma moze da se likvefikuje helijum adijabatskimprigusenjem.

Zavisnost koeficijenta adijabatskog prigusenja αi od temperature je slozena s maksi-mumom blizu kriticne temperature Tk. Maksimum se pomera ka visim temperaturama sporastom pritiska, tako da mora da se vodi racuna da se kada je T > Tinv pri prigusenjugas zagreva (α1 < 0 za sve pritiske). Pad temperature je veci sto je manja pocetna tem-peratura i sto je veci pocetni pritisak. Zbog toga se proces prigusenja koristi pri najnizimtemperaturama i pri relativno visokim pritiscima kompresovanog gasa.

Dobijanje niskih temperatura adijabatskim sirenjem gasa sa vrsenjem rada je efikasnijeod adijabatskog prigusenja posebno kada je stepen sirenja gasa visok ili kada se sirenje vrsiod relativno visoke pocetne temperature. Kod nekih rashladnih sistema koristi se procesadijabatskog sirenja gasa bez vrsenja korisnog rada - proces adijabatskog isticanja iz sudau kome je gas pod pritiskom. U ovom slucaju, kao sto je poznato, vrsi se rad istiskivanjanasuprot spoljasnjem pritisku. Ovaj proces se razlikuje od adijabatskog (izoentropskog)sirenja u detanderu (ekspanzionoj masini) po tome sto je ireverzibilan, tj. u procesuentropija raste. Zbog jednostavnosti aparature ovaj nacin hladjenja nasao je primenu urashladnoj tehnici. Promena temperature u ovom slucaju znatno je manja nego u slucajuadijabatskog sirenja u detanderu ali je mnogo veca nego u slucaju adijabatskog prigusenja.Takve masine dobile su naziv kriogene toplotne pumpe. Ciklusi za hladjenje mogu da seuslovno klasifikuju na:1) cikluse sa prigusenjem;2) kombinovane cikluse u kojima se jedan deo gasa siri u detanderu a drugi u prigusnom

ventilu;3) cikluse sa sirenjem u detanderu ili turbodetanderu i4) cikluse sa sirenjem bez vrsenja korisnog rada ( sa isticanjem gasa).

13.6.1. Ciklus likvefikacije sa prigusenjem

Svaki slozeni ciklus moze da se pretstavi kao niz odvojenih stepena ciklusa u kojimase hladjenje ostvaruje na razlicite nacine. Razmotrimo najjednostavnije cikluse slozenog(kaskadnog) ciklusa.

U pocetku razmotrimo teorijski ciklus hladjenja sa prostim prigusenjem, pri cemu selikvefikacioni gas ne izdvaja vec isparava na racun dovedene kolicine toplote q1 pri najnizojtemperaturi T2 ciklusa.

Principijelna sema i odgovarajuci idealan Linde-ov ciklus sa prostim prigusenjemprikazani su na slici 13.11a i b. Gas pritiska p1 i temperature T1 sabija se izotermno(T1 = const) u kompresoru (1) do pritiska p2 > p1. U razmenjivacu toplote (2) gas seizobarno (p2 = const) hladi do temperature Tm. Gas se zatim adijabatski (izoentalpijski)hladi u prigusnom ventilu (3) do temperature T2 koja odgovara pocetnom pritisku p1.Stanje gasa koje odgovara parametrima p1 i T2 nalazi se u dvofaznoj oblasti [tacka (4)]tako da dolazi do delimicne likvefikacije gasa. Obrazovana tecnost isparava pri konstantnojtemperaturi i pritisku (p1 =const i T2 = const) na racun dovedene kolicine toplote q2 odhladnog izvora cija je temperatura nesto visa od najnize temperature T2 ciklusa a zatimzajedno sa nelikvefikovanim gasom ulazi u razmenjivac toplote (2) gde se izobarno zagreva(p1 = const) do pocetne temperature. Pretpostavlja se da je razmenjivac toplote izolovanod okoline (adijabatski uslovi). Na njegovom toplijem kraju temparature obe struje gasasu jednake i iznose T2.

205

.

Slika 13.11.

U T,s-dijagramu na slici 13.11 proces 1 → 2 odgovara izotermnom sabijanju gasa ukompresoru (1); proces 2 → 3− izobarnom hladjenju u razmenjivacu toplote (2′); proces3 → 4− izoentalpijskom prigusenju u prigusnom ventilu (3); proces 4 → 5− izobarno-izotermnom isparavanju u isparavacu (4) i proces 5 → 1− izobarnom zagrevanju u raz-menjivacu toplote (2). Kako je razmenjivac toplote toplotno izolovan od okoline slediq′′1 = q′′2 pa je i2 − i3 = i1 − i5 odnosno t5 − i3 = i1 − i2, tako da uzevsi u obzir da i4 = i3,sledi

q2 = i5 − i4 = t5 − i3 = i1 − i2. (13.34)

S obzirom da jeq1 = −T1(s1 − s2), (13.35)

na osnovu prethodnog sledi da rad utrosen na izobarno sabijanje gasa iznosi

l = |q1| − q2 = T1(s1 − s2)− (i1 − i2). (13.36)

Koeficijent hladjenja idealnog ciklusa sa prostim prigusenjem je

εL =q2

l=

i1 − i2T1(s1 − s2)− (i1 − i2)

. (13.37)

Pri T1 = 300K, p1 = 0.1MPa, p2 = 6−20MPa dobija se da je termodinamicki koeficijentiskoriscenja za, na primer, azot kao radni gas εL/εC = 0.1− 0.2 tj. manji 3-6 puta nego uslucaju idealnog likvefikacionog ciklusa. ( εid

εc

∼= 0.635 pri p1 = 0.1MPa) Razmotrimo teori-jski ciklus sa prostim prigusenjem u slucaju kada se odvodi likvefikovan gas. Principijelnasema ovakvog sistema za hladjenje (slika 13.12) u principu se ne razlikuje od prethodneseme (slika 13.11a).

U odnosu na ranije razmotren ciklus u ovom slucaju protok nelikvefikovanog gasaiz isparavaca je smanjen za kolicinu x odvedenog likvefikovanog gasa u odnosu na ulazniprotok. Odgovarajuca kolicina gasa pri T1 mora da se uvede u ciklus da bi se proceslikvefikacije normalno odvijao. Jednacina toplotne ravnoteze daje

i2 = (1− x)i1 + xi4, (13.38)

tako da tzv. koeficijent likvefikacije iznosi

x =i1 − i2i1 − i′4

. (13.39)

206

Slika 13.12.

Razmotrimo teorijski ciklus hladjenja s prigusenjem i prethodnim delimicnim hlad-jenjem gasa pomocu pomocnog rashladnog fluida (gasa). Prethodnim hladjenjem gasa dotemperature T ′1 (T1 > T ′1 > T2) uvecava se efekt prigusenja. Osim toga, likvefikacija neona,vodonika i helijuma, cija je temperatura inverzije relativno niska, moguca je samo ukolikose gas prethodno ohladi do temperature koja je ispod temperature inverzije pa se tek tadauvodi u prigusni ventil. Ciklus se koristi kako za postizanje niskih temperatura tako i za

207

likvefikaciju gasa.Principijelna sema sistema za hladjenje (likvefikaciju) sa prigusenjem i prethodnim

hladjenjem (Linde-ov metod) prikazana je na slici 13.13. Gas posle sabijanja u kompresoru(1) prolazi kroz razmenjivac toplote (2′) gde se regenerativno hladi suprotnim protokomohladjenog gasa a zatim se dodatno hladi pomocu rashladnog fluida, koji isparava u ispar-avacu (2′′) (za hladjenje vazduha koristi se amonijak ili freon; za vodonik i neon-tecni azot).Zatim se gas uvodi u osnovni razmenjivac toplote (2) gde se hladi suprotnim protokomohladjenog gasa. U odnosu na ciklus sistema hladjenja sa prigusenjem bez prethodnoghladjenja ovaj ciklus se razlikuje po tome sto je temperatura gasa koja se uvodi u raz-menjivac toplote (2) znatno niza, jer je odredjena temperaturom kljucanja T ′1 dodatnogspoljnjeg rashladnog fluida u isparavacu a ne temperaturom protocne vode u razmenjivacutoplote iza kompresora (razmenjivac toplote (2) na slici 13.13). Protok gasa ohladjenogispod temperature inverzije siri se u prigusnom ventilu (3) pri cemu se likvefikuje i ulaziu sabirnu posudu (4), gde ili isparava na racun dovedene toplote q2, ili se odvodi za daljekoriscenje.

Slika 13.13. Slika 13.14.

Osnovno priimucstvo ovog ciklusa je da se svi gubici toplote kompenzuju hladjenjemna temperaturskom nivou T ′1 a ne kao ranije na najnizem temperaturskom nivou T2, (slika13.14) cime se povecava koeficijent likvefikacije x gasa.

13.6.2. Ciklus likvefikacije sa sirenjem gasa u detanderui prigusenjem (Klod-Heslandov metod)

Kod ovih ciklusa zajedno s ireverzibilnim procesom prigusenja u prigusnom ventiluprimenjuje se reverzibilni proces adijabatskog sirenja u detanderu. Adijabatsko (izoen-tropsko) sirenje gasa u detanderu je efektivnije od procesa prigusenja (αs > αi, tako da je∆Ts > ∆Ti).

Pri sirenju gasa u detanderu ne moze da se likvefikuje gas, zbog toga se gas kojije prethodno ohladjen u detanderu uvodi u prigusni ventil i u rezultatu izoentropijskogprigusenja likvefikuje.

Principijelna sema rashladnog sistema sa sirenjem gasa u detanderu i prigusenjem kaoi odgovarajuci ciklus u T,s-dijagramu prikazani su na slici 13.15.

Iz kompresora (1) komprimovan gas pritiska p2 hladi se u razmenjivacu toplote (2′)posle cega jedan njegov deo D ulazi u sledeci razmenjivac toplote (2′′) a drugi deo (1-D)

208

(80%) - u detanderu (5). Pri sirenju u detanderu gas se znatno ohladi a zatim uvodiu suprotan protok gasa i usmerava u razmenjivac toplote (2′′). Deo D gasa ohladjen urazmenjivacu toplote (2′′) ulazi u prigusni ventil (3) i delimicno likvefikovan uvodi u sabirnuposudu (4) a nelikvefikovan gas vraca se u razmenjivace toplote (2′′) i (2′) gde se zagrevado pocetne temperature.

Slika 13.15

Za razliku od rashladnih sistema sa jednostavnim prigusenjem (Linde-ov-metod) uslucaju rashladnih sistema sa sirenjem gasa u detanderu i prigusenjem nije neophodan raz-menjivac toplote-isparivac za dodatno prethodno hladjenje pomocu spoljasnjih rashladnihfluida, s obzirom da se temperatura gasa posle sirenja u detanderu znatno snizava. Takona primer, za likvefikaciju helijuma nije neophodno prethodno hladjenje helijuma tecnimvodonikom a kod nekih sistema sa detanderima cak ni prethodno hladjenje tecnim azotom.

Slika 13.16

Uloga detandera sastoji se u tome da je pri istoj temperaturi T1 pre detandera iistoj temperaturi posle detandera Td i pritisku p1 (p1 < p2) povisenjem pritiska p2 ispreddetandera (posle sabijanja u kompresoru) potrebno manje prethodno hladjenje, odnosno

209

moguc je rad s visom pocetnom temperaturom ispred detandera.Pri vrlo visokim pritiscima nije neophodno prethodno hladjenje (slika 13.16). Sa

povecanjem pritiska p2 snizava se razlika temperatura ∆T = T1 − T3 (∆T ′ = T1 − T3′ <∆T ), tako da je ∆T ′′ = T1−T2′′ = 0. Efikasnost kompresorskih detanderskih likvefikacionihsistema je znatno veca od efikasnosti likvefikacionih sistema sa jednostavnim prigusenjem.

Pri vrlo niskim temperaturama ne mogu da se koriste klipni detandri zbog teskoce upodmazivanju klipa i drugih detalja. Zbog toga su uvedeni turbodetandara. Kod ciklusaniskog pritiska uloga turbodetandara je nezamenljiva s obzirom da je efekt prigusenja uprigusnom ventilu pri niskim pritiscima vrlo mali. Ovakav metod hladjenja poznat kaoKapicin metod lezi u osnovi savremenih likvefikacionih sistema.

210

Primer 13.1 Vazdusna kompresorska rashladna masina proizvodi led temperaturetb = −50C od vode temperature ta = 150C. Pred usisavanjem u kompresor vazduh imatemperaturu t3 = −150C i pritisak p3 = p2 = 0, 1MPa. Pritisak sabijenog vazduha iznosip1 = p4 = 0, 5MPa. Na izlazu iz hladnjaka temperatura vazduha iznosi t1 = 250C. Za-preminski rashod vazduha iznosi dV

dt = 103m3/h pri normalnim uslovima. Odrediti:a) temperaturski koeficijent hladjenja ε inverznog Joul-ovog ciklusa (slika 13.3) po kome

radi ova rashladna masina;b) snagu P potrebnu za pogon kompresora ic) kolicinu dobijenog leda u jedinici vremena. Eksponent adiabate za vazduh je k=1,40.

Specificna toplota leda je cL = 2, 09kJ/kgK. Specificna toplota vode iznosi cpv =4, 187kJ/kgK. Toplota topljenja leda je λ = 330, 7kJ/kg. Specificna toplota pri kon-stantnom pritisku vazduha u datoj oblasti temperature je cp = 1, 0034kJ/kgK a gustinavazduha je ρ = 1, 2928kg/m3.

resenje: Temperatura vazduha na izlazu iz kompresora je

T4 = T3

(p1

p2

) k−1k

= 258 ·(

0, 50, 1

) 1,4−11,4

= 408, 6K.

Iz jednacina adijabata (3 → 4) i (1 → 2) sledi da temperatura posle izvrsene ekspanzije udetanderu iznosi

T2 = T3T1

T4= 258 · 298

408, 6= 188, 16K.

Temperaturski koeficijent hladjenja ε iznosi (13.15)

ε =T2

T1 − T2=

188, 16298− 188, 16

= 1, 713,

ili direktno (13.15)

ε =1

(p1p2

)k−1

k

=1

( 0,50,1 )

1,41−11,41

= 1, 713.

U razmenjivacu toplote tokom izobarnog zagrevanja (proces 2 → 3) u jednici vremenavazduh prima od vode kolicinu toplote

dQ2

dt=

dm

dt· cpv (T3 − T2) =

= ρdV

dtcpv (T3 − T2) = 1, 2928 · 103 · 1, 0034 · 103(258− 188, 16) =

= 90, 60MJ/h = 25, 166kJ/s.

Na osnovu izrza (13.2) velicina ulozenog rada ( za pogon kompresora) iznosi:

L =Q

ε,

tako da je potrebna snaga za pogon kompresora

P =dL

dt=

1ε

dQ

dt=

25, 166 · 103

1, 713= 14, 691kW ≈ 14, 7kW.

211

Da bi se od vode mase (m) i temparature (ta) formirao led temparature (tb) potrebno jeda se voda prvo ohladi do temparature mrznjenja t0 = 00C. Za to je neophodno da voda urazmenjivacu toplote tokom procesa (2 → 3) preda vazduhu specificnu kolicinu toplote

qa0 =Qa0

m= cpv

(ta − t0) = 4, 187(15− 0) = 62, 80kJ/kg.

Za formiranje leda na temperaturi t0 = 00C treba da se odvede kolicina toplote jednakatoploti topljenja leda q0 = λ = 330, 7kJ/kg i da bi se led ohladio do temperature tb = −50Ctreba da se odvede kolicina toplote q0b = cL(ta− tb) = 2, 09 ·5 = 10, 45kJ/kg. Ukupno trebada se po jedinici mase leda odvede kolicina toplote

qab =Qab

m= qa0 + q0 + q0b = (63, 80 + 330, 7 + 10, 45)kJ/kg = 404, 95kJ/kg.

Kako odvedenu toplotu Qab prima vazduh (Q2 = Qab) sledi

dQ2

dt=

dQab

dt=

d

dt(mqab) = qab

dm

dt

tako da je masa formiranog leda u jednici vremena:

dm

dt=

1qab

dQ2

dt=

25, 166 · 103

404, 95 · 103kg/s = 0, 0621

kg

s= 223, 7kg/h.

Primer 13.2 Parnokompresorska rashladna masina radi po inverznom idealnom Ran-kine-ovom ciklusu sa zasicenom parom (slika 13.4) sa freonom -12 kao radnim telom. Na-jvisa i najniza temperatura ciklusa iznose t1 = 300C i t2 = −200C, respektivno. Rashladnikoeficijent uredjaja, tj. kolicina toplote koja se tokom jednog casa odvede od hladnjace[razmenjivaca toplote (2) na slici 13.4] iznosi Q.

2 = 2, 00 · 105kJ/h. Odrediti:a) teorijsku vrednost rada potrebnog za pogon kompresora;b) koeficijent hladjenja;c) maseni protok freona id) teorijsku snagu motora parnokompresorske rashladne masine.

resenje: Na osnovu tabele velicine stanja prokljucalog freona -12 i suve pare freona -12 dobijaju se sledeci podaci za temperaturu t1 = 300C : p1 = 7.4344bara, v′1 =0, 7734dm3/kg, v′′1 = 0, 02433m3/kg, i′1 = 529, 18kJ/kg, i′′1 = 667, 81kJ/kg, s′1 =2, 0999kJ/kgK, s′′1 = 2, 5573kJ/kgK

Za temperaturu t2 = −200C podaci su sledeci: p2 = 1, 5098bara v′2 = 0, 6868dm3/kg,v′′2 = 0, 1107m3/kg, i′2 = 481, 79kJ/kg, i′′2 = 645, 32kJ/kg, s′2 = 1, 9315kJ/kgK, s′′2 =2, 5777kJ/kgK.

Stepen suvoce u tacki 3 (pred ulaz u kompresor) iznosi [na primer, iz jednacine (6.98)]:

x =s3 − s′2s′′2 − s′2

.

212

Kako je s3 = s4 = s′′1 sledi

x =s′′1 − s′2s′′2 − s′2

=2, 5573− 1, 93152, 5777− 1, 9315

= 0, 968.

Entalpija u tacki 3 iznosi (6.95)

i3 = i′2 + (i′′2 − i′2)x = 481, 79 + (645, 32− 481, 79)0, 968 = 640, 09kJ/kg.

Kako je i2 = i1 = i′1 sledi da odvedena specificna toplota, tzv specificni rashladna kapacitetiznosi (13.18):

q2 = i3 − i2 = i3 − i1 = i3 − i′1 = 640, 09− 529, 18 = 110, 91kJ/kg.

Specificna kolicina toplote predata kondenzatoru [(4) na slici 13.4.] iznosi (13.9):

q1 = i4 − i1 = i′′1 − i′1 = 667, 81− 529, 18 = 138, 63kJ/kg.

a) Teorijska vrednost utrosenog specificnog rada kompresora iznosi (13.20):

l = lk = q1 − q2 = i4 − i3 = i′′1 − i3 = 667, 81− 640, 09 = 27, 72kJ/kg.

b) Koeficijent hladjenja je (13.21)

ε =q2

l=

110, 90727, 72

= 4, 00.

Za inverzni Carnot-ov ciklus izmedju datih temparatura koeficijent hladjenja iznosi:

εc =T2

T1 − T2=

253, 1650

= 5, 06 > ε.

c) Kako je

Q2 =dQ2

dt=

d(mq2)dt

= q2dm

dt,

dobija se da je maseni protok freona:

dm

dt=

Q2

q2=

2, 00 · 105kJ/h

110, 91kJ/kg= 1803, 31kg/h = 0, 501kg/s.

d) Teorijska snaga motora koji pokrece kompresor iznosi:

P =dLk

dt=

dmlkdt

= lkdm

dt= 27, 72

kJ

kg0, 501

kg

s≈ 13, 89kW ≈ 13, 9kW.

Primer 13.3 Za zagrevanje zgrada moze da se koristi rashladni uredjaj, koji koristi spoljas-nju sredinu kao toplotni izvor nize temparature. Na ovom principu radi tzv. toplotna

213

pumpa. Pomocu ovog uredjaja, na osnovu ulozenog rada za pogon kompresora za adija-batsko sabijanje radnog tela, toplota se prenosi sa okolne sredine na toplotni izvor visetemperature, tj. na vazduh u prostorijama zgrada. Ako je najniza predvidjena temper-atura okolne sredine t2 = −150C a zeljena temparatura u prostorijama (tj. grejnim telima-kondenzatorima) t1 = 250C, odrediti kolicinu toplote koja se tokom jednog casa dobija zazagrevanje zgrade pomocu toplotne pumpe koja radi po idealnom inverznom Carnot-ovomciklusu za zasicenu paru (1− 2′ − 3− 4 na slici 13.4.) sa amonijakom kao radnim telom.Koliki je koeficijent grejanja εg datog ciklusa? Snaga motora za pogon kompresora iznosiPk = 20kW.

resenje: Na osnovu tabele velicina stanja prokljucalog amonijaka i suve amonijacne paredobijaju se sledeci podaci: Za t2 = −150C je i′2 = 431, 4kJ/kg, i′′2 = 1743, 9kJ/kg, s′2 =1, 743kJ/kgK, s′′2 = 6, 828kJ/kgK; za t1 = 250C je i′2 = 617, 6kJ/kg, i′′2 = 1784, 3kJ/kg,s′1 = 2, 409kJ/kgK, s′′1 = 6.322kJ/kgK. Stepen suvoce u tacki 3 (pred ulaz u kompresor)iznosi (6.98)

x3 =s3 − s′2s′′2 − s′2

=s4 − s′2s′′2s′2

=s′′1 − s′2s′′2 − s′2

=6, 322− 1, 7436, 828− 1, 743

= 0, 900.

Stepen suvoce u tacki 2′ (posle adijabatske ekspanzije u detanderu) je

x2′ =s2′ − s′2s′′2 − s′2

=s1 − s′2s′′2 − s′2

=s′1 − s′2s′′2 − s′2

=2, 409− 1, 7436, 828− 1, 743

= 0, 131.

Entalpije u tackama 2′ i 3 iznose (na osnovu 6.95), repektivno

i2′ = i′2 + (i′′2 − i′2) · x2′ = 431, 4− (1743, 9− 431, 4) · 0, 131 = 603, 3kJ/kg

ii3 = i′2 + (i′′2 − i′2) · x3 = 431, 4− (1743, 9− 431, 4) · 0, 900 = 1612, 6kJ/kg

Specificna kolicina toplote koja je predata kondenzatoru (grejnom telu) iznosi

q1 = i4 − i1 = i′′1 − i′1 = 1784, 3− 617, 6 = 1166, 7kJ/kg.

Specificna kolicina toplote koja je predata radnom telu od okolne sredine u delu ciklusa2 → 3 iznosi:

q2 = i3 − i2′ = 1612, 6− 603, 3 = 1009, 3kJ/kg.

Teorijska vrednost specificnog rada za pogon kompresora iznosi:

lk = q1 − q2 = 1166.7− 1009.4 = 157.4kJ/kg.

Kolicina toplote koja se predaje grejnom telu u jedinici vremena kao i snaga kompresoramogu da se izraze preko masenog protoka dm/dt radnog tela (kroz kompresor):

Q1 =dQ1

dt=

dmq1

dt= q1

dm

dt

iPk =

dLk

dt=

dmlkdt

= lkdm

dt,

214

tako da je

Q1 = q1 · Pk

lk=

1166, 7 · 20157, 4

= 148, 25kJ/s = 533, 7kJ/h ≈ 544kJ/h.

Koeficijent grejanja ( koeficijent transformacije toplote) iznosi

εg =|q1|lk

=1166, 7157, 4

= 7, 41 ≈ 7, 4

iliεg =

T1

T1 − T2=

298298− 258

= 7, 45 ≈ 7, 4.

215

14. PROSTIRANJE TOPLOTE

Pri projektovanju razlicitih toplotnih uredjaja, rashladnih sistema, toplotnih motora,kompresora, transportnih sredstava, pa cak i elektronskih uredjaja, treba da se poznaju iuzmu u obzir procesi prostiranja toplote.

Zavisno od namene uredjaja u praksi je od interesa da se proces prostiranja toplotepotpomogne ili spreci.

Na primer, tezi se da se u razmenjivacima toplote poveca intenzitet razmenjene toplote,smanje dimenzije razmenjivaca a time ustedi materijal.

S druge strane, kod toplovoda treba da se smanji i spreci prostiranje toplote krozzidove cevi koriscenjem toplotno izolacionih materijala.

Da bi se osigurao kontinualan i dugotrajan rad toplotnih uredjaja, toplotnih motora,transportnih sredstava, nadzvucnih letelica itd. neophod-ne su posebne mere zastite poje-dinih delova ovih uredjaja, na primer komore za sagorevanje i mlaznice raketnih letelica.Postoji opasnost od havarije delova zbog opadanja cvrstoce materijala pri dugotrajnomizlaganju visokim temperaturama.

Razlikuju se tri nacina prostiranja toplote:- provodjenjem (kondukcijom),- prelazenjem (konvekcijom), i- zracenjem (radijacijom).

Ovi oblici prostiranja toplote razlikuju se kako po svojoj prirodi tako i zakonitostimakoje ih karakterisu (opisuju).

Prostiranje toplote provodjenjem (kondukcijom) javlja se pri neposrednom kon-taktu tela ili delova tela razlicitih temperatura a ostvaruje se razmenom dela kinetickeenergije haoticnog toplotnog kretanja mikrostrukturnih elemenata tela (molekula, atoma,slobodnih elektrona) pri medjusobnim sudarima i difuziji a takodje i kvantima elasticnihoscilacija kristalne resetke cvrstih tela - fononima - pri makroskopski nepokretnoj masitela. U najcistijem obliku provodjenje toplote se javlja kod cvrstih tela i tankih nepokret-nih slojeva tecnosti i gasova. U metalima i poluprovodnicima provodjenje toplote ostvarujese sudarima i difuzijom slobodnih elektrona kao i fononima. Dok je kod metala fononskakomponenta toplotnog provodjenja mala, kod poluprovodnika je znacajana a kod dielek-trika je osnovna.

Prostiranje toplote provodjenjem zavisi od fizickih svojstava tela, od njegovih dimenz-ija i oblika, kao i od razlike temperature izmedju delova tela. Na primer, metali su najboljiprovodnici toplote. Bez obzira na jednostavnost osnovnih zakona provodjenja toplote irelativno dobro razradjenim matematickim aparatom u realnim slucajevima javljaju senepremostive teskoce pre svega zbog nehomogenosti tela cija se svojstva menjaju sa tem-peraturom i polozajem u zapremini.

Prostiranje toplote prelazenjem (konvekcijom) ostvaruje se prenosom unutrasnjeenergije supstancije slobodnim ili prinudnim makroskopskim kretanjem (strujanjem) celo-kupne mase fluida. Konvekcija je moguca samo u fluidima (tecnostima i gasovima). Kon-vekciono prostiranje toplote je intenzivnije sto je veca brzina usmerenog kretanja fluida.

Slobodna (prirodna) konvekcija javlja se zbog razlike u gustinama delova fluida ra-zlicitih temperatura. Prinudna konvekcija ostvaruje se pod dejstvom spoljnjih sila (pumpe,kompresori, ventilatori, mesalice). Jednovremeno prostiranje toplote konvekcijom i provod-jenjem (kondukcijom) naziva se konvektivna razmena toplote. Na primer, razmenatoplote izmedju cvrstog tela (zida cevi) i tecnosti ostvarjuje se konvekcijom u delu tecnostiudaljenijem od zidova cevi i provodjenjem sa konvekcijom kroz pogranicni sloj.

Prostiranje toplote zracenjem (radijacijom) ostvaruje se i izmedju tela koja nisu umedjusobnom kontaktu, cak i kada je izmedju njih vakuum, prenosom unutrasnje energijetela putem energije elektromagnetnih talasa.

Proces prostiranja toplote zracenjem odvija se u tri stadijuma: tako sto se prvo deounutrasnje energije jednog tela transformise u energiju elektromagnetnigh talasa, zatim

216

prenosi elektromagnetnim talasima (fotonima) kroz prostor, i na kraju apsorbuje sup-stancijom koja se nadje na putu fotona. Pri relativno niskim temperaturama prostiranjezracenjem ostvaruje se, u osnovnim, infracrvenim elektromagnetnim talasima (fotonima).

U praksi se najcesce pojavljuju jednovremeno sva tri nacina prostiranja toplote tzv.slozeno ili kombinovano prostiranje toplote.

14.1. PROSTIRANJE TOPLOTE PROVODJENJEM14.1.1. Temperatursko polje. Izotermske povrsine. Gradijent temperature

Proces prostiranja toplote provodjenjem, kao i ostali oblici prostiranja toplote, bitnozavisi od raspodele temperature unutar tela, tako da za izucavanje toplotnog provodjenjaveliku vaznost imaju pojmovi temperaturskog polja i gradijenta temperature.

Teorija toplotne provodljivosti ne bavi se mikrostrukturnim mehanizmom prenosatoplote, vec se supstancija posmatra kao neprekidna sredina (kontinuum), a razmenjenakolicina toplote se Fourier-ovim zakonom povezuje sa temperaturskim poljem.

Temperatursko polje predstavlja skup vrednosti temperatura u svim tackama pros-tora (koji zauzima telo) u datom trenutku posmatraju:

T = f(x, y, z, τ), (14.1)

gde je T- temperatura; x, y, z− prostorne koordinate; τ− vreme. S obzirom da je temper-atura skalarna velicina, temperatursko polje je skalarno.

Temperatursko polje opasano jednacinom (14.1) je nestacionarno polje tj. temper-atura tela je funkcija i kordinate i vremena. Nestacionarno temperatursko polje odgovaranestacionarnom rezimu prostiranja toplote, na primer, pri zagrevanju ili hladjenju tela.

Ukoliko se raspodela temperature u telu ne menja s vremenom, tada se temperaturskopolje naziva stacionarnim:

T = f(x, y, z);∂T

∂τ, = 0 (14.2)

i odgovara stacionarnom rezimu prostiranja toplote.Temperatura u telu moze da zavisi od jedne, dve ili sve tri prostorne koordinate,

tako da odgovarajuca temperaturska polja mogu da budu jedno-, dvo- ili trodimenziona(odnosno, linijska, povrsinska ili prostorna). Najprostiji oblik ima stacionarno linijsko polje

T = f(x),∂T

∂y=

∂T

∂z= 0,

∂T

∂τ, = 0 (14.3)

koje se javlja pri stacionarnom prostiranju toplote kroz zidove cija je duzina i sirinabeskonacno velika u poredjenju s debljinom.

Geometrijsko mesto tacaka jednakih temperatura datog temperaturskog polja u trenu-tku posmatranja naziva se izotermska povrsina. Kako u jednoj istoj tacki prostora (tela)ne mogu jednovremeno postojati dve razlicite vrednosti temperature, sledi da se izotermskepovrsine medjusobno ne seku; one su ili zatvorene ili se zavrsavaju na granici tela.

Sa slike 14.1, na kojoj su prikazane bliske izotermske linije (dobijene u preseku ravnisa izotermskim povrsinama) sa odgovarajucim temperaturama T −∆T, T i T + ∆T, vidise da se temperatura u telu menja samo u pravcima koji presecaju izotermske povrsine (naprimer, pravac ~s na slici).

217

.

Slika 14.1

Najbrza promena temperature, tj. razlika temperature po jedinici duzine (∆T/∆s),je u pravcu normale ~n na izotermsku povrsinu.

Granicna vrednost odnosa promene temperature ∆T sa rastojanjem izmedju izotermi∆n su u pravcu normale, kada ∆n tezi nuli naziva se gradijent temperature.

gradT = ∇T = (∂T

∂n)~n0 = lim∆n→0

∆T

∆n~n0, (14.4)

gde je ~n0− jedinicni vektor normale na izotermsku povrsinu u smeru prostiranja temper-ature.

Temperaturski gradijent je vektor normalan na izotermsku povrsinu, usmeren ka po-rastu temperature a brojno jednak parcijalnom izvodu temperature po pravcu normale.Jedinica gradijenta temperature je K/m.

14.1.2. Fourie-ov zakon

Za prostiranje toplote u nekom telu ili sredini neophodno je postojenje razlike tem-peratura u razlicitim tackama posmatranog tela. Postojanje gradijenta temperatura jeneophodan uslov i za prostiranje toplote provodjenjem (kondukcijom).

Umesto kolicine toplote u tehnickoj praksi se cesce koristi toplotni protok (toplotnifluks) Φ definisan odnosom kolicine toplote koja prodje kroz datu povrsinu i odgovarajucegvremenskog intervala. Elementarna toplotni protok dat je izrazom

dΦ =dQ

dτ(14.5)

gde je dQ− elementarna kolicina toplote koja u vremenskom intervalu dτ prodje krozelementarnu povrsinu dA. Jedinica za toplotni protok je J/s =w. Odnos toplotnog protokadφ prema povrsini dA kroz koju se prostire toplota naziva se specificni toplotni protok(gustina toplotnog protoka)

q =dΦdA

=dQ

dAdτ, (14.6)

218

a izrazava se u W/m2.Veza izmedju elementarne kolicine toplote dQ, koja se prostire kroz elementarnu

povrsinu dA, na izotermnoj povrsini, u intervalu vremena dτ, i gradijenta temperaturedata je osnovnom jednacinom provodjenja toplote (Fourie-ov zakon):

dQ = −λgradTdAdτ. (14.7)

Fourie-ov zakon moze da se izrazi i preko vektora specificnog toplotnog fluksa:

~q = −λgradT. (14.8)

Projekcije vektora ~q na koorinatne ose date su izrazima

qx = −λ∂T

∂x, qy = −λ

∂T

∂y, qz = −λ

∂T

∂z. (14.9)

Intenzitet vektora specificnog toplotnog fluksa iznosi

q = −λ(∂T

∂n). (14.10)

Znak minus na desnoj strani jednacine (14.8) pokazuje da se toplota prostire u smerusnizenja temperature tj. u suprotnom smeru od vektora garadijenta temperature. Koefici-jent proporcionalnosti λ[ W

mK ] u jednacini (14.8) naziva se koeficijent toplotne provodlji-vosti i predstavlja toplotne karakteristike materijala.

Koeficijent toplotne provodljivosti brojno je jednak gustini fluksa pri jedinicnoj vred-nosti gradijenta temperature.

Na osnovu (14.6) i (14.8) toplotni fluks Φ kroz izotermsku povrsinu A, iznosi

Φ = −∫

A

λ|grad T|dA (14.11)

a kolicina toplote Q, koja prodje kroz datu povrsinu A u toku vremena τ, iznosi

Q = −∫ τ

0

∫

A

λ|grad T|dAdτ. (14.12)

Koeficijent toplotne provodljivosti λ zavisi od vrste materijala, njegove strukture,vlaznosti, u manjoj meri od pritiska i temperature, a u nekim slucajevima cak i od smeraprostiranja toplote. Odredjuje se eksperimentalnim putem i za tehnicke proracune daje setabelarno. Zavisnost koeficijenta toplotne provodljivosti od svojstva supstancije za slucajgasova odredjena je i teorijski.

Za vecinu toplotno izolacionih materijala, kako pokazuju eksperimenti, zavisnost ko-eficijenta toplotne provodljivosti od temperature t (0C) je linearna:

λ = λ0(1 + bt), (14.13)

gde je λ0− koeficijent toplotne provodljivosti pri temperaturi 00 C, a b− temperaturskikoeficijent koji se odredjuje eksperimentalno. Medjutim, u tehnickim proracunima za uzitemperaturski interval, uzima se obicno da je vrednost za λ konstanta jednaka srednjojvrednosti u granicama promene temperature.

219

U slucaju gasova i cvrstih tela, izuzev metala, λ raste sa povecanjem temperature.Ovo je razumljivo s obzirom da kod gasova raste broj sudara u jedinici vremena s po-rastom temperature, a kod nemetala s porastom temperature elasticne oscilacije postajuintenzivnije.

Medjutim, u slucaju tecnosti (osim vode i glicerina) i metala λ opada s porastomtemperature. Kod metala s povecanjem temperature raste otpor kristalne resetke kretanjuslobodnih elektrona.

Za razlicite materijale λ[W/mK] se nalazi u sirokim granicama, na primer,za gasove 0.6 ≥ λ ≥ 0.006;za tecnosti 0.7 ≥ λ ≥ 0.07;za metale 420 ≥ λ ≥ 20.Najbolji provodnici toplote su srebro (λ ≈ 420 W

mK ) i bakar (λ ≈ 390 WmK ).

14.1.3. Diferencijalna jednacina nestacionarnog provodjenja toplote(Fourie-ova jednacina ili jednacina temperaturskog polja)

Da bi se odredila kolicina toplote, koja se prostire provodjenjem za vreme τ krozizotermsku povrsinu A cvrstog tela konacnih dimenzija, na osnovu Fourie-ovog zakona(14.7), neophodno je da se poznaje temperatursko polje unutar razmatranog tela (tj. | gradT |). Jasno je da temperatura temperaturskog polja moze da se menja ne samo od tackedo tacke prostora vec i u istoj tacki tokom vremena. Ovakav slucaj nestacionarnog polja inestacionarnog provodjenja toplote javlja se pri povremenom zagrevanju ili hladjenju tela(na primer pri kaljenju, povremenom grejanju prostorije itd.). Veza izmedju vremenske iprostorne promene temperature data je diferencijalnom jednacinom temperaturskog polja.

Diferncijalna jednacina provodjenja toplote zasnovana je na zakonu odrzanja energijekao i Fourie-ovom zakonu provodjenja toplote. Razmatra se proces nestacionarnog pro-stiranja toplote kroz homogeno i izotropno cvrsto telo. Pretpostavlja se da su koeficijentprovodjenja toplote (λ), specificni toplotni i kapacitet (c) i gustina (ρ) materijala kon-stantne velicine i da su unutrasnji izvori toplote ravnomerno rasporedjeni u telu.

Slika 14.2.

Posmatrajmo u razmtranom telu koje se zagreva (ili hladi) elementarni paralelopipedsa ivicama dx, dy, dz (slika 14.2).

U saglasnosti sa zakonom odrzanja energije, zbir kolicine toplote dQe uvedene toplot-nim provodjenjem za vreme dτ, u elementarnu zapreminu dV = dxdydz izdvojenog par-alelopipeda i toplote dQi oslobodjene unutrasnjim izvorom, za isto vreme, jednak je prome-ni unutrasnje energije dU supstance sadrzane u datoj zapremini:

dQe + dQi = dU (14.14)

Oznacimo sa dQx, dQy, dQz vrednosti elementarnih kolicina toplote uvedenih u posma-tranu zapreminu u pravcima odgovarajucih koordinatnih osa a sa dQx+dx, dQy+dy, dQz+dz

220

vrednosti elementarnih kolicina toplote odvedenih preko suprotnih povrsina iz posmatranezapremine.

Na osnovu Fourie-ovog zakona, kolicina toplote dQx koja se u pravcu x−ose u tokuvremena dτ uvede u posmatranu zapreminu kroz povrsinu dydz, srazmerna je gradijentutemperature ∂T

∂x u blizini ulazne izotermske povrsine temperature T:

dQx = −λ∂T

∂xdydzdτ (14.15)

Kolicina toplote dQx+dx koja je u pravcu x−ose odvedena kroz suprotnu izlaznu povrsinusrazmerna je gradijentu temperature ∂

∂x (T + ∂T∂x dx) u blizini izlazne izotermske povrsine

temperature T + ∂T∂x dx :

dQx+dx = −λ∂

∂x(T +

∂T

∂xdx)dydzdτ. (14.16)

Na osnovu (14.15) i (14.16) sledi da se u paralelopipedu, zbog provodjenja u prvoj x-ose,akumulise toplotna energija velicine

dQxe = dQx − dQx+dx = λ∂2T

∂x2dxdydzdτ. (14.17)

Slicnim rasudjivanjem dobijaju se izrazi za akumulisanu toplotnu energiju u posmatranojzapremini zbog provodjenja u pravcu y− i z− ose:

dQye = dQy − dQy+dy = λ∂2T

∂y2dxdydzdτ, (14.18)

dQze = dQz − dQz+dz = λ∂2T

∂z2dxdydzdτ, (14.19)

tako da ukupna akumulisana kolicina toplotne energije usled provodjenja toplote iznosi

dQe = λ(∂2T

∂x2+

∂2T

∂y2+

∂2T

∂z2)dV dτ. (14.20)

Kolicina toplote dQi koja je oslobodjena unutrasnjim izvorima toplote iznosi

dQi = qidV dτ, (14.21)

gde je qi zapreminska gustina toplotnog fluksa unutrasnjeg izvora toplote (J/m3).Promena unutrasnje energije dU posmatranog dela tela mase dm = ρdV srazmerna je

promeni temperature dT = ∂T∂τ dτ tokom vremena dτ :

dU = cdmdT = cρ∂T

∂τdV dτ, (14.22)

gde je c− specificni toplotni kapacitet a ρ− gustina tela.

221

Na osnovu izraza (14.14), (14.20), (14.21) i (14.22), posle sredjivanja, dobija se difer-encijalna jednacina nestacionarnog provodjenja toplote -Fourie-ova jednacina (linearnaparcijalna diferncijalna jednacina drugog reda):

∂T

∂τ= a(

∂2T

∂x2+

∂2T

∂y2+

∂2T

∂z2) +

ρi

cρ(14.23)

odnosno∂T

∂τ= a∇2T +

ρi

cρ(14.24)

gde je a = λcρ (m2/s) koeficijent temperaturske provodljivosti, koji karakterise brzinu

promene temperature u posmatranoj tacki tela (a ≈ ∂T∂τ ) a ∇2 = ∆ = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 -diferencijalni Laplase-ov operator.

Jednacinom (14.23) odnosno (14.24) data je veza izmedju vremenskih promena tem-perature u bilo kojoj tacki tela u kojoj se odvija proces toplotnog provodjenja.

Ukoliko u telu na postoji unutrasnji izvor toplote (qi = 0) Fourie-ova diferencijalnajednacina nestacionarnog provodjenja toplote glasi

∂T

∂τ= a∇2T. (14.25)

U slucaju stacionarnog rezima provodjenja toplote ∂T∂τ = 0 tako da Fourie-ova jednacina

dobija oblik∇2T = 0. (14.26)

14.1.4. Granicni uslovi

Fourie-ova diferencijalna jednacina (14.24) opisuje pojave prostiranja toplote provo-djenjem u najopstijem obliku. Da bi se naslo resenje u konkretnom slucaju neophodnoje da se poznaje raspodela temperature u telu u pocetnom trenutku ili tzv. pocetniuslovi. Osim toga treba da se poznaju: geometrijski oblik i dimenzije tela, fizicki parametrisredine i tela i granicni uslovi koji kararakterisu raspodelu temperature na povrsini telaili interakciju izucavanog tela s okolnom sredinom. Svi prethodno naznaceni uslovi nazivajuse uslovi jednoznacnosti ili granicni uslovi.

Resavanjem diferencijalne jednacine temperaturskog polja koriscenjem uslova jed-noznacnosti u principu je moguce da se odredi temperatursko polje u celoj zapreminiispitivanog tela u bilo kom trenutku vremena tj. da se odredi funkcija T = f(x, y, z, τ) a naosnovu Fourie-ovog zakona i odgovarajuci toplotni protok. Medjutim, u praksi se analitickoresavanje diferencijalne jednacine temperaturskog polja moze da do kraja sprovede samokod tela pravilnog geometrijskog oblika i to pri dovoljno prostim uslovima jednoznacnosti.Za nesto slozenije uslove koriste se razlicite numericke, graficke i eksperimentalne metode.

222

14.1.5. Stacionarno provodjenje toplote kroz ravan zid (plocu)

Razmotrimo najjednostavniji i najrasprostranjeniji slucaj prostiranja toplote provo-djenjem kroz jednoslojan ravan homogeni zid (plocu) male debljine δ u odnosu na duzinui sirinu (slika 14.3).

Slika 14.3.

Pretpostavimo da je koeficijent toplotne provodljivosti λ konstantan.Na spoljnim, izotermskim povrsinama odrzavaju se konstantne temperature

T1 i T2 (T1 > T2 tako da se toplota prostire od zida ”1” ka zidu ”2”).Kako je pri stacionarnom rezimu (∂T

∂τ = 0) temperatura svake tacke nezavisna odvremena, uzimajuci u obzir da nema unutrasnjih izvora toplote (qi = 0) i da se provod-jenje toplote vrsi normalno na povrsinu zida u pravcu x-ose (∂T

∂y = ∂T∂t = 0), Fourie-ova

diferencijalna jednacina dobija oblik

d2T

dx2= 0. (14.27)

223

Integracijom poslednje diferencijalne jednacine (14.27) dobija se

dT

dx= C1, (14.28)

odakle jeT = C1x + C2. (14.29)

Iz granicnih uslova:x = 0, T = T1, (14.30)

x = δ, T = T2, (14.31)

nalaze se konstante C1 i C2 :

C1 =T2 − T1

δ= −T1 − T2

δ, C2 = T1, (14.32)

tako da je raspodela temperature po debljini zida (temperatursko polje) data izrazom:

T = T1 − T1 − T2

δx, (14.33)

tj. temperatura linearno opada po debljini zida (u pravcu x-ose).Specifican toplotni protok dobija se na osnovu Furie-ovog zakona (14.9) napisanog u

oblikuq = qx = −λ

∂T

∂x. (14.34)

Kako je na osnovu (14.33)∂T

∂x=

dT

dx= −T1 − T2

δ, (14.35)

slediq =

λ

δ(T1 − T2). (14.36)

Na osnovu (14.6) i (14.36) dobija se izraz za toplotni fluks Φ kroz povrsinu A zida

Φ =∫

A

qdA =λ

δ(T1 − T2)A, (14.37)

i izraz za kolicinu toplote Q koju provodi jednoslojan zid za vreme τ

Q =∫

τ

dΦdτ =λ

δ(T1 − T2)Aτ. (14.38)

U izrazima (14.37) i (14.38) odnos λδ predstavlja toplotnu provodljivost zida a reciprocna

vrednost δλ− specificni toplotni otpor toplotnoj provodljivosti (termicka otpornost)

kroz jednoslojan homogeni ravan zid.Znaci, gustina toplotnog protoka q proporcionalna je razlici temperatura povrsina zida

a obrnuto proporcionalna termickoj otpornosti.

224

Dobijeni izrazi (14.37) i (14.38) vaze u slucaju kada je koeficijent toplotne provodljivo-sti λ konstantna velicina. Medjutim, koeficijent toplotne provodljivosti realnih tela zav-isi od temperature tako da i raspodela temperature po dubini zida nije linearna kao uprethodno razmatranom idealizovanom slucaju (pogledaj primer P14.1, slika P14.1).

14.1.6. Stacionarno provodjenje toplote kroz ravan viseslojni zid

Za ravan zid sastavljen iz vise (n) slojeva (n = 3 u slucaju prikazanom na slici 14.4.)razlicitih homogenih materijala, koeficijenta toplotne provod-ljivosti λ1, λ2, λ3, ..., λn, ra-zlicitih debljina δ1, δ2, δ3, ..., δn, moze za svaki sloj posebno da se primeni Fourie-ov zakon.Specificni toplotni protok kroz svaki sloj je isti q1 = q2 = q3 = ... = qn = q s obzirom da supri stacionarnom rezimu jednake kolicine dovedene i odvedene toplote. Na osnovu (14.36),za svaki sloj posebno, je

225

.

Slika 14.4.

q =λ1

δ1(T1 − T2)

q =λ2

δ2(T2 − T3)

q =λ3

δ3(T3 − T4) (14.39)

.......................................

q =λn

δn(Tn − Tn+1)

odnosnoq

δ1

λ1= T1 − T2

qδ2

λ2= T2 − T3

qδ3

λ3= T3 − T4 (14.40)

.................................

qδn

λn= Tn − Tn+1

226

tako da se posle sabiranja poslednjih jednacina (14.40) dobija

q =T1 − Tn+1

δ1λ1

+ δ2λ2

+ δ3λ3

+ ... + δn

λn

=T1 − Tn+1∑n

i=1δi

λi

. (14.41)

Termicki otpor Rλ viseslojnog zida jednak je zbiru termickih otpora Rλi = δiλi

pojedinacnihslojeva :

Rλ =n∑

i=1

Rλi =n∑

i=1

δi

λi(14.42)

Na osnovu (14.41) dobija se da je temperatura na granici k-tog i k + 1− og sloja

Tk+1 = T1 − q

k∑

i=1

δi

λi. (14.43)

Temperatura u svakom sloju linearno opada sa debljinom (pri λ = const) ali za ceoviseslojni zid grafik promene temperature je izlomljena linija.

14.1.7. Stacionarno provodjenje toplote kroz cilindricni zid (cev)

Razmotrimo stacionarno provodjenje toplote kroz homogeni cilindricni zid (cev), cijaje duzina l znatno veca od debljine. Unutrasnji poluprecnik cevi je r1 a spoljnji poluprecnikr2 (slika 14.5).

227

Slika 14.5

Pretpostavimo da je koeficijent provodjenja toplote λ konstantan. Na unutrasnjoj i spolj-njoj povrsini zida odrzavaju se konstantne temperature T1 odnosno T2 (T1 > T2).Izotermske povrsine su cilindricne a toplotni protok je usmeren radijalno. Pri datimuslovima temperatursko polje je jednodimenzionalno tj. temperatura se menja samo uradijalnom pravcu

T = T (r). (14.44)Temperatursko polje i specificni toplotni protok kroz cilindricni zid odredjuje se inte-

gracijom diferencijalnih jednacina provodjenja toplote date u cilindricnim koordinatama.Zamenimo Dekartove koordinate x, y, z cilindricnim koordinatama ϕ, r, z pri cemu je

x = rcosϕ, y = rsinϕ, z = z. U cilindricnim koordinatama Laplase-ov operator dobijaoblik:

∇2 = ∆ =∂2

∂r2+

1r

∂

∂r+

1r2

∂2

∂ϕ2+

∂2

∂z2=

1r

∂

∂r(r

∂

∂r) +

1r2

∂2

∂ϕ2+

∂2

∂z2. (14.45)

U slucaju stacionarnog rezima provodjenja toplote (∂T∂τ = 0) Fourie-ova jednacina u

cilindricnom koordinatnom sistemu dobija oblik:

∂2T

∂r2+

1r

∂T

∂r+

1r2

∂2T

∂ϕ2+

∂2T

∂z2= 0. (14.46)

228

Za beskonacno dug cilindricni zid temperatursko polje zavisi samo od radijus vektorar, tj. T = T (r), tako da diferencijalna jednacina stacionarnog provodjenja toplote dobijaoblik:

d2T

dr2+

1r

dT

dr=

1r

d

dr(r

dT

dr) = 0. (14.47)

Integracijom prethodne jednacine dobija se

rdT

dr= C1, (14.48)

odnosnodT = C1

dr

r, (14.49)

tako da je opste resenje diferencijalne jednacine (14.47) oblika

T (r) = C1lur + C2. (14.50)

Kada se u opste resenje (14.50) uvrste granicni uslovi: T (r1) = T1 i T (r2) = T2, posleoduzimanja dobijenih jednacina, sledi

T2 − T1 = C1lnr2

r1, (14.51)

tako da jeC1 = (T2 − T1)/ln

r2

r1(14.52)

iC2 = T1 − C1lnr1 = T1 − T2 − T1

ln r2r1

lnr1. (14.53)

Smenom konstanti C1 i C2 [(14.52) i (14.53)] u opste resenje (14.50) dobija se raspodelatemperature po debljini cilindricnog zida

T (r) = T1 − T1 − T2

ln r2r1

lnr

r1. (14.54)

Na osnovu Fourie-ovog zakona (14.7 ) sledi da toplotni protok kroz cilindricnu povrsinuA = 2πrl iznosi

φ = −λAdT

dr=

2πλl

ln r2r1

(T! − T2). (14.55)

S obzirom da se unutrasnja i spoljasnja povrsina razlikuju, razlikovace se i specificnitoplotni fluksevi kroz date povrsine. Zbog toga se u tehnici specificni toplotni fluks zacilindricni zid racuna po jednici duzine cevi:

q =φ

l=

2πλ

ln r2r1

(T1 − T2). (14.56)

Znaci, specificni toplotni protok je potpuno odredjen granicnim uslovima i ne zavisi odradijusa.

229

14.1.8. Stacionarno provodjenje toplote kroz viseslojni cilindricni zid (cev)

U slucaju viseslojnog cilindricnog zida (cevi) sa n homogenih slojeva, koeficijenatatoplotne provodljivosti λ1, λ2, λ3, ..., λn, odgovarajucih precnika d1, d2, ..., dn i dn+1 i du-zine l (slika 14.6). Temperature na unutrasnjoj i spoljnoj povrsini viseslojnog cilindricnogzida su konstantne i iznose T1 i Tn+1, respektivno (T1 > Tn+1).

Pri stacionarnom rezimu specificni toplotni protok je isti za sve slojeve tako da je naosnovu (14.56):

ql1

2πλ1ln

d2

d1= T1 − T2

ql1

2πλ2ln

d3

d2= T2 − T3 (14.57)

...........................

ql1

2πλnln

dn+1

dn= Tn − Tn+1

Sabiranjem prethodnih jednacina (14.57) dobija se izraz za specificni toplotni protok krozviseslojni cilindricni zid

ql =T1 − Tn+1∑n

k=11

2πλklndk+1

dk

(14.58)

I u ovom slucaju ukupan toplotni otpor jednak je algebarskom zbiru toplotnih otporapojedinacnih slojeva.

Slika 14.6.

Temperatura izmedju k-tog i k + 1−tog sloja, na osnovu (14.58), iznosi

Tk+1 = T1 − ql

k∑

l=1

12πλi

lndi+1

di(14.59)

230

14.1.9. Stacionarno provodjenje toplote kroz sferni zid

Razmotrimo homogeni sferni zid koeficijenta toplotne provodljivosti λ ciji je unutrasnjipoluprecnik r1 a spoljnji r2(slika14.7). Temperatura unutrasnje i spoljnje povrsine sfere sukonstantna i iznose T1 i T2, respektivno (T1 > T2− izvor toplote se nalazi u unutrasnjostisfere). Temperatura se menja u pravcu radijusa. Izotermske povrsine su koncentricnesferne povrsine.

Slika 14.7

Ukoliko se Dekartove koordinate x, y, z zamene sfernim koordinatama r, θ, ϕ pri cemuje x = rsinθcosϕ, y = rsinθsinϕ, z = rcosθ. Laplase-ov operator u sfernim kordinatamadobija oblik

∇2 = ∆ =∂2

∂r2+

2r

∂

∂r+

1r

∂

∂cosθ[sin2θ

∂

∂cosθ] +

1r2sin2θ

∂2

∂ϕ2=

=1r2

∂

∂r(r2 ∂

∂r) +

1r2sinθ

∂

∂θ(sinθ

∂

∂θ) +

1r2sin2θ

∂2

∂ϕ2, (14.60)

231

tako da u slucaju stacionarnog rezima provodjenje toplote Fourie-ova jednacina u sfernimkoordinatama dobija oblik:

∂2T

∂r2+

1r2

∂

∂r(r2 ∂T

∂r) +

1r2sinθ

∂

∂θ(sinθ

∂T

∂θ) +

1r2sin2θ

∂2T

∂ϕ2= 0. (14.61)

S obzirom da pri konstantnim temperaturama T1 i T2, temperatura T ne zavisi od pravca,odredjenog uglovima θ i ϕ, temperatursko polje u sfernom zidu zavisi samo od r, tj. T =T (r), tako da diferencijalna jednacina (14.61) dobija jednostavan oblik

1r2

d

dr(r2 dT

dr) = 0 (14.62)

odakle je

dT = C1dr

r2, (14.63)

tako da je opste resenje jednacine (14.62)

T (r) = −C1

r+ C2. (14.64)

Ukoliko se uzmu u obzir granicni uslovi T (r1) = T1, i T (r2) = T2 iz opsteg resenja (14.64)sledi

T2 − T1 = −C1(1r2− 1

r1),

odakle jeC1 = (T2 − T1)

r1r2

r2 − r1. (14.65)

Zamenom konstante C1 iz (14.65) u opste resenje (14.64) dobija se izraz za konstantu C2:

C2 = T1 + (T2 − T1)r2

r2 − r1. (14.66)

Postavljanjem konstanti C1 i C2 u opste resenje (14.64) dobija se temperatursko poljeunutar homogene sfere

T (r) = T1 − (T1 − T2)r1r2

r2 − r1(

1r1− 1

r). (14.67)

Temperatura se menja po debljini zida po hiperboli.Iz Fourie-ovog zakona (14.7 ) i dobijenog izraza (14.67) sledi da toplotni fluks kroz

sfernu povrsinu A = 4πr2 iznosi

φ = −λAdT (r)

dr= 4πλ(T1 − T2)

r2r1

r2 − r1. (14.68)

Specificni toplotni protok kroz sfernu povrsinu homogenog sfernog zida, na osnovu (14.68),dat je izrazom

q =φ

A= λ(T1 − T2)

r2r1

r2 − r1

1r2

(14.69)

232

14.1.10. Stacionarno provodjenje toplote kroz viseslojni sferni zid

Za viseslojni sferni zid od n−slucajeva, analogno ranijim izvodjenjima za visestrukiravan i visestruki cilindricni zid, toplotni fluks kroz viseslojni sferni zid iznosi

φ =T1 − Tn+1∑n

i=11

4πλi( 1

ri− 1

ri+1)

(14.70)

gde je λi koeficijent toplotne provodljivosti i-tog sloja, a ri i ri+1 manji i veci radijus i-tog sloja, T1 temperatura unutrasnje povrsine sfere a Tn+1 temperatura spoljnje povrsinesfernog zida.

233

14.2. PROSTIRANJE TOPLOTE PRELAZENJEM (KONVEKCIJOM))

Prostiranje toplote prelazenjem (konvekcijom) je takav proces prostiranja toplote kojise ostvaruje kretanjem (premestanjem) makroskopskih delova fluida a javlja se izmedjupovrsina cvrstih tela i fluida u kretanju pri nehomogenoj raspodeli temperature.

Pravac i smer toplotnog fluksa i proces prostiranja toplote izmedju pokretne fluidnesredine i cvrstog tela, pri njihovom kontaktu, zavisi od temperatura fluida i cvrstog tela.Pod fluidom podrazumevamo tecnosti, gasove, smese gasova i pare.

Razlikuje se slobodna tj. prirodna konvekcija, koja se javlja pri slobodnom kre-tanju (strujanju) fluida zbog razlike gustina zagrejanih i hladnih delova fluida i prinudnakonvekcija, koja se javlja usled razlike pritisaka na ulazu i izlazu kanala (cevi) kroz kojise krece fluid, a izazvane radom pumpi, kompresora, ventilatora, mesalica itd.

Procesi slobodne i prinudne konvekcije odigravaju se jednovremeno, medjutim ulogaslobodne konvekcije je obicno zanemarljiva i uzima se u obzir samo u slucaju velikoggradijenta temperature i malih brzina prinudnog kretanja.

Prostiranje toplote prelazenjem (konvekciojm) praceno je uvek molekularnim prosti-ranjem toplote-provodjenjem (kondukcijom).

Primeri za prostiranje toplote konvekcijom su :a) prostiranje toplote od zagrejane vode u radijatoru, sistema centralnog grejanja ka

okolnom vazduhu u prostorijama;b) prostiranje toplote od dimnih gasova ka vodi kroz zidove parnog kotla;c) prostiranje toplote od kondenzovane pare ka vodi kroz zidove cevi kondenzatora;d) prostiranje toplote od zagrejanih gasova ka vodi iz sistema za hladjenje kroz zidove

cilindra motora unutrasnjeg sagorevanja itd..

14.2.1. Diferencijalne jednacine konvektivne razmene toplote

Bez obzira na slozenost procesa konvekcije pokazuje se da je kolicina toplote Q, koja seprostire sa nekog fluida temperature Tf na zid pored koga fluid ptrotice, granicne povrsineA temperature Tz (Tz > Tf ), za vreme τ, data jednacinom relativno jednostavnog oblika,tzv. Newton-Rihman-ovim zakonom.

Q = αA(Tf − Tz)τ, (14.71)

gde je α− koeficijent prelaza toplote, koji karakterise intenzitet prostiranja toplotekonvekcijom.

Toplotni protok (fluks) φ i specificni toplotni protok q iznose

φ =Q

τ= αA(Tf − Tz) (14.72)

iq =

Q

Aτ= α(Tf − Tz) (14.73)

Iz izraza (14.73) sledi da je koeficijent prelaza toplote α brojno jednak specificnom toplot-nom protoku pri jedinicnoj razlici temperatura.

Primenom Fourier-ovog zakona (14.10) za provodjenje toplote kroz pogranicni sloj

qz = −λ

(∂T

∂n

)

n=0

, (14.74)

gde je n normala na granicnu povrsinu i Newton-Richmann-ovog zakona (14.71) za razmanutoplote konvekcijom na granicu cvrstog tela i pokretnog fluida

qf = α(tf − Tz), (14.75)

234

u slucaju stacionarnog procesa razmene toplote konvekcijom, kada je qz = qf , dobijase diferencijalna jednacina stacionarne razmene toplote konvekcijom na granicicvrstog tela i pokretnog fluida

α = − λ

Tf − Tz

(∂T

∂n

)

n=0

. (14.76)

Da bi se odredio specificni toplotni protok q, saglasno jednacini (14.73), treba da seodredi koeficijent prelaza toplote α. Za analiticko odredjivanje koeficijenta prelaza toplteα neophodno je poznavanje gradijenta temperature (∂T

∂n )n=0 odnosno, temperatursko poljeT = T (τ, x, y, z) u pogranicnom sloju u tacki dodira s povrsinom tela, kao i brzinsko polje~w = ~w(x, y, z, τ) u pokretnom fluidu.

U slucaju dvodimenzionog kretanja nestisljivog fluida, kada vektor brzine ~w ima dvekomponente razlicite od nule (wx, wy = 0, wz = 0), za analiticko opisivanje konvektivnerazmene toplote neophodno je poznavanje, pre svega, tzv. jednacine prenosa energije:

∂T

∂τ+

(wx

∂T

∂x+ wy

∂T

∂y

)= a

(∂2T

∂x2+

∂2T

∂y2

)+

qi

cρ, (14.77)

koja je dobijena prosirenjem Fourier-ove jednacine (14.23) na slucaj fluida u kretanju. Ujednacini (14.77) su a -koeficijent toplotne provodljivosti, c−specificni toplotni kapacitet, ρgustina tela, qi zapreminska gustina toplotnog fluksa unutrasnjeg izvora toplote. U slucajukada nema unutrasnjih izvora toplote (qi = 0) jednacina prenosa energije dobija oblik:

∂T

∂τ+

(wx

∂T

∂x+ wy

∂T

∂y

)= a

(∂2T

∂x2+

∂2T

∂y2

). (14.78)

Za resenje problema konvektivne razmene toplote neophodno je da se poznaje pros-torna i vremenska zavisnost brzine fluida, odnosno tzv. brzinsko polje ~w = ~w(x, y, z, τ).Brzina ~w (tj. wx i wy) kretanja nestisljivog viskoznog fluida, gustine ρ, koeficijenta di-namicke viskoznosti η u polju sile teze ubrzanja g = gx(gy, gz = 0), pri gradijentu pritiska∇p, odredjuje se na osnovu jednacine kretanja nestisljivog viskoznog fluida, tzv. Navier-Stokes-ove jednacine:

∂wx

∂τ+ wx

∂wx

∂x+ wy

∂wx

∂y= g − 1

ρ· ∂p

∂x+ ν

(∂2wx

∂x2+

∂2wx

∂y2

)

(14.79)

∂wy

∂τ+ wx

∂wy

∂x+ wy

∂wx

∂y= −1

ρ· ∂p

∂x+ ν

(∂2wy

∂x2+

∂2wy

∂y2

)

gde je ν = η/ρ koeficijent kinematicke viskoznosti.U slucaju stisljivih fluida, uzevsi u obzir zavisnost gustine od temperature ρ = ρ(T ),

jednacine kretanja dobijaju oblik:

∂wx

∂τ+ wx

∂wx

∂x+ wy

∂wx

∂y= gβθ − 1

ρ

∂p

∂x+ ν

(∂2wx

∂x2+

∂2wx

∂y2

)

(14.80)

235

∂wx

∂τ+ wx

∂wx

∂x+ wy

∂wx

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+ ν

(∂2wx

∂x2+

∂2wx

∂y2

),

gde je β = (ρ− ρ0)/ρ0θ temperaturski koeficijent sirenja fluida, ρ i ρ0 su gustine fluida natemperaturama T i T0, Θ = T − T0.

Da bi sistem jednacina bio potpun za opisivanje kretanja fluida, potrebna je jos jednadiferencijalna jednacina, tzv. jednacina kontinuiteta. Za stisljiv fluid jednacina konti-nuiteta ima oblik

∂ρ

∂τ+

∂(ρwx)∂x

+∂(ρwy)

∂y= 0. (14.81)

U slucaju nestisljivih fluida ρ =const, tako da je jednacina kontinuiteta dobija jednostavnijioblik:

∂wx

∂x+

∂wy

∂y= 0. (14.82)

Znaci, proces konvektivne razmene toplote u nestisljivoj homogenoj sredini s konstant-nim fizickim parametrima opisuje se sistemom diferencijalnih jednacina (14.76), (14.78),(14.79) i (14.82). Ove jednacine, medjutim, opisuju beskonacan skup procesa konvektivnerazmene toplote. Da bi se iz datog skupa jednoznacno izdvojili za nas interesantni pro-cesi datom sistemu jednacina treba da se dodaju i uslovi jednoznacnosti, na primer,raspodele temperature i brzine na ulazu u kanal, na povrsini tela itd.

S obzirom na slozenost sistema diferencijalnih jednacina koje opisuju proces konvek-tivne razmene toplte, u opstem slucaju, nije moguce da se nadje resenje u opstem obliku.Zbog toga se pribegava eksperimentalnom resavanju problema primenom teorije slicnosti.

Za tehnicke proracune najcesce se trazi poznavanje koeficijenta prelaza toplote.Koeficijent prelaza toplote α zavisi od niza faktora koji uticu kako na provodjenje

toplote kroz pogranicni sloj tako i od faktora koji uticu na konvekciju fluida. Koeficijentα zavisi od:

- uzroka strujanja (prirodno ili prinudno)- brzine strujanja fluida w- rezima strujanja (lamilarno ili turbulentno)- fizickih svojstava fluida (gustina −ρ, dinamicka viskoznost −η, specificni toplotni ka-

pacitet cp),- temperature fluida Tf

- temperature zida Tz

- oblika tela (zida) o- karakteristicne dimenzije tela (zida) l- termicke provodljivosti materijala tela λ.

Znaci, koeficijent prelaza toplote α je slozena funkcija vise promenljivih:

α = f(w, ρ, τ, cp, T1, Tz, o, l, λ) (14.83)

ciji analiticki oblik, u opstem slucaju, nije poznat. Zbog toga se koeficijent toplotneprovodljivosti α odredjuje eksperimentalnim putem na modelu a zatim, se primenom to-erije slicnosti dobijeni rezultati prenose na ispitivani objekt (uzorak).

14.2.2. Osnovi teorije slicnosti. Modeliranje procesa konvektivne razmenetoplote

Analiticko resavanje diferencijalnih jednacina koje karakterisu datu fizicku pojavupredstavlja najiscrpnije opisivanje date pojave. Medjutim, u mnogim slucajevima tacnoanaliticko resenje, usled slozenosti polaznih diferencijalnih jednacina, ne moze da se dobije.Tada se koriste eksperimentalni metodi uz primenu teorije slicnosti.

236

Teorija slicnosti se bavi izucavanjem i postavljanjem uslova slicnosti najrazlicitijihprocesa i pojava, posebno pri modeliranju izucavanih procesa. Sustina metoda slicnostisastoji se u ustanovljavanju bezdimenzionih brojeva slicnosti polazeci od diferencijal-nih jednacina izucavane pojave (sa granicnim uslovima), pri cemu je broj tako ustanovljenihbrojeva slicnosti manji od broja fizickih velicina od kojih su napravljeni ovi bezdimanzionikompleksi. Dobijeni brojevi slicnosti mogu da se smatraju novim promenljivim.

Postoje dva modela ustanovljenja brojeva slicnosti: metodom dimenzione anal-ize i metodom teorije slicnosti. Za primenu metoda teorije slicnosti neophodno je poz-navanje diferencijalnih jednacina ispitivane pojave, cime su ukljuceni svi parametri bitniza odvijanje procesa. U ovom se sastoji prednost metoda slicnosti u odnosu na metoddimenzione analize, kod koga se ne polazi od poznavanja diferencijalnih jednacina izucenepojave. Brojevi slicnosti dobijaju se, metodom teorije slicnosti iz diferencijalnih jednacinarazmatrane pojave njihovim transformisanjem u bezdimenzioni oblik.

14.2.2.1. Bezdimenzione promenljive. Brojevi slicnosti

Definisimo brojeve slicnosti, koji karakterisu procese prenosa toplote konvekcijom,koristeci se metodom teorije slicnosti, prevodeci diferencijalne jednacine [(14.76), (14.78),(14.79) i (14.82)] koje opisuju proces prenosa toplote konvekcijom u bezdimenzioni oblik.

Uvedimo bezdimenzione promenljive (velicine):

X =x

l0; Y =

y

l0; τ∗ =

τw0

l0

Wx =wx

w0; Wy =

wy

w0; Θ =

θ

θz(14.84)

P =p

p0

gde je l0− karakteristicna geometrijska dimenzija za date uslove kretanja (na primer,precnik cilindricnog kanala u kojem se krece fluid; w0 - karakteristicna brzina (na primer,brzina fluida duz ose kanala); θz = Tz−T0- karakteristicna razlika temperatura [na primer,razlika temperature zida (Tz) i temperature fluida duz ose kanala (T0)]; θ = T − T0; p0−karakteristicni pritisak (na primer, pritisak na osi kanala). Tada je

x = l0X; y = l0Y ; τ =l0w0

τ∗

wx = w0Wx; wy = w0Wy; θ = θzΘ (14.85)

p = p0P

Uvrstimo promenljive iz (14.85) u jednacinu prenosa energije (14.78). Pri tome je, naprimer,

∂T

∂τ=

∂θ

∂τ=

∂(θzΘ)∂( l0

w0τ∗)

=θzw0

l0

∂Θ∂τ∗

, (14.86)

wz∂T

∂x= w0Wx

∂θ

∂x= w0Wx

∂(θzΘ)∂(l0X)

=θzw0

l0Wx

∂Θ∂X

, (14.87)

∂2θ

∂x2=

∂

∂(l0X)

[∂(θzΘ)∂(l0X)

]=

θz

l20

∂2Θ∂X2

. (14.88)

237

Posle mnozenja obe strane tako dobijene jednacine sa l20/a dobija se jednacina prenosaenergije u novim bezdimenzionim promenljivim:

w0l0a

(∂Θ∂τ∗

+ Wx∂Θ∂X

+ Wy∂Θ∂Y

)=

∂2Θ∂X2

+∂2Θ∂Y 2

(14.89)

Na analogan nacin izvrsimo transformaciju jednacina kretanja (Navier-Stockes-ovejednacine (14.80)). Posle uvrstanja promenljivih iz (14.85) u jednacinu (14.80) i mnozenjemleve i desne strane tako dobijene jednacine sa l20/νw0 dobija se jednacina kretanja viskoznogstisljivog fluida u bezdimenzinim promenljivim:

w0l0ν

(∂Wx

∂τ∗+ Wx

∂Wx

∂X+ Wy

∂Wx

∂Y

)=

gβθzl20

νw0Θ− p0

ρw20

w0l0ν

∂P

∂X+

(∂2Wx

∂X2+

∂2Wx

∂Y 2

)

w0l0ν

∂Wy

∂τ∗+ Wx

∂Wy

∂X+ Wy

∂Wy

∂Y= − p0

ρw20

w0l0ν

∂P

∂Y+

(∂2Wy

∂X2+

∂2Wy

∂Y 2

). (14.90)

Kompleks uz novu promenljivu Θ na desnoj strani prve jednacine (14.90) moze da setransformise u oblik

gβθyl20νw0

=gβθzl

30

ν2

1w0lo

ν

.

Jednacina kontinuiteta (14.82) u bezdimenzionim promenljivim dobija oblik

w0

l0(∂Wx

∂X+

∂Wy

∂Y) = 0 (14.91)

odnosno∂Wx

∂X+

∂Wy

∂Y= 0. (14.92)

Na slican nacin moze i jednacina stacionarne razmene toplote konvekcijom (14.76)

α = − λ

Tf − T0

(∂T

∂y

)

y=0

, (14.93)

da se napise u novim bezdimenzionim promenljivim (14.85):

αl0λ

= −(

∂Θ∂Y

)

Y =0

. (14.94)

U ranije transformisanim jednacinama [(14.89), (14.90), (14.92) i (14.94)] u bezdimenzionioblik pojavljuju se, osim bezdimenzionih velicina Θ, τ∗, X, Y, Wx, Wy i P (izraz 14.84),bezdimenzioni kompleksi sastavljeni od raznorodnih fizickih velicina:

αl0λ

;w0l0

ν;

w0l0a

;gβθzl

30

ν2;

p0

ρw20

.

238

Ovi kompleksi, tzv. brojevi slicnosti dobili su, svaki posebno, imena po naucnicimakoji su dali znacajan doprinos razvoju hidrodinamike i prostiranja toplote, na primer,Reynolds-ov broj (Re), Nusselt-ov broj (Nu), Euler-ov broj (Eu), Peclet-ov broj (Pe),Grasoff-ov broj (Gr):

Nu =αl0λ

(14.95)

Re =w0l0

ν(14.96)

Pe =w0l0

a(14.97)

Eu =p0

ρw20

(14.98)

Gr =gβθzl

30

ν2(14.99)

Na osnovu ovako definisanih brojeva slicnosti (14.95 -14.99) sistem diferencijalnih jednacinau bezdimenzionim promenljivim [(14.89), (14.90), (14.92) i (14.94)], kojim se opisujeprenosenje toplote konvekcijom, moze da se napise u sledecem obliku:

Pe(∂Θ∂τ∗

+ Wx∂Θ∂X

+ Wy∂Θ∂Y

) =∂2Θ∂X2

+∂2Θ∂Y 2

(14.100)

Re

(∂Wx

∂τ∗+ Wx

∂Wx

∂X+ Wy

∂Wx

∂Y

)=

Gr

ReΘ− EuRe

∂P

∂X+

(∂2Wx

∂X2+

∂2Wy

∂Y 2

),

Re

(∂Wy

∂τ∗+ Wx

∂Wy

∂x+ Wy

∂Wy

∂Y

)= −EuRe

∂p

∂Y+

(∂2Wy

∂x2+

∂2Wy

∂Y 2

)(14.101)

∂Wx

∂X+

∂Wy

∂Y= 0, (14.102)

Nu = −(∂Θ∂Y

)Y =0. (14.103)

Postupkom koji je slican gore opisanim uvode se jos neki brojevi slicnosti, kao sto su,na primer, Frude-ov broj (Fr), Biot-ov broj (Bi), Fourier-ov broj (Fo), itd:

Fr =gl0w2

0

, (14.104)

Bi =αl0λc

, (14.105)

Fo =aτ0

l20, (14.106)

gde je λc-koeficijent toplotne provodljivosti cvrstog tela.

239

Neki brojevi slicnosti mogu da se dobiju na osnovu ranije uvedenih brojeva slicnosti.Takvi su, na primer, Prandt-ov broj (Pr) i Stanton-ov broj (St):

Pr =Pe

Re=

ν

a, (14.107)

St =Nu

Pe=

αa

λw0. (14.108)

Brojevi slicnosti mogu da se dobiju za bilo koju pojavu za koju je poznata analitickazavisnost izmedju promenljivih.

Veliki znacaj uvedenih brojeva slicnosti je u tome sto se na osnovu procene njihovihvrednosti moze da oceni odnos clanova u odgovarajucim diferencijalnim jednacinama ubezdimenzionim promenljivim [na primer, u jednacinama (14.100-14.103)] i zakljuci kojisu clanovi zanemarljivi u odnosu na ostale. Na primer, pri velikim vrednostima Reynolds-ovog broja (Re À 1) velika je vrednost i Peclet-ovog broja (Pe À 1), jer je Pe = PrRe aza gasove je Pr ≈ 1 (samo za tecne metale Pr < 1), tako da se u bezdimenzionoj jednacinikretanja (14.101) i jednacini prenosa energije (14.103) mogu da zanemare clanovi kojiuzimaju u obzir uticaj viskoznosti i uticaj toplotne provodljivosti na ostale procese. Udatom slucaju fluid moze da se smatra idealnim, bez viskoznosti i toplotne provodljivosti.

14.2.2.2. Fizicki smisao brojeva slicnosti

Fizicki smisao brojeva slicnosti sledi iz definicionog izraza a takodje iz polazne diferen-cijalne jednacine, odnosno, iz analize odgovarajuce bezdimenzione diferencijalne jednacinena osnovu koje je uveden dati broj slicnosti. Tako na primer: Nusseltt-ov broj (Nu)karakterise intenzitet razmene toplote izmedju cvrstog tela i pokretnog fluida u pograni-cnom sloju. Sto je vece Nu to je inteznivniji proces konvektivne razmene toplote;Reynolds-ov broj (Re) karakterise odnos tzv. inercijalnih (konvektivnih) sila (ρw2

0/l0) prema siliviskoznog trenja (ηw2

0/l0) i definise karakter kretanja fluida* ; Peclet-ov broj (Pe)karakterise odnos intenziteta prostiranja toplote provodljiviscu i prenosenja toplote kon-vekcijom u fluidnoj struji; Grashoff-ov broj (Gr) karakterise odnos sile potiska nastaleusled razlike u gustini fluida, prema sili viskoznog trenja, pri procesu prinudne konvekcije.Sto je Gr vece to je intenzivniji proces prirodne (slobodne) konvekcije; Euler-ov broj(Eu) karakterise odnos sila potiska prema inercijalnim silama; Prandt-ov broj (Pr)karakterise fizicka svojstva fluida kao i nacin prostiranja toplote u fluidu. Njegova vred-nost se krece u intervalu: za gasove 0,67-1,0, za tecnosti 1 ÷ 2500 a za metale 0,005 ÷0,05. Stanton-ov broj (St) karakterise odnos intenziteta prostiranja toplote prenosenjemprema konvektivnom prenosu toplote u tecnostima; Frude-ov broj (Fr) karakterise odnosgravitacione sile prema inercionim silama u procesu prinudnog kretanja fluida u polju sileteze. Biot-ov broj (Bi) karakterise intenzitet nestacionarnog procesa prostiranja toploteu cvrstom telu; Fourier-ov broj (Fo) karakterise brzinu promene temperaturskog poljapri nestacionarnom rezimu prostiranja toplote, itd..

14.2.2.3. Uslovi slicnosti fizickih pojava

Pojam slicnost, koji smo do sada obicno vezivali za slicnost geometrijskih figura,podrazumevajuci pri tome proporcionalnost njihovih stranica i jednakost odgovarajucihuglova, moze da se prosiri na bilo koju fizicku pojavu. O slicnosti fizickih procesa i

* Laminarno kretanje fluida je pri Re < 2 · 103. Prelaz iz laminarnog u turbulentnokretanje je pri 2 · 103 < Re < 104. Pri Re > 104 kretanje je turbulentno.

240

pojava moze da se govori ukoliko one pripadaju klasi pojava iste prirode. Slicne pojaveanaliticki se opisuju jednakim jednacinama po formi i sadrzaju.**

Osnovne postavke teorije slicnosti formulisane su u obliku tri teoreme slicnostiPrva teorema slicnosti: ”Kod medjusobno slicnih procesa i pojava brojne vrednosti

odgovarajucih istoimenih brojeva slicnosti su jednake u odgovarajucim tackama.”Ovom teoremom je ustanovljena veza izmedju brojeva slicnosti i omoguceno je da se

definisu odgovarajuci kriterijumi slicnosti. Odgovara se na pitanje sta je karakteristicnoza slicne pojave. Osim toga, iz prve teoreme sledi da je u eksperimentima potrebno idovoljno da se mere samo one velicine koje su sadrzane u brojevima slicnosti izucavanepojave. Ova teorema sledi iz druge teoreme slicnosti, kojom je postavljen uslov jednakostiodgovarajucih bezdimenzionalnih diferencijalnih jednacina slicnih pojava i procesa.

Druga teorema slicnosti: ”Diferencijalne jednacine koje opisuju odgovarajucufizicku pojavu moguce je predstaviti u obliku jednacine slicnosti (kriterijumske jednaci-ne)

f(K1,K2,K3, ..., Kn) = 0 (14.109)

kao funkciju brojeva slicnosti K1,K2, K3, ..., Kn dobijenih iz datih diferencijalnih jednaci-na.” Jednacina slicnosti predstavlja bezdimenziono resenje (integral) razmatranog zadatkaprimenljivo za sve slicne procese i pojave.

Znaci, bilo kakva zavisnost izmedju velicina koje karakterisu datu pojavu moguce jepredstaviti u obliku jednacine slicnosti, pri cemu je znatno smanjen broj promenljivih atime i zadatak znatno uproscen. Jasno je da su jednacine slicnosti jednake za slicne pojavejer su kod slicnih pojava jednake brojne vrednosti odgovarajucih brojeva slicnosti (prvateorema). Smisao druge teoreme se sastoji u tome da je moguce bez integracije difer-encijalne jednacine da se nadje zavisnost izmedju velicina koje karakterisu datu pojavutako sto se kriterijumska jednacina nalazi eksperimentalnim putem, ustanovljavajuci vezuizmedju odgovarajucih kriterijuma (brojeva) slicnosti za poseban slucaj a zatim primen-juje za sve slicne pojave, naravno, u granicama odredjenim uslovima slicnosti. Na primer,zavisnost α = f(w, ρ, η, cp, Tf , Tz, o, l, λ) moze da se u kriterijumskoj formi predstavijednacinom Nu = F (Re, Gr, Pr) gde su Nu, Re,Gr, Pr odgovarajuci brojevi slicnosti.Kada se funkcija F nadje za poseban slucaj tada se rezultat primenjuje za sve slicne po-jave.

Treca teorema slicnosti ” Da bi pojave i procesi bili slicni neophodno je i dovoljnoda budu slicni njihovi uslovi jednoznacnosti, a odredjujuci kriterijumi slicnosti, sacinjeniod velicina koje ulaze u uslove jednoznacnosti imaju iste brojne vrednosti u odgovarajucimtackama.”

Ovom teoremom su definisani potrebni i dovoljni uslovi slicnosti. Takodje, na osnovunje je zasnovana metoda modeliranja, tj. eksperimentalnog izucavanja modela pojava.

Iz prethodnih teorema (druga teorema) sledi da bi procesi, na primer, konvektivnerazmene toplote bili slicni moraju odgovarajuce diferencijalne jednacine u bezdimenzionimpromenljivim (14.100-14.103) da budu jednake, sto je ispunjeno pod uslovom jednakostiodgovarajucih bezdimenzionih promenljivih i jednakost brojeva slicnosti datih procesa(prva teorema), tj. moraju da imaju jednake brojne vrednosti, tj.

X = idem∗, Y = idem,Re = idem,Pr = idem, Gr = idem,

Nu = idem, θ = idem, Wx = idem,Wy = idem. (14.110)

** Pojave koje se matematicki opisuju jednacinama jednakim po formi ali razlicitimpo sadrzaju nazivaju se analognim. Na primer, pojave toplotne provodnosti elektricneprovodljivosti i difuzije su analogne.

* idem - jedno isto

241

Uzmimo, na primer, dva slicna procesa A i B konvektivne razmene toplote pri pro-ticanju iste tecnosti u kanalima proizvoljnog preseka. Neka su karakteristicne dimenzijekanala njihovi precnici dA i dB . Tada je, shodno (14.84),

XA =xA

dA; YA =

yA

dA; ZA =

zA

dA

(14.111)

XB =yB

dB, YB =

yB

dB, ZB =

zB

dB.

Razmotrimo procese A i B u tackama odredjenim jednacinama

XA = XB , YA = YB , ZA = ZB (14.112)

Tacke (xA, yA, zA) i (xB , yB , zB), koje zadovoljavaju uslov (14.112) nazivaju se karakter-isticne tacke. Za karakteristicne tacke je [(14.111) i (14.112)]

xA

xB=

yA

yB=

zA

zB=

dA

dB= Cd, (14.113)

gde je Cd = dA/dB -konstanta slicnosti dimenzija.Iz uslova slicnosti procesa A i B (14.110) sledi

WXA= WXB

. (14.114)

Kako jeWXA =

wXA

w0A, WXB =

wXB

w0B, (14.115)

gde su w0A i w0B karakteristicne brzine fluida zadate uslovima jednoznacnosti, na primer,brzina na ulazu u kanal A i B, respektivno, sledi

wxA

wxB=

w0A

w0B= Cw (14.116)

gde je Cw = w0A

w0B-konstanta slicnosti brzina. Osim prethodnog, iz uslova slicnosti sledi

da ako su procesi A i B slicni tada je svaka fizicka velicina ϕA u datoj tacki procesa Aproporcionalna odgovarajucoj fizickoj velicini ϕB u karakteristicnoj tacki procesa B, tj.

ϕA = CϕϕB , (14.117)

gde je Cϕ− konstanta slicnosti.Tako je, na primer, za slicne procese A i B u karakteristicnim tackama, na osnovu

(14.110) i (14.95), tj. Nu=idem,

αA

αB=

λAdB

λBdA=

Cλ

Cd= Cα, (14.118)

gde su Cλ = λA/λB , Cd = dA/dB i Cα = Cλ/Cd odgovarajuce konstante slicnosti.

242

Izmedju konstantnih slicnosti postoje strogo definisani odnosi. Na primer, za slicneprocese (A i B) prinudne konvekcije vazi uslov

ReA = ReB (14.119)

Kako je

ReA =w0Ad0A

νA; ReB =

w0Bd0B

νB(14.120)

i kako je [(14.116), (14.113) i (14.117)]

w0A = CwC0B , d0A = Cdd0B , νA = cννB , (14.121)

iz (14.119) slediReA

ReB=

CwCd

cν= 1 (14.122)

14.2.4. Modeliranje fizickih procesa

Kako je u uvodnom delu ovog poglavlja napomenuto, zbog slozenosti diferencijalnihjednacina koje opisuju procese konvektivne razmene toplote pribegava se eksperimental-nom izucavanju datog procesa. Medjutim, zbog velikog broja parametara koji uticu nadatu pojavu eksperimentalno izucavanje je praceno velikim teskocama. Da bi se iz eksper-imentalno dobijenih rezultata izvukli opsti zakljucci i izvrsila korelacija sa drugim rezulta-tima primenjuju se metode teorije slicnosti uz koriscenje uopstenih promenljivih i brojevaslicnosti. Poseban znacaj teorija slicnosti ima pri modeliranju procesa izucavane pojave.

Modeliranje se sastoji u izucavanju odgovarajuce pojeve na modelu vecih ili manjihdimenzija u specijalnim laboratorijskim uslovima umesto da se izucava slicna pojava uprirodi. Pri tome okolna sredina moze da bude drugacija ili ista ali u drugom stanju (naprimer, pri dugacijoj temperaturi). Na osnovu rezultata dobijenih na modelu moze da seda odgovor o sustini pojave u prirodnim uslovima. Modeliranje se zasniva na izucavanjufizicki slicne pojave koja se jednostavnije kontrolise i ostvaruje. Jasno je da procesi namodelu moraju da se ostvare tako da dobijeni rezultati mogu da se prenesu na ispitivaniobjekt (uzorak) primenom teorije slicnosti.

Uslove modeliranja, tj. uslove koje mora da zadovolji model i uslove pod kojimmora da se na njemu odvija izucavani proces daje teorija slicnosti. Samo tada mogurezultati ispitivanja na modelu da se prenesu na uzorak.

Razlikujemo dva osnovna uslova modeliranja:-Prvi uslov modeliranja govori o tome da na modelu mora da se ostvari proces slican

procesu na uzorku, tj. procesi na modelu i uzorku moraju da imaju istu fizicku prirodu ida se opisuju jednakim diferencijalnim jednacinama.

-Drugi uslov govori o tome koje uslove mora da zadovolji model i o uslovima kojimoraju da budu ispunjeni pri merenjima na modelu. U ovom uslovu su sadrzani uslovijednoznacnosti iz kojih sledi zahtev slicnosti geometrijskih, fizickih, granicnih i vremen-skih uslova. Odavde, pre svega, sledi da model mora da bude geometrijski slican uzorku.Sve bitne dimenzije uzorka (du) i modela (dm) moraju da budu vezane relacijom (14.113),tj.

du = Cddm, (14.123)

gde je Cd konstanta slicnosti. Znaci, model treba da bude tacna kopija uzorka ali umanjenaCd puta.

Uslov slicnosti fizickih parametara moze da se ostvari ako su parametri kon-stantni. Kada se, na primer, fizicka svojstva fluida (ϕm) u kome se nalazi model (ili koji

243

proticu kroz model) jednaka fizickim svojstvima fluida (ϕu) u kome se nalazi uzorak (ilikoji protice kroz uzorak) jednaka, tj. ϕu = ϕm, tada je Cϕ = 1.

Uslov slicnosti granicnih uslova najcesce se svodi na slicnost uslova ulaza fluidau model i uzorak i slicnost temperaturskih polja na ulazu i na povrsini uzorka i modela.

Uslov slicnosti vremena je bitan samo pri razmatranju nestacionarnih procesa.Osim gore navedenih uslova, pri modeliranju mora da bude zadovoljen uslov jed-

nakosti brojeva slicnosti izucavanog procesa na modelu i uzorku. Na primer, pri prin-udnoj konvekciji za odvijanje procesa bitan je karakter kretanja fluida koji zavisi od brojnevrednosti Reynolds-ovog broja (Re). Pri modeliranju mora da bude zadovoljen uslov:

Rem = Reu

odnosno, na osnovu (14.96), sledi

w0ml0m

νm=

w0ul0u

νu

tako da brzina fluida pri ulazu u model (wom) mora da ima tacno odredjenu vrednost

wom = woulouνm

lomνu.

Kada kroz model i uzorak protice jedan isti fluid jednakih temperatura, tada je νm =νu (Cν = 1), tako da je

wom = w0ul0u

l0m.

U slucaju kada je, na primer, Cl = l0u

l0m= 10, dobija se

wom = 10wou,

sto znaci da pri jednakim fluidima, brzina fluida u modelu treba da bude toliko puta vecakoliko puta su manje dimenzije modela od dimenzija uzorka.

Jasno je da osim jednakosti Reynoldsovog broja za uzorak i model, mora da postojijednakost i drugih brojeva slicnosti, koji su bitni za izucavanu pojavu (na primer, Pru =Prm).

S obzirom da je proces tacnog modeliranja pracen velikim teskocama, razradjeni sumetodi pribliznog modeliranja. Medjutim, analiza ovih metoda prelazi granice ovogkursa i mogu se naci u prilozenoj literaturi.

14.2.3. Odredjivanje koeficijenta prelaza toplote α primenom teorije slicnosti

Primenom teorije slicnosti, kako je ranije pomenuto, moze da se odredi koeficijentprelaza toplote α pri konvektivnoj razmeni toplote. S obzirom na vrlo slozenu zavisnostα od niza faktora, ciji analiticki oblik jos nije nadjen, prvo se α odredi eksperimental-nim putem na modelu, pa se zatim dobijeni rezultat na osnovu teorije slicnosti prenesena objekat koji nas interesuje. Na osnovu definicije Nusseltt-ovog broja (Nu) (14.95) iodgovarajuce kriterijumske jednacine Nu=F (Re, Gr,Pr) za koeficijent prelaza toplote ustacionarnom rezimu dobija se

α =λNu

l=

λ

lF (Re, Gr, Pr). (14.124)

244

U slucaju prinudne konvekcije tecnosti Nu= F1 (Re, Pr) tako da je

α =λ

lF1(Re, Pr). (14.125)

Pri slobodnoj konvekciji tecnosti Nu = F2 (Gr, Pr) tako da se koeficijent prelazatoplote odredjuje na osnovu izraza

α =λ

lF2(Gr, Pr). (14.126)

Zavisnost izmedju brojeva slicnosti, tj. odgovarajuce kriterijumske jednacine (F, F1, F2)koje se koriste za nalazenje α, odredjuje se eksperimentalno na modelu. Na osnovu velikogbroja podataka nadjeni su empirijski obrazci za razlicite prakticne primere a odgo-varajuci koeficijenti su tabelisani.

Na primer, u slucaju prinudne konvekcije kriterijumska jednacina dobija oblik empir-ijskog obrasca:

Nu = CRenPrmGrr(Prf

Prz)0.25, (14.127)

gde su vrednosti koeficijenta C, n, m i r tabelirani za razlicite rezime strujanja, oblikapovrsine i nacina obstrujavanja.

14.3. PROLAZENJE TOPLOTE

U praksi se prostiranje toplote provodjenjem i konvekcijom skoro nikad ne srecu odvo-jeno, vec se najcesce javlja kombinovan nacin prostiranja toplote tzv. prolazenje toplote.

Prolazenje toplote se javlja izmedju dva fluida razlicitih temperatura, medjusobnorazdvojenih zidom proizvoljnog oblika (ravan, cilindricni sferni zid, ...). Prostiranje toploteod tople pare ili vode kroz zidove radijatora na okolni vazduh u prostoriji, prostiranjetoplote od toplog vazduha kroz zidove sobe na spoljnji atmosferski vazduh itd., predstavl-jaju primere prolazenja toplote. Dok je u prvom primeru potrebno da zid ima veliki koefi-cijent provodjenja toplote (λ) u drugom primeru tezi se da se smanje gubici toplote krozzid izborom materijala malog koeficijenta toplotne provodljivosti (tj. dobrog toplotnogizolatora). U navedenim primerima prostiranje toplote provodjenjem se ostvaruje kroz zi-dove a konvekcijom sa fluida na jednu stranu zida i sa druge strane zida na fluid (isti ilidrugacije prirode).

14.3.1. Stacionarno prolazenje toplote kroz ravan zid

Posmatrajmo ravan zid debljine δ (slika 14.8), koeficijenta toplote pro-vodljivosti λ,koji razdvaja dva fluida temperature Tf1 i Tf2 (Tf1 > Tf2).

Prema Newton-Richtman-ovom zakonu (14.73) specificni toplotni protok u stacionar-nom rezimu od fluida temperature Tf1 i koeficijenta prelaza toplote α1 ka povrsini zidatemperature Tf2 je

qfz =Tf1 − Tz1

1α1

. (14.128)

Specificni toplotni protok kroz zid na cijim je povrsinama temperatura tz1 i Tz2 (Tz1 >Tz2) iznosi

qz =Tz1 − Tz2

δλ

. (14.129)

245

Na kraju, specificni toplotni protok od druge povrsine zida, temperature Tz2, ka fluidukoeficijent prelaza toplote α2 i temperature Tf2(Tz1 > Tf2) je

qzf =Tz2 − Tf2

1α2

. (14.130)

Slika 14.8

Pri prolazenju toplote, u stacionarnom rezimu, specificni toplotni protok je konstantanq = qfz = qz = qzf , tako da je

q1α1

= Tf1 − Tz1, (14.131)

qδ

λ= Tz1 − Tz2, (14.132)

q1α2

= Tz2 − Tf2. (14.133)

Posle sabiranja poslednjih izraza (14.131 -14.133), dobija se

q =Tf1 − Tf2

k, (14.134)

gde je k− koeficijent prolaza toplote dat izrazom

k =1

1α1

+ δλ + 1

α2

. (14.135)

246

Otpor prolazenju toplote R jednak je reciprocnoj vrednosti koeficijnta prolaza toplote

R =1k

=1α1

+δ

λ+

1α2

(14.136)

Iz (14.131), (14.133), (14.134) i (14.135) sledi da je temperatura na povrsinama zidova

Tz1 = Tf1 − q1α1

= Tf1 − Tf1 − Tf2

( 1α1

+ δλ + 1

α2)α1

, (14.137)

Tz2 = Tf2 − q1α2

= Tf2 +Tf1 − Tf2

( 1α1

+ δλ + 1

α2)α2

(14.138)

U slucaju prolazenja toplote kroz ravan visestruki zid od n− slojeva debljineδ1, δ2, ...δn i odgovarajucih koeficijenata toplotne provodljivostiλ1, λ2, ....λn vazi isti izraz za specificni toplotni protok kao u slucaju jednoslojnog zida, stim sto je u ovom slucaju povecan otpor prolazenja toplote

R =1α1

+n∑

k=1

δk

λk+

1α2

. (14.139)

Lako se pokazuje da je temperatura na granici k-tog i k+1-og sloja

Tk+1 = Tf1 − q[1α1

+k∑

l=1

δi

λi]. (14.140)

14.3.2. Stacionarno prolazenje toplote kroz cilindricni zid (cev)

Specificni toplotni protok po jedinici duzine pri stacionarnom prolazenju toplote krozjednoslojni cilindricni zid (cev), ciji su unutrasnji i spoljnji precnici d1 i d2, respektivno(slika 14.9) dobija se slicnim postupkom kao i za prolazenje toplote kroz ravan zid:

ql =Q

lτ=

Tf1 − Tf2

k, (14.141)

gde je koeficijent prolaza toplote

k =1

1πd1α1

+ 12πλ lnd2

d1+ 1

πd2α2

(14.142)

247

Slika 14.9

U slucaju visestrukog cilindricnog zida od n slojeva, odgovarajucih precnikad1, d2, ..., dn+1, i koeficijenata toplotne provodljivosti λ1, λ2, ..., λn, specificni toplotni pro-tok iznosi

ql = k(Tf1 − Tf2) (14.143)

gde je koeficijent prolazenja toplote kroz cilindricni zid od n− slojeva dat izrazom:

k =1

1d1πα1

+∑n

k=11

2πλklndk+1

dk+ 1

dn+1πα2

(4.144)

Temperatura izmedju k-tog i k+1-og sloja iznosi

Tk+1 = T1 − ql

π[

1α1d1

+k∑

i=1

12λi

di+1

di]. (14.145)

14.3.3. Stacionarno prolazenje toplote kroz sferni zid

Razmotrimo stacionarno provodjenje toplote kroz jednoslojni sferni zid ciji su un-utrasnji i spoljnji preseci d1 i d2, respektivno temperatura fluida u unutrasnjosti sfere Tf1

a temperatura fluida van sferne povrsine Tf2 (Tf1 > Tf2), koeficijent prolaza toplote fluidaunutar sfernog zida je α1, koeficijent prolaza toplote od spoljnje povrsine sfere ka okolnojsredini α2 a koeficijent toplotne provodljivosti materijala sfernog zida je λ.

Neka su Tz1 i Tz2, temperature na unutrasnjoj i spoljnjoj povrsini sfernog zida, respek-tivno. U stacionarnom rezimu toplotni fluksevi kroz sve izotermske povrsine su jednakitako da je

Φ/α1πd21 = (Tf1 − Tz1), (14.146)

Φ/2πλ

( 1d1− 1

d2)

= (Tz1 − Tz2), (14.147)

Φ/α2πd2 = (Tz2 − Tf2). (14.148)

Posle sabiranja gornjih izraza (14.146-14.148), dobija

Φ = kπ(Tf1 − Tf2), (14.149)

gde je

k =1

1α1d2

1+ 1

2λ ( 1d1− 1

d2) + 1

α2d22

(14.150)

koeficijent prolaza toplote kroz sferni zid.

14.3.4. Toplotna izolacija. Kriticni precnik izolacije

Zbog ustede energije ili zbog potrebe da se odrzavaju relativno visoke ili niske tem-perature neophodno je da se smanji specificni toplotni fluks od zagrejanog tela ka hladnijojsredini ili od zagrejanog sredine ka hladnijem telu. To se uglavnom postize koriscenjemtzv. toplotne izolacije. To su materijali sa malom vrednoscu koeficijenta provodjenjemtoplote (λ) kao sto su, na primer, azbest, pluta, stiropor, staklena vuna itd.

248

U praksi je cesto potrebno da se odredi tzv. kriticni precnik izolacije, datogkoeficijenta toplotne provodljivosti λiz pri kome su najveci gubici toplote. Kriticni precnikizolacije dk odgovara minimalnom toplotnom otporu, tako da se iz ∂R

∂diz= 0 dobija da dk,

zavisi samo od λiz i koeficijenta prelaza toplote od spoljnje povrsine izolacije na okolnusredinu (α2) :

dk =2λiz

α2(14.151)

Pri diz > dk opadaju toplotni gubici tako da izolacija opravdava svoju namenu, tj. sman-jenje toplotnog fluksa srazmerno je povecanju debljine izolacije.

14.4. PROSTIRANJE TOPLOTE ZRACENjEM

Svako telo, cija je temperatura iznad apsolutne nule, emituje i istovremeno apsor-buje energiju iz kontinualnog spektra elektromagnetnih talasa. Spektar zracenja vecinecvrstih i tecnih tela je kontinualan tj. ova tela emituju elektromagnetne talase svih ta-lasnih duzina od najmanjih do najvecih. Spektar zracenja gasova ima linijski karakter.Gasovi ne zrace talase svih talasnih duzina tako da se ovakvo zracenje naziva selektivno.Za prostiranje toplotne energije elektromagnetnim talasima nije neophodno postojanje sub-stancijalne sredine, tj. prostiranje se ostvaruje i u vakuumu. Toplotnu energiju prenoseelektromagnetni talasi svih talasnih duzina, pocevsi od radiotalasa, infracrvenih, vidljivih,ultraljubicastih pa sve do rentgenskih zraka. Medjutim, najveca kolicina toplotne energijemoze da se prenese elektromagnetnim talasima talasne duzine od 400nm do 800µm. Ovajdeo spektra elektromagnetnog zracenja uslovno se naziva toplotno zracenje. Ono sesastoji od vidljivog (svetlosnog ) zracenja ( 400-800 nm) i infracrvenog zracenja (od 800nmdo 800µm).

Toplotno zracenje i zracenje uopste zavisi od prirode tela, njegove temperture i stanjapovrsine. Toplotno zracenje je primetno i posebno intenzivno pri visokim temperaturama(iznad 10000C). Kada toplotno zracenje padne na neko telo jedan deo zracenja se reflek-tuje, jedan propusta a jedan apsorbuje. Apsorbovan deo energije toplotnog zracenja setransformise u energiju haoticnog toplotnog kretanja atoma i molekula usled cega dolazido povecanja unutrasnje energije i temperature tela.

Ukupna energija svih talasnih duzina izracena sa povrsine tela u jedinici vremenanaziva se integralni fluks zracenja Φ

Φ =dQ

dt. (14.152)

Kolicina energije izracena sa povrsine tela u jedinici vremena u intervalu talasne duzineλ i λ + dλ naziva se fluks monohromatskog zracenja Φλ

Φλ =dΦdλ

(14.153)

Integralni fluks energije izracene sa jedinice povrsine u svim pravcima polusfernogprostora naziva se integralna povrsinska gustina fluksa zracenja ili emisiona moc(emisivnost) E.

E =dΦdA

. (14.154)

Fluks energije izracene sa jedinice povrsine u svim pravcima polusfernog prostora u in-tervalu talasnih duzina λ i λ + dλ naziva se spektralna povrsinska gustina fluksazracenja Eλ

Eλ =dE

dλ. (14.155)

249

Ako se fluks ukupne energije zracenja koje pada na telo oznaci sa φ, apsorbovaneenergije sa Φa, reflektovane energije sa Φr i propustene energije sa φd, tada je jednacinatoplotnog bilansa energije zracenja oblika

Φa

Φ+

Φr

Φ+

Φd

Φ= 1, (14.156)

tj.a + r + d = 1, (14.157)

gde je a = Φa

Φ − koeficijent apsorpcije, r = Φr

Φ − koeficijent refleksije i d = Φa

Φ − koeficijenttransmisije (prozracnosti ili dijatermije).

Teorijski su moguca tri slucaja:1. a=1, r=d=0 − apsolutno crno telo, potpuno apsorbuje energiju upadnog zracenja;2. r=1, a=d=0 − apsolutno belo telo, potpuno reflektuje upadno zracenje i3. d=1, a=r=0 − apsolutno prozracno - diatermno telo, potpuno propusta upadno

zracenje.U prirodi ne postoje apsolutna crna , bela ili prozracna tela. Najbliza apsolutno

crnom telu je povrsina prekrivena cadji (gar) za koju je a=0.90-0.96. Kao fizicki modulapsoluno crnog tela moze da posluzi mali otvor na neprozirnom zidu zatvorene supljine.Elektromagnetno zracenje koje ulazi u supljinu kroz otvor, posle vise strukog odbijanja naunutrasnjoj povrsini supljine prakticno se potpuno apsorbuje.

Povrsinu blisku apsolutno belom telu moguce je dobiti pazljivim poliranjem pi cemuboja nema glavnu ulogu. Na primer, bela povrsina reflektuje dobro samo svetlosne (vidlji-ve) zrake dok deo toplotnih (infracrvenih) zraka dobro apsorbuje. Slicno, dok je kvarctransparentan za svetlosno zracenje, neproziran je za toplotne zrake. Znaci, koeficijentapsorpcije, refleksije i transmisije bitno zavise od talasne duzine upadnog zracenja.

Vecina cvrstih i tecnih tela, cak i malih debljina (od nekoliko mikrona) su nerozirnaza toplotne zrake, pa je za njih d = 0 tj. a + r = 1.

14.4.1. ZAKONI TOPLOTNOG ZRACENjA

14.4.1.1. Kirhof-ov zakon

Da bi se u telu koje zraci odrzala konstantna temperatura neophodno je da se emito-vana energija nadoknadi apsorpcijom ili proizvodjenjem energije u samom izvoru zracenja.Tada imamo slucaj tzv. ravnoteznog zracenja. Veza izmedju emisione i apsorpcionesposobnosti tela u slucaju ravnoteznog zracenja data je Kirhof-ovim zakonom: Odnosemisione moci E prema apsorpcionoj moci a tela ne zavisi od prirode tela i zasva tela predstavlja univerzalnu funkciju talasne duzine (frekvencije) i temper-ature tj.

E

a= f(λ, T ) (14.158)

Znaci, ako telo vise apsorbuje energiju vise ce i da zraci pri datoj temparaturi i udatoj oblasti talasnih duzina. Kako apsolutno crno telo ima najvecu vrednost koeficijentaapsorpcije (a0 = 1) sledi da ima i najvecu emisionu moc E0. Jasno je da i emisiona moc E iapsorpciona moc a (tj. koeficijent apsorpcije) zavise kako od talasne duzine λ i temperatureT tako i od fizickih osobina tela, oblika i stanja povrsine.

S obzirom da u prirodi apsolutno crno telo realno ne postoji uvodi se pojam sivogtela, kao tela koje zraci na svim talasnim duzinama kao apsolutno crno telo, samo mu jeemisiona moc ε puta manja, gde je ε stepen crnoce (koeficijent emisije, emisioni odnos)sivog tela dat izrazom

ε =E

E0, (14.159)

250

E je emisiona moc sivog tela a E0 emisiona moc crnog tela. Stepen crnoce realnih tela jeuvek manji od 1 (ε < 1).

S obzirom da je a0 = 1, na osnovu Kirhof-ovog zakona slediE

a=

E0

a0= E0, (14.160)

tako da jeε = a. (14.161)

Znaci, stepen crnoce (emisioni odnos) sivog tela, pri ravnoteznom zracenju, brojno jejednak njegovom koeficijentu apsorpcije.

Kirhof-ov zakon vazi kako za integralno tako i za monohromatsko zracenjeEλ

aλ=

E0λ

a0λ= E0λ, (14.162)

Eλ i E0λ su spektralne gustine zracenja sivog i apsolutnog crnog tela, respektivno, aλ jemonohromatski koeficijent apsorpcije sivog tela; a0λ je monohromatski koeficijent apsorp-cije crnog tela (a0λ = 1).

Spektralni stepen crnoce (spektralni koeficijent emisije)

ελ =Eλ

E0λ, (14.163)

na osnovu izraza (14.162), brojno je jednak monohromatskom koeficijentu apsorpcije

ελ = aλ. (14.164)

14.4.1.2. Lambert-ov zakon

Gustina fluksa energije zracenja apsolutno crne ravne povrsine razlicita je u razlicitimpravcima. Zbog toga se definise integralna gustina fluksa zracenja u datom pravcu (tzv.ugaoni intenzitet zracenja) kao odnos integralne povrsinske gustine fluksa zracenja u ele-mentarnom prostornom uglu dω oko pravca odredjenim uglom ϕ− u odnosu na normaluna povrsinu:

Iϕ =dEϕ

dω. (14.165)

Slicno se definise i spektralna gustina fluksa zracenja u datom pravcu:

Iϕλ =dEϕλ

dω. (14.166)

Zavisnost integralne ugaone gustine fluksa energije Iϕ od ugla ϕ u odnosu na normalu napovrsinu, odnosno raspodela gustine fluksa energije po pravcima, data je Lambert-ovimzakonom:

Iϕ = Iucosϕ (14.167)gde je Iu gustina fluksa energije zracenja u pravcu normale na povrsinu (ϕ = 0).

Na osnovu Lambert-ovog zakona lako moze da se odredi integralna gustina zracenjaE apsolutno crne elementarne povrsine dA u odgovarajucoj polusferi prostora (normalana povrsinu je osa polusfere). Na osnovu (14.166) i (14.167) sledi da je integralna gustinafluksa zracenja dEϕ u elementarnom prostornom uglu dω u datom pravcu odredjenimuglom ϕ :

dEϕ = Iϕdω = Iucosϕdω. (14.168)Elementarna povrsina dAω koja se vidi pod elementarnim prostornim uglom dω na rasto-janju r iznosi dAω = r2dω.

251

.

Slika 14.10

Kako je s druge strane (slika 14.10) dAω = rdϕrsinϕdΘ, sledi dω = dϕsinϕdΘ, gdeje Θ polarni ugao sfernog koordinatnog sistema, tako da se posle smene dω u (14.168) iintegracijom po Θ i ϕ dobija

E = Iu

∫ 2π

0

dΘ∫ π/2

0

cosϕsinϕdϕ = πIu. (14.169)

Znaci, integralna gustina fluksa zracenja u pravcu normale na ravnu povrsi-nu (Iu), π putaje manja od integralne gustine fluksa zracenja u polusferu prostora (E), tako da Lambert-ov zakon moze da se izrazi i u drugom obliku

Iϕ =E

πcosϕ. (14.170)

Lambertov zakon u prethodnom obliku vazi strogo samo za apsolutno crno telo, inacemoze da se primeni i za sivo telo sa dovoljnom tacnoscu samo za uglove ϕ < 600.

14.4.1.3. Raspodela energije zracenja po talasnim duzinama

Ranije je pomenuto da ukupna gustina fluksa energije zracenja (odnos-no emisionamoc) tela zavisi od oblika i stanja povrsine, ali i od temperature tela. Pri datoj temperaturienergija zracenja raspodeljena je po talasnim duzinama. Raspodela spektralne emisionemoci Eλ (spektralna povrsinska gustina fluksa energije) po talasnim duzinama λ data jePlanck-ovim zakonom

Eλ =2πhc2

λ5

1

(ehc

λkT − 1), (14.171)

gde je h Planck-ova konstanta, c brzina svetlosti u vakuumu, k Boltzman-ova konstanta aT apsolutna temperatura.

Karakteristicno je da se polozaj maksimuma raspodele spektralne emisione moci (λm)pomera s povecanjem temperature u stranu kracih talasnih duzina (Wien-ov zakonpomeranja) (slika 14.11)

λmT = b, (14.172)

gde je b = 2, 9878 · 10−3 mK - Wien-ova konstanta.

252

Slika 14.11.

Integralna povrsinska gustina fluksa zracenja (emisiiona moc) E zavisi od temperatureT. Zavisnost emisione moci apsolutno crnog tela od temperature ustanovljena je eksperi-mentalnim putem (Stefan 1979 god.) a potvrdjena je teorijski (na osnovu termodinamickogmodela) od strane Boltzmanna tako da se cesto naziva Stefan-Boltzman-ov zakon:

E0 =∫ ∞

0

Eλdλ = σ0T4, (14.173)

gde je σ0 = 5, 76 · 10−8 Wm2K4 konstanta zracenja apsolutno crnog tela.

U tehnickim racunima je pogodnije da se izraz (14.173) predstavi u obliku

E0 = C0(T

100)4 (14.174)

gde je C0 = 5, 76 Wm2K4 tzv. koeficijent zracenja apsolutno crnog tela.

Na osnovu izraza (14.159) i (14.174) dobija se izraz za emisionu moc sivog tela.

E = εE0 = C0ε

(T

100

)4

= Cs

(T

100

)4

, (14.175)

gde je Cs = εC0 koeficijent zracenja sivog tela.

253

Na osnovu (14.174), (14.175) i (14.161) sledi da je pri istoj temperaturi

E

E0=

Cs

C0= ε = as, (14.176)

odnosnoCs = asC0, (14.177)

gde je as koeficijent apsorpcije sivog tela.

14.4.2. Razmena toplote zracenjem izmedju cvrstih tela

Velicina integralne gustine fluksa energije sopstvenog zracenja (emisona moc) Eint

nekog tela zavisna je od temperature i fizickih osobina tela, ukljucivsi i stanje njegovepovrsine, a odredjuje se Stefan-Boltzmann-ovim zakonom i nezavisna je od stanja okolnesredine tj. da li se oko njega nalaze toplija ili hladnija tela koja takodje zrace. Akoposmatrano telo ucestvuje u razmeni toplote zracenjem sa okolnim telima to na njegovupovrsinu spolja pada energija zracenja cija je integralna gustina fluksa Eext. Deo upadnogfluksa aEext telo apsorbuje a ostatak (1 − a)Eext reflektuje sa povrsine. Zbir gusitneintegralnog fluksa energije sopstvenog zracenja i zracenja reflektivanog sa povrsine telanaziva se efektivna integralna gustina fluksa energije zracenja Eef :

Eef = Eint + (1− a)Eext. (14.178)

Efektivno zracenje zavisi kako od fizickih osobina i temperature tela koje zraci tako i odokolnih tela a takodje i od relativnog polozaja tela u prostoru.

Efektivno zracenje je fakticko zracenje tela, koje se moze izmeriti instrumentima. Zaapsolutno crno telo Eef = Eint jer je a0 = 1. Gustina fluksa rezultujuceg zracenja Er

je kolicina energije prenesena zracenjem od jednog ka drugom telu u jedinici vremena sajedinice povrsine. Gustina fluksa rezultujuceg zracenja ( posmatranog na povrsini izvantela) jednaka je razlici gustine fluksa efektivnog zracenja Eef jednog tela i gustine fluksaupadnog zracenja od strane drugog tela Eext

Er = Eef − Eext. (14.179)

S druge strane, gustina fluksa rezultujuceg zracenja (posmatrano sa zamisljene povrsi-ne u telu) jednaka je razlici gustine fluksa sopstvenog zracenja Eint tela i dela upadnogzracenja aEext, koju telo apsorbuje:

Er = Eint − aEext. (14.180)

Vrednost i znak Er odredjuje fluks energije koji dato telo predaje okolnim telima ilidobija od njih u procesu razmene toplote zracenjem. Ako je Er < 0, znaci da telo prirazmeni zracenja dobija energiju. Na osnovu (14.179) i (14.180) nalazi se veza izmedjugustine fluksa sopstvenog (Eint), efektivnog (Eef ) i rezultujuceg (Er) zracenja

Eef =Eint

a− 1− a

aEr. (14.181)

Razmena toplote zracenjem, kako je prethodno pomenuto, zavisi i od uzajamnogpolozaja tela (odnosno njihovih povrsina) koja ucestvuju u razmeni. Najcesce se, u praksi,srecu dve povrsine koje zrace. U najopstijem slucaju povrsine mogu imati proizvoljni

254

medjusobni polozaj, pa i takav da jedna povrsina obuhvata drugu. Razmotrimo nekenajjednostavnije slucajeve.

14.4.2.1. Razmena toplote zracenjem izmedju dve paralelne povrsine (ploce)

Odredimo rezultujucu gustinu fluksa energije koja se zracenjem razmeni izmedju dvejuparalelnih povrsina (ploca) cije su dimenzije znatno vece od medjusobnog rastojanja. Nekaploca ”1” ima temperaturu T1, konstantnu zracenja C1 = ε1C0 i koeficijent apsorpcije a1,a neka ploca ”2” ima temperaturu T2 < T1, konstantu zracenja C2 = ε2C0 i koeficijentapsorpcije a2.

Rezultujuca integralana gustina fluksa energije Er koja se razmeni izmedju plocajednaka je razlici efektivnih integralnih gustina fluksa energije E1ef i E2ef ploce ”1” iploce”2”, respektivno:

Er = E1ef − E2ef . (14.182)

Na osnovu (14.178) sledi

E1ef = E1 + (1− a1)E2ef , (14.183)

E2ef = E2 + (1− a2)E1ef . (14.184)

Sopstvene integralne gustine fluksa energije zracenja ploce ”1” i ”2”, na osnovu (14.175)iznosi respektivno

E1 = C1

(T1

100

)4

= a1C0

(T1

100

)4

(14.185)

E2 = C2

(T2

100

)4

= a2C0

(T2

100

)4

(14.186)

Iz (14.183) i (14.184) sledi

E1ef =E1 + (1− a1)E2

1− (1− a1)(1− a2), (14.187)

E2ef =E2 + (1− a2)E1

1− (1− a1)(1− a2). (14.188)

Smenom E1ef i E2ef iz (14.187) i (14.188) u (14.182) dobija se

Er =E1a2 − E2a1

1− (1− a1)(1− a2)=

E1a2 − E2a1

a1 + a2 − a1a2. (14.189)

Ako se E1 i E2 iz (14.185) i (14.186) uvrste u (14.189) dobija se da je rezultujuca gustinafluksa energije koja se razmeni izmedju ploca zracenjem

Er = C12

[(T1

100

)4

−(

T2

100

)4]

, (14.190)

gde je

C12 =1

1a1C0

+ 1a2C0

− 1C0

=1

1C1

+ 1C2− 1

C0

(14.191)

tzv. efektivna konstanta zracenja. Efektivna konstanta zracenja manja je od najmanjekonstante zracenja povrsina ploca (C12 < C1, C12 < C2).

255

14.4.2.2. Razmena toplote zracenjem izmedju tela od kojih se jedno nalaziunutar drugog

Razmena toplote zracenjem u slucaju kada je povrsina tela ”1” obuhvacena povrsinomtela ”2” (slika 14.12) cesto se srece u tehnici. Neka su oznake za odgovarajuce velicinekao u slucaju paralelnih povrsina. U odnosu na prethodni slucaj ovde je jedna povrsinakonveksna (”1”) a druga konkavna (”2”). Osim toga, velicine odgovarajucih povrsina A1

i A2 su razlicite (A1 > A2) tako da na unutrasnje telo pada samo deo γ2,1Φ2ef efektivnogfluksa energije zracenja φ2ef spoljnjeg tela; γ2,1 je geometrijski faktor. Preostali deo (1−γ2,1)Φ2ef efektivnog fluksa zracenja spoljnjeg tela pada na povrsinu istog tela (spoljnjegtela). Na spoljnje telo pada celokupan efektivan fluks φ1ef unutrasnjeg tela.

Slika 14.12.

Rezultujuci razmenjen fluks energije zracenja u ovom slucaju dat je izrazom

φ1,2 = φ1ef − γ2,1φ2ef . (14.192)

Analogno izrazu (14.181) veza fluksa sopstvenog, efektivnog i rezultujuceg zracenja dataje izrazima

φ1ef =φ1

a1− 1− a1

a1φ1,2, (14.193)

φ2ef =φ2

a2− 1− a2

a2φ2,1. (14.194)

Smenom (14.193) i (14.194) u (14.192), vodeci racuna da je φ1,2 = −φ2,1, dobija se

φ1,2 =φ1a1− γ2,1

φ2a2

1a1

+ ( 1a2− 1)γ2,1

(14.195)

256

Na osnovu Stefan-Boltzmann-ovog zakona (14.175), sopstveni fluks efektivnog zracenjadatih tela iznosi

φ1 = C1(T1

100)4A1 = C0a1(

T1

100)4A1, (14.196)

φ2 = C2(T2

100)4A2 = C0a2(

T2

100)4A2. (14.197)

Zamenom izraza (14.196) i (14.197) u (14.195) dobija se

φ1,2 =C0[( T1

100 )4A1 − ( T2100 )4A2γ2,1]

1a1

+ ( 1a2− 1)γ2,1

. (14.198)

Geometrijski faktor γ2,1 moze da se odredi iz (14.198) na osnovu cinjenice da je pri T1 = T2

razmenjen toplotni fluks nula (φ1,2 = 0). Sledi da je γ2,1 = A1A2

, tako da se posle smene γ2,1

u (14.198) i sredjivanja dobija

φ1,2 = C1,2A1

[(T1

100

)4

−(

T2

100

)4]

, (14.199)

gde je

C1,2 =1

1C1

+ A1A2

( 1C2− 1

C0), (14.200)

efektivna konstanta zracenja za ovaj slucaj razmena toplote zracenjem. Ako je A1 ¿ A2

iz (14.200) sledi C12 = C1, tako da je

φ1,2 = C1A1

[(T1

100

)4

−(

T2

100

)4]

. (14.201)

Ako se u izraz (14.200) stavi da je A1 = A2 = A dobija se izraz za efektivnu konstantuzracenja koji odgovara slucaju paralelnih povrsina.

14.4.2.3. Razmena toplote zracenjem izmedju dve povrsine proizvoljnogpolozaja u prostoru

Neka su tela ”1” i ”2” na medjusobnom rastojanju r, postavljena tako da normale~n1 i ~n2 elemenata njihovih povrsina dA1 i dA2 zaklapaju uglove ϕ1 i ϕ2 sa pravom kojaspaja njihova sredista (slika 14.13). Oznacimo sa T1 i T2 njihove temeperature, C1 i C2

konstante zracenja i a1 i a2 koeficijente apsorpcije.

257

Slika 14.13

Moze da se pokaze da je rezultujuci razmenjeni fluks energije zracenja oblika

φ1,2 = C12

[(T1

100

)4

−(

T2

100

)4]

ϕ1,2, (14.202)

gde je C1,2 -efektivni koeficijent zracenja sistema tela a

ϕ1,2 =∫

A1

dA1

∫

A2

cosϕ1cosϕ2

πr2dA2, (14.203)

uglovni koeficijent zracenja.Ovaj koeficijent zavisi od dimenzija, oblika oba tela i njihovog medjusobnog polozaja.

S obzirom na matematicke teskoce vezane za resavanje odgovarajucih integrala, uglovni ko-eficijent se najcesce odredjuje grafickim putem. Vrednosti uglovnog koeficijenta za razlicitesisteme od dvaju tela, razlicitih po konfiguraciji, povrsine A1 i A2 tabelisane su.

14.4.2.4. Ekrani

Da bi se smanjila razmena toplote zracenjem izmedju tela, u nauci i tehnici se koristetzv. zastitni toplotni ekrani. Na primer, da ne bi doslo do pogresnog merenja temperature

258

termometri (termoparovi) se moraju zastiti od fluksa zracenja okolnih tela. Kao toplotnizastitni ekrani koriste se tanki metalni listovi (folije) neprozirni za toplotne zrake, visokereflektivnosti (malog koeficijenta crnoce) i toplotne provodljivosti, tako da moze da se uzmeda su temperature Te obe povrsine ekrana jednake.

Razmotrimo ulogu i efekt ekrana pri njegovom koriscenju u slucaju dve beskonacnoravne paralelne povrsine temperatura T1 i T2(> T1), zanemarujuci prostiranje toplote kon-fekcijom. Pretpostavimo radi jednostavnijeg izvodjenja da se koeficijenti zracenja povrsinezidova tela i ekrana jednaki C1 = C2 = Ce. Tada su efektivne (prividne) konstante zracenjaizmedju prve povrsine i ekrana C1e i ekrana i druge povrsine Ce2 medjusobno jednake

C1e = Ce2 = C12. (14.204)

U slucaju kada ekran nije postavljen rezultujuca razmenjena gustina fluksa zracenja odprve ka drugoj povrsini iznosi (14.190)

Er = C12

[(T1

100

)4

−(

T2

100

)4]

. (14.205)

Kada se izmedju datih povrsina postavi ekran gustina fluksa zracenja od prve povrsine kaekranu je

Er1e = C12

[(T1

100

)4

−(

Te

100

)4]

, (14.206)

a od ekrana ka drugoj povrsini iznosi

Ere2 = C12

[(Te

100

)4

−(

T2

100

)4]

. (14.207)

S obzirom da su u stanju toplotne ravnoteze razmenjeni fluksovi jednaki Er1e = Ere2 =Ere na osnovu (14.205), (14.206) i (14.207) sledi

(Te

100

)4

=12

[(T1

100

)4

+(

T2

100

)4]

. (14.208)

Zamenom dobijenog izraza za temperaturu ekrana Te u, na primer, izraz (14.206),dobija se

Ere =C12

2

[(T1

100

)4

−(

T2

100

)4]

. (14.209)

Poredjenjem jednacina (14.209) i (14.205) zakljucuje se da se koriscenjem jednogekrana razmenjena gustina fluksa energije zracenja smanji dva puta:

Ere =Er

2. (14.210)

Moze da se pokaze da se pri koriscenju n−ekrana razmenjena gustina fluksa energijezracenja smanji n + 1− put.

Efekt primene ekrana postaje veci ako se koriste ekrani visoke reflektivnosti (malecrnoce) od dobro ispoliranog materijala.

259

Primer 14.1. Odrediti specificni toplotni protok q kroz ravan zid debljine δ = 0.2mi naci stvarnu raspodelu temperature t = t(x), (0 ≤ x ≤ δ) ako je temperatura na jednojpovrsini t1 = 9500C a na drugoj t2 = 500C. Kolika je temperatura u zidu na rastojanjux = 0.1m. Koeficijent provodjenja toplote dat je izrazom: λ = λ0(1 + bt); λ0 =0.1 w

mK ,

b = 10−30C−1.

resenje: Kako je q = −λ(t) dtdx odnosno

q = −λ0(1 + bt)dt

dx

sledi

qx = −λ0(t +bt2

2) + c (P14.1.1)

Konstanta c odredjuje se iz uslova da je za x = 0, t = t1 i za x = δ, t = t2

c = λ0(t1 + bt212

) (P14.1.2)

pa je

qδ = −λ0(t2 + bt2

2) + λ0(t1 + b

t212

) = λ0(t1 − t2) +λ0b

2(t21 − t22) =

λ0(t1 − t2)[1 +b

2(t1 + t2)],

odnosno

q =λ0(t1 − t2)

δ[1 +

b(t1 + t2)2

] (P14.1.3)

odakle jeq = 675W/m2

S druge strane iz (P14.1.1) i (P14.1.2) sledi

q = λ0(t1 − t)

δ[1 +

b

2(t1 + t)], (P14.1.4)

odakle je

t2 +2bt + (

2qx

λ0b− 2

bt1 − t21) = 0,

i konacno

t = −1b

+√

(1b

+ t1)2 − 2q

λ0bx (P14.1.5)

Smenom brojnih vrednosti u (P14.1.5) dobija se

t = 103[√

3, 80− 13, 5 · 01− 1]0C = 5650C

Umesto linearnog pada temparature pri λ = const [”1” na slici P14.1] u realnom slucajukada je λ = λ0(1+ bt), b > 0, temparatura pada po konveksnoj krivoj [”2” na slici P14.1.5]

260

koja je data jednacinom (P14.1). Kada je b < 0, kriva data jednacinom (P14.1) jekonkavna.

Slika P14.1.

Primer 14.2. Odrediti debljinu leda koji se obrazuje u toku τ = 1h na mirnoj povrsinijezera. Smatrati da je temperatura okolnog vazduha t = −100C, sve vreme konstantna, ijednaka temperaturi spoljnje povrsine leda (t < tl = 00C) gde je tl− temperatura topljenjaleda). Koeficijent toplotne provodnosti −λ ,latentna toplota topljenja leda −∧ i gustinaleda −ρ iznose respektivno

λ = 2.2W

m ·0 C, ∧ = 335

kJ

kgi ρ = 900

kg

m3.

resenje: Da bi se od vode mase dm obrazovao sloj leda debljine dx i povrsine S (slikaP14.2), na temperaturi tl = 00C, neophodno je smanjiti joj unutrasnju energiju odvodjen-jem odredjene kolicine toplote

dQ = ∧dm = ∧ρSdx. (P14.2.1)

S druge strane, obzirom na postojanje razlike temperature ∆t = tl−t duz ranije formiranogleda debljine x, odvedene kolicine toplote dQ tokom vremena dτ iznosi

dQ = λ∆t

xSdτ. (P14.2.2)

Na osnovu (P14.2.1) i (P14.2.2) je

xdx =λ∆T

∧ρdτ,

261

tako da se, (uzimajuci da je za τ = 0, x = 0) dobija da debljina formiranog sloja ledaiznosi

x =

√2λ(tl − t) · τ

∧ρ= 2.30cm.

Primer 14.3. Odrediti temperaturu t2 spoljnje povrsine cilindricne peci ako se znada je temperatura unutrasnje povrsine t1 = 9000 C. Unutrasnji poluprecnik cilindra iznosir1 = 0.030 m a spoljnji r2 = 0.30m. Koeficijent toplotne provodljivosti je λ = 0.116 J/Ks.Gubitci toplote iznose q = 250 W/m.

resenje: Na osnovu Fourrier-ove jednacine, specificni toplotni protok kroz cilindrican zidcevi dat je izrazom

q =2πλ(t1 − t2)

ln r2r1

odakle je temperatura spoljnje povrsine peci

t2 = t1 − q

2πλln

r2

r1= 1100C.

Primer 14.4 Da bi se odredila raspodela temperature (temperatursko polje) u dugomcelicnom valjku precnika d = 2r = 500mm posle vremena τ = 2h od njegovog stavljanjau pec, vrsi se merenje u manjoj peci na geometrijski slicnom modelu valjka, napravljenogod legure celika. Odrediti precnik modela valjka dm kao i vreme τm racunato od momentastavljanja modela u manju pec, kada treba da se izmeri raspodela temperature u modelu.Koeficijent toplotne provodljivosti i koeficijent provodljivosti za celik iznose: λ = 40W/m0Ci a = 1, 20 · 10−5m2/s, respektivno, a koeficijent prelaza toplote ka valjku u peci je α =120W/m20C. Odgovarajuci podaci za model su: λm = 15W/m0C, am = 0, 50·10−5m2/s iαm = 160W/m20C.

resenje: Slicnost temperaturskih polja objekta (valjka) i njegovog modela postoji ukolikosu im jednaki odgovarajuci kriterijumi tj. ukoliko je

Bi = Bim i Fo = Fom, (P14.4.1)

gde Biot-ov (Bi) i Fourier-ov (Fo) kriterijum za objekt iznose [(14.100) i (14.101), respek-tivno]

Bi =αr

λ=

120 · 0, 2540

= 0, 750,

i

Fo =aτ

r2=

1, 20 · 10−5 · 2 · 36000, 252

= 1, 382.

Iz uslova Bim = Bi (P14.4.1) sledi

rm =λm

αm·Bim =

λm

αm·Bi =

15160

· 0, 750 = 0, 0703m

odnosnodm = 2rm = 0, 1406m = 140, 6mm

262

Iz uslova Fom = Fo (P14.4.1) sledi

τm =r2m

am· Fom =

r2m

am· Fo =

0, 07032

0, 50 · 10−5· 1, 382 = 1366s = 22min 47s.

Primer 14.5 U slucaju laminarnog strujanja fluida duz ravnog zida (ploce) (Re <Rek = 5 · 105) vazi sledeca empirijska kriterijumska jednacina:

Nuf = 0, 67Re0,5f Pr0,33

f ,

gde je Nuf , Ref i Prf− Nusseltt-ov, Reynolds-ov i Praundt-ov kriterijum (broj ) zafluid, respektivno. Odredi srednju vrednost (po duzini) koeficijenta prelaza toplote (α) itoplotnog fluksa (Φ) izmedju tanke ravne ploce duzine l = 1.7m i sirine d=1.5m i vazduhakoji struji duz obe njene povrsine brzinom wf = 2, 0m/s. Temperatura u vazdusnoj strujije tf = 200C a temperatura na povrsinama ploce je tz = 1000C. Pri temperaturi od 200Ckineticka viskoznost vazduha je νf = 1, 5 · 10−5m2/s, koeficijent toplotne provodljivosti jeλf = 2, 60 · 10−2ω/m0C i Prf = 0, 70.

resenje: U ovom slucaju Reynolds-ov broj iznosi (14.96)

Re =wf l

νf=

2, 5 · 1, 71, 5 · 10−5

= 2, 83 · 105 < Rek,

sto znaci da je rezim strujanja u pogranicnom sloju laminaran tako da moze da se primenigornja kriterijumska jednacina.

Nusseltt-ov kriterijum iznosi

Nuf = 0, 67 ·Re0,5f Pr0,33

f = 0, 67 · (2, 83 · 105)0,5 · (0, 70)0,33 = 317.

Na osnovu dobijene vrednosti za Nusseltt-ov broj i izraza (14.88) sledi srednja vrednostkoeficijenta prelaza toplote (duz ploce):

α = Nu · λ

l= 317 · 2, 60 · 10−2

1, 7= 4, 85W/m20C.

Toplotni fluks razmenjen izmedju obe ploce ukupne povrsine

A = 2 · l · d = 2 · 1, 7 · 1, 5 = 5, 10m2

iznosi (14.96)

Φ =q

τ= αA(tf − tz) = 4, 85 · 5, 10(100− 20) = 2, 00kW

Primer 14.6 Izmedju dveju paralelnih povrsina jednakih konstanti zracenja c1 = c2 =cp = 4.50W/m2K, temperatura T1 = 700K i T2 = 300K, postavljen je paralelno ekran

263

stepana crnoce ε = 0, 1. Odrediti gustinu fluksa zracenjem razmenjene energije izmedjudatih povrsina pre i posle postavljenje ekrana kao i temperaturu ekrana. Kolika je gustinafluksa energije zracenja kada su konstante zracenja povrsine i ekrana jednake c1 = c2 =ce = cp? Predpostaviti da su sve povrsine beskonacno velike, tj. da nema rastapanja gustinefluksa energije zracenja.

resenje: U slucaju kada izmedju povrsina nije postavljen ekran gustina fluksa zracenjemrazmenjene energije Er izmedju datih paralelnih beskonacnih povrsina data je izrazom(14.190 i 14.191)

Er = c12[(T1

100)4 − (

T2

100)4],

gde je

c12 =1

1c1

+ 1c2− 1

c0

=1

2cp− 1

c0

efektivna konstanta zracenja. Kako je c1 = c2 = cp = 4, 50W/m2K4 I c0 = 5, 76W/m2K4

sledi da je c12 = 3, 69W/m2K4, tako da je

Er = 3, 69 · [(700100

)4 − (300100

)4] = 8, 566kW/m2.

Kada se izmedju datih povrsina postavi ekran tada je gustina fluida zracenja od prvepovrsine ka ekranu

Er1e = c1e

[(T1

100

)4

−(

Te

100

)4]

,

gde je

c1e =1

1cp

+ 1ce− 1

c0

,

efektivni koeficijent zracenja a Te temperatura ekrana. Gustina fluksa zracenja od ekranaka drugoj povrsini iznosi

Ere2 = ce2[(Te

100)4 − (

T2

p0)4]

gde je

ce2 =1

1ce

+ 1cp− 1

c0

= c1e

efektivna konstanta zracenja. Kako je konstanta zracenja ekrana ce = εc0 = 0.576W/m2K4

sledi da efektivna konstanta zracenja izmedju datih povrsina i ekrana iznosi

cpe = c1e = ce2 =1

1ce

+ 1cp− 1

c0

= 0, 56W/m2K.

Kako je u stanju toplotne ravnoteze Er1e = Ere2 = Ere sledi

(Te

100)4 =

12[(

T1

100)4 + (

T2

100)4],

264

tako da je temperatura ekrana Te = 593, 53K. Gustina razmenjenog fluksa u slucaju iznosikada je postavljen ekran iznosi

Ere = cpe[(T1

100)4 − (

Te

100)4] = cpe[(

T1

100)4 − 1

2[(

T1

100)4 + (

T2

100)4]] =

=cpe

2[(

T1

100)4 − (

T2

100)4] =

cpe

2c12Er =

0, 562 · 3, 69

· 8, 566kW

m2= 0, 650kW/m2,

tj. smanjena je oko 13 puta!U slucaju kada su konstante zracenja povrsine i ekrana jednka tj. c1e = ce2 = c12

dobija se

Ere =Er

2= 4, 283kW/m2.

Temperatura ekrana je nezavisna od prirode povrsine ekrana, tj. od njene konstante zrace-nja.

265