Teoremas integrales del anlisis vectorialTeorema de GreenSea C una curva dada por la parametrizacin

se dice que la curva es cerrada si r(a)=r(b). C se dice que es una curva simple si r es inyectiva en (a,b), es decir, si

Por convenio, para las curvas cerradas la orientacin positiva se define como el sentido antihorario. Teorema de Green Sea C una curva en el plano cerrada simple suave a trozos y orientada positivamente, y sea D la regin del plano acotada por C. Si P(x,y) y Q(x,y) son dos funciones reales de clase C1 sobre una regin abierta que contiene a D, entonces

El teorema de Green se puede extender a regiones que no son simplemente conexas, es decir, que tiene "agujeros" como la que se muestra en el dibujo.

La frontera de esta regin est formada por dos curvas cerradas simples. La orientacin que se debe tomar en cada trozo de la frontera es aquella que deja la regin a la izquierda: la curva de fuera con sentido antihorario mientras que para la curva interior se toma el sentido horario.

Teorema de StokesDefinicin Dado un campo vectorial F en IR3 cuyas componentes F1, F2, F3 tienen derivadas parciales, se define el rotacional de F, que denotaremos por rot F, como el campo vectorial

El clculo del rotacional se puede hacer de forma sencilla mediante la expresin simblica

Dada una superficie cuya frontera es una curva cerrada simple, la orientacin de la superficie induce sobre la curva frontera una orientacin que denominaremos positiva. La orientacin inducida sobre la curva frontera es el sentido de recorrido que hace que la superficie quede a la izquierda. Teorema de Stokes Sea S una superficie orientada y suave a trozos, acotada por una curva frontera C suave a trozos, cerrada y simple, cuya orientacin es positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una regin abierta de IR3 que contiene a S. Entonces

Teorema de la divergencia Gauss

Definicin Dado un campo vectorial F de IR3 cuyas componentes F1, F2, F3 tienen derivadas parciales, se define la divergencia de F, que denotaremos por div F, como el campo escalar

Teorema de la divergencia de Gauss Sea una regin simple de IR3 cuya superficie frontera S tiene orientacin positiva (hacia afuera). Sea F un campo vectorial cuyas funciones componentes poseen derivadas parciales continuas sobre una regin abierta que contiene a . Entonces

IntroduccinDe la misma manera en que la integral de una funcin positiva f (x) de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cmo el rea entre la grfica de la funcin y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una funcin positiva f (x, y) de dos variables, definida en una regin del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la funcin y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una funcin f (x, y, z) definida en una regin del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f (x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la regin de integracin. Para integrales de rdenes superiores, el resultado geomtrico corresponde a hipervolmenes de dimensiones cada vez superiores.

La manera ms usual de representar una integral mltiple es anidando signos de integracin en el orden inverso al orden de ejecucin (el de ms a la izquierda es el ltimo en ser calculado), seguido de la funcin y los diferenciales en orden de ejecucin. El Dominio de Integracin se representa simblicamente para cada diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de ms a la derecha:

Es importante destacar que es imposible calcular la funcin primitiva o antiderivada de una funcin de ms de una variable por lo que las integrales mltiples indefinidas no existen.

[editar] DefinicinUna forma relativamente sencilla de definir las integrales mltiples es mediante su representacin geomtrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuacin y una regin T en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la funcin f (si T es una regin cerrada y acotada y f est definida en la regin T). Por ejemplo, si n = 2, el volumen situado entre la superficie definida por y una regin T en el plano integral doble, si es que la funcin f est definida en regin T. es igual a algna

Se puede dividir la regin T en una particin interior formada por m subregiones rectangulares sin solapamiento que estn completamente contenidas en T. La norma de esta particin est dada por la diagonal ms larga en las m subregiones. Si se toma un punto que est contenido dentro de la subregin con dimensiones para cada una de las m subregiones de la particin, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por magnitud de: y la subregin i. Este espacio tendr una

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuacin y la regin T mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los m espacios correspondientes a cada una de las subregiones:

Esta aproximacin mejora a medida que el nmero m de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podra obtener la magnitud exacta tomando el lmite. Al aumentar el nmero de subregiones disminuir la norma de la particin:

El significado riguroso de ste ltimo lmite es que el lmite es igual L si y slo si para todo existe un tal que

para toda particin

de la regin T (que satisfaga

), y para todas las

elecciones posibles de en la isima subregin. Esto conduce a la definicin formal de una integral mltiple: Si f est definida en una regin cerrada y acotada T del definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral de f sobre T est dada por:

siempre que el lmite exista. Si el lmite existe se dice que f es integrable con respecto a T.

[editar] PropiedadesLas integrales mltiples comparten muchas de las propiedades de las integrales simples. Si f y g son funciones continuas en una regin cerrada y acotada D en un espacio Rn y c una constante con respecto a todas las variables involucradas entonces se puede demostrar que: 1.

2.

3.

Si

, entonces:

4. Si , entonces:

5. Sea D la unin entre dos regiones, D1 y D2, que no solapan entre s, entonces:

[editar] Integrales mltiples e Integrales iteradasLas integrales mltiples estn estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales mltiples. La diferencia entre integrales mltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemtico de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral mltiple. Si la expresin

se refiere a una integral iterada, la parte externa

es la integral con respecto a x de la funcin de x:

Una integral doble, en cambio est definida con respecto a un rea en el plano xy. La integral doble existe si y slo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integracin es dydx dxdy, y por lo general uno la calcula calculando una

sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:

De una manera ms formal, el Teorema de Fubini afirma que

Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral doble es igual a la integral iterada.

Esto ocurre, cuando f es una funcin acotada y tanto A como B son regiones acotadas tambin. Esto se entiende fcilmente pensando que si la funcin o la regin del dominio no estn acotadas, la integral mltiple no puede existir. La notacin

se puede usar si se desea ser enftico al referirse a una integral doble y no a una iterada.

[editar] Mtodos de integracin[editar] Funciones constantesEn el caso de funciones constantes, el resultado es trivial: simplemente multiplquese el valor de la funcin constante c por la medida del dominio de integracin. Si c = 1, y es integrada a travs de una regin de R2 esto da el rea de la regin, mientras que si es una regin de R3 da el volumen de la regin y as sucesivamente. Por ejemplo: y Integrando f sobre D:

[editar] Uso de simetrasEn el caso de un dominio en el que exista simetra al menos respecto de uno de los ejes, y donde la funcin para integrar contenga al menos una funcin impar con respecto a

esa variable, la integral se vuelve nula (ya que la suma de cantidades iguales con signo opuesto es cero). Por ejemplo Dada y que es el dominio de integracin del disco de radio 1 centrado en el origen. Usando la propiedad lineal de las integrales, la integral se descompone en tres partes:

Ya que tanto 2 sin(x) como 3y3 son funciones impares, y existe simetra tanto con respecto al eje x como con respecto al eje y, las primeras dos integrales se nulifican, de tal forma que la integral original es igual nicamente a la tercera.

[editar] Cambio de variablesA menudo, es til para reducir la complejidad de la integral cambiar una variable por otra que resulte ms cmoda, sin embargo esto exige el cambio de la regin de integracin, adems de aadir un factor de correccin al diferencial conocido como determinante jacobiano (en valor absoluto o mdulo). El cambio de una variable por otra es en un sentido geomtrico, una transformacin desde un espacio hasta otro, y es esta transformacin la que exige estos ajustes. Si se utiliza una transformacin que siga la relacin:

Entonces se puede utilizar el jacobiano de la transformacin para simplificar la integral

Integrando la funcin transformada en el dominio de integracin correspondiente a las variables x, y multiplicando por el valor absoluto del determinante jacobiano y por la serie de diferenciales, se obtiene una integral mltiple que es igual a la integral original, si es que esta existe.

A continuacin se dan algunos ejemplos de estas transformaciones.

[editar] Coordenadas Polares

La transformacin de coordenadas rectangulares a polares. Se puede notar que el rea de la regin polar es distinta que la de la regin rectangular, lo que justifica la necesidad del jacobiano. Tambin se puede demostrar que si se consiera radio medio), el rea de la regin polar es efectivamente (el .

En un espacio R2, un dominio de integracin que tenga una simetra circular es muchas veces suceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, lo que significa que cada punto P (x, y) del dominio de una integral doble tomar su valor correspondiente en coordenadas polares mediante la siguiente transformacin:

Por ejemplo: Si la funcin es aplicando la transformacin se obtiene la funcin fcilmente integrable con respecto a y a .

Se pueden obtener funciones incluso ms simples: Si la funcin es Uno tiene:

Si aplica la identidad trigonomtrica pitagrica de senos y cosenos. El determinante jacobiano de la transformacin es:

El cual se obtiene insertando las derivadas parciales de x = cos(), y = sin() en la primera columna con respecto a y en la segunda con respecto a .

Por lo tanto, una vez transformada la funcin, y multiplicada por su determinante jacobiano, sta es igual a la integral original:

[editar] Coordenadas Esfricas

Grfica de las coordenadas esfricas. Cuando existe simetra esfrica en un dominio en R3, es posible utilizar una transformacin hacia coordenadas esfricas para simplificar una integral triple. La funcin es transformada por la relacin:

El determinate jacobiano de la transformacin es el siguiente:

Tomando el valor absoluto del determinante se obtiene el factor que se debe aadir a la integral. Por lo tanto los diferenciales dx dy dz se transforman en 2 sin() d d d. Finalmente se obtiene la frmula de integracin:

[editar] Coordenadas Cilndricas

Grfica de las Coordenadas Cilndricas (Se muestra el gulo como ). El uso de coordenadas cilndricas para transformar una intregral triple, es conveniente especialmente cuando el dominio de integracin presenta simetra alrededor del eje z. La funcin se transforma mediante la siguiente relacin.

El determinate jacobiano de la transformacin es el siguiente:

Por lo tanto, se puede derivar la siguiente frmula de integracin:

INTEGRALES MULTIPLES.

INTEGRALES DOBLES SOBRE RECTANGULOS. Suponga que f(x, y) est definida sobre una regin rectangular R dada por R: a