Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţiicazacu/1. Suport Curs BE I-TR- TET 2015/probleme... · Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii X.2. PROBLEME REZOLVATE R10.1. Pentru

Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii

X.2. PROBLEME REZOLVATE

R10.1. Pentru circuitul din figura 10.R.1, alimentat de la un sistem de tensiuni simetrice de succesiune directă, se cunosc următoarele date:

[V] 314sin2220)(10 ttu , 22L . Să se afle curenţii intensităţile curenţilor de linie, intensitatea curentului pe firul de nul şi să se verifice bilanţul puterilor.

Fig. 10.R.1

Rezolvare:

Fig. 10.R.1.a. Schema în complex pentru 10.R.1

jLjZZZ 22321 , 00Z 0N0 U Se scrie teorema Kirchhoff II pe bucla 1-N-0-1: 101N10N01N UUUUU , dar

2

1

10

1

1N1111N 1010

22220 j

ejjZ

UZ

UIIZU

Trecând din complex în timp, se obţine ]A[)2

314sin(210)(1

tti

Capitolul 10 – Circuite trifazate alimentate cu tensiuni simetrice Probleme rezolvate

Se scrie teorema Kirchhoff II pe bucla 2-N-0-2: 202N20N02N UUUUU , dar

65

2

20

2

2N2222N 10535

223110110 j

ejj

jZ

UZ

UIIZU

, deci

]A[)6

5314sin(210)(2

tti

Se scrie teorema Kirchhoff II pe bucla 3-N-0-3: 303N30N03N UUUUU

6

3

30

3

3N3333N 10535

223110110

jej

jj

ZU

ZUIIZU

)6

314sin(210)(3

tti [A]

Sistemul fiind alimentat cu tensiuni de succesiune simetrică si având receptorul echilibrat, intensitatea curentului pe firul neutru este „0”. În figura R10.1.b sunt reprezentaţi fazorii tensiunilor şi curenţilor.

Fig. 10.R.1.b. Diagrama fazorială a tensiunilor şi curenţilor

Pentru bilanţul puterilor, se calculează puterea activă consumată şi puterea reactivă consumată:

0}Re{}Re{}Re{ 233

222

211 IZIZIZPc W

6600100223}Im{}Im{}Im{ 233

222

211 IZIZIZQc var

Puterea aparentă complexă generată este

jjj

jjjIUIUIUS g

6600)535)(31(110

)535)(31(11010220*330

*220

*110

Puterea activă generată este partea reală a puterii aparente complexe generate W0}Re{ gg SP , iar puterea reactivă generată este partea imaginară a puterii

aparente complexe generate: var6600}Im{ gg SQ gcgc QQPP , .


R10.2. Pentru circuitul din figura 10.R.2, alimentat cu un sistem de tensiuni simetrice de succesiune directă, se cunosc: ttu sin2380)(12 [V],

19LR . Să se determine intensităţile curenţilor de fază, de linie şi să se verifice bilanţul puterilor.

Fig. 10.R.2

Rezolvare:

Fig. 10.R.2.a Schema în complex pentru 10.R.2

)1(19312312 jLjRZZZ

Se scrie teorema Kirchhoff II pe bucla 1-1’-2’-2-1:

121212 IZU 4

12

1212 210)1(10

)1(19380 j

ejjZ

UI

Variaţia în timp a curentului )(12 ti este ]A[)4

sin(20)(12 tti

Similar, se scrie teorema Kirchhoff II pe bucla 2-2’-3’-3-2:


232323 IZU

1211

432

23

2323

210210

)2

12

1)(23

21(210

)1(19)31(190

jjjeee

jjj

jZUI

Trecând în timp, [A])12

11sin(20)(23 tti

Teorema Kirchhoff II pe bucla 1-1’-3’-3-1:

313131 IZU

125

432

31

3131

210210

)2

12

1)(23

21(210

)1(19)31(190

jjj

eee

jjj

jZUI

Trecând în timp, [A])125sin(20)(31 tti

Intensităţile curenţilor de linie se determină aplicând teorema I a lui Kirchhoff în nodurile receptorului:

125

6432

4431121 6103210210210

jjjjjjeeeeeeIII

Expresia în timp este: [A])125sin(320)(1 tti

1211

65

4432

412232 6103210210210

jjjjjjeeeeeeIII

Expresia în timp este: [A])12

11sin(320)(2 tti

43

2432

432

423313 6103210210210

jjjjjjjeeeeeeeIII

Expresia în timp este: [A])4

3sin(320)(3 tti

Pentru bilanţul puterilor :

W11400)200200200(19}Re{}Re{}Re{ 2

313122323

21212

IZIZIZPc

var11400)200200200(19}Im{}Im{}Im{ 23131

22323

21212 IZIZIZQc

jjjjjj

jjIUIUIUS g

1140011400)331)(31(190)3

31)(31(5190)1(10380*3131

*2323

*1212

W11400}Re{ gg SP var11400}Im{ gg SQ gcgc QQPP ,

În figura 10.R.2.b sunt reprezentaţi fazorii tensiunilor şi curenţilor.


Fig. 10.R.2.b. Diagrama fazorială a tensiunilor şi curenţilor

R10.3. Se consideră următoarele date pentru circuitul de mai jos, alimentat de la un sistem de tensiuni simetrice de succesiune inversă: ttu sin2220)(10 [V],

11

321 C

RL

, 332 RL , 23L . Să se afle intensităţile

curenţilor de linie şi să se verifice bilanţul puterilor.

Fig. 10.R.3

Rezolvare:



jCjLjRZjLjRZjLjZ 3,31,

333322211

00Z 0N0 U Se scrie teorema Kirchhoff II pe bucla 1-N-0-1:

101N10N01N UUUUU , dar

2

1

10

1

1N1111N 220220220 j

ejjZ

UZ

UIIZU

Trecând din complex în timp, se obţine ]A[)2

314sin(2220)(1

tti

Se scrie teorema Kirchhoff II pe bucla 2-N-0-2: 20N220N0N2 UUUUU ,

dar jNN e

jj

ZU

ZUIIZU

11031

31101102

20

2

22222 , deci

]A[)314sin(2110)(2 tti Se scrie teorema Kirchhoff II pe bucla 3-N-0-3: 3033003 UUUUU NNN

2

3

30

3

33333 110

33110110 j

NN e

jj

ZU

ZUIIZU

[A])2

314sin(2110)(3

tti

jjjIIII 1101101101102203210

[A])4

3314sin(220)(0

tti

Puterea activă consumată şi puterea reactivă consumată sunt:

W)31(12100

110311010}Re{}Re{}Re{ 22233

222

211

IZIZIZPc

var31210060500

110111032201}Im{}Im{}Im{ 222233

222

211

IZIZIZQc

Puterea aparentă complexă generată este

jjj

jjIUIUIUS g

)31210060500(31210012100110)31(110

)31(110220220*303

*202

*110

Puterea activă generată este partea reală a puterii aparente complexe generate W)31(12100}Re{ gg SP ,

iar puterea reactivă generată este partea imaginară a puterii aparente complexe generate:

var31210060500}Im{ gg SQ gcgc QQPP , .


R10.4. Circuitul din figura 10.R.4 este alimentat de la un sistem trifazat de tensiuni simetrice, de succesiune directă, şi are următoarele date: ]V[)sin(120)(10 ttu ,

3

31001 RR , mH50

2 L , Hz50 mF,2

3 fC

. Să se afle intensităţile

curenţilor de fază, tensiunea )(tuNO şi să se verifice bilanţul puterilor.

Fig. 10.R.4

Rezolvare: 12010 U jU 3606020 , jU 3606030

1005022 f jCjZjLjZRZZ 5,5,

3310

3322101


60

3103

51

51

3103

51)31(60

51)31(60

3103120

0321

330220110N0

jj

jj

jj

YYYYYUYUYUU


318

331060120

1

N0101

ZUUI ]A[sin618)(1 tti

3125

60360602

N0202

jj

ZUUI ]A[)sin(612)(2 tti

3125

60360603

N0303

j

jZ

UUI ]A[)sin(612)(3 tti

363123123183210 IIII ]A[)sin(66)(0 tti Puterea activă consumată este

W33600363310

3183310}Re{}Re{}Re{}Re{

2

2200

233

222

211

IZIZIZIZPc

Puterea reactivă consumată este var0}Im{}Im{}Im{}Im{ 2

00233

222

211 IZIZIZIZQc

Puterea aparentă complexă este 33600*

330*220

*110 IUIUIUS g

W33600}Re{ gg SP var0}Im{ gg SQ gcgc QQPP , .

R10.5. Circuitul din figura 10.R.5 este alimentat de la un sistem trifazat de tensiuni simetrice, de succesiune directă. Pentru acest circuit se cunosc:

11],V[sin2220)( 110 Lttu , 3111R , 201

22 C

L

,

113L . Se cere să se afle curentul )(2 ti şi să se verifice bilanţul puterilor.

Fig. 10.R.5


Rezolvare:

Fig.10.R.5.a Schema în complex pentru 10.R.5

12010 U , jU 311011020 , jU 311011030 1005022 f

jLjZCjLjZjLjRZ 11,0,11311 33

222111

20N02N UUU , dar 022N2 IZU jUU 311011020N0

310)3(11

3110110220

1

N0101

jj

ZUU

I

32011

31101103110110

1

20303

jjj

ZUU

I

330320310,0 3123210 IIIIIII]A[)sin(630)(2 tti

W33300311310

}Re{}Re{}Re{}Re{2

200

233

222

211

IZIZIZIZPc

var16500)320(11

)310(1}Im{}Im{}Im{}Im{2

2200

233

222

211

IZIZIZIZQc

jj

jIUIUIUS g

1650033300)320()31(110

)330()31(110)310(220*330

*220

*110



R10.6. Fie circuitul din figura 10.R.6, alimentat de la un sistem trifazat de tensiuni simetrice de succesiune directă, cu următoarele date: ]V[sin2220)(10 ttu ,

3331 LL , 441

1C, 22,111

32

13 RC

M

. Să se afle

intensităţile curenţilor de fază, tensiunea )(tuNO şi să se verifice bilanţul puterilor.

Fig. 10.R.6

Rezolvare:


Se desface cuplajul (cuplaj pozitiv) şi se obţin următoarele impedanţe:

jjjjMjLjCjZ 22113344131

11

,

01111132

2 jjMjCjZ

jjjMjLjRZ 222211332213333

02220 IZU , 20N02N UUU , deci tensiunea jUU 311011020N0

111N IZU şi 10N01N UUU

65

1

N0101 3101535

223110110220 j

ejj

jZ

UUI


]A[)6

5sin(610)(1 tti

30N03N UUU , 333N IZU

jj

jjZ

UUI 3535)1(22

311011031101101

20303

]A[)4

sin(310)(3 tti

jjjIIIIIII )3515(35351535,0 3123210

]A[)2

sin(2)3515()(2 tti

W33006522}Re{}Re{}Re{22

33222

211 IZIZIZPc

var3300)65(22)310(22}Im{}Im{}Im{ 222

33222

211

IZIZIZQc

jjj

jjjIUIUIUS g

33003300)3535)(31(110

)3515()31(110)1535(220*330

*220

*110


R10.7. Fie circuitul din figura 10.R.7, alimentat de la un sistem trifazat de tensiuni simetrice de succesiune directă. Se cunosc: 44,]V[sin2220)( 110 Rttu ,

311,11 22 LR . Să se afle variaţia în timp a curenţilor )(1 ti , )(),( 32 titi şi să se verifice bilanţul puterilor.

Fig. 10.R.7


Rezolvare:


)31(11,44 22211 jLjRZRZ

00Z 0N0 U , 10N01N UUU , dar 111N IZU 544220

1

10

1

1N1

ZU

ZUI

]A[)sin(25)(1 tti

20N02N UUU şi 222N IZU ,

10)31(113110110

2

202

j

jZ

UI ]A[)sin(210)(2 tti

32103 ,0 IIIII 5105210 III ]A[)sin(25)(0 tti W2200)10(11544}Re{}Re{}Re{ 222

33222

211 IZIZIZPc

var31100)10(311}Im{}Im{}Im{ 2233

222

211 IZIZIZQc

jjIUIUIUS g 31100220010)31(1105220*330

*220

*110

W2200}Re{ gg SP

var31100}Im{ gg SQ gcgc QQPP , .

R10.8. Fie circuitul din figura 10.R.8, alimentat de la un sistem trifazat de tensiuni simetrice de succesiune directă, cu următoarele date: ],V[sin2220)(10 ttu

1132 LL , 101

1C. Să se afle variaţia în timp a curenţilor de linie, a

curentului pe firul de nul şi să se verifice bilanţul puterilor. Ce valoare v-a indica ampermetrul montat pe faza II, ştiind că rezistenţa sa internă este 0?


Fig. 10.R.8

Rezolvare:


jLjZjLjZjCjZ 11,11,10 3322

11

0N0 U , 10N01N UUU

111N IZU jjZ

UZ

UI 2210

2201

10

1

1N1

]A[)

2sin(222)(1

tti

20N02N UUU 202N UU , dar 222N IZU ,

jj

jZ

UI 1031011

31101102

202

]A[)6

5sin(220)(2 tti

30N03N UUU 303N UU , dar 333N IZU

jj

jZ

UI 1031011

31101103

303

]A[)6

sin(220)(3 tti

jIIII 423210 ]A[)2

sin(242)(0 tti .

Aparatele de măsură indică valoarea efectivă, deci ampermetrul A va indica valoarea efectivă a curentului 2I , adică 20 A.


W0}Re{}Re{}Re{ 233

222

211 IZIZIZPc

var3960400114001148410)10(311}Im{}Im{}Im{ 22

33222

211

IZIZIZQc

jjj

jjjIUIUIUS g

3960)3()31(1100

)3()31(1100)22(220*330

*220

*110


R10.9. Fie circuitul din figura 10.R.9, alimentat de la un sistem trifazat de tensiuni simetrice de succesiune directă, cu următoarele date: ]V[sin2220)(20 ttu ,

22R . Să se afle variaţia în timp a curenţilor )(),(),( 321 tititi , indicaţia aparatelor de măsură şi să se verifice bilanţul puterilor pentru: a) comutatorul K închis; b) comutatorul K deschis.

Fig. 10.R.9

Rezolvare: Aparatele de măsură indică valorile efective ale mărimilor, deci voltmetrul 1V va indica valoarea efectivă a tensiunii NU 1 , voltmetrul 0V va indica valoarea efectivă a tensiunii 0NU şi ampermetrul 0A va indica valoarea efectivă a curentului 0I . Voltmetrul ideal are rezistenţa internă infinită şi se va simula printr-un gol, iar ampermetrul ideal ale rezistenţa internă 0 şi va fi simulat printr-un scurtcircuit. a) comutatorul K este închis, deci voltmetrul 0V este scurtcircuitat şi schema echivalentă în complex este cea din figura R10.9.a.

jUjUU 3110110,3110110220 103020 jUUU 31101100 10N1N0 , deci voltmetrul 1V va indica 220 V.

01 I


Fig. 10.R.9.a. Schema în complex pentru 10.R.9.a)

De asemenea din teorema Kirchhoff II

220202N UU 1022

2202

202

ZUI ]A[sin210)(2 tti

jUU 3110110303N jjZ

UI 35522

31101103

303

]A[)3

2sin(210)(3 tti

)31(53210 jIIII ]A[)3

sin(210)(0 tti

Ampermetrul 0A va indica 10 A. W4400)100100(22}Re{}Re{}Re{}Re{ 2

00233

222

211 IZIZIZIZPc

var0}Im{}Im{}Im{}Im{ 200

233

222

211 IZIZIZIZQc

4400)31(5)31(11010220*330

*220

*110 jjIUIUIUS g

W4400}Re{ gg SP ; var0}Im{ gg SQ gcgc QQPP , . b) Pentru comutatorul K deschis, schema echivalentă în complex a circuitului este reprezentată în figura R10.9.b.

Fig.R10.9.b. Schema în complex pentru 10.R.9.b)


00 I , deci ampermetru 0A va indica 0 A. jUjUU 3110110,3110110220 103020

N0101N10N01N UUUUUU

j

jU

YYYYYUYUYUU 355551

221

2211

22)31(110

2222010

0321

330220110N0

jjjU 31651653555531101101N . Voltmetrul 1V va indica valoarea efectivă a tensiunii 1NU , adică 330 V şi voltmetrul 0V va indica valoarea efectivă a tensiunii N0U , adică 110 V.

2235555220

2

N0202

jZ

UUI

]A[)

3sin(65)(2

tti

22355553110110

3

N0303

jjZ

UUI

]A[)

32sin(65)(3 tti

W3300)7575(22}Re{}Re{}Re{}Re{ 200

233

222

211 IZIZIZIZPc

var0}Im{}Im{}Im{}Im{ 200

233

222

211 IZIZIZIZQc

3300

)21

23(35)31(110)

21

23(35220*

330*220

*110

jjjIUIUIUS g


R10.10. Un circuit trifazat în conexiune stea, echilibrat, are impedanţa fiecărei faze formată dintr-un rezistor de rezistenţă 10R şi o bobină ideală de reactanţă

310L . Alimentarea se face de o sursă trifazată de succesiune directă cu tensiune de fază ]V[100sin2400)(10 ttu . Pentru compensarea factorului de putere din circuit se leagă în paralel o baterie trifazată de condesatoare. Ce valoare are capacitatea fiecărui condensator, astfel încât factorul de putere sa ajungă la valoarea 0,9? Rezolvare:

jUaU

jUaU

U

31200

31200

400

1030

102

20

10

jjLjRZZZZ 311031010321



Receptorul fiind echilibrat, intensitatea curentului pe firul neutru este „0”:

jjZ

UI 3110

3110400

1

101

]A[)

3sin(220)(1

tti

20

311031200

1

202

jj

ZU

I ]A[)sin(220)(2 tti

j

jj

ZU

I 31103110

31200

3

303

]A[)

3sin(220)(1

tti

W1200020103}Re{3 22 fIZP

var312000203103}Im{3 22 fIZQ

VA240003112000203133 22 gfg SjjIZS

Fig. 10.R.10.b. Schema în complex pentru 10.R.10, cu compensarea factorului de putere


Factorul de putere într-un circuit se calculează în felul următor:

5,02400012000cos

22

QP

PSP

Se poate observa că îmbunătăţirea factorului de putere a circuitului la valoarea de 0,9 cerută prin problemă se poate face prin scăderea puterii reactive, deci prin introducerea unei baterii de condensatoare. Factorul de putere ideal este „1”, posibil în circuite pur rezistive. Atunci, puterea reactivă devine:

CQQQ '

C

f

C

fCfCc X

UXU

XIXQ22

2 333

QtgPQtgPQQP

Pc

'''

''cos

22

577,320

'3 2

tgPQU

X fC

Pentru pulsaţia rad/s100 : μF12,3C . R10.11. Pentru circuitul din figura 10.R.11, alimentat de la un sistem de tensiuni simetrice de succesiune directă, se cunosc următoarele date:

[V] sin2220)(12 ttu , 221R , 32232 RR , 2231 LL ,

112L , 331

2C. Să se afle intensităţile curenţilor de linie şi să se verifice

bilanţul puterilor.

Fig. 10.R.11


Rezolvare: Realizăm schema în complex (fig. R.10.).

Fig. 10.R.11a. Schema în complex pentru 10.R.11

În această schemă apar: 221R1

RZ , jLjZ 221L1 , 3222R 2

RZ , jLjZ 112L2 ,

jCj

Z 331

2C2

, 3223R3 RZ , jLjZ 223L3

.

Deoarece alimentarea circuitului se realizează cu tensiuni simetrice de succesiune directă, sistemul de tensiuni este următorul:

jUaU

jUaU

eU j

23

21220

23

21220

2202

2220

1231

122

23

012

.

Simplificăm schema în complex ca în figura următoare.

Fig. 10.R.11b.. Schema în complex simplificată


Astfel, avem: jZZZ 12211 LR12 , jZZZZ 322

222 CLR23 ,

jZZZ 32233 LR31 .

Ştiind că pentru conexiunea triunghi modulul tensiunii de linie este egal cu modulul tensiunii de fază, putem aplica legea lui Ohm în curent alternativ şi obţinem curenţii de fază:

jjZ

UIIZU

15

)1(22220

12

1212121212 ;

jj

j

ZU

IIZU 5322

23

21220

23

2323232323

;

jj

j

ZU

IIZU 5322

23

21220

31

3131313131

.

Curenţii de linie îi obţinem aplicând teorema I a lui Kirchhoff în fiecare nod al circuitului:

0:)3.(..0:)2.(..

0:)1.(..

23313

12232

31121

IIIIKTIIIIKT

IIIIKT. Rezultă:

23

2

01

1010

5555

j

j

j

ejI

eIeI

.

În domeniul timp, intensităţile curenţilor electrici de linie au următoarele valori:

]A[2

sin210)(

]A[sin25)(

]A[sin25)(

3

2

1

tti

tti

tti

.

Bilanţurile puterilor

Puterea activă consumată în circuit este: W3111002

3132232

2121c IRIRIRP .

Puterea reactivă consumată în circuit se determină astfel: var11002525100ImImIm

3221 LCLL23131

22323

21212c XXXXIZIZIZQ

Puterea aparentă complexă generată se calculează astfel: gg

*3131

*2323

*1212g 1100311100 jQPjIUIUIUS .


Extragem puterea activă generată ca fiind: W311100Re gg SP . La fel

şi pentru puterea reactivă generată: var1100Im gg SQ . Se observă că gcgc , QQPP . Aşadar se verifică bilanţurile puterilor active şi puterilor reactive consumate, respectiv generate. Implicit se verifică bilanţul puterilor aparente complexe consumate, respectiv generate: gc SS .

Documents

Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţiicazacu/1. Suport Curs BE I-TR- TET 2015/probleme... · Teoria Circuitelor Electrice – Aplicaţii X.2. PROBLEME REZOLVATE R10.1. Pentru