Teorija Betonskih Konstrukcija

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 1

Pismeni ispit, 25.01.2008.

Odrediti veličinu jednako raspodeljenog povre-menog opterećenja koju može prihvatiti nosač

sistema proste grede, raspona L=6 m čiji je poprečni presek prikazan na skici. Prilikom proračuna nosivo-sti preseka uzeti u obzir i poprečnu i podužnu arma-turu. Kvalitet materijala: MB 30, RA 400/500. Raču-nati samo sa zadatim opterećenjima.

NOSIVOST PREMA MOMENTIMA SAVIJANJA

Potrebno je naći moment loma zadatog preseka. Ovaj tip problema se može rešavati na nekoliko načina vrlo različitog stepena složenosti (zanemaru-jući ili uzimajući u obzir nosivost pritisnute armature, iterativnim - analitičkim postupkom ili primenom dija-grama interakcije) pa je potrebno uočiti da li se traži neki poseban način proračuna.

Prednost, naravno, uvek treba dati najjednostavnijim, a dovoljno tačnim rešenjima. Tekstom zadatka se ne traži da se proračunom tretira i armatura smeštena u pritisnutoj zoni preseka. Pored toga, kod preseka širine pritisnute zone 60 cm, doprinos pritisnute armature u slučaju čistog savijanja, nije veliki, odnosno teško da će premašiti 1-2%, što je reda veličine tačnosti iterativnog proračuna. Dakle, određivanje momenta loma uz zanemarenje nosivosti pritisnute armature.

Tip preseka zavisi od oblika pritisnute zone - ukoliko se proračunom dobije da je x ≤ dp = 12 cm, presek je pravougaoni, širine B=60 cm, u protivnom je oblika "T". Puno manje posla je u prvom slučaju, pa je logično poći od te pretpostavke i odmah je proveriti.

Aa1 = 22.80 cm2 (6RØ22)

6

1025.44a1×+×

= = 6.33 cm ⇒ h = 60 - 6.33 = 53.67 cm

U slučaju jednostruko armiranog pravougaonog preseka, uslov ravnoteže normalnih sila, iz koga se određuje položaj neutralne linije, može se napisati u obliku:

‰10/375.2/

797.2k192.0s

%821.1305.267.5360

4080.22fhb

A

ab

TABLICE

B

v1a1

=εε==

→=××

×=

××σ×

=µ

x = 0.192×53.67 = 10.3 cm < dp = 12 cm

Pretpostavka o položaju neutralne linije je dobra, pa se presek proračunava kao pravou-gaoni, širine 60 cm.

Zadovoljena je i druga učinjena pretpostavka, koja ovde nije eksplicitno navedena:

v1a3a

vv1a ‰905.1

10210400

Eσ=σ⇒=

×=

σ=ε>ε

U slučaju dimenzionisanja preseka postoji ograničenje εa1 ≥ 3‰, što obezbeđuje da arma-tura uđe u prag tečenja. Međutim, kod utvrđivanja nosivosti poznatog preseka ne možemo uvek biti sigurni da je ovaj uslov zadovoljen (recimo da je presek dimenzionisan prema ne-kim drugim propisima ili je prosto učinjen računski propust), pa je vrednost napona u za-tegnutoj armaturi potrebno formalno utvrditi.

1

4.5

30

25.5

21

4.5

4.5

5.5

204.

5

4RØ22

2RØ22URØ10/15

2RØ12

2RØ22

1248

60



Traženi moment loma se sračunava iz uslova ravnoteže momenata savijanja, koji se u ovom slučaju može napisati u obliku:

22

B

2

u 1005.260797.2

67.53fb

kh= M −×××

=××

= 452.7 kNm

Rezultat proračuna nije moment loma, već opterećenje koje nosač može prihvatiti. Uslo-vom zadatka nije definisano nijedno opterećenje (očito se i sopstvena težina nosača smat-ra zanemarljivom) pa sledi:

mkN9.55

0.68.17.4528

LM8p

8LpMM 22

p,u

u1

21

p,upp,uu =×

×=

×γ×

≤⇒×

×γ=×γ=

Šta je moglo da iskomplikuje ovako jednostavan proračun?

Recimo, činjenica da se neutralna linija nađe u rebru. Sprovodi se proračun za "T" presek, dakle iterativno određivanje položaja neutralne linije iz uslova ravnoteže normalnih sila, bez obzira da li je potrebno u proračun uvesti i nosivost pritisnute armature u preseku. Ovo bi se u primeru dogodilo kada bi, umesto šipkama Ø22, bio armiran šipkama Ø25 sa istim rasporedom (x = 12.34 cm, Mu = 573.5 kNm).

Mali spas u ovoj situaciji može da bude uzimanje u obzir pritisnute armature u preseku. U varijanti sa šipkama Ø25 i uzimanjem u obzir nosivosti pritisnute armature, dobija se da se neutralna linija u ploči (x = 10.25 cm, Mu = 584.1 kNm). U čemu je "spas", kad je postupak određivanja položaja neutralne linije iterativan? Ne mora da bude, ukoliko se iskoristi dija-gram interakcije. Dokazano je da je presek pravougaoni (B=60 cm), potrebno je odabrati odgovarajući dijagram, u konkretnom slučaju dijagram 104 (Najdanović, Alendar, Ješić), sračunati mehanički procenat armiranja ukupnom armaturom i očitati vrednost mu.

NOSIVOST U ODNOSU NA TRANSVERZALNE SILE

Zadatkom nije precizirano postojanje koso povijenih profila, niti je dat plan armature iz koga bi se moglo zaključiti koliko šipki armature je prevedeno preko slobodnog oslonca (procena nosivosti dodatne podužne armature ∆Aa). Stoga preostaje da se nosivost u odnosu na transverzalne sile odredi iz nosivosti datih uzengija.

Napon koji mogu prihvatiti uzengije se sračunava kao:

2vu

)1(u

u,u cmkN14.040

1530785.02

ebam

=××

×=σ×

××

=τ = 1.4 MPa

Potreban prečnik ili češće razmak uzengija se sračunavaju iz maksimalnog napona τRu. Dakle, napon koji mogu prihvatiti uzengije τu,u treba da bude najmanje jednak naponu τRu.

S druge strane, napon τRu se sračunava kao:

( )rnRu 23

τ−τ×=τ za rnr 3τ≤τ≤τ

nRu τ=τ za rnr 53 τ≤τ≤τ

Kako je napon koji je sračunat:

τRu = τu,u = 1.4 MPa < 3τr = 3×1.1 = 3.3 MPa

sledi:



2rRun cmkN203.0MPa03.21.14.1

32

32

==+×=τ+τ×=τ

67.539.030203.0Th9.0b

Tu

un ×××=⇒

××=τ = 294.3 kN

mkN5.54

0.68.13.2942

LT2p

2LpTT

p,u

u2

2p,upp,uu =

××

=×γ

×≤⇒

××γ=×γ=

Merodavno je, naravno, manje od dva sračunata opterećenja, dakle p = p2 = 54.5 kN/m.

Za nosač zadat u Zadatku 1, opterećenje p = 30 kN/m i presek u polju, sračunati napone u betonu i armaturi, srednje rastojanje i karakterističnu širinu prslina.

Pritisnuta je gornja ivica nosača, pa je oblik pritisnute zone preseka ili pravougaoni, širine B=60 cm, ili, za slučaj da je neutralna linija u rebru, oblika T. Iz praktičnih razloga, pretpostavlja se da je neutralna linija u ploči, pa se položaj neutralne linije određuje kao za pravougaoni poprečni presek, rešavanjem kvadratne jednačine oblika:

( ) ( ) 0 = +n2 –s +n2+s 221212 α×µµ×××µµ××

MB 30 ⇒ Eb = 31.5 GPa (čl. 52. BAB 87) ⇒ 5.31

210EEn

b

a == = 6.67

6

1025.44a1×+×

= = 6.33 cm ⇒ h = 60 - 6.33 = 53.67 cm

a2 = 4.5 cm ⇒ 67.535.4

ha2 = = 0.084 ;

67.5312

hdp ==δ = 0.224

Aa1 = 6RØ22 ⇒ 67.5360

80.22hb

A 1a1 ×

=×

=µ = 0.0071 = 0.71%

Aa2 = 2RØ22 ⇒ 67.5360

60.7hb

A 2a2 ×

=×

=µ = 0.0024 = 0.24%

s2 + 2×6.67×(0.71+0.24)×10-2×s - 2×6.67×(0.71+0.24×0.084)×10-2 = 0

s2 + 0.126×s - 0.097 = 0 ⇒ s = 0.255 > δ = 0.224

Pretpostavka o položaju neutralne linije nije zadovoljena, pa se presek mora proračunati kao T presek. U ovom slučaju položaj neutralne linije se sračunava iterativno, rešavanjem kvadratne jednačine oblika:

( ) ( ) 0nJsnF 221Ib21)s( =α×µ+µ×+−×µ+µ×−=

pri čemu je:

( )2

s1bB

2s

bB=J

22

Ibδ−×

−−×

Pri tome treba uočiti da se MORA dobiti rezultat s > 0.255, koliko je dobijeno proračunom položaja neutralne linije za pravougaoni presek širine 60 cm.

2



67.5330

80.22hb

A 1a1 ×

=×

=µ = 0.0142 = 1.42%

67.5330

60.7hb

A 2a2 ×

=×

=µ = 0.0047 = 0.47%

pretp. s = 0.30 ⇒ ( )2

224.03.013060

230.0

3060=J

22

Ib−×

−−× = 0.087

( ) ( ) 22)s( 10084.047.042.167.6087.0s1047.042.167.6F −− ××+×+−××+×−=

F(s) = -0.126×0.30 - 0.087 + 0.0971 = -0.0278 ≠ 0 ⇒ 0.255 < s < 0.30

pretp. s = 0.26 ⇒ ( )2

224.026.013060

226.0

3060

J22

Ib−×

−−×= = 0.067

F(s) = -0.126×0.26 - 0.067 + 0.0971 = -0.0026 ≠ 0 ⇒ 0.255 < s < 0.26

pretp. s = 0.2557 ⇒ ( )2

224.02557.013060

22557.0

3060

J22

Ib−×

−−×= = 0.065

F(s) = -0.126×0.2557 - 0.065 + 0.0971 = 0 ⇒ s = 0.2557

Kada je određen položaj neutralne linije, sračunava se bezdimenzioni koeficijen JIIb:

( )

δ×

−×δ−×

−−

−××

32+s1

2s1

bB

3s1

2s

bB=J

22

IIb

0.11bB;0.2

3060

bB

=−==

( )

×

−×−−

−××=

3224.02+2557.01

2224.02557.0

32557.01

22557.02J

22

IIb = 0.059

Konačno, sračunavaju se naponi u betonu i armaturi:

( ) ( )222IIb2

ab 1snJ

shb

Mα−×α−×µ×+

××

=σ

Ma = M = Mp = 30.0×6.02/8 = 135 kNm

( ) ( ) 22

2

b cmkN62.0

084.01084.02557.00047.067.6059.02557.0

67.533010135

=−×−××+

××

×=σ

‰197.0105.31

2.6E

MPa2.6 3b

bbb =

×=

σ=ε⇒=σ

2557.0

2557.012.667.61a−

××=σ = 120.4 MPa ⇒ 31a 102104.120

×=ε = 0.573‰

2557.0

084.02557.02.667.62a−

××=σ = 27.8 MPa ⇒ 32a 102108.27

×=ε = 0.132‰

Naravno, doprinos pritisnute armature je mogao biti zanemaren. Međutim, za razliku od proračuna momenta loma poznatog preseka (Zad. 1), gde se zanemarenjem Aa2 postupak



proračuna jako pojednostavljuje, kod proračuna napona u preseku položaj neutralne linije se u svakom slučaju određuje na isti način, rešavanjem kvadratne jednačine. U primeru je Aa2 uzeta u račun jer njenim zanemarenjem beton prihvata veću silu, neutralna linija se spušta i smanjuje šansa da se nađe u ploči (x ≤ dp) a proračun pojednostavi (pravougaoni presek, rešenje kvadratne jednačine u zatvorenom obliku). Poređenja radi, da je Aa2 zanemarena u proračunu, dobili bi se sledeći rezultati:

s = 0,2651 ; JIIb = 0.063 ; σb = 6.5 MPa ; σa1 = 120.7 MPa

Napominje se samo da su vrednosti sračunatih napona znatno ispod uobičajenih vrednosti, bliskih dopuštenim naponima. Razmotreni presek može prihvatiti gotovo dvaput veće opterećenje od onog za koje su naponi sračunati (p1 = 55.9 kN/m) pa su dobijene vrednosti napona potpuno realne.

ODREĐIVANJE ŠIRINE PRSLINA

Moment savijanja pri kome nastaje prslina Mr određen je izrazom:

1bbzs1ibzsr WfWfM ×≈×=

MB 30 ⇒ fbzm = 2.4 MPa (član 51. PBAB 87)

d = 60 cm = 0.6 m ⇒ 24bzs cmkN177.0

6.04.06.024.07.0f =

+××=

66030W

2

1b×

= = 18000 cm3 ⇒ Mr = 0.177×18000 = 3190 kNcm

Mr = 31.9 kNm < M = Mp = 135 kNm ⇒ presek sa prslinom

a0 = aI - Ø/2 = 4.5 - 2.2/2 = 3.4 cm

Ø = 22 mm = 2.2 cm

eØ = 21.0/3 = 7.0 cm

k1 = 0.4 (RA 400/500)

k2 = 0.125 (čisto savijanje)

===×+

≤cm302/602/dcm5.262.25.710

h ef.bz, = 26.5 cm

5.263022.80

AA

ef.bz,

a1ef.z1, ×

==µ = 0.0287 = 2.87%

0287.02.2125.04.0

1074.32lps ××+

+×= = 12.0 cm

2

a2

1

1359.310.10.11

)0t(0.1)500/400RA(0.1

××−=ζ⇒

==β=β

= 0.944

ps1aapk l7.1a ×ε×ζ×=

apk = 1.7×0.944×0.573×10-3×12.0 = 11×10-3 cm = 0.11 mm

4.530

3×7=21

4.5

4.5

5.5

16.5

4RØ22

2RØ22

26.5

aI aII



Dimenzionisati stub pravougaonog poprečnog preseka, dimenzija b/d = 25/60 cm, opterećen sledećim uticajima:

Mg = 100 kNm ; Ng = 200 kN (stalno opterećenje) Mp = 0 ; Np = 400 kN (vertikalno povremeno opterećenje) Mw = ±200 kNm ; Nw = 0 (vetar, alternativno dejstvo) Kvalitet materijala: MB 30, RA 400/500.

Tok razmišljanja bi trebalo da bude otprilike ovakav:

- stub je napregnut na složeno savijanje, (verovatno) u fazi velikog ekscentriciteta1;

- u takvoj proračunskoj situaciji momenti savijanja su dominantni uticaji, pa treba pronaći njihove maksimalne vrednosti. Jasno, potrebno je u proračun uvesti i od-govarajuće vrednosti normalnih sila;

- momenti savijanja mogu zatezati i jednu i drugu ivicu preseka – uticaj vetra, koji je alternativan, je veći od momenta Mg koji ne menja znak;

- kako su dimenzije preseka poznate, sprovodi se postupak vezanog dimenzioni-sanja, posebno za jednu, odnosno drugu ivicu.

U opštem slučaju, neophodno je sprovesti proračun za DVE kombinacije uticaja (maksi-malni momenti savijanja koji zatežu dve ivice preseka), ali se u određenim slučajevima može pojaviti još jedna potencijalno moguća kombinacija, kako će u primeru biti pokazano. Konačno, što se tiče izbora opterećenja u kombinacijama:

- stalno opterećenje se MORA nalaziti na konstrukciji, samim tim i u svim razmatra-nim kombinacijama (makar kao POVOLJNO dejstvo)

- vetar i vertikalno povremeno opterećenje se NE moraju uzeti u razmatranje, a mo-gu i delovati nezavisno jedno od drugog

ZATEGNUTA "LEVA" STRANA STUBA

Moguće je u račun uzeti samo stalno opterećenje. Međutim, postoji i uticaj od vetra koji je istog znaka kao Mg. Povećanjem momenta dobija se veću površina armature, pa uticaj sa-mo stalnog opterećenja nema potrebe razmatrati. S druge strane, vertikalno opterećenje P samo povećava normalnu silu pritiska, što smanjuje potrebnu površinu zategnute armatu-re. Kako je opterećenje povremeno, ne mora biti i neće biti uzeto u razmatranje.

Mu = 1.6×100 + 1.8×200 = 520 kNm

Nu = 1.6×200 = 320 kN

pretp. a1 = 7 cm ⇒ h = 60 – 7 = 53 cm

kNm6.59307.0260.0320520Mau =

−×+=

0A‰0.3557.1

05.225106.593

53k 2aa2>⇒<ε⇒=

××

=

1 Ukoliko u proračunu najopterećenijeg preseka, potrebna površina armature bude negativna, ili se dobije da je proračunska Aa2 > Aa1, presek treba armirati simetrično i dimenzionisati pomoću dijagrama interakcije

3



%590.43*;719.1*k‰3.usv a =µ=⇒=ε

kNm0.48705.225.0719.153M

2

abu =××

=

∆Mau = 593.6 – 487.0 = 106.6 kNm

pretp. a2 = 5 cm ⇒ ( ) 40553106.106A

2

2a ×−×

= = 5.55 cm2

21a cm15.2755.5

40320

4005.2

1005325590.43A =+−×

××=

Od ove vrednosti nije moguće dobiti veću zategnutu armaturu. Međutim, povećanjem sile pritiska (vertikalno povremeno opterećenje) sigurno se povećava potrebna pritisnuta armatura. Stoga sledeća kombinacija koja se razmatra uključuje i povremeno opterećenje:

Mu = 1.6×100 + 1.8×200 = 520 kNm

Nu = 1.6×200 + 1.8×400 = 1040 kN

kNm2.75907.0260.01040520Mau =

−×+=

∆Mau = 759.2 – 487.0 = 272.2 kNm ⇒ ( ) 40553102.272A

2

2a ×−×

= = 14.18 cm2

21a cm78.1718.14

401040

4005.2

1005325590.43A =+−×

××= < 27.15 cm2

ZATEGNUTA "DESNA" STRANA STUBA

Kako je Mw veći od Mg, može se dogoditi da je desna strana stuba zategnuta. Stalno opterećenje se MORA uzeti u obzir. Kako smanjuje uticaj (moment savijanja), tretira se kao povoljno dejstvo i uzima u obzir sa odgovarajućim koeficijentom sigurnosti 1.0:

Mu = 1.0×(-100) + 1.8×200 = 260 kNm

Nu = 1.0×200 = 200 kN

Naglašava se da se vrednost koeficijenata sigurnosti za stalno opterećenje određuje pre-ma momentima savijanja kao dominantnim uticajima. Znak momenta savijanja je odabran tako da rezultat bude pozitivan (u ovom slučaju, to je moment koji zateže "desnu" ivicu stuba, koja postaje ivica "1" pri proračunu armature). Sila P od vertikalnog povremenog opterećenja je pritisak, pa bi smanjila površinu armature i neće biti uzeta u obzir.

pretp. a1 = 5 cm ⇒ h = 60 – 5 = 55 cm

kNm0.31005.0260.0200260Mau =

−×+=

%627.22;‰022.9/5.3/236.2

05.22510310

55k ab2=µ=εε⇒=

××

=



40

2004005.2

1005525627.22A 1a −×

××= = 10.94 cm2 < Aa2 = 14.18 cm2 (slučaj 2)

Ova armatura se smešta uz "desnu" ivicu preseka i upoređuje sa armaturom Aa2 iz pret-hodne tačke. Kako vetar ne može istovremeno duvati u oba smera, usvaja se veća od dve sračunate vrednosti.

Ovde nije razmatrana kombinacija koja bi pored vetra "sdesna" uključila i silu P. Armatura Aa1 bi se smanjila, a eventualna Aa2 nije realna (daleko iz-nad granice od 3‰). Sve i da se Aa2 u proračunu pojavi, trebalo bi da bude veća od potrebne arma-ture uz levu ivicu preseka (zategnuta iz prvog pri-mera), što je potpuno nemoguće.

Rezime je prikazan tabelarno:

LEVO DESNO

G+W Aa1 27.15 5.55

G+P+W Aa1 17.78 14.18 Aa2

G-W – 10.94 Aa1

max. 27.15 14.18

usv. 6RØ25 3RØ25

61035.43a1

×+×= = 7.25 cm

hstv. = 60 – 7.25 = 52.75 cm ≈ hpretp. = 53 cm

Za gredu datog poprečnog preseka, opterećenu koncentrisanom silom usled stalnog opterećenja prema skici, potrebno je:

3 m1.5 m

44

20

60

16

G = 300 kN50

15 15

A B C

4.5 m

- odrediti potrebnu površinu armature u karakterističnom preseku u polju

- izvršiti osiguranje od glavnih napona zatezanja na delu B-C

- izvršiti osiguranje od glavnih napona zatezanja na delu A-B, zadržavajući prečnik i rastojanje uzengija kao na delu B-C, uz dodavanje odgovarajuće površine koso povijenih profila

Proračunom obuhvatiti samo zadato opterećenje. Kvalitet materijala: MB 30, RA 400/500.

4

4.5

25

25.5

16

4.5

4.55.

520

4.5

3RØ25

3RØ25

UØ8/15

2RØ12

3RØ25

60"LEVO"

"DESNO"



DIMENZIONISANJE PREMA MOMENTIMA SAVIJANJA

kN1005.45.1300C;kN200

5.40.3300A gg =×==×=

Mg = 200×1.5 = 300 kNm ⇒ Mu = 1.6×300 = 480 kNm

Pretpostavlja se da će se neutralna linija naći u rebru, pa se presek dimenzioniše kao pravougaoni, širine 50 cm.

pretp. a1 = 7 cm ⇒ h = 60 - 7 = 53 cm

=µ=

=εε⇒=

××

=%435.18

235.0s‰10/078.3/

449.2

05.25010480

53kab

2

x = s×h = 0.235×53 = 12.47 cm < dp = 16 cm

Pretpostavka o položaju neutralne linije je tačna. Sledi:

2a cm04.25

4005.2

1005350435.18A =×

××=

usvojeno: 6RØ25 (29.45 cm2)

OSIGURANJE OD GLAVNIH NAPONA ZATEZANJA

Usvojeno duž čitavog raspona:

z ≈ 0.9 h = 0.9×53 = 47.7 cm = const.

kN1601006.1T CBu =×=−

=τ<=τ>

=×

=τ −2

r

2r

2CB

n cm/kN33.03cm/kN11.0

cmkN168.0

7.4720160

Kako je na čitavom delu B-C prekoračen napon τr, dužina osiguranja je λ = 3.0 m.

( ) 2CB

Ru cmkN087.011.0168.0

23

=−×=τ −

usvojeno: m=2 ; α = 90º ; θ =45º:

)1(u

)1(u

u a2.4640087.020

a2e ×=×××

=

URØ8 ⇒ eu = 46.2×0.503 = 23.2 cm

usvojeno: URØ8/20 (m=2)

( ) ( )01402

160cotcot2TA

v

mua −×

×=α−θ×

σ×=∆ = 2.0 cm2


λ = 3.00

τB-CRu =0.87

τB-Cn =1.68

τ r=1.1

B C

Mg300

100

200 Tg

1.5 m 3.0 m

4.5

20

25.5

11

4.5

4.5

5.5

204.

5

3RØ25

3RØ25URØ8/20

2RØ12

2RØ25

1644



Ovde tendenciozno nije ispisana formalna provera minimalnog procenta armiranja uzen-gijama, koji je, naravno, zadovoljen. Uostalom, ni kod armiranja podužnom armaturom nije kontrolisan minimalni procenat armiranja, a očigledno je (?!?) da je zadovoljen. Takođe, nisu formalno ispisani i uslovi koje mora da zadovolji usvojeno rastojanje uzengija na dužini osiguranja (a svi uslovi su, naravno, zadovoljeni). Nije sračunat napon koji mogu prihvatiti usvojene uzengije. Zašto bi? Usvojeno je manje rastojanje uzengija od računski potrebnog, što znači da je armature dovoljno. Koliki tačno napon usvojena armatura može prihvatiti zapravo nije bitno - ovaj proračun bi bio identičan dokazu momenta loma za svaki dimenzionisani presek, što se naravno ne radi. Konačno, usvojena dodatna podužna armatura predstavlja zahtevani procenat armature iz polja koji je potrebno prevesti preko slobodnog oslonca.

τ<=τ>

=×

=τ⇒=×= −−

r

2r

2BA

nBA

u 5cm/kN33.03

cmkN335.0

7.4720320kN3202006.1T

Kako je na čitavom delu A-B prekoračen napon τr, dužina osiguranja je λ = 1.5 m.

2BA

nBA

RurBA

n cmkN335.03 =τ=τ⇒τ>τ −−−

Po uslovu zadatka, usvojene su iste uzengije kao na delu B-C, dakle URØ8/20 (m=2). Napon koji mogu prihvatiti ove uzengije je:

( ) 2u,u cmkN101.011040

2020503.02

=×+×××

×=τ

Preostali deo sile biće prihvaćen koso povijenim profilima:

( ) kN7.70420150101.0335.0H k,vu =××−=

( )2

akk cm46.121707.0707.040

7.704A45 =×+×

=⇒°=α


Određivanje tačnog mesta povijanja kosih profila nije sprovedeno, jer nije eksplicitno traženo u zadatku. S obzirom na oblik dijagrama τRu–τu,u (deo dijagrama napona smicanja šrafiran ukrštenom šrafurom), ne bi bilo sprovedeno konstrukcijom integralne krive, jer je predmetni dijagram lako podeliti na potreban broj jednakih delova i bez te konstrukcije.

Kod proračuna dodatne zategnute armature treba obratiti pažnju da ugao α koji figuriše u izrazu ima različite vrednosti za kosu armaturu (α = 45º) odnosno uzengije (α = 90º). Stoga je potrebno proračunom obuhvatiti samo deo sile koji prihvata beton (ovde je Tbu = 0, jer je prekoračen napon 3τr) i uzengije:

7.4720101.0zb0TTT u,uu,ubu.red

mu ××=××τ+=+= = 95.9 kN

( ) ( )014029.95cotcot

2TA

v

.redmu

a −××

=α−θ×σ×

=∆ = 1.2 cm2


λ = 1.50

τu,u=1.01

τ A-Bn =3.35

A B



Za nosač čiji su statički sistem, opterećenje i presek

prikazani na skici, potrebno je:

- Nacrtati dijagrame M i T za stalno opterećenje g i povre-meno opterećenje P.

- Odrediti potrebnu površinu armature u karakterističnim presecima (A,B,C).

- Izvršiti osiguranje usled dejstva transverzalnih sila na svim delovima nosača. Osiguranje svakog dela izvršiti na različit način (dvosečne uzengije RØ10 i koso po-vijeni profili; četvorosečne uzengije RØ10; dvosečne vertikalne uzengije RØ10).

- Za usvojeni raspored armature, sračunati napone u betonu i armaturi za presek sa maksimalnim momentom u polju. Uticaj skupljanja i tečenja betona ne uvoditi u proračun.

Kvalitet materijala: MB 25, RA 400/500.

PRORAČUN STATIČKIH UTICAJA

Proračun statičkih uticaja moguće je sprovesti pomoću tablica datih u Prilogu 5 »Koefici-jenti za određivanje statičkih uticaja elemenata konstrukcije«, Priručnik za primenu PBAB 87, tom 2 (tabele 3.1, 3.6 i 3.22 – str. 496, 497 i 501).

MgC = –80×2.02/2 = –160 kNm

MgA = –80×6.02/8 – Mg

C/2 = –360 – (–160)/2 = –280 kNm

MgB = (–280–160)/2 + 80×6.02/8 = –220 + 360 = 140 kNm

MpA = –3×240×6.0/16 = –270 kNm

MpB = 5×240×6.0/32 = 225 kNm

6160

23280680

83Cg ×+×+××= = 380 kN

2700.32400.6Cp −=×−× ⇒ Cp = 75 kN

280

140

160270

225260

20160

220

165

75

0

Mg [kNm]

Tg [kN]

Mp [kNm]

Tp [kN]

0

L = 6 mA B C

a = 2 mD

g = 80 kN/m

3 m

P = 240 kN

A B C D3 m 2 m

5

3 m

55

35

70

15

P = 240 kN 75

20 20

A B C

2 m

D

g = 80 kN/m

8 m

3 m



DIMENZIONISANJE

TuA = 1.6×260 + 1.8×165 = 713 kN

TuBl = 1.6×20 + 1.8×165 = 329 kN

TuBd = 1.6×20 + 1.8×(-75) = -103 kN

TuC = 1.6×(-220)+1.8×(-75) = -487 kN

presek A-A

MuA = 1.6×280 + 1.8×270 = 934 kNm

MB 25 ⇒ fB = 17.25 MPa = 1.725 kN/cm2

RA 400/500 ⇒ σv = 400 MPa = 40 kN/cm2

pretp. a1 = 7.5 cm ⇒ b/d/h = 35/70/62.5 cm

0A‰0.3589.1

725.13510934

5.62k 2aa2>⇒<ε⇒=

××

=

%590.43*;719.1*k‰3.usv a =µ=⇒=ε

kNm8.797725.135.0719.1

5.62M2

bu =××

=

( )2

2

2au cm92.54055.62

102.136AkNm2.1368.797934M =×−

×=⇒=−=∆

21a cm04.4792.5

40725.1

1005.6235590.43A =+×

××=

usvojeno: 10RØ25 (49.09 cm2) – zategnuta armatura

2RØ25 (9.82 cm2) – pritisnuta armatura

presek B-B

MuB = 1.6×140 + 1.8×225 = 629 kNm

Pretpostavlja se da se neutralna linija nalazi u ploči:

pretp. a1 = 6 cm ⇒ b/d/h = 70/70/64 cm

%758.12;182.0s;‰10/227.2/903.2

725.17010629

64k ab2=µ==εε⇒=

××

=

x = s×h = 0.182×64 = 11.65 cm < dp = 15 cm

Pretpostavka o položaju neutralne linije je tačna, pa sledi:

2a cm41.26

40725.1

1006470758.12A =×

××=


629

934256

713329 256

103487

Mu [kNm]

Tu [kN]



presek C-C

MuC = 1.6×160 = 256 kNm

pretp. a1 = 5 cm ⇒ b/d/h = 35/70/65 cm

%685.10;‰10/943.1/157.3

725.13510256

65k ab2=µ=εε⇒=

××

=

2.MIN,a

2a cm90.4

10070352.0Acm48.10

40725.1

1006535685.10A =

××=>=×

××=




z ≈ 0.9 hmin = 0.9×62.5 = 56.3 cm = const.

deo A-B

=τ<=τ>

=×

=τ 2r

2r

2An cm/kN475.05

cm/kN285.03cmkN362.0

3.5635719

2An

ARur

An cm

kN362.03 =τ=τ⇒τ>τ

=τ<=τ>

=×

=τ 2r

2r

2L,B

n cm/kN285.03cm/kN095.0

cmkN167.0

3.5635329

( ) 2L,B

RurL,B

n cmkN108.0095.0167.0

233 =−×=τ⇒τ<τ


Deo dužine osiguranja na kome je prekora-čen napon 3τr (τRu ≡ τn):

m19.10.367.162.385.262.3

1 =×−−

=λ

usvojeno: m=2 ; α = 90º ; θ =45º:

)1(u

)1(u

u a31.640362.035

a2e ×=×××

=

URØ10 ⇒ eu = 6.31×0.785 = 4.96 cm

Osiguranje se vrši vertikalnim uzengijama i koso povijenom armaturom:

usvojeno: URØ10/10 (m=2) ⇒ ( ) 2u,u cmkN18.011040

1035785.02

=×+×××

×=τ

τB,LRu =1.08

τB,Ln =1.67

λ=3.00

1.081.19 0.73

τu,u=1.80

τ An=3.62

3τr=2.85



Preostali deo sile biće prihvaćen koso povijenim profilima. Deo dužine osiguranja na kome je potrebno postaviti koso povijene profile:

( ) m27.208.119.119.10.308.185.280.185.2

1k =+=−×−−

+λ=λ

kN798351082

18.0285.011918.02

285.0362.0H k,vu =×

×

−+×

−

+=

( )2

akk cm11.141707.0707.040

798A45 =×+×

=⇒°=α


∆Aa = 0 (“špic” momenta)

deo C-B

( ) 2L,C

Ru2L,C

n cmkN229.0095.0247.0

23

cmkN247.0

3.5635487

=−×=τ⇒=×

=τ

r2D,B

n cmkN052.0

3.5635103

τ<=×

=τ

m34.20.352.047.295.047.2

=×−−

=λ

usvojeno: m=4 ; α = 90º ; θ =45º:

)1(u

)1(u

u a0.2040229.035

a4e ×=×××

=

URØ10 ⇒ eu = 20.0×0.785 = 15.7 cm


Deo dužine osiguranja na kome je dovoljno postaviti dvosečne uzengije URØ10/15 biće određen iz preseka dijagrama τu,u i τRu:

( ) MPa20.1cmkN12.011040

1535785.02

22m

u,u ==×+×××

×=τ =

m12.134.229.22.111 =×

−=λ


deo C-D

r2D,C

n cmkN130.0

3.5635256

τ>=×

=τ

( ) 2D,C

Ru cmkN053.0095.0130.0

23

=−×=τ

m54.00.213.0

095.01 =×

−=λ

3.00

λ = 2.340.66

τr=0.95

τC,LRu =2.29

τC,Ln =2.47

τB,Dn =0.52

1.12m=4

1.22m=2

τ u,u

=1.2

0

2.00

λ = 0.54 1.46

τr=0.95

τC,DRu =0.53

τC,Dn =1.30



usvojeno: m=2 ; α = 90º ; θ =45º:

)1(u

)1(u

u a5.4340053.035

a2e ×=×××

=

URØ10 ⇒ eu = 43.5×0.785 = 34.2 cm

Razmak uzengija biće određen iz uslova zadovoljenja minimalnog procenta armiranja uzengijama µMIN. = 0.2%:

cm4.22102.035

785.02b

ame 2.MIN

)1(u

.MAX,u =××

×=

µ××

= −



PRORAČUN NAPONA - PRESEK U POLJU

Aa1 = 29.45 cm2 (6RØ25)

cm33.66

1025.44a1 =×+×

=

h = 70 – 6.33 = 63.67 cm

Aa2 = 9.82 cm2 (2RØ25)

a2 = 4.5 cm

Pretpostavlja se da se neutralna linija nalazi u ploči, pa se proračun sprovodi za pravougaoni presek širine B = 75 cm:

%62.00062.067.6375

45.291 ==

×=µ

%21.00021.067.6375

82.92 ==

×=µ

( ) ( ) 0 = +n2 s +n2+s 22121

2 α×µµ××−×µµ××

MB 25 ⇒ Eb = 30 GPa ⇒ 730

210EEn

b

a ===

( ) ( ) 0 = 10071.021.062.072 s 1021.062.072+s 222 −− ××+××−××+××

236.067.63

15hd

2452.0s0 = 088.0s 115.0+s p2 ===δ>=⇒−×

Kako pretpostavka o položaju neutralne linije nije zadovoljena, proračun se sprovodi za pre-sek oblika »T«, iterativnim postupkom. Napominje se da MORA biti s>0.2452 (dobijeno pro-računom za pravougaoni presek), ali i da je tražena vrednost numerički vrlo bliska dobijenoj.

%44.00044.067.6335

82.9;%32.10132.067.6335

45.2921 ==

×=µ==

×=µ

35

30.5

4.5

4.5

5.5

4.5

4.54RØ25

2RØ25

2RØ25

6.5 6.5

2RØ12

25

1555

70

75

13



pretp. s = 0.25 > δ = 0.236

( ) ( ) 067.02

236.025.013575

225.0

3575

2s1

bB

2s

bBJ

2222

Ib =−

⋅

−−⋅=

δ−⋅

−−⋅=

Položaj neutralne linije se sračunava iz izraza:

( ) ( ) 0nJsn 221Ib21 =αµ+µ⋅+−⋅µ+µ⋅−

( ) ( ) 0003.010071.044.032.17067.025.01044.032.17 22 ≠−=××+×+−××+×− −−

pretp. s = 0.2453 > δ = 0.236

( ) 064.02

236.02453.013575

22453.0

3575J

22

Ib =−

⋅

−−⋅=

( ) ( ) 010071.044.032.17064.02453.01044.032.17 22 =××+×+−××+×− −−

Kako je položaj neutralne linije određen, sračunava se vrednost funkcije JIIb:

( ) 32s1

2s1

bB

3s1

2s

bBJ

22

IIb

δ+

−⋅δ−

⋅

−−

−⋅⋅=

( ) 059.0

3236.022453.01

2236.02453.01

3575

32453.01

22453.0

3575J

2

2

IIb

=

×+

−⋅−

⋅

−−

−

−⋅⋅=

i određuju naponi u betonu i armaturi:

M = Mg + Mp = 140 + 225 = 365 kNm = Ma

( ) ( ) b

bb

222IIb2

ab E1snJ

shb

M σ=ε⇒

α−×α−×µ×+×

×=σ

( ) ( ) 222

2

b cmkN98.0

071.01071.02453.01044.07059.02453.0

67.633510365

=−×−×××+

××

×=σ −

‰328.010308.9MPa8.9 3bb =

×=ε⇒=σ

a

2a2a

2b2a

a

1a1ab1a Es

sn;Es

s1n σ=ε⇒

α−×σ×=σ

σ=ε⇒

−×σ×=σ

‰008.1102108.211MPa8.211

2453.02453.018.97 31a1a =

×=ε⇒=

−××=σ

‰233.0102100.49MPa0.49

2453.0071.02453.08.97 32a2a =

×=ε⇒=

−××=σ

Kao što je u Primeru 2 istaknuto, pritisnuta armatura je mogla biti zanemarena pri proraču-nu napona. U tom slučaju dobija se:

s = 0.2542 ⇒ σb = 10.3 MPa ; σa1 = 212.6 MPa



Odrediti potrebnu površinu armature za element pravougaonog preseka b/d = 30/60 cm, opterećen zadatim uticajima od stalnog (G), odnosno povremenog opterećenja

(P). Uticaj izvijanja ne uzimati u obzir. Kvalitet materijala: MB 30, RA 400/500.

Mg = 200 kNm Mp = 100 kNm

Ng = 0 Np = 800 kN

Stalno i povremeno opterećenje zatežu istu stranu poprečnog preseka. Stalno opterećenje se mora nalaziti na konstrukciji, povremeno ne mora. Ukoliko se povremeno opterećenje nalazi na konstrukciji, moment savijanja se povećava, što povećava potrebnu površinu armature. Istovremeno, javlja se i sila pritiska, što smanjuje potrebnu površinu armature u odnosu na čisto savijanje.

S obzirom na relativno mali moment savijanja i veliku normalnu silu usled povremenog opterećenja, nije moguće unapred zaključiti da neka kombinacija uticaja sigurno nije merodavna za dimenzionisanje. U tom slučaju proračun se sprovodi za sve moguće kombinacije uticaja.

SAMO STALNO OPTEREĆENJE

Mu = 1.6×200 = 320 kNm ; Nu = 0

MB 30 ⇒ fB = 20.5 MPa = 2.05 kN/cm2

RA 400/500 ⇒ σv = 400 MPa = 40 kN/cm2

pretp. a1 = 6 cm ⇒ b/d/h = 30/60/54 cm

%883.19;‰10/314.3/367.2

05.23010320

54k ab2=µ=εε⇒=

××

=

2a cm51.16

4005.2

1005430883.19A =×

××=

STALNO I POVREMENO OPTEREĆENJE

kNm6.84506.026.01440500M

kN14408008.1NkNm5001008.12006.1M

auu

u =

−×+=⇒

=×==×+×=

0A‰0.3456.1

05.230106.845

54k 2aa2>⇒<ε⇒=

××

=

kNm6.60605.230.0719.154M

%590.43*719.1*k

‰3.usv2

abua =××

=⇒

=µ=

⇒=ε

( )2

2

2aau cm38.1240554

100.239AkNm0.2396.6066.845M =×−

×=⇒=−=∆

21a cm19.1238.12

401440

4005.2

1005430590.43A =+−×

××=

6



Kako je 1a2a1a A5.1AA ⋅<≤ , za ovu kombinaciju uticaja presek treba armirati simetrično, osred-njenom vrednošću sračunatih površina:

22a1a cm29.12

219.1238.12AA =

+==

Upoređujući potrebnu površinu armature za pr-vu, odnosno drugu kombinaciju uticaja, sledi:

21a cm51.16

29.1251.16

.maxA =

=

22a cm29.12

29.120

.maxA =

=

usvojeno: 6RØ19 (17.01 cm2) – Aa1

5RØ19 (14.18 cm2) – Aa2

Odrediti koliko povremeno opterećenje može prihvatiti nosač prikazan na skici, uz zadovoljenje propisanih koeficijenata sigurnosti. Sopstvena težina je uračunata u za-

dato stalno opterećenje. Zadata normalna sila Zg potiče od stalnog opterećenja. U obzir uzeti nosivost armature u pritisnutoj zoni preseka. Kvalitet materijala: MB 30, GA 240/360.

4

4

5 m

3Ø20

3Ø20

3Ø20

25

17 4

5

65

2Ø12

23.5

428

.5 UØ8/20

Zg=150 kNZg

g=20 kN/mp = ?

Aa1 = 18.85 cm2 (6Ø20) ; Aa2 = 9.42 cm2 (3Ø20)

1.065

5.6dacm5.6

65.930.43a 1

1 ==⇒=×+×

=

Proračun momenta nosivosti poznatog preseka sprovodi se pomoću dijagrama interakcije za odgovarajuću vrstu armature (GA 240/360), odnos površine pritisnute i zategnute arma-ture (Aa2 = 0.5×Aa1) i odgovarajući odnos a1/d = 0.1 (dijagram 2.5.11, PBAB 87, Tom 2).

072.005.26525

240nkN2401506.1Z uu −=××

−=⇒=×=

136.05.20

2406525

85.18fdb

AB

v1a1 =×

×=

σ×

×=µ

Sa dijagrama se za 136.01 =µ i nu = -0.072 može približno očitati:

7

30

4.5

4.5

54.

5

4.5

4RØ19

2RØ19

3RØ19

URØ8/20

21

20.5

60

520

.5

2RØ12

2RØ19



kNm6.177kNcm1776005.26525082.0M082.0m 2uu ==×××=⇒=

pri datoj sili Zu = 240 kN (zatezanje). Dalje sledi:

kNm1.438.1

5.626.16.177MkNm5.6280.520M p

2

g =×−

=⇒=×=

mkN8.13

0.51.438p 2 =

×=

Do praktično istog rezultata se može doći i analitičkim rešavanjem problema, određiva-njem položaja neutralne linije u preseku iz uslova ravnoteže normalnih sila.

h = 65 – 6.5 = 58.5 cm ; 068.05.580.4cm0.4a 22 ==α⇒=

pretp. s = 0.259 ⇒ εb = 3.5‰ , εa1 = 10‰ , α = 0.810

Dbu = 0.810×0.259×25×58.5×2.05 = 629.2 kN

v2av2a ‰577.25.3259.0

068.0259.0σ=σ⇒ε>=×

−=ε = 24 kN/cm2

Dau = 9.42×24 = 226.2 kN

εa1 = 10‰ > εv ⇒ σa1 = σv = 24 kN/cm2 ⇒ Zau = 18.85×24 = 452.4 kN

( ) 0kN6432404.4522.2262.629NZDDN uauaubu ≠=−−−+=−−+=∑

Kako uslov ravnoteže nije zadovoljen, proračun se ponavlja sa smanjenom vrednošću bezdimenzionog koeficijenta s. Dalji proračun prikazan je tabelarno.

s εb1 εa1 α Dbu εa2 σa2 Dau σa1 Zau ΣNu ( - ) (‰) (‰) ( - ) (kN) (‰) (MPa) (kN) (MPa) (kN) (kN) 0.10 1.111 10 0.453 135.7 0.351 73.8 69.5 240 452.4 -7.1 0.11 1.236 10 0.491 161.8 0.468 98.2 92.6 240 452.4 42.0 0.101 1.129 10 0.458 139.5 0.368 77.4 72.9 240 452.4 0.0

( )( ) 353.0

2129.13129.1224129.13129.1

=−×××+−××

=η

( )101.0353.015.58z ×−×= = 56.41 cm

( ) ( )12bu2aubuu ayNahDzDM −×−−×+×=

( ) ( )

−×−−−×+×= 5.6

26524045.589.7241.565.139Mu = 18080 kNcm

kNm8.180Mu =

mkN37.14

0.59.448pkNm9.44

8.15.626.18.180M 2p =

×=⇒=

×−=

što veoma dobro odgovara vrednostima dobijenim grafičkim očitavanjem sa dijagrama in-terakcije. Naravno, analitički proračun je prikazan samo kao kontrola grafički očitane vred-nosti i nije ga neophodno sprovoditi.



Nosač sistema proste grede, raspona L=6 m, armiran kao na skici, opterećen

je stalnim opterećenjem g = 20 kN/m. Odre-diti veličinu jednako raspodeljenog povreme-nog opterećenja koju nosač može prihvatiti uz zadovoljenje propisanih koeficijenata si-gurnosti. Prilikom proračuna nosivosti uzeti u obzir i poprečnu (GA 240/360) i podužnu (RA 400/500) armaturu. Beton MB 35.

NOSIVOST U ODNOSU NA MOMENTE SAVIJANJA

Zadati presek je u proračunskom smislu "T" presek, širine ploče B = 60 cm, širine rebra b = 2×15 = 30 cm, visine d = 60 cm i debljine ploče dp = 12 cm. Potrebno je naći moment loma zadatog preseka.

O mogućim načinima rešavanja ovog problema bilo je reči u Primeru 1. U nastavku će biti prikazan samo proračun, uz zanemarenje nosivosti pritisnute armature.

Pretpostavlja se da je x ≤ dp = 12 cm, pa je presek pravougaoni, širine B=60 cm:

Aa1 = 16.08 cm2 (2×4=8RØ16)

8

9444a1×+×

= = 6.5 cm ⇒ h = 60 - 6.5 = 53.5 cm

=εε==

→=××

×=µ

‰10/675.1/491.3k143.0s

%715.83.25.5360

4008.16

ab

TABLICE1

x = 0.143×53.5 = 7.7 cm < dp = 12 cm

Pretpostavka o položaju neutralne linije je dobra. Sledi:

22

au 103.260491.3

5.53=M −×××

= 324.2 kNm = Mu (Nu = 0)

kNm1.1008.1

906.12.324MkNm908

0.620M p

2

g =×−

=⇒=×

=

mkN24.22

0.61.1008

LM8

p 22p

1 =×

=×

≤

NOSIVOST U ODNOSU NA TRANSVERZALNE SILE

Minimalna širina preseka od neutralne linije do težišta zategnute armature je 2×15=30 cm, a odgovarajuće uzengije su u svakom rebru po jedna UØ6/15 (dve dvosečne uzengije na presek širine 30 cm). Napon koji mogu prihvatiti ove uzengije je:

2vu

)1(u

u,u cmkN06.024

15152283.022

ebam

=×××

××=σ×

××

=τ = 0.60 MPa

8

4812

15

60

3015

2×4RØ16

2×5RØ12

45

2121

.55

3.5

4RØ12

UØ6/15

60

UØ6/15

4 7 4 474



τRu = τu,u = 0.6 MPa < 3τr = 3×1.2 = 3.6 MPa

2rRun cmkN16.0MPa60.12.160.0

32

32

==+×=τ+τ×=τ

5.539.015216.0Th9.0b

Tu

un ××××=⇒

××=τ = 231.4 kN

kN2.758.1

606.14.231TkN602

0.620T pg =×−

=⇒=×

=

mkN1.25

0.62.752

LT2

p p2 =

×=

×≤

Merodavno je, naravno, manje od dva sračunata opterećenja, dakle p = p1 = 22.24 kN/m.

Sračunati napone u betonu i armaturi, srednje rastojanje i karakterističnu širinu prslina (t=0) i konačnu vrednost ugiba (t→∞) za presek iz prethodnog zadatka samo

usled stalnog opterećenja.

Pritisnuta je gornja ivica nosača, pa je oblik pritisnute zone preseka ili pravougaoni, širine 60 cm, ili, za slučaj da je neutralna linija u rebru, oblika T. Iz praktičnih razloga, pretpos-tavlja se da je neutralna linija u ploči, pa se položaj neutralne linije određuje kao za pravougaoni poprečni presek, rešavanjem kvadratne jednačine oblika:

( ) ( ) 0 = +n2 –s +n2+s 221212 α×µµ×××µµ××

MB 35 ⇒ Eb = 33 GPa (čl. 52. BAB 87) ⇒ 33

210EEn

b

a == = 6.36

a1 = 6.5 cm ⇒ h = 60 - 6.5 = 53.5 cm

Zanemarenjem pritisnute armature sledi:

Aa1 = 8RØ16 ⇒ 5.5360

08.161 ×

=µ = 0.005 = 0.5% ; µ2 = 0

s2 + 2×6.36×0.005×s - 2×6.36×0.005 = 0 ⇒ s = 0.223

x = 0.223×53.5 = 11.91 cm < dp = 12 cm

Pretpostavka o položaju neutralne linije je dobra, pa se naponi proračunavaju kao za pravougaoni presek širine 60 cm. Ponovo se naglašava da je oznaka za širinu (b, B) potpuno nebitna, jer pravougaoni presek ima samo jednu širinu (ovde B=60 cm):

−×=

−×=

3223.01

2223.0

3s1

2s

J22

IIb = 0.023

Ma = Mg = 90 kNm

22

2

IIb2

ab cm

kN51.0023.0223.0

5.53601090

Js

hbM

=×××

=××

=σ ⇒ ‰154.010331.5

3b =×

=ε

223.0

223.011.536.61a−

××=σ = 113.0 MPa ⇒ 31a 102100.113

×=ε = 0.538‰

9





d = 60 cm = 0.6 m ⇒ 24bzs cmkN196.0

6.04.06.0265.07.0f =

+××=

66030W

2

1b×

= = 18000 cm3 ⇒ Mr = 0.196×18000 = 3520 kNcm

Mr = 35.2 kNm < M = Mg = 90 kNm ⇒ presek sa prslinom

a0 = aI - Ø/2 = 4.0 - 1.6/2 = 3.2 cm

Ø = 16 mm = 1.6 cm eØ = 15 - 2×4.0 = 7.0 cm

k1 = 0.4 (RA 400/500) k2 = 0.125 (čisto savijanje)

===×+

≤cm302/602/d

cm216.15.79h ef.bz, = 21 cm

21152

16.08AA

ef.bz,

a1ef.z1, ××

==µ = 0.0255 = 2.55%

0255.01.6125.04.0

1072.32lps ××+

+×= = 10.9 cm

2

a2

1

902.350.10.11

)0t(0.1)500/400RA(0.1

××−=ζ⇒

==β=β

= 0.847

ps1aapk l7.1a ×ε×ζ×= = 1.7×0.847×0.538×10-3×10.9 = 8×10-3 cm = 0.08 mm

ODREĐIVANJE UGIBA NOSAČA

Geometrijske karakteristike betonskog preseka:

Ab = 60×60 - 48×30 = 2160 cm2

2160

122

48481522

121260y 2b

+×××+××

= = 26 cm

yb1 = 60 - 26 = 34 cm 2233

b 2483448152

212261260

12481521260J

−×××+

−××+

××+×= = 717120 cm4

Elastični ugib od stalnog opterećenja računa se sa momentom inercije betonskog preseka:

86

4

b 1071712010330.620

3845v −×××

××= = 1.43×10-3 m = 1.43 mm

Tražena vrednost ugiba se dobija uzimanjem u obzir isprskalosti poprečnog preseka i vremenskih deformacija betona. Za reprezentativan presek (u polju) je potrebno sračunati krutost u stanjima I i II (sa i bez prslina). Najbrži način je pomoću dijagrama za određivanje

153015

60

y b1 =

34

4812

Gb

y b2

= 26

60



bezdimenzionih koeficijenata kaI, ka

II, kϕI i kϕ

II (PBAB, Tom 2, Prilog 3.4). Ovde je proračun je sproveden i analitički, radi upoređivanja rezultata (stoga je i armatura Aa2 zanemarena).

Stanje I (bez prslina), t=0

Aa1 = 16.08 cm2 (8RØ16) ; Aa2 = 0 ⇒ Aa = Aa1 + Aa2 = 16.08 cm2

Položaj težišta ukupne armature u odnosu na gornju ivicu preseka, kao i položajni moment inercije armature u odnosu na težište ukupne armature, određeni su kao:

ya2 = h = 53.5 cm ; Ja = 0

36.633

210EEn

b

a ===

AiI = Ab

I + n×Aa = 2160 + 6.36×16.08 = 2262.4 cm2

( ) ( )4.2262

08.1636.60.265.530.26A

Anyyyy Ii

aI2b2aI

2bI2i

××−+=

××−+= = 27.24 cm

Moment inercije idealizovanog preseka (beton + armatura) za stanje I određen je izrazom:

( ) ( )I2b

I2i

I2b2a

Iba

Ib

Ii yyyyAJnJJ −×−×+×+=

JiI = 717120 + 0 + 2160×(53.5 - 26.0)×(27.24 - 26.0) = 791027 cm4

791027717120

JJk I

i

IbI

a == = 0.907

Ugib u trenutku t=0 za ukupno (g+p) opterećenje, za neisprskali presek (stanje I) iznosi:

v0I = ka

I×vb = 0.907×1.43 = 1.29 mm

Stanje II (sa prslinama), t=0

Položaj neutralne linije u preseku je određen kod proračuna napona (s = 0.223). Podseća-nja radi, neutralna linija je težišna linija idealizovanog preseka:

yi2II = xII = s×h = 0.223×53.5 = 11.91 cm

AbII = b×xII = 60×11.91 = 715 cm2

291.11

2xy

IIIIb == = 5.96 cm

( )12

91.116012

xbJ33II

IIb

×=

×= = 8451 cm4

( ) ( )II2b

II2i

II2b2a

IIba

IIb

IIi yyyyAJnJJ −×−×+×+=

JiII = 8451 + 0 + 715×(53.5 - 5.96)×(11.91 - 5.96) = 210841 cm4

210841717120

JJk II

i

IbII

a == = 3.401

153015

60

y I i1 =

32.

764812

G Ii

y I i2 =

27.

24

60

Aa

153015

60

y II i1 =

48.

09

4812

G IIi y II i2

= 1

1.91

60

Aa



Ovu vrednost je veoma lako proveriti, pošto su sračunati naponi i dilatacije usled momenta savijanja Mg. Iz poznatih veza momenta i krivine, kao i krivine i dilatacija, sledi:

εa1 = 0.538 ‰

εb = 0.154 ‰

153015

6048

12

G IIi

Aa1

x =

11.9

1

κ

a 1 =

6.5

d =

60

Mg=90

z =

49.5

3x 3 =

3.9

7

Db=181.7

Za=181.7

σa1 = 113 MPa

σb = 5.1 MPa

h =

53.5

a 1 =

6.5

( )m1104.129

m10013.0

535.010538.0154.0

h5

3bb −

−

×==×+

=ε+ε

=κ

56b

gIIiII

ib

gg

104.129103390

EM

JJE

MJE

M−×××

=κ×

=⇒×

=×

=κ = 210841×10-8 m4

Ugib u trenutku t=0 za ukupno (g+p) opterećenje, za isprskali presek (stanje II) iznosi:

v0II = ka

II×vb = 3.401×1.43 = 4.85 mm

Ugib u trenutku t=0

Kako su sračunate geometrijske karakteristike idealizovanog preseka u stanju bez prslina, moment pojave prsline Mr se može sračunati iz otpornog momenta Wi1. Ukoliko se za proračun koeficijenata koriste dijagrami, moment Mr treba sračunati iz karakteristika bruto betonskog preseka, dakle vrednosti Wb1.

24.2760

791027yd

JyJW I

2i

Ii

I1i

IiI

1i −=

−== = 24149 cm3

+×=4bzs 60.0

4.06.065.2f = 2.79 MPa = 0.279 kN/cm2

Mr = 0.279×24179×10-2 = 67.5 kNm < M = Mg = 90 kNm

90

5.670.10.11)0t(0.1

)500/400RA(0.1g,0

2

1 ××−=ζ⇒

==β=β

= 0.25

Ukupno, početni ugib u trenutku t=0 se dobija iz izraza:

vg,0 = (1 – ζ) × v0I + ζ × v0

II = (1 – 0.25)×1.29 + 0.25×4.85 = 2.18 mm



PRORAČUN UGIBA U TOKU VREMENA

=ϕ=χ

∞

∞

5.28.0

⇒ 0.21

331

EE b*b +

=ϕχ+

=∞∞

= 11.0 GPa ⇒ 0.11

210EEn *

b

a* == = 19.1

Stanje I (bez prslina), t→∞

Ai*I = Ab

I + n*×Aa = 2160 + 19.1×16.08 = 2467.1 cm2

( ) ( )1.2467

08.161.190.265.530.26A

Anyyyy I*i

a*I

2b2aI2b

I*2i

××−+=

××−+= = 29.42 cm

( ) ( )I2b

I*2i

I2b2a

Iba

*Ib

I*i yyyyAJnJJ −×−×+×+=

Ji*I = 717120 + 0 + 2160×(53.5 - 26.0)×(29.42 - 26.0) = 920441 cm4

( ) ( )[ ]I*2i2a

I2i2aaaI*

i

*I yyyyAJ

Jn1k −×−×+×−=ϕ

( ) ( )[ ]42.295.5324.275.5308.160920441

1.191k I −×−×+×−=ϕ = 0.789

( ) ( ) Ig,0

Ig,b

IIa

Ig, vk1vk1kv ×ϕ×+=×ϕ×+×= ∞ϕ∞ϕ∞

v Ig,∞ = (1+0.789×2.5)×1.29 = 3.84 mm

Stanje II (sa prslinama), t→∞

Ai*II = Ab

II + n*×Aa = 715 + 19.1×16.08 = 1022 cm2

( ) ( )1022

08.161.1996.55.5396.5A

Anyyyy II*i

a*II

2b2aII2b

II*2i

××−+=

××−+= = 20.24 cm

( ) ( )II2b

II*2i

II2b2a

IIba

*IIb

II*i yyyyAJnJJ −×−×+×+=

Ji*II = 8451 + 0 + 715×(53.5 - 5.96)×(20.24 - 5.96) = 493974 cm4

( ) ( )[ ]II*2i2a

II2i2aaaII*

i

*II yyyyAJ

Jn1k −×−×+×−=ϕ

( ) ( )[ ]24.205.5391.115.5308.160493974

1.191k II −×−×+×−=ϕ = 0.140

( ) ( ) IIg,0

IIg,b

IIIIa

IIg, vk1vk1kv ×ϕ×+=×ϕ×+×= ∞ϕ∞ϕ∞

v IIg,∞ = (1+0.140×2.5)×4.85 = 6.55 mm

Ugib u trenutku t→∞

90

5.675.00.11)t(5.0

)500/400RA(0.1g,

2

1 ××−=ζ⇒

∞→=β=β

∞ = 0.625

vg,∞ = (1 – 0.625)×3.84 + 0.625×6.55 = 5.54 mm




Mg = 0 ; Ng = 500 kN Mp = 0 ; Np = 1000 kN (vertikalno povremeno opterećenje) Mw = ±200 kNm ; Nw = 0 (vetar, alternativno dejstvo) Vertikalno povremeno opterećenje i vetar mogu, ali i ne moraju delovati istovremeno. Kvalitet materijala: MB 35, RA 400/500.

Tok razmišljanja bi trebalo da bude otprilike ovakav:

- stub je opterećen alternativnim momentima savijanja (ista vrednost, suprotan znak), pa će, bez obzira na vrednost normalne sile, biti armiran simetrično;

- preseci koji su simetrično armirani se dimenzionišu pomoću dijagrama interakcije;

- za svaku razmotrenu vrednost momenta savijanja potrebno je proveriti (dimenzio-nisati) kombinaciju sa maksimalnom i minimalnom normalnom silom.

Potrebno je ISPRAVNO odabrati dijagram interakcije. Simetrično armiran presek pravou-gaonog oblika, armiran armaturom RA 400/500. Potrebno je još pretpostaviti položaj te-žišta zategnute armature odnosno usvojiti odnos a/d:

pretp. a1 = 6 cm ⇒ a/d = 6 / 60 = 0.1

U obzir (način armiranja, kvalitet armature, odnos a/d) dolaze dva dijagrama:

- dijagram 115. iz zbirke dijagrama interakcije (Najdanović, Alendar, Ješić)

- dijagram 2.4.10 (Priručnik za primenu PBAB 87, tom II, str. 135)

Može se koristiti bilo koji i daće isti rezultat. Sa prvog dijagrama se očitava dvaput veći mehanički koeficijent armiranja, ali je rezultat proračuna ukupna armatura u preseku.

Kombinacija sa MINIMALNOM normalnom silom

Kod proračuna preseka napregnutih momentima savijanja i aksijalnim silama je pokazano da u fazi velikog ekscentriciteta sila pritiska smanjuje potrebnu površinu armature. Dakle, ne uzima se u obzir sila P, a stalno opterećenje (ne daje M, nego samo N) će biti tretirano kao POVOLJNO dejstvo.

Mu = ±1.8×200 = ±360 kNm ⇒ 174.03.26025

10360f·d·b

Mm 2

2

B2u

u =××

×==

Nu = 1.0×500 = 500 kN ⇒ 145.03.26025

500f·d·b

NnB

uu =

××==

Sa prvog dijagrama se očitava vrednost koecijenta µ , a sa drugog 1µ :

2a1a2

a AAcm58.2440

3.26025285.0A285.0 +==×××=⇒≈µ

Što se vrednosti dilatacija tiče, može se uočiti da je tačka u zoni između simultanog loma i linije 0/10‰. Tačna vrednost nije od suštinskog značaja, sem potvrde da su pretposta-vljene dobre vrednosti parcijalnih koeficijenata sigurnosti.

Analitički tačno rešenje je Aa1 = Aa2 = 12.25 cm2, εb/εa1 = 3.08/10‰. Dakle, mogućnost preciznog očitavanja je izvanredna. Toleriše se da se "promaši" jedna linija (greška očitavanja µ od 0.02).

10



Kombinacija sa MAKSIMALNOM normalnom silom

Normalna sila pritiska smanjuje potrebnu armaturu ukoliko je presek napregnut u fazi velikog ekscentriciteta. S druge strane, kod centrično pritisnutih elemenata na presek je potrebno aplicirati što veću silu pritiska.

Kombinacija sa maksimalnom silom može postati merodavna kada se prođe balans tačka na dijagramu interakcije (armatura ulazi u prag tečenja, dakle εb/εa1 = 3.5/εv).

Mu = ±2.1×200 = ±420 kNm ⇒ 203.03.26025

10420m 2

2

u =××

×=

Nu = 1.9×500 + 2.1×1000 = 3050 kN ⇒ 884.03.26025

3050nu =××

=

Zašto su pretpostavljene maksimalne vrednosti koeficijenata sigurnosti? Cilj je dobiti što veću silu, pa se uzimaju maksimalni koeficijenti. Ukoliko se pokaže (a vrlo često se poka-že) da koeficijenti sigurnosti treba da se smanje, i uticaji će se smanjivati, pa će se smanjivati i Aa,potr. Kad iteracije dosade, sigurno je da je rezultat na strani sigurnosti.

Kada se vrednosti mu i nu nanesu na dijagram, vidi se da se tačka nalazi u oblasti promen-ljivih koeficijenata sigurnosti (εa1 je između vrednosti 0 i 0.5‰) pa sledi:

εa1 ≈ 0.25‰ ⇒ ( ) 875.16.19.1‰0‰3

‰25.0‰36.1G,u =−×−

−+=γ

( ) 075.28.11.2‰0‰3

‰25.0‰38.1P,u =−×−

−+=γ

Odgovarajući mehanički koeficijent armiranja iznosi 45.0≈µ (tačka van dijagrama, učinje-na ekstrapolacija). Pre korekcije, dobijenu vrednost treba uporediti sa vrednošću sračuna-tom za prvu kombinaciju uticaja ( 285.0≈µ ). Da je prva vrednost veća, proračun bi bio za-vršen konstatacijom da je prvi slučaj merodavan. Ovako, proračun je potrebno nastaviti.

Mu = ±2.075×200 = ±415 kNm

200.03.26025

10415m 2

2

u =××

×=

Nu = 1.875×500 + 2.075×1000 = 3012.5 kN

873.03.26025

5.3012nu =××

=

Tačka je ponovo u oblasti između 0 i 0.5‰ i može se smatrati da su dilatacije, pa samim tim i koefici-jenti sigurnosti, tačno određeni. Ekstrapolacijom sledi 44.0≈µ odnosno:

2a1a2

a AAcm95.3740

3.2602544.0A +==×××=

Analitički sračunato: Aa1 = Aa2 = 18.86 cm2, dilatacije εb/εa1 = 3.5/0.24‰ (γug = 1.876).

usvojeno: ±5RØ22 (±19.00 cm2) 4.5

25

16

4.5

4.5

5.5

204.

5

3RØ22

2RØ22

UØ8/15

2RØ12

3RØ22

60

2RØ22

5.5

20



Za gredu datog poprečnog preseka, opterećenu koncentrisanom silom usled stalnog opterećenja prema skici dole, armiranu na prikazani način, potrebno je:

3 m1.5 m

48

25

12G = 360 kN

A B C

4.5 m

2RØ25

2RØ12

6RØ25

4.5

5.5

2025

.54.

5

4.5 16 4.5

60

- izvršiti osiguranje od glavnih napona zatezanja na delu B-C

- izvršiti osiguranje od glavnih napona zatezanja na delu A-B, zadržavajući prečnik i rastojanje uzengija kao na delu B-C, uz dodavanje odgovarajuće površine koso povijenih profila. Odrediti tačna mesta povijanja profila.


kN1205.45.1360C;kN240

5.40.3360A gg =×==×=

( ) cm25.76

105.43a1 =+×

=

h = 60 - 7.25 = 52.75 cm


z ≈ 0.9×52.75 = 47.5 cm = const.

=τ<=τ>

=×

=τ⇒=×= −−2

r

2r

2CB

nCB

u cm/kN36.03cm/kN12.0

cmkN162.0

5.4725192kN1921206.1T


( ) 2CB

Ru cmkN063.012.0162.0

23

=−×=τ −

Kako je napon τRu manji od 0.2%×σv, potreb-no je usvojiti minimalne uzengije.

usvojeno: m=2 ; α = 90º ; θ =45º, URØ8:

cm1.20%2.025

503.02eu =×

×=


( ) ( )01402

192cotcot2TA

v

mua −×

×=α−θ×

σ×=∆ = 2.4 cm2


11

λ = 3.00

τB-CRu =0.63

τB-Cn =1.62

τ r=1.2

B C

120

240 Tg

1.5 m 3.0 m

A B C



τ<=τ>

=×

=τ⇒=×= −−

r

2r

2BA

nBA

u 3cm/kN12.0

cmkN324.0

5.4725384kN3842406.1T


( ) 2BA

Ru cmkN305.012.0324.0

23

=−×=τ −

Po uslovu zadatka, usvojene su iste uzengije kao na delu B-C, dakle URØ8/20 (m=2). Napon koji mogu prihvatiti ove uzengije je:

( ) 2u,u cmkN08.011040

2025503.02

=×+×××

×=τ


( ) kN3.8432515008.0305.0H k,vu =××−=

( )2

akk cm91.141707.0707.040

3.843A45 =×+×

=⇒°=α

usvojeno: 3RØ25 (14.73 cm2)1

S obzirom na oblik dijagrama τRu–τu,u (deo dijagrama napona smicanja šrafiran ukrštenom šrafurom), nije potreb-no sprovesti konstrukciju integralne krive, jer ga je lako podeliti na potreban broj jednakih delova.

Ukoliko se usvoji da se uz oslonac A najpre poviju dva profila na jednom mestu, a zatim još jedna šipka u polju (očuvanje simetrije preseka), potrebno je predmetnu površinu podeliti u odnosu 2:1, kako je prikazano na skici desno. Šipke treba poviti pod uglom od 45º u težištima tih delova, dakle na 50 cm od oslonca A (2RØ25), odnosno 125 cm od oslonca A (1RØ25).

Kod proračuna dodatne zategnute armature, zbog različite vrednosti ugla α za kosu armaturu odnosno uzengije, potrebno je proračunom obuhvatiti samo deo sile koji prihvataju beton i uzengije:

( ) ( ) 5.4725324.012.0321zb3

21T nrbu ××−××=××τ−τ×= = 21.6 kN

5.472508.06.21zbTTTT u,ubuu,ubu.red

mu ××+=××τ+=+= = 117.1 kN

( ) ( )014021.117cotcot

2TA

v

.redmu

a −××

=α−θ×σ×

=∆ = 1.46 cm2


1 Usvojena je nešto manja površina armature od računski potrebne, što je dopušteno jer nije iskorišćena Pravilnikom dopuštena mogućnost da se izvrši redukcija transverzalne sile u zoni oslonaca

λ = 1.50

τu,u=0.8

τ A-Bn =3.24

A B

τ A-BRu =3.05

1.00A B

0.50

τA-B

Ru

– τ

u,u0.50 0.75 0.25

2Ø25 1Ø25

λ = 1.50

2×F F



Dimenzionisati element pravougaonog poprečnog preseka, dimenzija b/d = 40/25 cm, opterećen zadatim silama zatezanja i momentom savijanja usled

stalnog opterećenja. Kvalitet materijala: MB 35, RA 400/500.

ZG = 300 kN MG = 15 kNm ZP = 400 kN

RA 400/500 ⇒ σv = 400 MPa = 40 kN/cm2

Zu = 1.6×Zg + 1.8×Zp = 1.6×300 + 1.8×400 = 1200 kN

Mu = 1.6×Mg = 1.6×15 = 24 kNm

1200

1042ZMe

2

u

u ×== = 2.0 cm

Ekscentrično zategnut presek je napregnut u fazi malog ekscentriciteta ukoliko se napad-na linija sile nalazi između dve armature u preseku, što je ovde očito slučaj. Ukupna povr-šina armature u preseku se dobija iz uslova ravnoteže normalnih sila:

40

1200ZAAAv

u2a1aa =

σ=+= = 30.0 cm2

dok se pojedinačne vrednosti Aa1 i Aa2 računaju iz uslova ravnoteže momenata savijanja. Zbog relativno velike širine preseka, obe računske armature je verovatno moguće smestiti u po jedan horizontalni red, pa sledi:

pretp. a1 = a2 = 4.5 cm ⇒ ya1 = ya2 = 5.42

25a2d

1 −=− = 8.0 cm

0.80.80.20.8

401200

yyeyZA

2a1a

2a

v

u1a +

+×=

++

×σ

= = 18.75 cm2


0.80.80.20.8

401200

yyeyZA

2a1a

1a

v

u2a +

−×=

+−

×σ

= = 11.25 cm2


Položaj armature odgovara pretpostavljenom. Usvojeni presek je prikazan na skici.

4.5

40

31

4.5

4.5

164.

5

5RØ22

UØ8/20

3RØ22

25

12



Dimenzionisati u karakterističnim presecima obostrano uklještenu gredu raspona L = 6.0 m, pravougaonog poprečnog preseka širine 25 cm, opterećenu jednako

raspodeljenim stalnim (g = 40 kN/m), odnosno povremenim opterećenjem (p = 20 kN/m). Nije potrebno dimenzionisati nosač prema glavnim naponima zatezanja. Kvalitet materijala: MB 35, RA 400/500.

qu = 1.6×40 + 1.8×20 = 100 kN/m

presek nad osloncem

Mu = 100×6.02/12 = 300 kNm

Visina poprečnog preseka nije poznata, pa se tip loma proizvoljno bira i iz uslova ravnoteže momenata savijanja sračunava visina h. Usvojen je simultani lom:

εb/εa = 3.5/10‰ ⇒ k = 2.311 , µ = 20.988%

3.225

10300311.2h2

××

×= = 52.8 cm

40

3.2100

8.5225988.20Aa ××

×= = 15.93 cm2


( )6

5.95.43a1+×

= = 7.0 cm

d = 52.8 + 7.0 = 59.8 cm

usvojeno: d = 60 cm

presek u polju

Mu = 100×6.02/24 = 150 kNm

Visina je određena dimenzionisanjem merodavnog, oslonačkog preseka. Usvojena vrednost se tretira kao zadata (poznata) pa kod određivanja potrebne površine armature u svim ostalim karakterističnim presecima treba sprovesti "vezano" dimenzionisanje:

pretp. a1 = 5 cm ⇒ h = 60 - 5 = 55 cm

405.3

3.22510150

55k2

=

××

=

%117.9;‰10/735.1/ ab =µ=εε

2a cm21.7

403.2

1005525117.9A =×

××=


13

4.5

25

16

4.5

4.5

25.5

4.5

2RØ19

UØ8/15

2RØ12

3RØ19

60

3RØ19

520

.5

4.5

25

16

4.5

4.5

25.5

4.5

2RØ19

UØ8/15

2RØ12

3RØ19

60

3RØ19

520

.5



Odrediti koliku silu usled povre-menog opterećenja može prihva-

titi centrično pritisnut stub preseka prema skici, opterećen još i normalnom silom us-led stalnog opterećenja NG = 1000 kN. Uti-caj izvijanja zanemariti. Kvalitet materijala: MB 35, RA 400/500.

Za dati presek sračunati napone i dilatacije u betonu i armaturi usled stalnog optereće-nja (trenutak t=0).

ODREĐIVANJE SILE NP

Normalna sila koju dati presek može prihvatiti određena je izrazom:

vaBbu AfAN σ×+×=

pri čemu su sve veličine s desne strane izraza poznate. Sledi:

4006.123.21256N)16RØ6(cm06.12A

cm12564

40Au

2a

22

b ×+×=⇒

=

=π×= = 3372 kN

Granična računska sila usled spoljašnjeg opterećenja određena je izrazom:

1.2

10009.13372NN1.210009.1NNN PPPP,uGG,uu×−

=⇒×+×=×γ+×γ= = 701 kN

PRORAČUN NAPONA U BETONU I ARMATURI

Određuju se iz uslova jednakosti dilatacija betona i čelika, kao i činjenice da u fazi ekspoloatacije oba materijala slede Hooke-ov zakon:

bab

a

a

a

b

bab n

EnEEσ×=σ⇒

×σ

=σ

=σ

⇒ε=ε

Iz uslova ravnoteže normalnih sila sledi:

( ) ibabbaabb AAnAAAN ×σ=×+×σ=σ×+σ×=

2i

b

a cm133306.1236.61256A36.633

210EEn =×+=⇒===

‰227.010335.7

EMPa5.7

cmkN75.0

13331000

AN

3b

G,bG,b2

i

GG,b =

×=

σ=ε⇒====σ

MPa7.475.736.6n G,bG,a =×=σ×=σ

14 6RØ16 4032

44

UØ8/20



Nosač sistema proste grede, raspona L = 6 m, armiran kao na skici, optere-

ćen je stalnim opterećenjem g = 30 kN/m. Od-rediti veličinu jednako raspodeljenog povreme-nog opterećenja koju nosač može prihvatiti uz zadovoljenje propisanih koeficijenata sigurnosti. Prilikom proračuna nosivosti preseka uzeti u obzir i poprečnu (GA 240/360) i podužnu (RA 400/500) armaturu. Beton MB 30.

Nosivost u odnosu na momente savijanja

Zadati presek je u proračunskom smislu pravo-ugaoni, širine b = 2×15 = 30 cm. Pošto nije eksplicitno zahtevano, proračun je sproveden uz zanemarenje nosivosti pritisnute armature.

Aa1 = 20.10 cm2 (2×5=10RØ16)

10

11545a1×+×

= = 7.5 cm ⇒ h = 60 - 7.5 = 52.5 cm

=εε=

→=××

×=µ

‰85.7/5.3/144.2k

%909.2405.25.5230

4010.20ab

TABLICE1

22

au 1005.230144.2

5.52=M −×××

= 368.8 kNm = Mu (Nu = 0)

kNm9.848.1

1356.18.368MkNm1358

0.630M p

2

g =×−=⇒=×=

mkN87.18

0.69.848

LM8

p 22p

1 =×=×

≤

Nosivost u odnosu na transverzalne sile

2vu

)1(u

u,u cmkN107.024

15152503.022

ebam

=×××

××=σ×

××

=τ = 1.07 MPa

2rRun cmkN181.0MPa81.11.107.1

32

32

==+×=τ+τ×=τ

5.529.0152181.0Th9.0b

Tu

un ××××=⇒

××=τ = 257.3 kN

kN9.628.1

906.13.257TkN902

0.630T pg =×−

=⇒=×

=

mkN97.20

0.69.622

LT2

p p2 =×=

×≤

Merodavno je manje od dva sračunata opterećenja, dakle p = p1 = 18.87 kN/m.

15

4515

15

60

3015

2×2RØ16

2×5RØ16

426

197

4

4RØ12

UØ8/15

60

UØ8/15

4 7 4 474



Sračunati napone u betonu i armaturi, srednje rastojanje i karakterističnu širinu prslina (t=0) za presek iz prethodnog zadatka samo usled stalnog opterećenja.

Pritisnuta je gornja ivica, pa je oblik pritisnute zone preseka pravougaoni, širine 30 cm.

MB 30 ⇒ Eb = 31.5 GPa (čl. 52. BAB 87) ⇒ 5.31

210EEn

b

a == = 6.67

a1 = 7.5 cm ⇒ h = 60 - 7.5 = 52.5 cm

Zanemarenjem pritisnute armature sledi:

Aa1 = 10RØ16 ⇒ 5.5230

10.201 ×

=µ = 0.0128 = 1.28% ; µ2 = 0

s2 + 2×6.67×0.0128×s - 2×6.67×0.0128 = 0 ⇒ s = 0.336

−×=

−×=

3336.01

2336.0

3s1

2s

J I22

bI = 0.050

Ma = Mg = 135 kNm

22

2

IIb2

ab cm

kN09.1050.0336.0

5.523010135

Js

hbM

=××

×=×

×=σ = 10.9 MPa

336.0

336.019.1067.61a−

××=σ = 144.0 MPa ⇒ 31a 102100.144

×=ε = 0.686‰



d = 60 cm = 0.6 m ⇒ 24bzs cmkN177.0

6.04.06.024.07.0f =

+××=

66030W

2

1b×

≈ = 18000 cm3 ⇒ Mr = 0.177×18000 = 3190 kNcm

Mr = 31.9 kNm < M = Mg = 135 kNm ⇒ presek sa prslinom

a0 = aI - Ø/2 = 4.0 - 1.6/2 = 3.2 cm

Ø = 16 mm = 1.6 cm

eØ,sr. = (7+19)/2 = 13 cm

k1 = 0.4 (RA 400/500)

k2 = 0.125 (čisto savijanje)

===×+

≤cm302/602/dcm236.15.711

h ef.bz,

Abz,ef = 60×23 – (23–15)×30 = 1140 cm2

11402010

AA

ef.bz,

a1ef.z1, ==µ = 0.0176 = 1.76%

16

6074

aI aII

3015

127

4

10RØ16

19 7 419

15

23

7.5×

Ø



0176.01.6125.04.0

10132.32lps ××+

+×= = 13.5 cm

2

a2

1

1359.310.10.11

)0t(0.1)500/400RA(0.1

××−=ζ⇒

==β=β

= 0.944

ps1aapk l7.1a ×ε×ζ×= = 1.7×0.944×0.686×10-3×13.5 = 15×10-3 cm = 0.15 mm


Mg = 100 kNm ; Ng = 200 kN Mp = 0 ; Np = 600 kN (vertikalno povremeno opterećenje) Mw = ±200 kNm ; Nw = 0 (vetar, alternativno dejstvo) Kvalitet materijala: MB 30, RA 400/500.

Sva potrebna objašnjenja su data u Primeru 3. Ovde su sračunate neophodne vrednosti.

ZATEGNUTA "LEVA" STRANA STUBA

Mu = 1.6×100 + 1.8×200 = 520 kNm

Nu = 1.6×200 = 320 kN

pretp. a1 = 6.5 cm ⇒ h = 60 – 6.5 = 53.5 cm

kNm2.595065.0260.0320520Mau =

−×+=

%564.43;‰004.3/5.3/720.1

05.230102.595

5.53k ab2=µ=εε⇒=

××

=

21a cm83.27

40320

4005.2

1005.5330564.43A =−×

××=

Sledeća kombinacija koja se razmatra uključuje i povremeno opterećenje:

Mu = 1.6×100 + 1.8×200 = 520 kNm

Nu = 1.6×200 + 1.8×600 = 1400 kN

kNm0.849065.0260.01400520Mau =

−×+=

0A‰0.3440.1

05.230100.849

5.53k 2aa2>⇒<ε⇒=

××

=

kNm4.59505.230.0719.1

5.53M%590.43*

719.1*k‰3.usv

2

abua =××

=⇒

=µ=

⇒=ε

∆Mau = 849.0 – 595.4 = 253.6 kNm

17



4.5

30

25.5

21

4.5

4.5

5.5

204.

5

4RØ25

2RØ25

UØ8/15

2RØ12

3RØ25

60

"LEVO"

"DESNO"

pretp. a2 = 5 cm ⇒ ( ) 4055.53106.253A

2

2a ×−×

= = 13.07 cm2

ZATEGNUTA "DESNA" STRANA STUBA

Mu = 1.0×(-100) + 1.8×200 = 260 kNm

Nu = 1.0×200 = 200 kN

pretp. a1 = 5 cm ⇒ h = 60 – 5 = 55 cm

kNm0.31005.0260.0200260Mau =

−×+=

%426.18;‰10/076.3/450.2

05.23010310

55k ab2=µ=εε⇒=

××

=

40

2004005.2

1005530426.18A 1a −×

××=

Aa1 = 10.58 cm2 < Aa2 = 13.07 cm2 (slučaj 2)

Usvojeno:

“LEVO”: 6RØ25 (29.45 cm2)

“DESNO”: 3RØ25 (14.73 cm2)

6

1025.44a1×+×

= = 6.33 cm

hstv. = 60 – 6.33 = 53.67 cm

hstv. > hpretp. = 53.5 cm

a2 = 4.5 cm > a2,pretp. = 5 cm

Gredu čiji su statički sistem, opterećenje i oblik poprečnog preseka prikazani na skici, potrebno je dimenzionisati prema momentima savijanja u karakterističnim

presecima, a zatim izvršiti osiguranje od glavnih napona zatezanja na delu B-C. Nakon toga potrebno je izvršiti osiguranje od glavnih napona zatezanja na delu A-B, zadržavajući prečnik i rastojanje uzengija kao na delu B-C, uz dodavanje odgovarajuće površine koso povijenih profila. Odrediti tačna mesta povijanja profila.

3 m3 m

25

d =

?

12

G = 240 kN

A B C

6 m


18




Proračun statičkih uticaja je sproveden pomoću tabele iz Priloga 5 »Koeficijenti za određivanje sta-tičkih uticaja elemenata konstrukcije«, PBAB 87, tom 2 (tabela 3.1, str. 496).

kNm2700.6240163M A

G −=××−=

kNm2250.6240325MB

G =××−=

kN75240165C;kN165240

1611A GG =×==×=

DIMENZIONISANJE

Visina poprečnog preseka nije poznata. Najpre se dimenzioniše preseka sa maksimalnim momentom savijanja (tip loma se proizvoljno bira – »slobodno« dimenzionisanje) a zatim se svi ostali preseci sračunaju sa usvojenom visinom (»vezano« dimenzionisanje):

presek nad osloncem

Mu = 1.6×270 = 432 kNm

εb/εa = 3.5/6.0‰ ⇒ k = 1.990 , µ = 29.825%

05.225

10432990.1h2

××

×= = 57.8 cm

4005.2

1008.5725825.29Aa ×

××= = 22.08 cm2


( )6

105.43a1+×

= = 7.25 cm ⇒ d = 57.8 + 7.25 = 65.05 cm

usvojeno: d = 65 cm

presek u polju

MuB = 1.6×225 = 360 kNm

Pretpostavlja se da se neutralna linija nalazi u ploči, pa se presek proračunava kao pravougaoni, širine B:

=×+=×+

≤⇒=+×+

=265122025

13443625.025Bcm436300300

270225225l0 = 134 cm

pretp. a1 = 7 cm ⇒ B/d/h = 134/65/58 cm

%026.4;094.0s;‰10/036.1/068.5

05.213410360


××

=

270

225165

75

MG [kNm]

TG [kN]

3 m

G = 240 kN

A B C3 m



x = s×h = 0.094×58 = 5.4 cm < dp = 12 cm

Pretpostavka o položaju neutralne linije je tačna, pa sledi:

2a cm05.16

4005.2

10058134026.4A =×

××=


4.5

25

16

4.5

4.5

284.

5

2RØ22

URØ8/20

2RØ12

3RØ22

3RØ22

5.5

22.5

4.5

25

164.

54.5

284.

53RØ22

URØ8/20

2RØ12

2RØ22

5.5

22.5

2RØ22

65

1253

OSLONAC POLJE


deo B-C

TuB-C 1.6×75 = 120 kN ⇒ 2r2

CBn cm

kN11.0cmkN092.0

2.5225120

=τ<=×

=τ −

Nije potrebna računska armatura za prihvatanje glavnih napona zatezanja.


deo A-B

TuA-B = 1.6×165 = 264 kN

τ<τ>

=×

=τ −

r

r2

BAn 3cm

kN202.02.5225

264

( ) 2BA

Ru cmkN138.011.0202.0

23

=−×=τ −


Po uslovu zadatka, potrebno je usvojiti iste uzengije kao na delu B-C. Na tom delu uzengije nisu računski potrebne, pa se moraju usvojiti makar minimalne:

usvojeno: m=2 ; α = 90º ; θ =45º ; URØ8:

λ = 3.00

τu,u=0.8

τ A-Bn =2.02

A B

τ A-BRu =1.38



503.040a40102.025

a2b

a2e )1(u2

)1(u

min,uz

)1(u

u ×=×=××

×=

µ××

= − = 20.1 cm

usvojeno: URØ8/20 (m=2) ⇒ ( ) 2u,u cmkN08.011040

2025503.02

=×+×××

×=τ


( ) kN4352530008.0138.0H k,vu =××−=

2akk cm65.7

240435A45 =×

=⇒°=α



Oba profila se povijaju na istom mestu, radi očuva-nja simetrije preseka. Šipke treba poviti pod uglom od 45º u težištu šrafirane površine.

Dimenzionisati u karakterističnim presecima gredu čiji su statički sistem, optere-ćenje i presek prikazani na skici. Kvalitet materijala: MB 30, RA 400/500.

5060

12

6 m

g, p

mTg, mTp

g = 30 kN/m p = 20 kN/m mTg = 6 kNm/m mTg = 12 kNm/m


qu = 1.6×30 + 1.8×20 = 84 kN/m

kNm25212

684M2

Ou =

×=

kNm12624

684M2

Op =

×=

kN2522

684Tu =×

=

mTu = 1.6×6 + 1.8×12 = 31.2 kN/m

kNm6.932

62.31MTu =×

=

19

λ = 3.00

τu,u

τ A-Bn

A B

τ A-BRu

τA-B

Ru

– τ

u,u

2RØ22

1.50 1.50

6.0

M

T

T

MT

mTg, mTp

g, p

MO

MP

MO

T

MT

MT



KONTROLA GLAVNIH NAPONA ZATEZANJA

usv. a = 4 cm ⇒ b0 = 50 – 2×4 = 42 cm ; d0 = 60 – 2×4 = 52 cm

2000b cm21845242dbA =×=×= ; ( ) cm18852422O 0b =+×=

cm25.5842

8dm ===δ ⇒ 2

2

0b

TuMn cm

kN408.025.521842

106.93A2M

T =××

×=

δ××=τ

a1 = 4.5 cm ⇒ z ≈ 0.9×h = 0.9×55.5 = 50.0 cm

2muT

n cmkN101.0

5050252

zbT

=×

=×

=τ

τ<=τ>

=+=τ+τ=τr

2r

2Mn

Tnn 5

cm/kN11.0cmkN509.0101.0408.0T

−×=

ττ

−×=λ09.51.11

26001

2L

n

r = 235 cm

τn > 3τr ⇒ Tbu = 0 ⇒ TRu = Tmu

MTbu = 0 ⇒ MTRu = MTu

potrebne uzengije za prihvatanje transverzalne sile

usvojeno: m = 4 ; α = 90° ; θ = 45°

( ) ( ) uuv

T)1(T,u e

1101

404101.050e

cotsincos1

mb

a Ru ××+

××

×=×

θ×α+α×

σ×τ×

= = 0.032×eu

potrebne uzengije za prihvatanje torzije

u

2

uv0b

TRu)1(M,u e0.1

4021842106.93etan

A2Ma

T××

×××

=×θ×σ××

= = 0.054×eu

)1(T,u

)1(M,u

)1(spolja,u aaa

T+= = (0.032+0.054)×eu = 0.086×eu

pretp. URØ12 ⇒ 086.013.1e spolja,u = = 13.3 cm ⇒ usvojeno: URØ12/12.5

)1(T,u

)1(unutra,u aa = = 0.032×eu

pretp. URØ8 ⇒ 032.0503.0e unutra,u = = 15.9 cm ⇒ usvojeno: URØ8/12.5

horizontalna armatura

1880.14021842

106.93OcotA2MA

2

0bv0b

Tua

××××

×=×θ×

σ××=∑ = 10.07 cm2


0Aa =∆ ("špic" momenta)




presek nad osloncem

Pritisnuta je donja ivica nosača, pa je oblik pritisnute zone pravougaoni, širine b=50 cm:

pretp. a1 = 4.5 cm ⇒ h = 60 - 4.5 = 55.5 cm

05.25010252

5.55k2

××

= = 3.540 ⇒ εb/εa = 1.643/10‰ ; µ = 8.415%

4005.2

1005.5550415.8A .potr,a ×

××= = 11.97 cm2

presek u polju

Pritisnuta je gonja ivica nosača, pa je oblik pritisnute zone ili Г ili pravougaoni, širine B:

B = min.

=××+=×+

=×+=×+

cm856007.0325.050l

325.0b

cm14612850d8b

0

p

= 85 cm

Pretpostavlja se da je neutralna linija u ploči. Sledi:

05.285101265.55k

2

××

= = 6.527 ⇒ εb/εa = 0.771/10‰ ; µ = 2.407% ; s = 0.072

x = 0.072×55.5 = 4.0 cm < dp = 12 cm

Pretpostavka o položaju neutralne linije je dobra, pa sledi:

4005.2

1005.5585407.2A .potr,a ×

××= = 5.82 cm2

100

605020.0100

dbA min.min,a×

×=×

×µ= = 6.0 cm2 > Aa,potr


Oslonac - konačno usvajanje armature

U preseku nad osloncem potrebno je:

za MT: 4RØ10 = 3.14 cm2

za M: = 6.00 cm2

ukupno: = 9.14 cm2


604x

13=5

2

7RØ14

2RØ10

URØ12/12.5

4

4RØ14

44 3x14=4250

4

2RØ10

2RØ10

URØ8/12.5

12



Nacrtati dijagrame presečnih sila za nosač čiji su statički sistem i opterećenje pri-kazani na skici. Opterećenja p1 i p2 deluju istovremeno. Dimenzionisati nosač u

karakterističnim presecima prema M i T. Obezbediti u svim presecima εa1 ≥ 7‰.

6 m

g = 20 kN/m

2 m4 m2 m

45

25

15

60

A B D E GC

60

p1 = 40 kN/m p2 = 60 kN/m

F (max.Mu)

Za usvojeni raspored armature u preseku F sračunati napone u betonu i armaturi (t=0). Proračunom obuhvatiti samo zadato opterećenje. Kvalitet materijala: MB 25, RA 400/500.

DIJAGRAMI PRESEČNIH SILA

Mg

6.002.004.002.00

A B D E G

80

Tg

Mp

Tp

160 160

195.9

40

120120

40

80

80

80

40

80

80

206.7

153.3

2.00 2.56

G=40

G=40

G=40

G=40g=20 kN

m

A=80 E=160 G=40

g=20 kNm

g=20 kNm

6.002.004.002.00

A B D E G

P=80

P=80

P=80

P=80

A=80 E=286.7 G=153.3

p1=40 kNm

p2=60 kNm

40

40


preseci A, E – gornja zona

Mu = 1.6×120 + 1.8×160 = 480 kNm

MB 25 ⇒ fB = 17.25 MPa = 1.725 kN/cm2

pretp. a1 = 7.5 cm ⇒ b/d/h = 25/60/52.5 cm

0A‰0.7574.1

725.12510480

5.52k 2aa2>⇒<ε⇒=

××

= 1

1 Uslovom zadatka je zahtevano εa1 ≥ 7‰. Kada je dimenzija preseka zadata, ovaj uslov je moguće zadovoljiti “dvostrukim” armiranjem (u opštem slučaju, tako se obezbeđuje εa1 ≥ 3‰).

20



%984.26*;074.2*k‰7.usv *1a =µ=⇒=ε

( )2

2

2au cm72.104055.52

107.203AkNm7.2033.276480M =×−

×=⇒=−=∆

21a cm00.2672.10

40725.1

1005.5225984.26A =+×

××=

usvojeno: 6RØ25 (29.45 cm2) – gornja zona

3RØ25 (14.73 cm2) – donja zona

presek F – donja zona

qu = 1.6×20 + 1.8×60 = 140 kN/m

Gu = 1.6×40 + 1.8×153.3 = 340 kN

140340

qGx

u

u == = 2.43 m

243.214043.2340M

2

max,u×

−×= = 412.8 kNm

cm6060B

1464/48625325152025

.minB =

==+=×+

=

Pretpostavlja se da se neutralna linija nalazi u ploči:

pretp. a1 = 7 cm ⇒ b/d/h = 60/60/53 cm

%787.15;211.0s;‰10/666.2/629.2

725.160108.412


××

=

x = s×h = 0.211×53 = 11.1 cm < dp = 15 cm

Uslov εa1 ≥ 7‰ je zadovoljen, a pretpostavka o položaju neutralne linije je tačna, pa sledi:

2a cm45.21

40725.1

1005360787.15A =×

××=


presek C – donja zona

Mu = 1.6×40 + 1.8×80 = 208 kNm

pretp. a1 = 4.5 cm ⇒ b/d/h = 60/60/55.5 cm

%831.6;125.0s;‰10/432.1/915.3

725.16010208

5.55k ab2=µ==εε⇒=

××

=

x = s×h = 0.125×55.5 = 7.0 cm < dp = 15 cm

x=2.43500

340

412.8

480

340

qu=140 kNm

E G

F

L0=4.86

Tu

Mu



Uslov εa1 ≥ 7‰ je zadovoljen, a pretpostavka o položaju neutralne linije je tačna. Doduše, ove pretpostavke su sigurno zadovoljene, jer je presek iste geometrije kao F, dok je mo-ment savijanja manji (pri manjem momentu savijanja neutralna linija se približava pritisnu-toj ivici, pa uslov formalno ne mora da se ispituje). Sledi:

2a cm81.9

40725.1

1005.5560831.6A =×

××=


KONTROLA GLAVNIH NAPONA ZATEZANJA

MB 25 ⇒ τr = 0.95 MPa = 0.095 kN/cm2

usvojeno duž čitavog raspona: z ≈ 0.9×52.5 = 47.3 cm = const.

deo E-G

τ<=τ>

=×

=τ⇒=×+×=r

r2

levo,En

levo,Eu 5

MPa95.0cmkN423.0

3.4725500kN5007.2068.1806.1T

τ<τ>

=×

=τ⇒=×+×=r

r2

Gn

Gu 5cm

kN288.03.4725

340kN3403.1538.1406.1T

Položaj preseka F (Mu,max.) je ranije određen. Dužine osiguranja:

cm7.16288.295.019.242;cm0.277

23.495.011.357 21 =

−×=λ=

−×=λ

Kako je i u preseku Elevo i G prekoračen napon 3τr, sledi:

MPa88.2;MPa23.4 Gn

GRu

levo,En

levo,ERu =τ=τ=τ=τ

λ2 = 162.7

τE,levon =4.23

τ r=0.95

E

G

F

242.9

τ r

3τ r

3τ r=2.85

τGn=2.88

λ1 = 277.0

357.1

λI2 = 2.4

λI1 = 116.7

τRu

τn

τRu=τn

Međutim, u zonama na kojima nije prekoračen napon 3τr, potrebno je izvršiti odgovarajuću redukciju i obavezno nacrtati dijagram napona τRu (crvena linija). Potrebno je odrediti duži-ne na kojima je prekoračen napon 3τr:

cm4.288.2

95.0319.242;cm7.11623.4

95.0311.357 I2

I1 =

×

−×=λ=

×

−×=λ



Osiguranje armaturom se, kad god je moguće, vrši postavljanjem vertikalnih uzengija:

usvojeno: m = 2 ; α = 90° ; θ = 45°:

( ) ( ) )1(u

)1(uv

Ru

)1(u

u a56.7a110423.025

402cotsincosb

ame ×=××+×××

=σ×θ×α+α×τ×

×=

pretp. URØ12 ⇒ eu = 7.56×1.13 cm = 8.55 cm

usvojeno: URØ12/7.5 (m=2)


Korišćenje uzengija najvećeg mogućeg prečnika (član 145 PBAB 87), na minimalno mogu-ćem rastojanju, na relativno velikoj dužini osiguranja (λ = 277 cm), svakako nije najrazum-nije rešenje. Sečnost uzengija se ne može povećati, s obzirom na širinu rebra preseka, ta-ko da ostaje mogućnost da se razmak uzengija postepeno povećava, u skladu sa prome-nom napona τRu, ili da se primene i koso povijeni profili. Ovo rešenje će biti prikazano kao varijantno rešenje, nakon usvajanja uzengija na delu G-F:

( ) )1(u

)1(u

FGu a12.11a110

288.025402e ×=××+×

××

=−

pretp. URØ12 ⇒ eu = 11.12×1.13 cm = 12.57 cm


( ) ( )01402

340cotcot2TA

v

mua −×

×=α−θ×

σ×=∆ = 4.25 cm2


Varijanta sa koso povijenim profilima na delu E-F:

Na čitavoj dužini osiguranja su usvojene dvosečne vertikalne uzengije URØ12/12.5 cm (kao na delu G-F). Nosivost usvojenih uzengija:

( ) 2u,u cmkN290.011040

5.122513.12

=×+×××

×=τ

Potrebno je naći dužinu na kojoj je napon τRu ve-ći od sračunatog τu,u (oblast šrafirana ukrštenom šrafurom). Kako je τu,u > 3τr, tražena dužina λk se dobija kao:

cm9.11223.49.211.357K =

−×=λ

kN7.188259.1122

29.0423.0H k,vu =××−

=

2akk cm34.3

2407.188A45 =

×=⇒°=α


τE,levon =4.23

τ r=0.95

E F

3τ r=2.85

λ1 = 277.0

357.1

λI1 = 116.7

λk = 112.9

τu,u=2.90



deo A-B, D-E

2An

Au cm

kN230.03.4725

272kN272808.1806.1T =×

=τ⇒=×+×=

2Bn

Bu cm

kN176.03.4725

208kN208808.1406.1T =×

=τ⇒=×+×=


τRuA = 1.5×(0.230 – 0.095) = 0.203 kN/cm2

τRuB = 1.5×(0.176 – 0.095) = 0.122 kN/cm2

( ) )1(u

)1(u

BAu a8.15a110

203.025402e ×=××+×

××

=−

URØ10 ⇒ eu = 15.8×0.79 cm = 12.5 cm



deo B-D

TuB = 208 kN ⇒ τn

B = 0.176 kN/cm2

cm1.9276.195.01200 =

−×=λ

τRuB = 0.122 kN/cm2 (vidi deo A-B)

cm7.20785.0122.025

402eu =×××

=


( )01402

208Aa −××

=∆ = 2.60 cm2 ⇒ usvojeno: 2RØ25 (9.82 cm2)

PRORAČUN NAPONA U PRESEKU F

MB 25 ⇒ Eb = 30 GPa (čl. 52. BAB 87)

30210

EEn

b

a == = 7.0

Aa1 = 24.54 cm2 (5RØ25)

cm7.65

1025.43a1 =×+×

=

h = 60 – 6.7 = 53.3 cm

Pritisnuta je gornja ivica nosača, pa je oblik pritis-nute zone preseka ili pravougaoni, širine 60 cm, ili oblika T. Iz praktičnih razloga, pretpostavlja se da je neutralna linija u ploči.

A B

λ = 200

τ An=2.30

τ ARu=2.03 τB

n=1.76

τBRu=1.22

Bλ = 92.1

τBn=1.76

τBRu=1.22

D

τ r=0.95 λ = 92.1

τ r200 1.76

1.22

200

4.5

25

16

4.5

4.5

25.5

4.5 3RØ25

2RØ12

2RØ25

5.5

20 2RØ25

1545

60

17.517.5



3.5360

54.241 ×

=µ = 0.0077 = 0.77% ; µ2 = 0

s2 + 2×7.0×0.0077×s - 2×7.0×0.0077 = 0 ⇒ s = 0.279

x = 0.279×53.3 = 14.89 cm < dp = 15 cm

Pretpostavka o položaju neutralne linije je dobra, pa se naponi proračunavaju kao za pravougaoni presek širine 60 cm:

−×=

−×=

3279.01

2279.0

3s1

2s

J I22

bI = 0.035

Potrebno je sračunati momente Mg i Mp u preseku F (x=2.43 m od oslonca G):

kNm8.2342.1866.48MkNm2.186

243.26043.23.153M

kNm6.482

43.22043.240M2

p

2

g=+=⇒

=×

−×=

=×

−×=

22

2

IIb2

ab cm

kN09.1035.0279.0

3.5360108.234

Js

hbM

=××

×=×

×=σ ⇒ ‰363.0

10309.10

3b =×

=ε

279.0

279.019.100.71a−

××=σ = 197.5 MPa ⇒ 31a 102105.197

×=ε = 0.940‰

Stub preseka prema skici, opterećen je silom NG=1200 kN usled stalnog optere-ćenja. Odrediti koliku silu od povremenog

opterećenja stub može prihvatiti uz zadovoljenje propisanih koeficijenata sigurnosti. Uticaj izvijanja zanemariti. Sračunati napone u betonu i armaturi usled ukupnog (G+P) opterećenja (trenutak t=0). Kvalitet materijala: MB 25, RA 400/500.

ODREĐIVANJE SILE NP

Normalna sila koju dati presek može prihvatiti određena je izrazom:

vaBbu AfAN σ×+×=

pri čemu su sve veličine s desne strane izraza poznate.

Dužina stranice preseka je:

2b cm1754

25.220.266Acm0.26

32

245

32ha =

××=⇒=×=×=

Aa = 22.80 cm2 (6RØ22) ⇒ Nu = 1754×1.725 + 22.80×40 = 3937 kN

Granična računska sila usled spoljašnjeg opterećenja određena je izrazom:

1.2

12009.13937NN1.212009.1NNN PPPP,uGG,uu×−

=⇒×+×=×γ+×γ= = 790 kN

21 6RØ22

4.5

36 45

4.5




2abi

b

a cm191380.220.71754AnAA730210

EEn =×+=×+=⇒===

‰35.010304.10

EMPa4.10

cmkN04.1

19137901200

APG

3b

bb2

ib =

×=

σ=ε⇒==

+=

+=σ

MPa8.724.100.7n ba =×=σ×=σ

Zatega preseka prema skici, optereće-na je silom ZG=600 kN usled stalnog

opterećenja. Odrediti koliku silu usled povreme-nog opterećenja zatega može prihvatiti uz zado-voljenje propisanih koeficijenata sigurnosti. Od-rediti srednje rastojanje i karakterističnu širinu prslina samo usled stalnog opterećenja (t=0). Kvalitet materijala: MB 25, RA 400/500.

Aa = 45.60 cm2 (12Ø22) ; RA 400/500 ⇒ σv = 400 MPa = 40 kN/cm2

Zu = Aa×σv = 45.60×40 = 1824 kN

8.1

6006.11824ZZ8.16006.1ZZZ PPPP,uGG,uu×−

=⇒×+×=×γ+×γ= = 480 kN


MB 25 ⇒ fbzm = 2.1 MPa ⇒ fbz = 0.7× fbzm = 1.47 MPa = 0.147 kN/cm2

2abi cm91960.450.72030AnAA =×+×=×+=

Zr = 0.147×919 = 135.1 kN < Zg = 600 kN ⇒ presek sa prslinom

a0 = aI - Ø/2 = 4.5 - 2.2/2 = 3.4 cm

Ø = 22 mm = 2.2 cm ; eØ. = 7.0 cm

k1 = 0.4 (RA 400/500) ; k2 = 0.25 (čisto zatezanje)

Abz,ef = Ab = 30×20 = 600 cm2 ⇒ 600

45.60AA

ef.bz,

aef.z, ==µ = 0.076 = 7.6%

076.02.225.04.0

1074.32lps ××+

+×= = 11.1 cm

‰626.0102105.131

EMPa5.131

cmkN15.13

60.45600

AZ

3a

G,aG,a2

a

GG,a =

×=

σ=ε⇒====σ

2

a2

1

6001.1350.10.11

)0t(0.1)500/400RA(0.1

××−=ζ⇒

==β=β

= 0.984

ps1aapk l7.1a ×ε×ζ×= = 1.7×0.984×0.626×10-3×11.1 = 12×10-3 cm = 0.12 mm

22

7 4.5

4.5

5.5

30

4.5

5.5 20

774.5

4RØ224RØ22

4RØ22



Dimenzionisati stub pravougaonog poprečnog preseka b/d=25/60 cm, opterećen momentom savijanja od vetra MW = ±200 kNm, i vertikalnom silom usled povre-

menog opterećenja P = 1000 kN. Uticaj sopstvene težine se može zanemariti, a vertikalno i horizontalno opterećenje ne moraju delovati istovremeno. Uticaj izvijanja se može zane-mariti. Kvalitet materijala: MB 25, RA 400/500.

Sva potrebna objašnjenja data su u Primeru 10. Ovde su sračunate neophodne vrednosti.

pretp. a1 = 6 cm ⇒ a/d = 6 / 60 = 0.1

Kombinacija sa MINIMALNOM normalnom silom

Mu = ±1.8×200 = ±360 kNm ⇒ 232.0725.16025

10360m 2

2

u =××

×=

Nu = 0 ⇒ 0nu =

22a1a21 cm42.18

40725.16025285.0AA285.0 =×××==⇒=µ=µ

Kombinacija sa MAKSIMALNOM normalnom silom

Mu = ±2.1×200 = ±420 kNm ⇒ 271.0725.16025

10420m 2

2

u =××

×=

Nu = 2.1×1000 = 2100 kN ⇒ 812.0725.16025

2100nu =××

=

Tačka nalazi u oblasti promenljivih koeficijenata sigurnosti (0.5‰ < εa1 < 1‰) pa sledi:

εa1 ≈ 0.65‰ ⇒ ( ) 035.28.11.2‰0‰3

‰65.0‰38.1P,u =−×−

−+=γ

Mu = ±2.035×200 = ±407 kNm

262.0725.16025

10407m 2

2

u =××

×=

Nu = 2.035×1000 = 2035 kN

786.0725.16025

2035nu =××

=

Tačka je ponovo u oblasti između 0.5 i 1‰ i može se smatrati da su dilatacije, pa samim tim i koefici-jenti sigurnosti, tačno određeni. Sledi:

285.0275.021 <=µ=µ

odnosno merodavna je prva kombinacija uticaja. Stoga dalje iteracije nisu potrebne, jer se u svakoj iteraciji koeficijenti sigurnosti smanjuju i dobija manja potrebna površina armature.

usvojeno: ±5RØ22 (±19.00 cm2)

23

4.5

25

16

4.5

4.5

5.5

204.

5

3RØ22

2RØ22

UØ8/15

2RØ12

3RØ22

60

2RØ22

5.5

20



Za konstrukciju na skici potrebno je dimenzio-nisati POS 2 (30/100 cm). Izvršiti analizu opte-

rećenja i sračunati vrednosti statičkih uticaja za stub POS S za sledeće slučajeve opterećenja: - stalno opterećenje g = 30 kN/m - povremeno opterećenje p1 = 60 kN/m - povremeno opterećenje p2 = 60 kN/m i dimenzionisanje u karakterističnim presecima prema napred sračunatim uticajima. Uticaj izvijanja zanemariti. Sopstvena težina je uračunata u zadato stalno optere-ćenje. Kvalitet materijala: MB 30, RA 400/500.

Sračunati koliko se povremeno opterećenje može na-neti umesto zadatog opterećenja p1 na gredu POS 1 (30/60 cm) ako bi ona bila armirana istom podužnom i poprečnom armaturom kao POS 2.

DIMENZIONISANJE POS 2

Mg2 = 30×4.02/2 = 240 kNm ; G2 = 30×4.0 = 120 kN

Mp2 = 60×4.02/2 = 480 kNm ; P2 = 60×4.0 = 240 kN

MB 30 ⇒ fB = 20.5 MPa ; τr = 1.1 MPa

Mu = 1.6×240 + 1.8×480 = 1248 kNm

pretp. a1 = 7 cm ⇒ b/d/h = 25/100/93 cm

=µ=εε

⇒=

××

=%289.27

‰883.6/5.3/064.2

05.230101248

93k ab

2

21a cm02.39

4005.2

1009330289.27A =×

××=


Tu = 1.6×120 + 1.8×240 = 624 kN

τ<τ>

=××

=τr

r2n 5cm

kN249.0939.030

624

cm9.22249.21.11400 =

−×=λ

τRu = 1.5×(0.249 – 0.11) = 0.208 kN/cm2

usvojeno: m = 2 ; α = 90° ; θ = 45° ; URØ10:

( ) cm08.1040110208.030

785.02eu =××+××

×=



24

POS S

3.0 m

g , p1

4.0 m

g , p2

30/d=?

POS 130/60

POS 230/100

d=?

4.5

3021

4.5

4.5

20.5

4.5

4RØ25

2RØ12

2RØ25

5.5

25

4RØ25

2RØ12100

2RØ12

1525 URØ10/10



POS S – PRESEČNE SILE

Pored sračunatih sila sa POS 2, na stub deluju i sile sa konzolne grede POS 1:

Mg1 = 30×3.02/2 = 135 kNm

G1 = 30×3.0 = 90 kN

Mp1 = 60×3.02/2 = 270 kNm

P1 = 60×3.0 = 180 kN

Mp2

105

135

210

270

480

0

Mp1

90

180

0

240

Mg

+

+

+

+

Np2Np1Ng

POS S – DIMENZIONISANJE

Maksimalni moment savijanja javlja se na donjem delu stuba i zateže »levu« ivicu preseka. Povremeno opterećenje na gornjoj konzoli POS 1 smanjuje razmatrani uticaj, pa neće biti uzeto u obzir. Kako visina d poprečnog preseka nije poznata, pristupa se slobodnom dimenzionisanju. Kada se visina preseka usvoji, pristupa se vezanom dimenzionisanju ostalih preseka i to:

- gornjeg dela stuba, zategnuta »desna« ivica preseka, odnosno

- donjeg dela stuba, zategnuta »desna« ivica preseka, za slučaj delovanja stalnog opterećenja i povremenog opterećenja na POS 1 (Mp1 > Mg)

Postupak slobodnog dimenzionisanja podrazumeva usvajanje dilatacija εb i εa1, odnosno tipa loma preseka1. Iz uslova ravnoteže momenata savijanja se sračunava potrebna statič-ka visina, a zatim iz uslova ravnoteže normalnih sila i potrebna površina armature.

Kod izbora dilatacija (tipa loma) treba primetiti da je najopterećeniji presek, pored momen-ta savijanja, napregnut i silom pritiska, pa je očekivano da lom nastupi po betonu. Što se pretpostavi manja vrednost εa1, dobiće se presek manje visine. Istovremeno, usvajanjem veće vrednosti εa1 ili loma po armaturi, dobija se presek velike visine i male površine armature. U ostalim, manje napregnutim, presecima može se dobiti i armatura manja od minimalno propisane. S druge strane, u uklještenju, zavisno od položaja povremenog opterećenja, mogu biti zategnute obe ivice preseka, pa će presek biti obostrano armiran.

1 Kod dimenzionisanja realnih konstrukcija, kriterijum za usvajanje dimenzija poprečnog preseka su najčešće veličina pomeranja ili zadovoljenje željene vitkosti. Kako ovo uglavnom prevazilazi materiju kursa i predviđeni obim zadataka, kada dimenzija preseka nije poznata treba sprovesti slobodno dimenzionisanje.

Mg1

Mg2

G1

Mp1

P1

G2

Mp2

P2



donji deo stuba, »leva« ivica

usvojeno εb/εa1 = 3.5/3‰ ⇒ k = 1.719 , µ = 43.590%

Mu = 1.6×105 + 1.8×480 = 1032 kNm

Nu = 1.6×210 + 1.8×240 = 768 kN

Kako u izrazu za Mau figuriše nepoznata visina preseka d, u prvom koraku se usvaja:

Mau = Mu = 1032 kNm

05.230101032719.1h

2I

××

×= = 70.4 cm ⇒ dI = h+a1 = 70.4+7 = 77.4 cm

II korak: usv. dI = 80 cm ⇒

−×+= 07.0

280.07681032M II

au = 1285.4 kNm

05.230104.1285719.1h

2I

××

×= = 78.6 cm ⇒ dII = 78.6+7 = 85.6 cm

Umesto daljeg iterativnog proračuna, koji bi rezultirao malim povećanjem dimenzije stuba, vrednost d = 90 cm je usvojena kao konačna. Sledi:

a1 = 7 cm ⇒

−×+= 07.0

290.07681032Mau = 1323.8 kNm

=µ=εε

⇒=

××

=%104.39

‰746.3/5.3/789.1

05.230108.1323

83k ab

2

21a cm70.30

40768

4005.2

1008330104.39A =−×

××= ⇒ usvojeno: 8RØ25 (39.27 cm2)2

gornji deo stuba, »desna« ivica

Mu = 1.6×135 + 1.8×270 = 702 kNm

Nu = 1.6×90 + 1.8×180 = 468 kN

a1 = 7 cm ⇒ h = 90 – 7 = 83 cm ⇒

−×+= 07.0

290.0468702Mau = 879.8 kNm

=µ=εε

⇒=

××

=%638.23

‰486.8/5.3/194.2

05.230108.879

83k ab

2

21a cm47.18

40468

4005.2

1008330638.23A =−×

××= ⇒ usvojeno: 4RØ25 (19.63 cm2)

2 Šipke RØ25 su usvojene jer su isti profili primenjeni i za armiranje grede POS 2 (veći deo se prevodi iz stu-ba u gredu POS 2). Računski, dovoljni su profili RØ22. Ipak, ovde se radi o ispitnom zadatku, gde optimizacija rešenja ne predstavlja prioritet, pa je usvojeno malo »neracionalnije« rešenje.



donji deo stuba, »desna« ivica

Mu = 1.0×(-105) + 1.8×270 = 381 kNm

Nu = 1.0×210 + 1.8×180 = 534 kN

a1 = 5 cm ⇒ h = 90 – 5 = 85 cm ⇒

−×+= 05.0

290.0534381Mau = 594.6 kNm

=µ=εε

⇒=

××

=%505.14

‰10/476.2/734.2

05.230106.594

85k ab

2

21a cm61.5

40534

4005.2

1008530505.14A =−×

××= ⇒ usvojeno: 2RØ25 (9.82 cm2)

4.5

21

4.5

4.5

25.5

4RØ

25

2RØ

12

2RØ

25

4.590

2RØ

12

25.5 30

UR

Ø10

/20GORNJI DEO STUBA

"DE

SN

O"

"LE

VO

"

4.5

3021

4.5

4.5

25.54.5

4RØ

25

2RØ

12

2RØ

25

5.5

4RØ

25

902R

Ø12

20 30

UR

Ø10

/20DONJI DEO STUBA

"DE

SN

O"

"LE

VO

"

PRORAČUN NOSIVOSTI POS 1

POS 1 je konzolna greda, pravougaonog poprečnog pre-seka. Prema uslovu zadatka, armirana je usvojenom ar-maturom grede POS 2. Poprečni presek čiju nosivost je potrebno sračunati je prikazan na skici desno.

Nosivost u odnosu na momente savijanja

Pošto nije drugačije zahtevano, proračun će biti sprove-den uz zanemarenje nosivosti pritisnute armature.

Aa1 = 39.27 cm2 (8RØ25)

2

105.4a1+

= = 7.25 cm ⇒ h = 60 - 7.25 = 52.75 cm

==εε

→=××

×=µ

658.1k‰35.2/5.3/

%420.4805.275.5230

4027.39 abTABLICE1

Dobijena je vrednost εa1 < 3‰. Dakle, ovaj presek bi morao biti dvostruko armiran, kako bi se dilatacija zategnute armature zadržala u željenim granicama. Međutim, u ovom slučaju presek je zadat i zadatak je samo da se odredi njegova nosivost.

Zanemarenjem Aa2, mehanički procenat armiranja se direktno sračunava iz uslova ravno-teže normalnih sila. Pritom je pretpostavljeno da je σa1 = σv. Kako je sračunata dilatacija:

4.5

30

21

4.5

4.5

25.5

4.5

4RØ25

2RØ25

5.5

4RØ25

60 2RØ12

20 URØ10/10



%905.110210

400E

‰35.2 3a

vv1a =

×=

σ=ε>=ε

lako je zaključiti da je učinjena pretpostavka σa1 = σv zadovoljena. Iz uslova ravnoteže mo-menata savijanja konačno sledi:

22

au 1005.230658.1

75.52=M −×××

= 622.6 kNm = Mu (Nu = 0)

Kako je εa1 < 3‰, neophodno je povećati vrednosti koeficijenata sigurnosti:

εa1 = 2.35‰ ⇒ ( ) 865.1;665.16.19.10335.236.1 p,ug,u =γ=−×

−−

+=γ

kNm3.213865.1

135665.16.622MkNm1352

0.330M p

2

g =×−

=⇒=×

=

mkN4.47

0.33.2132

LM2

p 22p

1 =×

=×

≤

Tačniji postupak je da se proračunom tretira sva armatura u preseku. Jedna mogućnost je primena odgovarajućeg dijagrama interakcije (interpolacija vrednosti očitanih sa dijagrama 2.5.36 i 2.5.37, PBAB 87, Tom 2, str. 176 i 177). Druga je analitičko rešenje, gde se polo-žaj neutralne linije određuje iterativno, iz uslova ravnoteže normalnih sila. Proračun će biti sproveden na taj način, a postupak će biti jako ubrzan uvođenjem nekoliko smislenih pret-postavki koje su posledica prvog koraka u rešavanju problema (Aa2=0):

a. εb = 3.5‰ ⇒ α = 0.810 ; η = 0.416

b. εa1 > εv = 1.905‰ ⇒ σa1 = σv = 400 MPa (zatezanje)

c. εa2 > εv = 1.905‰ ⇒ σa2 = σv = 400 MPa (pritisak)

Uslov ravnoteže normalnih sila može se napisati u obliku:

0NZDDN uauaubu ==−+=∑

pri čemu su unutrašnje sile određene kao:

Dau = Aa2×σa2 = 9.82×40 = 392.7 kN

Zau = Aa1×σa1 = 39.27×40 = 1570.8 kN

Dbu = α×s×b×h×fB = 0.810×s×30×52.75×2.05

Dakle, jedina nepoznata veličina je položaj neutralne linije, odnosno bezdimenziona s:

Dbu = Nu + Zau – Dau = 0 + 1570.8 – 392.7 = 1178.1 kN

05.275.5230810.0

1.1178fhb

DsBb

bu

×××=

×××α= = 0.449

s = 0.449 > 0.259 ⇒ εb = 3.5‰ , 5.3449.0

449.01s

s1b1a ×

−=ε×

−=ε = 4.30‰

vb2

2a2

2 ‰834.25.3449.0

085.0449.0s

s085.075.525.4

ha

ε>=×−

=ε×α−

=ε⇒===α



Sve tri učinjene pretpostavke su dokazane, pa sledi:

( ) ( )449.0416.0175.52hs1z ×−×=××η−= = 42.9 cm

( ) ( )5.475.527.3929.421.1178ahDzDMM 2aubuauu −×+×=−×+×==

Mu = 69496 kNcm = 695 kNm

Kako je εa1 > 3‰, nema potrebe smanjivati vrednosti koeficijenata sigurnosti. Sledi:

mkN1.59

0.31.2662pkNm1.266

8.11356.1695M 21p =

×≤⇒=

×−=

Nosivost u odnosu na transverzalne sile

2vu

)1(u

u,u cmkN209.040

1030785.02

ebam

=××

×=σ×

××

=τ = 2.09 MPa

2rRun cmkN250.0MPa50.21.109.2

32

32

==+×=τ+τ×=τ

75.529.030250.0Th9.0b

Tu

un ×××=⇒

××=τ = 355.5 kN

mkN2.39

0.35.117pkN5.117

8.1906.15.355TkN900.330T 2pg =≤⇒=

×−=⇒=×=

Merodavno je manje od dva sračunata opterećenja, dakle p = p2 = 39.2 kN/m.

Za nosač sistema proste grede, raspona L = 6.0 m, opterećen stalnim optereće-

njem g = 30 kN/m, čiji je karakteristični presek armi-ran prema skici, potrebno je sračunati: - napone u betonu i armaturi (t=0) - srednje rastojanje i karakterističnu širinu

prslina (t=0) - vrednost maksimalnog ugiba u sredini ras-

pona, vodeći računa o dugotrajnom dejstvu stalnog opterećenja (t→∞)

Kvalitet materijala: MB 30, RA 400/500.

Aa1 = 14.18 cm2 (5RØ19)

Aa2 = 5.67 cm2 (2RØ19)

5

0.920.43a1×+×

= = 6.0 cm

h = 60 – 6.0 = 54.0 cm

a2 = 4.0 cm ⇒ α2 = 4.0/54.0 = 0.074

MB 30 ⇒ Eb = 31.5 GPa (čl. 52. BAB 87) ⇒ 5.31

210EEn

b

a == = 6.67

25

4

45

2126

4

2RØ12

UØR8/1560

2RØ19

2RØ19

3RØ19

2042×6

2RØ19




5420

18.141 ×

=µ = 0.0131 = 1.31% ; 5420

67.51 ×

=µ = 0.0053 = 0.53%

s2 + 2×6.67×(1.31+0.53)×10-2×s - 2×6.67×(1.31+0.53×0.074)×10-2 = 0

s2 + 0.245×s – 0.180 = 0 ⇒ s = 0.319 ⇒

−×=

3319.01

2319.0

J2

II = 0.046

Ma = Mg = 135 kNm

22

2

b cmkN38.1

)074.01()074.0319.0(0053.067.6046.0319.0

542010135

=−×−××+

×××

=σ

21a cmkN63.19

319.0319.0138.167.6 =

−××=σ ⇒ 31a 100.21

63.19×

=ε = 0.935‰

PRORAČUN RAZMAKA I ŠIRINE PRSLINA


d = 60 cm = 0.6 m ⇒ 24bzs cmkN177.0

6.04.06.024.07.0f =

+××=

66020W

2

1b×

= = 12000 cm3 ⇒ Mr = 0.177×12000×10-2 = 21.30 kNm < Mg

a0 = 4.0 - 1.9/2 = 3.05 cm ; Ø = 19 mm = 1.9 cm ; eØ = 6.0 cm

k1 = 0.4 (RA 400/500) ; k2 = 0.125 (savijanje)

===×+

≤cm302/602/dcm25.239.15.79

h ef.bz, = 23.25 cm ⇒ 25.2320

14.18ef.z1, ×

=µ = 0.0305

0305.01.9125.04.0

10605.32lps ××+

+×= = 10.4 cm

2

a2

1

1353.210.10.11

)0t(0.1)500/400RA(0.1

××−=ζ⇒

==β=β

= 0.975

ps1aapk l7.1a ×ε×ζ×= = 1.7×0.975×0.935×10-3×10.4 = 16×10-3 cm = 0.16 mm

PRORAČUN UGIBA

12

6020J3

b×

= = 360000 cm4 ⇒ 86

4

b 10360000105.310.630

3845v −×××

××= = 4.46×10-3 m

Koeficijenti za proračun krivine elementa pravougaonog preseka izloženog složenom savijanju su grafički očitavani (PBAB 87, Tom 2, Prilog 3.4).

0875.00.542018.1467.6

hbAn;067.0

600.4

da;1.0

600.6

da 1a2

21

1 =××

=×

×===α===α



Ugib u trenutku t=0

Iak = 0.825 (dijagram 3.4.2) ⇒ v0

I = 0.825×4.46 = 3.68 mm

IIak = 2.1 (dijagram 3.4.6) ⇒ v0

II = 2.1×4.46 = 9.38 mm

24bzs cmkN253.0

6.04.06.024.0f =

+×= ⇒ Mr = 0.253×12000×10-2 = 30.4 kNm < Mg

135

4.300.10.11)0t(0.1

)500/400RA(0.1g,0

2

1 ××−=ζ⇒

==β=β

= 0.775

vg,0 = (1 – ζ) × v0I + ζ × v0

II = (1 – 0.775)×3.68 + 0.775×9.38 = 8.09 mm


χ∞ = 0.8 ; ϕ∞ = 2.5 ⇒ χ∞ × ϕ∞ = 0.8×2.5 = 2

Ikϕ = 0.63 (dijagram 3.4.14) ⇒ v∞I = (1+0.63×2.5)×3.68 = 9.48 mm

Interpolacijom vrednosti očitanih sa dijagrama 3.4.25 i 3.4.26 sledi:

( ) 148.0145.0155.005.01.0

05.0067.0145.0k155.0k10.0145.0k05.0 II

II2

II2 =−×

−−

+=⇒

=⇒=α=⇒=α

ϕϕ

ϕ

IIkϕ = 0.148 (dijagrami 3.4.25, 26) ⇒ v∞II = (1+0.148×2.5)×9.38 = 12.84 mm

135

4.305.00.11)t(5.0

)500/400RA(0.1g,

2

1 ××−=ζ⇒

∞→=β=β

∞ = 0.888

vg∞ = (1 – ζ) × v∞I + ζ × v∞

II = (1 – 0.888)×9.48 + 0.888×12.84 = 12.47 mm

Dimenzionisati stub kružnog poprečnog preseka prečnika D=40 cm, opterećen silama pritiska Ng = 1000 kN i Np = 500 kN usled stalnog, odnosno povremenog

opterećenja. Uticaj izvijanja zanemariti. Kvalitet materijala: MB 30, RA 400/500.

Nu = 1.9×1000 + 2.1×500 = 2950 kN

vaBbu AfAN σ×+×=

v

Bbua

fANAσ

×−=

Ab = 202×π = 1256 cm2

40

05.212562950Aa×−

= = 9.35 cm2


.MIN%6.0%96.01256

06.12µ=>==µ

26

6RØ16 40324

4

UØ8/20



Za armiranobetonski element kon-stantnog poprečnog preseka, ar-

miran prema skici desno, opterećen aksijal-no silom pritiska G=1500 kN usled stalnog opterećenja, potrebno je odrediti: a. maksimalnu aksijalnu silu pritiska b. maksimalnu aksijalnu silu zatezanja c. maksimalni moment savijanja Mx i

odgovarajuću transverzalnu silu Ty d. maksimalni moment savijanja My i

odgovarajuću transverzalnu silu Tx koji mogu delovati na ovakav poprečni pre-sek uz zadovoljenje propisanih koeficijenata sigurnosti. Sve tražene uticaje tretirati kao povremeno opterećenje. Prilikom proračuna nosivosti preseka uzeti u obzir svu armaturu (poprečnu i podužnu). Kvalitet materijala: MB 35, RA 400/500.

Kad je u pitanju aksijalno naprezanje, presek je simetričan i simetrično armiran. Naponi i dilatacije u svim tačkama preseka su jednaki, pa je sva armatura u preseku proračunska (ukupno 24RØ16 + 6RØ12).

a. sila pritiska

MPa23f‰2 Bbb ==σ⇒=ε = 2.3 kN/cm2

MPa400‰905.110210

400E

‰2 va3a

vva =σ=σ⇒=

×=

σ=ε>=ε = 40 kN/cm2

Ab = 80×80 – 48×64 = 3328 cm2

Aa = 24×2.01 + 6×1.13 = 55.04 cm2

Nu = Ab×fB + Aa×σv = 3328×2.3 + 55.04×40 = 9856 kN

Kako je čitav presek pritisnut, koeficijenti sigurnosti imaju maksimalne vrednosti od svih ponuđenih za odgovarajuću kombinaciju uticaja (član 80. PBAB 87):

Nu = 1.9×NG + 2.1×NP = 9856 kN ⇒ NP = 1.2

15009.19856 ×− = 3336 kN

b. sila zatezanja

MPa400‰905.110210

400E

‰10 va3a

vva =σ=σ⇒=

×=

σ=ε>=ε = 40 kN/cm2

Zu = Aa×σv = 55.04×40 = 2202 kN

Kako je εa > 3‰, koeficijenti sigurnosti imaju minimalne vrednosti od svih ponuđenih za odgovarajuću kombinaciju uticaja. Istovremeno, sila pritiska od stalnog opterećenja deluje povoljno, jer »rasterećuje« presek a mora biti uključena u svaku kombinaciju uticaja:

Zu = 1.0×NG + 1.8×ZP = 2202 kN ⇒ ZP = 8.1

)1500(0.12202 −×− = 2056 kN

27

84

1 4RØ161 4RØ16

32

4816

80

16

2±3

RØ

12/1

5

3 RUØ8/15

48

44

3 RUØ8/15

1 4RØ161 4RØ16 1 4RØ16

848

4

20 84 8 4204

80

3 RUØ8/15

16 32

xx

y

y

1 4RØ16



c. moment savijanja Mx, sila Ty

Pritisnuta i zategnuta armatura su jednake:

Aa1 = Aa2 = 24.12 cm2 (3×4=12RØ16)

Pritisnuta površina betona je, zavisno od polo-žaja neutralne linije, ili oblika pravougaonika, širine B = 80 cm, ili oblika T preseka.

Ukoliko je presek pravougaoni, uz zanemare-nje Aa2, problem se lako rešava pomoću tabe-la za dimenzionisanje. Ukoliko je presek obli-ka T, traženi moment loma se dobija nakon određivanja položaja neutralne linije (iterati-van postupak, dva pravougaona preseka).

Nije izričito naglašeno da se Aa2 mora uzeti u obzir, pa je njen doprinos zanemaren.

Stalno opterećenje deluje povoljno (ne daje moment savijanja, sila pritiska povećava mo-ment nosivosti) pa je γuG = 1. Sledi:

a1 = 8 cm ⇒ h = 80 – 8 = 72 cm

3.27280

15000.1+4012.24fhBN+A=B

uv1a1 ××

××=

××σ×

µ = 0.186 = 18.607% ⇒ s = 0.238

x = s×h = 0.238×72 = 17.15 cm > 16 cm = dp

Pretpostavka o položaju neutralne linije nije zadovoljena. Obim posla koji predstoji veći je nego što se u prvi mah pretpostavljalo. Preostaju sledeće mogućnosti:

- nosivost pritisnute armature je zanemare-na. Presek je velike širine, što ovu pret-postavku čini opravdanom. Međutim, pre-sek je oblika “T”, pa se položaj neutralne linije traži iterativno. Sigurno je da će se dobiti x > 17.15 cm 1;

- nosivost armature Aa2 se uzima u obzir. Po-ložaj neutralne linije se određuje iz uslova ravnoteže normalnih sila. Postupak je ug-lavnom iterativan, mada se ponekad (εb=3.5‰, σa2=σv), može sprovesti u jed-nom koraku (Primer 24, nosivost POS 1). Sigurno će se dobiti x < 17.15 cm 2;

- specijalan slučaj prethodnog, uz korišćenje odgovarajućeg dijagrama interakcije.

Nosivost preseka koji je potencijalno oblika »T« se najbrže proračunava tako što se u prvom koraku pretpostavi da se neutralna linija nalazi na donjoj ivici ploče. Sračunavaju se

1 Pretpostavljen je presek konstantne širine 80 cm, a stvarni oblik pritisnute zone je »T«, prikazan na skici. Kako bi se kompenzovao »nepostojeći« deo preseka koji je uzet u proračun, veličina x se mora povećati 2 Jedan deo sile pritiska preuzima armatura Aa2, što smanjuje silu pritiska u betonu i veličinu x

1 4RØ161 4RØ16

32

4816

80

16

a 2=8

3 RUØ8/15

2 4RØ162 4RØ16 2 4RØ16

80

16 32

x

y

1 4RØ16

±Mx

Ty

a 1=8

B=80

d p=1

6

d=80

Aa1

a 1=8

h=72

b=16

x



unutrašnje sile i proverava uslov ravnoteže normalnih sila. Ukoliko se pokaže da je x ≤ dp, presek je u proračunskm smislu pravougaoni, a umesto daljih iteracija se može koristiti odgovarajući dijagram interakcije. Proračunski model je prikazan na narednoj skici.

εa1=10‰

εb=2.86‰

Mu=?

z=ζ·

h

Zau

η·x

Nu

εa2

32

48d p

=16

d=80

16

a 2=8

b=16 32a 1

=8

Aa2

B=80

DbuDau

Aa1

x=16

εa2=1.43‰

‰86.210222.01

222.0;‰10259.0222.07216scm16x b1a =×

−=ε=ε⇒<==⇒=

30.28072222.0767.0D767.086.23

286.23bu ××××=⇒=

×−×

=α = 2257 kN

21043.1E‰43.186.216

816xax

a2a2ab2

2a ×=×ε=σ⇒=×−

=ε×−

=ε = 300.0 MPa

3012.24AD 2a2aau ×=σ×= = 723.8 kN

4012.24AZ‰10 v1aauv1a1a ×=σ×=⇒σ=σ⇒=ε = 965.1 kN

07.51515001.9658.7232257NZDDN uauaubu ≠=−−+=−−+=∑

Da bi uslov ravnoteže bio zadovoljen, potrebno je smanjiti unutrašnje sile pritiska, čime je dokazano da se neutralna linija nalazi u ploči.

Za proračun simetrično armiranog pravougaonog preseka (armatura RA 400/500), sa sra-čunatim odnosom a/d, mogu se koristiti dijagram 115 (NAJ) ili 2.4.10 (PBAB 87, Tom 2):

a/d = 8/80 = 0.1 ⇒ 097.0m13.0

3.240

808012.2412.24

102.03.28080

1500n

u

u

≈⇒

=××+

=µ

=××

=

kNm1142.3103.28080097.0M 22u =××××= − 3 ⇒ Mx,P =

8.13.1142 = 634.6 kNm

3 Analitički dobijeno rešenje je: εb/εa1 = 2.47/10‰, x = 14.3 cm < dp = 16 cm, Mu = 1144.4 kNm.



0.102

0.097

0.13

0.255

0.181 0.22

Pomoću dijagrama interakcije se može utvrditi i stanje dilatacija u preseku. U ovom slučaju uočena tačka se nalazi u oblasti između dilatacija 3.5/10‰ i 0/10‰ (kosa linija koja polazi iz koordinatnog početka). Kako je εa1 ≥ 3‰, vrednosti koeficijenata sigurnosti su dobro pretpostavljene. Međutim, za pouzdanu procenu položaja neutralne linije nema dovoljno elemenata. Stoga je bio neophodan prvi korak, odnosno analitički dokaz da se neutralna linija nalazi u ploči.

Princip osiguranja uzengijama je da nosivost uzengija, iz-ražena naponom τu,u bude najmanje jednaka redukovanom smičućem naponu τRu. Kako su razmak, prečnik, sečnost i kvalitet uzengija poznati, ovaj napon se lako sračunava.

Veza između napona τn i τRu je:

( )rnRurnr 233 τ−τ=τ⇒τ≤τ<τ ;

nRurnr 53 τ=τ⇒τ≤τ<τ

Konačno, kad se sračuna napon τn, određuje se sila Tu, odnosno tražena sila Tp:

8.1

TTzbTzb

T upnu

un =⇒××τ=⇒

×=τ

Za slučaj dejstva sile Ty, merodavan je presek 1-1 na skici (presek sa minimalnom širinom, odnosno količinom armature od neutralne linije do težišta zategnute armature, povučen upravno na pravac dejstva sile). Sledi:

80

3 RUØ8/15

b=16

Ty

1 1

a 1=8

h=72

Aa1



Ru2u,u cmkN168.040

1516503.02

τ==××

×=τ

2nrRu cmkN232.012.0168.0

323 =+×=τ⇒τ<τ

Tu = 0.232×16×0.9×72 = 240.2 kN

Ty,P =8.1

2.240 = 133.5 kN

d. moment savijanja My, sila Tx

Presek na skici dole levo se proračunava kao pravougaoni, širine 2×16=32 cm. Ponovo se zanemaruje nosivost pritisnute armature.

±My

Tx

14R

Ø16

48

80

16

3 RUØ8/15

4 8 4

328

420

80

3 RUØ8/15

16

x

y

14R

Ø16

2 2

484

16

±My

b=80

B2=16

d p=3

232

d=8016

Aa1

a 1=8

h=72

B2=16

x=35

.12

x

Aa1 = 16.08 cm2 (2×4=8RØ16) ; a1 = 8 cm ⇒ h = 80 – 8 = 72 cm

3.27216215000.1+4008.16=1 ×××

××µ = 0.404 = 40.448% ⇒ s = 0.488

Rutinska kontrola položaja neutralne linije dovodi do iznenađujućeg zaključka:

x = s×h = 0.488×72 = 35.12 cm > 32 cm

Presek nije pravougaoni (prethodna skica, desno)! To doduše nije nikakav nedostak za presek, već samo znači komplikovaniji proračun.

Presek čija pritisnuta zona ima dve širine se proračunava kao »T« presek, pri čemu se, posmatrajući od pritisnute ka zategnutoj ivici, prva širina označava sa B (B = 32 cm), a druga sa b (b = 80 cm), bez obzira na njihov međusobni odnos.

Za »T« preseke je postupak proračuna momenta loma iterativan, bez obzira da li se raču-na ili zanemaruje nosivost pritisnute armature. Ovo se može izbeći jedino ako se pokaže da je presek, uzimajući u obzir nosivost pritisnute armature, pravougaoni (x ≤ dp=32 cm), nakon čega bi se primenio odgovarajući dijagram interakcije, kao u prethodnom primeru.

‰375.45.3444.0

444.01;‰5.3259.0444.07232scm32x 1ab =×

−=ε=ε⇒>==⇒=



810.05.33

25.33=

×−×

=α

Dbu = 0.81×0.444×72×32 = 1907 kN

v2av2a ‰63.25.332

832σ=σ⇒ε>=×

−=ε

Dau = 16.08×40 = 643 kN

v1av1a ‰375.4 σ=σ⇒ε>=ε

Zau = 16.08×40 = 643 kN

uauaubu NZDDN −−+=∑

040715006436431907N ≠=−−+=∑

Da bi uslov ravnoteže bio zadovoljen, pot-rebno je smanjiti unutrašnje sile pritiska, čime je dokazano da je x < 32 cm, odnosno da je presek pravougaoni. Za dalji proračun koristi se dijagram interakcije, kao u prethodnom primeru. Sledi:

a/d = 8/80 = 0.1 ⇒ 181.0m219.0

3.240

8016208.1608.16

255.03.280162

1500n

u

u

≈⇒

=×××

+=µ

=×××

=

U ovom slučaju uočena tačka se nalazi u oblasti između dilatacija 3.5/10‰ i 3.5/3‰, mnogo bliže liniji koja označava simultani lom, što je ipak nedovoljno za pouzdanu procenu položaja neutralne linije. Kako je εa1 ≥ 3‰, vrednosti koeficijenata sigurnosti su dobro pretpostavljene.

kNm3.857103.280162181.0M 22u =×××××= − 4 ⇒ My,P =

8.13.857 = 476.3 kNm

Za slučaj dejstva sile Tx, merodavan je presek 2-2 na skici (presek sa minimalnom širinom, odnosno količinom armature od neutralne linije do težišta zategnute armature, povučen upravno na pravac dejstva sile). Širina rebra preseka je 2×16=32 cm, a uzengije su četvo-rosečne, pa sledi:

Ru2u,u cmkN168.040

15162503.04

τ==×××

×=τ

2nrRu cmkN232.012.0168.0

323 =+×=τ⇒τ<τ

Tu = 0.232×2×16×0.9×72 = 480.4 kN

Tx,P =8.1

4.480 = 267.0 kN

4 Analitički dobijeno rešenje je: εb/εa1 = 3.5/6.51‰, x = 25.2 cm < dp = 32 cm, Mu = 854.7 kNm

±My

Tx

84

14R

Ø16

24R

Ø16

48 16

80

16

3 RUØ8/15

4 8 448 4

208

420

80

3 RUØ8/15

16

x

y

24R

Ø16

14R

Ø16

2 2

a 1=8

a 2=8




Mg = 100 kNm ; Ng = 200 kN (stalno opterećenje) Mp = 50 kNm ; Np = 400 kN (vertikalno povremeno opterećenje) Mw = ±200 kNm ; Nw = 0 (vetar, alternativno dejstvo) Vertikalno povremeno opterećenje i vetar mogu, ali i ne moraju delovati istovremeno. Kva-litet materijala: MB 35, RA 400/500. Za usvojeni raspored armature, sračunati napone u betonu i armaturi samo usled stalnog opterećenja (trenutak t=0)

Zategnuta “leva” ivica preseka

Kombinacija u kojoj je samo stalno opterećenje na konstrukciji sigurno nije merodavna, pa neće biti razmatrana. Uvek se može dodati uticaj vetra koji zateže istu ivicu preseka (ozna-čimo ga npr. sa Wlevo), što daje veću površinu armature.

MB 35 ⇒ fB = 23 MPa = 2.3 kN/cm2

pretp. a1 = 7 cm ⇒ b/d/h = 30/60/53 cm

kNm6.59307.026.0320520M

kN3202006.1NkNm5202008.11006.1M

auu

u =

−×+=⇒

=×==×+×=

%076.38;‰941.3/5.3/807.1

3.230106.593

53k ab2=µ=εε⇒=

××

=

2a cm81.26

40320

4030.2

1005330076.38A =−×

××=

S druge strane, povremeno opterećenje se može, a ne mora uzeti u obzir. Moment Mp deluje u istom smeru kao i Mg, tako da se ukupan moment savijanja povećava u odnosu na prethodnu kombinaciju. Međutim, istovremeno se povećava i sila pritiska. Kako nije moguće sa sigurnošću proceniti šta više utiče na Aa,potr. (smanjenje usled sile pritiska ili povećanje usled momenta savijanja), potrebno je proveriti i ovu kombinaciju:

kNm2.84923.01040610MkN10404008.12006.1N

kNm6102508.11006.1Mau

u

u =×+=⇒

=×+×==×+×=

0A‰0.3511.1

3.230102.849

53k 2aa2>⇒<ε⇒=

××

=

%590.43*;719.1*k‰3.usv a =µ=⇒=ε

kNm6.65530.230.0719.153M

2

abu =××

= ⇒ ∆Mau = 849.2 – 655.6 = 193.6 kNm

pretp. a2 = 5 cm ⇒ ( ) 40553106.193A

2

2a ×−×

= = 10.08 cm2

21a cm81.2693.2308.10

401040

4030.2

1005330590.43A <=+−×

××=

28



Zategnuta “desna” ivica preseka

Kako je Mw veći od Mg, može se dogoditi da je desna strana stuba zategnuta. Stalno opte-rećenje se mora uzeti u obzir. Kako smanjuje moment savijanja, tretira se kao povoljno dejstvo i uzima u obzir sa odgovarajućim koeficijentom sigurnosti 1.0. Kombinacija koja bi uključivala i povremeno opterećenje se ne razmatra. Naime, i smanjenje momenta savi-janja i povećanje sile pritiska smanjuje armaturu Aa1.

pretp. a1 = 5 cm ⇒ h = 60 – 5 = 55 cm

kNm31005.026.0200260M

kN2002000.1NkNm2602008.1)100(0.1M

auu

u =

−×+=⇒

=×==×+−×=

=µ=εε

⇒=

××

=%239.16

‰10/735.2/595.2

3.23010310

55k ab

2

21a cm08.1041.10

40200

403.2

1005530239.16A >=−×

××=

usvojeno: 6RØ25 (29.45 cm2) – “levo”

4RØ19 (11.34 cm2) – “desno”

6

1025.44a1×+×

= = 6.33 cm

h = 60 – 6.33 cm = 53.67 cm

a2 = 4.5 cm ⇒ 67.535.4

ha2

2 ==α = 0.084

PRORAČUN NAPONA USLED STALNOG OPTEREĆENJA

67.5330

45.291 ×

=µ = 0.0183 = 1.83% ; 67.5330

34.112 ×

=µ = 0.0070 = 0.70%

Kod pravougaonog preseka sa prslinom, opterećenog na pravo složeno savijanje, položaj neutralne linije se određuje rešavanjem jednačine trećeg stepena, oblika:

0h

eh

en6sh

eh

en6s1h

e3s 222a

11a

22a

11a21a3 =

αµ+µ−×

µ+µ+×

−+

200100

NMe

kN200NNkNm100MM

g

g ==⇒

====

= 0.50 m = 50 cm

33.62

6050yee 1a1a −+=+= = 73.67 cm

5.42

6050yee 2a2a +−=−= = 24.5 cm

MB 35 ⇒ Eb = 33 GPa ⇒ 33

210n = = 6.36

30

4.5

4.5

5.5

4.5

4.5

4RØ25

2RØ25

4RØ19

URØ8/20

21

20

60

25.5

2RØ12

"levo"

"desno"



−×=

−= 1

67.5367.7331

he3A 1a = 1.118

21070.067.535.2483.1

67.5367.7336.66B −×

×+×××= = 1.0816

210084.070.067.535.2483.1

67.5367.7336.66C −×

××+×××−=

C = -0.969

s3 + 1.118×s2 + 1.0816×s – 0.969 = 0 ⇒ s = 0.508

−×=

−×=

3508.01

2508.0

3s1

2sJ

22

IIb = 0.107

67.73200eNa2dNMM 1a1a ×=×=

−×+= = 14733 kNcm = 147.33 kNm

( ) ( ) 222b cmkN7.0

084.01084.0508.0107.036.6107.0508.0

67.533014733

=−×−×××+

××

=σ −

‰211.010330.7MPa0.7 3bb =

×=ε⇒=σ

MPa8.42508.0

508.010.736.61a =−

××=σ ⇒ ‰204.0102108.42

31a =×

=ε

MPa9.36508.0

084.0508.00.736.62a =−

××=σ ⇒ ‰176.0102109.36

32a =×

=ε

Gredu datog poprečnog preseka, opterećenu koncentrisanim silama usled stalnog odnosno povremenog opterećenja prema skici dole, potrebno je:

50

25

65

15

A B DC

2 m

60

HG=120 kN

P=300 kN VG=160 kN

3 m3 m

- odrediti potrebnu površinu armature u karakterističnim presecima - izvršiti osiguranje od glavnih napona zatezanja na delu C-D - izvršiti osiguranje od glavnih napona zatezanja na delu B-C, zadržavajući prečnik i

rastojanje uzengija kao na delu C-D, uz dodavanje odgovarajuće površine koso povijenih profila. Odrediti tačna mesta povijanja kosih profila.

Kvalitet materijala: MB 35, RA 400/500. Računati samo sa zadatim opterećenjima.

29

-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7



Dijagrami presečnih sila

Mg320

450

+120

160

53.3

150

150

0

0

0

Ng

Tg

Mp

Np

Tp

160

Dimenzionisanje – presek u polju

pretp. a1 = 7.5 cm ⇒ h = 65 - 7.5 = 57.5 cm

kNm680075.0265.0120650M

kN1201200.1NkNm6504508.1)160(0.1M

auu

u =

−×+=⇒

=×==×+−×=

Pretpostavlja se da je neutralna linija u ploči, pa se presek dimenzioniše kao pravougaoni, širine B = 60 cm:

590.2

3.26010680

5.57k2

=

××

= ⇒ εb/εa = 2.774/10‰ ; µ = 16.301% ; s = 0.215

x = s×h = 0.215×57.5 = 12.4 cm < dp = 15 cm

Pretpostavka o položaju neutralne linije je dobra, pa sledi:

40

12040

3.2100

5.5760301.16A .a −××

×= = 29.34 cm2


Dimenzionisanje – presek nad osloncem

pretp. a1 = 6.5 cm ⇒ h = 65 - 6.5 = 58.5 cm

kNm9.561065.0265.0192512M

kN1921206.1NkNm5123206.1M

auu

u =

−×+=⇒

=×==×=

871.1

3.225109.561

5.58k2

=

××

= ⇒ εb/εa = 3.5/4.65‰ ; µ = 34.767%

40

19240

3.2100

5.5825767.34A .a −××

×= = 24.44 cm2




Dimenzionisanje prema glavnim naponima zatezanja – deo C-D

z = 0.9×57.5 = 51.8 cm = const.

kN2561606.1T DCu =×=−

2r2DC

n cmkN12.0

cmkN198.0

8.5125256

=τ>=×

=τ −

Kako je na čitavom delu C-D prekoračen napon τr, duži-na osiguranja je λ = 2.0 m.

( ) 2DC

Ru cmkN117.012.0198.0

23

=−×=τ −

usvojeno: m = 2 , θ = 45º , α = 90º (vertikalne uzengije):

( ) )1(u

)1(u

u a4.2745cot90sin90cos40117.025

a2e ×=°×°+°××××

=

pretp. URØ10 (au(1)=0.785 cm2) ⇒ eu = 27.4×0.785 = 21.5 cm


( ) ( )01402

256cotcot2TA

v

mua −×

×=α−θ×

σ=∆ = 3.20 cm2


Dimenzionisanje prema glavnim naponima zatezanja - deo B-C

kN3.3551508.13.536.1T CBu =×+×=−

2r2CB

n cmkN12.0

cmkN275.0

8.51253.355

=τ>=×

=τ −


( ) 2CB

Ru cmkN232.012.0275.0

23

=−×=τ −

2u,u cmkN126.040

2025785.02

=××

×=τ

( ) 30025126.0232.0H k,vu ××−= = 797.4 kN

usvojeno: θ = 45° ; αk = 45°: 240

4.797A k,a×

= = 14.10 cm2


S obzirom na oblik dijagrama τRu–τu,u (deo dijagrama napona smicanja šrafiran ukrštenom šrafurom), određivanje mesta povijanja ne bi bilo sprovedeno konstrukcijom integralne krive (u ovom slučaju prava linija), jer je predmetni dijagram lako podeliti na potreban broj jednakih delova i bez te konstrukcije. Šipke treba poviti na 0.5 m, 1.5 m i 2.5 m mereno od sredine prema osloncu C.

λ = 2.00

τC-DRu =1.17

τC-Dn =1.68

C D

λ = 3.00

τB-CRu =2.32

τB-Cn =2.75

B C

τu,u=1.26



Dimenzionisati armiranobetonski element opterećen sledećim aksijalnim silama: G = 1000 kN (pritisak, stalno opterećenje)

P = -800 kN (zatezanje, vertikalno povremeno opterećenje) ∆ = ±250 kN (alternativno dejstvo, dopunsko opterećenje) Povremeno i dopunsko opterećenje mogu, ali i ne moraju delovati istovremeno. Kvalitet materijala: MB 30, RA 400/500.

Očigledno je da element može biti i pritisnut (spoljašnju silu prihvataju i beton i armatura), ali i zategnut (ukupnu silu zatezanja preuzima armatura).

Kada dimenzije poprečnog preseka nisu poznate, proračun pritisnutih preseka počinje us-vajanjem procenta armiranja. Uglavnom se usvaja minimalna vrednost (µ=0.6%) i iz uslo-va ravnoteže normalnih sila sračuna jedina nepoznata, potrebna površina betona. Kod centrično zategnutih elemenata se iz uslova ravnoteže normalnih sila sračunava jedina nepoznata, potrebna površina armature, nakon čega se presek podesno oblikuje.

Kako u ovom slučaju usvojena armatura mora da zadovolji i računski potrebnu za slučaj dejstva sile zatezanja, kao i minimalnu za slučaj dejstva sile pritiska, presek se najpre dimenzioniše prema sili zatezanja.

Ukoliko se u račun uzmu samo stalno i povremeno opterećenje, vrednosti koeficijenata si-gurnosti su veće nego ako se uzmu u obzir sva opterećenja (član 80 PBAB 87). U slučaju centričnog zatezanja je εa = 10‰ > 3‰, pa zavisno od broja opterećenja, sledi:

Zu1 = 1.6×G + 1.8×P

Zu2 = 1.3×G + 1.5×P + 1.3×∆

U ovom slučaju sila G je pritisak. Silu pritiska ne bi trebalo uzeti u obzir kada se traži maksimalno moguće zatezanje, ali u pitanju je stalno opterećenje, koje se mora uzeti u obzir u svakoj kombinaciji. Ovo je primer “povoljnog dejstva stalnog opterećenja”, jer što je sila G veća, ukupna sila zatezanja je manja. Sila G se u prethodne izraze unosi sa negativnim znakom, a parcijalni koeficijent sigurnosti u oba slučaja ima vrednost γuG=1.0:

kN525Z5252503.18005.1)1000(0.1Z

4408008.1)1000(0.1Zu

2u

1u =⇒

=×+×+−×==×+−×=

RA 400/500 ⇒ σv = 400 MPa = 40 kN/cm2

40

525ZAv

ua =

σ= = 13.13 cm2

Usvajanje armature i oblikovanje preseka nije smisleno pre nego što se presek ne dimenzioniše i prema merodavnoj sili pritiska. U slučaju centričnog pritiska je εa = -2‰, pa zavisno od broja opterećenja u kombinaciji, sledi:

Nu1 = 1.9×G+2.1×P

Nu2 = 1.5×G + 1.8×P + 1.5×∆

Kako je sila usled povremenog opterećenja sila zatezanja, neće biti uzeta u obzir, pa sledi:

kN1900N18752505.110005.1N

190010009.1Nu

2u

1u =⇒

=×+×==×=

Uslov ravnoteže normalnih sila može se napisati u obliku:

30



Nu = Ab×σb + Aa×σa = Ab×fB + Aa×σv

gde je jedina nepoznata potrebna površina betona. U prethodni izraz ispravno je uvrstiti stvarnu površinu armature, ali kako armatura još uvek nije usvojena, koristiće se računski potrebna vrednost, čime je proračun na strani sigurnosti:

05.2

4013.131900Ab×−

= = 671 cm2

Preostaje provera da li je zadovoljen procenat armiranja za pritisnut element:

MIN%6.0%95.1671

13.13µ=>==µ

usvojeno: b/d = 35/20 cm

8RØ16 (16.08 cm2)

Pošto element može biti i pritisnut, potrebno je propisati i maksimalni razmak uzengija:

=

=×==

cm30cm20)d,bmin(

cm241615Ø15.mine .,maxu = 20 cm ⇒ usv. UØ8/20

Kontinualna greda preko tri oslonca, raspona 2×6.0 m, pravougaonog poprečnog preseka b/d = 40/60 cm, opterećena je jednako raspodeljenim stalnim optereće-

njem g=30 kN/m (uključena i sopstvena težina nosača, deluje na oba raspona) i povreme-nim opterećenjem p=60 kN/m (deluje u proizvoljnom položaju na nosaču). Potrebno je: - odrediti potrebnu površinu armature u karakterističnim presecima prema merodavnim

momentima savijanja. Obezbediti da u svim poprečnim presecima dilatacija zategnu-te armature bude barem 7‰ (dimenzije preseka ne menjati);

- izvršiti osiguranje od glavnih napona zatezanja na svim delovima nosača gde je to potrebno (u slučaju primene koso povijenih profila, mesta povijanja odrediti konstruk-cijom integralne krive);

- za usvojeni raspored armature nad osloncem sračunati napone u betonu i armaturi, srednje rastojanje i karakterističnu širinu prslina (t=0);

- usvajajući geometrijske karakteristike i armatu-ru preseka u polju, sračunati maksimalni ugib nosača usled stalnog opterećenja, vodeći računa o uticaju tečenja betona (ϕ∞=2.5);

- ukoliko je presek sa maksimalnim momentom savijanja u polju armiran kao na skici desno, sračunati koliko je povremeno opterećenje p1 moguće naneti na nosač (u kombinaciji sa za-datim stalnim opterećenjem g) uz zadovoljenje propisanih koeficijenata sigurnosti. Smatrati da se i ovo opterećenje može naći u bilo kom po-ložaju na nosaču. U obzir uzeti i nosivost pritis-nute armature u preseku. Kvalitet materijala: MB 30, RA 400/500.

31

35

4.5

4.5

114.

5

4.5

4RØ16

4RØ16

UØ8/20

26

20

40

25.5

60

4.5

4.5

5.5

4.5

4.5

4RØ22

2RØ22

UØ10/20

10

2RØ12

20

11 10

2RØ22



Dijagrami presečnih sila

Reakcije oslonaca, dijagrami momenata savijanja i transverzalnih sila na kontinualnom nosaču preko dva jednaka raspona, usled jednako raspodeljenog opterećenja na jednom, odnosno oba raspona, prikazani su na narednoj skici.

9128 p·L2 9

128 p·L2

18 p·L2

38 p·L

58 p·L

58 p·L

38 p·L

716 p·L

916 p·L

116 p·L 1

16 p·L

116 p·L2

49512 p·L2

38 L

L0 = 34 LL0 = 78 L

716 L

M1

T1

p

A1 = 716 p·LL

B1 = 58 p·L C1 = 116 p·L

L

p

A2 = 38 p·LL

B2 = 54 p·L C2 = 38 p·LL

M2

T2


MB 30 ⇒ fB = 20.5 MPa = 2.05 kN/cm2 ; τr = 1.1 MPa = 0.11 kN/cm2

Presek nad osloncem

Maksimalni moment se dobija kada povremeno opterećenje deluje na čitavom nosaču:

qu = 1.6×g + 1.8×p = 1.6×30 + 1.8×60 = 156 kN/m

8

0.61568

LqM22

umax,u

×=

×= = 702 kNm

pretp. a1 = 7 cm ⇒ b/d/h = 40/60/53 cm

‰0.7811.1

05.24010702

53k a2<ε⇒=

××

=

Dilatacija εa1 se načelno može zadržati na zahtevanom nivou ili povećanjem dimenzije preseka (što u konkretnom primeru nije dopušteno, “dimenzije preseka ne menjati”), ili primeniti dvostruko armiranje, zadržavajući dilataciju na traženom nivou:

%984.26*;074.2*k‰7.usv a =µ=⇒=ε

kNm4.53505.240.0074.253M

2

abu =××

= ⇒ ∆Mau = 702 – 535.4 = 166.6 kNm

pretp. a2 = 5 cm ⇒ ( ) 40553106.166A

2

2a ×−×

= = 8.59 cm2



τ[MPa]

τRu=2.95

τr=1.1

λ = 2.405

τn=3.07

L0T = 3.75

λ1 = 1.124

(m=4)

τ u,u

=1.5

7 M(m=2)

21a cm91.3759.8

4005.2

1005340984.26A =+×

××=

usvojeno Aa1: 10RØ22 (38.00 cm2) – gornja zona

usvojeno Aa2: 3RØ22 (11.40 cm2) – donja zona

Presek u polju

Maksimalni moment se dobija kada povremeno opterećenje deluje samo u jednom polju. Maksimalne vrednosti momenata Mg i Mp nije potrebno sračunati, jer se ne javljaju u istom preseku. Potrebno je naći presek sa maksimalnim graničnim momentom Mu, a to je presek u kome je odgovarajuća transverzalna sila Tu=0:

kN5.1570.660167A;kN5.670.630

83A 1pg =××==××=

Au = 1.6×67.5 + 1.8×157.5 = 391.5 kN

qu = 1.6×30 + 1.8×60 = 156 kN/m

x = Au / qu = 391.5 / 156 = 2.51 m

kNm3.4912

51.215651.25.391M2

max,u =×

−×=

=µ=εε

⇒=

××

=%366.24

‰128.8/5.3/165.2

05.240103.491

53k 1ab

2

21a cm47.26

4005.2

1005340366.24A =×

××=

usvojeno: 7RØ22 (26.61 cm2) – donja zona


Presek kod srednjeg oslonca

Maksimalna sila Tu se dobija kada se povremeno opterećenje nalazi na oba raspona:

Tg = 5/8×30×6.0 = 112.5 kN

Tp = 5/8×60×6.0 = 225 kN

Tu = 1.6×112.5 + 1.8×225 = 585 kN

τ<τ>

=××

=τr

r2n 3cm

kN307.0539.040

585

L0T = Tu / qu = 585 / 156 = 3.75 m

−×=λ

307.011.0175.3 = 2.405 m

( ) 2Ru cmkN295.011.0307.0

23

=−×=τ

491.3

2.51

391.5

qu = 156 kN/m

Tu

Mu

x



τ[MPa]τRu=1.43

τr=1.1

λ = 1.164

τn=2.05

L0T = 2.51

Usvojeno: m = 2 ; θ = 45º ; α = 90º

( ) )1(u

)1(u

u a78.645cot90sin90cos40295.040

a2e ×=°×°+°××××

≤

pretp. RØ10 (au(1) = 0.785 cm2) ⇒ eu ≤ 6.78×0.785 = 5.33 cm

Ako se usvoje četvorosečne uzengije, potrebno rastojanje je dvaput veće, eu ≤ 10.66 cm.


Korektno je sračunati dužinu λ1 na kojoj su potrebne četvorosečne uzengije (od tačke M do oslonca). Napon koji mogu prihvatiti dvosečne uzengije je:

2u,u cmkN157.040

1040785.02

=××

×=τ ⇒

−×=λ

295.0157.01405.21 = 1.124 m

Na ostalom delu dužine osiguranja usvojene su dvosečne uzengije URØ10/10. Kao alternativa, umesto unutrašnje uzengije mogu se postaviti koso povijeni profili.

0Aa =∆ (»špic« momenta)

Presek kod krajnjeg oslonca

Maksimalna sila Tu u ovom preseku se dobija kada povremeno opterećenje deluje samo u razmatranom polju - ista kombinacija daje i maksimalni moment savijanja u polju, pa je maksimalna transverzalna sila već sračunata:

Tu = 1.6×67.5 + 1.8×157.5 = 391.5 kN

τ<=τ>

=××

=τr

r2n 3

MPa1.1cmkN205.0

539.0405.391

L0T = 391.5 / 156 = 2.51 m

−×=λ

205.011.0151.2 = 1.164 m

( ) 2Ru cmkN143.011.0205.0

23

=−×=τ

Usvojeno: m = 2 ; θ = 45º ; α = 90º

( ) )1(u

)1(u

u a01.1445cot90sin90cos40143.040

a2e ×=°×°+°××××

≤

pretp. RØ10 (au(1) = 0.785 cm2) ⇒ eu ≤ 14.01×0.785 = 11.0 cm


( ) ( )014025.391cotcot

2TA

v

mua −×

×=α−θ×

σ=∆ = 4.89 cm2

usvojeno: 3RØ22 (11.40 cm2) 1

1 Minimalno trećina armature iz polja (usvojeno 7RØ22)



40

25.5

60

4.5

4.5

5.5

4.5

4.55RØ22

2RØ22

URØ10/20

31

2RØ1220

2RØ22

40

25.5

4.5

4.5

5.5

4.5

4.54RØ22

URØ10/10

2RØ1220

5RØ22

5RØ22

URØ10/10

polje oslonac

31

60

PRORAČUN NAPONA – PRESEK NAD OSLONCEM

MB 30 ⇒ Eb = 31.5 GPa ⇒ 5.31

210EEn

b

a == = 6.67

10

1055.45a1×+×

= = 7.25 cm ⇒ h = 60 – 7.25 = 52.75 cm

a2 = 4.5 cm ⇒ 75.525.4

ha2 = = 0.085

Aa1 = 10RØ22 ⇒ 75.5240

00.381 ×

=µ = 0.0180 = 1.80%

Aa2 = 4RØ22 ⇒ 75.5240

60.72 ×

=µ = 0.0072 = 0.72%

s2 + 2×6.67×(1.80+0.72)×10-2×s - 2×6.67×(1.80+0.72×0.085)×10-2 = 0

s2 + 0.336×s - 0.248 = 0 ⇒ s = 0.358

−×

3358.01

2358.0=J

2

IIb = 0.056

( )8

0.66030MMM2

pga×+

=+= = 405 kNm

( ) ( ) 22

2

b cmkN90.1

085.01085.0358.00072.067.6056.0358.0

75.524010405

=−×−××+

××

×=σ

‰605.0105.310.19

EMPa0.19 3

b

bbb =

×=

σ=ε⇒=σ

358.0

358.010.1967.61a−

××=σ = 227.8 MPa ⇒ 31a 102108.227

×=ε = 1.085‰

358.0

085.0358.00.1967.62a−

××=σ = 96.7 MPa ⇒ 32a 102107.96

×=ε = 0.460‰



PRORAČUN RAZMAKA I ŠIRINE PRSLINA – PRESEK NAD OSLONCEM

MB 30 ⇒ fbzm = 2.4 MPa ⇒ 24bzs cmkN177.0

6.04.06.024.07.0f =

+××=

66040W

2

1b×

= = 24000 cm3 ⇒ Mr = 0.177×24000×10-2 = 42.50 kNm < M = 405 kNm

a0 = aI - Ø/2 = 4.5 - 2.2/2 = 3.4 cm

Ø = 22 mm = 2.2 cm eØ = 31.0/4 = 7.75 cm

k1 = 0.4 (RA 400/500) k2 = 0.125 (čisto savijanje)

===×+

≤cm302/602/dcm5.262.25.710

h ef.bz, = 26.5 cm ⇒ 5.2640

38.00ef.z1, ×

=µ = 0.0359 = 3.59%

0359.02.2125.04.0

1075.74.32lps ××+

+×= = 11.4 cm

2

a2

1

4055.420.10.11

)0t(0.1)500/400RA(0.1

××−=ζ⇒

==β=β

= 0.989

apk = 1.7×0.989×1.085×10-3×11.4 = 21×10-3 cm = 0.21 mm

PRORAČUN UGIBA

12

6040J3

b×

= = 720000 cm4 ; 66040W

2

b×

= = 24000 cm3

Usvaja se za elastično rešenje ugib preseka u sredini raspona, mada je maksimalni ugib nosača cca. 4% veći (Prilog 5.1, tabela 3.6, str. 497, Tom 2 PBAB 87):

86

4

b 10720000105.310.630

3842v −×××

××= = 0.89×10-3 m = 0.89 mm

Kod grednih nosača se kao reprezentativni usvaja presek u polju.

7

1025.45a1×+×

= = 6.07 cm ⇒ h = 60 – 6.07 = 53.93 cm

Aa1 = 26.61 cm2 (7RØ22)

Aa2 = 7.60 cm2 (2RØ22) ⇒ Aa2/Aa1 = 0.286 ≈ 0.3

Koeficijenti za proračun krivine elementa pravougaonog preseka izloženog složenom savijanju su grafički očitavani (PBAB 87, Tom 2, Prilog 3.4).

0822.097.534061.2667.6

hbAn;075.0

605.4

da;1.0

6007.6

da 1a2

21

1 =××

=×

×===α≈==α

Ugib u trenutku t=0

Iak = 0.85 (dijagram 3.4.2) ⇒ v0

I = 0.85×0.89 = 0.76 mm

IIak = 2.25 (dijagram 3.4.6) ⇒ v0

II = 2.25×0.89 = 2.01 mm



2g 0.630

1289M ××≈ = 75.9 kNm

24bzs cmkN253.0

6.04.06.024.0f =

+×= ⇒ Mr = 0.253×24000×10-2 = 60.7 kNm < Mg

9.757.600.10.11

)0t(0.1)500/400RA(0.1

g,02

1 ××−=ζ⇒

==β=β

= 0.200

vg,0 = (1 – ζ) × v0I + ζ × v0

II = (1 – 0.200)×0.76 + 0.200×2.01 = 1.01 mm


χ∞ = 0.8 ; ϕ∞ = 2.5 ⇒ χ∞ × ϕ∞ = 0.8×2.5 = 2

Ikϕ = 0.67 (dijagram 3.4.14) ⇒ v∞I = (1+0.67×2.5)×0.76 = 2.03 mm

Interpolacijom vrednosti očitanih sa dijagrama 3.4.25 i 3.4.26 sledi:

( ) 165.016.017.005.01.0

05.0075.016.0k17.0k10.016.0k05.0 II

II2

II2 =−×

−−

+=⇒

=⇒=α=⇒=α

ϕϕ

ϕ

IIkϕ = 0.148 (dijagrami 3.4.25, 26) ⇒ v∞II = (1+0.165×2.5)×2.01 = 2.84 mm

9.757.605.00.11

)t(5.0)500/400RA(0.1

g,2

1 ××−=ζ⇒

∞→=β=β

∞ = 0.600

vg∞ = (1 – ζ) × v∞I + ζ × v∞

II = (1 – 0.600)×2.03 + 0.600×2.84 = 2.51 mm


Mg = 100 kNm ; Ng = 200 kN (stalno opterećenje) Mp = 50 kNm ; Np = 400 kN (vertikalno povremeno opterećenje) M∆ = ±200 kNm ; N∆ = 0 (dopunsko opterećenje, alternativno dejstvo) Povremeno i dopunsko opterećenje mogu, ali i ne moraju delovati istovremeno. Kvalitet materijala: MB 30, RA 400/500.

Sva neophodna objašnjenja data su u Primeru 28. Bitna razlika je što je alternativno dejs-tvo u ovom slučaju dopunsko opterećenje, o čemu treba povesti računa kod određivanja vrednosti parcijalnih koeficijenata sigurnosti (član 80. PBAB 87).

Zategnuta “leva” ivica preseka, G+∆

MB 30 ⇒ fB = 20.5 MPa = 2.05 kN/cm2

pretp. a1 = 7.5 cm ⇒ b/d/h = 25/60/52.5 cm

kNm5.448075.026.0260390M

kN2602003.1NkNm3902003.11003.1M

auu

u =

−×+=⇒

=×==×+×=

32



%952.39;‰592.3/5.3/775.1

05.225101.451

5.52k ab2=µ=εε⇒=

××

=

2a cm37.20

40260

4005.2

1005.5225952.39A =−×

××=

Zategnuta “leva” ivica preseka, G+P+∆

kN8604005.12003.1NkNm4652003.1505.11003.1M

u

u

=×+×==×+×+×=

kNm5.658075.026.0860465Mau =

−×+=

0A‰0.3465.1

05.225105.658

5.52k 2aa2>⇒<ε⇒=

××

=

%590.43*;719.1*k‰3.usv a =µ=⇒=ε

kNm8.47705.225.0719.1

5.52M2

abu =××

= ⇒ ∆Mau = 658.5 – 477.8 = 180.7 kNm

pretp. a2 = 5 cm ⇒ ( ) 4055.52107.180A

2

2a ×−×

= = 9.51 cm2

21a cm37.2033.1751.9

40860

4005.2

1005.5225590.43A <=+−×

××=

Zategnuta “desna” ivica preseka, G-∆

pretp. a1 = 5 cm ⇒ h = 60 – 5 = 55 cm

kN2002000.1NkNm1602003.1)100(0.1M

u

u

=×==×+−×=

kNm21005.026.0200160Mau =

−×+=

=µ=εε

⇒=

××

=%697.14

‰10/504.2/717.2

05.22510210

55k ab

2

21a cm51.936.5

40200

4005.2

1005525697.14A <=−×

××=

usvojeno: 6RØ22 (22.80 cm2) – “levo”

3RØ22 (11.40 cm2) – “desno” 25

4.5

4.5

5.5

4.5

4.5

3RØ22

3RØ22

3RØ22

URØ8/20

16

20

60

25.5

2RØ12

"levo"

"desno"

Documents

Teorija Betonskih Konstrukcija