teorija elasticnosti

7/27/2019 teorija elasticnosti

1/51


2/51

2 1. Uvod

homogen, izotropan, linearno elastican materijal, linijski nosac kojem je tezisna os referentna linija okomita na ravnine poprecnih

presjeka u svakoj tocki i kod kojih su dimenzije poprecnog presjeka (B, H) znatnomanje u odnosu na duljinu stapa L, B, H 0, 2L,

pretpostavljamo potpuno tocnu izvedbu konstrukcije, bez pocetnih imperfekcija inaprezanja,

jednadzbe ravnoteze postavljamo na nedeformiranom sustavu, na konstrukciji uzadanom polozaju prije djelovanja opterecenja,

pretpostavljamo male pomake i deformacije konstrukcije pod djelovanjem opterecenja.Takve pretpostavke za vecinu konstrukcija bit ce potpuno opravdane. Nije potrebno

svaku konstrukciju promatrati kao nelinearnu zadacu Ako su ispunjeni prikazani uvjeti,rjesenja dobivena linearnom teorijom u potpunosti su korektna i prihvatljiva. Kod kon-

strukcija koje nisu obuhvacene prethodnim pretpostavkama linearna teorija nece rezul-tirati prihvatljivim rjesenjima. Jednadzbe ravnoteze na takvim konstrukcijama trebajuzapravo biti ispunjene na deformiranoj konstrukciji. Ponasanje materijala kod takvihkonstrukcija treba ustanoviti eksperimentalno.

1.3. Linearna teorija ravnog stapa

1.3.1. Osnovne pretpostavke linearne teorije

Kod proracuna konstrukcije po linearnoj teoriji uveli smo bitnu idealizaciju stvarnogponasanja konstrukcije. Pretpostavili smo da je materijal konstrukcije homogen, izotropan

i linearno elastican, da su pomaci konstrukcije dovoljno mali zbog cega mozemo uvjeteravnoteze definirati na nedeformirano j konstrukciji, zanemarili smo pocetne imperfekcije inaprezanja nastala tijekom izvedbe konstrukcije. Kod stapnih konstrukcija dodatno pret-postavljamo da je poprecni presjek bitno manji u odnosu na duljinu stapa (h/L 0, 2) ida je tezisna os okomita na ravninu poprecnog presjeka. Takve pretpostavke omogucilesu nam reduciranje stapa kao trodimenzionalnog kontinuuma na tezisnu os (jednodimen-zionalni model) u proracunskom modelu.

1.3.2. Jednadzbe ravnoteze na nedeformiranom stapu

Promatramo izdvojeni dio stapa duljine dx s pripadnim opterecenjima u smjeru uzduzneosi stapa n(x) i okomito na os stapa q(x), (slika 1.1). Iz osnovnih jednadzbi ravnoteze

dxxz

N + dN

T + dT

M + dM

N

TM

q(x)

n(x)

Slika 1.1: Izdvojeni dio konstrukcije


3/51

1. Uvod 3

(zbroj sila u smjeru tri koordinatne osi) slijede diferencijalni odnosi

dN(x)

dx= n(x) , dT(x)

dx= q(x) , dM(x)

dx= T(x) . (1.3.1)

Iz zadnja dva odnosa jasno slijedi diferencijalna veza opterecenja i momenta

d2M(x)dx2

= q(x) . (1.3.2)

1.3.3. Pomaci konstrukcije

Kod stapnih modela, svaka tocka konstrukcije ima dva stupnja slobode, dva pomakau(x, z) i w(x, z) u smjeru koordinatnih osi x i z. U proracunskom modelu promatramotezisnu os. Svako j tocki tezisne osi pridruzimo pripadni poprecni presjek cija je ravninaokomita na tezisnu os u toj tocki tezisne osi stapa. Prema Bernoullijevoj hipotezi ravnihpoprecnih presjeka, poprecni presjek ostaje u ravnini nakon deformacije, u ravnini okomi-toj na deformiranu tezisnu os (okomitoj na tangentu na deformiranu tezisnu os) u svakoj

tocki stapa, (slika 1.2). To znaci da je zaokret presjeka, (x, z), konstantan za sve tockepo visini poprecnog presjeka (zaokret poprecnog presjeka ne ovisi o z koordinati po visinipoprecnog presjeka nego samo o x polozaju na tezisnoj osi),

(x, z) = (x) . (1.3.3)

Zbog pretpostavke malih pomaka, pomak okomito na os svake tocke po visini poprecnog

xz

u(x)

w(x)(x)

w(x)

Slika 1.2: Pomaci tezisne osi stapa

presjeka je jednak (zanemarujemo razliku poprecnog pomaka zbog zaokreta poprecnogpresjeka),

w(x, z) = w(x) . (1.3.4)

Uzduzni pomak tocaka po visini poprecnog presjeka ocito ovisi i o zaokretu poprecnogpresjeka (tocke udaljenije od tezisne osi u smjeru z poprime proporcionalno veci uzduznipomak od zaokreta tezisne osi stapa),

u(x, z) = u(x) + z(x) . (1.3.5)

Pretpostavka da je ravnina poprecnog presjeka okomita na tezisnu os i nakon deformacijezapravo je zanemarivanje utjecaja posmicne deformacije, a rezultira cinjenicom da je kutzaokreta tada jednak derivaciji pomaka okomitog na konstrukciju

(x) = dwdx

= w(x) , (1.3.6)


4/51

4 1. Uvod

sto povlaci izraz za uzduzni pomak po visini poprecnog presjeka

u(x, z) = u(x) zw (x) . (1.3.7)

1.3.4. Veza pomaka i deformacija

Uzduzna deformacija stapa (x) deformacija je tezisne osi stapa. Odnos uzduznedeformacije i uzduznog pomaka slijedi smanjenjem duljine izdvojenog dijela stapa duljinedx (dx 0).

(x) = limdx0

u(x + dx) u(x)dx

=du(x)

dx= u(x) . (1.3.8)

Ako uzmemo prethodno definirani izraz za pomak po visini poprecnog presjeka, (1.3.5),slijedi izraz za uzduznu deformaciju po visini poprecnog presjeka

(x, z) =u(x, z)

x=

du(x)

dx zdw

(x)

dx= u(x) zw (x) . (1.3.9)

Deformacije okomite na os stapa ne uzimamo u obzir. Posmicna deformacija u ravninixz, xz, zbog Bernoullijeve hipoteze ravnih poprecnih presjeka jednaka je nuli. Jednadzbe(1.3.4), (1.3.7) i (1.3.9) izrazavaju sve velicine pomaka tezisne osi stapa.

1.3.5. Zakon ponasanja (konstitucije) - elasticni model

Uvjeti kompatibilnosti odnose se na polje deformacija , a uvjeti ravnoteze na poljenaprezanja . Ocito postoji veza izmed-u naprezanja i deformacija. Veza izmed-u naprezanjai deformacija ovisi o mehanickim svojstvima materijala utemeljenim na silama izmed-uelementarnih cestica. Najjednostavniji model veze izmed-u naprezanja i deformacija je

linearno elastican model - Hookeov zakon. Prema Hookeovom zakonu naprezanja su pro-porcionalna deformacijama

= C , (1.3.10)

gdje je C matrica materijalnih konstanti

C =E

2 (1 + )

2(1)12

212

212

0 0 02

122(1)

122

120 0 0

212

212

2(1)12

0 0 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

, (1.3.11)

pri cemu je Emodul elasticnosti, a Poissonov koeficijent. Za ravninsko stanje naprezanjamatrica proporcionalnosti glasi

C =E

2 (1 + )

1 0 1 0

0 0 1+2

. (1.3.12)

Za jednoosno stanje naprezanja, umjesto matrice C imamo konstantu proporcionalnosti,

modul elasticnosti materijala E = E . (1.3.13)


5/51

1. Uvod 5

Za potrebu uzimanja tocnog odnosa deformacija i pomaka definirat cemo nekolikorazlicitih mjera deformacije. Uz oznake, L za duljinu nedeformiranog dijela konstrukcijei L za promjenu duljine deformiranog dijela konstrukcije, definiramo inzenjersku mjerudeformacije, I

I =L

L

, (1.3.14)

logaritamsku mjeru deformacije, L (potrebnu u teoriji plasticnosti kod velikih deforma-cija)

L = lnL + L

L= ln (1 + I) (1.3.15)

i Greenovu mjeru deformacije, G (potrebnu u nelinearnoj teoriji elasticnosti)

G =1

2

(L + L)2 L2L2

=1

2

2I +

2I

. (1.3.16)

Primjena inzenjerske mjere deformacije, uz linearnu vezu sila i pomaka, vodi na linearnuvezu naprezanja i deformacija (1.3.13). Ostale mjere deformacije daju nelinearnu vezu

naprezanja i deformacija, cija linearizacija opet vodi na linearni odnos (1.3.13).Odnos naprezanja i deformacija jednostavno mozemo prikazati na primjeru vlacno

opterecenog stapa, (slika 1.3). Intuitivno je jasno da veca sila K uzrokuje i veci pomak

L

E, F

L

K

Slika 1.3: Vlacno optereceni stap

L, ali i da su pomak i sila proporcionalni,

K = cL , (1.3.17)

gdje je c koeficijent proporcionalnosti. Naprezanje u svakoj tocki po duljini stapa mozemoizraziti

=K

F=

cL

F=

cL

F

L

L

=cL

FI = E , (1.3.18)

pri cemu je velicina cLF

zapravo modul elasticnosti, deformacija identificirana s inzenjerskomdeformacijom, a dobivena jednadzba (1.3.18) iskazuje zakon elasticnog ponasanja mater-ijala.

1.3.6. Veza unutarnjih sila i naprezanja, zakon konstitucije za unutarnje sile

Ako na izdvojenom dijelu stapa duljine dx promatramo sva pripadna djelovanja (zadanovanjsko opterecenje, unutarnje sile i naprezanja) iz ravnoteze svih sila u smjeru x iravnoteze momenata oko osi y slijedi odnos naprezanja i unutarnjih sila

N =F

(x, z)dF , M =F

z(x, z)dF . (1.3.19)


6/51

6 1. Uvod

Na temelju prethodnih izraza (1.3.19), zakona elasticnosti (1.3.13) i veze pomaka i defor-macija (1.3.9), slijede zakoni konstitucije za unutarnje sile

N =

F

(x, z)dF =

F

E(x, z)dF =

F

Eu(x)dF = EF u(x) (1.3.20)

M =F

z(x, z)dF =F

zE (x, z)dF =F

Ez(u(x) zw (x)) dF

= F

z2Ew (x)dF = EI w(x) . (1.3.21)


7/51

2. Tocna geometrija pomaka 7

2. Tocna geometrija pomaka

2.1. Linearni i nelinearni odnosi

Najjednostavniji primjer za prikaz razlike stvarnih i lineariziranih pomaka je beskonacnokruta elasticno upeta konzolna greda opterecena koncentriranom ilom na slobodnom

kraju, (slika 2.1), pri cemu je cM koeficijent elasticne upetosti lezaja. Postavljanjem

L

EI = x, uz, w

KcM

K

L cos

L sin

cM

K

L

L

cM

a.) b.) c.)

Slika 2.1: Beskonacno kruta elasticno upeta konzolna greda opterecena koncentriranom

silom na slobodnom kraju, a.) zadana konstrukcija, b.) nelinearni pomaci, c.) linearnipomaci

jednadzbi ravnoteze na deformiranoj konstrukciji, slijede izrazi za moment u elasticnoupetom lezaju

M = KL cos , (2.1.1)

vezu kuta zaokreta i momenta u elasticno upetom lezaju

M = cM , (2.1.2)

=

M

cM =

KL cos

cM , (2.1.3)

vertikalni pomak slobodnog kraja

wL = L sin = L sinKL cos

cM, (2.1.4)

i horizontalni pomak slobodnog kraja

uL = L (1 cos ) = L

1 cos KL cos cM

. (2.1.5)

Prijelaz s nelinearne teorije na linearnu teoriju mozemo prikazati razvojem trigonometrij-

skih funkcija u red u izrazima za moment na elasticno upetom lezaju i vertikalni pomakslobodnog kraja

M = KL cos = KL

1

2

2!+

4

4! . . .

, (2.1.6)

wL = L sin = L

3

3!+

5

5! . . .

. (2.1.7)

Uzimanjem u obzir samo linearnih clanova jasno slijede linearne velicine

M = KL , wL = L =KL

cM. (2.1.8)

Jednostavno u linearnoj teoriji slijedi da je horizontalni pomak svih tocaka jednak nuli.


8/51

8 2. Tocna geometrija pomaka

2.2. Odnosi pomaka i deformacija

Promatramo nedeformirani izdvojeni dio stapa duljine dx u koordinatnom sustavu xz.Nakon djelovanja opterecenja stap dobije deformaciju, a promatrani dio stapa poprimiduljinu d u koordinatnom sustavu (, ), (slika 2.2). Duljina tezisne osi stapa nakon

x dxz, w

x, u

d = Rd

d

R

u(x) u(x + dx)

w(x)

dw

+ d

Slika 2.2: Odnos nedeformiranog i deformiranog izdvojenog dijela stapa

deformiranja iznosi d. Uzduzna deformacija stapa je

=d dx

dx=

d

dx 1 . (2.2.9)

Prema slici 2.2 i Pitagorinom poucku slijedi ocita veza

(d)2 = (dw)2 + [u(x + dx) u(x) + dx]2 , (2.2.10)


9/51

2. Tocna geometrija pomaka 9

iz koje proizlazi relacijad

dx

2=

dw

dx

2+

u(x + dx) u(x)

dx+ 1

2, (2.2.11)

i izraz za deformaciju

=

(1 + u)2 + w2 1 . (2.2.12)U linearnoj teoriji duljinu tezisne osi aproksimiramo d = dx + u(x + dx) u(x) i zane-marujemo utjecaj od dw na promjenu duljine tezisne osi. Razvojem izraza za deformaciju,(2.2.12), u red slijedi

=

(1 + u)2 + w2 1 =

1 + 2u + u2 + w2 1

=

n=0

1/2

n

2u + u2 + w2

n 1

=

1 + u + 12

w2 12

uw2 18

w4 + 12

u2w2 + . . . 1 (2.2.13)

= u +1

2w2 . . . ,

pri cemu linearni dio izraza za deformaciju, (2.2.13), opet vodi na linearnu teoriju, (1.3.8).

Tangens kuta zaokreta u svakoj tocki nakon deformiranja izracunamo pomocu izraza

tan =dw

u(x + dx)

u(x) + dx=

dwdx

u(x+dx)u(x)

dx +

dx

dx

=w

u + 1, (2.2.14)

a kut zaokreta u svakoj je tocki tada

= arctanw

1 + u. (2.2.15)

Razvojem izraza za kut zaokreta, (2.2.15), u red slijedi

= arctanw

1 + u=

n=0

(1)n

w

1+u

2n+12n + 1

= w

1 + u 1

3

w

1 + u

3

+ . . . . (2.2.16)

Zakrivljenost deformirane linije, , izracunamo kao derivaciju kuta zaokreta

= =d

dx=

d

arctan w

1+u

dx

=1

1 +

w

1+u

2 w(1 + u) wu(1 + u)2 = w(1 + u) uw(1 + u)2 + w2

. (2.2.17)

Uzimanjem u obzir samo linearnog clana razvoja u red, (2.2.16), i pretpostavke o malimdeformacijama u odnosu na duljinu stapa (u


10/51

10 2. Tocna geometrija pomaka

i zakrivljenosti

w

1 + u w , (2.2.18)

w

1 + 2u w . (2.2.19)

Proizvoljno vlakno paralelno tezisnoj osi na udaljenosti z, u deformiranom polozajunalazi se na udaljenosti i duljine je (R )d. Deformaciju tog vlakna izracunamoprema

=(R ) d dx

dx= (R ) 1 (2.2.20)= .

Na temelju prethodnih izraza mozemo izvesti i izraze za unutarnje sile

N =

F

dF = E

F

dF = EF EF

dF

= EF = EF

(1 + u)2 + w2 1

, (2.2.21)

M =

F

zdF = E

F

dF EF

2dF

=

EI =

EI

w(1 + u) uw

(1 + u

)2

+ w2

. (2.2.22)


11/51

3. Nelinearno ponasanje materijala 11

3. Nelinearno ponasanje materijala

3.1. Opcenito

Kod elasticnog materijala podudaraju se krivulje opterecenja i rasterecenja u dija-gramu

. Kod linearno elasticnog materijala krivulja opterecenja i rasterecenja je

pravac, (slika 3.1.a.), a kod nelinearnog elasticnog materijala krivulja nije polinom prvogstupnja, (slika 3.1.b.).

a.) b.)

Slika 3.1: Elasticno ponasanje materijala, a.) linearno elasticno, b.) nelinearno elasticno

Kod neelasticnih materijala ne postoji jednoznacna veza sile i pomaka. Ukupna defor-macija sastoji se od elasticnog i plasticnog dijela. Kod rasterecenja vraca se samo elasticnadeformacija. Jasno slijedi da se krivulje opterecenja i rasterecenja ne podudaraju.

a.) b.) c.)

Slika 3.2: Neelasticno ponasanje materijala, a.) nelinearno elastoplasticno, b.) linearnoelastoplasticno, c.)linearno elasticno - idealno plasticno

3.2. Nelinearno elasticno ponasanje materijala

Ponasanje nelinearno elasticnog materijala mozemo objasniti na primjeru vlacno opterecenogstapa, (slika 3.2.).

L

E, F

L

K

Slika 3.3: Vlacno optereceni stap


12/51

12 3. Nelinearno ponasanje materijala

Odnos sile i pomaka jednoosno vlacno opterecenog stapa od nelinearno elasticnogmaterijala mozemo iskazati, uz u(L) = L,

K = a1L + a2L2 = a1u(L) + a2u(L)

2 . (3.2.1)

Primjenom linearne teorije na daljnju analizu, mozemo uzeti izraz za deformaciju

= LL

= u(L) . (3.2.2)

Nepoznate koeficijente a1 i a2 u izrazu 3.2.1 mozemo zamijeniti koeficijentima elasticnostii izraziti naprezanje

=K

F= a1

L

F+ a2

L2

F

= a1L

F

L

L+ a2

L2

F

L2

L2

= E1 + E22 = E1u

+ E2u2 , (3.2.3)

pri cemu su koeficijenti elasticnosti E1 i E2 definirani izrazima

E1 =a1L

F, E2 =

a2L2

F. (3.2.4)

Ako je sila K konstantna duz stapa slijedi, kao i u linearnoj teoriji, da je derivacijapomaka duz stapa konstantna, u(x) = const.. Odnos sile i pomaka slijedi ako izraz(3.2.3) prikazemo kao jednadzbu po u

u2 +E1E2

u E2

= 0 . (3.2.5)

Rjesenjem kvadratne jednadzbe slijedi

u = 12

E1E2

+

1

4

E21E22

+

E2

=1

2

E1E2

1 +

1 + 4

E2E21

. (3.2.6)

Nakon integriranja slijedi izraz za pomak

u(x) =1

2

E1E2

1 +

1 + 4

E2E21

x + u0 , (3.2.7)

gdje je u0 integracijska konstanta koja je zapravo jednaka zadanom pocetnom pomakulezajne tocke, u0 = u(x = 0) = 0. Razvojem izraza (3.2.7) u red postaje ocita razlika uodnosu na linearnu teoriju

u(x) =E1E2

E2E21

E2E21

2. . . + (1)j1

E2E21

j. . .

x . (3.2.8)

Vidljivo je da uzimanjem u obzir samo linearnog clana slijedi aproksimacija koja je ustvari prikaz linearnog ponasanja materijala

u(x)

E1 x . (3.2.9)


13/51

4. Geometrijska nelinearnost 13

4. Geometrijska nelinearnost

4.1. Podjela zadaca

Kod pojedinih prakticnih zadaca teorija I. reda nije dovoljna. Uzimanje u obzir svihnelinearnih utjecaja dovodi do teorije gotovo neprikladne za prakticnu primjenu. Potrebno

je istraziti koliki je nuzan opseg nelinearnosti kod prakticnih proracuna konstrukcija.Nekoliko je osnovnih pitanja koje si inzenjer mora postaviti,

nuznost tocne geometrije pomaka, nuznost tocnog odnosa pomaka i deformacija, potreba definiranja jednadzbi ravnoteze na deformiranoj konstrukciji.

Za dobivanje odgovora na zadana pitanja moramo prethodno postaviti osnovne kriterijeprocjene.

4.2. Elementi pod utjecajem savijanja

Promotrimo primjer konzolne grede duljine L, konstantnog poprecnog presjeka F, kon-stantnog momenta inercije I i modula elasticnosti E, opterecene koncentriranom silom nakraju grede, (slika 4.1). Prema linearno j teoriji za gredu proracunamo funkciju momenta,

z, w

x, u

K

L

E , I , F

KL

M

w(L)

w(L)

Slika 4.1: Konzolna greda opterecena koncentriranom silom

zaokreta i progiba

M(x) = K(L x) , (4.2.1)(x) = Kx

2EI(2L x) , (4.2.2)

w(x) =Kx2

6EI(3L x) . (4.2.3)

Ocito je ekstremna vrijednost momenta na lezaju Mmin = KL, a progiba i zaokreta naslobodnom kraju wmax = KL

3

/3EI, max = KL2

/2EI. U prakticnom proracunu kon-strukcije imamo za progibe i naprezanja eksplicitno definirane dopustene gornje granice.


14/51


15/51


Zbog malog reda velicine svih vrijednosti, (4.2.9), mozemo dodatno uvesti aproksimacijusin tan , pa slijedi

wr w uw w

2L 0, 5 102

u

L 1

2

w2

L2 0, 5 104

. (4.2.13)

Takav pomak u smjeru osi grede moze imati razlicit utjecaj kad je sastavni dio slozenijekonstrukcije. Ako je to greda okvirnog nosaca, tada je horizontalni pomak vrhova stupovawh = u/2, slika 4.3. To povlaci odnos pomaka i visine stupa

K

2L

L

u/2 u/2K

Slika 4.3: Utjecaj na okvirnom nosacu

whL

=1

2

u

L 0, 25 104 , (4.2.14)

sto je utjecaj reda velicine 100 puta manji u odnosu na dopusteni pomak, pa moze biti

zanemaren.Nesto je drugaciji slucaj zglobno nepomicno oslonjene grede, 4.2.. Pomak je sprijecen

K

L

u

K

Slika 4.4: Zglobno nepomicno oslonjena greda

nepomicnim zglobnim lezajevima, pa slijedi deformacija nosaca

=u

L 0, 5 104 0, 05F , (4.2.15)

sto je oko 5% deformacije kod dopustenog naprezanja, pa je i pripadno naprezanje oko5% dopustenog naprezanja. Utjecaj na ponasanje cijelog sustava nije znacajan, ali uposebnim slucajevima moze izazvati ostecenja konstrukcije (npr. pukotine kod armira-nobetonskih konstrukcija. Izvedbom konstrukcije s mogucim pomakom barem jednoglezaja izbjegavamo dodatna naprezanja.

Za potrebu uzimanja tocnog odnosa deformacija i pomaka ponovit cemo neka opazanjau vezi mjere deformacija. Uz oznake, dx za duljinu nedeformiranog dijela konstrukcije i


16/51

16 4. Geometrijska nelinearnost

d za duljinu deformiranog dijela konstrukcije, definiramo inzenjersku mjeru deformacije,I

I =d dx

dx, (4.2.16)

logaritamsku mjeru deformacije, L (u teoriji plasticnosti kod velikih deformacija)

L = lnddx

(4.2.17)

i Greenovu mjeru deformacije, G (u nelinearnoj teoriji elasticnosti)

G =1

2

d2 dx2dx2

. (4.2.18)

Uz prethodno dobiveni izraz 2.2.11

d

dx2

=

dw

dx2

+

u(x + dx) u(x)

dx+ 1

2

,

slijede izrazi za definirane mjere deformacije

I =

(1 + u)2 + w2 1 , (4.2.19)

L = ln

(1 + u)2 + w2 , (4.2.20)

G = u +

u2

2+

w2

2. (4.2.21)

Razvojem u red slijede, za prve dvije mjere deformacije, priblizni izrazi koji ukljucujukvadratne clanove

I = u +

w2

2, (4.2.22)

L = u u

2

2+

w2

2. (4.2.23)

Vidljivo je da su u linearnoj teoriji sve tri mjere deformacije jednake, a u slucaju zanemari-vanja clanova reda veceg od kvadratnog da se razlikuju za u2

2. Takva razlika znacajna je

kod velikih deformacija koje se kod stvarnih konstrukcija zapravo ne desavaju. Za stvarnekonstrukcije mozemo uvesti kriterij, s obzirom da je deformacija reda velicine 103, aw2 maksimalno 104, za inzenjersku mjeru deformacije

I u . (4.2.24)Iz takve aproksimacije moraju biti iskljucene konstrukcije s vitkim konstruktivnim ele-mentima (L/H > 15) i konstrukcije od materijala s granicom tecenja rmF > 10

3. Zbogpoklapanja linearnog dijela, isto vrijedi i za logaritamsku i Greenovu mjeru deformacije.Ako primijenimo dobivene rezultate na procjenu zakrivljenosti deformiranog stapa, slijedi

=w (1 + u) uw

(1 + u)2 + w2 w

1 + 2u w . (4.2.25)

Za proucavanje potrebe definiranja jednadzbi ravnoteze na nedeformiranoj ili deformi-

ranoj konstrukciji, promotrimo primjer konzolnog stupa opterecenog na vrhu horizontal-nom i vertikalnom silom 4.2.. Neka je horizontalni pomak vrha stupa pod djelovanjem


17/51


L

VH

w(L)

V

H

Slika 4.5: Konzolni stup opterecen horizontalnom i vertikalnom silom

horizontalne sile Hjednak wL. Zbog djelovanja vertikalne sile V dolazi do pojave dodatnog

lezajnog momenta M = V wL. Lezajni moment od horizontalne sile iznosi M = HL.Uz prethodno definiranu procjenu reda velicine parametara konstrukcije (4.2.9) slijedi

M

M=

V wLHL

=V

H

wLL V

H102 . (4.2.26)

Ako su sile H i V istog reda velicine, ocito je da doprinos dodatnog momenta M mozemozanemariti u odnosu na osnovni lezajni moment M, sto povlaci da jednadzbe ravnotezemozemo postaviti na nedeformiranoj konstrukciji.

U slucaju kad je vertikalna sila znatno veca od horizontalne sile (cesta pojava uproracunu konstrukcija, npr. stup nosac mosta ima znacajno vecu vertikalnu silu odvlastite tezine i korisnog opterecenja od horizontalne sile od potresa, vjetra i kocenja ilinpr. stup poprecnog okvira konstrukcije celicne hale s kranskom stazom), takva zadacavise nije zadaca savijanja nego zadaca proracuna stabilnosti uzduzno opterecenog stupa.

4.3. Uzduzno optereceni element konstrukcije

Promatramo i dalje slucaj konstruktivnog elementa na slici 4.5, pri cemu je vertikalnasila V znacajno veca od horizontalne sile H. Dominantno opterecenje stupa tada je uslijeduzduzne sile. Proucimo ponasanje stupa pod djelovanjem vertikalne sile. Jasno je da zanaprezanje i deformaciju mora vrijediti odnos

= VF F , (4.3.27) =

E=

V

EF F . (4.3.28)

Uz definiranje pojma vitkosti poprecnog presjeka stupa, , i duljinu izvijanja Li

=

F L2i

I= Li

F

I, (4.3.29)

mozemo prouciti zajednicki utjecaj uzduzne sile i savijanja. Kod stvarnih konstrukcijavrijednosti vitkosti krecu se uglavnom u podrucju

30 140 . (4.3.30)


18/51

18 4. Geometrijska nelinearnost

Uz uvedenu granicu tecenja F 103, prethodnu procjenu reda velicine parametarakonstrukcije 4.2.9 i realnu vrijednost vitkosti 2 2 104 slijedi

V

EF 103 , V L

2

EI 103 2 104 20 . (4.3.31)

Za horizontalno opterecenje vrijedi prethodna procjena 4.2.9

HL2

EI 102 . (4.3.32)

Iz toga slijedi priblizan odnos utjecaja uzduznog i poprecnog opterecenja

V L2

EI 103 HL

2

EI, (4.3.33)

sto znaci da je udio u iskoristenju dopustenih naprezanja i deformacija od uzduznogopterecenja znacajno veci nego od poprecnog opterecenja. Stvarni znacaj ove cinjenice

vidljiv je u odnosu dodatnog i osnovnog lezajnog momenta 4.2.26 uz ogranicenje maksi-malnog horizontalnog pomaka, wL, na red velicine 10

2 ,

M

M=

V wLHL

=V L2

EI

wLL

EI

HL2 102103 = 10 . (4.3.34)

U stvarnoj konstrukciji, horizontalni pomak wL bit ce dodatno povecan zbog Msto ovdje nije uzeto u obzir. Dodatni momenti M mogu biti znacajno veci u odnosuna osnovni lezajni moment M, sto dovodi do nuznosti postavljanja jednadzbi ravnotezena deformiranoj konstrukciji. Za provedu prakticnog proracuna postoje dvije osnovnemetode

proracun po geometrijski nelinearnoj teoriji, proracun po linearnoj teoriji s dodatnim uzimanjem utjecaja izvijanja.


19/51

5. Teorija elasticnosti I I. reda 19

5. Teorija elasticnosti II. reda

5.1. Osnovne pretpostavke

Proracun po teoriji II. reda ima smisla ako su dodatni momenti M, nastali kao pro-dukt uzduznog opterecenja i pomaka uslijed djelovanja poprecnog opterecenja, znacajnoveci u odnosu na osnovne momente na konstrukciji koji se javljaju pod djelovanjempoprecnog opterecenja. Mozemo razlikovati dva osnovna slucaja. U prvom slucaju, tosu konstrukcije bez pomaka cvorova pri cemu uzduzne sile moraju biti prilicno velike jersu pomaci neznatni. U drugom slucaju, to su konstrukcije sa znacajnim pomacima cvorovakod kojih onda i manje vrijednosti uzduznih sila proizvode znatne dodatne momente.

5.2. Definiranje unutarnjih sila

Iz prakticnih razloga mozemo definirati osnovne smjerove unutarnjih sila na deformira-noj konstrukciji u smjeru globalnih koordinatnih osi, a ne u smjeru lokalnih koordinatnih

osi u presjeku konstrukcije.

N TM

N + dNT + dT

M + dMq n

dx

dw H

VM

H + dHV + dV

M + dMq n

dx

Slika 5.1: Unutarnje sile u presjeku

Umjesto uzduzne i poprecne sile (N, T), sada promatramo horizontalnu i vertikalnusilu (H, V), a moment ostaje isti jer je treca koordinatna os ista i u lokalnom i u globalnomkoordinatnom sustavu. Na taj nacin formulacija diferencijalnih jednadzbi i rubnih uvjetapostaje jednostavnija.

5.3. Diferencijalni odnosi pomaka i opterecenja

Iz jednadzbi ravnoteze na izdvojenom deformiranom dijelu konstrukcije slijediKx = 0 dH+ ndx = 0 H = n , (5.3.1)Kz = 0 dV + qdx = 0 V = q , (5.3.2)M = 0 dM + Hdw V dx = 0 M + Hw = V . (5.3.3)

Kod malih deformacija (sin w = w, cos w = 1) slijede izrazi za sile u lokalnim osima kaofunkcije sila u globalnim osima

N = Hcos w

+ V sin w

H+ V w

,T = V cos w Hsin w V Hw , (5.3.4)


20/51

20 5. Teorija elasticnosti I I. reda

ili sile u globalnim osima kao funkcije sila u lokalnim osima

H = Ncos w Tsin w N T w ,V = T cos w + Nsin w T + N w , (5.3.5)

a iz jednadzbe (5.3.3) dodatno i veza momenta i poprecne sile kao i u teoriji I. reda

M = V Hw = T . (5.3.6)

Ako jednadzbu (5.3.3) deriviramo po x proizlazi

M + Hw + Hw = V . (5.3.7)

Uvrstimo li u jednadzbu (5.3.7) odnose iz jednadzbi (5.3.1) i (5.3.2), slijedi

M

+ Hw

nw

= q . (5.3.8)Uz pretpostavku malih pomaka i deformacija, za moment savijanja vrijedi odnos iz teorijeI. reda

M(x) = (EI w) , (5.3.9)slijedi diferencijalna veza pomaka i opterecenja

(EI w) Hw + nw = q . (5.3.10)

Diferencijalna jednadzba (5.3.10) opisuje geometrijski nelinearnu teoriju u smislu teorije

II. reda. Jednadzba je linearna ako su koeficijenti konstantni. U opcenitom slucajukoeficijenti su u funkciji od x (EI = const., n = 0), sto znaci da je svaki po jedini slucajzapravo nova diferencijalna jednadzba.

5.4. Rjesenje diferencijalne jednadzbe

S obzirom da je rjesenje jednadzbe (5.3.10) u prakticnom smislu preslozeno, uvodimoneka ogranicenja. Pretpostavljamo da je krutost stapa na savijanje konstantna po cijelojduljini stapa, EI = const. i da je horizontalna sila u stapu konstantna

H = const. , n = 0 . (5.4.11)

Sada jednadzba (5.3.10) glasi

w HEI

w =q

EI. (5.4.12)

Prethodna jednadzba (5.4.12) ima, za razliku od (5.3.10), konstantne koeficijente. Takvopojednostavljenje ne smanjuje opseg zadaca koji mozemo promatrati. Kod stapova prom-jenljivog presjeka ili promjenljivog modula elasticnosti mozemo promatrati dijelove lokalnokonstantne krutosti. Promjena opterecenja qpovlaci promjenu samo partikularnog rjesenja

diferencijalne jednadzbe, a rjesenje homogene diferencijalne jednadzbe ostaje nepromijen-jeno.


21/51


5.4.1. Rjesenje u prirodnom koordinatnom sustavu

Za jednostavnije daljnje rjesavanje jednadzbe mozemo jednadzbu (5.4.12) pomnozitisa L3

L3w HL2

EILw =

qL3

EI, (5.4.13)

a uvod-enjem bezdimenzionalnih koeficijenata

H =HL2

EI, q =

qL3

EI, (5.4.14)

jednadzba glasiL3w HLw = q . (5.4.15)

Konacno rjesenje ovisi o predznaku horizontalne sile H, (tlak ili vlak). Uz definiranjekoeficijenta h, uzduzne karakteristike stapa,

h = |H|L2

EI , h2 = |H|L

2

EI, (5.4.16)

slijede pripadne homogene jednadzbe za oba slucaja

H < 0 H > 0

L3w + HLw = 0 L3w HLw = 0 , (5.4.17)L3w + h2Lw = 0 L3w h2Lw = 0 . (5.4.18)

Uz pretpostavku oblika homogenog rjesenja na razini prirodnih koordinata = x/L

wH = Le , (5.4.19)

slijede pripadne bikvadratne jednadzbe

H < 0 H > 02 + h2

2e = 0

2 h22e = 0 , (5.4.20)

i pripadni korijeni jednadzbi

H < 0 H > 0

1,2 = 0, 3,4 = ih 1,2 = 0, 3,4 = h . (5.4.21)Homogena rjesenja sada slijede za tlacnu horizontalnu silu (H < 0)

wH = (c1 + c2+ c3 sin h+ c4 cos h) L , (5.4.22)

te za vlacnu silu (H > 0)

wH = (c1 + c2+ c3sh h+ c4ch h) L . (5.4.23)

Konstante c1, c2, c3, c4 odredimo iz rubnih uvjeta promatranog izdvojenog dijela stapaduljine L. Partikularno rjesenje za konstantno opterecenje (q = const.) glasi

wP = 12

q

HL2

= 12

qh2

L2 . (5.4.24)


22/51


Konacno rjesenje zbroj je homogenog i partikularnog rjesenja

w = wH + wP . (5.4.25)

Prema proracunu po Teoriji I. reda, uz H = 0, homogeno rjesenje glasi

wH =

c1 + c2+ c3

2

+ c4

3L , (5.4.26)

a partikularno uz q = const. glasi

wP =qL

244 . (5.4.27)

Primjer 5.4.1. Obostrano upeti tlacni stap jednoliko kontinuirano poprecno opterecenPromatramo obostrano upeti tlacni stap, H < 0, opterecen jednolikim kontinuiranim

poprecnim opterecenjem q = const., (Slika 5.2). Potrebno je odrediti momentni dijagramprema Teoriji II. reda.

z, w

x, H H

q

LEI

Slika 5.2: Obostrano upeti tlacni stap jednoliko kontinuirano poprecno opterecen

Jednadzbu (5.4.12) uz definiranu uzduznu karektiristiku stapa (5.4.16) mozemo za-pisati u obliku

w +h2

L2w =

q

EI. (5.4.28)

Rubni uvjeti upetih krajeva su

w(0) = w(L) = 0 i w(0) = w(L) = 0 . (5.4.29)

Prema (5.4.22) i (5.4.24) slijede opci oblik rjesenja

w = (c1 + c2+ c3 sin h+ c4 cos h) L +1

2

q

h2L2 , (5.4.30)

i pripadne derivacije, uz d/dx = 1/L,

w = c2 + c3h cos h

c4h sin h+

q

h2

, (5.4.31)

w = c3 h2

Lsin h c4 h

2

Lcos h+

q

Lh2. (5.4.32)

Pomocu rubnih uvjeta (5.4.29), uz = 0 za x = 0 i = 1 za x = L, slijede jednadzbe zaodred-ivanje nepoznatih konstanti

w( = 0) = 0 (c1 + c4) L = 0 , (5.4.33)w( = 0) = 0 c2 + c3h = 0 , (5.4.34)w( = 1) = 0

c1 + c2 + c3 sin h + c4 cos h +

1

2

q

h2

L = 0 , (5.4.35)

w( = 1) = 0 c2 + c3h cos h c4h sin h + qh2

= 0 . (5.4.36)


23/51


Rjesenjem sustava jednadzbi slijede nepoznati koeficijenti

c1 = q2h2

1 + cos h

h sin h= q

2h3ctg

h

2, (5.4.37)

c2 = q2h2

, (5.4.38)

c3 = q2h3

, (5.4.39)

c4 =q

2h21 + cos h

sin h=

q

2h3ctg

h

2. (5.4.40)

Momentna jednadzba M = EI w u bezdimenzionalnom obliku glasi

M =ML

EI= Lw , (5.4.41)

sto povlaci konacan izraz za momentnu funkciju u bezdimenzionalnom obliku

M = qh2

h2

sin h+ h2

1 + cos hsin h

cos h 1 . (5.4.42)Na slici 5.4.2. prikazan je momentni dijagram u ovisnosti o koeficijentu h Prethodnu

Slika 5.3: Utjecaj h na momentni dijagram

momentnu funkciju mozemo razviti u red po h oko 0

M = q12

1 + 6 62+ qh2720

304 603 + 302 1+ O(h4) . (5.4.43)

pri cemu je ocito jasno da je linearni dio jednak rjesenju prema Teoriji I. reda

Mlin =q

12

1 + 6 62 . (5.4.44)Primjer 5.4.2. Obostrano upeti vlacni stap jednoliko kontinuirano poprecno opterecen

Promatramo obostrano upeti vlacni stap, H > 0, opterecen jednolikim kontinuiranimpoprecnim opterecenjem q = const., (Slika 5.4). Potrebno je odrediti momentni dijagramprema Teoriji II. reda.

z, w

x, H H

q

LEI

Slika 5.4: Obostrano upeti vlacni stap jednoliko kontinuirano poprecno opterecen

Jednadzbu (5.4.12) uz definiranu uzduznu karektiristiku stapa (5.4.16) mozemo za-pisati u obliku

w h2L2

w = qEI

. (5.4.45)


24/51


25/51


26/51


Primjer 5.4.3. Obostrano upeti tlacni stap jednoliko kontinuirano poprecno opterecenPromatramo obostrano upeti tlacni stap, H < 0, opterecen jednolikim kontinuiranim

poprecnim opterecenjem q = const., (Slika 5.2). Potrebno je odrediti momentni dijagramprema Teoriji II. reda. Rjesavamo jednadzbu (5.8.139)

w

+

h2

L2 w

=

q

EI

s pripadnim rubnim uvjetima upetih krajeva (5.4.29)

w(0) = w(L) = 0 i w(0) = w(L) = 0 .

Prema (5.4.67) i (5.4.69) slijede opci oblik rjesenja

w =

c1 + c2x + c3 sin

hx

L+ c4 cos

hx

L

+

1

2

q

EI

L2

h2x2 , (5.4.73)

i pripadne derivacije,

w = c2 + c3h

Lcos

hx

L c4h sin hx

L+

q

EI

L2

h2x , (5.4.74)

w = c3 h2

L2sin

hx

L c4 h

2

L2cos

hx

L+

q

EI

L2

h2. (5.4.75)

Pomocu rubnih uvjeta (5.4.29), slijede jednadzbe za odred-ivanje nepoznatih konstanti

w(x = 0) = 0 (c1 + c4) = 0 , (5.4.76)w(x = 0) = 0 c2 + c3 h

L= 0 , (5.4.77)

w(x = L) = 0

c1 + c2L + c3 sin h + c4 cos h +12

qEI

L4

h2

= 0 , (5.4.78)

w(x = L) = 0 c2 + c3 hL

cos h c4 hL

sin h +q

EI

L3

h2= 0 . (5.4.79)


c1 = q2h2

1 + cos h

h sin h= q

2h3ctg

h

2, (5.4.80)

c2 = q2h2

, (5.4.81)

c3 = q2h3

, (5.4.82)

c4 =q

2h21 + cos h

h sin h=

q

2h3ctg

h

2. (5.4.83)


M =M L

EI= Lw , (5.4.84)


M = qh2

h2

sin h+ h2

1 + cos hsin h

cos h 1 . (5.4.85)


27/51



Na slici 5.4.2. prikazan je momentni dijagram u ovisnosti o koeficijentu h Prethodnu


M =q

12

1 + 6 62+ qh2720

304 603 + 302 1+ O(h4) . (5.4.86)


Mlin =q

12

1 + 6 62 . (5.4.87)Primjer 5.4.4. Obostrano upeti vlacni stap jednoliko kontinuirano poprecno opterecen

Promatramo obostrano upeti vlacni stap, H > 0, opterecen jednolikim kontinuiranimpoprecnim opterecenjem q = const., (Slika 5.4). Potrebno je odrediti momentni dijagramprema Teoriji II. reda. Rjesavamo jednadzbu (5.8.139)

w h2

L2w =

q

EI,

uz pripadne rubne uvjete (5.4.29). Prema (5.4.68) i (5.4.69) slijedi opci oblik rjesenja

w =

c1 + c2x + c3sh

hx

L+ c4ch

hx

L

1

2

q

EI

L2

h2x2 , (5.4.88)

i pripadne derivacije,

w = c2 + c3 hL ch hxL + c4 hL sh hxL qEI L

2

h2 x , (5.4.89)

w = c3h2

L2sh

hx

L+ c4

h2

L2ch

hx

L q

EI

L2

h2. (5.4.90)

Pomocu rubnih uvjeta (5.4.29), slijede jednadzbe za odred-ivanje nepoznatih konstanti

w(x = 0) = 0 (c1 + c4) = 0 , (5.4.91)w(x = 0) = 0 c2 + c3 h

L= 0 , (5.4.92)

w(x = L) = 0

c1 + c2L + c3sh h + c4ch h

1

2

q

EI

L4

h2 = 0 , (5.4.93)

w(x = L) = 0 c2 + c3 hL

ch h + c4h

Lsh h q

EI

L3

h2= 0 . (5.4.94)


c1 = q2h3

cthh

2, (5.4.95)

c2 =1

2

q

h2, (5.4.96)

c3 = 12

q

h3, (5.4.97)

c4 = q2h3

cth h2

. (5.4.98)


28/51



M =M L

EI= Lw , (5.4.99)


M =q

h2

h

2sh h h

2cth h cos h+ 1

. (5.4.100)

Na slici 5.4.2. prikazan je momentni dijagram u ovisnosti o koeficijentu h. Prethodnu



M =q

12

1 + 6 62 qh2720

304 603 + 302 1+ O(h4) . (5.4.101)


Mlin =q

12

1 + 6 62 . (5.4.102)5.5. Matrica krutosti tlacnog stapa prema Teoriji II. reda

Jednadzbu (5.4.12) uz definiranu uzduznu karakteristiku stapa (5.4.16) mozemo za-pisati u obliku

w +h2

L2w =

q

EI. (5.5.103)

Promatramo obostrano upeti stap opterecen tlacnom silom. Rjesenje pripadne homogene

H HLEI

i k

Slika 5.8: Obostrano upeti tlacni stap

diferencijalne jednadzbe glasi

w(x) = c1 + c2x + c3 sinhx

L+ c4 cos

hx

L. (5.5.104)

Pomake na krajevima stapa, uz (x) = w(x), mozemo zapisati u matricnom obliku

w(0)(0)

w(L)(L)

=

1 0 0 10 1 h

L0

1 L sin h cos h0 1 h

Lcos h h

Lsin h

c1c2

c3c4

, (5.5.105)


29/51


H H

Tik Tki

Mik

MkiLEI

i k

Slika 5.9: Sile na krajevima tlacnog stapa

ili u skracenom matricnom obliku

w = Bc ili c = B1w . (5.5.106)

Sile na krajevima stapa mozemo definirati prema izrazima

Tik = EI

w

+

h2

L2 w

x=0 = c2

h2

L2 EI (5.5.107)

Mik = EI wx=0 = c4

h2

L2EI (5.5.108)

Tki = EI

w +h2

L2wx=L

= c2 h2

L2EI (5.5.109)

Mki = EI wx=L = EI(c3 sin h + c4 cos h)h2

L2, (5.5.110)

odnosno u matricnom zapisu

TikMikTkiMki

= EI

0 h2

L20 0

0 0 0 h2L2

0 h2L2

0 0

0 0 h2

L2sin h h

2

L2cos h

c1c2c3c4

, (5.5.111)

ili krace zapisano obliku

fik = Gc = GB1w , (5.5.112)

pri cemu je vektor wT = [wik i wki k] vektor pomaka krajeva stapa, a produkt matricaGB1 predstavlja lokalnu matricu krutosti stapa

Kik =EI

2 + 2 cos h + h sin h

h3 sinhL3

h2(1+cosh)L2

h3 sinhL3

h2(1+cosh)L2

h2(1+cosh)L2

h(h coshsinh)L

h2(1+cosh)L2

h(hsinh)L

h3 sinhL3

h2(1+cosh)L2

h3 sinhL3

h2(1+cosh)L2

h2(1+cosh)

L2 h(hsinh)

L

h2(1+cosh)

L2h(h coshsinh)

L

.

(5.5.113)


30/51


Matricu krutosti mozemo razviti u Taylorov red po h u okolini 0, pa uzimajuci u obzir domaksimalno kvadratnog clana slijedi

Kik = EI

12L3 6h2

5L3 6

L2+ h

2

10L2 12

L3+ 6h

2

5L3 6

L2+ h

2

10L2

6

L2 +h2

10L24

L 2h2

15L

6

L2 h2

10L22

L +h2

30L

12L3

+ 6h2

5L36L2 h2

10L212L3 6h2

5L36L2 h2

10L2

6L2

+ h2

10L22L

+ h2

30L6L2 h2

10L24L 2h2

15L

. (5.5.114)

Razvijenu matricu krutosti mozemo izraziti pomocu uzduzne tlacne sile H u mjestouzduzne karakteristike h

Kik =

12EIL3

6H5L

6EIL2

+ H10

12EIL3

+ 6H5L

6EIL2

+ H10

6EIL2 + H10 4EIL 2HL15 6EIL2 H10 2EIL + HL3012EI

L3+ 6H

5L6EIL2 H

1012EIL3

6H5L

6EIL2 H

10

6EIL2

+ H10

2EIL

+ HL30

6EIL2 H

104EIL 2HL

15

. (5.5.115)

5.6. Vektor upetosti tlacnog stapa prema Teoriji II. reda


w + h2

L2w = q

EI= q . (5.6.116)

Rjesenje diferencijalne jednadzbe glasi

w(x) = c1 + c2x + c3 sinhx

L+ c4 cos

hx

L+

qL2x2

2h2. (5.6.117)

Rubne uvjete za stanje upetosti mozemo zapisati u matricnom obliku

w(0)(0)w(L)(L)

= 1 0 0 10

1

h

L

01 L sin h cos h0 1 h

Lcos h h

Lsin h

c1c2c3c4

+ 00

qL42h2

qL3h2

, (5.6.118)ili u skracenom matricnom obliku

w = Bc + q = 0 (5.6.119)c = B1q

=

qL4

2h3ctg h

2

qL32h2

qL4

2h3qL4

2h3ctg h

2

. (5.6.120)


31/51


Progibnu liniju sada mozemo zapisati u obliku

w =

1 x sin hxL

cos hxL

c +

qL2x2

2h2

= 1 x sinhxL

cos hxL B

1q +qL2x2

2h2

=qL2

2h2x2 qL3

2h2x qL4

2h3

ctg

h2 ctg h

2cos

hxL sinhx

L

. (5.6.121)

Sile na krajevima stapa

Tik = EI

w +

h2

L2wx=0

= qL2

(5.6.122)

Mik = EI wx=0 =

qL2

2 hctg h2

2h2

(5.6.123)

Tki =

EIw +

h2

L2

wx=L

=

qL

2

(5.6.124)

Mki = EI wx=L = qL2

2 h cos hctg h2

+ h sin h

2h2

= qL2

2 hctg h2

2h2

. (5.6.125)

5.7. Matrica krutosti vlacnog stapa prema Teoriji II. reda


w

h2

L2 w

=

q

EI . (5.7.126)Promatramo obostrano upeti stap opterecen vlacnom silom. Rjesenje pripadne homogene

H HLEI

i k

Slika 5.10: Obostrano upeti vlacni stap

diferencijalne jednadzbe glasi

w(x) = c1 + c2x + c3shhx

L+ c4ch

hx

L. (5.7.127)

Pomake na krajevima stapa, uz (x) = w(x), mozemo zapisati u matricnom obliku

w(0)(0)w(L)(L)

=

1 0 0 10 1 h

L0

1 L sh h ch h0 1 h

Lch h h

Lsh h

c1c2c3c4

, (5.7.128)


w = Bc ili c = B1w . (5.7.129)


32/51


H H

Tik Tki

Mik

MkiLEI

i k

Slika 5.11: Sile na krajevima vlacnog stapa

Sile na krajevima stapa mozemo definirati prema izrazima

Tik = EI

w h

2

L2wx=0

= c2 h2

L2EI (5.7.130)

Mik = EI wx=0 = c4

h2

L2EI (5.7.131)

Tki = EI

w h2

L2wx=L

= c2h2

L2EI (5.7.132)

Mki = EI wx=L = EI (c3sh h + c4ch h) h2

L2, (5.7.133)

odnosno u matricnom zapisu

TikMikTkiMki

= EI

0 h2L2

0 0

0 0 0 h2

L2

0 h2

L20 0

0 0 h2L2

sh h h2L2

ch h

c1c2c3c4

, (5.7.134)

ili krace zapisano obliku

fik = Gc = GB1

w , (5.7.135)pri cemu je vektor wT = [wik i wki k] vektor pomaka krajeva stapa, a produkt matricaGB1 predstavlja lokalnu matricu krutosti stapa

Kik =EI

2 + 2ch h hsh h

h3shhL3

h2(1+ch h)L2

h3shhL3

h2(1+ch h)L2

h2(1+ch h)L2

h(sinhhhchh)L

h2(1+ch h)L2

h(hshh)L

h3shhL3

h2(1+ch h)L2

h3shhL3

h2(1+ch h)L2

h2

(1+ch h)L2 h(hshh)L h2

(1+ch h)L2 h(sinhhhchh)L

.

(5.7.136)Matricu krutosti mozemo razviti u Taylorov red po h u okolini 0, pa uzimajuci u obzir domaksimalno kvadratnog clana slijedi

Kik = EI

12L3

+ 6h2

5L3 6

L2 h2

10L2 12

L3 6h2

5L3 6

L2 h2

10L2

6L2 h2

10L24L

+ 2h2

15L6L2

+ h2

10L22L h2

30L

12L3 6h2

5L36L2

+ h2

10L212L3

+ 6h2

5L36L2

+ h2

10L2

6L2 h2

10L22L h2

30L6L2

+ h2

10L24L

+ 2h2

15L

. (5.7.137)


33/51


Razvijenu matricu krutosti mozemo izraziti pomocu uzduzne vlacne sile H u mjestouzduzne karakteristike h

Kik =

12EIL3

+ 6H5L

6EIL2 H

1012EI

L3 6H

5L6EI

L2 H

10

6EI

L2

H

10

4EI

L+ 2HL

15

6EI

L2 +

H

10

2EI

L HL

30

12EIL 6H

5L6EIL2

+ H10

12EIL3

+ 6H5L

6EIL2

+ H10

6EIL2 H

102EIL HL

306EIL2

+ H10

4EIL

+ 2HL15

. (5.7.138)

5.8. Vektor upetosti vlacnog stapa prema Teoriji II. reda


w h2

L2w = q

EI= q . (5.8.139)

Rjesenje diferencijalne jednadzbe glasi

w(x) = c1 + c2x + c3shhx

L+ c4ch

hx

L qL

2x2

2h2. (5.8.140)

Rubne uvjete za stanje upetosti mozemo zapisati u matricnom obliku

w(0)

(0)w(L)(L)

= 1 0 0 1

0 1 hL 01 L sh h ch h0 1 h

Lch h h

Lsh h

c1

c2c3c4

+ 0

0 qL4

2h2qL3

h2

, (5.8.141)


w = Bc + q = 0 (5.8.142)c = B1q

= qL4

2h3cth h

2qL3

2h2 qL42h3

qL4

2h3cth h

2

. (5.8.143)

Progibnu liniju sada mozemo zapisati u obliku

w =

1 x sh hxL

ch hxL

c qL

2x2

2h2

=

1 x sh hxL

ch hxL

B1q +qL2x2

2h2

= qL2

2h2x2 + qL

3

2h2x qL

4

2h3

cth h2 cth h

2ch hx

L+ sinhhx

L

. (5.8.144)


34/51


35/51


Oslobod-en je kut zaokreta na krajnjem cvoru stapa, k, a pripadni moment jednak jenuli, Mki = 0. Iz cetvrtog retka matrice krutosti mozemo izraziti kut zaokreta k kaofunkciju ostalih pomaka, wi, i, wk, (5.9.150) ,

k = h2(1+cosh)

L2 wi + h(hsinh)

L i + h2(1+cosh)

L2 wkh(h coshsinh)

L

=h (1 + cos h)

L (h cos h sin h) wi +h 1sin h

h cos h sin hi h (1 + cos h)

L (h cos h sin h) wk .(5.9.153)

Lokalnu kondenziranu matricu krutosti jednostrano upetog stapa mozemo sada dobitiuvrstavanjem izraza za kut k u ostale retke matrice krutosti, (5.9.151) Matricu krutostimozemo razviti u Taylorov red po h u okolini 0, pa uzimajuci u obzir do maksimalnokvadratnog clana slijedi

KCik = EI

3L3

6h2

5L3

3L2

+ h2

5L2

3L3

+ 6h2

5L30

3L2

+ h25L2

3L h2

5L3L2 h2

5L20

3L3

+ 6h2

5L33L2 h2

5L23L3 6h2

5L30

0 0 0 0

. (5.9.154)

Razvijenu matricu krutosti mozemo izraziti pomocu uzduzne tlacne sile Humjesto uzduznekarakteristike h

KCik =

3EIL3 6H

5L3EI

L2+ H

53EI

L3+ 6H

5L0

3EIL2

+ H5

3EIL HL

53EIL2 H

50

3EIL3

+ 6H5L

3EIL2 H

53EIL3 6H

5L0

0 0 0 0

. (5.9.155)

Primjer 5.9.6. Matrica krutosti upeto-upeto kliznog tlacnog stapa kondenzacijom matricekrutosti obostrano upetog tlacnog stapa

Promatramo upeto-upeto klizni tlacni stap, H < 0, s poprecnom vezom oslobod-enomna desnom kraju stapa, (Slika 5.9.). Potrebno je odrediti kondenziranu maricu krutostiprema Teoriji II. reda.

Slika 5.13: Upeto-upeto klizni tlacni stap

Matrica krutosti obostrano upetog tlacnog stapa, (5.5.113), glasi

Kik =EI

2 + 2 cos h + h sin h

h3 sinhL3

h2(1+cosh)L2

h3 sinhL3

h2(1+cosh)L2

h2(1+cosh)L2

h(h coshsinh)L

h2(1+cosh)L2

h(hsinh)L

h3 sinhL3

h2(1+cosh)L2

h3 sinhL3

h2(1+cosh)L2

h2(1+cosh)L2

h(hsinh)L

h2(1+cosh)L2

h(h coshsinh)L

.

(5.9.156)

Oslobod-en je poprecni pomak na krajnjem cvoru stapa, wk, a pripadna poprecna silajednaka je nuli, Tki = 0. Iz treceg retka matrice krutosti mozemo izraziti poprecni pomak


36/51


wk kao funkciju ostalih pomaka, wi, i, k, (5.9.150) ,

wk =

h3 sinh

L3

wi +

h2(1+cosh)

L2

i +

h2(1+cosh)

L2

k

h3 sinhL3

= wi L (

1 + cos h csc h)

h i L (

1 + cos h csc h)

h k . (5.9.157)

Lokalnu kondenziranu matricu krutosti upeto-upeto kliznog stapa mozemo sada dobitiuvrstavanjem izraza za poprecni pomak wk u ostale retke matrice krutosti, (5.9.151)Matricu krutosti mozemo razviti u Taylorov red po h u okolini 0, pa uzimajuci u obzir domaksimalno kvadratnog clana slijedi

KCik = EI

0 0 0 0

0 1L h2

3L0 1

L h2

6L

0 0 0 0

0 1

L h2

6L 0

1

L h2

3L

. (5.9.158)

Razvijenu matricu krutosti mozemo izraziti pomocu uzduzne tlacne sile H u mjestouzduzne karakteristike h

KCik =

0 0 0 00 EI

L HL

30 EI

L HL

6

0 0 0 00 EI

L HL

60 EI

L HL

3

. (5.9.159)


37/51

6. Imperfekcije 37

6. Imperfekcije

6.1. Osnovne definicije i preduvjeti

Tijekom procesa izvedbe konstrukcije i pojedinih konstruktivnih elemenata dolazi doodred-enih odstupanja od planirane geometrije i planiranih svojstava konstrukcije. Takva

odstupanja zovemo imperfekcije. Razlikujemo dvije osnovne vrste imperfekcije

geometrijske imperfekcije (odstupanja u mjerama), imperfekcije konstrukcije (nehomogenost materijala, parazitna naprezanja zbog varova,. . . )

.

Za pojednostavljenje proracuna mozemo sva neplanirana odstupanja od proracunskogmodela uzeti u obzir kao zamjenske geometrijske imperfekcije. Utjecaj pocetnih deforma-cija na staticke velicine u proracunu po teoriji I. reda ne uzimamo u obzir.

6.2. Izvod diferencijalnih jednadzbiJednadzbe ravnoteze postavljamo na elementu s pocetnom deformacijom bez naprezanja

na kojem dolazi i do deformacije pod djelovanjem opterecenja. Jednadzbe glase

Slika 6.1: Stap s pocetnom deformacijom bez naprezanja pod djelovanjem opterecenja

Kx = 0 H = const. , (6.2.1)Kz = 0 dV + qdx = 0 , (6.2.2)M = 0 dM + Hdwp + dwel V dx = 0 . (6.2.3)

Nakon integracije jednadzbe ravnoteze momenata slijedi

M + H

wp + wel

=

V dx c (6.2.4)

odnosno

M + Hwel =

Hwp + V dx c . (6.2.5)

Clan Hwel dodatak je u odnosu na teoriju I. reda , a clan Hwp dodatak je u odnosu nateoriju II. reda bez pocetne deformacije. Zakon elasticnosti za moment vrijedi samo zaelasticnu deformaciju,

M = EIwel , (6.2.6)slijedi

EI wel Hwel = Hwp

V dx c , (6.2.7)

a nakon mnozenja s koeficijentom 1/EI

wel H

EIwel = H

EIwp V

EIdx + c

EI. (6.2.8)


38/51

38 6. Imperfekcije

Prethodnu jednadzbu promatramo dalje samo za slucaj opterecenja od pocetnog po-maka wp, uz wel = w,

w HEI

w =H

EIwp . (6.2.9)

6.3. Rjesenje diferencijalne jednadzbe

Rjesenje jednadzbe (6.2.9) mozemo zapisati kao zbroj homogenog i partikularnogrjesenja. Promatramo paralelno jednadzbu za tlacnu (H < 0) i vlacnu silu (H > 0)u prirodnom koordinatnom sustavu = x/L uz uvedenu uzduznu karakteristiku stapa,(5.4.16). Jednadzbe glase

H < 0 H > 0

w +h2

L2w = h

2

L2wp w h

2

L2w =

h2

L2wp , (6.3.10)

(6.3.11)

6.3.1. Partikularno rjesenje u prirodnom koordinatnom sustavu

Homogeno rjesenje za tlacnu horizontalnu silu (H < 0) glasi

wH = (c1 sin h+ c2 cos h) L , (6.3.12)

a za vlacnu horizontalnu silu (H > 0)

wH = (c1sh h+ c2ch h) L . (6.3.13)

Partikularno rjesenje ovisi o obliku pocetne deformacije. Pretpostavimo parabolicnu

pocetnu deformaciju wp = w0

1 42 , (6.3.14)slijedi opci oblik partikularnog rjesenja

wP =

d0 + d1+ d22

L , (6.3.15)

a uvrstavanjem u polaznu jednadzbu slijede partikularna rjesenja za tlacnu silu

wP = w0

42 8

h2 1

, (6.3.16)

i za vlacnu silu

wP = w0

42 + 8h2 1

, (6.3.17)

6.3.2. Partikularno rjesenje u standardnom koordinatnom sustavu

Homogeno rjesenje za tlacnu horizontalnu silu (H < 0) glasi

wH = c1 sinhx

L+ c2 cos

hx

L, (6.3.18)

a za vlacnu horizontalnu silu (H > 0)

wH = c1sh hxL

+ c2ch hxL

. (6.3.19)


39/51


40/51

40 6. Imperfekcije

Sada slijedi konacni izraz za progib jednak partikularnom rjesenju

w = w0

42 8

h2 1

=

8w0

h2

wp . (6.3.29)

Primjer 6.3.10. Obostrano upeti tlacni stap u standardnom koordinatnom sustavuKonstante c1, c2 odredimo iz rubnih uvjeta promatranog stapa duljine L. Kutevi

zaokreta lezajeva jednaki su kutu zaokreta pocetne imperfekcije. Takav lezajni uvjet isimetrija povlace vrijednosti koeficijenata za tlacnu silu

c1 = 0 , c2 = 0 , (6.3.30)

Sada slijedi konacni izraz za progib jednak partikularnom rjesenju

w = w0

4x2

8

h2 1= 8w0

h2 wp . (6.3.31)


41/51

7. Postupak P-Delta 41

7. Postupak P-Delta

7.1. Osnovna ideja postupka

Postupak P-Delta iterativni je postupak proracuna po Teoriji II. reda. Predstavljalinearizaciju jednadzbi nelinearne teorije. U sustavu jednadzbi ravnoteze uz nepoznatepomake imamo i nepoznatu uzduznu silu N. Elementi matrice krutosti iskazani su kaofunkcija uzduzne sile. Pretpostavimo li neku vrijednost uzduzne sile matrica krutostipostaje neovisna vrijednostima unutarnjih sila sto dovodi do mogucnosti proracuna polinearnoj teoriji, inzenjerskoj metodi pomaka.

Pocetnu vrijednost uzduzne sile N0 dobivenu linearnim proracunom mijnjamo tijekomiterativnog postupka do konacne vrijednosti Nn nakon n iteracija.

Ako su pomaci konstrukcije veliki, Mozemo nakon linearnog proracuna mijenjati ikoordinate cvorova, uz novi proracun lokalnih matrica krutosti pripadnih stapova.

Konacne sile na krajevima stapova iznose

fik =

Klinik + Knelinik

u + fik . (7.1.1)

U prvom koraku provedemo linearni proracun i odredimo uzduzne sile u svim elemen-tima konstrukcije. Nakon toga odredimo lokalne matrice krutosti stapova, lokalne vektoreupetosti, globalnu matricu krutosti i globalni vektor upetosti kao funkcije uzduznih sila do-bivenih nakon linearnog proracuna. Nepoznanice su translatorni pomaci i kutevi zaokretaprema inzenjerskoj metodi pomaka. Iz jednadzbi ravnoteze cvorova i jednadzbi radova nanepoznatim translatornim pomacima odredimo vrijednosti nepoznatih pomaka i sila nakrajevima stapova.

7.2. Numericki proracun

Primjer 7.2.1. Na zadanom okvirnom nosacu potrebno je odrediti momente u cvorovima

L

LEI

EI

K q

Slika 7.1: Zadani okvirni nosac

Zadane su vrijednosti

E = 2 108 kN/m2 , I = 25170 cm4L = 6 m , q = 40 kN/m , K = 1000 kN .

U prvom dijelu proracuna odredit cemo unutarnje sile linearnim proracunom, npr, inzenjerskommetodom pomaka. Jedina nepoznanica je kut zaokreta 2 pa su izrazi za momente na


42/51


43/51


Iz ravnoteze cvora 2 sada slijedi

M21 + M23 = 0

662242 + 120, 0215 = 0

2=

0.0018124

1

551, 7678,

M12 = 30, 812 kNm , M21 = 59, 221 kNm ,M23 = 59, 221 kNm , M32 = 150, 438 kNm ,

Ns = N21 = N12 = 1104, 7972 kN (tlak) ,Ng = N32 = N23 = 15, 0055 kN (tlak) .

Provest cemo jos jednu iteraciju da moemo uvidjeti bliskost rjesenja i dovoljnost prethodneiteracije u prakticnom smislu. Izrazi za momente na krajevima stapova su sada

M12 =2EI

L +LNs

30

2 = (16780 + 220, 96) 2 = 17001, 042 ,

M21 =

4EI

L 2LNs

15

2 = (33560 883, 84) 2 = 32676, 162 ,

M23 =

4EI

L 2LNg

15

2 +

qL2

12+

qL4Ng720EI

= (33560 12, 0044) 2 + 120, 02146 = 33547, 99562 + 120, 02146 ,

M32 =

2EI

L+

LNg30

2

qL2

12+

qL4Ng720EI

= (16780 + 3, 0011) 2

120, 02146 = 16783, 00112

120, 02146 .


M21 + M23 = 0

66224, 15562 + 120, 02146 = 0 2 = 0, 0018124 1

551, 7693,



Rezultati su jednaki na prikazanu decimalu. To znaci da je u ovakvom primjeru vec nakonprve iteracije dobiveno zadovoljavajuce nelinearno rjesenje.

Primjer 7.2.2. Na prethodnom primjeru potrebno je odrediti momente u cvorovima, aliza razlicitu krutost konstrukcije

Sve su vrijednosti jednake kao u prethodnom primjeru osim momenta inercije poprecbog

presjeka I = 5700 cm4

. Linearni dio proracuna da je jednake vrijednosti momenata kao uprethodnom primjeru, zbog istog odnosa krutosti stupa i grede, ali uz veci kut zaokreta


44/51

44 7. Postupak P-Delta

zbog manje krutosti konstrukcije. Momenti na krajevima stapova jednaki su

M12 =2EI

L2 = 38002 ,

M21 =4EI

L2 = 76002 ,

M23 =4EI

L2 +

qL2

12= 76002 + 120 ,

M32 =2EI

L2 qL

2

12= 38002 120 .

Iz ravnoteze cvora 2 slijedi

M21 + M23 = 0

152002 + 120 = 0

2 =

3

380 1

126, 6

,

M12 = 30 kNm , M21 = 60 kNm ,M23 = 60 kNm , M32 = 150 kNm ,

Ns = N21 = N12 = 1105 kN (tlak) ,Ng = N32 = N23 = 15 kN (tlak) .

Sada izracunamo kvadratnu aproksimaciju potrebnih pripadnih koeficijenata (kii i kii)u nelinearnoj matrici krutosti i nelinearne sile upetosti tlacnog stapa i dobivamo izrazeza momente na krajevima stapova

M12 =

2EIL + LNs

30

2 = (3800 + 221) 2 = 40212 ,

M21 =

4EI

L 2LNs

15

2 = (7600 884) 2 = 67162 ,

M23 =

4EI

L 2LNg

15

2 +

qL2

12+

qL4Ng720EI

= (7600 12) 2 + 120, 0474 = 75882 + 120, 0474 ,

M32 =

2EI

L+

LNg30

2

qL2

12+

qL4Ng720EI

= (3800 + 3)

2 120, 0474 = 3803

2 120, 0474 .


M21 + M23 = 0

143042 + 120, 0474 = 0 2 = 0, 0083926 1

119, 153,




45/51


Mozemo uociti da su razlike momenata u cvorovima manje od 1%, pa nije potrebnoza prakticnu primjenu provoditi daljnje iteracije. Nesto je veca razlika u kutu zaokretacvora koja iznosi oko 6%. Razlike su nesto vece nego u prethodnom primjeru zbog manjekrutosti konstrukcije koja rezuktira vecim utjecajem nelinearnog ponasanja konstrukcije

Primjer 7.2.3. Na zadanom okvirnom nosacu potrebno je odrediti momente u cvorovima

L

HEI

EI

EI

KHKV KV



E = 2 108 kN/m2 , I = 25170 cm4H = 4 m , L = 6 m , KH = 120 kN , KV = 1000 kN .

U prvom dijelu proracuna odredit cemo unutarnje sile linearnim proracunom, npr,inzenjerskom metodom pomaka. Nepoznanice su kutevi zaokreta 2, 3 i translatornipomak u2/3 = u. Izrazi za momente na krajevima stapova su

M12

=2EI

H

2+

6EI

H2u = 25170

2+ 18877, 5u ,

M21 =4EI

H2 +

6EI

H2u = 503402 + 18877, 5u

M23 =4EI

L2 +

2EI

L3 = 335602 + 167803 ,

M32 =2EI

L2 +

4EI

L3 = 167802 + 335603 ,

M34 =4EI

H3 +

6EI

H2u = 503403 + 18877, 5u ,

M43 =2EI

H

3 +6EI

H2

u = 251703 + 18877, 5u .

Iz ravnoteze cvorova 2, 3 i jednadzbe rada na jedinicnom translatornom pomaku u slijedisustav jednadzbi

0 = 839002 + 167803 + 18877, 5u

0 = 167802 + 839003 + 18877, 5u

120 = 18877, 52 + 18877, 53 + 18877, 5u

Rjesenje sustava daje vrijednosti nepoznatih pomaka

2 = 3 = 0, 001907 = 84195

, u = 0, 0101708 198, 32

.


46/51


47/51


Rjesenje sustava daje vrijednosti nepoznatih pomaka

2 = 3 = 0, 00200367 = , u = 0, 010682 193, 612

.

Momenti na krajevima stapova su

M12 = 149, 932 kNm , M21 = 100, 793 kNm , M23 = 100, 793 kNm ,M32 = 100, 793 kNm , M34 = 100, 793 kNm , M43 = 149, 847 kNm ,

a uzduzne (tlacne) sile iznose

Ns1 = N21 = N12 = 969, 86 kN ,Ng = N32 = N23 = 57, 32 kN ,Ns2 = N43 = N34 = 1030, 14 kN .

Rezultati su vrlo bliski linearnom proracunu sto povlaci da u prakticnom smislu nije

potrebno provoditi dodatne iteracija.

Primjer 7.2.4. Na zadanom okviru potrebno je odrediti momente u cvorovima

L

HEI

EI

EI

KHKV KV



E = 2 108 kN/m2 , I = 5700 cm4H = 4 m , L = 8 m , KH = 10 kN , KV = 1000 kN .

U prvom dijelu proracuna odredit cemo unutarnje sile linearnim proracunom, npr,inzenjerskom metodom pomaka. Nepoznanica je samo translatorni pomak u2/3 = u.

Izrazi za momente na krajevima stapova su

M12 =3EI

H2u = 2137, 5u ,

M43 =3EI

H2u = 2137, 5u .

Iz jednadzbe rada na jedinicnom translatornom pomaku u slijedi jednadzba

0 =

(M12 + M43)1H

+ Kh

1, 0

10 = 1068, 75u


48/51

48 7. Postupak P-Delta

Rjesenje sustava daje vrijednosti nepoznatog pomaka

u == 0, 009357 =8

855.


M12 = M43 = 20 kNm ,

a uzduzne (tlacne) sile iznose

Ns1 = N21 = N12 = 1000 kN ,Ns2 = N43 = N34 = 1000 kN .

Sada izracunamo potrebne pripadne nelinearne koeficijente matrice krutosti i izraze zamomente na krajevima stapova

M12 =

3EIH2

Ns15

u = (2137, 5 200)u = 1937, 5u ,

M43 =

3EI

H2 Ns2

5

u = (2137, 5 200)u = 1937, 5u .

Jednadzba rada sada glasi10 = 468, 75u

Rjesenje sustava daje vrijednosti nepoznatog pomaka

u = 0, 0213 =8

375 .


M12 = 41, 3 kNm , M43 = 41, 3 kNm ,

a uzduzne (tlacne) sile jednake su

Ns1 = N21 = N12 = 1000 kN ,Ns2 = N43 = N34 = 1000 kN ,

jednake su kao i prije prve iteracije sto povlaci da su dobiveni rezultati i konacni. Mozemouociti da nelinearnim proracunom dobivamo horizontalni pomak konstrukcije oko 2,28puta veci nego linearnim proracunom. Lezajni momenti su 2,067 pota veci od momenatadobivenih linearnim proracunom.


49/51

8. Fizikalna nelinearnsot 49

8. Fizikalna nelinearnsot

8.1. Prethodne napomene

Fizikalna linearna teorija ogranicna je na linearno podrucje dijagrama, na po-drucje u kojem vrijedi Hookeov zakon. Opterecenje otkazivanja konstrukcije opterecenjeje kod kojeg je dostignuto granicno elasticno opterecenje, granica tecenja. Ogranicenjemopterecenja na dostizanje granicnog elasticnog opterecenja konstrukcija zapravo nije upotpunosti iskoristena. Za povecanje opterecenja preko granice elasticnog opterecenja dogranice otkazivanja potrebno je odgovarajuce uzeti u obzir nelinearno ponasanje mater-ijala. Kao i kod geometrijske nelinearnosti, svaki nelinearni zakon ponasanja materijalavodi do nelinearnog odnosa opterecenja i statickih velicina konstrukcije.

8.2. Aproksimacija nelinearnog ponasanja materijala

8.2.1. Pregled

Nelinearno ponasanje materijala mozemo pribizno iskazati

razvojem u red potencija,

opcim bilinearnim izrazom,

posebnim bilinearnim izrazom (linearno elasticno / idealno plasticno),

parabola-pravokutnik izrazom (nelinearno ponasanje betona).

8.2.2. Razvoj u red potencija

Dijagram bez izrazenog podrucja tecenja mozemo priblizno iskazati razvo jem ured potencija u obliku

= E

1 = c1 + c22 + . . . cn

n

, (8.2.1)

pri cemu vrijednosti E i ci, i = 1, . . . , n dobivamo na temelju ispitivanja.

Ako promatramo ponasanje materijala u odred-enom presjeku, naprezanje i deformacijasu samo u funkciji varijable z, (x, z) = (z) i (x, z) = (z). Jednadzba (1.3.20) vrijedii kod nelinearnog ponasanja materijala,

M =

F

(z)zdF =

F

((z))zdF . (8.2.2)

Uvrstavanjem jednadzbe (8.2.1) u jednadzbu (8.2.2) slijedi jednadzba konstitucije

M = E

F

z

1 + c1 + c22 + . . . cn

n

. (8.2.3)

Uz pretpostavku malih pomaka, izraz za deformaciju je

(z) = u zw , (8.2.4)


50/51

50 8. Fizikalna nelinearnsot

sto povlaci, prema jednadzbi (8.2.3),

M = E

uF

zdF wF

z2dF

+c1

u2 F

zdF 2wuF

z2dF + w2F

z3dF . . . . (8.2.5)

Vidljivo je da su prva dva clana u izrazu (8.2.5) zapravo clanovi iz linearne teorije. Uostalim clanovima dolazi do visih potencija zakrivljenosti w

8.2.3. Opca bilinearna aproksimacija

Aproksimaciju nelinearnog ponasanja materijala mozemo provesti i opcom bilinearnomaproksimacijom. Na taj nacin nelinearno ponasanje materijala aproksimiramo bilinearnim

elasticnim ponasanjem. Podrucje deformacija podijelimo na dva dijela i u svakom dijelupostavimo pripadnu linearnu vezu izmed-u naprezanja i deformacija, Slika 8.2.3. .

Slika 8.1: Bilinearna aproksimacija nelinearnog ponasanja materijala

Takva bilinearna aproksimacija dijeli dijagram na dva dijela, I i II, s granicnimvrijednostima 1, 2 i 1, 2. Nelinearno ponasanje aproksimirano je sekantom izmed-u tihvrijednosti, nagibima E1 i E2 u pripadnim podrucjima. Zakon elasticnosti u podrucju I

glasi]rmI = E1 , (8.2.6)

a u podrucju II

II = 1 + E2 ( 1) . (8.2.7)Ako promatramo sucaj cistog savijanja (

dF = N = 0), moramo iskazati samo

odmos M =

zdF. ZA takvo opterecenje mozemo prikazati odnos naprezanja i de-formacija s porastom opterecenja , (Slika 8.2.3.). U podrucju I, ponasanje je jednako

Slika 8.2: Os=dnos naprezanja i deformacija uz bilinearnu aproksimaciju

linearnom ponasanju materijala, uz moment otpora poprecnog presjeka WI,

M = EI w, I = M/WI . (8.2.8)

U podrucju II, zbog Bernoullijeve pretpostavke ravnih poprecnih presjeka, funkcija naprezanjaima lom na visini dostizanja deformacije 1 i naprezanja 1. Integraciju naprezanja upodrucju II provodimo u dva dijela, integraciju preko cijelog presjeka i oduzimanjem

integrirane razlike na dijelu gdje deformacija prelazi 1. Razlika je zapravo raz-lika naprezanja izmed-u napreaznja izracunatog prema linearnom zakonu u podrucju I i


51/51

Documents

teorija elasticnosti