Teoria gier

mgr Przemysław Juszczuk

Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Wykład 5 - Równowagi w grach n-osobowych

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

Figure: Podział gier

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

Definicje

Formalnie, jednoetapowa gra w postaci strategicznej dla n graczydefiniowana jest jako:

Γ = 〈N, {Ai},M〉, i = 1, 2, ..., ngdzie:N = {1, 2, ..., n} jest zbiorem graczy;{Ai} jest skończonym zbiorem strategii dla gracza i o m strategiach;M = {µ1, µ2, ..., µn} to zbiór funkcji wypłat dla graczy.

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

Układ strategii

Przez a = (~a1, ...,~an) oznaczmy profil strategii mieszanych wszystkichgraczy, określany dalej jako układ strategii.

a−i = (~a1, ...,~ai−1,~ai+1, ...,~an),będzie układem strategii z wyłączeniem gracza i . Mieszana strategiagracza i określana jest jako:

~ai = (P(ai1),P(ai2), ...,P(aim)),gdzie P(ai1) prawdopodobieństwo wyboru strategii 1 przez gracza i ,natomiast ~ai oznacza tutaj dyskretny rozkład prawdopodobieństwa nadzbiorem strategii.

Wsparcie

Wsparcie strategii mieszanych jest podzbiorem zbioru strategii czystychdanego gracza mających niezerowe prawdopodobieństwo wyboru:

∀i , xi ∈ Mx ,P(xi ) > 0

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

strategie B1 B2

A1 1 , 4 0 , 6A2 4 , 1 -1 , -1

Table: Prosta gra 2-osobowa

Równowaga Nasha w grzen-osobowej jest układemstrategii, w którym żaden zgraczy znając strategięprzeciwników nie zyskujeodstępując od wybranejstrategii. Figure: Graficzna reprezentacja równowagi

Nasha

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

Równowaga Nasha

Mieszana równowaga Nasha definiowana jest następująco:∀i ,∀j , µi (a) ­ µi (aij , a−i ),

gdzie:i - oznacza i-tego gracza;j - jest numerem strategii danego gracza;µi (a) - wypłata i-tego gracza dla profilu strategii a;µi (aij , a−i ) - wypłata i gracza stosującego strategię j przeciwko a−i .

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

Figure: Równowaga Nasha - klasa złożoności

FP = FNP jeżeli P = NP

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

Figure: Przykład gry 3 osobowej

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

Figure: Liczba graczy a wielkość macierzy

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

Typy równowag

równowaga Nasha;ε równowaga Nasha - zwana także ε równowagą;równowaga skorelowana - bardziej ogólna niż Nash;równowaga Pareto - równowaga Nasha z najwyższą wypłatą dlagraczy;Trembling hand equilibrium - równowaga „drżącej ręki” - założenie,że gracz może przez nieuwagę zagrać strategię z zerowymprawdopodobieństwem wyboru;idealna równowaga w podgrach - w grach w postaci ekstensywnej;ε-Well supported Nash - ε równowaga, w której każda strategia maniezerowe prawdopodobieństwo wyboru.

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

Typy równowag cd

Silna równowaga Nasha (ang. Coalition Proof Social Equilibrium)określana także jako CPSE (stosowana w teorii głosowania). Częstopomijana w rozważaniach jako zbyt trudna do uzyskania.Punkty ogniskowe (zwane także punktem Schellinga) - punktrównowagi w grach koordynacyjnych.Równowagi Nasha z dodatkowymi właściwościami (zaproponowaneprzez Gilboę) dotyczą pareto równowagi Nasha, równowagi, w którejgracze zobligowani są do stosowania z góry założonej strategii, lubteż prawdopodobieństwo wyboru danej strategii nie może być niższe(nie może przekroczyć) konkretnej wartości. Powyższe koncepcjenależą do klasy złożoności NP.

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

Figure: Zależność pomiędzy równowagami

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

Figure: Program Gamut

java −jar gamut.jar −g GraphicalGame−RG −players 3 −randomparams−normalize −minpayoff 0 −maxpayoff 1 −f game.nfg −outputGambitOutput −actions 3

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

Figure: Program Gambit - główne okno programu

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

Gry:Dylemat więźnia;Gra w cykora;Oligopol Bertranda;Zgadnij 23 ze średniej;Dylemat podróżnika;

Klasy gier:Gra bimacierzowa;Gra koordynacyjna;Kowariancja;Gra losowa;Gra losowa znormalizowana;

Figure: Przykład dylematu więźnia oraz gry losowej

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

strategie b1 b2 b3 b4

a1 0.2 , 0.6 0.1 , 0.7 0.4 , 0.8 0.3 , 0.5a2 0.4 , 0.1 0.5 , 0.3 0.5 , 0.7 0.2 , 0.7a3 0.1 , 0.5 0.9 , 0.4 0.9 , 0.3 0.8 , 0.1a4 0.5 , 0.4 0.7 , 0.9 0.1 , 0.6 0.1 , 0.6

Table: Prosta gra 2-osobowa

Równowaga Nasha: {0 : 14 : 34 : 0 : 47 : 0 : 37 : 0}Wypłaty graczy to: 0.443 i 0.4.

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

strategie b1 b2 b3 b4

a1 0.2 , 0.6 0.1 , 0.7 0.4 , 0.8 0.3 , 0.5a2 0.4 , 0.1 0.5 , 0.3 0.5 , 0.7 0.2 , 0.7a3 0.1 , 0.5 0.9 , 0.4 0.9 , 0.3 0.8 , 0.1a4 0.5 , 0.4 0.7 , 0.9 0.1 , 0.6 0.1 , 0.6

Table: Prosta gra 2-osobowa

Dla układu:{ 110 : 310 : 210 : 410 : 110 : 310 : 210 : 410}Po 3 losowych grach: a2b1, a4b4,a2b1 wypłaty graczy: 0.3 i 0.26ε wynosi: 0.36

Figure: Wybór strategii

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

strategie b1 b2 b3 b4

a1 0.2 , 0.6 0.1 , 0.7 0.4 , 0.8 0.3 , 0.5a2 0.4 , 0.1 0.5 , 0.3 0.5 , 0.7 0.2 , 0.7a3 0.1 , 0.5 0.9 , 0.4 0.9 , 0.3 0.8 , 0.1a4 0.5 , 0.4 0.7 , 0.9 0.1 , 0.6 0.1 , 0.6

Table: Prosta gra 2-osobowa

Dla układu:{ 110 : 310 : 210 : 410 : 110 : 310 : 210 : 410}Po 3 innych losowych grach: a2b2,a4b3, a2b1 wypłaty graczy: 0.333 i0.3666

Figure: Wybór strategii

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

Algorytmy dla gier 2-osobowych

Lemke Howson;algorytmy przybliżone;Algorytm Scarfa;

Algorytmy dla gier n-osobowych

Simplicial Subdivision;Globalna metoda Newtona;Metaheurystyki w wyszukiwaniu czystych równowag;Algorytm przybliżony oparty na ewolucji różnicowej;

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

Co na następnym wykładzie?

Dylemat więźnia;Iterowany dylemat więźnia i turniej Axelroda;Gry przeciwko naturze;Gry Bayesowskie;Gry kooperacyjne.

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier

Dziękuję za uwagę.

mgr Przemysław Juszczuk Teoria gier