Teori Relativitas - Mirza Satriawanmirza.staff.ugm.ac.id/relativitas/RElativity-5.pdf · Hubungan Gravitasi dan Kelengkungan ... gravitasi dengan mempostulatkan bahwa hukum gaya-gaya

Teori Relativitas

Mirza Satriawan

December 23, 2010

Pengantar Kelengkungan

M. Satriawan Teori Relativitas

Quiz

1 Apakah basis vektor dalam sistem koordinat melengkungselalu konstan?

2 Dalam sistem koordinat apakah basis vektornya selalukonstan?

3 Tuliskan rumusan derivatif kovarian, denganmenggunakan simbol Christoffel

4 Tuliskan divergensi suatu vektor ~Vdalam koordinat polar


Hubungan Gravitasi dan Kelengkungan

Salah satu hal fundamental dalam TRK adalah keberadaankerangka inersial. Kerangka yang titik-titik koordinatnyadalam keadaan diam relatif terhadap titik asal, dan semuapenunjuk waktunya berjalan dengan seragam relatif terhadappenunjuk waktu di titik asal. Kemudian dari postulat TRK, kitamemperoleh konsep mengenai interval invarian ∆s2. Untukmengukur interval kita membutuhkan tensor metriks. Kitadapat saja menentukan sembarang tensor metrik yang kitapakai, tetapi ηαβ menjadi tensor metrik yang dipilih karenakaitannya/kesesuaiannya dengan eksperimen, dankebenarannya dapat ditest dengan eksperimen. Misalnyaapakah dapat dibuat suatu kerangka acuan di mana semuapenunjuk waktu berjalan secara seragam? Untuk medangravitasi yang tak seragam, akan ditunjukkan berikutnya, tidakbisa. Jadi tidak ada kerangka inersial global untuk TRK.


Eksperimen pergeseran merah gravitasi

Partikel dengan massa diam m dilepaskan dari ketinggian hdan jatuh bebas dengan percepatan g. Sampai di bawahdengan kecepatan v = (2gh)1/2. Sehingga total energinyamenurut pengamat di bawah adalahm + 1

2 mv2 + O(v4) = m + mgh + O(v4). Bila semua energi partikelini diubah menjadi foton yang kemudian dipancarkan ke atas.


Setelah sampai di atas, foton dengan energi E′ diubah menjadipartikel dengan massa diam m′ = E′. Agar kelestarian energiterjaga, maka haruslah m′ = m, sehingga disimpulkan E′ = m,atau untuk foton

E′

E=

hν′

hν=

mm + mgh + O(v4)

= 1 − gh + O(v4) (1)

Jadi foton yang naik melawan medan gravitasi akan kehilanganenergi, atau akan berkurang frekuensinya (mengalamipergeseran merah). Pergeseran merah ini bisa diukur secaraeksperimen dan pers. (1) telah ditest kebenarannya sampaiketelitian 1%. Eksperimen ini terkenal sebagai eksperimenPound-Rebka-Snider (PRS). Eksperimen tersebut menjaminkebenaran hukum kelestarian energi tetapi juga berarti tidakada kerangka inersial global dalam medan gravitasi.


Ketiadaan kerangka inersial yang diam relatif di bumi

Eksperimen di atas dapat digambarkan dalam diagram ruangwaktu berikut

yang mengggambarkan garis dunia dua gelombang fotonberturutan.


Bagaimanapun pengaruh gravitasi kepada lintasan foton,karena medan gravitasinya tidak bergantung waktu, maka dualintasan di atas kongruen. Sehingga bila ruang waktu adalahMinkowskian, ∆tbot = ∆ttop (kerangka inersial).Tetapi ∆t = 1/ν, dan hasil eksperimen di atas menunjukkanν > ν′ atau ∆tbot < ∆ttop yang berarti kerangka acuannya tidakinersial. Jadi kerangka acuan yang diam relatif di permukaanbumi, bukan kerangka acuan inersial.


Prinsip Ekuivalensi

Salah satu ciri kerangka inersial adalah, suatu partikel yangdiam akan tetap diam bila tidak ada gaya yang bekerjapadanya. Biasanya gravitasi dianggap gaya, tetapi gravitasimemiliki sifat yang unik, karena semua partikel (dan energi)akan terkena gravitasi, dan semua partikel yang memilikikecepatan awal sama, akan memiliki lintasan yang sama dalammedan gravitasi, tak bergantung pada susunan internalpartikelnya. Untuk gaya-gaya lain (gaya elektromagnetik,interaksi kuat, interaksi lemah) beberapa partikel ada yangterkena ada yang tidak. Misalnya gaya elektromagnetik hanyaterkena pada partikel bermuatan.


Partikel netral tidak terkena gaya ini. Jadi untuk gaya-gaya ini,selalu dapat didefinisikan secara eksperimen, bagaimanalintasan partikel yang tidak terkena gaya. Tetapi tidak halnyauntuk gravitasi, tidak ada partikel (atau penanda) untukmembedakan lintasan partikel yang tidak terkena medangravitasi (karena semua pasti terkena dan tidak terbedakan).Tetapi ada kerangka dimana partikel-partikel memilikikecepatan yang seragam. Kerangka ini jatuh bebas dalammedan gravitasi. Semua partikel bebas akan memilikikecepatan relatif sama terhadap kerangka ini.


Cara lain untuk memahami ini: Bayangkan dalam suatu ruangyang jauh dari benda-benda angkasa lain, sehingga medangravitasinya nol. Dalam ruang ini terdapat suatu pesawat roketyang dipercepat seragam ke depan. Bagi pengamat di dalamroket, dia merasa ada gaya gravitasi ke arah belakang roket, diajuga melihat sembarang benda-benda bila tidak ditopang akan“jatuh” ke arah belakang pesawat dengan percepatan yangsama. Dia juga melihat benda-benda memiliki “berat” yangbesarnya sebanding dengan massanya. Sedangkan kerangkainersial benda-benda, adalah kerangka yang jatuh (tertinggal)ke arah belakang pesawat.


Jadi suatu medan gravitasi yang seragam ekuivalen dengansuatu kerangka yang dipercepat relatif terhadap suatukerangka inersial. Ini disebut sebagai prinsip ekuivalensilemah antara gravitasi dan percepatan. Ada bentuk lain yangnanti kita gunakan, yaitu prinsip ekuivalensi kuat yangmenyatakan bagaimana gaya alam bekerja dalam medangravitasi dengan mempostulatkan bahwa hukum gaya-gayatadi dalam kerangka inersial yang jatuh bebas identik denganhukum mereka dalam TRK.Perlu diperhatikan bahwa argumen di atas hanya benar untuksuatu daerah lokalitas tertentu dari medan gravitasi, karenamedan gravitasi (bumi) bersifat tak seragam.


Pergeseran Merah dalam Kerangka Jatuh Bebas

Tinjau kerangka yang awalnya diam ketika foton mulaidipancarkan ke atas dalam eksperimen PRS di atas, tapikemudian kerangka ini jatuh bebas. Lama perjalanan foton keatas ∆t = h, dan selama itu kerangka acuan tadi telah memilikikecepatan menjauh ke bawah sebesar v = gh. Sehinggafrekuensi foton ν dilihat dari kerangka jatuh bebas dibandingfrekuensi foton ν′ di kerangka diam di atas, dapat diperolehdari rumus pergeseran merah (efek Doppler relativistik)

νν′

=1 + gh√1 − g2h2

= 1 + gh + O(v4) (2)


Dari pers. (1) didapatkan bahwa ν oleh pengamat jatuh bebassama dengan ν pengamat yang ada ada di bawah, jadi tidak adapergeseran merah yang teramati oleh pengamat jatuh bebas.Ini menjadi dasar kuat bagi postulat bahwa kerangka jatuhbebas adalah kerangka inersial. Akan tetapi karena gravitasisecara umum tidak seragam, maka tidak mungkin membuatkerangka inersial global. Kita hanya dapat membuat kerangkainersial lokal. Sembarang medan gravitasi, untuk daerah yangcukup kecil, dapat dianggap seragam, sehingga dapat dibuat dilokalitas tersebut suatu kerangka inersial, yaitu kerangka yangsesaat jatuh bebas di daerah tersebut. Ini semacam KDS fluida,tetapi untuk daerah lokalitas tertentu dan waktu tertentu saja.


Kelengkungan

Dalam TRK, dua garis dunia partikel bebas yang awalnyaparalel akan tetap paralel. Sama seperti sifat geometri Euclid.Jadi ruang TRK, yaitu ruang Minkowski adalah ruang datar,yang memenuhi aksioma Euclid mengenai paralelisme. Hanyasaja ruang Minkowski memiliki metrik yang berbeda, (-1,1,1,1)alih-alih (1,1,1,1) , sehingga ruang Minkowski adalah ruangdatar dengan geometri non Euklidan.Dalam ruang waktu gravitasi tak seragam, garis dunia duapartikel bebas yang awalnya paralel tidak selalu paralel.Aksioma Euklid tidak terpenuhi, sehingga ruangnya tidakdatar, atau ruangnya melengkung. Sebagai contoh, dipermukaan bola, dua garis (bagian dari lingkaran garis lintang)yang awalnya paralel (disebut sebagai geodesi), akanberpotongan di kutub. Tetapi secara lokal, ruangnya sepertiruang datar. Ini adalah sifat dari geometri Riemann. Hasilterepenting dari Einstein adalah dia mengidentifikasikanlintasan partikel yang jatuh bebas dengan geodesi geometrimelengkung. M. Satriawan Teori Relativitas

Aljabar Tensor dalam Koordinat Polar

Tinjau suatu bidang Euklid. Sistem koordinat kartesan dengankoordinat x dan y dapat diganti dengan sistem koordinat polardengan koordinat r dan θ, dengan relasi

r = (x2 + y2)1/2; x = r cosθ;

θ = arctanyx

; y = r sinθ (3)

Perubahan kecil ∆r dan ∆θ dihasilkan oleh ∆x dan ∆y melalui

∆r =xr∆x +

yr∆y = cosθ∆x + sinθ∆y

∆θ = −yr2 ∆x +

xr2 ∆y = −

1r

sinθ∆x +1r

cosθ∆y (4)


Dapat juga digunakan koordinat lain, misalkan kita simbolkandengan ξ dan η.

ξ = ξ(x, y); ∆ξ =∂ξ∂x

∆x +∂ξ∂y

∆y

η = η(x, y); ∆ξ =∂η

∂x∆x +

∂η

∂y∆y (5)

Agar sistem koordinat (ξ, η) menjadi sistem koordinat yangbaik, maka hubungannya dengan (x, y) harus satu-satu. Secaramatematis ini berarti bila ∆ξ = ∆η = 0, maka ∆x = ∆y = 0. Inibenar bila determinan transformasi di pers. (5) tidak nol

det(∂ξ/∂x ∂ξ/∂y∂η/∂x ∂η/∂y

), 0 (6)

Determinan ini disebut sebagai Jacobian dari transformasikoordinat. Bila Jacobiannya nol di suatu titik, makatransformasinya dikatakan singular di titik tersebut.


Vektor dan bentuk satu

Cara lama untuk mendefinisikan vektor adalah sebagai sesuatuyang bertransformasi, terhadap sembarang transformasikoordinat, seperti transformasinya pergeseran, ∆~r. Yaitu suatuvektor dapat direpresentasikan sebagai pergeseran (∆x,∆y),atau dalam koordinat polar (∆r,∆θ), atau secara umum(∆ξ,∆η). Untuk pergeseran yang kecil

(∆ξ∆η

)=

(∂ξ/∂x ∂ξ/∂y∂η/∂x ∂η/∂y

) (∆x∆y

)(7)

Dengan mendefinisikan matrix transformasi

(Λα′β) =

(∂ξ/∂x ∂ξ/∂y∂η/∂x ∂η/∂y

)(8)

Transformasi sembarang vektor dapat ditulis seperti pada TRK

Vα′ = Λα′βVβ (9)


Kita dapat mendefinisikan suatu vektor dengan cara lain (yanglebih alami). Misalkan diberikan suatu skalar φ. Untuk suatusistem koordinat (ξ, η), selalu dapat dibentuk derivatif ∂φ/∂ξdan ∂φ/∂η. Bentuk satu (forma satu) dφ didefinisikan sebagaiobyek geometri yang komponennya dalam koordinat (ξ, η)

dφ→ (∂φ/∂ξ, ∂φ/∂η) (10)

Transformasi komponen, diperoleh otomatis dari aturanderivatif berantai

∂φ

∂ξ=∂x∂ξ

∂φ

∂x+∂y∂ξ

∂φ

∂y(11)

demikian pula untuk ∂φ/∂η.


Atau dapat ditulis

(∂φ/∂ξ∂φ/∂η

)=

(∂x/∂ξ ∂y/∂ξ∂x/∂η ∂y/∂η

) (∂φ/∂x∂φ/∂y

)(12)

sehingga matriks transformasinya

(Λαβ′) =

(∂x/∂ξ ∂y/∂ξ∂x/∂η ∂y/∂η

)(13)

Jadi mula-mula yang didefiniskan adalah bentuk satu besertacara tertransformasinya. Kemudian vektor didefinisikansebagai fungsi linier dari bentuk satu ke bilangan real. Vektoryang didefinisikan seperti ini, tetap akan bertransformasiseperti pers.(7).


Dapat ditunjukkan bahwa (Λα′β) dan (Λα

β′)T adalah inversesatu terhadap yang lain.

(∂ξ/∂x ∂ξ/∂y∂η/∂x ∂η/∂y

) (∂x/∂ξ ∂x/∂η∂y/∂ξ ∂y/∂η

)

=

∂ξ∂x∂x∂ξ + ∂ξ

∂y∂y∂ξ

∂ξ∂x∂x∂η + ∂ξ

∂y∂y∂η

∂η∂x∂x∂ξ +

∂η∂y∂y∂ξ

∂η∂x∂x∂η +

∂η∂y∂y∂η

=

(∂ξ/∂ξ ∂ξ/∂η∂η/∂ξ ∂η/∂η

)=

(1 00 1

)(14)


Kurva dan Vektor

Definisi: Lintasan (path) kumpulan sederetan titik-titik yangterhubung di suatu bidang. Kurva: Lintasan yangberparameter. Kurva adalah pemetaan suatu interval garisbilangan real ke suatu lintasan pada suatu bidang. Jadi kurvaadalah lintasan dengan bilangan real diasosiasikan ke setiaptitiknya. Misal: (ξ = f (s), η = g(s), a ≤ s ≤ b). Bila kita gantiparameternya, misal s′ = s′(s) maka akan kita dapatkan kurvayang baru (ξ = f ′(s′), η = g′(s′), a′ = s′(a) ≤ s′ ≤ b′ = s′(b)). Bisaada takhingga banyak kurva yang memiliki lintasan yangsama. Derivatif suatu medan skalar φ sepanjang kurva iniadalah dφ/ds. Bila s diganti maka derivatifnya juga berganti.


Dapat dituliskandφ/ds = 〈dφ, ~V〉 (15)

dengan komponen dari ~V adalah (dξ/ds, dη/ds).Vektor ~V bergantung pada kurvanya, sedangkan dφ hanyabergantung pada φ. Jadi ~V adalah vektor karakteristik darikurva, disebut sebagai vektor tangen. Jadi vektor adalahsesuatu yang menghasilkan dφ/ds bila diberi φ. Dalampandangan modern, vektor tangen terhadap suatu kurvadisebut sebagai d/ds. Suatu lintasan memiliki tak hinggabanyak tangen vektor di satu titik, tetapi suatu kurva hanyamemiliki satu tangen vektor di satu titik. Parameter s tidakberubah terhadap transformasi koordinat, tetapi komponen ~Vakan berubah, sesuai aturan derivatif berantai

(dξ/dsdη/ds

)=

(∂ξ/∂x ∂ξ/∂y∂η/∂x ∂η/∂y

) (dx/dsdy/ds

)(16)


Bentuk satu basis dan vektor basis dalam koordinatpolar

Basis koordinatnya~eα′ = Λβ

α′~eβ (17)

atau

~er = Λxr~ex + Λy

r~ey

=∂x∂r~ex +

∂y∂r~ey

= cosθ~ex + sinθ~ey (18)

demikian juga untuk

~eθ =∂x∂θ~ex +

∂y∂θ~ey

= −r sinθ~ex + r cosθ~ey (19)


di mana telah digunakan

Λxr =

∂x∂r

demikian juga untuk tranformasi baliknya akan digunakan

Λrx =

∂r∂x

Analog dengan sebelumnya, bentuk satu basisnya

dθ =∂θ∂x

dx +∂θ∂y

dy,

= −1r

sinθdx +1r

cosθdy (20)

serupa dengan itu diperoleh

dr = cosθdx + sinθdy (21)


Berikut adalah sketsa gambar basis-basis tersebut

Perhatikan bahwa untuk titik yang berbeda basisnya berbeda.Selain itu panjang dari setiap basis di titik yang berbeda bisatidak sama. Sebagai contoh dari pers. (19) diperoleh

|~eθ|2 = ~eθ ·~eθ = r2 sin2 θ + r2 cos2 θ = r2. (22)

Dapat ditunjukkan bahwa

|~er| = 1, |dr| = 1, |dr| = 1, |dθ| = r−1.


Tensor metrik

Perkalian titik di atas dihitung dengan mengetahui bentuktensor metrik dalam koordinat (x, y):

~ex ·~ex = ~ey ·~ey = 1, ~ex ·~ey = 0; (23)

atau dalam notasi tensor (dalam koordinat kartesan)

g(~eα,~eβ) = δαβ (24)

Untuk koordinat polar, komponennya

gα′β′ = g(~eα′ ,~eβ′) = ~eα′ ·~eβ′ (25)

dengan memakai pers.(19) dan (18), diperoleh

grr = 1, gθθ = r2, grθ = 0 (26)


Sehingga komponen g dalam koordinat polar dapat ditulis

(gαβ) =

(1 00 r2

), (27)

Cara yang paling efisien untuk menunjukkan metrik sekaliguskoordinatnya, adalah dengan menggunakan elemen garisdalam sistem koordinat tersebut, yang tidak lain adalah besardari sembarang vektor pergeseran infinitesimal d~l:

d~l · d~l = ds2 = |dr~er + dθ~eθ| = dr2 + r2dθ2 (28)

Tensor metrik dapat juga dituliskan dalam basis tensornya

g = gαβdxα ⊗ dxβ = dr ⊗ dr + r2dθ ⊗ dθ (29)

Perhatikan, bentuk ini tidak sama dengan yang sebelumnya, inimasih dalam basis bentuk satunya, bukan dalam bentukhasilnya perkalian titik, seperti pada sebelumnya.


Metrik yang kita peroleh sebelumya memiliki inverse

(1 00 r2

)−1

=

(1 00 r−2

), (30)

dengan ini kita dapat memetakan antara vektor dan bentuksatu. Misalkan bila diberi medan skalar φ, dan gradiennya dφ,maka komponen vektor dari ~dφ adalah

(~dφ)α = gαβφ,β (31)

untuk koordinat polar

(~dφ)r = grβφ,β = grrφ,r +grθφ,θ = ∂φ/∂r;

(~dφ)θ = gθβφ,β = gθrφ,r +gθθφ,θ =1r2∂φ/∂θ (32)

Komponen dari bentuk satu dan vektor gradien memilikikomponen berbeda! (hanya sama dalam koordinat kartesan)


Kalkulus Tensor dalam koordinat polar

Komponen dari basis vektor~ex dalam koordinat polar adalah(Λr

x,Λθx) = (cosθ,−r−1 sinθ), yang jelas masing-masingnya

tidak konstan. Bila~ex diderivatifkan, haruslah nol, tetapiderivatif terhadap komponennya tidak menghasilkan nol. Inikarena basis vektor koordinat polar bukanlah vektor yangkonstan.Derivatif dari basis vektor dalam koordinat polar:

∂∂r~er =

∂∂r

(cosθ~ex + sinθ~ey) = 0 (33)

∂∂θ~er =

∂∂θ

(cosθ~ex + sinθ~ey) =1r~eθ. (34)


Demikian pula

∂∂r~eθ =

∂∂r

(−r sinθ~ex + r cosθ~ey) =1r~eθ (35)

∂∂θ~eθ =

∂∂θ

(−r sinθ~ex + r cosθ~ey) = −r~er. (36)

Untuk vektor~ex, derivatifnya terhadap koordinat polar

∂∂θ~ex =

∂∂θ

(cosθ~er −1r

sinθ~eθ) = 0 (37)


Derivatif sembarang vektor dalam koordinat polar

Sembarang vektor ~V dalam koordinat polar, memilikikomponen (Vr,Vθ). Derivatifnya, misalnya terhadap r adalah

∂~V∂r

=∂∂r

(Vr~er + Vθ~eθ)

=∂Vr

∂r~er + Vr∂~er

∂r+∂Vθ

∂r~eθ + Vθ∂~eθ

∂r(38)

Secara umum∂~V∂xβ

=∂Vα

∂xβ~eα + Vα ∂~eα

∂xβ(39)

suku terakhir, sebagai vektor dapat dituliskan dalamkombinasi linear dalam basis vektornya,

∂~eθ∂r

= Γµαβ~eµ (40)

koefisien Γµαβ disebut sebagai simbol Christoffel.M. Satriawan Teori Relativitas

Dari hasil-hasil sebelumnya, diperoleh simbol Christoffeldalam koordinat polar.

1

∂~er

∂r= 0→ Γµrr = 0

2

∂~er

∂θ=

1r~eθ → Γr

rθ = 0, Γθrθ =1r

3

∂~eθ∂r

=1r~eθ → Γr

θr = 0, Γθθr =1r

4

∂~eθ∂θ

= −r~er → Γrθθ = −r, Γθθθ = 0


Derivatif Kovarian

Dengan menggunakan simbol Christoffel, derivatif terhadapsembarang vektor menjadi

∂~V∂xβ

=∂Vα

∂xβ~eα + VαΓµαβ~eµ (41)

atau dapat juga dituliskan sebagai

∂~V∂xβ

=

(∂Vα

∂xβ+ VµΓαµβ

)~eα (42)

sehingga komponen ∂~V/∂xβ adalah

∂Vα

∂xβ+ VµΓαµβ (43)

Didefinisikan notasi derivatif baru

Vα;β = Vα,β +VµΓαµβ (44)

sehingga ∂~V/∂xβ = Vα;β~eαM. Satriawan Teori Relativitas

Obyek ∂~V/∂xβ, untuk β tertentu adalah suatu vektor. Tetapiuntuk sembarang nilai β, ∂~V/∂xβ dapat dianggap sebagai suatu

tensor tipe(

11

)yang memetakan vektor~eβ ke ∂~V/∂xβ. Medan

tensor ini disebutsebagai derivatif kovarian dari ~V dandisimbolkan sebagai ∇~V. Komponennya

(∇~V)αβ = (∇β~V)α = Vα;β (45)

Dalam koordinta kartesan komponennya Vα,β tetapi dalamkoordinat lengkung lainnya, komponennya secara umumseperti pada pers. (45). Untuk mendapatkan komponennya,dapat digunakan pers. (44) atau menggunakan transformaitensor dari komponennya pada koordinat kartesan. Untukmedan skalar, karena skalar tidak bergantung pada basisvektor, maka derivatif kovariannya sama dengan derivatifbiasa.

∇αf = ∂f/∂xα; ∇f = df . (46)


Divergensi dan Laplasian

Dalam koordinat kartesan, divergensi suatu vektor Vα adalahsuatu skalar Vα, α, yang bisa dilihat sebagai kontraksi dari Vα, βterhadap kedua indeksnya. Sebagai skalar, nilainya invariantidak bergantung pada sistem koordinat. Dalam koordinatlengkung, divergensi diberikan oleh Vα′ ;α′ dan memenuhi

Vα,α = Vα′ ;α′ (47)

Sebagai contoh, untuk koordinat polar akan didapatkan

Vα;α =1r∂∂r

(rVr) +∂∂θ

Vθ. (48)

Laplasian adalah divergensi dari suatu gradien. Gradienadalah suatu bentuk satu. Karena kita sebelumnya hanyamemiliki divergensi dari suatu vektor, maka kita harusmengubah gradien menjadi vektor. Dalam koordinat polar,sudah kita dapatkan komponen dari vektor gradien suatumedan skalar φ, yaitu (φ,r , φ,θ /r2).


Dengan memasukkan komponen vektor gradien ke dalamrumus divergensi suatu vektor di atas diperoleh (dalamkoordinat polar)

∇ · ∇φ ≡ ∇2φ =1r∂∂r

(r∂φ

∂r) +

1r2

∂2φ

∂θ2 (49)


Derivatif bentuk satu dan tensor tipe lainnya

Untuk mendapatkan derivatif bentuk satu, digunakan sifatbahwa bentuk satu bekerja pada vektor menghasilkan skalar.Misalkan p adalah bentuk satu dan ~V adalah vektor, danmisalkan 〈p, ~V〉 ≡ φ = pαVα (suatu skalar). Sehingga

∇βφ =∂pα∂xβ

Vα + pα∂Vα

∂xβ. (50)

sebagai komponen dari ∇β~V bentuk ∂Vα/∂xβ dapat digantidengan memakai pers.(44) sehingga

∇βφ =∂pα∂xβ

Vα + pαVα;β −pαVµΓαµβ. (51)

atau

∇βφ =

(∂pα∂xβ− pµΓµαβ

)Vµ + pαVα;β . (52)

Semua suku di atas adalah komponen suatu tensor, maka sukudalam kurung juga harus komponen dari suatu tensor, yangtidak lain adalah derivatif kovarian dari p Jadi

(∇βp)α ≡ (∇p)alphaβ ≡ pα;β = pα,β −pµΓµαβ (53)M. Satriawan Teori Relativitas

Untuk pers.(50), sekarang menjadi

∇β(pαVα) = pα;β Vα + pαVα;β . (54)

Prosedur yang sama dapat digunakan untuk memperolehderivatif kovarian tensor lainnya

∇βTµν = Tµν,β −TανΓαµβ − TµαΓανβ (55)∇βAµν = Aµν,β +AανΓµαβ + AµαΓναβ (56)∇βBµν = Bµν,β +BανΓµαβ − BµαΓανβ (57)

(58)


Simbol Christofell dan Tensor Metrik

Dalam koordinat kartesan, komponen suatu bentuk satu sertavektor yang terkait dengannya, akan sama. Karena derivatifkovarian dalam koordinat kartesan hanyalah derivatif biasaterhadap komponen, maka komponen derivatif kovarian darisuatu bentuk satu dan vektor terkait haruslah sama. Bila ~Vadalah suatu vektor, dan V = g(~V, ) adalah bentuk satu terkait,maka dalam koordinat kartesan

∇βV = g(∇β~V, ) (59)

Tapi persamaan di atas adalah peramaan tensor, sehinggaharus benar untuk sembarang koordinat. Disimpulkan

Vα;β = gαµVµ;β (60)

Kesimpulan ini membawa akibat berikut ini: Berawal dariVα = gαµVµ. Bila dilakukan derivatif kovarian (dalamsembarang koordinat)

Vα;β = gαµ;β Vµ + gαµVµ;β (61)

sehingga gαµ;β = 0 dalam sembarang sistem koordinat (dalamkoordinat kartesan, hal ini adalah trivial).


Mencari Simbol Christoffel dengan metriks

Sebelumnya akan ditunjukkan bahwa Γµαβ = Γµβα. Dalamkoordinat kartesan ∇φ (dengan φ adalah sembarang skalar)memiliki komponen φβ. Derivatif kovarian yang kedua ∇∇φmemiliki komponen φ,β ;α, atau dalam koordinat kartesanadalah φ,β ,α. Karena derivatif biasa dapat dipertukarkan makaφ,β ,α = φ,α ,β. Tetapi bila suatu tensor itu simetrik dalam suatusistem koordinat, dia akan tetap simetrik dalam koordinat lain.Jadi φ,β ;α = φ,α ;β, atau

φ,β ,α −φ,µ Γµβα = φ,α ,β −φ,µ Γµαβ (62)

Tapi karena φ,β ,α = φ,α ,β maka Γµαβ = Γµβα.


Sekarang dengan memakai gαβ;µ = 0 kita dapat tuliskan

gαβ, µ = Γναµgνβ + Γνβµgαν

kemudian tukarkan indeks β dan µ

gαµ, β = Γναβgνµ + Γνµβgαν

dan tukarkan indeks β dengan α

gβµ, α = Γνβαgνµ + Γνµαgβν

Jumlahkan dua persamaan pertama dan kurangkan denganyang ketiga, diperoleh setelah beberapa penyederhanaan

gαβ, µ + gαµ, β − gβµ,α = 2gανΓνβµ

Setelah dikalikan dengan gαγ, dibagi dua, diperoleh

Γνβµ =12

(gαβ, µ + gαµ, β − gβµ,α ) (63)





Documents

Teori Relativitas - Mirza Satriawanmirza.staff.ugm.ac.id/relativitas/RElativity-5.pdf · Hubungan Gravitasi dan Kelengkungan ... gravitasi dengan mempostulatkan bahwa hukum gaya-gaya