PRENOS SIGNALA KROZ LINEARNE SISTEME

Telekomunikacioni sistemi su sastavljeni od sklopova od kojih svaki pojedinano predstavlja zasebnu funkcionalnu cjelinu. Za svaki sklop mogu se odrediti dva kraja koja predstavljaju ulaz i dva kraja koja predstavljaju izlaz iz sklopa. Dakle, svaki sklop se moe smatrati etvorokrajnikom, odnosno etvoropolom.

H (j )1

H (j )2

H (j )n

x(t)=x (t)1 y (t)=x (t)1 2 y (t)2 x (t)n ny (t)=y(t)

H(j )x(t) y(t)

Niz ovakvih sklopova, ije su funkcije razliite, a koji su vezani kaskadno, obrazuju sistem za prenos:

Saglasno tome, kompletan sistem za prenos moe da se ekvivalentira jednim etvoropolom.

Takav etvoropol, koji predstavlja sistem za prenos, karakterie funkcija prenosa H(j). Pri tome:

- Funkcija prenosa matematiki modeluje promjene (amplitude i faze) koje nastaju pri prenosu signala kroz sistem.

- Linearna kola ne izazivaju promjene uestanosti. Ako je signal na ulazu etvoropola x(t) i njegova Fourierova transformacija X(j), onda je Fourierova transformacija signala y(t) na izlazu etvoropola:

jHjXjY Kako je funkcija prenosa kompleksna veliina, moe se napisati u obliku:

jeAjH A() modeluje promjene amplitude ulaznog signala ()modeluje promjene faze ulaznog signala

Ako ulazni i izlazni signal predstavimo u domenu uestanosti:

y

x

j

j

ejYjY

ejXjX

dobija se:

xy

jXAjY

Dakle, oigledno je da se modulom A() funkcije prenosa opisuju modifikacije spektralne gustine amplituda prenoenog signala, dok se argumentom () funkcije prenosa opisuju promjene na nivou faznih stavova pojedinih komponenti prenoenog signala. Stoga se A() naziva amplitudska, a () fazna karakteristika linearnog sistema. Za kaskadnu vezu vie etvoropola, funkcija prenosa cijelog sistema se odredjuje kao:

n

iin

n

iin

n

iin

AAAAA

jHjHjHjHjH

121

121

121

...

...

...

Amplitudska karakteristika A() cijelog sistema jednaka je proizvodu amplitudskih karakteristika pojedinih elemenata (sklopova)

Fazna karakteristika () cijelog sistema jednaka sumi faznih karakteristika pojedinih elemenata (sklopova)

IDEALNI SISTEMI PRENOSA

Idealni sistem prenosa sistem u kome je izlazni signal y(t) identian ulaznom signalu x(t). Generalnije, pod idealnim sistemom podrazumijeva onaj sistem iji je odziv oblika:

y(t)=Ax(t-t0)

Rije je o sistemu koji unosi konstantno kanjenje i modifikuje amplitudu u nekom konstantnom iznosu. Na taj nain se postie da preneseni signal ne bude izloen deformacijama koje bi uinile da signal na izlazu takvog sistema (sklopa) ne bude identian ulaznom signalu.

Polazei od y(t)=Ax(t-t0), funkcija prenosa H(j) idealnog sistema za prenos:

jjtjtj

jtj

tjtjtj

eAeAAejHjXAejY

dexAejY

dexAdtettAxdtetyjY

00

0

0

0

Prenos e biti idealan kroz linearni sistem koji ima amplitudsku karakteristiku koja ne zavisi od uestanosti:

A()=A=const.

i faznu karakteristiku koja je linearna funkcija uestanosti:

()= t0

()= () predstavlja karakteristiku faznog kanjenja.

Navedeni uslov za idealan sistem prenosa moe da se dodatno proiri, tako da se idealnim smatra sistem ija je funkcija prenosa oblika:

nt

constAjH

AejHntj

0

.

broj cion ,0

Pri tome, za A>1 sistem unosi pojaanje, a za A

Idealan sistem za prenos u propusnom opsegu ima karakteristike idealnog sistema, dok sve komponente ulaznog signala van tog opsega beskonano slabi. Sisteme za prenos dijelimo u tri grupe: 1. propusnike opsega uestanosti (opseg je od N do V) 2. propusnike niskih uestanosti (opseg je od N=0 do V) 3. propusnike visokih uestanosti (opseg je od N do V )

Slika: Amplitudska karakteristika i karakteristika faznog kanjenja idealnog sistema za prenos: A - propusnik opsega; B - propusnik niskih uestanosti; C - propusnik visokih uestanosti

Fukcija prenosa idealnog sistema za prenos (filtra) je:

opsega propusnogvan 0

opsegu propusnomu 0

ntj

AejH

Prelaz sa propusnog na nepropusni opseg treba da bude trenutan (amplitudska karakteristika sa A na 0), pa se javlja problem praktine realizacije ovakvog sistema. Zakljuak: Linearni sistemi koji bi imali idealnu funkciju prenosa (kao na slici) ne mogu se fiziki realizovati: Ne mogu se postii istovremeno oba uslova za idealan prenos, pa se

zbog toga javljaju izvjesna izoblienja signala. Iako se mogu samo teorijski analizirati, idealni sistemi prenosa imaju

znaaj za analizu realnih sistema. Ako se napravi sistem ija amplitudska karakteristika priblino zadovoljava uslov idealnog prenosa, dodavanjem odreenog sklopa moe se korigovati fazna karakteristika da ukupno fazno kanjenje sistema zadovolji uslov za prenos bez izoblienja (vai i obrnuto).

IZOBLIENJA U PRENOSU SIGNALA

Pri prenosu signala sistemom prenosa moe doi do izoblienja zbog:

- odstupanja funkcije prenosa sistema od idealne - nepoklapanja opsega signala i propusnog opsega sistema - kombinacije prethodna dva sluaja

Sistem koji ima idealnu funkciju prenosa i iji se propusni opseg poklapa sa opsegom signala na ulazu nije mogue realizovati. Drugim rijeima, fiziki nije mogue postii istovremeno oba uslova za idealan prenos. - Odstupanja od uslova idealnog prenosa uvijek dovode do pojave izoblienja u signalu koji se prenosi.

LINEARNA IZOBLIENJA

Razlikuju se tri vrste linearnih izoblienja: 1. amplitudska izoblienja nastaju u linearnim sistemima u kojima amplitudska karakteristika odstupa od idealne (tj. zavisna je od uestanosti), dok karakteristika faznog kanjenja ne odstupa od uslova za prenos bez izoblienja:

2. fazna izoblienja - karakteristika faznog kanjenja odstupa od idealne, dok amplitudska karakteristika zadovoljava uslov za prenos bez izoblienja: 3. kombinovana izoblienja i amplitudska karakteristika i karakteristika faznog kanjenja odstupaju od idealne:

ntconstAjH 0 ,

ntconstAAjH 0 ,

ntconstAjH 0 ,

ANALIZA AMPLITUDSKIH IZOBLIENJA METODOM UPARENIH ODJEKA

Posmatrajmo sistem propusnik niskih uestanosti.

-Kako bi prouili uticaj samo amplitudskskih izoblienja, neka amplitudska karakteristika odstupa od idealne, tj. zavisi od uestanosti, a karakteristika faznog kanjenja je linearna. Tj:

0

2

za0

2

za2

cos1

t

AA

N

N

- Amplitudska karakterisitika je uvijek parna funkcija uestanosti.

Pretpostavimo da ulazni signal ima ogranien spektar u opsegu uestanosti od =0 do =N (poklapa se sa propusnim opsegom sistema). Tada e izoblienja izlaznog signala biti iskljuivo uzrokovana neidealnou amplitudske karakteristike. U tim uslovima, kompleksni spektar izlaznog signala je:

2200

0

0

22

2cos1

tjtjtj

tj

eA

eA

ejXjY

jXeAjXjHjY

pa se dobija izlazni signal y(t):

22

1

22

1

2

1

000

ttAxttAxttxty

dejYty tj

Oigledno je da se izraz za izlazni signal sastoji iz tri lana:

1. poslati signal koji u vremenu kasni za t0

2. drugi i trei lan predstavljaju nove signale koji su se pojavili na izlazu iz sistema zbog amplitudskog izoblienja. Njihov talasni oblik je slian originalnom, samo je amplituda pomnoena koeficijentom (1/2)A, a fazno su pomjereni za t0-/2 i t0+/2. Javljaju se u paru, lijevo i desno oko prenoenog signala x(t-t0), pa se nazivaju upareni odjeci.

Slika: Pojava uparenih odjeka nastalih uslijed amplitudskih izoblienja prenoenog signala x(t) u sistemu sa navedenom funkcijom prenosa

U prethodnoj analizi je pretpostavljen jedan specifian oblik amplitudske karakteristike A():

0

2

za0

2

za2

cos1

t

AA

N

N

Kako je amplitudska karakteristika parna funkcija, bilo koji drugaiji oblik zavisnosti A od uestanosti moe da se razvije u Fourierov red u kome e se javiti kosinusni lanovi. Kako je rije o linearnim sistemima, vaie princip superpozicije, tj. svaki kosinus iz razvoja amplitudske karakteristike u red e izazvati pojavu po dva uparena odjeka lijevo i desno od signala x(t-t0).

ANALIZA FAZNIH IZOBLIENJA METODOM UPARENIH ODJEKA

Posmatrajmo sistem propusnik niskih uestanosti ija amplitudska karakteristika ne zavisi od uestanosti, a karakteristika faznog kanjenja nije linearna (kao na slici). Poto je () uvijek neparna funkcija od , to se () moe razviti u Fourierov red u kome e biti samo sinusni lanovi. Ako pretpostavimo faznu karakteristiku sledeeg oblika::

NconstAjHA

t

za .

2sin0

Uz pretpostavku da se spektar ulaznog signala poklapa sa irinom propusnog opsega sistema (to znai da izoblienja nastaju samo usled nelinearnosti fazne karakteristike), spektar izlaznog signala e biti:

2sin0tj

ejAXjXjHjY

Iz teorije Besselovih funkcija vai:

jnxn

n

xjm emJe

sin

gdje je Jn(m) Besselova funkcija prve vrste reda n od argumenta m.

20

jn

nn

tjeJejAXjY

Za mali argument m

Konano se dobija, uz pretpostavku da je

Uz uinjene pretpostavke dobija se odziv koji ima tri komponente: 1. komponenta x(t-t0) koja bi postojala u sluaju idealnog sistema prenosa 2. dva lana upareni odjeci, lijevo i desno od glavne komponente, pri emu desni odjek ima fazni pomeraj od .

Slika: Pojava uparenih odjeka nastalih usled faznih izoblienja prenoenog signala x(t) u sistemu za pretpostavljenu funkciju prenosa

Ovaj sluaj se moe generalizovati i za bilo koju proizvoljnu funkciju faznog kanjenja. Kako je ona uvijek neparna, moe da se razvije u Fourierov red koji sadri samo sinusne lanove, i svaki od njih e dati par odjeka. Njihovom superpozicijom se dobija talasni oblik izoblienog izlaznog signala y(t).