Teoría del consumidor Preferencias - RUA: Principal · Tema 6 Teoría del consumidor 2 Preferencias • La Teoría del Consumidor parte del supuesto de que los individuos tienen

Tema 6

Teoría del consumidor

2

Preferencias

• La Teoría del Consumidor parte del supuesto de que los individuos tienen preferencias (gustos) sobre los bienes

• Problema: las preferencias no son observables. No obstante, podemos inferir los gustos a partir de lo que los individuos eligen

• Si eliges A cuando B también era posible, debe ser que te gusta más A que B

3

Preferencias

• Llamamos X al conjunto de alternativas. Elemento de X son x,y,..

• Una relación de preferencia R es una relación binaria en X

• Leemos “xRy” como “x es al menos tan preferido como y” (“débilmente preferida”)

• A partir de R podemos obtener otras dos relaciones binarias

4

Preferencias

• Decimos que xPy (“x es estrictamente mejor que y”) cuando xRy pero no es cierto que yRx

• Decimos que xIy (“x es indiferente con y”) cuando xRy y también yRx

• Vamos a exigir que R sea racional. Esto requiere que sea completa y transitiva

5

Preferencias

• Decimos que R es completa si, para todo

x,y∈X, o bien xRy o bien yRx o bien ambos

• Decimos que R es transitiva si para todo

x,y,z∈X: xRy e yRz implica xRz

• Ej. 1: xRy si x pesa al menos tanto como y

• Ej. 2: xRy si x pesa y mide al menos tanto como y

6

Utilidad

• Una función u: X → R es una función de utilidad que representa R si, para

cualquier x,y ∈ X :xRy ⇔ u(x) ≥ u(y)

• Ejemplo: X = {x,y,z} y xRy, yRz, xRzPodemos escribir u(x)=9, u(y)=4, u(z)=1

• Si u(x) representa R y f: R→R es una transformación monótona creciente, v(x) = f(u(x)) también representa R

7

Utilidad

• La utilidad es una medida ordinal, no cardinal

• Un problema clásico es el de la representación de las preferencias

• Es decir, ¿cuándo se pueden representar unas preferencias R mediante una función de utilidad?

• Que R sea racional es una condición necesaria

8

Utilidad

• Es también suficiente sólo cuando X es finito o contable (numerable)

• Ejemplo (clásico): supongamos xRy si o bien x1 > y1, o bien x1 = y1 y x2 > y2

• Decimos que R es continua en X si para todo x en X, los conjuntos de contorno superior e inferior de x son cerrados

• El conjunto de contorno superior de x es {y∈X: yRx}

9

Representación

• Si una relación de preferencias R en

X⊆Rn+ es completa, transitiva y continua

entonces es representable mediante una función de utilidad continua

• En general nos centraremos en el caso de 2 bienes

• Podemos pensar que uno de ellos es un “bien compuesto”

10

Conjunto presupuestario

• Supongamos que el consumidor tiene una cantidad fija de dinero para gastar M

• Hay dos bienes, X e Y, cuyos precios son pX y pY

• Las cestas que puede comprar cumplen:

pXx + pYy ≤ M

• Suponemos además que x ≥ 0 e y ≥ 0

11


Xp

M

x

y

Yp

M

Recta presupuestaria


Mypxp YX ≤+

12


• La pendiente de la recta presupuestaria es -pX/pY

• Indica a cuánto de un bien debemos renunciar si queremos más del otro

• Por ejemplo, si pX = 3 y pY = 1, si queremos una unidad más de X debemos renunciar a 3 unidades de Y

13

Aumento de un precio

x

y

Yp

M

Xp

M

14

Aumento de un precio

x

y

Yp

M

La recta presupuestariapivota hacia dentro

Xp

M

15

Aumento de la renta

x

y

Yp

M

Xp

M

16

Aumento de la renta

x

y

Yp

M

La recta presupuestariase desplaza hacia fuera

(la pendiente no cambia)

Xp

M

17


• Si los dos precios aumentan en la misma proporción es lo mismo que si la renta Mdisminuye

• De hecho uno de los 3 parámetros (pX, pY

y M) es redundante

• Podemos hacer pX = 1. Entonces el bien Xes el bien numerario

• El tiempo también es una restricción

18

Oferta de trabajo

• Cuando estudiamos la oferta de trabajo el tiempo es crucial

• Ofrecer trabajo significa que ese tiempo no lo podremos usar para consumir bienes

• Lo que hacemos es comprar ocio renunciando a trabajar. Es decir, el precio del ocio es el salario que dejamos de ganar por no trabajar

19

Curvas de indiferencia

• Las curvas de nivel de la función de utilidad son las curvas de indiferencia

• Cada CI representa combinaciones de cestas entre las que el consumidor estáindiferente

• En general, curvas más alejadas del origen representan cestas mejores

• Si u(X,Y) = XY, las cestas (10,10), (20,5) y (5,20) están en la misma CI

20

Curvas de indiferencia

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

21

Relación marginal de sustitución

• La pendiente de una curva de indiferencia tiene la interpretación de la tasa a la que el consumidor está dispuesto a intercambiar un bien por otro

• Lo llamamos Relación Marginal de Sustitución (RMS)

• Nos dice la cantidad de Y que estádispuesto a perder por una unidad adicional de X

22

Relación marginal de sustitución

• Para obtener la RMS partimos de la ecuación de una CI de utilidad u0:

u(x, y) = u0

• Diferenciando,

y

ux

u

dx

dydy

y

udx

x

u

uu

∂∂∂∂

−=⇒=∂∂

+∂∂

= 0

0

23

RMS, ejemplo

• Si u(X,Y) = XY, la RMS es –Y/X

• Calculamos la RMS en tres cestas diferentes:– RMS(5,20) = -4

– RMS(10,10) = -1

– RMS(20,5) = -1/4

• La tasa a la que está dispuesto a cambiar X por Y depende de las cantidades que tiene de X e Y

24

Preferencias convexas

• Las preferencias son convexas si el conjunto de contorno superior es convexo. Esto implica que se prefieren las medias a los extremos

• Supongamos que u(x1,y1) = u(x2,y2). Cualquier punto en la línea que conecta (x1,y1) y (x2,y2) es al menos tan bueno como los extremos

25


0.2 0.4 0.6 0.8 1x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

26


0.2 0.4 0.6 0.8 1x

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

27

Maximización de la utilidad

• Max {x,y}u(x,y) s.a.

• Max

Mypxp YX ≤+

−

Y

X

p

xpMxu ,

y

u

p

p

x

u

p

xpMxu

dx

d

Y

X

Y

X

∂∂

−∂∂

=

−= ,0

28

Condición de primer orden

y

u

p

p

x

u

p

xpMxu

dx

d

Y

X

Y

X

∂∂

−∂∂

=

−= ,0

RMSdx

dy

yu

xu

p

p

uuY

X =−=

∂∂

∂∂

== 0

Pendiente recta presupuestaria = pendiente de la CI

29

Condición de primer orden

• Supongamos que pX/pY = 3, pero tenemos una cesta en la que la RMS es 4

• No es la cesta óptima. Por 1 unidad más de X estamos dispuestos a ceder 4 de Y

• Pero sólo tenemos que dar 3!!

30

Ilustración gráfica

x

y

Xp

M

Yp

M

31

Condición de segundo orden

• Para más adelante:

• Concavidad respecto de X

2

222

2

2

2

2

)()(,

)(0

y

u

p

p

yx

u

p

p

x

u

p

xpMxu

dx

d

Y

X

Y

X

Y

X

∂

∂

+

∂∂∂

−∂

∂=

−≥

32

Notación

• Este es el gradiente, la dirección de máximo crecimiento de u

• La CPO implica que el gradiente es perpendicular a la recta presupuestaria

∂∂

∂∂

=y

u

x

uuu ,),( 21

33

Problemas

• Cuando la utilidad no es diferenciable. Por ejemplo, u(x, y) = min{x, y}

• Cuando la condición de tangencia no es suficiente. Por ejemplo, con preferencias que no son convexas (solución esquina)

• También puede ocurrir que el óptimo estéen una esquina

34

Ejemplo Cobb-Douglas

• La proporción de gasto en cada bien es constante (α y 1- α, respectivamente)

( ) αα −= 1, yxyxu

.)1(

0x

y

yu

xu

dx

dy

p

p

uuY

X

αα−

=

∂∂

∂∂

=−==

YX p

My

p

Mx

)1(,

αα −==

35

Complementos perfectos

• Si dos bienes son complementos perfectos se consumen en proporciones fijas

• La utilidad es u(x, y) = min{x, βy}

• El consumidor comprará de forma que x =

βy. Si x > βy, la cantidad extra de x no le añade utilidad

• Podemos definir un “bien compuesto”

36

Complementos perfectos

• Consiste en comprar la cantidad y de Y y

la cantidad βy de X

• El precio de este bien es βpX+pY y la utilidad es u = M/(βpX+pY)

• Los complementos perfectos se pueden ver como un único bien

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Punto de saciedad

• Si los dos únicos bienes son pizza y cerveza, es muy probable que exista un punto de saciedad

• Algo así como una combinación óptima, por encima de la cual ya no queremos consumir más

• También es razonable cuando hablamos de cuestiones políticas

38

Punto de saciedad

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

u=100

u=50

u=40

u=30

u=20

u=10

u=120

39

Efecto sustitución

• Supongamos que el precio de un bien sube. ¿Compraremos menos de él?

• No necesariamente

• Pensemos en el ocio. Si sube el salario, el coste del ocio aumenta

• Si el individuo se siente más rico, puede elegir trabajar menos y tener más ocio

• También puede ocurrir con bienes de subsistencia

40

Efecto sustitución

• La cantidad de Y puede aumentar cuando el precio de Y aumenta

x

y

41

Sustitución

• Un aumento de un precio implica una reducción del poder de compra (M tiene ahora menos poder adquisitivo) más un cambio en el precio relativo

• Los efectos sustitución y renta separan estos dos efectos

• El ES aísla el efecto del cambio en el precio relativo, cambiando la renta de forma que el consumidor se mantenga en la misma curva de indiferencia

42

Efecto Sustitución

x

y

Elección

inicial

43

Aumenta el precio de Y

x

y

Elección

inicial

pY ↑

Ahora no puede alcanzar la misma CI

que en la elección

inicial. Para ello necesitaría más renta

44

ES mantiene la utilidad constante

x

y

Elección

inicial

pY ↑

Demanda

compensada

45

Efecto sustitución (ejemplo)

• La función de utilidad es u(x, y) = xy

• Precios pX = 2, pY = 5. Renta M = 100

• El consumidor elige la cesta (25, 10) en la que obtiene una utilidad de 250

• El precio de Y sube a p’Y = 6. Ya no puede comprar la misma cesta (vemos que 2×25+6×10 = 110 > 100

• ¿Cuánto debería aumentar la renta para que alcanzase la utilidad 250?

46

Efecto sustitución (ejemplo)

• La nueva renta la llamamos m’

• Sabemos que elegirá x = m’/4, y = m’/12

• Por tanto, obtendrá una utilidad igual a (m’)2/48

• Igualando a 250, obtenemos m’ = 109.54

• Por lo tanto, la renta debe aumentar en m’-m = 9.54

• Esta es la “compensación”

47

Efecto sustitución

• El ES de un aumento en el precio de Ysiempre disminuye el consumo de Y y aumenta el de X

• Todas las cestas del conjunto presupuestario en las que la cantidad de Yes mayor que en la elección inicial le dan una utilidad menor

48

Efecto renta

• Para niveles bajos de renta la mayoría de los bienes son normales

• Cuando la renta es suficientemente alta, la mayor parte de los bienes se convierten en inferiores

• La curva que representa el conjunto de las cestas óptimas para diferentes niveles de renta es la curva de Engel

49

Efecto renta

• Bienes normales

x

y

50

X inferior, Y normal

x

y

51

Gasto en comida (USA)

Año Gasto en comida (%)

1935-39 35.4

1952 32.2

1963 25.2

1992 19.6

2000 16.3

52

Ejemplo: Cobb-Douglas

• En el caso Cobb-Douglas, las cestas

óptimas son x = αM/pX, y = (1-α)M/pY

• Por tanto, la curva de Engel es una recta

con pendiente (1-α)pX/αpY

• En general, se dice que un individuo tiene preferencias homotéticas, si la curva de Engel es una línea recta

53

Efecto renta

• Hemos visto que el ES nos permite descomponer el efecto de un cambio en un precio en un ES y un ER

• En la figura siguiente vemos cuál es el ER

54

Descomposición en ES y ER

x

y

55


x

y

Efectosustitución

56


x

y

Efecto

renta

Efectosustitución

57


x

y

Efecto

renta

Efectosustitución

ES

ERET

58

Soluciones esquina

• En ocasiones el óptimo puede estar en una de las esquinas del conjunto presupuestario

• Por ejemplo, si en el óptimo x* = 0, se cumple que |RMS| < pX/pY

• El consumidor querría reducir el consumo de x, pero no puede (ya es 0)

59

Ejemplo: preferenciascuasilineales

• Si la función de utilidad tiene la forma

u(x,y) = v(x)+αy, con v() cóncava, decimos que el individuo tiene preferencias cuasi-lineales

• Las curvas de indiferencia son paralelas (no necesariamente rectas) entre sí

• Por ejemplo, estudiamos el caso en el que

u(x,y) = ln(x)+ αy

60

Preferencias cuasilineales

• Usamos la restricción presupuestaria para eliminar y

• Tenemos:

• La condición de primer orden es:

−+

Y

X

p

xpmx α)ln(

)0*0(0*

1>=≤− xsi

p

p

x Y

Xα

61

Preferencias cuasilineales

• El óptimo interior es:x* = pY/αpX; y* = (M/pY)-(1/α)

• Para que el óptimo sea interior se debe cumplir que M > pY/α

• Si, por el contrario, M < pY/α, el óptimo es: x* = M/pX; y* = 0

• Cuando M es pequeña, sólo consume X. A partir de cierto valor (pY/α), consume de ambos (pero su consumo de X es fijo)

62

Oferta de trabajo

• Trabajar más horas permite consumir más bienes, pero reduce el tiempo de ocio

• Llamamos x al consumo, L es el tiempo de ocio, T-L el tiempo de trabajo y M la renta no laboral

• La restricción es px = M+w(T-L), donde pes el precio del consumo y w el salario

• O también px+wL = M+wT

63

Restricción presupuestaria

T L

x

M/p

M/p+wT/p

64

Restricción presupuestaria

T L

x

M/p

M/p+wT/p

La pendiente es –w/p

La pendiente es –w/p

65

Oferta de trabajo

• La utilidad del individuo es u(x, L). Sustituyendo x podemos escribir:

• La condición de primer orden es:

• Las derivadas parciales se evalúan en el óptimo

−+=

≤≤L

p

LTwMuLhMax

TL,

)()(

0

21*)(0 up

wuLh +

−=′=

66

Oferta de trabajo

• Estudiamos el efecto en L* de un aumento del salario

• Diferenciando la CPO, obtenemos:

• El signo depende del numerador (den < 0)

2212

2

11

12111

2 up

wu

p

wu

p

LTu

p

LTu

p

w

p

u

w

L

+

−

−−

−+

=∂∂

)(

*

67

Oferta de trabajo

• En concreto, ∂L*/∂w > 0, si y sólo si:

• Simplificando esta expresión:

012111 <

−−

−+

p

LTu

p

LTu

p

w

p

u )(

11

1211

>+

−

−u

uup

w

LT )(

68

Oferta de trabajo

• Dado que:

• Y que:

• Podemos escribir la condición:

1

1211

1

u

uup

w

L

uLog+−

=∂

∂ )(

LTL

LTLog

−=

∂−∂

−1)(

69

Oferta de trabajo

• O simplemente:

• En total, la condición queda:

L

LTLog

LTL

uLog

∂−∂

−=−

>∂

∂ )()( 11

01 >∂

−∂+

∂∂

L

LTLog

L

uLog )()(

01 >∂

−∂L

LTuLog ))((

70

Oferta de trabajo

• En palabras, la condición dice que u1(T-L) debe ser creciente con L

• La cantidad óptima de ocio aumenta (y por lo tanto la cantidad de trabajo se reduce) cuando sube el salario si la utilidad marginal del consumo, multiplicada por las horas trabajadas, es creciente con L

• Si el consumo y el ocio son sustitutos, esto no puede ocurrir

71

Oferta de trabajo

• La razón es que, si son sustitutos, un aumento de L reduce la utilidad marginal del consumo

• Por tanto, si el consumo y el ocio son sustitutos, un aumento del salario reducirála cantidad de ocio y aumentará la oferta de trabajo

• ¿Y si son complementarios?

72

Oferta de trabajo

• Supongamos que u(x, L) = Min{x, L}

• En este caso vemos que:L* = (M+wT)/(p+w)

• Por tanto, el ocio crece con el salario siempre que pT > M (si M es pequeño)

• En el caso Cobb-Douglas, u(x, L) = xαL1- α

• Vemos que:

L* = (1-α)(T+M/w)

73

Oferta de trabajo

• Es una función decreciente del salario

• La cantidad óptima de trabajo es:

T-L = Max{0, αT-(1- α)(M/w)}

• Es decir, sólo trabaja si la renta no laboral M es suficientemente pequeña

• En concreto, si M > (α/(1- α))(Tw), prefiere no trabajar en absoluto

74

Horas anuales trabajadas

0

500

1000

1500

2000

2500

1971

1973

1975

1977

1979

1981

1983

1985

1987

1989

1991

1993

1995

1997

1999

2001

2003

2005

2007

2009

France Germany Spain

75

Diferencias compensatorias

• Las diferencias compensatorias se refieren a las diferencias salariales debidas a ciertas características de los empleos

• Los trabajos difieren en muchos aspectos: duración de la jornada, riesgos físicos, el entorno del trabajo, etc.

• La teoría de las DC parte de la premisa de que no hay nada gratis (“no free lunch”)

76


• En un equilibrio de mercado, los trabajos más desagradables deben ofrecer una prima salarial en relación a otros trabajos

• Supongamos que la utilidad de un trabajador depende del salario w y de cierta característica del empleo, por ejemplo la seguridad en su trabajo s

• Imaginemos que hay 2 trabajos A y B, con diferentes características

77


• En el equilibrio, se debe cumplir:

u(wA, sA) = u(wB, sB)

• ¿Por qué?

• ¿Qué ocurriría si no es así?

• Si sA > sB, entonces wA < wB

78


• Los salarios astronómicos que ganan algunos deportistas no se deben a DC

• Son pagos que reflejan la rareza del talento

• Los mismo ocurre con los artistas. El precio de los cuadros de Picasso refleja la escasez de los mismos respecto a la demanda

79

Precio de la vivienda

• Los precios de la vivienda reflejan las valoraciones de diferentes aspectos

• Para mucha gente es mejor vivir en el centro, cerca de su trabajo, que en las afueras. Vemos un modelo

• El bien cuya oferta está limitada en la ciudad no es la vivienda, sino el suelo

• Los costes de construcción son muy similares en diferentes ciudades

80


• La diferencia está en el precio del suelo

• Es decir, la diferencia de precio entre el centro de Madrid y las afueras se debe a la diferencia en los precios del suelo

• Imaginemos una ciudad plana en la que todos trabajan en (0,0), el centro

• Los costes de llegar al centro, en tiempo, son c(t), donde t = λr y r es la distancia al centro (λ es

81


• Si una persona paga por su vivienda un precio p(r) a la distancia r, en total pagarápor la combinación de vivienda y transporte:

c(λr)+p(r)

• Todos tratarán de buscar la alternativa menos costosa

• Si todos tienen idénticas preferencias, los precios de las casas dependerán de r

82


• Estarán determinados por la ecuación:c(λr)+p(r) = constante

• Los individuos estarán indiferentes respecto a la distancia: un menor tiempo de llegar al centro se compensa exacta-mente con un mayor precio

• Vemos cuál es la constante. La población total es N y cada individuo ocupa un área unitaria

83


• El tamaño de la ciudad rmax debe cumplir N = π(rmax)

2

• Por lo tanto:

• En los límites de la ciudad, el precio de la tierra viene dado por otro uso diferente de la construcción, por ejemplo por la agricultura

• Supongamos que ese precio es v por el tamaño de una vivienda

πN

r =max

84


• Por lo tanto, en el límite de la ciudad se debe cumplir que p(rmax) = v

• Con esto obtenemos todos los precios:

• De ahí obtenemos:

vN

cvrc

rprcrprc

+

=+=

=+=+

πλλ

λλ

)(

)()()()(

max

maxmax

)()( rcvN

crp λπ

λ −+

=

85


• Los precios son mayores cuanto más cerca del centro

• El precio más caro es p(0). El más barato es p(rmax)

• También aumentan con N y con v

• En equilibrio no hay “chollos”. Los precios reflejan las características del bien que interesan a los consumidores (la distancia al centro)

86


87

Elección intertemporal

• El consumo tiene lugar en diferentes momentos de tiempo

• Llamamos x1 al consumo en el periodo 1 y x2 al consumo en el periodo 2

• Podemos pensar en 2 años o en dos periodos más largos, como vida laboral y retiro

• El valor del consumo es:u(x1, x2) = v(x1) + δv(x2)

88

RMS intertemporal

• El parámetro δ es la tasa individual de descuento

• La RMS entre x1 y x2 nos dice a qué tasa está dispuesto el consumidor a cambiar consumo entre periodos

• En particular:

( )2

1 )(

xv

xvRMS

′′−

=δ

89

RMS intertemporal

• La RMS nos dice a cuántas unidades de consumo futuro está dispuesto a renunciar por una unidad más de consumo hoy

• Por ejemplo, si x1 = x2 la RMS es -1/δ

• Si δ = 0.5, quiere decir que está dispuesto a renunciar a 2 unidades de consumo mañana por una unidad más hoy

• Normalmente, δ < 1

90

Restricción intertemporal

• El consumidor espera ganar M1 en el primer periodo y M2 en el segundo

• La restricción presupuestaria es: (1+r)(M1-x1) = x2 - M2

• El término (M1-x1) representa lo que ahorra el primer periodo

• Aquí r es el tipo de interés. También:

(1+r)x1 + x2 = (1+r)M1 + M2

91


• Esta restricción se llama restricción presupuestaria intertemporal

• Vemos que el precio del consumo en el periodo 2 en términos del consumo en el periodo 1 es (1+r)

• La renta relevante es la “renta permanente”, no la renta de cada periodo

• La renta permanente es (1+r)M1 + M2

92


x1

x2

(M1,M2)

M2+(1+r)M1

M1+M2/(1+r)

93


x1

x2

(M1,M2)

M2+(1+r)M1

M1+M2/(1+r)

La pendiente de la

RP es –(1+r)

94


x1

x2

(M1,M2)

Ahorra

Pide prestado

(desahorra)

95


• La CPO en el óptimo interior es:

• El parámetro δ mide lo que el consumidor valora el futuro

• El término 1/(1+r) indica lo que el mercado valora el futuro

• Si δ < 1/(1+r), valora el consumo en el periodo 1 más de lo que lo hace el mercado

( ))1(

)(

2

1 rxv

xv+=

′′

δ

96


• Entonces, v’(x1) < v’(x2) por lo que x1 > x2

• Decimos que el consumidor es más “impaciente” que el mercado

• Si δ(1+r) = 1, consume lo mismo en los dos periodos

• Si δ(1+r) > 1, es que valora el consumo en el periodo 1 menos que el mercado, por lo que querrá consumir más en el periodo 2

97


• El que un individuo sea ahorrador o pida prestado no depende sólo de sus preferencias, también depende de sus ingresos

• Por ejemplo, si sus ingresos son mucho mayores en el segundo periodo es posible que su ahorro en el periodo 1 sea negativo

98

Optimización intertemporal

x1

x2

(M1,M2)

En el periodo 1pide prestado

Devolucióndel préstamo

99

Aumento del tipo de interés

• Si el tipo de interés aumenta, la recta pivota alrededor del punto (M1, M2)

• La razón es que ese punto siempre es factible

• El efecto dependerá de si el individuo es un prestamista o un prestatario

• En la figura vemos un prestatario que decide pedir prestado menos dinero

100


x1

x2

(M1,M2)

101


• No está claro el efecto en el consumo del periodo 2

• Por un lado tiene menos renta, pero por otro lado el precio relativo del consumo en el periodo 2 ha bajado

• Un aumento del tipo de interés es positivo para los prestamistas netos. Consumirámás en el periodo 2. ¿Y en el periodo 1?

102

Aumento del tipo de interésLa renta del prestamista aumenta

(M1,M2)

x1

x2

103

Diferentes tipos de interés

x1

x2

(M1,M2)

La pendiente es -(1+r2)

Aquí es -(1+r1)

104

Efecto de un aumentotransitorio de la renta

• Ahora un aumento transitorio de la renta puede tener un efecto importante en el consumo

• Esto explica por qué los individuos no ahorran mucho cuando reciben una cantidad inesperada de dinero, o por quésufren una gran pérdida puntual en lugar de una pérdida pequeño durante un periodo largo, cuando les surgen gastos inesperados

105

Propensión a consumir del 100%

x1

x2

(M1,M2)

Decisión con incertidumbre

107

Estadística básica

• Sea x una variable aleatoria que toma los valores x1, x2,.., xn con probabilidades p1, p2,.., pn

• Si las alternativas son exhaustivas y mutuamente excluyentes:

p1+p2+..+pn = 1

• Definimos la media de x (o el valor esperado) como:

E(x) = p1x1+p2x2+…+pnxn

108

Estadística básica

• La media nos da información sobre el valor central de la variable aleatoria

• La varianza de x nos mide la dispersión de la variable alrededor de la media:

Var(x) = p1(x1-E(x))2+…+pn(xn-E(x))2

• En la práctica se usa más la desviación estándar, que es la raíz cuadrada de la varianza

109


• Ahora los individuos deben elegir entre diferentes alternativas con incertidumbre (“loterías”)

• Ejemplo de lotería: lanzamos una mone-da al aire. Si sale cara ganas 100 euros. Si sale cruz no ganas nada

• Cada lotería es una distribución de proba-bilidad sobre cantidades de dinero

110


• En ausencia de incertidumbre todos preferimos más dinero

• Si x representa cantidades de dinero, cualquiera de las funciones siguientes es equivalente en términos de cómo ordenan nuestras preferencias:

– U(x) = a+bx, con b > 0

– U(x) = Exp(x)

– U(x) = x3

111


• No obstante, nosotros queremos algo más

• Queremos ordenar también las loterías

• Por ejemplo, considera las siguientes loterías:

– L1: Con ½ ganas 100 euros, con ½ ganas 0

– L2: Con ½ ganas 70 euros, con ½ ganas 30

• Von Neumann y Morgestern propusieron una forma de ordenar estas loterías

112


• En concreto, prueban que bajo ciertas condiciones existe una forma de asignar números a cada posible resultado de forma que podemos comparar las loterías, comparando la “utilidad esperada”

• Esto es, a partir de U(100) = U100, U(70) = U70, U(30) = U30, U(0) = U0, la utilidad de L1 es ½U100 + ½U0 y la utilidad de L2 es ½U70 + ½ U30

113


• Es decir, bajo ciertas condiciones, existe una función de utilidad sobre las cantida-des de dinero que podemos usar tanto para comparar cantidades de dinero (esta parte es trivial) como loterías sobre canti-dades de dinero (esto ya no lo es)

• Este procedimiento es muy útil

114


• En general, supongamos que los posibles resultados son x1, x2, .., xn y sus probabilidades respectivas son p1, p2, .., pn

• La utilidad (esperada) es:

{ }

∑=

=

=+++=n

i

ii

nn

xUp

xUpxUpxUpxUE

1

2211

)(

)(...)()()(

115


• Volviendo a las loterías L1 y L2, ¿cuál prefieres?

• Tu preferencia dice algo sobre tu función de utilidad esperada

• Obviamente, U’(x) > 0, ¿no?

• Supongamos además que es lineal, es decir, U(x) = a+bx, con b > 0

• Entonces U(0) = a, U(30) = a+30b, U(70) = a+70b y U(100) = a+100b

116


• Entonces resulta que: ½U(30)+½U(70) = ½U(0)+½U(100)

• Si la utilidad es lineal, las loterías con igual valor esperado son indiferentes entre sí

• Si, como es habitual, L2 es mejor que L1, la función de utilidad esperada debe ser cóncava

• Esto se llama aversión al riesgo

117

Aversión al riesgo

• Hablamos de aversión al riesgo si:

• Por ejemplo, prefieres 50 euros a otra alternativa en la que ganas 100 si una moneda sale cara y 0 si sale cruz

• Aversión al riesgo implica que la función Ues cóncava (segunda derivada < 0)

)()()( 22112211 xUpxUpxpxpU +≥+

118

Aversión al riesgo

xx1 x2p1x1+p2x2

U(p1x1+p2x2)

p1U(x1)+p2U(x2)

U

EC

119

Aversión al riesgo

• En general, suponemos que a las personas no les gusta el riesgo

• Otra forma de ver la aversión al riesgo es la siguiente

• Si un individuo es averso al riesgo, entonces, para todo x:

U(x) ≥ EU(x+∈), donde E(∈) = 0

• Por ejemplo, 100 euros frente a una lotería que paga 105 o 95 (ambos con ½)

120

Definiciones

• El equivalente cierto (EC) es la cantidad de dinero que el individuo valora igual que la alternativa incierta: E{U(x)} = U(EC)

• La prima de riesgo (PM) es el valor esperado de la alternativa menos el EC

• La prima del riesgo es el coste monetario del riesgo. Es lo que pagaría el individuo por evitar el riesgo

121

Definiciones

• Por ejemplo, ¿cuál es para ti el EC de una lotería que te da 100 euros con ½ y 0 euros con ½?

• Supongamos que es 30 euros. Sería 50 euros si no te preocupa el riesgo

• Si tu EC es 30 euros, la prima del riesgo es 50-30 = 20 euros

122

Transformaciones permisibles

• Una función de utilidad esperada no es invariante frente a una transformación arbitraria

• Si tu función de UE es U(x) = αx entonces tú eres “neutral” frente al riesgo y sólo te preocupa el valor esperado

• Si mi función de UE es V(x) = {U(x)}1/2, mi función es cóncava

123


• Yo tengo aversión al riesgo

• Pero entonces tú y yo no evaluamos las loterías de la misma forma

• Las funciones de UE sólo son invariantes frente a transformaciones lineales

• Si tu función es U(x) y la mía es V(x) = a+bU(x) con b > 0, entonces ambos ordenamos las loterías igual

124


• Esto nos permite re-escalar la función de forma que asignamos al peor resultado utilidad 0 y al mejor utilidad 1

• Si el peor resultado es -1,000 euros y el mejor resultado es +25,000 euros y tenemos U(-1000) = u0, U(25000) = u1, podemos re-escalar a V(x) = a+bU(x), con b = 1/(u1-u0) y a = u0/(u1-u0)

125

Tu función de utilidad esperada

• Supongamos que el peor resultado posible es -100 y el mejor es +1,000

• Queremos asignar números a todos los valores entre -100 y 1,000

• Empezamos por asignar U(-100) = 0 y U(1000) = 1

• Para cualquier valor intermedio, contesta a la pregunta siguiente:

126


Si tuvieras la opción de elegir entre 250 euros seguros y una lotería que da +1,000 euros con probabilidad p o -100 euros con probabilidad (1-p), ¿para que valor de pestarías indiferente entre ambas opciones?

127


• Le llamamos p250. ¿Es mayor que .318?

• Obviamente, 0 < p250 < 1

• Podemos asignar a la cantidad 250 ese valor, es decir, U(250) = p250. ¿Por qué?

• Por la definición de p250, tenemos:p250U(1,000)+(1- p250)U(0) = U(250)

• Como U(-100) = 0, U(1000) = 1, tenemos que U(250) = p250

128

Precio de una acción

• Tienes 20 euros en el bolsillo y también una acción de una empresa

• Mañana esa acción puede valer 16 euros u 80 euros (ambas con ½)

• ¿Cuál es el precio mínimo al que estarías dispuesto a vender la acción?

• La utilidad esperada si no vendes es:½U(36)+½U(80)

129

Precio de una acción

• La utilidad esperada si vendes al precio pes U(20+p)

• Querrás vender siempre que:U(20+p) ¥ ½U(36)+½U(80)

• El precio mínimo p* cumple:U(20+p*) = ½U(36)+½U(80)

• Si U(x) = x½, p* = 44 euros

• Sólo vende si p ¥ 44

130

Seguros

• Probamos que un averso al riesgo, si puede comprar un seguro actuarialmente justo, elegirá asegurarse completamente

• Supongamos que tienes 30,000 euros pero con una probabilidad p puedes perder 10,000 euros

• Sin seguro, tu utilidad esperada es: (1- p)U(30,000)+pU(20,000)

• Sabemos que U’ > 0 y U’’ < 0

131

Seguros

• Una póliza de seguros te da 1 euro de cobertura si pagas una prima π

• Es decir, si pagas π euros de prima, en caso de accidente la compañía te paga 1 euro y nada en otro caso

• El valor esperado de la póliza para la compañía es (1-p)π + p(π-1)

• Cuando esto es cero, se dice que el seguro es actuarialmente justo

132

Seguros

• Esto implica que π = p

• Si compras C euros de cobertura tu UE es:

Φ(C) = (1-p)U(30,000-πC)+

+pU(20,000-πC+C)

• La CPO (comprobar la CSO) es:

Φ’(C) = -π(1-p)U’(30,000-πC)+

+(1- π)pU’(20,000+(1- π)C) = 0

133

Seguros

• Comprobamos que nunca puede ocurrir C* = 0

• La CPO quedaría (dado que π = p): Φ’(0) = -π(1- π)U’(30,000)+

+(1- π)πU’(20,000) = 0

• Es decir (1- π)π[U’(20,000)-U’(30,000)] = 0

• Esto es imposible ya que U es cóncava

134

Seguros

• Dado que π = p:

-p(1-p)U’(30,000-pC)+

+(1- p)pU’(20,000+(1- p)C) = 0

• O también:U’(30,000-pC) = U’(20,000+(1- p)C)

• Como U’’ < 0:30,000-pC = 20,000+(1- p)C

135

Seguros

• Pero entonces C = 10,000

• Variantes: Si tienes que pagar una tasa

de F euros, pero aún π = p, puedes probar que si se asegura, se asegura por completo. No obstante, puede que no se asegure (si F es suficientemente grande)

• Si π > p, el individuo no se asegura completamente

136

Defraudar

• Un contribuyente tiene una renta y. El tipo marginal del impuesto es t (0 < t < 1)

• Debe elegir la renta x que declara, con lo que paga tx

• Ser honrado significa x = y

• No ser honrado significa 0 ≤ x < y

• Llamamos z = y-x a la renta que oculta

• La AT revisa la declaración con probabilidad p (independiente de x)

137

Defraudar

• Si le revisan y ha defraudado le pillan

• Debe pagar lo que ocultó mas una multa

θz

• Con probabilidad p su renta es:

y-tx-θz-tz = y(1-t)-θz

• Con 1-p su renta es:y-tx = y(1-t)+tz

• Maximiza la utilidad esperada

138

Defraudar

• Su objetivo es elegir z ∈ [0, y] para:Max U(z) = (1-p)U(y(1-t)+tz)+

+pU(y(1-t)-θz)

• La primera derivada es:

U’(z) = t(1-p)U’(y(1-t)+tz)-θpU’(y(1-t)-θz)

• Evaluando en z = 0:

U’(0) = [t(1-p)-θp]U’(y(1-t))

139

Defraudar

• Vemos que para que U’(0) > 0 debe ocurrir que:

• Esta condición garantiza que z* > 0. Es decir, que decide defraudar

• También obtenemos ∂z*/∂p < 0 y que ∂z*/∂θ < 0. El signo de ∂z*/∂t es ambiguo

θp

pt

−>

1

140

Búsqueda (“search”)

• En el mundo real encontramos una gran variación de precios de los productos

• Pero entonces, esto significa que los consumidores podrían ganar si buscan el mejor precio

• La teoría de búsqueda parte de la idea de que el precio es, desde el punto de vista del consumidor, una variable aleatoria

141

Búsqueda (“search”)

• Supongamos que la función de densidad del precio es f(p)

• El coste de obtener información de un precio (visitar una tienda) es c

• El individuo usa un precio de reserva.

Comprará si p ≤ p*

• Coste esperado (fórmula recursiva):

∫∫∞

++=*

*

)(*)()(*)(p

p

dppfpJdpppfcpJ0

142

Búsqueda

• Obtener información de un precio cuesta cy puede resultar en un precio menor que p*

• El segundo término es el valor medio del precio, dado que es menor que p*

• El tercer término es el valor de continuación, en términos esperados

143

Coste esperado de comprar

• CPO:

*)(

)(*)(

*

pF

cdpppfpJ

p

+= ∫0

2

*

0

*)(

)(*)(

*)(

*)(**)(

pF

cdpppfpf

pF

pfppJ

p+

−=′∫

( )*)(**)(

*)(

*)(

)(*

*)(

*)(*

pJppF

pf

pF

cdpppfp

pF

pfp

−=

+−= ∫0

144

Solución

• La solución es J(p*)=p*

• Consiste en fijar un precio de reserva igual al coste total esperado de comprar el bien

• La regla es comprar siempre que encontremos un precio por debajo de dicho precio de reserva

• No tiene sentido esperar por un precio menor de lo que esperamos pagar en promedio

145

Ejemplo

• Si el precio p sigue una distribución uniforme en el intervalo [a,b], obtenemos:

• Aplicando la CPO, obtenemos:

• A medida que c → 0, p* → a

ap

abcappJ

−−

++=*

)()*(*)(

2

1

)(* abcap −+= 2

146

Ejemplo

• Cuando el coste es muy bajo sólo compramos si el precio está cerca del mínimo

• Sea a = 200, b = 500 y c = 20

• Calculamos p* = 309.5 euros

• Si el coste sube a c’ = 40 euros, entonces p* = 355 euros

147

Ejemplo

• Además, p* < b siempre que 2c < (b-a)

• Según esto, si lo más que podemos ahorrar buscando otro precio es menos que el doble del coste, no merece la pena buscar más precios

• Lo óptimo es comprar ya

• Cuanto menor es la dispersión, menor es el precio de reserva

148

Equilibrio general

• Los individuos poseen unas dotaciones iniciales de los bienes

• Van al mercado donde observan precios, intercambian bienes a esos precios para maximizar su utilidad

• Un equilibrio es un vector de precios(uno para cada bien) y una asignación tal que todos los mercados se vacían

149

Equilibrio general

• Los mercados se vacían cuando en cada uno de ellos la oferta es igual a la demanda

• Cuestiones:

– ¿Es algo bueno el equilibrio?

– ¿Existe?

– ¿Es único?

– ¿Puede ocurrir? ¿Cómo se determina?

150

Economías de Edgeworth

• Dos individuos (1 y 2) y dos bienes (X e Y)

• Cesta del 1: (x1, y1)

• Cesta del 2: (x2, y2)

• Dotaciones iniciales: (̅x1, ̅y1) y (̅x2, ̅y2)

• Una asignación {(x1, y1), (x2, y2)} es factible si se cumple:

– x1+x2 ≤ ̅x1+ ̅x2 = ̅x

– y1+y2 ≤ ̅y1+ ̅y2 = ̅y

151

Economías de Edgeworth

• Además vamos a suponer que no se desperdician los bienes. Es decir:

– x1+x2 = ̅x1+ ̅x2 = ̅x

– y1+y2 = ̅y1+ ̅y2 = ̅y

• Entonces las asignaciones se pueden representar en una caja, llamada caja de Edgeworth

152

Caja de Edgeworth

• Las dotaciones iniciales determinan el tamaño de la caja:

1

2

y1

y2

x1 x2

153

Preferencias

1

2

u1

154

Eficiencia de Pareto

1

2

u1

2

155

Curva de contrato

1

2

156

Ejemplo

• Los dos individuos tienen preferencias Cobb-Douglas y la cantidad total de cada bien es 1. Por tanto, x2 = 1 – x1

• Las funciones de utilidad son u1 = xαy1-α, u2 = (1-x)β(1-y)1-β

• Las asignaciones PE cumplen:

)1)(1(

)1(

)1( 2

2

1

1

x

y

yux

u

yux

u

x

y

−β−−β

=

∂∂

∂∂

=

∂∂

∂∂

=α−

α

157

Ejemplo

• Podemos resolver para y:

• Sólo depende del parámetro

)()(

)()()(

)(

xx

x

x

xy

−

−−

+

=−+−

−=

11

11

1

βααβαβαβ

βα

βα−αβ−)1(

)1(

158

Curva de contrato, caso CD

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

159

Dotaciones iniciales

• Las dotaciones iniciales representan las combinaciones de bienes que los individuos poseen inicialmente

• Es un punto en la caja

• Las curvas de indiferencia que pasan por las dotaciones iniciales representan un nivel mínimo de utilidad que los individuos se pueden garantizar (no comerciando)

160

Asignaciones eficientes e individualmente racionales

1

2

161

Existencia de equilibrio

1

2

162

Equilibrio general

• n bienes, I individuos, preferencias convexas

• Primer teorema del bienestar: el equilibrio competitivo es Pareto eficiente

• Segundo teorema del bienestar: toda asignación eficiente es un equilibrio competitivo para unas dotaciones iniciales apropiadas

• Existe un equilibrio competitivo

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