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  1 Le travi: flessione e taglio Le travi sono elementi monodimensionali ossia con una dimensione prevalente rispetto alle altre due e soggetti prevalentemente a forze applicate in direzione perpendicolare al loro asse. Le azioni interne che si sviluppano nelle travi sono quindi prevalentemente momento flettente e taglio che generano, rispettivamente, tensioni normali e tensioni tangenziali. Come appare chiaramente nell’esempio riportato in figura mentre il taglio dipende solo dal valore della forza, il momento flettente dipende anche dalla luce della trave e quindi, a parità di carico applicato, travi di luce maggiore sono soggette a momenti flettenti più elevati. Nella figura si vede che se la luce della t rave raddoppia anche il momento in ogni sezione raddoppia. Abbiamo ignorato il peso proprio ma i n genere questo è un’aliquota piccola del carico agente. 2  / l 2  / l  A  B C P 2 P 2 P 2 P 2 P 4 Pl l l  A  B  C P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 Pl 2  / l 2  / l  A  B C P 2 P 2 P 2 P 2 P 4 Pl 2  / l 2  / l  A  B C P 2 P 2 P 2 P 2 P 4 Pl l l  A  B  C P 2 P 2 P 2 P 2 P 2 Pl  Questo significa che, fatta eccezione per travi di luce molto modesta, la sollecitazione che comanda il dimensionamento di una trave inflessa è il momento flettente. Solo travi di luce modesta in cui il momento flettente sia molto basso, possono raggiung ere il collasso per taglio se vengono progettare in base al solo momento flettente. Vediamo adesso a quali tensioni dà origine il momento flettente.

Teoria Travi Piane 1

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  • 1

    Le travi: flessione e taglio

    Le travi sono elementi monodimensionali ossia con una dimensione prevalente rispetto alle altre due e soggetti prevalentemente a forze applicate in direzione perpendicolare al loro asse. Le azioni interne che si sviluppano nelle travi sono quindi prevalentemente momento flettente e taglio che generano, rispettivamente, tensioni normali e tensioni tangenziali.

    Come appare chiaramente nellesempio riportato in figura mentre il taglio dipende solo dal valore della forza, il momento flettente dipende anche dalla luce della trave e quindi, a parit di carico applicato, travi di luce maggiore sono soggette a momenti flettenti pi elevati. Nella figura si vede che se la luce della trave raddoppia anche il momento in ogni sezione raddoppia. Abbiamo ignorato il peso proprio ma in genere questo unaliquota piccola del carico agente.

    2/l2/lA B C

    P

    2P

    2P

    2P

    2P

    4Pl

    llA B C

    P

    2P

    2P

    2P

    2P

    2Pl

    2/l2/lA B C

    P

    2P

    2P

    2P

    2P

    4Pl

    2/l2/lA B C

    P

    2P

    2P

    2P

    2P

    4Pl

    llA B C

    P

    2P

    2P

    2P

    2P

    2Pl

    Questo significa che, fatta eccezione per travi di luce molto modesta, la sollecitazione che comanda il dimensionamento di una trave inflessa il momento flettente. Solo travi di luce modesta in cui il momento flettente sia molto basso, possono raggiungere il collasso per taglio se vengono progettare in base al solo momento flettente. Vediamo adesso a quali tensioni d origine il momento flettente.

  • 2

    1 SFORZI NORMALI IN UNA TRAVE INFLESSA

    Una trave un elemento strutturale soggetto prevalentemente a flessione e taglio.

    Il momento flettente d origine a sforzi normali proporzionali al momento agente M e distribuiti

    linearmente lungo la sezione con valore massimo nelle fibre pi distanti dallasse neutro: Lo sforzo ad una generica distanza y dallasse neutro fornito dalla formula di Navier:

    yI

    M=

    Tale relazione mostra che gli sforzi normali dovuti al momento in una trave sono fortemente influenzati dallaltezza h della trave: raddoppiando laltezza gli sforzi diventano 4 volte pi piccoli. Invece se si raddoppia la larghezza b si ottiene solo un dimezzamento degli sforzi massimi. Nel caso di una sezione rettangolare di base b e altezza h risulta:

    3

    121 bhI =

    2maxhy =

    Quindi:

    62

    12

    23max bhMh

    bhM

    ==

    La grandezza

    6

    2

    max

    bhy

    IW ==

    il modulo di resistenza della sezione.

    1.1 Esempio 1

    Si determini il valore massimo dello sforzo in una trave a mensola di luce L=3m soggetta ad un carico concentrato P=2.5kN, applicato allestremo. Se la tensione massima che il materiale pu sopportare fd=10N/mm2, la trave in condizioni di sicurezza? Cosa accadrebbe agli sforzi se la larghezza della sezione venisse raddoppiata e laltezza mantenuta costante? E se laltezza fosse raddoppiata e la larghezza mantenuta costante?

    Le dimensioni della sezione trasversale siano: b=10cm, h=20cm, Il massimo momento flettente si ha nella sezione di vincolo e vale:

    NmmNPLM 750032500max ===

    In tale sezione il massimo sforzo vale:

  • 3

    222

    3

    2

    maxmax /25.11200100

    1075006

    61 mmNmmmm

    Nm

    bh

    M=

    ==

    La trave non in condizioni di sicurezza perch risulta max>fd. Se la larghezza della sezione fosse raddoppiata si avrebbe:

    22

    3

    2max /625.5

    2002001075006

    6

    mmNNmbh

    Mfb =

    ==

    La tensione diventerebbe la met di quella iniziale e la trave sarebbe in condizioni di sicurezza. Se laltezza della trave fosse raddoppiata si avrebbe:

    22

    3

    2max /4.1

    4001001075006

    6

    mmNbh

    Mfb =

    ==

    Quindi la tensione diventerebbe circa 8 volte pi bassa di quella iniziale. Quindi raddoppiare laltezza molto pi efficace rispetto a raddoppiare la larghezza anche se entrambe le scelte portano alla stessa variazione di area della sezione trasversale (che raddoppia in entrambi i casi) e quindi allutilizzo della stessa quantit di materiale.

    1.2 Esempio 2

    Una trave appoggiata di luce 7.5m soggetta ad un carico uniformemente distribuito q=9kN/m. Si considerino tre tipi di sezione trasversale di uguale area (760mm2) ma forma differente: rettangolare (20mm x 38mm), circolare (r=15.55mm), triangolare(30.4mm x 50mm). Per quale delle tre sezioni sono minimi gli sforzi dovuti alla flessione?

    Il momento massimo :

    kNmqLM 28.638

    5.798

    22

    max =

    ==

    I momenti di inerzia baricentrici per le tre sezioni sono:

    rettangolare: 433

    9145312

    382012

    mmbhI ===

    circolare: 444

    458974

    55.1514.34

    mmrI === pi

    triangolare: 433

    10555536

    504.3036

    mmbhI ===

    Gli sforzi massimi quindi sono: