TEORIA DOS JOGOS

Pesquisa Operacional

HistóriaCaracterização

Exemplos

James Waldegrave

Embaixador inglês, sendo a primeira pessoa a utilizar o termo ‘Teoria dos Jogos’, quando propôs uma solução para um problema de MinMax em uma carta, em 1713.

Na resolução ele utilizou uma estratégia mista para resolver uma versão de duas pessoas do jogo Le Her.

Nicolas Bernoulli

Matemático suíço, que contribuiu para a Teoria dos Jogos propondo uma importante questão, que ficou conhecida como ‘Paradoxo de Saint Petersburg’, em 1.713.

Ernst Zermelo

Matemático e filósofo alemão, que em 1.931 propôs um teorema onde em um jogo de xadrez, em que seria possível conhecer o resultado final, pois qualquer um dos jogadores tem uma estratégia vencedora ou que lhe garantisse ao menos um empate.

Esse teorema foi demonstrado por contradição, já que se existisse uma jogada desde o início vencedora, já que dessa maneira, o adversário não teria como reverter o resultado final, ou então, qual seria o resultado final se ambos os jogadores iniciassem com esta mesma jogada vencedora?

John von Neumann

Matemático húngaro, naturalizado americano, pioneiro na descrição e resolução matemática completa de um problema de MinMax, provando assim um resultado fundamental.

Também foi um dos primeiros matemáticos a sugerir que a Teoria dos Jogos fosse também aplicada a problemas econômicos.

Oskar Morgenstern

Oskar Morgenstern e John von Neumann

• Oskar Morgenstern publicou o livro Implicações Quantitativas do Comportamento Máximo;

• Convenceu Von Neumann a escrever um longo tratado, afirmando que a teoria dos jogos era o fundamento correto de toda a teoria econômica;

• O tratado: Teoria dos Jogos e Comportamento Econômico (Theory of Games and Economic Behavior - 1944);

• Teoria dos Jogos e a Teoria da Incerteza.

John Nash

John Nash

• John Nash provou o teorema do ponto fixo de Brouwer;

Qualquer função contínua f:D² → D² admite um ponto fixo, i.e., existe x D² ∈tal que f(x) = x.

• Resolveu enigmas de Riemann: trata da distribuição de números primos. Até hoje, não foi resolvido. O prêmio para a solução, é de 1 milhão de dólares, oferecido pelo ClayInstitute.

• Publicou o trabalho “Equilíbrio de Nash” - Nobel de Economia.

John NashEquilíbrio de Nash

Descreve um estágio de equilíbrio estratégico entre os jogadores, cada qual sabendo a melhor resposta para a ação do oponente, sem que algum jogador seja capaz de aumentar seu lucro se fizer uma alteração unilateral em sua estratégia.

- Se todos nós escolhermos a loira, nós vamos nos bloquear e nenhum de nós vai conquistá-la.- Então partimos para as morenas, mas elas vão nos rejeitar pois ninguém gosta de ser a segunda opção.- Mas e se ninguém for atrás da loira?- Daí não competiremos entre nós e não insultaremos as amigas. Essa é a única forma de vencer.

Uma Mente Brilhante

John Maynard Smith

 Utilizou a teoria dos jogos como ferramenta para explicar certos fenômenos evolucionários.

Thomas Schelling e Robert Aumann

Thomas Schelling e Robert Aumann dividiram o prêmio Nobel de Economia de 2005.

Schelling: "o que fazer se dois caminhões carregados de explosivos se encontrarem em uma estrada em que só um pode passar?“

Aumann: usou a Teoria dos Jogos para analisar o conflito no Oriente Médio.

John Maynard Smith

Schelling e Aumann

Caracterização de um jogo

Pode se entender de jogo por qualquer um fenômeno resultado da interação de dois ou mais indivíduos que pretendem atingir um determinado objetivo.

O resultado final depende da iteração entre escolhas feitas pelos dois jogadores.

A teoria dos jogos pretende modelar matematicamente o comportamento dos jogadores considerando que eles são puramente racionais.

A vida é um jogo?

O ser humano é um ser coletivo e depende da relação com o outro para sobreviver.

Essas relações podem ser únicas ou duradouras, alguns exemplos são:

Relações familiares Trânsito Amor Trabalho

JOGOS!

Aspecto teóricoNa vida real as pessoas podem se

comportar de maneira não racional em uma determinado jogo.

Isso pode acontecer por vários motivos como a busca pelo comportamento ético, questões religiosas e sentimentos de amor e amizade.

A teoria dos jogos pretende fornecer a modelagem dos comportamentos humanos sendo que nem sempre o resultado será o observado

PAYOFF

Payoff ou resultado é o valor que um jogador obtém resultante da combinação da sua estratégia com os demais.

Mede o quão próximo o jogador ficou de atingir seu objetivo final.

Em alguns casos a análise do pay-off pode ser representado como vitória e derrota.

Elementos componentes de um jogo

JogadoreS

Objetivo do jogo

Estratégias Uso da racionalidade visandoos objetivos

Resultado Mede quanto os jogadores ficaram próximos do objetivo final

Representação de um jogo

Representação matricial

Jogador 2

E1 E2

Jogador 1E1 (5, 2) (0, 4)

E2 (0, 0) (1, 1)

O encontro das estratégias fornece o Payoff do jogo

0

2

Dilema dos prisioneiros

Prisioneiro 02

Calado Entrega

Prisioneiro 01

Calado (1,1) (5,0)

Entrega (0,5) (2,2)

Os payoffs representam anos de prisão

Dilema dos prisioneiros várias rodadas

Jogador 1 Jogador 2

Rodada 1 I D

Rodada 2 I D

Rodada 3 I I

Rodada 4 D D

Rodada 5 D D

Rodada 6 I D

Rodada 7 I I

Rodada 8 I D

Rodada 9 D D

Rodada 10 D I

Rodada 11 I I

... ... ...

Rodada 96 D D

Rodada 97 ? ?

Rodada 98 ? ?

Jogador 02

D I

Jogador 01

D (1,1) (5,0)

I (0,5) (-1,-1)

FANTASMA DA RODADA FINAL

Resultados do dilema dos prisioneiros

Normalmente as relações humanas são baseadas em rodadas múltiplas de dilema dos prisioneiros é predominantemente cooperativa.

Porém como as pessoas modificam o jogo tende modificar. Essas mudanças podem ocorrer na forma de divórcio, mudança de casas, de religião, de time ou em última análise morrem.

E próximo das últimas jogadas o jogo tende a ser competitivo.

Chicken game

Jogador 01

Desvia Segue

Jogador 01

Desvia (C,C) (C,W)

Segue (W,C)

Aplicações da teoria dos jogos

Um exemplo de jogo do prisioneiro é a relação de venda mobiliária em que é feita em várias etapas.

A crise dos mísseis entre EUA e União Soviética o presidente americano agiu primeiro antecipando o inimigo.

Na natureza os animais, principalmente na briga por fêmeas, tentam fazer de tudo para intimidar o oponente de forma a evitar um combate direto. Caso típico de chicken game.

É um processo onde se eliminam as estratégias que são estritamente dominadas.

ui (sik, si) > ui (sij, si)

Sik: é a estratégia pura do jogador gi Sij: é a estratégia pura do jogador gj Si: Conjunto das estratégias puras.

As estratégias puras Sik e Sij pertencem ao conjunto de estratégias puras Si.

Dominância estrita iterada

Aplicação da dominância estrita

Alberto e Ricardo são donos de comércio que disputam através de estratégias, alcançarem maior público de forma a aumentar suas vendas.

As estratégias serão apresentadas em valores quantificados de forma a contribuir na análise.

Aplicação

Alberto

S21 S22 S23 S24

Ricardo

S11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)

S12 (0, 0) (3, 2) (2 ,1) (1, 1)

S13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)

S14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)

Passo 1: Quantificar as estratégias dos jogadores

Fonte: ERMAC, 2005

Aplicação

Alberto

S21 S22 S23 S24

Ricardo

S11 (5, 2) (2, 6) (1, 4) (0, 4)

S12 (0, 0) (3, 2) (2 ,1) (1, 1)

S13 (7, 0) (2, 2) (1, 1) (5, 1)

S14 (9, 5) (1, 3) (0, 2) (4, 8)

Passo 2: Análise da dominância entre colunas

Fonte: ERMAC, 2005

Aplicação

Alberto

S21 S22 S23 S24

Ricardo

S11 (2, 6) (1, 4) (0, 4)

S12 (3, 2) (2 ,1) (1, 1)

S13 (2, 2) (1, 1) (5, 1)

S14 (1, 3) (0, 2) (4, 8)

Passo 3: Análise da dominância entre linhas

Fonte: ERMAC, 2005

Aplicação

Alberto

S21 S22 S23 S24

Ricardo

S11

S12 (3, 2) (2 ,1) (1, 1)

S13 (2, 2) (1, 1) (5, 1)

S14 (1, 3) (0, 2) (4, 8)

Passo 4: Análise da dominância entre linhas

Fonte: ERMAC, 2005

Aplicação

Alberto

S21 S22 S23 S24

Ricardo

S11

S12 (3, 2) (2 ,1) (1, 1)

S13 (2, 2) (1, 1) (5, 1)

S14

Passo 5: Análise da dominância entre colunas

Fonte: ERMAC, 2005

Aplicação

Alberto

S21 S22 S23 S24

Ricardo

S11

S12 (3, 2)

S13 (2, 2)

S14

Passo 6: Análise da dominância entre linhas

Fonte: ERMAC, 2005

Aplicação

Alberto

S21 S22 S23 S24

Ricardo

S11

S12 (3, 2)

S13

S14

Passo 7: Determinação do resultado quanto a dominância

Fonte: ERMAC, 2005

Exemplo de aplicação na engenhariade energia

Um determinado projeto do Green Solar previa a instalação de aquecimento solar em para casas de baixa renda para a prefeitura.

Quando os técnicos do instituto retornaram para verificar o funcionamento dos equipamentos percebeu que grande parte deles foram vendidos pelos moradores.

Esse comportamento poderia ser previsto pela teoria dos jogos?

Como poderia ser evitado?

Exemplo de aplicação na engenhariade energia

Um determinado projeto do Green Solar previa a instalação de aquecimento solar em para casas de baixa renda para a prefeitura.

Quando os técnicos do instituto retornaram para verificar o funcionamento dos equipamentos percebeu que grande parte deles foram vendidos pelos moradores.

Esse comportamento poderia ser previsto pela teoria dos jogos?

Como poderia ser evitado?

ConclusãoA teoria dos jogos é uma representação da

realidade em relações inter-pessoais.Pode ser usada para prever ou até antecipar o

comportamento de outra pessoa.Ela serve de ferramentas para tomada de

decisão quando se aborda não somente quantidades mas a relação com outros indivíduos.

Na engenharia deve aparecer como guia para questões gerenciais e de negociação, para se entender as situações e aproximar do objetivo pretendido.

Integrantes

IZANAFREDERICOPAULOSUELLENMATHEUSWILSON