Upload
iulian-zaharia
View
84
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
teoreme analiza matematica
Citation preview
1. Teorema de existenta a marginilor unei multimi marginite Orice multime nevida minorata are margine inferioara si orice multime nevida majorata are margine superioara.
2. Teorema lui Weierstrass-Bolzano Orice multime marginita si infinita are cel putin un punct de acumulare.
3. Teorema de congergenta cu pentru siruri.Un numar a este limita unui sir daca si numai daca pentru orice , exista un numar , astfel incat oricare ar fi , sa avem .
4. Lema lui Stolz Fie si doua siruri. Daca sirul este strict monoton si nemarginit, si
daca (finit sau infinit), atunci .
5. Lema lui Cesaro Orice sir marginit contine cel putin un subsir convergent.
6. Criteriul general al lui Cauchy Un sir este convergent daca si numai daca este sir fundamental.
7. Teorema lui Weierstrass de convergenta a sirurilor monotone Orice sir monoton si marginit este convergent.
8. Puncte limita ale unui sir. Teorema de caracterizare Un numar a este punct limita al unui sir daca si numai daca exista un subsir al acestuia care tinde catre a.
9. Criteriul general al lui Cauchy pentru serii
O serie este convergenta daca si numai daca, pentru orice numar ,
exista un numar , astfel incat oricare ar fi si oricare ar fi , sa avem .
10.Criteriul lui Dirichlet pentru serii cu termeni oarecare
Daca este o serie care are sirul sumelor partiale marginit, si daca este
un sir descrescator de numere pozitive convergent catre 0, atunci seria
este convergenta.
11.Criteriul lui Abel pentru serii cu termeni oarecare
Daca seria este convergenta iar sirul de numere pozitive este monoton si
marginit, atunci seria este convergenta.
12.Criteriul lui Leibniz pentru serii alternante O serie alternanta , pentru care sirul modulelor termenilor este descrescator si convergent catre 0, este convergenta.
13.Primul criteriu de comparatie pentru serii cu termeni pozitivi
Fie si doua serii cu termeni pozitivi. Sa presupunem ca exista un
numar N, astfel incat .
1) Daca seria este convergenta, atunci seria este convergenta
2) Daca seria este divergenta, atunci seria este divergenta
14.Al doilea criteriu de comparatie pentru serii cu termeni pozitivi
Fie si doua serii cu termeni pozitivi. Sa presupunem ca exista un
numar N, astfel incat .
1) Daca seria este convergenta, atunci seria este convergenta
2) Daca seria este divergenta, atunci seria este divergenta
15.Al treilea criteriu de comparatie
Fie si doua serii cu termeni pozitivi. Presupunem ca exista
. Daca are loc , atunci seriile au aceeasi natura.
16.Criteriul de condensare pentru serii cu termeni pozitivi
Fie o serie cu termeni pozitivi, astfel ca sirul termenilor sa fie
descrescator. Sa consideram si seria . Daca una dintre serii este
convergenta, atunci si cealalta este convergenta.
17.Criteriul radacinii al lui Cauchy pentru serii cu termeni pozitivi
Fie o serie cu termeni pozitivi.
1) Daca exista un numar N, si un numar , astfel incat, pentru orice , sa avem , atunci seria este convergenta.
2) Daca exista un numar N, astfel ca pentru orice sa avem , atunci seria este divergenta.
18.Criteriul raportului al lui D’Alembert pentru serii cu termeni pozitivi
Fie o serie cu termeni pozitivi.
1) Daca exista un numar N, si un numar , astfel incat, pentru orice ,
sa avem , atunci seria este convergenta
2) Daca exista un numar N, astfel ca pentru orice sa avem , atunci
seria este divergenta
19.Criteriul lui Kummer
Fie o serie cu termeni pozitivi.
1) Daca exista un sir de numere strict pozitive, un numar
si un numar N astfel incat sa avem , atunci seria
este convergenta2) Daca exista un sir de numere strict pozitive , astfel incat
seria sa fie divergenta, si un numar N astfel incat
, atunci seria este divergenta
20.Criteriul lui Raabe-Duhamel
Fie o serie cu termeni pozitivi.
1) Daca exista un numar si un numar N astfel incat sa avem
atunci seria este convergenta.
2) Daca exista un numar N astfel incat , atunci seria este
divergenta.21.Teorema de caracterizare a limitei unei functii cu ajutorul limitelor
laterale.Functia f are limita in , daca si numai daca are in limite laterale egale. In
acest caz, .
22.Criteriul lui Cauchy-Bolzano de existenta a limitei unei functii Functia f are limita finita in punctul , daca si numai daca, pentru orice numar
, exista o vecinatatea V al lui , astfel incat oricare ar fi punctele si din sa avem .
23.Teorema de caracterizare a continuitatii cu ajutorul continuitatii lateraleFunctia este continua in punctul , daca si numai daca este continua la stanga si la dreapta in .
24.Proprietatea Darboux a unei functii. Legatura cu monotonia unei functii.Daca functia are proprietatea lui Darboux si este injectiva, atunci f este strict monotona.
25.Discontinuitatile unei functii cu proprietatea lui Darboux. Daca functia are proprietatea lui Darboux si daca exista una din limitele laterale intr-un punct , atunci ea este egala cu . O functie cu proprietatea Darboux nu are discontinuitati de prima speta.
26.Teorema de continuitate a unei functii monotone. Daca functia este monotona si daca multimea valorilor, f(E), este un interval, atunci f este continua pe E.
27.Teorema lui Weierstrass referitoare la functii continue pe un compact O functie continua pe o multime compacta este marginita si isi atinge marginile pe aceasta multime.
28.Teorema de continuitate uniforma a unei functii continue. O functie continua pe o multime compacta este uniform continua pe aceasta multime.
29.Derivabilitatea functiei inverse. Fie o aplicatie strict monotona a unui interval I pe un interval J si fie functia inversa a lui f. (Stim ca .) Daca functia f este derivabila intr-un punct si daca , atunci functia sa inversa este derivabila in punctul corespunzator
si
30.Teorema lui Fermat
Daca functia f are derivata intr-un punct de extrem din interiorul intervalului I, atunci derivata sa este nula in acest punct, .
31.Teorema lui Rolle Fie f o functie definita pe un interval I si doua puncte din I. Daca:1) functia f este continua pe intervalul inchis ;2) functia f este derivabila pe intervalul deschis ;3) ;Atunci exista cel putin un punct , in care derivata se anuleaza,
32.Teorema cresterilor finite a lui Lagrange Fie f o functie definita pe un interval I si a<b doua puncte din I. Daca:1) functia f este continua pe intervalul inchis ;2) functia f este derivabila pe intervalul deschis ;Atunci exista cel putin un punct , astfel incat sa avem
. Aceasta formula se numeste formula cresterilor finite sau formula mediei.
33.Consecinta a treia a teoremei lui Lagrange Daca f este continua pe I, derivabila pe si daca derivata sa f’ are limita
finita sau infinita in punctul , atunci exista si .
34.Teorema lui Cauchy Fie f si g doua functii definite pe un interval I si a<b doua puncte din I. Daca:1) f si g sunt continue pe intervalul inchis ;2) f si g sunt derivabile pe intervalul deschis ;3)Atunci si exista cel putin un punct astfel incat sa
avem
35.Teorema lui Darboux Daca f este derivabila pe un interval I, atunci derivata sa f’ are proprietatea lui Darboux pe acest interval.
36.Formula lui Taylor. Restul Schlömlich-Roche Fie functia , derivabila de n ori si cu derivate continue pe I si care are derivata de ordinul n+1 pe I. Polinomul
definit pe I, se
numeste polinomul lui Taylor de gradul n, atasat functiei f in punctul a. Formula
se
numeste formula lui Taylor de ordinul n, corespunzatoare functiei f, in punctul a.Functia se numeste restul de ordinul n al formulei lu Taylor.
Restul de ordinul n din formula lui Taylor este dat prin
.
37.Teorema de caracterizare a punctelor de extrem ale unei functii cu ajutorul derivatelor de ordin superior.Fie f o functie derivabila de n ori, , intr-un punct , astfel incat
1) Daca n este par, atunci a este punct de extrem al lui f; daca atunci
a este punct de minim, iar daca , atunci a este punct de maxim.2) Daca n este impar, iar a este punct interior intervalului I, atunci a nu este
punct de extrem al functiei f.
38.Regula lui l’Hospital pentru cazul
Fie un punct de acumulare (finit sau infinit) al unui interval I, f si g doua functii definite pe I, cu exceptia, eventual, a lui . Daca:
1) si
2) f si g sunt derivabile pe I, cu exceptia, eventual, a lui 3) din I
4) exista (finita sau infinita)
Atunci:a) din I;
b) functia are limita in si .
39.Teorema lui Cauchy pentru cazul
Fie f si g doua functii definite pe un interval I si un punct . Daca:1) si 2) f si g sunt derivabile in punctul 3) Atunci:a) exista o vecintate V a lui , astfel ca pentru , din V;
b)
40.Regula lui l’Hospital pentru cazul Fie un punct de acumulare (finit sau infinit) al unui interval I, f si g doua functii definite pe I, cu exceptia, eventual a lui . Daca:
1) ;
2) f si g sunt derivabile pe I, cu exceptia, eventual, a lui 3) pentru orice din I
4) exista (finita sau infinita)
Atunci functia are limita in si
41.Functii diferentiabile. Teorema de legatura cu derivabilitatea Functia f este diferentiabila intr-un punct daca si numai daca este derivabila in .
42.Teorema lui Abel pentru serii de puteri Pentru orice serie de puteri exista un numar R astfel ca si astfel incat:1) Seria este absolut convergenta pe intervalul deschis 2) Pentru orice x, astfel ca seria este divergenta3) Pentru orice numar , seria este uniform convergenta pe intervalul
inchis Numarul R se numeste raza de convergenta a seriei de puteri, iar intervalul
se numeste intervalul de convergenta al seriei de puteri.
43.Teorema lui Cauchy-Hadamard pentru serii de puteri
Fie o serie de puteri si R raza sa de convergenta. Atunci:
1) , sau
2)
44.Teorema cresterilor finite pentru functii vectoriale Fie o functie si a<b doua puncte din I. Daca:1) f este continua pe intervalul inchis 2) f este derivabila pe intervalul deschis , atunci:
45.Diferentiabilitatea unie functii in R 2 . Teorema de legatura cu derivatele partialeDaca functia f este diferentiabila in punctul ,atunci ea are derivate partiale in si . Egalitatea de definitie a diferentiabilitatii se scrie atunci astfel:
46.Criteriul lui Schwartz pentru functii reale de doua variabile Daca functia are derivate partiale mixte de ordinul doi intr-o vecinatate V a lui si daca este continua in , atunci .
47.Teorema de derivare a functiilor compuse in R 2 Fie si . Daca functiile u(x), v(x) au derivate continue pe X, si daca functia are derivate partiale continue pe Y, atunci functia compusa are derivata continua
pe X, data de .
48.Formula lui Taylor in R 2 Daca functia f este derivabila de n+1 ori pe X, cu toate derivatele mixte egale, atunci pentru oricare are loc formula
,
49.Teorema de caracterizare a punctelor de extrem in R 2 Fie functia , derivabila partial de trei ori pe X si fie un punct
stationar al functiei. Fie apoi
1) Daca in punctul avem si , atunci punctul este un
punct de minim al functiei
2) Daca in punctul avem si , atunci punctul este un
punct de maxim al functiei
3) Daca in punctul avem , atunci punctul nu este un punct de extrem al functiei
50.Teorema de existenta a functiilor implicite Fie o functie reala definita pe si a un punct interior lui X si b un punct interior lui Y. Daca:1) 2) sunt continue pe o vecinatate a lui
3) Atunci1’) exista o vecinatate a lui a si o vecinatate a lui b si o functie unica astfel incat f(a)=b si pentru
2’) functia f(x) are derivata continua pe data de ;
3’) daca are derivate partiale continue pana la ordinul n pe , atunci f(x) are derivate continue pana la ordinul n pe .