Teoria de armónicas y series de fourier

7/25/2019 Teoria de armnicas y series de fourier

1/41

INTRODUCCIN

Una interpretacin simple del teorema de Fourier es que cualquier funcinque cumpla ciertas condiciones se puede expresar como una combinacin

lineal de senos y cosenos !s"# estas combinaciones se pueden con$ertir enun instrumento que permitan anali%ar el comportamiento de funciones quede otro modo ser"a complicado &acer 'in embar(o se debe estudiaradecuadamente el teorema de Fourier relacion)ndolo con los temas $istosanteriormente

*ste traba+o tiene el ob+eti$o de resumir y exponer una in$esti(acinbiblio(r),ca de tres temas que permiten comprender me+or del teorema de

Fourier- funciones de periodo . # funciones pares e impares# armnicas

pares e impares y aplicaciones

/rimeo se desarrollar) el tema de funciones de periodo . que sonfunciones cuya frecuencia fundamental es i(ual a 0 1ue(o# se abordar)n lasfunciones pares e impares# que re,eren a funciones con comportamientossim2tricos y anti sim2tricos respecto del e+e $ertical del ori(en Como tercerpunto# las armnicas pares e impares que son los t2rminos del desarrollo dela serie de Fourier y por tanto son m3ltiplos de la fundamental4 asimismo seabordan aplicaciones en in(enier"a del estudio de las armnicas en lossistemas el2ctricos !s" tambi2n# se desarrollaran los e+ercicios propuestos5#6# 7 y 8 de la seccin correspondiente a 'eries de Fourier en el libro

Anlisis Matemtico III del In( 9oracio Urtea(a : teniendo en cuenta losconocimientos adquiridos con esta in$esti(acin

Finalmente# es importante se;alar que como complemento en la reali%acinde este traba+o se &an empleado los softatlab

0


2/41

0 FUNCION*' D* /*RIODO .?

00 FUNCION /*RIODIC!-

'e dice que una funcin

RRf :

es peridica# si existe un n3mero positi$o

@TA tal que-RtTtftf += ),()(

Dnde- T recibe el ombre de periodo de la funcin)(tf

BFuncin peridica

Frecuencia-

1a frecuencia

es el n3mero de ciclos completos &ec&os en un inter$alo

de lon(itud2

OBSERVACION: 1as funciones)(cos)( tytsen

son peridicas y de periodo2

'u frecuencia es y su frecuencia circular es 0

.


3/41

*Funcin seno

'i el periodo T de una funcin peridica)(tf

es .? entonces1=y la serie

I de,nida por

=

=

++=11

0 cos2

1)(

n

n

n

n tsennbtnaatf

se con$ierte en-

=

=++=

11

0 cos2

1)(

n

n

n

n senntbntaatf

Donde los coe,cientesnn ba est)n dados por-

.0,1,2,3,..n;cos)(1

== +Td

d

n ntdttfa

.0,1,2,3,..n;)(1

==

+Td

d

n ntdtsentfb

Ejemplo N1.- Hallar la expansin de la serie de o!rier de la

"!n#in peridi#a)(tf

$ de periodo %&$ de"inida por:20;)( = tttf

'olucin-

E


4/41

0 *n la ,(ura se muestra la (r),ca de la funcin)(tf

sobre el inter$alo 44 t

Como la funcin es peridica solo necesitamos dibu+ar unperiodo y el patrn se repetir) en otros periodos

. 9allemos los coe,cientes de Fouriernaya 0-

22

11)(

12

0

22

0

2

0

0 =

===

ttdtdttfa

===

2

0

2

0

cos1

.0,1,2,3,..n;cos)(1

ntdttantdttfa nn

E Inte(rando por partes obtenemos-

0

0cos

2cos

1

2

21cos122

2

02 =

+=

+= nn annnnsennnnt

n

nttsen

a

*n este caso obser$amos la necesidad de resol$er0aseparadamente

dena

9allemosnb-

===

2

0

2

0

1

.0,1,2,3,..n;)(1

ntdttsenbntdtsentfb nn

5 Inte(rando por partes obtenemos-

nbn

nn

ntsennt

n

tb nn

22cos

21cos

12

02

=

=

+=

6 1ue(o de-

=

=

++=11

0 cos2

1)(

n

n

n

n ntdtsenbntdtaatf

# la expansin en

serie de Fourier es-

=

=1

)(2

)(n

ntsenn

tf


5/41

O# en su forma expandida-

+++++= ......

3

3

2

22)(

n

ntsentsentsentsentf

Ejemplo N%.- 'ada la "!n#in peridi#a

,)( 2 += ttttf$ de

periodo2

$ (ra")*!ela en el in+er,alo

[ ] 3,3 l!e(o alle s!

expansin en serie de o!rier.

'olucin-

0 (ra,ca de la funcin)(tf

en el inter$alo GE? H t H E?

. Calculo de los coe,cientes de la serie de Fourier-

( ) 202

0

232

03

2

23

11)(

1

=

+=+==

att

dtttdttfa

( ) .0,1,2,3,..n;cos1cos)(1 2 =+==

ntdtttntdttfan

Inte(rando por partes obtenemos-

nn

ntn

ntsenn

tntsen

nntsen

n

tntsen

n

tan cos

41cos

1

2

2

12232

2

=

+++=

( )nnn

a 142 =

9allemosnb-

5


6/41

( ) ,...3,2,1;1)(1 2 =+==

ndtntsenttdtntsentfbn

Inte(rando por partes obtenemos-

+++= ntsennntnt

ntnntsenn

t

ntn

t

bn

1

coscos

2

2

cos

1232

2

( )nnnn

bnn

b 12

cos2 ==

Finalmente la expansin en serie de Fourier de f t est) dada por-

( ) ( )

=

=

+=11

2

2 12

cos14

3

1)(

n

n

n

nntsen

nnt

ntf

O en forma expandida-

+++

+++= ...

3

3

2

22...

3

3cos

2

2coscos4

3

1)(

2222

2 tsentsensenttt

ttf

E >2todo alternati$o- usandojn te

+==+

dtettdtetfjba jntjntnn )(1

)(1 2

( ) ( )

+

+

+=

+

+=+ 32

22 2121121

jn

ee

jn

te

jn

ttdte

jn

te

jn

ttjba

jntjntjntjntjnt

nn

Como-( )njnt nsenjne 1cos =+=

( )njnt nsenjne 1cos ==

jj

=1

( )32

2

32

22212121

nj

nnj

nj

nnjjba

n

nn

+++

++

=+

=+

nj

njba nnn

24)1(

2

I(ualando la parte real e ima(inaria lle(amos a los resultadosanteriores-

( ) ( )nnn

nn

bn

a 12

142

==

.G FUNCION*' CONTINU!' /OR TR!>O' 'O:R* UN /*RIODO

6


7/41

Una funcin peridica)(tf

puede estar especi,cada por tramos sobre unperiodo o# inclusi$e# puede ser continua por tramos sobre un periodo# comose muestra en la (r),ca

/ara calcular los coe,cientes de Fourier# en tales casos# es necesariodescomponer el inter$alo de inte(racin utili%ando frmulas de *uler4 paraque correspondan a las distintas componentes de la funcin

/or e+emplo la funcin)(tf

# de la ,(ura anterior# est) de,nida en el

inter$alo t

# por-

=

,)(

-,)(-,)(

)(

3

2

1

tqtf

qtptfpttf

tf

es peridica de periodo2

1as frmulas de *uler para los coe,cientes de Fourier del tema anterior# secon$ierten en-

++=

p q

p q

n ntdttfntdttfntdttfa

cos)(cos)(cos)(1

321

++=

p q

p q

n ntdtsentfntdtsentfntdtsentfb

)()()(1

321

7


8/41

Ejemplo N1.- /na "!n#in peridi#a)(tf

de periodo2

es+0

denida$ den+ro del periodo20 t

$ por:

=

2,2

2,

2

20,

)(

tt

t

tt

tf

2ra*!e la "!n#in)(tf

para 32 t

en#!en+re s! expansinen serie de o!rier.

'olucin-

0 =ra,ca de la funcinf

-

. 9allemos los coe,cientes de Fourier-

8

5

22

1)(

12

0 2

22

0

0 =

++= dt

tdtdttdttfa

.0,1,2,3,..n;cos)(1

2

0

==

ntdttfan

++=

2

0 2

2

cos2

cos2

cos1

ntdtt

ntdtntdttan

2

22

2

02 2

cos

2

2

2

cos

1

+

+

+

+=

n

nt

n

ntsentntsen

nn

ntntsen

n

tan

( )[ ]

=

+=

imparesnsi

n

paresnsinan

n

na

n

nn

,2

,111

cos32

cos22

1

2

22

2

8


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9allemosnb-

.0,1,2,3,..n;)(1

2

0

==

ntdtsentfbn

++=

2

0 2

2

2

2

1

ntdtsent

ntdtsenntdttsenbn

2

22

2

02 2

cos

2

2cos

2

cos

1

+

+

+=

n

ntsen

n

nttnt

nn

ntsennt

n

tbn

( )

== imparesnsi

n

paresnsi

bn

senn

b nnn,

1

,0

)2

(1

2

2)1(

2

E 'e(3n la ecuacin $ista en el tema de funciones de periodo .?# la

expansin en serie de Fourier de)(tf

esta dada por-

...7

7

5

5

3

31

...10

10cos

6

6cos

2

2cos2...

5

5cos

3

3coscos

2

6

5)(

222

22222

++

+

+++

+++=

tsentsentsensent

tttttttf

J


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E '*RI*' D* FOURI*R /!R! FUNCION*' /!R*' * I>/!R*'D*'!RRO11O CO'*NOID!1 O '*NOID!1

E0 FUNCION*' /!R*' * I>/!R*'*n el mane+o de series de Fourier es muy 3til obser$ar dos tipos defunciones con las que podemos &acer simpli,caciones de las frmulas de*uler K Fourier *stas son las funciones pares e impares que(eom2tricamente se caracteri%a por la propiedad de simetr"a con respectoal e+e y al ori(en# respecti$amente

E00 FUNCIN /!R

'e dice que una funcin f :R R # es par si satisface la condicin

f(t)=f( t) , tR 1a (ra,ca de una funcin par es sim2trica respecto del

e+e @yA

*+emplos-

a f(x )=x4x2+7

=r),ca

b f(x )=cos (x )

=r),ca

0L


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E0. FUNCION I>/!R

'e dice que una funcin

f :R R

# es impar si satisface la condicinf(t)=f( t) , tR 1a (ra,ca de una funcin par es sim2trica respecto

del ori(en

*+emplos-

a f(x )=x3

=r),ca

b f(x )=sen(x )

=r),ca

00


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E. /RO/I*D!D*' D* 1!' FUNCION*' /!R*' * I>/!R*'

a3 4a s!ma de dos "!n#iones impares es !na "!n#in impar.

Demostracin

'i f1(x )y f2 (x ) sonimpares y ademas g (x )=f1 (x )+ f2(x )entonces, g (x )es impar -

*n efecto si g (x ) es impar se debe cumplir que- g (x )=g(x )

g (x )=f1(x )+f

2(x )

/ero como f1(x )+ f2(x ) son impares

g (x )=f1(x ) f

2(x )

f

[1 (x )+ f2(x )]=g (x)g (x )=

53 El prod!#+o de dos "!n#iones pares es !na "!n#ion par

Demostracin

f1(x )y f

2(x ) son pares y ademas g (x)=f

1(x )f

2(x ) entonces ,g (x ) es par

'i g (x ) es una funcin impar se debe cumplir que- g (x )=g(x)

g (x )=f1(x )f

2(x )

/ero como f1(x )+ f2(x ) son pares

0.


13/41

g (x )=f1(x )f

2(x )

f

[1 (x )f2 (x ) ]=g (x)g (x )=

#3 El prod!#+o de dos "!n#iones impares es !na "!n#in par

Demostracin

f1(x )y f2 (x ) sonimpares yademas g (x )=f1 (x )f2 (x ) entonces,g (x ) es par

'i g (x ) es una funcin par se debe cumplir que- g (x )=g(x)

g (x )=f1 (x )f2 (x )

/ero como f1(x )+ f2(x ) son impares

g (x )=f1(x )f

2(x )

f

[1 (x )f2 (x ) ]=g (x)g (x )=

d3 El prod!#+o de !an "!n#in impar !na par es !na "!n#ion impar

Demostracin

f1(x )es impar y f

2(x ) es par y g (x)=f

1(x )f

2(x ) entonces ,g (x ) es par

'i g (x ) es una funcin par se debe cumplir que- g (x )=g(x)

g (x )=f1 (x )f2 (x )

/ero como f1(x )es impar y f2 (x ) es par

g (x )=f1(x )f

2(x )

g (x )=[ f1 (x )f2(x ) ]=g(x )

e3 4a deri,ada de !na "!n#in par es !na "!n#in impar

0E


14/41

Demostracin

/ara demostrar esta propiedad utili%amos la re(la de la cadena

'ea f(x ) una funcio par entonces- f(x )=f(x)

Deri$ando

[ f(x )]'=[ f(x )]

' f

'(x )=1 [ f(x )]0f'(x )

f' (x )=f' (x )

"3 4a deri,ada de !na "!n#ion impar es !na "!n#ion par.

Demostracin

/ara demostrar esta propiedad utili%amos la re(la de la cadena

'ea f(x ) una funcin impar entonces- f(x)=f(x )

Deri$ando

[f(x )]'= [ f(x )]'

f '(x )=1 [ f(x )]0f'(x )

f(x )=f'(x )

(3 Si la "!n#in f:R R es par se #!mple:

a

a

f( t) dt=2a

a

f( t) dt

Demostracin-

!plicando la propiedad de inte(ral inde,nida-

a

a

f( t) dt=a

0

f( t)dt+0

a

f(t) d t (1)

9aciendo t M Gx# en la primera inte(ral-

a

0

f( t) dt=a

0

f(x ) (dx)=a

0

f(x ) dx=0

a

f(x ) dx

Como f( t) es par, es decir f(x )=f(x ) ,dedonde

0


15/41

a

0

f( t) dt=0

a

f(x ) dx=0

a

f(x ) dx=0

a

f(t) dt.(2)

!l reempla%ar dos . en 0 se tiene

a

a

f( t) dt=a

0

f( t)dt+0

a

f( t) dt=0

a

f( t)dt+0

a

f(t) dt=20

a

f( t) dt

a

a

f( t) dt=20

a

f(t) dt

3 Si la "!n#in f:R R es imapar se #!mple:

a

a

f( t) dt=0

Demostracin

!plicando la propiedad de la inte(ral inde,nida

a

a

f( t) dt=a

0

f( t)dt+0

a

f( t) dt=0

a

f( t)dt+0

a

f(t) dt ..(1)

Como f( t) es impar entonces f(t)=f(t) .

!l reempla%ar . en 0 se obtiene

a

a

f( t) dt=a

0

f( t)dt+0

a

f( t) dt=0

a

f(t) dt+0

a

f( t)dt=0

a

f( t) dt+0

a

f( t) dt

a

a

f( t) dt=0

EE '*RI* D* CO'*NO'

Usando las propiedades anteriores y &aciendo d=1

2T en la ecuacin

an=2

T

d

d+T

f( t)cosndt tenemos-

'i f( t) es una funcion periodica par# de periodo T# entonces-

05


16/41

an=2

TT/2

T/2

f( t)cos ntdtan=4

T

0

T/2

fcosntdt

bn=2

TT/2

T/2

f( t) senntdtb n=0

/or la tanto la expresin en serie de Fourier de una funcion peridica par# deperiodo T# consiste de t2rminos en cosenos solamente y se(3n-

f( t)=12

a0

+n=1

( an cosnt)+n=1

bn sennt

*st) dada por-

f(x )=1

2 a0+n=1

an cosnt

Donde

an=4

T

0

T/2

f( t)cos ntdt;n=0,1,2,3 .

E '*RI* D* '*NO'

'i f( t) es una funcion periodica impar# de periodo T# entonces-

an=2

TT/2

T/2

f( t)cos ntdt=0

bn=2

TT/2

T/2

f( t) senntdt b n=4

T0

T/2

f(t) senntdt

/or la tanto la expresin en serie de Fourier de una funcion peridica par# deperiodo T# consiste de t2rminos en cosenos solamente y se(3n-

f(x )= 12

a0

+n=1

(an cosnt)+n=1

bn sennt

*st) dada por-

06


17/41

f( t)=n=1

bn sennt

Donde

bn=4

T

0

T/2f( t) senntdt ; n=0,1,2,3.

Ejemplo N 1:

Dada la funcion peridica f( t)=t2

con periodo 2 # de,nida dentro del

periodo


18/41

t2dt=

2 3

3;n=1,2,3, ..

f( t)dt=20

a0= 2

0

t2cosntdt=

2

[ t2

nsennt+

2 t

n2

cosnt2

n3

sennt]f(t) cosntdt= 2

0

an=2

0

an=2

( 2n2 cosnt)=4

n2(1 )n

1ue(o la expasin de Fourier de f( t) es-

f( t)=1

3

2+4n=1

(1 )n

n2 cosnt

!R>NIC!'

*l concepto de armnico se puede deducir del Teorema de Fourier se(3n elcual ba+o ciertas condiciones anal"ticas# una funcin peridica cualquierapuede considerarse inte(rada por una suma de funciones seno o coseno#incluyendo un t2rmino constante en caso de asimetr"a respecto al e+e de lasabscisas 1a se;al fundamental# del mismo periodo y frecuencia que lafuncin ori(inal es la primera armnica y el resto ser)n funciones cuyasfrecuencias son m3ltiplos de la fundamental que son denominadasarmnicas de la funcin peridica ori(inal

0 !R>ONIC!' /!R*' * I>/!R*'

00 !R>ONICO' /!R*'

08


19/41

@Son los trminos del desarrollo de una serie de Fourier que tienenfrecuencias que son mltiplos pares del componente fundamental

'i f(t)es una funcin peridica tal que-

f(t+ 12 T)=f( t)

*ntonces tiene periodo T/2 y frecuencia =2(2/T) y slo las

armnicas pares est)n presentes en su expansin en serie de Fourier /ara npar tenemos-

an=4

T0

T/2

f( t)cos ( nT) dt

bn=4

T

0

T/2

f( t) sen (nT) dt

0. !R>ONICO' I>/!R*'

Son los trminos del desarrollo de una serie de Fourier que tienenfrecuencias que son mltiplos impares del componente fundamental

'i f(t)es una funcin peridica tal que-

f(t+ 12 T)=f( t)

*ntonces tiene periodo T/2 y frecuencia =2(2/T) y slo las

armnicas impares est)n presentes en su expansin en serie de Fourier/ara n impar tenemos-

an= 4T0

T/2

f( t)cos ( nT) dt

bn=4

T

0

T/2

f( t) sen (nT) dt

B1as ondas sim2tricas contienen 3nicamente amnicos impares# mientrasque para ondas asim2tricas existir)n tanto armnicas pares como impares

**>/1O

0J


20/41

C0l#!lo de las armni#as de !na se6al #!adrada

*sta se;al est) de,nida por

f( t)=1 , t

2

2t

f( t)=1 ,

2 t

2

B!nda cuadrada ("A) que alterna su #alor entre dos #alores e$ternos% Se emplea

&eneralmente para la &eneracin de pulsos elctricos%

!l anali%ar la se;al se obser$a que T=2 # adem)s f(t+T2)=f( t) sobreel inter$alo mostrado /or tanto# solo las armnicas impares est)n presentesen la expansin en series de Fourier

Calculamos los coe,cientes de la serie-

/ara esta se;al se cumple-a

0=0

bn=0

/or tanto# solo calculamos an

an=2

T

f(t) cos (nt) dt Donde 0=2

T=

2

2=1

.L


21/41

an=2

T

f(t) cos (nt)dt

an=1

[

2

cos (nt) dt+2

2

cos (nt)dt+2

cos (nt) dt

]an=

1

2(2sen( n2)sen (n))

n

an=

2(2 sen( n2)sen (n))n =

{1

4 sen

(

n

2

)n ,sinesimpar

0 , sin es par

*$aluando lo t2rminos de la serie-

f( t)=4

[cos0t

1

3cos30 t+

1

5cos50 t

1

7cos70t+]

Interpretacin

1a interpretacin de esta serie es la si(uiente# la se;al cuadrada mostradaen la ,(ura tiene EEP del EQ armnico# .LP del 5Q armnico# 0.JP del 7Qarmnico# etc

1a comparacin en porcenta+es espectro de onda de las ma(nitudes de losarmnicos con respecto a la ma(nitud fundamental se muestra acontinuacin-

.0


22/41

B'a composicin de frecuencias de una seal e$presada por la serie de Fourier se llamaespectro de frecuencias de la seal% ste espectro se &ra+ca con las frecuencias armnicasen el e,e de las a-scisas . sus amplitudes en las ordenadas%

. !/1IC!CION*'.0 !R>ONICO' R*D*' *1CTRIC!'1a ener("a el2ctrica com3nmente se (enera en las (randes centralesutili%ando m)quinas rotatorias s"ncronas cuyo campo es excitado con un$olta+e de CD corriente directa e impulsado mec)nicamente por una

turbina# produciendo una tensin senoidal trif)sica en las terminales de suarmadura Dic&a forma de onda es caracter"stica del dise;o de la m)quina yde la disposicin de sus de$anados Cuando un $olta+e senoidales aplicadoa un circuito lineal las corrientes que Suyen en el sistema y ca"das de $olta+etambi2n son senoidales%

Cuando la onda de corriente o de tensin medida en cualquier punto de unsistema se encuentra distorsionada con la relacin a la onda senoidal queidealmente deber"amos encontrar# se dice que se trata de una ondacontaminada con componentes armnicos

..


23/41

*!nda de #olta,e senoidal ideal

.00 Distorsin armnicaCuando las armnicas se combinan con la frecuencia fundamental# ocurre la

distorsinde la onda 1a distorsin armnica es causada por dispositi$os no linealesconectados alsistema de potencia# en los cuales la corriente no es proporcional a latensin aplicada

Cuando se &acen mediciones de las ondas de corriente o $olta+e utili%andoanali%adores dearmnicas# el equipo efect3a inte(raciones mediante la t2cnica de latrasformada r)pida deFourier# dando como resultado la serie de coe,cientes !& que expresadascon relacin a la

amplitud !0 de la fundamental# constituye el espectro de corrientesarmnicas relati$o a la ondamedida Un e+emplo de este espectro fue $isto en el e+emplo anterior

.E


24/41

*!nda fundamental . sus ondas armnicos/ 01 (234 56) 71 (044 56) . 81(9:4 56)

*!nda sumada con sus componentes armnicos (distorsionada)% "uando una onda peridicano tiene forma sinusoidal se dice que tiene un contenido armnico lo cual puede alterar supropio #alor pico .;o #alor


25/41

*n circuitos# para caracteri%ar la distorsin su distorsin armnica# se aplicauna se;al sinodal a la entrada y se mide el contenido armnico de la se;al ala salida

Formas de >edir la distorsin armnica1a distorsin armnica se mide con los si(uientes par)metros-

a Distorsin total armnica T9D

1a distorsin armnica causada por un circuito o dispositi$o electrnico sede,ne como la relacin de la pocin total de la se;al de salida producida porla armnica con respecto a la proporcin de la se;al de salida producida porla frecuencia fundamental

THD=!made c!adrados de todas "as amp"it!des arm#nicas

$mp"it!d f!ndamenta" 100

a0 T9D olta+e e intensidad de corriente Cuando se trata de armnicos de tensin# la expresin para la

distorsin armnica total se con$ierte en-

THD%=

%22+%

3

2+%4

2+

%1 100

'i se traba+a con armnicos de intensidad de corriente-

THD&=&2

2+&32+&4

2+

&1100

Ejemplo:De la onda distorsionada (ra,cada anteriormente# podemos obtener el

si(uiente an)lisis para la THD% -

!rden de armnicas Frecuencia (=6) Amplitud de ondafundamental

Fundamental 6L ..LEQ 08L 7EEE5Q ELL 7Q .L E0.J

.5


26/41

THD%=73.332+442+31.4292

220100

THD%=41.27

/or tanto# la onda distorsionada de la ,(ura contiene un 0.7 P dedistorsin armnica en $olta+e

Ejemplo

Un conductor conduce E ! a 6L 9%# 0#5 ! en la EQ4 .#0 ! en la 5Q4 0#7 ! enla 7Q y 0#L ! en la 00Q armnica Cual es la distorsin armnica total encorriente en el conductorV-

THD&=&2

2+&3

2+&4

2+

&1100

THD&=(1.5)

2+(2.1)2+(1.7)2+(1.0)2

34100

THD&=10.55

34

100

THD&=9.55

B!tra forma de medir la distorsin armnica es cuanti+car la resultante del#olta,e o intensidad de corriente de las diferentes frecuencias armnicas%

Corriente Total e,ca% -

armonicos

&

2

=1

n

&tota"=

olta+e total e,ca%

.6


27/41

armonicos

%2

=1

n

%tota"=

Ejemplo

Un conductor conduce E ! a 6L 9%# 05 ! en la Ea armnica# .0 ! en la 5ta#07 ! en la 7a y 0L ! en la 00$a armnica Cual es la corriente armnicatotal en el conductorV-

armonicos

&2

=1

n

&tota"=

&tota"=342+152+212+172+102

&tota"=221

&tota"=47.02

. FU*NT*' D* !R>NICO'

1os armnicos son el resultado de car(as no lineales# las cuales ante una

se;al de tipo sinusoidalpresentan una respuesta no sinusoidal 1as principales fuentes de armnicosson-

9ornos de arco y otros elementos de descar(a de arco# tales comol)mparas Suorescentes1os &ornos de arco se consideran m)s como (eneradores dearmnicos de $olta+e que decorriente# apareciendo t"picamente todos los armnicos .W# EW# W# 5W# pero predominandolos impares con $alores t"picos con respecto a la fundamental de-

G .LP del Eer armnico

.7


28/41

G 0LP del 5W

G 6P del 7W

G EP del JW

N3cleos ma(n2ticos en transformadores y m)quinas rotati$as querequieren corriente de tercer armnico para excitar el &ierro 1a corriente Inrus& de los transformadores produce se(undo y cuarto

armnico Controladores de $elocidad a+ustables usados en $entiladores#

bombas y controladores de procesos '


29/41

5 UI1ID!D D* 1! DI'TOR'IN !R>NIC!1os circuitos que producen distorsin armnica con todo propsito seemplean como-

>ultiplicadores de frecuencia Circuitos sintoni%adores 'inteti%adores de frecuencias =eneradores de funciones de alta frecuencia

5 **RCICIO' /RO/U*'TO'

73Una funcin peridica de periodo 2 est) de,nida# en el inter$alo

0t 2 # por-

f( t)={2t

, 0t


30/41

1ue(o reempla%ando# en la respuesta# t por t/2 demuestra que la

funcin peridica f(t 2 )3/2 est) representada por una serie de senos#de armnicas impares

'O1UCIN

f( t)=

{2

t

, 0t


31/41

a0=

1

[0

t+2

dt+0

2t

dt]

a0=

1

[(t

2

22 t) 0

+(2tt2

/2)

0

]a

0=

1

[(02 +2)+(220)]a

0=1

[3 ]

a0=3

an=2

TT/2

T/2

f(t) cos (n(0t)dt

an= 2

2

f(t) cos (n (0t) dt

an=1

[0

(t

+2)cos (n(0t)dt+

0

(2t)cos (n (0 t)dt] ,(0=22=1

an=1

[0

(t

+2)cos (nt)dt+

0

(2t)cos ( nt) dt]cos (nt)+n(t+2)sen (nt)

cos (nt)+ntsen (nt)2n

((n2 )0

]( n2 )0 +

an=1

an=1

[(cos (n)+nsen (n)1)n2 +(cos(n)+nsen (n)2n2 21)

n2 ]

an=1

[(cos (n)+nsen (n)1)

n2

]E0


32/41

1

(n1)

2a

n

=

bn=2

TT/2

T/2

f(t) sen(n(0t)dt

bn=1

[0

(t

+2)sen(nt)dt+

0

(2t)sen(nt)dt]bn=

1

[0 ]

bn=0

1ue(o-

1

( n1)

(nt)

2(n2

)cos

f( t)=32+

n=1

6 9alle la expansin en serie de Fourier de la funcin peridicaf( t)=t ,"


33/41

*!1U!CIN D* 1O' CO*FICI*NT*'

a0=

2

TT/2

T/2

f(t) dt,T=2"

a0=

2

2 ""

"

f(t) dt

a0=

1

"[""

tdt]

a0=1

"[( t2

2)""

]a0=1

"[0 ]

a0=0

an=2

TT/2

T/2

f(t) cos (n(0t)dt,(0=2

T=

2

2 "=

"

an=1"[""

tcos (n(0 t)dt]an=

1

"[(cos (nt( )n2 (2 + tsen (nt( )n( )""

] , (0=(

an=1

"[0 ]

an=0

bn=2

TT/2

T/2

f(t) sen(n(0t)dt

EE


34/41

bn=1

"[""

tsen(n(0t)dt],(0=(

bn=

1

"

[(sen (nt( )

n2 (2 +

tcos (nt( )

n(

)""

]bn=

1

[ 2 sen (n(" )2n("cos (n(" )n2(2 ]

bn=2 sen (n(")

"n2(

2

2cos (n(" )n(

1ue(o-

+( 2sen ( n(")"n2(2 2cos (n(")

n( ) sen(n(t)0

f( t)=0

2+

n=1

Donde

(0=(=

"

f( t)=n=1

(0+(2 sen ( n)

" n2( ")

2sen(

n

" t)

2cos (n)

2

"

sen(n

" t)))

/ara n par o impar

f( t)=n=1

(2cos (n)sen( nt

" )

2/" )

Como cos (n)=[1 ]n

E


35/41

f( t)=

{

n=1

( 2 sen (nt

" ) "

2 ),n par

n=1

(2sen(

nt

"

)"

2 ) ,nimpar

7 Una funcin peridica de periodo 0L est) de,nida en el periodo5 t 5 # por-

f( t)={0 ,5< t


36/41

a0=

1

TT/2

T/2

f(t) dt

a0=

1

10

[5

0

0dt+

0

5

3dt

]a0=

1

10 [c1+ (3 t)50]a0=

1

10[15+c1 ]

an=1

TT/2

T/2

f(t) cos (n(0t)dt,(0=2

10

an=1

10 [50

0dt+0

5

3cos (n(0t)dt],(0= 22=1

an=1

10 [c2+3 sen (5n (0 )n (0

]

an=1

10

[c2+

3 sen (n)n2

10 ]an=

1

10[c2 ]

bn=1

TT/2

T/2

f(t) sen(n(0 t)dt

E6


37/41

bn=1

10 [50

0dt+0

5

3 sen(n(0t)dt]

3

+

33cos (5n (0 )n(0

c

bn= 1

10

3+33cos (n)

n

5

c

bn=

1

10

Como cos (n)=[1 ]n

3+33(1)n

n

5

c

bn=

1

10

1ue(o-

f( t)=

[15+c1 ]10

+n=1

(c210cos (n (0 t)+c

3

10sen (n (0t)) ,n par

[15+c1 ]10

+n=1

(c210cos (n (0t)+ 110 [c3+ 302]sen ( n (0 t)) ,nimpar

Donde (0=210

O simplemente quedar"a-

f( t)=[15+c1 ]

10+

n=1

(c210 cos (n (0 t)+ 110 [c3+ 33(1)n

n

5 ]sen (n(0 t))

E7


38/41

8 !l pasar u $olta+e senoidal $ sent , a tra$2s de un recti,cador de

media onda se produce una onda como la que se indica en la ,(ura 9alle laexpansin en serie de Fourier

'O1UCIN

Datos-

T=2

f( t)=

{ 0,

t 0

$sen (t) ,0t

*X/!N'IN *N '*RI*' D* FOURI*R

(n(0t)+bn sen(n(0 t)an cos

f(t)= a02 +n=1

a0=

1

TT/2

T/2

f(t) dt

a0=1

T [

0

0 dt+0

$sen(t)dt]E8


39/41

a0=

1

T[c1+ 2$]

a0=

1

T

[c1+2a

]a0=

2 [c1+ 2a]

EJ


40/41

an=1

TT/2

T/2

f(t) cos (n(0t)dt,( 0=2

2

=

an=

2 [0

0dt+0

$sen(t)cos ( n (0 t) dt] , (0=2

2=1

an=

2 [c2+1 [( $2 (n+1 ) $2 (n1 ))cos (n )+ $2 (n+1 ) $2(n1 )]]an=

c2

2+

$

2

[(

1

2

(n+1

)

1

2

(n1

))(1)n+

1

2

(n+1

)

1

2

(n1

)]an=

c2

2+

$

2( 12 (n+1 ) 1

2 (n1 )) (1n+1 )

an={ c2

2+

$

( 12 (n+1 ) 12 (n1 )) ,n par c

2

2 ,nimpar

bn=1

TT/2

T/2

f(t) sen(n(0t)dt

bn=

2 [

0

0dt+0

$sen(t)sen(n (0 t)dt]3+ $ (

1

2 (n+1 ) 1

2 (n1 ))sen(n)

c

bn=

2

/ara n par o impar

bn=c

3

2

1ue(o-

L


41/41

(n(t) c2

2+

$

2( 12 (n+1 ) 1

2 (n1 )) (1n+1)cos (n(t)+ c3

2 sen

f( t)=

c1

2 +$

+n=1

R*F*R*NCI!'

*spino%a# R .LL. Anlisis Matemtico I>% *ditorial 'er$icios

=r),cos- 1ima /p 77.G776 ames# = .LL. Matemticas a#an6adas para in&enieros% /earson

*ducation- >2xico# /p .J5GELL Urtea(a# 9 .L05Anlisis Matemtico III% Reyes# = 0JJ6 Armnicas en sistemas de distri-ucin elctrica%

Tesis de =rado U!N1 Dariel# sf Armnicos en sistemas elctricos% Disponible-

&ttp-YYin(enierosesY,lesYproyectosY!rmonicosZenZsistemasZelectricos

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Teoria de armónicas y series de fourier