TEOREMAS FUNDAMENTALES DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

JOSÉ RICARDO GALLEGO VÁSQUEZ

COD. 10032068

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

FACULTAD DE INGENIERÍAS ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA,

FÍSICA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

PEREIRA

2008

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

JOSÉ RICARDO GALLEGO VÁSQUEZ

COD. 10032068

Monografía

Director

M. Sc. ÁLVARO ÁNGEL OROZCO GUTIÉRREZ

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PEREIRA

PROGRAMA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

FACULTAD DE INGENIERÍAS ELÉCTRICA, ELECTRÓNICA,

FÍSICA Y CIENCIAS DE LA COMPUTACIÓN

PEREIRA

2008

4

5

Nota de aceptación:

Firma del presidente del jurado

Firma del jurado

Firma del jurado

Pereira, noviembre del 2008

6

AGRADECIMIENTOS

Hay personas de una estatura tal que trascienden los espacios y la historia de los

que comparten a su alrededor, esas personas son escasas y por ende muy

valiosas, es por eso que mis más sinceros agradecimientos y mí mas infinita

gratitud es para el ingeniero Jorge Eduardo Calle Trujillo; quien con su

colaboración, dedicación y esmero hizo posible la realización de este proyecto.

7

CONTENIDO

pág.

INTRODUCCIÓN ….……………………………………………………………… 13

1. GENERALIDADES ……………………………………………………………. 17

1.1 ¿Qué es la teoría de circuitos eléctricos? …………………………………. 17

1.2 ¿Qué es un circuito eléctrico? ……………………………………………… 17

1.3 ¿Cómo se describe un circuito eléctrico? ………………………………… 18

1.4 Teoremas (definición) ……………………………………………………….. 18

1.5 ¿Por qué usar los teoremas para resolver los circuitos eléctricos? ……. 21

2. LOS TEOREMAS BÁSICOS ………………………………………………… 23

2.1 Teorema de sustitución ……………………………………………………... 23

2.1.1 Enunciado ………………………………………………………………….. 24

2.1.2 Demostración ……………………………………………………………… 24

2.1.3 Ejemplo de aplicación …………………………………………………….. 25

2.1.4 Ejercicios resueltos ……………………………………………………….. 31

2.1.5 Ejercicios propuestos …………………………………………………….. 38

8

2.2 Teorema de superposición ………………………………………………… 40

2.2.1 Enunciado …………………………………………………………………. 40

2.2.2 Por qué no se requiere de una demostración …………………………. 41

2.2.3 Ejemplo de aplicación ………………………………………………........ 42

2.2.4 Ejercicios resueltos ………………………………………………………. 49

2.2.5 Ejercicios propuestos ……………………………………………………. 61

2.3 Teorema de Thèvenin ……………………………………………………… 63

2.3.1 Enunciado ………………………………………………………………… 63

2.3.2 Demostración …………………………………………………………….. 64

2.3.2.1 Teorema unificado de Thévenin ……………………………………… 65

2.3.3 Ejemplo de aplicación …………………………………………………… 68

2.3.4 Ejercicios resueltos ……………………………………………………… 76

2.3.5 Ejercicios propuestos …………………………………………………… 89

2.4 Teorema de Norton ………………………………………………………… 94

2.4.1 Enunciado ………………………………………………………………… 95

2.4.2 Demostración ……………………………………………………………. 95

2.4.3 Ejemplo de aplicación …………………………………………………… 97

2.4.4 Ejercicios resueltos ……………………………………………………… 99


9

2.5 Teorema de reciprocidad ……………………………………………….. 110

2.5.1 El principio de reciprocidad …………………………………………... 110

2.5.2 El teorema como una consecuencia del principio …………………. 111

2.5.3 Enunciado ……………………………………………………………… 112

2.5.4 Demostración ………………………………………………………….. 113

2.5.5 Ejemplo de aplicación ………………………………………………… 117

2.5.6 Ejercicios resueltos …………………………………………………… 119

2.5.7 Ejercicios propuestos ………………………………………………… 126

3. OTROS TEOREMAS ……………………………………………………. 131

3.1 Teoremas de Tellegen I y II …………………………………………… 131

3.1.1 Enunciados ……………………………………………………………. 131

3.1.2 Demostración …………………………………………………………. 132

3.1.3 Ejemplo de aplicación ……………………………………………….. 136



3.2 Teorema de Millman ……………………………………………………. 153

3.2.1 Enunciado ……………………………………………………………… 153

3.2.2 Demostración …………………………………………………………. 154

10




3.3 Teorema de Kennelly (Rosen) ………………………………………… 163

3.3.1 Enunciado ……………………………………………………………… 164

3.3.2 Demostración ………………………………………………………….. 165




3.4 Teorema de máxima transferencia de potencia …………………….. 180

3.4.1 Enunciado ……………………………………………………………… 181

3.4.2 Demostración ………………………………………………………….. 181


3.4.4 Ejercicios resueltos ……………………………………………………. 187

3.4.5 Ejercicios propuestos …………………………………………………. 192

3.5 Teorema de Miller ………………………………………………………… 194

3.5.1 Enunciado ………………………………………………………………. 194

3.5.2 Demostración …………………………………………………………… 195

3.5.3 Ejemplo de aplicación ………………………………………………….. 199

11

3.5.4 Ejercicios resueltos …………………………………………………….. 201

3.5.5 Ejercicios propuestos …………………………………………………. 206

3.6 Teorema de compensación ……………………………………………… 207

3.6.1 Enunciado ……………………………………………………………….. 207

3.6.2 Demostración …………………………………………………………… 208

3.6.3 Ejemplo de aplicación ………………………………………………….. 210

3.6.4 Ejercicios resueltos ……………………………………………………... 211


3.7 Teorema de bisección de Bartlett ………………………………………. 221

3.7.1 Enunciado ………………………………………………………………. 222

3.7.2 Demostración …………………………………………………………… 223

3.7.3 Ejemplo de aplicación …………………………………………………. 226

3.7.4 Ejercicio resuelto ………………………………………………………. 229

3.7.5 Ejercicios propuestos ………………………………………………….. 231

4. CONCLUSIONES …………………………………………………………… 235

BIBLIOGRAFÍA …………………………………………………………… 237

ANEXOS Biografías …………………………………………………………… 241

12

RESUMEN

Este documento se propone dar a conocer las aplicaciones de los diversos

teoremas que se emplean en la teoría de circuitos eléctricos, para así desarrollar

una solución más rápida en el momento de hallar la respuesta del circuito. De esta

forma con la explicación previa de cada teorema se llevará a cabo el

entendimiento y posterior desarrollo de cada uno de estos en el momento que este

se pueda y se deba aplicar.

13

INTRODUCCIÓN

Este trabajo pretende establecer un manual de fácil consulta acerca de los más

conocidos y utilizados teoremas de los circuitos eléctricos.

Para ello se aclararán, primero, conceptos de ¿Qué es la teoría de los circuitos

eléctricos?, ¿Qué es un circuito eléctrico?, ¿Cómo se describe un circuito

eléctrico?, ¿Qué es un teorema1? y ¿Cómo se usan los teoremas para describir

rápidamente los circuitos eléctricos?

Se presentarán luego uno a uno especificando en qué tipo de circuitos se pueden

usar, cómo se aplican (ejercicios y problemas resueltos) y se propondrán algunos

para la cabal comprensión. En lo posible los problemas cubrirán circuitos en el

dominio del tiempo, en términos de la transformada de Laplace y en régimen

permanente con excitación sinusoidal.

En la literatura existente los teoremas se enuncian, demuestran y usan cuando se

requieren, es decir, aparecen de repente, como una forma de salir de una

dificultad en el proceso del análisis de los circuitos eléctricos, es por esto que su

posterior aplicación, es difícil. Se debe buscar dentro de la literatura en extenso. Si

se hubiera planeado el hacer una presentación sistematizada de todos ellos,

bastaría buscar el apartado de teoremas dentro del conjunto y aplicarlo al caso

particular. Algo así como la forma en que se enseña en la Universidad la teoría de

circuitos eléctricos.

Es posible, pero no se hace así, explicar el funcionamiento de los diferentes

fenómenos físicos asociados con la carga eléctrica y su movimiento estableciendo

el modelo adecuado para su solución (circuito eléctrico) y detenerse luego a

explicar un método para resolver las ecuaciones que resultan (solucionar los 1 Para entender qué es un teorema se transcribirá un texto del libro MAGIA Y BELLEZA DE LAS

MATEMATICAS, Y ALGO DE SU HISTORIA del señor IVÁN OBREGÓN el cual está escrito en primera persona, se respetará la redacción del original

14

circuitos eléctricos que aparecen en este caso particular). Lo mismo se haría con

todos los demás fenómenos. Es decir, se iniciaría explicando que fenómeno o

fenómenos físicos se asocian con una máquina eléctrica, con la generación de la

energía eléctrica, con su transmisión, con su uso, etc. y en cada uno de estos

casos se enseñaría cómo resolver el correspondiente circuito equivalente, tantas

veces cuantas sea necesario.

Más fácil, si se enseña a resolver, de forma genérica, los circuitos eléctricos en

general, de todo tipo. Posteriormente se explica, en cada asignatura, que

fenómeno o fenómenos se estudian, se presenta el modelo correspondiente

(circuito equivalente) y se aplican los conocimientos adquiridos previamente para

resolverlo y continuar con el estudio de los resultados obtenidos.

Con los teoremas ocurre lo primero, cuando lo ideal sería adelantar un estudio de

ellos, en general, habilitando a quien se inicia en el estudio de los fenómenos

eléctricos y magnéticos para su posterior uso, de manera rápida, en cada caso.

Se precisarán, enunciarán y demostrarán los principales teoremas de circuitos, se

hará explícito su significado y su alcance dentro del rango válido para ello.

Los teoremas son de gran utilidad en las investigaciones que se hacen dentro del

campo de la ingeniería eléctrica, como por ejemplo el Teorema de Thévenin en el

análisis de los sistemas eléctricos de potencia.

Para cada uno de los teoremas que se mencionan más abajo, hay una forma de

entenderlos, analizarlos, comprenderlos y aplicarlos debidamente sistematizados:

Enunciado, demostración, ejemplo de aplicación, ejercicios resueltos y ejercicios

propuestos.

Los teoremas que se desarrollarán son: Teorema de sustitución, Teorema de

superposición, Teorema de Thévenin, Teorema de Norton, Principio de

reciprocidad, Teorema de reciprocidad, Teoremas de Tellegen I y II, Teorema de

Millman, Teorema de Rosen (Kennelly), Teorema de la máxima transferencia de

15

potencia, Teorema de Miller, Teorema de compensación y el Teorema de

bisección de Bartlett.

Se recopilará toda la información disponible y se realizará un documento de fácil

consulta y entendimiento que redundará en el beneficio de la academia y será una

herramienta muy útil en el análisis de los sistemas eléctricos de potencia.

16

17

1. GENERALIDADES

1.1 ¿Qué es la teoría de circuitos eléctricos?

El circuito eléctrico es uno de los modelos empleados para estudiar los fenómenos

físicos asociados con la carga eléctrica y con su movimiento. Es a su vez una

aproximación al otro modelo, la teoría electromagnética, que al basarse en el

estudio de los campos eléctrico y magnético, introduce funciones del tiempo y la

posición.

Esta dependencia del tiempo y la posición (x, y, z en coordenadas rectangulares;

r, z y en cilíndricas; etc.) hace que el manejo matemático sea pesado y exigente

en cuanto a su solución; es cierto que sus resultados son más exactos y que a

través de este tipo de análisis se logran soluciones que están cada vez más

cercanas a lo que realmente ocurre con los fenómenos estudiados, pero las

aproximaciones que se hacen para llegar a la teoría de los circuitos eléctricos

facilitan notablemente el procedimiento al eliminar la posición, y generan

afortunadamente resultados bastante precisos.

1.2 ¿Qué es un circuito eléctrico?

Un circuito eléctrico es la interconexión arbitraria de puertas que contienen al

menos una trayectoria cerrada o una que eventualmente se puede cerrar.

Una puerta es el resultado de concentrar los fenómenos de almacenamiento de

energía en los campos eléctrico y magnético, conversión de energía eléctrica en

calor, conversión de cualquier tipo de energía en energía eléctrica y la

transferencia de energía de un lugar a otro dentro del dispositivo o a su inmediata

vecindad mediante un campo magnético, entre otros.

18

Al concentrar los fenómenos la posición pierde todo interés, desaparecen las

variables que lo definen en dos o tres dimensiones.

1.3 ¿Cómo se describe un circuito eléctrico?

Para describir un circuito eléctrico se han empleado tradicionalmente los voltajes

de nodo y las corrientes de malla, la literatura está llena de ejercicios y

explicaciones de ambos métodos, pero el desarrollo en la sistematización de los

procesos y la computación han generado procedimientos lógicos basados en la

topología.

Aparecen así en la teoría de circuitos conceptos como NODO, GRÁFICO, ÁRBOL,

RAMA, ENLACE, etc. y procedimientos como la descripción de un circuito

arbitrario usando como incógnitas las corrientes de enlace o los voltajes de rama.

Estos dos últimos, unidos a los de mallas y nodos, permiten resolver de forma

sistemática los diferentes circuitos eléctricos.

Este trabajo empleará, al desarrollar los ejercicios, uno u otro, procurando un

equilibrio entre ellos.

1.4 Teoremas (definición)

Para aclarar los términos de teorema, axioma, postulado, demostración, etc. se

transcribe el No 1.01 y el No 1.02 del libro MAGIA Y BELLEZA DE LAS

MATEMATICAS, Y ALGO DE SU HISTORIA del señor IVÁN OBREGÓN2, dice el

ingeniero Obregón:

“Veamos primero unas cuantas definiciones imprescindibles:

2 IVÁN OBREGÓN (Medellín, 1937) es ingeniero, matemático, actuario e investigador operacional. Ha sido

profesor en varias universidades colombianas.

19

Teorema: es una afirmación que debe ser demostrada.

Axioma: es una afirmación que está tan en la base de una ciencia, que

se parte de ella, aceptándola como cierta, sin demostración alguna.

Postulado: es casi sinónimo de axioma. Para nosotros serán

sinónimos.

Definición: es una descripción de un concepto, que incluya todo lo que

se quiere incluir, pero sólo eso.

Demostración: es la serie de pasos mediante los cuales se llega a

establecer la verdad de un teorema. Los matemáticos son muy

exigentes en cuanto que una demostración sólo puede invocar:

axiomas, postulados, definiciones, u otros teoremas previamente

demostrados.

Corolario: es una conclusión que se sigue inmediatamente de un

teorema o definición y, por lo tanto, no requiere demostración, o basta

una demostración mínima.

Lema: es un teorema auxiliar que se enuncia y demuestra, sólo como

preparación para la demostración de otro teorema.

¿CÓMO SE DEMUESTRA Y CÓMO NO SE DEMUESTRA UN

TEOREMA?

Miremos éste (tomado de la llamada Teoría de los Números):

“La suma de dos números impares da un número par.”

Naturalmente este teorema estaría precedido de definiciones: ¿qué es

un número par?, ¿qué es un número impar?. La siguiente es una

supuesta demostración: (3+5) da 8 que es par; (3+7) da 10 que es par;

(5+7) da 12 que es par…

20

La anterior no es una demostración; a lo sumo podemos llamarla una

verificación, pues ¿quién garantiza que (1.235 + 5.679) dé un número

par?

Una demostración debe dejar garantizada su verdad, más allá de

cualquier ejemplo en particular.

Existen las llamadas demostraciones directas, en las cuales se

construye una serie de pasos, que a partir de axiomas, definiciones o

teoremas anteriores, llevan finalmente a concluir la verdad del teorema

en cuestión. Existen otras llamadas demostraciones por reducción al

absurdo, en las cuales se empieza por suponer que lo que se quiere

demostrar es falso; a partir de esa suposición se construyen

conclusiones que de ellas se derivan: si se llega a alguna que

contradice la suposición original o contradice algún teorema ya

demostrado, o alguna definición, se concluye que la suposición era

falsa y por lo tanto el teorema es verdadero.

Voy a darles a continuación dos demostraciones del teorema: “la suma

de dos impares da par”. Supongo que está definido lo que es una suma

y lo que es una multiplicación, y que están demostradas todas las

propiedades que deben recordar de sus primeros años de bachillerato.

Definiciones previas: número par es aquel que resulta de multiplicar a

algún otro número por 2; los demás se llaman números impares.

Teorema previo (que supondremos ya demostrado): todo número impar

es igual a 1 más algún número par (incluyendo el cero como par).

Demostración directa.

Paso 1: Sean m y n dos números impares. Entonces, por el teorema

anterior,

21

donde k y r son otros números.

Paso 2: que por propiedades de la suma

y de la multiplicación es igual a

.

Paso 3: pero es otro número, llamémoslo s: entonces

. Por lo tanto, es par.

Demostración por reducción al absurdo.

Paso 1: Supongamos que es impar.

Paso 2: Repitiendo los pasos 1 a 3 de la demostración directa,

llegamos a que , lo cual implicaría que un número impar

es igual a un número par, contradiciendo las definiciones de par e

impar. Por lo tanto, la suposición es falsa y el teorema queda

demostrado. ” 3

1.5 ¿Por qué usar los teoremas para resolver los circuitos eléctricos?

Puesto que un circuito eléctrico se resuelve empleando las ecuaciones primitivas

de cada uno de los elementos pasivos que lo conforman, las ecuaciones de las

fuentes y las ecuaciones de red (primera y segunda ley de Kirchhoff); su solución

se hará más corta si el número de ellas se reduce, Teorema de Thévenin, o se

sistematiza el procedimiento, Teorema de Millman, para lograr el resultado más

fácil.

Lo anterior llevó a enunciar cada vez un mayor número de teoremas que en la

literatura se encuentran dispersos y algunas veces con enunciados difíciles de

comprender. 3 IVÁN OBREGÓN,”MAGIA Y BELLEZA DE LAS MATEMATICAS, Y ALGO DE SU HISTORIA”, págs. 31-34

22

Es por esto que una sistematización y aclaración de los enunciados y usos es

imprescindible para quienes se iniciaron en el campo de la electricidad,

procurando que el tema sea tratado de tal forma que el iniciado pueda usarlo

adecuadamente.

23

2. LOS TEOREMAS BÁSICOS

Se presentan algunos teoremas, los más difundidos y empleados de la teoría de

circuitos. Para cada uno de ellos se da el enunciado (resultado de la adecuación

de los que aparecen en la bibliografía) se explica en qué casos y a qué tipo de

circuitos se aplica, sus ventajas, la demostración y al menos un ejemplo de

aplicación. Se resuelven algunos ejemplos típicos y se proponen otros para el

cabal entendimiento.

2.1 TEOREMA DE SUSTITUCIÓN

Sus aplicaciones se dan especialmente en la investigación asociada con los

circuitos eléctricos. Se usa bastante en las demostraciones de otros teoremas y en

el análisis de los sistemas de potencia.

Se aplica a cualquier circuito sin limitaciones, lineal o no, variante o invariante con

el tiempo, bilateral o no, cuyo estado energético inicial sea nulo o no. Permite

incluso, convertir un circuito no lineal por la presencia de un solo elemento no

lineal en uno lineal, al sustituirlo por una fuente de corriente o voltaje.

Este teorema es de gran utilidad cuando se analizan circuitos complejos formados

por diversas redes pasivas, puesto que permite simplificar el esquema inicial del

circuito, el uso más común de este teorema es para reemplazar un elemento de

impedancia4 por una fuente de corriente o voltaje, y viceversa.

4 Se llamará elemento tipo impedancia a una resistencia, una inductancia, una capacitancia o cualquier

interconexión de ellos.

24

2.1.1 ENUNCIADO

“Si el n-ésimo elemento de un circuito de una red arbitraria (Figura 1a) no está

mutuamente acoplado, es decir, no es una fuente dependiente ni un inductor

acoplado, se puede reemplazar por una fuente independiente de voltaje

(Figura 1d) igual al que se produce a través de él en el circuito original,

siempre y cuando ambos circuitos tengan solución única. De la misma forma, si a

través del elemento en consideración circula una corriente se puede sustituir

por una fuente independiente de corriente (Figura 2d).” 5

Si en vez de reemplazar un elemento del circuito se sustituye un elemento del

gráfico que no contenga fuentes dependientes, ni inductores acoplados, el

teorema sigue siendo válido.

2.1.2 DEMOSTRACIÓN

Figura 1. Caso de la fuente de voltaje

5 Tomado de ACOSTA, Álvaro, CALLE, Jorge. y, GIRALDO, Didier, “INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE CIRCUITOS

ELÉCTRICOS”, 1987.

25

Figura 2. Caso de la fuente de corriente

En las figuras 1 y 2 se puede ver paso a paso la justificación del teorema, se

observa que cuando se conectan los nodos b y c en la figura 1c no circula

corriente a través de la fuente, se unen dos nodos a igual potencial, y además por

el elemento continúa circulando la misma corriente que en el circuito original,

puesto que el voltaje entre sus bornes sigue siendo .El n-ésimo

elemento en paralelo con una fuente independiente de voltaje (figura 1c) se

convierte en un elemento redundante6 y por lo tanto se puede retirar del circuito.

De igual forma el voltaje a través de la fuente de independiente de corriente en

cortocircuito (figura 2b) es nulo, la fuente opera en vacío, y el elemento en serie

con esta fuente es también redundante.

2.1.3 EJEMPLO DE APLICACIÓN

En términos de la transformada de Laplace.

6 Un elemento redundante es cualquiera que está conectado en paralelo con una fuente de voltaje o en

serie con una fuente de corriente, dependiente o independiente.

26

Determinar en el circuito1 de la figura 3 e en ambos. El valor de

es el obtenido .

Figura 3. Ejemplo de aplicación

SOLUCIÓN:

Para el circuito 1: Se obtienen las ecuaciones aplicando corrientes de enlace

27

Figura 4. Gráfico orientado para el circuito 1

El unir los nodos inferiores para formar uno solo no altera el resultado y garantiza

que el gráfico está conectado.

Las incógnitas son: e

Las ecuaciones primitivas son:

La ecuación de la fuente de voltaje es:

Aplicando sumatorio de voltajes a los anillos formados por los enlaces 4 y 5 se

tiene:

28

Reemplazando las ecuaciones primitivas en (1) y (2):

Expresando e en función de las corrientes de enlace:

Aplicando sumatorio de corrientes a los cortes 1 y 2 y despejando:

Reemplazando en 3:

se obtendrá del hecho de que :

Despejando :

Reemplazando la ecuación anterior para obtener el valor de :

29

De donde:

La impedancia de se reemplaza por la fuente , como se ve en el circuito

siguiente:

Figura 5. Circuito 2 con el valor de V(s) calculado

Ahora se calcula la corriente para ambos circuitos:

Circuito 1:

Despejando de la siguiente ecuación:

30

Reemplazando en la ecuación que se presenta a continuación:

Circuito 2:

Figura 6. Corrientes de malla aplicadas al circuito 2

Tomando sumatorio de voltajes en las mallas:

Dividiendo por S y despejando de la ecuación 5:

31

Reemplazando en la ecuación 4 y despejando :

Organizando:

Como se ve, las corrientes son iguales en los dos circuitos.

2.1.4 EJERCICIOS RESUELTOS

2.1.4.1 Aplicar el teorema de sustitución a la resistencia de del circuito de la

figura 7.

Figura 7. Ejercicio resuelto

SOLUCIÓN:

32

Empleando el teorema de sustitución se reemplaza la resistencia de , por una

fuente de voltaje, que equivale al voltaje en bornes de la resistencia:

, la corriente ha sido calculada

previamente y es un dato del problema.

Ahora se reemplaza la resistencia de por la fuente de voltaje :

Figura 8. Circuito donde se cambio la resistencia de por la fuente

En este nuevo circuito se quiere hallar la corriente :

Malla 1:

Malla 2:

33

Despejando de la ecuación 6:

Reemplazando en la ecuación 7:

Organizando y despejando se tiene:

El valor de es el mismo de la corriente del circuito de la figura 7, como se

puede ver la sustitución de la resistencia de , por la fuente de voltaje no

altera las respuestas del circuito.

2.1.4.2 Mediante el teorema de sustitución hallar el voltaje , de la figura 9.


SOLUCIÓN:

34

La resistencia equivalente: a la derecha de a-b es el

resultado del paralelo de una resistencia de con la serie de 2 resistencias de

.

Se reemplaza el valor de la resistencia equivalente y se obtiene el valor de en el

siguiente circuito:

Figura 10. Circuito equivalente para obtener el valor de

Haciendo de nuevo un paralelo entre las resistencias se obtiene el valor de

y a este circuito se le aplica un divisor de tensión para hallar .

Aplicando el teorema de sustitución se reemplaza la resistencia de del circuito

original por una fuente ideal de voltaje de valor como se muestra en la figura

11:

35

Figura 11. Circuito equivalente para obtener el valor de

Y aplicando de nuevo un divisor de tensión se obtiene el valor de , pedido

inicialmente.

Resultado que podría haberse obtenido usando voltajes de nodo, sin usar el

teorema de sustitución así:

Figura 12. Circuito aplicando voltajes de nodo

36

Nodo 2:

Nodo 3:

Despejando de la ecuación 9: y reemplazando en la ecuación 8:

2.1.4.3 Aplicar el teorema de sustitución en la figura 13 para reemplazar la fuente

de voltaje de .


SOLUCIÓN:

Se reemplaza la fuente de voltaje, por una fuente de corriente aplicando el

teorema de sustitución:

Del circuito se puede ver que:

37

Este valor de , se reemplaza en el circuito original y se hallan los voltajes del

circuito de la figura14:

Figura 14. Circuito con la fuente de voltaje reemplazada por la fuente de corriente

Aplicando voltajes de nodo, al nodo 2:

El valor de es el mismo del circuito de la figura 13, con lo que se demuestra la

validez del teorema de sustitución.

38

2.1.5 EJERCICIOS PROPUESTOS

2.1.5.1 Determine , y para cada uno de los circuitos 1 y 2 de la figura15.

Verifique el cumplimiento del teorema de sustitución7.

Figura 15. Ejercicio propuesto

7 Tomado de ACOSTA, Álvaro, CALLE, Jorge. y, GIRALDO, Didier, “INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE CIRCUITOS

ELÉCTRICOS”, 1987.

39

2.1.5.2 a) En el circuito de la figura 16, reemplace la resistencia de por

un generador con una resistencia interna de de tal forma que el

resto del circuito no note el cambio.

b) Repetir el procedimiento anterior, haciendo que la resistencia interna del

generador sea de .


2.1.5.3 En el circuito de la figura 17:

a) Conectar una fuente ideal de voltaje entre los terminales a y b de valor

y hallar la corriente a través de ella

b) Conectar una fuente ideal de corriente en serie con la impedancia de

de valor y hallar el voltaje a través de ella

c) Para el circuito de la figura 17, hallar e

40


2.2 TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN

Este teorema se aplica a circuitos lineales, variantes o invariantes con el tiempo y

cuyo estado energético8 inicial es nulo y permite reducir un circuito con varias

fuentes independientes a varios circuitos, cada uno con una sola fuente o con

fuentes del mismo tipo.

2.2.1 ENUNCIADO

“En un circuito lineal arbitrario que contiene dos o más fuentes independientes, el

voltaje a través de cualquier elemento o la corriente que fluye por cualquier

elemento de la red se puede calcular como la suma algebraica de los aportes

individuales de cada fuente independiente actuando por separado. Para encontrar

la respuesta debida a una fuente específica, todas las demás se deben

8 El estado energético es el conjunto de variables que permiten determinar la energía almacenada por el

circuito en un instante determinado. Como

, entonces el estado energético (ee) está conformado por los

voltajes en las capacitancias y las corrientes a través de las inductancias, para capacitancias e inductancias invariantes con el tiempo.

41

reemplazar por circuitos abiertos si son de corriente o por cortocircuitos si son de

voltaje.”

Cuando se aplica el teorema de superposición a circuitos lineales que contengan

fuentes dependientes se debe tener en cuenta que estas fuentes nunca se

desactivan, a menos que su señal de control valga cero.

El circuito como se dijo, debe ser lineal, puede ser variante o invariante con el

tiempo y su estado energético inicial debe ser nulo9.

2.2.2 ¿POR QUÉ NO SE REQUIERE DE UNA DEMOSTRACIÓN?

Un sistema lineal es un sistema que obedece las propiedades de escalado

(homogeneidad) y de superposición (aditiva), mientras que un sistema no-lineal es

cualquier sistema que no obedece al menos una de estas propiedades.

Para demostrar que un sistema 10 obedece la propiedad de escalado se debe

demostrar que:

9 Si el estado energético inicial no es nulo, se puede recurrir a desenergizar los elementos almacenadores de

energía reemplazando las inductancias por la misma inductancia desenergizada en paralelo con una fuente independiente de corriente de valor iL(0+) ó iL(o-) y las capacitancias por la capacitancia desenergizada en serie con una fuente independiente de voltaje de valor Vc(0+) ó Vc(0-).Para los circuitos en términos de la Transformada de Laplace, no hay problema, el proceso de transformación los desenergiza. 10

Donde H es un operador.

42

Figura 18. Diagrama de bloques que ilustra la propiedad de escalado de linealidad

Para demostrar que un sistema H obedece la propiedad de superposición de

linealidad se debe mostrar que:

Figura 19. Diagrama de bloques demostrando la propiedad de superposición de

linealidad

Es posible verificar la linealidad de un sistema en un paso sencillo. Para hacer

esto simplemente se combinan los dos primeros pasos para obtener:

2.2.3 EJEMPLOS DE APLICACIÓN

43

1. En términos de la transformada de Laplace.

Hallar usando superposición.


SOLUCIÓN:

Donde es el valor del voltaje que se obtiene con la fuente de corriente

independiente desactivada, y es el valor del voltaje con la fuente de voltaje

independiente desactivada.

Figura 21. Circuito con la fuente de corriente desactivada

44

Circuito A: Contribución de la fuente de voltaje, con la fuente de corriente

desactivada11. Aplicando la 2ª Ley de Kirchhoff a la trayectoria cerrada a la

izquierda del circuito se obtiene la primera ecuación:

Usando voltajes de nodo en la segunda parte del circuito se obtiene la segunda

ecuación:

Se despeja de (14) y se reemplaza en la ec. (15):

Reemplazando:

Ahora se despeja :

Reemplazando los valores:

11

Obsérvese que las fuentes dependientes o controladas continúan operando.

45

Figura 22. Circuito con la fuente de voltaje desactivada

Circuito B: Contribución de la fuente de corriente, con la fuente de voltaje

desactivada. Aplicando la 2ª Ley de Kirchhoff a la primera trayectoria cerrada del

circuito se obtiene la tercera ecuación:

Usando voltajes de nodo en la segunda parte del circuito se obtiene la cuarta

ecuación:

Se despeja de (17) y se reemplaza en (16):

Reemplazando en (16):

Ahora se despeja :

46

Reemplazando por los valores:

Finalmente se suman los dos voltajes para obtener el resultado pedido

inicialmente:

2. Circuito resistivo

En el circuito de la figura 23, calcular el voltaje aplicando el teorema de

superposición.

Figura 23. Circuito resistivo

47

SOLUCIÓN:

Se empieza por encontrar la componente de que resulta de la fuente de , el

circuito de la figura 24 muestra el circuito con la fuente de corriente desactivada,

convirtiendo esta parte en un circuito abierto como se puede ver.


Se deduce del circuito que:

Se obtiene la siguiente ecuación después de aplicar el análisis de mallas al

circuito:

Despejando :

Reemplazando en la ecuación:

48

Ahora se calcula la contribución de la fuente de corriente, para este análisis se

trabaja con el circuito de la figura 25 donde la fuente de voltaje se reemplaza por

un corto circuito.


Del circuito se halla la corriente

Aplicando voltajes de nodo al circuito se obtienen las dos ecuaciones que se

presentan a continuación:

Nodo A:

Organizando:

49

Nodo 2:

Despejando :

Reemplazando en (19):

Finalmente:


2.2.4.1 Aplicando el teorema de superposición hallar el valor de la corriente .


50

SOLUCIÓN:

La solución total será:

Cálculo de la corriente aportada por la fuente de corriente , con la fuente de

voltaje reemplazada por un corto circuito.


El nodo b pasa a ser el que se muestra en la figura 27 por cuanto, al reemplazar la

fuente por un corto la corriente que circula por se hace cero y los voltajes

en ellos también.

Aplicando un divisor de voltaje para hallar se obtiene: (Se reemplaza todo el

resto del circuito por una fuente de voltajes de valor V - Teorema de sustitución-)

51

Aplicando voltajes de nodo en V:

Reemplazando en la ecuación 23:

)

Cálculo de la corriente aportada por la fuente de voltaje, con la fuente de

corriente reemplazada por un circuito abierto.


52

Aplicando voltajes de nodo en V1:

Reemplazando en la anterior ecuación se obtiene :

Entonces la respuesta será la suma de las dos corrientes:

12

Para poder aplicar el divisor de voltajes es necesario usar previamente el teorema de sustitución. Ejemplo:

53

2.2.4.2 Calcular por medio del teorema de superposición la corriente .


SOLUCIÓN:

Se empieza por encontrar la componente de I0 que resulta de la fuente de .El

circuito de la figura 30, muestra el circuito con la fuente de corriente desactivada,

convirtiendo esta parte en un circuito abierto como se puede ver.

54


Se puede ver en el circuito que hay relación entre las corrientes:

Mediante un análisis de mallas se hallan las ecuaciones del circuito:

Malla 1:

Organizando:

Supermalla 2 y 3:

Organizando:

Haciendo sumatorio de corrientes en el nodo A:

55

Entonces:

Reemplazando (29) en (28) se obtiene en términos de :

Ahora se reemplaza este valor de en (27) para encontrar :

Con este valor se obtiene

Ahora se calcula la contribución de la fuente de corriente, para este análisis se

trabaja con el circuito de la figura 31 donde la fuente de voltaje se reemplaza por

un corto circuito.

56


Se puede deducir del circuito de la figura 31 que:

Aplicando voltajes de nodo al circuito de la figura 31 se hallan las siguientes

ecuaciones:

Nodo 1:

Organizando:

Nodo 2:

57

Nodo 3:

Organizando:

Solucionando las tres ecuaciones resultantes se hallan:

Finalmente se calcula :

58

2.2.4.3 El circuito opera en estado estacionario. Determinar .


SOLUCIÓN:

Aporte de la fuente de corriente:


59

El circuito cumple con las cinco condiciones de un circuito equivalente:

- Circuito en estado estacionario

- Resistencia no redundante

- Excitación constante

- No hay trayectorias cerradas, formadas sólo por fuentes de voltaje

independientes e inductancias

- No hay cortes compuestos sólo por fuentes de corriente independientes y

capacitancias

Circuito equivalente:

Capacitancias cambiadas por un circuito abierto y las inductancias por un corto

circuito

Figura 34. Circuito equivalente

En este circuito se puede ver claramente que la corriente es cero:

60

Aporte de la fuente de voltaje:


61


2.2.5.1 Calcular por medio del teorema de superposición, el voltaje de la red

que se muestra a continuación.


2.2.5.2 En el circuito de la figura 37, determine usando el teorema de

superposición.


62

2.2.5.3 Aplicar el principio de superposición, para hallar el valor de .


2.2.5.4 El circuito de la figura 39 opera en estado estacionario

Determinar:


63

2.3 TEOREMA DE THÉVENIN

El conocido teorema de Thévenin 13 fue estudiado a mediados del siglo XIX por

Helmholtz 14 en forma más general, es decir para una red activa con N bornes

externos, dicho teorema permaneció casi que olvidado, hasta que fue

redescubierto por Thévenin en 1.883, dándose a conocer de nuevo bajo este

nombre actual, el famoso teorema de Thévenin.

Se aplica a circuitos lineales con una carga que puede ser lineal o no lineal,

variantes o invariantes con el tiempo y cuyo estado energético sea nulo o no.

Permite reemplazar un circuito de análisis complejo por uno equivalente de menos

tamaño que facilite el cálculo de los efectos externos (circuito equivalente), puede

usarse en sistemas de potencia para analizar partes de él reemplazando el resto

del sistema de esta forma.

2.3.1 ENUNCIADO

“Cualquier red lineal (Na) variante o invariante con el tiempo, compuesta por

elementos pasivos y activos (dependientes e independientes) conectada a otra red

(Nb) o carga que puede ser lineal o no, variante o invariante con el tiempo y su

estado energético nulo o no mediante dos terminales p y q (figura 40a), se puede

sustituir desde el punto de vista de sus terminales por un circuito equivalente que

contenga sólo una fuente de voltaje independiente en serie con una red Nao

(figura 40b) que se obtiene de Na haciendo todas las fuentes independientes

contenidas en ellas y el estado energético inicial iguales a cero, siempre y cuando

13

León Charles Thévenin (Meaux, 30 de marzo de 1857 - 21 de septiembre de 1926), fue un ingeniero en telegrafía francés, que extendió el análisis de la Ley de Ohm a los circuitos eléctricos complejos. Su aporte más importante fue el teorema que lleva su nombre. 14

Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (Agosto 31, 1821 – Septiembre 8, 1894) físico alemán que contribuyó con sus conocimientos en múltiples campos de la ciencia.

64

la interconexión entre la carga Nb y la red Na tengan solución única y no haya

ningún acoplamiento entre ellas.” 15

FIGURA 40. Circuito original y circuito equivalente de Thévenin

2.3.2 DEMOSTRACIÓN

FIGURA 41. Demostración del teorema de Thévenin

Aplicando el teorema de superposición al circuito de la figura 41a se puede ver

que la corriente que pasa a través de la red pasiva Nb, se puede

descomponer en la corriente que es generada por la acción de todas las

fuentes de la red Na de la figura 40a y la corriente debida a la fuente de

voltaje de la figura 41b. Por lo tanto:

15

Tomado de ACOSTA, Álvaro, CALLE, Jorge. y, GIRALDO, Didier, “INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS”, 1987.

65

Cuando es cero se puede reemplazar la red Nb en la figura 41a por un circuito

abierto (teorema de sustitución) en el cual la diferencia de potencial entre sus

terminales sea nula (la red Nb es pasiva y la corriente que la circula es cero), por

lo tanto al aplicar el teorema de superposición se obtiene que:

Esto indica que para que la corriente a través de la red pasiva Nb sea nula

debe ser igual a como se muestra en la figura 42. Si la polaridad de

, se inyecta una corriente en la red pasiva Nb de la figura 40b.

FIGURA 42. Determinación del voltaje de Thévenin

2.3.2.1 TEOREMA UNIFICADO DE THÉVENIN

Ling-Ming Jin y Shin Park Chan en la revista IEEE TRANSACTIONS ON

EDUCATION de agosto de 1989 (Volumen 32 Número 3) presentaron el artículo

“A unified and Efficient Approach for Determining Thévenin (Norton) Equivalent

Circuits” donde muestran una forma unificada y eficiente de determinar el

equivalente de Thévenin, método que permite obtener simultanea y

sistemáticamente la impedancia ( ) y la fuente de Thévenin ( ).

Se basan en el hecho de que si ambos circuitos (el original y el de Thévenin) son

equivalentes, deben producir los mismos efectos externos, es decir, si se conecta

a ambos el mismo circuito externo, los resultados son idénticos.

66

En la figura 43 se muestran ambos circuitos, a los que se ha conectado una fuente

independiente de corriente como carga.

Figura 43. Teorema unificado de Thévenin

Al ser equivalente, será el mismo en ambos

En la figura 43b, tomando sumatorio de voltajes en el anillo (malla) se tiene:

Si se resuelve el circuito mostrado en la figura 43a y se despeja se tendrá

una expresión de la forma:

Por simple comparación el primer término es y el segundo es

.

Un ejemplo mostrará la facilidad del método, se hará uno de los ejemplos del

artículo como homenaje a los autores:

Determinar el equivalente de Thévenin entre los terminales a y b del circuito de la

figura 44:

67

Figura 44. Ejemplo del teorema unificado de Thévenin

SOLUCIÓN:

Primero se aplica una fuente de corriente de prueba entre los terminales a y b

de la figura 44:

Figura 45. Aplicación de una fuente de corriente de prueba entre a y b

68

Aplicando sumatorio de corrientes en los nodos 1, 2 y a se obtienen las siguientes

ecuaciones:

Resolviendo para se obtiene:

Organizando:

Donde

De este modo se conocen :


En términos de la transformada de Laplace. Determinar el equivalente de

Thévenin entre las terminales a y b del circuito de la figura 46.

69


SOLUCIÓN:

Cálculo de

Figura 47. Cálculo de

Del circuito anterior se puede ver que:

Aplicando voltajes de nodo al circuito:

Nodo 2:

70

Nodo a:

Reemplazando los valores y despejando de ec.(39) se obtiene:

Ahora se reemplaza en la ec.(38):

Despejando :

Reemplazando el valor de se obtiene el

Cálculo de

71

Como se tienen fuentes dependientes es necesario calcular inyectando una

fuente de corriente de prueba 16 y obteniendo , la relación

es la impedancia equivalente , igual procedimiento se debe

hacer cuando se tengan inductancias mutuas, incluso este procedimiento funciona

cuando no se tienen elementos acoplados (fuentes dependientes o inductancias

mutuas) pero en este caso puede resultar más corto usar las equivalencias serie,

paralelo , Y-∆ o viceversa.


Mediante una fuente de corriente de prueba se va a hallar un voltaje de

prueba , para que la relación de ambos arroje el resultado de la

16

También puede aplicarse una fuente de voltaje y calcular para obtener la relación propuesta

.

72

Nodo 1:

Nodo a:

Despejando de (41):

Reemplazando este valor en la ec.(40):

Organizando la ecuación anterior se tiene:

Figura 49. Equivalente de Thévenin

73

Ahora se resuelve el mismo ejercicio usando el teorema unificado de Thévenin:

Figura 50. Ejemplo aplicando el teorema unificado de Thévenin

Usando voltajes de rama: 17

Figura 51. Gráfico orientado

Incógnitas: y

17

No es problema, para describir el circuito usando como incógnitas los voltajes de rama, elegir las fuentes de corriente como ramas (si la descripción fuera por corrientes de enlace es recomendable elegirlas como enlace). La dirección elegida para el elemento 3 es la indicada para determinar .

74

No hay inductancias acopladas

Fuentes de corriente:

Los demás elementos pasivos:

Sumatorio de corrientes en los nodos a los que no llegan fuentes de voltaje:

Ecuación de la fuente de voltaje:

Reemplazando:

Se conoce que:

Expresando Venlace en función de los de rama:

Sumatorio de voltajes en anillos:

75

Reemplazando en las ecuaciones (45) y (46):

Despejando que es :

De la ec.(47):

Reemplazando en la ec.(48):

Despejando :

76


2.3.4.1 Calcular el equivalente de Thévenin entre las terminales a y b de la

figura 52.

77


SOLUCIÓN:

Primero se empieza por calcular el entre las terminales a y b.


Por medio de un análisis de mallas se obtiene la corriente :

78

Malla 2:

Malla 3:

Reemplazando en la ecuación (49) se puede hallar la corriente que se

necesita para calcular el .

Para el cálculo de se conecta entre las terminales a y b una fuente de prueba

y se reemplaza la fuente de corriente independiente por un circuito abierto.


79

Del circuito anterior se puede ver que:

A continuación se hace un análisis de mallas para obtener el valor de las

corrientes

Malla 1:

Malla 2:

Malla 3:

Resolviendo las ecs.(51), (52) y (53) se obtienen los valores de las corrientes:

Finalmente se halla el :

Ω

80


2.3.4.2 Calcular el equivalente de Thévenin entre los terminales a y b de la

figura 56.


SOLUCIÓN:

Para calcular se determina el voltaje en bornes a y b con los terminales

abiertos

81


Como la corriente , entonces y mediante un análisis de mallas

se obtiene el valor de , necesario para obtener el .

Malla 1:

Reemplazando se halla

Mediante una fuente de prueba se halla la .


82

Malla 1:

Malla 2:

Organizando:

Ω


83

Ahora se resuelve por el mismo ejercicio por medio del teorema unificado de

Thévenin:

Figura 60. Ejercicio resuelto por medio de Thévenin unificado

Malla de la izquierda:

Organizando:

Malla de la derecha:

Reemplazando la ec.(57) en (58):

84

2.3.4.3 En el circuito que se muestra a continuación, calcular el equivalente de

Thévenin entre las terminales a y b.


SOLUCIÓN:

Del circuito anterior se obtienen las siguientes ecuaciones.

85


Aplicando voltajes de nodo al circuito se obtiene la ecuación necesaria para hallar

el valor de .

Nodo 1:

Reemplazando :

Para obtener el valor de la se pone una fuente de prueba entre las terminales

a y b del circuito, y se reemplazan la fuente independiente de corriente por un

circuito abierto y la fuente independiente de voltaje por un corto circuito.

86



Nodo 1:

Reemplazando :

Ω

Ω

87


2.3.4.4 Hallar el equivalente de Thévenin entre los terminales a y b de la figura 65.


SOLUCIÓN:

Haciendo una transformación de fuentes se obtiene el siguiente circuito donde se

han puesto en cortocircuito las terminales a y b:

88

Figura 66. Circuito con transformación de fuentes


Aplicando corrientes de malla al circuito anterior:

Donde es la

Cálculo de

En el circuito abierto la corriente es cero:

18

El teorema de Norton se explica en el numeral 2.4

89

Por lo tanto:

Voltaje que se habría podido obtener más fácilmente del circuito original (figura 65)

puesto que si los terminales a y b están abiertos la corriente de valor circula

a través de la resistencia de 10 Ω y por lo tanto

Por lo tanto

Cálculo de

Ω

Más adelante se mostrará que los equivalentes de Thévenin y de Norton son

equivalentes entre sí.



2.3.5.1 En el circuito de la figura 68, hallar el voltaje .

90


2.3.5.2 Calcular el voltaje entre los terminales a y b en el circuito de la figura 69.


2.3.5.3 En términos de la transformada de Laplace, determinar el equivalente de

Thévenin entre las terminales a y b del circuito de la figura 70.

91


2.3.5.4 Determinar el equivalente de Thévenin a la izquierda de a y b, en términos

de la transformada de Laplace


2.3.5.5 a) Transformar el circuito ilustrado y obtener la red equivalente de

Thévenin entre los terminales a y b y

92

b) Repetir el ejercicio usando el teorema unificado de Thévenin


2.3.5.6 Determinar entre a y b para la red de la figura 73


93

2.3.5.7 Para el circuito de la figura 74 hallar


2.3.5.8 Determinar el equivalente de Thévenin a la izquierda de a y b en términos

de la transformada de Laplace


94

2.3.5.9 El circuito de la figura 76 es un cubo de lado 3m, cada lado tiene una

resistencia de . Determinar entre 1 y 1´


2.4 TEOREMA DE NORTON

El teorema de Norton19 se puede considerar el dual del teorema de Thévenin ya

que permite reemplazar parte de la red por un circuito equivalente constituido por

la misma red Nao en paralelo con una fuente independiente de corriente.

Debieron transcurrir casi cuarenta años para que una versión del de Thévenin, que

no es más que el uso de la transformación de una fuente de voltaje en una de

corriente, se enunciara como otro teorema.

19

Edward Lawry Norton (Rockland, Maine, 28 de julio de 1898 - Chatham, Nueva Jersey, 28 de enero de 1983) fue un ingeniero y científico empleado de los Laboratorios Bell. Es conocido principalmente por enunciar el teorema que lleva su nombre. Sirvió como operador de radio en el U.S Marina entre 1917 y 1919, asistió a la Universidad de Maine durante un año antes y un año después de su servicio durante la guerra, luego fue trasladado al M.I.T.

95

2.4.1 ENUNCIADO

“Cualquier red lineal (Na) variante o invariante con el tiempo, compuesta por

elementos pasivos y activos (dependientes e independientes) conectada a otra red

(Nb) o carga que puede ser lineal o no, variante o invariante con el tiempo y su

estado energético nulo o no mediante dos terminales p y q (figura 77a) , se puede

sustituir desde el punto de vista de sus terminales por un circuito equivalente que

contenga sólo una fuente de corriente independiente en paralelo con una red Nao

(Figura 77b) que se obtiene de Na haciendo todas las fuentes independientes

contenidas en ella y el estado energético inicial iguales a cero, siempre y cuando

la interconexión entre la carga Nb y la red Na tengan solución única y no haya

ningún acoplamiento entre ellas.” 20

Figura 77. Circuito original y Circuito equivalente de Norton

2.4.2 DEMOSTRACIÓN

20

Tomado de ACOSTA, Álvaro, CALLE, Jorge. y, GIRALDO, Didier, “INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS” , 1987.

96

Figura 78. Demostración del teorema de Norton

Aplicando el teorema de superposición al circuito de la figura 78a se puede ver

que el voltaje a través de la red pasiva Nb, se compone del voltaje que

es generado por la acción de todas las fuentes en la red Na de la figura 77a y el

voltaje debido a la fuente de corriente de la figura 78b. Por lo tanto:

Cuando es cero se puede reemplazar la red pasiva Nb en la figura 78a por un

corto circuito a través del cual no circula ninguna corriente, por lo tanto al aplicar el

teorema de superposición se obtiene que:

Esto indica que para que el voltaje a través de la red pasiva Nb sea nulo,

debe ser igual a como se muestra en la figura 79. Si la dirección de

, se produce una caída de tensión en la red pasiva Nb de la figura 77b.

Figura 79. Determinación de la corriente de Norton

97


En términos de la transformada de Laplace. Hallar el equivalente de Norton entre

los terminales a y b de la figura 80.


SOLUCIÓN:

Cálculo de


98


Se halla la impedancia equivalente entre y se convierte la fuente de

voltaje en fuente de corriente:

Figura 83. Impedancia equivalente y conversión de las fuentes

99

Figura 84. Equivalente de Norton:


2.4.4.1 Encontrar el equivalente de Norton entre las terminales a y b de la

figura 85


100

SOLUCIÓN:

Primero se determina la , para esto se ponen en cortocircuito las terminales a y

b de la figura 85. Como se ve cuando las terminales están en cortocircuito:


Entonces:

Cálculo de RN:

Haciendo la ecuación de la corriente de malla en la parte izquierda del circuito de

la figura 86:

Ahora se hace la malla del lado derecho del circuito (sin el cortocircuito):

101

Al sustituir en la ecuación (65) se obtiene :

Por lo tanto se procede a obtener la :

Ω

Figura 87. Equivalente de Norton:

2.4.4.2 Hallar el equivalente de Norton entre las terminales a y b de la figura 88,

en régimen permanente sinusoidal (usando fasores).


102

SOLUCIÓN:

Se halla un circuito equivalente y por medio de un divisor de corriente se obtiene el

valor de :


Cálculo de

Se elimina la fuente de corriente y se encuentra la impedancia equivalente del

circuito:


103

Ω

Figura 91. Equivalente de Norton

2.4.4.3 Encontrar el equivalente de Norton entre las terminales a y b de la

figura 92.


SOLUCIÓN:

Cálculo de

104

La fuente de corriente se reemplaza por un circuito abierto y la fuente de voltaje se

reemplaza por un corto circuito:


Ω

Cálculo de

Se pone en cortocircuito las terminales a y b, de esta forma se halla la corriente de

Norton que circula por el circuito:


105

Malla 2:

Organizando y despejando :

Figura 95. Equivalente de Norton


2.4.5.1 Resolver todos los ejemplos de aplicación, ejercicios resueltos y los

propuestos de la parte anterior (teorema de Thévenin) usando el teorema

de Norton.

2.4.5.2 En el circuito de la figura 96, hallar el voltaje empleando el teorema de

Norton.

106


2.4.5.3 Para el circuito de la figura 97, encontrar el voltaje , empleando el

teorema de Norton.


2.4.5.4 Determinar el equivalente de Norton entre las terminales a y b del circuito

de la figura 98, en términos de la transformada de Laplace.

107


2.4.5.5 Transformar el circuito ilustrado y obtener la red equivalente de Norton

entre los terminales a y b,


2.4.5.6 Determinar el circuito equivalente de Norton, en términos de la

transformada de Laplace

108


2.4.5.7 Determinar la impedancia equivalente entre los terminales p y q


2.4.5.8 Determinar el equivalente de Norton entre las terminales a y b del circuito

de la figura 102, en términos de la transformada de Laplace

109


2.4.5.9 Determinar el equivalente de Norton entre las terminales p y q del circuito

de la figura 103, en términos de la transformada de Laplace


110

2.4.5.10 Cuando el circuito ha alcanzado el estado estacionario con el interruptor

en la posición 1, este se pasa a la posición 2. Tomando este instante

como referencia (t=0) determinar la red equivalente de Norton en

términos de la Transformada de Laplace entre los terminales x – y

considerando como carga la inductancia L.

Determine


2.5 TEOREMA DE RECIPROCIDAD

2.5.1 EL PRINCIPIO DE RECIPROCIDAD

Una de las propiedades más útiles para la solución de muchos problemas

prácticos e investigaciones en la teoría de los circuitos eléctricos LINEALES,

PASIVOS e INVARIANTES CON EL TIEMPO, es la de la reciprocidad. Su estudio

se basa en la comparación de dos circuitos constituidos alrededor de la misma red

F0 (que como se dijo debe ser lineal, pasiva e invariante con el tiempo, su estado

111

energético inicial debe ser nulo y no contener fuentes dependientes), una vez

hecho esto se relacionan las corrientes y voltajes ,

definidos como se muestra en la figura 105 de la siguiente forma21:

Figura 105. Principio de reciprocidad

2.5.2 EL TEOREMA COMO UNA CONSECUENCIA DEL PRINCIPIO

Un caso particular del principio de reciprocidad es el Teorema de reciprocidad:

Figura 106. Teorema de reciprocidad

21

La demostración de este principio se basa en el teorema de Tellegen que se enuncia en el capítulo 3. Se deja como ejercicio su demostración

112

Utilizando la ecuación (68) del principio de reciprocidad y reemplazando los valores de la figura 106, se tiene:

La lectura de los amperímetros es la misma, si se intercambian excitación y medida

2.5.3 ENUNCIADO

“La relación entre la transformada de Laplace de una respuesta ya sea de

corriente o voltaje medida en un nodo de la red, y la excitación aplicada a otro

nodo, permanece invariante a un cambio de posiciones entre el nodo de

observación y el de excitación, siempre y cuando esta transformación no altere la

estructura topológica de la red”.

Es decir, la corriente en cualquier rama de una red, debida a una fuente simple de

tensión en cualquier otro punto de la red, será igual a la corriente que pasa por la

rama en la que se encontraba originalmente la fuente, si ésta se pusiera en la

rama en que se midió originalmente la corriente.” 22

Como se dijo, hay una serie de restricciones bajo las cuales el teorema se puede

aplicar:

- Este teorema sólo es aplicable a redes de una sola fuente independiente; por

lo tanto no es un teorema que se emplee en el análisis de redes con fuentes

múltiples.

- La red es lineal e invariante con el tiempo.

22


113

- La red está inicialmente en reposo (estado energético inicial nulo).

- La red no puede contener fuentes dependientes.

2.5.4 DEMOSTRACIÓN23

Figura 107. Redes auxiliares para demostrar el teorema de reciprocidad

Aplicando el teorema de Tellegen a las redes de la figura 107 se obtiene

Puesto que la matriz de la ecuación primitiva que relaciona los con los

es la misma que relaciona los con los , es decir:

23


114

La ecuación (70) es una clara demostración de que si la red es la misma en

ambos circuitos de la figura 107 entonces:

Igualando las ecuaciones de (69) se obtiene la definición más general de

reciprocidad:

Se pueden considerar los siguientes casos:

Caso 1: Se reemplazan las redes A y D por fuentes de voltaje y , las

redes B y C por cortocircuitos a través de los cuales circulan corrientes

e respectivamente (figura 108). Es decir:

115

Figura 108. Intercambio de posiciones entre fuentes de voltaje y registradores de

corriente

Reemplazando la ec.(72) en (71) se obtiene:

Caso 2: Se sustituyen las redes A y D por fuentes de corriente e y las

redes B y C por circuitos abiertos (figura 109) a través de los cuales

aparecen voltajes y , respectivamente. Es decir:

116

Figura 109. Intercambio de posiciones entre fuente de corriente y registrador o

medidor de voltaje

Reemplazando la ec.(74) en (71) se obtiene:

Debe enfatizarse que una fuente independiente de voltaje se toma como un corto

circuito y una de corriente como un circuito abierto

generalizados. Por esta razón tanto en el punto de observación como en el de

excitación hay implícitas restricciones de corto circuito cuando la respuesta es una

corriente y la excitación una fuente independiente de voltaje. Similarmente, un

voltaje debido a una fuente de corriente implica restricciones de circuito abierto

tanto en el punto de observación como en el de excitación. Así, por ejemplo, la

figura 110 ilustra una situación en la que el teorema de reciprocidad se cumple ya

que en el punto de observación del primer circuito y en el de excitación del

segundo se mantiene la restricción de circuito abierto, mientras que en el punto de

excitación del primer circuito y de observación del segundo se mantiene la

restricción de corto circuito. En este mismo orden de ideas en la figura 111 no se

cumple el teorema de reciprocidad.

117

Figura 110. Situación en la que se aplica el teorema de reciprocidad

Figura 111. Situación en la que no se aplica el teorema de reciprocidad


Demostrar que las corrientes medidas por los amperímetros son iguales en los dos

circuitos.

118


SOLUCIÓN:

Circuito 1:

Se halla el equivalente de Thévenin en el circuito:

La corriente medida por el amperímetro será:

Circuito 2:

Por medio de un divisor de corriente se obtiene :

119


2.5.6.1 Hallar el valor de las corrientes e para los circuitos de la figura 113.


SOLUCIÓN:

Circuito 1:

Se halla la corriente por medio de un divisor de corriente:

Circuito 2:

De la misma forma se obtiene la corriente :

Como se puede ver las corrientes son iguales, con lo que se verifica el teorema de

reciprocidad.

120

2.5.6.2 Aplicar el teorema de reciprocidad para hallar el valor de las corrientes

e para los circuitos de la figura 114.


SOLUCIÓN:

Figura 115. Aplicación del teorema de Reciprocidad

121

Del circuito 1 se conoce que:

Para el circuito 2 se tiene:

Aplicando la ec.(76) se tiene:

Del circuito 1 se obtiene :

Para hallar se realiza un divisor de corriente en el circuito 1 original:

Para hallar :

2.5.6.3 Verificar el cumplimiento del Teorema de reciprocidad.

122


SOLUCIÓN:

El teorema de reciprocidad establece que si se intercambian excitación y medida,

éste no se altera, se resolverán ambos circuitos para comprobar este hecho (

debe ser igual en ambos)

Circuito 1:

Usando voltajes de rama


123

Ecuaciones de inductancias mutuas: NO HAY

Ecuaciones de fuentes de corriente: NO HAY

Fuentes de voltaje: → se elimina una incógnita

Reemplazando los valores de las corrientes en las ecs.(77) y (78):

Expresando los Venlace en función de los de rama:

Reemplazando en las ecs.(79) y (80):

124

Reemplazando (82) en (81):

Circuito 2:

Se respetan las direcciones dadas

Usando voltajes de rama:


125

Fuentes de voltaje: → se elimina una incógnita

Reemplazando los valores de las corrientes en las ecs.(83) y (84):

Expresando los Venlace en función de los de rama:

Reemplazando en las ecs.(85) y (86):

Multiplicando por 50 y reorganizando:

Despejando de la ec.(88) se tiene:

126

Reemplazando la ec.(88) en (87):

El resultado es igual al obtenido en el circuito anterior; con lo que se comprueba el

teorema de reciprocidad.


2.5.7.1 Aplicar el teorema de reciprocidad a los circuitos de la figura 119 que se

presenta a continuación.


127

2.5.7.2 Aplicar el teorema de Reciprocidad a los circuitos de la figura 120 que se

presenta a continuación.


2.5.7.3 La red de la figura 121 está compuesta exclusivamente de resistencias

lineales de valor constante. La tabla corresponde a mediciones de voltaje

y corriente para dos valores definidos de y de la excitación.

Determine en el segundo caso


128

2.5.7.4 Si se sabe que la red F es lineal, pasiva y recíproca. Determine en

régimen permanente sinusoidal


Para los circuitos se tomaron los siguientes datos en el laboratorio:

Tabla 1. Mediciones de laboratorio

129

2.5.7.5 a) La figura 123 muestra una red lineal recíproca excitada por dos fuentes

de voltaje y . Cuando y el circuito

alcanza el estado estacionario, entonces

. Calcular en régimen

permanente sinusoidal si

b) Si la red de la figura 123 contiene únicamente resistencias y si se sabe

que producen corrientes

. Calcular cuando


2.5.7.6 La tabla adjunta muestra mediciones obtenidas en el laboratorio para dos

formas diferentes de excitación de la red mostrada en la figura 124.

a) Calcular el valor de

b) Si , para que valor de

c) Determinar el valor de

d) Determinar el valor de

130


131

3. OTROS TEOREMAS

3.1 TEOREMA DE TELLEGEN I Y II

Estos teoremas, son de gran utilidad en las investigaciones teóricas de los

circuitos eléctricos, no son más que una consecuencia directa del hecho de que

los circuitos eléctricos constituyen un sistema cerrado24, se aplican a todo tipo de

circuitos eléctricos, lineales o no, variantes o invariantes con el tiempo y cuyo

estado energético puede ser nulo o no.

Los teoremas de Tellegen25 establecen que las sumas de las potencias generadas

y consumidas por los elementos de un circuito deben ser nulas. Este teorema

permite comprobar los resultados obtenidos en el análisis del circuito y a veces es

llamado “balance de potencias”.

3.1.1 ENUNCIADO

TEOREMA I: “En cualquier red de parámetros concentrados en cualquier instante,

la suma algebraica de las potencias absorbidas o generadas por todos

los elementos de circuito es nula. Es decir, cuando todas las corrientes

se definen en el sentido de las caídas de potencial (o todas en el

sentido de las subidas de potencial).

24

Que no intercambia energía con el medio 25

Bernard D.H. Tellegen (Winschoten, 24 Junio de 1900 - Eindhoven, 30 Agosto de 1990) ingeniero electricista holandés. Ampliamente conocido en el mundo de la teoría de circuitos eléctricos por su gran aporte el llamado Teorema de Tellegen.

132

TEOREMA II: Si se consideran dos circuitos independientes cuyos gráficos

orientados sean idénticos e denota el vector de corrientes y

el de voltajes en el primer circuito y los del segundo, conocido

también con el nombre de circuito adjunto, se designan mediante

y , respectivamente.” 26

3.1.2 DEMOSTRACIÓN

Para la demostración se hará uso de las matrices de incidencia, la de incidencia

de nodos se recuerda a continuación:

MATRIZ DE INCIDENCIA DE NODOS

donde es el número de nodos menos 1 y el número de

elementos del circuito.

26


133

Figura 125. Matriz de incidencia de nodos

Ejemplo: Hallar la matriz de incidencia del siguiente gráfico


El nodo 6 se elige arbitrariamente como referencia

134

Figura 127. Matriz de incidencia de nodos

Es fácil ver que:

Figura 128. Comprobación de las leyes de Kirchhoff

1ª Ley de Kirchhoff

2ª Ley de Kirchhoff

3.1.2.1 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE TELLEGEN I

135

Cada elemento del gráfico se supone con la siguiente referencia (referencia

normal):

Usando la matriz de incidencia de nodos;

; por lo tanto:

Tellegen I

3.1.2.2 DEMOSTRACIÓN DE TELLEGEN II

CIRCUITO 1 CIRCUITO ADJUNTO

Ambos circuitos poseen el mismo gráfico orientado

Donde es la matriz fundamental de anillos de dimensiones L X B siendo L el

número de enlaces (que define, cada uno, un anillo –trayectoria formada por un

enlace y ramas del árbol-). El elemento genérico se define por :

136

CIRCUITO 1 CIRCUITO ADJUNTO

Transponiendo la ecuación (92):

Post multiplicando por :

Por lo tanto:

Tellegen II


Verificar el Teorema de Tellegen I y Tellegen II para ambos circuitos.

137


SOLUCIÓN:

Circuito 1: Método de corrientes de enlace

Figura 130. Grafico orientado

Incógnitas:

Fuentes de voltaje:

138

Ecuación de la fuente de corriente: elimina una incógnita

Reemplazando los voltajes en función de las corrientes:

Expresar :

Reemplazando en las ecuaciones (95) (96) y (97):

Resolviendo:

139

Por lo tanto los voltajes serán:

Tabla 2. Comprobación de Tellegen

1

2

3

4

5

6

7


140


Incógnitas:

Fuentes de voltaje:

Inductancias mutuas:

Ecuación de la fuente de corriente:


141

Expresar :


Ecuación de la fuente de corriente:

Reemplazando (107) en (104), (105) y (106):

Resolviendo:

142



1

2

3

4

5

6

7

Tellegen II:

143


1

2

3

4

5

6

7


3.1.4.1 Verificar el teorema de Tellegen II, encontrando el voltaje que se produce

entre los terminales a y b del circuito 2 de la figura 132 27.

27


144


SOLUCIÓN:

Aplicando la ecuación del teorema de Tellegen:

Del circuito 2 se nota que:

3.1.4.2 Verificar el teorema de Tellegen I y Tellegen II para ambos circuitos.

145


SOLUCIÓN:

Circuito 1: Método de voltajes de rama


Incógnitas:

Sumatorio de corrientes en nodos donde no llegan fuentes de voltaje:

146

Ecuación de la fuente de voltaje: elimina una incógnita

Reemplazando las corrientes en función de los voltajes:

Expresar :


Reorganizando:

147

Resolviendo:

Por lo tanto las corrientes serán:


1 2 3 4 5 6 7

148



Incógnitas:

Ecuación de la fuente de corriente: elimina una incógnita


149

Expresar :

Reemplazando en las ecuaciones (114) y (115):

Organizando:

Resolviendo:


150


1

2

3

4

5

6

7

Tellegen II:

151


1

2

3

4

5

6

7


3.1.5.1 Verificar el teorema de Tellegen I y Tellegen II para ambos circuitos.


152

3.1.5.2 Verificar el teorema de Tellegen I para el circuito de la figura 137.


3.1.5.3 Usando matrices de incidencia determinar las corrientes a través de y los

voltajes en bornes de todos los elementos del circuito dado. Verificar el

cumplimiento del teorema de Tellegen I


153

3.2 TEOREMA DE MILLMAN

El Teorema de Millman se llamó así en honor al electrónico ruso Jacob Millman28,

y no es más que la aplicación rápida para configuración específica de las leyes de

Kirchhoff. De lo dicho se desprende que este teorema se puede aplicar a todos los

circuitos eléctricos que satisfagan las leyes de Kirchhoff y al ser estas el resultado

de las leyes de conversión de la masa y la energía, no tiene excepción. Se aplica

a cualquier circuito eléctrico, lineal o no, variante o invariante con el tiempo y cuyo

estado energético sea nulo o no, cabe aclarar que no se puede aplicar este

teorema cuando en el circuito existan impedancias acopladas.

3.2.1 ENUNCIADO

Cuando se conocen las impedancias que concurren en el nodo B y los voltajes

entre el nodo A y los extremos de dichas impedancias, se puede calcular el voltaje

que existe entre los nodos A y B .

28

Jacob Millman (nació 1911 en Rusia , murió el 22 de Mayo 1991) fue profesor de Ingeniería Eléctrica

en la universidad de Columbia. Millman obtuvo un Ph.D. del MIT en 1935. Trabajó en la Universidad de

Columbia desde 1951, hasta su retiro en 1975. Desde 1941 hasta 1987, Millman escribió ocho libros

basados en electrónica.

154

Figura 139. Teorema de Millman

3.2.2 DEMOSTRACIÓN

Si se conocen los voltajes aunque se ignore la configuración de la

red entre A y los otros nodos, al aplicar sumatorio de corrientes en el nodo B,

tomando A como el nodo de referencia, se obtiene:

Organizando la ecuación anterior:

Se tiene en cuenta que se deduce que:

155

Fórmula que constituye la expresión del teorema de Millman.29

El nodo A puede ser cualquiera en el circuito y, por lo tanto puede ser alguno de

los nodos 1, 2,…, n. En este caso será nulo el término correspondiente de:

El caso de n fuentes de voltaje en paralelo (figura 140) es un caso particular en el

que se puede aplicar el teorema de Millman.

Figura 140. Caso particular donde se aplica el teorema de Millman

Aplicando el Teorema de Millman:

29

Como se ve, no es más que la aplicación inmediata de las 2 leyes de Kirchhoff para esta configuración.

156


Aplicar el teorema de Millman al circuito de la figura 141, para encontrar la

corriente que pasa por la resistencia de .


SOLUCIÓN:

Aplicando la ecuación del teorema de Millman se obtiene:

Este valor se obtiene desconectando la “carga”

157


Por medio de un divisor de corriente, se halla la corriente que pasa por la

resistencia de :

Figura 143. Divisor de corriente

158


3.2.4.1 En el circuito de la figura 144, todas las tensiones están medidas respecto

a tierra.

a) Calcular la tensión del punto 1 respecto a tierra.

b) Si se conecta una resistencia R=5Ω, entre 1 y tierra, determinar el

potencial.


SOLUCIÓN:

a) Aplicando el teorema de Millman

b) Se halla la resistencia equivalente del circuito:

159

Figura 145. Divisor de voltaje

Mediante un divisor de voltaje se calcula

3.2.4.2 Aplicando el teorema de Millman, hallar el y la corriente .


SOLUCIÓN:

Sin la carga:

160

Figura 147. Cálculo de la corriente I

3.2.4.3 En el circuito de la figura 148 determinar la potencia cedida o absorbida

por la fuente de corriente, aplicando el teorema de Millman.


161

SOLUCIÓN:

Para aplicar el teorema de Millman hay que replantear el circuito:

Figura 149. Circuito replanteado

Aplicando el teorema de Millman para hallar se obtiene:


162

3.2.5.1 Hallar el voltaje aplicando el teorema de Millman.


3.2.5.2 Hallar el voltaje aplicando el teorema de Millman.


3.2.5.3 Un generador trifásico a 400c.p.s opera a un voltaje entre líneas de 205 V,

cada fase de una carga conectada en Y tiene una impedancia equivalente

de a 400c.p.s, cada una de las tres líneas que

conectan a la carga con el generador tiene una impedancia

163

a 400c.p.s. Si se llama N el punto neutro del equivalente en Y

del generador, determinar .

Repetir el mismo procedimiento si la impedancia de la línea pasa a valer


3.3 TEOREMA DE ROSEN (KENNELLY)

El teorema de Rosen analiza las diferentes transformaciones de impedancias que

se pueden dar al momento de analizar un circuito, para que su estudio y

respectiva solución se haga más fácil.

El teorema de Kennelly30 es una parte del teorema general de Rosen, más

específicamente la transformación estrella –triángulo y viceversa.

1 Arthur Edwin Kennelly (Colaba, 17 de diciembre de 1861 - Boston, 18 de junio de 1939) fué un ingeniero

eléctrico americano. Desde 1902 hasta 1930 trabajó como profesor de ingeniería eléctrica en la Universidad de Harvard y como adjunto en el Instituto de Tecnología de Massachusetts desde 1913 hasta 1924. A él se debe la aplicación de la teoría de los números complejos al análisis de circuitos en alterna, así como las ecuaciones de transformación de cargas en estrella y en triángulo (teorema que lleva su nombre).

164

De lo dicho se ve que se aplica a circuitos lineales, pasivos, variantes o invariantes

con el tiempo y cuyo estado energético es nulo.

3.3.1 ENUNCIADO

Un circuito pasivo constituido por n impedancias conectadas en

estrella (figura 153), puede ser sustituido por otro circuito equivalente formado por

impedancias conectadas en polígono

(figura 154).

Figura 153. Impedancias conectadas en estrella

165

Figura 154. Impedancias conectadas en polígono

3.3.2 DEMOSTRACIÓN

Sean las conexiones:

Figura 155. Admitancias conectadas en estrella - Admitancias conectadas en

polígono

166

Aplicando el teorema de Millman al circuito en estrella:

Cambiando p por k en el denominador:

En conexión estrella la ecuación será:

Del segundo circuito (Polígono):

En conexión polígono la ecuación será:

Comparando las ecuaciones obtenidas en estrella y polígono, se encuentra la

relación general que representa el teorema de Rosen:

167

Casos particulares como aplicación:

a) Cuando n=2: Admitancias en serie, en este caso el polígono estará formado

por:

Figura 156. Caso admitancias en serie

b) Cuando n=3 (teorema de Kennelly) Estrella – Triángulo.

En este caso se tiene:

168

Figura 157. Transformación Estrella – Triángulo

De la misma forma se obtiene la transformación Triángulo –Estrella:

169

Figura 158. Transformación Triángulo – Estrella

c) Cuando n=4, En este caso se tiene:

Figura 159. Impedancias en polígono

170

Para n=4 se dispone de seis ecuaciones con cuatro incógnitas, por lo que el

sistema no se puede resolver, al menos que se impongan (arbitrariamente) otras

condiciones como, por ejemplo, que que permitirá calcular

los elementos de la estrella equivalente.


Calcular la resistencia equivalente entre los terminales a y b de la figura 160.


171

SOLUCIÓN:

Aplicando la transformación (Triangulo – Estrella) al primer triangulo:

Figura 161. Circuito equivalente 1

172


Figura 163. Circuito equivalente final


3.3.4.1 Calcular la impedancia equivalente entre los terminales a y b de la

figura 164.

173


SOLUCIÓN:

Transformando el triangulo d-c-e en una Y equivalente:

174



175

Figura 167. Circuito equivalente final

3.3.4.2 Convertir en polígono el circuito de la siguiente figura 168, aplicando el

teorema de Rosen.


SOLUCIÓN:

Las admitancias del polígono serán:

176


177

3.3.4.3 Convertir en polígono el circuito de la siguiente figura 170, aplicando el

teorema de Rosen.


SOLUCIÓN:

Las admitancias del polígono serán:

178

179



3.3.5.1 Encontrar la resistencia equivalente


3.3.5.2 Hallar la resistencia equivalente entre los terminales a y b de la figura 173,

aplicando el teorema de Rosen.

180


3.4 TEOREMA DE MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA (RÉGIMEN

PERMANENTE SINUSOIDAL)

El análisis de circuitos es muy importante en el estudio de sistemas diseñados

para transferir potencia entre una fuente y una carga, este teorema fue enunciado

por Moritz von Jacobi31 y en el principio fue conocido como la “ley de Jacobi”.

Los elementos que transmiten información mediante señales eléctricas, necesitan

transmitir una máxima cantidad de potencia desde la fuente hasta la carga, hecho

por el cual la aplicación de este teorema llega a ser muy útil en el momento

indicado para esta tarea.

31

Moritz Hermann (Boris Semyonovich) von Jacobi, nació en Rusia el 21 de septiembre de 1801 y murió el 10 de marzo de 1874, ingeniero y físico. Jacobi trabajo en el desarrollo de motores eléctricos y de cables de comunicación.

181

3.4.1 ENUNCIADO

La potencia máxima entregada por una fuente real de voltaje o de corriente de una

red, representada dicha red por un circuito equivalente de Thévenin, se alcanza

cuando la impedancia de la carga ( ), es igual a la conjugada de la impedancia

equivalente de Thévenin ( )

3.4.2 DEMOSTRACIÓN

El concepto de transferencia máxima de potencia en el contexto de una red en

régimen permanente sinusoidal, se empieza por ver en la siguiente figura 174.

Figura 174. Circuito para describir la transferencia máxima de potencia

Se debe determinar la impedancia de carga que permite entregar una potencia

máxima a los terminales a y b, cualquier red lineal puede ser vista desde los

terminales de la carga en términos de un circuito equivalente de Thévenin, hecho

por el cual la labor se reduce a encontrar el valor de que hace que se suministre

una potencia media máxima a en el circuito que se muestra a continuación:

182

Figura 175. El circuito de la figura anterior, sustituyendo la red por su equivalente

de Thévenin

Para que la transferencia de potencia sea máxima, debe ser igual al conjugado

de la impedancia de Thévenin, es decir:

Para demostrar la ecuación anterior se empieza por expresar y en forma

rectangular:

y

En las dos ecuaciones anteriores, el término de la reactancia lleva su propio signo

algebraico, positivo para la inductancia y negativo para la capacitancia. Puesto

que se está haciendo un cálculo de potencia media, se supone que la amplitud del

voltaje de Thévenin se expresa mediante su valor en rms, también se usa el

voltaje de Thévenin como fasor de referencia. En estas condiciones a partir de la

figura 175 el valor rms de la corriente de carga será:

La potencia media suministrada a la carga es:

183

y son variables independientes. Ahora para maximizar P, se deben

encontrar los valores de y para los que y son ambas

cero

Ahora combinando las dos ecuaciones obtenidas:

Máxima potencia media absorbida

La máxima potencia media que puede suministrarse a cuando esta es igual al

conjugado de se calcula directamente a partir del circuito de la figura 175.

Cuando , la corriente rms de carga es y la máxima potencia

media suministrada a la carga es:

Si el voltaje de Thévenin está expresado en términos de su amplitud máxima, y no

en función de su amplitud rms, la potencia queda como:

184

Máxima transferencia de potencia cuando Z está restringida

Sólo puede suministrarse una potencia media máxima a si esta puede hacerse

igual al conjugado de . Pero hay situaciones donde esto no es posible, en

primer lugar pueden estar restringidas a un rango limitado de valores.

En este caso, la condición óptima para consiste en ajustar lo más

próxima posible a y luego ajustar lo más próxima a

que sea posible.

Un segundo tipo de restricción se produce cuando se puede variar la magnitud de

, pero no su ángulo de fase. Con esta restricción, se transfiere la mayor cantidad

posible de potencia a la carga cuando la magnitud de es igual a la magnitud de

, es decir:

Para redes puramente resistivas, la transferencia máxima de potencia se produce

cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia de Thévenin.


Determinación de la transferencia máxima de potencia sin restricciones de carga.

a) Para el circuito de la figura 176, determinar la impedancia que permite

transferir una potencia media máxima a .

b) ¿Cuál es la máxima potencia media transferida a la impedancia de carga

determinada en el punto (a)?

185


SOLUCIÓN:

a) Se comienza por hallar el equivalente de Thévenin entre los terminales a y b

del circuito de la figura 176, luego después de dos transformaciones de fuente

con la fuente de , la resistencia de y la resistencia de , se simplifica

el circuito para obtener el que se muestra a continuación.

Figura 177. Circuito simplificado

186

Se obtiene la impedancia de Thévenin desactivando la fuente independiente y

calculando la impedancia que se ve al mirar hacia los terminales a y b.

Para obtener una máxima transferencia de potencia media, la impedancia de

carga debe ser el conjugado de , por lo que:

b) Para calcular la máxima potencia media suministrada a se utiliza la siguiente

figura donde se ha sustituido la red original por su equivalente de Thévenin.

Figura 178. Red original sustituida por su equivalente de Thévenin

Analizando la figura 178 se puede ver que la magnitud rms de la corriente de

carga es:

187

La potencia media suministrada a la carga será:


3.4.4.1 Determinación de la transferencia máxima de potencia con restricciones de

la impedancia de carga.

a) Para el circuito de la figura 179, ¿Qué valor de da como resultado

una máxima transferencia de potencia media hacia ? ¿Cuál es la

potencia máxima en miliwatios?

b) Suponer que puede variarse la resistencia de carga entre y

que la reactancia capacitiva de la carga puede variarse entre

. ¿Qué valores de y permiten transferir la mayor

cantidad de potencia media hacia la carga? ¿Cuál es la máxima potencia

media que puede transferirse con estas restricciones?


188

SOLUCIÓN:

a) Si no hay restricciones en lo que se respecta a los valores de y , la

impedancia de carga debe ser igual al conjugado de la impedancia de

Thévenin. Por lo tanto se hace:

, lo que es equivalente a,

Ya que el valor de la fuente de tensión está dada en forma de valor rms, la

potencia media suministrada a será:

b) Puesto que están restringidas, primero se hace lo más próxima a

que sea posible; por lo tanto, . A continuación, se asigna un

valor a lo más próximo a que sea posible. En estas

condiciones:

Ya que se puede variar entre , se asigna a el valor de .

Por lo tanto, la impedancia de la carga se debe ajustar con el valor:

Si se asigna a este valor, el valor de la corriente de carga será:

La potencia media suministrada a la carga es:

189

Este valor es la potencia máxima que se puede suministrar a la carga teniendo en

cuenta las restricciones relativas a y , se puede ver que esta potencia es

inferior a la que podría suministrarse si no hubiera restricciones; en el punto (a) se

pudo observar que podían llegar a suministrarse .

3.4.4.2 Cálculo de la transferencia máxima de potencia con restricciones relativas

al ángulo de impedancia.

Se conecta una impedancia de carga con un ángulo de fase constante de

a los terminales a y b del circuito de la figura, se varía la magnitud de hasta que

la potencia media suministrada sea la máxima posible, teniendo presente la

restricción mencionada.

a) Calcular el valor de en forma rectangular.

b) Calcular la potencia media suministrada a .


190

SOLUCIÓN:

a) Se sabe que la magnitud de es igual a la magnitud de .Por lo tanto:

Ahora, como el ángulo de fase de es , se tiene:

b) Siendo igual a , la corriente de carga tendrá el valor:

La potencia media suministrada a la carga tendrá el valor:

Este valor es la máxima potencia que puede suministrarse mediante este circuito a

una impedancia de carga cuyo ángulo tenga un valor constante de . De

nuevo se puede ver que este valor es inferior a la máxima potencia que podría

suministrarse a si no hubiera ningún tipo de restricción.

3.4.4.3 Calcular la impedancia de carga que absorbería la potencia máxima y

cuanto es esta .

191


SOLUCIÓN:

Cálculo del equivalente de Thévenin

Malla 1 y 2: Desconectando la carga

Despejando las corrientes de las ecs.(128) y (129) se obtiene:

Calculo de :

192


Por lo tanto la potencia máxima será:


3.4.5.1 Calcular la potencia media suministrada a la resistencia de en el

circuito mostrado si


193

3.4.5.2 ¿Cuál es el valor de la resistencia en la figura 184 que maximiza la

potencia promedio entregada a la carga?


3.4.5.3 Determinar los valores para el circuito de la figura 185 que produzcan

la transferencia máxima de potencia a la carga.


194

3.5 TEOREMA DE MILLER

El teorema de Miller32, es un teorema muy utilizado en electrónica y en circuitos

eléctricos para determinar y facilitar los cálculos en un circuito, al momento de

dividir una impedancia que cumpla con las condiciones para hacerlo.

3.5.1 ENUNCIADO

En un circuito lineal donde exista una impedancia conectada entre dos nodos,

cada uno con voltajes y como se muestra en la figura 186 , se puede

reemplazar dicha impedancia por dos elementos conectadas entre sus

correspondientes nodos y tierra, cada una con sus respectivas impedancias:

y donde .

Figura 186. Teorema de Miller

32

John Milton Miller fué un notable Ingeniero Electricista Estadounidense, ampliamente conocido por descubrir el Efecto Miller e inventar los circuitos oscilatorios con cuarzos de cristal (Oscilaciones de Miller). Miller nació en Hanover, Pennsylvania, y en 1915 recibió su Ph.D. en física de la Universidad de Yale.

195

3.5.2 DEMOSTRACIÓN

Figura 187. Teorema de Miller


Convirtiendo a cada lado las fuentes de voltaje en fuentes de corriente y usando el

valor de :

196

Figura 189. Conversión de las fuentes

Aplicando el Teorema de sustitución para cada lado:

Figura 190. Aplicación del teorema de sustitución

Se obtiene el siguiente circuito:


197

Hallando la en ambos lados, se obtiene la expresión que se quería demostrar:

Figura 192. Demostración del teorema de Miller

3.5.2.1 Teorema dual de Miller

En un circuito lineal donde exista una impedancia conectada entre un nodo y

tierra, donde dos corrientes e convergen en el mismo nodo, como se ve en la

figura 193, se puede reemplazar dicha impedancia por dos elementos conectados

entre sus correspondientes nodos y tierra, cada una con sus respectivas

impedancias: y donde .

Figura 193. Teorema dual de Miller

198


Convirtiendo a cada lado las fuentes de corriente en fuentes de voltaje:

Figura 195. Conversión de las fuentes

Siguiendo un procedimiento similar al que se utilizó en el teorema general de Miller

se llega a obtener el mismo circuito previamente mostrado:

Figura 196. Demostración del teorema dual de Miller

199


Determinar la relación de voltaje en el circuito de la figura 197, aplicando el

teorema de Miller.


SOLUCIÓN:

Del circuito se puede deducir directamente el valor de la relación :

Por lo tanto se puede aplicar el teorema de Miller a la resistencia de , tal como

se muestra en la figura 198.

Figura 198. Aplicación del teorema de Miller

200

El valor de la resistencia se calcula de la siguiente forma:

Y el valor de la resistencia se calcula con la siguiente ecuación:

El circuito equivalente se muestra a continuación:


De este circuito se puede deducir que la relación entre el voltaje y el voltaje

se puede determinar aplicando un divisor de voltaje a la red que se encuentra a la

derecha (la resistencia de en paralelo con la fuente de voltaje redunda).

A partir de la red que se encuentra a la izquierda se puede deducir la relación

entre el voltaje y el voltaje de la siguiente forma:

201

Por lo tanto la relación entre el voltaje y el voltaje es la siguiente:


3.5.4.1 Determinar la relación de voltaje y la relación de corriente en

el circuito de la figura 200, aplicando el teorema de Miller.


SOLUCIÓN:

En este circuito se quiere aplicar el teorema de Miller a la resistencia de ,

pero no es posible determinar directamente el valor del parámetro , tal como se

hizo en el ejercicio anterior. Cuando se presenta este tipo de circuitos, el

procedimiento a usar es el siguiente:

Si se considera que el parámetro tiene un valor lo suficientemente elevado como

para suponer que el denominador de la relación que tiene que aplicarse para

202

calcular la resistencia es aproximadamente igual a 1, y por lo tanto se cumple lo

siguiente:

Con esta aproximación se puede obtener el circuito equivalente mostrado a

continuación:


A partir de este circuito se pueden realizar los siguientes cálculos:

Este resultado confirma que la aproximación realizada para determinar el valor de

la resistencia es válida. Una vez conocido valor de se puede determinar el

valor de la resistencia equivalente utilizando la ecuación correspondiente:

203

Para determinar la relación entre el voltaje y el voltaje se aplica un divisor de

voltaje:

Finalmente, de la parte derecha del circuito se puede deducir que:

Pero:

Para calcular la relación entre la corriente de salida y la de entrada se deben

realizar los siguientes cálculos:

A partir de la red que se encuentra a la derecha del circuito mostrado en la figura

se puede calcular la relación entre la corriente y la corriente aplicando un

divisor de corriente:

De la misma forma, la relación entre la corriente y la corriente se puede

calcular aplicando un divisor de corriente a la red que se encuentra a la izquierda

del circuito equivalente:

Por lo tanto:

204

De esta forma quedan determinadas las dos relaciones pedidas en el enunciado

del problema.

3.5.4.2 Determinar la relación de voltaje en el circuito de la figura 202,

aplicando el teorema de Miller.


SOLUCIÓN:

Del circuito anterior se puede deducir directamente el valor de la relación :

Por lo tanto se puede aplicar el teorema de Miller a la resistencia de , tal como

se muestra en la figura 203.

205

Figura 203. Aplicación del teorema de Miller

El valor de la resistencia se calcula de la siguiente forma:

El valor de la resistencia se calcula con la siguiente ecuación:

El circuito equivalente se muestra a continuación:


206

De este circuito se puede sacar la relación entre el voltaje y el voltaje se

puede determinar aplicando un divisor de voltaje a la red que se encuentra a la

derecha del circuito:

En la red que se encuentra a la izquierda se puede deducir la relación entre el

voltaje y el voltaje de la siguiente forma:

Por lo tanto la relación entre el voltaje y el voltaje es la siguiente:


3.5.5.1 En el circuito de la figura 205, hallar la impedancia equivalente respecto de

la fuente ideal de voltaje, aplicando el teorema de Miller.


207

3.6 TEOREMA DE COMPENSACIÓN

Este teorema resulta de aplicar el teorema de sustitución al problema de

determinar la alteración que se produce en las corrientes de un circuito lineal

cuando se da un incremento al parámetro que define uno de sus elementos

pasivos. Se aplica ampliamente para estudiar y comparar los errores posibles de

los diferentes dispositivos de medida y para determinar las tolerancias de los

parámetros que constituyen un circuito y en los problemas de sensitividad (análisis

de sistemas de potencia).

El circuito debe ser lineal, variante o invariante con el tiempo y su estado

energético inicial puede ser cero o no.

3.6.1 ENUNCIADO

1aParte: Si la corriente en una rama de una red lineal y activa es y la impedancia

de esta rama se incrementa una cantidad , el incremento de corriente

y voltaje en cada rama de la red es el que produciría una fuente de

voltaje de valor que posea la misma polaridad de la caída de voltaje

sobre producida por la corriente , actuando sobre la red ya afectada

por el cambio y con todas las demás fuentes independientes nulas.

Figura 206. Teorema de compensación 1ª parte

208

2aParte: Si el voltaje en una rama de una red lineal y activa es y la

conductancia de esta rama se incrementa una cantidad , el

incremento de corriente y voltaje en cada rama de la red es el que

produciría una fuente de corriente de valor que posea la misma

dirección de la corriente por debida al voltaje , actuando sobre la

red ya afectada por el cambio y con todas la demás fuentes

independientes nulas.

Figura 207. Teorema de compensación 2ª parte

3.6.2 DEMOSTRACIÓN

Figura 208. Demostración del teorema de compensación

209

Considerando el voltaje que pasa a través de la rama del circuito que fue

modificada, se tiene:

De la red original se puede ver que:

Por lo tanto:

Con base en esta ecuación se construye la red lineal pasiva:

Figura 209. Red lineal bilateral pasiva

210


En el circuito de la figura 210, hallar la corriente de carga cuando se pone un

amperímetro con una resistencia interna de 1Ω en serie con la impedancia de

carga.


SOLUCIÓN:

Se empieza por hallar el equivalente de Thévenin del circuito:

211

Figura 211. Equivalente de Thévenin del circuito


3.6.4.1 Aplicar el teorema de compensación para determinar el que se debe

introducir para que la corriente que pasa por la resistencia de sea

de , en lugar de , en el circuito de la figura 212.

212


SOLUCIÓN:

Se quiere encontrar el que se introduce cuando la corriente que pasa por la

resistencia de pasa a valer , para lo que se eliminan las fuentes de

voltaje y se redibuja el circuito:

Figura 213. Aplicación del teorema de compensación

213

Despejando :

Por lo tanto el valor requerido de la resistencia, al haber un incremento será:

3.6.4.2 Aplicar el teorema de compensación para obtener las corrientes que se

obtienen al insertar una impedancia de en serie con la capacitancia en

el circuito de la figura 214.


SOLUCIÓN:

Se quieren encontrar las corrientes que se obtienen al insertar una impedancia de

en serie con la capacitancia, para lo que se eliminan las fuentes de voltaje y

se redibuja el circuito:

214


El voltaje en será:

Por lo tanto con este valor se pueden obtener y :

Con estos valores se pueden hallar las nuevas corrientes que se generan cuando

se conecta la impedancia de en serie con la capacitancia, en el circuito

original:

215

Figura 216. Impedancia en serie con la capacitancia en el circuito original

3.6.4.3 Calcular la corriente que se obtiene cuando se inserta un amperímetro

entre las terminales c y d de la figura 217, con una resistencia interna de

.


216

SOLUCIÓN:

Hallando el equivalente de Thévenin entre los terminales c y d se tiene:

Figura 218. Equivalente de Thévenin del circuito

Aplicando el teorema de compensación se obtiene el siguiente circuito:


217

La resistencia total del circuito será:

Para hallar la corriente en el circuito original:

Aplicando un divisor de corriente:

Para hallar la corriente que se obtiene cuando se ingresa la impedancia del

amperímetro, se utiliza la siguiente ecuación:


3.6.5.1 En el circuito de la figura 220, determinar la variación de voltaje a circuito

abierto en función de la variación experimentada por la resistencia ,

cuyo valor nominal es . ¿Cuánto valdrá esta variación si se

cortocircuita?

218


3.6.5.2 Cuando se cambia la resistencia de carga en el circuito 1 y pasa a valer

en el circuito 2, las corrientes también cambian de a . Calcular el

valor de la resistencia , aplicando el teorema de compensación.


3.6.5.3 Calcular la corriente que circula por la resistencia de del circuito

mostrado en la figura 222, si la lectura de un amperímetro con una

resistencia interna de conectado en serie con dicha resistencia es

.

219


3.6.5.4 Demostrar que el puente de Wheatstone de la figura 223, está en equilibrio

(el galvanómetro G mide ), cuando la resistencia . Si la

resistencia pasa a valer , calcular la lectura del galvanómetro si

este presenta una resistencia interna de .


3.6.5.5 Un generador trifásico a opera a un voltaje entre líneas de ,

cada fase de una carga conectada en Y tiene una impedancia equivalente

220

de a 400c.p.s, cada una de las tres líneas que

conectan a la carga con el generador tiene una impedancia

a . Si se llama N el punto neutro del equivalente en Y

del generador, determinar .

Repetir el mismo procedimiento si la impedancia de la línea pasa a valer


221

3.7 TEOREMA DE BISECCIÓN DE BARTLETT

El teorema de Bartlett 33 es de gran utilidad cuando se tienen circuitos que pueden

dividirse en dos partes simétricas mediante una línea denominada eje de simetría,

tal como se muestra en la figura 225. Cada una de las partes debe ser la imagen

especular de la otra con respecto al eje de simetría. Además de proporcionar un

método para el análisis de las redes que presentan estas características, el

teorema de Bartlett ofrece una nueva forma de estudiar y utilizar las propiedades

de las redes simétricas.

Figura 225. Definición de la simetría de la red para el teorema de bisección de

Bartlett

Como se indica en la figura anterior, las dos redes simétricas deben ser lineales y

no deben contener fuentes independientes. Estas son externas a las redes, y se

identifican como . Entre las dos redes simétricas puede haber cualquier

número de conexiones.

El teorema de la bisección de Bartlett trata sobre el comportamiento de las redes

simétricas cuando s eles aplica lo que se conoce como excitaciones simétricas o

de modo común y antisimétricas o de modo diferencial

.

33

A.C. Bartlett fue un ingeniero ingles que hizo innumerables contribuciones en el campo de la teoría de líneas y filtros.

222

3.7.1 ENUNCIADO

1aParte: Cuando se excita una red que posee un eje de simetría como el indicado

en la figura 225 utilizando el modo común, tal como se observa en la

figura 226a, las corrientes y voltajes de toda la red no se modifican si las

conexiones entre las dos partes de la red se cortan y se dejan en circuito

abierto, como se indica en la figura 226b.

2aParte: Cuando se excita una red que posee un eje de simetría como el indicado

en la figura 225 utilizando el modo diferencial, tal como se observa en la

figura 226c, las corrientes y voltajes de toda la red no se modifican si las

conexiones entre las dos partes de la red se cortan y se unen entre sí

con un cortocircuito, como se indica en la figura 226d.

Figura 226. Planteamiento del teorema de la bisección de Bartlett

223

3.7.2 DEMOSTRACIÓN

Dado que este teorema es válido para redes lineales, para comprobar su

enunciado puede aplicarse un razonamiento basado en el teorema de

superposición, analizando primero el efecto producido por la fuente cuando la

fuente es nula, y luego el caso contrario.

Para la excitación en modo común, cuando se aplica con la otra fuente en

cero, por el enlace entre las dos redes va a circular la corriente , y el voltaje

entre el enlace y el enlace va a ser . Si se aplica con la otra fuente

en cero, dada la simetría de la red, por el enlace entre las dos redes va a circular

la corriente , y el voltaje entre el enlace y el enlace va a ser . Al aplicar

simultáneamente las dos excitaciones, esto es , la corriente por el

enlace va a ser y el voltaje entre el enlace y el enlace va a ser

. Por lo tanto, como las corrientes por cada uno de los enlaces son

nulas, pueden cortarse las conexiones y dejarlas en circuito abierto sin modificar

las corrientes y voltajes restantes.

De la misma forma, para la excitación en modo diferencial, cuando se aplica es

con la otra fuente en cero, por el enlace k entre las dos redes va a circular

la corriente , y el voltaje entre el enlace y el enlace va a ser , mientras que

cuando se aplica con la otra fuente en cero, dad la simetría de la red,

por el enlace entre las dos redes va a circular la corriente , y el voltaje entre el

enlace y el enlace va a ser . Al aplicar simultáneamente las dos

excitaciones, esto es, , la corriente por el enlace va a ser

y el voltaje entre el enlace y el enlace va a ser . Por lo tanto,

como los voltajes entre los enlaces son nulos, pueden cortarse las conexiones y

unir los extremos en un punto común sin modificar las corrientes y voltajes

restantes.

224

Si se tiene una red que cumple con la condición de simetría exigida por el teorema

pero cuyas excitaciones son arbitrarias, es posible descomponer las fuentes

arbitrarias en sus componentes de modo común y modo diferencial, al aplicar el

teorema para cada uno de los casos y luego determinar la respuesta total

aplicando el teorema de superposición.

Cualquier par arbitrario de fuentes puede expresarse de la siguiente forma:

Donde y son las componentes de modo común y modo diferencial

respectivamente. A partir de este sistema de ecuaciones se puede determinar el

valor para cada uno de estos componentes.

Una vez conocidas las excitaciones de modo común y modo diferencial

respectivamente se aplica el teorema de bisección de Bartlett para cada caso y

finalmente se calcula la respuesta total realizando la suma algebraica de las

respuestas obtenidas previamente, de acuerdo con el teorema de superposición.

225

Figura 227. Aplicación del teorema de Bartlett para cuatro diferentes redes

226


Aplicar el teorema de Bartlett para determinar la corriente que circula por la

resistencia en función de las entradas .

Figura 228. Ejemplo de aplicación del teorema de Bartlett

SOLUCIÓN:

Para poder aplicar el teorema de Bartlett es necesario que el circuito sea simétrico

con respecto al eje vertical que puede dibujarse en su parte central, para lo cual es

necesario dividir la resistencia en dos resistencias conectadas en serie, cada

una de las cuales tiene un valor de , y separar la resistencia en dos

resistencias conectadas en paralelo, cada una de las cuales vale .

El circuito de la figura 229 muestra el circuito equivalente:

227

Figura 229. Circuito equivalente con la simetría adecuada para aplicar el teorema

de Bartlett al circuito de la figura 228

Dado que las fuentes pueden tomar cualquier valor, es necesario calcular

las fuentes de modo común y modo diferencial, aplicar el teorema de Bartlett para

cada paso y hallar la respuesta total aplicando el teorema de superposición. Las

fuentes correspondientes a cada uno de los modos están dadas por la ecuación:

La figura 230 muestra los circuitos resultantes para cada uno de los modos:

228

Figura 230. Circuitos correspondientes al modo común y al modo diferencial para

la red de la figura 228

Del análisis correspondiente al modo común, presentado en la figura 230a se

puede deducir que:

Por otra parte, al analizar el circuito correspondiente al modo diferencial,

presentado en la figura 230b, se puede observar que ambos extremos de la

resistencia están conectados al punto común o tierra del circuito, por lo tanto

se tiene que el voltaje es igual a . De acuerdo con esto, la corriente que

circula por la resistencia se puede expresar de la siguiente forma:

Para determinar la relación entre la corriente y la corriente se puede aplicar el

principio del divisor de corriente:

229

Sustituyendo es esta ecuación la expresión de y el valor de en función de

se obtiene finalmente:

Por lo tanto la corriente que circula por la resistencia en el circuito de la figura

228 estará dada por la expresión:

3.7.4 EJERCICIO RESUELTO

En el circuito de la figura 231 aplicar el teorema de Bartlett reemplazando la

impedancia terminal por una de .


230

SOLUCIÓN:

Para poder dividir el circuito, los valores de los componentes deben ser simétricos

cuando se hace la partición correspondiente:

Figura 232. Circuito cuando se aplica la bisección por medio del teorema de

Bartlett

El teorema de Bartlett permite encontrar la red equivalente del circuito original,

combinando los condensadores y las inductancias en la red dividida:

231

Figura 233. Circuito final después de la modificación de la impedancia de

por la impedancia de carga de


3.7.5.1 Demuestre que la red de la figura 234 satisface los requisitos para aplicar

el teorema de Bartlett


232

3.7.5.2 En la red de la figura 235 aplicar el teorema de Bartlett para dividir el

circuito simétricamente


3.7.5.3 En el circuito de la figura 236 aplicar el teorema de Bartlett

233


235

4. CONCLUSIONES

· Se pudo precisar cada uno de los teoremas planteados inicialmente y facilitar

un documento de fácil consulta y entendimiento en el campo de la teoría de

circuitos eléctricos que se enseña en la universidad.

· En cada uno de los teoremas se resolvieron ejercicios de una forma clara y

detallada para comprenderlos fácilmente.

· La documentación y posterior realización del trabajo se realizó de una manera

tal que se asimilara cada uno de los teoremas y se pudiera identificar en cuales

casos estos se podían aplicar.

· Las figuras utilizadas en este documento se trataron de realizar de una forma

explícita y de fácil comprensión.

· Dentro de las posibilidades que otorga un documento en su formato de

monografía, se recopiló información de muchas fuentes optimizando el

contenido de cada una de ellas.

237

BIBLIOGRAFÍA

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eléctricos”, 1987.

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Hill.

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Graw Hill.

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239

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[28] WEISS. G. “Network Theorems for Transistor Circuits”, IEEE transactions on

education, vol.37, no.1, pag. 36, Febrero 1994.

[29] SKAAR, D.L., BROWN, W.L. “Emplasizing Some Little-Used Theorems in

Introductory Network Analysis”, IEEE transactions on education, vol.39, no.4,

pag. 532, Noviembre 1996.

[30] DAVIDOVIC, M.D. “A Simple Proof of Miller´s Theorem”, IEEE transactions on

education, vol.42, no.2, pag. 154, Mayo 1999.

241

ANEXO

Biografías

A.1 Arthur Edwin Kennelly

(Colaba, 17 de diciembre de 1861 - Boston, 18 de junio de 1939) fué un ingeniero

eléctrico americano.

Kennelly nació en Colaba, cerca de Bombay en la India y fue educado en la

University College School de Londres. Era hijo de David Joseph Kennelly (1831-

1907), un oficial irlandés capitán de barco y de Catherine Gibson (1839-1863). Su

madre murió cuando él tan sólo contaba con tres años de edad. Tras jubilarse su

padre en 1863, la familia regresó a Inglaterra. En 1878, su padre volvió a casarse

con Ellen L. Vivian, mudándose a vivir a Sydney, en la isla Cape Breton de Nueva

Escocia, cuando asumió el control la ciudad y de la Louisbourg Coal and Railway

Company Limited. A raíz de este segundo matrimonio de su padre, Arthur tuvo

cuatro hermanastros: Ziadia Kennelly (1881), Davides Jr. Kennelly (1882), Nell K.

Kennelly (1883) y Spencer M. Kennelly (1885).

Estuvo en el laboratorio West Orange de Thomas Edison desde diciembre de 1877

hasta marzo de 1894. En 1893, durante su investigación en ingeniería eléctrica,

presentó un documento sobre la "impedancia" al Instituto Americano de Ingenieros

Eléctricos (AIEE). Investigó el uso de los números complejos en relación a la ley

de Ohm en corriente alterna dentro de la teoría de circuitos.

En 1902 investigó las propiedades eléctricas en la propagación de ondas de radio

por la ionosfera. Sus conclusiones, en cuanto a la existencia de una zona

atmosférica ionizada favorable a la propagación de estas ondas, fueron

semejantes a las del físico británico Oliver Heaviside. Esta zona se encuentra

entre los 90 y los 300 km de altura y recibe el nombre de capa de Kennelly-

Heaviside en honor a ambos investigadores.

242

Desde 1902 hasta 1930 trabajó como profesor de ingeniería eléctrica en la

Universidad de Harvard y como adjunto en el Instituto de Tecnología de

Massachusetts desde 1913 hasta 1924. Uno de los estudiantes de este instituto

fue Vannevar Bush.

Kennelly recibió reconocimientos de su trabajo desde distintas instituciones de

muchos países, entre los que cabe destacar:

· "Premio de la Institución IEE" (1887)

· "Medalla de Oro de Howard Potts del Instituto Franklin" (1917)

· "Cruz Chevalier de la legión de Honor de Francia"

· "Medalla Edison" del AIEE, ahora Instituto de Ingenieros Eléctricos y

Electrónicos (1933)

La Medalla de Edison se la dieron "por los meritorios logros en la ciencia eléctrica,

la ingeniería eléctrica y las técnicas eléctricas, como ejemplo a sus contribuciones

a la teoría de la transmisión eléctrica y al desarrollo de estándares eléctricos

internacionales". El mismo intituto ya le había concedido el año anterior la

"Medalla de Honor" "por sus estudios de los fenómenos de la propagación de

ondas radio de y sus contribuciones a los métodos de análisis en la teoría y en la

medida de la corriente alterna que son ampliamente utilizados en la actualidad". A

él se debe la aplicación de la teoría de los números complejos al análisis de

circuitos en alterna, así como las ecuaciones de transformación de cargas en

estrella y en triángulo (teorema que lleva su nombre).

Kennelly fue un participante activo en organizaciones profesionales tales como la

"Sociedad para la Promoción del Sistema Métrico de Pesos y Medidas", de la

"Sociedad de la Ingeniería del Alumbrado" y del "Comité Nacional de ESTADOS

UNIDOS de la Comisión Electrotécnica Internacional". También fue presidente del

243

AIEE y del "Instituto de Ingenieros de la Radio", durante el período de 1898 a 1900

y en 1916, respectivamente.

A.2 León-Charles Thévenin

(Meaux, 1857- Paris 1927)

Aunque participó en el estudio y el diseño de los sistemas telegráficos (incluyendo

la transmisión subterránea), los condensadores cilíndricos (capacitores) y el

electromagnetismo, es mejor conocido por un teorema que presentó, primero en el

French Journal of Physics-Theory and Applications, en 1883. Apareció con el

encabezado de "Sur un nouveau théoreme d'electricitè dynamique (Acerca de un

nuevo teorema de la electricidad dinámica)'' y originalmente se le conocía como el

teorema generador equivalente.

Existe cierta evidencia de que Hermann von Helmholtz presentó un teorema

similar en 1853. Sin embargo, el profesor Helmholtz aplicó el teorema a la

fisiología animal y no a los sistemas de comunicación o generadores y, por tanto,

no recibió el crédito que merecía en este campo. A principios de la década de los

veinte, AT&T efectuó ciertos trabajos pioneros usando el circuito equivalente y tal

vez haya empezado a referirse al teorema como sencillamente el Teorema de

Thèvenin. De hecho, Edward L. Norton, en esa época ingeniero en AT&T presentó

un equivalente de la fuente de corriente del equivalente de Thèvenin que en la

actualidad se conoce como el circuito equivalente de Norton. Como dato curioso,

el comandante Thévenin fue un ávido esquiador y de hecho fue comisionado en

una competencia internacional de ski en Charrionix, Francia, en 1912.

244

A.3 Edward Lawry Norton

(Rockland, Maine, 28 de julio de 1898[1] - Chatham, Nueva Jersey, 28 de enero de

1983) fué un ingeniero y científico empleado de los Laboratorios Bell. Es conocido

principalmente por enunciar el teorema que lleva su nombre. Él sirvió como

operador de radio en el U.S Marina entre 1917 y 1919. Asistió a la Universidad de

Maine durante un año antes y un año después de su servicio durante la guerra,

luego fue trasladado a M.I.T.

En 1920, recibiendo su S.B.Grado (ingeniería eléctrica), en 1922. Empezó a

trabajar en 1922 en la Western Electric Corporation en la ciudad de Nueva York,

que más tarde se convirtieron en los laboratorios Bell en 1925. Mientras trabajaba

para la Western Electric, M.A. obtuvo un grado en ingeniería eléctrica de la

Universidad de Columbia en 1925. Se retiró en 1961 y falleció el 28 de enero de

1983 en la King James Nursing Home en Chatham, Nueva Jersey.

Patentes de Norton

Norton se convirtió en un miembro de la Acoustical Society de América y del IRE

(estos últimos en 1961). En su biografía de 1954, que se reproduce por cortesía

de los Archivos de AT & T, dice que él tenía 19 patentes; De los cuales sólo 18

han sido encontrados en el registro U. S. PTO:

Fecha de

presentación

Fecha de

aprobación

Número de

patente

Título Comentario

24/11/1924 21/08/1928 1,681,554 Filtro de onda -

25/11/1924 07/04/1931 1,799,634 Transmisión en

onda

-

245

12/05/1925 16/04/1929 1,708,950 Filtro de ondas

eléctricas

-

18/05/1925 02/07/1929 1,719,484 Sistema de

transmisión

Carrier[2]

-

31/03/1926 03/04/1928 1,664,755 Red eléctrica -

23/09/1926 13/09/1927 1,642,506 Sistema de

transmisión de

onda

-

30/10/1926 29/10/1929 1,733,554 Dispositivo

magnético

-

14/05/1927 17/02/1931 1,792,497 Dispositivo

vibrador de

sujección[3]

Conjunta con

A. C. Keller

16/04/1929 13/01/1931 1,788,538 Filtrado de

circuitos

-

31/05/1929 17/02/1931 1,792,655 Reproductor de

sonido

-

29/07/1932 17/04/1934 1,954,943 Red de

transmisión de

onda

-

19/05/1934 05/11/1935 2,019,624 Atenuación

ecualizador

-

246

16/08/1934 06/04/1937 2,076,248 Filtro de onda -

30/09/1936 03/05/1938 2,115,826 Impedancia

transformador

-

12/05/1937 16/08/1938 2,126,915 Red de

transmisión de

onda

-

18/10/1938 21/05/1940 2,201,296 Sistema telefónico Conjunta con

A.A. Lundstrom

17/09/1941 20/07/1943 2,324,797 Amplificador de

diferencial[4]

-

07/07/1947 15/02/1955 2,702,186 Acelerómetro Conjunta con

G.A. Head

Documentos publicados por Norton

Ha publicado tres documentos durante su vida, ninguno de los cuales menciona el

teorema enunciado por él:

247

Fecha Título Diario Tomo Páginas Comentarios

Abril,

1937

Redes de resistencia

constante con

aplicaciones a grupos

de filtro

Bell System

Technical

Journal

16 178-

193

Biografía de

la página 250

Junio,

1942

Contador de fluidos

magnéticos[5]

Bell

Laboratories

Record

20 245-

247

Biografía de

la página 263

Abril,

1945

Mediciones

dinámicas de

dispositivos

electromagnéticos

Transacciones

AIEE

64 151-

156

-

Otros trabajos

Norton escribió 92 memorandos técnicos (TMs en Bell Laboratories). Norton

debido a la falta de publicaciones, prefirió trabajar y dejar de darse notoriedad.

Aplicó sus conocimientos profundos de análisis de circuitos a muchos campos, y

después de la Segunda Guerra Mundial trabajó en los sistemas de guía de misiles

Nike.

El 11 de noviembre de 1926, él escribió la nota técnica Diseño de Redes para

frecuencia uniforme finita característica, que se reproduce por cortesía de los

Archivos de AT & T, que contiene el siguiente párrafo en la página 9.

Dicho párrafo define claramente lo que hoy es conocido como el circuito Norton

equivalente. Norton nunca publicó este resultado o mencionado en ninguna de sus

18 patentes y 3 publicaciones. En Europa, es conocida como el circuito Mayer -

Norton equivalente. El ingeniero de telecomunicaciones alemán Hans Ferdinand

248

Mayer publicó el mismo resultado en el mismo mes que Norton su memoria

técnica.

A.4 Bernard Tellegen

(Winschoten, 24 June 1900 - Eindhoven, 30 August 1990) era un ingeniero

eléctrico holandés e inventor del pentodo y el girador. Es también conocido para

un teorema en teoría de circuito, el teorema de Tellegen. Obtuvo un título en

ingeniería eléctrica de la universidad de Delft en 1923, y unió los laboratorios de

investigación de Philips en Eindhoven. En 1926 inventó el pentodo. (Nota: esta

invención es un fenomenal progreso en la edad de tubos de vacío. Es una mejora

grande sobre triodes y tetrodes.) Los giradores los inventó alrededor de 1948.

(Nota: el girador es útil para simular el efecto de un inductor sin usar un rollo. Por

ejemplo, es usado en los igualadores de ilustración gráfica de equipo de alta

fidelidad.) Sujetó 41 patentes de los EE.UU..

En el 1946-1966 de período Tellegen era un catedrático de adjunto de teoría de

circuito en la universidad de Delft. De 1942 a 1952 era presidente y miembro

honorífico de el equipo electrónico de Países Bajos y la sociedad de radio. El

instituto australiano de ingenieros de radio nombró a Tellegen un miembro vitalicio

honorífico en 1953. Era Fellow del IEEE, y ganó la medalla de Edison de IEEE en

1973 "Para una carrera creativa del logro importante en teoría de circuito eléctrica,

incluyendo el girador". Tellegen fue votado un miembro del Academia de Ciencias

de Países Bajos real en 1960. En 1970 la universidad de Delft conferenció sobre

un doctor título de causa de honoris.

A.5 Harold Rosen

(1926 nacido en Nueva Orleans, Luisiana) es un ingeniero eléctrico, conocido por

diseñar y dirigir la construcción del primer satélite de comunicaciones

249

geosincrónico, Syncom, para compañía de Hughes Aircraft. Rosen se tituló de

Tulane University en 1947 en ingeniería eléctrica. Recibió su M.S.. Y Ph.D.. En

ingeniería eléctrica del California Institute of Technology en 1948 y 1951,

respectivamente.

Rosen recibió el medalla de Alexander Graham Bell de IEEE en 1982, y el premio

de Charles Stark Draper en 1995.

A.6 Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz

(31 de Agosto, 1821 - 8 de septiembre de 1894) era un médico alemán y físico que

muchas contribuciones importantes a algunas áreas extensamente variadas de la

ciencia moderna. En fisiología y psicología fisiológica, es conocido para su

matemática del ojo, teorías de la visión, las ideas sobre la percepción visual del

espacio, investigación de visión en color, y sobre la sensación del tono, la

percepción del sonido, y el empirismo. En física, es conocido por sus teorías en el

ahorro de la energía, el trabajo en electrodinámica termodinámica química, y sobre

unos cimientos mecánicos de termodinámica. Como un filósofo, es conocido para

su filosofía de ciencia, las ideas sobre la relación entre las leyes de la percepción y

las leyes de la naturaleza, la ciencia de estética, y las ideas sobre el poder

civilizando de ciencia. Una asociación alemana grande de instituciones de

investigación, la Asociación de Helmholtz, fue creada en su honor.

A.7 Jacob Millman

(1911, Rusia- Florida,1991) era un catedrático de ingeniería eléctrica en Columbia

University. Millman recibió un Ph.D. del MIT en 1935. Se hizo socio de Columbia

University en 1951, y se jubiló en 1975. De 1941 a 1987, Millman escribió ocho

250

libros de texto sobre equipo electrónico. Su obituario fue imprimido en el periódico

de New York Times en 24 mayo 1991.

El teorema de Millman (por lo demás conocido como el teorema del generador

paralelo) es su más grande invención en el mundo de los circuitos eléctricos.

A.8 John Milton Miller

Fué un ingeniero eléctrico estadounidense famoso, conocido por descubrir el

efecto que lleva su nombre e inventar circuitos fundamentales para osciladores de

cristal de cuarzo (molinero osciladores). Miller nació en Hanover, Pensilvania, y en

1915 recibió su Ph.D. En física de Yale University. De 1907-1919 trabajó con la

agencia nacional de aviación, después trabajo como ingeniero de radio en el

laboratorio de radio (1919-1923) de la marina de los Estados Unidos y

posteriormente en el laboratorio de investigación naval (NRL). De 1925-1936 llevó

una investigación del auricular de radio en la Atwater KentManufacturing

compañía, la Filadelfia, y de 1936-1940 fue ayudante de la laboratorio de la

compañía Radiotron de RCA. En 1940 regresó a NRL donde se hizo encargado

de división de radio (1945), director adjunto de investigación (1951), y

administrador de investigación científico (1952).

Miller fue premiado en 1945 por sus grandes contribuciones en el desarrollo de la

radio en el campo de la frecuencia flexible y el desarrollo de equipo de radar que

solucionó una escasez de material muy grave en los Estados Unidos durante la

Segunda Guerra Mundial, además se le otorgó la medalla de IRE de Honorin 1953

por sus contribuciones innovadoras para nuestros conocimientos básicos en la

teoría de tubo de electrón, de instrumentos de radio y mediciones, y

especialmente de los osciladores de cristal.

251

A.9 Moritz Hermann (Boris Semyonovich) von Jacobi

(21 de septiembre de 1801 - 10 de marzo de 1874) fue un ingeniero y físico ruso,

nacido en Potsdam. Jacobi trabajó en Rusia principalmente. Promovió el progreso

en motores eléctricos galvanoplasticos, yen el desarrollo de la telegrafía.

Incursiono en el campo de los motores magnéticos. En 1835 se trasladó a Dorpat

(ahora Tartu, Estonia) para dictar una conferencia en la universidad de Dorpat. Se

trasladó a C/. Petersburg en 1837 para investigar el uso de maquinas móviles

electromagnéticas para el ejercito ruso. Investigó el poder de un electroimán en

motores y generadores. Mientras investigaba la transferencia de poder de una

batería a un motor eléctrico, dedujo el teorema de la máxima transferencia de

potencia34.

34

Todas las biografías fueron tomadas de Internet.

Documents

TEOREMAS FUNDAMENTALES DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS