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1 TEORIA DE APLICACIONES Llamamos aplicaciones al proceso de utilizar herramientas matemáticas para poder resolver problemas de la vida real. Los pasos para resolver un problema de la vida real por lo general son estos 1) Observar la realidad 2) Elaborar una versión simplificada de la realidad 3) Trasladar esa versión simplificada de la realidad a un modelo matemático 4) Resolver el modelo matemático 5) Interpretar los resultados del modelo matemático EJEMPLO Resulta que Juan desea poner un negocio para vender relojes, cada reloj lo piensa vender a 600 lempiras, el los compra al proveedor por 350 lempiras, pero para tener trabajando su negocio, al mes gasta 2000 lempiras en celular, 1500 en gasolina para su moto, 500 en publicidad. 1) Simplificar esa realidad (determinar los datos) Precio de venta = 600 lempiras Costo unitario = 350 lempiras Gastos mensuales o 2000 en celular o 1500 en gasolina para la moto o 500 en publicidad 2) Modelo de la realidad en términos matemáticos q=numero de unidades quantity = cantidad MODELO MATEMATICO Y= Mx +b Total = Variable + Fija INGRESO Ingreso Total= Ingreso Variable + Ingreso Fijo I= 600(q) + 0 COSTO Costo Total = Costo Variable + Costo Fijo C = 350 (q) + 2000 + 1500 + 500 UTILIDAD HAY (600q)- (350q) (0) – (2000+1500+500) 250q -4000 Ecuaciones Ingreso: I = 600q +0 Costo: C= 350q+4000 Utilidad:U = 250q-4000 Otra opción de calculo es la siguiente U = I – C U = (600q+0) – (350q +4000) U = 600q+0 – 350q -4000 U = 250q -4000 Grafica de ingreso y costo

TEORIA DE APLICACIONES MODELO MATEMATICO€¦ · Esto nos da el precio unitario, para obtener la ecuación de ingreso debemos calcular el ingreso variable = P*Q Ingreso variable =

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    TEORIA DE APLICACIONES Llamamos aplicaciones al proceso de utilizar herramientas matemáticas para poder resolver problemas de la vida real. Los pasos para resolver un problema de la vida real por lo general son estos

    1) Observar la realidad 2) Elaborar una versión simplificada de la

    realidad 3) Trasladar esa versión simplificada de la

    realidad a un modelo matemático 4) Resolver el modelo matemático 5) Interpretar los resultados del modelo

    matemático EJEMPLO Resulta que Juan desea poner un negocio para vender relojes, cada reloj lo piensa vender a 600 lempiras, el los compra al proveedor por 350 lempiras, pero para tener trabajando su negocio, al mes gasta 2000 lempiras en celular, 1500 en gasolina para su moto, 500 en publicidad.

    1) Simplificar esa realidad (determinar los datos)

    Precio de venta = 600 lempiras

    Costo unitario = 350 lempiras

    Gastos mensuales o 2000 en celular o 1500 en gasolina para la moto o 500 en publicidad

    2) Modelo de la realidad en términos matemáticos

    q=numero de unidades

    quantity = cantidad

    MODELO MATEMATICO

    Y= Mx +b

    Total = Variable + Fija

    INGRESO

    Ingreso Total=

    Ingreso Variable

    + Ingreso Fijo

    I= 600(q) + 0

    COSTO

    Costo Total =

    Costo Variable

    + Costo Fijo

    C = 350 (q) + 2000 + 1500 + 500

    UTILIDAD

    HAY (600q)-(350q)

    (0) –(2000+1500+500)

    250q -4000

    Ecuaciones

    Ingreso: I = 600q +0

    Costo: C= 350q+4000

    Utilidad:U = 250q-4000 Otra opción de calculo es la siguiente U = I – C U = (600q+0) – (350q +4000) U = 600q+0 – 350q -4000 U = 250q -4000 Grafica de ingreso y costo

  • 2

    EL PUNTO DE EQUILIBRIO En una gráfica de Unidades-Lempiras, el punto de equilibrio nos dice en que unidades “q” los ingresos son iguales a los costos, o, o cuando la utilidad es igual a 0 Formulas

    I=C

    U=0 GRAFICA DE UTILIDAD

    3) Interpretaciones

    Con cada reloj que vendo gano 250 lempiras por reloj

    Para no tener pérdidas debo vender al menos 16 relojes

    El volumen de ventas mínimo (cantidad en lempiras) que debo tener para no tener pérdidas es de 9600 lempiras

    Si no vendo nada pierdo 4000 lempiras NOS PREGUNTAMOS ¿Cuanto debo vender para tener utilidades de 6000 lempiras? Recordamos que tenemos la ecuación

    U= 250q -4000 Igualamos

    6000 = 250q-4000 6000+4000 = 250q 10000/250 = q q=40

    RESPUESTA APLICADA Debemos vender 40 relojes para lograr una utilidad de 6000 lempiras.

  • 3

    EJEMPLO 2 Maria tiene un negocio de vender celulares en la casa en tiempos de covid, los ofrece a 900 lempiras, y los compra a 600 lempiras, su papa para estimularla solo por tener el negocio al mes le da 1000 lempiras como premio, y María es responsable de pagar su celular para hacer negocios y paga 800 lempiras, y también debe pagar el cable por el uso del internet y lo que aporta es de 400 lempiras, además gasta en gasolina para llevar el celular a los vecinos alrededor de 1200 lempiras al mes.

    1) Los datos simplificados de la realidad

    Precio de venta 900 lempiras por unidad

    Costo unitario 600 lempiras por unidad

    Ingreso fijo de 1000 lempiras

    Costos fijos

    800 lempiras de celular

    400 lempiras internet

    1200 lempiras de gasolina

    2) Elaboramos la tabla del modelo

    matemático MODELO MATEMATICO

    Y= Mx +b

    Total = Variable + Fija

    INGRESO

    Ingreso Total= Ingreso Variable + Ingreso Fijo

    I= 900*q + 1000

    COSTO

    Costo Total = Costo Variable + Costo Fijo

    C = 600*q +800+400+1200 =2400

    UTILIDAD

    U=I-C (900q)-(600q) = 300q

    (1000)-(2400) =-1400

    U = 300q -1400

    ECUACIONES

    Ingreso: I=900q+1000

    Costo: C=600q+2400

    Utilidad: U = 300q-1400

    PUNTO DE EQUILIBRIO I=C U=0 U=300q-1400 = 0 Q=1400/300 = 4.6667 unidades GRAFICAR INGRESO Y COSTO

    q Ingreso Costo Utilidad

    0 900(0)+1000 =1000

    600(0)+2400 =2400

    1000-2400 =-1400

    4.67

    900(4.67)+1000 =5203

    600(4.67)+2400 =5202

    = 1

    10 1000 8400 1600

    GRAFICAMOS INGRESO Y COSTO

    GRAFICAMOS LA UTILIDAD

    UTILIDAD ESPERADA Tenemos U = 300q-1400 Y queremos saber cual es la cantidad de unidades requeridas para lograr un ingreso de 10000, por lo que igualamos 10000 = 300q-1400 10000+1400=300q

  • 4

    (10000+1400)/300 =q 11400/300=q Q= 38 unidades Respuesta redactada: se requieren vender 38 unidades para lograr una utilidad de 10000 lempiras EJERCICIO 8: APLICACIÓN LINEAL SIMPLE 1) En el mercado de baleadas se sabe por investigaciones anteriores que si el precio de venta de cada unidad es de L15 la cantidad demandada será de 2500 unidades semanales; asimismo, se sabe que si el precio aumenta en 20% la cantidad demandada disminuirá en 20% unidades semanales. Calcule: a) La función de demanda que exprese esta relación entre el precio y la cantidad demandada. Solución: Vemos Que tenemos los datos de los dos puntos de una recta Armamos la tabla

    Momento Unidades (x) Precio (y)

    Momento 1 2500 15

    Momento 2 2500-20%(2500)

    15+20%(15)

    Calculamos el momento 2 y nos queda

    Momento 2 2500-500 = 2000

    15+3 =18

    Ahora podemos aplicar la fórmula de la pendiente

    2 1

    2 2

    (18) (15) 3

    (2000) (2500) 500

    y ym

    x x

    Calculamos la ecuación

    1 1( )y y m x x

    3(15) [ (2500)]

    500y x

    3(15) 15

    500y x

    315 15

    500y x

    330

    500y x

    Verificamos con el punto 2

    3(2000) 30 12 30 18

    500y

    Se cumple (2000,18) Expresando en variables económicas nos queda Respuesta: la ecuación del precio demandado es:

    330

    500p q

    b) Si el precio de venta de cada baleada es de L 16, ¿Cuál es la cantidad demandada? Sustituimos en la ecuación

    316 30

    500q

    500(30 16) 2333.33

    3q

    Respuesta: la cantidad demanda son 2333.33 unidades c) ¿Cuánto debe ser el precio de cada unidad si desea vender 1800 unidades semanales? Sustituimos en la ecuación

    330

    500p q

    3(1800) 30 19.20

    500p

    Respuesta: el precio de 19.20 lempiras produce 1800 cantidades demandadas. Iy(0,?) x=0

    3(0) 30 30

    500y

    (0,30) Ix(?,0) y=0

    30 30500

    x

    3

    30500

    x

    500

    303

    x

    5000 x

    Ix(5000,0) Grafique la función de Ingreso

  • 5

    DEMANDA Se puede representar asi

    La empresa establece una política de precio que permita que todos puedan comprar

    Demanda y política de precio

    A) Desde el punto de vista de descuento por volumen

    Precio = 300 -1/100q

    Donde 300 es el precio inicial -1/100 es el descuento por cada unidad adicional

    B) Desde el punto de vista de la capacidad de compra

  • 6

    EJERCICIO Resulta que la cafetería “buen cafe” hizo dos pruebas de precio y descubrió lo siguiente:

    Si ponía el precio del café a 30 lempiras, vendía 2000 unidades al mes

    Si ponía el precio del café a 35 lempiras, vendía 1500 unidades al mes

    Determine la ecuación de demanda en base a estos datos

    Momento Unidades (q) “x”

    Precio (p) “Y”

    1 2000 30

    2 1500 35

    Buscamos la siguiente ecuación P=m(q)+b O en términos matemáticos Y=mx+b Aplicamos la formula de pendiente

    2 1 2 1

    2 1 2 1

    y y p pym

    x x x q q

    (35) (30) 5 1

    (1500) (2000) 500 100m

    Se interpreta que por cada 100 unidades el precio se reducirá en 1 lempira Calculamos el b

    1 1 1 1b y mx p mq

    130 (2000)

    100b

    30 20 50b La ecuación de demanda

    150

    100p q

    Para verificar susituimos el punto 2

    1(1500) 50 15 50 35

    100p

    Como el punto (1500, 35 ) pertenece a la gráfica esta correcta la ecuación Para graficar encontramos los intercepto Ix(?,0) Iq(?, 0)

    10 50100

    q

    150

    100q

    10050

    1q

    5000 q

    Iy(0,?) Ip(0,?) 1(0) 50

    100p

    50p

    Graficamos

    El dueño del negocio desea saber cuanto vendería si pone el precio de 40 lempiras por tasa p=40

    150

    100p q

    150

    100p q

    140 50

    100q

    140 50

    100q

  • 7

    100

    40 501

    q

    100

    101

    q

    1000 q

    Respuesta: Si el precio se pone en 40 lempiras por unidad se venderán 1000 unidades El dueño del negocio desea saber a que precio debería vender para lograr 4000 unidades q=4000

    150

    100p q

    14000 50

    100p

    40 50 10p

    Respuesta: Para lograr 4000 unidades se deberán poner el precio de 10 lempiras por unidad.

  • 8

    EJERCICIO DE DEMANDA Un negocio de Baleadas tiene el precio a 30 lempiras y vende 1000 baleadas a la semana, y luego puso el precio a 40 lempiras 700 baleadas. Decimos que las unidades son “x”, y los precios son “y” al graficar nos queda así:

    Para calcular la ecuación de la demanda que se representa si

    Precio= m*q+b

    q=unidades

    p=precio final

    b=precio base En términos matematicos

    y=m*x+b

    x=unidades

    y=precio utilizamos la ecuación de la pendiente{

    2 1 2 1

    2 1 2 1

    y y p pym

    x x x q q

    (40) (30) 10 1

    (700) (1000) 300 30m

    Se interpreta que por cada 30 unidades se reduce el precio en un lempira. Calculamos el b

    1 1 1 1b y mx p mq

    130 (1000)

    30b

    1000 3 10030 30

    30 3 3b

    90 100 19063.33

    3 3 3

    Ecuacion de la demanda queda y mx b

    p mq b

    1 190

    30 3p q

    Para verificar usamos el punto 2 q=700, p=40

    1 190 700 190(700)

    30 3 30 3p

    70 190 12040

    3 3 3

    Como logramos el mismo p=40 con q=700 la ecuación esta correcta. Ix(?,0) Iq(?,0)

    1 190

    30 3p q

    1 1900

    30 3q

    190 1

    3 30q

    190 30

    3 1q

    5700

    3q

    1900 q

    Iq(1900,0) Iy(0,?) Ip(0,?)

    1 190

    30 3p q

    1 190 190(0) 63.33

    30 3 3p

    Ip(0, 190/3) Ip(0,63.33)

  • 9

    Tabla de valores

    Tipo Unidades(q) “x”(q) “x”(q)

    “x”

    Precio(p) “y”

    Iy 0 63.33

    Ix 1900 0

    Graficamos

    Cual sería el precio que se necesita poner si queremos vender 1500 unidades

    q=1500 1 190 1500 190(1500)

    30 3 30 3p

    150 190 150 190 4013.33

    3 3 3 3

    Respuesta redactada: Para vender 1500 unidades se debería poner el precio de 13.33 lempiras por unidad de baleada Cuanto venderíamos si el precio es de 25 lempiras

    p=25

    1 190q

    30 3p

    1 19025 q

    30 3

  • 10

    APLICACIÓN CUADRATICA Un negocio vende q unidades, con la siguiente

    ecuación de demanda 0 500 0.40 2q p

    donde q es el número de unidades mensuales y p es el precio en lempiras. Determine: a) Encuentre la ecuación de ingreso mensual Primero calculamos la ecuación del precio despejando para p

    2 500 0.40p q

    250 0.20p q

    Esto nos da el precio unitario, para obtener la ecuación de ingreso debemos calcular el ingreso variable = P*Q Ingreso variable = P*Q = (250 0.20q )(q+0)

    Q= cantidad demandada = q+0, donde 0 representa si hay cantidades iniciales requeridas.

    Ingreso variable = 2250 0.20q q

    Ingreso fijo =0 Por tanto la ecuación de ingreso es

    2( ) 250 0.20 0I q q q

    b) Determine la cantidad de unidades que debe vender para obtener el ingreso máximo. Como la ecuación del ingreso es una ecuación cuadrática podemos aplicar el cálculo del vértice de la formula cuadrática pare encontrar le punto máximo, (nota: es máximo porque la constante que

    va con 2x es negativa) 2( ) 0.20 250 0I q q q

    a=-0.20; b=250; c=0

    (250)625

    2 2( 0.20)v

    bx h

    a

    Respuesta: para vender el valor máximo se deben vencer 625 unidades. b) ¿Cuál es el ingreso máximo? Simplemente calculamos el valor de ingreso máximo utilizando las unidades calculadas antes

    20.20(625) 250(625)vy

    78125vy

    Respuesta: el ingreso máximo esperado con la venta de 625 unidades es de 78125 lempiras d) Haga la gráfica de la función de ingreso

    Para la gráfica ya tenemos el vértice

    (625,78125)

    El intercepto en y seria 20.20(0) 250(0) 0y

    Iy(0, 0)

    El intercepto en x seria 20 0.20( ) 250( )x x

    Por factor común

    0 ( 0.20 250)x x

    Nos da las dos respuestas X=0 -0.20x+250=0 De lo cual nos da que X= 1250 Siendo los interceptos Ix1(0, 0) Ix2(1250, 0) Con esto podemos graficar:

  • 11

    APLICACIONES CUADRATICAS La diferencia entre ecuaciones lineales y cuadráticas en el caso de problemas de ingreso, costo y utilidad es la siguiente:

    En el caso lineal los precios son constantes

    En el caso cuadrático, los precios tienen descuento por volumen, o castigo por volumen

    Por ejemplo En el caso lineal Tenemos una pizza con precio constante de 200 lempiras por unidad que se expresa así: p=200 En el caso cuadrático: Tenemos una pizza con precio inicial de 200 lempiras por unidad y un descuento de 1 lempira por cada 50 unidades que se expresa así: p=200-(1/50)*q Entonces si queremos saber los ingresos o la ecuación de ingresos, suponiendo un ingreso fijo de 3000 lempiras por apoyo del gobierno En caso lineal la ecuación seria I.Total = I.Variable+I.Fijo Ingresos = P*Q+IF = (200)(q+0) +3000 P=p=200 Q=q+0 I= 200q+3000 En el caso cuadrático la ecuación seria Ingresos = P*Q +I.Fijo Ingreso= (200-1/50q)(q+0)+3000

    200 1/ 50 0 3000I q q

    200 1/ 5 3 000 0q qI 2200 1/ 50 3000I q q

    21/ 50 200 3000I q q

    Porque ponemos (q+0) Porque en algunos casos existe la obligación de comprar cantidad minima de productos. Por ejemplo al alquilar equipo de construcción se exigen 4 horas mínimas de alquiler Si el precio de alquiler por hora es 500

    horas Pagadas valores

    0 4 500*4=0

    1 4 500*4=2000

    2 4 500*4=2000

    3 4 500*4=2000

    4 4 500*4=2000

    5 5 500*(4+1)=2500

    6 6 500*(4+2)=3000

    Resumiendo

    Caso Lineal Caso Cuadrático

    Ingreso = 200q+3000

    Ingreso = P*Q Ingreso = (200-1/50q) (q+0) +3000

    2200 1/ 50 3000I q q

    En el caso cuadrático hay un descuento se calcula según el número de unidades y este vale

    1/ 50q

    Se lee o interpreta que por cada 50 unidades se da un descuento de 1 lempiras.

  • 12

    EJEMPLO DE LINEAL Y CUADRATICA EN DOS ETAPAS CASO LINEAL Resulta que Juan desea poner un negocio para vender relojes, cada reloj lo piensa vender a 600 lempiras, el los compra al proveedor por 350 lempiras, pero para tener trabajando su negocio, al mes gasta 2000 lempiras en celular, 1500 en gasolina para su moto, 500 en publicidad. PARTE LINEAL

    MODELO MATEMATICO

    Y= Mx +b

    Total = Variable + Fijo

    INGRESO

    Total = Variable + Fijo

    I= P*Q =(600+0q)(q+0) =(600)(q)

    + 0

    COSTO

    Total = Variable + Fijo

    C = 350 (q) + 2000 + 1500 + 500

    UTILIDAD

    U= (600q)-(350q) (0) –(2000+1500+500)

    U= 250q -4000

    Graficamos Ingreso y costo

    Graficamos la utilidad

    CASO CUADRATICO Resulta que el dueño del negocio quiere poner un descuento por volumen en el precio de

    venta de 140

    que se interpreta un lempira

    cada 40 unidades el modelo nos queda asi

    MODELO MATEMATICO

    Y= Mx +b

    Total = Variable + Fijo

    INGRESO

    Total = Variable + Fijo

    I= P*Q =(600-1/40q)*(q+0)

    2160040

    q q

    + 0

    COSTO

    Total = Variable + Fijo

    C = 350 (q) + 2000 + 1500 + 500

    UTILIDAD

    HAY 21600 40q q - 350q

    (0) –(2000+1500+500)

    2125040

    q q -4000

    DETALLE DEL CALCULO DE UTILIDAD VARIABLE

    21600 35040q q q 21600 35040q q q

    21600 35040

    q q q

    21(600 350)40

    q q

    2125040

    q q

  • 13

    La utilidad quedaría 21250 4000

    40U q q

    METODO ABREVIADO UTILIDAD=INGRESO-COSTO U=[Pv*Q+IF]-[Pc*Q+CF] U=[(600-1/40q)(q+0)+0]-[350*q+4000]

    600 1/ 40 0 0 350* 4000U q q q 2600 1/ 40 0 350 4000U q q q

    2600 1/ 40 350 4000q q qU 2600 350 1/ 40 4000q q qU

    21 / 42 0 05 0 4 00q qU

    Graficamos Ingreso y Costo y utilidad

  • 14

    EJEMPLO DE EJERCICIO LINEAL CONVERTIDO EN CUADRATICO El ejercicio lineal es Maria tiene un negocio de vender celulares en la casa en tiempos de covid, los ofrece a 900 lempiras, y los compra a 600 lempiras, su papa para estimularla solo por tener el negocio al mes le da 1000 lempiras como premio, y María es responsable de pagar su celular para hacer negocios y paga 800 lempiras, y también debe pagar el cable por el uso del internet y lo que aporta es de 400 lempiras, además gasta en gasolina para llevar el celular a los vecinos alrededor de 1200 lempiras al mes.

    MODELO MATEMATICO

    Y= Mx +b

    Total = Variable + Fija

    INGRESO

    Ingreso Total= Ingreso Variable + Ingreso Fijo

    I= (900)*(q+0) 900q

    + 1000

    COSTO

    Costo Total = Costo Variable + Costo Fijo

    C = 600*q +800+400+1200 =2400

    UTILIDAD

    U=I-C (900q)-(600q) = 300q

    (1000)-(2400) =-1400

    U = 300q -1400

    Graficamos ingreso y costo

    Graficamos Utilidad

    CASO CUADRATICO Resulta que el dueño del negocio quiere poner un descuento por volumen en el precio de

    venta de 120

    que se interpreta un lempira

    cada 20 unidades, entonces el modelo nos queda asi

    MODELO MATEMATICO Y= Mx +b

    Total = Variable + Fija

    INGRESO

    Ingreso Total=

    Ingreso Variable + Ingreso Fijo

    I= P*Q= (900-1/20q)*(q+0)

    1900 20q q 21900

    20q q

    + 1000

    COSTO

    Costo Total =

    Costo Variable + Costo Fijo

    C = 600*(q+0) +800+400+1200 =2400

    UTILIDAD

    U=I-C ( 2190020

    q q )

    -(600q)

    (1000)-(2400) =-1400

    U 21900 60020

    q q q

    2130020

    q q

    -1400

  • 15

    ECUACION DE UTILIDAD 21300 1400

    20U q q

    Graficamos Ingreso, costo y utilidad

  • 16

    TAREA A: DE ECUACION LINEAL DE DEMANDA Una negocio de venta de baleas ha tenido la siguiente experiencia Al tener el precio a 40 lempiras por baleada vendía 500 unidades y al poner el precio de 30 lempiras vendió 1500 unidades.

    a) Complete la siguiente tabla

    Momento Unidades Precio

    1

    2

    b) Determine la ecuación de la demanda

    (valores de m y b) Demanda = m*q+b

    c) Determine el intercepto en x

    d) Determine el intercepto en y

    e) Grafique la demanda (recuerde no puede tener unidades negativas, ni precios negativos)

    f) Para vender 2000 unidades determine

    que precio requiere

    g) Cuanto venderá si el precio es de 45 lempiras

  • 17

    TAREA B: APLICACIONES LINEALES Juan vende Tablet tipo Android a 2400 lempiras y las compra a 1500 lempiras cada una, su padre le ayuda con 1000 lempiras de subsidio, y el debe pagar 2000 de electricidad, 3000 lempiras de alquiler y 500 lempiras de cuenta de celular.

    a) Determine los siguientes elementos del problema

    Precio unitario de venta

    Costo Unitario de venta

    Ingreso fijo por subsidio o ayuda

    Costo fijo

    b) Complete la siguiente tabla según corresponda el modelo lineal del problema

    TOTAL VARIABLE FIJO

    Y= mx +b

    Ingreso =

    Costo =

    Utilidad =

    c) Liste las ecuaciones de ingreso, costo y utilidad

    d) Determine el punto de equilibrio cuando

    Ingreso =Costo Utilidad =0

    e) Determine cual seria la utilidad (perdida) si se venden 50 unidades

    f) Determine cual es la cantidad de unidades que debería vender para obtener una utilidad de 10,000 lempiras

  • 18

    TAREA C: APLICACIÓN CUADRATICA A PARTIR DEL CASO LINEAL En el negocio del caso lineal, resulta que Juan desea establecer un descuento de 10 lempiras cada 50 unidades, y ya no tiene la ayuda o subsidio de su papa

    a) Determine los siguientes elementos del problema

    Precio unitario de venta

    Descuento por cantidad de unidades

    Costo Unitario de venta

    Ingreso fijo por subsidio o ayuda

    Costo fijo

    b) Complete la siguiente tabla según corresponda el modelo lineal del problema

    TOTAL VARIABLE FIJO

    Y= mx +b

    Ingreso =

    Costo =

    Utilidad =

    c) Liste las ecuaciones de ingreso, costo y utilidad

    d) Determine el punto de equilibrio cuando

    Ingreso =Costo (como es cuadrática esto ocurre en dos punto) Utilidad =0

    e) Determine cual seria la utilidad (perdida) si se venden 50 unidades

  • 19

    f) Determine cual es la cantidad de

    unidades que debería vender para obtener una utilidad de 10,000 lempiras

    Nota: Como es cuadrática habrán dos respuestas, si en una de ellas la respuesta es negativa, no se tomara porque no existen

    g) Determine cuál es el número de unidades que produce la utilidad máxima (vértice de la ecuación cuadrática)

    h) Elabore la grafica de la utilidad utilizando los valores de unidades que hacen una utilidad igual a cero, y la utilidad maxima