Teoremas Fundamentales de La Teoría de Circuitos

Teoremas fundamentales de la teora de circuitos I

Teoremas fundamentales: la linealidad y sus consecuencias En un sistema sea lineal se deben cumplir determinadas relaciones entre las respuestas (salidas) y los

estmulos (entradas):- Si denominamos Ae(t) a la entrada y Ar(t) a la salida, se debe verificar que, si K es una constante, ante la

entrada KAe(t) la respuesta es KAr(t). - Si Ark(t) es la respuesta especfica del sistema a la correspondiente entrada Aek(t), ante una determinada combinacin lineal de entradas:

k1Ae1(t)+k2Ae2(t)++kmAem(t) se obtiene la misma combinacin lineal de salidas:

k1Ar1(t)+k2Ar2(t)++kmArm(t)Grficamente:

Ae(t) Ar(t)

KAe(t) KAr(t)

k1Ae1(t)+k2Ae2(t)+

+kmAem(t)

Ar(t)k1Ar1(t)+k2Ar2(t)+

+kmArm(t)

Teoremas fundamentales: la linealidad y sus consecuencias

En forma de teoremas:- Teorema de multiplicacin por una constante: Si en un sistema lineal se multiplican todas

las entradas por una constante, todas las salidas quedan multiplicadas por esa misma constante.

- Principio de superposicin: la respuesta de un circuito en el que actan varias fuentes simultneamente es igual a la suma de las respuestas obtenidas cuando actan cada una de las fuentes individualmente.

De la primera se deduce que existe proporcionalidad entre la excitacin y la respuesta. La segunda quiere decir que la respuesta de un circuito con varias fuentes no es sino la

suma de las respuestas producidas por cada una de ellas; es decir, cada fuente produce su respuesta con independencia de las otras y se suman todas para producir la respuesta completa.

Teoremas fundamentales: la linealidad y sus consecuenciasPara demostrar los teoremas anteriores basta con observar que cuando analizamos un circuito empleando, por ejemplo, el mtodo de los lazos bsicos, se obtiene un sistema de la forma:

() = El segundo miembro de este sistema, una vez ordenado, est constituido exclusivamente por trminos de generadores

independientes del circuito. Al resolver el sistema por Cramer y despejar una cualquiera de las incgnitas, por ejemplo , se obtiene, = 11 + ()22 + () (m = nmero de lazos bsicos)

donde el coeficiente () es el cociente entre el menor complementario del elemento de la matriz de impedancias divididopor el determinante de dicha matriz. Cada elemento est formado por los generadores independientes del lazo j de tal forma que

todos los generadores independientes (supondremos que son ya todos de tensin y que estn numerados del 1 al n) han de estar en

uno o ms elementos del vector . Agrupando ahora los trminos que multiplican a cada uno de los generadores:

= ()11 + ()22 + ()

Teoremas fundamentales: la linealidad y sus consecuenciasSi ahora se multiplican por una constante K0 todos los generadores independientes 1. puesto que esto no modifica la matriz de impedancias de lazo, las admitancias de la expresin anterior tampoco lo hacen y la nueva corriente valdr:

()101 + ()202 + 0 = 0 As, por ejemplo, si se ha analizado un circuito y se conocen ya todas las tensiones y corrientes del mismo, si se multiplican por una misma constante todas las fuentes independientes que contiene, no ser necesario analizarlo de nuevo, ya que bastar con multiplicar por esa misma constante las tensiones y corrientes obtenidas inicialmente. Esto es aplicable tambin, en el contexto del anlisis de circuitos en rgimen estacionario sinusoidal por el mtodo simblico, a constantes complejas.

Teoremas fundamentales: la linealidad y sus consecuencias Para demostrar el principio de superposicin basta con ir anulando sucesivamente todos los generadores del

circuito menos uno de ellos y observar, a partir de la expresin de anterior, las respuestas que se obtienen:

= (),11 (acta slo 1) = (),22 (acta slo 2)

.

. = (), (acta slo )

Obviamente: = + +

Teoremas fundamentales: la linealidad y sus consecuenciasEn la prctica, esto quiere decir que en un circuito con varias fuentes podemos obtener cualquier tensin o corriente analizando el circuito varias veces pero con una fuente cada vez (anulando el resto). Debe tenerse siempre en cuenta que una fuente de tensin se anula sustituyndola por un cortocircuito (tensin nula) y que una fuente de corriente se anula sustituyndola por un circuito abierto (corriente nula). Como ejemplo vamos a resolver el P2.3 para obtener la corriente I en la resistencia de 2 .

1

+10 V

2

4 V+

1 1

1

I

Teoremas fundamentales: la linealidad y sus consecuencias

2 1 1

1

+10 V 1

I

1

2

4 V+

1 1

1

I

2 0,5 0,5

+

5 V

I

2

2 V+

0,5 0,5 I

Cuando acta slo la fuente de 10 V tenemos: = 50,5+2+0,5 = 5 3

Cuando acta slo la fuente de 4 V tenemos: = 20,5+2+0,5 = 2 3

La corriente total vale, por lo tanto: = + = 3 3 = 1

Teoremas fundamentales: la linealidad y sus consecuenciasEn el caso de que en el circuito haya generadores dependientes debemostener en cuenta que los enunciados anteriores se refieren siempre, al hablarde la entrada o excitacin de un circuito, a los generadores independientesdel mismo (segundo miembro del sistema de ecuaciones cuando estcorrectamente ordenado).Es decir, para aplicar el teorema de multiplicacin de una constante stadebe multiplicar a todos los generadores independientes del circuito,dejando la definicin de los dependientes inalterada.En cuanto al principio de superposicin, la aplicacin rigurosa del mismoexige considerar la accin individual de los generadores independientes, porlo que los dependientes deben quedar en el circuito, sin ser anulados,actuando con cada uno de los independientes.

Teoremas fundamentales: la linealidad y sus consecuenciasPor ejemplo, si en un circuito hay dos generadores independientes, eg e ig, yuno dependiente, de valor i2, si vamos a aplicar el principio desuperposicin para calcular, por ejemplo, la tensin u1, al calcular u1, debidaal generador eg, dejaremos en el circuito el generador dependiente (con unvalor i2) y cuando calculemos u2 (respuesta debida al generador ig)tendremos en el circuito al generador dependiente con un valor i2.Sin embargo, tambin podemos considerar como independiente algenerador dependiente, considerando su accin de forma individual y nojunto con cada uno de los independientes. Para ello no hay ms que darle elvalor que tiene: i2. Tendremos as que analizar tres circuitos (uno para cadafuente), pero ms simples. Puesto que i2 no es un dato, deberemos calcularlatambin.

Ejemplo de aplicacin del principio de superposicin Determinar, por aplicacin del principio de superposicin, las variables i1 y u2 del circuito de la figura.

Si aplicamos el principio rigurosamente tendremos que analizar dos circuitos:

eg

Rg

+

R1

R2

i 1

i 1 igu 2

Rg

+

eg

R1

R2

i 1

i1u2

Rg R1

R2

i 1

i1 igu2

1 = 1

1+2+ 1

= 1+2+(1+) 1 = 121+2+ 1 = 21+2+(1+)

2 = 2 1 = 21+2+(1+) 2 = 2(1 + ) = 2 1+(1+) 1+2+(1+)

1 = 1 + 1 = 21+2+(1+); 2 = 2 + 2 = 2 + 1+(1+) 1+2+(1+)Ejemplo de aplicacin del principio de superposicin

Para obtener las variables solicitadas sumamos los resultados anteriores:

La otra forma de proceder consiste en considerar al generador controlado de forma individual, es decir, como si fuera independiente:

Rg

+

eg

R1

R2

i 1

u2

Rg R1

R2

i 1

igu2

Rg R1

R2

i 1

i 1 u2

1 =

1+2+; 2 = 21+2+ 1 = 21+2+; 2 = 1+ 21+2+ 1 = 11+2+; 2 = 211+2+

Como se puede observar, la incgnita i1 aparece en la tercera componente de las variables, por lo que hay que determinarla en primer lugar y obtener despus u2.

Ejemplo de aplicacin del principio de superposicin

1 = 1 + 1 + 1 = 211+2+ 1 = 21+2+(1+);2 = 2(1 + ) = 2 + 1 + (1 + ) 1 + 2 + (1 + )

Regla de sustitucin

La Teora de Circuitos es un modelo matemtico y esto implica que todas las modificaciones que hagamos sobre los circuitos sern admisibles si con ellas no se ven afectadas las ecuaciones de anlisis de los mismos.

As, por ejemplo, podemos sustituir un elemento pasivo por una fuente de tensin cuyo valor sea la tensin (valor numrico o expresin) en bornes del elemento o por una fuente de corriente cuyo valor sea la corriente en el elemento. Una de las utilidades que tiene la Regla de Sustitucin es la demostracin de algunos teoremas, como se ver ms adelante.

Teoremas de Thvenin y NortonSean C.A. un circuito lineal y activo y C. E. cualquier otro circuito, activo opasivo, lineal o no lineal, con dos terminales accesibles cada uno de ellos einterconectados como se muestra en la figura. Sean u e i la tensin y lacorriente respectivamente en los terminales A y B.

C.A. C.E.u

i A

B

Si se sustituye el C.E. por una fuente de tensin de valor u o por una fuentede corriente de valor i, el circuito activo no observar cambio alguno puestoque si la tensin o la corriente se mantienen inalteradas la otra variabletambin ha de estarlo. Haciendo uso de la regla de sustitucin vistaanteriormente podemos sustituir al C. E. por una fuente ideal:

Aplicando ahora el principio de superposicin tendremos:

C.A. u

i A

B

i C.A. u

i A

B

+

u

C.P. u

A

B

iC.A. u

A

B

C.A. i

A

B

C.P.

i A

B

+u

Teoremas de Thvenin y Norton

u = u + u, siendo u la tensin a circuito abierto (uo) del C. A. entre los terminales A y B; i = i + i, siendo i la corriente de cortocircuito (icc) del C. A. entre los terminales A y B.

Para aplicar el principio de superposicin a cada uno de los casos anteriores se ha considerado poruna parte la accin conjunta de todas las fuentes del circuito activo y por otra la accin individual dela fuente externa. En esta ltima situacin, todas las fuentes independientes de C.A. han sidoanuladas, pasando a ser un circuito pasivo (C.P. en las figuras).

Analizando por lazos el C.P. con fuente de tensin y por nudos el C.P. con fuente de corriente y aplicando superposicin obtendramos:

= = = + = = + =

Aplicando de nuevo la regla de sustitucin, podremos sustituir el circuito activo C.A. bien por una fuente de tensin de valor uo en serie con la impedancia Ze(D) (equivalente de Thvenin entre A y B), bien por una fuente de corriente de valor io en paralelo con la admitancia Ye(D) (equivalente de Norton entre A y B).


Puesto que ambos circuitos han de ser equivalentes entre s, es fcil comprobar que:

= () y () = 1 ()

C.A. C.E.u

i A

B

uo+

Ze(D)

Equivalente de Thvenin

C.A.C.E.u

i A

B

icc+

Ye(D)

Equivalente de Norton


18

Tal y como se ha visto anteriormente, Ze(D) o Ye(D), denominadas impedancia y admitancia operacional de entrada respectivamente, se obtienen conectando un generador de tensin (u) o de corriente (i) en los terminales del C.P., calculando la otra variable, i o u, y realizando el cociente entre ellas:

= = Si el circuito es suficientemente sencillo pueden obtenerse por inspeccin o utilizando la agrupacin de elementos en serie o en paralelo.


Sobre el mismo circuito del ejemplo anterior vamos a calcular de nuevo la tensin en la resistencia R2 aplicando estos teoremas. Para ello calcularemos el equivalente de Thvenin (o el de Norton) de la parte del circuito a la que est conectada dicha resistencia (que hace las veces del C.A. anterior).

Ejemplo de aplicacin de los teoremas de Thvenin y Norton

Rg

+

R1

R2

i 1

i 1 igu 2eg

Rg

+

R1i 1

i 1 ig

A

B

eg

Una vez hayamos calculado el equivalente no tendremos ms que conectarle la resistencia R2 y calcular la tensin en ella. La tensin a circuito abierto se obtiene directamente a partir del circuito de la figura, teniendo en cuenta que ahora i1 = -ig.

= 1 + (1 + ) + La corriente de cortocircuito se obtiene tambin con facilidad:


Rg

+

R1i 1

i 1 ig

A

B

egi cc

= + 11 = 11 + 1 = 1 + (1 + )

= + 1+(1+) = + 1+(1+) 1+(1+)

La Impedancia operacional de entrada (en este caso resistencia de entrada, Re) la podemos determinar con facilidad reduciendo el circuito a pasivo y colocando un generador de tensin en los terminales A y B.

Rg

+

R1i 1

i 1

A

Bu

i

Ahora se tiene que = 1 y por lo tanto: = 1 + (1 + )

= = 1 + (1 + )Obsrvese que la resistencia de entrada as obtenida coincide con el cociente entre la tensin a circuito abierto y la corriente de cortocircuito entre los terminales A y B.


Este resultado coincide, obviamente, con el obtenido anteriormente.


C.A. u2

i A

B

uo+

Re

Equivalente de Thvenin

R2

2 = 2 + 2 = 2 1 + (1 + ) + 22 + 1 + (1 + )

Finalmente calculamos la tensin solicitada a partir del equivalente de Thvenin que hemos obtenido:

Teorema de ReciprocidadEl teorema de reciprocidad excitacin/respuesta admite dos enunciados duales. En el primero la excitacin es una fuente de tensin y la respuesta es una corriente:La corriente que circula en la rama q de un circuito lineal y pasivo cuando se inserta (en serie) una fuente de tensin en la rama p del mismo circuito (figura a) es la igual a la corriente que circula en la rama p cuando la misma fuente se inserta en la rama q (figura b).

C.P.

iq

+eg Zq

p

C.P.+eg

ip

Zp

iq (a)= ip(b)(a) (b)

Zp

Zq

Teorema de Reciprocidad (primer enunciado)Para demostrarlo basta con analizar el circuito. Supongamos que elegimos un rbol de tal forma que las ramas p y q son eslabones. En la figura (a) la nica fuente del circuito est en la rama p por lo que, al formar el vector [el], el nico elemento no nulo es el de la fila p y al despejar la incgnita iq , aplicando la regla de Cramer, se obtiene:

= = ()Apq es el adjunto del elemento fila p, columna q, de la matriz de impedancias de lazo (Zl).Obviamente, al resolver en la figura (b) encontraremos:

= = ()Si la matriz de impedancias del circuito es simtrica, se cumple que Aqp = Apq y, por lo tanto, que la corriente iq de la primera figura es igual a la corriente ip de la segunda.En circuitos sin generadores controlados la matriz de impedancias es siempre simtrica (circuitos recprocos).

Teorema de Reciprocidad (segundo enunciado)En el segundo enunciado la excitacin es una fuente de corriente y la respuesta es una tensin:La tensin que origina en la rama q de un circuito lineal y pasivo una fuente de corriente aplicada (en paralelo) a la rama p del mismo circuito (figura a) es la igual a la tensin que origina en la rama p la misma fuente aplicndola a la rama q (figura b).

C.P. upig Zp

p

C.P. iguq

uq(a)= up(b)(a) (b)

Zq ZqZp

Teorema de Reciprocidad (segundo enunciado)La demostracin es similar a la del otro enunciado pero analizando el circuito por grupos de corte bsicos. Supongamos que elegimos un rbol de tal forma que las ramas p y q pertenecen al mismo. En la figura (a) la nica fuente del circuito est en la rama p por lo que, al formar el vector [ic], el nico elemento no nulo es el de la fila p y al despejar la incgnita uq , aplicando la regla de Cramer, se obtiene:

= = Apq es el adjunto del elemento fila p, columna q, de la matriz de admitancias de corte (Yc).Obviamente, al resolver en la figura (b) encontraremos:

= = Si la matriz de admitancias del circuito es simtrica, se cumple que Aqp = Apq y, por lo tanto, que la tensin uq de la primera figura es igual a la up de la segunda.En circuitos sin generadores controlados la matriz de admitancias es siempre simtrica (circuitos recprocos).

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