Teoremas Del Calculo Diferencial

7/23/2019 Teoremas Del Calculo Diferencial

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Teorema de Rolle:

Teorema de Rolle y Teorema del Valor medio

i f es una #unci$n en la %ue se cumple:i' f es continua en el inter(alo cerrado )a* b+ii' f es di#erenciable en el inter(alo abierto &a* b'iii' f &a' , 0 y f &b' , 0

-ntonces* eiste un nmero c %ue pertenece a &a* b' tal %ue f &c' , 0

l eorema de olle se atribuye al matemático #rancs 4ichel olle &1!5261719'.

-n la #igura de la derecha se ilustra la

nterpretaci$n geomtrica del eorema deolle. 8omo se puede obser(ar se cumplen lasres condiciones %ue re%uiere el eorema: f esontinua en )a* b+ e integrable en &a* b'* yf &a' , f &b' , 0. ambin se puede obser(ar elunto &cuya abscisa es c' donde la rectaangente a la grá#ica de f es paralela al eje x* esecir donde se cumple %ue f &c' , 0.

-l eorema de olle es susceptible de unamodi#icaci$n en su enunciado %ue no altera paranada la conclusi$n del mismo. -sta se re#iere al

punto &iii' f &a' , f &b': basta con %ue el (alor dela #unci$n sea el mismo para x , a y x , b y nonecesariamente sean iguales a cero. -n la #igurade la i%uierda se ilustra este hecho.

Teorema del Valor medio:i f es una #unci$n en la %ue se cumple %ue:i' f es continua en el inter(alo cerrado )a* b+

ii' f es di#erenciable en el inter(alo abierto &a* b'-ntonces* eiste un nmero c %ue pertenece a &a* b' tal %ue

la i%uierda se obser(a una ilustraci$n de lainterpretaci$n geomtrica del eorema del;alor medio.-l teorema a#irma %ue si la #unci$n escontinua en )a*b+ y di#erenciable en &a*b'*

eiste un punto 8 en la cur(a* entre y <*donde la recta tangente es paralela a la recta

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%ue pasa por y <. -sto es*

Ejercicios resueltosEn los ejercicios 1 a 3* (eri#i%ue %ue las condiciones &i'* &ii' y &iii' de la hip$tesis del eoremade olle se cumplen para la #unci$n indicada en el inter(alo dado. =uego halle un (alor adecuado para c %ue satis#aga la conclusi$n del teorema de olle.

En los ejercicios a 9* compruebe %ue la hip$tesis del eorema del ;alor medio se cumple para la #unci$n dada en el inter(alo indicado. =uego halle un (alor adecuado para c %ue cumplala conclusi$n del eorema del (alor medio.

En los ejercicios 10 a 12* &a' trace la grá#ica de la #unci$n dada en el inter(alo indicado> & b'compruebe las tres condiciones de la hip$tesis del teorema de olle y determine cuáles secumplen y cuáles* de haberlas* no se cumplen> &c' si las tres condiciones se cumplen* determineun punto por el cual pase una recta tangente horiantal.En los ejercicios 13 y 1* calcule un (alor de c %ue satis#aga la conclusi$n del teorema del(alor medio* trace la grá#ica de la #unci$n y la recta %ue pasa por los puntos &a* f &a'' y &b* f &b''.

S o l u c i o n e s



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