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TEOREMAS DE CIRCUITOS - Exemplos III.1 Teorema da Superposição Em um circuito linear contendo várias fontes independentes, a corrente ou tensão de um elemento do circuito é igual a soma algébrica das correntes ou tensões dos componentes produzidas por cada fonte independente operando isoladamente. Este teorema só se aplica no cálculo de correntes ou tensões e não pode ser utilizado no cálculo da potência. Para que se possa operar cada fonte isoladamente, as outras devem ser eliminadas. O procedimento que deve ser adotado nesta eliminação, das fontes de tensão e fontes de corrente, é apresentado seguir. A B B A - + B A E = 0 B I = 0 A Curto-Circuito E AB = 0 R AB = 0 Circuito-Aberto I = 0 R AB = Exemplo 1: Determinar para o circuito abaixo os valores E 1 , I 1, P 2, E 2 , I 2 e I 3. 1 - + 6 5 20 E I 1 I 2 I 3 18 A 140 V 2 E Passo 1: Devido à fonte de 140V, abrindo a fonte de corrente tem-se: - + ´ ´ ´ 1 6 5 20 E I 1 I 2 I 3 140 V 2 E E 1 = 20 I 1 E 2 = 6 I 2 = 5 I 3 LTK ! 140 = E 1 + E 2 LCK ! I 1 = I 2 + I 3 Fazendo as substituições tem-se: E 20 E 6 E 5 1 ' 2 ' 2 ' = +

Teoremas Exer Resolvido

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  • TEOREMAS DE CIRCUITOS - Exemplos

    III.1 Teorema da Superposio Em um circuito linear contendo vrias fontes independentes, a corrente ou tenso de um elemento do circuito igual a soma algbrica das correntes ou tenses dos componentes produzidas por cada fonte independente operando isoladamente.

    Este teorema s se aplica no clculo de correntes ou tenses e no pode ser utilizado no clculo da potncia.

    Para que se possa operar cada fonte isoladamente, as outras devem ser eliminadas. O procedimento que deve ser adotado nesta eliminao, das fontes de tenso e fontes de corrente, apresentado seguir.

    A

    B

    B

    A

    -

    +

    B

    A

    E = 0

    B

    I = 0

    A

    Curto-Circuito EAB = 0

    RAB = 0

    Circuito-Aberto I = 0

    RAB =

    Exemplo 1: Determinar para o circuito abaixo os valores E1, I1, P2, E2, I2 e I3.

    1

    -

    +6 5

    20

    E

    I1 I2 I3

    18 A140 V 2E

    Passo 1: Devido fonte de 140V, abrindo a fonte de corrente tem-se:

    -

    +

    1

    6 5

    20

    E

    I1 I2 I3

    140 V 2E

    E1 = 20 I1

    E2 = 6 I2= 5 I3

    LTK ! 140 = E1 + E2

    LCK ! I1 = I2 + I3

    Fazendo as substituies tem-se: E20

    E6

    E5

    1'

    2'

    2'

    = +

  • Teoremas de Circuitos

    Prof. Corradi - www.corradi.junior.nom.br 2/13

    3E 10E 12E1'

    2'

    2'= +

    3E E1'

    2'= 22 ! 2

    1 .3

    22 EE =

    LKT ! 2.1322140 E

    +=

    Tem-se ento:

    E2 = 16,8V

    E1 = 123,2V

    I1 = 6,16A

    I2 = 2,8A

    I3 = 3,36A

    Passo 2: Devido fonte de 18A, curto-circuitando a fonte de tenso tem-se:

    1

    6 5

    20

    E

    I1I2 I3

    18 A2E

    E1= 20 I1

    E2= 6 I2 = 5 I3

    LTK ! -E1 - E2 = 0

    LCK ! I1 + 18 = I2 + I3

    Fazendo as substituies tem-se: E20

    18 E6

    E5

    1"

    2"

    2"

    + = +

    3E1 + 1080 = - 10E1 - 12E1

    E1 = - 43,2V

    E2 = 43,2V

    I1= = 43,220

    2,16A

    I2 = 43,2

    67,20A=

    I3 = 8,64A543,2 =

    Passo 3: Devido superposio tem-se:

    E1 = E1 + E1 = 112,2 - 43,2 = 80V

    E2 = E2 + E2 = 60V

    I1 = I1 + I1 = 4,0A

    I2 = 10A

    I3 = 12A

    P2 = 6 (2,8)2 + 6 (7,2)2 = 358W

    Levando em considerao este valor de P2, pode-se observar que o Teorema da Superposio no vlido em relao a potncia. Para tanto se deve calcular a potncia dissipada utilizando as frmulas usuais. Tem-se ento:

  • Teoremas de Circuitos

    3/13

    WPouWP

    RVPouIRP

    6006

    6060010.6

    .

    2

    22

    2

    2

    22

    22222

    ====

    ==

    Pode-se observar que a potncia dissipada calculada pela frmula usual no igual ao valor encontrado aplicando-se o teorema da superposio comprovando a afirmao feita anteriormente.

    Exerccio: resolver o exemplo utilizando o teorema da superposio e os conceitos de divisor de tenso e corrente que foram apresentados no captulo anterior.

    III.2 Teoremas de Thvenin e Norton Para que se aplique estes teoremas a uma rede qualquer esta deve ser dividida em duas

    partes: X e Y. A rede X deve ser linear e bilateral (2 terminais) e a rede Y deve ser composta por uma resistncia e/ou uma fonte e/ou qualquer ramo. O teorema especifica que a parte X pode ser substituda por um circuito equivalente de Thvenin ou de Norton. Aps o clculo deste circuito equivalente, a parte Y deve ser novamente agregada a este circuito equivalente para a soluo final.

    ThRYX

    -

    +VTh

    X

    A

    BB

    A

    Circuito Equivalente de Thvenin

    Eth : Tenso de Thvenin

    Rth : Resistncia de Thvenin

    X

    NG

    YX

    I

    A

    BB

    A

    N

    Circuito Equivalente de Norton

    IN : corrente de Norton

    GN: condutncia de Norton

    A seguir apresenta-se como calcular os valores dos circuitos equivalentes de Thvenin e Norton.

    Eth a tenso em circuito aberto, medida nos terminais AB. calculada resolvendo-se o circuito correspondente considerando as fontes ativas e as resistncias do circuito em relao a estes terminais;

    RTh a resistncia vista nos terminais AB, quando todas as fontes internas so anuladas (fonte de tenso = curto-circuito e fonte de corrente = circuito-aberto);

    IN a corrente atravs do curto-circuito aplicado aos terminais AB no sentido A!B;

    GN a condutncia vista nos terminais AB, quando todas as fontes internas so anuladas (fonte de tenso = curto-circuito e fonte de corrente = circuito-aberto).

  • Teoremas de Circuitos

    4/13

    O conceito de Equivalncia de Fontes, apresentado abaixo pode ser utilizado na resoluo de circuitos utilizando-se os teoremas de Thvenin e Norton.

    AR

    -

    +E

    B

    A

    GI 00 E EI

    circuito a circuito b

    I

    B

    A seguir se apresenta os clculos que revelam as relaes que devem existir para que as fontes acima sejam equivalentes.

    Se EAB = 0 (curto-circuito) Circuito a:

    I ER

    0=

    Circuito b:

    I = I0 E0 = R . I0

    Se I = 0 (circuito aberto) Circuito a:

    E = E0

    Circuito b:

    E IG

    0= E IG0

    0=

    Ento: R 1G

    = e I ER

    0=

    Exemplo 2: Calcular a fonte equivalente fonte de tenso apresentada.

    A10

    -

    +

    B B

    30 V 3 A 0,1 S

    A

    Como o circuito de Norton e o de Thvenin so representaes para a mesma fonte fsica, para que suas caractersticas terminais sejam as mesmas, deve-se ter:

    E R . ITh Th N= R1

    GTh N=

    Exemplo 3: Determinar a corrente I no circuito abaixo usando o Teorema de Thvenin.

  • Teoremas de Circuitos

    5/13

    -

    +6 5

    20

    18 A140 V I

    Para este exemplo considera-se a resistncia de 6 como sendo o circuito Y. Para calcular o circuito equivalente de Thvenin segundo a metodologia apresentada deve-se retirar o circuito Y (a resistncia de 6).

    140 V

    X

    -

    +5

    20

    18 A 6

    A

    BB

    A

    Y

    Clculo do Equivalente de Thvenin:

    ThR

    -

    +

    Th

    B

    A

    E

    Por superposio calcula-se ETh:

    ETh = E + E

    E 525

    .140 28V' = =

    I1 = 5 1825

    185

    . = A

    E = 185

    .20 72V=

    ETh = 100 V

    Soluo alternativa por Kirchoff: LTK ! 140 - 20I1 - 5I2 = 0

    LCK ! I1 - I2 + 18 = 0

    ETh = 140 - 20I1

    140 - 20 I1 - 5 (I1 + 18) = 0 140 - 25 I1 - 90 = 0

    I1 = 2A

    ETh = 140 - 40 = 100 V

    Calculando agora RTh:

    RTh = 20//5 ! = 42520x5

    Aps ter-se calculado VTh e RTh pode-se finalmente calcular a corrente no resistor de 6 :

    -

    +

    B

    A

    6 E = 100VTh

    R = 4 Th

    I 10010

    = ! I 10A=

    III.3 Anlise por Correntes de Malha Este tipo de anlise resulta da aplicao das leis de Kirchhoff a circuitos com vrias

    malhas. As leis de Kirchhoff so aplicadas s correntes das diversas malhas respeitando sentidos arbitrados (preferencialmente o sentido horrio).

  • Teoremas de Circuitos

    6/13

    Para exemplificar este procedimento ser utilizado o circuito apresentado na figura abaixo.

    -2R1 +

    -

    +

    -

    +Ea

    b

    EcR4

    R R3

    R5I1 I2 I3

    E

    Aplicando-se as leis de Kirchhoff tem-se:

    Ea - R1I1 - R4 (I1 - I2) = 0

    -R2I2 + Eb - R5 (I2 - I3) - R4 (I2 - I1) = 0

    -R3I3 - EC - R5 (I3 - I2) = 0

    Reescrevendo a primeira equao tem-se:

    Ea = (R1 + R4) I1- R4I2

    Pode-se observar que R1 e R4 so as resistncias que pertencem a malha 1 (resistncia prpria) e que -R4 (o coeficiente de I2) o negativo da resistncia existente entre a malha 1 e a malha 2 (resistncia mtua).

    Estendendo o mesmo raciocnio para as outras malhas tem-se:

    Eb = (R2 + R4 + R5) I2 - R4I1 - R5I3

    -Ec = (R3 + R5) I3 - R5I2

    Escrevendo os resultados na forma matricial tem-se:

    +++

    +=

    3

    2

    1

    535

    55424

    441

    c

    b

    a

    III

    RRR0RRRRR0RRR

    E-EE

    ou seja: IRE .=

    A seguir apresenta-se como, extrapolando os resultados apresentados acima, e baseando-se na teoria matemtica, pode-se montar diretamente as matrizes E , R e I :

    Montagem direta de E :

    Ei : dada pela soma algbrica das fontes de tenso ao se percorrer a malha no sentido arbitrado para a corrente. A tenso ser positiva se a corrente sair pelo terminal positivo da fonte.

    Montagem direta de R :

    Os elementos da diagonal principal Rii so obtidos pela soma das resistncias dos ramos da malha i;

    Os elementos fora da diagonal principal Rij tem o valor da resistncia equivalente do ramo comum malha i e j com sinal (-).

    Montagem direta de I : A matriz I o Vetor de corrente de malhas a serem determinadas, arbitradas num mesmo sentido.

  • Teoremas de Circuitos

    7/13

    Exemplo 4: Determinar as correntes de malha para o circuito abaixo:

    +-

    +1

    I1 2I56 V 8 V

    10

    2 -

    I 3

    2 4

    5

    Utilizando-se as regras apresentadas acima, se obtm a seguinte equao matricial:

    5680

    9 5 25 10 12 1 13

    =

    III

    1

    2

    3

    Calculando o determinante tem-se: = det 9 5 25 10 12 1 13

    775

    =

    Para o clculo de I1, deve-se substituir a primeira coluna da matriz pelo vetor das tenses (analogamente para o clculo de I2 e I3). Desta maneira tem-se:

    1= det 77601310

    11082556

    =

    Considerando calculadas 1 e 2, pode-se calcular as correntes utilizando a Regra de Cramer:

    I1 1=

    I2 2=

    I3 3=

    I1 = 10A I2 = 6A I3 = 2A

    Casos Particulares:

    Existncia de fontes de corrente em paralelo com uma condutncia (resistncia) ! efetuar a converso de fontes

    -

    +

    1

    5 4 2 A

    1

    5

    4

    8 V

    Corrente arbitradas em qualquer sentido ! aplica-se as mesmas regras s que na montagem de R , os elementos fora da diagonal principal tero sinais positivos se as correntes nestes elementos estiverem no mesmo sentido.

  • Teoremas de Circuitos

    8/13

    + -

    -

    +

    -

    3

    I1 2I

    4

    2

    2 +

    1 2

    +-

    I 3

    =

    934372427

    R

    Fontes de corrente sem possibilidade de converso: considera-se que existe uma tenso a ser determinada nas extremidades das fontes.

    I3

    I2I1

    - +

    - +

    4 10 V

    3 2

    2 4

    3 20 V

    E 2 A

    =

    32

    II2

    9949724210

    2010E

    Fontes controladas ! monta-se as equaes diretamente:

    2

    +

    1I

    E

    -

    3

    4 10 I

    2.I1

    30 V

    30E

    I-2I

    1

    1

    =

    7 44 14

    30 = 7I1 + 8I1 ! I1 = 2A

    logo ! I2 = -4A

    -E = -4I1 - 28I1 ! E = 64V

    III.4 Anlise pelas Tenses nos Ns (Nodal) Este mtodo permite que se determine a tenso em 2 ou mais ns, em relao a um n de

    referncia. Para tanto, as equaes decorrentes da LCK so escritas implicitamente, de tal modo que somente as equaes LTK precisem ser resolvidas.

    O circuito da figura abaixo utilizado para demonstrar a anlise de um circuito utilizando-se o mtodo das tenses nos ns.

  • Teoremas de Circuitos

    9/13

    BI

    ABI

    I A

    E

    BEAG 3

    G 2

    G 1

    N de referncia

    BA

    I 1 I 2

    AB

    E

    LTK ! EAB - EA + EB = 0 EAB = EA - EB

    LCK Ns A e B !

    ===++=+==

    )E(EGEGIIII0III)E(EGEGIIII0III

    BA2B32ABB2ABB2

    BA2A11ABA1ABA1

    Reescrevendo convenientemente tem-se:

    ++=+=

    B32A22

    B2A211

    )EG(GEGIEG)EG(GI

    Escrevendo na forma matricial: I G.E= !

    +=

    B

    A

    322

    221

    2

    1

    EE

    G+GGGGG

    II

    A seguir apresenta-se como, extrapolando os resultados apresentados acima, e baseando-se na teoria matemtica, pode-se montar diretamente as matrizes I , E e G :

    Montagem direta de I :

    Ii: soma algbrica das fontes de corrente ligadas ao n i, sendo positivas as que entram no n em questo.

    Montagem direta de G :

    Elementos da diagonal principal Gii soma de todas as condutncias ligadas ao n i;

    Elementos fora da diagonal principal Gij condutncia equivalente conectada entre os ns i e j, com sinal negativo.

    Montagem direta de E :

    Ei :faz referncia a tenso do n i em relao ao n de referncia. Exemplo 5: Determinar para o circuito abaixo as tenses EA e EB utilizando-se o mtodo da

    tenso nos ns.

    10 V

    20 V+ -

    -

    +

    Ref.A

    B

    3

    2 5

    4 2

    O circuito equivalente, transformando as fontes dado por:

    B

    0,25 S 0,5 S0,5 S0,2 S2 A

    0,33 S

    A Ref.

    20/3 A

  • Teoremas de Circuitos

    10/13

    Tem-se que: I G.E= , e desta maneira:

    +++

    ++=

    +

    B

    A

    EE

    .214121512131

    21513121512

    3202

    Resolvendo a equao matricial tem-se: EA = 11,2 V e EB = 4V.

    Casos Particulares:

    Existncia de fontes de tenso em srie com uma resistncia: efetuar a converso de fontes. Exemplo: calcular as correntes IA e IB da figura a seguir.

    1/2 S

    AE

    0

    4

    I A

    BA

    I B

    2 A-

    +8 V 4 4

    2

    BA

    2 A2 A 4 4

    N de referncia

    N de referncia

    I A

    1/4 S

    I B

    4

    1/2 S2 A 2 A

    E

    EB

    2

    Matrizes I G.E= :

    22

    1 2 1 2 1 21 2 1 4 1 2

    =

    + +

    / / // / /

    EE

    A

    B

    Resolvendo para as tenses tem-se: 2 = EA 1/2 EB -2 = -1/2 EA +0,75 EB

    EA = 1V EB = -2V

    Calculando agora as correntes tem-se:

    IA = 14

    x 1 = 14

    A

    IB = 214

    x = - 12

    A

    Fontes de tenso sem possibilidade de converso: considera-se que existe uma corrente a ser determinada para cada fonte.

    -

    +

    2 AI

    BEAE

    4

    E 0

    10 V 4 A2 5

    A B

    Matrizes I G.E= :

    +

    +=

    +

    BE10

    4/12/14/14/14/15/1

    242I

    Resolvendo para o segundo elemento da matriz I tem-se:

    2 = -0,25 . 10 + 0,75 EB

    0,75 EB = 2 + 2,5

    E VB = =4 5

    0 756,

    ,

    EA = 10V (dado)

    Para o primeiro elemento tem-se: I + 2 = 0,45 . 10 - 0,25 EB

    I = 4,5 - 1,5 - 2 ! I = 1A

    III.5 Teorema de Millman O Teorema de Millman apresenta um mtodo usado para reduzir um nmero qualquer de

    fontes de tenso em paralelo a apenas uma. Este teorema constitui um caso especial da aplicao do teorema de Thvenin. A seguir, a partir de um exemplo este mtodo apresentado.

  • Teoremas de Circuitos

    11/13

    B

    A

    B

    A

    E 1+

    --

    +

    -

    +E 2 E 3

    R1 R2 R3

    E M-

    +

    RM

    O primeiro passo transformar os ramos fonte de tenso/resistncia em srie em

    fontes de corrente/condutncias em paralelo. Estes clculos so feitos da seguinte maneira:

    iii

    ii

    GEIR

    G

    =

    = 1

    A

    B

    G11I

    22

    33G GII

    A seguir, deve-se calcular o circuito equivalente com uma nica fonte de corrente e uma nica condutncia. Para tanto os seguintes clculos devem ser realizados:

    I = I1 + I2 - I3

    G = G1 + G2 + G3

    A seguir apresenta-se este circuito assim como o equivalente de Millman.

    A

    B

    A

    E M-

    +

    RM

    I G

    B

    A transformao do circuito fonte de corrente/condutncia em fonte de tenso/resistncia deve ser realizada da seguinte maneira:

    E E IG

    I I IG G GM AB

    1 2 3

    1 2 3

    = = = + + +

    321M GGG

    1G1

    ++==R

    A tenso entre os pontos AB pode tambm ser dada da seguinte maneira:

    E E G E G E GG G GAB

    1 1 2 2 3 3

    1 2 3

    = + + +

  • Teoremas de Circuitos

    12/13

    Exemplo 6: Determinar a corrente na resistncia de 5 utilizando o Teorema de Millmam. Resolver tambm utilizando o teorema de Thvenin para efetuar uma comparao.

    A

    10

    ABE-

    +

    -

    +8 V

    4 V

    B

    I

    5 2

    4

    Usando Millman:

    E VAB =+

    + + +=8 1 10 4 1 21

    1012

    14

    15

    2 667( / ) ( / ) ,

    I 2,6675

    0,533A= =

    Usando Thvenin:

    -

    +

    A

    10 10

    -

    +8 V

    B

    A

    B

    2

    4 V

    2

    4 4

    Eth ser calculada utilizando-se o teorema da superposio.

    V29,386,443,11

    33,1167,10

    2720

    4720

    3410

    834

    =+=

    +

    +

    +

    ==

    Th

    ABTh

    E

    EE

    10 2 4

    B

    A

    Rth ser calculada utilizando-se o procedimento padro descrito.

    1 110

    12

    14R Th

    = + +

    1R Th

    = 0 85, R Th =11765,

    Tendo calculado ETh e RTh pode-se finalmente calcular a corrente I.

    -

    +

    B

    A

    5

    R = 1,1765

    E = 3,29 V

    Th

    ThI

    CTh

    Th

    RREI+

    =

    I 3,2931.1765 5

    0,533A= +

    =

    III.6 Teorema da Mxima Transferncia de Potncia Este teorema utilizado quando em uma rede eltrica deseja-se obter a mxima

    transferncia de potncia da rede para uma carga resistiva RL.

    Para se calcular esta mxima transferncia de potncia utiliza-se o equivalente de Thvenin da rede para determinar a corrente I que passa pela carga RL. O circuito apresentado a seguir mostra um exemplo.

  • Teoremas de Circuitos

    13/13

    RTh

    ETh

    B

    A

    -

    +R

    LI

    I ER R

    Th

    Th L

    =+

    A potncia absorvida pela carga ser:

    ( )P R I

    R ER R

    E4R

    1R RR RL L

    2 L Th2

    Th L2

    Th2

    Th

    Th L

    Th L

    = =+

    = +

    A potncia transferida PL ser mxima quando RL = RTh, ou seja, quando a carga for igual ao valor da resistncia equivalente de Thvenin do circuito. Neste caso a potncia em RTh ser

    Th

    2Th

    R4E e assim pode-se afirmar que quando a potncia transferida a mxima, a eficincia do

    circuito de 50%.

  • COTUCA - www.corradi.junior.nom.br ELETRICIDADE BSICA

    NOTAS DE AULA TEOREMAS DA ANLISE DE CIRCUITOS REV. 1 1

    ELETRICIDADE BSICA

    TEOREMAS DA ANLISE DE CIRCUITOS

    INTRODUO Sero apresentados os teoremas fundamentais da anlise de circuitos. Isto inclui

    os teoremas da superposio, de Thvenin e de Norton.

    TEOREMA DA SUPERPOSIO O teorema da superposio, bem como os mtodos vistos anteriormente, pode ser

    usado para encontrar a soluo para circuitos contendo uma ou mais fontes que no estejam em srie nem em paralelo. A vantagem mais evidente deste mtodo dispensar o uso de ferramentas matemticas, como os determinantes, para calcular as tenses e correntes solicitadas. Em vez disso, o efeito de cada fonte levado em conta separadamente e o valor da incgnita obtido efetuando a soma algbrica desses efeitos individuais.

    O enunciado do teorema da superposio o seguinte: A corrente atravs de um elemento, ou a tenso entre seus terminais, em um circuito linear bilateral igual soma algbrica das correntes ou das tenses

    produzidas independentemente por cada uma das fontes. Ao se aplicar o teorema, possvel considerar os efeitos de duas fontes ao

    mesmo tempo e reduzir o nmero de circuitos a serem analisados. Mas, em geral: Nmeros de circuitos a serem analisados =

    Nmeros de fontes independentes

    Para considerar os efeitos de cada fonte independentemente, necessrio que estas sejam removidas e substitudas sem afetar o resultado final. Uma fonte de tenso, na aplicao do teorema, deve ser substituda por um curto-circuito e uma fonte de corrente deve ser substituda por um circuito aberto.

    A corrente total em qualquer parte do circuito a igual soma algbrica das correntes que seriam produzidas separadamente por cada uma das fontes

    O princpio da superposio no pode ser usado para calcular a potncia dissipada em um circuito, j que a dissipao de potncia em um resistor varia com o quadrado da corrente ou da tenso, sendo, portanto um efeito no-linear.

    EXEMPLO NUMRICO 1. Determinar a corrente I1 para o circuito da Figura 1.

    Figura 1 Circuito do exemplo 1.

    Soluo:

    Fazendo E = 0 V no circuito visto na Figura 1, obtm-se o circuito mostrado na Figura 2. Notar que toda a corrente fornecida pela fonte de 3 A ir passar pelo ramo onde est o curto-circuito e assim I1 = 0.

  • NOTAS DE AULA TEOREMAS DA ANLISE DE CIRCUITOS REV. 1 2

    Figura 2 Contribuio de I para I1.

    Substituindo-se a fonte de corrente por um circuito aberto, obtm-se o circuito mostrado na Figura 3. Aplicando a lei de Ohm:

    A5I4

    126

    30REI ''1

    1

    ''1

    Como I1 e I1 tm o mesmo sentido, a corrente I1 dada pela soma dessas duas correntes:

    Figura 3 Contribuio de E para I1.

    A5I50III 1''

    1'11

    Note que neste caso a fonte de corrente no afeta a corrente no resistor. A tenso entre os terminais do resistor 30 V, pois ele est em paralelo com a fonte de tenso.

    EXEMPLO NUMRICO 2. Usando o teorema da superposi-

    o, determinar a corrente no re-sistor de 4 na Figura 4.

    Soluo: Considerando os efeitos da fonte de 54 V (ver Figura 5):

    27R3244||1224R||RRR

    T

    321T Figura 4 Circuito do exemplo 2.

    Figura 5 Efeito de E1 sobre a corrente I3.

    A2I2754

    REI

    T

    1

    Usando a regra dos divisores de corrente: ' '23 3

    2 3

    R I 12 2 24I I 1,5AR R 12 4 16

    Considerando agora os efeitos da fonte de 48 V (ver Figura 6):

  • NOTAS DE AULA - TEOREMAS DA ANLISE DE CIRCUITOS REV. 1 3

    12R8412||244R||RRR T213T

    Figura 6 Efeito de E2 sobre a corrente I3.

    A4I1248

    REI

    T

    2''3

    A corrente resultante no resistor de 4 : A5,2I5,14III 3

    '3

    ''33 no sentido de I3.

    EXEMPLO NUMRICO 3. Usando o teorema da superposio,

    determinar a corrente I2 no resistor de 12 k na Figura 7.

    Soluo: Considerando o efeito da fonte de corrente de 6 mA (ver Figura 8) e aplicando a regra dos divisores de corrente: Figura 7 Exemplo 3.

    mA2I120006000

    1066000RRIRI '2

    3

    21

    1'2

    Considerando o efeito da fonte de 9 V (ver Figura 9):

    Figura 8 Efeito da fonte de tenso sobre a

    corrente I2.

    mA5,0I120006000

    9RR

    EI ''221

    ''2

    Figura 9 Efeito da fonte de corrente sobre a corrente I2.

  • NOTAS DE AULA TEOREMAS DA ANLISE DE CIRCUITOS REV. 1 4

    Como I2 e I2 tm o mesmo sentido em R2, a corrente desejada dada pela soma dessas duas correntes:

    mA5,2ImA5,0mA2III 2''2

    '22

    TEOREMA DE THVENIN O teorema de Thvenin afirma que:

    Qualquer circuito de corrente contnua bilateral de dois terminais pode ser substitudo por um circuito equivalente constitudo por

    uma fonte de tenso e um resistor em srie. Na Figura 10(a) o circuito no interior da caixa s est ligado o exterior por dois

    terminais, que denominamos a e b. Usando o teorema de Thvenin, possvel substituir tudo o que existe no interior da caixa por uma fonte e um resistor, como mostrado na Figura 10(b), sem mudar as caractersticas do circuito entre os terminais a e b. Ou seja, qualquer carga conectada aos terminais a e b se comportar da mesma maneira se estiver conectada ao circuito da Figura 10(a). Nos dois casos a carga receber a mesma corrente, tenso e potncia.

    Figura 10 Efeito da aplicao do teorema de Thvenin.

    Para o circuito mostrado na Figura 10(a), o circuito equivalente de Thvenin pode ser determinado diretamente combinando as baterias e resistores em srie. Mas, na maioria dos casos, existem outros elementos conectados direita ou esquerda dos terminais a e b. Entretanto, para aplicar o teorema, o circuito a ser reduzido sua forma equivalente de Thvenin tem de ser isolado como mostra a Figura 10, e os terminais de conexo identificados.

    A aplicao desse teorema permite determinar qualquer valor particular de tenso ou corrente num circuito linear com uma, duas ou qualquer outro nmero de fontes. possvel tambm separar uma parte de um circuito, substituindo-o pelo equivalente de Thvenin. Por exemplo, na Figura 11, aps se obter o circuito equivalente de Thvenin para a parte sombreada, pode-se calcular facilmente a corrente no resistor varivel RL e a tenso entre seus terminais para qualquer valor que RL possa assumir.

    Na Figura 11, todo o circuito, com exceo de RL, deve ser substitudo por uma bateria e um resistor em srie. Os valores desses dois componentes do circuito equivalente tm de ser escolhidos de modos a garantir que o resistor RL se comporte, no circuito visto na Figura 11(a), da mesma forma que no circuito mostrado na Figura 11(b). Em outras palavras, a corrente e tenso no resistor RL devem ser as mesmas para os dois circuitos para qualquer valor de RL.

  • NOTAS DE AULA TEOREMAS DA ANLISE DE CIRCUITOS REV. 1 5

    Figura 11 Substituio de um circuito complexo pelo circuito equivalente de Thvenin.

    Os passos do mtodo so os seguintes: 1. Remove-se a parte do circuito para a qual deseja obter o equivalente Thvenin.

    No caso da Figura 11(a), necessrio remover temporariamente o resistor RL. 2. Assinalam-se os terminais do circuito remanescente. 3. Calcula-se RTh, colocando primeiro todas as fontes em zero (substituindo as

    fontes de tenso por curtos-circuitos e as fontes de corrente por circuitos abertos) e em seguida determine a resistncia equivalente entre os dois terminais escolhidos.

    4. Calcula-se ETh retornando primeiro todas as fontes s suas posies originais no circuito e em seguida determinando a tenso entre os dois terminais escolhidos, mantendo o circuito aberto entre os terminais a e b.

    5. Desenha-se o circuito equivalente de Thvenin e recoloca-se entre os terminais do circuito equivalente a parte que foi previamente removida.

    EXEMPLO NUMRICO 4. Determinar o circuito equivalente de Thvenin para a parte sombreada do circuito da

    Figura 12. Em seguida, determinar a corrente em RL considerando que essa resistncia tenha valores de 2 , 10 e 100 .

    Figura 12 Circuito do exemplo 4.

    Soluo: Os passos 1 e 2 levam ao circuito da Figura 13.

    Figura 13 Circuito aps a aplicao dos

    passos 1 e 2.

    Passo 3: Substituindo-se a fonte de tenso E1 por um curto-circuito, obtm-se o circuito da Figura 14(a), onde:

    2R6363R||RR Th21Th

  • NOTAS DE AULA TEOREMAS DA ANLISE DE CIRCUITOS REV. 1 6

    Passo 4: Introduz-se novamente a fonte de tenso (ver Figura 15). Neste exemplo, a tenso de circuito aberto ETh a mesma que a queda de tenso entre os terminais da resistncia de 6 . Aplicando a regra dos divisores de tenso:

    V6954

    3696

    RRERE

    12

    2Th

    Figura 14 Determinao de RTh.

    Passo 5, ver Figura 16:

    LTh

    ThL RR

    EI

    A5,122

    6I2R LL

    L L6R 10 I 0,5A

    2 10

    Figura 15 Determinao de ETh.

    L L6R 100 I 0,059A

    2 100

    Se no fosse possvel a aplicao do teorema de Thvenin, cada mudana no valor de RL necessitaria de que todo o circuito mostrado na Figura 12 fosse anali- sado para se determinar os valores de tenso e corrente em RL.

    Figura 16 Substituio do circuito externo a RL

    pelo circuito equivalente de Thvenin.

    EXEMPLO NUMRICO 5. Determinar o circuito equivalente de

    Thvenin para a parte sombreada do circuito da Figura 17.

    Figura 17 Circuito do exemplo 5.

    Soluo: Os passos 1 e 2 levam ao circuito da Figura 18.

    Figura 18 Circuitos aps os passos 01 e 02..

    Passo 3 (ver Figura 19): Neste caso, a substituio da fonte de tenso E por um curto-circuito estabelece uma conexo direta entre os pontos c e c na Figura 19(a), o que permite dobrar o circuito, tendo como eixo a reta horizontal que liga a e b, resultando no circuito mostrado na Figura 19(b).

  • NOTAS DE AULA TEOREMAS DA ANLISE DE CIRCUITOS REV. 1 7

    Figura 19 Determinao de RTh.

    Ento:

    5R3212||43||6

    R||RR||RRR

    Th

    4231

    baTh

    Passo 4: O circuito redese-nhado mostrado na Figura 20. A ausncia de uma cone-xo direta entre a e b resulta em um circuito com trs ra-mos em paralelo. Portanto as tenses V1 e V2 podem ser determinadas usando a regra dos divisores de tenso:

    Figura 20 Determinao de ETh.

    11 1

    1 3

    22 2

    2 4

    R E 6 72 432V V 48 VR R 6 3 9

    R E 12 72 864V V 54 VR R 12 4 16

    Considerando a polaridade indicada na Figura 20 para ETh e aplicando a LKT malha superior no sentido horrio, obtm-se:

    V6E4854VVE0VVEV Th12Th21Th

    Passo 5: Ver Figura 21

    Figura 21 Circuito equivalente de Thvenin.

    A aplicao do teorema de Thvenin no

    se restringe a apenas um elemento passivo, como mostrado nos exemplos anteriores, pois ele pode ser aplicado em fontes, ramos inteiros, partes dos circuitos ou qualquer configurao de circuito. Pode acontecer tambm que seja necessrio utilizar um dos mtodos anteriores, como o das malhas ou da superposio para determinar o circuito equivalente de Thvenin.

    EXEMPLO NUMRICO 6. Determinar o circuito equivalente de Thvenin para a parte sombreada do circuito da

    Figura 22. Soluo:

  • NOTAS DE AULA TEOREMAS DA ANLISE DE CIRCUITOS REV. 1 8

    O circuito redesenhado e os passos 1 e 2 so aplicados como mostra a Figura 23.

    Passo 3: Ver Figura 24.

    2000R6001400R

    2400||8001400R6000||4000||8001400R

    R||R||RRR

    Th

    Th

    Th

    Th

    3214Th

    Passo 4: Aplicando o teorema da superposio, sero conside-rados primeiro os efeitos da fonte de tenso E1 (ver Figura 25). O circuito aberto faz com que V4 = I4R4 = 0R4 = 0 V e:

    3'Th VE e

    6000||4000R||RR 32'T

    Figura 22 Circuito do exemplo 6.

    Figura 23 Circuito da Figura 22 redesenhado.

    2400R 'T

    Aplicando a regra dos divisores de tenso:

    800240062400

    RR

    ERV

    1'T

    1'T

    3

    'Th33 EV5,4V3200

    14400V Figura 24 Determinao de RTh.

    A aplicao do mtodo da superposio para a fonte E2 resulta no circuito mostrado na Figura 26. Novamente tem-se V4 = I4R4 = 0R4 = 0 V e:

    3''Th VE

    706R

    6000||800R||RR''T

    31''T

    Figura 25 Contribuio da tenso E1 para ETh.

    Aplicando a regra dos divisores de tenso:

  • NOTAS DE AULA TEOREMAS DA ANLISE DE CIRCUITOS REV. 1 9

    ''Th3

    2''T

    2''T

    3 EV5,1V47067060

    400070610706

    RR

    ERV

    Como ETh e ETh tm polaridades opostas: V3E5,15,4EEE Th

    ''Th

    'ThTh

    Figura 26 Contribuio da tenso E2 para ETh.

    Passo 5: Ver Figura 27.

    Figura 27 Circuito equivalente de Thvenin.

    TEOREMA DE NORTON J foi visto que para qualquer fonte de

    tenso em srie com uma resistncia interna possvel se determinar uma fonte de corrente equivalente. O circuito com fonte de corrente equivalente ao circuito de Thvenin, como mostra a Figura 28, pode ser obtido com o auxlio do teorema de Norton.

    O teorema de Norton afirma que:

    Figura 28 O circuito equivalente de Norton.

    Qualquer circuito de corrente contnua linear bilateral de dois terminais pode ser substitudo por um circuito equivalente formado por

    uma fonte de corrente e um resistor em paralelo Os passos do mtodo so os seguintes: 1. Remove-se a parte do circuito para a qual deseja obter o equivalente de

    Norton. 2. Assinalam-se os terminais do circuito remanescente. 3. Calcula-se RN, colocando primeiro todas as fontes em zero (substituindo as

    fontes de tenso por curtos-circuitos e as fontes de corrente por circuitos abertos) e em seguida determine a resistncia equivalente entre os dois terminais escolhidos. Nota-se que este passo idntico ao que foi descrito para o teorema de Thvenin.

    4. Calcula-se IN retornando primeiro todas as fontes s suas posies originais no circuito e em seguida determinando a corrente de curto-circuito entre os dois terminais escolhidos. Esta corrente a mesma que seria medida por um ampermetro conectado entre os terminais assinalados.

    5. Desenha-se o circuito equivalente de Norton e recoloca-se entre os terminais

  • NOTAS DE AULA TEOREMAS DA ANLISE DE CIRCUITOS REV. 1 10

    do circuito equivalente a parte que foi previamente removida. Pode-se obter o circuito equivalente de Norton a partir do circuito equivalente de

    Thvenin e vice-versa utilizando as tcnicas de transformao de fontes, discutidas anteriormente e reproduzidas na Figura 29.

    Figura 29 Determinao de RTh.

    EXEMPLO NUMRICO 7. Determinar o circuito equivalente de

    Norton para a parte sombreada do circuito da Figura 30.

    Soluo: Os passos 01 e 02 so mostrados na Figura 31.

    O passo 3 mostrado na Figura 32

    N 1 23 6R R || R 23 6

    Figura 30 Circuito do exemplo 7.

    Figura 31 Identificao dos terminais de interesse.

    Figura 32 Determinao de RN.

    O passo 4 mostrado na Figura 33, indicando claramente que o curto-circuito entre os terminais a e b est em paralelo com R2, eliminando qualquer efeito dessa resistncia. Portanto IN a corrente que atravessa R1, j que:

    V0V60RIV 2222

    Portanto: A3I39

    REI N

    1N Figura 33 Determinao de IN.

  • NOTAS DE AULA TEOREMAS DA ANLISE DE CIRCUITOS REV. 1 11

    Passo 5: Ver Figura 34. Este circuito o mesmo no qual foi aplicado o teorema de thvenin inicialmente. Uma simples converso indica que os circuitos de Thvenin e Norton so, de fato, os mesmos (ver Figura 35).

    Figura 34 Determinao de RTh.

    Figura 35 Converso entre os circuitos equivalentes de Norton e de Thvenin.

    EXEMPLO NUMRICO 8. Determine o circuito equivalente de Norton para a parte do circuito esquerda dos

    pontos a e b vistos na Figura 36.

    Figura 36 Circuito do exemplo 8.

    Soluo: Passos 1 e 2 ver Figura 37.

    Figura 37 identificao dos terminais de sada.

    O passo 3 mostrado na Figura 38 e:

    N 1 24 6R R || R 2,44 6

    Figura 38 Determinao de RN.

  • NOTAS DE AULA TEOREMAS DA ANLISE DE CIRCUITOS REV. 1 12

    Passo 4: (Usando o teorema da superposio). Para a bateria de 7 V (ver Figura 39):

    ' '1N N

    1

    E 7I I 1,75AR 4

    No caso da fonte de 8 A (ver Figura 40), tem-se que tanto R1 quanto R2 foram curto-circuitadas pela ligao direta entre a e b e: Figura 39 Contribuio da fonte de tenso E1.

    ''NI I 8A

    '' '

    N N N

    N

    I I I 8 1,75I 6,25A

    Passo 5: ver Figura 41.

    Figura 40 Contribuio da fonte de corrente I.

    Figura 41 Circuito equivalente de Norton.

    BIBLIOGRAFIA Boylestad, R. L. INTRODUO ANLISE DE CIRCUITOS 10 Edio. Captulo 9. Pearson Education do Brasil. So Paulo / SP. 2004.

    TEOREMAS DE CIRCUITOSTeorema da SuperposioTeoremas de Thvenin e NortonAAnlise por Correntes de MalhaAAnlise pelas Tenses nos Ns (Nodal)TTeorema de MillmanTTeorema da Mxima Transferncia de Potncia