TEORIJA KONSTRUKCIJA 1 - grf.bg.ac.rs · Teorija konstrukcija 1 16 γ F n k i 1 2 Γ Neka je data proizvoljna linija ik i neka su u ravnima n normalnim na liniju ik opisane zatvorene

TEORIJA KONSTRUKCIJA 1-Informacije o predmetu-

Školska godina 2018/2019

Teorija konstrukcija 1 1

TEORIJA KONSTRUKCIJA 1

FOND ČASOVA: 3+2 (42+28)

NASTAVNICI

Doc. Dr Marija Nefovska-Danilović, KABINET 145

(konsultacije: ČETVRTAK, PETAK 9 h -10 h )

Doc. Dr Nevenka Kolarević, KABINET 144

(konsultacije: PETAK 9 h -10 h )

PREDAVANJA ponedeljak 12:15-14h SALA 320 (14 nedelja)

petak 12:15-14h SALA 317 (7 nedelja)



ASISTENT Marko Radišić KABINET 333

VEŽBE ČETVRTAK 14h-16h SALA 319


USLOV ZA POHAĐANJE NASTAVE

Studenti mogu pohađati nastavu iz TK1 ako

su položili OTPORNOST MATERIJALA 1.



Obaveze studenata

❑ Prisustvovanje predavanjima

❑ Prisustvovanje vežbama

Uslov za potpis

❑ Prisustvo na 38/42 časova predavana

❑ Prisustvo na 26/28 časova vežbanja

❑ Položeni testovi



❑Student tokom semestra ima pravo da polaže

dva teorijska kolokvijuma.

❑Prvi kolokvijum se polaže u osmoj nedelji

nastave, a drugi u kolokvijumskoj nedelji.

❑Uslov za polaganje drugog kolokvijuma je

položen prvi kolokvijum.

❑Oba položena kolokvijuma oslobađaju studenta

usmenog dela ispita u tekućoj školskoj godini.

KOLOKVIJUMI


❑Studenti tokom semestra polažu dva testa na

vežbama. Uslov za dobijanje potpisa su

položeni testovi.

❑Testovi na predavanjima – kontrola prisustva i

razmevanje gradiva na predavanjima

TESTOVI

❑ M. Petronijević : Teorija konstrukacija 1, GF, 2013.

❑ M. Petronijević, M. Nefovska-Danilović: Statika

konstrukcija 2, Zbirka zadataka sa izvodima iz teorije,

Građevinski fakultet, 2007.

❑ Web sajt fakulteta: www.grf.rs


LITERATURA

UVOD

Teorija konstrukcija

Statika konstrukcija Dinamika konstrukcija


UVOD


Teorija konstrukcija 1

Statika konstrukcijaOdređivanje sila u presecima i pomeranja

ravnih linijskih nosača

Podela linijskih nosača

Linijski nosači

Ravni Prostorni

RešetkastiPuni


Podela linijskih nosača

Linijski nosači

Statički određeni Statički neodređeni


Metode analize

linijskih nosača

Metode klasične statike

konstrukcija

Matrična analiza

konstrukcija


prema pristupu

Matematički model (3D-2D)


L

l

l

l

x

y

z

vetar u

y -pravcu

spreg za

ukrućenje

u podužnom

pravcu

rožnjače

stubovi

rigle

l/

2

l/2

l/2

L/2

vetar u

x -pravcu


vetar u

x - pravcu

z

x

y

z

Gravitaciono opterećenje

i vetar u z - pravcu

vetar u

y - pravcu

a) Poprečni okvir

b) Podužni okvir

Gravitaciono opterećenjei vetar u z - pravcu

Linearna teorija štapa

❑ Definicija štapa


γ

F

n

k

i1

2

Γ

Neka je data proizvoljna linija ik i

neka su u ravnima n normalnim

na liniju ik opisane zatvorene

krive γ, koje ograničavaju površi

F.

Težišta površi F, čije su

dimenzije male u odnosu na

duž ik, leže na liniji ik.

Geometrijsko mesto tačaka svih

krivih γ je zatvorena površ Γ.

Telo ograničeno površi Γ i površima F u tačkama i i k nazivamo

ŠTAPOM.

Prema obliku ose razlikujemo prave i krive štapove, a

prema obliku poprečnog preseka štapovi mogu biti

konstantnog i promenljivog poprečnog preseka.


ki

a)

b)

Nepoznate veličine u teoriji štapa

1. Sile u presecima:

M, N i T

2. Pomeranja i obrtanja:

u, v i φ

3. Deformacije:

ε, κ i φt


Jednačine štapa iz kojih se određuju

nepoznate veličine

❑ Uslovi ravnoteže elementa štapa

❑ Veze između pomeranja i

deformacije elementa štapa

(kinematičke jednačine)

❑ Veze između sila u presecima i

deformacije (Konstitutivne jednačine

- Hooke-ov zakon)


Osnovne pretpostavke linearne

teorije štapa

P1. Pretpostavka o malim pomeranjima

(pretpostavka o statičkoj linearnosti)

P2. Pretpostavka o malim

deformacijama

(pretpostavka o geometrijskoj linearnosti )

P3. Hooke-ov zakon

(pretpostavka o fizičkoj linearnost )



Spoljašnje sile i sile u presecima


Specifično raspodeljeno opterećenje

Komponente raspodeljenog

opterećenja



Unutrašnje sile

Unutrašnje sile



V

H

M

Veza između unutrašnjih sila u lokalnom

i globalnom koordinatnom sistemu


Konvencija o znaku

Pretpostavka o malim pomeranjima : Pomeranja su mala u odnosu na

dimenzije štapa tako da se u uslovima ravnoteže mogu zanemariti.

Uslove ravnoteže posmatramo na nedeformisanom štapu.

Posledica: Uslovi ravnoteže štapa su linearne jednačine, pa se ta

pretpostavka naziva i pretpostavka o statičkoj linearnosti.


0

0

0

t

n

dN p ds

dT p ds

dM Tds

+ =

+ =

− =ds

C'

C

pndsptds

X

Y

M

N

T

M+dM

N+dN

T+dT

(I)

Uslovi ravnoteže štapa

Kada se jednačine (I) podele sa ds dobija se alternativni oblik:


❑ Prvi izvod normalne sile po koordinati s duž ose štapa jednak je

negativnoj vrednosti opterećenja u pravcu ose štapa,

❑ Prvi izvod transverzalne sile jednak je negativnoj vrednosti

opterećenja upravno na osu štapa,

❑ Prvi izvod momenta jednak je transverzalnoj sili.

Uslovi ravnoteže štapa

❑ Opterećenje štapa leži u ravnima koje su

paralelne ravni štapa

❑ Pomeranja tačaka štapa odvijaju se u

ravnima koje su paralelne toj ravni

❑ Takva deformacija se naziva ravna

deformacija štapa

❑ Pomeranja i deformacija u ravni štapa

mogu se jednoznačno izraziti preko

pomeranja i deformacije ose štapa


Deformacija štapa


Deformacija štapa

Deformacija štapa


Veze između komponenata pomeranja u,v i

Vektor pomeranja i ugao obrtanja tangente postoje i kada

se štap ne deformiše tj. i kada se štap pomera kao kruto telo.

❑ Čisto deformacijske veličine štapa postoje samo ako se

štap deformiše. To su:

❑ Dilatacija

❑ Promena krivine ose štapa

❑ Klizanje poprečnog preseka t

❑ Dilatacija predstavlja promenu dužine ose štapa po

jedinici dužine:


Čisto deformacijske veličine štapa


Kinematičke jednačine

Kinematičke jednačine


❑Pretpostavka o malim deformacijama:

(1 ) [cos( )]

(1 ) [sin( )]

dx du ds

dy dv ds

+ = + +

+ = + +

II

Klizanje poprečnog preseka t


X

Y

φ

O

O'

Tehnička teorija

savijanja štapa

Timošenkov

štap

φt

osa štapa

v

v(y)

u

u(y)

C'(y)

C'

φ-φt

φ

y

C

C(y)

❑ Klizanje poprečnog preseka φt predstavlja promenu

prvobitno pravog ugla između poprečnog preseka i ose

štapa posle deformacije


X

Y

φ

Promena krivine

y

(1+ε)ds

O'

O''

ρ''dφ

φt

φt+dφt

y

φ-φt

ρ'

C'1

C‘1y

C1

ds

C1yCy

C

φ

(1+εy )ds

C'

❑ Promena krivine jednaka je negativnoj vrednosti promene ugla obrtanja

između dva beskonačno bliska poprečna preseka po jedinici dužine štapa

( ) ?y =

C‘y

p/2-φt

Veze između sila u preseku, temperature i deformacijskih veličina štapa

izvodimo pretpostavljajući da važi Hukov (Hooke) zakon i da je

raspodela temperaturne promene po visini preseka linearna.


Na rastojanju y od ose štapa dilatacija ε(y) i smicanje (y) su

proporcionalni odgovarajućim naponima

Veze između sila u preseku i deformacija

Uticaj temperature

Raspodela temperaturne promene po visini preseka je linearna:


y

O x

to

tu

to

ht(y)

t

Kada se u prethodnu jednačinu unese izraz za dilataciju (y) ekvidistantnog

elementa i izraz za temperaturnu promenu t(y) dobija se da je da je normalni

napon σ(y) jednak:

( ) ( )o

t t

ty E t E y

h

= − + −


F F

N dF M ydF = =

Kada u izraze za veze između napona i presečnih sila

unesemo dobijeni izraz za napon, i kada uzmemo u obzir da je:

2 , 0 , , F F F

dF = F ydF = y dF = I

dobija se da je:

gde je F površina, a I momenat inercije poprečnog preseka.

tj.

(III1)

(III2)

Veza između klizanja φt i transverzalne sile T dobija se iz jednačine

veze između smičućeg napona i deformacije (y)=τ(y)/G, u kojoj je

smičući napon τ(y) zamenjen izrazom za napon koji važi u Tehničkoj

teoriji savijanja grede, a sledi direktno iz hipoteze Žuravskog:

U jednačini T je transverzalna sila, S(y) je statički moment dela preseka

ispod ili iznad prave y=const u odnosu na težište preseka, I je moment

inercije poprečnog preseka, a b(y) je širina poprečnog preseka na mestu

y=const.

Na taj način se dobija:



Raspodela -napona, smicanja i klizanja poprečnog preseka t

Ako stvarnu raspodelu smicanja zamenimo konstantnom raspodelom, onda

je element štapa izložen deformaciji prikazanoj na slici d). Pri toj

deformaciji poprečni preseci ostaju ravni i relativno smaknuti na kraju

elementa dužine ds za veličinu φtds. Veličina φt je promena ugla između

poprečnog preseka i ose štapa.

a) b) c) d)


Ugao φt određujemo iz uslova da je rad napona smicanja (y) na posmatranom

elementu štapa dužine ds pri pretpostavljenoj raspodeli smicanja jednak radu tih

napona pri stvarnoj raspodeli smicanja (y).

Rad napona smicanja pri stvarnoj raspodeli deformacije smicanja na elementu

štapa dužine ds je jednak:


(III3)

Jednačine veze između sila u preseku, temperature i deformacijskih

veličina štapa (III) su linearne zahvaljujući pretpostavci da važi

Hukov zakon. Zato se ta pretpostavka naziva i pretpostavka o

fizičkoj linearnosti.


o

t

Nt

EF = +

t

M t

EI h

= +

t

Tk

GF =

(III)


Jednačine: 6 diferencijalnih (I i II) i 3 algebarske (III)

0

0

0

t

n

dN p ds

dT p ds

dM Tds

+ =

+ =

− =

(I)

( )t

du dx dy

dv dy dx

d

ds

= −

= +

−= −

(II) t

M t

EI h

= +

o

t

Nt

EF = +

t

Tk

GF =

(III)

Jednačine štapa

Nepoznate:

sile u presecima: M, N i T

pomeranja i obrtanja ose: u, v i φ

deformacije: ε, κ i φt

Ukupan broj nepoznatih je 9.

Ako iz jednačina (III) ε, κ i φt iskažemo u funkciji od M,N i T i zamenimo u jednačine (II) dobija se sistem od 6 diferencijalnih jednačina sa 6 nepoznatih.


Nepoznate veličine štapa

◦ 6 nepoznatih veličina: M, N, T, u, v i φ

◦ 6 diferencijalnih jednačina I i II

Sistem je moguće rešiti ako znamo još i 6

integracionih konstanti – 6 graničnih

uslova štapa.


Nepoznate i jednačine


Ni

Mi

Ti

Mk

Tk

Nk

granični uslovi po silama granični uslovi po pomeranjima

Mogući granični uslovi: max3 po silama, min 3 po pomeranjima

i k

φi

vi vk

uiuk

φk

Granični uslovi štapa

Ako su 3 granična uslova štapa zadata po

silama i 3 po pomeranjima, sistem od 6

jednačina se raspada na dva nezavisna sistema

jednačina: 3 jednačine po silama i 3 jednačine

po pomeranjima. Po silama problem postaje

statički određen.



U linearnoj teoriji štapa, zahvaljujući uvedenimpretpostavkama, rešenje diferencijalnih jednačina štapaje jednoznačno. Praktično, to znači da istorijaopterećenja i deformacije nema značaja za određivanjeuticaja. Zbog toga u linearnoj teoriji važi principsuperpozicije uticaja, koji glasi:

Ako na štap deluje više različitih opterećenja P1, P2,…

Pn, uticaj Z u štapu usled istovremenog dejstva svih

opterećenja P=P1+P2+…+ Pn može se dobiti

superpozicijom uticaja Z1, Z2,… Zn, nastalih usled

pojedinačnog delovanja svakog od navedenih

opterećenja:


Documents

TEORIJA KONSTRUKCIJA 1 - grf.bg.ac.rs · Teorija konstrukcija 1 16 γ F n k i 1 2 Γ Neka je data proizvoljna linija ik i neka su u ravnima n normalnim na liniju ik opisane zatvorene