8 Aula Introduo e Aplicao do modelo M/M/C ou M/M/SData - 27/04/2015Turma: 7 Engenharia de Produo Vila Olmpia

1. O modelo M/M/CDe acordo com a notao de Kendall o modelo M/M/C, refere-se a um sistema de fila nica em que o processo de chegada e de atendimento exponencialmente distribudo e em que tem-se mltiplos atendentes. O nosso estudo ser realizado para uma populao infinita.Para esse sistema mantm-se as condies vistas no captulo anterior: = Ritmo Mdio de Chegada;I.C.= Intervalo Mdio entre Chegadas (por definio IC = 1/ )TA = Tempo mdio de atendimento ou servio = Ritmo mdio de atendimento de cada atendente (por definio TA = 1/ )

1.1. Variveis RandmicasO clculo das variveis NS e NF nas principais literaturas so realizadas via consulta aos grficos a seguir:

Porm devido a problemas de visualizao grfica, bem como de impossibilidade de implementao (clculos realizados via consulta grfica), iremos calcular as variveis por meio das seguintes frmulas:

E para o clculo das probabilidades Po so consultadas as seguintes tabelas:

Para obter os demais parmetros TS e TF, utiliza-se a relao de Little:NF = . TFNS = . TSExemplosExemplo 1: O depsito de ferramentas (continuao)Voltemos ao exerccio referente ao depsito de ferramentas, no qual havamos calculado o custo horrio do sistema com 1 atendente em que o ritmo de chegada ( = 1 chegada/minuto) e o ritmo de atendimento (=1,2 atendimentos/minuto), sendo R$9,00 o custo horrio do atendente e R$18,00 o custo horrio do operrio parado. Podemos agora acrescentar diversos atendentes at chegar ao custo mnimo. Isso feito na tabela mostrada a seguir, pela qual deduzimos que a melhor escolha reside em 2 atendentes.CNSCusto dos AtendentesCusto dos OperriosCusto Total

10,8335,0R$9,00R$90,00R$99,00

20,4171,0R$18,00R$18,00R$36,00

30,2770,9R$27,00R$16,00R$43,00

40,2080,8R$36,00R$15,12R$51,12

50,1670,8R$45,00R$14,94R$59,94

Exemplo 2: Centralizao versus DescentralizaoConsiderando o exemplo anterior, cuja soluo tima utilizar 2 atendentes, o que ocorreria caso optssemos pela descentralizao, ou seja, quebrar o sistema em 2 outros, cada um com um nico atendente? Supomos ainda que a diviso entre os clientes se d pela metade, ou seja, o ritmo de chegada a cada um dos dois centros de atendimento passa a ser = 0,5 chegada/hora.Exemplo 3: Chegada Superior a atendimentoUma agncia bancria tem 5 atendentes e funciona diariamente das 10:00 s 16:00 (6 horas). O ritmo de chegada de 110 clientes por hora, e a durao mdia de cada atendimento de 3 minutos ( = 20 atendimentos/hora). Pergunta-se:a-) O tamanho mdio da filab-) O tempo mdio da espera na filaExemplo 4: Fila nica versus diversas filasUm banco deseja modificar a forma de atendimento a seus clientes, que hoje funciona com diversas filas, pela introduo do sistema de fila nica. Os dados de hoje so: = 70 clientes por hora, que se distribuem em 5 filasc = 5 atendentes = 20 clientes por horaExemplo 5: Filas sequenciais em uma fbricaEm um sistema de filas sequenciais, conforme figura a seguir, supondo que o ritmo de chegada cresa para = 25 peas por minuto, calcule a quantidade de servidores de cada estao de trabalho tal que o tamanho da fila correspondente (NF) seja menor do que 1.

Soluo: (na tabela, c a quantidade de servidores):CProduoInspeoReparo

NFNFNF

1--0,834,170,250,08

20,833,790,420,18

30,560,37

Concluso: A quantidade de servidores que atende a solicita+=o :Produo = 3, Inspeo = 2, Reparo = 1Concluses-> Quando tende para 1, o tamanho da fila tende para o infinito;-> Um sistema no qual temos fila imensa ( prximo e menor que 1) pode se transformar em outro praticamente sem fila pela duplicao da capacidade de atendimento. Essa duplicao pode ser realizada dobrando-se tanto o nmero de atendentes quanto a capacidade de atendimento de cada atendente. Ateno: Para que essa regra seja aplicvel, necessrio que as seguintes premissas sejam vlidas:-> deve ser realmente menor que 1. Caso seja maior que 1 (por exemplo, = 3), as duplicaes na capacidade de atendimento somente comearo a surtir efeito quando tivermos atingido < 1.-> No deve existir demanda reprimida.-> Um sistema no qual o tempo de resposta importante (a fila deve ser sempre pequena) deve ser tal que fique abaixo de 0,6. Caso esse sistema esteja em processo de crescimento ( est crescendo), deve-se pensar em substituir a capacidade de atendimento antes de atingir 0,9.-> A centralizao fornece um melhor atendimento que a descentralizao-> Uma fila nica fornece um melhor atendimento que diversas filas

6 Lista de Exerccios1-) Um banco tem dois funcionrios trabalhando no setor de atendimento ao pblico. O primeiro trabalho apenas com depsitos, e o segundo, com retiradas. Sabe-se que o tempo de servio de ambos segue a distribuio exponencial, com uma mdia de 3 minutos por cliente. As chegadas possuem mdias de 16 por hora para os depositantes e 14 chegadas por hora para os que vo fazer a retirada. Qual seria o feito no tempo no sistema (TS) se ambos os funcionrios trabalhassem tanto com retiradas quanto com depsitos (considere Po = 0,1429)?2-) Uma usina siderrgica tem 3 veculos para atender deslocamentos de seus funcionrios dentro da empresa. O ritmo mdio de solicitao de veculos de 10 pedidos por hora, e o tempo mdio de uma viagem de 20 minutos. Calcule o nmero mdio de clientes na fila e o tempo mdio na fila. Qual deve ser o nmero adequado de veculos de modo que o tempo mdio de espera na fila seja inferior a 5 minutos (considere Po para 4 atendentes = 0,0213, para 5 atendentes = 0,0318)?3-) Veculos chegam a um posto de pedgio razo de 10 por minuto. Um nico atendente pode atender 6 veculos por minuto. Calcule a quantidade adequada de atendentes de modo que o tempo mdio na fila (nica) seja menor que 0,2 minuto. Certamente a proposio de fila nica no seria conveniente para um posto de pedgio; imagine, ento, que os veculos se distribuam por diversos servidores. Calcule agora a quantidade tima de servidores tal que, para cada um deles, TF seja inferior a 0,2 minuto (considere Po para 2 atendentes = 0,0909, para 3 atendentes = 0,1727).4-) Navios chegam a um porto para ser carregados de minrio a um ritmo de 3 chegadas por semana. O porto tem 3 cais de atrao, e o tempo mdio de carga de cada navio de 0,5 semana. Sabendo-se que um navio parado, esperando para ser carregado, implica uma multa de R$70.000 por semana para a administrao do porto (essa multa conhecida por demurrage no ambiente porturio), pede-se o custo semanal resultante das multas (considere Po para 4 atendentes = 0,2105). 5-) Em um sistema de filas sequenciais, no qual peas fluem pela linha de produo, temos: 1 = 10, 2 = 5, 1 = 15, 2 = 30, 3 = 20. Supondo que houve um crescimento nos ritmos de chegada, com 1 = 25 e 2 = 12, qual deve ser a quantidade de servidores em cada estao de trabalho tal que NF seja menor do que 1 (considere Po para 2 atendentes no 1 processo = 0,0909, no 3 processo = 0,039, Po para 3 atendentes no 1 processo = 0,1727 e no 3 processo = 0,1367)?

6-) Redimensione a estao de trabalho nmero 3 de modo que seu custo horrio seja mnimo. Os dados so (considere Po para 4 atendentes = 0,1533):Custo horrio do atendente: R$5Custo horrio da pea parada: R$87-) Em um setor de uma fbrica, o produto que est sendo fabricado chega para receber componentes adicionais, trabalho que realizado por um operrio. Aps instalados os componentes, o produto inspecionado por um profissional qualificado. Os produtos que passam na inspeo vo para outro setor da fbrica, e os que so rejeitados (20%) sofrem reparo no prprio setor. Atualmente os dados so os seguintes:A cada 40 minutos chega um novo produto no setor;O instalador gasta 25 minutos para instalar os componentes;O inspetor gasta 5 minutos para inspecionar o trabalho realizado;O reparador gasta 10 minutos para efetuar os reparos necessrios;Os tempos de deslocamentos do produto entre as estaes de trabalho so iguais a 1 minuto (trata-se de um valor constante, e no de uma mdia).Fornea o tamanho da fila em cada estao de trabalho8-) No exerccio anterior, previsto um aumento das vendas e o novo intervalo entre ser de 4 minutos. Redimensione a quantidade de funcionrios dessa seo de modo que a fila mdia em cada etapa seja menor/igual a 1 (considere Po para 3 atendentes na inspeo = 0,3636, na reparao = 0,1111, Po para 6 atendentes para instalao = 0,0045 e para 7 atendentes = 0,0060).64____________________________________________________________________________Pesquisa Operacional Aplicada Prof. Dr. Leonardo Sene